수 리 영 역

그래프

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수 리 영 역

그래프

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 삼각함수 (그래프)

성명			수험번호

16

[eqn: rm ANGLE C]가 직각이고 [eqn: rm ANGLE B]의 크기가 [eqn: pi over 3]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 변 [eqn: rmBC] 위에 점 [eqn: rmD]를 잡고, [eqn: rm ANGLE BAD]의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: rm {overline BD} over {overline AB}]를 [eqn: theta]의 함수로 나타내면?

④

[eqn: bar{BC} =k,``` bar{BD} =x]라 하면

[eqn: bar{AB} =2k], [eqn: barAC = sqrt 3 k `,] [eqn: barCD = k- x``]

[eqn: △ACD``]에서 [eqn: {k-x} over {sqrt {3} k} =tan LEFT ( {pi } over {6} - theta RIGHT )]

[eqn: {1} over {sqrt {3}} - {x} over {sqrt {3} `k} = {tan {pi } over {6} -tan theta } over {1+tan {pi } over {6} `tan theta }]

[eqn: = {{1} over {sqrt {3}} -tan theta } over {1+ {1} over {sqrt {3}} `tan theta }][eqn: = {1- sqrt {3} `tan theta } over {sqrt {3} +tan theta }]

[eqn: THEREFORE ```1- {x} over {k} = {sqrt {3} -3tan theta } over {sqrt {3} +tan theta }]

[eqn: {x} over {k} =1- {sqrt {3} -3tan theta } over {sqrt {3} +tan theta }][eqn: = {4tan theta } over {sqrt {3} +tan theta }]

[eqn: = {4 {sin theta } over {cos theta }} over {sqrt {3} + {sin theta } over {cos theta }}][eqn: = {4sin theta } over {sqrt {3} `cos theta +sin theta }]

[eqn: THEREFORE ``` {bar{BD}} over {bar{AB}} = {x} over {2k}][eqn: = {2sin theta } over {sqrt {3} `cos theta +sin theta }]

[1.5점][1995년 수능]

①　[eqn: sin`theta]	②　[eqn: {sin`theta} over {1+cos`theta}]	③　[eqn: {2`sin`theta} over {1+2`cos`theta}]
④　[eqn: {2`sin`theta} over {sin`theta+root 3 `cos`theta}]	⑤　[eqn: {1- cos`theta} over 2]

중심이 [eqn: rm O]이고 반지름의 길이가 [eqn: R``]인 구면거울이 있다. 그림과 같이 [eqn: rm OX]축에 평행하게 입사된 빛이 거울에 반사된 후 축과 만나는 점을 [eqn: rm A]라고 할 때, 선분 [eqn: rm OA]의 길이는? (단, 입사각과 반사각의 크기는 [eqn: theta]로 같고, [eqn: 0 DEG < theta <20 DEG]이다.)

①

구면거울과 만나는 점을 [eqn: B`]라 하면

[eqn: ANGLE `AOB`=`theta `~( BECAUSE ~]엇각)이고, [eqn: TRIANGLE OAB`]는 이등변삼각형이므로 [eqn: bar OA `=`bar AB`]이다.

또, 점 [eqn: A`]에서 [eqn: bar OB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: H`]라 하면 [eqn: bar AB cdot cos`theta `= R over2]이므로

[eqn: bar AB `= R over{2cos`theta }]

[2점][2003년 수능]

① [eqn: R over {2 costheta}]	② [eqn: R over {2 sintheta}]	③ [eqn: R`` (1- costheta`)]

④ [eqn: R over {2 cos 2theta}]	⑤ [eqn: R over {2 sin2 theta}]

실수 전체에서 정의된 함수 [eqn: y`=`f``(x`)`]의 그래프는 아래와 같다.

[eqn: g``(x`)`=`sin`x`]일 때 합성함수 [eqn: y`=`(g`∘f``)`(x`)`]의 그래프의 개형은?

②

[eqn: 0<=x <2pi ``]에서 [eqn: f(x)=x ``]

[eqn: f``(x)]는 [eqn: 2 pi ``]를 주기로 하는 주기함수이므로

[eqn: f``(x) = x- 2n pi ``][eqn: (2n pi <= x<2(n+1) pi ,```n은```정수)]

[eqn: g(x)= sinx ``]에서

[eqn: y = (g circ f ``)(x) = sin(x-2n ``pi`` )= sinx ``]

[1점][1996년 수능]

①

②

③

④

⑤

다음 그래프는 어떤 사람이 정상적인 상태에 있을 때 시각에 따라 호흡기에 유입되는 공기의 흡입률(리터/초)을 나타낸 것이다. 숨을 들이쉬기 시작하여 [eqn: t``]초일 때 호흡기에 유입되는 공기의 흡입률을 [eqn: y``]라 하면, 함수 [eqn: y``=a `sin b`t```]([eqn: a,`` b``]는 양수)로 나타낼 수 있다. 이때, [eqn: y``]의 값은 숨을 들이쉴 때는 양수, 내쉴 때는 음수가 된다.

