수 리 영 역

cos, sin법칙

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수 리 영 역

cos, sin법칙

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 삼각함수 (cos, sin법칙)

성명			수험번호

16

그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정사각뿔이 있다. 모서리 [eqn: rmEC] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm ANGLE BPD= theta]라 할 때, [eqn: cos`theta]의 최대값과 최소값의 합은?

①

[eqn: barPB = barPD = x``]로 놓으면 코사인제이법칙에서

[eqn: bar{BD} `` ^{2} = bar{PB} `` ^{2} + bar{PD} `` ^{2} -2․ bar{PB} ․ bar{PD} ․cos theta]

[eqn: barBD = sqrt 2 ``]이므로 [eqn: 2=x ^{2} +x ^{2} -2x ^{2} cos theta ``]

[eqn: 2x ^{2} (1-cos theta )=2] [eqn: ` RARROW ````1-cos theta = {1} over {x ^{2}}]

[eqn: THEREFORE ```cos theta =1- {1} over {x ^{2}}]

그런데 [eqn: sqrt 3 over 2 <= barBP <= 1 ,] 즉 [eqn: sqrt 3 over 2 <= x <=1]

[eqn: Rarrow ~3 over 4 <= x^2 <=1]이므로 [eqn: 1<= 1 over {x^2 } <= 4 over 3]

[eqn: THEREFORE - {1} over {3} <= cos theta <= 0]

최대값은 [eqn: 0,] 최소값은 [eqn: - 1 over 3]

[eqn: THEREFORE ```0+ LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) =- {1} over {3}]

[1994년 수능 1차]

①　[eqn: - 1 over 3]	②　[eqn: - root 3 over 6]	③　[eqn: 0]
④　[eqn: root 3 over 6]	⑤　[eqn: 1 over 3]

직사각형 모양의 어느 극장에서 무대를 잘 볼 수 있는 좌석을 구별하려고 한다. 아래 그림은 그 극장의 평면도이다. 중앙 무대의 폭이 [eqn: 6rmm]이고, 무대 좌우 양 끝 점 [eqn: rmA,```B]와 객석 내의 한 점 [eqn: rmX]가 이루는 각 [eqn: rm ANGLE AXB= theta]라고 하자. 이 때, 이 각 [eqn: theta``]가 [eqn: 30 DEG] 이상 되는 영역에는 특별석, [eqn: 15 DEG]이상 [eqn: 30 DEG]이하가 되는 영역에는 일등석을 놓으려고 한다. 일등석을 놓으려고 하는 영역의 넓이는? (단위는 [eqn: rm m`^2``])

①

일등석은 위의 그림과 같이 현 [eqn: AB``]에 대한 중심각이 [eqn: 60^circ]인 원 [eqn: C_1 `]과 [eqn: 30^circ]인 원 [eqn: C_2] 사이의 부분이다.

원 [eqn: C_1 `]의 반지름의 길이는 [eqn: 6]이고, 원 [eqn: C_2 `]의 반지름의 길이를 [eqn: r``]라 하면

제이코사인법칙에 의하여

[eqn: r^2 + r^2 - 2r ^2 cos60^circ = 6^2]

[eqn: ∴ r = 36 over {2-sqrt 3}][eqn: = 36 (2+ sqrt 3 ``)]

원 [eqn: C_1 `]의 활꼴의 넓이 [eqn: S_1 `]은

[eqn: S_1 = 1 over 2 ․ 6^2 ․ 5 over 3 pi `+ 1 over 2 ․ 6^2 ․ sin 60^circ][eqn: = 30 pi +9 sqrt 3]

원 [eqn: C_2 `]의 활꼴의 넓이 [eqn: S_2 `]는

[eqn: S_2 = 1 over 2 r^2 ․ 11 over 6 pi + 1 over 2 r^2 ․ sin30^circ]

[eqn: =33(2+ sqrt 3 ``) + 9(2+ sqrt 3 ``)]

