수 리 영 역

최대최소,극대극소

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수 리 영 역

최대최소,극대극소

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (최대최소, 극대극소)

성명			수험번호

16

함수 [eqn: f`(x)=x ^3 - 12x`]가 [eqn: x=a`]에서 극대값 [eqn: b`]를 가질 때, [eqn: a`+b`]의 값을 구하시오.

[eqn: 14`]

[eqn: f``'(x) = 3x^2 - 12][eqn: = 3 (x+2)(x-2)=0`]에서

[eqn: x=-2,```2]

따라서, [eqn: f``(x)`]는 [eqn: x=-2`]일 때 극대값을 갖고,

극대값은 [eqn: f``(-2) = -8+24 = 16`]

∴ [eqn: a=-2,```b=16`]

∴ [eqn: a+b = 14`]

[3점][2008년 수능]

함수 [eqn: f(x)=(x-1)^2 (x-4)+a``]의 극솟값이 [eqn: 10``]일 때, 상수 [eqn: a``]의 값을 구하시오.

[eqn: 14]

[eqn: f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)^2]

[eqn: =(x-1) LEFT { 2(x-4)+(x-1) RIGHT }]

[eqn: =(x-1)(3x-9)]

[eqn: =3(x-1)(x-3)]

따라서 [eqn: x=3``]에서 극솟값 [eqn: f(3)=(3-1)^2 (3-4)+a`]를 가지는데 조건에서 극솟값이 [eqn: 10``]이므로

[eqn: (3-1)^2 (3-4)+a=10]	[eqn: THEREFORE~a=14]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

함수 [eqn: f(x)=2x^3 -1`2x^2 +ax -4]가 [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: M]을 가질 때, [eqn: a+M]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[eqn: 22]

삼차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: f`'(1)=0]이다.

[eqn: f`'(x)=6x^2 -24x+a]이므로

[eqn: f`'(1)=6-24+a=0]

[eqn: therefore] [eqn: a=18]

따라서, [eqn: f(x)=2x^3 -12x^2 +18x-4]이고

[eqn: f(1)][eqn: =2-12+18-4][eqn: =4= M]

[eqn: therefore] [eqn: a+ M=18+4=22]

[3점][2014년 수능]

두 다항함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: g(x)=(x^3 +2) f(x)]
를 만족시킨다. [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1] 에서 극솟값 [eqn: 24]를 가질 때,
[eqn: f(1)-f`'(1)]의 값을 구하시오.

16

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 극솟값 24를 가지므로

[eqn: g(1)=24`,``g`'(1)=0]

[eqn: g(x)=(x ^{3} +2)f(x)`]에서

[eqn: g(1)=3f(1)=24``]이므로, [eqn: f(1)=8]

또, [eqn: g`'(x)=3x ^{2} f(x)+(x ^{3} +2)f`'(x)`]이므로

[eqn: g`'(1)=3f(1)+3f`'(1)=0]

[eqn: THEREFORE f`'(1)=-f(1)=-8`````````( BECAUSE `f(1)=8```)]

[eqn: THEREFORE f(1)-f`'(1)=8-(-8)=16]

[4점][2015년 수능]

등식 [eqn: x ^{2} +`3y ^{2} ``=`9``]를 만족시키는 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]에 대하여
[eqn: x ^{2} `+`xy ^{2} ``]의 최소값은?

①

[eqn: x^2 +3y^2 =9`]에서 [eqn: y ^{2} = {1} over {3} (9-x ^{2} )``…``㉠]

[eqn: y ^{2} >= 0]이므로  [eqn: -3 <= x <= 3```…``㉡]

주어진 식에 ㉠을 대입한 식을 [eqn: f(x)]라 하면

[eqn: f(x)=x(x+y ^{2} )][eqn: =- {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} +3x`]

[eqn: f``'(x)= - x^2 + 2x + 3 `][eqn: = -(x+1) (x-3)`]

㉡의 범위에서 [eqn: f(x)]의 증감표를 만들면

[eqn: x]	[eqn: -3`]	[eqn: cdots]	[eqn: - 1]	[eqn: cdots]	[eqn: 3]
[eqn: f`` prime (x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]
[eqn: f(x)]	[eqn: 9]	↘	[eqn: - {5} over {3}]	↗	[eqn: 9]

따라서 주어진 식의 최소값은 [eqn: - 5over 3]이다.

