수 리 영 역

함수

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수 리 영 역

함수

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 지수, 로그 (함수)

성명			수험번호

16

함수 [eqn: f``(x)=log_9 (5-x)+log_3 (x+4)]의 최대값은?

④

[eqn: f``(x) = log_9 (5-x) + log _3 (x+4 )]

[eqn: = 1 over 2 log_3 (5-x) + log_3 (x+4 )]

[eqn: = 1 over 2 left{ log_3 (5-x`) + 2 ` log_3 (x+4 `) right}]

[eqn: = 1 over 2 log_3 (5-x)(x+4)^2]

진수 조건에서 [eqn: 5-x>0,```x+4>0] [eqn: RARROW ```-4<x<5`]

[eqn: g``(x) = (5-x)(x+4)^2 `]이라 놓으면

[eqn: g``'(x) = -(x+4)^2 + (5-x)․ 2 (x+4)][eqn: = -3 (x-2)(x-4)]

[eqn: -4 <`x `<5]에서 [eqn: g``'(x) =0]인 [eqn: x``]의 값은 [eqn: x=2]

증감을 조사하면 [eqn: g``(x)]는 [eqn: x=2]에서 극대이면서

최대이고, 최대값은 [eqn: g``(2) = 3․ 6^2 ``][eqn: = 108]

[eqn: f``(x)]의 최대값은

[eqn: {1} over {2} `log _{3} 108][eqn: = {1} over {2} `log _{3} (3 ^{3} ․2 ^{2} `)][eqn: = 1 over 2 (3+ 2 ` log _3 `2 `)]

[eqn: = 3 over 2 + log_3 `2]

[1.5점][1995년 수능]

①　[eqn: 7 over 2]	②　[eqn: 4]	③　[eqn: 2 over 5 + log_3 4]

④　[eqn: 3 over 2 + log_3 2]	⑤　[eqn: 4+log_3 6]

다음 <보기>중 같은 것끼리 짝지어진 것을 모두 고르면?

③

Ⅰ. [eqn: y = log (x-1)(x-2)]의 진수 조건에서

[eqn: (x-1)(x-2)>0] [eqn: RARROW ```x>2```또는```x<1]

[eqn: y = log(x-1) + log(x-2)]의 진수 조건에서

[eqn: x-1>0이고```x-2>0]

[eqn: THEREFORE ```x>2]

따라서 다르다.

Ⅱ. [eqn: y = {x^2 -1 } over x-1]의 정의역에서 [eqn: x!=1]인 모든 실수이다.

[eqn: y = x+1]의 정의역은 모든 실수이다.

따라서 다르다.

Ⅲ. [eqn: y= root {3} of {x ^{3}} =x]이므로 같다.

따라서 같은 함수끼리 짝지어진 것은 Ⅲ이다.

[2점][1999년 수능]

	[ 보 기 ]
Ⅰ. [eqn: cases{y = log(x-1)(x-2)# y = log(x-1) + log(x-2)}] Ⅱ. [eqn: cases{y = {x^2 -1 } over x-1 # y = x+1 }] Ⅲ. [eqn: cases{y = x # y = `^3sqrt x^3 }]

① Ⅰ	② Ⅱ	③ Ⅲ

④ Ⅱ, Ⅲ	⑤ Ⅰ, Ⅲ

지수함수의 그래프에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

① [eqn: y={2}^{x}]의 [eqn: x]축 대칭은 [eqn: -y={2}^{x}]  ∴[eqn: y=-{2}^{x}]

또, [eqn: y={1}over{{2}^{x}}={2}^{-x}]  즉, 옳지 않다.

② [eqn: y={2}^{x}][eqn: ->][eqn: y={2}^{x-1}] ([eqn: x]축 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동) 즉, 그 그래프는 아래와 같으므로 옳다.

③ [eqn: y=SQRT{2}⋅{2}^{x}={2}^{{1}over{2}}⋅{2}^{x}={x}^{2+{1}over{2}}]

즉, [eqn: y=2 ^{x} ``` -> ```y=2 ^{x+ {1} over {2}}]

(즉, [eqn: x]축 방향으로 [eqn: -{1}over{2}]만큼 평행이동) ∴옳다.

[2점][2002년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: y= 2^x]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면 [eqn: y={ 1} over {2^x}]의 그래프가 된다. ㄴ. [eqn: y= 2^x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하면 [eqn: y= 2^x]의 그래프보다 아래에 놓이게 된다. ㄷ. [eqn: y= SQRT2 ․2 ^x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 평행이동하여 [eqn: y= 2^x]의 그래프를 얻을 수 있다.

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄴ, ㄷ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 실수 [eqn: a``]와 [eqn: b``]가 [eqn: 1]이 아닌 양수일 때, 함수 [eqn: y` = a^x `]의 그래프와 함수 [eqn: y` = log _b ```x``]의 그래프가 항상 만나는 경우를 <보기>에서 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. (반례) [eqn: a`=`2,~b`=`2`]이면 [eqn: y`=`2^x ,~y`=`log_2 `x`]의 그래프는 그림과 같으므로 항상 만나지 않는다.

ㄴ. [eqn: a``＞1`]이므로 [eqn: y` = a^x `]은 증가함수이다.

[eqn: 0`＜b`＜1]이므로 [eqn: y` = log _b ```x``]는 감소함수이다.

그래프는 그림과 같으므로 항상 만난다.

ㄷ. [eqn: 0`＜a`＜1`]이므로 [eqn: y` = a^x `]은 감소함수이다.

[eqn: 0`＜b`＜1]이므로 [eqn: y` = log _b ```x``]는 감소함수이다.

그래프는 그림과 같으므로 항상 만난다.

