수 리 영 역

기본문제

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수 리 영 역

기본문제

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (기본문제)

성명			수험번호

16

함수 [eqn: y=lnx over x]가 최대값을 가질 때의 [eqn: x]의 값은?

②

[eqn: y= {lnx} over {x}]에서 [eqn: y`' = {(lnx)' (x) - lnx (x)'} over x^2][eqn: = {1-lnx} over x^2]

도함수 [eqn: y= {1-lnx} over {x ^{2}} ,] [eqn: x>e]이면 [eqn: y` prime <0]

[eqn: 0<x<e]이면 [eqn: y` prime >0]이므로

함수 [eqn: y= {lnx} over {x}]는 [eqn: x=e]에서 극대이며 최대이다.

[2점][1998년 수능]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: e]	③　[eqn: 1 over e]

④　[eqn: 2e]	⑤　[eqn: e^2]

[eqn: f(x)=( { x}^{ 2} +1) { e}^{x } ``]일 때, [eqn: f` prime (0)]의 값은?

①

준식을 [eqn: x`]에 대해 미분하면

[eqn: f`'`(x)=(x^2 +1)`'`e^x +(x^2 +1)(e^x )`'`=2x e^x +(e^x +1)e^x]

[eqn: =x^2 e^x +2xe^x +e^x `]

[eqn: THEREFORE ```f` prime (0)=e ^{0} =1]

[3점][2001년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=x`lnx+13x]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 14]

[eqn: f(x)=x ln x+13x]에서

[eqn: f`'(x)=lnx+x` CDOT {1} over {x} +13][eqn: =ln x +14]

[eqn: THEREFORE ```f`'(1)=14]

[3점][2013년 수능]

함수 [eqn: f(x)=5e ^{3x-3}]에 대하여 [eqn: f prime (1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 15]

[출제의도] 지수함수의 도함수를 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)=5e ^{3x-3} ,`````f` prime (x)=5e ^{3x-3} TIMES 3=15e ^{3x-3}]

[eqn: THEREFORE f`'(1)=15e ^{0} =15]

[3점][2014년 수능]

함수 [eqn: f(x)=cosx +4 e^2x]에 대하여 [eqn: f`'(0)]의 값을 구하시오.

8

[eqn: f(x)=cosx+4e ^{2x} `]에서

[eqn: f`'(x)=`-sinx+8e ^{2x}]

[eqn: f`'(0)=-0+8=8]

[3점][2015년 수능]

함수 [eqn: f(x) = 4`sin`7x]에 대하여 [eqn: f`prime(2pi)]의 값을 구하시오.

[eqn: 28]

[출제의도] 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4sin`7x`]이므로

[eqn: f`'(x)=28cos`7x]

따라서

[eqn: f`'(2 pi )][eqn: =28cos` LEFT ( 14 pi RIGHT )]
[eqn: =28]

[3점][2016년 수능]

함수 [eqn: f(x)`=`x` ^{`ln`x}][eqn: (x>0)]에 대하여 [eqn: f'(e)]의 값은?

③

[eqn: f(x) = x ^ lnx]에서 [eqn: ln f(x) = (lnx)^2]

양변을 미분하면 [eqn: f'(x) over f(x) = 2 over x {\ln}x]이다.

따라서 [eqn: f'(x) = f(x) ( 2 over x {\ln}x)][eqn: = x^ lnx ( 2 over x {\ln}x)]

∴[eqn: f'(e) = 2]이다.

[3점][2007년 10월]

① [eqn: 0]	② [eqn: e over2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 4]

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1)``=`2], [eqn: f` prime (1)``=`3]

(나) [eqn: lim _{x -> 1} {} {f`` prime (f(x))-1} over {x-1} ``=`3]

[eqn: f` '' (2)]의 값은?

①

[eqn: f` prime (f(1))=1]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {} {f`` prime (f(x))-1} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {} LEFT { {f` prime (f(x))-f` prime (f(1))} over {f(x)-f(1)} CDOT {f(x)-f(1)} over {x-1} RIGHT }]

[eqn: =f` '' (f(1))f` prime (1)=f` '' (2)cdot3=3]

∴ [eqn: f` '' (2)=]1

[3점][2008년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여
부등식 [eqn: 3x ^{4} -8x ^{3} -6x ^{2} +24x >= k`-2`sin {pi } over {2} x`]가 성립할 때,
상수 [eqn: k]의 최댓값은?