이 함수의 주기가 [eqn: 5`]초이고, 최대 흡입율이 [eqn: 0.6`](리터/초)일 때, 숨을 들이쉬기 시작한 시각으로부터 처음으로 흡입율이 [eqn: -0.3`](리터/초)이 되는 데 걸리는 시간은?

①

[eqn: y`=`a`sin`b`t`]에서 주기는 [eqn: 5`], 최대흡입률(최대값)은 [eqn: 0.6`]이므로

[eqn: 5`=`2over b pi`]에서 [eqn: b`=`2over5 pi`]이고 [eqn: a`=`0.6`]

따라서, [eqn: y`=`0.6`sin 2pi over5 `t`]이므로 [eqn: -0.3`=`0.6`sin 2pi over5 `t`]

[eqn: THEREFORE ```sin {2 pi } over {5} t=- {1} over {2}]에서 [eqn: 2pi over5 `t`=`7over6 pi`]

[eqn: THEREFORE ```t= {35} over {12}]

[3점][2004년 수능]

① [eqn: 35 over12`]초	② [eqn: 37 over12`]초	③ [eqn: 30 over11`]초

④ [eqn: 31 over11`]초	⑤ [eqn: 35 over 31`]초

그림과 같이 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: \P_1]에서의 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: \Q_1]이라 할 때, 삼각형[eqn: \P_1 \OQ_1]의 넓이는 [eqn: {1} over {4}]이다. 점 [eqn: \P_1]을 원점 [eqn: \O]를 중심으로 [eqn: {pi } over {4}]만큼 회전시킨 점을 [eqn: \P_2]라 하고, 점 [eqn: \P_2]에서의 접선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: \Q_2]라 하자. 삼각형 [eqn: \P_2 \OQ_2]의 넓이는? (단, 점 [eqn: \P_1]은 제 [eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

③

[eqn: \P_1]과 [eqn: x`]축과 이루는 각을 [eqn: theta `]라 하면

[eqn: rm P _{1} (cos` theta ,```sin` theta )]으로 들 수 있고 접선은 [eqn: x` cos `theta + y ` sin ` theta =1]이 된다.

[eqn: rm Q _{1} ` LEFT ( {1} over {cos` theta } ,```0 RIGHT )]이고 삼각형 [eqn: \P_1 \OQ_1]의 넓이는 [eqn: { 1} over { 2} `tan ` theta `]가 된다.

넓이가 [eqn: {1 } over {4 }]이므로 [eqn: tan` theta = { 1} over { 2}]이다.

[eqn: THEREFORE ~ TRIANGLE \OP_2 \Q = { 1} over {2 } cdot tan ` LEFT ( theta + {pi } over {4 } RIGHT )]

[eqn: = {1 } over { 2} cdot {tan ` theta + tan ` { pi} over {4 } } over { 1- tan ` theta cdot tan ` { pi} over {4 }} = {3 } over { 2}]

[3점][2007년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

좌표평면에서 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (1,```0)]이고, [eqn: 0<theta< pi over2]인 [eqn: theta`]에 대하여 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: (cos` theta`, ``sin` theta`)]이다. 사각형 [eqn: rm OACB`]가 평행사변형이 되도록 하는 제[eqn: `1`]사분면 위의 점 [eqn: rm C`]에 대하여 사각형 [eqn: rm OACB`]의 넓이를 [eqn: f( theta)`], 선분 [eqn: rm OC`]의 길이의 제곱을 [eqn: g(theta)]라 하자. [eqn: f(theta) + g(theta)`]의 최댓값은? (단, O는 원점이다.)

①

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구할 수 있는가?

사각형 [eqn: rmOABC]가 평행사변형이므로

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT )][eqn: =2 TIMES △ rm OAB]
[eqn: =2 TIMES {1} over {2} TIMES {bar{rm OA}} TIMES {bar{rm OB}} TIMES sin` theta]
[eqn: =2 TIMES {1} over {2} TIMES 1 TIMES sqrt {cos ^{2} ` theta +sin ^{2} ` theta } TIMES sin` theta]
[eqn: =sin` theta]

또, 평행사변형 [eqn: rmOABC]의 대각선의 중점은 일치하므로 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]라 하면

[eqn: LEFT ( {cos` theta +1} over {2} ,~ {sin` theta } over {2} RIGHT ) = LEFT ( {a} over {2} ,~ {b} over {2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~a=cos` theta +1,~b=sin` theta]

[eqn: THEREFORE ~{rmC} LEFT ( cos` theta +1,~sin` theta RIGHT )]

그러므로

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {bar{rm OC}} ^{2}]
[eqn: = LEFT ( cos` theta +1 RIGHT ) ^{2} +sin ^{2} ` theta]
[eqn: =2+2cos` theta]

그러므로

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) +g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: =sin` theta + LEFT ( 2+2cos` theta RIGHT )]
[eqn: =2cos` theta +sin` theta +2]
[eqn: = sqrt {5} LEFT ( {2 sqrt {5}} over {5} `cos` theta + {sqrt {5}} over {5} `sin` theta RIGHT ) +2]
[eqn: = sqrt {5} `sin` LEFT ( theta + alpha RIGHT ) +2]

[eqn: LEFT ( pile{it#it} RIGHT .]단, [eqn: LEFT. cos` alpha = {sqrt {5}} over {5} ,~sin` alpha = {2 sqrt {5}} over {5} ,~0< alpha < {pi } over {2} RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) +g LEFT ( theta RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: theta + alpha = {pi } over {2}] 즉, [eqn: theta = {pi } over {2} - alpha `]일 때, [eqn: sqrt {5} +2]을 갖는다.