따라서, 구하는 넓이는

[eqn: S_2 - S_1 = 33(2+ sqrt 3 ``) pi + 9 (2+ sqrt 3 ``) - (30pi + 9 sqrt 3 `` )]

[eqn: = 3pi (12+ 11sqrt 3 ``)+18]

[4점][1997년 수능]

①　[eqn: 3 pi `(12+11 sqrt {3} `)+18]

②　[eqn: 3pi`(24-11sqrt3`)+18``]

③　[eqn: 10`(24-11sqrt3`)+18``]

④　[eqn: 9`(14+11sqrt3`)``]

⑤　[eqn: 9`(26-11sqrt3`)``]

△ABC에서 [eqn: b=8], [eqn: c=7], [eqn: rm ANGLE A=120 DEG]일 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

[eqn: △ABC``]에서 제이코사인 법칙에 따라

[eqn: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cosA ``][eqn: = 8^2 + 7^2 - 2×8×7 × cos120^circ]

[eqn: = 64 + 49 - 2× 56 ×left( - 1 over 2 right)] [eqn: = 169]

[eqn: THEREFORE ```a=13]

[3점][1998년 수능]

반지름의 길이가 [eqn: 2rmkm]인 원형의 자동차 시험장에서 초속 [eqn: 20rmm]의 일정한 속력으로 자동차가 달리고 있다. 원의 중심 [eqn: rmO]에서 [eqn: 1rmkm] 떨어진 지점 [eqn: rmA]에 속력 측정기가 놓여 있어, 자동차의 속도 중 자동차의 위치 [eqn: rmP]로부터 [eqn: rmA]방향으로의 성분을 측정하고 있다. 이 때, [eqn: rm ANGLE APO= theta]이면 이 성분의 크기는 [eqn: 20`sin theta `(rmm/초)]이다. 이 자동차가 한 바퀴 도는 동안 속력 측정기가 기록하는 최대값은 몇 [eqn: rmm/초]인가?

②

[eqn: △APO``]에서 사인법칙을 쓰면

[eqn: {2} over {sinA} = {1} over {sin theta }]  [eqn: THEREFORE ```sin theta = {sinA} over {2}]

따라서, [eqn: sinA =1]일 때 [eqn: sin theta]는 최대값 [eqn: 1 over 2]을 가진다.

그러므로 최대값[eqn: = 20 ․ 1 over 2 =10]

[별해]

[eqn: barAP = x (km`)]라 하면 [eqn: △AOP``]에서

[eqn: cos theta = {2 ^{2} +x ^{2} -1 ^{2}} over {2․2x`}][eqn: = {x} over {4} + {3} over {4x}][eqn: GEQ 2 sqrt {{x} over {4} ․ {3} over {4x}}][eqn: = sqrt 3 over 2]

[eqn: theta]가 예각이므로 [eqn: theta <= {pi } over {6}]

[eqn: THEREFORE ```20sin theta <= 20sin {pi } over {6} =10]

따라서, 구하는 최대값은 [eqn: 10 (m/s`)]

[3점][1998년 수능]

①　[eqn: 8]	②　[eqn: 10]	③　[eqn: 10 root 2]

④　[eqn: 10 root 3]	⑤　[eqn: 20]

[eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 [eqn: rm 6 `sin A = 2 root 3 `sin B = 3 `sin C] 가 성립할 때, [eqn: rm ANGLE A]의 크기는?

⑤

[eqn: 6sinA=2 sqrt {3} `sinB=3sinC`=k`]라 하면

[eqn: sinA= {k} over {6} ,```sinB= {k} over {2 sqrt {3}} ,```sinC= {k} over {3}]이므로

[eqn: sinA```:```sinB```:```sinC= {k} over {6} ```:``` {k} over {2 sqrt {3}} ```:``` {k} over {3} =1```:``` sqrt {3} ```:```2]

사인법칙에서 [eqn: sinA```:```sinB```:```sinC=a```:```b```:```c]이므로

[eqn: a=m,```b= sqrt {3} m,```c=2m]이라 하면

제[eqn: 2]코사인법칙에서

[eqn: cos A={(2m)^2 +(sqrt3 m)^2 -(m)^2}over{2cdot2m cdot sqrt3 m} = sqrt3 over2]

