수 리 영 역

그래프

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수 리 영 역

그래프

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 지수, 로그 (그래프)

성명			수험번호

16

[eqn: log _{2} `x]와 [eqn: log _{2} `y] 사이의 관계가 오른쪽 그래프와 같은 모양일 때, [eqn: x]와 [eqn: y] 사이의 관계를 옳게 나타낸 것은?

⑤

[eqn: log_2 y = - a log _2 x +b``](단, [eqn: a>0,~b>0]인 상수)라 하면

[eqn: log_2 y = log_2 {2^b over x^a }]

[eqn: THEREFORE ```y= {k} over {x ^{a}}] (단, [eqn: k>0]이고 [eqn: k= 2^b ``])

따라서 그래프는 [eqn: x ^{a}]과 [eqn: y]가 반비례한다.

[2점][1997년 수능]

①

②

③

④

⑤

곡선 [eqn: y=log` _{3} `x`] 위의 점[eqn: rm P( it `a`,``b)]에서  [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm Q`], [eqn: rm R`]라 하자. 원점 [eqn: rm O`]와 점 [eqn: rm A`(1,~0)`]에 대하여

[eqn: {(사각형`` rm OAPR의```넓이) it} over {(삼각형`` rm AQP의```넓이) it} ``= {5} over {4}]일 때 [eqn: a], [eqn: b`]의 곱 [eqn: ab`]의 값을 구하시오.

18

네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm Q], [eqn: rm P], [eqn: rm R`]의 좌표가 각각 [eqn: (1,~0)], [eqn: (a,~0)], [eqn: (a,~b)], [eqn: (0,~b)]이므로

[eqn: (삼각형~ rm AQP``의`넓이) `` = rm {1} over {2} bar{AQ}`` `` ․ bar{PQ} ``] [eqn: = {1} over {2} (a-1) ``․ b]

[eqn: (사각형~ rm OAPR``의`넓이)` = rm ` {1} over {2} ( bar{OA} + bar{PR} )```․ bar{OR} ``][eqn: = {1} over {2} (1+a)`` ․ b]

[eqn: {(사각형~ rm OAPR``의`넓이)} over {(삼각형~ rm AQP``의`넓이) } = {5} over {4} ``]에서

[eqn: {{1} over {2} (1+a)``․b} over {{1} over {2} (a-1)``․b} = {5} over {4} ``]

[eqn: THEREFORE `5a-5=4+4a~~~~~ THEREFORE `a=9 CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: {\ P} (a,~b)`]는 [eqn: y=log _{3} ``x``]위에 있으므로

[eqn: b=log _{3} ``9``=2``] ∴ [eqn: ab=9````․2=18``]

[3점][2005년 3월]

그림은 함수 [eqn: y=log` _{2} ``x`]의 그래프이다. 점  [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: rm A`(2``,``0)`]이고 점  [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: rm B`(16`,``0)`]이다. 점 [eqn: rm F`]가 선분 [eqn: rm CD`]를 [eqn: 1``:`2`]로 내분하는 점일 때, 점 [eqn: rm E`]의 [eqn: x`]좌표는? (단, 점선은 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축에 평행하다.)

⑤

[eqn: log _{2} ``2=1`], [eqn: log _{2} ``16=4`]에서 [eqn: rm C`(0,``1)`], [eqn: rm D` LEFT ( 0,``4 RIGHT ) `]이므로 점 [eqn: rm F]의 좌표는 [eqn: ` LEFT ( 0,`` {4+2} over {3} RIGHT ) `], 즉 [eqn: (0,``2)]이다.
따라서 점 [eqn: rm E`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: log _{2} ``x`=2`]에서 [eqn: x=4`]

[3점][2005년 7월]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 6 sqrt {2} `]	③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 4 sqrt {2} `]	⑤ [eqn: 4`]

그림과 같이 곡선 [eqn: y```=`log _{`2`}` x``]위의 한 점 [eqn: rm P it `(`a,~log _{`2`} `a`)``]에서 [eqn: x``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H ``]라 한다.   점 [eqn: rm A `(`1,~0`)``]에 대하여
[eqn: rm bar{`AH`} ``=` bar{`PH`} ``]일 때, 점 [eqn: rm P it ``]에서 직선 [eqn: y```=`x``]까지의 거리는? (단, [eqn: a```>`1``]이다.)

②

[eqn: bar{rm AH it} `=`a-1`], [eqn: bar{rm PH it} `=`log _{2} `a`]이고, [eqn: rm bar{AH} `=` bar{PH} `]이므로

[eqn: a-1`=`log _{2} `a`]   ∴ [eqn: a-log _{2} `a`=`1`]

따라서 점 [eqn: rm P it ``]에서 직선 [eqn: y=x`] 까지의 거리는

[eqn: ` {vert a-log _{2} `a vert } over {sqrt {1+1}} `=` {1} over {sqrt {2}} = {sqrt {2}} over {2} ``]

[3점][2006년 3월]

① [eqn: {1} over {`2`} ``]	② [eqn: {`sqrt {`2`}`} over {2} ``]	③ [eqn: {`sqrt {`3`}`} over {2} ``]	④ [eqn: 1``]	⑤ [eqn: {`sqrt {`5`}`} over {2} ``]

함수 [eqn: y=log _{3} `x]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하자.  [eqn: y=log _{3}`(x+a)]의 그래프가 선분 [eqn: rm OA]를 [eqn: x]축의 양의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 양의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 선분과 만날 때, [eqn: a]의 최대값과 최소값의 합은? (단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

③

[eqn: rm O]와 [eqn: rm A]가 평행이동한 점을 각각 [eqn: rm O prime], [eqn: rm A prime]이라 하면 [eqn: rm O prime (3, ``2)], [eqn: rm A prime ( 4, ``2)]이다.

[eqn: y= log_ 3 ( x+a)]가 선분 [eqn: rm O prime A prime]과 만나려면

[eqn: log_3 (3 + a)<=2], [eqn: 3+a<=9], [eqn: a<=6]이고

[eqn: log_3 (4 + a)>=2], [eqn: 4+a>=9], [eqn: a>=5]이다.

∴ [eqn: 5 <= a <= 6]

[eqn: a]의 최대값은 [eqn: 6], 최소값은 [eqn: 5]이다.

