수 리 영 역

정적분정의

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수 리 영 역

정적분정의

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 적분 (정적분 정의)

성명			수험번호

16

[eqn: rm bar{AB} =2,``` bar{BC} =1,``` ANGLE B=90˚] 인 직각삼각형 [eqn: rm AB`C`]가 있다. 변 [eqn: rm AB`]를 [eqn: n`]등분한 점을 오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm B _{1} ,```B _{2} ,```B _{3} ,``` CDOTS],[eqn: rm B_{itn-1`}]이라 하고, 각 점에서 변 [eqn: bar{rmBC}]에 평행하게 직선을 그어 변 [eqn: rm overline AB`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm C_1`,`~C_2`,`] [eqn: rm C _{3} ,``` CDOTS ,```C _{it n-1}]이라 할 때
[eqn: lim_{n`->`inf}`scale 90 {2`pi} over n scale 100 sum_k=1^n-1`bar{rmB _ k `rmC_k`}``^2`]의 값은?

④

[eqn: bar{B_k `C_k `^2 } = left( k over n right)^2]이므로

[eqn: lim_n->inf 2pi over n sum_k=1^n-1 bar{B_k `C_k `^2 }][eqn: = lim_n->inf 2pi over n sum_k=0^n-1 left( k over n right)^2]

[eqn: =2pi ` lim_n->inf 1 over n sum_k=0^n-1 left( k over n right)^2]

[eqn: =2pi int_0^1 x^2 dx ``][eqn: = 2pi over 3]

[1점][1996년 수능]

①　[eqn: scale 90 pi over 6`]	②　[eqn: scale 90 pi over 3`]
③　[eqn: scale 90 pi over 2`]	④　[eqn: scale 90 {2`pi} over 3`]	⑤　[eqn: pi`]

다음은 정적분 [eqn: INT _{ 0}^{1 } (x^2 + 1)dx]의 근사값의 오차의 한계를 구하는 과정의 일부이다.

그림 (가)

그림 (나)

그림 (가), (나)와 같이 폐구간 [eqn: LEFT [ 0,``` RIGHT 1 ]]을 [eqn: n]등분하여 얻은 [eqn: n]개의 직사각형들의 넓이와 합을 각각 [eqn: A,```B]라 하자. [eqn: A-B LEQ 0.15] 가 되는 [eqn: n]의 최소값은?

②

위 그림에서 알 수 있듯이 [eqn: A-B]는 그림(가)의 가장 큰 직사각형의 넓이와 그림(나)의 가장 작은 직사각형의 넓이의 차와 같다. 따라서

[eqn: A-B= {1} over {n} ·f(1)- {1} over {n} ·f(0)= {2} over {n} - {1} over {n}][eqn: = {1} over {n} LEQ 0.15]

[eqn: THEREFORE ```n GEQ 6.6666 CDOTS]

즉, 구하는 [eqn: n]의 최소값은 [eqn: 7]이다.

[3점][2001년 수능]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

다음은 연속함수 [eqn: y`=f`(x`)`]의 그래프이다.

구간 [eqn: [0,```1]]에서 함수 [eqn: f`(x)]의 역함수 [eqn: g`(x)]가 존재하고 연속일 때, 극한값 [eqn: lim _{n` -> INF `} {sum _{k`=1} ^{n}} LEFT { `g` LEFT ( {k _{`}} over {n``} RIGHT ) -g` LEFT ( {k-1 _{`}} over {n``} RIGHT ) ` RIGHT } ` {k _{`}} over {n``}]와 같은 값을 갖는 것은?