[eqn: THEREFORE ~A=30DEG]

[3점][2000년 수능]

①　[eqn: 120 DEG]	②　[eqn: 90 DEG]	③　[eqn: 60 DEG]

④　[eqn: 45 DEG]	⑤　[eqn: 30 DEG]

어떤 물질은 원자를 구로 나타낼 경우 똑같은 구들을 규칙적으로 배열하여 얻은 정육각형 격자구조를 갖는다. 아래 그림은 이 격자구조의 한 단면에 놓여 있는 원자의 중심을 연결한 것이다. 이 구조에서 한 원자의 에너지는 인접한 원자의 수와 거리에 영향을 받는다. 가장 인접한 원자의 중심간의 거리가 모두 [eqn: 1]일 때, 동일 평면상에서 고정된 한 원자와 중심사이의 거리가 [eqn: SQRT { 7}]인 원자의 개수는?

④

고정된 한 원자 [eqn: A`]와 중심 사이의 거리가 [eqn: SQRT { 7}]이 되려면 원자가 아래 그림의 [eqn: B`]의 위치에 놓여야 한다.

제이코사인법칙에 의해

[eqn: bar{AB} ^{2} =2 ^{2} +1 ^{2} -2 TIMES 2 TIMES 1 TIMES cos120 DEG =7]

[eqn: THEREFORE ``` bar{AB} = sqrt {7}]

따라서, [eqn: A`]를 한 점으로 하고 두 변의 길이가 [eqn: 1,```2]인 평행사변형을 찾아 [eqn: A`]와 중심거리가 [eqn: SQRT { 7}]인 원자를 찾으면 된다.

따라서, 모두 [eqn: 12]개이다.

[3점][2002년 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 6]	③　[eqn: 8]

④　[eqn: 12]	⑤　[eqn: 16]

두 직선 [eqn: y`=2x`]와 [eqn: y`= "`1`" over "`2`" x``]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta ``]라 할 때, 아래 그림을 이용하여 [eqn: cos theta ``]의 값을 구하면?

①

아래 그림에서 [eqn: bar OA `=`sqrt5`,~bar OB`=`2sqrt5`,~bar AB`=`3]이므로 제[eqn: 2]코사인법칙에서

[eqn: 3^2 `=`(sqrt5`)^2 `+`(2`sqrt5`)^2`-`2cdot sqrt5 cdot2sqrt5`cdot`cos`theta `]이므로

[eqn: cos`theta `=`4over5]

[3점][2004년 수능]

① [eqn: "`4`"over"`5`"]	② [eqn: "`3`"over"`5`"]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: "`2`" over"`5`"]	⑤ [eqn: "`1`" over"`5`"]

그림과 같이 [eqn: {rm bar AB} = 10`]인 평행사변형 [eqn: rm ABCD `]가 있다. 이 도형을 대각선 [eqn: rm BD`]를 따라 접어서 생기는 삼각형 [eqn: rm EBC`]의 넓이가 평행사변형 [eqn: rm ABCD `]의 넓이의 [eqn: {1} over {5}]이고, [eqn: rm bar{CE} `], [eqn: rm bar{EB} `], [eqn: rm bar{BD} `]의 길이가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 선분 [eqn: rm {AD} `]의 길이는?

③

[eqn: rm bar{CE} ` it =a``], [eqn: {rm bar{EB} `}=ar``], [eqn: rm ` bar{BD} it =ar ^{2} ``]이라 하자.

