수 리 영 역

방,부등식

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수 리 영 역

방,부등식

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 지수, 로그 (방,부등식)

성명			수험번호

16

부등식 [eqn: |`log_2 `a - log_2 `10`|+log_2 `b≦1]을 만족시키는 두 자연수 [eqn: a,```b]의 순서쌍 [eqn: (a,```b)]의 개수는?

②

[eqn: |log_2 `a - log_2 10 `|+ log_2 `b <=1]

[eqn: left| log_2 `{a over 10} `right|<=1 - log_2 `b][eqn: = log_2 {2 over b }]

[eqn: - log _2 {2 over b }<= log_2 a over 10 <= log _2 2 over b]

[eqn: log _2 {b over 2 }<= log_2 a over 10 <= log _2 2 over b] [eqn: RARROW ``` {b} over {2} <= {a} over {10} <= {2} over {b} `]

[eqn: ∴ 5b<= a , ab <=20 `]

[eqn: 5b^2 <= ab ,]  즉, [eqn: 5b^2 <= 20] [eqn: RARROW ```b ^{2} <= 4]

[eqn: b``]는 자연수이므로 [eqn: b=1] 또는 [eqn: b=2]

[eqn: b=1]이면 [eqn: 5<= a<=20]  [eqn: THEREFORE ```a]는 [eqn: 16]개

[eqn: b=2]이면 [eqn: 10 <=a<=10]  [eqn: THEREFORE ```a]는 [eqn: 1]개

따라서 순서쌍 [eqn: (a,```b)]는 [eqn: 17]개

[1994년 수능 2차]

①　[eqn: 15]	②　[eqn: 17]	③　[eqn: 19]

④　[eqn: 21]	⑤　[eqn: 23]

지수방정식 [eqn: 3^x+2 =96]의 근을 [eqn: alpha]라 할 때, 다음 중 옳은 것은?

③

[eqn: 3^x+2 = 96]이고 [eqn: 3 ^{4} =81,```3 ^{5} =243]

[eqn: 81<96 <243]이므로 [eqn: 3 ^{4} <3 ^{alpha +2} <3 ^{5}] [eqn: RARROW ```4< alpha +2<5]

[eqn: THEREFORE ```2< alpha <3]

[1점][1995년 수능]

①　[eqn: 0＜alpha＜1]	②　[eqn: 1＜alpha＜2]	③　[eqn: 2＜alpha＜3]

④　[eqn: 3＜alpha＜4]	⑤　[eqn: 4＜alpha＜5]

좌표평면 위에 연립 부등식
[eqn: cases{|x``|`+`|y``|`≦`4#log_2`(x+y`)`^4`-`log_2`(x+y`)^2`≧`2}`]
가 나타내는 영역이 있다. 중심이 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,```-1 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: r``]인 원이 이 영역과 만날 때, [eqn: r``]의 최소값과 최대값은?

④

[eqn: log_2 (x+y)^4 - log_2 (x+y)^2 >=2]을 정리하면

[eqn: log_2 (x+y)^2 >=2] [eqn: Rarrow~(x+y)^2 >=4 `]

[eqn: THEREFORE ```|`x+y`| >= 2]

따라서, [eqn: |`x`|+|`y`| <= 4]와의 공통부분을 표시하면

어두운 부분과 같다.

원[eqn: left( x- 1 over 2 right)^2 + (y+1)^2 = r^2 `]에서 [eqn: r``]의 최소값은

원이 직선 [eqn: x+y+2 =0]과 접할 때이므로

[eqn: r ={ left| 1 over 2 - 1+2 right|} over sqrt 2][eqn: = {3sqrt 2 } over 4]

또, [eqn: r``]의 최대값은 점 [eqn: (0,```4)]를 지날 때이므로

두 점 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,```-1 RIGHT )]과 점 [eqn: (0,```4)]사이의 거리를 구하면

[eqn: r = sqrt {left( 1 over 2 right)^2 + (4+1)^2 }][eqn: = sqrt 101 over 2]

[2점][1996년 수능]

[최소값]	[최대값]

① [eqn: scale 90 sqrt2 over 4 `],	[eqn: scale 90 sqrt85 over 2`]

② [eqn: scale 90 {5`sqrt2} over 4`],	[eqn: scale 90 sqrt101 over 2`]

③ [eqn: scale 90 {3`sqrt2} over 4`],	[eqn: scale 90 sqrt85 over 2`]

④ [eqn: scale 90 {3`sqrt2} over 4`],	[eqn: scale 90 sqrt101 over 2`]

⑤ [eqn: scale 90 sqrt2 over 4`],	[eqn: scale 90 sqrt101 over 2`]

[eqn: k=1,```2,```3,```4,``` CDOTS]에 대하여 [eqn: b_k`]가 [eqn: 0`] 또는 [eqn: 1`]이고
[eqn: log _{7} `2`= {b _{1}} over {2} `+` {b _{2}} over {2 ^{2}} `+` {b _{3}} over {2 ^{3}} `+` {b _{4}} over {2 ^{4}} `+` CDOTS `]일 때, [eqn: b _{1} ,```b _{2} ,```b _{3}]의 값을 순서대로 적으면?

②

[eqn: log _{7} `2= {b _{1}} over {2} + {b _{2}} over {2 ^{2}} + {b _{3}} over {2 ^{3}} + {b _{4}} over {2 ^{4}} + CDOTS]

[eqn: 2log _{7} `2=b _{1} + {b _{2}} over {2} + {b _{3}} over {2 ^{2}} + {b _{4}} over {2 ^{3}} + CDOTS]

또, [eqn: log _{7} `4=b _{1} + {b _{2}} over {2} + {b _{3}} over {2 ^{2}} + {b _{4}} over {2 ^{3}} + CDOTS]     [eqn: THEREFORE ```b _{1} =0]

[eqn: 2log _{7} `4=b _{2} + {b _{3}} over {2} + {b _{4}} over {2 ^{2}} + {b _{5}} over {2 ^{3}} + CDOTS]

[eqn: log _{7} `16=b _{2} + {b _{3}} over {2} + {b _{4}} over {2 ^{2}} + {b _{5}} over {2 ^{3}} + CDOTS]       [eqn: THEREFORE ```b _{2} =1]

[eqn: log _{7} ` {16} over {7} = {b _{3}} over {2} + {b _{4}} over {2 ^{2}} + {b _{5}} over {2 ^{3}} + CDOTS]

[eqn: 2log _{7} ` {16} over {7} =b _{3} + {b _{4}} over {2} + {b _{5}} over {2 ^{2}} + CDOTS]

[eqn: log _{7} `( {16} over {7} ) ^{2} =b _{3} + {b _{4}} over {2} + {b _{5}} over {2 ^{2}} + CDOTS]      [eqn: THEREFORE ```b _{3} =0]

[1.5점][1996년 수능]

①　[eqn: 0,```0,```0]	②　[eqn: 0,```1,```0]	③　[eqn: 0,```0,```1]

④　[eqn: 0,```1,```1]	⑤　[eqn: 1,```1,```1]

다음 방정식의 모든 해의 곱을 구하시오.
[eqn: {(log}_{2 }x )^{3 }+ log_2 { x}^{3 }=][eqn: 4 (log_2 `x) ^{2 } + log_2 `x]

[eqn: 16]

[eqn: (log_2 x)^3 +3log_2 x=4(log_2 x)^2 +log_2 x]

[eqn: log_2 x` =t`]로 치환하면 [eqn: t^3 +3t `=4t^2 +t`]

[eqn: t^3 -4t^2 +2t`=0], [eqn: t`(t^2 -4t +2)=0]

[eqn: THEREFORE ```t`=0,```t ^{2} -4t`+2=0]

(ⅰ) [eqn: t=0]일 경우

[eqn: log_2 x=0]  [eqn: THEREFORE ```x=1]

(ⅱ) [eqn: t^2 -4t+2=0]일 경우

[eqn: (log_2 x)^2 -4log_2 x`+2=0]

위 식을 만족하는 [eqn: x]의 값을 [eqn: alpha ,``` beta]라 하면

[eqn: log_2 alpha` +log_2 beta`=4], [eqn: log_2 alpha` beta` =4]

[eqn: THEREFORE ```alpha beta =2 ^{4} =16]

(i), (ii)에서 구하는 해의 곱은 [eqn: 1 TIMES 16=16]

[2점][2002년 수능]

[eqn: n]이 자연수일 때, <보기>의 부등식 중 항상 성립하는 것을 모두 고르면?

⑤

[eqn: y=log` _{2} `x]와 [eqn: y=log` _{3} `x]의 그래프는 다음과 같다.

① [eqn: log_2 n`]은 증가함수이므로 진수를 비교하면 된다.

즉 [eqn: n`+`3`>`n`+`2`]이므로

[eqn: log_2 `(n+3`)`> `log_2 `(n+2`)]이다.

② [eqn: x`>`1`]이면 [eqn: log_2 x`>`log_3 x`]이므로 성립한다.

③ [eqn: n`=`1]을 대입하면 [eqn: log_2 `3`> `log_3 `4`]

[eqn: n`=`2]를 대입하면 [eqn: log_2 `4`> `log_3 `5`]

[eqn: vdots`]

따라서, ①, ②, ③은 항상 성립한다.

[3점][2003년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: log_2 `(n+3`)`> `log_2 `(n+2`)] ㄴ. [eqn: log_2 `(n+2`)`> `log_3 `(n+2`)] ㄷ. [eqn: log_2 `(n+2`)`> `log_3 `(n+3`)]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연립부등식

[eqn: {cases{`log _{3} `` LEFT | `x-3` RIGHT | `＜`4 phantom{{1} over {2 ^{2 ^{2}}}}#`log _{2} `x+log _{2} `(x-2) GEQ 3}}]

을 만족시키는 정수 [eqn: x `]의 개수를 구하시오.

[eqn: 80]

[로그의 연립부등식]

[eqn: (진수)`>`0]에서 [eqn: x>2,```x != 3```` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: log_3 ``left| `x-3 `right| `＜`4 ``]에서 [eqn: left| `x-3 `right| `＜` 3^4 ``]

[eqn: THEREFORE ```-78<x<84``` CDOTS CDOTS ```㉡]

[eqn: log _{2} `x+log _{2} `(x-2)` GEQ 3]에서 [eqn: log _{2} `x`(x-2)` GEQ 3]

[eqn: x`(x-2)` GEQ 8], [eqn: (x-4)(x+2)` GEQ 0]

[eqn: THEREFORE ```x GEQ 4,```x LEQ -2``` CDOTS CDOTS ```㉢]

㉠, ㉡, ㉢을 동시에 만족하는 정수인 [eqn: x``]는

[eqn: x=4,```5,```6,``` CDOTS ,```83]

따라서 [eqn: 80]개다.

