수 리 영 역

일반각, 호도법

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수 리 영 역

일반각, 호도법

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 삼각함수 (일반각, 호도법)

성명			수험번호

16

아래 그림과 같은 사다리꼴 [eqn: rmABCD]가 있다.
[eqn: rm overline AB = overline AD =1,~ overline BC =2], [eqn: rmANGLE A]와 [eqn: rm ANGLE B]의 크기는 [eqn: pi over 2]이다.
윗변 [eqn: rmAD]에 임의의 점 [eqn: rmP]를 잡아 [eqn: rm overline PB =itx], [eqn: rm overline PC it=y]라 할 때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

②

[eqn: △PBC``]에서 [eqn: ANGLE BPC= theta]라 하면 [eqn: △PBC``]의 넓이는

[eqn: 1 over 2 × 2×1 =1]이고, [eqn: 1= {1} over {2} x`y``sin theta ``` CDOTS CDOTS ```①]

한편, 점 [eqn: P``]가 [eqn: A``]에 있을 때, [eqn: sin theta = {2} over {sqrt {5}}]

점 [eqn: P ``]가 [eqn: D``]에 있을 때 [eqn: ∠ BPC = pi over 2]이므로 [eqn: sin theta =1]

[eqn: THEREFORE ``` {2} over {sqrt {5}} <= sin theta <= 1``` CDOTS CDOTS ```②]

①에서 [eqn: sin theta = {2} over {xy}]이므로 [eqn: 2 over sqrt 5 <= 2 over xy <=1]

[eqn: THEREFORE ```2 <= xy <= sqrt {5}]  [eqn: CDOTS] [ㄱ, ㄷ] 참

한편, [eqn: xy =2]일 때는 ①에서 [eqn: sin theta =1]

[eqn: THEREFORE ``` theta = {pi } over {2}]

[eqn: ∴ `△BCP``]는 직각삼각형이다. [eqn: CDOTS] [ㄴ] 참

[1.5점][1995년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: xy GEQ 2]이다. ㄴ. [eqn: xy=2]이면, [eqn: rm TRIANGLE BCP]는 직각삼각형이다. ㄷ. [eqn: xy LEQ sqrt {5}]이다.

①　ㄱ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄷ

④　ㄴ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

아래 그림과 같이 반직선 [eqn: rmOA] 위에 [eqn: rm A _{1} ,~A _{2} ,~ CDOTS] 와 반직선 [eqn: rmOB] 위에 [eqn: rm B _{1} ,~B _{2} ,~ CDOTS]를 [eqn: rm bar{OA _{1}} = bar{A _{1} B _{1}} = bar{B _{1} A _{2}} = CDOTS]이 되도록 정한다. 이런 방법으로 하면 네 개의 이등변삼각형 [eqn: rm △OA _{1} B _{1} ,~][eqn: `△A _{1} B _{1} A _{2} `,`] [eqn: △B _{1} A _{2} B _{2} ,~△A _{2} B _{2} A _{3}]을 만들 수 있고, 다섯 번째 이등변삼각형은 만들 수 없다. [eqn: rm ANGLE AOB]의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: theta]의 범위는?

③

[eqn: 5]번째 이등변삼각형을 만들 수 없으므로

[eqn: 5 theta >= {pi } over {2}]	[eqn: THEREFORE ``` theta >= {pi } over {10}]

또, [eqn: pi -8 theta >0]이므로 [eqn: theta < {pi } over {8}]

[eqn: THEREFORE ``` {pi } over {10} <= theta < {pi } over {8}]

[2점][1995년 수능]

①　[eqn: pi over 4 ≦ theta ＜ pi over 2]	②　[eqn: pi over 7 ≦ theta ＜ pi over 5]
③　[eqn: pi over 10 ≦ theta ＜ pi over 8]	④　[eqn: pi over 14 ≦ theta ＜ pi over 12]
⑤　[eqn: pi over 17 ≦ theta ＜ pi over 15]

[eqn: sin`theta + cos`theta = 1 over 3]일 때, [eqn: 1 over {cos`theta} LEFT( tan`theta + 1 over {tan^2 `theta} RIGHT)]의 값은?

