수 리 영 역

수열, 극한 B형

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수 리 영 역

수열, 극한 B형

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 수열, 수열의 극한 (B형)

성명			수험번호

16

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,``` LEFT { b _{n} RIGHT }]이 각각
[eqn: a _{n} `= {1} over {2 ^{n-1}} `cos` {(n-1) pi } over {2}], [eqn: b _{n} = {1+(-1) ^{n-1}} over {2 ^{n}}] 일 때,
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. (반례) [eqn: a_3k = 1over {2^3k-1} cos {{(3k-1)pi} over 2}]에

[eqn: k=2]를 대입하면

[eqn: a_6 = 1over {2^5} cos {{5pi} over 2} = 1 over 2^5 ․0 = 0] (거짓)

ㄴ. [eqn: a_4k-1 = 1over 2^{4k-2} cos {{(4k-2)pi} over 2}]

[eqn: = 1over 2^{4k-2} cos {{(2k-1)pi}} = - 1over 2^4k-2],

[eqn: b_4k-1 = {1+(-1)^{4k-2}}over 2^{4k-1}][eqn: = 2 over 2^{4k-1} = 1 over 2^{4k-2}]이므로

[eqn: a_4k-1 +b_4k-1 = 0] (참)

ㄷ. [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ```:```1,```0,```- {1} over {4} ,```0,``` {1} over {16} ,```0,``` CDOTS]이므로

[eqn: sum_n=1^inf a_n = 1 over { 1- left(- 1over 4 right)}][eqn: = 4 over 5]

[eqn: b _{n} ```:```1,```0,``` {1} over {4} ,```0,``` {1} over {16} ,```0,``` CDOTS]이므로

[eqn: sum_n=1^inf b_n = 1 over { 1- 1over 4} = 4 over 3]

따라서 [eqn: {4} over {5} = {3} over {5} ․ {4} over {3}]이므로 [eqn: sum_n=1^inf a_n = 3over 5 sum_n=1^inf b_n] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[4점][2006년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{3k} ＜0]이다. ㄴ. 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{4k-1} +b _{4k-1} =0]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {3} over {5} sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=n]과 함수 [eqn: y=tanx]의 그래프가 제1사분면에서 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.
[eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n}}]의 값은?

④

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가?

(ⅰ) □□ □ □ □ □□

□□ □ □ □ □□

□□ □ □ □ □□

⋮

□□□□ □ □ □ □□

위의 식을 변끼리 더하면

□□□ □ □□ □⋯□ □□ □ □□□ □□□ □□□ □ □□□ □ □□ □⋯□ □□□

□□ □ □□□ □□□ □ □□

[eqn: {pi } over {4}]□ □□□ □□□ □ □□

[eqn: {pi } over {4n} + {n-1} over {n} pi < {a _{n}} over {n}]

[eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( {pi } over {4n} + {n-1} over {n} pi RIGHT ) LEQ lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n} ```````````` THEREFORE pi LEQ lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n}}}}]

(ⅱ) [eqn: a _{n} <(n-1) pi + {pi } over {2} 이므로]

[eqn: a _{n} < {2n-1} over {2} pi ``,````````````` {a _{n}} over {n} < {2n-1} over {2n} pi]

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` {a _{n}} over {n} < lim _{n -> INF } {} {2n-1} over {2n} pi ```]

[eqn: ``` THEREFORE lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n} LEQ pi }]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: pi LEQ lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n} LEQ pi ``이므로`````````` lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n}} `= pi `}]

[4점][2014년 수능]

① [eqn: {pi } over {4}]	② [eqn: {pi } over {2}]	③ [eqn: {3} over {4} pi]	④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

무한등비급수 [eqn: cos ^{2} theta +cos ^{2} theta` sin theta +cos ^{2} theta `sin ^{2} theta +` CDOTS] 의 합이 [eqn: {18} over {13}]일 때, [eqn: {10} over {tan theta }]의 값을 구하시오.[eqn: LEFT ( 단,`0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]

24

무한등비급수의 공비가 [eqn: sin theta] 이고 [eqn: 0<sin` theta <1] 이므로 무한등비급수는 수렴한다.