[4점][2016년 수능]

① [eqn: 2+root5]	② [eqn: 2+root6]	③ [eqn: 2+root7]
④ [eqn: 2+2root2]	⑤ [eqn: 5]

오른쪽 그림과 같이 [eqn: y``]축 위의 두 점 [eqn: \A(0,``4),`` \B(0,``2)]와 [eqn: x``]축 위의 점 [eqn: \C(1,``0)]에 대하여 [eqn: rm ANGLE CAO= alpha ,``rm ANGLE CBO= beta`] 라 하자. 양의 [eqn: y``]축 위의 점 [eqn: \P(0,``y`)]에 대하여 [eqn: ANGLE \CPO= gamma `]라 할 때, [eqn: alpha` + beta = gamma ``]가 되는 점 [eqn: \P]의 [eqn: y``]좌표는?

③

문제의 그림에서

[eqn: tan alpha = 1 over 4], [eqn: tan beta = 1 over 2], [eqn: tan γ = 1 over y]이므로

[eqn: tan γ = tan(alpha+β)= {tan α+tan beta} over {1- tan alpha tan beta}]

[eqn: = {1 over 4 + 1 over 2} over {1- 1 over 4 ․ 1 over 2} = 6 over 7]

[eqn: tan γ = 1 over y = 6 over 7]에서 [eqn: y= 7 over 6]

[4점][2005년 6월]

① [eqn: { 5_`} over {4 `}]	② [eqn: { 6_`} over { 5`}]	③ [eqn: { 7_`} over { 6`}]

④ [eqn: { 8_`} over { 7`}]	⑤ [eqn: { 9_`} over {8 `}]

그림과 같이 등대에서 배를 바라보는 시선과 배위에 수직으로 떠있는 비행기를 바라보는 시선이 이루는 각의 크기가 [eqn: 135 DEG]이며, 해수면에서 등대까지의 높이가 [eqn: 200], 등대에서 해수면에 내린 수선에서 배까지의 거리가 [eqn: 100]이다. 이 때, 배에서 비행기까지의 높이는? (단, 비행기와 배의 크기는 무시한다.)

③

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 높이 구하기

[eqn: tan theta = 200over 100 = 2]

[eqn: tan(135 DEG - theta )= {h-200} over {100}]

[eqn: tan(135 DEG - theta )= {tan135 DEG -tan theta } over {1+tan135 DEG tan theta } = {-1-tan theta } over {1-tan theta } =3]

[eqn: THEREFORE ``h=3 TIMES 100+200=500]

[3점][2006년 5월]

① [eqn: 300``]	② [eqn: 400``]	③ [eqn: 500``]
④ [eqn: 600``]	⑤ [eqn: 700``]

두 점 [eqn: rm A`(0`,``1`)], [eqn: rm B(`2`,``0`)]을 이은 선분 [eqn: rm AB]를 사등분하는 점을 각각 [eqn: rm `P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]이라 하자. [eqn: rm ANGLE POR`= theta]라 할 때, [eqn: 30tan theta ``]의 값을 구하시오.

[eqn: 32``]

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값 구하기

[해설] [eqn: rm P,``Q,``R]이 선분 [eqn: rmAB]의 [eqn: 4]등분점이므로

[eqn: rm P LEFT ( {1} over {2} ,`` {3} over {4} RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( 1,`` {1} over {2} RIGHT )], [eqn: rm R LEFT ( {3} over {2} ,`` {1} over {4} RIGHT )]이고, [eqn: ANGLE rm POB= alpha],

[eqn: ANGLE rm ROB=beta]라 하면, [eqn: tan alpha = {3} over {2} ,``tan beta = {1} over {6}]이다.

[eqn: therefore~tan theta =tan( alpha - beta )= {tan alpha -tan beta } over {1+tan alpha tan beta } = {16} over {15}]

[eqn: THEREFORE `30 TIMES {16} over {15} =32]

[4점][2007년 5월]

[eqn: rmA]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmR]

[eqn: rmB]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: 2]

[eqn: theta]

원점과 점[eqn: (1,`1)]을 이은 선분이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta _{1}], 원점과 점[eqn: (2,`1)]을 이은 선분이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta _{2}],

[eqn: VDOTS]

원점과 점[eqn: (n,`1)]을 이은 선분이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: theta _{n}]이라 하자.

