수 리 영 역

삼각함수 미분

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수 리 영 역

삼각함수 미분

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (삼각함수 미분)

성명			수험번호

16

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: \P]는 점 [eqn: rmA(1,``0)]에서 출발하여 원 둘레를 따라 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: { pi_`} over {2 `}]의 일정한 속력으로 움직이고 있다. 점 [eqn: \Q]는 점 [eqn: \A]에서 출발하여 점 [eqn: \B(-1,`` 0)]을 향하여 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 [eqn: x`]축 위를 움직이고 있다. 점 [eqn: \P]와 점 [eqn: \Q]가 동시에 점 [eqn: \A]에서 출발하여 [eqn: t`]초가 되는 순간, 선분 [eqn: \PQ], 선분 [eqn: \QA], 호 [eqn: \AP]로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S`]라 하자. 출발한 지 [eqn: 1]초가 되는 순간, 넓이 [eqn: S`]의 시간(초)에 대한 변화율은?

④

어두운 부분의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하면

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ t LEQ 1]일 때

(호 [eqn: rmAP]의 길이)[eqn: = pi over 2 t], [eqn: {rm ANGLEAOP`}=`pi over 2`t], [eqn: {rmbarOQ}`=`1-t]

이므로 [eqn: S(t)`=`piover 4 t`- 1over 2`(1-t)`sin pi over 2 t]

[eqn: lim _{h -> -0} {} {S(1+h)-S(1)} over {h}]

[eqn: =` lim _{h -> -0} {} {{pi } over {4} (1+h)+ {1} over {2} `h``cos {pi } over {2} h- {pi } over {4}} over {h}]

[eqn: `=`lim _{ h->-0} { ( pi over 4 + 1OVER 2` cos pi over 2 ) }][eqn: `=` pi over 4`+`1 over 2]

(ⅱ) [eqn: 1＜t LEQ 2]일 때

(호 [eqn: rmAP]의길이)[eqn: = pi over 2 t], [eqn: {rm ANGLEAOP`}=`pi over 2`t], [eqn: {rmbarOQ}`=`t-1]

이므로 [eqn: S(t)`=` {pi } over {4} t`+ {1} over {2} `(t-1)`sin {pi } over {2} t]

[eqn: lim _{h -> +0} {} {S(1+h)-S(1)} over {h}]

[eqn: `=` lim _{h -> +0} {} {{pi } over {4} (1+h)+ {1} over {2} `h``cos {pi } over {2} h- {pi } over {4}} over {h}]

[eqn: `=`lim _{ h->-0} { ( pi over 4 + 1OVER 2` cos pi over 2 ) }][eqn: `=` pi over 4`+`1 over 2]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: S` prime (`1`)`=` pi over 4`+``1 over 2]

[4점][2008년 수능]

① [eqn: {pi } over {4} -1]	② [eqn: {pi } over {4}]	③ [eqn: {pi } over {4} + {1} over {3}]

④ [eqn: {pi } over {4} + {1} over {2}]	⑤ [eqn: {pi } over {4} +1]

정의역이 [eqn: left{`x``|``0le x le pi`right}``]인 함수 [eqn: f(x)=2x`cos``x``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: f(x)=2x cos x]에서 [eqn: f`prime(x)=2cosx -2x` sinx]
[eqn: f`prime(a)=2`cos`a-2a sin`a=0]
[eqn: therefore```tan`a={sin`a}over {cos`a} ={sin`a}over{a`sin`a} = 1over a] (참)

ㄴ. [eqn: f`prime(x)=2cos`x(1-x`tan`x)=0]에서
[eqn: cos`x=0] 또는 [eqn: tan`x= 1over x]
[eqn: tan`x = 1over x]의 근을 [eqn: a]라 하면 [eqn: 0<a< pi over 2]
증감표를 그려보면

	[eqn: 0]		[eqn: a]		[eqn: pi over 2]		[eqn: pi]
[eqn: f`prime (x)]	[eqn: 2]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -2]
[eqn: f(x)]	[eqn: 0]	↗	[eqn: 2a cos`a]	↘	[eqn: 0]	↘	[eqn: -2pi]

