수 리 영 역

여러가지미분법

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수 리 영 역

여러가지미분법

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (여러가지 미분법)

성명			수험번호

16

미분가능한 함수 [eqn: f`(x`)`]의 역함수 [eqn: g`(x`)`]가

[eqn: lim from { x` ->1 } `` {g`(x`)-2}_` over {x`-1} =`3`]

을 만족시킬 때, 미분계수 [eqn: f``'(2)`]의 값은?

③

[eqn: lim from { x` ->1 } `` {g`(x`)-2}_` over {x`-1}]가 [eqn: 3`]으로 수렴하고,

[eqn: x`->`1]일 때 분모[eqn: ->`0`]이므로 분자[eqn: ->`0`]이다.

즉, [eqn: lim from x->1 g`(x`)`=`2]

[eqn: THEREFORE ~g`(`1`)`=`2,~g`^-1 (2`)`=`f`(2`)`=`1]

[eqn: lim from { x` ->1 } `` {g`(x`)-2}_` over {x`-1}`=` lim from { x` ->1 } `` {g`(x`)-g`(1`)}_` over {x`-1}`=`g``'`(1`)`=`3`]

[eqn: f`(x`)]의 역함수가 [eqn: g`(x`)]이므로 [eqn: g`(f`(x`)`)`=`x`]

양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: g``'`(f`(x`)`)cdot f``'`(x`)`=`1`]

[eqn: x`=`2`]를 대입하면 [eqn: g``'`(f`(2`)`)cdot f``'`(2`)`=`1`]

[eqn: g``'`(1`)cdot f``'`(2`)`=`1`], [eqn: 3`f``'`(2`)`=`1`]  [eqn: THEREFORE ~`f``'`(2`)`=`1over3]

[2점][2004년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: "`1`"over"`2`"]	③ [eqn: "`1`"over"`3`"]

④ [eqn: "`1`"over"`4`"]	⑤ [eqn: "`1`"over"`6`"]

양수 [eqn: a``]에 대하여 폐구간 [eqn: [-a,```a]]에서 함수

[eqn: f`(x`)= { x-5_` }over{(x-5)^2 +36}`]

의 최대값을 [eqn: M], 최소값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m=0]이 되도록 하는 [eqn: a]의 최소값을 구하시오.

[eqn: 11]

폐구간 [eqn: [-a,```a]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= x-5 over {(x-5)^2 +36}]에서 [eqn: x-5=t]로 놓으면 구하는 함수의 최대값과 최소값은 폐구간 [eqn: [-a-5,```a-5]]에서 정의된 함수 [eqn: f(t)= t over {t^2 +36}]의 최대값과 최소값과 같다.

이제 함수 [eqn: f(t)= t over {t^2 +36}]의 그래프의 개형을 그려보자.

i) [eqn: lim _{t -> INF } {} f(t)= lim _{t -> - INF } {} f(t)=0]이므로 함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프의 점근선은 [eqn: x]축이다.

ii) [eqn: t>0]일 때 [eqn: f(t)>0]이고, [eqn: t<0]일 때 [eqn: f(t)<0]이다.

iii) [eqn: f(-t)=-f(t)]이므로

[eqn: y=f(t)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

iv) [eqn: f`'(t)= {1(t^2 +36) - t ․2t } over {(t^2 +36)^2} = {36- t^2} over {(t^2 +36)^2}][eqn: =0]에서

[eqn: t=6] 또는 [eqn: t=-6]이고 [eqn: f`'(t)]의 분모는 항상 [eqn: 0`]보다 크므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: t=-6]에서 극소이고 [eqn: t=6]에서 극대이다.

따라서 함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t]

6

[eqn: y]

-6

O

[eqn: 1over12]

[eqn: - 1over12]

[eqn: y=f(t)]

[eqn: -a-5]

[eqn: a-5]

[eqn: -5]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: t]

이 때, 폐구간 [eqn: [-a-5,```a-5]]은 [eqn: t=-5]에 대하여 대칭인 구간이므로 함수 [eqn: y=f(t)]의  최대값 [eqn: M]과 최소값 [eqn: m]에 대하여

[eqn: M+m=0] 즉, [eqn: m=-M]을 만족하려면

폐구간 [eqn: [-a-5,```a-5]]은 [eqn: t=-6]과 [eqn: t=6]을 모두 포함해야 한다.

