수 리 영 역

배각공식 수식형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 리 영 역

배각공식 수식형

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 삼각함수 (배각공식 수식형)

성명			수험번호

16

방정식 [eqn: cos ^{2} x-sin ^{2} 2x=0]을 만족하는 [eqn: 0 <= x <= 2 pi] 인 서로 다른 실근의 개수는?

④

[eqn: cos^2 x - sin^2 2x =0][eqn: (0<= x <= 2 pi `)]에서

[eqn: RARROW ```cos ^{2} x-4sin ^{2} x`cos ^{2} x=0]

[eqn: RARROW ```cos ^{2} x(1-4sin ^{2} x)=0]

[eqn: cosx=0```또는```sin ^{2} x= {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE ```x= {pi } over {2} ,``` {3} over {2} pi] 또는 [eqn: x= {pi } over {6} ,``` {5} over {6} pi ,``` {7} over {6} pi ,``` {11} over {6} pi]

∴ 모두 [eqn: 6]개

[1점][1996년 수능]

①　[eqn: 3]	②　[eqn: 4]	③　[eqn: 5]

④　[eqn: 6]	⑤　[eqn: 7]

[eqn: 0 LEQ theta LEQ 2 pi]일 때, [eqn: { 1} over {3+4 sin ^2 theta }+ { 1} over {3+4 cos ^2 theta }]의 최소값은?

②

[eqn: f(0)= 1over{3+4sin^2 theta }+ 1over{3+4cos^2 theta }]

[eqn: = 1over{3+4{1-cos2theta}over2 }+ 1over{3+4{1+cos2 theta}over2 }]

[eqn: = 1over{5-2cos2theta}+ 1over{5+2cos2 theta}][eqn: = 10over{25-4cos^2 2theta}]

그러므로 [eqn: f( theta )]의 최소값은 (분모)[eqn: =25-4cos^2 2theta]가 최대일 때이다. 따라서, [eqn: cos^2 2theta =0]일 때 분모는 최대이므로

[eqn: f( theta )]의 최소값은 [eqn: 10over25 = 2over5]이다.

[3점][2000년 수능]

①　[eqn: { 1} over {2 }]	②　[eqn: { 2} over {5 }]	③　[eqn: { 3} over {10 }]

④　[eqn: { 1} over {5 }]	⑤　[eqn: { 1} over {10 }]

함수 [eqn: f`(x`)=2 { sin}^{3 }x+sin2x`cos`x`+2cos`x`]의 최대값은?

⑤

[eqn: f(x)=2{sin}^{3}x+2sinx{cos}^{2}x+2cosx]

[eqn: =2{sin}^{3}x+2sinx(1-{sin}^{2}x)+2cosx]

[eqn: =2sinx+2cosx][eqn: =2 sqrt {2} `sin(x+ {pi } over {4} ) <= 2 sqrt {2}]

[2점][2002년 수능]

①　[eqn: {root 2} over {2}]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: root 2]

④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 2 root 2]

[eqn: sin alpha = {3_`} over {4`}]일 때, [eqn: cos 2 alpha `]의 값은?

③

[eqn: cos2 alpha`=`1`-2sin^2` alpha`=`1- 2× ( 3 over 4 )^2][eqn: `=1`-` 9 over 8`=` - 1over 8]

[3점][2008년 수능]

① [eqn: - {1} over {32}]	② [eqn: - {1} over {16}]	③ [eqn: - {1} over {8}]

④ [eqn: - {1} over {4}]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

[eqn: 0 LEQ x＜2 pi]일 때, 방정식 [eqn: sin2x=2`cosx-2cos ^{2} `x`]를 만족시키는 서로 다른 모든 [eqn: x`]의 값의 합은?

⑤

[eqn: sin 2x = 2sinx cos x]이므로 주어진 방정식은

[eqn: 2sinx cos x = 2cos x - 2cos^2 x]

[eqn: cos x (sinx +cos x -1)=0]

∴ [eqn: cos x =0] 또는 [eqn: sinx +cos x =1]

(i) [eqn: cos x =0]에서 [eqn: x= pi over 2] 또는 [eqn: x = 3over 2 pi]

(ii) [eqn: sinx +cos x =1]에서 [eqn: root2 `sin left( x+ pi over 4 right) = 1]

[eqn: `sin left( x+ pi over 4 right) = 1 over root2]

∴ [eqn: x+ pi over 4 = pi over 4] 또는 [eqn: x+ pi over 4 = 3pi over 4]

∴ [eqn: x=0] 또는 [eqn: x = pi over 2]

따라서 구하는 서로 다른 모든 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 0+ pi over 2 + 3over2 pi = 2pi]

[3점][2009년 수능]

① [eqn: pi]	② [eqn: {5} over {4} pi]	③ [eqn: {3} over {2} pi]

④ [eqn: {7} over {4} pi]	⑤ [eqn: 2pi]

[eqn: tan` theta =- sqrt {2}]일 때, [eqn: sin theta ``tan2 theta]의 값은? (단, [eqn: {pi } over {2} < theta < pi])

③

[eqn: tan theta =-root2]이므로 [eqn: sin theta = root6 over 3 ~ left(∵~ pi over 2 ＜theta ＜pi right)]

[eqn: THEREFORE ```sin theta ``tan2 theta =sin theta ․ {2tan theta } over {1-tan ^{2} theta }]

[eqn: = root 6 over 3 ․ {2(-root2 )} over {1-(-root2 )^2 }][eqn: = {4root3} over 3]

[3점][2010년 수능]

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: tan theta over2 = sqrt { 2} over2]일때, [eqn: sec theta] 의 값은?  (단, [eqn: 0PREC theta PREC piover2])

①

[eqn: cos` theta = {1-tan^2 theta over2 } over {1-tan^2 theta over2 }]=[eqn: {1- 1 over 2 } over {1+ 1over2 }]=[eqn: {1 over 2 } over {3over2 }]=[eqn: {1 over 3 }] [eqn: THEREFORE sec` theta=3]

[3점][2011년 수능]

① [eqn: 3]	② [eqn: 10 over 3]	③ [eqn: 11 over 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 13 over 3]

방정식 [eqn: 3`cos``2x+17`cos``x=0``]을 만족시키는 [eqn: x``]에 대하여
[eqn: tan^2 ``x`]의 값을 구하시오.

[eqn: 35]

[eqn: 3`cos`2x+17`cos`x=0]

[eqn: 3(2`cos^2 x -1)+17`cos`x=0]

[eqn: cos`x =t```(-1 le t le 1)]로 치환하면

[eqn: 6t^2 +17t-3=0]

[eqn: (t+3)(6t-1)=0]

[eqn: therefore```t=cos`x = 1over6 ~(because```-1le t le 1)]

[eqn: tan^2 x = sec^2 x -1 =36-1 =35]

[3점][2012년 수능]

[eqn: sintheta= {1} over {3}]일 때, [eqn: sin2theta]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}]이다.)