[eqn: therefore```f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극댓값을 가진다.
구간 [eqn: left(0,``` pi over 2right)]에서 [eqn: y= 1over x]은 감소함수,
[eqn: y= tan`x]는 증가함수이므로
[eqn: g(x)=tan`x - 1over x]은 증가함수 [eqn: g left( pi over 4 right) =1- 4over pi <0],
[eqn: g left( pi over 3 right) = sqrt3 - 3over pi >0]이므로
중간값 정리에 의해 [eqn: pi over 4 < a < pi over 3] (참)

ㄷ. [eqn: f left( pi over3 right) = 2over3 pi cdot 1over2 >1]이므로 [eqn: f(a)>1]
[eqn: therefore] 구간 [eqn: left[0,``` pi over2 right]]에서 [eqn: f(x)=1]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`'(a)=0``]이면 [eqn: tan``a = 1 over a ``]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: x=a``]에서 극댓값을 가지는 [eqn: a``]가 구간 [eqn: left( pi over 4 ,```pi over 3 right)``]에 있다. ㄷ. 구간 [eqn: left[`0,```pi over 2 `right]``]에서 방정식 [eqn: f(x)=1``]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2``]이다.

[4점][2012년 수능]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

방정식 [eqn: cosx - x + 1 = 0] 이 오직 하나의 실근을 가질 때,  다음 중 실근이 존재하는 구간은?

②

[eqn: f`(x)= cos x - x + 1]로 놓으면 [eqn: f`(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이고 [eqn: f``left( pi over 3 right) `＞`0], [eqn: f``left( pi over 2 right) `＜`0]이므로 중간값정리에 의해[eqn: left ( pi over 3 , ~ pi over 2 right)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

[2점][2005년 5월]

① [eqn: LEFT ( `0`,~ {pi } over {3} `` RIGHT )]	② [eqn: left(`` pi over 3 ,~ pi over 2 ` right)]
③ [eqn: left( `` pi over 2 ,` 2pi over 3 right)]	④ [eqn: left(`` 2pi over 3 ,~ pi`` right)]
⑤ [eqn: left(`~ pi ``,`` 3pi over 2 right)]

그림과 같은 사각기둥의 물통에서 등변 사다리꼴 [eqn: rm ABCD`]에 대하여,  [eqn: rm bar{AB} ``=` bar{BC} ``=` bar{CD} ``=1], [eqn: rm bar{AE} ``=`8`]이고, 꼭지점 [eqn: rm B``,````C]에서 선분 [eqn: rm {AD}`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm M``,````N]이라 할 때, [eqn: {rm ANGLE ABM```=ANGLE DCN}``= theta `]이다. 물통의 부피의 최대값이 [eqn: V`]일 때, [eqn: V ``^{2} `]의 값을 구하시오.

108

[eqn: V(x)= { 1} over { 2} ×left{ 1+ (1+2sin theta) right}× cos theta ×8]

[eqn: V(x)= 8 ({sin theta} cos theta + cos theta )]

[eqn: V ```prime(x) `=8 (1-2sin^2 theta-sin theta )=0] 에서

[eqn: sin theta = { 1} over {2 }]

따라서 [eqn: theta = pi over 6]일 때 부피는 최대가 된다.

∴ [eqn: V =6 sqrt { 3}], [eqn: V^2 = 108]

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

[eqn: 8]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: theta]

[eqn: theta]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: 1]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: rm G]

[eqn: rm H]

[eqn: rm M]

[eqn: rm N]

두 상수 [eqn: a,``b``]에 대하여 함수

[eqn: f(x)=`a`sinx```+`bx``+`1`]

이 극값을 가질 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

③

[eqn: f`'(x)= a cos x +b =0``]에서 [eqn: f`'(x)``]의 최대값과 최소값의 부호가 달라야 하므로 [eqn: (a+b)(-a+b)=-a^2 +b^2 <0]

∴ [eqn: a^2 >b^2]

[3점][2007년 10월]

① [eqn: a>b]	② [eqn: a<b]	③ [eqn: a^2 >b^2]	④ [eqn: a^2 <b^2]	⑤ [eqn: a^2 =b^2]