③

[출제의도] 미분을 이용한 부등식의 수학내적 문제해결하기

[eqn: f(x)`=`3x ^{4} -8x ^{3} -6x ^{2} +24x]

[eqn: g(x)= k`-2`sin {pi } over {2} x]

[eqn: f'(x)=12(x-2)(x-1)(x+1)]이므로

[eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: x=-1]일 때, [eqn: -19]

[eqn: k-2<= k`-2`sin {pi } over {2} x<=k+2]이므로

[eqn: g(-1)=k+2]는 [eqn: g(x)]의 최댓값이다.

따라서 [eqn: k+2 <= -19]이므로 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: -21]

[3점][2009년 7월]

① [eqn: -23]	② [eqn: -22]	③ [eqn: -21]	④ [eqn: -20]	⑤ [eqn: -19]

실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f`(`x`)``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y``]에 대하여

[eqn: f`(`x+y`)=f`(`x`)f`(`y`)+4f`(`x`)+4f`(`y`)+12]

(나) [eqn: f`(`ln2`)=0``], [eqn: f`` prime (`0`)=2``]

이때, [eqn: f`` prime (`ln2`)`]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: y=0``]을 대입하면

[eqn: f(x)=f(x)f(0)+4f(x)+4f(0)+12]

[eqn: LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(0)+3 RIGHT } =0]

[eqn: f(0)=-3]

[eqn: f` prime (x)= lim _{h -> 0} {{f(x+h)-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+4f(x)+4f(h)+12-f(x)`} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f(x)f(h)+3f(x)+4f(h)+12} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(h)+3 RIGHT }} over {h}}]

[eqn: ={LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{ f(h)+3 } over {h}} }]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } lim _{h -> 0} {{f(h)-f(0)} over {h}}]

[eqn: = LEFT { f(x)+4 RIGHT } f`'(0)]

[eqn: =2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

[eqn: therefore][eqn: f`'(ln2)= 2left{ f(ln2) +4 right} =8]

[다른 풀이]

(가)에서 양변에 [eqn: 4]를 더하여 인수분해하면

[eqn: f(x+y)+4= LEFT { f(x)+4 RIGHT } LEFT { f(y)+4 RIGHT }]

[eqn: f(x)+4=g(x)]라 하면

[eqn: g(x+y)=g(x)g(y)]  …㉠

㉠에서 [eqn: y=0]이라 하면

[eqn: g(x)=g(x)g(0)]

[eqn: g(x) LEFT { 1-g(0) RIGHT } =0]

[eqn: g(0)=1]

[eqn: f`'(x)=g'(x)]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{g(x+h)-g(x)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h-> 0} {{g(x)g(h)-g(x)} over {h}}]

[eqn: =g(x)` lim _{h -> 0} {{g(h)-1} over {h}}]

[eqn: =g(x)`` lim _{h -> 0} {{g(h)-g(0)} over {h}}]

[eqn: =g(x)``g` prime (0)] [eqn: (` BECAUSE `g` prime (0)=f` prime (0)=2)]

[eqn: =2g(x)=2 LEFT { f(x)+4 RIGHT }]

따라서

[eqn: f prime (ln2)=2 LEFT { f(ln2)+4 RIGHT }][eqn: =2times4][eqn: =8]

[3점][2011년 3월]

함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x)= {cases{{x ^{`2} `sin2x} over {1-cosx _{{} _{{} _{}}}}&```(x != 0)#~~~0&````(x=0) ^{{} ^{}}}}]
일 때, [eqn: f`'(0)]의 값은? (단, [eqn: -pi < x< pi])

⑤

[eqn: f` prime (0)= lim _{x ``-> ``0} {{f(x)-f(0)} over {x-0} `} `]

[eqn: = lim _{x ``->`` 0} {{{x ^{2} `sin2x} over {1-cosx} -0} over {x-0} `} `][eqn: = lim _{x ``->`` 0} {{x`sin2x} over {1-cosx}}]

[eqn: = lim _{x ``->`` 0} {{2x`sinx`cosx(1+cosx)} over {sin ^{2} x}}]

[eqn: = lim _{x`` -> ``0} {`2cosx(1+cosx){{x`} over {sinx}}}][eqn: =4`]