[eqn: THEREFORE ```-a-5 LEQ -6]이고 [eqn: a-5 GEQ 6]

[eqn: THEREFORE ```a GEQ 1]이고 [eqn: a GEQ 11]

[eqn: THEREFORE ```a GEQ 11]

따라서 구하는 [eqn: a]의 최소값은 [eqn: 11]이다.

[4점][2006년 수능]

함수 [eqn: f`(x) = x+sinx`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를	[eqn: g(x)=(f circf``)(x)]로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)`=`x+sinx]에서 [eqn: f` prime`(x)`=`1`+`cosx`], [eqn: f` prime` prime (x)`=`-`sinx`]

[eqn: 0``＜x``＜pi]에서   [eqn: 0``＜ `sinx``＜1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: -1`＜```f` prime` prime (x)`＜```0`]

따라서, [eqn: f(x)]는 [eqn: 0＜x＜ pi]에서 위로 볼록하다.  (참)

ㄴ. [eqn: g`prime (x)`=`f` prime`(`f(x)`)`f` prime`(x)][eqn: =(1+cosf(x))`(1+cosx)]

[eqn: 0``＜x``＜pi]에서 [eqn: -1`＜ cosx`＜1], [eqn: cosf(x)``＞``0`]이므로

[eqn: 1+`cosf(x)`＞0`,``````1+`cosx ``＞`0`]

[eqn: THEREFORE]  [eqn: g`` prime(x)``＞``0]

따라서, [eqn: g(x)]는 [eqn: 0``＜x``＜pi]에서 증가한다. (참)

ㄷ. [eqn: g(0)`=`f(f(0))=f(0)`=`0]

[eqn: g(pi)`=f(f(pi))=f(pi)=pi]

[eqn: g(x)]가 [eqn: [0,``` pi ]]에서 연속이고,

[eqn: (0,``` pi )]에서 미분가능하므로

[eqn: f` prime`(`x`)`=`{g(pi)-g(0)} over {pi-0}`=`1]인 [eqn: x][eqn: (`0``＜``x``＜``pi`)]가

적어도 하나 존재한다. (평균값 정리)  (참)

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

[3점][2008년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 함수 [eqn: f`(x)]의 그래프는 개구간 [eqn: (0,``` pi )]에서 위로 볼록하다. ㄴ. 함수 [eqn: g(x)]는 개구간 [eqn: (0,``` pi )]에서 증가한다. ㄷ. [eqn: g'(x)=1]인 실수 [eqn: x`]가 개구간 [eqn: (0,``` pi )]에 존재한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: 0 < t< 41]인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^3 + 2x^2 - 15x +5`]와 직선 [eqn: y=t`]가 만나는 세 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 가장 큰 점의 좌표를 [eqn: (f(t),``t)`], [eqn: x`]좌표가 가장 작은 점의 좌표를 [eqn: (g(t),``t)`]라 하자. [eqn: h(t)=t times left{ f(t)-g(t) right}`]라 할 때, [eqn: h`prime(5)`]의 값은?

④

[출제의도] 역함수의 미분법을 활용할 수 있는가?

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =t TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) -g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT }]이므로

[eqn: h prime LEFT ( t RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) -g LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } +t TIMES LEFT { f` prime (t)-g prime (t) RIGHT }]

그러므로

[eqn: h prime LEFT ( 5 RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( 5 RIGHT ) -g LEFT ( 5 RIGHT ) RIGHT } +5 LEFT { f` prime (5)-g prime (5) RIGHT }]	[eqn: ······] ㉠

한편, [eqn: y=x ^{3} +2x ^{2} -15x+5]와 직선 [eqn: y=5]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는

[eqn: x ^{3} +2x ^{2} -15x+5=5]

[eqn: x LEFT ( x ^{2} +2x-15 RIGHT ) =0]

[eqn: x LEFT ( x+5 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~x= it -5] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=3]

그러므로

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =3,~g LEFT ( 5 RIGHT ) = it -5]	[eqn: ······] ㉡

한편, [eqn: y'=3x ^{2} +4x-15]에서

[eqn: f`'(5)= {1} over {3 CDOT 3 ^{2} +4 CDOT 3-15} = {1} over {24}]

[eqn: g'(5)= {1} over {3 CDOT LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2} +4 CDOT LEFT ( -5 RIGHT ) -15} = {1} over {40}]	[eqn: ······] ㉢