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: 90°]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 부채꼴 [eqn: \AOB]와 선분 [eqn: \OA] 위를 움직이는 점 [eqn: \P]가 있다. 선분 [eqn: \OP]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: \OPQR]가 호 [eqn: \AB]와 서로 다른 두 점 [eqn: \S], [eqn: \T]에서 만날 때, 정사각형 [eqn: \OPQR]에서 점 [eqn: \Q]를 중심으로 하고 반지름이 [eqn: \QS]인 부채꼴 [eqn: \SQT]를 제외한 어두운 부분의 넓이를 [eqn: D`]라 하자. [eqn: ∠ \SOT = θ`]라 할 때, [eqn: D`]가 최대가 되도록 하는 [eqn: θ`]에 대하여 [eqn: 10pi`` tan θ`]의 값을 구하시오.

20

[eqn: A]

[eqn: P]

[eqn: O]

[eqn: R]

[eqn: B]

[eqn: theta]

[eqn: T]

[eqn: Q]

[eqn: S]

[eqn: angle SOT=theta`]이므로

[eqn: angle SOP = pi over 4 - theta over 2][eqn: = t`]( [eqn: 0<= t <= pi over 4])로 놓으면

[eqn: bar OP = cos t], [eqn: bar ST = sin t]이므로

[eqn: D= cos^2 t - ( cos t - sin t )^2 pi over 4]

[eqn: = cos^2 t - ( 1- 2sin t cos t ) pi over 4]

[eqn: = cos^2 t - ( 1- sin2 t ) pi over 4]

[eqn: D`' = - 2 cos t sint + pi over 4 cdot 2 cos 2t]

[eqn: = - sin2 t + pi over 2 `cos 2t][eqn: =0`]

즉, [eqn: tan 2t = pi over 2`] ( [eqn: 0<= t <= pi over 4])를 만족하는 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: D`]는 최댓값을 갖는다.

[eqn: tan 2t][eqn: = tan 2 ( pi over 4 - theta over 2 ) =tan ( pi over 2 - theta)]

[eqn: = cot ( pi over 2 - theta)][eqn: = cot theta][eqn: = pi over 2]

∴ [eqn: tan theta = 2 over pi]

∴ [eqn: 10 pi tan theta = 10 pi times 2 over pi][eqn: = 20]

[4점][2008년 9월]

[eqn: θ]

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi} over {2}]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 부채꼴 [eqn: RMOAB]가 있다. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,`0 RIGHT )]에서 출발하여 호 [eqn: RMAB] 위를 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 움직일 때, [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm Q]는 [eqn: bar{rm PQ it} ``= sqrt {5}]를 만족시키면서 [eqn: x]축 위를 움직인다.

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: sqrt { 5}]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmP]

[eqn: y]

[eqn: rm ` ANGLE POA= {pi} over {4}]가 되는 순간, 점 [eqn: rm Q]의 [eqn: x]좌표의 시간(초)에 대한 변화율을 [eqn: r]라 할 때, [eqn: 9r ^{2}]의 값을 구하시오.

8

점 [eqn: rmP]는 호 [eqn: rmAB] 위의 점이고 시각 [eqn: t]일 때 [eqn: ANGLE rm POA= it t] [eqn: LEFT ( 0 LEQ t LEQ {pi } over {2} RIGHT )]이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: it LEFT ( cos`t,~sin`t RIGHT )]이다.

점 [eqn: rm Q( it x,`0)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치는

[eqn: x=cos`t+ sqrt {5-sin ^{2} `t}], [eqn: y=0]

점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의 시간에 대한 변화율

[eqn: {dx} over {dt} =`-sin`t- {sin`t`cos`t} over {sqrt {5-sin ^{2} `t}}]

[eqn: therefore] [eqn: ANGLE rm POA= pi over 4]가 되는 순간, 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표의시간에 대한 변화율

[eqn: r=`- {sqrt {2}} over {2} - {{1} over {2}} over {sqrt {5- {1} over {2}}} =`- {sqrt {2}} over {2} - {sqrt {2}} over {6} =`- {2} over {3} ` sqrt {2}]

따라서 [eqn: 9r ^{2} =8]

[4점][2012년 4월]

좌표평면 위의 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C``]와 이 원 위를 움직이는 점 [eqn: rm P``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 점 [eqn: rm P``]는 원 [eqn: C``]위를 시계 반대 방향으로 매초 [eqn: 1``]의 속력으로 움직인다.

