수 리 영 역

속도,넓이,부피

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수 리 영 역

속도,넓이,부피

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (속도, 넓이, 부피)

성명			수험번호

16

두 자동차 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 같은 지점에서 동시에 출발하여 직선 도로를 한 방향으로만 달리고 있다. [eqn: t]초 동안 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 움직인 거리는 각각 미분가능한 함수 [eqn: f``(t)], [eqn: g`(t)]로 주어지고, 다음이 성립한다고 한다.

가. [eqn: f``(20)=g`(20)]

나. [eqn: 10≦t`≦30]에서 [eqn: f``'(t)＜g`'(t)]

이로부터, [eqn: 10≦t`≦30]에서의 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]의 위치에 관한 다음 설명 중 옳은 것은?

③

ㄱ)에 의하여 [eqn: 20]초인 순간에 [eqn: A,```B]는 같은 위치이고,

ㄴ)에 의하여 [eqn: 10<= t <= 30]에서 [eqn: B``]의 속력이 [eqn: A``]의 속력보다 더 크므로

[eqn: 10<= t <20]에서 [eqn: A``]가 앞에 있었고

[eqn: 20<t<=30]에서 [eqn: B``]가 앞에 있다.

즉, [eqn: B``]가 [eqn: A``]를 한 번 추월한다.

[1994년 수능 1차]

①　[eqn: rmB]가 항상 [eqn: rmA]의 앞에 있다.

②　[eqn: rmA]가 항상 [eqn: rmB]의 앞에 있다.

③　[eqn: rmB]가 [eqn: rmA]를 한 번 추월한다.

④　[eqn: rmA]가 [eqn: rmB]를 한 번 추월한다.

⑤　[eqn: rmA]가 [eqn: rmB]를 추월한 후 [eqn: rmB]가 다시 [eqn: rmA]를 추월한다.

그림과 같이 높이가 [eqn: 100rmcm]이고 윗면은 반지름이 [eqn: 50rmcm], 아랫면은 반지름이 [eqn: 30rmcm]인 원으로 된 원뿔대 모양의 물통에 물이 가득 차 있었다. 이 물통의 바닥에 구멍이 나서 바닥에서부터 수면까지의 높이가 [eqn: h`rmcm]일 때 매초 [eqn: 4 sqrt {h} ` rm cm ^{3}]의 양으로 물이 새어 나가고 있다. [eqn: h=50]일 때 높이의 순간 변화율은? (단위는 [eqn: rmcm/sec])

④

높이가 [eqn: h]일 때 수면의 반지름을 [eqn: r], 부피를 [eqn: V]라 하자.

오른쪽 그림에서 [eqn: 50```:```30=(100+x)```:```x]

[eqn: THEREFORE ```x=150]

[eqn: r```:`(h+150)=50```:```250]

[eqn: THEREFORE ```r= {1} over {5} (h+150)]

[eqn: V= {1} over {3} pi · {1} over {25} (h+150) ^{3} - {1} over {3} pi ·30 ^{2} ·150]

[eqn: {dV} over {dt} = {1} over {25} pi LEFT ( h+150 RIGHT ) ^{2} · {dh} over {dt}]

[eqn: -4 sqrt {h} = {1} over {25} pi LEFT ( h+150 RIGHT ) ^{2} · {dh} over {dt}]

[eqn: THEREFORE ``` {dh} over {dt} = {-100 sqrt {h}} over {pi LEFT ( h+150 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: THEREFORE ``` LEFT ( {dh} over {dt} RIGHT ) _{h=50} = {-100 sqrt {50}} over {pi ·200 ^{2}} =- {5 sqrt {2}} over {4 pi } TIMES 10 ^{-2}]

[별해]

[eqn: 30 ``:``150 = r``:``(150+h)]   [eqn: ∴ r = 30 + h over 5]

[eqn: V = pi over 3 left{ left( 30+ h over 5 right)^2 (h+150) - 30^2 ×150 right}]

[eqn: dV over dt = pi over 3 left{ 2 left( 30+ h over 5 right) × 1 over 5 (h+150)][eqn: + left( 30+ h over 5 right)^2 right} dh over dt]