[4점][2005년 7월]

① [eqn: - {5} over {3} `]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: - {1} over {3} `]	④ [eqn: {2} over {3} `]	⑤ [eqn: 2`]

두 상수 [eqn: a,``b`]에 대하여 함수 [eqn: f`(x`) =x^3 +ax^2 +9x+b `]가 [eqn: x`=1]에서 극대값 [eqn: 0]을 가질 때, [eqn: ab`]의 값을 구하시오.

24

[eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +9x+b]에서

[eqn: f`'(x)=3x^2 +2ax +9]

[eqn: f(1)=0,```f`'(1)=0]이므로

[eqn: f(1)=1 +a +9+b =0]

[eqn: f`'(1)=3 +2a +9 =0]

위의 두 식에서 [eqn: a=-6,```b=-4]

[eqn: ∴```ab=24]

[3점][2006년 6월]

함수 [eqn: f``(x`) = 2x^3 - 9x^2 + 12x +2 `]의 극대값을 [eqn: M `], 극소값을 [eqn: m `]이라 할 때, [eqn: Mm `]의 값을 구하시오.

42

[eqn: f(x)=2x^3 -9x^2 +12x +2]에서

[eqn: f`'(x)=6x^2 -18x +12] [eqn: = 6(x^2 -3x+2)][eqn: =6(x-1)(x-2)]

이 때 [eqn: f`'(x)=0]인 [eqn: x]의 값은 [eqn: x=1~또는~x=2]이므로

함수[eqn: f(x)]의 극대값 [eqn: M]과 극소값[eqn: m]의 곱은

[eqn: Mm = f(1)×f(2)] 이다. 따라서

[eqn: f(1)= 2-9+12+2 =7]

[eqn: f(2)= 16-36+24+2 =6] 이므로

[eqn: `Mm = f(1)×f(2)= 7×6 =42]

[3점][2006년 9월]

사차함수 [eqn: f`(x)=x ^4 +ax ^3 +bx ^2 +cx+6]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f`(3)]의 값을 구하시오.

15

[eqn: f`(x)`=`x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+6]

(가) [eqn: f`(-x)`=`f`(x)]이므로

[eqn: x^4 -ax^3 +bx^2 -cx+6`]

[eqn: =`x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+6]

에서 [eqn: a`=`0,~~c`=`0]

(나) [eqn: f``'(x)`=`4x^3 +2bx`=`2x(2x^2 +b)`=`0]에서

[eqn: x^2 `=`- b_` over 2], [eqn: x`=`+- SQRT { - b_` over 2 `}] ([eqn: b`＜`0])일 때, 극소값 [eqn: -10]을 갖는다.

[eqn: f`` LEFT ( +- SQRT { - b_` over 2} RIGHT ) `=`b^2 over 4 +b LEFT (- b_` over 2 RIGHT ) +6`=`-10]

[eqn: THEREFORE ~- b^2 over 4 `=`-16]에서  [eqn: b^2 `=`64]

[eqn: b`＜`0]이므로 [eqn: b`=`-8]

따라서, [eqn: ~f`(x)`=`x^4 -8x^2 +6]에서

[eqn: f`(3)`=`81-72+6`=`15]

[4점][2007년 6월]

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(-x)= f`(x)]이다.

(나) 함수 [eqn: f`(x)]는 극소값 [eqn: -10]을 갖는다.

