수 리 영 역

삼각함수

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수 리 영 역

삼각함수

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 함수의 극한 (삼각함수)

성명			수험번호

16

[eqn: lim _{x` -> `0} {} ` {sin`(3`x` ^{3} `+`5`x` ^{2} `+`4`x`)} over {2`x` ^{3} `+`2`x` ^{2} `+`x} ``]의 값은?

①

[eqn: lim_x->0 {sin(3x^3 + 5x^2 + 4x )} over {3x^3 + 5x^2 +4x ``}× {3x^3 + 5x^2 +4x ``} over {2x^3 + 2x^2 +x ``}]

[eqn: = 1× lim_x->0 {3x^2 + 5x +4 ``} over {2x^2 + 2x +1 ``}][eqn: =4]

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 3]	③ [eqn: 3 over 2]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: {`sin3} over 2]

[eqn: lim _{x` -> `0`} {} {e ^{2x} -1} over {tanx}]의 값은?

④

[eqn: lim_{x`->`0`} `{ e^2x -1_` }over tan`x`= lim_{x`->`0`} `{2x cdot {e^2x -1 } over 2x }over { x cdot tanx over x} `=`2`]

[3점][2005년 수능]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1`]

④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim _{theta ` -> `0 ^{`}} {} {sec2 theta -1} over {sec theta -1}]의 값은?

④

[eqn: lim _{theta -> 0} {} {sec2 theta -1} over {sec theta -1}][eqn: = lim _{theta -> 0} {} {{1} over {cos2 theta } -1} over {{1} over {cos theta } -1}][eqn: = lim _{theta -> 0} {} {{1-cos2 theta } over {cos2 theta }} over {{1-cos theta } over {cos theta }}]

[eqn: = lim _{theta -> 0} {{1-cos2 theta } over {1-cos theta } ․ {cos theta } over {cos2 theta }}]

[eqn: = lim _{theta -> 0} {{1-cos2 theta } over {1-cos theta } ․ lim _{theta -> 0} {} {cos theta } over {cos2 theta }}]

[eqn: = lim _{theta -> 0} {{1-cos2 theta } over {1-cos theta }}] (∵ [eqn: lim _{theta -> 0} {} {cos theta } over {cos2 theta } = {1} over {1} =1])

[eqn: = lim _{theta -> 0} {{2-2cos ^{2} theta } over {1-cos theta }}] (∵ [eqn: cos2 theta =2cos ^{2} theta -1])

[eqn: =2 lim _{theta -> 0} {{(1-cos theta )(1+cos theta )} over {1-cos theta }}]

[eqn: =2 lim _{theta -> 0} {} (1+cos theta )=2(1+1)=4]

[3점][2006년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim_{x` rarrow a} {2^x - 1 }_` over{3sin(x-a)} = b ln 2 `]를 만족시키는 두 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은?

④

(분자)[eqn: =2^x -1]에서 [eqn: lim from { x `->`a } ` (2^x -1)= 2^a -1=0]

[eqn: THEREFORE ~ a=0]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { x` ->`0 } ` {2^x -1 } over {3 ` sin ` x }][eqn: = lim from { x` ->`0 } ` {1 } over {3 } { x} over { sin ` x } cdot {2^x -1 } over {x }][eqn: = {1 } over {3 } TIMES 1 TIMES ln ` 2]

[eqn: THEREFORE ~ b = { 1} over { 3}]

[eqn: THEREFORE ~ a+b = {1 } over {3 }]

[3점][2007년 수능]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[eqn: lim_x->0 {{ln(1+5x)} over {sin 3x}}]의 값은?

③

[출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가?