[3점][2004년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: a＞1]이고 [eqn: b＞1] ㄴ. [eqn: a＞1]이고 [eqn: 0＜b＜1] ㄷ. [eqn: 0＜a＜1]이고 [eqn: 0＜b＜1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

정의역이 [eqn: LEFT { `x``|``1 LEQ x LEQ 81 RIGHT }]인 함수
[eqn: y`=(log_3 `x`) (log_{1over3}`x`)+2log_3 `x`+10`]의 최대값을 [eqn: M`], 최소값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

[eqn: log_3 x = t] [eqn: (1 LEQ x LEQ 81)]로 놓으면 [eqn: 0 LEQ t LEQ 4]이고,

[eqn: y=(log_3 x ) (-log_3 x )+2log_3 x +10]

[eqn: =-t^2 +2 t +10][eqn: =-(t-1)^2 +11]

이 때, [eqn: t=1]일 때 최대값 [eqn: M=11],

[eqn: t=4]일 때 최소값 [eqn: m=2]를 갖는다.

[eqn: THEREFORE ```M+m=11+2=13]

[4점][2006년 수능]

정의역이 [eqn: LEFT { x``|``-1 LEQ x LEQ 3 RIGHT }]인 두 지수함수
[eqn: f`(x)=4 ^{x}], [eqn: g`(x)= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x}]에 대하여 [eqn: f`(x )]의 최대값을 [eqn: M`], [eqn: g`(x )]의 최소값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: Mm`]의 값은?

①

[eqn: f`(x`)]는 밑＞1이므로 증가함수이다.

따라서 [eqn: x`=3]일 때 최대값 [eqn: 4^3`=64]를 갖는다.

[eqn: M`=64]

[eqn: g`(x`)]는 0＜밑＜1이므로 감소함수이다.

따라서 [eqn: x`=3]일 때 최소값 [eqn: Left ( {1 } over {2 } right)^3 = {1} over {8}]을 갖는다.

[eqn: m`={1} over {8}]

[eqn: THEREFORE ```Mm`=64 TIMES {1} over {8} =8]

[3점][2007년 수능]

① [eqn: 8]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 1]

지수함수 [eqn: f`(x)=a^x-m`]의 그래프와 그 역함수의 그래프가 두 점에서 만나고, 두 교점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 1]과 [eqn: 3]일 때, [eqn: a+m`]의 값은?

③

[eqn: y=a^x-m]과 역함수의 교점은

[eqn: y=a^x-m]과 [eqn: y=x]의 교점이므로 [eqn: a^x-m = x]

[eqn: a^1-m =1]  [eqn: THEREFORE~1-m=0]  [eqn: THEREFORE ~m=1]

[eqn: a ^{3-1} =3]  [eqn: THEREFORE````a ^{2`} =3]  [eqn: THEREFORE~a=root 3]

[eqn: THEREFORE~a+m=1+ root 3]

[3점][2008년 수능]

① [eqn: 2- sqrt {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 1+ sqrt {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2+ sqrt {3}]

함수 [eqn: f`(x)=2^x`]의 그래프를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동시키면 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 되고, 이 평행이동에 의하여 점 [eqn: rm A(it1,```f`(1))]이 점 [eqn: rm A prime (3,```g(3))]으로 이동된다. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 점 [eqn: (0,``1)]을 지날 때, [eqn: m+n`]의 값은?

①

조건에서 [eqn: g(x) = 2^x-m + n]이다.

점 [eqn: rmA(1,```2)]를 [eqn: x`]축으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y`]축으로 [eqn: n]만큼 이동하

면 [eqn: {\A}' (1+m, ``` 2+n)]이므로 [eqn: 1+m = 3]

[eqn: THEREFORE``` m=2]

또한, [eqn: y=g(x)]가 점 [eqn: (0,```1)]을 지나므로

[eqn: g(0) = 2^-m +n =1], [eqn: 2^-2 +n = 1]

[eqn: THEREFORE``` n = { 3} over {4 }]

[eqn: THEREFORE ``` m+n = 2 + { 3} over {4 } = { 11} over {4 }]

[3점][2008년 수능]

① [eqn: {11} over {4}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {13} over {4}]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {15} over {4}]

함수 [eqn: y= 3+log_3 ``(`x^2 -4x+31 )]의 최솟값은?

③

[eqn: f(x) = x^2 -4x+31`]로 놓으면

[eqn: f(x) = (x-2)^2 + 27`]에서

[eqn: f(x)`]의 최솟값이 [eqn: 27`]이므로

[eqn: y= 3+ log_3 (x^2 -4x+3)`]의 최솟값은

[eqn: 3+ log_3`27` = 3+ 3 = 6`]

[3점][2009년 수능]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

두 지수함수 [eqn: f`(x)= a^"b`x-1"], [eqn: g(x)=a^"1-b`x"``]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는
직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.

(나) [eqn: f`(4)+g(4)= {5} over {2}]

두 상수 [eqn: a,```b]의 합 [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: 0＜a＜1])

①

[eqn: f(x)= a^{bx-1}`]의 그래프와 [eqn: g(x) = a^{1-bx}`]의 그래프는 직선 [eqn: x=2`]에 대하여 대칭이므로 [eqn: f(2) = g(2)`]가 성립한다.