[3점][2005년 수능]

방정식 [eqn: 4 ^{x} -7 BULLET 2 ^{x} +12=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때, [eqn: 2^{2 alpha }+2^{2 beta }`]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

[eqn: 4 ^{x} -7․2 ^{x} +12=0]에서 [eqn: (2 ^{x} -3)(2 ^{x} -4)=0]

따라서 [eqn: 2 ^{alpha } =3,```2 ^{beta } =4]로 놓을 수 있다.

[eqn: THEREFORE ```2 ^{2 alpha } +2 ^{2 beta } =(2 ^{alpha } +2 ^{beta } ) ^{2} -2·2 ^{alpha } ·2 ^{beta }]

[eqn: =(3+4)^2 - 2․ 3․4][eqn: =49-24=25]

[3점][2006년 수능]

부등식 [eqn: a ^{m} ＜a ^{n} ＜b ^{n} ＜b ^{m}]을 만족시키는 양수 [eqn: a,```b]와 자연수 [eqn: m,```n]에 대하여 옳은 것은?

①

주어진 조건에서 [eqn: a != 1,```b != 1]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a^n < b^n]이므로 [eqn: a<b]

[eqn: 0<a<b<1] 또는 [eqn: 1<a<b]일 때,

i) [eqn: m>n]이면 [eqn: a^m >a^n], [eqn: b^m >b^n]이고,

ii) [eqn: m<n]이면 [eqn: a^m <a^n], [eqn: b^m <b^n]이다.

그런데, i), ii)는 모두 주어진 조건에 모순이다.

[eqn: THEREFORE`] [eqn: 0<a<1<b]

주어진 조건에서 [eqn: b^n <b^m]이므로 [eqn: n<m]이어야 하고,

이 때 [eqn: a^m <a^n]이 성립한다.

[eqn: THEREFORE`] [eqn: n<m]

이상에서 [eqn: 0<a<1<b,```m>n]이다.

[3점][2006년 수능]

① [eqn: a＜1＜b],  [eqn: m＞n]	② [eqn: a＜1＜b],  [eqn: m＜n]

③ [eqn: a＜b＜1],  [eqn: m＜n]	④ [eqn: 1＜a＜b],  [eqn: m＞n]

⑤ [eqn: 1＜a＜b],  [eqn: m＜n]

로그방정식 [eqn: (log_2` x`)^2 -4log_2 `x` =0]의 두 근을 각각 [eqn: alpha ,``` beta]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값을 구하시오.

[eqn: 17]

[eqn: log_2`x`(log_2`x`-4`) =0]

[eqn: log_2`x` =0]  [eqn: THEREFORE ```x=1]

[eqn: log_2`x` =4]  [eqn: THEREFORE ```x=16]

[eqn: THEREFORE ``` alpha + beta =17]

[3점][2007년 수능]

부등식 [eqn: (log _{3} `x)(log _{3} `3x) LEQ 20]을 만족시키는 자연수 [eqn: x`]의 최대값을 구하시오.

[eqn: 81``]

[eqn: (log` _{3} `x)(log` _{3} `x+1) LEQ 20]

[eqn: t=log`_3 `x]라 하면

[eqn: t(t+1) LEQ 20,~t ^{2} +t-20 LEQ 0]

[eqn: (t+5)(t-4) LEQ 0]  [eqn: THEREFORE ```-5 LEQ t LEQ 4]

[eqn: -5 LEQ log` _{3} `x LEQ 4]

따라서, [eqn: 3^-5 <=x<=3^4]이므로

자연수 [eqn: x]의 최대값은 [eqn: 81]이다.

[3점][2008년 수능]

지수방정식 [eqn: 2^x +2^2-x =5```]의 모든 실근의 합은?

⑤

[eqn: 2^x +2^2-x =5]에서 [eqn: 2^x =t`(t＞0)]라 하면 [eqn: t+ 4 over t =5]

[eqn: t^2 -5t+4=0], [eqn: (t-1)(t-4)=0]

∴ [eqn: t= 1] 또는 [eqn: t=4]

∴ [eqn: x= 0] 또는 [eqn: x=2]

따라서, 모든 실근의 합은 [eqn: 0+2=2]

[3점][2010년 수능]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

로그부등식 [eqn: log _{2} `x LEQ log _{4} `(12x+28)]을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수를 구하시오.

[eqn: 14]

[eqn: log _{2} ``x LEQ log _{4} ``(12x+28)]에서

[eqn: log _{2} ``x LEQ {1} over {2} `log _{2} ``(12x+28)]

[eqn: 2log _{2} ``x LEQ log _{2} ``(12x+28)]

[eqn: log _{2} ``x ^{2} LEQ log _{2} ``(12x+28)]

[eqn: x ^{2} LEQ 12x+28]

[eqn: x ^{2} -12x-28 LEQ 0]

[eqn: (x-14)(x+2) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE ```-2 LEQ x LEQ 14]

그런데, 로그의 진수의 조건에 의해 [eqn: x＞0]이므로

[eqn: 0＜x LEQ 14]

따라서, 구하는 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 14]이다.

[3점][2010년 수능]

지수부등식 [eqn: (3^x - 5 ) (3^x - 100 ) `<` 0] 을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은?

③

[해설]

[eqn: 5 ``<` 3^x ``<` 100] 에서 [eqn: x `=` 2,3,4]

[eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 2+3+4 `=` 9]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

로그방정식 [eqn: log _{3} LEFT ( x-4 RIGHT )=log_9 LEFT ( 5x+4 RIGHT )]의 근을 [eqn: alpha]라 할 때, [eqn: alpha]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[해설]

[eqn: log _{3} LEFT ( x-4 RIGHT ) =log _{3 ^{2}} LEFT ( 5x+4 RIGHT )]

[eqn: log _{3} LEFT ( x-4 RIGHT ) = {1} over {2} log _3 LEFT ( 5x+4 RIGHT )]

[eqn: 2log _3 LEFT ( x-4 RIGHT )=log_3 LEFT ( 5x+4 RIGHT )]

[eqn: log_3 LEFT ( x-4 RIGHT )^2 =log_3 LEFT ( 5x+4 RIGHT )]

[eqn: LEFT ( x-4 RIGHT )^2 =5x+4], [eqn: x^2 -13x+12=0]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-12 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~x=1] 또는 [eqn: x=12]

이때 진수조건에 의하여 [eqn: x>4]이므로

[eqn: alpha =12]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

방정식 [eqn: log_3``(x-11)=3`log_3``2``]를 만족시키는 [eqn: x``]의 값을 구하시오.

[eqn: 19]

[eqn: log_3 `(x-11) &= 3`log_3`2 #&=log_3` 2^3 #&=log_3`8]

[eqn: therefore```x-11=8]

[eqn: therefore```x=19]

[3점][2012년 수능]

로그방정식 [eqn: log`_2 `(x+6) =5]의 해를 구하시오.

26

[eqn: log _{2} (x+6)=5] 에서

[eqn: x+6=2 ^{5} =32]

[eqn: THEREFORE x=26]

[3점][2015년 수능]

[eqn: x`]에 대한 로그부등식
[eqn: log _5 (x-1) le log_5 left(1over2 x + k right)]
를 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 3]일 때, 자연수 [eqn: k`]의 값은?

①

[출제의도] 로그부등식의 해를 구할 수 있는가?

진수조건에서

[eqn: x-1>0], [eqn: {1} over {2} x+k>0]

이므로 [eqn: x>1]	[eqn: ······] ㉠

[eqn: log` _{5} ` LEFT ( x-1 RIGHT ) LEQ log` _{5} ` LEFT ( {1} over {2} x+k RIGHT )]에서

[eqn: x-1 LEQ {1} over {2} x+k], [eqn: {1} over {2} x LEQ k+1]

[eqn: THEREFORE ~x LEQ 2 LEFT ( k+1 RIGHT )]	[eqn: ······] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 1<x LEQ 2 LEFT ( k+1 RIGHT )]이고 모든 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 3]이므로

[eqn: 2 LEFT ( k+1 RIGHT ) -1=2k+1=3]

[eqn: THEREFORE ~k=1]

[3점][2016년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

부등식 [eqn: left( 1 over 2 right) ^ 3x-1 ``≧`` left( 1 over 4 right) ^ x+1]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의값들의 합을 구하시오.

6

[eqn: left( 1 over 2 right) ^3x-1 ≧ left( 1 over 2 right) ^2x+2]이므로 [eqn: 3x-1 `≦` 2x+2]

[eqn: x`≦`3]이므로 [eqn: therefore`] 자연수의 합은 [eqn: 6]([eqn: =1+2+3])

[3점][2005년 5월]

연립방정식 [eqn: cases{` x-y=2_` _` # `^` 2^x - 2^y = 6}] 을 만족시키는 실수 [eqn: x`, ~y`]에 대하여 [eqn: 2^x + 2^y]의 값을 구하시오.

10

[eqn: y=x-2]이므로 [eqn: 2^x - 2^ {x-2}=6], [eqn: 2^x`` left(``1 - 2^ -2 ``right)=6]

[eqn: 2^x =8] [eqn: therefore ``x=3,``y=1] [eqn: therefore`` 2^3 + 2^1 =10]

[3점][2005년 5월]

방정식[eqn: left(log_2 ``x` - 3 right)log _ 2 ``x` =1]을 만족시키는 모든 근의 곱은?

③

[eqn: left(log_2 `x right) ^2 - 3 log_2 `x -1=0]의 두 근을 [eqn: alpha , `` beta]라 하고

[eqn: log_2 x = t]라 하면 [eqn: t^2 - 3t -1 = 0]의 두 근은

[eqn: t_1 = log_2 alpha], [eqn: t_2 = log _2 beta]

[eqn: t_1 + t_2 = log _2 alpha + log_2 beta = log_2 alpha beta=3]

[eqn: therefore `` alpha beta = 2^3 = 8]

[3점][2005년 5월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 16]

부등식 [eqn: log_3 (`x`-`1)`＜`2`]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

③

진수 조건에서 [eqn: x-1＞0]으로부터 [eqn: x＞1]이고,

[eqn: log_3 (x-1)＜2]

[eqn: x-1 ＜3^2], [eqn: x＜10]

∴ [eqn: 1＜x＜10]

이를 만족하는 정수 [eqn: x`]는 2, 3, 4, …, 9로 모두 8개이다

[3점][2005년 6월]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 14]

방정식 [eqn: log_4 (log_2 `x`)= 1]을 만족시키는 [eqn: x`]의 값을 구하시오.

16

[eqn: log_4 (log_2 ``x) =1]

[eqn: log_2 ``x =4^1 =4]

[eqn: x=2^4 =16]

[3점][2005년 6월]

지수부등식 [eqn: 2 ^{x ^{2}} `＜`4 CDOT 2 ^{x} ~`]의 해가 [eqn: alpha `＜` x `＜` beta``]일 때,
[eqn: alpha `+`beta`]의 값은?