③

[eqn: sum_k=1^n left{ g left( k over n right) -g left( k-1 over n right) right} k over n]

[eqn: = LEFT { g LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT } {1} over {n} + LEFT { g LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {2} over {n}]

[eqn: + LEFT { g LEFT ( {3} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) RIGHT } {3} over {n}][eqn: + CDOTS + LEFT { g LEFT ( {n} over {n} RIGHT ) -g LEFT ( {n-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {n} over {n} `]

[eqn: =g(1)- LEFT { g(0)+g LEFT ( {1} over {n} RIGHT ) +g LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) + CDOTS +g LEFT ( {n-1} over {n} RIGHT ) RIGHT } {1} over {n} `]

[eqn: =1- sum _{k=0} ^{n-1} g LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

∴ (주어진 식)[eqn: =1- int_0^1 g(x) dx = int_0^1 f(x) dx`]

[4점][2005년 수능]

①[eqn: int from { 0 } to { 1 } { g`(x`)``dx }]	②[eqn: int from { 0 } to { 1 } { x`g`(x`)``dx }]

③[eqn: int from { 0 } to { 1 } { f``(x`)`dx }]	④[eqn: int from { 0 } to { 1 } { x`f``(x`)``dx }]

⑤[eqn: int from { 0 } to { 1 } { left {` f``(x`)-g`(x`) `right }`` dx }]

함수 [eqn: f`(x)=x ^3 +x`]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f`` LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[eqn: 12`]

[eqn: lim_n->inf`1over n sum_k=1^n `f``left( 1+ 2k over n right)`][eqn: = lim_n->inf` sum_k=1^n `f``left( 1+ 2k over n right)`cdot 2over n cdot 1over2`]

[eqn: = 1over2 `int_1^3 `f``(x)``dx`][eqn: = 1over2 int_1^3 `(x^3 + x ) `dx`]

[eqn: = 1over2 left[ 1over4 x^4 + 1over2 x^2 right]_1^3`][eqn: = 1over2 left( 81 over 4 + 9 over 2 - 1over4 - 1over2 right)`]

[eqn: = 1over2 (20+4 )`][eqn: = 12`]

[3점][2008년 수능]

함수 [eqn: f`(x)=x ^{2} +ax+b```(a GEQ 0,```b>0)]가 있다. 그림과 같이 [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n``]에 대하여 폐구간 [eqn: [0,````1]]을 [eqn: n``]등분한 각분점 (양 끝점도 포함)을 차례로 [eqn: 0=x_0 , ```x_1 ,```x_2 ,``` cdots ,```x_n-1 ,```x_n =1]이라 하자. 폐구간 [eqn: [x _{k-1} ,```x _{k} ]]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: f``(x_k )``]인 직각삼각형의 넓이를 [eqn: A _{k}]라 하자. [eqn: (k=1,```2,``` cdots ,```n)]

양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이
[eqn: A_1 + A_n = {7n^2 + 1 }over n^3]일 때, [eqn: lim_n->inf ``sum _k=1^n `` 8k over n A_k``]의 값을 구하시오.

[eqn: 14]

[eqn: x_k = k over n]이므로 [eqn: A_k = 1 over n ․f`(x_k )= 1 over n f`left(k over n right)]

[eqn: A_1 +A_n = 1 over n left{f`(x_1 )+f(x_n ) right}]

[eqn: = 1 over n left{left(1 over n right)^2 + a over n +b+1+a+b right}]

[eqn: = 1 over n^3 left{1+an+(1+a+2b)n^2 right}][eqn: = {7n^2 +1} over n^3]에서

[eqn: a=0], [eqn: 1+a+2b=7]

[eqn: ∴~a=0], [eqn: b=3]    [eqn: ∴~f`(x)=x^2 +3]

따라서, [eqn: A_k = 1 over n left{left(k over n right)^2 +3 right}]이므로

[eqn: lim from {n`→`inf} SUM from k=1 to n 8k over n A_k][eqn: = 8 lim from {n`→`inf } SUM from k=1 to n k over n ․ 1 over n left{ left(k over n right)^2 +3 right}]

[eqn: = 8 int from 0 to 1 x(x^2 +3) dx][eqn: = 8 left[ 1 over 4 x^4 + 3 over 2 x^2 right]_0^1]

[eqn: = 8 left(1 over 4 + 3 over 2 right) = 14]

[4점][2010년 수능]