따라서, [eqn: a^2b-1 = a^1-2b`]에서 [eqn: 2b- 1 = 1-2b`], [eqn: 4b = 2`]

∴ [eqn: b = 1over2`]

[eqn: f(4) = g(0)`], [eqn: g(4)= f(0)`]이므로

[eqn: f(4) + g(4) = g(0) + f(0) = 5over2`]

[eqn: a + a^-1 = 5over2`]

[eqn: 2a^2 -5a+2 =0`], [eqn: (a-2)(2a-1) =0`]

[eqn: 0<a<1`]이므로 [eqn: a = 1over2`]

∴ [eqn: a+b = 1over2 + 1over2 = 1`]

[3점][2009년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: {9} over {8}]	③ [eqn: {5} over {4}]	④ [eqn: {11} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

지수함수 [eqn: y=5^x-1]의 그래프가 두 점 [eqn: (a,```5)], [eqn: (3,```b)]를 지날 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[eqn: 27`]

[eqn: y= 5^x-1`]의 그래프가 점 [eqn: (a,```5)]를 지나므로

[eqn: 5 = 5^a-1`]에서 [eqn: a-1 = 1`]

∴ [eqn: a=2`]

[eqn: y= 5^x-1`]의 그래프가 점 [eqn: (3,```b)]를 지나므로

[eqn: b= 5^3-1 `]에서 [eqn: b= 25`]

∴ [eqn: a+b = 2+25 = 27`]

[3점][2009년 수능]

좌표평면에서 지수함수 [eqn: y `= a^x] 의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동 시킨 후, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동시킨 그래프가 점[eqn: ` `(` `1,`4`)]를 지난다. 양수 [eqn: a] 의 값은?

①

[eqn: y `= a^x] 를 [eqn: y]축 대칭시키면 [eqn: y `=` a^-x] 이다.

이것을 다시 [eqn: x]축으로 [eqn: 3] , [eqn: y]축으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하면

[eqn: y ``=`` a^ {- ( x-3)} +2] ------ *

* 의 그래프가 [eqn: (1,4)]를 지나므로

[eqn: 4 ``=`` a^ {- ( 1-3)} +2]

[eqn: therefore ``` a^2 `=` 2]

[eqn: therefore ``` a `=` sqrt 2 `` ( because `` a > 0)]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

① [eqn: sqrt 2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2 sqrt 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4 sqrt 2]

10

16

두 함수 [eqn: f`(`x`)=5 ^{3x} ``], [eqn: g`(`x`)= {1} over {3} `log`` _{5} ``x``]에 대하여 [eqn: f`(g`(`5`))``]의 값은?

⑤

[eqn: f(g(5))=f LEFT ( {1} over {3} rm log it ` _{5} 5 RIGHT ) =`f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =5 ^{3 TIMES {1} over {3}} `=5``]

[2점][2005년 10월]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5``]

함수 [eqn: f`(`x`)`=`2` ^{x} ``]에 대하여 등식 [eqn: f`(`k`)`=`3`f`(`2`)``]를 만족하는 실수 [eqn: k``]의 값은?

②

[eqn: f(k)=3f(2)``], [eqn: 2 ^{k} =3 TIMES 2 ^{2} ``],

[eqn: k=`log _{2} `(3`․`2 ^{2} )`][eqn: =2+log _{2} `3``]

[3점][2005년 10월]

① [eqn: 1+log`_2 ``3````]	② [eqn: 2+log`_2 ``3````]	③ [eqn: 3+log`_2 ``3````]
④ [eqn: 4+log`_2 ``3````]	⑤ [eqn: 5+log`_2 ``3````]

두 함수 [eqn: y=2 ^{x} `], [eqn: y=- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} `]의 그래프와  직선 [eqn: x=k`] 의 교점을 각각 [eqn: rm P,`````Q`]라 할 때, [eqn: rm bar{PQ} `]의 최소값은?

④

[eqn: rm P it LEFT ( k,````2 ^{k} RIGHT )], [eqn: rm Q it LEFT ( k,```-` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k} RIGHT )]

[eqn: bar{rm PQ it} =2 ^{k} + LEFT ( {1`} over {2} RIGHT ) ^{k} >= 2 sqrt {2 ^{k} ``․`` LEFT ( {1`} over {2} RIGHT ) ^{k}} =2]

(등호는 [eqn: 2 ^{k}= left ({1 } over { 2} right)^k]일 때 성립)

∴ 최소값은 [eqn: 2`]

[3점][2006년 5월]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f`(n`)= 2^n` -` log_2 n`]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: f(2) = 2^2 - log_2 2 = 4-1=3`] (참)

ㄴ. [eqn: f(8) = 2^8 - log_2 8 =256-3=253`],

[eqn: f(log_2 8 ) = f(3) = 2^3 - log_2 3`]

∴ [eqn: f(8)≠-f(log_2 8 )`] (거짓)

ㄷ. (좌변)[eqn: =][eqn: f(2^n ) +n = 2^2^n - log_2 2^n +n`]

[eqn: = 2^2^n `-n+n = 2^2^n `]

[eqn: f(2^n-1 ) = 2^2^n-1 - log_2 2^n-1 = 2^2^n-1 - (n-1)`]이므로

(우변)[eqn: =`][eqn: left(2^2^n-1 right)^2 = 2^2^n`]

∴ [eqn: f(2^n ) +n = "{" f(2^n-1 ) +n-1 "}"^2`] (참)

[3점][2006년 6월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`(2)=3] ㄴ. [eqn: f`(8) =-f`(log_2`` 8)] ㄷ. [eqn: f`(2^n ) +n=left{ f`(2^n-1 ) +n-1 right}^2]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: y=2^x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동시킨 그래프가 두 점 [eqn: (-1,``1)], [eqn: (0,``5)]를 지날 때, [eqn: m^2 +n^2]의 값을 구하시오.

[eqn: 18`]

함수 [eqn: y= 2^x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동 시키면 [eqn: y= 2^x-m +n`] 이다. 이 함수의 그래프가 두 점 [eqn: (-1,~ 1)], [eqn: (0, 5)]를 지나므로

[eqn: 2^-1-m +n =1][eqn: cdots ㉠]

[eqn: 2^-m + n = 5`][eqn: cdots ㉡]

[eqn: ㉡-㉠]을 하면

[eqn: 2^-m - 2^-1-m = 4 `]

[eqn: 2^-m left( 1- 1over 2 right) = 4`]

[eqn: 2^-m = 8][eqn: =2^3`]

∴ [eqn: m=-3`]

이것을 ㉡에 대입하면

[eqn: n=-3`]

∴ [eqn: m^2 +n^2 = 18`]

[3점][2006년 6월]

함수 [eqn: f`(x`)=1+3log_2 `x`]에 대하여 함수 [eqn: g`(x`)]가
[eqn: (g CIRC f`)`(x`)=x`]를 만족시킬 때, [eqn: g`(13)]의 값을 구하시오.

