수 리 영 역

방부등식, 함수

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수 리 영 역

방부등식, 함수

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 삼각함수 (방부등식, 함수)

성명			수험번호

16

[eqn: a,```b]는 양수이고 [eqn: alpha + beta + gamma = pi]이다. [eqn: a ^{2} +b ^{2} =3ab`cos` gamma]일 때, [eqn: 9sin ^{2} ( pi + alpha + beta )+9cos` gamma]의 최대값을 구하여라.

[eqn: 11]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =3ab`cos gamma ``]의 양변을 [eqn: ab]로 나누면

[eqn: 3cos gamma = {a} over {b} + {b} over {a}]

[eqn: a,```b]는 양수이므로 [eqn: {a} over {b} ,``` {b} over {a}]도 양수이다.

따라서, 산술-기하평균에 의하여

[eqn: 3cos gamma = {a} over {b} + {b} over {a} >= 2 sqrt {{a} over {b} ․ {b} over {a}} =2]

[eqn: THEREFORE `cos gamma >= {2} over {3}]

[eqn: THEREFORE ` {2} over {3} <= cos gamma <= 1]

또, [eqn: alpha + beta = pi - gamma ``]이므로

[eqn: sin( pi + alpha + beta )=sin(2 pi - gamma )=-sin gamma]

준식[eqn: =9sin ^{2} gamma +9cos gamma][eqn: =9(1-cos ^{2} gamma )+9cos gamma]

[eqn: =-9(cos ^{2} gamma -cos gamma )+9][eqn: =-9 LEFT ( cos gamma - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {45} over {4}]

그런데 [eqn: {2} over {3} <= cos gamma <= 1]이므로

[eqn: cos gamma = {2} over {3}]일 때 최대값 [eqn: 11]을 갖는다.

[3점][1997년 수능]

[eqn: 4 cos ^ 2 x + 4 sin x = 5]일 때, [eqn: sinx]의 값은?

②

[eqn: cos^2 x =1-sin^2 x`]이므로

준식은 [eqn: 4(1-sin^2 x)+4sin x=5]이고

정리하여 고치면 [eqn: (2sin x-1)^2 =0]이므로

[eqn: sin x = 1over2]

[2점][2000년 수능]

①　[eqn: {1} over { SQRT {2} }]	②　[eqn: {1} over {2}]	③　[eqn: 1]

④　[eqn: {1} over {2}]	⑤　[eqn: - {1} over { SQRT {2} }]

부등식 [eqn: cos ^{2} theta `－3cos theta `－a＋9 GEQ 0]이 모든 [eqn: theta]에 대하여 항상 성립하는 실수 [eqn: a]의 범위는?

④

[eqn: cos^2 theta -3cos theta -a+9>=0]에서

[eqn: cos theta =t`]라 하면 [eqn: -1 LEQ t LEQ 1]

[eqn: f(t)=t^3 -3t-a+9`][eqn: =(t- {3} over {2} ) ^{2} + {27} over {4} -a GEQ 0]

[eqn: -1 LEQ t LEQ 1]이므로 [eqn: t=1]일 때

최소이고 최소값 [eqn: f(1)>=0]이면

된다.

[eqn: f(1)= {1} over {4} + {27} over {4} -a=7-a GEQ 0]

에서 [eqn: a LEQ 7]

[3점][2000년 수능]

①　[eqn: -1 LEQ a LEQ 9]	②　[eqn: a GEQ 0]	③　[eqn: a GEQ 5]

④　[eqn: a LEQ 7]	⑤　[eqn: a LEQ 9]

[eqn: sin alpha = {1} over {3}]일 때, [eqn: cos LEFT ( {pi } over {3} + alpha ` RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: 0＜ alpha ＜ {pi } over {2}])

①

[삼각함수의 덧셈정리]

[eqn: sin` alpha = { 1 } over { 3 }]이고 [eqn: 0< alpha < { pi } over { 2 }]이므로

[eqn: cos` alpha = sqrt { 1-`sin`^{ 2 } alpha }][eqn: = sqrt { 1- { 1 } over { 9 } }][eqn: = { 2 sqrt { 2 } } over { 3 }]

[eqn: THEREFORE ```cos` LEFT ( {pi } over {3} + alpha RIGHT ) =`cos` {pi } over {3} `cos` alpha -`sin` {pi } over {3} `sin` alpha]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {2 sqrt {2}} over {3} - {sqrt {3}} over {2} TIMES {1} over {3}][eqn: = {2 sqrt {2} - sqrt {3}} over {6}]

[3점][2005년 수능]

① [eqn: {2 sqrt {2} - sqrt {3}} over {6}]	② [eqn: {2- sqrt {3}} over {6}]	③ [eqn: {sqrt {2} -1} over {3}]

④ [eqn: {sqrt {3} - sqrt {2}} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {3} -1} over {3}]

원점 [eqn: rm O]를 지나고 기울기가 [eqn: tan theta]인 직선 [eqn: l]이 있다. 두 점 [eqn: rm A(0,```2),```B(2 sqrt {3} ,```0)]에서 직선 [eqn: l``]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A prime ,```B` prime]이라 하자.
원점 [eqn: \O`]로부터 점 [eqn: \A prime]까지의 거리와 점 [eqn: \B prime `]까지의 거리의 합 [eqn: overline{ \OA prime} + overline{ \OB prime }]이 최대가 되는 [eqn: theta``]의 값은?(단, [eqn: 0＜ theta ＜ {pi } over {2}]이다.)