[eqn: lim_x->0 {{ln(1+5x)} over {sin 3x}}][eqn: = lim _{x -> 0} {} LEFT { {ln LEFT ( 1+5x RIGHT )} over {5x} TIMES {3x} over {sin`3x} TIMES {5} over {3} RIGHT }]
[eqn: = {5} over {3} TIMES lim _{x -> 0} {} {ln LEFT ( 1+5x RIGHT )} over {5x} TIMES lim _{x -> 0} {} {3x} over {sin`3x}]
[eqn: = {5} over {3} TIMES 1 TIMES 1][eqn: = {5} over {3}]

[2점][2016년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4over3]	③ [eqn: 5over3]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 7 over3]

[eqn: lim from {x``->``0} {ax` sin2x} over cosx-1 =8]일 때, [eqn: a`]의 값은?

①

[eqn: lim from x->0 {ax` sin2x (cosx+1)} over {(cosx-1)(cosx+1)}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {} {ax`sin2x(cosx+1)} over {-sin ^{2} x}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {} -a TIMES {x} over {sinx} TIMES {x} over {sinx} TIMES {sin2x} over {2x} TIMES 2(cosx+1)]

[eqn: =-4a=8]

[eqn: therefore ``a= -2]

[3점][2005년 5월]

①[eqn: -2]	②[eqn: -1]	③ [eqn: 1]	④  [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

두 함수 [eqn: f``(x)``=`2x`], [eqn: g`(x)``=`sinx`]에 대하여
[eqn: lim _{x -> ``0} {} {f``(`g(x))} over {g(`f``(x))} `]의 값은?

④

[eqn: f(g(x))=2sinx],  [eqn: g(f(x))=sin2x]이므로

(준식)[eqn: = lim_ { x ->`` 0 } { 2 sin x } over {sin 2x } `=`lim _ { x ->`` 0 } { sinx } over {x } × lim _ { x ->`` 0 } { 2x } over { sin2x }]

[eqn: =`1 × 1 `= 1 `]

[3점][2005년 7월]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: lim _{x` -> ``0} {} {1-coskx} over {2sin ^{2} x} =1] 을 만족하는 양수 [eqn: k] 의 값은?

②

[eqn: lim _{x -> 0} {} {1-coskx} over {2sin ^{2} x} & = lim _{x -> 0} {} {x ^{2} (1-coskx)} over {2x ^{2} `sin ^{2} x ^{}}]

[eqn: & = lim _{x -> 0} {} {x ^{2}} over {sin ^{2} x} TIMES {(1-coskx)} over {2x ^{2}}]

[eqn: & = lim _{x -> 0} {} {(1-coskx)(1+coskx)} over {2x ^{2} (1+coskx)}]

[eqn: & = lim _{x -> 0} {} {sin ^{2} kx} over {2x ^{2`} (1+coskx)}]

[eqn: & = lim _{x -> 0} {} {sin ^{2} kx} over {4x ^{2}}]

[eqn: & = {k ^{2}} over {4} lim _{x -> 0} {} LEFT ( {sinkx} over {kx} RIGHT ) ^{`2} = {k ^{2}} over {4} =1]

[eqn: ∴`` k=2][eqn: (∵``k>0)]

[3점][2006년 5월]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

두 양수 [eqn: a,~ b`]가 [eqn: lim_{x ``rightarrow `0} {sin 7 x}_` over{2^x+1 - a} = b_` over {2 ln 2}]를 만족시킬 때, [eqn: ab`]의 값을 구하시오.

[eqn: 14`]

[eqn: b>0`]이므로 [eqn: lim_x->0 {sin7x} over{ 2^x+1 - a} = b over {2ln2}` `ne 0`]이고, [eqn: x->0`]일 때, (분자)[eqn: ->0`]이므로 (분모)[eqn: ->0`]이어야 한다.