16

[eqn: (g circ f )(x)=x`]를 만족하는 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: f(x)`]의 역함수이다.

[eqn: y=1+3log_2 x `]에서 [eqn: x,~y`]를 서로 바꾸면

[eqn: x=1+3log_2 y `], [eqn: x-1 over 3 =log_2 y`]

∴ [eqn: y= 2^{x-1 over 3}`]

따라서 [eqn: g(x)= 2^{x-1 over 3}`]이므로

[eqn: g(13) = 2^{13-1over3} = 2^4 = 16`]

다른 풀이

[eqn: f(x)= 13`]을 만족하는 [eqn: x`]의 값을 구하면

[eqn: 1+3log_2 x = 13`]에서 [eqn: log_2 x = 4`]

∴ [eqn: x=2^4 = 16`]

∴ [eqn: g(f(16)) = g(13) = 16`]

[3점][2006년 6월]

정의역이 [eqn: \{ `x``|``5≦x`≦8 \}]인 함수 [eqn: y`=log_{{1_`} over {2}} (x-a`)]의 최소값이 [eqn: -2]일 때, [eqn: a`]의 값은?

④

함수 [eqn: y=log_{1over 2} (x-a)`]는 밑이 1보다 작으므로 [eqn: x`]의 값이 증가할수록 [eqn: y`]의 값은 감소한다. 따라서 [eqn: x=8`]일 때 최소값을 가지므로 [eqn: log_{1over2} (8-a) = -2`]이어야 한다.

∴ [eqn: 8-a = left( 1over2 right)^-2 = 4`]

∴ [eqn: a=4`]

[3점][2006년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y = log(10- x^2 `) `]의 정의역을 [eqn: A], 함수 [eqn: y = log(log x`) `]의 정의역을 [eqn: B `]라 할 때, [eqn: A cap B `]의 원소 중 정수의 개수는?

②

[eqn: y= log (10 - x^2 )`]에서  [eqn: 10 - x^2 `>0`], [eqn: x^2 `<`10`]

[eqn: - root10 < x< root10`]

∴ [eqn: A = left{ x``|``- root10 `< x`< root10``right}`]

[eqn: y= log (log x `)`]에서 [eqn: log x >0`]이므로  [eqn: x>1`]

∴ [eqn: B= left{ x``|``x>1`right}`]

∴ [eqn: A∩B = left{ x``|`1<x< root10 ``right}`]

따라서, 집합[eqn: A∩B`]의 원소 중 정수인 것은 [eqn: 2, ``3`]의 2개이다.

[3점][2006년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f`(x)=log _{``3} ``x`]에 대하여 [eqn: (`f CIRC f`)``(`x`) <= 1`]을 만족하는 자연수 [eqn: x`]의 개수는?

④

[eqn: log_3 (log_3 x)≦1], [eqn: 0<log_3 x ≦3], [eqn: 1<x≦27`]

따라서 만족하는 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 26`]개

[3점][2006년 10월]

① [eqn: 17]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 29]

함수 [eqn: f`(x`)=2 ^{x ^{2}} ` TIMES ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2x-3}`]의 최소값은?

⑤

[eqn: f(x)`=`2 ^{ (x-1) ^{ 2}`+`2 }`] 이므로 [eqn: x`=`1`]일 때 지수의 최소값이 [eqn: 2`]이다. 따라서 함수 [eqn: f``(x)]의 최소값은 [eqn: 4`]이다.

[3점][2006년 10월]

① [eqn: 1 over 8]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: sqrt {2}]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: x`＞`0``]일 때, 자연수 [eqn: n``]에 대하여 함수 [eqn: f _{n} (`x)``]가 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: f _{1} (`x)=log ` _{2} `x``]

(나) [eqn: f _{n+1} (`x)=f _{n} (`x ` ^{2} )+f _{n} (`x)`]

[eqn: f`_2007 `(`8)`=`a``]라 할 때, [eqn: log` _{27} ``a``]의 값을 구하시오.

669

[eqn: f _{1} (x)=log _{2} `x`]

[eqn: f _{2} (x)=f _{1} (x ^{2} )+f _{1} (x) =log_2 `x^2 + log_2`x]

[eqn: =2log_2`x +log_2`x =3log_2`x`]

[eqn: f _{3} (x)=f _{2} (x ^{2} )+f _{2} (x) =3log_2 `x^2 + 3log_2`x]

[eqn: =6log_2`x +3log_2`x =3^2 `log_2`x`]

[eqn: f _{4} (x)=f _{3} (x ^{2} )+f _{3} (x) =9log_2 `x^2 + 9log_2`x]

[eqn: =18log_2`x +9log_2`x =3^3`log_2`x`]

…

이상에서 [eqn: f _{n} (x)=3 ^{n-1} `log _{2} `x`]임을 알 수 있다.

[eqn: a=f _{2007} ``(8)=3 ^{2006} `log`` _{2} ``8=3 ^{2007} ``]

∴ [eqn: log ``_{27} ``a ``][eqn: =log` _{3 ^{3}} ``3 ^{2007}][eqn: = 2007over3 = 669`]

[3점][2007년 3월]

[eqn: -2<=x<=4]일 때, 지수함수 [eqn: y= 3 ^{x ^{2} -4x-3}]의 최대값과 최소값의 곱을 구하시오.