[eqn: {cos ^{2} theta } over {1-sin theta } = {18} over {13}],  [eqn: {1- sin ^{2} theta } over {1-sin theta } = {18} over {13}],

[eqn: 1+sin theta = {18} over {13}],  [eqn: sin theta = {5} over {13}]

∴ [eqn: tan theta = {5} over {12}]

그러므로 [eqn: {10} over {tan theta } =10TIMES {12} over {5} =24]

[4점][2006년 4월]

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (x-1)(log _{2} `x) ^{n}`]이 수렴할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: -1<log _{2} x<1``````` THEREFORE ` {1} over {2} <x<2] (참)

ㄴ.  [eqn: {(x-1)log _{2} x} over {1-log _{2} x} =1``,`````x`log _{2} x=`1]

[eqn: log _{2} x= {1} over {x}]이고 [eqn: y=log _{2} x``와```y= {1} over {x} `]의 그래프는 [eqn: {1} over {2} <x<2]인 범위 내에서 반드시 한 개의 교점이 생긴다. (참)

ㄷ.  [eqn: -1<log _{2} x<1`,```-2<log _{2} x-1<0``]

[eqn: -1< {log _{2} x-1} over {2} <0```] [eqn: THEREFORE `수렴]  (참)

[[eqn: 4`]점][2008년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. 수렴하기 위한 [eqn: x]값의 범위는 [eqn: {1} over {2} < x < 2]이다. ㄴ. 무한급수의 합이 [eqn: 1]이 되도록 하는 [eqn: x]의 값은 한 개 존재한다. ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left( {log _{2} ``x``-1} over {2} right) ^{n}`]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n`(n`+`cos`n` pi )} over {n ^{2} `+`1} ``]의 값은?

①

모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: cos`n` pi `=`(-1) ^{n} `]이므로

[eqn: ` lim _{n -> INF } {} {n ^{2} +n`cos`n` pi } over {n ^{2} `+`1} ``=` lim _{n -> INF } {} {1+ {1} over {n} `cos`n` pi } over {1`+` {1} over {n ^{2}}} ``]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {1+ {(-1) ^{n}} over {n}} over {1`+` {1} over {n ^{2}}} ``][eqn: =1]

[다른 풀이]

모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: -1`` LEQ `cos`n `pi`le`1``]이므로
[eqn: -` {n} over {n ^{2} `+`1} ` LEQ ` {n} over {n ^{2} `+`1} `cos`n pi ` LEQ ` {n} over {n ^{2} `+`1} ``]

그런데 [eqn: lim _{n -> INF } {} {n} over {n ^{2} `+`1} `=` lim _{n -> INF } {} {{1} over {n}} over {1`+` {1} over {n ^{2}}} `=`0``]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n`} over {n ^{2} `+`1} `cos`n` pi `=`0``]

또, [eqn: lim _{n -> INF } {} {n^{2}} over {n ^{2} `+`1} `=` lim _{n -> INF } {} {1} over {1`+` {1} over {n ^{2}}} `=`1``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {n(n`+`cos`n` pi )} over {n ^{2} `+`1} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {n ^{2} `+`1} ``+` lim _{n -> INF } {} {n`} over {n ^{2} `+`1} `cos`n` pi `]

[eqn: =`1`]

[2점][2011년 3월]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에서 [eqn: a _{n} =sin {n pi } over {4}]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{32} `na _{n} ^{```2}]의 값을 구하시오.

256

[eqn: a _{1} ^{``2} = {1} over {2}], [eqn: a _{2} ^{``2} =1], [eqn: a _{3} ^{``2} = {1} over {2}], [eqn: a _{4} ^{``2} =0],

[eqn: a _{5} ^{``2} = {1} over {2}], [eqn: a _{6} ^{``2} =1], [eqn: a _{7} ^{``2} = {1} over {2}], [eqn: a _{8} ^{``2} =0], [eqn: CDOTS]

[eqn: sum _{n=1} ^{32} `na _{n} ^{```2}= {1} over {2} TIMES {16 TIMES 32} over {2} +1 TIMES {8 TIMES 32} over {2} =256]

[4점][2012년 4월]

수열 [eqn: left{a_n right}``]이 [eqn: a_1 =0``]이고
[eqn: a_n+1 =(-1)^n a_n + sin``left( {n pi } over 2 right)`````(n>=1)``]
을 만족시킬 때, [eqn: a_50 ``]의 값은?