②

직선 [eqn: l``]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 [eqn: theta]이므로 다음 그림에서

[eqn: bar{OA prime } = bar{OA} `cos LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =2sin theta],

[eqn: bar{OB prime } = bar{OB} `cos theta =2 sqrt {3} `cos theta]

[eqn: THEREFORE ``` bar{OA prime } + bar{OB prime }][eqn: =2sin theta +2 sqrt {3} `cos theta]

[eqn: = sqrt {2 ^{2} +(2 sqrt {3} ) ^{2}} `sin LEFT ( theta + {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: =4sin LEFT ( theta + {pi } over {3} RIGHT ) LEQ 4]

(단, 등호는 [eqn: theta + {pi } over {3} = {pi } over {2}] 즉, [eqn: theta = {pi } over {6}]일 때 성립한다.)

B([eqn: 2root3],0)

A(0,2)

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: l]

[eqn: O]

[eqn: θ]

A'

B'

따라서 [eqn: bar OA' + bar OB']이 최대가 되는 [eqn: theta]의 값은 [eqn: pi over 6]이다.

[3점][2006년 수능]

① [eqn: {pi } over {12}]	② [eqn: {pi } over {6}]	③ [eqn: {pi } over {4}]

④ [eqn: {pi } over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12} pi]

좌표평면에서 직선 [eqn: y=mx````left(0<m< root3 right)`]가 [eqn: x``]축과 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta_1], 직선 [eqn: y=mx``]가 직선 [eqn: y=root3 x``]와 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta_2``]라 하자. [eqn: 3`sin``theta_1 +4`sin``theta_2``]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: m``]의 값은?

①

[eqn: tan(theta_1 + theta_2 ) = sqrt3]

[eqn: therefore```theta_1 + theta_2 = pi over3]

[eqn: tan theta_1 =m]이므로

[eqn: therefore```3 sin theta_1 + 4sin theta_2]
[eqn: = 3sin theta+4sin left( pi over 3 - theta_1 right)]
[eqn: =3sin theta_1 + 4 left( sqrt3 over2 `cos theta_1 - 1over2 `sin theta_1 right)]
[eqn: =sin theta_1 + 2sqrt3` cos theta_1]
[eqn: = sqrt13 `sin(theta_1 + alpha )`` left( cos alpha= 1over sqrt3 ,```sin alpha = {2sqrt3} over sqrt13 right)]

최대가 되는 [eqn: theta_1 = pi over2 - alpha]이므로

[eqn: m= tan theta_1 = tan left( pi over2 - alpha right)]
[eqn: = {cos alpha} over {sin alpha}= 1over {2sqrt3}= sqrt3 over 6]

[4점][2012년 수능]

① [eqn: sqrt3 over 6]	② [eqn: sqrt3 over 7]	③ [eqn: sqrt3 over8]
④ [eqn: sqrt3 over 9]	⑤ [eqn: sqrt3 over 10]

함수 [eqn: f(x)=2`cos LEFT ( x- {pi} over {3} RIGHT ) +2 sqrt {3} `sinx]의 최댓값은 [eqn: a]이다. [eqn: a ^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 28]

[eqn: f(x)= 2 cos left(x- pi over 3 right)+2root3 `sin x]

[eqn: =2 LEFT ( cosx․cos {pi } over {3} +sinx․sin {pi } over {3} RIGHT ) +2 sqrt {3} `sinx]

[eqn: =cos x +root3 ` sin x +2root3 `sin x]

[eqn: = 3root3 `sin x +cos x][eqn: =root28 `sin (x+theta)]

[eqn: left(단,~sin theta = 1 over root28 , ``~cos theta = {3root3} over root28 right)]

최댓값 [eqn: a=root28]

따라서 [eqn: a^2 =28]

[3점][2013년 수능]

함수 [eqn: f(x) = sinx + sqrt { 7}`cosx - sqrt { 2}]의 최댓값은?

①

[eqn: f(x)=sinx+ sqrt {7} cosx- sqrt {2}]

[eqn: =2 sqrt {2} sin(x+ alpha )- sqrt {2}]

[eqn: LEFT ( 단,``sin alpha = {sqrt {14}} over {4} `,``cos alpha = {sqrt {2}} over {4} RIGHT )]

이때, [eqn: -1 LEQ sin(x+ alpha ) LEQ 1`] 이므로

[eqn: -3 sqrt {2} LEQ 2 sqrt {2} sin(x+ alpha )- sqrt {2} ` LEQ sqrt {2}]

따라서, 함수 [eqn: f(x)`]의 최대값은 [eqn: sqrt {2}]이다.

[2점][2015년 수능]

① [eqn: sqrt { 2}]	② [eqn: sqrt { 3}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: sqrt { 5}]	⑤ [eqn: sqrt { 6}]

[eqn: alpha + beta = pi over 4]일 때, [eqn: root {2`} sin alpha + 2 cos beta]의 최대값은?