(나) 원 [eqn: C``]는 [eqn: x``]축의 양의 방향으로 매초 [eqn: 10``]의 속력으로 움직인다.

원 [eqn: C``]는 중심이 원점에서, 점 [eqn: rm P``]는 점 [eqn: (1,``0)``]에서 동시에 출발할 때, 원 [eqn: C``]의 중심과 점 [eqn: rm P``]를 지나는 직선이 직선 [eqn: y=2``]와 만나는 점을 [eqn: rm Q``]라 하자. 출발한 후 [eqn: 3 over 4 pi``]초가 되는 순간, 점 [eqn: rm Q``]는 직선 [eqn: y=2] 위를 매초 [eqn: a]의 속력으로 움직인다. [eqn: a``]의 값을 구하시오.

6

[eqn: t]초 후에 [eqn: rm P][eqn: (10 t + cos t ,`` sin t)]이고, 직선의 방정식은

[eqn: y = { sin t } over { cos t } (x- 10t )]이므로 점 [eqn: \ Q]의 [eqn: x``]좌표는

[eqn: x = 10 t + 2cot ``t]

∴ [eqn: dx over dt = 10 - 2cosec ^2 t]  ∴ [eqn: left[ dx over dt right]_{ t = 3 over 4 pi } = 6]

[4점][2009년 10월]

열린 구간 [eqn: (`0,```2 pi )]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {sinx} over {e ^{2x}}]가 [eqn: x = a `]에서 극솟값을 가질 때, [eqn: cos`a`]의 값은?

①

[출제의도] 미분법을 이용하여 극솟값을 가질 조건을 찾는다.

[eqn: f(x) = sinx over e^2x][eqn: = e^-2x sinx]이므로

[eqn: f'(x) = -2e^-2x sinx + e^-2x cos x]

[eqn: =e^-2x ( - 2 sin x + cos x )]

이고

[eqn: f''(x)`` =-2 e^-2x ( - 2 sin x + cos x )][eqn: + e^-2x ( - 2 cos x - sinx )]

[eqn: =e^-2x ( 3 sin x - 4cos x )]

이다.

이때 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = a]에서 극솟값을 가지므로

[eqn: f'(a) = 0 , ~~ f''(a) >0]

이어야 한다.

이때 [eqn: e ^{-2a} >0]이므로

[eqn: -2 sin a + cos a =0] … ㉠

[eqn: 3 sin a - 4cos a >0] … ㉡

이 성립해야 한다.

㉠에서 [eqn: cos a = 2 sin a]이므로

[eqn: tan a = 1 over 2]

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: -5 sin a >0]

따라서 [eqn: tan a > 0]이고, [eqn: sin a <0]이므로

[eqn: pi <a< {3} over {2} pi]

[eqn: sec ^{2} a=1+tan ^{2} a=1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT )^2 = {5} over {4}]

[eqn: cos`a= {1} over {sec`a} =± {2} over {sqrt {5}}]

∴ [eqn: cos`a=- {2 sqrt {5}} over {5}] (∵ [eqn: pi <a< {3} over {2} pi])

[다른 풀이]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]에서 극값을 가지므로 [eqn: f'(a)=0]이어야 한다.

[eqn: f(x) = sinx over e^2x][eqn: = e^-2x sinx]이므로

[eqn: f` prime `(x)=-2e ^{-2x} `sinx+e ^{-2x} `cosx]

[eqn: =-e ^{-2x} (2sinx-cosx)]

이때 [eqn: -e^-2a (2 sin a - cos a ) = 0]에서 [eqn: tan a = 1 over 2]

ⅰ) [eqn: 0 < a < pi over2]일 때

[eqn: 0< x < a]이면

[eqn: sin x < sin a]이고 [eqn: cos x > cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x <2 sin a - cos a =0]

∴ [eqn: f`'(x)>0]

[eqn: a < x < pi over2]이면

[eqn: sin x > sin a]이고 [eqn: cos x < cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x > 2 sin a - cos a =0]

∴ [eqn: f`'(x)<0]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=a]에서 극댓값을 갖는다.