④

[eqn: sin theta +cos theta = {1} over {3}]에서 양변을 제곱하면,

[eqn: sin ^{2} theta +2sin theta cos theta +cos ^{2} theta = {1} over {9}]

[eqn: RARROW ````1+2sin theta cos theta = {1} over {9}] [eqn: RARROW ````sin theta cos theta =- {4} over {9}]

[eqn: {1} over {cos theta } LEFT ( tan theta + {1} over {tan ^{2} theta } RIGHT )][eqn: = {1} over {cos theta } LEFT ( {sin theta } over {cos theta } + {cos ^{2} theta } over {sin ^{2} theta } RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {sin theta } over {cos ^{2} theta } + {cos theta } over {sin ^{2} theta } RIGHT )][eqn: = LEFT ( {sin ^{3} theta +cos ^{3} theta } over {cos ^{2} theta sin ^{2} theta } RIGHT )]

[eqn: = {(sin theta +cos theta )(sin ^{2} theta -sin theta cos theta +cos ^{2} theta )} over {sin ^{2} theta cos ^{2} theta }]

[eqn: = {1 over 3 left{ 1-left( - 4 over 9 right) right}} over{ left( - 4 over 9 right)^2 }][eqn: = 39 over 16]

[1994년 수능 2차]

①　[eqn: 45 over 16]	②　[eqn: 43 over 16]	③　[eqn: 41 over 16]

④　[eqn: 39 over 16]	⑤　[eqn: 37 over 16]

세 내각이 [eqn: 30 DEG ,```60 DEG ,```90 DEG]이고 서로 합동인 삼각형들이 있다. 평면 위에 오른쪽 그림과 같이 이들 삼각형을 내각이 직각인 꼭지점과 [eqn: 60 DEG]인 꼭지점이 일치되고 겹치지 않도록 빗변에 붙여 간다. 어느 삼각형도 서로 겹쳐지지 않을 때까지 되도록 많이 붙이려고 한다. 가장 많이 붙였을 때 이들 삼각형의 수는?

④

오른쪽 그림에서 붙여 나가는 직각삼각형의 빗변이 선분 [eqn: AB``]와 이루는 각의 크기가 차례로 [eqn: 30^circ ,] [eqn: 30^circ ×2,] [eqn: 30 ^{CIRC } TIMES 3,``` CDOTS]이 되므로, 직각삼각형을 [eqn: n``]개 붙였을 때 [eqn: n``]번째의 빗변과 선분 [eqn: AB``]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 30 ^{CIRC } TIMES n <= 360 ^{CIRC }]

[eqn: THEREFORE ```n <= 12]

따라서 [eqn: 12]개까지 붙일 수 있다.

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: 6]	②　[eqn: 8]	③　[eqn: 10]

④　[eqn: 12]	⑤　[eqn: 14]

이차방정식 [eqn: x`^2`-`2`sqrt3`x`+`2`=`0``]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta ```( alpha > beta )]라고 할 때, [eqn: tan` theta `= {alpha `-` beta } over {alpha `+` beta }]를 만족하는 [eqn: theta]는? (단, [eqn: `- {pi } over {2} <` theta ``< {pi } over {2} `] )

①

근과 계수와의 관계에서

[eqn: alpha + beta =2 sqrt {3} ,``` alpha beta =2]

[eqn: THEREFORE ```( alpha - beta ) ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} -4 alpha beta]	[eqn: = 12-8 =4]

[eqn: alpha > beta ``]이므로 [eqn: alpha - beta =2]

[eqn: THEREFORE ```tan theta = {2} over {2 sqrt {3}} = {1} over {sqrt {3}}]

[eqn: - {pi } over {2} < theta < {pi } over {2}]에서 [eqn: theta = {pi } over {6}]

[2점][1997년 수능]

①　[eqn: scale 90 pi over 6``]	②　[eqn: scale 90 pi over 4``]	③　[eqn: scale 90 pi over 3``]

④　[eqn: -scale 90 pi over 4``]	⑤　[eqn: -scale 90 pi over 3``]

[eqn: sinx + cosx = sqrt 2 ``]일 때, [eqn: sinx`cosx``]의 값은?