함수 [eqn: f(x)=3x^2 -ax]가
[eqn: lim _{ n->inf} {1overn sum _{ k=1} ^{n }f LEFT ( { 3k} over {n } RIGHT ) } = f(1)]
을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: lim _{ n->inf} { } { 1} over { n} sum _{ k=1} ^{n }f` LEFT ( { 3k} over { n} RIGHT )]

[eqn: ={ 1} over { 3} TIMES lim _{ n->inf} { } sum _{ k=1} ^{ n}f` LEFT ( { 3k} over {n } RIGHT )cdot { 3} over { n}]

[eqn: ={ 1} over { 3} TIMES int _{ 0} ^{3 } { }f(x)dx][eqn: ={ 1} over { 3} TIMES int _{ 0} ^{ 3} { }(3x^2 -ax)dx]
[eqn: ={ 1} over { 3} TIMES LEFT [x^3 - { a} over {2 }x^2 RIGHT ]_0 ^3 = { 1} over { 3} TIMES LEFT ( 27- 9 over 2 a RIGHT )]

[eqn: =9- { 3a} over { 2}]

[eqn: THEREFORE```9- { 3a} over { 2}=f(1),```9- { 3a} over { 2}=3-a]

[eqn: THEREFORE```a=12]

[4점][2014년 수능]

함수 [eqn: f``(x`)=x ^2 `]에 대하여 그림과 같이 구간 [eqn: left[`0,~1`right]`]을 [eqn: 2n] 등분한 후, 구간 [eqn: LEFT [ ` {k-1}_` over {2n^`} ,~ {k_`} over {2n^`} ` RIGHT ]`]를 밑변으로 하고 높이가 [eqn: f`` LEFT ( {k_`} over {2n^`} RIGHT ) `]인 직사각형의 넓이를 [eqn: S _k `]라 하자.
(단, [eqn: n `]은 자연수이고 [eqn: k=1,~2,~3,~ CDOTS ,~2n `]이다.)

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} S _{k} ``] [eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} LEFT { {1} over {2n} TIMES f LEFT ( {k} over {2n} RIGHT ) RIGHT }] [eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} LEFT { {1} over {2n} TIMES LEFT ( {k} over {2n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} LEFT { {1} over {2} BULLET {1} over {n} TIMES LEFT ( {1} over {2} BULLET {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }] [eqn: = int _{0} ^{{1} over {2}} {x ^{2} `dx}] (참)

ㄴ. [eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( S _{2k} -S _{2k-1} RIGHT ) ``=` sum _{k=1} ^{n} LEFT { {1} over {2n} f LEFT ( {2k} over {2n} RIGHT ) - {1} over {2n} f LEFT ( {2k-1} over {2n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: `= {1} over {2n} ` sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( {2k} over {2n} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {2k-1} over {2n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: `= {1} over {8n ^{3}} ` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 4k-1 RIGHT )] [eqn: `= {n ^{2} +n-1} over {8n ^{3}} `]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( S _{2k} -S _{2k-1} RIGHT ) ``][eqn: `= lim _{n -> INF } {} {n ^{2} +n-1} over {8n ^{3}} `=0] (참)

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} S _{k} ``] [eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} LEFT { {1} over {2n} TIMES f LEFT ( {2k} over {2n} RIGHT ) RIGHT }][eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} LEFT { {1} over {2n} TIMES LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}} LEFT { LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} {1} over {n} RIGHT }] [eqn: = {1} over {2} int _{0} ^{{1} over {2}} {x ^{2} `dx}] (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[4점][2006년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{n `->` INF } {} sum _{k=1} ^{n_`} S _k `= int from {``0} to {1over2} x ^2 `dx``] ㄴ. [eqn: lim _{n `->` INF } {} sum _{k=1} ^{n_`} `(S _2k - S_2k-1 `)=0`] ㄷ. [eqn: lim _{n `->` INF } {} sum _{k=1} ^{n_`} S _2k `= {1} over {2} int _{0} ^{1} {} ``x^2 ``dx``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: rmbar {AD} `=1], [eqn: rm bar{AB} `= sqrt {2} `,`````` bar{BC} `=3]인 등변사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서  변 [eqn: rmAB]를 [eqn: n]등분한 점을 각각  [eqn: {rm P _{1`} ,````P _{2}` ,````P_3`,``` CDOTS ``,```` P }_{n-1}`]이라 하고 각 점에서 변 [eqn: rmBC]에 평행한 직선을 그어 변 [eqn: rmCD]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rmQ _{1`} ,``Q _{2}` ,` CDOTS `,`` Q} _{n-1}]이라 할 때,
[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {eqalign{{1} over {n} left(`` {bar{{rmP} _{1} {rmQ} _{1}}} ^{3} ```+```{bar{{rmP} _{2} {rmQ} _{2}}} ^{3} ```+```{bar{{rmP} _{3} {rmQ} _{3}}} ^{3} ```+ ``` CDOTS```+```{bar{{rmP} _{n} {rmQ} _{n}}} ^{3}`right)`]
의 값을 구하시오.