[3점][2006년 4월]

[eqn: y=log_3 `x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: rm A]

①  [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

두 지수함수 [eqn: f(x)=a^x] ([eqn: a>1]), [eqn: g(x)=b ^{x}] ([eqn: 0<b<1]) 에 대하여 [eqn: y= {f(x)} over {g(x)} `]의 그래프의 개형은?

③

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a ^{x} `` LEFT ( a>1 RIGHT ) ,`````g LEFT ( x RIGHT ) =b ^{x} `` LEFT ( 0<b<1 RIGHT )]

[eqn: y=` {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} = LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{x} ``` LEFT ( {a} over {b} >1 RIGHT )]이므로 개형은 ③번

[3점][2006년 5월]

①                             ②

③                             ④

⑤

함수 [eqn: y=log _{2} `` {2 _{`}} over {x-1 ^{`}} `]의 그래프의 개형으로 알맞은 것은?

②

[eqn: y=log _{2} {2} over {x-1}] [eqn: =1-log _{2} (x-1)] [eqn: =log _{{1} over {2}} (x-1)+1]

이므로 함수 [eqn: y=log _{2} {2} over {x-1}]의 그래프는

[eqn: y=log _{{1} over {2}} x] 의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 1만큼, [eqn: y]축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 [eqn: y=log _{2} {2} over {x-1}]의 그래프의 개형은 ②이다.

[3점][2006년 9월]

①	②

③	④

⑤

그림과 같이 함수 [eqn: y= 8 ^x]의 그래프가 두 직선 [eqn: y= a], [eqn: y= b`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]라 하고, 함수 [eqn: y= 4 ^x]의 그래프가 두 직선 [eqn: y= a], [eqn: y= b`]와 만나는 점을 각각 [eqn: \C], [eqn: \D]라 하자.
점 [eqn: \B]에서 직선 [eqn: y= a`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \E], 점 [eqn: \C]에서 직선 [eqn: y= b`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \F]라 하자.
삼각형 [eqn: \AEB]의 넓이가 [eqn: 20]일 때, 삼각형 [eqn: \CDF]의 넓이는?

③

[eqn: TRIANGLE \AEB`=`{1}_` over {2} (a-b)(log_8`a-log_8`b)`]

[eqn: =`{1}_` over {2} (a-b)․ {1}_` over {3} log_2`ab]

[eqn: TRIANGLE \CDF`=`{1}_` over {2} (a-b)(log_4`a-log_4`b)`]

[eqn: =`{1}_` over {2} (a-b)․ {1}_` over {2} log_2`ab]

[eqn: THEREFORE ~ TRIANGLE \CDF`=`{3}_` over {2} TRIANGLE \AEB`=`30]

(단, [eqn: a`＞b＞1]이다.)

[3점][2007년 6월]

① [eqn: 26]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 34]

그림에서 함수 [eqn: y=2 ^{x} -1`]의 그래프 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP,````Q`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: a,````b`]라 할 때,

[eqn: A= {`2 ^{a} -1} over {a}`, ````B= {2 ^{b} -1} over {b}`, ````C= {2 ^{b} -2 ^{a}} over {b-a}]
의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? (단, [eqn: 0<a<b<1])

①

[eqn: A`]는 원점과 점[eqn: rm P`]와의 기울기

[eqn: B`]는 원점과 점[eqn: rm Q`]와의 기울기

[eqn: C`]는 점[eqn: rm P`]와 점[eqn: rm Q`]의 기울기이므로 그림에서

[eqn: rmO]

[eqn: a]

[eqn: 1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: y=2 ^{x} -1]

[eqn: b]

∴ [eqn: A<B<C]

[[eqn: 3`]점][2007년 7월]

[eqn: x]

[eqn: y]

O

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: rmQ]

[eqn: rmP]

[eqn: y=2 ` ^{x} -1`]

[eqn: 1]

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]

③ [eqn: B<A<C]	④ [eqn: B<C<A]

⑤ [eqn: C<A<B]

다음은 [eqn: 1]이 아닌 세 양수 [eqn: a,```b,```c``]에 대하여 세 함수

[eqn: y =log_a```` x,```~y=log_b```` x,```~y=c^x`]

의 그래프를 나타낸 것이다. 세 양수 [eqn: a,```b,```c``]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?

①

[eqn: y`=`c^x]의 역함수 [eqn: y`=`log_c ``x`]를 나타내어 직선 [eqn: y`=`1]과의 교점의 [eqn: x`]좌표를 구한다.

[eqn: y=c^x]

[eqn: THEREFORE ~ a`＞`b`＞`c`]

[3점][2007년 9월]

① [eqn: a`＞b`＞c``]	② [eqn: a`＞c`＞b`]	③ [eqn: b`＞a`＞c``]

④ [eqn: b`＞c`＞a``]	⑤ [eqn: c`＞b`＞a``]

오른쪽 그림은 일차함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프이다. 함수 [eqn: y= 2^{2-f`(x)}]의 그래프의 개형으로 알맞은 것은?

④

[eqn: f(x)= x+1] 이므로

[eqn: y = 2^2-f(x) = 2^2-(x+1)]

[eqn: = 2^-x+1 = 2^-(x-1) = ( 1 over 2 )^{x-1}]

따라서, [eqn: y= 2^{2-f(x)}]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: O]

[3점][2008년 9월]

①	②

③	④

⑤

그림과 같이 함수 [eqn: y=log_2`x]의 그래프 위의 한 점 [eqn: A_1]에서 [eqn: y]축에 평행한 직선을 그어 직선 [eqn: y=x]와 만나는 점을 [eqn: B_1]이라 하고, 점 [eqn: B_1]에서 [eqn: x]축에 평행한 직선을 그어 이 그래프와 만나는 점을 [eqn: A_2]라 하자. 이와 같은 과정을 반복하여 점 [eqn: A_2]로부터 점 [eqn: B_2]와 점 [eqn: A_3]을, 점 [eqn: A_3]으로부터 점 [eqn: B_3]와 점 [eqn: A_4]를 얻는다. 네 점 [eqn: A_1], [eqn: A_2`,~A_3`,~A_4]의 [eqn: x]좌표를 차례로 [eqn: a,~b,~c,~d]라 하자.
네 점 [eqn: (c,~0),~(d,~0),~(d,~log_2`d),~(c,~log_2`c)]를 꼭짓점으로 하는 사각형의 넓이를 함수 [eqn: f`(x)=2^x]을 이용하여 [eqn: a,~b]로 나타낸 것과 같은 것은?