[3점][2011년 4월]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} -a`lnx~(a>0)``]의 극솟값이 [eqn: 0``]일 때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

④

[eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} -alnx`(a>0)# f'(x)`=`x`-` {a} over {x} `=` {x ^{2} -a} over {x} `=0]

[eqn: f` prime (x)=0]에서 [eqn: x= sqrt {a}]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 증감표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: sqrt {a}]	[eqn: cdots]
[eqn: f` prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↘	극소	↗

따라서 [eqn: f(x)]의 극소값은

[eqn: f( sqrt {a} )= {1} over {2} a-aln sqrt {a} =0,]

[eqn: THEREFORE a=e]

[3점][2011년 6월]

① [eqn: {1} over {e}]	② [eqn: {2} over {e}]	③ [eqn: sqrt {e}]	④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

함수 [eqn: LEFT. f(x RIGHT ) =ln LEFT ( 2x-1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: f``' LEFT ( 10 RIGHT ) = {q} over {p}]일 때,
[eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p와`q]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 21`]

[출제의도]로그함수의 미분법을 이용하여 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: f(x)= ln `(2x-1)`]에서  [eqn: f`'(x) = 2 over 2x-1`]이므로

[eqn: f`'(10) = 2 over 19`]

∴ [eqn: p+q = 19+2 = 21`]

[3점][2011년 9월]

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수

[eqn: f`(`x`)`=`x` ^{3}` +`3`x`^2 ` +2`], [eqn: g`(`x`)`=`sin`x]

가 있다. 이때, 합성함수 [eqn: (`f circ g`)(`x`)]의 최댓값과 최솟값의 합은?

②

[eqn: g(x) =`t`]로 놓으면 [eqn: -1 le t le 1`]이고

[eqn: (`f CIRC g`)(`x`)`][eqn: =`f`(`t)`][eqn: =`t` ^{3} `+`3`t` ^{2} `+`2`]

[eqn: f` prime (`t`)`=`3`t` ^{2} `+`6`t`][eqn: =`0`]에서 [eqn: t`=`0`] 또는 [eqn: t`=`-2`]

이때, [eqn: f`(`0`)`=`2`], [eqn: f`(`-1`)`=`4`], [eqn: f`(`1`)`=`6`]이므로 구하는 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 8`]이다.

[3점][2011년 10월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

함수 [eqn: f(x)=x^2 +x lnx`]에 대하여 [eqn: lim _{h `->`0} {f(1+2h)-f(1-h) } over { h}`]의 값은?

④

[eqn: f` prime (x)=2x`+lnx`+1]이므로

[eqn: lim _ h->0 {f(1+2h ) - f(1-h )}overh =lim _ h->0 {f(1+2h ) - f(1-h )}over 3h cdot 3]

[eqn: = 3f`'(1) = 9]

[3점][2012년 10월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=e ^{x} +x ^{2} -3x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?

④

[출제의도] 함수의 미분계수 계산하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +2x-3]

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) `=1+0-3=`-2]

따라서 [eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =`-2]

[2점][2013년 4월]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가
[eqn: f(cosx)=sin2x+tanx] [eqn: LEFT ( 0<x< {pi } over {2} RIGHT )]
를 만족시킬 때, [eqn: f`' LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은?

①

[출제의도] 합성함수의 미분법 이해하기

[eqn: f(cosx)=sin2x+tanx]의 양변을 미분하면,

[eqn: -sinx`cdot``f` prime (cosx)````=``2cos2x`+sec ^{2} x]

[eqn: x = pi over3]일 때, [eqn: cosx`=` {1} over {2}]이므로

[eqn: - {sqrt {3}} over {2} f` prime LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `=`2` LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) +4]

[eqn: therefore`][eqn: f`' left( 1 over2 right) `=` -2root3]

[[eqn: 4]점][2013년 7월]

① [eqn: -2 sqrt {3}]	② [eqn: - sqrt {3}]	③ [eqn: 0]
④ [eqn: sqrt {3}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

함수 [eqn: f(x) = x`lnx `]에 대하여 [eqn: f`'(e)]의 값은? (단, [eqn: e`]는 자연로그의 밑이다.)

⑤

[출제의도] 도함수를 이용하여 미분계수를 계산한다.

[eqn: f(x)=x lnx]의 도함수는 [eqn: f`'(x)=lnx +1]이다.