[eqn: h = 50]일 때, [eqn: - 4 sqrt 50 = pi over 3 × 4800 × dh over dt]

[eqn: ∴ dh over dt = - 1 over pi × {4×5×sqrt 2 } over 1600][eqn: = -{ 5sqrt 2} over {4 pi } × 10^-2]

[4점][1997년 수능]

①　[eqn: - {20` sqrt {2}} over {pi } TIMES 10` ^{-2}]	②　[eqn: - {5` sqrt {2}} over {pi } TIMES 10` ^{-2}]
③　[eqn: - {20` sqrt {2}} over {9` pi } TIMES 10` ^{-2}]	④　[eqn: - {5` sqrt {2}} over {4` pi } TIMES 10` ^{-2}]
⑤　[eqn: - {4` sqrt {2}} over {5` pi } TIMES 10` ^{-2}]

다음은 ‘가’지점에서 출발하여 ‘나’지점에 도착할 때까지 직선 경로를 따라 이동한 세 자동차 [eqn: A,```B,```C]의 시간 [eqn: t``]에 따른 속도 [eqn: v``]를 각각 나타낸 그래프이다.

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

‘가’지점에서 출발하여 ‘나’지점에 도착할 때까지의 상황에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

‘가’지점에서 ‘나’지점까지의 거리를 [eqn: l` `]이라 하고

[eqn: A,```B,```C]의 세 곡선의 식을 각각

[eqn: v=f(t),```v=g(t),```v=h(t)]라 하자.

ㄱ. [eqn: A,```C]가 도착할 때까지 걸린 시간이 각각 [eqn: 40`]이므로

[eqn: (A`]의 평균속도[eqn: )`=`l over 40`=`(`C `]의 평균속도[eqn: )]  (참)

ㄴ. [eqn: g prime (t)=0], [eqn: h prime `t)=0]을 만족하는 [eqn: t`]의 값에서 가속도는 [eqn: 0`]이고, 그래프에서 극값을 갖는 [eqn: t`]의 값이다.

따라서, [eqn: B`]는 한 번, [eqn: C`]는 세 번 존재한다.  (참)

ㄷ. [eqn: A,```B,```C]의 세 곡선 [eqn: v=f(t),```v=g(t),```v=h(t)]과 [eqn: t`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: A,```B,```C]가 움직인 거리이므로 모두 [eqn: l`]로 서로 같다.  (참)

[3점][2005년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: A]와 [eqn: C]의 평균속도는 같다. ㄴ. [eqn: B]와 [eqn: C] 모두 가속도가 [eqn: 0]인 순간이 적어도 한 번 존재한다. ㄷ. [eqn: A,```B,```C] 각각의 속도 그래프와 [eqn: t``]축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 모두 같다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 모서리의 길이가 [eqn: 3]인 정사각뿔에 내접하는 직육면체의 부피의 최대값은?

①

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: x`]

[eqn: 3-x`]

[eqn: y`]

[eqn: {3root2} over 2]

[eqn: (3-x) ```:`` 3 = y ```:` { 3 sqrt2 } over 2]에서 [eqn: y=sqrt 2 over 2 (3-x)]

부피[eqn: V(x)=x^2 y = sqrt2 over 2 (3x^2 - x^3 )]을 미분하면

[eqn: V ``prime (x) = sqrt 2over 2 (6x-3x^2 )][eqn: (0`＜`x`＜`3)]

[eqn: therefore`x=2]일 때, 부피의 최대값 [eqn: 2sqrt 2]를 갖는다.

[4점][2005년 5월]

① [eqn: 2root2]	② [eqn: 3root2]	③ [eqn: 4root2]
④ [eqn: 5root2]	⑤ [eqn: 6root2]

원점 [eqn: rm O`]를 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]의 [eqn: t`]분 후의 좌표를 각각 [eqn: x _{1} `], [eqn: x _{2} `]라 하면
[eqn: x _{1} =2`t` ^{3} -`9`t` ^{2} `],  [eqn: x _{2} =t` ^{2} +`8`t``]
이다.  선분 [eqn: rm PQ`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 할 때, 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q`]가 원점을 출발한 후 [eqn: 4`]분 동안 세 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm M`]이 움직이는 방향을 바꾼 횟수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]라고 하자. 이때, [eqn: a`+`b`+`c``]의 값은?