따라서, [eqn: lim_x->0 `(2^x+1 -a) =0`]에서 [eqn: 2-a =0`]

∴ [eqn: a=2`]

[eqn: lim_x->0 {sin7x} over{ 2^x+1 - 2} =lim_x->0 {sin7x over x} over{{ 2^x+1 - 2} over x }`][eqn: = lim_x->0 {sin7x over 7x cdot 7} over{{ 2( 2^x - 1) } over x }`]

[eqn: = {1 cdot 7 } over {2 cdot ln2 }` = 7 over {2ln2}`]

∴ [eqn: b= 7`]

∴ [eqn: ab = 14`]

[4점][2006년 6월]

[eqn: lim _{theta ` -> `0} {LEFT ( {2} over {sin ^{2} theta } `- {1} over {1-cos theta } RIGHT )}]의 값은?

②

[해설] [eqn: lim _{theta -> 0} {LEFT ( {2} over {sin ^{2} theta } - {1} over {1-cos`theta} RIGHT )}]

[eqn: =lim _{theta -> 0} {LEFT ( {2} over {1-cos ^{2} theta } - {1+cos theta} over {1-cos^2`theta} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{theta -> 0} {LEFT ( {1-cos theta } over {1-cos ^{2} theta } RIGHT )} = lim _{theta -> 0} {LEFT ( {1} over {1+cos theta } RIGHT )} = {1} over {2}]

[3점][2007년 5월]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

다항함수 [eqn: g`(x)]에 대하여 함수 [eqn: f`(x) = e^-x sin x + g`(x)]가

[eqn: lim_{x` rarrow` 0 } {f`(x)_` } over x = 1], [eqn: lim_{x` rarrow` infty} {f`(x)_`}over{x^2} = 1]

을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

[eqn: lim from { x` ->`0 } ` { f`(x)}_` over {x } `=` lim from { x` ->`0 }` {e^-x sin`x+g(x)}_` over x `=`1]에서

[eqn: lim from { x` ->`0 }`{e^-x sin`x}_` over x `=`1], [eqn: lim from { x` ->`0 }`g(x)_` over x`=`0]	…… ㉠

[eqn: lim from { x` ->`inf }` { f`(x)}_` over {x^2 } `=` lim from { x` ->`inf }` { e^-x sin`x+g(x)}_` over {x^2 }`=`1]에서

[eqn: lim from { x` ->`inf }` { e^-x sin`x}_` over {x^2 }`=`0],[eqn: lim from { x` ->`inf }` { g(x)}_` over {x^2 }`=`1]	…… ㉡

[eqn: g(x)]는 다항함수이므로 ㉠, ㉡에 의해

[eqn: g(x)`=`x^2]

ㄱ. [eqn: g(x)`=`x^2]이므로 [eqn: g(0)`=`0]   [eqn: THEREFORE] 참

ㄴ.[eqn: lim from { x` ->`inf }` { g(x)}_` over {x^2 }][eqn: =` lim from { x` ->`inf }` { x^2}_` over {x^2 }`=`1]  [eqn: THEREFORE] 참

ㄷ. [eqn: lim from { x` ->`inf }` { f`(x)}_` over {g(x) }`=` lim from { x` ->`0 }` { e^-x sin`x+x^2}_` over {x^2 }`=](발산) [eqn: THEREFORE] 거짓

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[4점][2007년 6월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g`(0) = 0 `] ㄴ. [eqn: lim_{x `rarrow` infty } {g`(x)_`} over{x^2} = 1] ㄷ. [eqn: lim_{x `rarrow` 0 } {``` f`(x)_`} over {g`(x)} = 1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 실수 [eqn: a`= lim from {t`->`0``}`{sin t_``} over {2t`}], [eqn: b` =lim from {t`->`0```} {e^2t -1 }_` over t^`]에 대하여 함수 [eqn: f`(x)]가

[eqn: f`(x) =]	□ □ □	[eqn: a] [eqn: b]	[eqn: (x`≧` 1)] [eqn: (x`＜`1)]

일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

[eqn: a`= lim from { t `->`0 } ` {sin t} over 2t `=` lim from { t `->`0 } ` {sin t} over t ×{1_`} over 2 `=` {1_`} over 2]

