수 리 영 역

속도, 가속도

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수 리 영 역

속도, 가속도

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년) 기출

단원 : 적분 (속도, 가속도)

성명			수험번호

16

고속 열차가 출발하여 [eqn: 3`km]를 달리는 동안은 시각 [eqn: t]분에서의 속력이 [eqn: v`(t)= {3} over {4} t ^{2} + {1} over {2} t][eqn: (km]/분)이고 그 이후로는 속력이 일정하다. 출발 후 [eqn: 5]분 동안 이 열차가 달린 거리는?

③

[eqn: 3km]를 달리는 시간을 [eqn: t``]분이라 하면,

[eqn: 3 = int_0 ^t left( 3 over 4 t^2 + 1 over 2 t right) dt `][eqn: = left[ t^3 over 4 + t^2 over 4 right]_0 ^t ``][eqn: = t^3 over 4 + t^2 over 4]

[eqn: THEREFORE ```t` ^{3} +t` ^{2} =12][eqn: RARROW ```t` ^{3} +t` ^{2} -12=0]

[eqn: (t-2)(t^2 + 3t +6 ) =0]에서

[eqn: t`^2 +3t +6`>0 `]이므로 [eqn: t =2]

따라서, [eqn: 2]분 후에 [eqn: 3km]를 가고 [eqn: 2]분 후의 속도는

[eqn: v(2) = 3 over 4 × 2^2 + 1 over 2 × 2][eqn: = 3+1 =4]

따라서, [eqn: 5]분까지는 [eqn: 3]분을 더 가야 하므로

[eqn: 3+ 4×3 = 15 (km `)]

[1994년 수능 2차]

①　[eqn: 17`km]	②　[eqn: 16`km]	③　[eqn: 15`km]

④　[eqn: 14`km]	⑤　[eqn: 13`km]

원점을 출발하여 수직선 위를 [eqn: 7]초 동안 움직이는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v`(t)]가 다음 그림과 같을 때, <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?

②

[eqn: v`(t`)=0]인 [eqn: t``]의 값은 [eqn: t=2,```4]이고 이 시각에 [eqn: v`(t`)]의 부호가 바뀌었으므로 운동방향이 바뀐 것이다.

또, [eqn: int _0 ^t v`(t) `dt `=0]이므로 [eqn: t =4]인 순간의 동점 [eqn: P ``]의 위치는 원점이다.

[1.5점][1995년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 점 [eqn: rmP]는 출발하고 나서 [eqn: 1]초 동안 멈춘 적이 있었다. ㄴ. 점 [eqn: rmP]는 움직이는 동안 방향을 [eqn: 4]번 바꿨다. ㄷ. 점 [eqn: rmP]는 출발하고 나서 [eqn: 4]초 후 출발점에 있었다.

①　ㄱ	②　ㄷ	③　ㄱ, ㄴ

④　ㄱ, ㄷ	⑤　ㄴ, ㄷ

지면에 정지해 있던 열기구가 수직 방향으로 출발한 후 [eqn: t``]분일 때, 속도 [eqn: v`(t`)`]([eqn: \m`/분])를

[eqn: v(t)= {cases{t&```(0 LEQ t LEQ 20)#60-2t&```(20 LEQ t LEQ 40)}}]

라 하자. 출발한 후 [eqn: t``=35`]분일 때, 지면으로부터 열기구의 높이는? (단, 열기구는 수직 방향으로만 움직이는 것으로 가정한다.)

③

속도를 적분하면 위치이므로

[eqn: t`=`35`]분일 때 열기구의 높이 [eqn: h`]는

[eqn: h`=`int from0to35 v`(`t`)`d`t`=`int from0to20 t`d`t`+`int from20to35 (60`-`2t`)`dt`=`275]

[3점][2004년 수능]

① [eqn: 225` \m]	② [eqn: 250` \m]	③ [eqn: 275 `\m]

④ [eqn: 300` \m]	⑤ [eqn: 325 `\m]

다음은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: \P]의 시각 [eqn: t```(0 LEQ t LEQ d)]에서의 속도 [eqn: v`(t`)]를 나타내는 그래프이다.

[eqn: int _{0} ^{ a} { LEFT | v`(t`) `RIGHT | `dt} `= int_{a} ^{d} { LEFT | v`(t`) `RIGHT | `dt}] 일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: 0＜a`＜b`＜c`＜d`]이다.)

④

그림과 같이 각각의 넓이를 [eqn: S _{1} ,```S _{2} ,```S _{3} ,```S _{4}]라고 하자.

조건에서 [eqn: S_1 = S_2 + S_3 + S_4]이다.

ㄱ. [eqn: S_1 `＞ ` S_2 + S_3]이므로, 다시 원점을 지나지 않는다.