③

[eqn: root 2 sin alpha + 2 cos ( pi over 4 - alpha)]

[eqn: = root 2 sin alpha + 2 left{ cos pi over 4 cos alpha + sin pi over 4 sin alpha right}]

[eqn: = 2 root 2 sin alpha + sqrt 2 cos alpha = sqrt 10 sin(alpha+theta)]

(단, [eqn: sin theta = sqrt5 over 5], [eqn: cos theta = {2sqrt5} over 5]

[eqn: therefore]최대값은 [eqn: sqrt10]

[4점][2005년 5월]

①  [eqn: root6]	② [eqn: 2root2]	③ [eqn: root10]
④ [eqn: 2root3]	⑤    [eqn: 4]

이차방정식 [eqn: 2x^2 - px + 1 =0]의 두 근이 [eqn: tan alpha ,~ tan beta]일 때, [eqn: tan(alpha + beta) = 3]을 만족시키는 [eqn: p`]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

[eqn: tan( alpha + beta )= {tan alpha +tan beta } over {1-tan alpha tan beta }][eqn: = {{p} over {2}} over {1- {1} over {2}} =p=3]

[3점][2005년 5월]

함수 [eqn: y=cos x-cos LEFT (x + {pi } over {3} RIGHT )]가 [eqn: x = alpha]에서 최대값을 가질 때,  [eqn: tan alpha]의 값은? (단, [eqn: 0 <= x<2 pi])

⑤

[eqn: y=cosx-cos LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: =cosx- LEFT ( cosx`cos {pi } over {3} -sinx sin pi over 3 right)]

[eqn: = root3 over 2 ` sinx + 1 over 2` cosx= sin left( x + pi over 6 right)]

[eqn: y]는 [eqn: x+ {pi } over {6} = {pi } over {2}]일 때 최대값을 갖는다.

∴ [eqn: alpha = {pi } over {3}],  [eqn: tan alpha =tan {pi } over {3} = sqrt {3}]

(별해)

[eqn: y= cosx-cos LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )`=`-2sin LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT ) sin LEFT ( - {pi } over {6} RIGHT )]

[eqn: =sin LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT )]

[3점][2006년 4월]

①  [eqn: 0]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: sqrt3 over 3]	④  [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt3]

함수 [eqn: f(x)= sqrt {3} `sin {x} over {2} +cos {x} over {2}] 에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

[eqn: f(x)=2``sin left( { x} over { 2}+ { pi} over {6 }right)][eqn: =2``sin {1} over {2} left(x+ {pi } over {3} right)]에서

주기는 [eqn: 4pi], 최대값 [eqn: 2], 최소값 [eqn: -2]

[eqn: y=f left(x- { pi} over {3 }right)=2`sin { 1} over {2 }x]이므로 원점에 대하여 대칭

옳는 것은 ㄱ, ㄴ. ㄷ

[3점][2006년 5월]

		<보 기>
	ㄱ. 주기는 [eqn: 4 pi]이다. ㄴ. 최대값은 [eqn: 2]이고 최소값은 [eqn: -2]이다. ㄷ. 함수 [eqn: y=f left(x- {pi } over {3} right)] 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

폐구간 [eqn: [0,``pi]]에서 함수 [eqn: y=sin`x`-sin`left(x+ pi_` over {3`}right)]의 최대값을 [eqn: M`], 최소값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M-m`]의 값은?

⑤

[eqn: y= sin x - left( sin x cos pi over 3 + cos x sin pi over 3 right)`]

[eqn: = sin x - left( 1over2 sin x + root3 over 2 cos x right)`]

[eqn: = 1over2 sin x - root3 over 2 cos x`]

[eqn: = sin left( x - pi over 3 right)`]

[eqn: x- pi over 3 = θ`]라 하면

[eqn: 0<= x<= pi`]이므로 [eqn: - pi over 3 <= θ <= 2over3 pi`]이다.

따라서, 함수[eqn: y= sin θ`]에서

[eqn: θ = pi over 2`]일 때 [eqn: y`]의 최대값은 1이고,

[eqn: θ = - pi over 3`]일 때 [eqn: y`]의 최소값은 [eqn: - root3 over 2`]이다.

∴ [eqn: M-m= 1- left( - root3 over 2 right) = {2+ root3 } over 2`]

[3점][2006년 6월]

① [eqn: { -1+SQRT { 3`}_`} over 2]	② [eqn: {2-SQRT { 3`}_`} over {2`}]	③ [eqn: {3-SQRT { 3`}_`} over {2`}]

④ [eqn: {1+SQRT { 3`}_`} over {2`}]	⑤ [eqn: {2+SQRT { 3`}_`} over {2`}]

[eqn: y=cos`x+2` sin` LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT )]의 최대값을 [eqn: M], 최소값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m`]의 값은 ?

②

[eqn: y=cosx+2(sinx````cos {pi } over {6} +cosx``sin {pi } over {6} )]

[eqn: =cosx+2( {sqrt {3}} over {2} `sinx``+ {1} over {2} `cosx`)]

[eqn: = sqrt {3} `sinx+2cosx]

[eqn: = sqrt {7} `sin(x+ theta )``left(sin theta = {2} over {sqrt {7}} ,``cos theta = {sqrt {3}} over {sqrt {7}} right)]

따라서, [eqn: M-m= sqrt {7} -(- sqrt {7} )=2 sqrt {7}]

[3점][2007년 4월]

① [eqn: sqrt {7`}]	② [eqn: 2 sqrt {7`}]	③ [eqn: 3 sqrt {7`}]	④ [eqn: 4 sqrt {7`}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {7`}]

[eqn: 0 <= x <= pi]일 때, [eqn: f(x)=sinx+cosx-2sinx`cosx`]의 최대값과 최소값의 곱은?