③

[eqn: {dx _{1}} over {dt} =6t ^{2} -18t=6t(t-3)`]

따라서 [eqn: rm P]는 [eqn: t=3]일 때 운동방향을 바꾸므로 [eqn: a=1`]

마찬가지로 [eqn: {dx _{2}} over {dt} =2t+8`] 이므로 [eqn: b=0`]

[eqn: t]분 후의 [eqn: rm M]의 좌표를 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t)`][eqn: =t ^{3} -4t ^{2} +4t`]

[eqn: f`` prime (t)=3t ^{2} -8t+4=(3t-2)(t-2)]

∴ [eqn: c=2`]

∴ [eqn: a+b+c=3`]

[4점][2005년 7월]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]	④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 5`]

오른쪽 그림은 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: \P]의 시각 [eqn: t`]에서의 속도 [eqn: v`(t`)]를 나타내는 그래프이다. [eqn: v`(t`)]는 [eqn: t``= 2]를 제외한 개구간[eqn: (0,``3)]에서 미분가능한 함수이고, [eqn: v`(t`)]의 그래프는 개구간[eqn: (0,``1)]에서 원점과 점 [eqn: (1,``k)]를 잇는 직선과 한 점에서 만난다. 점 [eqn: \P]의 시각 [eqn: t`]에서의 가속도 [eqn: a`(t`)]를 나타내는 그래프의 개형으로 가장 알맞은 것은?

②

(ⅰ) [eqn: 0＜t`＜1]일 때

[eqn: y=v(t)]의 그래프가 직선 [eqn: y=kt]와 한 점에서 만나므로 기울기가 [eqn: k]인 접선은 [eqn: 2]개 존재한다. 접점을 각각 [eqn: t_1], [eqn: t_2]라 하면

[eqn: 0＜t＜t_1]일 때 [eqn: v'(t)＜k],

[eqn: t_1 ＜t`＜t_2]일 때 [eqn: v'(t)＞k],

[eqn: t_1 ＜t`＜1]일 때 [eqn: v'(t)＜k]

이다.

(ⅱ) [eqn: 1≦t`＜2]일 때 [eqn: v(t)=k]이므로 [eqn: a(t)=v'(t)=0]

(ⅲ) [eqn: 2＜t`＜3]일 때 [eqn: v(t)=-k(t-3)]이므로

[eqn: a(t)=v'(t)=-k]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅱ)에서 [eqn: y=a(t)]의 그래프의 개형으로 가장 알맞은 것은 ②이다.

[3점][2005년 6월]

①	②

③	④

⑤

가로와 세로의 길이가 각각 [eqn: rm 9`cm`], [eqn: rm 4`cm`]인 직사각형이 있다. 이 직사각형의 가로와 세로의 길이가 각각 매초 [eqn: rm 0.2`cm], [eqn: rm 0.3`cm] 씩 늘어난다고 할 때, 이 직사각형이 정사각형이 되는 순간의 넓이의 변화율은 몇 [eqn: rm cm ^{2}]/초인가?

①

[eqn: `t]초 후의 가로, 세로의 길이를 각각

[eqn: 9`+`0.2`t,~4`+`0.3`t`]로 두면 정사각형의 조건에서
[eqn: 9`+`0.2`t`=`4`+`0.3`t] 따라서 [eqn: t`=`50]

[eqn: S(t)`=`(`9`+`0.2`t)(4`+`0.3`t)`=`0.06`t ^{ 2}`+`3.5`t`+`36]이므로

[eqn: { dS(t)} over {dt }`=`0.12`t`+`3.5]이고

[eqn: t`=`50]일 때의 넓이의 변화율은 [eqn: rm0.12`×`50`+`3.5`=`9.5`(cm ^{ 2}`]/초)이다.

[3점][2006년 10월]

① [eqn: 9.5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 10.5]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 11.5]

그림과 같이 편평한 바닥에 [eqn: 60°]로 기울어진 경사면과 반지름의 길이가 [eqn: 0.5 \m]인 공이 있다. 이 공의 중심은 경사면과 바닥이 만나는 점에서 바닥에 수직으로 높이가 [eqn: 21 \m]인 위치에 있다.

