수 리 영 역

미분활용 수식형

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수 리 영 역

미분활용 수식형

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (미분활용 수식형)

성명			수험번호

16

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: alpha x LEQ e ^{x} LEQ beta x]가 성립하도록 상수 [eqn: alpha ,``` beta]를 정할 때, [eqn: beta -alpha]의 최소값은?

⑤

[eqn: y= { e}^{x }]의 접선 중 원점을 지나는 것은 [eqn: y=ex] 즉, [eqn: (1,```e)]에서의 접선과 같다.

[eqn: beta GEQ {e ^{2}} over {2}], [eqn: alpha LEQ e]

따라서 [eqn: beta -alpha]의 최소값은 [eqn: {{e}^{2}}over{2}][eqn: - e][eqn: =e({e}over{2}-1)]

[3점][2002년 수능]

①　[eqn: e over 2]	②　[eqn: e]	③　[eqn: e` LEFT( e ^3 over 4 -1 RIGHT)]

④　[eqn: e` LEFT( e ^2 over 3 -1 RIGHT)]	⑤　[eqn: e` LEFT( e over 2 -1 RIGHT)]

[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: ln`x-x+20-n=0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

[eqn: 18]

[eqn: y=ln`x,```y=x+n-20]의 교점으로 해석한다.

[eqn: y=ln`x]에서 기울기 [eqn: 1]인 접선은 [eqn: y=x-1]이므로

서로 다른 두 근을 가지려면 [eqn: n-20 PREC -1]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE ```0<n<19]에서 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 18]이다.

[별해]

[eqn: ln`x-x+20-n=0]에서

[eqn: y=ln`x-x+20]과 [eqn: y=20]이 서로 다른 두 점에서 만나면 된다.

[eqn: y'= {1} over {x} -1= {1-x} over {x}] [eqn: RARROW ```x=1]일 때 [eqn: y'=0]

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`'`(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 19]	[eqn: SEARROW]

[eqn: x]는 진수이므로 [eqn: x>0]

[eqn: THEREFORE ```n<19]이면 서로 다른

두 점에서 만난다.

따라서 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 1,```2,```3,``` CDOTS ,```18]로 [eqn: 18]개다.

[3점][2003년 수능]

함수 [eqn: y` = "``16"_` over "`x`"]의 그래프와 함수 [eqn: y` = -x^2 +a`]의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

④

서로 다른 두 점에서 만나려면 [eqn: x`>`0`]인 범위에서 두 그래프가 접할 때이다.

[eqn: f`(x`)`=`16over x ,] [eqn: g`(x`)`=`-x^2 `+`a`]라 하고 접점의 좌표를 [eqn: alpha `]라 하면

[eqn: f`(alpha `)`=`g`(alpha `)]에서 [eqn: 16over alpha `=`-alpha ^2 `+`alpha `~cdots~①]

[eqn: f``'`(x`)`=`- 16over x^2 ,] [eqn: g``'`(x`)`=`-2x`]이므로

[eqn: f``'`(alpha `)`=`g``'`(alpha `)]에서 [eqn: - 16over alpha^2 `=`-2`alpha `~cdots~②]

②에서 [eqn: alpha `=`2`]

①에 [eqn: alpha `=`2`]를 대입하면

[eqn: 8`=`-4`+`a`]이므로 [eqn: a`=`12]

[3점][2004년 수능]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f`(x )]에 대하여 점 [eqn: rm A(ita,```f`(a))]를 곡선 [eqn: y=f`(x)]의 변곡점이라 하고, 곡선 [eqn: y=f`(x)] 위의 점 [eqn: \A]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y= g`(x )]라 하자. 직선 [eqn: y=g`(x )]가 함수 [eqn: f`(x )]의 그래프와 점 [eqn: rm B(itb,``f`(b))]에서 접할 때, 함수 [eqn: h (x )]를 [eqn: h (x ) = f`(x ) - g`(x )]라 하자.

<보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: a ≠b`]이다.)

⑤

[eqn: y = g`(x`)]가 [eqn: f`(x`)]의 점 [eqn: (a,```f`(a))]에서의 접선이므로

[eqn: g`(x`) = f`' (a) `(x-a)+ f`(a)]

또, [eqn: g`(x`)]가 점 [eqn: B`(b,```f`(b))]에서 [eqn: f`(x`)]에 접하므로

[eqn: f`'(a`) = g`' (b) = f`'(b)]

[eqn: h`(x`) = f`(x`) -g`(x`)]에서 [eqn: h' (x`) = f`'(x`) - g`'(x`)]

ㄱ. [eqn: h' (b) = f`' (b) - g`' (b) =0]

ㄴ. [eqn: h`(a) = h`(b) =0]이고 [eqn: h`(x)]가 미분가능하므로 로올의 정리에 의하여, [eqn: h`'(c) =0]인 [eqn: c]가 개구간 [eqn: (a,```b)]에 적어도 하나 존재한다.

[eqn: THEREFORE ~ h`' (a) = h`' (b ) = h`' (c ) =0]이므로

[eqn: h`' (x) =0]은 적어도 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다.

ㄷ. [eqn: h`̋ (x) = f``̋ (x)]이고, [eqn: h`̋ (a) = f ``̋ (a) =0]이다.

또한, 점 [eqn: (a,```f`(a))]는 [eqn: y = f`(x)]의 변곡점이므로

[eqn: f``̋ (x)]는 [eqn: x=a]의 좌우에서 부호가 반대이다.

따라서, [eqn: h`̋ (x)]도 같으므로

[eqn: (a,```h(a))]는 [eqn: h`(x)]의 변곡점이다.

[4점][2007년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: h'(b)=0] ㄴ. 방정식 [eqn: h'(x) = 0]은 [eqn: 3]개 이상의 실근을 갖는다. ㄷ. 점 [eqn: (a,```h(a))]는 곡선 [eqn: y=h(x)]의 변곡점이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f`(x)=4 ln x+ln (10-x)]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

[eqn: f`'(x)= {4} over {x} + {-1} over {10-x} = {-5(x-8)} over {x(10-x)}]

진수 조건에서 [eqn: 0<x<10]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=8]에서 극대이고 최대이다.

또, [eqn: lim _{x-> +0} {f(x)} =- INF ,``` lim _{x-> 10-0} {f(x)} =- INF]이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 아래와 같다.