②

[eqn: sin theta = 1 over 3]이므로

[eqn: cos theta = root{1-sin^2 theta} = root{1-left(1 over 3 right)^2} = {2root2} over 3][eqn: LEFT ( BECAUSE ```0＜ theta ＜ {pi } over {2} RIGHT )]

∴ [eqn: sin 2 theta = 2 sin theta cos theta][eqn: = 2 × 1 over 3 × {2root2} over 3][eqn: = {4root2} over 9]

[2점][2013년 수능]

① [eqn: {7 sqrt {2}} over {18}]	② [eqn: {4 sqrt {2}} over {9}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {5 sqrt {2}} over {9}]	⑤ [eqn: {11 sqrt {2}} over {18}]

[eqn: tan theta = {sqrt {5}} over {5}]일 때, [eqn: cos2 theta]의 값은?

③

[출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이해하고 있는가?

[eqn: sec ^{2} theta =1+tan ^{2} theta =1+( {sqrt {5}} over {5} ) ^{2} = {30} over {25}]

[eqn: cos ^{2} theta = {5} over {6} ```````` THEREFORE cos2 theta =2cos ^{2} theta -1= {2} over {3} `````]

[2점][2014년 수능]

① [eqn: {sqrt {6}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {3}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {3}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2cos ^{2} x+ksin2x-1]의 최댓값이 [eqn: sqrt {10}]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

③

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가?

□□□□ □ □ [eqn: cos ^{2} x] □ □sin□□ □ □

□ □ ×[eqn: {1+cos2x} over {2}]□ □sin□□ □ □

□ □ sin□□ □ cos□□

□ [eqn: sqrt {k ^{2} +1}]sin□□□ □ □□

(단, [eqn: sin alpha = {1} over {sqrt {k ^{2} +1}} ,``cos alpha = {k} over {sqrt {k ^{2} +1}}])

따라서, 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: sqrt {k ^{2} +1}]이므로

[eqn: sqrt {k ^{2} +1} = sqrt {10} ,````k ^{2} =9,````k>0] 이므로 [eqn: k=3]

[3점][2014년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 0`＜`x`＜ pi ``]에서 [eqn: x`]에 대한 방정식
[eqn: cos2x`-`sinx``=`a`(`sinx+1)`]
이 실근을 갖기 위한 실수 [eqn: a``]값의 범위는?

①

[eqn: cos2x-sinx=`a`(sinx+1)`] 에서

[eqn: cos2x`=`1-2sin ^{2} x] 이므로 주어진 방정식은

[eqn: 1-2sin ^{2} x-sinx=`a`(sinx+ 1 )`] [eqn: 2sin ^{2} x+sinx-1`=`-a(sinx+1)]

[eqn: (2sinx-1)(sinx+1)`=`-a(sinx+1)]

[eqn: 0`<`x`< pi] 이면 [eqn: 0`<`sinx` <= 1] 이므로

[eqn: 2sinx-1`=`-a]

그런데 [eqn: -1`<`2sinx-1` <= 1] 이므로

[eqn: -1`<`-a`` <= `1]  [eqn: THEREFORE ``-1` <= `a``<`1]

[3점][2005년 7월]

① [eqn: -1` <= `a``＜`1]	② [eqn: -1`＜`a` <= `1`]

③ [eqn: a``＜-1`] 또는 [eqn: a` >= `1`]	④ [eqn: -2` <= `a``＜`0`]

⑤ [eqn: a`＜`0`] 또는 [eqn: a` >= `2`]

등식 [eqn: sin theta ```-`cos theta ```=` {1} over {2} ``]을 만족하는 [eqn: theta ``]에 대하여
[eqn: cos ^{2} ``2 theta = {b} over {a} `]이다. [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a`], [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.)

23

[eqn: sin theta - cos theta `=` { 1} over {2 }] 의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 1-2sin theta cos theta `=` {1} over {4}],  [eqn: 2sin theta cos theta `=` {3} over {4}]에서

[eqn: sin2 theta `=` {3} over {4}] 이므로

[eqn: cos ^{2} 2 theta =1-sin ^{2} 2 theta =1- {9} over {16} = {7} over {16} `]

∴ [eqn: a+b=23`]

[4점][2005년 7월]

폐구간 [eqn: [0,``pi` ]`]에서 함수

[eqn: f``(`x`)`=`cos`2 x``+`2sin`x`cos`x```]

의 그래프가 직선 [eqn: y`=a`]와 세 점에서 만날 때, [eqn: a``]의 값은?

④

[eqn: f(x) = cos 2x + 2 sin x cos x] [eqn: = cos 2x + sin 2x]

[eqn: =root2 sin left(2x+ pi over 4 right)] [eqn: =root2 sin left{2 left( x+ pi over 8 right) right}]

[eqn: f(x)`]의 그래프는 [eqn: y= root2 sin2x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: - pi over 8]만큼 평행이동한 것이므로 다음과 그림과 같다.

[eqn: f(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: y=a`]와 세 점에서 만나려면 위의 그림에서와 같이 직선 [eqn: y=a`]가 점 [eqn: (0, 1)]을 지날 때이다.

[eqn: therefore~ a=1`]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: \O]

[eqn: 1]

[eqn: root2]

[eqn: -root2]

[eqn: pi]

[eqn: f(x)=root2 sin left{2 left( x+ pi over 8 right) right}]

[eqn: y=a]

[3점][2005년 9월]

① [eqn: { 1 _`} over { 4^` }]	② [eqn: { 1 _`} over { 2^` }]	③ [eqn: { 3_` } over { 4^` }]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: { 5_` } over { 4^` }]

[eqn: {sin theta +cos theta } over {sin theta -cos theta } = sqrt {5} ``]일 때, [eqn: sin`2` theta ```]의 값은?

③

주어진 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 1+2sin theta ``cos theta =5(1-2sin theta ``cos theta )``]

[eqn: 1+sin2 theta =5(1-sin2 theta )``] [eqn: THEREFORE `sin2 theta = {2} over {3} ``]

[3점][2005년 10월]

①  [eqn: {1} over {4} ``]	②  [eqn: {1} over {3} ``]	③  [eqn: {2} over {3} ``]	④ [eqn: {root3} over {4} ``]	⑤ [eqn: {root5} over {4} ``]

[eqn: sin` theta `+`cos theta `=` {sqrt {15}} over {3}]일 때, [eqn: cos2 theta]의 값은? [eqn: LEFT ( 단.``0< theta < {pi } over {4} RIGHT )]

11

16

④

[eqn: (sin theta +cos theta ) ^{2} =1+2`sin theta` cos theta = {15} over {9} = {5} over {3}]

∴ [eqn: 2`sin`theta `cos theta =sin2 theta = { {2} over {3}]

[eqn: 0<2` theta < {pi } over {2}]이므로 [eqn: cos2 theta >0]이고

∴ [eqn: cos2 theta = sqrt {1-sin ^{2} 2 theta }][eqn: = sqrt {1- {4} over {9}} = {sqrt {5}} over {3}]

[3점][2006년 4월]