①

[eqn: y=log _{2} ``x]의 역함수는 [eqn: y=2 ^{x}] 이므로 위 그림에서
[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =2 ^{a} =b]
[eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =2 ^{b} =c=f LEFT ( f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT ) = LEFT ( f`` CIRC f RIGHT ) ` LEFT ( a RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( c RIGHT ) =2 ^{c} =d=f LEFT ( f LEFT ( b RIGHT ) RIGHT ) = LEFT ( f~ CIRC f RIGHT ) ` LEFT ( b RIGHT )]
위 그림의 사다리꼴의 넓이는
[eqn: {1} over {2} ` LEFT ( b+c RIGHT ) LEFT ( d-c RIGHT )][eqn: =][eqn: 1over2 left {f`(b)+f`(a) right } left {(f`circf)(b)-(f`circf)(a) right }]

[3점][2009년 6월]

① [eqn: 1over2 left {f`(b)+f`(a) right } left {(f`circf)(b)-(f`circf)(a) right }]

② [eqn: 1over2 left {f`(b)-f`(a) right } left {(f`circf)(b)+(f`circf)(a) right }]

③ [eqn: left {f`(b)+f`(a) right } left {(f`circf)(b)+(f`circf)(a) right }]

④ [eqn: left {f`(b)+f`(a) right } left {(f`circf)(b)-(f`circf)(a) right }]

⑤ [eqn: left {f`(b)-f`(a) right } left {(f`circf)(b)+(f`circf)(a) right }]

지수함수 [eqn: f(x)=3^-x`]에 대하여
[eqn: a_1 =f(2),~a_{n+1}=f(a_n )~(n=1,~2,~3)]
일 때, [eqn: a_2 ,~ a_3 ,~ a_4 `]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?

⑤

위의 그림에서 [eqn: a_n+1 = f`(a_n )]이다.
[eqn: a_2 = f`(a_1 )]
[eqn: a_3 = f`(a_2 ) = f`(f`(a_1 ))]
[eqn: a_4 = f`(a_3 ) = f`(f`(a_2 )) = f`(f`(f`(a_1 )))]이므로
위의 그림에서 [eqn: y]축상의 [eqn: a_2 ,~a_3 ,~a_4]사이의 대소관계는 [eqn: a_2 >a_4 >a_3]이다.

[3점][2009년 6월]

① [eqn: a_2 < a_3 < a_4 `]	② [eqn: a_4 < a_3 < a_2 `]
③ [eqn: a_2 < a_4 < a_3 `]	④ [eqn: a_3 < a_2 < a_4 `]
⑤ [eqn: a_3 < a_4 < a_2 `]

원점 [eqn: rm O]에서 함수 [eqn: f(x)=4 ^{x} `]위의 한 점 [eqn: rm P]를 잇는 선분 [eqn: rm {OP}]가 있다. 함수 [eqn: g(x)=2 ^{x} `]의 그래프가 선분 [eqn: rm {OP}]를 [eqn: 1``:``3`]으로 내분할 때, 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는?

⑤

[eqn: {rmP}(a,~4^a )]이라 하자.

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: {rmP}(a,~4^a )]을 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점[eqn: left( {a} over {4} ,~ {4 ^{a}} over {4} right)]이 [eqn: g(x)=2^x] 위의 점이므로

[eqn: 2^2a-2 = 2^ {{a } over { 4}}]          [eqn: THEREFORE `a= {8} over {7}]

[3점][2009년 7월]

① [eqn: {4} over {7}]	② [eqn: {5} over {7}]	③ [eqn: 6over {7}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 8} over {7}]

그림과 같이 함수 [eqn: y=`log _{``3``} x``]의 그래프 위의 서로 다른 네 점 [eqn: rm A ``], [eqn: rmB``], [eqn: rm C``], [eqn: rm D``]에서 [eqn: y``]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P``], [eqn: rm Q``], [eqn: rm R``], [eqn: rm S``]라 하자. 두 사각형 [eqn: rm A BQP``], [eqn: rm CDSR``]의 넓이를 각각 [eqn: alpha``], [eqn: beta``]라 하고, 네 점 [eqn: rm P``], [eqn: rm Q``], [eqn: rm R``], [eqn: rm S``]의 [eqn: y``]좌표를 각각 [eqn: p``], [eqn: q``], [eqn: r``], [eqn: s``]라 하자. [eqn: p``], [eqn: q``], [eqn: r``], [eqn: s``]가 이 순서대로 등차수열을 이루고, [eqn: beta =3 alpha ``]일 때, [eqn: s-p``]의 값은?

③

등차수열 [eqn: p`,``q`,``r`,``s``]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: beta`=`3`alpha`]에서 [eqn: 3 ^{2d} =3], [eqn: d`= 1over2] ∴ [eqn: s`-`p`=`3`d`= 3over2``]

[3점][2009년 10월]

① [eqn: 1 over 2`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 3 over 2`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 5 over 2`]

교점을 [eqn: rm A`,```B`]라 하고, 함수 [eqn: y={2}^x`]의 그래프와 직선 [eqn: y= {n} x`]의 두 교점을 [eqn: rm C`,```D`]라 하자. 사각형 [eqn: rm ABDC`]는 등변사다리꼴이고 삼각형 [eqn: rm OBD`]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm OAC`]의 넓이의 [eqn: 4`]배일 때, [eqn: m+n``]의 값은? (단, [eqn: rm O`]는 원점)

②

[eqn: {rmA}( alpha ,``m alpha ),`{rm`B}( beta ,```m beta )`]라 하자. (단, [eqn: alpha != 0``])

[eqn: rmTRIANGLE OBD``:` TRIANGLE OAC`=4:1``]이므로

[eqn: rm bar{OB``} :` bar{OA`} =2:1``]. 즉, [eqn: beta =2 alpha]

[eqn: m alpha =log _{2} alpha ``]이고 [eqn: `2m alpha =log _{2`} 2 alpha ``]이므로

[eqn: 2`log _{`2} ` alpha `=`log _{`2} ``2 alpha], [eqn: alpha ^{2} =2 alpha]

[eqn: alpha != 0``]이므로  [eqn: THEREFORE ` alpha =2,`` beta =4]

사각형 [eqn: rmABDC``]는 등변사다리꼴이므로,

[eqn: y=m`x`]은 [eqn: y=n`x```]의 역함수이다.