[eqn: b`=` lim from { t`->` 0 } `{e^2t -1}over{t}`=` lim from { t`->` 0 } `{e^2t -1}over{2t} ×2`=`2]

ㄱ. [eqn: f`(1)` =` a`=`{1 _`} over 2]    [eqn: THEREFORE ~]참

ㄴ. [eqn: f`(f`(1)) `=` f`left({1_`} over {2} right) `=`b`=`2]    [eqn: THEREFORE ~]참

ㄷ. [eqn: x`<`1]이면 [eqn: f`(x)`=`2]이므로   [eqn: f`(f`(x))`=` f`(2) `=` {1_`} OVER 2]

[eqn: x`≧`1]이면 [eqn: f`(x)`=` {1_`} OVER 2]이므로   [eqn: f`(f`(x))`=` f`` left ({1_`} over 2 right) `=` 2]

[eqn: THEREFORE ` lim _{x` -> `1-} {} `f`(f`(x))` != ` lim _{x` -> `1+} {} f`(f`(x))]  [eqn: THEREFORE ~]거짓

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[4점][2007년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`(1) = {1_`} over {2`}] ㄴ. [eqn: f`(f`(1))=2] ㄷ.[eqn: lim _{x` -> 1-} {} `f`(f`(x))`= lim _{x` -> 1+} {} `f`(f`(x))]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: lim _{x` -> `1} {{sin(1- sqrt {x} )} over {x-1}}] 의 값은?

②

[eqn: lim _{x -> 1} left{{sin(1- sqrt {x} )} over {1- sqrt { x} }}ㆍ -1 over {1+ sqrt { x}}right}= - 1 over 2]

[[eqn: 3`]점][2007년 7월]

① [eqn: - 2]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: lim _{ x→0} {{3x sin (sin 2x)}over {1`-`cos x} }]의 값을 구하시오.

12

[eqn: lim _{x`→0} {{3x sin(sin2x)(1+cosx)}over{(1`-`cos^2 x`) }][eqn: `=` lim _{ x`→0} {{3x sin(sin2x)(1+cosx)}over{sin^2 x} }`=`12]

[4점][2008년 5월]

연속함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: lim from {x`->`0} {f`(x)_`} over {1-cos(x^2 `)} = 2]를 만족시킬 때,
[eqn: lim from {x`->`0} {f`(x)_`} over x^p = q]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p`＞0,```q`＞0]이다.)

②

[eqn: lim _{ x->0} { f(x)} over {1-cos ` (x^2 ) }][eqn: = lim _{ x->0} { { f(x) LEFT { 1+ cos `(x^2 ) RIGHT } } over { LEFT { 1- cos ` (x^2 ) RIGHT } LEFT { 1+ cos ` (x^2 ) RIGHT } } }]

[eqn: = lim _{ x->0} { { 2 cdot f(x)} over {sin^2 ` (x^2 ) } }]

[eqn: = lim _{ x->0} { { (x^2 )^2 } over {sin^2 ` (x^2 ) } } cdot { 2 cdot f(x)} over {(x^2 )^2 }]

[eqn: = 2 cdot lim _{ x->0} { { f(x)} over {x^4 } } =2]

따라서,  [eqn: lim _{ x->0} { } { f(x)} over {x^4 } =1]이므로 [eqn: lim _{ x->0} { } { f(x)} over {x^p } =q]를 반드시 만족하는

상수 [eqn: p, ````q]는 [eqn: p=4, ```` q =1]일 때이다.

[3점][2008년 6월]

① [eqn: 4]	②  [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f(x)= cases{{`````sin`x-a`````} over {x- {pi } over {2}} ````` LEFT ( x != {pi } over {2} RIGHT )#````````````````````b`````````````````````````` LEFT ( x= {pi } over {2} RIGHT )`}]가 [eqn: x=` {pi } over {2} `]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`,```b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은?