㉡과 ㉢을 ㉠에 대입하면

[eqn: h' LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: = LEFT { 3- LEFT ( -5 RIGHT ) RIGHT } +5 LEFT ( {1} over {24} - {1} over {40} RIGHT )]
[eqn: =8+ {1} over {12}]
[eqn: = {97} over {12}]

[4점][2016년 수능]

① [eqn: 79 over 12]	② [eqn: 85 over 12]	③ [eqn: 91 over 12]
④ [eqn: 97 over 12]	⑤ [eqn: 103 over 12]

함수 [eqn: f``(x`)= x -[x`]`]와 [eqn: \{`x```|``1``≦`x``≦`4` \}]에서 정의된
세 함수 [eqn: g _1 (x`) =x], [eqn: g _2 (x`)=x^2], [eqn: g_3 (x`)=log(1+x^2 `)]이 있다.
합성함수 [eqn: y`=f``(g_i `(x`))][eqn: (i`=1,``2,``3)]의 불연속점의 개수를 [eqn: a _i `]라
할 때, [eqn: a _1], [eqn: a _2], [eqn: a _3`]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?
(단, [eqn: [x]]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

⑤

(ⅰ) [eqn: y=f(g_1 (x))=x-[x]~(1≦x≦4)]의 그래프는 다음과 같다.

불연속점은 [eqn: x=2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 [eqn: 3]개이므로 [eqn: a_1 =3]

(ⅱ) [eqn: y=f(g_2 (x))=x^2 - [x^2 ]~(1≦x≦4)]

[eqn: 1≦x^2 ＜2], 즉 [eqn: 1≦x＜ root2]일 때 [eqn: y=x^2 -1]

[eqn: 2≦x^2 ＜3], 즉 [eqn: root 2 ≦x＜ root3]일 때 [eqn: y=x^2 -2]

[eqn: 3≦x^2 ＜4], 즉 [eqn: root 3 ≦x＜ 2]일 때 [eqn: y=x^2 -3]

⋮

[eqn: 15≦x^2 <16], 즉 [eqn: root 15 ≦x< 4]일 때 [eqn: y=x^2 -15]

[eqn: x^2 =16], 즉 [eqn: x=4]일 때 [eqn: y=16-16=0]

따라서, 그래프는 다음 그림과 같다.

불연속점은 [eqn: x= root2], [eqn: root 3], …, [eqn: root 16]의 [eqn: 15]개이므로

[eqn: a_2 =15]

(ⅲ) [eqn: y=f(g_3 (x))]

[eqn: =log(x^2 +1)- [log(x^2 +1)]~(1≦x≦4)]

[eqn: 0≦log(x^2 +1)＜1]에서 [eqn: 0≦x^2 ＜9]이므로

[eqn: 1≦x＜3]일 때 [eqn: y=log(x^2 +1)]

[eqn: 1≦log(x^2 +1)＜2]에서 [eqn: 9≦x^2 ＜99]이므로

[eqn: 3≦x≦4]일 때 [eqn: y=log(x^2 +1)-1=log {x^2 +1} over 10]

따라서, 그래프는 다음 그림과 같다.

불연속점은 [eqn: x=3]의 [eqn: 1]개이므로 [eqn: a_3 =1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: a_3 < a_1 < a_2]

[4점][2005년 6월]

① [eqn: a _1 `＜`a _2 `＜`a _3]	② [eqn: a _1 `＜`a _3 `＜`a _2]

③ [eqn: a _2 `＜`a _1 `＜`a _3]	④ [eqn: a _3 `＜`a _2 `＜`a _1]

⑤ [eqn: a _3 `＜`a _1 `＜`a _2]

함수 [eqn: f`(x)= ln `(e`^x -1)`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: 1over{f`'(a)} + 1over {g`'(a)}]의 값은?

①

[eqn: f`` prime (x)= {e^x} over {e^x -1}]            [eqn: cdots cdots][eqn: cdots cdots][eqn: cdots cdots][eqn: cdots cdots][eqn: cdots cdots](ⅰ)

[eqn: y=g(x)] 에서, [eqn: x=f(y)=ln(e^y -1)] [eqn: therefore e^y -1 = e^x]

[eqn: g`` prime (x)= 1 over {f ``prime (y) }={e^y -1} over e^y = e^x over {e^x +1}]    [eqn: cdots cdots][eqn: cdots cdots][eqn: cdots cdots](ⅱ)

(ⅰ), (ⅱ) 에 의해

[eqn: 1 over f'(a) + 1 over g'(a) = {e^a -1} over e^a + {e^a +1} over e^a =2]