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: cdots]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: n]

[eqn: y=1]

[eqn: 1]

[eqn: theta _{n}]

[eqn: cdots]

[eqn: theta _{1} - theta _{2} = theta _{p} - theta _{q}]가 되도록 하는 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 1<p<q]이고 [eqn: p], [eqn: q]는 자연수이다.)

9

[eqn: tan theta _{1} =1], [eqn: tan theta _{2} = {1} over {2}], [eqn: tan theta _{p} = {1} over {p}], [eqn: tan theta _{q} ={1} over {q}]

[eqn: tan( theta _{1} - theta _{2} )=tan( theta _{p} - theta _{q} )]

[eqn: {tan theta _{1} -tan theta _{2}} over {1+tan theta _{1} tan theta _{2}} = {tan theta _{p} -tan theta _{q}} over {1+tan theta _{p} tan theta _{q}}]

[eqn: {1- {1} over {2}} over {1+1 TIMES {1} over {2}} = {{1} over {p} - {1} over {q}} over {1+ {1} over {p} TIMES {1} over {q}}]

[eqn: {1} over {3} = {q-p} over {pq+1}], [eqn: (p-3)(q+3)=-10]

[eqn: p], [eqn: q]는 자연수이고 [eqn: 1<p<q]이므로

[eqn: (p-3,`q+3)=(-1,`10)]

[eqn: p-3=-1,``q+3=10]   [eqn: p=2,``q=7]

따라서 [eqn: p+q=9]

[4점][2007년 4월]

사각형 [eqn: rm ABCD]에서 [eqn: ANGLErm ABC= {pi } over {2}], [eqn: bar{rm AB it} `=4], [eqn: bar{rm BC it} `=5], [eqn: bar{rm BD it} `=6]일 때,  사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이의 최대값은?

①

[eqn: ANGLE rmDBC= theta], 사각형[eqn: rm ABCD]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= {1} over {2} TIMES 5 TIMES 6 TIMES sin theta + {1} over {2} TIMES 4 TIMES 6 TIMES sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )]

[eqn: =15sin theta+12cos theta][eqn: =3 sqrt {41} `sin( theta + alpha )]

(단, [eqn: cos` alpha = {5} over {sqrt {41}}], [eqn: sin` alpha = {4} over {sqrt {41}}])

따라서, 최대값은 [eqn: 3 sqrt {41}]이다.

[3점][2008년 4월]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm 4]

[eqn: rm 5]

[eqn: rm 6]

①  [eqn: 3sqrt { 41}]	②  [eqn: 3sqrt {42 }]	③  [eqn: 3sqrt {43 }]

④  [eqn: 6sqrt {11 }]	⑤  [eqn: 9sqrt { 5}]

그림과 같이 원 [eqn: x^2`+`y^2`=`1]과 [eqn: y`=`2`|`x`|]의 그래프와의 두 교점을 각각 P, Q라 하자. [eqn: rm bar OP``,``rm bar OQ]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 α, [eqn: β]라 할 때, [eqn: cos(α`-`β)]의 값은?

②

[출제의도]삼각함수 덧셈정리를 이용하여 함숫값 구하기

[eqn: sin α`=`2over root5``,``cosα`=`1over root5], [eqn: sinβ`=`2over root5``,``cosβ`=`- 1over root5]이므로

[eqn: cos( α`-`β)`=`cosα cosβ`+`sin α sin β][eqn: `=`1over root5`left( - 1over root5 right)`+`2over root5`2over root5`=`3over5]

[3점][2008년 5월]

① [eqn: 1]	②[eqn: 3over5]	③[eqn: {2root2}over5]

④[eqn: root2 over 5]	⑤[eqn: 1over5]

눈높이가 [eqn: 1 \m]인 어린이가 나무로부터 [eqn: 7 \m] 떨어진 지점에서 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나무가 지면에 닿는 지점을 바라본 선이 이루는 각이 [eqn: theta`]이었다. 나무로부터[eqn: 2 \m] 떨어진 지점까지 다가가서 나무를 바라보았더니 나무의 꼭대기를 바라본 선과 나무가 지면에 닿는 지점을 바라본 선이 이루는 각이 [eqn: theta + {pi_`} over 4]가 되었다. 나무의 높이는 [eqn: a` ( \m)] 또는 [eqn: b `( \m)]이다. [eqn: a+b]의 값은?

①

주어진 그림을 단순화하면 그림과 같다.

그림에서 [eqn: {bar \AH }= x]라 둔다.