④

[eqn: sinx + cosx = sqrt 2 ``]의 양변을 제곱하면

[eqn: sin^2 x + cos^2 x + 2 `sinx `cosx =2]

[eqn: 1 + 2 `sinx `cosx =2]

[eqn: ∴ sinx ` cosx = 1 over 2]

[2점][1999년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt 2]	③ [eqn: -sqrt 2]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: - 1 over 2]

다음 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 한 점 [eqn: A]를 꼭지점으로 하고, [eqn: A]에서의 내각이 [eqn: 30 ^{CIRC }]인 삼각형을 원에 내접하며 서로 겹치지 않도록 최대한 붙였을 때, 삼각형들의 꼭지점들을 꼭지점 [eqn: A``]로부터 시계반대 방향으로 순서대로 [eqn: P _{1} ,```P _{2} ,``` CDOTS ,```P _{n} ,```P _{n+1}]이라 하자. 선분 [eqn: bar{P _{1} P _{2}} ,``` bar{P _{2} P _{3}} ,``` CDOTS ,``` bar{P _{n} P _{n+1}}]의 길이의 합은?

①

원의 중심을 [eqn: O]라 하면 [eqn: ANGLE P _{1} AP _{2} =30 DEG]는 원주각이므로 중심각 [eqn: ANGLE P _{1} OP _{2} =60 DEG]이다. 즉, [eqn: bar{P_1 P_2 } =1]이 된다.

[eqn: ∠P_1 OP_n+1 ``]은 [eqn: 180^circ]보다 작고 [eqn: 30^circ]의 배수이므로 [eqn: n``]의 최대값은 [eqn: 5]이다.

마찬가지 방법으로

[eqn: bar {P_2 P_3 }= bar {P_3 P_4 }= bar {P_4 P_5 }= bar {P_5 P_6 }= 1]

[eqn: THEREFORE ``` bar{P _{1} P _{2}} + bar{P _{2} P _{3}} + bar{P _{3} P _{4}} + bar{P _{4} P _{5}} + bar{P _{5} P _{6}} =5]

[3점][1999년 수능]

① [eqn: 5]	② [eqn: 5sqrt 3]	③ [eqn: 5 over 2 sqrt 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4sqrt 3]

[eqn: (2+2sin { pi} over {3 })(2-tan { pi} over {3 } )]의 값은?

①

[eqn: sin { pi} over {3 }= { SQRT { 3} } over {2 }], [eqn: tan { pi} over {3 } = SQRT {3}]에서

(주어진 식)[eqn: =(2+2 cdot { SQRT { 3} } over {2 }) `(2- SQRT { 3} )]

[eqn: =(2+ SQRT { 3} )(2- SQRT { 3} )]

[eqn: =2^2 -( SQRT { 3} )^2 = 4-3=1]

[3점][2001년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: { 1} over {3 }]

④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1over5]

[eqn: 0 PREC theta ~ PREC { π } over {2 }]일 때, [eqn: log(sin theta )-log(cos theta )= {1} over {2} `log3] 을 만족시키는 [eqn: theta]의 값은? (단, log는 상용로그)

④

로그의 성질에서

[eqn: log(sin theta) -log (cos theta) =log { sin theta} over {cos theta }][eqn: =log tan theta]

즉, [eqn: log`tan theta = {1} over {2} `log3=log sqrt {3}]을 풀면 [eqn: tan theta = SQRT { 3}]

이 때, [eqn: tan { pi} over {3 } = SQRT { 3}]이고 [eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이므로

[eqn: theta= { pi} over {3 }]

[3점][2001년 수능]

① [eqn: { 1} over {6 } pi]	② [eqn: { 1} over {4 } pi]	③ [eqn: { 2} over {7 } pi]

④ [eqn: { 1} over {3 } pi]	⑤ [eqn: { 2} over {5 } pi]

그림과 같이 직사각형 [eqn: ABCD``]가 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접해 있다. [eqn: x`]축과 선분 [eqn: OA]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos`( pi - theta `)``]와 같은 것은? (단, [eqn: 0＜ theta `＜ {pi } over {4}])

③

[eqn: bar OA =1]이므로 점 [eqn: A]의 좌표를 [eqn: A(a,```b)]로 놓으면

[eqn: cos theta =a,`` sin theta=b]

이 때, [eqn: cos (pi-theta) =-cos theta]이므로 [eqn: cos (pi-theta) =-a]

그런데, 점 [eqn: A]와 점 [eqn: C]는 원점에 대해 대칭이므로

점 [eqn: C]의 좌표는 [eqn: C(-a,```-b)]

따라서, [eqn: cos (pi -theta)]는 점 [eqn: C]의 [eqn: x]좌표와 같다.