ㄴ. [eqn: INT _0^c v`(t`) `dt = S_1 -S_2 -S_3]

[eqn: INT _c^d v`(t`) `dt = S_4 = S_1 -S_2 -S_3]

[eqn: THEREFORE ~ INT _0^c v`(t`) `dt = INT _c^d v`(t`) ` dt]

ㄷ. [eqn: INT _0^b v`(t`) `dt = S_1 -S_2]

[eqn: INT _b^d `LEFT | v`(t`) RIGHT | `dt = S_3 +S_4]

조건에서 [eqn: S_1 = S_2 + S_3 + S_4], [eqn: S_1 -S_2 = S_3 + S_4]

[eqn: THEREFORE ~ INT _0^b v`(t`) `dt = INT _b^d ` LEFT | v`(t`) RIGHT | `dt]

[3점][2007년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 점 [eqn: \P]는 출발하고 나서 원점을 다시 지난다. ㄴ. [eqn: int _{0} ^{c} { v`(t`) `dt} `= int _{c} ^{d} { v`(t`) `dt}] ㄷ. [eqn: int _{0} ^{b} { v`(t`) `dt} `= int _{b} ^{d} { `|`v`(t`)`| `dt}]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P``]의 시각 [eqn: t(0 <= t <= 5)``]에서의 속도 [eqn: v(t)``]가 다음과 같다.
[eqn: v(t)= {cases{`4``t~~~~~~~````(0 <= t<1)#``-2`t+6~~~(1 <= t<3)#``t-3~~~~~~(3 <= t <= 5)}}]
[eqn: 0<x<3``]인 실수 [eqn: x``]에 대하여 점 [eqn: P``]가
시각 [eqn: t=0``]에서 [eqn: t=x``]까지 움직인 거리,
시각 [eqn: t=x``]에서 [eqn: t=x+2``]까지 움직인 거리,
시각 [eqn: t=x+2``]에서 [eqn: t=5``]까지 움직인 거리
중에서 최소인 값을 [eqn: f(x)``]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

①

시각 [eqn: t=0``]에서 [eqn: t=x``]까지 움직인 거리를 [eqn: l_1]

시각 [eqn: t=x``]에서 [eqn: t=x+2``]까지 움직인 거리를 [eqn: l_2]

시각 [eqn: t=x+2`]에서 [eqn: t=5``]까지 움직인 거리를 [eqn: l_3``]이라 하자.

ㄱ. [eqn: x=1``]인 경우

[eqn: l_1 =2], [eqn: l_2 =4], [eqn: l_3 =2``]이므로 [eqn: f(1)=2]	[eqn: THEREFORE] 참

ㄴ. [eqn: x=2``]인 경우

[eqn: l_1 = 5], [eqn: l_2 = 3over2], [eqn: l_3 = 3over2``]이므로 [eqn: f(2)= 3over2]

따라서 [eqn: f(2)-f(1)= 3over2 -2= - 1over2]

[eqn: int _{ 1} ^{2 } {v(t)dt }`=` int _{ 1} ^{2 } {(-2t+6)dt }`=3]

[eqn: THEREFORE~f(2)-f(1)!=` int _{ 1} ^{2 } {v(t)dt }]	[eqn: THEREFORE] 거짓

ㄷ. [eqn: h``]가 충분히 작은 양수일 때 그림에서 보는 것처럼

[eqn: 1-h<x<1``]에서

[eqn: f(x)= 1over2 cdot x cdot4x=2x^2 ``rarrow``f'(x)=4x] [eqn: ``4]

[eqn: 1<x<1+h``]에서

[eqn: f(x)=2- 1over2 ((x+2)-3)^2 ``rarrow`` f'(x)=-x+1] [eqn: ``0]

따라서 [eqn: f'(x)``]의 [eqn: x=1``]에서 좌우 미분계수가 다르므로 미분불가능

[eqn: THEREFORE] 거짓

[[eqn: 4]점][2011년 수능]

[보 기]

ㄱ. [eqn: f(1)=2]

ㄴ. [eqn: f(2)-f(1)= int _{1} ^{2} {v(t)dt}]

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

어떤 전망대에 설치된 엘리베이터는 [eqn: 1``]층에서 출발하여 꼭대기층까지 올라가는 동안, 출발 후 처음 [eqn: 2``]초까지는 [eqn: 3`` rm m/초 ^{2} ``]의 가속도로 올라가고 [eqn: 2``]초 후부터 [eqn: 10``]초까지는 등속도로 올라가며 [eqn: 10``]초 후부터는 [eqn: -2`` rm m/초 ^{2} ``]의 가속도로 올라가서 멈춘다.
이 엘리베이터가 출발하여 멈출 때까지 움직인 거리는 몇 [eqn: rm m``]인지 구하시오.