사차함수 [eqn: f(x)= {1} over {4} x ^{4} + {1} over {3} (a+1)x ^{3} -ax`]가 [eqn: x= alpha `,```` gamma `]에서 극소, [eqn: x= beta `]에서 극대일 때, 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?
[eqn: (단,```alpha < 0<beta<gamma<3)`]

①

[eqn: f` prime (x)=x ^{3} +(a+1)x ^{2} -a`=(x+1)(x ^{2} +ax-a)=0]

의 서로 다른 세 실근이 [eqn: alpha,`` beta,`` gamma]이다.

따라서 [eqn: alpha =-1]이고,

[eqn: x^2 +ax-a=0]의 서로 다른 두 실근이 [eqn: beta,`` gamma]

[eqn: g(x)=x^2 +ax-a]라 하면

[eqn: 0< beta< gamma<3]이므로

[eqn: D>0], [eqn: 0<](대칭축)[eqn: <3], [eqn: g(0)>0], [eqn: g(3)>0]이여야 하므로

만족하는 [eqn: a]의 범위는

∴ [eqn: -{ 9} over { 2}`<a < `-4]

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

① [eqn: - 9 over 2 < a < -4]	② [eqn: -4< a < - 7 over 2]

③ [eqn: - 7 over 2 < a < -3]	④ [eqn: -3< a < - 5 over 2]

⑤ [eqn: - 5 over 2 < a < -2]

원점을 지나는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 사차함수 [eqn: y=f(x)`]가 다음 두 조건을 만족한다.

	(가) [eqn: f(2+x) =f(2-x)] (나) [eqn: x=1`]에서 극소값을 갖는다.

이 때, [eqn: f(x)]의 극대값을 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: a ^{2}`]의 값을 구하시오.

64

원점을 지나고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수

[eqn: f(x)=x^4 +ax^3 +bx^2 +cx]에 대해

[eqn: f(2+x)=f(2-x)]이므로 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이고, [eqn: x=1]에서 극소이므로 [eqn: x=3]에서 극소이고, [eqn: x=2]에서 극대이다.

[eqn: f``'(x)=4x^3 +3ax^2 +2bx +c]

[eqn: =4(x-1)(x-2)(x-3)]

[eqn: = 4x^3 -24x^2 +44x -24]

따라서 [eqn: a=-8,``b=22,``c=-24]

[eqn: f(x)=x^4 -8x^3 +22x^2 -24x]

[eqn: x=2]에서 극대이고

극대값 [eqn: a=f(2)=-8]

∴ [eqn: a^2 =64]

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

함수 [eqn: f`(x) = {1_`} over 3 x^3 - x^2 - 3x]는 [eqn: x=a`]에서 극솟값 [eqn: b`]를 가진다. 함수 [eqn: y=f`(x)]의 그래프 위의 점 [eqn: (2, ```f`(2))]에서 접하는 직선을 [eqn: l``]이라 할 때, 점 [eqn: (a,```b`)]에서 직선 [eqn: l``]까지의 거리가 [eqn: d`]이다. [eqn: 90 d^2]의 값을 구하시오.

16

ⅰ) [eqn: f'(x) =x^2 -2x -3 = 0]

[eqn: (x-3) (x+1) =0]

[eqn: THEREFORE```` x=3]에서 극솟값을 가진다.

[eqn: f(3)][eqn: = { 1} over {3 } cdot 3^3 - 3^2 -3 cdot 3][eqn: =-9]

[eqn: THEREFORE```` a=3 , ```` b= -9]

ⅱ) 점 [eqn: (2, ```` f(2))]에서의 접선은

[eqn: y- f(2) = f'(2) (x-2)]

[eqn: y= -3x - { 4} over { 3}]

[eqn: 9x +3y +4 =0]과 점 (3, －9) 사이의 거리 [eqn: d]는

[eqn: d = { LEFT | `27-27 +4 `RIGHT | } over {sqrt {9^2 + 3^2} } = { 4} over {sqrt 90 }]

[eqn: THEREFORE```` 90 d^2 = 90 TIMES { 16} over {90 } =16]

[4점][2008년 6월]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} +20`]의 극솟값을 구하시오.