[3점][2001년 수능]

① [eqn: A]의 [eqn: x]좌표	② [eqn: B]의 [eqn: y]좌표	③ [eqn: C]의 [eqn: x]좌표

④ [eqn: C]의 [eqn: y]좌표	⑤ [eqn: D]의 [eqn: x]좌표

반지름의 길이가 [eqn: r``]이고 높이가 [eqn: 1]인 원기둥에 물이 들어 있다. 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 현에 대한 중심각을 [eqn: theta]라 하자. 원기둥을 세웠을 때 수면의 높이 [eqn: h]를 [eqn: theta]로 표시하면? (단, [eqn: 0< theta < pi ,```0<h< {1} over {2}])

⑤

오른쪽 그림에서 원기둥을 수평으로 뉘었을 때 수면과 옆면이 만나서 이루는 활꼴 부분의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S = 1 over2 r^2 theta - 1 over 2 r^2 sin theta]

한편 원기둥에 들어 있는 물의 부피 [eqn: V]를 두 경우에 대해 구해 보면

[eqn: V = S TIMES 1 = pi r^2 h], [eqn: 1 over 2 r^2 theta - 1 over 2 r^2 sin theta = pi r^2 h]

[eqn: THEREFORE ```h= {1} over {2 pi } LEFT ( theta -sin theta RIGHT )]

[2점][2001년 수능]

① [eqn: h= { 1} over {2 pi } theta]	② [eqn: h= {1} over {2 pi } `sin theta]
③ [eqn: h= theta -sin theta]	④ [eqn: h= { 1} over { 2 pi } ( theta +sin theta)]
⑤ [eqn: h= { 1} over {2 pi } ( theta -sin theta )]

직선거리가 [eqn: 500rmm]인 [eqn: rmA]지점과 [eqn: rmB]지점을 연결하는 도로를 건설하려고 했지만, 경사도가 [eqn: 37 DEG]여서 우회도로가 필요하였다. 그래서 그림과 같이 [eqn: 12 DEG]의 경사도를 유지하는 도로를 건설하기로 결정하였다. [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmB]지점까지 이 우회도로의 거리는 약 몇 m인가? (단, [eqn: sin12 DEG =0.2,````sin37 DEG =0.6]으로 계산한다.)

④

[eqn: rm△ABH`]에서 [eqn: rm bar{BH} =500 TIMES sin37 DEG =500 TIMES 0.6=300](m)

[eqn: rm△BCG`]에서 [eqn: bar{rmBC} =a]라 하면 [eqn: bar{rmBG} =a`sin12 DEG =0.2a]

[eqn: rm△ACD`]에서 [eqn: bar{rmAC} =b]라 하면 [eqn: bar{rmCD} =b`sin12 DEG =0.2b]

이 때, [eqn: rm bar{GH} = bar{CD}]이므로 [eqn: rm bar{BH} = bar{BG} + bar{GH} = bar{BG} + bar{CD}]

[eqn: THEREFORE ```300=0.2a+0.2b] 즉, [eqn: a+b=1500]

따라서, 구하는 우회도로의 길이

즉, [eqn: rm bar{BC} + bar{CA} =1500](m)

[3점][2002년 수능]

①　[eqn: 800rmm]	②　[eqn: 1000rmm]	③　[eqn: 1200rmm]

④　[eqn: 1500rmm]	⑤　[eqn: 1800rmm]

[eqn: sin {{pi}over {6}} ` + ` tan` {9 pi} over{4}]의 값은?

⑤

[eqn: sin`{ pi }over{6}+tan{9}over{4} pi=sin{pi}over{6}+tan(2 pi +{pi}over{4})][eqn: =sin{pi}over{6}+tan{pi}over{4}]

[eqn: ={1}over{2}+1={3}over{2}]

[2점][2002년 수능]

①　[eqn: -2]	②　[eqn: - {1} over {2}]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 3 over 2]

[eqn: cos theta` =- "`1`" over "`3`"]일 때, [eqn: sin theta CDOT tan theta ``]의 값은?

②

[eqn: sin^2 theta `+` cos^2 theta ``=`1`]이므로

[eqn: sin^2 theta ` =`1`-`cos^2 theta `=`1`-` LEFT ( - 1over3 RIGHT )^2 `=`8over9]

준식[eqn: =`sin theta CDOT tan theta `=`sin` theta times`{sin` theta }over{cos` theta }`]

[eqn: =`{sin^2 theta }over{cos` theta }`=`{8over9} over{- 1over3}`=`- 8over3]

[2점][2004년 수능]

① [eqn: - "`10`" over "`3`"]	② [eqn: - "`8`" over "`3`"]	③ [eqn: - "`5`" over "`3`"]

④ [eqn: "`5`" over "`3`"]	⑤ [eqn: "`8`" over "`3`"]

[eqn: log_2 ``sin1560° + ``log_2 ``tan30° +`` log_2 ``cot45°]의 값은?