63

엘리베이터의 속도를 [eqn: v(t)``]라 하면

[eqn: v(t)= cases{~~```````3t~~``````(0 <= t <= 2)#~~````````6~~````````(2 <= t <= 10)#```-2t+26```(10 <= t <= 13)`} ``]

따라서 엘리베이터가 움직인 거리를 [eqn: S``]라 하면

[eqn: S=][eqn: int _{0} ^{2} {3t} `dt+ int _{2} ^{10} {6} `dt+ int _{10} ^{13} {(-2t+26)} `dt=63``]

[3점][2005년 10월]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t`]에서의 위치 [eqn: f(t)`]에 대하여 이차함수 [eqn: y=f`'(t)`]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: y=f`'(t)]

[eqn: rm O]

점 [eqn: rm P`]가 출발할 때의 운동 방향에 대하여 반대 방향으로 움직인 거리를 [eqn: d`]라 할 때, [eqn: 12d`]의 값을 구하시오.

16

점 [eqn: rmP]가 출발할 때의 운동방향에 대하여 반대방향으로 움직인 시간은 [eqn: t=1]에서부터 [eqn: t=3]

[eqn: f``'(t)=(t-1)(t-3)]

따라서 반대방향으로 실제 움직인 거리

[eqn: d= int _{ 1} ^{ 3} `{ left | f``'(t) right | ``dt } = { 4} over { 3}]

∴ [eqn: 12d=16]

[[eqn: 3`]점][2007년 7월]

원점 [eqn: rmO]를 출발하여 수직선 위를 [eqn: 16]초 동안 움직이는 점 [eqn: rm P]의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {cases{{1} over {2} t-1&LEFT ( 0 LEQ `t<2 RIGHT )#-t ^{2} +10t-16~&LEFT ( 2 LEQ `t<8 RIGHT )#2- {1} over {4} t~~&LEFT ( 8 LEQ t LEQ 16 RIGHT )}}]

일 때, 선분 [eqn: rmOP]의 길이의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 35]

[eqn: S _{1} `= int _{0} ^{2} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt}], [eqn: S _{2} `= int _{2} ^{8} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt}], [eqn: S _{3} `= int _{8} ^{16} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt}]

라 할 때,

[eqn: S _{1} =-1,```S _{2} =36,```S _{3} =-8]

따라서 [eqn: LEFT ( bar{rm OP} 의```최댓값 RIGHT ) = it S _{1} +S _{2} =35]

[4점][2011년 7월]

같은 높이의 지면에서 동시에 출발하여 지면과 수직인 방향으로 올라가는 두 물체 [eqn: A], [eqn: B``]가 있다. 그림은 시각 [eqn: t```(0<=t<=c)] 에서 물체 [eqn: A``]의 속도 [eqn: f(t)``]와 물체 [eqn: B``]의 속도 [eqn: g(t)``]를 나타낸 것이다.

[eqn: int from 0 to c f(t)`dt = int from 0 to c g(t)`dt``]이고 [eqn: 0<=t<=c``]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것?

⑤

ㄱ. [eqn: t=a]일 때, 물체 A의 높이는 [eqn: int_0^a f(t)dt]이고, 물체 B의 높이는 [eqn: int_0^a g(t)dt]이다.

이때, 주어진 그림에서

[eqn: int_0^a f(t)dt][eqn: >][eqn: int_0^a g(t)dt]

이므로 A가 B보다 높은 위치에 있다. (참)

ㄴ. [eqn: 0 le t le b]일 때 [eqn: f(t)- g(t) ge 0]이므로 시각 [eqn: t]에서의 두 물체 A, B의 높이의 차는 점점 커진다.

또, [eqn: b < t le c]일 때 [eqn: f(t) -g(t) < 0]이므로 시각 [eqn: t]에서의 두 물체 A, B의 높이의 차는 점점 줄어든다.

따라서 [eqn: t=b]일 때, 물체 A와 물체 B의 높이의 차가 최대이다. (참)

ㄷ. [eqn: int_0^c f(t)dt = int_0^c g(t) dt]이므로 [eqn: t=c]일 때, 물체 A와 물체 B는 같은 높이에 있다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: t=a``]일 때, 물체[eqn: A``]는 물체[eqn: B``]보다 높은 위치에 있다. ㄴ. [eqn: t=b``]일 때, 물체[eqn: A``]와 물체[eqn: B``]의 높이의 차가 최대이다. ㄷ. [eqn: t=c``]일 때, 물체[eqn: A``]와 물체[eqn: B``]는 같은 높이에 있다.