① [eqn: root2 over {3}]	② [eqn: root3 over {3}]	③ [eqn: {````2````} over {````3```}]	④ [eqn: root5 over {3}]	⑤ [eqn: root6 over {3}]

부등식 [eqn: cos2x-3sinx+1 <= 0]을 만족시키는 [eqn: x]의 범위는?
(단, [eqn: 0 <= x<2 pi])

①

[eqn: cos2x-3sinx+1=(1-2sin ^{2} x)-3sinx+1]

[eqn: 2sin ^{2} x+3sinx-2 >= 0], [eqn: (2sinx-1)(sinx+2) >= 0]

[eqn: sinx+2>0]이므로 [eqn: sinx >= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE ``` {pi } over {6} <= x <= {5} over {6} pi]

[3점][2006년 4월]

① [eqn: pi over 6 <= x<= 5 over 6 pi]	② [eqn: pi over 3 <= x<= 7 over 6 pi]
③ [eqn: 5 over 6 pi <= x<= 4 over 3 pi]	④ [eqn: 4over 3 pi <= x<= 5 over3 pi]
⑤ [eqn: 7 over 6 pi<= x<= 11 over 6 pi]

[eqn: 3cos2θ`+4SQRT { 2`}sin`θ=3]일 때, [eqn: cos`θ`]의 값은?
(단, [eqn: 0`＜`θ`＜`pi_` over 2]이다.)

①

[eqn: 3( 1- 2 sin^2 θ ) + 4root2 sin θ -3=0`]

[eqn: 6 sin^2 θ - 4root2 sin θ =0`]

[eqn: sin θ ( 6 sin θ - 4root2 `) =0`]

[eqn: 0< θ < pi over 2`]이므로 [eqn: sin θ `ne 0`]

∴ [eqn: sin θ = {2root2} over 3`]

[eqn: cos^2 θ = 1- sin^2 θ = 1- 8 over 9 = 1over9`]

[eqn: 0< θ < pi over 2`]에서 [eqn: cosθ >0`]이므로

[eqn: cos θ = 1over3`]

[3점][2006년 6월]

① [eqn: {1_`}over {3`}]	② [eqn: {SQRT { 2`}_`}over {6}]	③ [eqn: {1_`}over 6]	④ [eqn: {SQRT { 2`}}over {12}]	⑤ [eqn: {1_`}over {12}]

[eqn: tan {theta} over {2} = {2} over {3}]일 때, [eqn: cos theta]의 값은? (단, [eqn: 0`＜theta `＜ {pi} over {2}]이다.)

⑤

[eqn: tan theta = {2tan theta over 2} over { 1- tan^2 theta over 2 }`][eqn: = {4over 3} over{ 1- 4 over 9}`][eqn: = 12 over 5`]

∴ [eqn: cos theta = 5 over 13`] (∵ [eqn: 0< theta < pi over 2 `])

[3점][2006년 9월]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: {5} over {12}]	③ [eqn: {7} over {12}]	④ [eqn: {3} over {13}]	⑤ [eqn: {5} over {13}]

[eqn: {sin2 theta } over {1+cos2 theta } = {1} over {2} `]일 때, [eqn: tan theta `]의 값은?

④

[eqn: {sin2 theta } over {1+cos2 theta } = {2sin theta cos theta } over {1+(2cos ^{2} theta -1)}][eqn: = {sin theta } over {cos theta } =tan theta `=` {1} over {2} `]

[3점][2006년 10월]

① [eqn: {1} over {5} `]	② [eqn: {1} over {4} `]	③ [eqn: {1} over {3} `]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2} `]

[eqn: cos`2x+3`sin`x=`-1]의 모든 근의 합은?
(단, [eqn: 0` <= x<2 pi]이다.)

④

[eqn: 1-2sin ^{2} x+3sinx+1=0]

[eqn: 2sin ^{2} x-3sinx-2=0]

[eqn: (2sinx+1)(sinx-2)=0]

[eqn: sinx=- {1} over {2}], [eqn: 0 <= x<2 pi]이므로 [eqn: x= {7} over {6} pi ,```` {11} over {6} pi]

따라서 모든 근의 합은 [eqn: 3 pi]

[3점][2007년 4월]

①  [eqn: {pi } over {2}]	②   [eqn: pi]	③  [eqn: 2pi]	④  [eqn: 3pi]	⑤  [eqn: 4pi]

[eqn: 0 <= x <= 2 pi]일 때, 방정식 [eqn: sin2x-cos x =0]을 만족시키는 모든 [eqn: x]의 합은?

④

[출제의도] 삼각방정식의 해 구하기

[eqn: sin2 x -cos x =cos x(2sin x -1)=0]이므로

[eqn: cos x =0] 또는 [eqn: sin x = {1} over {2}]이다. 따라서

[eqn: cosx =0]일 때, [eqn: x = {pi } over {2} ,```` {3} over {2} pi]

[eqn: sin x = {1} over {2}]일 때, [eqn: x = {pi } over {6} ,```` {5 } over {6}pi]이므로

모든 근의 합은 [eqn: 3pi]이다.

[3점][2007년 5월]

① [eqn: {3} over {2} pi]	②  [eqn: 2 pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]	④  [eqn: 3 pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

[eqn: tan theta over 2 = 3``]일 때, 무한급수

[eqn: 1`+ `sin` theta` + `sin^2` theta` + `sin^3` theta` +`cdots]

의 합을 [eqn: S``]라 하자. [eqn: 20`S``]의 값을 구하시오.

50

[eqn: sin theta = 2 sin thetaover2 `cos theta over2][eqn: = 3over 5]

∴ [eqn: S=][eqn: 1 over {1- sin theta } = 1over{1- 3over5} = 5 over 2]	∴ [eqn: 20S = 50]

[3점][2007년 10월]

[eqn: tan {theta } over {2} = {1} over {2}]일 때, [eqn: sin {theta } over {2} +sin {3 theta } over {2}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {2}])

⑤

[eqn: tan {theta } over {2} = {1} over {2}] [eqn: (0< theta < {pi } over {2} )]이므로

[eqn: sin {theta } over {2} = {sqrt {5}} over {5}], [eqn: cos {theta } over {2} = {2 sqrt {5}} over {5}]이다.

[eqn: sin {theta } over {2} +sin {3 theta } over {2}][eqn: =2sin theta cos {theta } over {2}][eqn: =4sin {theta } over {2} `cos ^{2} {theta } over {2}]

[eqn: =4 TIMES {sqrt {5}} over {5} TIMES {4} over {5} = {16 sqrt {5}} over {25}]

[4점][2008년 4월]

① [eqn: {8 sqrt {5}} over {25}]	② [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: {12 sqrt {5}} over {25}]

④ [eqn: {14 sqrt {5}} over {25}]	⑤ [eqn: {16 sqrt {5}} over {25}]

두 수열 [eqn: left{ x_n right},``left{y_n right}]이 각각

[eqn: left{{x_1 = root3 ``````````````````````````````````````````````}atop{x_n+1 = x_n + root{1+x_n^2}``,}]	[eqn: left{{y_1 = root3`````````````````````````````````````````}atop{y_n+1 = {y_n} over {1+ root{1+y_n^2}}}]

로 정의된다. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2< x_n y_n <=3]이 성립함을 증명한 것이다.