10

[eqn: lim _{ n->inf} { { 1} over { n} } left( {bar{ {rmP}_1 {rmQ}_1 }}^3 ``+``{bar{ {rmP}_2 {rmQ}_2 }}^3 ``+`CDOTS`+`{bar{ {rmP}_n {rmQ}_n }}^3 right)]

[eqn: =lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1 } ^{n } left(1+ {2 k} over { n} right)^3 = {1 } over { 2} int _{ 1} ^{ 3} {x^3` dx }=10]

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P_1]

[eqn: rm P_2]

[eqn: {rm P}_n-1]

[eqn: {rmB(= P it }_{n} )]

[eqn: rm D]

[eqn: rm Q_1]

[eqn: rm Q_2]

[eqn: {rm Q}_n-1]

[eqn: {rmC(= Q it }_{n} )]

[eqn: lim _{n -> INF } {} ``` sum _{k=n+1} ^{2n} ```` {sqrt {k}} over {n sqrt {n}} ``= int _{a} ^{b} {sqrt {x}} dx``]일 때, [eqn: a+b`]의 값은?

④

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=n+1} ^{2n} `` {sqrt {k}} over {n sqrt {n}} ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ` LEFT ( sqrt {1+ {1} over {n}} + sqrt {1+ {2} over {n}} + sqrt {1+ {3} over {n}} + CDOTS sqrt {1+ {n} over {n}} `` RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} sqrt {1+ {k} over {n}}․ {1 } over {n }][eqn: =int _{ 0} ^{ 1} { sqrt { 1+x} }`dx]

[eqn: =int _{ 1} ^{ 2} { sqrt { x} }`dx]  [eqn: THEREFORE``a+b=3]

[3점][2007년 10월]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: F``'(x)=f(x) `]인 이차함수 [eqn: y=f(x)`]와 임의의 두 실수 [eqn: a`,```c`]에 대하여 서로 다른 두 점 [eqn: {rmA}(a`,```F`(a))`], [eqn: {rmB}(a+c`,```F`(a+c))`]를 지나는 직선의 기울기와 같은 값을 갖는 것은?

②

[eqn: F``` prime `(x)=f`(x)```]이므로

[eqn: int _{} ^{} {f(x)`dx=`F``(x)+C``} `]이다.

따라서 [eqn: rm A it (`a,```F``(a))], [eqn: rm B it (`a+c`,``F`(a+c))`]를 지나는 직선의 기울기는

[eqn: {F``(a+c)-F``(a)} over {(a+c)-a} =` {1} over {c} LEFT { `F``(a+c)-F``(a) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {c} ` int _{a} ^{a+c} {f(x)dx```} `]

[eqn: =` {1} over {c} `` lim _{n -> INF } {LEFT . sum _{k=1} ^{n} `f` LEFT ( a+` {ck} over {n} ` RIGHT ) ` {c} over {n} RIGHT .}]