②

[eqn: sin1560°=sin(90° times 17 + 30°)=cos 30°= sqrt 3 over 2]이므로

[eqn: log_2 left( sqrt 3 over 2 times 1 over sqrt 3 times 1 right)=log_2 1 over 2 = -1]

[3점][2005년 5월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③  [eqn: 0]

④ [eqn: log_2 sqrt 3]	⑤ [eqn: log_2 ``3]

음이 아닌 정수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시키는	점의 좌표를 [eqn: \P_n `(a_n ,``b_n `)]이라 하자.

(ㄱ) [eqn: a_0 `=`1], [eqn: b_0 `=`0]

(ㄴ) 점 [eqn: \P_n+1 (a_n+1 ,``b_n+1 )]은 점 [eqn: \P_n`(a_n`,``b_n`)]에서

원 [eqn: x^2 `+`y^2 `=`1]의 호를 따라 시계 반대 방향으로 [eqn: pi_` over 18]만큼 이동한 점이다.

이때, [eqn: a_n `=`b_n`]을 만족시키는 [eqn: n`]은  (가)  . 그리고
[eqn: c_k `=`a_18k ````(k`=`1,`2,`3,`…)] 라 하면, 수열 [eqn: \{ c_k \}]는 공비가 (나)인 등비수열이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 것은?

②

점 Pn(an, bn)을 좌표평면에 나타내면

an=bn을 만족하는 점 Pn은 [eqn: y=x`]의 그래프 위의 점이다.

이 때, [eqn: y=x`]의 그래프는 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각이 [eqn: pi over 4]이다.

그러나 [eqn: pi over 18 ․t= pi over 4]를 만족하는 자연수 [eqn: t`]가 존재하지 않으므로 an=bn을 만족하는 [eqn: n`]은 존재하지 않는다.

그리고 [eqn: c_1 =a_18 =-1], [eqn: c_2 =a_36 =1]

따라서 수열 [eqn: left{c_k right}]는 -1, 1, -1, 1, …이다.

즉, 공비가 -1인 등비수열이다.

[4점][2005년 6월]

(가)	(나)

① 존재하지 않는다	[eqn: - {1_`} over {2`}]

② 존재하지 않는다	[eqn: - 1]

③ 존재한다	[eqn: - {1_`} over {2`}]

④ 존재한다	[eqn: - 1]

⑤ 존재한다	[eqn: {1_`} over {2`}]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: \P_n `]이 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점일 때, 점 [eqn: \P_n+1]을 다음 규칙에 따라 정한다. (단, 점 [eqn: \P_n]은 좌표축 위의 점이 아니다.)

(가) 점 [eqn: \P_n]이 제 1 사분면 위의 점이면,

점 [eqn: \P_n+1]은 점 [eqn: \P_n]을 원 위의 호를 따라 시계 반대	방향으로 [eqn: pi_` over 2]만큼 이동시킨 점이다.

(나) 점 [eqn: \P_n]이 제 2 사분면 또는 제 4 사분면 위의 점이면,

점 [eqn: \P_n+1]은 점 [eqn: \P_n]을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동시킨 점이다.

(다) 점 [eqn: \P_n]이 제 3 사분면 위의 점이면,

점 [eqn: \P_n+1]은 점 [eqn: \P_n]을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동시킨 점이다.

점 [eqn: \P_1]의 좌표가 [eqn: left( {1_`}over {2`},`` {SQRT { 3`}}_` over {2`}right)]일 때, 점 [eqn: \P_2007]의 좌표는?

①

점 [eqn: \P_{it n}`]의 좌표를 차례로 나열하면 다음과 같다.