[4점][2011년 9월]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: \P], [eqn: \Q]가 있다. 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rmA(`5`)`]를 출발하여 시각 [eqn: t``]에서의 속도가 [eqn: 3`t`^2 -2`]이고, 점 [eqn: rm Q]는 점 [eqn: rmB( it` k`)`]를 출발하여 시각 [eqn: t``]에서의 속도가 [eqn: 1`]이다. 두 점 [eqn: rm P,~Q]가 동시에 출발한 후 [eqn: 2`]번 만나도록 하는 정수 [eqn: k`]의 값은?(단, [eqn: k!=5])

②

[eqn: t`]에서의 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 위치를 각각 [eqn: x _{rm P it} `], [eqn: x `_{rmQ it} `]라 하면

[eqn: x _{rm P it} `=`5+ int _{0} ^{t} {`(`3t ^{2} -2`)} `dt=t` ^{3} -2`t+5],

[eqn: x _{rm Q it} `=`k+ int _{0} ^{t} {`1`} dt=t+k]

이때, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 만나려면 [eqn: t^3 -2t +5 = t+k] 즉, [eqn: t^3 -3t +5 = k]이어야 한다.

[eqn: f`(t)=t ^{3} -3`t+5`]라 하면 [eqn: f` prime (t)=3t ^{2} -3=3(t-1)(t+1)`]이므로 [eqn: t>0]에서 함수 [eqn: f`(t`)`]의 그래프는 그림과 같다.

직선 [eqn: y`=`k`]와 곡선 [eqn: y`=`f`(`t`)`]가 서로 다른 두 점에서 만날 조건은 [eqn: 3<k<5`]이므로 정수 [eqn: k`]는 [eqn: 4`]이다.

[4점][2011년 10월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P``]의 시각 [eqn: t``(0<=t<=6)``]에서의 속도 [eqn: v(t)``]의 그래프가 그림과 같다.
점 [eqn: P``]가 시각 [eqn: t=0``]에서 시각 [eqn: t=6``]까지 움직인 거리는?

⑤

움직인 거리는 [eqn: 1 over 2 + 3+1+`|`-1`|``` = 11 over 2]
[참고] [eqn: t=6``]일 때, 점 [eqn: P``]의 위치는 [eqn: 1 over 2 + 3 +1 +(-1) = 7 over 2]

[3점][2012년 5월]

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 5 over 2]	③ [eqn: 7 over 2]	④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 11 over2]

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]의 시각 [eqn: t`] ([eqn: 0 LEQ t LEQ 8`])에서의 속도가 각각 [eqn: 2`t ^{2} -8`t`], [eqn: t ^{3} -10`t ^{2} +24`t`] 이다. 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`] 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 64]

[eqn: f(t)=2t ^{2} -8t`], [eqn: g(t)=t ^{3} -10t ^{2} +24t`]라 하자.

[eqn: x`]초 후의 두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`] 사이의 거리는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: LEFT | int _{0} ^{x} {} f(t)dt`- int _{0} ^{x} {} g(t)dt` RIGHT |][eqn: = LEFT | int _{0} ^{x} {} LEFT { f(t)-g(t) RIGHT } dt` RIGHT |]

[eqn: h(x)= int _{0} ^{x} {} LEFT { f(t)-g(t) RIGHT } dt`]라 하자.

[eqn: h prime (x)][eqn: =f(x)-g(x)`]

[eqn: = LEFT ( 2x ^{2} -8x RIGHT ) - LEFT ( x ^{3} -10x ^{2} +24x RIGHT ) RIGHT .]

[eqn: =`-x ^{3} +12x ^{2} -32x`]

[eqn: =`-x(x-4)(x-8)`]

[eqn: h`prime(x)=0`]에서 [eqn: x=0`], [eqn: 4`], [eqn: 8`]

[eqn: h(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	[eqn: 0`]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4`]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 8`]
[eqn: h` prime (x)`]	[eqn: 0`]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +`~]	[eqn: 0`]
[eqn: h(x)`]	[eqn: 0`]	↘	[eqn: h(4)]	↗	[eqn: h(8)]

[eqn: h(x)= int _{0} ^{x} {} LEFT { LEFT ( 2t ^{2} -8t RIGHT ) - LEFT ( t ^{3} -10t ^{2} +24t RIGHT ) RIGHT } dt`]

[eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( -t ^{3} +12t ^{2} -32t RIGHT ) dt]

[eqn: =`- {1} over {4} x ^{4} +4x ^{3} -16x ^{2}]

[eqn: x=4`]일 때

[eqn: LEFT | `h(x)` RIGHT | `][eqn: = LEFT [ {1} over {4} t ^{4} -4t ^{3} +16t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{4} `][eqn: =64`]

[eqn: x=8`]일 때

[eqn: LEFT | `h(x)` RIGHT | `][eqn: = LEFT [ {1} over {4} t ^{4} -4t ^{3} +16t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{8} `][eqn: =0`]

따라서 [eqn: LEFT | `h(x)` RIGHT | `]는 [eqn: x=4`]에서 최댓값 [eqn: 64`]를 갖는다.

[4점][2013년 10월]

[해설] 미적분1-(5)적분-(e)속도, 가속도