[eqn: =``` lim _{n -> INF } {LEFT . `` sum _{k=1} ^{n} ``f` LEFT ( a+` {ck} over {n} ` RIGHT ) ` {1} over {n} RIGHT .}]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: lim _{n -> INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} `f LEFT ( {k} over {2n} RIGHT ) {c} over {n}]	② [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}` f LEFT ( a+ {ck} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}]
③ [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n}` f LEFT ( a+c+ {k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}}`]	④ [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=0} ^{n-1}` f LEFT (c+ {ak} over {n} RIGHT ) {1} over {2n}}]
⑤ [eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=0} ^{n-1} `f LEFT (a+ {k} over {n} RIGHT ) {2} over {n}}]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 있다. [eqn: 2] 이상인 자연수 [eqn: n]에 대하여 폐구간 [eqn: [0,`1]]을 [eqn: n]등분한 각 분점 (양 끝점도 포함)을 차례대로 [eqn: 0=x _{0} ,`x _{1} ,`x _{2} ,`cdots,`x _{n-1} ,`x _{n} =1]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. (반례)

[eqn: x_2k+2 - x_2k = 2 over 2m = 1over m`]이므로

[eqn: sum_k=0^m-1 `{f(x_2k )} over m`]은 [그림1]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다.

[eqn: x_k+1 - x_k = 1over n`]이므로

[eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`]은 [그림2]의 직사각형들의 넓이의 합을 나타낸다.

따라서, [eqn: sum_k=0^m-1 { f(x_2k )} over m `> `sum_k=0^n-1 {f(x_k )} over n`]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: x_k = k over n`]이므로

[eqn: lim_n->inf` sum_k=1^n 1over n left{ { f(x_k-1 )+f(x_k )} over 2 right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=1^n f(x_k-1 ) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f(x_k ) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=1^n f left( k-1 over n right) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f left( k over n right) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over2 `left{ lim_n->inf`` sum_k=0^n-1 f left( k over n right) 1over n + lim_n->inf`sum_k=1^n`f left( k over n right) 1over n``right}`]

[eqn: = 1over 2 left{ `int_0^1`f(x)`dx + int_0^1 `f(x)`dx` right}`]

[eqn: = int_0^1`f(x)`dx`] (참)

ㄷ. (반례)

ㄱ의 [그림2]에서

[eqn: int_0^1`f(x)`dx`]는 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: x`]축 및 두 직선 [eqn: x=0 ,``x=1`]로 둘러싸인 부분의 넓이이고, [eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`]은 직사각형들의 넓이의 합을 나타내므로

[eqn: sum_k=0^n-1`{f(x_k )} over n`>` int_0^1`f(x)`dx`] (거짓)

따라서, 보기 중 옳은 것은 ㄴ이다.

[4점][2010년 9월]

[보 기]

ㄱ. [eqn: n=2m]([eqn: m]은 자연수)이면 [eqn: sum _{k=0} ^{m-1} {f LEFT ( x _{2k} RIGHT )} over {m} <= sum _{k=0} ^{n-1} {f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {n}]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{n->inf} {sum _{k=1} ^{n} {1} over {n} LEFT { {f LEFT ( x _{k-1} RIGHT ) +f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {2} RIGHT } = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}]

ㄷ. [eqn: sum _{k=0} ^{n-1} {f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {n} <= int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} <= sum _{k=1} ^{n} {f LEFT ( x _{k} RIGHT )} over {n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ^{3} {1} over {n}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: {1} over {2} lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ^{3} {2} over {n}} = {1} over {2} int _{1} ^{3} {x ^{3} `dx} =10]

[3점][2011년 7월]

삼차함수 [eqn: f`(`x`)=3x` ^{3}+4x`^2 -2x-1`]에 대하여

[eqn: lim _{n` ->` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {n} `f` LEFT ( `-1`+ {2k} over {n} RIGHT )}]

의 값은?