④

점화식에 [eqn: n=1,```2,```3,```cdots``]를 대입하면
[eqn: a_1 =0], [eqn: a_2 = 1], [eqn: a_3 = 1], [eqn: a_4 = `-2], [eqn: a_5 =`-2], [eqn: a_6 = 3], [eqn: cdots]
이므로 [eqn: a_2n = cases{``& n ~~~~~&(n``이 ````홀수) #&-n & (n``이````짝수)``]이다.
따라서 [eqn: a_50 = a_{2 times 25} = 25`]이다.

[4점][2012년 5월]

① [eqn: -50]	② [eqn: -25]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 50]

중심이 [eqn: rmO], 반지름의 길이가 [eqn: 1``]이고 중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi ``]인 부채꼴 [eqn: rmOAB``]가 있다.  그림과 같이 호 [eqn: rmAB``]를 이등분하는 점을 [eqn: rmM``]이라 하고 호 [eqn: rmAM``]과 호 [eqn: rmMB``]를 각각 이등분하는 점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형을 부채꼴 [eqn: rmOAB``]에 내접하도록 그리고, 부채꼴의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1 ``]이라 하자.  그림 [eqn: rmR_1 ``]에 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi``]인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림 [eqn: R_1 ``]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2 ``]라 하자.
그림 [eqn: R_2 ``]에 새로 그려진 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 [eqn: 2over3 pi``]인 부채꼴을 그리고 이 부채꼴에 그림 [eqn: R_1 ``]을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3 ``]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 그림 [eqn: R_n ``]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n ``]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { S_n}``]의 값은?

④

처음 직사각형의 넓이[eqn: `=`rmbarCD times barCG]

[eqn: rm bar CE`=`sin piover6 `=`1over2 `,~rmbarCD`=`1]

[eqn: triangle rmFOG]에서 [eqn: rm bar OG `=` 1over2 cosec pi over3 `=` root3 over3]

[eqn: therefore`` rm barOG`=`barCG ```` left(because``angleCOG`=`angle GCO`=`pi over 6 right)]

[eqn: therefore`` S_1 `=` 1over2 times 1 times 1 times 2 over3 pi - 1 times root3 over3 `=` {pi- root3}over{3}]

[eqn: rm bar FN ``]과 [eqn: rm ``bar OA]는 평행하므로 닮음인 두 도형의 길이의 비는

[eqn: rmbarOH `:`barFG`=`cos pi over6 : sin pi over 6 `=` 1: 1overroot3``]이므로

닮음인 두 도형의 넓이의 비는[eqn: 1: 1over3]이다. 즉, 공비는 [eqn: 1over3]이다.

[eqn: therefore`` lim_n->inf S_n `=` {{pi- root3} over3}over{1- left( 1 over3 right)}`=` {pi -root3}over{2}]

[4점][2014년 9월]

① [eqn: {2pi -3sqrt3}over2]	② [eqn: {pi-sqrt2}over3]	③ [eqn: {2pi-3sqrt2}over3]	④ [eqn: {pi -sqrt3}over2]	⑤ [eqn: {2pi -2sqrt3}over3]

그림과 같이 원점 [eqn: rm O]와 점 [eqn: rm A _{1} (0,```8)]을 이은 선분 [eqn: \OA_1 `]을 반지름으로 하고, 중심각의 크기가 [eqn: theta ``]인 부채꼴 [eqn: rm OA_1 B_1`]을 그린다.
점 [eqn: \B_1`]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \A_2 `]라 하고, 반지름이 선분 [eqn: \OA_2 `]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta ``]인 부채꼴 [eqn: \OA_2 \B_2 `]를 그린다.
점 [eqn: \B_2 `]에서 [eqn: y``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \A_3 `]이라 하고, 반지름이 선분 [eqn: \OA_3 `]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta ``]인 부채꼴 [eqn: \OA_3 \B_3 `]을 그린다.
이와 같이 시계 방향으로 [eqn: x``]축과 [eqn: y``]축에 번갈아 수선의 발을 내리는 과정을 계속하여 얻은 부채꼴 [eqn: rm OA _{itn} ` rm B _{itn}]의 호 [eqn: rm A _{itn} ` rm B _{itn}]의 길이를 [eqn: l_n ``]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } l _{n} =12 theta]일 때, [eqn: sin theta]의 값은?
(단, [eqn: 0＜ theta ＜ {pi } over {2}]이다.)

⑤

[eqn: l_1]은 반지름의 길이가 [eqn: 8,] 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 호의 길이이므로 [eqn: l _{1} =8 theta]이다. 또, [eqn: l_2]는 반지름의 길이가 [eqn: 8sin theta], 중심각의 크기가 [eqn: theta `]인 호의 길이이므로 [eqn: l _{2} =8 theta sin theta]이다.