①

[출제의도] 삼각함수의 최대값과 최소값 구하기

[eqn: t=sin x +cosx = sqrt {2} `sin left( x + {pi} over {4} right)]라 하면

[eqn: -1 <= t <= sqrt {2}]이다.

[eqn: t^2 = 1+2sinx cos x] 이므로 [eqn: sin x cos x={t^2 -1}over2]

따라서 [eqn: sin x +cos x -2sinx cosx]

[eqn: =t-(t ^{2} -1)=-t ^{2} +t+1``]( [eqn: -1 <= t <= sqrt {2}])이므로

[eqn: t=` {1} over {2}]일 때, 최대값 [eqn: {5} over {4}]이고

[eqn: t=`-1]일 때, 최소값 [eqn: -1]이다.

따라서 [eqn: f(x)]의 최대값과 최소값의 곱은 [eqn: - {5} over {4}]이다.

[4점][2007년 5월]

① [eqn: - {5} over {4}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

두 함수 [eqn: f`(x)= {1_`} over {x+2}], [eqn: g`(x)= sqrt {3`} sinx-cosx`]에 대하여 폐구간 [eqn: [0,``pi]]에서 함수 [eqn: y= (f circg ) (x)]의 최대값은?

②

[eqn: g(x)`=` SQRT { 3`} sin`x-cos`x][eqn: =`2sin LEFT (x- pi over 6 RIGHT )]

[eqn: 0`≦`x`≦`pi`]일 때 [eqn: - {pi}_` over {6} `≦`x- {pi}_` over {6} `≦`{5}_` over {6}`pi`]이므로

[eqn: - {1}_` over {2}`≦`sin LEFT ( x- {pi}_` over {6} RIGHT ) `≦`1]

[eqn: ∴~-1`≦`g`(x)`≦`2`]

[eqn: (f`∘g)(x)`=`1_` over {g(x)+2}]에서

[eqn: {1}_` over {4}`≦`(f`∘g)(x)`≦`1]

따라서, 최대값은 [eqn: 1]이다.

[3점][2007년 6월]

① [eqn: {1_`} over {2`}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3_`} over {2`}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: { 5_`} over { 2`}]

[eqn: 0<=x<=4pi`]일 때, 삼각방정식 [eqn: sin`x+ sqrt {3}` cos`x=`-1`]의 실근의 개수는?

④

[eqn: sin `x + sqrt3 `cos`x = 2 ` sin left(x + {pi} over 3 right) = `- 1]이므로

[eqn: sin ``left(x + {pi} over 3 right) = `- 1 over 2]의 근은

[eqn: {5} over {6} pi `], [eqn: 3 over 2 pi`], [eqn: 17 over 6 pi`], [eqn: 7 over 2 pi`]이고 근의 개수는 [eqn: 4]이다.

[[eqn: 3`]점][2007년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 실수 [eqn: x,```y`]에 대하여

[eqn: sinx ` +sin y`=`1,~cosx`+ cosy`= { 1_`} over {2 `}]

일 때, [eqn: cos(x-y)]의 값은?

④

[eqn: sin x + sin y`=`1]에서

[eqn: sin^2 x + sin^2 y + 2sin x` sin y `=`1]	…… ㉠

[eqn: cosx +cosy`=`{1_`} over 2]에서

[eqn: cos^2 x+cos^2 y +2cos x cos y`=`{1_`} over 4]	…… ㉡

㉠＋㉡에서

[eqn: 2+2(sinx`` siny + cosx`` cosy)`=`{5_`} over 4]

[eqn: 2+2cos(x-y) `=` {5_`} over 4]

[eqn: THEREFORE ~cos(x-y) `=` {1_`} over 2 left({5_`} over 4 -2 right) `=` -{3_`} over 8]

[3점][2007년 9월]

① [eqn: {5_`} over {8 `}]	② [eqn: {3_`} over {8 `}]	③ [eqn: {1_`} over {8 `}]	④ [eqn: - {3_`} over {8 `}]	⑤ [eqn: - {5_`} over {8 `}]

[eqn: sin` alpha +cos` beta +sin` gamma ``=0], [eqn: cos` alpha +sin` beta +cos` gamma ``=0]을 만족할 때, [eqn: sin( alpha + beta )]의 값은?