[eqn: \P_1 left( 1 over 2 ,~ root3 over 2 right)`], [eqn: \P_2 left(- root3 over 2 ,~ 1over 2 right)`],

[eqn: \P_3 left(- root3 over 2 ,~ - 1over 2 right)`], [eqn: \P_4 left( root3 over 2 ,~ - 1over 2 right)`]

[eqn: \P_5 left( root3 over 2 ,~ 1over 2 right)`], [eqn: \P_6 left( - 1over 2 ,~ root3over 2 right)`]

[eqn: \P_7 left( - 1over 2 ,~- root3over 2 right)`], [eqn: \P_8 left( 1over 2 ,~- root3over 2 right)`],

[eqn: \P_9 left( 1over 2 ,~ root3over 2 right)`], ⋯

따라서 [eqn: \P_{it 8n+k}`][eqn: (n]은 정수, [eqn: k][eqn: =1,2,3,⋯,8)`]의 좌표는 [eqn: \P_{itk}`]의 좌표와 같다.

[eqn: 2007=8n+7`]꼴이므로 점 [eqn: \P_2007`]의 좌표는 [eqn: \P_7`]의 좌표와 같다.

∴ [eqn: \P_2007 left( - 1over 2 ,~ - root3 over 2 right)`]

[3점][2006년 6월]

① [eqn: left( -{1_`}over {2`},`` -{SQRT { 3`}}_` over {2`}right)]	② [eqn: left( -{SQRT { 3`}}_` over {2`},``- {1_`}over {2`}right)]

③ [eqn: left( {1_`}over {2`},`` -{SQRT { 3`}}_` over {2`}right)]	④ [eqn: left( {SQRT { 3`}}_` over {2`},``- {1_`}over {2`}right)]

⑤ [eqn: left( {1_`}over {2`},`` {SQRT { 3`}}_` over {2`}right)]

[eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 [eqn: sinA= {3} over {5}], [eqn: cosB= {4} over {5}]일 때,
[eqn: sinA`:`sin`B``:`sinC`]는?

③

[eqn: sinA= {3} over {5} ,``cosA=± {4} over {5}]

[eqn: sinB= {3} over {5}], [eqn: cosB= {4} over {5}]

[eqn: sinC=sin LEFT { pi -(A+B) RIGHT } =sin(A+B)]

[eqn: =sinA``cosB+cosA``sinB= {12} over {25} +- {12} over {25}]

[eqn: sin`C`>0]이므로 [eqn: sin`C= {24} over {25}]

따라서 [eqn: sinA`:`sinB```:`sinC```= {3} over {5} : {3} over {5} : {24} over {25} =`5:5:8]

[3점][2007년 4월]

①  [eqn: 3`:`3`:`5]	②  [eqn: 4`:`4`:`5]	③  [eqn: 5`:`5`:`8]
④  [eqn: 6`:`6`:`7]	⑤  [eqn: 7`:`7`:`8]

그림과　같이　반지름의　길이가　[eqn: 15``]인　원을 [eqn: 5``]개의 부채꼴로 나누었더니 부채꼴의 넓이가 작은 것부터 차례로 등차수열을　이루었다. 가장　큰　부채꼴의　넓이가　가장　작은　부채꼴의　넓이의　[eqn: 2``]배일 때, 가장 큰 부채꼴의　넓이는 [eqn: k` pi``]이다. 이때 [eqn: k``]의 값을 구하시오.

[eqn: 60``]

[eqn: 5`]개의 부채꼴의 넓이를 작은 것부터 차례로
[eqn: a-2d,``a-d,``a,``a+d,``a+2d``]([eqn: d>0`])라 하면
[eqn: 5]개의 부채꼴의 넓이의 합은 원의 넓이이므로

[eqn: 5a=15^2 pi ``] ∴ [eqn: a= 45 pi]

또, 주어진 조건으로부터

[eqn: (a+2d)=2(a-2d)``]에서 [eqn: `d= {a} over {6} = {15pi } over {2}]

따라서 가장 큰 부채꼴의 넓이는

[eqn: a+2d=45 pi +2 cdot {15} over {2`} `pi=60 pi] ∴ [eqn: k=60]

[4점][2008년 3월]

그림과 같이 사분원 [eqn: rm AOB`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE AOB]를 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 [eqn: {rm A} _{1}`], [eqn: rm B _{1}]이라 하고, [eqn: rm ANGLE A _{1} OB _{1}]을 삼등분하는 직선이 사분원과 만나는 교점을 각각 [eqn: rm A _{2}] , [eqn: rm B _{2}]라고 하자. 이와 같은 방법으로 계속할 때, [eqn: rm ANGLE A _{10} OB`]의 크기는?