[3점][2009년 9월]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: 6``]	④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 10``]

함수 [eqn: f(x)= {x- {1} over {2}} over {(x ^{2} -2x+2) ^{2}} `]에 대한 설명으로 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: f`{prime}(x)= {-x(3x-4)} over {(x ^{2} -2x+2) ^{3}} ``], [eqn: f`{prime}(1)=1``]

접선의 방정식은 [eqn: y=x- {1} over {2} ``]이므로

[eqn: THEREFORE] 접선과 원점 사이의 거리는 [eqn: {sqrt {2}} over {4}] [eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: x=0``]에서 최솟값 [eqn: - {1} over {8} ``]을 갖는다.  [eqn: THEREFORE `````]참

ㄷ. 함수 [eqn: f`(x)``]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: y=f`(x)]

[eqn: f`(x)-f`(10)=0``]의 근은 [eqn: 2``]개다.  [eqn: THEREFORE `````]참

[[eqn: 4`]점][2010년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: left( 1`,```1 over 2 right) `]에서의 접선과 원점 사이의 거리는 [eqn: sqrt2 over {4} `]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x) `]의 최솟값은 [eqn: - 1 over {8}`]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f(x) - f(10) = 0 `]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2`]개이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(`x`)`=`(`x-1`)`e ^{x}] [eqn: (`x>0)`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(`x`)`] 위의 점 [eqn: left(`e ^{2} ,```2` right)``]에서의 접선의 기울기는?

①

[eqn: f `prime (x)=e ^{x} +(x-1)e ^{x} =xe ^{x}]

[eqn: g` prime `(x)= {`1} over {f` prime LEFT ( y RIGHT )}]이므로

[eqn: g'(e ^{2} )= {1} over {f'(2)} = {1} over {2e ^{2}}]

[3점][2011년 3월]

① [eqn: 1 over 2e^ 2]	② [eqn: 1 over 2e]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 2e^2]

함수 [eqn: f(x) = (x+1)^{3over2}]과 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x)= (g CIRCf)(x)]라 하자. [eqn: h prime (0) =15]일 때, [eqn: g prime (1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: h'(x)=g'(f(x))f'(x)]이므로

[eqn: h'(0)=g'(f(0))f'(0)] [eqn: =g'(1)f'(0)]

[eqn: f'(x)= {3} over {2} (x+1) ^{{1} over {2}}]이므로 [eqn: f'(0)=1]

[eqn: 15=g'(1) TIMES {3} over {2}]에서  [eqn: g'(1)=10]

[4점][2011년 6월]

[eqn: - {pi} over {4} <x< {pi} over {4} `]에서 정의된 함수 [eqn: f`(x)=sin2x``]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, [eqn: g prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은?

①

[eqn: f(x)=sin`2x]이므로 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: g(x)]는

[eqn: x=sin`2y]

[eqn: {dx} over {dy} =2`cos2y], [eqn: {dx} over {dy} =2 sqrt {1-x ^{2}}]

[eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) = {dy} over {dx} = {1} over {2 sqrt {1-x ^{2}}}]

따라서 [eqn: g` prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {sqrt {3}} over {3}]

[3점][2011년 7월]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

삼차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x=0]이 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha ,`` beta ,`` gamma]를 갖는다.

(나) [eqn: x=3]일 때 극값 [eqn: 7]을 갖는다.

(다) [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =5]

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x]로 나눈 몫을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )], 나머지를 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: alpha ,``beta ,``gamma`]는 방정식 [eqn: f(x) = x`]의 근이므로

[eqn: f(alpha ) = alpha`], [eqn: f ( beta ) = beta], [eqn: f( gamma ) = gamma`]

∴ [eqn: f(f(alpha)) = f(alpha)= alpha`]

[eqn: f(f(beta ) ) = f(beta )= beta`]

[eqn: f(f( gamma)) = f(gamma ) = gamma`]

따라서, [eqn: alpha ,`beta ,` gamma`]는 방정식 [eqn: f(f(x)) = x`]의 근이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x) - x`]가 삼차식이므로

[eqn: h(x) = px^2 + qx+r`]로 놓을 수 있다.