[eqn: 9``]

[eqn: y=3^{x^2 -4x-3}]이므로

(지수)[eqn: t][eqn: =x ^{2} -4x -3] [eqn: =(x-2)^2 -7~ ~( -2<=x<=4)]

[eqn: x=2]일 때 최소값 [eqn: t=-7]

[eqn: x=-2]일 때 최대값 [eqn: t=9]

지수함수 [eqn: y=3 ^{t}] 은 증가함수이므로

[eqn: 3 ^{-7} <= 3 ^{t} <= 3 ^{9}]이므로 최대값은 [eqn: 3 ^{9}], 최소값은 [eqn: 3 ^{-7}]이다.

[eqn: THEREFORE ~3^9 cdot 3^-7 = 3^2 = 9]

[3점][2007년 5월]

두 함수 [eqn: y= 2 ^x], [eqn: y=- LEFT ( {1_`} over {2`} RIGHT ) ^x + k`]의 그래프가 서로 다른 두 점[eqn: rm A,````B]에서 만난다. 선분 [eqn: \AB]의 중점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 0,`` {5_`} over {4`} RIGHT )]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

⑤

[eqn: y]

[eqn: 2^x`=`-{ LEFT ({1}_` over {2`} RIGHT)} ^x +k`]의 두 근을 [eqn: alpha `], [eqn: beta `]라 하면

[eqn: { alpha + beta }_` over{2}`=`0]에서 [eqn: beta `=`- alpha]

선분 [eqn: \AB]의 중점의 [eqn: y] 좌표가 [eqn: {5}_` over {4}]이므로

[eqn: {2^{ alpha }- LEFT ( {1}_` over {2} RIGHT ) ^{ beta }+k}_` over 2 `=`{5}_` over {4}]

[eqn: {k}_` over {2} `=`{5}_` over {4} ( BECAUSE ~ beta `=`- alpha )]

[eqn: THEREFORE ~k`=`{5}_` over {2}]

[3점][2007년 6월]

① [eqn: {1_`} over {2`}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3_`} over {2`}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5_`} over {2`}]

것은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

④

ㄱ. [eqn: x>1 `]일 때, [eqn: f(x) `>0 `]이다. 따라서 [eqn: 0< f(x) < 1 `]이면 [eqn: f(f(x) ) `< 0 `]이고  [eqn: f(x) >1 `]이면 [eqn: f(f(x) ) `>0 `]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: f LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) `=`log _{2} {x} over {2}][eqn: `=`log _{2} x-log _{2} 2] [eqn: `=`log _{2} x-1`=`f(x)`-`1`](참)

ㄷ. [eqn: f(8 sup n ) `=` log sub 2 8 sup n `=` log sub 2 (2 sup 3 ) sup n] [eqn: `=` log sub 2 ( 2) sup 3n `=` 3n `](참)

[3점][2007년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: x`>`1`]일 때, [eqn: f`(`f`(x)) `>`0 `]이다. ㄴ. [eqn: x >0`]일 때, [eqn: f` left ( x over 2 right ) `=` f`(x) `-` 1 `]이다. ㄷ. 수열 [eqn: left { f`( 8 sup n ) right } `]은 등차수열이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 집합 [eqn: A = left { (x`,~ y`) left vert y = 3^{`x}` right }`], [eqn: B = left { (x`,~ y`) left vert y =log_{`3` }`x ` right }`]에 대하여 [eqn: ( a`,~ b`) `in` A`], [eqn: (c`,~ d`) `in` B``]일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

[eqn: (a,~ b`) `in` A`], [eqn: (c,~ d`) `in` B`]이므로

[eqn: 3^a = b], [eqn: log_3 c=d]이다.

ㄱ. (반례) [eqn: a=1,```b=3`]일 때 [eqn: (1,```3) IN A`]이지만

[eqn: (1 ^{3} ,```3 CDOT 3) NOTIN A`]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: 3^a = b] 즉, [eqn: log _3 b = a]
∴ [eqn: (b`,~a)`in`B] (참)

ㄷ. [eqn: 3^a = b `], [eqn: log_3 c=d] 즉, [eqn: 3^d = c`]가 성립하므로
[eqn: 3^ a+d = bc]
∴ [eqn: (a+d,~ bc` )` IN `A] (참)

[3점][2008년 3월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: (`a^3`,~ 3b` )` IN `A] ㄴ. [eqn: (b`,~a)`in`B] ㄷ. [eqn: (a+d`,~ b`c` )` IN `A]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

지수함수 [eqn: f(x)=2 ^{x}], [eqn: g(x)=3 ^{x}]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

②

[해설] ㄱ. [eqn: x<0]일때, [eqn: g(x)<f(x)] (거짓)

ㄴ. [eqn: 12f(x)g(x)=12 CDOT 2 ^{x} CDOT 3 ^{x}=2 ^{x+2}cdot3 ^{x+1}] [eqn: =f(x+2)g(x+1)] (참)

ㄷ. [eqn: y=f(-2x)g(x)=2 ^{-2x} cdot 3 ^{x} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{x}]는 감소  (거짓)

[3점][2008년 4월]

		보 기
ㄱ. [eqn: g(x)-f(x)>0] ㄴ. [eqn: 12f(x)g(x)=f(x+2)g(x+1)] ㄷ. [eqn: a<b]이면 [eqn: f(-2a)g(a)<f(-2b)g(b)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 함수 [eqn: f(x)=2^x ,```g(x)=log_3``x``]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면?