④

[eqn: rm ANGLE A _{10} OB``=` {pi } over {2} - ANGLE A _{10} OA]

[eqn: rm ANGLE A _{10} OA# = {pi } over {6} + {pi } over {6} TIMES {1} over {3} + {pi } over {6} TIMES left( {1} over {3} right) ^{2} +` CDOTS `+ {pi } over {6} TIMES left( {1} over {3} right) ^{9}]

[eqn: =` {pi } over {4} left(1- {1} over {3 ^{10}}right )]

[eqn: rm THEREFORE ANGLE A _{10} OB= {pi } over {2} - {pi } over {4} left(1- {1} over {3 ^{10}} right)``=` {pi } over {4} left(1+ {1} over {3 ^{10}} right)]

[[eqn: 4`]점][2008년 7월]

① [eqn: ` {pi } over {4} LEFT ( 1- {1} over {3 ^{9}} RIGHT )]	② [eqn: ` {pi } over {4} left(1+ {1} over {3 ^{9}} right)]	③ [eqn: ` {pi } over {4} left(1- {1} over {3 ^{10}} right)]
④ [eqn: ` {pi } over {4} left(1+ {1} over {3 ^{10}} right)]	⑤ [eqn: ` {pi } over {4} left(1+ {1} over {3 ^{11}} right)]

수열[eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_n = 3+(-1)^n`]일 때, 좌표평면 위의 점 [eqn: \P_n]을

[eqn: \P_n `` LEFT ( a_n `cos {2n pi_`}over 3 ,````a_n `sin {2n pi_`} over 3 RIGHT )]

라 하자. 점 [eqn: \P_2009`]와 같은 점은?

⑤

[eqn: a_n = 3+ (-1) ^n]에서

[eqn: a_1 = 2], [eqn: a_2 = 4], [eqn: a_3 =2], [eqn: a_4 = 4], [eqn: cdots]

[eqn: P_1 ( 2 cos 2pi over 3 , ``2 sin 2pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 1, root3 `)]

[eqn: P_2 ( 4 cos 4pi over 3 , ``4 sin 4pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 2, -2root3 `)]

[eqn: P_3 ( 2 cos 6pi over 3 , ``2 sin 6pi over 3 )] 즉, [eqn: ( 2, ``0)]

[eqn: P_4 ( 4 cos 8pi over 3 , ``4 sin 8pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 2, ``2root3 `)]

[eqn: P_5 ( 2 cos 10pi over 3 , ``2 sin 10pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 1, -root3 `)]

[eqn: P_6 ( 4 cos 12pi over 3 , ``4 sin 12pi over 3 )] 즉, [eqn: ( 4,`` 0)]

[eqn: P_7 ( 2 cos 14pi over 3 , ``2 sin 14pi over 3 )] 즉, [eqn: ( - 1, root3 `)]

[eqn: cdots cdots]

[eqn: 2009 = 6 times 334 + 5]이므로

점 [eqn: P_2009]와 같은 점은 [eqn: P_5`]이다.

[3점][2008년 9월]

① [eqn: \P_1]	② [eqn: \P_2]	③ [eqn: \P_3]

④ [eqn: \P_4]	⑤ [eqn: \P_5]

넓이가 [eqn: A`]인 원을 중심각이 [eqn: theta _{1} ,~ theta _{2} ,~ theta _{3} ,~ CDOTS `,~ theta _{n}]인 [eqn: n`]개의 부채꼴로 나누고 중심각이 [eqn: theta _{k}][eqn: (k=1`,```2`,``` CDOTS `,```n)`]인 부채꼴의 넓이를 [eqn: A _{k}]이라 하자. 수열 [eqn: LEFT { theta _{n} RIGHT }]이 등차수열을 이루고, [eqn: sum _{k=1} ^{n} theta _{k} =2 pi `]이다. [eqn: A _{1} +A _{n} = {1} over {5} A`]일 때, [eqn: n]의 값은?