ⅱ) [eqn: pi < a < 3 over2 pi]일 때

[eqn: pi< x < a]이면

[eqn: sin x > sin a]이고 [eqn: cos x < cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x > 2 sin a - cos a =0]

∴ [eqn: f`'(x)<0]

[eqn: a<x< {3pi } over {2}]이면
[eqn: sin x < sin a]이고 [eqn: cos x > cos a]이므로

[eqn: 2 sin x - cos x <2 sin a - cos a =0]

∴ [eqn: f`'(x)>0]

따라서 [eqn: x=a]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: sec^2 a = 1+tan^2 a = 5 over4]에서

[eqn: sec`a`=`- root5 over 2] (∵ [eqn: pi < a < 3 over2 pi])

∴ [eqn: cos`a = - {2root5} over5]

[다른 풀이]

[eqn: f(x) = sinx over e^2x]는 미분가능한 함수이므로 몫의 미분법을 사용하면

[eqn: f'(x) ``= {e^2x cosx - 2e^2x sinx } over {(e^2x )^2 }]

[eqn: = -{ 2 sinx - cos x } over e^2x]

이때 삼각함수의 합성에 의해서

[eqn: 2 sinx - cos x = root5 rm sin it ( x - alpha )] 이므로

(단, [eqn: cos alpha = 2 over root5], [eqn: sin alpha = 1 over root5])

[eqn: f'(x) =][eqn: -{root5 rm sin it (x-alpha)} over e^2x]

이때 [eqn: f'(x) = 0]에서 [eqn: sin (x-alpha) =0]이므로

[eqn: x- alpha =0] 또는 [eqn: x-alpha = pi]

∴ [eqn: x = alpha] 또는 [eqn: x = pi + alpha]

이때 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: pi + alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: ( 2pi )]
[eqn: f'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↗	[eqn: f(alpha)]	↘	[eqn: f( pi+alpha)]	↗

그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x = pi + alpha]에서 극솟값을 갖는다.

∴ [eqn: a = pi + alpha]

∴ [eqn: cos a][eqn: ``=cos ( pi + alpha )]

[eqn: = ` - cos alpha]

[eqn: =` - 2 over root5]

[eqn: =` -{ 2root5} over 5]

[4점][2013년 3월]

① [eqn: - {2 sqrt {5}} over {5}]	② [eqn: - {sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

열린구간 [eqn: LEFT ( `0,``2 pi RIGHT )]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=e ^{x} LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT )]의 극댓값을 [eqn: M`], 극솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M`m]의 값은?

①

[출제의도] 함수의 극댓값, 극솟값 이해하기

[eqn: f` prime (x)=2e ^{x} cosx=0]([eqn: 0<x<2pi])에서
[eqn: x= pi over 2] 또는 [eqn: x= 3 over 2 pi]이다.

함수 [eqn: f(x)]의 증감표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: LEFT ( 0 RIGHT )]	[eqn: cdots]	[eqn: {pi } over {2}]	[eqn: cdots]	[eqn: {3} over {2} pi]	[eqn: cdots]	[eqn: LEFT ( 2 pi RIGHT )]
[eqn: f prime (x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		↗	[eqn: e ^{{pi } over {2}}]	↘	[eqn: -e ^{{3} over {2} pi }]	↗

함수 [eqn: f(x)]는
[eqn: x= pi over 2]에서 극댓값 [eqn: M=e ^{{pi } over {2}}],
[eqn: x= {3} over {2} pi]에서 극솟값 [eqn: m=`-e ^{{3} over {2} pi }]을 갖는다.
따라서 [eqn: M`m=`-e ^{2 pi }]

[3점][2013년 4월]

① [eqn: -e ^{2pi}]	② [eqn: -e ^{pi}]	③ [eqn: {1} over {e ^{3 pi }}]

④ [eqn: {1} over {e ^{2pi }}]	⑤ [eqn: {1} over {e ^{pi}}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=x+cos`x+ {pi} over {4}]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) `-k` RIGHT |] ([eqn: k]는 [eqn: 0<k<6 pi]인 상수)
라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합을 [eqn: {q} over {p} pi]라 할 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

37

[출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `=1-sinx GEQ 0]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가한다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=k]인 [eqn: x]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=0]이어야 한다.