ㄱ. 최대값은 [eqn: f(8)=13`ln`2] (참)

ㄴ. 위 그래프에서 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: f(x)=ln`x ^{4} (10-x)]이므로

[eqn: y=e ^{f(x)} =x ^{4} (10-x)=10x ^{4} -x ^{5}]

[eqn: y'=40x ^{3} -5x ^{4}], [eqn: y''=120x ^{2} -20x ^{3}]

[eqn: THEREFORE ```y''=20x ^{2} (6-x)]

따라서 [eqn: 0<x<6]에서 [eqn: y''>0]이므로 [eqn: y=e ^{f(x)}]는 아래로 볼록하다. (거짓)

[3점][2009년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 함수 [eqn: f`(x)]의 최댓값은 [eqn: 13 ln2]이다. ㄴ. 방정식 [eqn: f`(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 함수 [eqn: y= e^"f`(x)"]의 그래프는 구간 [eqn: LEFT ( 4,``8 RIGHT )]에서 위로 볼록하다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: y=e ^{x}``]위의 점 [eqn: LEFT ( 1,```e RIGHT )]에서의 접선이 곡선 [eqn: y=2 sqrt {x-k}] 에 접할 때, 실수 [eqn: k``]의 값은?

②

[eqn: y'=e^x]에서 [eqn: y'_x=1 = e]이므로

점 [eqn: (1,```e)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y-e=e(x-1)]

[eqn: THEREFORE ```y=ex]

이 직선과 곡선 [eqn: y=2rootx-k]가 접하므로

[eqn: ex=2rootx-k]

양변을 제곱하면 [eqn: e^2 x^2 =4(x-k)]

방정식 [eqn: e^2 x^2 =4(x-k)]

즉, [eqn: e^2 x^2 -4x+4k=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D / 4 =4-e^2 ․ 4k=0]  [eqn: THEREFORE ```k= {1} over {e ^{2}}]

[3점][2010년 수능]

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {1} over {e ^{2}}]	③ [eqn: {1} over {e ^{4}}]

④ [eqn: {1} over {1+e}]	⑤ [eqn: {1} over {1+e ^{2}}]

실수 [eqn: m``]에 대하여 점 [eqn: (0,```2)``]를 지나고 기울기가 [eqn: m``]인 직선이 곡선 [eqn: y=x^3 -3x^2 +1``]과 만나는 점의 개수를 [eqn: f(m)``]이라 하자. 함수 [eqn: f(m)``]이 구간 [eqn: (- inf, ```a)``]에서 연속이 되게 하는 실수 [eqn: a``]의 최댓값은?

④

[eqn: y=mx+2]와 [eqn: y=x^3 - 3x^2 +1]의 교점의 개수는
[eqn: x^3 -3x^2 - mx -1=0],
[eqn: x^2 - 3x - 1over x =m]의 실근의 개수와 같다. ([eqn: because```x!=0])
[eqn: g(x)=x ^{2} -3x- {1} over {x}]로 놓고 미분하면

[eqn: g`prime(x) = 2x-3+ 1over x^2][eqn: = {2x^3 -3x+1} over x^2][eqn: ={(x-1)^2 (2x+1 )}over x^2]

증감표를 그려보면

[eqn: x]		[eqn: - 1over2]		[eqn: (0)]		[eqn: 1]
[eqn: g(x)]	[eqn: -]		[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: g`prime (x)]	↘	[eqn: 15 over 4]	↗		↗	[eqn: -3]	↗

[eqn: lim_x->+0 g(x)= -inf]	[eqn: lim_x->-0 g(x)=+inf]

[eqn: lim_x->+inf g(x)= +inf]	[eqn: lim_x->-inf g(x)= +inf]

[eqn: y=g(x)], [eqn: y=m]의 그래프를 그리면

[eqn: f(m)]은 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: y=m]의 교점의 개수이므로

따라서, [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 15 over 4]이다.

[4점][2012년 수능]

① [eqn: -3]	② [eqn: - 3over4]	③ [eqn: 3over2]
④ [eqn: 15 over 4]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)=kx ^{2} `e ^{-x} ```(k>0)]과 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,```f(t))]에서 [eqn: x]축까지의 거리와 [eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는 [eqn: k]의 최댓값은?

⑤

[eqn: f(x)=kx ^{2} e ^{-x} (k＞0)]에서

[eqn: f'(x)=2kxe^-x -kx^2 e^-x][eqn: =kx(2-x)e^-x]

[eqn: f'(x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: x]	…	[eqn: 0]	…	[eqn: 2]	…
[eqn: f'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	↘	[eqn: 0]	↗	[eqn: 4k over e^2]	↘

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,~f(t))]에서 [eqn: x]축까지의 거리와

[eqn: y]축까지의 거리 중 크지 않은 값을 [eqn: g(t)]라 하므로

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=-x]와 만나는 교점을

찾는다.

이때, 미분가능하지 않은 점이 한 곳만 있으려면

[eqn: x＞0]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]가 만나지 않거나

접해야 한다.

접점의 좌표를 [eqn: (t,~f(t))]라 하면

[eqn: kt ^{2} e ^{-t} =t``` CDOTS CDOTS ```㉠]이고

[eqn: x=t]에서 접선의 기울기가 [eqn: 1]이므로

[eqn: kt(2-t)e ^{-t} =1``` CDOTS CDOTS ```㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: 2-t=1]  [eqn: THEREFORE ```t=1]

[eqn: THEREFORE ```k=e]
따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: e]이다.

[4점][2013년 수능]

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {1} over {sqrt {e}}]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: sqrt {e}]	⑤ [eqn: e]

이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=f(x)e ^{-x}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: 72]

[출제의도] 미분법을 이용하여 조건을 만족시키는 값을 구할 수 있는가?

[eqn: g(x)=f(x)e ^{-x} ,`````g`'(x)={f`'(x)-f(x)}e ^{-x}]

[eqn: g`''(x)={f`''(x)-2f`'(x)+f(x)}e ^{-x}]

[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c````(a != 0)]로 놓으면

[eqn: g`''(x)={ax ^{2} +(b-4a)x+2a-2b+c}e ^{-x}]

조건 (가)에서 방정식 [eqn: g`''(x)=0]의 두 근이 [eqn: x=1,````x=4]를 두 근으로 갖는다. 근과 계수의 관계에서

[eqn: {4a-b} over {a} =5,``` {2a-2b+c} over {a} =4]이므로 [eqn: b=-a,````c=0]

즉, [eqn: f(x)=ax ^{2} -ax]이고 [eqn: g(x)=(ax ^{2} -ax)e ^{-x}]

한편, 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: T(t,``g(t))]에서 그은 접선의 방정식은 [eqn: y-g(t)=g`'(t)(x-t)]

이 접선이 점 [eqn: (0,``k)]를 지나므로

[eqn: k-g(t)=g`'(t)(0-t)]에서 [eqn: k=a(t ^{3} -2t ^{2} )e ^{-t}]

[eqn: h(t)=a(t ^{3} -2t ^{2} )e ^{-t}]로 놓으면 조건 (나)에 의하여 함수 [eqn: y=h(t)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 법위가 □ □ □ □ □ □이어야 한다.