<증명>

(1) 수열 [eqn: left{x_n right}]의 일반항을 구해보자.

[eqn: x_n = tanalpha_n````(0°< alpha_n < 90° )]이라 하자.

[eqn: x _{n+1} =tan alpha _{n} +sec alpha _{n} `=` {1+sin alpha _{n}} over {cos alpha _{n}} `]을

[eqn: sin alpha_n `=`2 sin alpha_n over 2 \cos alpha_n over 2], [eqn: cos alpha_n `=` cos ^2 alpha_n over 2 - sin ^2 alpha_n over 2] 임을

이용하여 정리하면,  [eqn: x _{`n+1}][eqn: =]  이다.

(가)

따라서 [eqn: alpha _1 = 60°], [eqn: alpha _2 = 75°], [eqn: alpha _3 = 82.5°],…이므로

[eqn: alpha _n = 90° - 30° over 2^n-1]이 된다.

∴[eqn: x_n = tan left( 90° - 30° over 2^ n-1 right)`=`cot left( 30° over 2^n-1 right)]…㉠

(2) 수열 [eqn: left{y_n right}]의 일반항을 구해보자.

[eqn: y_n = tanbeta_n````(0°< beta_n < 90° )]이라 하자.

[eqn: y_n+1 = {tan beta_n } over {1 + sec beta_n}`=`] 이다.

(나)

따라서 [eqn: beta _1 = 60°], [eqn: beta _2 = 30°], [eqn: beta _3 = 15°],…이므로

[eqn: beta _n = 60° over 2^n-1]이 된다.   ∴[eqn: y_n = tan left( 60° over 2^ n-1 right)]…㉡

[eqn: gamma_n = 30° over 2^ n-1]라 하면, ㉠과 ㉡에 의하여 [eqn: x_n y _n =][eqn: 2 over {1 - tan^2 gamma_n}]이 된다.

∴모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0< tan gamma_n <=]  이므로 [eqn: 2< x_n y_n <=3]이 성립한다.

(다)

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

①

(가)[eqn: {1+sin alpha _{n}} over {cos alpha _{n}}]을 정리하여보자.

[eqn: sin alpha_n `=`2 sin alpha_n over 2 \cos alpha_n over 2]

[eqn: cos alpha_n `=` cos ^2 alpha_n over 2 - sin ^2 alpha_n over 2]

분자는 [eqn: left(sin alpha_n over 2 +cos alpha_n over 2 right)^2]이고

분모는 [eqn: left( cos alpha_n over 2 - sin alpha_n over 2 right)left( cos alpha_n over 2 + sin alpha_n over 2 right)] 이므로

[eqn: {1+sin alpha _{n}} over {cos alpha _{n}}]=[eqn: { cos alpha_n over 2 + sin alpha_n over 2}over {cos alpha_n over 2 - sin alpha_n over 2 }]이다.

분모, 분자를 [eqn: cos alpha_n over 2]로 나누면

[eqn: {1+tan {alpha _{n}} over {2}} over {1-tan {alpha _{n}} over {2}} `=` {tan45°+tan {alpha _{n}} over {2}} over {1-tan45°tan {alpha _{n}} over {2}} `][eqn: =`tan LEFT ( 45°+ {alpha _{n}} over {2} RIGHT )]

(나)[eqn: {tan beta_n } over {1 + sec beta_n}`=`][eqn: {sin beta_n} over {1+ cos beta_n}`]에서

[eqn: sin beta_n `=`2 sin beta_n over 2 \cos beta_n over 2],

[eqn: cos beta_n `=` 2cos ^2 beta_n over 2 - 1]에 의하여 [eqn: tan {beta_n} over 2]이 된다.	(다) [eqn: gamma_n = 30° over 2^ n-1]에서 [eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: 0<gamma_n <=30°]을 얻을 수 있다.

따라서 [eqn: 0< tan gamma_n <= 1 over root3]이 된다.

[4점][2007년 10월]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: tan left( {90°+alpha_n }over {2 }right)]	[eqn: tan {beta_n} over 2]	[eqn: 1 over root3]
②	[eqn: cot alpha_n]	[eqn: tan left( {90°+beta_n })]	[eqn: root3]
③	[eqn: tan left( {90°+alpha_n }over {2 }right)]	[eqn: tan left( {90°+beta_n })]	[eqn: root3]
④	[eqn: cot alpha_n]	[eqn: tan {beta_n} over 2]	[eqn: 1 over root3]
⑤	[eqn: tan left( {90°+alpha_n }over {2 }right)]	[eqn: tan left( {90°+beta_n })]	[eqn: 1 over root3]

폐구간 [eqn: [0,```2 pi ] `]에서 삼각방정식

[eqn: sin left(2 x - {pi_`} over 2 right) = 2cos^2` x]

의 모든 해의 합은?

③

[eqn: sin LEFT ( 2x - { pi} over {2 } RIGHT )][eqn: =- sin LEFT ( { pi} over {2 } -2x RIGHT )][eqn: =- cos ` 2x]
[eqn: = -(2 ` cos ^2 ` x-1) =1- 2 ` cos^2 ` x]

이므로

[eqn: 1-2 ` cos ^2 ` x = 2 ` cos^2 ` x]에서 [eqn: cos^2 ` x = { 1} over { 4}]

[eqn: THEREFORE```` cos ` x = +- { 1} over { 2}]

[eqn: cos ` x = { 1} over { 2}]이면 [eqn: x = { pi} over { 3} , ```` { 5} over { 3} pi]

[eqn: cos ` x = - { 1} over { 2}]이면 [eqn: x = {2} over { 3} pi , ```` { 4} over { 3} pi]

따라서, 모든 해의 합은 [eqn: 4 pi]이다.

[3점][2008년 6월]

① [eqn: 2pi]	② [eqn: 3pi]	③ [eqn: 4pi]

④ [eqn: 5pi]	⑤ [eqn: 6pi]

[eqn: sin^2 {theta_`} over 2 = {1_`} over {3`}]일 때, [eqn: tan 2theta `]의 값은? (단, [eqn: 0 `＜ theta`＜ {pi_`} over {2}])

①

[eqn: sin` ^{2} ` {theta } over {2} = {1} over {3}]이므로

[eqn: {1-`cos` theta } over {2} = {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: cos` theta = {1} over {3}]

[eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이므로

[eqn: sin` theta =` sqrt {1-`cos` ^{2} ` theta } =` {2 sqrt {2}} over {3}]

따라서 [eqn: tan` theta =2 sqrt {2}]이므로

[eqn: tan`2 theta = {2tan` theta } over {1-tan` ^{2} ` theta } =- {4 sqrt {2}} over {7}]

[3점][2008년 9월]

① [eqn: -{ 4 root {2`}}_` over 7]	② [eqn: -{ 3 root {2`} }_` over 7]	③ [eqn: -{ 2 root {2`} }_` over 7]

④ [eqn: -{ root {2`}}_` over 7]	⑤ [eqn: -{1_` } over {7`}]

직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 직각이 아닌 두 각의 크기를 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하고 [eqn: tan alpha = {3} over {2}]일 때, [eqn: cos( alpha - beta )]의 값은?