①

[eqn: 2^x^2 < 4․2^x = 2^x+2]에서

[eqn: x^2 <x+2] , [eqn: x^2 -x-2<0]

∴ [eqn: -1<x<2]

∴ [eqn: α+β=-1+2=1]

[2점][2005년 9월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x``]에 대한 방정식 [eqn: 4 ^{x} ```-`a CDOT 2 ^{`x```+`1`} ```+`a ^{2} ```-`a```-`6```=`0] 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: a``]의 값의 범위는?

⑤

[eqn: 2 ^{x} =t`(t>0)], [eqn: g(t)=t ^{2} -2at+a ^{2} -a-6`]이라 하자. 방정식 [eqn: 4 ^{x} -a CDOT 2 ^{x+1} +a ^{2} -a-6`=0`]이 서로 다른 두 실근을 가지면, 방정식 [eqn: g(t)=0]이 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다.

방정식 [eqn: g(t)=0]의 서로 다른 두 양의 실근을 [eqn: alpha ,`` beta ``] 라 하면, [eqn: alpha >0,`` beta >0``]이므로

[eqn: D/4=a ^{2} -(a ^{2} -a-6)=a+6>0`]에서 [eqn: a>`-6`] [eqn: CDOTS ㉠]

[eqn: alpha + beta =2a>0``]에서 [eqn: a>0`] [eqn: CDOTS ㉡]

[eqn: alpha beta =a ^{2} -a-6=(a-3)(a+2)>0`]에서

[eqn: a>3``,``a<`-2] [eqn: CDOTS ㉢]

㉠, ㉡, ㉢ 에서 구하는 범위는 [eqn: a>3`]

[3점][2006년 3월]

① [eqn: a```>`-6``]	② [eqn: -6```<`a```<`-2``]
③ [eqn: a```>`0``]	④ [eqn: -2```<`a```<`3``]
⑤ [eqn: a```>`3``]

부등식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-4} > sqrt {root 3 of {64}}]를 만족시키는 정수 [eqn: x]의 최대값은?

②

[해설] [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-4} >(2 ^{6} ) ^{{1} over {3} TIMES {1} over {2}}],  [eqn: 2 ^{4-x} >2^1]

[eqn: 4-x>1],  [eqn: x<3]  ∴ 정수 [eqn: x]의 최대값은 2

[2점][2006년 4월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

이차함수 [eqn: f(x)=a(x-4) ^{2} -4`]에 대하여 로그 방정식
[eqn: log _{2} f(x)`+log _{2} LEFT { f(x)-1 RIGHT } =1] 의 두 실근을 [eqn: alpha ,` beta] 라고 할 때,
[eqn: lim _{a-> INF } {`alpha beta }] 의 값을 구하시오.

16

[eqn: log_2 f(x) + log_2 LEFT { f(x)-1 RIGHT }=1]에서

[eqn: f(x) LEFT { f(x)-1 RIGHT }=2]

[eqn: LEFT { f(x)-2 RIGHT } LEFT { f(x)+1 RIGHT }=0]

[eqn: f(x)=2] 또는[eqn: -1]

진수조건에 의해 [eqn: f(x)>1]이므로 [eqn: f(x)=2]

[eqn: a(x-4)^2 -4 =2]

[eqn: ax^2 -8ax+16a-6=0]

두 근의 곱 [eqn: alpha beta=] [eqn: 16- 6 over a]

[eqn: ∴``lim _{a -> INF } {} `` alpha beta = lim _{a -> INF } {} ``left(16- {6} over {a} right)=16]

[3점][2006년 5월]

로그방정식 [eqn: (log_2 ``x`)^2 -3log_2 ``x+2=0]의 두 근을 [eqn: α], [eqn: β`]라 할 때, [eqn: α+β`]의 값은?

③

[eqn: (log_2 x)^2 - 3 log_2 x + 2=0]

[eqn: (log_2 x - 2) (log_2 x-1 )=0]

∴ [eqn: log_2 x = 2], [eqn: log_2 x= 1]

∴ [eqn: x= 4, ~~x= 2`]

∴ [eqn: alpha + beta = 4+2 = 6]

[3점][2006년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

연립부등식

□ □ □	[eqn: 2^x+3 ``＞4] [eqn: 2log(`x+3)＜ log(`5x+15)]

를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

①

[eqn: 2^x+3 >4= 2^2] 에서 밑이 [eqn: 1`]보다 크므로 [eqn: x+3 >2]

∴ [eqn: x>-1] [eqn: cdots ㉠]

[eqn: 2log(x+3) < log(5x+15)]에서 밑이 [eqn: 1`]보다 크므로

[eqn: (x+3)^2 < 5x+15]

[eqn: x^2 +x -6<0]

[eqn: (x+3)(x-2)<0]

∴ [eqn: -3<x<2`][eqn: cdots ㉡]

㉠과 ㉡의 공통범위는  [eqn: -1<x<2`]

따라서 구하는 정수 [eqn: x`]의 개수는  [eqn: 0, ~~1`]의 [eqn: 2`]개 이다.

[3점][2006년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

부등식 [eqn: 9 ^x -3 ^x+2 +18`＜ 0 `]의 해가 [eqn: alpha ``＜ x``＜ beta `]일 때, [eqn: 3^alpha ․3^ beta `]의 값을 구하시오.

18

[eqn: 9^x -3^x+2 +18 `<`0]에서 [eqn: 3^x =t]라 하면 [eqn: t`>`0]이고

주어진 부등식은  [eqn: t^2 -9t+18`<`0]

[eqn: (t-3)(t-6)` <`0 ,~`3`<`t`<`6]

[eqn: ∴```3`<`3^x `<`6]

이 때 주어진 부등식의 해가 [eqn: α `<` x `< `β]이므로  [eqn: 3^α `<`3^ x `< `3^β]

따라서 [eqn: 3^ α =3 ,~3^β =6]

[eqn: ∴``3^α ⋅3^β = 3×6 =18]

[3점][2006년 9월]

[eqn: ab=16]을 만족하는 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: log _{2} (a+b)+log _{2} (a ^{2} +b ^{2} )+log _{2} (a ^{3} +b ^{3} )] 의 최소값을 구하시오.

15

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여[eqn: a+b>=2 sqrt {ab}]

(단, 등호는 [eqn: a=b] 일 때 성립한다.)

[eqn: a+b>=2 sqrt {ab} =2 sqrt {16} =2 ^{3}]

[eqn: a ^{2} +b ^{2} >=2ab=2 ^{5}]

[eqn: a ^{3} +b ^{3} >=2 sqrt {(ab) ^{3}} =2 ^{7}]

(준식)[eqn: >=log _{2} 2 ^{3} +log _{2} 2 ^{5} +log _{2} 2 ^{7} =15]

[3점][2007년 4월]

[eqn: x-y=2], [eqn: 2 ^{x} +2 ^{-y} =5]일 때, [eqn: 8 ^{x} +8 ^{-y}]의 값은?

⑤

(준식)[eqn: =2 ^{3x} +2 ^{-3y}] [eqn: =(2 ^{x} +2 ^{-y} ) ^{3} -3 CDOT 2 ^{x} 2 ^{-y} (2 ^{x} +2 ^{-y} )]

[eqn: =5 ^{3} -3 CDOT 4 CDOT 5=`65]

[3점][2007년 4월]

①  [eqn: 61]	②  [eqn: 62]	③  [eqn: 63]	④  [eqn: 64]	⑤  [eqn: 65]

로그방정식 [eqn: (log _{5} `x) ^{2} -log _{5} `x ^{3} +2=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha + beta]의 값을 구하시오.

[eqn: 30``]

[출제의도] 로그방정식의 두 근의 합 구하기

[해설]  [eqn: log _{ `5`}x=t]라 하면

주어진 방정식은

[eqn: t^2 -3t+2=0]

[eqn: t=1,~t=2]

[eqn: t=log _{`5`} x=1,]   [eqn: `x=5]

[eqn: t=log _{`5`} x=2,]   [eqn: `x=25]

[eqn: THEREFORE ~5+25=30]

[3점][2007년 5월]

지수부등식 [eqn: {1} over {4 ^{x}} - {1} over {2 ^{x-1}} -8 <= 0]의 해는?

③

[출제의도] 지수부등식의 해 구하기

[해설]  [eqn: left(1 over 2 right)^x = t] ([eqn: t>0])라 하면

주어진 부등식은 [eqn: t^2 -2t-8 <=0]

[eqn: (t-4)(t+2)<=0]에서

[eqn: 0<t<=4]이므로 [eqn: 0< left(1 over 2 right)^x <= left(1 over 2 right)^-2]이고

밑이 [eqn: 1]보다 작으므로 [eqn: x >= -2]

[3점][2007년 5월]

① [eqn: x <= -4]

② [eqn: x >= -4]

③ [eqn: x >= -2]

④  [eqn: -4 <= x <= 2]

⑤  [eqn: -4<=x <= -2]

부등식

[eqn: log_{{1_`} over {2}} (x-5)+log _{{1_`} over {2}} (x-6) ＞-1]

의 해가 [eqn: alpha `＜`x`＜` beta `]일 때, [eqn: alpha `+ beta `]의 값은?

③

진수 조건에서 [eqn: x-5 `＞`0,~x-6`＞`0]

[eqn: x`＞`6~]	…… ㉠

[eqn: log_{1 over 2} (x-5)(x-6)`＞`log_{1 over 2}``2]

[eqn: (x-5)(x-6)`＜`2]

[eqn: x^2 -11x+28`＜`0]

[eqn: (x-4)(x-7)`＜`0]

[eqn: 4`＜`x`＜`7]	…… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 6`＜`x`＜`7]

[eqn: THEREFORE ~ alpha `=`6,~ beta `=`7]

[eqn: THEREFORE ~ alpha+ beta `=`13]

[3점][2007년 6월]

① [eqn: 7]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 19]

로그부등식 [eqn: 2`log` _{{1} over {3}} `(x-4)>log` _{{1} over {3}} `(x-2)]의 해가 [eqn: a<x<b`]일 때, [eqn: ab]의 값은?