[eqn: ANGLE \BQH - ANGLE \BPH = alpha], [eqn: ANGLE \BQA - ANGLE \BPA = beta]라고 하면

[eqn: tan ` alpha = { { 1} over {2 } - { 1} over {7 } } over {1+ { 1} over {2 } cdot { 1} over {7 } } = { 1} over { 3}]

[eqn: tan ` beta = { { x-1} over {2 } - { x-1} over {7 } } over {1+ { x-1} over {2 } cdot { x-1} over {7 } } = { 5(x-1)} over { 14+(x-1)^2}]

또한, [eqn: alpha+ beta = { pi} over { 4}] 이므로

[eqn: tan `( alpha+ beta) = { { 1} over {3 } + { 5(x-1)} over {14+(x-1)^2 } } over {1- { 1} over {3 } cdot { 5(x-1)} over { 14+(x-1)^2} }=1]

이 식을 정리하면  [eqn: x^2 -12x + 25=0]

따라서, 근과 계수의 관계에서  [eqn: a+b = 12]

[4점][2008년 6월]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

두 직선 [eqn: y=x+a], [eqn: y= {1} over {3} x+b]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r^2 `]에 접하는 점을 각각 [eqn: rm P _{1} ```], [eqn: rmP _{2}`]라 하고 [eqn: rm ANGLE P _{1} O`P _{2} `= alpha `]일 때, [eqn: tan alpha]의 값은? (단, [eqn: a<0,```b<0])

②

두 직선 [eqn: y=x+a`,`````y= {1} over {3} x+b]와 [eqn: x]축이 만나는 점을 각각 [eqn: rmA`,``B]라 하고 [eqn: rmANGLE OAP _{1} `= theta _{1}]라 하면

[eqn: tan theta _{1} =1]이므로 [eqn: theta _{1} = {pi } over {4}] 이다.

따라서 [eqn: rmANGLE AOP _{1} = {pi } over {4}]이다

같은 방법으로 [eqn: rmANGLE OBP _{2} = theta _{2}] , [eqn: tan theta _{2} = {1} over {3}]이고

[eqn: {rm bar{BP _{2}}} =3r]이다. [eqn: tan LEFT ( {pi } over {4} + alpha RIGHT ) =3]에 의해서

[eqn: THEREFORE ``tan alpha = {1} over {2}]

[[eqn: 4`]점][2008년 7월]

[eqn: y=x+a]

[eqn: y= {1} over {3} x+b]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2} `]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

정육각형 [eqn: rm ABCDEF]에서 [eqn: bar{rm `EF it}]의 중점을 [eqn: rmM], [eqn: bar{rm `EM it}]의 중점을 [eqn: rm N], [eqn: rm ANGLE MCN= theta]라 할 때, [eqn: tan theta]의 값은?

①

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값 구하기

정육각형의 한 변의 길이를 [eqn: 4a]라 하면

[eqn: rm bar{CE} =4 sqrt {3} ita], [eqn: rm bar{EM} =2 it a], [eqn: rm bar{EN} = it a rm]이고,

[eqn: rm angle MCE = alpha,] [eqn: rm angle NCE = beta]라 하면

[eqn: tan alpha = 1 over{2root3}], [eqn: tan beta = 1 over{ 4root3 }]이다.

[eqn: tan theta = tan( alpha - beta )][eqn: = {tan alpha - tan beta }over { 1+tan alpha tanbeta }][eqn: = {2root3 } over 25]

[3점][2009년 4월]

① [eqn: {2 sqrt {3}} over {25}]	② [eqn: {2 sqrt {3}} over {23}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {23}]

④ [eqn: {6 sqrt {3}} over {25}]	⑤ [eqn: {6 sqrt {3}} over {23}]

[eqn: rm ANGLE B]가 직각인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rm D]와 선분 [eqn: rm BC]의 연장선 위의 점 [eqn: rm E]를 [eqn: rm ANGLE CAD = ANGLE CAE = theta]가 되도록 잡는다.

[eqn: rm { bar AE - bar AD } over { bar AC } = 2 ``]일 때, [eqn: sin theta``]의 값은?

②

[eqn: rm bar AB = it a]라 하면

[eqn: rm bar AE = { it a}over { cos LEFT ( 45^circ + theta RIGHT ) } = { root2 it a } over { cos theta -sin theta }]

[eqn: rm bar AD ={ it a }over { cos LEFT ( 45^circ - theta RIGHT ) } = { {root2 it a }over { cos theta + sin theta }]

[eqn: {bar{AC}} ``= sqrt {2} a]

대입하면

[eqn: 2 rm sin^2 theta +sin theta -1 = 0] 이므로 [eqn: sin theta = 1 over 2]

[3점][2009년 10월]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: {2 -root2 } over 4]

④ [eqn: {root6 -root2 } over 4]	⑤ [eqn: {root5 -root3 } over 4]

좌표평면에서 원점 [eqn: O`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가  각각 [eqn: 1], [eqn: sqrt {2}]인 두 원 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]가 있다. 직선 [eqn: y= {1} over {2}]이 원  [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]와 제1사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: P], [eqn: Q`]라고 하자.
점 [eqn: A LEFT ( ` sqrt {2} `,`0` RIGHT )]에 대하여 [eqn: ANGLE QOP= alpha], [eqn: ANGLE AOQ= beta]라고 할 때, [eqn: sin LEFT ( alpha - beta RIGHT )]의 값은?