④

[출제의도] 지수함수와 로그함수의 값 구하기

[해설] ㄱ. [eqn: sqrt3 != 3 over 2``]이므로 [eqn: 2^{sqrt3} != (2^3 )^{1 over 2} =2^{3 over 2}``]  [eqn: therefore`````]거짓

ㄴ. [eqn: g(12)=log_3``12=2``log_3``2 ``+1=2g(2)+1``]  [eqn: therefore`````]참

ㄷ. [eqn: g left(f left(3 over 2 right) right)=g (2^{3 over 2} ) =log_3``2^{3 over2}``]

[eqn: =log_3``2sqrt2 <log_3``3=1``]  [eqn: therefore`````]참

[3점][2008년 5월]

		<보기>
	ㄱ. [eqn: f(sqrt3 )=left{f(3) right}^{1 over 2}``] ㄴ. [eqn: g(12)=2g(2)+1``] ㄷ. [eqn: g left(f left(3 over 2 right) right)<1``]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ,ㄴ
④ ㄴ,ㄷ	⑤ ㄱ,ㄴ,ㄷ

두 곡선 [eqn: y = 3^x+m], [eqn: y = 3^-x]이 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각  [eqn: \A ,```\B]라고 하자. [eqn: rm bar AB =8]일 때, [eqn: m`]의 값은?

①

[eqn: y]축 위의 점은 [eqn: x]좌표가 0이므로

[eqn: y=3^x+m]이 [eqn: y]축과 만나는 점은 [eqn: \A(0,```it 3^m )]

[eqn: y=3^-x]이 [eqn: y]축과 만나는 점은 [eqn: \B(0,```it 1 )]

[eqn: bar \AB it` =|3^m -1|=8]에서 [eqn: m=2]

[3점][2008년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f`(x) =2^-x]에 대하여

[eqn: f`(2a)][eqn: f`(b) =4,``` f`(a-b)=2]

일 때, [eqn: 2^3a +2^3b]의 값은 [eqn: {q_`} over p]이다. [eqn: p`+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

17

[eqn: f(2a)f(b)=4], [eqn: f(a-b)=2]에서

[eqn: 2^-2a cdot 2^-b =2^2], [eqn: 2^-(a-b) =2^1]이므로

[eqn: THEREFORE~2a+b=`-2]

[eqn: a-b=`-1]

[eqn: THEREFORE~3a=`-3]  [eqn: THEREFORE~a=`-1]  [eqn: b=0]

[eqn: THEREFORE~2^3a +2^3b = { 1} over { 8}+1= { 9} over { 8}]

[eqn: THEREFORE~p+q=17]

[3점][2008년 6월]

함수 [eqn: f(x)=log _{2} x``]의 그래프 위의 두 점
[eqn: rm `A it (a`,```f(a))`], [eqn: rm `B it (b`,```f(b))`]를 이은 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 1`:`2`]로 내분하는 점이 [eqn: x`]축 위에 있을 때, [eqn: a^2 b `]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x)=log _{2} x``]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rm `A it (a,log _{2} a), rm `B it (b,`log _{2} b)``]을 이은 선분 [eqn: rm ` {AB`}]를 [eqn: 1:2]로 내분한 점은 [eqn: left ({2a+b} over {3} `,` {2log _{2} a+log _{2} b} over {3}right )]이다.

내분점이 [eqn: x`]축 위에 있으므로

[eqn: ` {2log _{2} a+log _{2} b} over {3} =0] , [eqn: `log _{2} a ^{2} b =0] [eqn: THEREFORE] [eqn: a ^{2} b =1]

[[eqn: 3`]점][2008년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 3]

두 함수 [eqn: f`(x) = 2^x-2 +1], [eqn: g(x) = log_2 (x-1)+2`]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: f(x)]의 역함수를 구하면  [eqn: x=`2 ^{y-2} +1]에서

[eqn: 2 ^{y-2} =x-1]

[eqn: y-2`=`log` _{2} `(x-1)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: y=`log` _{2} `(x-1)`+2]

따라서, [eqn: f ^{-1} (x)=`log` _{2} (x-1)`+`2]이고

[eqn: g(x)=f ^{-1} (x)]

ㄱ.  [eqn: f ^{-1} (5)`=`log` _{2} `(5-1)`+2`=`4]이므로

[eqn: f ^{-1} (5) LEFT { g(5)+1 RIGHT }]

[eqn: =f ^{-1} (5) LEFT { f ^{-1} (5)+1 RIGHT }]

[eqn: =4 LEFT ( 4+1 RIGHT ) =20] <참>

ㄴ. [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: g(x)]이므로  [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다. <참>

ㄷ. [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y=2 ^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 2만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.

그러므로 [eqn: y=2 ^{x}]의 그래프 위의 점 [eqn: (0,``1)]은 [eqn: y=f(x)]의 그래프위의 점 [eqn: (2,`2)]로 평행이동한다.

이 때, 점 [eqn: (2,`2)]는 직선 [eqn: y=x]위의 점이므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: y=x]의 그래프는 만난다.

그러므로 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 역함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 만난다. <거짓>

[eqn: y]

[eqn: f(x)=2 ^{x-2} +1]

[eqn: y=2 ^{x}]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: y=1]

[eqn: y=x]

[3점][2008년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`^-1 (5) cdot left{ g(5)+1 right} = 20]이다. ㄴ. [eqn: y=f`(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다. ㄷ. [eqn: y=f`(x)]의 그래프와 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 만나지 않는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(`x)`]를 [eqn: f(`x)`=`log`x`-` LEFT [ log`x RIGHT ] `]라 하자. [eqn: 10<a<100`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: LEFT { f(`a) RIGHT } ^{2`} `+` LEFT { f` LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]의 최솟값은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]`]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

②

[eqn: log``a=1+ alpha] ([eqn: 0 < alpha <1`])라 하면 [eqn: f(a)= alpha]

[eqn: log` {1} over {a} =-log`a=(-2)+(1- alpha )]이므로 [eqn: f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) =1- alpha]

[eqn: LEFT { f(a) RIGHT } ^{2`} `+` LEFT { f LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) RIGHT } ^{2} = alpha ^{2} +(1- alpha ) ^{2} =2 LEFT ( alpha - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {2}]

[eqn: 0 < alpha <1`]에서 [eqn: alpha = 1over 2 `]일 때 최솟값 [eqn: 1over 2 `]을 갖는다.