16

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} -6x=3x(x-2)] 이므로

[eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: f(2)=16]을 가진다.

[[eqn: 3]점][2008년 7월]

구간 [eqn: [-2,```0]]에서 함수 [eqn: f`(x) =x^3 -3x^2 - 9x + 8`]의 최댓값을 구하시오.

[eqn: 13]

[eqn: f``'(x) = 3x^2 - 6x - 9] [eqn: = 3(x-3)(x+1)]

이므로 [eqn: f``'(x)=0]에서

[eqn: x= -1] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: x=-1]에서 극대이므로 구간 [eqn: [-2, 0]]에서 [eqn: f(x)]의 최댓값은

[eqn: f(-1) = (-1)^3 - 3 (-1)^2 - 9 (-1)+8] [eqn: = 13]

[3점][2008년 9월]

구간 [eqn: [`-1,``1``]]에서 함수 [eqn: f(x)= x^3 +3x^2 +10`]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

24

[eqn: f`'(x)=3x^2 + 6x = 3x(x+2 )=0]에서 [eqn: x=-2,~0]

[eqn: f(-1)`=` 12], [eqn: f(0)`=10], [eqn: f(1)`=`14]이므로 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 14+10=24]이다.

[3점][2008년 10월]

삼차함수 [eqn: f(x)=-x ^{3} +3x+1``]이 [eqn: x= alpha ``], [eqn: x= beta ``]에서 극값을 가질 때, 두 점 [eqn: ( alpha ,``f( alpha ))``], [eqn: ( beta ,``f( beta ))``]를 지나는 직선의 기울기는?

②

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극솟값 [eqn: -1], [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: 3]을 갖는다. 따라서 구하는 직선의 기울기는 [eqn: 2]이다.

[3점][2009년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 일차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: x]좌표가 [eqn: -2], [eqn: 1]인 두 점에서 접한다. 함수 [eqn: h(x)=g(x)-f(x)]라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]의 극댓값은?

①

[eqn: h(x)=g(x)-f(x)=(x+2) ^{2} (x-1) ^{2}]

[eqn: h prime (x)=2(x+2)(x-1)(2x+1)]

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - {1} over {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]
[eqn: h` prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: SEARROW]		[eqn: NEARROW]		[eqn: SEARROW]		[eqn: NEARROW]

따라서 [eqn: h LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} cdot LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) ^{2} = {81} over {16}]

[4점][2011년 7월]

① [eqn: {81} over {16}]	② [eqn: {83} over {16}]	③ [eqn: {85} over {16}]	④ [eqn: {87} over {16}]	⑤ [eqn: {89} over {16}]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -9x^2 +24x+5``]의 극댓값을 구하시오.

[eqn: 25]

[eqn: f`'(x)= 3x^2 -18x+24=3(x-2)(x-4)]
[eqn: x<2``]일 때, [eqn: f`'(x)>0]
[eqn: 2<x<4``]일 때, [eqn: f`'(x)<0``]이므로
[eqn: x=2``]에서 극대
[eqn: therefore```]극댓값은 [eqn: f(2)=8-36+48+5=25]

[3점][2012년 5월]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 임의의 점 [eqn: rmP][eqn: (x,~y)`]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3x ^{2} -12]이고 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값이 [eqn: 3]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오.

35

[eqn: f`'(x) `=` 3x^2 - 12 `=` 3 (x+2)(x-2)]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -12x+C]

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	+	[eqn: 0]	-	0	+
[eqn: f(x)]	↗	극대	↘	극소	↗

극솟값은 [eqn: f(2) `=` 8-24+C `=` 3]   [eqn: therefore ` C `=`19]

극댓값은 [eqn: f(-2)`=`35]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

최고차항의 계수가 [eqn: 1``]인 삼차함수 [eqn: f`(`x`)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f`(`x`)`]의 극댓값을 구하시오.