이 공을 자유낙하시킬 때, [eqn: t`]초 후 공의 중심의 높이 [eqn: h(t`)]는
[eqn: h(t` ) = 21 - 5t`^2 rm( m)]
라고 한다. 공이 경사면과 처음으로 충돌하는 순간, 공의 속도는? (단, 경사면의 두께와 공기의 저항은 무시한다.)

①

[eqn: h(t)`=`21-5t^{2} `=`1]일 때, 공이 경사면과 처음으로 충돌하므로

[eqn: 5t^{2}`=`20]에서 [eqn: t`=`2]

[eqn: h'(t)`=`-10t`]에서

[eqn: t`=`2]일 때의 공의 속도는

[eqn: h'(2)`=`-20` \m/초]

[4점][2007년 6월]

① [eqn: -20 \m]/초	② [eqn: -17 \m]/초

③ [eqn: -15 \m]/초	④ [eqn: -12 \m]/초

⑤ [eqn: -10 \m]/초

수직선 위에서 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]가 있다. 출발한 지 [eqn: t]초 후 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]의 위치가  각각 [eqn: x _{1} (t)=kt], [eqn: x _{2} (t)=t ^{3} -3t ^{2} +27]일 때, 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q]가 적어도 한 번 만나게 되는 상수 [eqn: k]의 최소값을 구하시오.

9

[eqn: rmP,~Q]가 만나기 위해서는 [eqn: x _{1} (t)]와 [eqn: x _{2} (t)]가 교점 을 가져야 한다. [eqn: x _{1} (t)]의 기울기 [eqn: k]는 원점에서 [eqn: x _{2} (t)]에 그은 접선의 기울기보다 크거나 같아야 한다. (단, [eqn: t >= 0])

[eqn: x _{2} (t)]위의 한 점을 [eqn: (a,~a ^{3} -3a ^{2} +27)]이라 하면 접선의 방정식은
[eqn: y-(`a ^{3} -3a ^{2} +27)=(3a ^{2} -6a)(x-a)] 이고 이 접선이 원점을 지나므로

[eqn: 2a ^{3} -3a ^{2} -27=0]

[eqn: (a-3)(2a^2 + 3a+9)=0]

[eqn: a=3]일 때 접선의 기울기는 [eqn: 9]이므로

[eqn: k]의 최소값은 [eqn: 9]이다.

[4점][2007년 5월]

[eqn: 27]

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: x]

그림과 같이 좌표평면 위에 네 점
[eqn: \O(0,``0),```\A(8,``0),```\B(8,``8),```\C(0,``8)]

을 꼭지점으로 하는 정사각형 [eqn: \OABC]와 한 변의 길이가 [eqn: 8]이고 네 변이 좌표축과 평행한 정사각형 [eqn: \PQRS]가 있다.
점 [eqn: \P]가 점 [eqn: (-1,``-6)]에서 출발하여 포물선 [eqn: y`=-x^2 +5x]
를 따라 움직이도록 정사각형 [eqn: \PQRS]를 평행이동시킨다. 평행이동시킨 정사각형과 정사각형 [eqn: \OABC]가 겹치는 부분의 넓이의 최대값을 [eqn: { q_`} over { p}]라 할 때, [eqn: p`+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

527

[eqn: \P(x,`-x^2 +5x)]라면 [eqn: 0`≦`x`≦`5]일 때

겹치는 부분의 넓이 [eqn: S(x)]는

[eqn: S(x)`=`x(-x^2 +5x)] [eqn: =`-x^3 +5x^2]

[eqn: S'(x)`=`-3x^2 +10x`=`-3x` LEFT ( x- 10_` over 3 RIGHT )]

따라서, [eqn: x`=`10_` over 3]일 때 [eqn: S(x)]는 최대값을 갖는다.

[eqn: S LEFT ( 10_` over 3RIGHT ) `=`- 1000_` over 27 + 500_` over 9 `=` 500_` over 27]

[eqn: THEREFORE ~ p`=`27,~q`=`500,~ p+q`=`527]

[4점][2007년 6월]

아래 그림과 같이 삼차함수 [eqn: y `=` x sup2 ( 3-x ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y `=` mx `]가  제[eqn: 1`]사분면 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rm P`,~Q`]에서 만난다. 이 때, 세 점 [eqn: \A(3,``0),```P,```Q]를 꼭지점으로 하는 [eqn: rm triangle APQ `]의 넓이가 최대가 되게 하는 양수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: 10m]의 값을 구하시오.