마찬가지로 [eqn: l _{3} =8 theta sin ^{2} theta ,```l _{4} =8 theta sin ^{3} theta ,``` CDOTS]이다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { l _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 8 theta]이고 공비가 [eqn: sin theta]인 무한등비수열이다.

[eqn: THEREFORE ``` sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {8 theta } over {1-sin theta } =12 theta]

[eqn: THEREFORE ```sin theta = {1} over {3}]

[4점][2006년 수능]

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

두 곡선 [eqn: y=log _{{1} over {4}} (-x)``], [eqn: y=log _{{1} over {4}} x``]가 직선 [eqn: y= {1} over {2}]과 만나는 두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 [eqn: x``]축 위에 있는 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{1}`]이라 하자.
두 곡선이 직선 [eqn: y=1``]과 만나는 두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 직선 [eqn: y= {1} over {2}] 위에 있는 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{2}`]라 하자.
두 곡선이 직선 [eqn: y= {3} over {2}``]과 만나는 두 점을 꼭지점으로 하고, 한 변이 직선 [eqn: y=1] 위에 있는 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{3}`]이라 하자. 위와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: n``]번째 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{n}`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n}``]의 값은?

④

곡선 [eqn: y=log_{1over4} x``]와 직선 [eqn: y= 1over2], [eqn: y= 1], [eqn: y= {3} over {2} , ``CDOTS ``]이 만나는 점의 [eqn: x``]좌표는 각각 [eqn: 1over2 , LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 , LEFT ( 1over2 RIGHT )^3 , CDOTS``]이다.

[eqn: y=log_{1over4} x``]와 [eqn: y=log_{1over4}(- x)``]는 [eqn: y``]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S_n][eqn: = 1over2 LEFT { 1+ 1over2 +LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 + CDOTS RIGHT }= 1over 2 cdot 1over {1- 1over2}= 1]

[3점][2007년 10월]

① [eqn: {5} over {8}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: {7} over {8}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 9over8]

그림과 같이 원점 [eqn: rm O`]를 지나고 기울기가 [eqn: tantheta`]인 직선 [eqn: l`]과 점 [eqn: {rmA}_1 (0`,~3)`]이 있다. 점 [eqn: rm O`]를 중심으로 하고 [eqn: bar{rmOA}_1`]을 반지름으로 하는 원과 직선 [eqn: l`]이 만나는 점을 [eqn: {rmB}_1`]이라 하자. [eqn: {rmB}_1`]을 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선 [eqn: l_1``]이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: {rmC}_1`]이라 하고, 직선 [eqn: l_1``]위에 [eqn: bar{rm OC _{1} it} `=` bar{rm B _{1} A _{2} it} `]가 되는 점 [eqn: {rmA}_2`]를 잡는다.
점 [eqn: rmB_1`]을 중심으로 하고 [eqn: bar{rmB_1 A_2}`]를 반지름으로 하는 원과 직선 [eqn: l`]이 만나는 점을 [eqn: {rmB}_2`]라 하자. [eqn: {rmB}_2`]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선 [eqn: l_2``]가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: {rmC}_2`]라 하고, 직선 [eqn: l_2``]위에 [eqn: bar{rmC_1 C_2}`=`bar{rmB_2 A_3}`]이 되는 점 [eqn: {rmA}_3`]을 잡는다.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 부채꼴 [eqn: rm B _{itn-1} B _{itn} A _{itn}]의 호의 길이를 [eqn: arch{rm ``A it rm _{it n} rm B it rm _{it n} ` it} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } arch{rm ``A it rm _{itn} rm B it rm _{itn} ` it} `=`9` LEFT ( {pi } over {2} `-` theta RIGHT ) `]이다.
[eqn: bar{rmB_1 C_1}`]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: LEFT . 0< theta < {pi } over {2}]이고 [eqn: rm B _{it0}]은 원점이다.[eqn: pile{`#`} right)]

③

수열 [eqn: LEFT { arch{rm ``A it rm _{itn} rm B it rm _{itn} ` it} ` RIGHT } `]은 첫째항이 [eqn: 3 LEFT ( {pi } over {2} `-` theta RIGHT ) `]이고 공비가 [eqn: costheta`]인 등비수열이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } arch{rm ``A it rm _{n} rm B it rm _{n} ` it} `=` {3 LEFT ( {pi } over {2} `-` theta RIGHT ) `} over {1-cos theta } `][eqn: `=`9` left(pi over 2`-`theta right)`]