따라서 [eqn: {rmC`}(2m,````2)`,`````{rmD}`(4m,```4)``]이므로

[eqn: 2 ^{2m} =2``]에서 [eqn: m= {1} over {2}] , [eqn: n=2]

[eqn: therefore] [eqn: m+n= {5} over {2}]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: 4]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `], [eqn: y=2 ^{``x-2} `]과 직선 [eqn: y=k`]의 교점을 각각 [eqn: rm P _{it k } `], [eqn: {rm Q}_k`]라 하고, 삼각형 [eqn: rm OP _{it k } Q _{it k }`]의 넓이를 [eqn: A _{k} `]라 하자.

[eqn: A _{1} +A _{4} +A _{7} +A _{10}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k``]는 자연수이고, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

22

[eqn: y=2 ^{``x-2} `]의 그래프는 [eqn: y=2 ^{``x} `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: bar{rm P _{itk} rm `Q _{`it k}} `=2`]

∴[eqn: A _{`k} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES k`=k`] ∴[eqn: A _{`1} +A _{`4} +A _{`7} +A _{`10} ```=`22`]

[3점][2010년 10월]

그림과 같이 좌표평면에서 곡선 [eqn: y=log_{`a} `x`] 위의 점 [eqn: rm A(`2,~`log _{`a} `2`)]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= log_{`b}` x`]와 만나는 점을 [eqn: rm B], 점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= log_{`a}` x`]와 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하자. [eqn: bar{rmAB} `= bar{rmBC}`=2`]일 때, [eqn: a ^{`2} +b ^{`2}`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 1<a<b])

[eqn: 6]

[eqn: bar{rm BC it} `=log _{a} `4`-log _{b} `4`=2] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: log _{a} `2=log _{b} `4] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에 의하여

[eqn: log _{a} `4`-log _{a} `2][eqn: =log _{a} `2`=2]에서 [eqn: a= sqrt {2}], [eqn: b=2]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =6]

[3점][2011년 4월]

[eqn: y=log _{`b} `x]

[eqn: y=log _{`a} `x]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: rm rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: 1]

그림과 같이 직선 [eqn: y=x`]와 수직으로 만나는 평행한 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`]이 있다. 두 직선 [eqn: l], [eqn: m`]이 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{`2} ``x`], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{`x} `]의 그래프와 만나는 교점을 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자. [eqn: f LEFT ( b RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT ) =a`]일 때, 사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이는?

⑤

[eqn: rm A(2,`1),~B(4,`2),~C(2,`4),~D(1,`2)]이므로

사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: {9} over {2}]

[3점][2011년 7월]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

곡선 [eqn: y=log_2 ``(ax+b)``]가 점 [eqn: (-1,```0)``]과 점 [eqn: (0,```2)``]를 지날 때, 두 상수 [eqn: a,```b``]의 합 [eqn: a+b``]의 값은?

②

주어진 함수 [eqn: y=log_{2}(ax+b)]가

점 [eqn: (-1,~ 0)]과 [eqn: (0,~ 2)]를 지나므로,

[eqn: 0=log_{2}(-a+b)]

[eqn: 2=log_{2}(0+b)]를 만족한다.

따라서, [eqn: a=3], [eqn: b=4]

그러므로 구하는 [eqn: a+b=7]

[3점][2011년 6월]

①　[eqn: 5]	②　[eqn: 7]	③　[eqn: 9]	④　[eqn: 11]	⑤　[eqn: 13]

점근선의 방정식이 [eqn: y=2]인 지수함수 [eqn: y=2 ^{`2x+a} +b]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동시킨 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 2]

[eqn: rm `O]

[eqn: -1]

[eqn: y]

[eqn: 10]

[eqn: x]

[eqn: rm `O]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -1,`10 RIGHT )]을 지날 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

②

지수함수 [eqn: y=2 ^{`2x+a} +b]의 그래프에서 점근선의 방정식이 [eqn: y=2]이므로 [eqn: b=2]이다.

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 지수함수 [eqn: y=2 ^{`2x+a} +2]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동시킨 함수 [eqn: y=2 ^{-`2x+a} +2]의 그래프이다.

함수 [eqn: y=2 ^{-`2x+a} +2]의 그래프가 점 [eqn: (-1,10)]을 지나므로 [eqn: a=1]이다.

따라서 [eqn: a+b=3]

[3점][2012년 4월]

① [eqn: {5} over {2}]	②  [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]	④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

좌표평면에서 함수 [eqn: f(x)=2^x ``]의 그래프와 함수 [eqn: g(x)=`-x``]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: P(a,```-a)``]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점][2012년 5월]

	<보기>
ㄱ. [eqn: a<`-1] ㄴ. [eqn: t>0``]이면 [eqn: |`f(-t)-g(-t)`|``<`|`f(t)-g(t)`|``]이다. ㄷ. 함수 [eqn: y=f`^-1 (x)``]의 그래프와 함수 [eqn: y=g(x)``]의 그래프가 만나는 점의 좌표는 [eqn: (-a,```a)``]이다.

⑤

ㄱ. (거짓) [eqn: P``]의 [eqn: y``]좌표 [eqn: -a``]가 [eqn: (0,```1)``]보다 아래 존재하여 [eqn: 0<`-a<1``]	[eqn: therefore```-1<a<0]
ㄴ. (참) [eqn: t>0``]에서
[eqn: |`f(-t)-g(-t)`|``=`left|`1 over 2^t -t ``right|``], [eqn: |`f(t)-g(t)`|``=`left|``2^t +t``right|``]
의 그래프의 개형이 다음과 같으므로

[eqn: |`f(-t)-g(-t)`|``<`|`f(t)-g(t)`|``]
ㄷ. (참) [eqn: y=f`^-1 (x)``]는 [eqn: y=f(x)``]를 [eqn: y=x``]에 대칭한
역함수이므로 [eqn: y=g(x)``]와의 교점은
점 [eqn: P``]를 [eqn: y=x``]에 대칭한 [eqn: (-a,```a)``]이다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: O]

[eqn: y=`left|`1 over 2^t -t ``right|]

[eqn: y=`left|``2^t +t``right|]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: y=`-2^x ``]을 [eqn: y``]축의 방향으로 [eqn: m``]만큼 평행이동시킨 곡선을 [eqn: y=f(x)``]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)``]가 [eqn: x``]축과 만나는 점을 [eqn: A``]라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: m>2``]이다.)