15

원점 [eqn: rm O `]를 통과하는 직선을 [eqn: y `=` mx `](단, [eqn: m `> ` 0 `])이라 놓으면

[eqn: x sup 2 ( 3-x ) `=` mx `]에서 [eqn: x( x sup 2 - 3x + m ) `=` 0 `]이다.

여기에서 [eqn: x `not = `0 `]이므로   [eqn: x sup 2 - 3x + m `=` 0`]이다.

[eqn: x sup 2 - 3x + m `=` 0`]의 서로 다른 두 양의  근을 [eqn: alpha `,~ beta `]([eqn: alpha < beta `])라 하면

[eqn: D `=` 9 - 4m > 0 `]이므로   [eqn: 0< m < 9 over 4 `]

[eqn: rm triangle APQ `]의 넓이를 [eqn: S `]라 하면

[eqn: S `=` rm triangle OAQ `-` triangle OAP `]

[eqn: `=` 1 over 2 `․` 3` ․` m beta `-` 1 over 2 `․` 3 `․` m alpha `=` 3m over 2 ( beta `-` alpha ) `]

[eqn: beta `-` alpha `=` root { ( alpha + beta ) sup 2 - 4 alpha beta } `=` root { 9 - 4m } `]

∴[eqn: S `=` 3 over 2 root { - 4m sup 3 + 9 m sup 2 } `]

여기에서 [eqn: f`(m) `=` -4 m sup 3 `+` 9 m sup 2 `]이라 하면, [eqn: 0< m < 9 over 4 `]에서 [eqn: f`(m) `=` -4 m sup 3 `+` 9 m sup 2 `]의 최대값을 구해보자. [eqn: f ` prime ( m ) `=` -6 m ( 2m -3 ) `] 이므로  넓이 [eqn: S `]는 [eqn: m `=` 3 over 2 `]일 때, 최대값 [eqn: {9 root 3 }over 4 `]을 갖는다

따라서 [eqn: 10m=10 TIMES {3} over {2} =15]

[4점][2007년 10월]

[eqn: \P]

[eqn: \Q]

[eqn: \A]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 20`]인 정사각형 [eqn: rm ABCD`]에서 점 [eqn: rm P`]는 [eqn: rm A`]에서 출발하여 변 [eqn: rm AB`]위를 매초 [eqn: 2`]씩 움직여 [eqn: rm `B`]까지, 점 [eqn: rm Q`]는 [eqn: rm B`]에서 [eqn: rm P`]와 동시에 출발하여 변 [eqn: rm BC`]위를 매초 [eqn: 3`]씩 움직여 [eqn: rm C`]까지 간다. 이 때, 사각형 [eqn: rm DPBQ`]의 넓이가 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 넓이의 [eqn: 11 over 20`]이 되는 순간의 삼각형 [eqn: rm PBQ`]의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율을 구하시오.

18

[eqn: t]초 일 때

[eqn: □ rmDPBQ][eqn: = □rmABCD -( TRIANGLEAPD + TRIANGLE QCD)] [eqn: =200+10t]

또한 [eqn: □ rmDPBQ = 11 over 20 ×□ABCD]이므로

[eqn: 200+10t =220]에서 [eqn: t=2]

[eqn: TRIANGLE rm PBQ = 1 over 2 (20-2t)3t = 30t-3t^2]

[eqn: TRIANGLE rmPBQ]의 넓이의 순간변화율은 [eqn: 30-6t]

따라서 [eqn: TRIANGLE rmPBQ] 넓이의 [eqn: t=2]일 때 순간변화율은 [eqn: 18]

[[eqn: 3`]점][2008년 7월]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: \P,``\Q]의 시각 [eqn: t`]일 때의 위치는 각각 [eqn: P`(t`) = {1_`} over 3 t`^3 +4t` - { 2 _` } over 3 ,~ Q`(t`) = 2t`^2 - 10]이다.
두 점 [eqn: \P ,``\Q]의 속도가 같아지는 순간 두 점 [eqn: \P,``\Q] 사이의 거리를 구하시오.