④

[eqn: P( {sqrt {3}} over {2} `, {1} over {2} )```,``Q( {sqrt {7}} over {2} `,` {1} over {2} )]

[eqn: alpha + beta = {pi } over {6`} ``,`sin beta = {sqrt {2}} over {4} `,cos beta = {sqrt {14}} over {4}]

[eqn: alpha = {pi } over {6} - beta]

[eqn: sin2 beta =2sin beta `cos beta = {sqrt {7}} over {4}]

[eqn: cos2 beta =2cos ^{2} beta -1= {3} over {4}]

[eqn: sin( alpha - beta )=sin( {pi } over {6} - beta - beta )=sin( {pi } over {6} -2 beta )# ``````````````````````````````````````= {1} over {2} BULLET {3} over {4} - {sqrt {3}} over {2} BULLET {sqrt {7}} over {4} = {3- sqrt {21}} over {8}]

[3점][2010년 6월]

① [eqn: {3- sqrt {14}} over {8}]	② [eqn: {sqrt {7} - sqrt {14}} over {8}]	③ [eqn: {sqrt {6} - sqrt {14}} over {8}]

④ [eqn: {3- sqrt {21}} over {8}]	⑤ [eqn: {sqrt {7} - sqrt {21}} over {8}]

그림과 같이 [eqn: bar{rmAB} `=5`], [eqn: bar{rm AC it} `=4`]인 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 꼭짓점 [eqn: rmC`]에서 선분 [eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD`]라 할 때, 선분 [eqn: rmCD`]의 연장선 위에 [eqn: bar{rmDE}` =3`]을 만족시키는 점 [eqn: rmE`]를 잡는다. 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmAED`]의 넓이를 각각 [eqn: S ` _{1}], [eqn: S ` _{2}]라 할 때, [eqn: S` _{1} +S ` _{2}]의 최댓값을 [eqn: M``]이라 하자. [eqn: M```^2]의 값을 구하시오. (단, 각 [eqn: \CAB]는 예각이다.)

136

[eqn: ANGLE rmCAB=theta]라 하면 [eqn: 0<theta< {pi} over {2}]이고

[eqn: S _{1} = {1} over {2} ``․`` 5 ``․`` 4sin` theta], [eqn: S _{2} = {1} over {2} ``․`` 3 ``․`` 4cos`theta]

[eqn: S _{1} +S _{2} =10`sin`theta+6`cos`theta]

[eqn: `=root136 `sin LEFT ( theta + alpha RIGHT )]

[eqn: left(`cos alpha= 10over root136], [eqn: sin alpha = 6over root136 `right)]

따라서 [eqn: S ` _{1} +S ` _{2}]의 최댓값은 [eqn: root136]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: M```^2 = 136]

[4점][2012년 3월]

그림과 같이 두 직선 [eqn: y= {1} over {3} x], [eqn: y=2x+10`] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B`]와 교점 [eqn: rm P]를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmPAB]가 있다. [eqn: ANGLE rm B=90˚`]이고 [eqn: bar{rm PB it} =12]일 때, [eqn: bar{rm PA it} `]의 값은?

①

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y`=`2x+10]

[eqn: y`=`1 over3 x]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P]

[eqn: tan ( beta - alpha ) `=` { 2- 1over3 } over { 1+ 2over3 } `=` 1],  [eqn: beta - alpha `=`45 DEG]

[eqn: therefore]삼각형 [eqn: rm PAB]는 직각이등변삼각형

[eqn: therefore bar{ rm PA ` } `=` 12root2]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: rm O]

[eqn: y=2x+10]

[eqn: y= {1} over {3} x]

① [eqn: 12 sqrt {2}]	② [eqn: 12 sqrt {3}]	③ [eqn: 18]
④ [eqn: 18 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 18 sqrt {3}]

그림과 같이 [eqn: rm bar{AB} `=3], [eqn: rm bar{BC} =1`]이고 [eqn: ANGLE rm`ABC= {pi } over {2}`]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rm P`]에서의 접선과 [eqn: rm AC`]의 연장선이 만나는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: ANGLE rm PQA= {pi } over {4}`]이고 [eqn: ANGLE rm PAB= theta `]라 할 때, [eqn: 60`tan`2 theta `]의 값을 구하시오. [eqn: left(단,~0 < theta < {pi } over {6}`right)]

30

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 도형과 관련된 문제를 해결한다.

원의 중심을 [eqn: rm`O]라 하면 [eqn: rm ANGLE POB=2 theta]

직선 [eqn: rmOP]와 선분 [eqn: rm AC]가 만나는 점을 [eqn: rm R], [eqn: rm ANGLE BAC= alpha]라 하면 [eqn: rm ANGLE PRQ= alpha +2 theta `]이고 [eqn: tan alpha`=` { 1} over { 3}]

[eqn: rm ANGLE QPR=`pi over 2 ,~][eqn: ANGLE rm PQA= {pi } over {4}`]이므로 [eqn: rm ANGLE PRQ= alpha +2 theta = {pi } over {4}]

[eqn: tan 2 theta = tan left( pi over 4 - alpha right) = {1- tan alpha}over{1+ 1 cdot tan alpha} ={ 2over3 }over{4over3 } = 1 over 2]

따라서 [eqn: 60tan2 theta =30]

[4점][2012년 10월]

그림과 같이 직선 [eqn: y=1``]위의 점 [eqn: P``]에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1``]에 그은 접선이 [eqn: x``]축과 만나는 점을 [eqn: A``]라 하고, [eqn: angle AOP =theta``]라 하자. [eqn: bar{OA``}= 5 over 4``]일 때, [eqn: tan``3 theta``]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< pi over 4 ``]이다.)