곡선 [eqn: y=2^x``]이 곡선 [eqn: y=f(x)``]와 만나는 점을 [eqn: B], 점 [eqn: B``]에서 [eqn: y``]축에 내린 수선의 발을 [eqn: C``]라 하자. [eqn: bar{OA``}=2 bar{BC``}``]일 때, [eqn: m``]의 값은?

②

[eqn: f(x)=`-2^x +m``]의 [eqn: x``]절편 [eqn: A(log_2``m `,```0)],
[eqn: y=f(x)``]의 [eqn: y``]절편 [eqn: m-1``]과 [eqn: y=2^x ``]의 [eqn: y``]절편 [eqn: 1``]의 중점 [eqn: C``]의 [eqn: y``]좌표가 [eqn: m over 2 ``]이므로 [eqn: y=2^x ``]에서 [eqn: B`left(log_2 ``m over 2 `,```m over 2 right)]
[eqn: bar{OA``}=2 bar{BC``}``]에서 [eqn: m^2 =4m] [eqn: (m>2)]	[eqn: therefore```m=4]

[3점][2012년 5월]

① [eqn: 2root2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 4 root2]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 8root2]

두 곡선 [eqn: y=4 ^{`x} ,~y=2 ^{`x}]과 [eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rm `P][eqn: (0,```a)] ([eqn: a>1])가 있다. 점 [eqn: rm P]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 두 곡선 [eqn: y=4 ^{`x} ,~y=2 ^{`x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,~B]라 하자. 또, 점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= 4`^x]과 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하고, 점 [eqn: rm C]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 `^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rm D]라 하자. [eqn: a=2]일 때, 직선 [eqn: rm AD]의 기울기는?

③

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 직선의 기울기를 구한다.

[eqn: 2=4 ^{x}]에서 [eqn: x=log _{4} 2= {1} over {2}]이므로 점 [eqn: rm A`]의 좌표는 [eqn: rm A LEFT ( {1} over {2} ,``2 RIGHT )]

[eqn: 2=2 ^{x}]에서 [eqn: x=1]이므로 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: rm B(1,``2)]

[eqn: rmC]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: y=4 ^{1} =4]이므로 [eqn: rm C(1,``4)]

[eqn: 4=2 ^{x}]에서 [eqn: x=2]이므로 점 [eqn: rm D`]의 좌표는 [eqn: rm D(2,``4)]

따라서 직선 [eqn: rm`AD]의 기울기는

[eqn: {4-2} over {2- {1} over {2}} = {2} over {{3} over {2}} = {4} over {3}]

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {7} over {6}]	③ [eqn: {4} over {3}]	④ [eqn: 3over2]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: y=n`]이 두 곡선 [eqn: y=2 `^{x} `], [eqn: y=2 ^{`x-1`}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm`A_{`it n}`], [eqn: rm`B_{`it n}`]이라 하자. 또, 점 [eqn: rm`B_{`it n}`]을 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]과 만나는 점을 [eqn: rm`C_{`it n}`]이라 하자. [eqn: n=3`]일 때, 직선 [eqn: rm`A_{`it n} rmC_{it n}`]의 기울기는?

③

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고, 직선의 기울기를 구한다.

[eqn: n=3`]일 때,

점 [eqn: rm `A _{`3}]이 함수 [eqn: f(x)=2 ^{`x} `]위에 있으므로

[eqn: rm `A _{it `3 rm} ( it `log _{2`} 3`,`3)``]

점 [eqn: rm `B _{`3`}]의 좌표를 [eqn: (b`,``3)`]이라고 하면 [eqn: y=2 ^{`x-1`}]위에 있으므로

[eqn: 2 ^{`b-1} =3`]

[eqn: b-1`=log _{`2} `3]이므로

[eqn: b=log _{2} `3+1=log _{`2} `(3 TIMES 2)=log _{`2} `6`]

즉, [eqn: rm `B _{3 rm} ( it `log _{2`} 6`,``3)``]이다.

그리고 점 [eqn: rm `C _{`3 rm}]의 좌표를 [eqn: (log _{2} `6`,``c)`]라고 하면

점 [eqn: rm `C _{`3`}][eqn: (log_{`2}`6 `,``c)`]이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x} `]위에 있으므로

[eqn: c=2 ^{log _{`2} `6} =6`]

따라서 [eqn: rm `C _{`3 rm} ( it `log _{2} `6`,``6`)]이므로 직선 [eqn: rm A _{it 3 rm} C _{`3 rm}]의 기울기는

[eqn: {6-3} over {log _{2} 6-log _{2} 3}][eqn: = {3} over {log _{`2} ` {6} over {3}}][eqn: = {3} over {log` _{2} `2} `][eqn: =3]

[다른 풀이]

곡선 [eqn: y=2^{`x-1} `]은 곡선 [eqn: y=2^{`x} `]을 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동시킨 것이므로

[eqn: rm bar{A_{`3} B_{`3} } = 1`]

점 [eqn: rm `B _{`3`}]의 [eqn: x`]좌표와 점 [eqn: rm `C _{`3 rm}]의 [eqn: y`]좌표를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`]라 하면 [eqn: 2^{`a-1}=3`]이므로

[eqn: b=2^{`a}][eqn: = 2 cdot 2^{`a-1}][eqn: =2 times 3][eqn: =6]

따라서 [eqn: rm bar{B_{`3}C_{`3} }][eqn: =6-3][eqn: =3`]이므로

직선 [eqn: rm {A_{` 3} C_{` 3} }`]의 기울기는 [eqn: 3over1 =3`]이다.

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 2`]	② [eqn: {5} over {2} `]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: {7} over {2} `]	⑤ [eqn: 4`]

좌표평면에서 꼭짓점의 좌표가 [eqn: O`(0,```0)], [eqn: A`left(2^n ,```0 right)], [eqn: B`left(2^n ,```2^n right)], [eqn: C`left(0, ```2^n right)``]인 정사각형 [eqn: OABC``]와 두 곡선 [eqn: y=2^x], [eqn: y=log_2``x``]에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: n``]은 자연수이다.)