⑤

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} ` {1} over {n} `f` LEFT ( -1`+` {2k} over {n} RIGHT ) = {1} over {2} ` int _{-1} ^{````1} {(`3x ^{`3} +4x ^{`2} -`2x`-1)`dx`}]

[eqn: =` int _{``0} ^{1} {} LEFT ( 4x ^{`2} -1 RIGHT ) `dx][eqn: =` {1} over {3}]

[4점][2011년 10월]

① [eqn: - 1 over 3`]	② [eqn: - 1 over 6`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1 over 6`]	⑤ [eqn: 1 over 3`]

사차함수 [eqn: y=f(x)``]의 그래프가 그림과 같을 때,
[eqn: lim_n->inf 1 over n sum from k=1 to n f`left(m+ k over n right)`<0``]
을 만족시키는 정수 [eqn: m``]의 개수는?

⑤

[eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f(m+ {k} over {n} )}][eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f(m+ {(m+1-m)k} over {n} ) {1} over {n}}]

[eqn: = int _{m} ^{m+1} {} f(x)`dx<0``]이므로
[eqn: m=`-3,```-2,```-1,```2,```3,```4,```5``]이므로 [eqn: 7``]개다.

[4점][2012년 6월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rm A(2,~0)]이 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: rm {bar OA}]를 [eqn: n]등분한 점을 차례로 [eqn: rm A _{1}], [eqn: rmA _{2}], [eqn: CDOTS] , [eqn: rmA _{it n-1 }]이라 하고, 점 [eqn: rmO]는 [eqn: rm A _{it 0 rm}], 점 [eqn: rm A]는 [eqn: rm A_{it n}]이라 하자. 점 [eqn: rmA_{it k}]를 지나고 [eqn: x]축과 수직인 직선이 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -2x ^{2} -5x+6]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm`B _{itk}]라 하자. ([eqn: k=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: CDOTS] , [eqn: n])
[eqn: bar{ rm A _{it k-1} A _{itk}}]를 밑변으로 하고, [eqn: bar{rm A_{itk}`B_{itk}]를 높이로 하는 직사각형 [eqn: n]개의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: 2` lim _{n -> INF } {`S _{n}}]의 값을 구하시오.

11

[eqn: S_n]을 그림으로 나타내면 아래와 같이 된다.

[eqn: y]

[eqn: y`=f(x)]

[eqn: rm A _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm A _{0} `=`O]

[eqn: rm A _{itn}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: x]

[eqn: lim _{n` -> INF } {S _{n}} `]의 값은 아래 그림의 어두운 부분의 넓이와 같으므로,

[eqn: y]

[eqn: y`=f(x)]

[eqn: rm `O]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 2lim _{n` -> INF } {S _{n}} `=` 2 int _{0} ^{1} {(x ^{3} -2x ^{2} -5x+6)dx} `]

[eqn: - 2int _{1} ^{2} {(x ^{3} -2x ^{2} -5x+6)dx}} `=` {11}]

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 변 [eqn: rmBC]를 [eqn: n]등분한 각 분점을 점 [eqn: rmB]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rmP _{2}], [eqn: rmP _{3}], [eqn: cdots], [eqn: rm P _{it n rm `-1}]이라 하고, 변 [eqn: rmCD]를 [eqn: n]등분한 각 분점을 점 [eqn: rmC]에서 가까운 것부터 차례로 [eqn: rm Q _{1}], [eqn: rm Q _{2}], [eqn: rm Q _{3}], [eqn: cdots], [eqn: rm Q _{it n rm -1}]이라 하자. [eqn: 1 LEQ k LEQ n-1]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 사각형 [eqn: rm A P_{itk}Q_{itk}D]의 넓이를 [eqn: S _{k}]라 하자.
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} `=alpha]일 때, [eqn: 150alpha]의 값을 구하시오.