4

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c`]라 하면 [eqn: f`'`(x)=3x ^{2} +2ax+b]

조건 (가)에 의하여 [eqn: y=f` prime `(x)`]의 그래프는 [eqn: y`]축에 대칭이므로 [eqn: a=0`]

따라서 [eqn: f`'`(x)=`3x ^{2} +b`]이고, 조건 (나)에서 [eqn: f`'`(1)=0`]이고 [eqn: f(1)=0`]이므로 [eqn: b=`-3`], [eqn: c=2`]

따라서 [eqn: f(x)]의 극댓값 [eqn: f(-1)=4`]

[4점][2012년 10월]

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f` prime` (`x`)`=f` prime` (`-x`)`]이다.

(나) 함수 [eqn: f`(`x`)`]는 [eqn: x=1`]에서 극솟값 [eqn: 0`]을 갖는다.

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{a LEFT ( 3x-x ^{3} RIGHT )&LEFT ( x<0 RIGHT )#x ^{3} -ax&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]
의 극댓값이 [eqn: 5]일 때, [eqn: f(2)]의 값은? (단 [eqn: a]는 상수이다.)

⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{a LEFT ( 3x-x ^{3} RIGHT )&LEFT ( x<0 RIGHT )#x ^{3} -ax&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{a LEFT ( 3-3x ^{2} RIGHT )&LEFT ( x<0 RIGHT )#3x ^{2} -a&LEFT ( x>0 RIGHT )}}]이다.

[eqn: a]의 부호에 따라서 도함수의 그래프가 달라지기 때문에 [eqn: a]의 범위를 나누어야 한다.

(i) [eqn: a`=0]일 때는 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) `=` {cases{0&LEFT ( x<0 RIGHT )#3x ^{2}&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]이 되어서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 발생하지 않는다.

(ii) [eqn: a>0]일 때는 [eqn: x=`-1,` sqrt {{a} over {3}}]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극솟값을 가지고 [eqn: x=0]에서 극댓값을 가지지만 그 값이 0이므로 문제의 조건을 만족시키지 못한다.

(iii) [eqn: a`<`0]일 때는 [eqn: x=`-1]에서 극댓값을 갖는다.

이상에서 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) `=`a LEFT ( -3+1 RIGHT ) `=`5], [eqn: a=`-` {5} over {2}]이다.

[eqn: THEREFORE `f LEFT ( 2 RIGHT ) `=`2 ^{3} + {5} over {2} ·`2`=`13]

[4점][2013년 6월]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -5x+k`]의 극댓값이 [eqn: 20`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

⑤

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -2x-5`][eqn: =(x+1)(3x-5)`]

[eqn: f`prime(x)=0`]에서 [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x= {5} over {3} `]

함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x`]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1`]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {5} over {3} `]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`prime(x)`]	[eqn: +`~]	[eqn: 0`]	[eqn: -`]	[eqn: 0`]	[eqn: +`~]
[eqn: f(x)`]	↗	[eqn: f(-1)]	↘	[eqn: f LEFT ( 5 over 3RIGHT )]	↗

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=`-1`]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: f(-1)=`-1-1+5+k=20]

∴ [eqn: k=17`]

[3점][2013년 10월]

① [eqn: 13`]	② [eqn: 14`]	③ [eqn: 15`]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17`]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} + LEFT ( a ^{2} -4a RIGHT ) x+3]이 극값을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a]의 개수는?

①

함수 [eqn: f left(x right)]가 극값을 가지려면
[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+(a ^{2} -4a)=0]이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로

[eqn: {D} over {4} =a ^{2} -3` LEFT ( a ^{2} -4a RIGHT ) `>0], [eqn: 2a ^{2} -12a`<0]

[eqn: 0<a<6]이므로 정수 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]

따라서 주어진 함수가 극값을 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의
개수는 [eqn: 5]

[3점][2014년 4월]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f (x) `=` x^3 -9 x^2 + 24 x +a `]의 극댓값이 [eqn: 10`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

②

극댓값을 구하기 위하여 주어진 식을 미분하여 정리해보면

[eqn: f prime (x)=3x ^{2} -18x+24=3(x-2)(x-4)]이다.