①

[eqn: x= {pi } over {2}]에서 연속이므로 [eqn: lim _{x`-> ` {pi } over {2}} {{`````sinx-a``````} over {x- {pi } over {2}}} =b]

[eqn: lim _{ x-> pi over 2} { } `(sin {x} -a)=0`]이므로 [eqn: a=1]

[eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2}} {{`````sinx-1`````} over {x- {pi } over {2}}} =b]에서 [eqn: x- {pi } over {2} =t]라 하면

[eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2}} {{`````sinx-1`````} over {x- {pi } over {2}}} = lim _{t``-> ``0} {{cost-1} over {t} =0}] [eqn: THEREFORE `b=0]

따라서 [eqn: a+b=1]

[[eqn: 3`]점][2008년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 {[eqn: theta _{n}]}에 대하여 [eqn: tan {theta _{n}} over {2}` = {n+1} over {2n}] ([eqn: n`=`1,``2,``3,``cdots])일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} `tan` theta _{n}`]의 값은? (단, [eqn: 0 <= theta _{n} <= {pi } over {2} `]이다.)

②

[eqn: lim _{n -> INF } {} `tan {theta _{n}} over {2} = lim _{n -> INF } {} ` n+1 over 2n = {1} over {2}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } { `tan theta _{n}} = lim _{n -> INF } { {2tan {theta _{n}} over {2}} over {1-tan ^{2} {theta _{n}} over {2}}} = {2 CDOT {1} over {2}} over {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} = {4} over {3}]

[3점][2008년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {5} over {3}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

[eqn: lim_x->0 { e^{1-sinx} -e^{ 1-tanx } } over { tanx - sinx } ~]의 값은?

④

준식은

[eqn: lim_x->0 { e^{1-sinx} -e^{ 1-tanx } } over { tanx - sinx } =lim_x->0 e^{1-tanx} times{ e^{tanx-sinx} -1 } over { tanx - sinx }]

[eqn: =lim_x->0 e^{1-tanx} times lim_x->0 { e^{tanx-sinx} -1 } over { tanx - sinx }]

(여기서 [eqn: tanx-sinx=t``]라 하면)

[eqn: =lim_x->0 e^{1-tanx} times lim_t->0 { e^t -1 } over { t }=e]

[3점][2009년 6월]

① [eqn: 1 over e ~]	② [eqn: 2 over e ~]	③ [eqn: 1~]	④ [eqn: e~]	⑤ [eqn: 2e ~]

[eqn: lim _{x -> 0} {{x-1+cosx} over {x+`sinx}}]의 값은?

③

(주어진 식)[eqn: =][eqn: lim_x->0 {1- {1-cosx } over {x}} over {1+ {sinx} over {x}}][eqn: = 1-0 over 1+1 = 1over2]

[3점][2009년 10월]

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: lim _{x` -> `0} {{e ^{2x ^{2}} -1} over {tan`x`sin`2x}}]의 값은?

③

[eqn: lim _{ x-> 0} {e^2x^2 -1 } over{tan x sin 2x } = lim _{ x->0} { e^2x^2 -1} over2x^2 cdot x overtanx cdot 2x oversin2x]이므로

극한값은 [eqn: 1cdot 1cdot 1 =1]

[3점][2010년 6월]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim _{x`->` 0} {e^{x sinx} + e^{x sin2x} -2 } over {x ln ( 1+x)} `]의 값은?

③

[eqn: lim _{x` -> `0} {` {e ^{`x`sin`x} `+`e ^{x`sin`2x} `-2} over {x``ln`(1+x)}}]

[eqn: =` lim _{x` -> `0} {` {e` ^{`x``sinx} -1} over {x`sinx} TIMES {sin`x} over {x} `times {x} over {ln`(1+x)}}]

[eqn: +`` lim _{x` -> `0} {` {e` ^{`x``sin2x} -1} over {x`sin2x} TIMES {sin`2x} over {2x} ` TIMES 2times` {x} over {ln`(1+x)}}]

[eqn: =1+2=3]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim_{x`->`0} `{sin` 2x` - sin`x` } over x]의 값은?