100

[eqn: S _{k} =1- {1} over {2} TIMES {k} over {n} `- {1} over {2} TIMES {k} over {n} LEFT ( 1- {k} over {n} RIGHT )]

[eqn: =1- {k} over {n} + {1} over {2} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}} `= lim _{n -> INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n-1} LEFT { 1- {k} over {n} + {1} over {2} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = int_0^1 left(1-x + 1over 2 x^2 right) dx]

[eqn: = left[ x - 1 over 2 x^2 + 1 over 6 x^3 right]_0^1][eqn: = {2} over {3}]

[eqn: therefore] [eqn: alpha= {2} over {3}]
따라서 [eqn: 150alpha=100]

[4점][2013년 4월]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B]

[eqn: rm P _{1}]

[eqn: rm P _{2}]

[eqn: rm P _{3}]

[eqn: cdots]

[eqn: rm P _{itk}]

[eqn: cdots]

[eqn: rm P _{it n-1}]

[eqn: rm Q _{1}]

[eqn: rm Q _{2}]

[eqn: rm Q _{3}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: rm Q _{itk}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: rm Q _{it n-1}]

[eqn: 1]

함수 [eqn: f(x)`=`x^2`]에 대하여 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {`` sum _{k=1} ^{n} {6} over {n} ``f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )} `]의 값은?

④

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=1} ^{n} {6} over {n} `f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )} `=`6 int _{1} ^{2} {f(x)dx} ```=`14`]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

연속함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(2)=1]

(나) [eqn: int _{0} ^{2} {f(x)} dx= {1} over {4}]

[eqn: lim _{n -> INF }` {sum _{k`=1} ^{n} LEFT { `f `LEFT ( {2k} over {n} RIGHT )` -f `LEFT ( {2k-2} over {n} RIGHT ) RIGHT }` {k} over {n}}]의 값은?

⑤

[eqn: S_n = sum_k=1^n left{ f left( 2k overn right) -f left( 2k-2 overn right)right} k overn]이라 하면

[eqn: S_n =sum _{ k=1} ^{n }left{ f LEFT ( { 2k} over {n } RIGHT ) - f LEFT ( { 2k-2} over {n } RIGHT ) right} k overn]

[eqn: = {1} over {n} LEFT { f LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) -f(0) RIGHT }][eqn: + {2} over {n} LEFT { f LEFT ( {4} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2} over {n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: + {3} over {n} LEFT { f LEFT ( {6} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {4} over {n} RIGHT ) RIGHT }][eqn: +][eqn: ``CDOTS `]

[eqn: + {n-1} over {n} LEFT { f LEFT ( {2n-2} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2n-4} over {n} RIGHT ) RIGHT }][eqn: + {n} over {n} LEFT { f LEFT ( {2n} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( {2n-2} over {n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =][eqn: -{1} over {n} `f(0)][eqn: - {1} over {n} `f LEFT ( { 2} over { n} RIGHT )][eqn: - {1} over {n} `f LEFT ( {4} over {n} RIGHT )][eqn: - `CDOTS `][eqn: - {1} over {n} `f LEFT ( {2n-2} over {n} RIGHT )][eqn: +`f LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: =f(2)- sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: k overn =x_k]라 하면 [eqn: {1} over {n} = DELTA x]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=0} ^{n-1}} f(2x _{k`} ) DELTA x= int _{0} ^{1} {f(2x)} dx]

[eqn: =`1over2 int _{ 0} ^{2 } {f(t) dt }][eqn: = {1} over {8}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n} = lim _{n -> INF } {} LEFT { f(2)- sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n} RIGHT }]

[eqn: =f(2)-][eqn: lim _{n -> INF } {} sum _{k=0} ^{n-1} f LEFT ( {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]

[eqn: = 1- 1over8][eqn: = 7over8]

[4점][2013년 10월]

① [eqn: 3over4]	② [eqn: 4over5]	③ [eqn: 5over6]	④ [eqn: 6over7]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

이차함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +1]에 대하여
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` sum _{k=1} ^{n} ``f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) {k ^{2} +2nk} over {n ^{3}}} `]
의 값은?

①

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) {k ^{2} +2nk} over {n ^{3}}} &][eqn: = lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) LEFT { LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) +1-1 RIGHT } {1`} over {n}} &][eqn: = lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) LEFT { LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} -1 RIGHT } {1`} over {n}} &][eqn: = lim _{n -> INF } {` sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT } LEFT { LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT ) ^{2} -1 RIGHT } {1`} over {n}} &]

[eqn: = int _{1} ^{2} {` LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT )} ``dx`= {26} over {5}]

[4점][2014년 7월]

① [eqn: {26} over {5}]	② [eqn: {31} over {5}]	③ [eqn: {36} over {5}]	④ [eqn: {41} over {5}]	⑤ [eqn: {46} over {5}]

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같고, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =0] 이다. [eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT )} = {7} over {6}]일 때, [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?