이를 증감표를 이용하여 극댓값을 구해보면

[eqn: x]		2		4
[eqn: f`'(x)]	+	0	-	0	+
[eqn: f(x)]	증가		감소		증가
		극대		극소

[eqn: x=2]일 때 극댓값이다.

따라서 [eqn: f(2)=8-36+48+a=10]이다.

[eqn: a=-10]

[4점][2014년 6월]

① [eqn: -12]	② [eqn: -10]	③ [eqn: -8]	④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -4]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -2,``2 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=`-x ^{3} +3x ^{2} +a] 의 최솟값이 [eqn: -4]일 때, 최댓값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.)

①

[eqn: f` prime (x)=-3x ^{2} +6x=-3x(x-2)]

[eqn: x]	[eqn: -2]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 2]
[eqn: `f`prime(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: `f(x)]	[eqn: a+20]	[eqn: SEARROW]	[eqn: a]	[eqn: NEARROW]	[eqn: a+4]

[eqn: x=0]일 때, 최솟값을 가지므로 [eqn: a=-4]

따라서 [eqn: x=-2]일 때, 최댓값은 [eqn: 16]

[3점][2014년 7월]

① [eqn: 16]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 20]	④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 24]

함수 [eqn: f(x) =][eqn: x^3 -3x^2 +a]의 모든 극값의 곱이 [eqn: -4]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

①

[eqn: f(x) =][eqn: x^3 -3x^2 +a]에서

[eqn: f`prime(x) =][eqn: 3x^2 -6x =3x (x-2)]

이므로 [eqn: f`prime(x)=0]에서

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

따라서, 모든 극값의 곱이 [eqn: -4]이므로

[eqn: f(0) times f(2) =a(a-4) = it -4]

[eqn: a^2 -4a +4 =0], [eqn: (a-2)^2 =0]

[eqn: therefore] [eqn: a=2]

[4점][2014년 9월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

자연수 [eqn: n]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 다음 조건을 만족시키는 삼차함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: a _{n}]이라 하자.

(가) [eqn: f(n)=0]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x+n)f(x) GEQ 0]이다.

[eqn: a _{n}]이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은?

③

최고차항의 계수가 1인 삼각함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=n]에서 근을 갖고 [eqn: x GEQ `-`n]일 때 [eqn: f(x)` GEQ 0`,`x LEQ -n]일 때 [eqn: f(x)` LEQ `0`]을 만족해야 하므로 [eqn: f(x)`=`(x+n)(x-n) ^{2}]가 됨을 알 수 있다.

[eqn: f prime (x)`=`(x-n) ^{2} +(x+n)2(x-n)`=`3x ^{2} `-`2nx`-`n ^{2} `=`0][eqn: LRARROW `(3x`+`n)(x`-`n)`=`0]

으로부터

[eqn: x`=`-` {n} over {3}] 일 때 극댓값 [eqn: a _{n} `=` {32} over {27} n ^{3}]을 가지므로

[eqn: a _{n}]이 자연수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 3]이다.

[4점][2015년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: {f(x)`}]의 도함수 [eqn: { f `'(x) `]가 [eqn: { f `'(x) `=` x^2 -1 }`] 이고,
함수 [eqn: g(x) `=` f (x) - k x `]가 [eqn: x `=`-3 `]에서 극값을 가질 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

⑤

[eqn: g(x) `=` f(x) - k x `]가 [eqn: x`=`-3 `]에서 극값을 갖기 위해서는

[eqn: g``'(-3)`=`0`]이어야 한다. [eqn: g `'(x) `=` f `'(x) - k `]로부터

[eqn: g `'(-3)`=` f `'(-3) - k `=`0] [eqn: Lrarrow] [eqn: 8-k `=`0]   ∴ [eqn: k `=`8]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[해설] 미적분1-(4)미분-(c)최대최소,극대극소