∴ [eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x` right}` g(x) + h(x)`]

[eqn: = left{ f(x) - x `right} `g(x) + px^2 + qx+r`]

[eqn: f(f(alpha )) = p alpha^2 + q alpha + r = alpha`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: f(f(beta )) = p beta^2 + q beta + r = beta``] [eqn: cdots㉡]

[eqn: f(f( gamma )) = p gamma^2 + q gamma + r = gamma`] [eqn: cdots㉢]

㉠-㉡에서 [eqn: p (alpha^2 - beta^2 ) + q (alpha - beta ) = alpha - beta`]

[eqn: alpha ne beta`]이므로 [eqn: p (alpha + beta ) + q = 1`] [eqn: cdots㉣`]

㉡-㉢에서 [eqn: p (beta^2 - gamma^2 ) + q ( beta - gamma ) = beta - gamma`]

[eqn: beta ne gamma`]이므로 [eqn: p ( beta + gamma ) + q = 1`] [eqn: cdots㉤`]

㉣-㉤에서 [eqn: p (alpha - gamma ) =0`]

[eqn: alpha ne gamma`]이므로 [eqn: p=0`]

㉣에서 [eqn: q = 1`]

㉠에서 [eqn: alpha + r = alpha`]이므로 [eqn: r=0`]

∴ [eqn: h(x) = x`] (참)

ㄷ. [eqn: f(f(x)) = left{ f(x) - x right} `g(x) + x`] [eqn: cdots(*)`]

조건(나),(다)에서

[eqn: f(3) = 7`], [eqn: f(f(3)) = 5`]이므로

[eqn: f(f(3)) = left{ f(3) - 3 right}` g(3) + 3`]에서

[eqn: 5 = (7-3) g(3) + 3`] ∴ [eqn: g(3) = 1over2`]

[eqn: (*)`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(f(x))` f`'(x) `] [eqn: = left{ f`'(x) - 1`right} `g(x) + left{ f(x) - x `right} `g`'(x) +1`]

[eqn: x=3`]을 대입하면

[eqn: f`'(f(3)) `f`'(3) `][eqn: = left{ f`'(3) -1 `right}` g(3) + left{ f(3) - 3 `right}` g`'(3) +1`]

조건(나)에서 [eqn: f`'(3) = 0`]이므로

[eqn: 0` = (0-1 ) times 1over2 + (7-3) `g`'(3) +1`]

[eqn: 4 `g'(3) = - 1over2`]

∴ [eqn: g`'(3) = - 1over8`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: alpha ,`` beta ,`` gamma]는 방정식 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) -x=0]의 근이다. ㄴ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =x] ㄷ. [eqn: g`' LEFT ( 3 RIGHT ) =1]

[4점][2011년 9월]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

[eqn: f`(`x`)=x^3 -3x^2 +15`], [eqn: g`(`x`)= sin`x +root3 ` cos` x `]

에 대하여 합성함수 [eqn: (` f circ g `)(`x`)]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: g(x)=][eqn: 2sin LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT ) =t]라 하면 [eqn: -2 LEQ t LEQ 2]이다.

[eqn: ( f circ g )(x) =f(t) = t^3 - 3t^ 2 +15]에서

[eqn: f` prime (t)=`3t`(t-2)]이므로 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=0]에서 극대이다.

따라서 [eqn: f(0)=15], [eqn: f(-2) = -5], [eqn: f(2)=11]이므로 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: f(0)`+][eqn: f(-2)`=`][eqn: 10]이다.

[4점][2011년 10월]

열린 구간 [eqn: LEFT ( `0`,``` {pi } over {2} ` RIGHT )]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f`(`x)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f` prime (``x)`=1`+` it LEFT { `f(`x) RIGHT } ` ^{2}]

(나) [eqn: f` LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) `=`1]

함수 [eqn: g(`x)=`ln `f` prime (`x)]에 대하여 [eqn: g` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) `]의 값은?

③

[eqn: g`(`x`)=`ln `f`` prime (x)`]

[eqn: =`ln` LEFT ( 1+ LEFT { f`(x) RIGHT } ^{2} right) RIGHT .]에서

[eqn: g` prime(x)`=`{2f`(x)`f` prime(x)} over{1+left{f`(x)right}^2}]

[eqn: =`{2f`(x)`[1+left{f`(x)right}^2 ]} over{1+left{f`(x)right}^2}]

[eqn: =`2f`(x)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g`` prime ` LEFT ( {pi } over {4} ` RIGHT ) `=`2`f` LEFT ( ` {pi } over {4} ` RIGHT ) `=2` CDOT `1`=`2`]

[다른풀이]