□ □ □인 경우 함수 □ □ □□□□의 그래프의 개형은 다음과 같고, 문제의 조건을 만족시키지 않는다.

□ □ □인 경우 함수 □ □ □□□□의 그래프의 개형은 다음과 같고, □□□□ □□ □이어야 한다.

[eqn: h(1)=-ae ^{-1} =-1]에서 [eqn: a=e]

[eqn: THEREFORE g(-2) TIMES g(4)=f(-2)e ^{2} TIMES f(4)e ^{-4} =72a ^{2} e ^{-2} =72e ^{2} e ^{-2} =72]

(가) 점 [eqn: (1,``g(1))]과 점 [eqn: (4,``g(4))]는 곡선 [eqn: y=g(x)]의 변곡점이다.

(나) 점 [eqn: (0,``k)]에서 곡선 [eqn: y=g(x)]에 그은 접선의 개수가 [eqn: 3]인 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: -1<k<0]이다.

[eqn: g(-2) TIMES g(4)]의 값을  구하시오.

[4점][2014년 수능]

함수 [eqn: f(x) = e^x+1 -1]과 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를
[eqn: g(x)= 100` left|`f(x)`right|- sum_k=1^n left|` f(x^k ) `right|]
이라 하자. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

39

[eqn: LEFT | f(x) RIGHT | = {cases{-e ^{x+1} `+1&(x<`-1)#e ^{x+1} `-1&(x GEQ -1)}}] 이므로

[eqn: {d} over {dx} LEFT | f(x) RIGHT | = {cases{-e ^{x+1}&(x<`-1)#e ^{x+1}&(x>`-1)}}] 이다.

따라서 [eqn: p(x)=100` LEFT | f(x) RIGHT |] 라 하면 함수 [eqn: p(x)]는 [eqn: x=`-1]에서 미분가능하지 않고,

[eqn: lim _{x -> -1-} {p prime (x)=`-100}]

[eqn: lim _{x -> -1+} {p prime (x)=`100}]

이다.

한변, [eqn: k=2m-1````(m은```자연수)]일 때,

[eqn: f(x ^{k} )=e ^{x ^{2m-1} +1} -1``]이므로

[eqn: f(x ^{k} )=e ^{x ^{2m-1} +1} -1``=0] 에서  [eqn: x=`-1]

[eqn: THEREFORE LEFT | f(x ^{2m-1} )` RIGHT | = {cases{-e ^{x ^{2m-1} +1} +1&(`x<`-1)#e ^{x ^{2m-1} +1} -1&(x GEQ -1)}}]

[eqn: THEREFORE {d} over {dx} LEFT | f(x ^{2m-1} )` RIGHT | = {cases{-(2m-1)x ^{2m-2} e ^{x ^{2m-1} +1}&(`x<`-1)#(2m-1)x ^{2m-2} e ^{x ^{2m-1} +1}&(x GEQ -1)}}]

따라서 [eqn: q(x ^{2m-1} )= LEFT | f(x ^{2m-1} )` RIGHT |] 이라 하면

함수 [eqn: q(x ^{2m-1} )]는 [eqn: x=`-1]에서 미분가능하지 않고,

[eqn: lim _{x -> -1-} {q prime (x ^{2m-1} )=`-(2m-1)`}]

[eqn: lim _{x -> -1+} {q prime (x ^{2m-1} )=`2m-1`}] 이다.

또, [eqn: k=2m```(m은```자연수)]일 때,

[eqn: f(x ^{k} )=e ^{x ^{2m} +1} -1``]이므로 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x ^{k} )>0`]이다.

따라서

[eqn: LEFT | f(x ^{k} )` RIGHT | =e ^{x ^{2m} +1} -1] 이므로

[eqn: {d} over {dx} LEFT | f(x ^{k} ) RIGHT | =2mx ^{2m-1} e ^{x ^{2m} +1}]

따라서 [eqn: r(x ^{2m} )= LEFT | f(x ^{2m} )` RIGHT |] 이라 하면 함수 [eqn: r(x ^{2m} )`]은 실수 전체집합에서 미분가능하다.

이제 [eqn: n=2m-1``]또는 [eqn: n=2m`]일 때,

함수 [eqn: 100 LEFT | f(x) RIGHT | - sum _{k=1} ^{m} LEFT | f(x ^{2k-1} ) RIGHT | `]를 [eqn: s(x)`]라 하자. 즉

[eqn: s(x)=p(x)- sum _{k=1} ^{m} q(x ^{2k-1} )`]

이때 함수 [eqn: s(x)]가 [eqn: x=`-1]에서 미분가능하면 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: x != -1`]일 때

[eqn: s'(x)=p'(x)- sum _{k=1} ^{m} q'(x ^{2k-1} )`]이므로

[eqn: lim _{x -> -1-} {s prime (x)=`-100+ sum _{k=1} ^{m} (2k-1)}]

[eqn: lim _{x -> -1+} {s prime (x)=`100- sum _{k=1} ^{m} (2k-1)}]

이때, 함수 [eqn: s(x)`]가 [eqn: x=`-1]에서 미분가능하려면

[eqn: lim _{x -> -1-} {s prime (x)=` lim _{x -> -1+} {s prime (x)}}]

즉, [eqn: -100+ sum _{k=1} ^{m} (2k-1)=100- sum _{k=1} ^{m} (2k-1)`]

이어야 한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{m} (2k-1)=m ^{2} =100``]에서   [eqn: m=10]

따라서 [eqn: n=2m-1] 또는 [eqn: n=2m`]이므로

[eqn: n=19] 또는 [eqn: n=20] 이다.

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: n`]의 값은 합은 [eqn: 19+20=39]

[4점][2015년 수능]

곡선 [eqn: y=3`e^x-1] 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 원점 [eqn: rm O]를 지날 때, 선분 [eqn: rm OA]의 길이는?

⑤

[출제의도] 접선의 방정식을 구할 수 있는가?

곡선 [eqn: y=3e ^{x-1}] 위의 점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~3e ^{a-1} RIGHT )]으로 놓으면 [eqn: y'=3e ^{x-1}]이므로 접선의 기울기는 [eqn: 3e ^{a-1}]이다.

그러므로 접선의 방정식은

[eqn: y=3e ^{a-1} LEFT ( x-a RIGHT ) +3e ^{a-1}]

이 접선이 원점 [eqn: {rmO} LEFT ( 0,~0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 0=3e ^{a-1} LEFT ( -a RIGHT ) +3 ^{a-1}]

[eqn: THEREFORE ~a=1]

따라서 [eqn: {rmA} LEFT ( 1,~3 RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{rm OA}} = sqrt {1 ^{2} +3 ^{2}} = sqrt {10}]

[3점][2016년 수능]

① [eqn: root 6]	② [eqn: root 7]	③ [eqn: 2root2]
④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: root10]

함수 [eqn: f(x)=e^{ 2 over x }] 에 대하여 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은 ?