②

[eqn: sin alpha +cos beta=-sin gamma]과

[eqn: cosalpha +sin beta =-cos gamma]의 양변을 제곱하여 더하면

[eqn: 2+2sin( alpha + beta )=1]  [eqn: THEREFORE `sin( alpha + beta )=- {1} over {2}]

[3점][2008년 4월]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

방정식 [eqn: 4(sin ^{3} x-cos ^{3} x)=3(sinx-cosx)]의 모든 실근의 합은? (단, [eqn: 0 <= x <= pi])

④

[eqn: (sinx-cosx)(4sin ^{2} x+4sinx`cosx+4cos ^{2} x-3)=0]

[eqn: sqrt {2} `sin LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) (2sin2x+1)=0]

[eqn: sin LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) =0] 또는 [eqn: sin2x=- {1} over {2}]

[eqn: x=n pi + {pi } over {4}] 또는 [eqn: x= {n pi } over {2} +(-1) ^{n} {7} over {12} pi]

따라서 [eqn: 0≦x≦ pi] 이므로, 해는 [eqn: {pi } over {4}], [eqn: {7} over {12} pi], [eqn: {11} over {12} pi]

[4점][2008년 4월]

① [eqn: pi]	② [eqn: {5} over {4} pi]	③ [eqn: {3} over {2} pi]	④ [eqn: {7} over {4} pi]	⑤ [eqn: 2 pi]

함수 [eqn: y`=`root3`sin x`-`cos x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동하면 [eqn: y`=`2 cos x]의 그래프와 일치한다. 이 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: |`a`|`<=`pi])

①

[출제의도]삼각함수의 합성 및 평행이동 적용하기

[eqn: y`=`root3 sinx`-`cosx]

[eqn: `=`2left{ cos x⋅left( - 1over2 right)`+`sinx ⋅root3 over 2 right}]

[eqn: `=`2 cos(x`-`2over3 pi`)]

를 [eqn: x]축방향으로 [eqn: - 2over3 pi]만큼 평행이동하면

[eqn: y`=`2 cos x]와 일치한다.

[3점][2008년 5월]

①[eqn: - 2over 3 pi]	②[eqn: - pi over3]	③[eqn: pi over6]	④[eqn: pi over3]	⑤[eqn: 2over3 pi]

[eqn: 0`<=`x`<=`2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin^2 x`+`2`sinx`cosx`+`3`cos^2 x`=`3]의 모든 해의 합은?

④

[해설] [eqn: sin^2 x`+`2 sin x`cos x`+`3 cos^2 x`=`3(sin^2 x`+`cos ^2 x`)]

[eqn: 2sin^2 x`-`2sinx`cos x`=`0]

[eqn: 2sinx`(sinx`-`cos x)`=`0]

[eqn: sinx`=`0] 또는 [eqn: sin x`=`cos x]에서

[eqn: x`=`0``,``pi``,``2pi``,``pi over4``,``5over4 pi] ∴모든 해의 합은 [eqn: 9over2 pi]

[3점][2008년 5월]

① [eqn: 3pi]	②[eqn: 7over2 pi]	③[eqn: 4pi]	④[eqn: 9over2 pi]	⑤[eqn: 5pi]

함수 [eqn: LEFT . y= sqrt {2} `sinx+3cos LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT .]는 [eqn: x= theta]일 때 최댓값을 갖는다. [eqn: tan theta]의 값은?

②

[출제의도] 삼각함수의 합성 이해하기

[해설] [eqn: y= sqrt {2} rm sin it x+3cos LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT )]

[eqn: ={ 3root2} over2 rm cos it x - root2 over2 rm sin itx]

[eqn: = sqrt {5} rm cos( it x+ alpha )] (이 때, [eqn: tan alpha = 1over3])

주어진 함수는 [eqn: x=2n pi - alpha]([eqn: n]은 정수)일 때 최댓값을 가지므로 [eqn: tan theta =tan(2n pi - alpha )=- {1} over {3}]이다.

[3점][2009년 4월]

①[eqn: - {2} over {3}]	②[eqn: - {1} over {3}]	③[eqn: 0]

④[eqn: {1} over {3}]	⑤[eqn: {2} over {3}]

[eqn: sin alpha = {2} over {3} `(0 < alpha < {pi } over {2} )], [eqn: cos beta = {1} over {2} `(0 < beta < {pi } over {2} )]이고
[eqn: sin( alpha + beta ),```sin( alpha - beta )]를 두 근으로 하는 이차방정식이
[eqn: x ^{2} + {a} over {3} x+ {b} over {36} =0] 일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

⑤

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기

[eqn: sin( alpha + beta )][eqn: = {2+ sqrt {15}} over {6}],[eqn: sin( alpha - beta )][eqn: = {2- sqrt {15}} over {6}]

[eqn: x ^{2} + {a} over {3} x+ {b} over {36} =0]

두 근의 합 [eqn: -{a } over {3 } ={2} over {3}]   ∴[eqn: a=-2]

두 근의 곱 [eqn: {b } over {36 } ={-11} over {36}]   ∴[eqn: b=-11]

따라서, [eqn: ab=22]

[[eqn: 3]점][2009년 7월]

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

함수 [eqn: f(x)= {sinx+cosx} over {sinx+cosx-2}]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

[출제의도] 삼각함수의 합성과 미분을 이용하여 그래프의 성질 추론하기

[eqn: t=sinx`+cosx= sqrt { 2} {rmsin} left(itx+ { pi } over { 4}right)]라 놓으면

[eqn: -sqrt { 2}`<=` t<=` sqrt { 2}]

[eqn: g(t)= {t} over { t -2}=1+ { 2} over {t-2}]

ㄱ. [eqn: t=sqrt2]일 때, 최솟값 [eqn: -1- sqrt { 2}]  (참)

ㄴ. [eqn: x={ pi } over {4}]일 때, [eqn: t=sqrt2]에서 최솟값 (거짓)

ㄷ. [eqn: f(x)][eqn: =1+ {2} over {sqrt {2} {rmsin} LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT ) -2}]이다.