[eqn: g`(`x`)=`ln `f`` prime (x)`]이므로

[eqn: g` prime (`x)=` {f`` '' `(`x)} over {f`` prime (`x)} ``=` {2`f`(x)``f` prime (x)} over {`f`` prime (x)} ``=`2`f`(`x`)`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: g`` prime ` LEFT ( {pi } over {4} ` RIGHT ) `=`2`f` LEFT ( ` {pi } over {4} ` RIGHT ) `=2` CDOT `1`=`2`]

[3점][2012년 3월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: {3} over {2} `]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2} `]	⑤ [eqn: 3`]

열린 구간 [eqn: (0,```5)``]에서 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)``]의 그래프가 그림과 같다. 합성함수 [eqn: h(x)=(f circ g)(x)``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. (거짓) [eqn: h(3)=f circ g(3)=f(1)=5]
ㄴ. (참) [eqn: h'(2)=f`'(g(2)) cdot g`'(2)=f`'(a) cdot g`'(2)]
[eqn: 2<a<3``]에서 [eqn: f(x)``]는 감소하고 있으나 변곡점이
존재하고 있으므로 [eqn: f`'(a)<=0``]이고
[eqn: g`'(2)<0``]이므로 [eqn: h`'(2)>=0]
ㄷ. (참) [eqn: h`'(x)=f`'(g(x)) cdot g`'(x)]
[eqn: 3<x<4``]에서 [eqn: f`'(g(x))=f`'(b)]
[eqn: 0<b<1``]에서 [eqn: f`'(b)>0``]이므로 [eqn: f`'(g(x))>0]
[eqn: 3<x<4``]에서 [eqn: g`'(x)<0``]    [eqn: therefore```][eqn: h`'(x)<0``]
따라서 참인 것은 ㄴ, ㄷ 이다.

[4점][2012년 5월]

	<보기>
ㄱ. [eqn: h(3)=4] ㄴ. [eqn: h`'(2)>=0] ㄷ. 함수 [eqn: h(x)``]는 구간 [eqn: (3,```4)``]에서 감소한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} +4x+5]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`n LEFT { g LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( 1- {2} over {n} RIGHT ) RIGHT } `}]
의 값을 [eqn: p]라 할 때, [eqn: 4p]의 값을 구하시오.

3

[eqn: {1} over {n} =h]라 하면, [eqn: n` -> ` INF]일 때, [eqn: h` -> `0]이다.

(준식)[eqn: = lim _{h` -> `0} {{LEFT { g LEFT ( 1+h RIGHT ) -g(1) RIGHT } - LEFT { g LEFT ( 1-2h RIGHT ) -g(1) RIGHT }} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {{g LEFT ( 1+h RIGHT ) -g(1)} over {h} +2 lim _{h` -> `0} {{g LEFT ( 1-2h RIGHT ) -g(1)} over {-2h}}}]

[eqn: =g` prime (1)+2`g` prime (1)=3g` prime (1)]

[eqn: g(1)=f ^{`-1} (1)=a]라 하면 [eqn: f(a)=1]이므로

[eqn: f(a)=a ^{3} +3a ^{2} +4a+5=1]에서 [eqn: a=`-2]이다.

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} + 6x +4]에서 [eqn: f` prime (-2)=4]이고
[eqn: g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x]에서 [eqn: g` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( x RIGHT )}]이므로

[eqn: 3g` prime (1)=3 TIMES {1} over {f` prime (-2)} ={3} over {4}]이다.

따라서 [eqn: 4p=3]

[4점][2012년 4월]

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f(x)``]가 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)``]위의 점 [eqn: (2,```1)``]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 1``]이다. 함수 [eqn: f(2x)``]의 역함수를 [eqn: g(x)``]라 할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)``]위의 점 [eqn: (1,```a)``]에서의 접선의 기울기는 [eqn: b``]이다. [eqn: 10(a+b)``]의 값을 구하시오.

[eqn: 15]

주어진 조건에서 [eqn: f(2)=1], [eqn: f`'(2)=1]
[eqn: y=f(2x)``]의 역함수는
[eqn: x=f(2y)], [eqn: 2y=f^-1 (x)], [eqn: y= 1 over 2 f`^-1 (x)=g(x)]
[eqn: g(1)= 1 over 2 f^-1 (1) = 1 over2 cdot 2 =1 =a]
[eqn: g`'(1)= 1 over 2 cdot 1 over {f`'(2)} = 1 over 2 =b]
[eqn: therefore```10(a+b)=15]

[4점][2012년 6월]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

①

조건 (나)에서 [eqn: x->3]일 때, (분모)[eqn: ->0]이므로 (분자)[eqn: ->0] 이어야 한다.