[eqn: costheta`=`2 OVER 3`]

[eqn: bar{rm B _{1} C _{1} it} `=`3sin theta `= sqrt {5} `]

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: rmC _{1}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: 3]

[eqn: theta]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm A _{3}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{3} `]

⋰

[eqn: l _{1}]

[eqn: l]

[eqn: l _{2}]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt {5}]	④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: sqrt {7}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 [eqn: O``]가 있다. [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하고 원 [eqn: O``]와 반지름의 길이가 같은 두 원의 외부와 원 [eqn: O``]의 내부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: R` _{1}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2]등분한 선분을 각각 지름으로 하는 두 원을 그리고, 이 두 원 안에 각각 그림 [eqn: R` _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 두 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{2}]라 하자.
그림 [eqn: R` _{2}]에 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 4]등분한 선분을 각각 지름으로 하는 네 원을 그리고, 이 네 원 안에 각각 그림 [eqn: R` _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 네 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R` _{3}]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R` _{n}]에 색칠되어 있는  모양의 모든 도형의 넓이의 합을 [eqn: S` _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}]의 값은?

②

아래 그림과 같이 원 [eqn: O]의 중심을 [eqn: rm O], 원 [eqn: O]와 중심이 [eqn: rm A]인 원이 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하자.

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: O]

[eqn: rm O]

[eqn: rm C]

이때, 삼각형 [eqn: rm AOC]는 정삼각형이므로

[eqn: S _{1} =1 ^{2} TIMES pi -4 TIMES LEFT { 2 TIMES (부채꼴` rm OAC)-△ rm AOC RIGHT }]

[eqn: =1 ^{2} TIMES pi -4 TIMES LEFT { 2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES {pi } over {3} RIGHT ) - {sqrt {3}} over {4} TIMES 1 ^{2} RIGHT }]

[eqn: = pi - LEFT ( {4} over {3} pi - sqrt {3} RIGHT )]

[eqn: = sqrt {3} - {pi } over {3}]

한편, 도형 [eqn: R _{n}]에서 가장 작은 원은 개수가 [eqn: 2 ^{n-1}], 반지름의 길이가 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]이므로

[eqn: S _{n} =S _{1} +2 TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES S _{1} + CDOTS +2 ^{n-1} TIMES LEFT { LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{n-1} S _{1}]

[eqn: =S _{1} + {1} over {2} S _{1} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} S _{1} + CDOTS + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} S _{1}]

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}} = {S _{1}} over {1- {1} over {2}}][eqn: = {sqrt {3} - {pi } over {3}} over {1- {1} over {2}}][eqn: =2 sqrt {3} - {2} over {3} pi]

[3점][2012년 9월]

① [eqn: 3sqrt { 3}- { 4} over { 3}pi]	② [eqn: 2sqrt { 3}- {2 } over { 3}pi]	③ [eqn: 2sqrt { 3}- { piover2]

④ [eqn: 3sqrt { 3}- }pi]	⑤ [eqn: 3sqrt { 3}- { 2} over { 3}pi]

그림과 같이 중심이 [eqn: (1,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: rm O_1`]이 있다. 원 [eqn: rm O_1`]이 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A _{1}`]이라 하고 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: rm OA _{1}`]의 길이를 [eqn: l _{`1}]이라 하자.
중심이 [eqn: (`l_{`1}`,``0`)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: l _{`1} `]인 원 [eqn: rm O _{2``}`]를 그린다.   원 [eqn: rm O _{2`}`]가 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]와 만나는 점 중에서 원점이 아닌 점을 [eqn: rm A ` _{2}`]라 하고 직선 [eqn: y= 1over sqrt3 x `]의 윗 쪽에 있는 호 [eqn: rm OA _{`2}`]의 길이를 [eqn: l _{`2}`]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 호의 길이를 [eqn: l`_n `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `{1} over {l _{`n}} `]의 값은?