④

(주어진 식)[eqn: = lim _{x -> 0} {} ` {sin2x} over {x} -lim _{x -> 0} {sinx} over {x}][eqn: =1]

[2점][2011년 10월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: lim _{x` -> `0`} {} ` {e ^{2x} -1 _{`}} over {sin`3x}`]의 값은?

②

[eqn: lim _{x` -> `0`} {} ` {e ^{2x} -1 _{`}} over {sin`3x} `][eqn: =lim _{x` -> `0`} {} left(`{{e ^{2x} -1 }over2x _{`}} over {sin3x over 3x} ` cdot 2x over 3x right) ` = 2over3]

[2점][2012년 10월]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: 2]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{` {e ^{x} -sin2x-a} over {3x}&~~ LEFT ( x != 0 RIGHT ) ^{{} ^{`}}#`````````````````````````b ^{{} ^{`}}&~~ LEFT ( x=`0 RIGHT ) ^{{} ^{`}}}}]
가 [eqn: x=0]에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

②

[출제의도] 함수의 연속의 정의 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {` {e ^{x} -sin`2x-a} over {3x}} `=b]이고 [eqn: lim _{x`-> `0} {`3x} `=0]이므로
[eqn: lim _{x` -> `0} {` LEFT ( e ^{x} -sin`2x-a RIGHT )} `=0]   [eqn: therefore] [eqn: a`=1]

[eqn: lim _{x` -> `0} {` {e ^{x} -sin`2x-1} over {3x}}]

[eqn: = lim _{x` -> `0} {` {1} over {3} LEFT ( {e ^{x} -1} over {x} `- {2sin2x} over {2x} RIGHT )} `=`- {1} over {3}]

[eqn: therefore] [eqn: b``=`- {1} over {3}]

따라서 [eqn: a+b= {2} over {3}]

[3점][2013년 4월]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {3x +tanx} over {x} `]의 값은?

④

[출제의도] 극한의 성질을 이용하여 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {3x +tanx} over {x}]

[eqn: = lim _{x` -> `0} {left( {3x over x }+ tanx over {x} right)]

[eqn: =3+1][eqn: =4]

[2점][2014년 3월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> `0} {f LEFT ( x RIGHT ) LEFT ( 1-cos {x} over {2} RIGHT ) =1}]일 때,
[eqn: lim _{x` -> `0} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT )}]의 값을 구하시오.

8

[출제의도] 삼각함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{} _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}}} `x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `0} {`` LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) LEFT ( 1-cos {x} over {2} RIGHT ) TIMES {x ^{2}} over {1-cos {x} over {2}} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x` -> `0} {`` LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) LEFT ( 1-cos {x} over {2} RIGHT ) TIMES {x ^{2} LEFT ( 1+cos {x} over {2} RIGHT )} over {LEFT ( 1-cos {x} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+cos {x} over {2} RIGHT )} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x` -> `0} {`` LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) LEFT ( 1-cos {x} over {2} RIGHT ) TIMES {{x ^{2}} over {4}} over {sin ^{2} {x} over {2}} TIMES 4 TIMES LEFT ( 1+cos {x} over {2} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: =1 TIMES 1 TIMES 4 TIMES 2=8]

[3점][2015년 4월]

실수 전체의 집합에서 정의된 두 함수
[eqn: f(x)=sin ^{2} x+`a`cosx`],  [eqn: g(x)`=` {cases{`0&``` LEFT ( x<`- {pi } over {2} RIGHT )#`x&``` LEFT ( - {pi } over {2} LEQ x`< pi RIGHT )#`bx&```(x` GEQ ` pi )}}]
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 실수이다.)

③

[출제의도] 함수의 연속성을 이해하여 합성함수의 연속성을 추론한다.