[3점][2008년 10월]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[eqn: 0<=x<=3 `]에서 함수 [eqn: f`(`x)=2 ^{-x ^{2} +4x+a`}]의 최솟값이 [eqn: 4`]일 때, [eqn: f`(`x)`]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

64

함수 [eqn: f(x)=2 ^{-(x-2) ^{2} +a+4`}]에서 지수의 최솟값은 [eqn: a`]이므로 [eqn: 2 ^{a} =2 ^{2}] 즉, [eqn: a=2]이다. 이때, 지수의 최댓값은 [eqn: a+4=6]이므로 [eqn: f(x)`]의 최댓값은 [eqn: 2^6 = 64`]이다.

[3점][2008년 10월]

정의역이 [eqn: x<4]인 두 함수 [eqn: f(x)=2 ^{x} `], [eqn: g(x)=x ^{2} `]의 그래프가 만나는 두 점을 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT ) ,~ LEFT ( x _{2} ,~y _{2} RIGHT )]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: x _{1} <x _{2} `])

③

[출제의도] 두 곡선의 관계 추론하기

ㄱ. [eqn: -1<x_1 <0] (참)

ㄴ. [eqn: LEFT | `x _{1} `y _{1} RIGHT | < LEFT | `x _{2`} y _{2`} RIGHT |] (거짓)

ㄷ. [eqn: LEFT | x _{1} ``․``y _{2} RIGHT | - LEFT | x _{2} ``․``y _{1} RIGHT | ``= LEFT | x _{1} ``․``x _{2} ` ^{2} RIGHT | - LEFT | x _{2} ``․``x _{1} ` ^{2} RIGHT |]

[eqn: = LEFT | x _{1} ``․``x _{2} ` RIGHT | `( LEFT | x _{2} RIGHT | - LEFT | x _{1} RIGHT | )>0] (참)

[3점][2009년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: x _{1} +x _{2} >0`] ㄴ. [eqn: x _{1} ``․``y _{1} +x _{2} ``․``y _{2}<0] ㄷ. [eqn: LEFT |` `x _{1} ``․``y _{2} `` RIGHT |` -` LEFT | ``x _{2} ``․``y _{1} `` RIGHT | ``>0]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면 위의 네 점
[eqn: rm A(3`,~-1)`,~B(5`,~-1)`,~`C(5`,~2)`,~rm D(3`,~2)]를 연결하여 만든 직사각형이 있다. 로그함수 [eqn: y`=`log _{a} (x-1)-4]가 직사각형 [eqn: rm ABCD]와 만나기 위한 [eqn: a`]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: N`]이라 할 때, [eqn: LEFT ( {M} over {N} ` RIGHT ) ^{12} `]의 값을 구하시오.

[eqn: 64``]

[출제의도] 로그함수의 밑의 성질을 이용한 그래프 이해하기

[eqn: y`=`log _{a} (x-1)-4]가 [eqn: (2,~-4)]를 항상 지나므로 직사각형과 만나려면 [eqn: a>1]

따라서 [eqn: y`=`log _{a} (x-1)-4]는 증가함수이므로

[eqn: rm B(5,~-1)]을 지날 때, [eqn: a]의 최댓값 [eqn: M`=`4 ^{{1} over {3}}]

[eqn: rmD(3,~2)]를 지날 때, [eqn: a]의 최솟값 [eqn: N`=`2^{ { 1} over {6 }}]

[eqn: LEFT ({M} over {N} ` RIGHT ) ^{12} `=`64]

[[eqn: 3]점][2009년 7월]

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=2^ax+b `]이 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: a^2 +b^2 `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

2

[출제의도] 지수함수의 값 구하기

(가)에서 [eqn: f LEFT ( { 5} over {2 } RIGHT )=2^{ { 5} over {2 }a+b }=2 sqrt { 2}=2^{ { 3} over {2 } }]

[eqn: therefore```` { 5} over {2 }a+b = { 3} over {2 }]

(나)에서 [eqn: f(x+y)=2f(x)f(y)`]에 [eqn: x=y=0`]을 대입하면

[eqn: f(0)=2f(0)f(0)`]이고 [eqn: f(0)>0`]이므로 [eqn: f(0)=2^b = { 1} over {2 }`]이다.

[eqn: therefore````b=-1]

따라서 [eqn: a=1,~b=-1`]이다.

[3점][2010년 4월]

(가) [eqn: f LEFT ( {5 } over {2 } RIGHT )=2 sqrt { 2}`]

(나) 임의의 실수 [eqn: x,~y`]에 대하여 [eqn: f(x+y)=2f(x)f(y)`]이다.

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세 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2}], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =log _{`2} `x]에 대하여
[eqn: LEFT ( `f CIRC g` RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) + LEFT ( `g CIRC h` RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

①

[eqn: g(2)=4`]이므로 [eqn: (f`circg)(2)=f(4)=2^4`=16`],

[eqn: h(2)=1`]이므로 [eqn: (g`circh)(2)=g(1)=`1`]

[eqn: therefore~`(f`circg)(2)+(g`circh)(2)=`16+1=17`]

[3점][2010년 6월]

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

[eqn: 1]보다 큰 양수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=a ^{-x-2}] 과 [eqn: y=log _{`a} ` LEFT ( x-2 RIGHT )] 가 직선 [eqn: y=1]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: A], [eqn: B`]라  하자. [eqn: bar{AB``} =8] 일 때, [eqn: a]의 값은?