④

진수 [eqn: x-4>0], [eqn: x-2>0]이므로 [eqn: x>4`]

주어진 로그의 밑이 [eqn: 1`]보다 작으므로

[eqn: (x-4) ^{2} <x-2`],   [eqn: 3<`x<`6`]

따라서 만족하는 로그부등식의 해는

[eqn: 4<x<6`]

∴ [eqn: ab=24]

[[eqn: 3`]점][2007년 7월]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 30]

[eqn: x``]에 관한 방정식 [eqn: a^2x -a^x `=2`(a ＞ 0,``` a ``!= 1)]의 해가 [eqn: {1_`} OVER {7`}]이 되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

128

[eqn: a^x `=`t`]라 하면 주어진 방정식은

[eqn: t^{2}-t-2`=`0], [eqn: (t+1)(t-2)`=`0]

[eqn: THEREFORE ~t`=`2````( BECAUSE ~t`＞0)]

[eqn: a^{1 over 7}=`2]

[eqn: THEREFORE ~a`=`2^7 =`128]

[3점][2007년 9월]

부등식

[eqn: log_3 {(x -3)} + log_3 `` (x +1) ``＜``` 1+ log_3```` 4]

의 해가 [eqn: a`＜ x`＜b `]일 때, [eqn: ab`]의 값을 구하시오.

15

[eqn: log_3 (x-3)+log_3 (x+1)`＜`1+log_3 `4]

[eqn: log_3 (x-3)(x+1)`＜`log_3 `3+log_3 `4]

[eqn: (x-3)(x+1)`＜`12]

[eqn: x^2 -2x-15＜0], [eqn: (x+3)(x-5)＜0]

[eqn: THEREFORE ~-3＜x`＜5]

그런데, 진수 조건에서 [eqn: x`＞3]이어야 하므로

[eqn: 3`＜x`＜5]

[eqn: THEREFORE ~a`=`3], [eqn: b`=`5]

[eqn: THEREFORE ~ab`=`15]

[3점][2007년 9월]

[eqn: {1} over {2} <x<1], [eqn: y>1``]일 때, 부등식 [eqn: log ` _{x} (log ` _{y}` 2x)<0``]이 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: S``]라 하자. 이때, [eqn: 100S``]의 값을 구하시오.

25

[eqn: log _{x} (log _{y} 2x)<0], [eqn: log _{y} 2x>1] [eqn: left (because ``1 over2 <x<1` right )]
∴ [eqn: 2x>y] ([eqn: BECAUSE][eqn: y>1])

따라서 주어진 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내면 그림과 같다. (단, 경계선 제외)

이때, [eqn: S= 1over4]이므로 [eqn: 100S=25]이다.

[3점][2007년 10월]

[eqn: 2 sup alpha `=` 5 `]를 만족하는 [eqn: alpha `]에 대하여 [eqn: log sub2 ( log sub 5 x ) + log sub 2 alpha `=` 2 `]의 해를 [eqn: beta `]라고 할 때, [eqn: log sub 2 beta]의 값은?

⑤

[eqn: 2^ alpha = 5]이므로 [eqn: alpha `=` log sub 2 5]이다.

∴[eqn: log sub 2 ( log sub 5 x ) + log sub 2 ( log sub 2 5 ) `=` 2]

[eqn: log sub 2 ( log sub 5 x `․` log sub 2 5 ) `=` 2 `]

[eqn: log sub 5 x `․` log sub 2 5 `=` 2 sup 2 `=` 4]

[eqn: log sub 5 x `=` 4log sub 5 2 `=` log sub 5 2 sup 4 `]

∴[eqn: x `=` 2 sup 4 `]이므로 [eqn: log sub 2 beta `=` log sub 2 2 sup 4 `=` 4] 이다.

[3점][2007년 10월]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

두 집합

[eqn: A= LEFT { ``x``|``2 ^{`x(x-3a)} <2 ^{`a(x-3a)} RIGHT } ,```B= LEFT { `x``|``log ` _{3} (x ^{2} -2x+6)<2 RIGHT }]
에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B=A`]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

③

[eqn: A= LEFT {` x `|` 2^x(x-3a) <2^a(x-3a) RIGHT }][eqn: = LEFT { x `|`(x-a)(x-3a) <0 RIGHT }]

[eqn: `B= LEFT { x`|`log _{3} (x ^{2} -2x+6)<2 RIGHT }][eqn: =LEFT { x `|`-1<x<3 RIGHT }]

[eqn: A SMALLINTER B = A] 즉, [eqn: A SUBSET B]가 성립해야 하므로

(ⅰ) [eqn: a>0]일 때
[eqn: A = LEFT { x `| ` a<x<3a RIGHT } SUBSET LEFT { x` |`-1<x<3 RIGHT } = B``]에서
[eqn: 0<a<=1]

(ⅱ) [eqn: a=0]일 때 [eqn: A= LEFT { x`|`x ^{2} <0 RIGHT } =][eqn: phi SUBSET B] 이므로 [eqn: a=0]

(ⅲ) [eqn: a<0]일 때
[eqn: A= LEFT { x`|`3a<x<a RIGHT } SUBSET LEFT { x`|`-1<x<3 RIGHT } =B``]에서
[eqn: - 1over3 <=a<0]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: - 1over3 <=a<=1]이다.

[3점][2007년 10월]

① [eqn: -1 <= a <= 0]	② [eqn: -1 <= a <= {1} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {3} <= a <= 1]

④ [eqn: {1} over {3} <= a <= 3]	⑤ [eqn: 1 <= a <= 3]

[eqn: 0<a<1<b``]이고 [eqn: a`b<1``]인 두 실수 [eqn: a,``b``]에 대하여

라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: A=log` _{a} sqrt {b} `,```B=log` _{rootb} ``a]

⑤

ㄱ. [eqn: 0<a<1,`` b>1 ``]이므로 [eqn: log _a b <log_a 1=0]
∴ [eqn: A = 1over 2 `log _a b <0]  (참)

ㄴ. [eqn: 0<a<1,`` b< 1over a ``]이므로 [eqn: log _{a} b>log _{a} {1} over {a} =`-1]
∴ [eqn: A = 1over 2 `log _a b > - 1over2]
따라서 [eqn: - 1over 2 < A < 0 `]이므로 [eqn: B = 1over A < -2`]
∴ [eqn: A>B]  (참)

ㄷ. [eqn: A = 1over B `]이므로 [eqn: `AB`` =1`]
∴ [eqn: log _{ab} LEFT | `A`` RIGHT | +log _{ab} LEFT | `B`` RIGHT | =log _{ab} LEFT | `AB`` RIGHT | =log _{ab} 1=0](참)

[3점][2008년 3월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: A<0] ㄴ. [eqn: A>B`] ㄷ. [eqn: log _{`ab} ``|`A``|`+`log _{`ab} ``|`B``|=0`]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 정수 [eqn: a,```b`]가 [eqn: 2a+b=12`]를 만족할 때, [eqn: 4 ^{`a} +2 ^{`b} `]의 최솟값을 구하시오.

[eqn: 128``]

[eqn: 4 ^{a} >0,``2 ^{b} >0`]이므로

[eqn: 4 ^{a} +2 ^{b} >= 2 sqrt {4 ^{a} CDOT 2 ^{b}}][eqn: =2 sqrt {2 ^{2a+b}} =2 sqrt {2 ^{12}} =128]
(단, 등호는 [eqn: a=3,```b=6`]일 때 성립한다.)

[3점][2008년 3월]

방정식 [eqn: (log ` _{2}` x`-`6`)` ^{2} `+`log ` _{2} `x ` ^{2}` -`11`=`0``]의 해를 구하시오.

[eqn: 32``]

[eqn: log_2 x -6=t]로 치환하면 [eqn: log_2 x =t +6 `]이므로

[eqn: (log_2 x-6)^2 +log_2 x ^2 -11=t^2 +2(t+6)-11=0]

[eqn: t^2 +2t+1 = (t+1)^2 = 0]

∴ [eqn: t=-1]

이때 [eqn: log_2 x =5]이므로

[eqn: x=2^5 = 32]

[3점][2008년 3월]

로그방정식 [eqn: log _{``10} (y+5)=log _{``10} `x+log _{``10} (y+1)]을 만족하는 두 정수 [eqn: x,````y]의 순서쌍 [eqn: (x,````y)]의 개수는?

③

주어진 로그방정식을 정리하면

[eqn: log _{10} LEFT ( y+5 RIGHT ) =log _{10} x LEFT ( y+1 RIGHT )]이므로

[eqn: y+5=xy+x]이다.

[eqn: xy+x-y-5=0], [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( y+1 RIGHT ) =4]이므로

[eqn: x>0], [eqn: y>-1]인 정수 [eqn: x], [eqn: y]의 순서쌍은

[eqn: LEFT ( 2,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5,``0 RIGHT )]이다.

[3점][2008년 4월]

①  [eqn: 1]	②  [eqn: 2]	③  [eqn: 3]	④  [eqn: 4]	⑤  [eqn: 5]

로그방정식 [eqn: left(log_3 {x}_` over {`3`} right)^2 `-`20`log_9 `x`+`26=0`]의 두 근을  [eqn: alpha `,``` beta ``]라 할 때, [eqn: alphabeta]의 값은?

⑤

[eqn: LEFT ( log _{3} {x} over {3} RIGHT ) ^{2} -20log _{9 } x+26=0]

[eqn: LEFT ( log_3 x-1 RIGHT )^2 -10 `log_3 x+26=0]

[eqn: ( log_3 `x)^2 -12` log_3 `x+27=0]

[eqn: ( log_3 `x-3)(log_3`x-9)=0]

[eqn: log_3`x=3] 또는 [eqn: log_3`x=9]

[eqn: THEREFORE~x=3^3 ,```3^9]

따라서, 두 근의 곱은 [eqn: 3^3 TIMES3^9 =3^12]이다.

[3점][2008년 6월]

① [eqn: 3^8]	② [eqn: 3^9]	③ [eqn: 3^10]

④ [eqn: 3^11]	⑤ [eqn: 3^12]

부등식 [eqn: |`a-log_2 `` x` `|`≦1]을 만족시키는 [eqn: x`]의 최댓값과 최솟값의 차가 [eqn: 18]일 때, [eqn: 2^a `]의 값은?

②

[eqn: |a-log_2 x|≦1]	⇔   [eqn: -1≦a-log_2 x≦1]

[eqn: a+1 ≧log_2 x≧a-1]	⇔ [eqn: 2^a+1 ≧x≧2^a-1]

최댓값과 최솟값의 차는 [eqn: 2^a LEFT ( 2- { 1} over {2 } RIGHT )= { 3} over {2 }cdot 2^a =18]

[eqn: THEREFORE~2^a =18cdot { 2} over { 3}=12]

[3점][2008년 6월]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

연립방정식 [eqn: cases{log `_{2} ``x+log `_{3}`` y=2#(log `_{3} ``x)(log `_{4}`` y)=`- {3} over {2}} `]의 해가 [eqn: x=a`,```y=b`]일 때, [eqn: 3ab`]의 값은? (단, [eqn: a>1`])

②

[eqn: LEFT ( log _{3} x RIGHT ) LEFT ( log _{4} y RIGHT ) = {log _{2} x} over {log _{2} 3} {log _{3} y} over {log _{3} 4}], [eqn: log _{2} x`log _{3} y=-3]

[eqn: log _{2} x+log _{3} y=2]이므로 [eqn: log _{2} x]와 [eqn: log _{3} y]를 두 근으로 하는 [eqn: t]에 관한 이차방정식은 [eqn: t ^{2} -2t-3=0]

이를 풀면 [eqn: t=-1] 또는 [eqn: t=3]

[eqn: a>1]이므로 [eqn: log _{2} x=3``,``log _{3} y=-1]이고

[eqn: x=a=8`,``y=b= {1} over {3}]  [eqn: THEREFORE `3ab`=`8]

[[eqn: 3`]점][2008년 7월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

방정식 [eqn: 16 ^{x} -4 ^{x+3} +100=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `,` ``beta `]라 할 때, [eqn: 2 ^{alpha + beta } `]의 값을 구하시오.