③

[출제의도] 등차수열의 합의 성질 이해하기

[eqn: LEFT { theta _{n} RIGHT }]이 등차수열이므로 [eqn: A _{n~}]도 등차수열이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} A _{k} = {n LEFT ( A _{1} +A _{n} RIGHT )} over {2}=` A]

[eqn: A _{1} +A _{n} = {1} over {5} A] 이므로 [eqn: n=10]

[3점][2009년 7월]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정[eqn: n]각형의 꼭짓점에 못을 박아 놓는다. 실을 한 꼭짓점에 고정시켜 길이가 [eqn: n]이 되도록 잡고 한 변의 연장선 방향으로 팽팽하게 당긴 후 실의 끝의 이동거리가 최소가 되도록 정[eqn: n]각형의 둘레로 한 바퀴 돌릴 때, 실이 움직인 영역의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. 예를 들어 [eqn: S _{3}]은 그림과 같이 정삼각형의 한 꼭짓점에 고정시킨 길이가 [eqn: 3]이 되도록 실을 잡고 정삼각형 둘레로 한 바퀴 돌릴 때 실이 움직인 영역의 넓이를 나타낸다. 이 때, [eqn: S _{20}]의 값은? (단, 실과 못의 굵기는 고려하지 않는다.)

①

[출제의도] 도형의 규칙성을 추론하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: rm S _{3} `=` {1} over {2} LEFT ( {2 pi } over {3} TIMES 3 ^{2} `+ {2 pi } over {3} TIMES 2 ^{2} `+ {2 pi } over {3} TIMES 1 ^{2} ` RIGHT )]

[eqn: =` { pi } over { 3}( 3^2`+2^2`+1^2`)]

[eqn: rmS_4`=` { 1} over {2 }left( { pi } over {2}× 4^2`+{ pi } over { 2}×3^2`+{ pi } over { 2}×2^2`+{ pi } over { 2}×1^2`right)]

[eqn: =` { pi } over {4}( 4^2`+3^2`+2^2`+1^2`)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: LEFT. rm S _{20} `=` {pi } over {20} (20 ^{2} `+19 ^{2} `+~ CDOTS ~+1 ^{2} ` )]

[eqn: ={ 287 pi } over {2 }]

[4점][2009년 7월]

① [eqn: {287} over {2} pi]	② [eqn: {289} over {2} pi]	③ [eqn: {291} over {2} pi]

④[eqn: {293} over {2} pi]	⑤ [eqn: {295} over {2} pi]

좌표평면 위의 원점 [eqn: rm O``]와 점 [eqn: rm P _{1} (`1,``0`)`]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 점 [eqn: rm P _{it n rm} it LEFT ( `x _{n} `,```y _{n} ` RIGHT )]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 동경 [eqn: rm OP _{it n}]이 나타내는 각의 크기는 [eqn: {`n-1` } over {3}pi]이다.

(나) [eqn: bar{{rm OP} _{n+1}} = cases{&{1} over {2} ` bar{{rm OP} _{n}} `&(`y _{n} >0)#&bar{{rm OP} _{n}} `~~~``&(`y _{n} =0)#&{4} over {3} bar{{rm OP} _{n}} ``````&(`y _{n} <0)} ``]

[eqn: bar{{rm OP}` _{50}}]의 값은?

②

[eqn: a _{n} = rm barOP_{it n}]이라 하자.

[eqn: y_n = a_n`` sin { n-1 }over{3} pi]에서

[eqn: y_1 =0], [eqn: y_2 >0], [eqn: y_3 >0], [eqn: y_4 =0], [eqn: y_5 <0], [eqn: y_6 <0], [eqn: y_7 =0], [eqn: cdots] 으로 [eqn: y_n]의 부호가 주기적으로 바뀐다.

따라서 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 몇 개의 항을 구하면

[eqn: a_1 = 1]	[eqn: a_2 = 1]	[eqn: a_3 = 1 over 2]
[eqn: a_4 = LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2]	[eqn: a_5 = LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^2]	[eqn: a _{6} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} left( {4} over {3} right)]
[eqn: a _{7} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]	[eqn: a _{8} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]	...

으로 동경 [eqn: {rm OP}_1]에서 동경 [eqn: {rm OP}_7]까지 동경이 [eqn: 2 pi]만큼 회전하면 [eqn: a_7]은 [eqn: a_1]의  [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}]배이다.

즉, [eqn: 2 pi]만큼씩 회전할 때마다 그 이전 길이의 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}]배가 된다.

[eqn: a_n+6 = LEFT ( 2over3 RIGHT )^2 a_n]인 관계가 성립하므로

[eqn: a _{50} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} a _{44} = ``CDOTS`` = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16} a _{2} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16}]

[4점][2011년 3월]

① [eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{8}]	② [eqn: LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{16}]	③ [eqn: {1} over {2} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{7}]

④ [eqn: {1} over {3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{14}]	⑤ [eqn: {1} over {4} LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{8}]

[해설] 미적분2-(2)삼각함수-(a)일반각, 호도법