[eqn: f prime (x)=- {2 sqrt {2} rm cos it LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT )} over {LEFT. LEFT ( sqrt {2} rm sin it LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT ) -2 RIGHT . RIGHT ) ^{2} `}]이므로

[eqn: x= 2n pi+ { pi } over { 4}] ([eqn: n]은 정수)에서 극솟값을 갖고

[eqn: x= 2n pi+ {5 } over { 4}pi] ([eqn: n]은 정수)에서 극댓값을 갖는다.(참)

[[eqn: 3]점][2009년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. 최솟값은 [eqn: -1- sqrt {2}]이다. ㄴ. [eqn: x= {pi } over {4}]에서 최댓값을 갖는다. ㄷ. [eqn: x= 5 over 4 pi]에서 극댓값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: sqrt {3} `sin theta +cos theta = {1} over {2} `]일 때, [eqn: cos` LEFT ( theta + {pi } over {6} ` RIGHT )]의 값은?
(단, [eqn: 0`< theta `< pi `])

⑤

[eqn: sqrt3 rm sin theta + cos theta = 2 sin left( theta + pi over 6right)]    [eqn: therefore sin left( theta + pi over 6 right) = 1 over 4]

[eqn: pi over 6 < theta + pi over 6 < 7 over 6 pi] 이므로,

[eqn: cos LEFT ( theta + {pi } over {6} RIGHT ) =± sqrt {1-sin ^{2} ( theta + {pi } over {6} )} =± {sqrt {15}} over {4}]

주어진 범위 내에서 [eqn: cos LEFT ( theta + {pi } over {6} RIGHT ) =- {sqrt {15}} over {4}]

[3점][2009년 9월]

① [eqn: - sqrt5 over8]	② [eqn: - sqrt15 over8]	③ [eqn: - 1over2]
④ [eqn: - sqrt5 over4]	⑤ [eqn: - sqrt15 over4]

[eqn: cos`alpha`=- {1} over {3} `], [eqn: sin`beta`= {sqrt {2}} over {4} `]일 때, [eqn: cos` LEFT ( alpha-beta RIGHT ) `]의 값은?

③

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 활용하여 계산하기

[eqn: sin` alpha `= sqrt {1-cos ^{2} ` alpha } = {2 sqrt {2}} over {3} `],

[eqn: cos`beta`= sqrt {1-sin ^{2} `beta} = {sqrt {14}} over {4} `]이므로

[eqn: cos` LEFT ( alpha-beta RIGHT ) =cos`alpha`cos`beta`+sin`alpha`sin`beta= {4- sqrt {14}} over {12}]

[eqn: LEFT ( 단,` {pi} over {2} LEQ`alpha`LEQ`pi,`0`LEQ`beta`LEQ {pi} over {2} RIGHT )]

[3점][2010년 4월]

① [eqn: {3- sqrt {14}} over {12} `]	② [eqn: {-4+ sqrt {14}} over {12} `]	③ [eqn: {4- sqrt {14}} over {12}]

④ [eqn: {-3+ sqrt {14}} over {12} `]	⑤ [eqn: {3+ sqrt {14}} over {12}]

폐구간 [eqn: LEFT [ `0,~2pi` RIGHT ] `]에서 삼각방정식
[eqn: LEFT ( sqrt {3} `sin`x`+cos`x` RIGHT ) ^{2} -2`sin` LEFT ( x+ {pi} over {6} RIGHT ) `=0`]
의 모든 해의 합은?

⑤

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 삼각방정식의 해 구하기

[eqn: 4`sin ^{2} ` LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT ) `-2`sin` LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT ) `=0`]

[eqn: sin` LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT ) `=0`]또는 [eqn: sin` LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT ) `= {1} over {2} `]에서

[eqn: x+ {pi} over {6} =pi,~2pi] 또는 [eqn: x+ {pi} over {6} = {pi} over {6} ,~ {5} over {6} pi,~ {13} over {6} pi`]이므로

[eqn: x=0,~ {2} over {3} pi,~ {5} over {6} pi,~2pi`]이다.

따라서, 모든 해의 합은 [eqn: {16} over {3} pi`]이다.

[3점][2010년 4월]

① [eqn: 4pi]	② [eqn: {13} over {3} pi]	③ [eqn: {14} over {3} pi]

④ [eqn: 5pi]	⑤ [eqn: {16} over {3} pi]

점 [eqn: (6`,```2)`]에서 원 [eqn: x^2 + y^2 = 1 `]에 두 접선을 그었을 때, 두 접선이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각은 각각 [eqn: alpha `,```beta `]이다. [eqn: tan( alpha + beta ) `]의 값은?

②

원의중심 [eqn: (`0`,`0)]가 점 [eqn: (`6`,`2`)]를 잇는 직선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: gamma `]라고 하면

[eqn: alpha < beta ``]일 때, [eqn: {theta } over {2} + alpha = gamma ``,``` {theta } over {2} + gamma = beta ``]이므로

[eqn: alpha + beta =2 gamma `] 이고 [eqn: tan` gamma `= {1} over {3} ``]이다.