(삼각형[eqn: rm EBC]의 넓이)[eqn: =`][eqn: {1} over {5} `](사각형[eqn: rm `ABCD]의 넓이)

[eqn: therefore`````][eqn: a=4`] … ①

[eqn: rm ANGLE ABD`=` ANGLE A prime BD], [eqn: rm ANGLE ABD`=` ANGLE BDC`]

[eqn: rm TRIANGLE DEB``]는 이등변 삼각형이므로 [eqn: rm bar{DE} it = rm bar{EB} ``]

[eqn: therefore`````][eqn: r= {3} over {2}] … ②

①, ② 에 의하여

[eqn: rm bar{CE} `,` rm ``` bar{EB} `,``` rm bar{``BD} ``]의 길이는 각각 [eqn: 4`,```6`,```9`].

[eqn: {rm ANGLE EDB`}= theta ``]이라 할 때, [eqn: rm TRIANGLE DEB``]에서

제이코사인법칙에 의하여

[eqn: cos` theta `=` {36+81-36} over {2` TIMES 6 TIMES 9} = {3} over {4}] .

[eqn: rm TRIANGLE ABD``]에서 제이코사인법칙에 의하여

[eqn: { rm bar{AD} } ^{2} =10 ^{2} +9 ^{2} -2` TIMES 9 TIMES 10 TIMES `cos` theta]

[eqn: THEREFORE `````][eqn: rm bar{AD} = sqrt {46}]

[[eqn: 4`]점][2010년 7월]

① [eqn: 2sqrt11]	② [eqn: 3sqrt5]	③ [eqn: sqrt46]	④ [eqn: sqrt47]	⑤ [eqn: 4sqrt3]

그림과 같이 [eqn: bar{rm AB it} `:` bar{rm BC it} =3:4]인 직사각형 [eqn: rm ABCD`]에서 선분 [eqn: rm CD`]를 [eqn: 2:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P], 선분 [eqn: rm AD`]의 중점을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: rm ANGLE BPQ= theta `]일 때, [eqn: cos`2 theta]의 값은?

②

[출제의도] 삼각함수의 배각공식 이해하기

[eqn: bar{rm AB it} =3a], [eqn: bar{rm BC it} =4a] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]라 할 때

[eqn: bar{rm PQ it} = sqrt {5} a], [eqn: bar{rm PB it} = sqrt {20} a], [eqn: bar{rm BQ it} = sqrt {13} a]

코사인법칙에 의하여 [eqn: cos` theta = {3} over {5}]

따라서 [eqn: cos`2 theta =2cos ^{2} theta `-1=- {7} over {25}]

[3점][2011년 7월]

① [eqn: - {9} over {25}]	② [eqn: - {7} over {25}]	③ [eqn: - {4} over {25}]	④ [eqn: - {1} over {25}]	⑤ [eqn: 0]

그림과 같이 [eqn: {bar{rm BC it}} `=`1`]이고 [eqn: ANGLE rm ABC` it =` theta `], [eqn: ANGLE rm ACB it `=`2 theta `]인 삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 다음은 [eqn: {bar{rm AB it}} `+` {bar{rm AC it}} `=`a``]라 할 때, [eqn: cos theta `]를 [eqn: a`]에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

③

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 식을 추론한다.

삼각형 [eqn: \ABC]에서

[eqn: {1} over {sin( pi -3 theta )} `= `{bar{\AB}} over {sin2 theta }` = `{ bar {\AC}} over {sin theta }]이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} + {bar{rm AC it}}][eqn: =][eqn: {sin 2 theta} over {sin 3 theta} + {sin theta} over {sin 3 theta}][eqn: =][eqn: {2sin theta `cos theta +sintheta} over {sin3 theta }]

[eqn: =][eqn: {sin theta `(2 cos theta + 1 ) } over {sin 3 theta}]

이때 [eqn: sin 3theta][eqn: =][eqn: 3 sin theta - 4sin ^3 theta]이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} + {bar{rm AC it}} `=`a]에서

[eqn: a][eqn: =][eqn: {sintheta(2cos theta +1)} over {sintheta(3-4sin ^{2} theta )}][eqn: =][eqn: { 2 cos theta +1 } over { 3 -4 sin ^2 theta }][eqn: =][eqn: {2 cos theta +1 } over {4 cos^2 theta -1 }][eqn: =][eqn: 1 over {2 cos theta -1 }]

따라서 [eqn: cos theta][eqn: `=`][eqn: {a +1 } over 2a]이다.