10

방정식 [eqn: 16 ^{x} -4 ^{x+3} +100=0`]의 두 근을 [eqn: alpha `,` beta `]라 하고, [eqn: 4 ^{x} =t]([eqn: t>0])라 치환하면 [eqn: 4 ^{alpha } `,`4 ^{beta } `]은 방정식 [eqn: t ^{2} -4 ^{3} t+100=0`]의  두 근이다.

근과 계수와의 관계에 의해서 [eqn: 4 ^{alpha } ``4 ^{beta } =100``]이다.

[eqn: 4 ^{ alpha + beta } =100`]

[eqn: 2 ^{2( alpha + beta )} =100]

[eqn: 2 ^{alpha + beta } =10]

[[eqn: 3`]점][2008년 7월]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]가 [eqn: 3^a+b =4], [eqn: 2^a-b = 5`]를 만족할 때, [eqn: 3^{a^2 -b^2 }]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

[eqn: 3^a+b = 4]에서

[eqn: a+b = log_3 4] ⋯ ㉠

[eqn: 2^a-b = 5]에서

[eqn: a-b = log_2 5] ⋯ ㉡

㉠, ㉡의 각 변끼리 각각 곱하면

[eqn: (a+b)(a-b)=log_3 4 × log_2 5]

[eqn: = {log 4 } over {log3} × {log5 } over log2]

[eqn: =2 × log5 over log3 = 2 log_3 5]

[eqn: = log_3 5^2 = log_3 25]

∴ [eqn: a^2 - b^2 = log_3 25]

따라서 로그의 정의에 의해

[eqn: 3^{a^2 -b^2 } = 25]

[3점][2008년 9월]

연립방정식

□ □ □	[eqn: 3․2^x -`2․ 3^y = 6] [eqn: 2^x-2 - 3^y-1 = -1]

의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta`]라 할 때, [eqn: alpha^2 + beta^2]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

[eqn: 2^x =X ,```3^y =Y]라고 하면 주어진 식은

[eqn: cases{3X-2Y=6 # { 1} over {4 } X -{ 1} over {3 }Y=-1}] 이므로

두 식을 연립하여 [eqn: X,```Y]를 구하면

[eqn: X=8,````Y=9]

즉[eqn: 2^x =8 ,```3^y =9]이므로

[eqn: α =3 ,```β=2]

[eqn: ∴`````α^2 +`β^2 = 3^2 +2^2 =13]

[3점][2008년 9월]

로그부등식 [eqn: log _{{1} over {2}} (x-2)`>`-3`]의 해가 [eqn: alpha <x< beta `]일 때, [eqn: alpha + beta `]의 값을 구하시오.

12

[eqn: log` _{{1} over {2}} (x-2)>-3``]에서  [eqn: 0<x-2<8]

즉, [eqn: 2<x<10] 이므로 [eqn: alpha + beta =12]이다.

[3점][2008년 10월]

실수 [eqn: a``]가 [eqn: { 2^a +2^-a} over { 2^a -2^-a}=-2``]를 만족시킬 때, [eqn: 4^a +4^-a``]의 값은?

②

[eqn: { 2^a +2^-a} over { 2^a -2^-a}=-2``]에서 분모, 분자에 [eqn: 2^a`]를 곱하면

[eqn: { 2^2a +1} over { 2^2a -1}=-2] 정리하면 [eqn: 2^2a = 1 over 3]

[eqn: 4^a = 1 over 3]   [eqn: 4^-a = 3]

[eqn: THEREFORE`` ~ 4^a + 4^-a = 10 over 3]

[3점][2009년 6월]

① [eqn: 5 over 2]	② [eqn: 10 over 3]	③ [eqn: 17 over 4]	④ [eqn: 26 over 5]	⑤ [eqn: 37 over 6]

지수방정식 [eqn: 9^x - 3^x+2 +8 =0`]의 두 근을 [eqn: alpha,~ beta`]라 할 때,
[eqn: 3^{2 alpha} + 3^{2 beta} `]의 값을 구하시오.

[eqn: 65]

[eqn: 9^x - 3^x+2 +8 = 0]에서 [eqn: 3^x = t~(t>0)]이라 놓으면
[eqn: t^2 - 9t+8 = 0]
[eqn: (t-1)(t-8) = 0]
[eqn: therefore~t = 1 ,8] 이므로
[eqn: 3^x = 1,~8 = 3^alpha ,~3^beta]
따라서, [eqn: 3^2alpha + 3^2beta = 1^2 + 8^2 = 65]

[3점][2009년 6월]

부등식
[eqn: 1+ log_{ 1 over 2 } x^2 > log_{ 1 over 2 } (5x-8)]
의 해가 [eqn: alpha <x<beta`]일 때, [eqn: alpha beta`]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

[eqn: 1+ log_{1 over 2} x^2 > log_{1 over 2} (5x-8)]에서
(1) 진수조건에 의해　[eqn: x^2 >0], [eqn: 5x-8>0]
[eqn: therefore~x> 8 over 5 ~~cdots①]
(2) 준식을 정리하면　[eqn: log_{1 over 2} 1 over 2 x^2 > log_{1 over 2} (5x-8)]
따라서, [eqn: 1 over 2 x^2 < 5x-8]、[eqn: x^2 - `10x+16 <0]
[eqn: (x-2)(x-8)<0]　[eqn: therefore~2<x<8~~cdots ②]
①, ②에 의하여　[eqn: 2<x<8]
따라서, [eqn: alpha beta = 2 times 8 = 16]

[3점][2009년 6월]

[eqn: x,~y]에 대한 연립방정식 [eqn: cases{2 ^{x} -`3 ^{y-1} =5#`2 ^{x+1} -`3 ^{y} =-17}]을 만족하는 해를 [eqn: x=a,~y=b]라 하자. [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: a`b]의 값을 구하시오.

[eqn: 20``]

[eqn: LEFT (`` 1~-1``#``2~-3`` right)LEFT (`` 2^x``#``3^y-1`` right)`_=`LEFT (``~~5``#`-17`` right)]

[eqn: LEFT (`` 2^x``#``3^y-1`` right)`_=LEFT (`` 1~-1``#``2~-3`` right)^-1`LEFT (``~~5``#`-17`` right)`_=`LEFT (``32``#``27`` right)]

[eqn: a=5,~b=4]    ∴ [eqn: ab=20]

[3점][2009년 7월]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: k`․`2^x ≦ 4^x -2^x +4]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: k`]값의 범위는?

④

[eqn: f(x)=(2^x`)^2`-(k+1)2^x`+4>=0]

[eqn: g({t})={t}^2`-(k+1){t}`+4>=0] ([eqn: t=2^x`>0])

(1) [eqn: y=g({t})]의 대칭축이 양수 일 때,

[eqn: -1<k<=3]

(2) [eqn: y=g({t})]의 대칭축이 음수 일 때,

[eqn: k< -1]

(3) [eqn: k=-1]일 때, [eqn: g({t})={t}^2`+4>0]

(1), (2), (3)에서 [eqn: k<=3]

[3점][2009년 7월]

① [eqn: k <= -1]	② [eqn: -4≦k≦3]	③ [eqn: -1≦k≦3]	④ [eqn: k≦3]	⑤ [eqn: k≧0]

세 양수 [eqn: a,~b,~c`]가 [eqn: a ^{x} =b ^{2y} =c ^{3z} =7,~abc=49`]를 만족할 때, [eqn: {6} over {x} + {3} over {y} + {2} over {z} `]의 값은?

③

[출제의도] 지수 방정식 계산하기

[eqn: a^6xyz = 7^6yz], [eqn: b^6xyz = 7^3xz], [eqn: c^6xyz = 7^2xy]

[eqn: (abc)^6xyz = 7^12xyz = 7^{6yz+3xz+2xy}]

[eqn: 6 over x + 3 over y + 2 over z = 12]

[3점][2009년 7월]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

지수방정식 [eqn: 6-2^x = 2^3-x]의 모든 실근의 합을 구하시오.

3

[eqn: 2^x = t]라 가정하고 주어진 식의 양변에 [eqn: t]를 곱하면

[eqn: 6t -t^2 =8]

[eqn: therefore~t^2 -6t+8=(t-2)(t-4)=0]이므로

[eqn: t=2]또는 [eqn: 4]이다.

[eqn: therefore ~2^x =2, ~~2^x =4]이어야 한다.

따라서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]이므로 모든 실근의 합은 [eqn: 3]이다.

[3점][2009년 9월]

로그부등식 [eqn: log_3 x + log_3 (12-x)<=3]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 합을 구하시오.

[eqn: 36]

[eqn: log _3 (12x-x^2 ) <= log _3 27]

[eqn: {cases{12x-x ^{2`} <= 27& cdots①#12x-x^2 >0&cdots②}}]

①에 의해서 [eqn: x^2 -12x+27>=0]이므로 [eqn: x<=3]또는 [eqn: x>=9]

②에 의해서 [eqn: x^2 -12x<0 <->][eqn: 0<x<12]

[eqn: therefore] ①, ②를 동시에 만족하는 정수는 [eqn: 1,2,3,9, 10, 11]이므로 모든 정수의 합은 [eqn: 36]이다.

[3점][2009년 9월]

부등식 [eqn: a` ^{x-1} <a` ^{2x+1}]의 해가 [eqn: x< - 2`]일 때, 부등식

[eqn: log` _{`a} (`x-2)`<log` _{`a} (`4-x)`]

의 해는? (단, 상수 [eqn: a`]는 [eqn: 1]이 아닌 양수이다.)