[eqn: lim _{ x->3 } left{ f(x)-g(x) right} = 0]

[eqn: therefore] [eqn: f(3)=g(3)]

또한, [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 서로 역함수의 관계이므로

[eqn: f(3)=g(3) =3]…㉠

[eqn: lim _{ x->3 } {f(x)-g(x) } over {(x-3)g(x)}]

[eqn: = lim _{ x->3 } {f(x)-f(3)-g(x)+g(3) } over {(x-3)g(x)}]

[eqn: = lim _{ x->3 } left{ f(x)-f(3) over x-3 times 1 over g(x) - g(x)-g(3) over x-3][eqn: times 1 over g(x) right}]

[eqn: = f``'(3) times 1 over g(3) - g``'(3) times 1 over g(3)]

[eqn: = 1 over 3 left{ f``'(3)- g``'(3) right} = 8 over 9]

이때, [eqn: g``'(3) = 1 over {f``'(g(3))} = 1 over {f``'(3)]이므로

[eqn: 1 over 3 left{ f``'(3) - 1 over {f``'(3)} right} = 8 over 9]

[eqn: 3 LEFT { f` prime (3) RIGHT } ^{2} -8f`'(3)-3=0]

[eqn: left{3f``'(3)+1 right}left{ f``'(3)-3 right}=0]

[eqn: therefore] [eqn: f``'(3) = - 1 over 3] 또는 [eqn: f``'(3) = 3]

그런데, [eqn: f(x)]의 삼차항의 계수는 양수이고 역함수가 존재해야 하므로  [eqn: f``'(x) ge 0] 이다.

[eqn: therefore] [eqn: f``'(3) = 3]…㉡

㉠에 의하여

[eqn: f(x)-3 = (x-3)(x^2 +ax+b)]

라 하고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f``'(x)= x^2 +ax+b+(x-3)(2x+a)]…㉢

㉡에 의하여

[eqn: f``'(3)= 9+3a+b = 3]

[eqn: therefore] [eqn: 3a+b = -6]…㉣

㉢의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`''(x) = 2x+a+(2x+a)+2(x-3)]

[eqn: = 6x+2a-6]

이때, 변곡점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 6x+2a-6=0] 에서

[eqn: x= 3-a over 3]

그런데, [eqn: f``'(3) = 3] 에서

[eqn: g``'(3) = 1 over {f``'(3)} = 1 over 3]

이므로 조건 (가)에 의하여 [eqn: f(x)]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는 3이 되어야 한다. 즉,

[eqn: 3-a over 3 = 3]

[eqn: therefore] [eqn: a= -6]

㉣에 대입하면 [eqn: b=12] 이므로

[eqn: f(x)-3 = (x-3)(x^2 +ax+b)]

[eqn: = (x-3) (x^2 -6x+12)]

[eqn: therefore] [eqn: f(1) = -2 times 7 +3 = -11]

(가) [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고
[eqn: g`prime(x) LEQ { 1} over {3 }]이다.

(나) [eqn: lim _{ x->3} { f(x)-g(x)} over { (x-3)g(x)}= { 8} over { 9}]

[eqn: f(1)]의 값은?

[4점][2012년 9월]

① [eqn: -11]	② [eqn: -9]	③ [eqn: -7]	④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -3]

미분가능한 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: (2,```f(2))]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2`]이다. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: y=f `left( root x right)]의 [eqn: x=4`]에서의 미분계수는?

①

[출제의도] 합성함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구한다.

주어진 조건에서 [eqn: f`'(2) = 2]이다.

[eqn: g(x)= f( root x )]라 하면

[eqn: g`'(x) = f`'(root x ) cdot 1 over {2rootx }]

따라서 구하는 미분계수는

[eqn: g`'(4 )=][eqn: f`'(root 4 ) cdot 1 over {2root4 }] [eqn: `=f`'(2) cdot 1 over {4 }][eqn: ``= 2cdot 1over 4] [eqn: = 1over 2]

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 1over 2]	② [eqn: root2 over 2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: root2]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)=ln``(tan``x)`````left(0<x< pi over 2 right)``]의 역함수 [eqn: g(x)``]에 대하여 [eqn: lim_h->0 {4g(8h) -pi } over h ``]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

[eqn: y=ln (tanx)]이면 역함수 [eqn: g(x)]와 관련하여 [eqn: x=ln(tany)]