③

함수 [eqn: f(x)=e ^{{2} over {x}}]그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} { ```e^ {{2 } over {x } }} =1] (참)

ㄴ. 극값을 가지지 않는다. (참)

ㄷ. [eqn: x>0]에서 [eqn: f``'(x)<0] (거짓)

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{x`` -> `` INF } {f(x)=1}] ㄴ. 함수 [eqn: f(x)] 는 극값을 갖지 않는다. ㄷ. [eqn: x>0`]에서 함수 [eqn: f(x)`]는 증가함수이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 다항함수 [eqn: f(x),``g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f(-x)=-f(x)], [eqn: g(-x)=g(x)]를 만족하고
[eqn: h(x)=f(x)+xg(x)]로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

[eqn: h(x)=f(x)+xg(x)] 에서

[eqn: h(-x)=f(-x)-xg(-x)# `````````````````````````=`-f(x)-xg(x)# `````````````````````````=`-(f(x)+xg(x))# `````````````````````````=`-h(x)]

ㄱ. [eqn: h(x)]는 원점 대칭이므로 [eqn: h(0)=0] (참)

ㄴ. [eqn: h(-x)=-h(x)]을 미분하면

[eqn: -h {prime } (-x)=-h {prime } (x)]

[eqn: h {prime } (-x)=h {prime } (x)] (참)

ㄷ. [eqn: h {prime prime } (-x)=-h {prime prime } (x)] 이므로 [eqn: h {prime prime } (x)]는 원점대칭, [eqn: h {prime prime } (x)]가 [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: 1]을 가지면 [eqn: x=-1]에서 극솟값 [eqn: -1]을 가진다.

따라서 [eqn: h {prime prime } (x)-x=0]는 적어도 [eqn: 3]개의 실근을 가진다. (참)

[[eqn: 3]점][2008년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: h(0)=0] ㄴ. [eqn: h {prime } (-x)=h {prime } (x)] ㄷ. [eqn: h(x)`]의 이계도함수 [eqn: h {prime prime } (x)]가 [eqn: x=1`]에서 극댓값 [eqn: 1`]을 가질 때, 방정식 [eqn: h {prime prime } (x) -x=0`]의 실근은 적어도 3개이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면에서 곡선

[eqn: y=cos^n `x``~~``( 0`＜x`＜ {pi_` } over {2`} ,```n`=`2,``3,``4,``… )]

의 변곡점의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim_{n`→ inf} {`a_n}]의 값은?

③

[eqn: y= cos^n`x`]

[eqn: y`' = -n cos^n-1 x` `sin x`]

[eqn: y`'' = n(n-1) cos^n-2 `x `sin^2 x - n cos^n-1 x `cos x`]

[eqn: = n(n-1) cos^n-2 `x `(1-cos^2 x ) - n cos^n-1 x `cos x`]

[eqn: = n(n-1) cos^n-2`x - n(n-1) cos^n`x` - n`cos^n`x`]

[eqn: = n(n-1) cos^n-2`x - n^2 cos^n`x`]

[eqn: = cos^n-2 x ( n^2 -n - n^2 cos^2 x )`]

[eqn: = cos^n-2 `x (n^2 sin^2 x - n `)`]

[eqn: 0< x< pi over 2`]에서 [eqn: cos x ne 0`]이므로

[eqn: y`'' = 0`]에서 [eqn: n^2 sin^2 x - n =0`], [eqn: sin^2 x = 1over n`]

꼭지점의 좌표를 [eqn: (b_n , a_n )`]이라 하면

[eqn: sin^2 b_n = 1over n`]이므로

[eqn: a_n = cos^n `b_n = ( cos^2 b_n )^{ n over 2` }= left( 1- 1over n right)^{ n over2}`]

∴ [eqn: lim_n->inf`a_n = lim_n->inf`left( 1- 1over n right)^{ n over 2}`]

[eqn: = lim_n->inf`left( 1- 1over n right)^-n right}^{- 1over2}]

[eqn: = e^{ - 1over2}`]

[eqn: = 1over {root e}`]

[3점][2008년 9월]

① [eqn: {1}_` over {e^2}]	② [eqn: {1_`} over {e`}]	③ [eqn: {1}_` over {SQRT { e`}}^`]	④ [eqn: {1_`} over {2e}]	⑤ [eqn: {1}_` over {SQRT { 2e`}}^`]

함수 [eqn: f _{} (x)`=ln {x} over {k}`]([eqn: k`]는 자연수)의 역함수를 [eqn: y=g (x)`]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f (x)`]위의 점과 곡선 [eqn: y=g(x)`]위의 점 사이의 최단 거리를 [eqn: l _{k} `]라 하자. [eqn: l _{k} >= 3 sqrt {2} `]를 만족시키는 [eqn: k`]의 최솟값은? (단, [eqn: e=2.7``]로 계산한다.)

④

역함수는 [eqn: y=x``]대하여 대칭이므로

함수 [eqn: f(x)`=ln {x} over {k} ``]의 접선 중 기울기가 [eqn: 1``]인 접선에서 [eqn: y=x``]까지 거리의 두 배가 [eqn: l _{k} ``]이다.

[eqn: f` prime (x)`=1``]인 접점의 좌표는 [eqn: (1,~ln {1} over {k} )``]이다.

[eqn: d= {LEFT | 1-ln {1} over {k} RIGHT |} over {sqrt {2}} = {1+lnk} over {sqrt {2}} = {(1+lnk) sqrt {2}} over {2}]

[eqn: l _{k} =2d=(1+lnk) sqrt {2} >= 3 sqrt {2}] 에서 [eqn: k >= e ^{2}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k```]의 최솟값은 [eqn: 8`]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: 11]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 7]

곡선 [eqn: y= LEFT ( ln {1} over {ax} RIGHT ) ^{2}]의 변곡점이 직선 [eqn: y=2x] 위에 있을 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

⑤

[eqn: f(x)`= left( - ln 1overax right) ^2 = left( ln `ax right)^2]에서

[eqn: f`'(x) = 2 ln ax times a over ax = {2 ln ax } over x]

[eqn: f`''(x)= { 2 over x times x -2 ln ax } over x^2][eqn: = { 2 (1- ln `ax)} over x^2]

[eqn: f`''(x)=0`]에서 [eqn: x= e overa]

[eqn: x < e overa]일 때, [eqn: f`''(x)>0]이고 [eqn: x> e over a `]일 때, [eqn: f`''(x)<0]이다.