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=0]의 해가 [eqn: x=2n pi + {pi} over {2}]([eqn: n]은 정수)이므로
[eqn: k=f LEFT ( 2n pi + {pi} over {2} RIGHT ) `=2n pi + {3} over {4} pi]

[eqn: 0<k<6pi]이므로
[eqn: k= {3} over {4} pi] 또는 [eqn: k= {11} over {4} pi] 또는 [eqn: k= {19} over {4} pi]

[eqn: therefore] [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: {33} over {4} pi]이므로 [eqn: p=4], [eqn: q=33]

따라서 [eqn: p+q=37]

[4점][2013년 4월]

실수 [eqn: t``]에 대하여 좌표평면에서 원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan(sint)`]인 직선과 원 [eqn: x^2 + y^2 = e^2t]이 만나는 점 중에서 [eqn: x`]좌표가 양수인 점을 [eqn: rm P `]라 하고, 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 곡선을 [eqn: C``]라 하자. [eqn: t=pi`]일 때, 곡선 [eqn: C``] 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: a times e ^{b pi}]이다. [eqn: 10(a +b)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 유리수이다.)

25

[출제의도] 삼각함수의 성질과 매개변수의 미분법을 이용하여 문제를 해결한다.

원점을 지나고 기울기가 [eqn: tan(sint)`]인 직선의 방정식은 [eqn: y=tan(sint)`x`] [eqn: cdots] ㉠

점 [eqn: rmP`]는 원과 직선의 교점이므로

원의 방정식 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =e ^{2t} `]과 연립하면

[eqn: x ^{2} + LEFT { tan(sint)x right}^2 =e^2t `]

[eqn: LEFT { 1+tan ^{2} (sint) RIGHT } x ^{2} =e ^{2t} `]

[eqn: ` {x ^{2}} over { cos ^{2} (sint)} = e ^{2t}]

[eqn: x ^{2} =`e ^{2t} cos ^{2} (sint)]

[eqn: x=e ^{t} `cos(sint)] (∵ [eqn: x>0`])

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: y=e ^{t} `sin(sint)]

그러므로 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,~y)`]라 하면

[eqn: x=e ^{t} `cos(sint)`], [eqn: y=e ^{t} `sin(sint)`]

[eqn: {dx} over {dt} =e ^{t} `cos(sint)- LEFT { e ^{t} `sin(sint) RIGHT } cost`]

[eqn: =e ^{t} ` LEFT { cos(sint)-`sin(sint) timescost RIGHT } `]

[eqn: {dy} over {dt} =e ^{t} `sin(sint)+ LEFT { e ^{t} `cos(sint) RIGHT } cost`]

[eqn: =e ^{t} ` LEFT { sin(sint)+cos(sint) times cost` RIGHT } `]

[eqn: t=pi`]일 때, 점 [eqn: rmP`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( e ^{pi } `cos(sin pi )`,``e ^{pi } `sin(sin pi ) RIGHT ) `]이므로

[eqn: rm P( it e ^{ pi } `,~0)`]

[eqn: t=pi`]일 때, 곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기는

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {e ^{pi } LEFT { sin(sin` pi )+cos(sin pi )times`cos pi ` RIGHT }} over {e ^{pi } LEFT { cos(sin pi )-sin(sin pi )times`cos pi ` RIGHT }}]

[eqn: = {-e ^{pi }} over {e ^{pi }} `][eqn: =`-1`]

그러므로 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=`- LEFT ( x-e ^{ pi } RIGHT )]