②

[eqn: a^{`x-1} <a^{`2x+1 } `]의 해가 [eqn: x< -2`]이려면

[eqn: x< -2``~LRARROW``~x-1>2`x+1]

∴ [eqn: 0<a<1]

[eqn: log _{`a} (x-2)`<log _{`a} (4-x)`]에서

[eqn: x-2 >4-x]  ∴ [eqn: x>3] … ㉠

진수는 양수이어야 하므로 [eqn: x-2>0`,``4-x>0]

∴ [eqn: 2<x<4] … ㉡

㉠, ㉡에서 주어진 부등식의 해는 [eqn: 3<x<4 `]이다.

[3점][2010년 3월]

① [eqn: 2<x<3]	② [eqn: 3<x<4`]	③ [eqn: 2<x<4]

④ [eqn: x<3]	⑤ [eqn: x>3]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여

[eqn: cases{```log _{`2} `ab`+`log _{`2} `bc`=5#```log _{`2} `bc`+`log _{`2} `ca`=8#```log _{`2} `ca`+`log _{`2} `ab`=7}]

이 성립할 때, [eqn: a+b+c`]의 값을 구하시오.

13

주어진 조건에서 각 변끼리 더하면

[eqn: 2 LEFT ( log` _{2} `ab`+`log` _{2} `bc`+`log` _{2} `ca` RIGHT ) =20]

[eqn: log` _{2} `ab`+`log` _{2} `bc`+`log` _{2} `ca` =10] … ㉠

따라서 [eqn: log` _{2} `ab`=2], [eqn: log` _{2} `bc`=3], [eqn: log` _{2} `ca`=`5]이므로

[eqn: ab=4], [eqn: bc=8], [eqn: ca=32] … ㉡

㉠에서 [eqn: log` _{2} `(abc) ^{2} `=10], [eqn: log` _{2} `abc`=5]

∴ [eqn: abc=32] … ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: a=4], [eqn: b=1], [eqn: c=8]이므로 [eqn: a+b+c=13]

[3점][2010년 3월]

서로 다른 세 실수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z`]가 [eqn: 2` ^{`x} =3` ^{`y} =6` ^{`z}`]을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: 2 ^{`x} ``․``3 ^{`y} =6 ^{`z} ``․``6 ^{`z} =36 ^{`z}] (참)

ㄴ. [eqn: 2 ^{`z} ``․``3 ^{`z-y} = {2 ^{`z} ``․``3 ^{`z}} over {3 ^{`y}} = {6 ^{`z}} over {3 ^{`y}} = 1] (참)

ㄷ. [eqn: 2 ^{`x} =3 ^{`y} =3 ^{`1-x}]에서 [eqn: 6 ^{`x} =3], [eqn: x=log _{`6} `3]

[eqn: 6 ^{`z} =2 ^{`x} =2 ^{`log _{`6} `3}]에서 [eqn: z=log _{`6} `2 ^{`log _{`6} `3} =log _{`6} `2``․``log _{`6} `3] (참)

[3점][2010년 3월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: 2`^{`x} ``․```3`^{`y} =36`^{`z}] ㄴ. [eqn: 2` ^{`z} ``․```3` ^{`z-y} =1] ㄷ. [eqn: x+y=1]이면 [eqn: z=log` _{`6} `2``․``log` _{`6} `3]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

지수방정식 [eqn: {16 ^{x}} over {2} =2 ^{x+3}]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은?

④

[eqn: {16^x}over2`=`2^x+3`] [eqn: LRARROW`] [eqn: 2^4x-1`=`2^x+3`] [eqn: LRARROW`] [eqn: 4x-1=x+3`]

[eqn: therefore~x=`4over3`]

[3점][2010년 6월]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

로그부등식 [eqn: log _{`2} ` LEFT ( x ^{2} +x-2 RIGHT ) <log _{`2} ` LEFT ( -2x+2 RIGHT )] 의 해가 [eqn: alpha <x< beta `]일 때, [eqn: alpha beta]의 값은?

④

진수의 조건에 의해 [eqn: x^2`+x-2>0`], [eqn: -2x+2>0`]

[eqn: x^2`+x-2>0`] [eqn: LRARROW`] [eqn: x>1`~또는~x<`-2`]

[eqn: -2x+2>0`] [eqn: LRARROW`] [eqn: x<1`]

두 조건을 모두 만족시키는 범위는 [eqn: x<`-2`~~`cdots~(1)`]

[eqn: log`_2`(x^2`+x-2)`<`log`_2`(-2x+2)`] [eqn: LRARROW`] [eqn: x^2`+x-2`<`-2x+2`] [eqn: LRARROW`] [eqn: x^2`+3x-4`<0`]

부등식을 풀면 [eqn: -4<x`<`1`~~`cdots~(2)`]

(1), (2)를 동시에 만족하는 범위는 [eqn: -4`<`x<`-2`]이다.

[eqn: alpha=`-4,~beta`=`-2`]이므로 [eqn: alpha`beta`=8`]

[3점][2010년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

로그부등식 [eqn: LEFT ( 1+log` _{3} x RIGHT ) LEFT ( a-log` _{3} x RIGHT ) >0]의 해가 [eqn: {1} over {3} <x<9]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

[eqn: {1} over {3} <x<9]에서

[eqn: log _{3} `` {1} over {3} <log _{3} ``x<log _{3} ``9]

[eqn: -1<log _{3} ``x<2][eqn: cdots㉠]

[eqn: (1+log _{3} ``x)(a-log _{3} ``x)>0]에서

[eqn: (log _{3} ``x+1)(log _{3} ``x-a)<0]

이 부등식의 해가 ㉠이므로 [eqn: a=2`]

[3점][2010년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

지수방정식 [eqn: LEFT ( 2 ^{x} -8 RIGHT ) LEFT ( 3 ^{2x} -9 RIGHT ) =0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alpha ^{2} +beta ^{2}]의 값을 구하시오.

10

[eqn: 2^x - 8 =0] 에서 [eqn: x=3]

[eqn: 3^2x - 9 = 9^x - 9=0] 에서 [eqn: x=1]

[eqn: therefore] [eqn: alpha^2 + beta^2 = 3^2 + 1^2 = 10]

[3점][2010년 9월]

[eqn: 3` ^{x} +3` ^{1-x} ``=`10``]일 때, [eqn: 9 ^{``x} `+`9 ^{`1-`x} ``]의 값은?

④

[eqn: 3 ^{x} `=`t``]라 하면 [eqn: t`>`0``]이고

[eqn: 3 ^{1`-`x} `=` {3} over {3 ^{x}} `=` {3} over {t} `], [eqn: 9^{x}`=`3^{2x}`=`t^{2}`], [eqn: 9 ^{1-x} `=` {9} over {9 ^{x}} `=` {9} over {t ^{2}} `]

∴ [eqn: 9 ^{x} `+`9 ^{1-x} `=`t ^{2} `+` {9} over {t ^{2}} `=` LEFT ( t`+` {3} over {t} RIGHT ) ^{2} `-`2`․`t`․` {3} over {t} `]

[eqn: =`10 ^{2} `-`6`=`94``]

[참고]

산술평균과 기하평균 사이의 관계에 의해

모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 3 ^{x} `+`3 ^{1-x} ` GEQ `2` sqrt {3 ^{x`+`(1`-`x)}} `=`2` sqrt {3} `]

[3점][2011년 3월]

① [eqn: 91`]	② [eqn: 92``]	③ [eqn: 93``]	④ [eqn: 94``]	⑤ [eqn: 95``]

[eqn: 1``]보다 큰 세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]에 대하여

[eqn: log` _{a`} 2=log` _{b} `5=log` _{c} `10=log` _{abc} `x]

가 성립할 때, 실수 [eqn: x``]의 값은?

⑤

[eqn: log`` _{a`} 2=log` _{b} `5=log` _{c`} 10=log` _{abc`} `x= {1} over {k}] 이라고 하면,

[eqn: log` _{2`} a=log` _{5`} b=log` _{10`} c=log` _{x`} abc=k] 이다. 따라서,

[eqn: a=2 ^{k}], [eqn: b=5 ^{k}], [eqn: c=10 ^{k}] 이므로 [eqn: ab=c] 이다.

∴ [eqn: k=log` _{x`} `abc=log` _{x`} c ^{2} `]

이때, [eqn: k=log` _{x} `c ^{2} `=log` _{x`} 10 ^{2k} =k`log` _{x} 100] 이므로

[eqn: x=100]

[다른 풀이]

[eqn: {log ``2}over{log``a}={log`` 5}over{log`` b} = {log``10}over{log``c}={log`` 2 + log``5 + log`` 10}over{log``a + log`` b + log``c }]

[eqn: ={log`` 100}over{log`` abc}=log``_{abc}100]

∴ [eqn: x=100]

[3점][2011년 3월]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: sqrt {10}]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 10 sqrt {10}]	⑤ [eqn: 100]

연립부등식

[eqn: x GEQ 0`],  [eqn: y GEQ 0`],  [eqn: 2 ^{`y} LEQ 4 ^{`2-x} `],  [eqn: LEFT ( {1} over {4} ` RIGHT ) ^{`y} GEQ LEFT ( ` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{`5-x} `]

을 만족시키는 좌표평면 위의 점 [eqn: left (`x,~y `right)`]에 대하여 [eqn: x+y`]의 최댓값은?

⑤

[eqn: x GEQ 0`], [eqn: `y GEQ 0`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: 2 ^{y} LEQ 4 ^{2-x}]에서 [eqn: y LEQ -2x+4] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ` LEFT ( {1} over {4} ` RIGHT ) ^{y} = LEFT ( ` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{2y} GEQ LEFT ( ` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{5-x} `]에서

[eqn: 2y LEQ -x+5] [eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡], [eqn: ㉢]을 만족시키는 점 [eqn: (`x,```y`)]를 좌표평면 위에 나타내면 다음과 같다.

[eqn: rm P(1,`2)]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm 4]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm {5} over {2}]

[eqn: rm 5]

[eqn: y=-x+k]

이때, [eqn: x+y=k]라 하면

두 직선 [eqn: y=-2x+4], [eqn: y=` - 1 over2 x+ 5over2]의 교점 [eqn: rm P(`1,```2`)]에서 [eqn: x+y]의 값이 최대이다. 따라서 [eqn: x+y]의 최댓값은 [eqn: 3]

[3점][2011년 4월]

①  [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③  [eqn: 2]

④ [eqn: 5 over 2]	⑤  [eqn: 3]

지수방정식 [eqn: 2 ^{`x} -6+2 ^{`3-x} =0`]의 두 근을 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]라 할 때, [eqn: alpha+2`beta`]의 값은? (단, [eqn: alpha < beta`])

①

[eqn: 2 ^{x} =t(t>0)]라 하면

[eqn: 2 ^{`x} -6+2 ^{`3-x}][eqn: = t -6 + 8 over t =0]에서
[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=4]이므로 [eqn: alpha =1], [eqn: beta =2][eqn: (BECAUSE alpha < beta)]

따라서 [eqn: alpha +2 beta =5]

[3점][2011년 4월]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

방정식 [eqn: 2^x +2^5-x =33``]의 모든 실근의 합은?