따라서 [eqn: x= e overa`]의 좌우에서 [eqn: f`''(x)`]의 부호가 바뀌므로 변곡점의 좌표는 [eqn: left( e over a , ``1 right)]

변곡점이 직선 [eqn: y= 2x`] 위에 있으므로

[eqn: 2e over a = 1] ,∴ [eqn: a= 2e]

[3점][2010년 9월]

① [eqn: e]	② [eqn: {5} over {4} e]	③ [eqn: {3} over {2} e]	④ [eqn: {7} over {4} e]	⑤ [eqn: 2e]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 다음 표는 [eqn: x]의 값에 따른 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )], [eqn: f`'' LEFT ( x RIGHT )]의 변화 중 일부를 나타낸 것이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =sin LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

[eqn: x]	[eqn: x<1]	[eqn: x=1]	[eqn: 1<x<3]	[eqn: x=3]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: 0]		[eqn: 1]
[eqn: f`''(x)]	[eqn: +]		[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]		[eqn: pi over 2]		[eqn: pi]

위의 표에서 [eqn: x<1`], [eqn: 1<x<3`]일 때, [eqn: f`''(x)>0`]이므로 [eqn: f`'(x)]는 증가하고 이 구간에서 [eqn: f(x)~]의 그래프는 아래로 볼록하다. 또한, [eqn: x=1`]일 때, [eqn: f`'(x)`=0`]이므로 [eqn: x=1`]의 좌우에서 [eqn: f(x)`]의 부호가 [eqn: -`]에서 [eqn: +`]로 바뀌게 된다. 따라서 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 극솟값을 갖고 그래프는 아래로 볼록하다.

ㄱ. [eqn: g(x)= sin (f(x))]에서

[eqn: g`'(x) = cos (f(x)) times f`'(x)]

∴ [eqn: g`'(3) = cos (f(3)) times f`'(3)]

[eqn: = cos pi times f`'(3)]

[eqn: =(-1) times 1][eqn: =-1] (참)

ㄴ. [eqn: 1<x<3`]에서 [eqn: f(x)~]의 그래프는 아래로 볼록하며 증가하므로 [eqn: pi over 2 < f(x) < pi `]

따라서 [eqn: pi over 2 < f(x) < pi `]에서

[eqn: g(x) = sin( f(x))]의 그래프는 감소하면서 위로 볼록하다.

[eqn: x=1`]일 때,

[eqn: g`'(1 ) = cos (f(1)) times f`'(1)]

[eqn: = cos pi over2 times 0 = 0]

[eqn: x= 3`]일 때,

[eqn: g`'(3 ) = cos (f(3)) times f`'(3)]

[eqn: = cos pi times 1 = -1]

따라서 [eqn: 1<a<b<3`]에서

[eqn: -1 < { g(b) - g(a)} overb-a <0] (참)

ㄷ. [eqn: g`''(x) = - sin (f(x)) times f`'(x) times f`'(x)]

[eqn: + cos (f(x)) times f`''(x)]

[eqn: x=1`]일 때,

[eqn: g`''(1) = - sin (f(1)) times f`'(1) times f`'(1)]

[eqn: + cos (f(1)) times f`''(1)]

[eqn: =-sin {pi } over {2} TIMES 0 TIMES 0+cos {pi } over {2} times pi over 2 =0]

이지만 [eqn: x<1`]과 [eqn: x>1`]에서 [eqn: g`''(x)`]의 부호가 같으므로 [eqn: x=1`]에서 변곡점을 갖지 않는다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[4점][2010년 9월]

[보 기]

ㄱ. [eqn: g`' LEFT ( 3 RIGHT ) =-1]

ㄴ. [eqn: 1<a<b<3]이면 [eqn: -1< {g LEFT ( b RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT )} over {b-a} <0]이다.

ㄷ. 점 [eqn: P LEFT ( 1,`1 RIGHT )]은 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)=2`ln(5-x)+ {1} over {4}x ^{`2}`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]의 정의역은 [eqn: x<5`]이다.

[eqn: f` prime (x)= {-2} over {5-x} + {x} over {2}=0`]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=4],

[eqn: f` prime prime (x)= {-2} over {(x-5) ^{2}} + {1} over {2}=0`]에서
[eqn: x=3`( BECAUSE ~x<5)`]이므로 함수 [eqn: f` prime (x)`], [eqn: f prime prime(x)`], [eqn: f(x)]를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	…	[eqn: 1]	…	[eqn: 3`]	…	[eqn: 4`]	…	[eqn: 5`]
[eqn: f` prime (x)`]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: 0`]	[eqn: -`]
[eqn: f prime prime(x)`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: +`]	[eqn: 0]	[eqn: -`]	[eqn: -`]	[eqn: -`]
[eqn: f(x)`]	□	[eqn: f(1)]	□	[eqn: f(3)]	□	[eqn: f(4)]	□

[eqn: left( pile{` #` }]단, [eqn: f(1)= 1 OVER 4 + 4ln 2], [eqn: f(3) = 9 over 4 + 2ln 2],  [eqn: f(4)=4][eqn: pile{` #` } right)]

ㄱ. (참)

ㄴ. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점의 개수는 [eqn: 1]이다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= 1over4]은 다음과 같으므로 방정식 [eqn: f(x)= 1over 4]의 실근의 개수는 [eqn: 1]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y= rm {1} over {4}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[4점][2011년 4월]

		보 기
ㄱ. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=4`]에서 극댓값을 갖는다. ㄴ. 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 변곡점의 개수는 [eqn: 2`]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)= {1} over {4}`]의 실근의 개수는 [eqn: 1]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

양의 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수
[eqn: f`(x)`=`1over27`(x^4`-`6x^3`+`12x^2`+`19x)``]
에 대하여 [eqn: f`(x)``]의 역함수를 [eqn: g`(x)``]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ.[eqn: f`'(x)= {1} over {27} (4x ^{3} -18x ^{2} +24x+19)]

[eqn: f`''(x)= {1} over {27} (12x ^{2} -36x+24)]

[eqn: = {1} over {27} (x-1)(x-2)]

[eqn: f''(2)=0]이고 좌우에서 부호가 바뀌므로 변곡점이다(참)

ㄴ.[eqn: f(x)=x]

[eqn: {1} over {27} (x ^{4} -6x ^{3} +12x ^{2} +19x)=x]에서

[eqn: x ^{4} -6x ^{3} +12x ^{2} -8x=0]

인수분해하면

[eqn: = {1} over {27} x(x-2) ^{3} =0]에서

실근은 [eqn: 0,`2]이므로 양의 실근은 [eqn: 2]뿐이다(참)

ㄷ.[eqn: f(2)=2], [eqn: f`'`(2)=1]이므로

[eqn: g`'(2)`= {1} over {f`'(2)} =1]

[eqn: 0<x<2]에서 [eqn: f(x)<x]이므로

[eqn: f(x)<g(x)]

[eqn: x GEQ 2]에서 [eqn: f(x)>x]이므로

[eqn: f(x) GEQ g(x)]