②

[eqn: A,~B`]의 좌표는 각각 [eqn: A`(-2,~1),~B`(a+2,~1)`]이므로 [eqn: barAB`=a+2-(-2)=a+4`=8`]

[eqn: therefore~a=4`]

[3점][2010년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y= {3 ^{2x} +3 ^{x} +9} over {3 ^{x}}]의 최솟값은?

⑤

[eqn: 3 ^{x} =t(t>0)]라 하면

[eqn: y= {t ^{2} +t+9} over {t} =t+1+ {9} over {t}]이고, [eqn: t+ {9} over {t} GEQ 6]

따라서 최솟값은 [eqn: 7]

[3점][2011년 7월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: y=log ` _{`3} ` LEFT ( {x} over {9} `-1 RIGHT ) `]의 그래프는 함수 [eqn: y=log ` _{3} `x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동시킨 것이라 할 때, [eqn: 10(m+n)`]의 값을 구하시오.

70

[eqn: y=log _{`3} ` LEFT ( {x} over {9} `-1 RIGHT ) `]

[eqn: `=log _{`3} ` x-9 over9]

[eqn: =log_3 (x-9)-log_3 `9]

[eqn: =log_3 (x-9)-2]

이므로 함수 [eqn: y=log _{`3} ` LEFT ( x over {9} -1 RIGHT ) `]의 그래프는

함수 [eqn: y=log _{`3} `x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 9`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -2`]만큼 평행이동시킨 것이다.

따라서 [eqn: m=9`], [eqn: n=-2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: 10(m+n)=70]

[3점][2012년 3월]

정의역이 [eqn: LEFT { `x`□`4 LEQ x LEQ 9` RIGHT }]인 함수 [eqn: y=log _{{1} over {3}} (x+a)`]의 최댓값이 -3일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

23

[출제의도] 로그함수의 그래프의 성질 이해하기

함수 [eqn: y=log _{{1} over {3}} (x+a)]는 밑이 [eqn: {1} over {3}]이므로
[eqn: x]가 증가할 때 [eqn: y]가 감소한다.
[eqn: THEREFORE] [eqn: x=4]일 때 최댓값 [eqn: -3]을 갖는다.

[eqn: -3=log_{1over3 }(4+a)], [eqn: 4+a=LEFT ( {1} over {3}right)^-3 =27]

따라서 [eqn: a=23]

[3점][2013년 4월]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x-2}]의 역함수의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동시키면 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 된다. 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 직선 [eqn: y=1]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (`8,``1)]이다. 이때, 실수 [eqn: a]의 값은?

④

[출제의도] 지수함수의 그래프의 대칭이동과 평행이동을 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: y =2 ^{x-2}]의 역함수는 [eqn: y=log_{`2}` x +2]이고,
함수 [eqn: y=log_{`2}` x +2]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동시키면
함수 [eqn: y=log _{`2} `(x+2)+a+2]의 그래프가 된다.

두 함수 [eqn: f(x)=2 ^{`x-2}], [eqn: g(x)=log _{`2} `(x+2)+a+2]의 그래프가 직선 [eqn: y=1]과 만나는 점은
각각 [eqn: rmA(2,``1)], [eqn: rmB(2^{it-a -1}-2,``1)]이다.

선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (`8,``1)]이므로

[eqn: {2+2^{-a-1} -2} over2 =8], [eqn: 2^{-a-1 }=16=2^4], [eqn: -a-1=4]

따라서 [eqn: a=`-5]

[3점][2013년 4월]

① [eqn: -8]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -5]	⑤ [eqn: -4]

닫힌 구간 [eqn: [ -1 , ``3]]에서 두 함수
[eqn: f(x) `=` 2^x],   [eqn: g(x) `=` left( 1 over 2 right)^2x]
의 최댓값을 각각 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. [eqn: ab]의 값을 구하시오.

[eqn: 32]

지수함수 [eqn: f(x)]는 증가함수이고, 지수함수 [eqn: g(x)]는 감소함수이므로 닫힌구간 [eqn: LEFT [ -1,3 RIGHT ]]에서 각각 [eqn: f(3),`g(-1)]이 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: ab=8 TIMES 4=32]이다.

[3점][2014년 6월]

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 좌표평면에서 함수 [eqn: y= a times 2^x]의 그래프가 두 점 [eqn: (`0,``4)], [eqn: (`b,``16)]을 지날 때, [eqn: a+b]의 값은?

①

[출제의도] 지수함수 이해하기

[eqn: y= a times 2^x]에 [eqn: (`0,``4)]를 대입하면

[eqn: 4 = a times 2^0 = a times 1 = a]

[eqn: therefore] [eqn: a=4]

[eqn: y= 4 times 2^x]에 [eqn: (`b,``16)]을 대입하면

[eqn: 16 = 4 times 2^b]

[eqn: therefore] [eqn: b=2]

따라서 [eqn: a+b = 4+2 = 6]

[3점][2015년 4월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: y=log`x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시킨 그래프가 두 점 [eqn: (`4,``b)], [eqn: (`13,``11)]을 지날 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값을 구하시오.

30

[출제의도] 로그함수 그래프의 평행이동 이해하기

함수 [eqn: y = log`x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a], [eqn: y]축의
방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동시킨 그래프의 방정식은

[eqn: y=log(x-a)+b`]이다.

함수 [eqn: y=log(x-a)+b`]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( `4,``b RIGHT )]를
지나므로
[eqn: log(4-a)+b=`b]

[eqn: log(4-a)=0]

[eqn: 4-a=1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=`3]

함수 [eqn: y=log(x-3)+b]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( `13,``11 RIGHT )]을
지나므로
[eqn: log`10+b=11]

[eqn: THEREFORE] [eqn: b=`10]

따라서 [eqn: ab=30]

[3점][2015년 4월]

[해설] 미적분2-(1)지수,로그-(a)함수