④

[eqn: bar{OQ``}=1``]이므로 [eqn: bar{AQ``}= 3 over 4 =bar{AR``}], [eqn: angle PAR =2 theta]
[eqn: tan``theta= 1 over 2], [eqn: tan`` 2 theta = 4 over 3]
[eqn: therefore```][eqn: tan``3theta = tan``(theta + 2 theta)= {tan``theta +tan``2theta} over {1- tan``theta cdot tan``2theta} = 11 over 2]

[4점][2012년 5월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 9 over 2]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 11 over 2]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이 [eqn: rm` bar{AB} `< bar{AC}]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: ANGLE rm ABC=alpha], [eqn: ANGLE rm ACB=beta]라 하자. 또, [eqn: bar {rm AB }= bar {rm AD }]가 되도록 변 [eqn: rm AC] 위에 점 [eqn: rm D]를 잡고 [eqn: ANGLE rm DBC= theta]라 하자. [eqn: cos rm ` alpha = {sqrt {10}} over {10}], [eqn: cos rm ` beta = {sqrt {5}} over {5}]일 때, [eqn: sin2 theta]의 값은?

①

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구한다.

삼각형 [eqn: rm`ABD]가 이등변삼각형이고, 삼각형의 한 외각은 이웃하지 않은

두 내각의 합과 같으므로

[eqn: alpha -theta = theta + beta]

∴ [eqn: 2theta = {alpha - beta}]

그런데, [eqn: cos alpha = {sqrt {10}} over {10}], [eqn: cosbeta= {sqrt {5}} over {5}]에서

[eqn: sin alpha = {3 sqrt {10}} over {10}], [eqn: sin rm ` beta = {2 sqrt {5}} over {5}]이므로

[eqn: sin 2 theta ```= sin(alpha - beta )]

[eqn: =sin alpha cos beta - cos alpha sin beta]

[eqn: = {3 sqrt {10}} over {10} TIMES {sqrt {5}} over {5} - {sqrt {10}} over {10} TIMES {2 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: = {sqrt {2}} over {10}]

[4점][2013년 3월]

① [eqn: {root2} over {10}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {10}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {10}]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {10}]

그림과 같이 평면에서 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원 위의 점 [eqn: rmA]를 점 [eqn: rmO]를 중심으로 시계 반대 방향으로 각 [eqn: theta] ([eqn: 0< theta < {pi } over {2}])만큼 회전시킨 원 위의 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]를 점 [eqn: rmO]를 중심으로 시계 반대 방향으로 [eqn: pi over 2]만큼 회전시킨 원 위의 점을 [eqn: rmC]라 하자. 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 점 [eqn: rmB]에서의 접선과 만나는 점을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rmC]에서의 접선과 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. 사각형 [eqn: rmOADB]의 넓이가 [eqn: 8]일 때, 사각형 [eqn: rmOAEC]의 넓이를 구하시오.

48

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm bar{OA} `=4], [eqn: rm bar{AD} `=4tan {theta } over {2}]이므로
[eqn: rm □OADB=2 TIMES {1} over {2} TIMES bar{OA} TIMES bar{AD} =16tan {theta } over {2} =8]에서
[eqn: tan` {theta } over {2} `= {1} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: rm □OAEC=2times {1} over {2} times4times4tan LEFT ( {pi } over {4} + {theta } over {2} RIGHT )]
[eqn: =16 TIMES {tan {pi } over {4} +tan {theta } over {2}} over {1-tan {pi } over {4} `tan {theta } over {2}} `=16 TIMES {1+ {1} over {2}} over {1- {1} over {2}}]
[eqn: =48]

[4점][2013년 4월]

[eqn: rmO]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: theta]

[eqn: 4]

그림과 같이 중심이 [eqn: O``]인 원 위에 세 점 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C``]가 있다. [eqn: bar{AC``}=4], [eqn: bar{BC``}=3``]이고 삼각형 [eqn: ABC``]의 넓이가 [eqn: 2``]이다. [eqn: angle AOB=theta``]일 때, [eqn: sin ``theta``]의 값은? (단, [eqn: 0<theta<pi])

⑤

원주각 [eqn: = 1 over2 times] 중심각 이므로 [eqn: angle ACB`=`theta over 2``]

[eqn: 1 over 2 · 4 ·3· sin`theta over 2`=`2``]에서 [eqn: sin`theta over 2`=` 1 over 3 `]이고

[eqn: 0< theta over 2 < pi over 2 ``]이므로 [eqn: cos`theta over2`=` {2`root2} over 3`]