⑤

[출제의도] 삼각함수의 배각공식 이해하기

[eqn: cos alpha = 2 overroot13], [eqn: sin alpha = {3} over {sqrt {13}}]이고,

[eqn: alpha + beta = pi over2]이므로

[eqn: cos( alpha - beta) = cos left(2 alpha - piover2 right)][eqn: = sin `2 alpha]

[eqn: =2`sin alpha `cos alpha][eqn: = 12over13]이다.

[3점][2009년 4월]

① [eqn: {8} over {13}]	② [eqn: {9} over {13}]	③ [eqn: {10} over {13}]

④ [eqn: {11} over {13}]	⑤ [eqn: {12} over {13}]

방정식 [eqn: 3`sin ^{2} x+4`cos ^{2} ` {x} over {2} =12-4k]가 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: alpha LEQ k LEQ beta]이다. [eqn: 30 alpha + beta]의 값을 구하시오.

[eqn: 53]

[출제의도] 삼각방정식 해의 존재조건 구하기

[eqn: cos ^{2} ` {x} over {2} = {1+cosx} over {2}]을 이용하면

주어진 방정식은 [eqn: 3cos^2 x -2cos x = 4k -7]이다.

이 방정식의 해는 두 함수 [eqn: y=3cos ^{2} x-2cosx]와

[eqn: y=4k-7]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

[eqn: cosx= t]로 치환하면

[eqn: y=3t ^{2} -2t][eqn: (-1le t le 1)]이고,

[eqn: - {1} over {3} LEQ y LEQ 5]이므로 [eqn: - 1over3 le 4k -7 le 5]이다.

따라서 [eqn: 5 over3 le k le 3] 이므로 [eqn: 30alpha + beta = 53]이다.

[4점][2009년 4월]

[eqn: sin`alpha= {3} over {5} `], [eqn: sin`beta= {5} over {13} `]일 때, [eqn: tan` LEFT ( {alpha + beta } over {2} RIGHT ) `= {q} over {p} `]라 하자. 이 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( 단`,````0 LEQ ` alpha ` LEQ {pi } over {2} ,~0 LEQ ` beta ` LEQ {pi } over {2} RIGHT .] 이고, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.[eqn: pile{#} RIGHT )]

11

[출제의도] 반각의 공식을 이용하여 계산하기

[eqn: cos`alpha= {4} over {5} `]이고 [eqn: tan ^{2} ` {alpha} over {2} = {{1} over {5}} over {{9} over {5}} = {1} over {9} `]이므로

[eqn: tan` {alpha} over {2} = {1} over {3} `]	[eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: cos`beta= {12} over {13} `]이고 [eqn: tan ^{2} ` {beta} over {2} = {{1} over {13}} over {{25} over {13}} = {1} over {25} `]이므로

[eqn: tan` {beta} over {2} = {1} over {5} `]	[eqn: cdotscdots]㉡

따라서, ㉠, ㉡에 의하여

[eqn: tan` LEFT ( {alpha } over {2} + {beta } over {2} RIGHT ) `= {{1} over {3} + {1} over {5}} over {1- {1} over {15}} = {8} over {14} = {4} over {7} `]이므로 [eqn: p+q=11`]이다.

[4점][2010년 4월]

삼각방정식 [eqn: 2sinx-4sinx`cos ^{2} x-cos2x+1=0] 을 만족시키는 모든 근의 합은? (단, [eqn: 0 LEQ x<2 pi])

⑤

[eqn: cos`2x=1-2sin ^{2} x``,`cos ^{2} x=1-sin ^{2} x] 을 대입하면

[eqn: 2sinx-4sinx(1-sin ^{2} x)-(1-2sin ^{2} x)+1=0]

정리하면 [eqn: sinx(2sinx-1)(sinx+1)=0]

[eqn: sinx=0`, {1} over {2} `,-1] 에서

[eqn: x=0, pi , {pi } over {6} , {5 pi } over {6} , {3 pi } over {2}]

모든 근의 합은  [eqn: {7 pi } over {2}]

[3점][2010년 6월]

① [eqn: {5} over {2} pi]	② [eqn: {11} over {4} pi]	③ [eqn: 3 pi]

④ [eqn: {13} over {4} pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

[eqn: costheta= {sqrt5} over {3}]일 때, [eqn: sin theta `cos2theta]의 값은? [eqn: LEFT ( 단,`0<theta< {pi} over {2} RIGHT )]

①

[eqn: cos theta = root5 over 3]이고 [eqn: 0< theta < pi over 2]이므로

[eqn: sin theta = sqrt {1- {5} over {9}}][eqn: = 2over 3]

∴ [eqn: sin theta cos 2 theta = sin theta ( 2cos^2 theta -1 )][eqn: = 2over 3 left( 2 times 5 over9 -1 right)][eqn: = 2over27]

[3점][2010년 9월]

① [eqn: {2} over {27}]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {4} over {27}]	④ [eqn: {5} over {27}]	⑤ [eqn: {2} over {9}]

[eqn: sin` 2`theta`=`1over4``]일 때, [eqn: sin` theta`+`cos` theta``]의 값은? [eqn: left(단,~0`<` theta`<`piover2`right)]

②

[eqn: ( sin theta + cos theta ) ^2 = 1 + sin 2 theta = 5 over 4] ∴[eqn: sin theta +cos theta ```= {sqrt {5}} over {2}]

[3점][2010년 10월]

① [eqn: {sqrt {6}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

[eqn: 0 LEQ x < 2 pi `]일 때, 방정식 [eqn: 2`cos2x=1+cosx`]의 모든 실근의 합은?

③

[eqn: 2(2cos ^{2} x-1)=1+cosx]

[eqn: 4cos ^{2} x-cosx-3=0]

[eqn: (4cosx+3)(cosx-1)=0]

∴ [eqn: cosx`=- {3} over {4} ,``cosx`=`1``]

이때 [eqn: cos` alpha `=` {3} over {4} `] [eqn: LEFT ( `0`<` alpha `<` {pi } over {2} ` RIGHT )`]라 하면

[eqn: cosx`=- {3} over {4} `]의 해는 [eqn: x`=` pi - alpha `,``x`=` pi + alpha]이다.

[eqn: `cosx`=`1`]의 해는 [eqn: x=0`]

따라서 모든 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 2 pi]이다.