②

[eqn: 2^x +2^5-x =33]에서 양변에 [eqn: 2^x]을 곱하고 식을   정리하면

[eqn: (2^x )^2 -33 BULLET 2^x +32 =0]

[eqn: (2^x -1)(2^x -32) =0]

따라서 [eqn: 2^x =1] 또는 [eqn: 2^x =32] 이므로

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=5] 이다.

따라서 모든 실근의 합은 [eqn: 5]이다.

[3점][2011년 9월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

지수방정식 [eqn: 5 ` ^{2x} -5 ` ^{x+1} +k=0`]이 서로 다른 두 개의 양의 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수는?

②

[eqn: 5 ^{x} =t`]로 치환하면 주어진 방정식은

[eqn: t ^{2} -5t+k=0`] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: x>0`]이면 [eqn: t>1`]이므로 주어진 방정식이 서로 다른 두 양의 실근을 가지려면 ㉠이 [eqn: 1]보다 큰 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

[eqn: f(t)=t ^{2} -5t+k`]라 놓으면 [eqn: y=f(t)`]의 그래프는 다음과 같아야 한다.

[eqn: f(1)=1-5+k>0`] [eqn: cdots] ㉡

(판별식)[eqn: =][eqn: 25-4k>0`] [eqn: cdots] ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: 4<k< {25} over {4} `], [eqn: k=5,``6]

따라서 구하는 정수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

[3점][2012년 3월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[eqn: 80 ` ^{x} =2`], [eqn: LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{y} =4`], [eqn: a` ^{z} =8`]을 만족시키는 세 실수 [eqn: x,``y,``z`]에 대하여 [eqn: {1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z} =1`]이 성립할 때, 양수 [eqn: a`]의 값은?

②

[eqn: 2 ^{{1} over {x}} =80`] … ㉠, [eqn: 2 ^{{2} over {y}} = {1} over {10} `] … ㉡, [eqn: 2 ^{{1} over {z}} =a ^{{1} over {3}} `] … ㉢

㉠[eqn: ×]㉡[eqn: ÷]㉢ 하면

[eqn: 2 ^{{1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z}} = {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} `]

[eqn: {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} =2`], [eqn: root {3} of {a}` =`4`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4 ^{3} =64`]
[다른풀이]

[eqn: {1} over {x} =log _{`2} ``80,`] [eqn: {1} over {y} =log _{`4} `` {1} over {10} ,`] [eqn: {1} over {z} =log _{8} ``a`]

[eqn: {1} over {x} + {2} over {y} - {1} over {z} =log _{`2} `` {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} =1`]

[eqn: 2 ^{1} = {80 TIMES {1} over {10}} over {root {3} of {a}} `], [eqn: root {3} of {a}` =`4`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4 ^{3} =2 ^{6} =64`]

[3점][2012년 3월]

① [eqn: 32]	② [eqn: 64`]	③ [eqn: 96]	④ [eqn: 128`]	⑤ [eqn: 160]

[eqn: a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} =10`]을 만족시키는 양수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: a+a ^{-1}`]의 값을 구하시오.

98

[eqn: LEFT ( a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} RIGHT ) ^{2} =a+2+a ^{-1}]이므로

[eqn: a+a ^{-1} =][eqn: LEFT ( a ^{{1} over {2}} +a ^{- {1} over {2}} RIGHT ) ^{2} -2]

[eqn: =100-2=98]

[3점][2012년 3월]

지수부등식 [eqn: 4 ^{-x ^{2}} > LEFT ( ` {1} over {2} ` RIGHT ) ^{`4x}]의 해가 [eqn: alpha <x< beta `]일 때, [eqn: alpha + beta `]의 값은?

①

[eqn: 2 ^{-2x ^{2}} >2 ^{-4x}], [eqn: 2x ^{2} <4x]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 0<x<2]

따라서 [eqn: alpha =0], [eqn: beta =2]이므로 [eqn: alpha + beta =2]

[3점][2012년 4월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

로그부등식 [eqn: log _{`2} `x+log _{`2} ` LEFT ( x-4 RIGHT ) LEQ 5]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

26

[eqn: x>0], [eqn: `x>4]이므로 [eqn: x>4]            [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: log _{2} `x LEFT ( x-4 RIGHT ) LEQ log _{2} `32]

[eqn: x ^{2} -4x-32 LEQ 0]

[eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-8 RIGHT ) LEQ 0]에서 [eqn: -4 LEQ x LEQ 8]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: 4<x LEQ 8]

[eqn: x]는 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]이므로

[eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 26]

[3점][2012년 4월]

두 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 연립방정식
[eqn: {cases{`3 ^{`x} =`9 ^{`y}&#` LEFT ( log _{`2} `8x RIGHT ) LEFT ( log` _{2} `4y RIGHT ) `=`-1 ^{{} ^{{} ^{}}}&}}]
의 해를 [eqn: x=alpha], [eqn: y= beta `]라 할 때, [eqn: {1} over {alpha ` beta }]의 값을 구하시오.

32

[eqn: 3 ^{x} =3 ^{2y}]에서
[eqn: x=2y]                       [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: LEFT ( log _{2} `8x RIGHT ) LEFT ( log _{2} `4y RIGHT ) =`-1]에서

[eqn: LEFT ( 3+log _{2} `x RIGHT ) LEFT ( 2+log _{2} `y RIGHT ) =`-1]   [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]을 [eqn: ㉡]에 대입하여 정리하면

[eqn: (log _{2} `y`+3) ^{2} `=0]이므로 [eqn: y= {1} over {8}], [eqn: x= {1} over {4}]이다.

따라서 [eqn: alpha = {1} over {4}], [eqn: beta = {1} over {8}]이므로 [eqn: {1} over {alpha beta } =32]

[3점][2012년 4월]

로그부등식
[eqn: log_2``(7-x)+log_2 ``(7+x)>4``]
를 만족시키는 정수 [eqn: x``]의 개수를 구하시오.

11

진수 조건에서 [eqn: -7<x<7]
부등식을 풀면 [eqn: (7-x)(7+x)>16], [eqn: x^2 <33]
[eqn: -root33 <x<root33]
따라서 [eqn: -root33 <x<root33]인 [eqn: x``]는 [eqn: 11``]개다.

[3점][2012년 6월]

로그부등식 [eqn: log _{` 2} ``(x-1)` LEQ 3 `]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x `]의 개수는?

③

[출제의도] 로그부등식의 성질을 이해한다.

로그의 정의에 의하여 [eqn: x-1>0`]이고, 로그부등식의 밑을 같게 하면 [eqn: x-1le 8] ∴ [eqn: 1<x le 9]

따라서 구하는 정수의 개수는 [eqn: 8`]이다.

[3점][2012년 10월]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 5 `]	③ [eqn: 8`]	④ [eqn: 11 `]	⑤ [eqn: 14`]

이차방정식 [eqn: x^{`2} -4x+2=0`]의 두 근을 [eqn: log`{a}], [eqn: log`{b}`]라 할 때, [eqn: log`_{a}`b + log`_{b}`a `]의 값은?

④

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 로그의 계산 문제를 해결한다.

[eqn: log _{a} b+log _{b} a`][eqn: = {log` _{} b} over {log` _{} a} + {log` _{} a} over {log` _{} b} `][eqn: = {(log`a`+log` _{} b) ^{2} -2log`a CDOT log`b} over {log` _{} a CDOT log`b} `]

[eqn: = {16-2 TIMES 2} over {2} `][eqn: =6`]

[3점][2012년 10월]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

로그부등식 [eqn: log_root2 ``|`x`|``<5``]를 만족시키는 정수 [eqn: x``]의 개수는?

③

[eqn: 0<`|`x`|`<4root2], [eqn: -4root2 <x<4root2 ```(x ne 0)]   [eqn: therefore```][eqn: 10]

[3점][2012년 5월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: 4`]의 세제곱근 중 실수인 것을 [eqn: a`]라 할 때, 지수방정식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x+1} =`a`]의 해는?

①

[출제의도] 거듭제곱근의 뜻을 이해하여 지수방정식의 해를 구한다.

[eqn: 4]의 세제곱근 중 실수인 것은 [eqn: root {3} of {4}]이므로

[eqn: a= root {3} of {4} =2 ^{{2} over {3}}]

따라서 주어진 방정식은

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x+1} =2 ^{{2} over {3}}]

[eqn: 2 ^{-(x+1)} =2 ^{{2} over {3}}]

[eqn: -x-1= {2} over {3}]

∴ [eqn: x= - 5 over 3]

[3점][2013년 3월]

① [eqn: - {5} over {3}]	② [eqn: - {4} over {3}]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: - {2} over {3}]	⑤ [eqn: - {1} over {3}]

지수방정식 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1} = root3 of 4 `]의 해는?

③

[출제의도] 지수의 성질을 이해하고, 지수방정식의 해를 구한다.

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1} = root {3} of {4}]

이때 [eqn: root {3} of {4} =4 ^{{1} over {3}} =2 ^{{2} over {3}} `]이므로 주어진 방정식을 고쳐 쓰면 다음과 같다.

[eqn: 2 ^{-(x-1)} =2 ^{{2} over {3}} `]

지수함수는 일대일함수이므로

[eqn: -(x-1)= {2} over {3} `]

∴ [eqn: x= {1} over {3} `]

[3점][2013년 3월]

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: 4over3]

방정식 [eqn: log_{`2}`(2x-5) = 2 `log_{`2}`3 `]의 해를 구하시오.

7

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그방정식의 해를 구한다.

[eqn: log _{2} (2x-5)=2log _{2} 3`]

[eqn: log _{2} (2x-5)=log _{2} 3 ^{2} =log _{2} 9`]

로그함수는 일대일함수이므로 [eqn: 2x-5=9`]

∴ [eqn: x=7`]

[3점][2013년 3월]

지수부등식 [eqn: LEFT ( ` {1} over {3} ` RIGHT ) ^{x ^{2} +1} > LEFT ( ` {1} over {9} ` RIGHT ) ^{x+2}]의 해가 [eqn: alpha<x<beta]일 때, [eqn: beta-alpha]의 값은?

①

[출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x ^{2} +1} > LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2(x+2)}]에서 [eqn: x^2 +1< 2(x+2)]

[eqn: x^2 -2x -3<0], [eqn: (x+1)(x-3) <0]

[eqn: therefore] [eqn: -1<x<3]

따라서 [eqn: alpha=`-1], [eqn: beta=3]이므로 [eqn: beta- alpha=4]

[3점][2013년 4월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

로그부등식 [eqn: 2`log _{`2} `(x-4) LEQ log _{`2} `(x-1)+2]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 개수는?