ㄱ. 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x< - pi over2`]에서 [eqn: 0`]이므로

[eqn: lim _{x` -> `- {pi } over {2} -} {g(x)`} `= lim _{x` -> `- {pi } over {2} -} {0`} =0`] (참)

ㄴ. [eqn: a=2`]이므로 [eqn: f(x) = sin^2 x + 2 cos x`]이다.

[eqn: f(x)`]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

임의의 실수 [eqn: alpha`]에 대하여

[eqn: lim _{x -> ` alpha -} {f(x)} `= lim _{x -> alpha +} {f(x)} `=f( alpha )`]를 만족한다.

[eqn: lim _{x -> `- {pi } over {2} `-} {(f CIRC g)(x)} `=f(0)][eqn: = sin^2 0 + 2 cos 0][eqn: =2`]

[eqn: lim _{x -> `- {pi } over {2} `+} {(f CIRC g)(x)} `= lim _{x -> `- {pi } over {2} `+} {} f(x)] [eqn: = sin^2 left( - pi over2 right) + 2 cos left( - pi over2 right)]

[eqn: =1]

[eqn: lim _{x` -> `- {pi } over {2} `-} {(f CIRC g)(x)} ` != lim _{x` -> `- {pi } over {2} +} {(f CIRC g)(x)}]

이므로 합성함수 [eqn: (f circ g) (x)`]는 [eqn: x= `- pi over2`]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{x` -> `` pi `-} {(f CIRC g)(x)} `= lim _{x` -> ` pi `-} {f(x)}][eqn: =sin ^{2} pi +a`cos pi =`-a`]

[eqn: lim _{x -> ` pi `+} {(f CIRC g)(x)} `= lim _{x -> ` pi `+} {f(bx)}] [eqn: =sin ^{2} b pi +a`cosb pi]

[eqn: (f circ g ) LEFT ( pi RIGHT ) = f (b pi ) =sin^2 b pi + a cosb pi]

합성함수 [eqn: (f circ g) (x)`]가 [eqn: x= pi`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> ` pi `-} {(f CIRC g)(x)} `= lim _{x -> ` pi +} {(f CIRC g)(x)}] [eqn: = { (f circ g )( pi) }]

그러므로

[eqn: sin^2 b pi + a`cosb pi =`-a`]

[eqn: 1- cos^2 b pi + a`cos b pi +a =0`]

[eqn: 1- cos^2 b pi + a(1+`cos b pi ) =0`]  … ㉠

㉠이 [eqn: a`]에 대한 항등식이므로

[eqn: 1- cos^2 b pi =0`]이고 [eqn: cos b pi +1`=0`]이다.

[eqn: cos b pi =`-1`]이므로

[eqn: b pi = (2n-1) pi`]([eqn: n`]은 정수)

[eqn: b= 2n-1`]([eqn: n`]은 정수) (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[4점][2015년 3월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `- {pi } over {2} -} {g(x)} `=0`] ㄴ. [eqn: a=2`]이면 합성함수 [eqn: (f CIRC g)(x)`]는 [eqn: x=`- {pi } over {2} `]에서 연속이다. ㄷ. [eqn: a`]의 값에 관계없이 합성함수 [eqn: (f CIRC g)(x)`]가 [eqn: x=pi`]에서 연속이면 [eqn: b`=`2n-1`]([eqn: n`]은 정수)이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: lim _{x`->`0} {{sin ^{2} x} over {1-cos`x} `}]의 값을 구하시오.

2

[출제의도] 함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{sin ^{2} x} over {1-cosx} = lim _{x` -> `0} {} {(1-cosx)(1+cosx)} over {1-cosx}}]

[eqn: = lim _{x` -> `0} {(1+cosx)=2}]

[3점][2015년 7월]

[eqn: lim_{x->0}{{tanx}over{xe^{x}}}]의 값은?

①

[eqn: lim_{x->0}{{tanx}over{x}} cdot {1}over{e^{x}}= 1 cdot 1=1]

[2점][2015년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[해설] 미적분2-(4)함수의극한-(b)삼각함수