[eqn: H(x)= LEFT | f(x)-g(x) RIGHT |]라 하면

[eqn: x<2]에서 [eqn: H(x)=g(x)-f(x)]

[eqn: x GEQ 2]에서 [eqn: H(x)=f(x)-g(x)]

[eqn: lim _{h -> 0} {{f(2+h)-f(2)} over {h}} =1],

[eqn: lim _{h -> 0} {{g(2+h)-g(2)} over {h}} =1]   이므로

[eqn: lim _{h -> 0-} {{H(2+h)-H(2)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h-> 0-} {LEFT ( {g(2+h)-g(2)} over {h} `-` {f(2+h)-f(2)} over {h} RIGHT )}]

[eqn: =0]

같은 방법으로

[eqn: lim _{h-> 0+} {{H(2+h)-H(2)} over {h}} =0]

[eqn: THEREFORE H(x)]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다(참)

[4점][2011년 6월]

[보 기]

ㄱ. 점 [eqn: (2`,`2)``]는 곡선 [eqn: y`=`f`(x)``]의 변곡점이다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f`(x)`=`x``]의 실근 중 양수인 것은 [eqn: x`=`2``] 하나뿐이다.

ㄷ. 함수 [eqn: |`f`(x)`-`g(x)`|``]는 [eqn: x`=`2``]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)= 1 over 3 x^3 -ax^2 +3ax``]의 역함수가 존재하도록 하는 상수 [eqn: a``]의 최댓값은?

①

삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재할 필요충분조건은 이차방정식 [eqn: f'(x) = x^2 -2ax +3a =0]

이 서로 다른 두 실근을 갖지 않는 것이다.

따라서 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D over 4 = a^2 -3 a le 0]

이므로 [eqn: 0 le a le 3]이다.

따라서 상수 [eqn: a]의 최댓값은 3이다.

[4점][2011년 9월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f`(`x`)][eqn: =][eqn: e ^{x} + {1} over {x}]이 [eqn: x=alpha`]에서 극값을 가질 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: e`]는 자연로그의 밑이다.)

④

[eqn: f` prime (x)=e` ^{x} - {1} over {x ^{2}}]이고 [eqn: f` '' (x)=e ` ^{x} + {2} over {x ^{3}}]이다.

ㄱ. [eqn: f `prime (alpha)=][eqn: e ^{alpha } - {1} over {alpha ` ^{2}} =0]에서 [eqn: e ^{alpha } = {1} over {alpha ^{2}}] (참)

ㄴ. 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`''(x)>0]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 변곡점은 존재하지 않는다. (거짓)

ㄷ. [eqn: f` prime ( alpha )=0]이고 모든 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`''(x)>0]이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x`=`alpha`]에서 극소이자 최소이다. (참)

[4점][2011년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: e ^{alpha} = {1} over {alpha ^{2}}] ㄴ. 곡선 [eqn: y=f`(`x`)`]의 변곡점이 존재한다. ㄷ. 함수 [eqn: f`(`x`)`]는 [eqn: x=alpha`]에서 최솟값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: y`=`e^3-x `] 위의 점 [eqn: (`3`,``1)`]에서의 접선 및 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: e`]는 자연로그의 밑이다.)

8

[eqn: y` prime`=`e^3-x `(3-x) prime`=`-e^3-x `]이므로

(접선의 기울기)[eqn: =`-e^3-3`=`-e^0`=`-1`]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y-1`=`-(x-3)`], [eqn: y`=`-x+4`] 접선의 [eqn: x`]절편과 [eqn: y`]절편은 각각 [eqn: 4`]이므로

구하는 도형의 넓이는 [eqn: 1 over 2 TIMES4 TIMES4`=`8``]이다.

[3점][2012년 3월]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT )]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {4x} over {2x ^{2} `+1}]이므로 [eqn: f`'`(-x)`=`-`f`'`(x)] (참)

ㄴ. [eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT ) = {4 LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) -4x CDOT 4x} over {LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}} = {4 LEFT ( 1-2x ^{2} RIGHT )} over {LEFT ( 2x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=- {1} over {sqrt {2}}] 또는 [eqn: x= {1} over {sqrt {2}}]

[eqn: x]	⋯	[eqn: - {1} over {sqrt {2}}]	⋯	[eqn: {1} over {sqrt {2}}]	⋯
[eqn: f` prime prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]	↘	[eqn: - sqrt {2}]	↗	[eqn: sqrt {2}]	↘

[eqn: lim _{x -> - INF } {f` prime LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x -> INF } {f` prime LEFT ( x RIGHT )} =0]이므로 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: y=f`' LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: - {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: sqrt {2}]

[eqn: - sqrt {2}]

따라서 함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}]이다. (참)

ㄷ. ⅰ) [eqn: x _{1} =x _{2}]일 때, 주어진 부등식은 성립한다.

ⅱ) [eqn: x _{1} != x _{2}]일 때, 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ x _{1} ,~x _{2} RIGHT ]]에서
평균값의 정리에 의하여 [eqn: {f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT )} over {x _{1} -x _{2}} =f` prime LEFT ( c RIGHT )]인
[eqn: c]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~x _{2} RIGHT )]에서 적어도 하나 존재한다.

ㄱ, ㄴ에 의하여 [eqn: - sqrt {2} LEQ f` prime LEFT ( x RIGHT ) LEQ sqrt {2}]이므로

[eqn: LEFT | {f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT )} over {x _{1} -x _{2}} RIGHT | ``= LEFT | `f` prime LEFT ( c RIGHT ) ` RIGHT | `` LEQ sqrt {2}]이다.

[eqn: THEREFORE] ⅰ), ⅱ)에 의하여 임의의 두 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]에
대하여 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT ) ` RIGHT | `` LEQ sqrt {2} ` LEFT | `x _{1} -x _{2} ` RIGHT |] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

[4점][2012년 4월]

		보 기
ㄱ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f` prime (-x)``=`-f` prime (x)]이다. ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: sqrt {2}]이다. ㄷ. 임의의 두 실수 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: LEFT | `f LEFT ( x _{1} RIGHT ) -f LEFT ( x _{2} RIGHT ) ` RIGHT | ``` LEQ sqrt {2} ` LEFT | `x _{1} -x _{2} ` RIGHT |]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x) = e ^-x (ln x - 2 ) `]가 [eqn: x=a`]에서 극값을 가질 때, 다음 중 [eqn: a`]가 속하는 구간은?

③

[출제의도] 미분법과 중간값의 정리를 이용하여 극값이 존재하는 구간을 구한다.

미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=a`]에서 극값을 가지므로 [eqn: f`'(a)=0`]이어야 한다.