위의 과정에서

[eqn: f(theta)][eqn: =``][eqn: 2 cos theta +1], [eqn: g(theta)][eqn: `=`][eqn: 2 cos theta -1], [eqn: h(a)][eqn: `=`][eqn: a+1 over 2a] 이므로

[eqn: f`left( {pi } over {6} right)+g`left( {pi } over {6} right)+h(2)][eqn: =][eqn: (root 3 +1) + ( root 3 -1 ) + 3 over 4][eqn: =][eqn: 2 root 3 + 3 over 4]

삼각형 [eqn: rm ABC`]에서

[eqn: {1} over {sin`(` pi `-`3 theta `)} `=` {{bar{rm AB it}}} over {sin`2 theta `} `=` {{bar{rm AC it}}} over {sin` theta `} `]

이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} `+` {bar{rm AC it}} `=` {sin` theta ` TIMES ` {BOX{``(가)``}}} over {sin`3 theta } `]이다.

[eqn: sin 3theta][eqn: =][eqn: sin (2theta + theta )]

[eqn: =][eqn: sin 2theta cos theta + cos 2theta sin theta]

[eqn: =][eqn: 2sin theta cos ^2 theta +(1-2sin^2 theta)sin theta]

[eqn: =][eqn: 3 sin theta - 4sin ^3 theta]

이므로 [eqn: {bar{rm AB it}} + {bar{rm AC it}}` =a`]에서

[eqn: a=][eqn: {{BOX{``(가)``}}} over {3-4sin ^{2} theta }][eqn: = {1} over {box{``(나)``}}]

이다. 따라서

[eqn: cos theta = box { ``(다)``` }]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f( theta )], [eqn: g( theta )], [eqn: h(a)]라 할 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) +`g LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) +`h(2)]의 값은?

[3점][2014년 10월]

① [eqn: sqrt {3} +1]	② [eqn: sqrt {3} + {4} over {3}]	③ [eqn: 2 sqrt {3} + {3} over {4}]

④ [eqn: 2 sqrt {3} +1]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3} + {5} over {4}]

평면에 있는 사각형 [eqn: ABCD]가
[eqn: bar{AB} = bar{AD} =1,````` bar{BC} = bar{CD} = bar{DB}]
를 만족시킨다. [eqn: ANGLE DAB= theta]라 할 때, 사각형 [eqn: ABCD]의 넓이가 최대가 되도록 하는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: 60sin ^{2} theta]의 값을 구하시오.

[eqn: 15`]

[출제의도]삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가?

삼각형 [eqn: ABD`]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: bar BD`^2 = 1^2 + 1^2 - 2 cdot 1 cdot 1 cdot cos theta`][eqn: = 2- 2 cos theta`]

삼각형 [eqn: BCD`]는 정삼각형이므로

삼각형 [eqn: BCD`]의 넓이는

[eqn: root3 over 4 times bar BD`^2` = root3 over 4 (2- 2 cos theta )`][eqn: = root3 over 2 (1- cos theta )`]

삼각형 [eqn: ABD`]의 넓이는

[eqn: 1over 2 times 1 times1 times sin theta`= 1over2 `sin theta`]

이므로 사각형 [eqn: ABCD`]의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S = 1over 2 `sin theta + root3 over2 (1- cos theta )`]

[eqn: = 1over 2 `sin theta - root3 over 2 `cos theta + root3 over2`][eqn: = sin left( theta - pi over 3 right) + root3 over2`]

따라서, [eqn: S`]는 [eqn: theta - pi over 3 = pi over 2`] 즉, [eqn: theta = 5over 6 pi`]일때 최댓값을 갖는다.

∴ [eqn: 60 sin^2 theta` = 60 `sin^2 5over6 pi`][eqn: = 60 times left( 1over2 right)^2`][eqn: = 15`]

[4점][2011년 9월]

[해설] 미적분2-(2)삼각함수-(g)cos, sin법칙