∴[eqn: tan(g(x))=e ^{ x}], [eqn: g(0)= {pi } over {4}]

[eqn: 4g(8h)- pi =4 LEFT { g(8h)-g(0) RIGHT }]이므로

[eqn: lim _{h -> 0} {{4 LEFT { g(8h)-g(0) RIGHT }} over {h}} = lim _{h -> 0} {{32 LEFT { g(8h)-g(0) RIGHT }} over {8h} =32 TIMES g prime (0)}]

[eqn: sec ^{2} (g(x))g prime (x)=e ^{x}]   ∴[eqn: sec ^{2} (g(0))g prime (0)=1]   ∴[eqn: g prime (0)= {1} over {2}]

∴ 16

[4점][2013년 9월]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {lnx ^{2}} over {x}]의 극댓값을 [eqn: alpha]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `- {alpha } over {n} x=0]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값을 구하시오.

34

[출제의도] 함수의 그래프의 개형으로 문제해결하기

[eqn: f(x)= {ln`x ^{2}} over {x}]에 대하여

ⅰ) [eqn: x>0]일 때

[eqn: f(x)= {2ln`x} over {x}],  [eqn: f`'(x)`=` {2-2lnx} over {x ^{2}}]

[eqn: x=e``]에서 [eqn: f` prime (x)=0``]이고

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: e]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	[eqn: {2} over {e}]	[eqn: SEARROW]

[eqn: THEREFORE] 극댓값 [eqn: alpha= {2} over {e}]

ⅱ) [eqn: x != 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) =`-f LEFT ( x RIGHT )]가 성립하므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 원점에  대하여 대칭이다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: {2} over {e}]

[eqn: - {2} over {e}]

[eqn: e]

[eqn: -e]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: y= {2} over {en} x]는 원점을 지나는 직선이고 원점에서
곡선 [eqn: y= {2lnx} over {x}]에 그은 접선의 접점을 [eqn: (t,``f(t))`]라 하면 접선의 방정식은
[eqn: y= {2-2`ln`t} over {t ^{2}} (x-t)+ {2`ln`t} over {t} `]이고 [eqn: LEFT ( 0,``0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 0= {2-2`ln`t} over {t ^{2}} (0-t)+ {2`ln`t} over {t} `]

[eqn: THEREFORE `] [eqn: t= sqrt {e}]

[eqn: THEREFORE `] 접점은 [eqn: left(` sqrt {e} ,`` {1} over {sqrt {e}} right)]이고 접선의 방정식은 [eqn: y= {1} over {e} `x`]

[eqn: n=1]일 때, 직선 [eqn: y= {2} over {e} x`]와 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{1} =0]

[eqn: n=2]일 때, 직선 [eqn: y= {1} over {e} x`]와 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{2} =2]

[eqn: 3 LEQ n LEQ 10]일 때, 직선 [eqn: y= {2} over {en} x`]와 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n} =4]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} `a _{n} `=0+2+4times8=34]

[4점][2014년 4월]

[eqn: 0` LEQ x LEQ ` {pi } over {2} `]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2sinx+1`]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. [eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값은?

③

[출제의도] 역함수의 미분법 이해하기

[eqn: f(x)`]의 역함수가 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]이므로 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x`]

[eqn: g(2)=theta`]라 하면 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) =2`]

[eqn: f(theta)=2sintheta+1=2`]에서 [eqn: theta = {pi } over {6} `], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) = {pi} over {6} `]

따라서

[eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT ) `][eqn: = {1} over {f`` prime ` LEFT ( g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )} =][eqn: {1} over {f`'` LEFT ( {pi} over {6} RIGHT )} = {1} over {2cos {pi} over {6}} = {sqrt {3}} over {3} `]

[3점][2014년 7월]

① [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]
④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

함수 [eqn: f(x)`=`x ^{3} +2x+1]에 대하여 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: 24g`'(1)]의 값을 구하시오.

12

[출제의도] 역함수의 미분법 이해하기

[eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: g(1)=0]

[eqn: f` prime `(x)`=3x ^{2} +2]에서 [eqn: f` prime `(0)`=2]이므로

[eqn: g` prime `(1)`=` {1} over {f` prime `(0)} `= {1} over {2}]

따라서 [eqn: 24g` prime `(1)`=12]

[3점][2015년 7월]

[해설] 미적분2-(5)미분-(c)여러가지 미분법