[eqn: f(x)=e ^{-x} LEFT ( lnx-2 RIGHT )`]이므로

[eqn: f` prime (x)=`-e ^{-x} ` LEFT ( lnx-2 RIGHT ) +e ^{-x} ` TIMES {1} over {x}]

[eqn: =e ^{-x} left( {1} over {x} -lnx+2 right)`]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: e ^{-x} >0`]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x} -lnx+2`]라 하면 [eqn: g(a)=0`]이어야 한다.

[eqn: g `'(x) = `- 1 over x^2 - 1 over x][eqn: =`- 1+x over x^2 <0] [eqn: (BECAUSE ~x>0`)]

이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x>0`]에서 연속이고 감소한다.

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1-ln1+2=3>0]

[eqn: g LEFT ( e RIGHT ) = {1} over {e} -lne+2= {1} over {e} +1>0]

[eqn: g LEFT ( e ^{2} RIGHT ) = {1} over {e ^{2}} -lne ^{2} +2= {1} over {e ^{2}} >0]

[eqn: g LEFT ( e ^{3} RIGHT ) = {1} over {e ^{3}} -lne ^{3} +2= {1} over {e ^{3}} -1<0]

그러므로 중간값의 정리에 의하여 [eqn: g LEFT ( c RIGHT ) =0`]인 실수 [eqn: c`]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( e ^{2} ,~e ^{3} RIGHT )`]에 오직 하나 존재한다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 극값을 가질 때, [eqn: a]가 속하는 구간은 [eqn: LEFT ( e ^{2} ,~e ^{3} RIGHT )]이다.

[3점][2014년 3월]

① [eqn: (1,~e)`]	② [eqn: (e,~ e^2 )`]	③ [eqn: (e^ 2 ,~e^ 3 )`]

④ [eqn: (e^ 3 ,~ e^4 )`]	⑤ [eqn: ( e^4 ,~ e ^5 )`]

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 함수 [eqn: g(x)``]를
[eqn: g(x)=f(x)`ln`x ^{4}``]
이라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)``] 위의 점 [eqn: (e,~-e)``]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=g(x)``] 위의 점 [eqn: (e,~-4e)``]에서의 접선이 서로 수직일 때, [eqn: 100f`'(e)``]의 값을 구하시오.

50

점 [eqn: (e,`-e)]는 [eqn: y=f(x)] 위의 점이므로 [eqn: f(e)=-e]

[eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (e,-e)]에서의 접선의 기울기를 [eqn: f`'(e)=a]라 하자.

[eqn: y=g(x)]를 미분하면

[eqn: g`'(x)=`f`'(x) BULLET ln`x ^{4} `+f(x)` BULLET {4} over {x}] 이고

[eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: (e,`-4e)]에서의 접선의 기울기

[eqn: g` prime (e)`=`f` prime (e)` BULLET ln`e ^{4} +f(e) BULLET {4} over {e} =4a-4]

[eqn: x=e]에서 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 접선이 수직이므로

[eqn: f`'(e) TIMES g`'(e)=-1]

[eqn: a(4a-4)=-1]

[eqn: 4a ^{2} -4a+1=0]

[eqn: (2a-1) ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE a= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE 100f'`(e)=100a=50]

[4점][2014년 6월]

3 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)`]가
[eqn: f(x)=x ^{n} e ^{-x`}]
일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

[eqn: f(x)= {x ^{n}} over {e ^{x}}``]

[eqn: f`'(x)`=` {n`x ^{n-1} `e ^{x} -e ^{x} `x ^{n}} over {(e ^{x} ) ^{2}} = {x ^{n-1} (n-x)} over {e ^{x}}``]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) = {LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {e ^{{n} over {2}}}``]에서

[eqn: f`'` LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) = {LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{n-1} LEFT ( n- {n} over {2} RIGHT )} over {e ^{{n} over {2}}} = {LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {e ^{{n} over {2}}}``]  따라서 [eqn: f LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) =f`'` LEFT ( {n} over {2} RIGHT )``]  ∴ 참

ㄴ. [eqn: f`'(x)=-x ^{n-1} (x-n)`e ^{-x}``]

ⅰ) [eqn: n``]이 홀수일 때

[eqn: x``]	[eqn: cdots]	[eqn: 0``]	[eqn: cdots]	[eqn: n``]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'`(x)``]	[eqn: +``]	[eqn: 0``]	[eqn: +``]	[eqn: 0``]	[eqn: -``]
[eqn: f(x)``]	[eqn: NEARROW ``]		[eqn: NEARROW ``]		[eqn: SEARROW ``]

ⅱ) [eqn: n``]이 짝수일 때

[eqn: x``]	[eqn: cdots]	[eqn: 0``]	[eqn: cdots]	[eqn: n``]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'`(x)``]	[eqn: -``]	[eqn: 0``]	[eqn: +``]	[eqn: 0``]	[eqn: -``]
[eqn: f(x)``]	[eqn: SEARROW ``]		[eqn: NEARROW ``]		[eqn: SEARROW ``]

∴ 참

ㄷ. [eqn: f`''`(x)=e ^{-x} `x ^{n-2} `(x ^{2} -2nx+n(n-1))``]

[eqn: f`''(0)=0``]

ⅰ)  [eqn: n``]이 홀수일 때  [eqn: x<0```` -> ``f`''(x)<0``]

[eqn: x>0`` -> ``f`''(x)>0``]

ⅱ)  [eqn: n``]이 짝수일 때  [eqn: x<0```` -> ``f` '' (x)>0``]

[eqn: x>0`` -> ``f`''(x)>0``]

[eqn: n``]이 짝수일 때 [eqn: x=0``]좌우에서 [eqn: f`''(x)``]의 부호 변화가 없다

∴ 거짓

(참고) ㄴ에서 [eqn: n``]이 짝수일 때는 [eqn: x=0``]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: (0,~0)``]에서 변곡점이 될 수 없다.

[4점][2014년 9월]

<보기>

ㄱ. [eqn: f LEFT ( {n} over {2} RIGHT ) =f` prime LEFT ( {n} over {2} RIGHT )]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=n`]에서 극댓값을 갖는다.

ㄷ. 점 [eqn: (`0`,``0`)`]은 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 변곡점이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} e ^{x} +k _{{} _{{} _{}}}&~ LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#`-x ^{2 ^{{} ^{{} ^{}}}}&~ LEFT ( x<0 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}}}]에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족하도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

①

[출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: x GEQ 0]일 때

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-2 RIGHT ) e ^{x}][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=2]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =4+k]

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: 4+k]	[eqn: SEARROW]	[eqn: k]	[eqn: NEARROW]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: 4+k]

[eqn: k]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 2]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{~`~~0 _{{} _{}}&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0 RIGHT ) _{{} _{}}#`-2f LEFT ( x RIGHT ) ^{{} ^{}}&LEFT ( `f LEFT ( x RIGHT ) <0 RIGHT ) ^{{} ^{}}}}]이므로

[eqn: k]의 값의 범위에 따라 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: k GEQ 0]일 때

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: x=0]에서 연속이고,

[eqn: lim _{x` -> `0-} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0} = lim _{x` -> 0-} {{2x ^{2}} over {x} =0}}]

[eqn: lim _{x` -> `0+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0} = lim _{x` -> `0+} {{0} over {x} =0}}]이므로

[eqn: x=0]에서 미분가능하다.