[3점][2011년 3월]

① [eqn: pi]	② [eqn: {3 } over {2 } pi]	③ [eqn: 2 pi]	④ [eqn: { 5} over { 2} pi]	⑤ [eqn: 3pi]

[eqn: 0 LEQ x LEQ pi `]일 때, [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: cos`2x`-2`cos`x`=k`]가
실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: k`]의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 3]

[출제의도] 삼각방정식의 해 구하기

[eqn: cosx=t]([eqn: -1 LEQ t LEQ 1])라 하면
[eqn: cos 2x - 2cos x=2t ^{2} -2t-1]
[eqn: 2t ^{2} -2t-1=k]가 실근을 갖도록 하는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: - {3} over {2} LEQ k LEQ 3]이다.

따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: 3]

[3점][2011년 4월]

[eqn: tan2alpha = 5over12]일 때, [eqn: tan alpha =p]이다. [eqn: 60p]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: 0<alpha < piover4]이다.)

[eqn: 12]

[eqn: tan2 alpha = {2tan alpha } over {1-tan ^{2} alpha } = {5} over {12}]에서

[eqn: tan alpha =p]로 치환하면

[eqn: 24p=5-5p ^{2}]

[eqn: 5p ^{2} -24p-5=0]

[eqn: p= {1} over {5} `,``p=-5]

[eqn: 0< alpha < {pi } over {4}]이므로 [eqn: tan alpha = {1} over {5}]

[eqn: 60p=12]

[3점][2011년 6월]

[eqn: cos` theta `= {3} over {4}]일 때, [eqn: cos `2 theta`]의 값은?

②

[출제의도] 배각의 공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

[eqn: cos2 theta][eqn: =2`cos ^{2} theta `-1][eqn: =2` TIMES {9} over {16} `-1][eqn: = {1} over {8}]

[2점][2011년 10월]

① [eqn: {1} over {16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16}]

[eqn: 0<x< {pi } over {2}]에서 함수 [eqn: f(`x)= {LEFT ( cos`x+sin`x RIGHT ) ` ^{2}} over {sin`2x}]의 최솟값은?

③

[eqn: f(x)= {LEFT ( cosx+sinx RIGHT ) ^{2}} over {sin2x}]

[eqn: `= {sin2x+1} over {sin2x}]

[eqn: `=1+ {1} over {sin2x}]

[eqn: 0<sin2x LEQ 1]이므로 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: 2`]이다.

[3점][2012년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: cos` {theta } over {2} `= {3} over {4}]일 때, [eqn: cos theta]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: LEFT . 0< theta < {pi } over {2}][eqn: pile{`#`} right)]

④

[eqn: cos theta = 2cos ^{2} theta over 2 -1 = {1} over {8}]

[2점][2012년 4월]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {7}]	④ [eqn: {1} over {8}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

[eqn: 0<x<2pi``]일 때, 방정식
[eqn: (cos``2x-cos``x)`sin``x=0``]
을 만족시키는 모든 해의 합은 [eqn: k`pi``]이다. [eqn: 10k``]의 값을 구하시오.

[eqn: 30]

[eqn: cos2x=2cos ^{2} x-1] 이므로
[eqn: (cos2x-cosx)sinx]
[eqn: =(2cos ^{2} x-cosx-1)sinx]
[eqn: =(cosx-1)(2cosx+1)sinx=0]
(a) [eqn: sinx=0] 에서 [eqn: x= pi]
(b) [eqn: cosx=1]을 만족시키는 [eqn: x]는 [eqn: 0<x<2 pi] 에 존재안함
(c) [eqn: cosx=- {1} over {2}]에서
[eqn: x= {2} over {3} pi] 또는 [eqn: x= {4} over {3} pi]
모든 해의 합은 [eqn: 3 pi]	[eqn: therefore```10k =30]

[3점][2012년 6월]

[eqn: 0 LEQ x LEQ pi `]일 때, 방정식 [eqn: 2sinx`cosx-cos2x+1=0`]을 만족시키는 모든 실근의 합은 [eqn: {q} over {p} ` pi `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

11

[출제의도] 삼각방정식 이해하기

[eqn: 2 ` sin x ` cos x + 2 sin^2 x `=` 0]

[eqn: 2` sinx ( ` sin `x + cos `x ) `=` 0]

[eqn: 2 root{2} `sinx ``` sin left(x + pi over4 right) `=` 0]

[eqn: sin` x `=`0] 또는 [eqn: sin left(x+ pi over4 right) `=` 0]

[eqn: 0LE `x LE `pi] 이므로

[eqn: x `=` 0 ``,``3 over4 pi ``, ``pi]  [eqn: therefore]모든 실근의 합은 [eqn: 7 over4 pi]

[eqn: p `+ q `=` 11]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

[eqn: {cos ^{2} theta } =`1over3]일 때, [eqn: cos` 2 theta]의 값은?

②

[eqn: cos ^{2} `theta= {1+cos`2theta} over {2} = {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE cos`2`theta=- {1} over {3}]

[2점][2012년 9월]

① [eqn: -{1} over {2}]	② [eqn: -{1} over {3}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[eqn: 0 LEQ x<2 pi `]일 때, 방정식 [eqn: sinx+sin2x=0`]을 만족시키는 모든 근의 합은?

③

[출제의도] 삼각방정식을 이해한다.

[eqn: sinx +2sinx cos x =0], [eqn: sinx (1 + 2 cos x ) =0]

ⅰ) [eqn: sin x =0]에서 [eqn: x= 0] 또는 [eqn: x= pi]

ⅱ) [eqn: cos x = - 1 over 2]에서 [eqn: x= 2 over 3 pi] 또는 [eqn: x= 4 over 3 pi]

따라서 모든 근의 합은 [eqn: 0+ pi + {2} over {3} pi + {4} over {3} pi =3 pi]

[3점][2012년 10월]

① [eqn: 2 pi]	② [eqn: {5} over {2} pi]	③ [eqn: 3 pi]	④ [eqn: {7} over {2} pi]	⑤ [eqn: 4pi]

[eqn: tan2 theta= {3} over {4}]일 때, [eqn: tan theta]의 값은? (단, [eqn: 0< theta< {pi } over {2}]이다.)