⑤

직선 [eqn: y= {1} over {sqrt {3}} x`]와 [eqn: x`]축이 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi } over {6} `]이다. [eqn: rmTRIANGLE OO _{1} A _{1} `]은 이등변삼각형이므로 [eqn: rmANGLE OO _{1} A _{1} = {2} over {3} pi `]

따라서 [eqn: l _{1} = {2} over {3} pi `]

[eqn: rm TRIANGLE OO _{{it`n}} A _{{it`n`}} `]은 이등변삼각형이므로 [eqn: rm ANGLE OO _{{it`n`}} A _{{it`n}} = {2} over {3} pi `]

따라서 [eqn: l _{{it`n}} = {2} over {3} pi `cdot`l _{{it`n-1}}] [eqn: (n geq 2 )]

수열 [eqn: left{ {1} over {l _{n}} `right}]은 첫째항이 [eqn: {3} over {2pi} `]이고 공비가 [eqn: {3} over {2pi} `]인 등비수열이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {l _{n}} `][eqn: = {{3} over {2 pi }} over {1- {3} over {2pi }} `][eqn: = {3} over {2 pi -3} `]

[4점][2012년 10월]

[eqn: y= { 1} over {sqrt { 3} }x]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 1 over { pi-3} `]	② [eqn: 2 over { pi-3} `]	③ [eqn: 1 over { 2 pi-3} `]

④ [eqn: 2 over { 2 pi-3} `]	⑤ [eqn: 3 over { 2 pi-3} `]

중심이 [eqn: O``]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3``]인 원이 있다. 그림과 같이 [eqn: angle AOB= pi over 2 ``]인 원 위의 두 점을 [eqn: A], [eqn: B``]라 하고, 호 [eqn: AC``]와 호 [eqn: BC``]의 길이가 같은 점을 [eqn: C``]라 하자. 선분 [eqn: OC``]를 [eqn: 1```:``2``]로 내분하는 점을 [eqn: D``]라 하고, 네 선분 [eqn: OA], [eqn: AD], [eqn: DB], [eqn: BO``]로 둘러싸인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1 ``]이라 하자.
그림 [eqn: R_1``]에서 두 반지름 [eqn: OA], [eqn: OB``]를 각각 지름으로 하는 두 반원을 그리고, 두 반원 안에 지름의 길이가 최대인 내접원을 각각 그린다. 두 내접원 안에 각각 그림 [eqn: R_1 ``]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 두  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2 ``]라 하자.
그림 [eqn: R_ 2``]에서 그린 두 내접원의 [eqn: 4``]개의 반지름을 각각 지름으로 하는 [eqn: 4``]개의 반원을 그리고, [eqn: 4``]개의 반원 안에 지름의 길이가 최대인 내접원을 각각 그린다. [eqn: 4``]개의 내접원 안에 각각 그림 [eqn: R_1 ``]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 [eqn: 4``]개의  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_3``]이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n``]번째 얻은 그림 [eqn: R_n ``]에 색칠되어 있는 모든  모양의 도형의 넓이의 합을 [eqn: S_n ``]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf S_n``]의 값은?

②

[eqn: R_1``]의 색칠된 넓이는 [eqn: 2 times 1 over 2 cdot 1 cdot 3 cdot sin``pi over 4 = {3root2 } over 2``]이고,
그림 [eqn: R_1``]의 원의 반지름의 길이는 [eqn: 3],
그림 [eqn: R_2``]에서 반원 안에 지름의 길이가 최대인 내접원의 반지름의 길이는 [eqn: 3 over 4``]이므로  모양의 길이의 비는 [eqn: 4```:``1``]이므로 넓이의 비는 [eqn: 16```:``1``]이다.
그림 [eqn: R_2``]에서는  모양이 [eqn: 2``]개, 그림 [eqn: R_3``]에서는  모양이 [eqn: 4``]개가 추가되므로
[eqn: S_n ``]은 초항이 [eqn: {3 root2 } over 2 ``]이고, 공비가 [eqn: 1 over 8``]인 등비수열의 합이다. 따라서
[eqn: therefore```][eqn: lim_n->inf S_n = sum from n=1 to inf left{left({3root2} over 2 right) cdot left(1 over 8 right)^n-1right} = {{3root2} over 2 } over {1- 1 over 8} = {12root2} over 7]

[4점][2012년 5월]

① [eqn: {11 root2 } over 7]	② [eqn: {12 root2 } over 7]	③ [eqn: {13 root2 } over 7]
④ [eqn: 2root2]	⑤ [eqn: {15 root2 } over 7]

[해설] 미적분2-(3)수열, 수열의 극한 (B형)