∴ [eqn: f` prime (e)=lne+1`][eqn: =2]

[2점][2013년 10월]

① [eqn: 2e]	② [eqn: e+1]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x) = e^3x + 10 x ``]에 대하여 [eqn: f `'(0) ``]의 값은?

⑤

[eqn: f` prime (x)=3 cdot e ^{3x} +10]에서 [eqn: f`'(0)=13]

[3점][2014년 6월]

① [eqn: 17]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 13]

함수 [eqn: f(x)=sinx-4x``]에 대하여 [eqn: f`'`(0)`]의 값은?

③

[eqn: f`'(x)=`cos`x`-4]

[eqn: f`'(0)=1-4=-3]

[2점][2014년 9월]

① -5	② -4	③ -3	④ -2	⑤ -1

함수 [eqn: f(x)`=`lnx-x]에 대하여 [eqn: f``' LEFT ( {1} over {10} RIGHT )]의 값을 구하시오.

9

[출제의도] 로그함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: f`` prime (x)= {1} over {x} -1]이므로 [eqn: f`` prime left( {1} over {10} right)=10-1=9]이다.

[3점][2014년 10월]

함수 [eqn: f(x)=20x ^{2`} lnx`]에 대하여 [eqn: f` prime (1)`]의 값을 구하시오.

20

[출제의도] 초월함수의 미분계수를 계산한다.

[eqn: f(x)=20x ^{2} `lnx]에서

[eqn: f` prime (x)=40x`lnx+20x ^{2} TIMES {1} over {x}][eqn: =40x`lnx+20x]

이므로 [eqn: f` prime (1)=20]

[3점][2015년 3월]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{3} +lnx]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

13

[출제의도] 여러 가지 함수의 미분법 이해하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + {1} over {x}]

따라서 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =13]

[3점][2015년 4월]

곡선 [eqn: y=2 ^{2x-3} +1] 위의 점 [eqn: LEFT ( `1`, ``{ 3} over { 2}` RIGHT )]에서의 접선의 기울기는?

②

[출제의도] 접선의 방정식 이해하기

[eqn: y` prime =2ln2 TIMES 2 ^{2x-3}]

따라서 곡선 [eqn: y=2 ^{2x-3} +1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~ {3} over {2} RIGHT )]에서의 접선의 기울기는

[eqn: ln2]

[3점][2015년 7월]

① [eqn: { 1} over { 2}`ln`2]	② [eqn: ln2]	③ [eqn: { 3} over { 2}`ln2]	④ [eqn: 2ln2]	⑤ [eqn: { 5} over { 2} `ln2]

함수 [eqn: f(x)= left(2e^{x}+1 right)^{3}]에 대하여 [eqn: f`'(0)]의 값은?

③

[eqn: f`'(x)= 3 left(2e^{x}+1 right)^{2} times 2e^{x}]이므로

[eqn: f`'(0)= 3 left(2e^{0}+1 right)^{2} times 2e^{0}=3 cdot 3^{2} times 2=54]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: 48]	② [eqn: 51]	③ [eqn: 54]	④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 60]

곡선 [eqn: y=ln{5x}] 위의 점 [eqn: left({1}over{5},~0 right)]에서의 접선의 [eqn: y]절편은?

④

곡선 [eqn: y=ln{5x}] 위의 점 [eqn: left({1}over{5},~0 right)]에서의 접선을 구해보면

[eqn: y`'={1}over{x}]이므로 기울기는 [eqn: 5]이고,

따라서 접선은

[eqn: y=5 left(x-{1}over{5} right)`= 5x-1]

따라서 [eqn: y`]절편은 [eqn: -1`]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: -{5}over{2}]	② [eqn: -{2}]	③ [eqn: -{3}over{2}]	④ [eqn: -{1}]	⑤ [eqn: -{1}over{2}]

함수 [eqn: f(x)=7e` ^{x ^{2} -1} `]에 대하여 [eqn: f` prime (1)`]의 값을 구하시오.

[eqn: 14]

[출제의도] 미분계수의 값을 계산한다.

[eqn: f` prime (`x`)=14`x`e ^{x ^{2} -1} `]이므로 [eqn: f` prime (`1`)=14]

[3점][2015년 10월]

[해설] 미적분2-(5)미분-(a)기본문제