⑤

[출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

[eqn: tan2theta= {2tantheta} over {1-tan ^{2} theta}]이므로

[eqn: tantheta=t]라 하면

[eqn: {2t}over{1-t^2} = 3 over 4]

[eqn: 8t = 3 - 3t^2]

[eqn: 3t^2 + 8t -3 = 0]

[eqn: (3t-1)(t+3)=0]

∴ [eqn: t = 1 over 3] 또는 [eqn: t = -3]

[eqn: 0<theta< {pi } over {2}]이므로 [eqn: t>0]

∴ [eqn: tantheta= {1} over {3}]

[3점][2013년 3월]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {6}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

[eqn: cos` theta = {3} over {5}]일 때, [eqn: sin`2theta]의 값은?(단, [eqn: 0< theta < {pi} over {2}])

⑤

[출제의도] 삼각함수의 배각의 공식 이해하기

[eqn: sin` theta = sqrt {1-cos ^{2} ` theta } `= {4} over {5}]([eqn: BECAUSE] [eqn: 0< theta < {pi } over {2}])
[eqn: sin2 theta =2sin` theta `cos` theta =`2 TIMES {4} over {5} TIMES {3} over {5} `= {24} over {25}]

따라서 [eqn: sin2`theta= {24} over {25}]

[2점][2013년 4월]

① [eqn: {16} over {25}]	② [eqn: {18} over {25}]	③ [eqn: {4} over {5}]

④ [eqn: {22} over {25}]	⑤ [eqn: {24} over {25}]

삼각방정식
[eqn: 3`sin ^{2} `x+4`cos ^{2} ` {x} over {2} -4=0]
의 서로 다른 실근의 개수는? (단, [eqn: 0<x<4 pi])

②

[출제의도] 삼각방정식의 실근의 개수 구하기

[eqn: 3 LEFT ( 1-cos ^{2} `x RIGHT ) `+2 LEFT ( 1+cos`x RIGHT ) `-4=0]
[eqn: 3cos ^{2} `x-2cos`x-1=0]
[eqn: LEFT ( 3cos`x+1 RIGHT ) LEFT ( cos`x-1 RIGHT ) `=0]
[eqn: cos`x=`- {1} over {3}] 또는 [eqn: cos`x=1]
[eqn: 0<x<4pi]에서 [eqn: y=cos`x], [eqn: y=`- {1} over {3}], [eqn: y=1]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 5]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=cos`x]

[eqn: y=`- {1} over {3}]

[eqn: y=1]

[eqn: 2pi]

[eqn: 4 pi]

[3점][2013년 4월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[eqn: cosA= {1} over {4} `]일 때, [eqn: sin ^{2} {A} over {2} +cos`2A`]의 값은?

①

[출제의도] 삼각함수의 성질 이해하기

[eqn: sin ^{2} {A} over {2} +cos2A`]

[eqn: =` {1-cosA} over {2} +2cos ^{2} A-1 ``=`-`1 over 2]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {4}]	④ [eqn: - {1} over {5}]	⑤ [eqn: - {1} over {6}]

[eqn: 0<=x<=2pi``]일 때, 방정식 [eqn: sin``2x-sin``x=4`cos``x-2``]의 모든 해의 합은?

③

[eqn: sin2x-sinx=sinx(2cosx-1)=2(2cosx-1)]

∴[eqn: cosx= {1} over {2}], [eqn: x= {pi } over {3} ,` {5 pi } over {3}]

∴[eqn: {pi } over {3} + {5 pi } over {3} =2 pi]

[3점][2013년 9월]

① [eqn: pi]	② [eqn: 3 over 2 pi]	③ [eqn: 2pi]	④ [eqn: 5 over 2 pi]	⑤ [eqn: 3 pi]

[eqn: sin`2x`=` {1} over {3}]일 때, [eqn: cos ^{2} x-sin ^{2} x`]의 값은?
[eqn: LEFT ( pile{`#`} RIGHT .]단, [eqn: 0 < x < pi over4]이다.[eqn: pile{`#`} RIGHT )]

④

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 값을 계산한다.

[eqn: cos^2 2x = 1- sin ^{2`} 2x`= 8over9]

[eqn: 0<2x< {pi } over {2}]이므로 [eqn: cos 2x >0]

∴ [eqn: cos`2x`=` sqrt {8over9} `=` {2sqrt2} over {3}]

∴ [eqn: cos ^{2} x`-`sin ^{2} x`=`cos2x`=` {2sqrt2} over {3}]

[2점][2013년 10월]

① [eqn: 0]	② [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	④ [eqn: {2 sqrt {2} `} over {3}]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: tan theta = 1 over 4 `]일 때, [eqn: sin 2 theta `]의 값은?

②

[출제의도] 삼각함수의 배각공식을 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

[eqn: tan theta = 1 over 4 `]이므로

[eqn: sec^2 theta = 1+tan^2 theta = 1+ 1 over 16 = 17 over 16]

[eqn: cos ^{2} theta = {1} over {sec ^{2} theta } = {16} over {17}], [eqn: sin ^2 theta = 1- cos^2 theta = 1over17]

[eqn: sin^2 2 theta =4`sin^2 theta `cos^2 theta]

[eqn: =4 TIMES {1} over {17} TIMES {16} over {17}][eqn: = left( {8} over {17} right)^2]

[eqn: tan theta = 1 over 4 >0]이므로 [eqn: sin theta `cos theta >0]

∴ [eqn: sin`2 theta = 8 over 17]

[3점][2014년 3월]

① [eqn: 7 over 17]	② [eqn: 8 over 17]	③ [eqn: 9 over 17]	④ [eqn: 10 over 17]	⑤ [eqn: 11 over 17]

함수 [eqn: f`(`x`)=4`sinx+6`cos ^{2} {x} over {2} +1`]의 최댓값은?

⑤

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이해하고 함수의 최댓값을 구한다.

[eqn: f`(x)`][eqn: =4sinx``+``6cos^2 x over 2 +1`]

[eqn: = 4 sinx +6 times { 1+cosx} over 2 +1]

[eqn: = 4sinx + 3cosx +4]

[eqn: = 5 left( sinx times 4 over 5 + cosx times 3 over 5 right) +4]

[eqn: = 5 sin(x+alpha) +4`] [eqn: left( `#`]단, [eqn: sinalpha = 3 over 5 `], [eqn: cos alpha = 4 over 5``][eqn: left) `#`]

[eqn: 5 sin(x+alpha) `]의 최댓값이 [eqn: 5`]이므로 [eqn: f(x) `]의 최댓값은 [eqn: 9`]이다.

[3점][2014년 3월]

① [eqn: 5`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 7`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 9`]

[eqn: 0 LEQ x< pi]일 때, 방정식 [eqn: 3`cos`2x-2`sin ^{2} x-4cos`x+5=0]의 모든 실근의 합은?

④

[출제의도] 삼각방정식 이해하기

[eqn: 3 LEFT ( 2cos ^{2} x-1 RIGHT ) -2 LEFT ( 1-cos ^{2} x RIGHT ) -4cos`x+5=0]

[eqn: 8cos ^{2} x-4cosx=0]

[eqn: cos`x=0] 또는 [eqn: cos`x= {1} over {2}]

[eqn: 0 LEQ x< pi]에서 [eqn: x= {pi } over {2}] 또는 [eqn: x=` {pi } over {3} `]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: {5} over {6} pi]

[3점][2014년 4월]

① [eqn: {7} over {12} pi]	② [eqn: {2} over {3} pi]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: {5} over {6} pi]	⑤ [eqn: {11} over {12} pi]

[eqn: sin theta = 2 over 3 ``]일 때, [eqn: cos 2 theta ``]의 값은?