12

[eqn: \P], [eqn: \Q]의 속도를 구하면

[eqn: {\P}`'(t) = t^2 + 4],  [eqn: {\Q} '(t) = 4t]

두 점의 속도가 같아지는 시각은

[eqn: t^2 + 4 = 4t], [eqn: (t-2)^2 = 0]     [eqn: THEREFORE```` t =2]

시각 [eqn: t]일 때 두 점 사이의 거리는

[eqn: {bar \PQ} = LEFT | { 1} over {3 } t^3 -2t^2 + 4t + { 28} over {3 } RIGHT |] 에서

[eqn: t=2]일 때에는 [eqn: bar \PQ_`][eqn: = LEFT | { 8} over {3 } -8+ 8 + { 28} over {3 } RIGHT |][eqn: = { 36} over { 3}][eqn: =12]

[3점][2008년 6월]

점 [eqn: rm P`]는 원점 [eqn: rmO`]를 출발하여 곡선 [eqn: y= sqrt {x}`]를 따라 원점에서 멀어지고 있다. 점 [eqn: rmP`]의 [eqn: x`]좌표가 매초 [eqn: 2]의 속도로 일정하게  변할 때, 직선 [eqn: rm OP`]의 기울기가 [eqn: 10`]이 되는 순간 점 [eqn: rmP`]의 [eqn: y`]좌표의 시간(초)에 대한 순간변화율을 구하시오.

10

[eqn: {dx} over {dt} =2```이고````10x= sqrt {x}] 에서 [eqn: x= {1} over {100}]

[eqn: {dy} over {dt} = {1} over {2 sqrt {x}} {dx} over {dt}]

[eqn: left[{dy} over {dt} right]_{x= 1 over 100 }=`10]

[[eqn: 4]점][2008년 7월]

[eqn: y= sqrt {x} `]

좌표평면 위에 점 [eqn: A(0,~2)]가 있다. [eqn: 0< t<2]일 때, 원점 [eqn: O]와 직선 [eqn: y =2] 위의 점 [eqn: P(t,~2)]를 잇는 선분 [eqn: OP]의 수직이등분선과 [eqn: y]축의 교점을 [eqn: B]라 하자. 삼각형 [eqn: ABP]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: f(t)]의 최댓값은 [eqn: b over a sqrt { 3}]이다. [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,] [eqn: b]는 서로소인 자연수이다.)

11

위의 그림에서 직선 [eqn: l``]의 방정식은 [eqn: y=- {t} over {2} (x- {t} over {2} )+1]

[eqn: y``]절편은 [eqn: {t^2} over {4}+1``]이고 점[eqn: B( 0`,`` { t^2 } over {4 }+1 )``]이다.

[eqn: f(t)= { 1} over { 2}(1- { t^2} over {4 } )t={ 1} over { 2}(t- { t^3} over {4 } )]

[eqn: f` prime `(t)= {1} over {2} (1- {3t ^{2}} over {4} )=0``]에서

[eqn: t= {2 sqrt {3}} over {3}]에서 최댓값 [eqn: f( { 2root3} over { 3} )= { 2root3} over { 9}]을 갖는다.

∴ [eqn: a+b=11]

[3점][2009년 6월]

그림과 같이 케이블 [eqn: l`,```m`,```n`]은 모두 벽면과 수직이고, 케이블 사이의 거리가 각각 [eqn: 2`,```1`]이다. [eqn: l`]위의 광원 [eqn: A`]에서 [eqn: m`]위의 물체 [eqn: B`]에 빛을 비추면 [eqn: n`]위에 그림자 [eqn: C`]가  나타난다.

광원 [eqn: A`]와 물체 [eqn: B`]의 시각 [eqn: t`]([eqn: t<=8])에서 벽으로부터의 거리를 각각 [eqn: x=4- {1} over {2} t `], [eqn: y=t ^{2} - {11} over {2} t+10 `]이라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?  (단, 광원, 물체, 그림자의 크기는 무시한다.)