➁

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-3 RIGHT )]으로 잡으면

문제에서 [eqn: {k} over {n} ` -> `x] , [eqn: {1} over {n} ` -> `dx] , [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n}} ` -> ` int _{0} ^{1} {}]로 변형

[eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT )} = {7} over {6}] 에서

[eqn: RARROW ` int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =a int _{0} ^{1} {x ^{2} -3x} `dx][eqn: =a LEFT [ {x ^{3}} over {3} - {3} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1} =- {7} over {6} a= {7} over {6}]

∴ [eqn: a=-1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{2} +3x] 를 [eqn: x]관하여 미분하면

[eqn: f`'` LEFT ( x RIGHT ) =-2x+3]

∴ [eqn: f`'` LEFT ( 0 RIGHT ) =3]

[4점][2014년 9월]

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +1`]위에 세 점 [eqn: rm A(-1,~0)],
[eqn: rm B(1,~0)], [eqn: rm C(0,~1)]이 있다. [eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여
선분 [eqn: rm OC]를 [eqn: n]등분할 때, 양 끝점을 포함한 각 분점을 차례로
[eqn: rm O=D _{0}], [eqn: rm D _{1}], [eqn: rm D _{2}], [eqn: cdots], [eqn: rm D _{it n-1 rm}], [eqn: rm D _{it n rm} =C]라 하자.
직선 [eqn: rm AD _{it k rm} `]가 곡선과 만나는 점 중 [eqn: rm A]가 아닌 점을 [eqn: rm P _{it k rm}]라 하고, 점 [eqn: rm P _{it k rm}]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q _{it k` rm}]라 하자. [eqn: LEFT ( k=1,`2,` CDOTS ,`n RIGHT )]
삼각형 [eqn: rm AP _{it k rm} rm Q _{it k rm}]의 넓이를 [eqn: S _{k} `]라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k}} `= alpha]이다.
[eqn: 24 alpha]의 값을 구하시오.

11

점 [eqn: rm D _{it k rm} LEFT ( 0,`` it {k} over {n} RIGHT )]이므로 직선 [eqn: rm AD _{it k rm} `]의 방정식은 [eqn: y= {k} over {n} x+ {k} over {n} `]

직선 [eqn: rm AD _{it k rm} `]와 곡선 [eqn: y=`-x ^{2} +1`]과의 교점 [eqn: rm P _{it k rm} `]는
[eqn: rm P _{it k rm} LEFT ( it1- {k} over {n} ,`` {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT ) `]이므로

[eqn: △ rm AP _{itk} Q _{it k rm}]의 밑변의 길이는 [eqn: 2- {k} over {n}]이고 높이는 [eqn: {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: therefore] [eqn: S _{k} = {1} over {2} LEFT ( 2- {k} over {n} RIGHT ) LEFT { {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} S _{k}} `= lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( 2- {k} over {n} RIGHT )} LEFT { {2k} over {n} - LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = int _{0} ^{1} {{1} over {2} LEFT ( 2-x RIGHT ) LEFT ( 2x-x ^{2} RIGHT ) `dx`} = {11} over {24}]

따라서 [eqn: alpha= {11} over {24}]이고 [eqn: 24alpha=11]

[4점][2014년 4월]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: rm D _{it n-1 rm}]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmQ _{itk}]

[eqn: rm C]

[eqn: rmP _{itk}]

[eqn: rm D _{it k rm}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: VDOTS]

[eqn: y=`-x ^{2} +1]

[eqn: LEFT ( = rm D _{it n rm} RIGHT )]

[eqn: LEFT ( = rm D _{it 0 rm} RIGHT )]

[해설] 미적분1-(5)적분-(c)정적분 정의