②

[eqn: cos`2 theta =1-2sin ^{2} theta =1-2 TIMES {4} over {9} = {1} over {9}]

[2점][2014년 6월]

① [eqn: 1 over 18]	② [eqn: 1 over 9]	③ [eqn: 1 over 6]	④ [eqn: 2 over 9]	⑤ [eqn: 5 over 18]

[eqn: 0<theta < { pi} over {4 }]인 [eqn: theta`]에 대하여 [eqn: (1+tan theta )tan2 theta =3`]일 때, [eqn: tan theta]의 값은?

⑤

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기

[eqn: (1+tan theta )tan2 theta]

[eqn: =(1+tantheta)times { 2tantheta} over {1-tan^2`theta }][eqn: ={ 2tantheta} over {1-tantheta }][eqn: =3`]

따라서 [eqn: `tan theta = {3} over {5}]

[3점][2014년 7월]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {3} over {10}]	③ [eqn: {2} over {5}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤  [eqn: { 3} over {5 }]

[eqn: 0 LEQ x LEQ pi ``]일 때, 삼각방정식
[eqn: sinx``=``sin2x``]
의 모든 해의 합은?

④

[eqn: sinx`=`2`sin`x`cos`x``]

[eqn: sinx`(2cos`x-1)=0``]

[eqn: sin`x=0``] 또는 [eqn: cos`x=` 1over 2``]

[eqn: x=0, ~pi``], [eqn: pi over 3``]  (∵ [eqn: 0 LEQ x LEQ pi ``])

∵ 모든 해의 합은 [eqn: 4 over 3 pi``]

[3점][2014년 9월]

① [eqn: pi]	② [eqn: {7} over {6} pi]	③ [eqn: {5} over {4} pi]	④ [eqn: {4} over {3} pi]	⑤ [eqn: {3} over {2} pi]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi `]일 때, 삼각방정식 [eqn: sin`2x=cos`x`]의 모든 해의 합은?

④

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하고 삼각방정식의 모든 해의 합을 구한다.

[eqn: sin2x=cosx]

[eqn: 2sinx`cosx=cosx]

[eqn: (2sinx-1)cosx=0]

이므로 [eqn: sin`x= {1} over {2}] 또는 [eqn: cos`x=0]

ⅰ) [eqn: sin`x= {1} over {2} `]일 때

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi `]이므로 [eqn: x= {pi } over {6}] 또는 [eqn: x= {5} over {6} pi]

ⅱ) [eqn: cos`x=0`]일 때

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi `]이므로 [eqn: x= {pi } over {2}] 또는 [eqn: x= {3} over {2} pi]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 모든 해의 합은
[eqn: {pi } over {6} + {5} over {6} pi+ {pi } over {2} + {3} over {2} pi=3pi]

[3점][2015년 3월]

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]	④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

함수 [eqn: y=2sinx+cosx-1`]은 [eqn: x= alpha `]에서 최댓값을 가질 때, [eqn: 30sin2 alpha `]의 값을 구하시오.

24

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이해하여 최댓값을 구한다.

[eqn: y=2sinx+cosx-1] [eqn: = sqrt {5} `sin(x+ theta )-1]

[eqn: LEFT ( pile{ `#` }]단, [eqn: sin theta = {1} over {sqrt {5}}], [eqn: cos theta = {2} over {sqrt {5}}` right)]

주어진 함수가 [eqn: x= alpha `]에서 최댓값을 가지므로

[eqn: alpha + theta =2n pi+ {pi } over {2}]([eqn: n]은 정수)

[eqn: ` alpha = 2n pi+{pi } over {2} - theta]이므로

[eqn: 30sin2 alpha =30sin2 LEFT ( 2n pi+ {pi } over {2} - theta RIGHT )]

[eqn: =30sin(4n pi +pi-2 theta )]

[eqn: =30sin2 theta]

[eqn: =60sin theta cos theta]

[eqn: =60 TIMES {1} over {sqrt {5}} TIMES {2} over {sqrt {5}} =24]

[3점][2015년 3월]

[eqn: tantheta= {1} over {2}]일 때, [eqn: tan2theta]의 값은?

②

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 계산하기

[eqn: tan2theta= {2tantheta} over {1-tan ^{2} theta} = {1} over {{3} over {4}} = {4} over {3}]

[2점][2015년 4월]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {6} over {5}]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: 0 le x < 2pi]일 때, 방정식 [eqn: cos2x+6cos ^{2} {x} over {2} =1]의 서로 다른 모든 실근의 합은?

⑤

[출제의도] 삼각방정식 이해하기

[eqn: 2cos ^{2} x-1+6 TIMES {1+cosx} over {2} =1]

[eqn: 2cos ^{2} x+3cosx+1=0]이므로

[eqn: LEFT ( 2cosx+1 RIGHT ) LEFT ( cosx+1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `cosx=- {1} over {2}] 또는 [eqn: cosx=-1]

[eqn: therefore`x= {2} over {3} pi] 또는 [eqn: x= {4} over {3} pi] 또는 [eqn: x=pi]

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: 3pi]

[3점][2015년 4월]

① [eqn: pi]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: 2 pi]

④ [eqn: {5} over {2} pi]	⑤ [eqn: 3 pi]

[eqn: tan theta = {1} over {7}] 일 때, [eqn: sin2 theta]의 값은?

⑤

[eqn: tan theta = {1} over {7}]이므로 [eqn: sin theta = +- `{1} over {5 sqrt {2}}], [eqn: cos theta = +-{7} over {5 sqrt {2}}] (복호동순)

[eqn: sin2 theta =2sin theta cos theta]=[eqn: 2 TIMES {1} over {5 sqrt {2}} TIMES {7} over {5 sqrt {2}} = {7} over {25}]

[3점][2015년 6월]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {11} over {50}]	③ [eqn: {6} over {25}]	④ [eqn: {13} over {50}]	⑤ [eqn: {7} over {25}]

[eqn: cos` theta = { 2} over { sqrt { 5} }]일 때, [eqn: cos`2theta]의 값은? [eqn: left (pile{`#`} right.]단, [eqn: 0<theta< { pi} over { 2}`][eqn: left )pile{`#`} right.]

②

[출제의도] 삼각함수의 배각공식 계산하기

[eqn: cos2 theta =`2cos ^{2} theta -1=`2 LEFT ( {2} over {sqrt {5}} RIGHT ) ^{2} -1`=` {3} over {5}]

[2점][2015년 7월]

① [eqn: { 1} over { 2]	② [eqn: { 3} over { 5}]	③ [eqn: { 7} over { 10}]	④ [eqn: 4 over 5]	⑤ [eqn: 9 over 10]

[eqn: sin` theta = {2} over {3} `]일 때, [eqn: cos`2 theta `]의 값은?

①

[출제의도] 삼각함수의 값을 계산한다.

[eqn: cos`2` theta][eqn: =1-2sin ^{2} theta][eqn: =1-2 LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {1} over {9}]

[2점][2015년 10월]

①　[eqn: {1} over {9}]	②　[eqn: {2} over {9}]	③　[eqn: {1} over {3}]	④　[eqn: {4} over {9}]	⑤　[eqn: {5} over {9}]

[해설]미적분2-(2)삼각함수-(d)배각공식 수식형