③

ㄱ. 광원과 물체의 속도는 각각

[eqn: {dx} over {dt} =`- {1} over {2}], [eqn: {dy} over {dt} =2t- {11} over {2} ``]이므로

[eqn: t= 5over2]에서 속도는 [eqn: - {1} over {2} ``]로 같다. [eqn: THEREFORE `````]참

ㄴ. [eqn: rm bar{AB} + bar{BC} =3``]인 순간은

[eqn: t ^{`2} - {11} over {2} t`+10`=`4- {1} over {2} t``]이므로

[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=3]  [eqn: THEREFORE `````]참

ㄷ. 그림자 [eqn: rmC``]의 시각 [eqn: t``]에서 벽으로부터의 거리를 [eqn: f`(t)``], 점 [eqn: rmA``]에서 직선 [eqn: m`,```n``]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H`,```H{prime}``]라 하자.

[eqn: 4- {1} over {2} t]

[eqn: 2]

[eqn: t ^{2} - {11} over {2} t+10]

[eqn: 1]

[eqn: RMA]

[eqn: f`(t)]

[eqn: rm B]

[eqn: rm RMH{prime}]

[eqn: rm H]

[eqn: rm C]

[eqn: n]

[eqn: m]

[eqn: l``]

[eqn: rm bar{BH} it =left(4- {1} over {2} t right)-left(t ^{2} - {11} over {2} t+10 right)=-t ^{2} +5t-6]

[eqn: rm bar{CH{prime}} it =4- {1} over {2} t`-f`(t)]

[eqn: rm bar{BH} ``:`` bar{CH prime } `=`2``:``3``]이므로

[eqn: f`(t)=` {3} over {2} t ^{2} -8t+13``]이다.

속도 [eqn: v``]는 [eqn: v= {d`f(t)} over {dt} =3t-8``]이므로

가속도 [eqn: a``]는  [eqn: a`=` {dv} over {dt} =3``]이다. [eqn: THEREFORE `````]거짓

[[eqn: 4`]점][2010년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: t= {5} over {2}`]에서 광원과 물체의 속도가 같아진다. ㄴ. [eqn: A`]와 [eqn: C`] 사이의 거리가 [eqn: 3`]인 순간은 두 번이다. ㄷ. [eqn: 2<t<3`]에서 그림자 [eqn: C`]의 가속도는 [eqn: 1`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[그림 1]과 같이 가로의 길이가  [eqn: 12 ```rm cm], 세로의 길이가 [eqn: 6```rm cm]인 직사각형 모양의 종이가 있다. 네 모퉁이에서 크기가 같은 정사각형 모양의 종이를 잘라 낸 후 남는 부분을 접어서 [그림 2]와 같이 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 이 상자의 부피의 최댓값을 [eqn: M`] [eqn: rmcm^3]이라 할 때, [eqn: sqrt {3} over 3 M`]의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 무시한다.)

24

잘라낸 정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x`]라 하고 상자의 부피를 [eqn: V(x)`]라 하면

[eqn: V(x)`][eqn: =x(6-2x)(12-2x)`][eqn: (단,`0<x<3)]

[eqn: V`` prime (x)`][eqn: =12(x ^{2} -6x+6)`=0]이므로

[eqn: x=3- sqrt {3} `]에서 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: M=24 sqrt {3} `]이므로 [eqn: sqrt {3}over 3 M=24]

[4점][2011년 4월]

[eqn: 12 ```rm cm]

[eqn: 6 ```rm cm]

[그림 1]

[그림 2]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 정사각형 [eqn: ABCD``]의 두 대각선의 교점의 좌표는 [eqn: (0,```1)``]이고, 한 변의 길이가 [eqn: 1``]인 정사각형 [eqn: EFGH``]의 두 대각선의 교점은 곡선 [eqn: y=x^2 ``]위에 있다. 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은?  (단, 정사각형의 모든 변은 [eqn: x``]축 또는 [eqn: y``]축에 평행하다.)