따라서 [eqn: sin`theta`=` 2`sin`theta over 2 `cos `theta over 2`=`{4`root2} over 9`]

[3점][2013년 6월]

① [eqn: {2root2} over 9]	② [eqn: {5 root2 } over 18]	③ [eqn: root2 over 3]
④ [eqn: {7root2} over 18]	⑤ [eqn: {4root2} over 9]

[eqn: bar{rmAC}=3`], [eqn: bar{rm BC it} =1`], [eqn: angle rmC` =90DEG `]인 직각삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 4:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rm P`], 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 2:3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. 점 [eqn: rm P`]에서 선분 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm R`], 점 [eqn: rm Q`]에서 선분 [eqn: rm AC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm S`]라 하자.  [eqn: anglermCPR=alpha`], [eqn: anglermCQS= beta `]라 할 때, [eqn: tan( beta - alpha) = q over p `]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

61

[출제의도] 삼각형의 닮음비와 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 문제를 해결한다.

점 [eqn: rmP`]가 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 4:1`]로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rm PR it}} = {1} over {5} {bar{rm AC it}} = {3} over {5} `], [eqn: {bar{rm RC it}} = {4} over {5} {bar{rm BC it}} = {4} over {5} `]

삼각형 [eqn: rm PRC`]가 직각삼각형이므로

[eqn: tan` alpha = {{bar{rm RC it}}} over {{bar{rm PR it}}} `= {4} over {3} `]

점 [eqn: rm Q`]가 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:3`]으로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rmQS}} = {2} over {5} {bar{rm BC it}} = {2} over {5} `], [eqn: {bar{rm SC it}} = {3} over {5} {bar{rm AC it}} = {9} over {5} `]

삼각형 [eqn: rm QCS`]가 직각삼각형이므로

[eqn: tan` beta = {{bar{rm SC it}}} over {{bar{rm QS it}} `} = {9} over {2} `]

따라서

[eqn: tan( beta - alpha )= {tan beta -tan alpha } over {1+tan beta ``tan alpha } `][eqn: = {{9} over {2} - {4} over {3}} over {1+ {9} over {2} TIMES {4} over {3}} `][eqn: = {{27-8} over {6}} over {{6+36} over {6}} = {19} over {42} `]

이므로 [eqn: p+q=42+19=61`]이다.

[4점][2014년 3월]

그림과 같이 원점 [eqn: rmO]로부터의 거리가 [eqn: 1]인 점 [eqn: rm P]에 대하여 선분 [eqn: rm OP]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta][eqn: LEFT ( {pi } over {4} < theta < {pi } over {2} RIGHT )]라 하자. 점 [eqn: rm P]에서 직선 [eqn: y=x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라 하고, 선분 [eqn: rm PQ]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하자. 점 [eqn: rmM]의 [eqn: y]좌표가 최대일 때, [eqn: tan`theta]의 값은?

④

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( cos` theta ,`sin` theta RIGHT )]

직선 [eqn: y=x]가 [eqn: x]축과 이루는 각의 크기는 [eqn: pi over 4]

[eqn: ANGLE rm POQ= theta - {pi } over {4}]이므로

직각삼각형 [eqn: rm OQP]에서

[eqn: bar{rmOQ}=cos LEFT ( theta- {pi} over {4} RIGHT )]

[eqn: rm Q LEFT ( {bar{` rm OQ it rm}} cos {pi} over {4} ,``bar{OQ}sin {pi} over {4} RIGHT )]

[eqn: rm Q LEFT ( cos LEFT ( theta - {pi } over {4} RIGHT ) cos {pi `} over {4} ,`cos` LEFT ( theta - {pi } over {4} RIGHT ) sin {pi } over {4} RIGHT )]이므로

점 [eqn: rmM]의 [eqn: y]좌표는

[eqn: {1} over {2} LEFT { sin`theta+cos LEFT ( theta- {pi} over {4} RIGHT ) sin {pi} over {4} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { sin` theta + LEFT ( {sqrt {2}} over {2} `cos theta + {sqrt {2}} over {2} `sin theta RIGHT ) times {sqrt {2}} over {2} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {3} over {2} `sin` theta `+ {1} over {2} `cos` theta RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {sqrt {10}} over {2} `sin` LEFT ( theta +alpha RIGHT )]

[eqn: left( pile{`#`}]단, [eqn: sin`alpha= {1} over {sqrt {10}}], [eqn: cos`alpha`= {3} over {sqrt {10}}][eqn: pile{`#`} right)]

[eqn: sin LEFT ( theta + alpha RIGHT ) =1], 즉 [eqn: theta = {pi } over {2} -alpha]일 때

점 [eqn: rmM]의 [eqn: y]좌표는 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: tan theta =tan LEFT ( {pi } over {2} -alpha RIGHT ) =cotalpha]

[eqn: = {cos`alpha} over {sin`alpha} =3]

[4점][2015년 4월]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: y=x]

[eqn: rmO]

[eqn: rm M]

[eqn: theta]

① [eqn: 2]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

[해설] 미적분2-(2)삼각함수-(c)그래프