⑤

점 [eqn: E]를 지나면서 [eqn: x]축과 평행한 직선과 곡선 [eqn: y=log _{2} x]와의 교점을 [eqn: G]라고 하면, [eqn: F(4,`16),`E(4,`2)]에서 [eqn: G]의 [eqn: y]좌표는 2이다. 따라서 점 [eqn: D]의 좌표는 [eqn: D(32,`5)]이다.

∴(직선 [eqn: DF]의 기울기) [eqn: = {5-16} over {32-4} =- {11} over {28}]

선분 [eqn: AB``]가 곡선 [eqn: y=log_2``x``]와 만나는 점을 [eqn: D``]라 하자. 선분 [eqn: AD``]를 [eqn: 2```:``3``]으로 내분하는 점을 지나고 [eqn: y``]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=log_2``x``]와 만나는 점을 [eqn: E], 점 [eqn: E``]를 지나고 [eqn: x``]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=2^x ``]과 만나는 점을 [eqn: F``]라 하자. 점 [eqn: F``]의 [eqn: y``]좌표가 [eqn: 16``]일 때, 직선 [eqn: DF``]의 기울기는?

[3점][2013년 9월]

① [eqn: - 13 over 28]	② [eqn: - 25 over 56]	③ [eqn: - 3 over 7]
④ [eqn: - 23 over56]	⑤ [eqn: - 11 over28]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2 ^{`x`} `]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 [eqn: rmA`], 곡선 [eqn: y=log _{`2`} x`]가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmB`]라 하자. 또, 직선 [eqn: y=-x+k`]가 두 곡선 [eqn: y=2 ^{`x`} `], [eqn: y=log _{`2`} x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmC`], [eqn: rmD`]라 하자. 사각형 [eqn: rmABDC`]가 정사각형일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

④

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이해하고 주어진 값을 구한다.

[eqn: rmA(0,``1)`], [eqn: rm B(1,``0)`]이고 선분 [eqn: rmAB`]가 정사각형의 한 변이므로 [eqn: rm C(1,``2)`], [eqn: rm D(2,``1)`]이다.

이때 직선 [eqn: y=`-x+k`]가 점 [eqn: rm C(1,``2)`]를 지나므로

[eqn: 2=`-1+k`]

∴ [eqn: k=3`]

[3점][2013년 10월]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 1+ sqrt {2} `]	③ [eqn: 2 sqrt {2} `]

④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 2+ sqrt {2} `]

세 지수함수
[eqn: f(x)=a ^{-x}], [eqn: g (x)=b ^x], [eqn: h(x)=a ^{x}] ([eqn: 1<a<b`])
에 대하여 직선 [eqn: y=2`]가 세 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라 하자. [eqn: {bar{rm PQ it}} `:` {bar{rm QR it}} =2`:`1`]이고 [eqn: h(2)=2`]일 때, [eqn: g(4)`]의 값은?

⑤

[출제의도] 지수함수의 성질을 이해하여 문제를 해결한다.

곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=h(x)`]는 [eqn: y`]축 대칭이므로
[eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) =f(-2)`]에서 점 [eqn: rm R`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 2`], 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -2`]이다. 점 [eqn: rmQ`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: alpha`]라 하면

[eqn: rm {bar{PQ}} `:` {bar{QR}} =2`:`1`]에서 [eqn: rm {bar{PQ}} =2 {bar{QR`}}]이므로

[eqn: alpha+2=2(2-alpha)`]

∴ [eqn: alpha = {2} over {3}]

[eqn: g(alpha)=2``]에서 [eqn: b ^{{2} over {3}} =2`]

∴ [eqn: b=2 ^{{3} over {2}} `]

[eqn: g(4)=b ^{4} `][eqn: = LEFT ( 2 ^{{3} over {2}} RIGHT ) ^{4} `][eqn: =2 ^{6} =64`]

[다른 풀이]

세 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`], [eqn: rmR`]의 [eqn: y`]좌표는 모두 [eqn: 2`]이므로 세 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`], [eqn: rmR`]의 [eqn: x`]좌표는 각각 [eqn: -log _{a} `2], [eqn: log _{b} `2], [eqn: log _{a} `2]이다.

[eqn: {bar{rm PQ it}} : {bar{rm QR it}} =2:1]에서 [eqn: rm {bar{PQ}} =2 {bar{QR`}}]이므로

[eqn: log_b 2 - (-log_a 2 )=2 LEFT ( log _{a} `2-log _{b} `2 RIGHT )]

양변을 밑이 [eqn: 2`]인 로그로 변환하면

[eqn: {1} over {log _{2} `a} = {3} over {log _{2} `b}]

[eqn: log _{2} `b=3`log _{2} `a][eqn: =log` _{2} a ^{3}]

∴ [eqn: b=a ^{3}]

[eqn: h(2)=2`]에서 [eqn: a ^{2} =2`]

∴ [eqn: a= sqrt {2}] (∵ [eqn: a>1`])

∴ [eqn: b=a ^{3} = LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{3} =2 sqrt {2}]

따라서 [eqn: g` LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{x}]이다.

∴ [eqn: g(4)= LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{4} = LEFT ( 2 ^{{3} over {2}} RIGHT ) ^{4} =2 ^{6} =64]

[3점][2014년 3월]

① [eqn: 16]	② [eqn: 16 sqrt {2}]	③ [eqn: 32]	④ [eqn: 32 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 64]

2보다 큰 실수 [eqn: a`]에 대하여 두 곡선 [eqn: {y = 2`^x`}], [eqn: {y`=`-2` ^{x} +a`}]가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rmA}`], [eqn: {rmB}`]라 하고, 두 곡선의 교점을 [eqn: {rmC}`]라 하자. [eqn: a=6`]일 때, 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이는?

①

[출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다.