[eqn: THEREFORE]미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 0]

ⅱ) [eqn: -4<k<0]일 때

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: THEREFORE]미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 2]

ⅲ) [eqn: k=-4]일 때

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: x=0]에서 연속이고

[eqn: lim _{x` -> `0-} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0} = lim _{x` -> `0+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x-0}}} =0]

이므로 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

[eqn: THEREFORE]미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 1]

ⅳ) [eqn: k<`-4]일 때

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: THEREFORE][eqn: x=0]에서는 불연속이고,

연속이면서 미분가능하지 않은 점의 개수는 [eqn: 1]

ⅰ)～ⅳ)에 의하여 [eqn: -4<k<0]이고

정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 3]

[4점][2015년 4월]

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 모든 실수에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 미분가능하지 않은 점이 [eqn: 2]개다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f(x)=e^{x+1} left{x^{2}+left( n-2 right)x -n +3 right}+ax]

가 역함수를 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: g(n)]이라 하자.
[eqn: 1 leq g(n) leq 8]을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

④

[eqn: f(x)]가 역함수를 갖기 위해선

[eqn: f`'(x) geq 0] 또는 [eqn: f`'(x) leq0]이어야 한다.

[eqn: f(x)]를 미분하면

[eqn: f`'(x)=e^{x+1} left{x^{2}+left( n-2 right)x -n +3 right} + e^{x+1} left{2x + left( n-2 right) right} + a]

[eqn: f`'(x)=e^{x+1} left(x^{2}+ nx + 1 right) + a]이다

이때

[eqn: lim_{x-> inf}{f`'(x)= inf]이고 [eqn: lim_{x->-inf} {f`'(x)=a]이므로

[eqn: f(x)]가 역함수를 갖기 위해선

[eqn: f`'(x)geq 0]이어야 한다.

[eqn: f`''(x)]를 구하면

[eqn: f`''(x)=e^{x+1} left(x^{2}+ nx + 1 right) + e^{x+1} left(2x+ n right)]

[eqn: f`''(x)=e^{x+1} left(x^{2}+ (n+2)x + n+1 right)]

[eqn: =e^{x+1} left( x+1 right) left{x+ (n+1) right}]이므로

[eqn: f`'(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극소이며 최솟값이므로

[eqn: f`'(x)]의 그래프를 그려보면

따라서

[eqn: f`'(-1)=e^{0} left{ (-1)^{2} +n(-1)+1 right}+a=2-n+a geq0]

[eqn: therefore a geq n-2]

따라서

[eqn: therefore` g(n)=n-2]

[eqn: 1 leq g(n) leq8]

[eqn: LRARROW ~1 leq n-2 leq 8]

[eqn: LRARROW ~3 leq n leq 10]

따라서 [eqn: n=3,~4,~…,~10]이고

[eqn: therefore``sum_{k=3}^{10} k = sum_{k=1}^{10} k - sum_{k=1}^{2} k =55-3=52]

[4점][2015년 6월]

① [eqn: 43]	② [eqn: 46]	③ [eqn: 49]	④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 55]

양수 [eqn: a]와 두 실수 [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수

[eqn: f(x)= left(ax^{2}+bx+c right) e^{x}]

은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-root{3}]과 [eqn: x=root{3}]에서 극값을 갖는다.

(나) [eqn: 0 leq x_{1} < x_{2}]인 임의의 두 실수 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]에 대하여
[eqn: f(x_{2})-f(x_{1})+x_{2}-x_{1} geq0]이다.

세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 최댓값을 [eqn: {k}over{e^{3}]라 할 때, [eqn: 60k]의 값을 구하시오.

15

[eqn: f(x)=(ax^2 +bx+c)e^x``]을 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: f^`' (x)=(ax^2 +(2a+b)x+b+c)`e^x]

[eqn: f(x)``]가 [eqn: x= sqrt { 3`}``], [eqn: x= -sqrt { 3`}``]에서 극값을 가지므로

[eqn: ax^2 +(2a+b)x+b+c=0]의 근이 [eqn: x= sqrt {3 }`, `-sqrt {3 }]

근과 계수와의 관계에서 [eqn: -{ 2a+b} over {a }=0``], [eqn: { b+c} over {a }=-3``]이므로

[eqn: b=-2a``], [eqn: c=-a``]

[eqn: THEREFORE`` f^`' (x)=a(x^2 -3)`e^x], [eqn: f(x)=a(x^2 -2x-1)e^x``]

[eqn: 0 leq x_1 <x_2"]인 임의의 두 실수 [eqn: x_1`,`x_2``]에 대하여

[eqn: f(x _{1} )-f(x _{2} )+x _{2} `-x _{1} GEQ 0``]이므로 양변을 [eqn: x _{2} `-x _{1} ( > 0`)`]로

나누어 식을 정리하면 [eqn: { f(x _{1} )-f(x _{2} ) } over {x _{2} `-x _{1} } GEQ -1``]

[eqn: f(x)``]가 [eqn: x geq 0``]에서 연속이고 미분 가능하므로 평균값 정리에 의하여

[eqn: { f(x _{1} )-f(x _{2} ) } over {x _{2} `-x _{1} } =f^``'(c)``] ([eqn: 0 leq x_1 <`c`<x_2"])이다.

[eqn: THEREFORE f^``'(c) geq`-1``]

즉, [eqn: x geq 0``]에서 [eqn: f^``'(x)``]의 최솟값이 [eqn: -1``]이고

[eqn: f(x)``]의 변곡점에서 [eqn: f^``'(x)``]의 최솟값을 가지므로

[eqn: f^``''(x)=a(x^2 +2x-3)`e^x =0``]에서 [eqn: x=-3`,`1]

[eqn: x geq 0``]을 만족하는 [eqn: x`=1``]에서 [eqn: f^``'(x)``]의 최솟값을 갖는다.

[eqn: f^``'(1)=-2ae=-1``]에서 [eqn: a`= { 1} over {2e }``]  [eqn: THEREFORE a leq { 1} over {2e }]

따라서, [eqn: abc=a(-2a)(-a)=2a^3 leq2 left( { 1} over {2e } right)^3 = { { 1} over {4 } } over {e^3 }]이므로 [eqn: k= { 1} over {4 }``]

[eqn: THEREFORE 60k=15``]

[4점][2015년 9월]

[해설] 미적분2-(5)미분-(d)미분활용 수식형