[eqn: tan( alpha + beta )=tan`2 gamma = {2tan` gamma } over {1-tan ^{2} gamma } = {3} over {4}]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 3over 4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5 over 4]	⑤ [eqn: 3 over 2]

[eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: cosx```= {1} over {(2n-1) pi } x] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS ``])의 양의 실근의 개수를 [eqn: a` _{n} ``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{24} {500} over {` LEFT ( a _{n`} +1 RIGHT ) LEFT ( a _{n} +3 RIGHT )} ``]의 값을 구하시오.

[eqn: 120]

그림에서 [eqn: a _{n} =2n-1`(n ge1)]

[eqn: sum _{n=1} ^{24} {500} over {LEFT ( `a _{n} +1` RIGHT ) LEFT ( `a _{n} +3` RIGHT )} = sum _{n=1} ^{24} {500} over {2n(`2n+2`)}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{24} {125} over {n(n+1)}]

[eqn: =125 sum _{n=1} ^{24} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )=120]

[4점][2011년 3월]

두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]가 [eqn: x+y``= {pi } over {3}`]를 만족시킬 때, [eqn: sqrt {3} `cosx+2`siny`]의 최댓값은?

④

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이해하기

[eqn: y= {pi } over {3} -x]이므로
(준식) [eqn: = sqrt {3} `cosx+2sin LEFT ( {pi } over {3} -x RIGHT )]
[eqn: =2 sqrt {3} `cosx`-sinx]

[eqn: = sqrt {13} `sin LEFT ( alpha -x RIGHT ) `]
[eqn: left(pile{` #` }]단, [eqn: sin `alpha = {2 sqrt {39}} over {13}], [eqn: cos` alpha `= {sqrt {13}} over {13}][eqn: pile{` #` } right)]

따라서 최댓값은 [eqn: sqrt {13}]

[3점][2011년 4월]

① [eqn: root7]	②  [eqn: 3]	③ [eqn: root11]
④ [eqn: root13]	⑤ [eqn: root15]

닫힌 구간 [eqn: left[ pi over 6`,``5over6 pi right]``]에서 함수

[eqn: f`(x)`=`root3`sin x`+`cos x`+`1``]

의 최댓값을 [eqn: M``], 최솟값을 [eqn: m``]이라 할 때, [eqn: M+m``]의 값은?

④

[eqn: f(x)= sqrt {3} sinx+cosx+1# ```````````````````=`2sin(x+ {pi } over {6} )`+`1]

[eqn: x+ {pi } over {6} =t`]라 하면

[eqn: f(t)=2sint+1``( {pi } over {3} LEQ t LEQ pi )]이므로

[eqn: t= {pi } over {2}]에서 최대값 3, [eqn: t= pi]에서 최소값 1을 갖는다.

[eqn: THEREFORE M+m`=4]

[3점][2011년 6월]

① [eqn: 5over2``]	② [eqn: 3``]	③ [eqn: 7over2``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 9over2``]

좌표평면에서 두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=-2x]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan theta]의 값은?

④

[출제의도]두 직선이 이루는 각의 크기를 구할 수 있는가?

두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y= -2x]가 [eqn: x]축과 이루는 양의 각의 크기를 각각 [eqn: theta_1], [eqn: theta_2]라고 하면

[eqn: tan theta_1 = 1], [eqn: tan theta_2 = -2]

[eqn: therefore] [eqn: tan theta = | tan (theta_1 - theta_2 )|]

[eqn: = | {tantheta_1 - tantheta_2} over {1+ tantheta_1 tantheta_2} |][eqn: = |{1-(-2)} over {1+ 1 times(-2)}|][eqn: = 3]

[3점][2011년 9월]

① 2	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

다음 중 [eqn: tan 10° + 1over{tan`20°}]의 값과 같은 것은?

③

[eqn: tan`10 DEG + {1} over {tan`20 DEG }][eqn: = {sin10 DEG } over {cos`10 DEG } + {cos`20 DEG } over {sin20 DEG }]

[eqn: `= {sin10°sin20°+cos`10°cos`20°} over {cos`10°sin20°}]

[eqn: `= {cos(20°-10°)} over {cos10°sin20°}]

[eqn: `= {cos`10°} over {cos`10°sin`20°}]

[eqn: `= {1} over {``sin20°}]

[3점][2012년 3월]

① [eqn: sin10°]	② [eqn: cos`20°]	③ [eqn: 1over {sin`20°]	④ [eqn: 1over {cos`10°]	⑤ [eqn: 1over{tan10°}]

함수 [eqn: f(x)=2`cos``left(x- pi over 6 right)`+3`sin``x``]의 최댓값은?

④

[eqn: f(x)=2cos(x- {pi } over {6} )+3sinx]
[eqn: =2(cosx``cos {pi } over {6} +sinx`sin {pi } over {6} )+3sinx]
[eqn: =2( {sqrt {3}} over {2} cos`x`+ {1} over {2} sin`x)+3`sinx]
[eqn: =4`sin``x+ sqrt {3} `cos``x``]이므로
[eqn: THEREFORE `최대값`=`` sqrt {19}]

[3점][2012년 6월]

① [eqn: 4]	② [eqn: root17]	③ [eqn: 3root2]	④ [eqn: root19]	⑤ [eqn: 2root5]

두 함수 [eqn: f(x)= x^2 +2x-1], [eqn: g(x)=sin``x-cos``x``]에 대하여 합성함수 [eqn: (f circ g)(x)``]의 최댓값과 최솟값의 합은?