곡선 [eqn: y=`2` ^{`x} `]이 [eqn: y`]축과 만나는 점은

[eqn: rm A LEFT ( 0`,`` it 1 RIGHT ) `]

곡선 [eqn: y=`-2` ^{`x} +a`]가 [eqn: y`]축과 만나는 점은

[eqn: rm B LEFT ( 0`,`` it a-1 RIGHT ) `]

두 곡선 [eqn: y=2` ^{ x}]과 [eqn: y= `-2 ` ^{x} +a `]가 만나는 점은

[eqn: 2` ^{x} =`-2` ^{x} +a `], [eqn: 2` ^{x+1} =a`]

[eqn: x=log` _{2} a-1=log` _{2} {a} over {2} `], [eqn: y=2^{log_ 2 a over 2} = a over2]

[eqn: rm C][eqn: LEFT ( log _{`2} {a} over {2} ,`~ {a} over {2} RIGHT )`]

[eqn: a=6`]일 때, [eqn: rm B LEFT ( 0`,`` it 5 RIGHT ) `], [eqn: rm C][eqn: LEFT ( log _{`2} `3,~3 RIGHT )`]이므로 삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 TIMES log` _{2} 3=2`log` _{2} 3]

[3점][2014년 3월]

① [eqn: 2`log _{`2} `3`]	② [eqn: 5 over 2 ` log _{`2} `3`]	③ [eqn: 3 log _{`2} `3`]

④ [eqn: 7 over 2` log _{`2} `3`]	⑤ [eqn: 4log _{`2} 3]

그림과 같이 함수 [eqn: y=3 ^{x+1} ``]의 그래프 위의 한 점 [eqn: rm A`]와 함수 [eqn: y=3 ^{x-2} ``]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]는 [eqn: x`]축에 평행하고 선분 [eqn: rmAC`]는 [eqn: y`]축에 평행하다. [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}}]가 될 때, 점 [eqn: rm A]의 [eqn: y`]좌표는? (단, 점 A는 제1사분면 위에 있다.)

①

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 수학내적 문제해결하기

함수 [eqn: y=3 ^{x+1} ``]의 그래프를 [eqn: x``]축의 방향으로 [eqn: 3`]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y=3 ^{x-2} `]의 그래프이다.

[eqn: bar{rm AB it} =3``]이고 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AC it}} ``]이므로 [eqn: bar{rm `AC it} =3``]

점 [eqn: rm `A]의 좌표를 [eqn: LEFT ( `a``,``3 ^{a+1} ` RIGHT ) `]이라 하면

점 [eqn: rm C`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `a``,``3 ^{a-2} ` RIGHT ) `]이므로 [eqn: {bar{rm `AC it}} =3 ^{a+1} -3 ^{a-2} `][eqn: =3`‧`3 ^{a} - {1} over {9} `‧`3 ^{a} = {26} over {9} `‧`3 ^{a} =3`]

따라서 점 [eqn: rm`A]의 [eqn: y]좌표 [eqn: 3 ^{a+1} = {81} over {26} `]

[3점][2014년 7월]

[eqn: RMO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: y=3 ^{x+1}]

[eqn: y=3 ^{x-2}]

① [eqn: {81} over {26} `]	② [eqn: {44} over {13}]	③ [eqn: {95} over {26}]	④ [eqn: {101} over {26}]	⑤ [eqn: {54} over {13}]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=3 ^{x+1} `-2`,``y`=log` _{2} ` LEFT ( x`+1 RIGHT ) `-1`]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm`A`,``B`]라 하자. 점 [eqn: rm`A`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y`=log` _{2} ` LEFT ( x`+1 RIGHT ) `-1`]과 만나는 점을 [eqn: rm `C`,`]점 [eqn: rmB`]를 지나고 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y`=3` ^{x`+1} `-2`]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, 사각형 [eqn: rmADBC`]의 넓이는?

⑤

[eqn: rmA LEFT ( 1``,0 RIGHT ) `]이고, [eqn: log` _{2} ` LEFT ( x`+1 RIGHT ) `-1`=1`]에서 [eqn: x+1`=4`,``]

즉 [eqn: x`=3`]이므로 [eqn: rmC` LEFT ( 3``,`1 RIGHT ) `]

또, [eqn: rmB` LEFT ( 0``,`-1 RIGHT ) `]이고 [eqn: 3` ^{x+1} `-2`=-1`]에서 [eqn: x`+1`=0`],

즉 [eqn: x`=-1`]이므로 [eqn: rmD` LEFT ( -1``,`-1 RIGHT ) `]

따라서 [eqn: rm `barAC`=3`,` {bar{DB}} `=1`,`` {bar{AB}} `=2`]이므로 사다리꼴

[eqn: rmABCD`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} `times` LEFT ( 3`+1 RIGHT ) `times`2``=4`]

[3점][2014년 9월]

① [eqn: 3]	② [eqn: {13} over {4}]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: 4]

지수함수 [eqn: f(x)= a^{x}]의 그래프가 그림과 같다.

③

[출제의도] 지수함수를 이해하고 함수의 값을 구한다.

[eqn: f(b)`][eqn: = a^{`b} `][eqn: =3`], [eqn: f(c)`][eqn: =a^{`c} `][eqn: =6`]이므로 [eqn: a ^{`b} TIMES a ^{`c}`][eqn: = a^{`b+c} `][eqn: = 18 `]

[eqn: f left( {b+c} over 2 right) `][eqn: = a^{ {b+c} over 2 }`][eqn: = left( a^{`b+c} right)^{` 1over 2} `][eqn: = 18^{` 1over 2} `][eqn: = 3 root 2 `]

[eqn: f(b)=3`], [eqn: f(c)=6`]일 때, [eqn: f left( b+c over2 right)]의 값은?

[3점][2014년 10월]

① [eqn: 4]	② [eqn: root17]	③ [eqn: 3sqrt2]	④ [eqn: root19]	⑤ [eqn: 2 sqrt5]

지수함수 [eqn: y=3`^x]의 그래프 위의 한 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: y] 좌표가 [eqn: 1over3`]이다. 이 그래프 위의 한 점 [eqn: rm B`]에 대하여 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점 [eqn: rm C`]가 [eqn: y`]축 위에 있을 때, 점 [eqn: rm B]의 [eqn: y] 좌표는?

⑤

[출제의도] 지수함수의 그래프의 성질을 이해하고 내분점을 이용하여 좌표를 구한다.

점 [eqn: rm A`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD`], 점 [eqn: rmB`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E`]라 하자. 점 [eqn: {rm A} `LEFT(-1,`` 1over3 RIGHT)`]이므로 점 [eqn: {rm D} `LEFT(-1,``0)`]이다.

[eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rmC`]에 대하여 [eqn: rmbarAC`:`barCB `][eqn: =1`:`2`]이므로 [eqn: rmbarDO`:`barOE `][eqn: =1`:`2`]가 되어 점 [eqn: \E it LEFT(2`,``0RIGHT)`]이다. 따라서 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 9`]이다.

[다른 풀이]

점 [eqn: {rm A} `LEFT(-1,`` 1over3 RIGHT)`]이고 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: b`]라 놓으면 점 [eqn: \B it LEFT ( b,``3 ^{b} RIGHT ) `]이다.