③

[출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: x>4], [eqn: x>1]이므로 [eqn: x>4] [eqn: CDOTSCDOTS㉠]

[eqn: log _{2} (x-4) ^{2} LEQ log _{2} `4(x-1)]

[eqn: (x-4) ^{2} LEQ 4 LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: x^2 -12x+20 LEQ0], [eqn: (x-2)(x-10) LEQ0]

[eqn: 2LEQx LEQ10] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: 4<x LEQ10]

따라서 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10]이므로 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 6]

[3점][2013년 4월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

로그부등식
[eqn: log _{`2} ` LEFT ( x-1 RIGHT ) `<2`log _{`4} ` LEFT ( 7-x RIGHT )]
의 해가 [eqn: alpha `＜`x`＜` beta] 일 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ^{`2}]의 값을 구하시오.

17

[출제의도] 로그부등식의 정의 이해하기

[eqn: log` _{2} ` LEFT ( x-1 RIGHT ) ``<`log` _{2} LEFT ( 7-x RIGHT )]에서

로그의 정의에 의하여 [eqn: 1<x<7] [eqn: CDOTS cdots㉠]

[eqn: x-1<7-x]에서 [eqn: x<4] [eqn: CDOTS cdots㉡]

[eqn: ㉠], ㉡에서 [eqn: 1<x<4]이므로 [eqn: alpha=1], [eqn: beta =4]
따라서 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{`2} =17]

[3점][2013년 4월]

방정식 [eqn: left(log_3``x right)^2 -6`log_3 ``rootx +2=0``]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta``]라 할 때, [eqn: alpha beta``]의 값을 구하시오.

[eqn: 27]

문제에서 주어진 등식이 [eqn: (log _{3} x) ^{2} -6log _{3} sqrt {x} +2=0]이므로

먼저 진수 조건을 확인하면 [eqn: x>0]...①

공통부분인 [eqn: log _{3} x=t]로 치환하면

[eqn: t^2 -3t+2=0]의 두 근은 [eqn: log_{3}alpha, log_{3} beta]이므로

근과 계수와의 관계를 이용하면

[eqn: cases{log_{3}alpha+ log_{3} beta=3#log_{3}alpha cdot log_{3} beta=2}]...②

[eqn: THEREFORE ` alpha beta `=`27]

[3점][2013년 9월]

부등식
[eqn: 1<log _{`4}` {x ^{2} -1} over {2} <3]
을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

④

[출제의도] 로그부등식을 이해하고 그 해를 구한다.

[eqn: 1<log _{`4} ` {x ^{2} -1} over {2} <3`]에서 [eqn: 4< {x ^{2} -1} over {2} <64`]

∴ [eqn: 9<x ^{2} <129`]

따라서 [eqn: x=`±4`], [eqn: ±5], [eqn: ±6], [eqn: ±7], [eqn: ±8], [eqn: ±9], [eqn: ±10], [eqn: ±11] 이므로 구하는 개수는 [eqn: 16]이다.

[3점][2013년 10월]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 14`]	④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 18`]

부등식 [eqn: left ( 2^x -{1 over 4}right)( 2^x -1)<0`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

①

[출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 지수부등식의 해를 구한다.

[eqn: left ( 2^{`x} -{1 over 4}right)( 2^{`x} -1)<0`]

[eqn: 1 over 4 <`` 2 ^{`x} < 1]

[eqn: 2`^-2 <``2^{`x} < 2`^0]

∴ [eqn: -2<`x < 0`]

따라서 부등식 [eqn: left ( 2`^x -{1 over 4}right)( 2`^x -1)<0`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 1`]이다.

[3점][2014년 3월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

방정식 [eqn: log _{2} `x=1+log _{2} ` LEFT ( x-6 RIGHT ) `]을 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 값을 구하시오.

12

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그방정식의 해를 구한다.

[eqn: log _{2} `x=1+log _{2} ` LEFT ( x-6 RIGHT ) `]

[eqn: log _{2} `x=log _{2} `2 LEFT ( x-6 RIGHT )]

[eqn: x=2 LEFT ( x-6 RIGHT )]

∴ [eqn: x=12`]

[3점][2014년 3월]

방정식 [eqn: 9 ` ^{x} =27` ^{2x-4} `]을 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 값은?

①

[출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 지수방정식의 해를 구한다.

[eqn: 9 ^{x} =27 ^{2x-4}]에서

[eqn: 3 ^{2x} =3 ^{3 LEFT ( 2x-4 RIGHT )}]

지수함수는 일대일함수이므로

[eqn: 2x=3 LEFT ( 2x-4 RIGHT )]

∴ [eqn: x=3]

[3점][2014년 3월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -x-4`]에 대하여 부등식
[eqn: 4 ^{f(x)} -2 ^{1+f(x)} <8]
을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는?

④

[출제의도] 지수부등식의 해를 구한다.

[eqn: 4 ^{f(x)} -2 ^{1+f(x)} <8]에서

[eqn: 2 ^{2f LEFT ( x RIGHT )} -2`times`2 ^{f LEFT ( x RIGHT )} -8<0]

[eqn: (2 ^{f(x)} +2)(2 ^{f(x)} -4)<0]

[eqn: -2<2 ^{f(x)} <4]

[eqn: 2 ^{f(x)} >0`]이므로 [eqn: 0<2 ^{f LEFT ( x RIGHT )} <2 ^{2}]

∴ [eqn: f(x)<2]

[eqn: x ^{2} -x-4<2`]에서

[eqn: (x+2)(x-3)<0]

∴ [eqn: -2<x<3`]

부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 4`]이다.

[3점][2014년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

로그부등식
[eqn: log _{`3} ` LEFT ( x+1 RIGHT ) `+`log _{`3} ` LEFT ( x-5 RIGHT ) `<`3]
을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는?

①

[출제의도] 로그부등식 이해하기

로그의 진수는 양수이므로 [eqn: x+1>0], [eqn: x-5>0]

[eqn: therefore] [eqn: x>5] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: log _{`3} ` LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) `<log _{`3} `27]

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) `<27]

[eqn: x ^{2} -4x-32<0]

[eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-8 RIGHT ) `<0]

[eqn: therefore] [eqn: -4<x<8] [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 5<x<8]

[eqn: 5<x<8]을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: 6], [eqn: 7]

따라서 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 2]

[3점][2014년 4월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

지수방정식 [eqn: 9 ^{x} -11 TIMES 3 ^{x} +28=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, [eqn: 9 ^{alpha } +9 ^{`beta }]의 값은?

④

[출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: 3 ^{x} =t][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]라 하면 주어진 방정식은

[eqn: t ^{2} -11t+28=0]

[eqn: LEFT ( t-4 RIGHT ) LEFT ( t-7 RIGHT ) `=0]

[eqn: t=4] 또는 [eqn: t=7]

[eqn: 3 ^{alpha } =4], [eqn: 3 ^{beta } =7]이라 하면

[eqn: 9 ^{alpha } +9 ^{beta } `= LEFT ( 3 ^{alpha } RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3 ^{beta } RIGHT ) ^{2} =16+49=65]

따라서 [eqn: 9 ^{alpha } +9 ^{beta } `=65]

[3점][2014년 4월]

① [eqn: 59]	② [eqn: 61]	③ [eqn: 63]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 67]

[eqn: x]에 대한 부등식
[eqn: 2 ^{2x+1} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) 2 ^{x} +n LEQ 0]
을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 7]일 때, 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 구하시오.

63

[출제의도] 지수부등식을 활용하여 추론하기

[eqn: 2 LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 2n+1 RIGHT ) 2 ^{x} +n LEQ 0]

[eqn: LEFT ( 2times2 ^{x} -1 RIGHT ) LEFT ( 2 ^{x} -n RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: 2 ^{-1} LEQ 2 ^{x} LEQ n]

부등식을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 7]이므로
정수 [eqn: x=`-1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]

[eqn: therefore] [eqn: 2 ^{5} LEQ n<2 ^{6}]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 63]

[3점][2014년 4월]

로그방정식 [eqn: log` _{8} `x-log _{``8} `(x-7)= {1} over {3}] 의 해를 구하시오

14

[eqn: log_{8}{x}-log_{8}{left(x-7right)}={1}over{3}]

[eqn: log_{8}{{x}over{x-7}}={1}over{3}]

[eqn: {x}over{x-7}=2]

[eqn: x=2x-14]

[eqn: therefore `x=14]

[3점][2014년 9월]

지수방정식 [eqn: 4^x + 2^x+3 -128 = 0]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

3

[출제의도] 지수방정식 이해하기

[eqn: 2^x = t] ([eqn: t>0])라 하면
[eqn: t ^{2} +8t-128=0]
[eqn: (t-8)(t+16)=0]
[eqn: therefore] [eqn: t=8]
따라서 [eqn: x=3]

[3점][2015년 4월]

방정식 [eqn: LEFT ( log _{`3} `x RIGHT ) ^{2} +4`log _{`9} `x-3=0]의 모든 실근의 곱은?

①

[출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: log _{3} x=t]라 하면

[eqn: log _{9} `x= {1} over {2} `log _{`3} `x= {1} over {2} t]이므로

[eqn: t ^{2} +2t-3=0] [eqn: THEREFORE ``t=-3] 또는 [eqn: t=1]

[eqn: log _{3} `x=-3] 또는 [eqn: log _{`3`} x=1]

[eqn: therefore``x= {1} over {27}] 또는 [eqn: x=3]

따라서 모든 실근의 곱은 [eqn: {1} over {9}]

[3점][2015년 4월]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {7} over {9}]	⑤ [eqn: 1]

지수부등식 [eqn: 4 ^{x} -10`‧`2 ^{x} +16 LEQ 0`]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은?

③

[출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: 2 ^{x} =t] [eqn: (t>0)]이라 하면

[eqn: t ^{2} -10t+16 LEQ 0], [eqn: 2 LEQ t LEQ 8]

[eqn: 2 LEQ 2 ^{x} LEQ 2 ^{3}], [eqn: 1 LEQ x LEQ 3]

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 6]

[3점][2015년 7월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

로그방정식 [eqn: log_{2}{left(4+x right)}+log_{2}{left(4-x right)}=3] 을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱은?

②

주어진 식의 진수 조건에 의해

[eqn: -4<x<4]이다.

[eqn: log_{2} {left(4+x right)} + log_{2} {left(4-x right)} = 3]

[eqn: LRARROW log_{2} {left(16-x^{2} right)} = log_{2} {8}]

따라서 [eqn: x^{2}=8]

[eqn: x=+- 2root{2}]이고

두 근 모두 진수조건의 범위 안에 들어가므로

따라서, 두 근의 곱은 [eqn: -8``]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]	④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

[해설] 미적분2-(1)지수,로그-(b)방,부등식