③

[eqn: g(x)=root2 `sin ``left( x- pi over 4 right)``]이므로 [eqn: - sqrt {2} LEQ g(x) LEQ sqrt {2}]

[eqn: f CIRC g(x)=f(t)=(t+1) ^{2} -2````` LEFT ( - sqrt {2} <= t <= sqrt {2} RIGHT ) ``]에서

최댓값은 [eqn: 2root2 +1], 최솟값은 [eqn: -2``]

[eqn: therefore```2root2 -1]

[3점][2012년 5월]

① [eqn: root2 -1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: 2root2 -1]
④ [eqn: root2 +1]	⑤ [eqn: 2root2 +1]

삼각방정식 [eqn: root6 `sin``x -root2 ` cos``x-2=0``]의 모든 실근의 합을 [eqn: q over p pi``]라 할 때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<=x<=2pi``]이고, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 7]

[eqn: sqrt {6} rm sin it x- sqrt {2} rm cos it x=2]에서 좌변을 합성하면,

[eqn: 2 sqrt {2} rm sin it LEFT ( x- {pi } over {6} RIGHT ) =2]

[eqn: sin it LEFT ( x- {pi } over {6} RIGHT ) = {sqrt {2}} over {2}] [eqn: cdots] ①

[eqn: sin {pi} over {4} = {sqrt {2}} over {2}]이므로 식 ①을 만족하는 [eqn: x]의 값을 구하면,

[eqn: x- {pi } over {6} = {pi } over {4} +(-1) ^{n} n pi] ([eqn: n]은 정수)

에서 [eqn: x= {5pi } over {12} +(-1) ^{n} n` pi]

[eqn: 0<=x<=2pi]에 해당하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: {5} over {12} pi]와 [eqn: {11} over {12} pi]이다.

값의 합은 [eqn: {4} over {3} pi]이므로 [eqn: p+q=7]

[3점][2013년 6월]

함수 [eqn: f(x)= root7 `sin``x-3`cos``x``]의 최댓값은?

④

삼각함수의 합성에서 [eqn: a`sinx+b`cosx`=` sqrt {a ^{2} +b ^{2}} `sin(x+ alpha )]이므로 [eqn: f(x)= sqrt {7} `sinx-3cosx] [eqn: =`4sin(x+ alpha )]

∴ 최대값 [eqn: sin(x+ alpha )`=`1], [eqn: f(x) _{max} `=`4]

[2점][2013년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x) = root5 ` sin x + 2 cos x + a ``]의 최댓값이 [eqn: 7``]일 때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

④

[eqn: f(x)= sqrt {LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}} `sin`(x+ alpha )+a]

[eqn: =3`sin(x+ alpha )+a] [eqn: LEFT ( 단,~ tan` alpha `= {2} over {sqrt {5}} RIGHT )]

[eqn: M=3+a=7] [eqn: THEREFORE `a=4]

[3점][2014년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f`(`x`)`=`3`sin`x`+`4`cos`x`]의 최댓값은?

⑤

[출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 최댓값을 구한다.

[eqn: cos alpha = 3 over 5], [eqn: sin alpha = 4 over 5]일 때,

[eqn: f(x) = root{3^2 + 4^2 }`sin(x + alpha )][eqn: =`5`sin(x+ alpha )]

이므로 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 5]이다.

[2점][2014년 10월]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]	④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=a`sinx+ sqrt {11} `cosx]의  최댓값이 [eqn: 6]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

⑤

[eqn: f(x)=a`sinx+ sqrt {11}` cosx]=[eqn: sqrt {a ^{2} +11} `sin(x+ alpha )` ~```left(tan alpha = {sqrt {11}} over {a} right)]

[eqn: M= sqrt {a ^{2} +11} =6], [eqn: a ^{2} =25] ∴ [eqn: a=5(a>0)]

[3점][2015년 6월]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

좌표평면에서 두 직선 [eqn: x-y-1=0], [eqn: ax-y+1=0]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: tan{theta={1}over{6}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?
(단, [eqn: a>1])

④

[eqn: x-y-1=0]의 기울기를 [eqn: m_{1}],

[eqn: ax-y+1=0]의 기울기를 [eqn: m_{2}]라 하면

[eqn: m_{1}=1], [eqn: m_{2}=a]이고

[eqn: tantheta=` LEFT | {1-a}over{1+a} RIGHT |]

[eqn: =` {a-1}over{a+1} ={1}over{6}] ([eqn: becausea>1])

따라서

[eqn: 6a-6=1+a]

[eqn: 5a=7]

[eqn: therefore `a={7}over{5}]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: {11}over{10}]	② [eqn: {6}over{5}]	③ [eqn: {13}over{10}]	④ [eqn: {7}over{5}]	⑤ [eqn: {3}over{2}]

[해설] 미적분2-(2)삼각함수-(b)방부등식, 함수