이때 접선의 [eqn: x`]절편은 [eqn: e ^{ pi } `], [eqn: y`]절편은 [eqn: e ^{ pi } `]이므로 접선과 [eqn: x`]축 및 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES e ^{pi} TIMES e ^{pi} = 1 over 2 { e ^{2pi} `]

따라서 [eqn: a= 1 over 2 `], [eqn: b= 2`]이므로

[eqn: 10(a+b)=10 LEFT ( 1 over2 +2 RIGHT ) =25`]

[참고]

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =(e ^{t} ) ^{2} `]은 중심이 원점이고 반지름의 길이가  [eqn: e ^{t} `]인  원이고, 점 [eqn: rmP`]가 원 위의 점이므로 [eqn: bar{rm OP}=e^t `]이다.

직선 [eqn: rmOP`]의 기울기가 [eqn: tan(sint)`]이므로 직선 [eqn: rmOP`]와 [eqn: x`]축의 양의 방향이 이루는 각의 크기는 [eqn: sint`]이다.

따라서 점 [eqn: rmP`]의 좌표는

[eqn: rm P left (ite ^{t} `cos(sint)`,~e ^{t} `sin(sint) RIGHT )]

이다.

[4점][2014년 3월]

양의 실수 [eqn: t``]에 대하여 좌표평면에서 [eqn: x,~y``]에 대한 연립부등식
[eqn: {cases{~x ^{2} +(y-1) ^{2} LEQ 1&#~y LEQ tx&}}``]
가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: f(t)``]라 하자. 다음은 [eqn: f'(2)``]의 값을 구하는 과정이다.

①

주어진 영역의 넓이는 부채꼴 [eqn: \AOB``]의 넓이에서 삼각형 [eqn: \AOB``]의 넓이를 제외한 것이므로

[eqn: g( theta )= {1} over {2} cdot 1 cdot 2 theta - {1} over {2} cdot 1 cdot 1 cdot sin`2 theta][eqn: = theta - {1} over {2} `sin`2 theta]

[eqn: g( theta )=f(tan theta )]에서

[eqn: g`'( theta )=f`'(tan theta )` cdot sec ^{2} ` theta][eqn: =f`'`(tan theta ) cdot (1+tan ^{2} theta )][eqn: =f'(t)(1+t ^{2} )]

[eqn: g`'( theta )=1-cos`2 theta =2`sin` ^{2} ` theta]

[eqn: tan` theta =2]이면 [eqn: sin` theta `= {2} over {sqrt {5}}]에서 [eqn: g`'( theta )= {8} over {5}]

[eqn: {8} over {5} =`f`'(2) TIMES 5]에서 [eqn: f`'(2)= {8} over {25}]

원 [eqn: C``:``x ^{2} +(y-1) ^{2} =1``] 의 중심을 [eqn: \A,``]원 [eqn: \C``]와 직선 [eqn: l`:`y=tx``]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmO,~B``]라 하자.

직선 [eqn: l``]이 [eqn: x``]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ``][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )``]라 하면
[eqn: rmANGLE OAB`=2 theta ``]이다. 주어진 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: g( theta )``]라 하면

[eqn: g(x)= theta `-` box{``~~㈎~~``}~``]

이다. [eqn: t=tan theta``]이므로 [eqn: g( theta)=f(t)=f(tan theta)``]이고,

합성함수의 미분법에 의하여

[eqn: g` '( theta)=f`'(t) TIMES `box{~~``㈏~~``}``]

이다.

[eqn: t=2``]일 때, [eqn: tan theta =2``]이므로 [eqn: f prime (2)=`` box{~~``㈐``~~`}``]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: h _{1} ( theta )``], [eqn: h _{2} ( theta )``]라 하고 (다)에 알맞은 수를 [eqn: a``]라 할 때, [eqn: a TIMES h _{1} LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) TIMES h _{2} LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )``]의 값은?

[4점][2014년 6월]

① [eqn: {8} over {25}``]	② [eqn: {2} over {5}``]	③ [eqn: {12} over {25}``]
④ [eqn: {14} over {25}``]	⑤ [eqn: {16} over {25}``]

[해설] 미적분2-(5)미분-(b)삼각함수미분