선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점 [eqn: \C it LEFT ( {b-2} over {3} ,`` {3 ^{b} + {2} over {3}} over {3} RIGHT ) `]에 대하여 점 [eqn: rmC`]는 [eqn: y`]축 위에 있으므로

[eqn: {b-2} over {3} `][eqn: =0`]에서 [eqn: b`][eqn: =2`]

따라서 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: 3 ^{2} `][eqn: =9`]이다.

[3점][2015년 3월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 3 root {3} of {3}]	③ [eqn: 3 sqrt {3}]	④ [eqn: 3 root {3} of {9}]	⑤ [eqn: 9]

그림과 같이 함수 [eqn: y= log_{`2}` x`]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B `]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C (`it p,~0)`], [eqn: rm D (it 2p ,~0)`]이라 하자. 삼각형 [eqn: rm BCD`]와 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이의 차가 [eqn: 8`]일 때, 실수 [eqn: p`]의 값은? (단, [eqn: p >1`])

④

[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질을 이해하여 좌표를 구한다.

(삼각형 [eqn: rm BCD`]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} CDOT (2p-p) CDOT `log _{`2} `2p`] [eqn: = p over 2 cdot log_{`2 }`2p `]

(삼각형 [eqn: rm ACB`]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} CDOT (2p-p) CDOT log _{`2} `p`] [eqn: = p over 2 cdot log_{`2 }`p `]

[eqn: p over 2 cdot log_{`2 }`2p - p over 2 cdot log_{`2 }`p `][eqn: =8`]이므로

[eqn: p over 2 left( log_{`2 }`2p - log_{`2 }`p right)`][eqn: =8`], [eqn: p over 2 cdot log_{`2 }`2 `][eqn: =8`]

따라서 [eqn: p`][eqn: =16`]

[다른 풀이]

선분 [eqn: rm CD`]를 삼각형 [eqn: rm BCD`]와 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 높이라 하면, 그 길이는 [eqn: 2p-p`][eqn: =p`]로 같다. 그러므로

(삼각형 [eqn: rm BCD`]와 삼각형 [eqn: rm ACB`] 넓이의 차)

[eqn: ={p} over {2} TIMES](선분 [eqn: rm BD`]와 선분 [eqn: rm AC`]의 길이의 차)

[eqn: =8`]

삼각형 [eqn: rmBCD`]의 밑변인 선분 [eqn: rm BD`]의 길이는 [eqn: log_2``2p`]이고, 삼각형 [eqn: rm ACB`]의 밑변인 선분 [eqn: rm AC`]의 길이는 [eqn: log_2``p`]이다.

그러므로 [eqn: log _{2} ``2p`-log _{2} ``p`][eqn: =log _{2} ``2`][eqn: =1`]

따라서 [eqn: p`][eqn: =16`]

[3점][2015년 3월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

그림과 같이 함수 [eqn: {f(x)=log _{`2} ` LEFT ( x+ {1} over {2} RIGHT ) `} `]의 그래프와 함수 [eqn: {g(x)=a ^{`x} `(a>1)`}]의 그래프가 있다. 곡선 [eqn: y=g(x)`]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: A], 점 [eqn: A]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 만나는 점 중 점 [eqn: A]가 아닌 점을 [eqn: B], 점 [eqn: B]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=g(x)`]와 만나는 점을 [eqn: C]라 하자.
삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이가 [eqn: {21} over {4} `]일 때, [eqn: a`]의 값은?

①

[출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하여 지수함수의 밑을 구한다.

곡선 [eqn: y=a ^{x}`]이 [eqn: y`]축과 만나는 점 [eqn: rmA`]의 좌표는 [eqn: rm (0,~1)`]이고, 점 [eqn: rmB`]의 [eqn: y`]좌표는 점 [eqn: rmA`]의 [eqn: y`]좌표와 같으므로 [eqn: 1`]이다.

[eqn: log_2 left( x + 1 over2 right) = 1`], [eqn: x = 3 over2`]

따라서 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( 3 over2`,``1` RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmC`]의 [eqn: x`]좌표는 점 [eqn: rm B]의 [eqn: x`]좌표와 같으므로

점 [eqn: rmC`]의 좌표는 [eqn: rm `left( 3 over2`,~it a^{3 over2} ``right)]이다.

따라서 삼각형 ABC의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BC}}][eqn: = {1} over {2} TIMES {3} over {2} TIMES LEFT ( a ^{{3} over {2}} -1 pile{`#`} RIGHT )][eqn: = {21} over {4} `]

그러므로 [eqn: a^ {3 over2} = 8]에서 [eqn: a= 4`]이다.

[3점][2015년 3월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 9 over2]	③ [eqn: 5`]	④ [eqn: 11 over2`]	⑤ [eqn: 6]

그림과 같이 두 함수 [eqn: y `=` log`_2 ` `x], [eqn: y `=` log `_2 `(x-2) `]의 그래프가 [eqn: x `]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B `]라 하자. 직선 [eqn: x `=`k] ([eqn: k >0])이 두 함수 [eqn: y `=`log`_2 `` x], [eqn: y `=` log `_2 `` (x-2) `]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q `]라 하고, [eqn: x `]축과 만나는 점을 [eqn: rm R `]라 하자. 점 [eqn: rm Q `]가 선분 [eqn: rm PR `]의 중점일 때, 사각형 [eqn: rm ABQP`]의 넓이는?

③

[eqn: rm A(1, ``0)], [eqn: rm B ( 3, ```0)], [eqn: {\P}( k , ```log`_2 ``k )], [eqn: {\Q} (k , ``` log`_2 ``(k-2) ) `]로부터

점 [eqn: rm Q]가 선분 [eqn: rm PR]의 중점이므로

[eqn: 2 times log`_2 ` (k-2) `=` log` _ 2 ``k] [eqn: Lrarrow] [eqn: (k-2)^2 `=` k]

∴ [eqn: k `=` 4]   (∵ [eqn: k>3])

[eqn: rm □ ABQP `=` △ARP - △BRQ]

[eqn: `= ` 1 over 2 times 3 times 2 `-` 1 over 2 times 1 times 1]

[eqn: `= ` 5 over 2]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 over 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over 2]

[해설] 미적분2-(1)지수,로그-(c)그래프