①

두 정사각형의 공통부분의 넓이를 [eqn: S(a)]이라 하면

[eqn: S(a)= left( { 1} over { 2} -left (a - { 1} over { 2} right ) right ) left(a^2 + { 1} over {2 } - { 1} over { 2} right )]

[eqn: = (1-a ) a^2][eqn: =a^2 -a^3][eqn: (0 PREC a PREC 1 )]

[eqn: S(a)]의 최댓값을 구하기 위해서

[eqn: S prime (a) =2a -3a^2 =0]

[eqn: a=0, `` { 2} over { 3}]

따라서 [eqn: S(a)]의 최댓값은

[eqn: S({2 over 3}) = { 4} over { 9} - { 8} over {27 } = { 4} over { 27}]

[4점][2011년 6월]

①　[eqn: 4 over 27]	②　[eqn: 1 over 6]	③　[eqn: 5 over 27]	④　[eqn: 11 over 54]	⑤　[eqn: 2 over 9]

한 변의 길이가 [eqn: 12 sqrt {3}]인 정삼각형과 그 정삼각형에 내접하는 원으로 이루어진 도형이 있다. 이 도형에서 정삼각형의 각 변의 길이가 매초 [eqn: 3 sqrt {3}]씩 늘어남에 따라 원도 정삼각형에 내접하면서 반지름의 길이가 늘어난다. 정삼각형의 한 변의 길이가 [eqn: 24 sqrt {3}]이 되는 순간, 정삼각형에 내접하는 원의 넓이의 시간(초)에 대한 변화율이 [eqn: a` pi `]이다. 이때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[eqn: 36]

[eqn: t]초 후의 정삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: x _{t}], 그에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{t}]라 하면,

[eqn: r _{`t`} = {sqrt {3}} over {6} x _{`t}], [eqn: x _{t} =12 sqrt {3} +3 sqrt {3} `t]이므로

[eqn: r _{t} = {12+3t} over {2}]

[eqn: t]초 후 정삼각형에 내접하는 원의 넓이는

[eqn: S` LEFT ( t RIGHT ) = pi LEFT ( {12+3t} over {2} RIGHT ) ^{2}]이므로

[eqn: x _{t} =24 sqrt {3}]일 때, [eqn: t=4]

[eqn: S`` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =2 pi LEFT ( {12+3 TIMES 4} over {2} RIGHT ) TIMES {3} over {2} =36 pi]이다.

따라서 [eqn: a=36]

[4점][2011년 7월]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: P], [eqn: Q``]의 시각 [eqn: t``]일 때의 위치는 각각 [eqn: f(t)=2t^2 -2t], [eqn: g(t)=t^2 -8t``]이다. 두 점 [eqn: P``]와 [eqn: Q``]가 서로 반대방향으로 움직이는 시각 [eqn: t``]의 범위는?

①

[eqn: f`'(t)=4t-2], [eqn: g`'(t)=2t-8``]
서로 반대방향으로 움직이려면 [eqn: (4t-2)(2t-8)<0]
[eqn: therefore```1over2 <t<4]

[3점][2012년 6월]

① [eqn: 1 over 2 <t<4]	② [eqn: 1<t<5]	③ [eqn: 2<t<5]
④ [eqn: 3 over 2 <t<6]	⑤ [eqn: 2<t<8]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치는 [eqn: P` LEFT ( t RIGHT ) =t ^{3} -9t ^{2} +34t]이다. 점 [eqn: rmP]의 속도가 처음으로 [eqn: 10]이 되는 순간 점 [eqn: rmP]의 위치는?

②

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속도는 [eqn: P` prime (t)=3t ^{2} -18t+34``]이므로,

[eqn: 3t ^{2} -18t+34=10]

[eqn: t ^{2} -6t+8=(t-2)(t-4)=0]

[eqn: t=2] 또는 [eqn: t=4]

[eqn: therefore][eqn: t=2``]일 때 위치는 [eqn: P (2) `=`40]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

① [eqn: 38]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 42]	④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 46]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x]가 [eqn: x`=`-t ^{2} +4`t] 이다. [eqn: t `=` a]에서 점 [eqn: rm P]의 속도가 [eqn: 0]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

속도를 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]라 하면 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = {dx} over {dt} =`-2t+4]

[eqn: v LEFT ( a RIGHT ) =`-2a+4=0]이므로 [eqn: a=2]

[4점][2014년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[해설] 미적분1-(4)미분-(e)속도, 넓이, 부피