수 리 영 역

기본문제

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수 리 영 역

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (기본문제)

성명			수험번호

16

다항함수 [eqn: f``(x)]에 대하여
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} n` LEFT { f`` LEFT ( a+ {b} over {n} RIGHT ) -f`` LEFT ( a- {b} over {n} RIGHT ) RIGHT }]의 값은? (단, [eqn: b≠0])

⑤

[eqn: lim_n->inf left{ f``( a+ b over n ) - f``(a - b over n ) right}]

[eqn: b over n = h ``]라고 하면 [eqn: n` -> inf ``]일 때, [eqn: h`` -> 0 ``]이다.

준식[eqn: = lim_h->0 b over h left{ f``( a+ h ) - f``(a - h ) right}]

[eqn: = lim_h->0 b over h left{ f``( a+ h ) - f``(a) + f``(a) - f``(a - h ) right}]

[eqn: = lim_h->0 b `` left{ {f``( a+ h ) - f``(a)} over h - { f``(a - h )-f``(a)} over h right}]

[eqn: = b left{f``'(a) + f``'(a) right}][eqn: = 2b f``'(a)]

[1994년 수능 1차]

①　[eqn: 1 over b f``'(a)]	②　[eqn: 0]	③　[eqn: f``'(a)]

④　[eqn: bf``'(a)]	⑤　[eqn: 2bf``'(a)]

[eqn: x=a]에서 함수 [eqn: f``(x)]의 미분계수는 [eqn: 2]이다. 미분가능한 함수 [eqn: g`(x)]에 대하여
[eqn: lim from { h -> 0 } {f``(a+2h)-f``(a)-g`(h)} over h =0]
이 성립할 때, [eqn: lim from { h ->0} {g`(h)} over h]의 값은?

①

[eqn: f``‘(a) =2]

[eqn: lim_h->0 {f``(a+2h) - f``(a) - g``(h)} over h]

[eqn: = lim_h->0 left{ {f``(a+2h) - f``(a) } over 2h ×2 - {g``(h)} over h right}]

[eqn: = 2f``'(a) - lim_ h->0 {g``(h)} over h][eqn: = 2×2 - lim_ h->0 {g``(h)} over h][eqn: =0]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{h -> 0} {} {g``(h)} over {h} =4]

[1.5점][1995년 수능]

①　[eqn: 4]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: -2]	⑤　[eqn: -4]

다항식 [eqn: P`(x)]가 다음 항등식을 만족한다.
[eqn: P(P(x)+x)=(P(x)+x) ^{2} -(P(x)+x)+1]
이 때 미분계수 [eqn: P` prime (0)]의 값은?

②

[eqn: t=P(x)+x]라 하면 [eqn: P(t)=t ^{2} +t+1]

[eqn: THEREFORE ```P prime (t)=2t-1]에서 [eqn: P'(0)=-1]

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: -2]	②　[eqn: -1]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1]	⑤　[eqn: 2]

함수 [eqn: f``(x) = (x-1)(x^3 +2x^2 +8 )]에 대하여 미분계수 [eqn: f``'(1)]을 구하시오.

[eqn: 11]

[eqn: f``(x) = (x-1)(x^3 +2x^2 +8 )]

[eqn: f`'`(x) =x^3 +2x^2 +8 + (x-1)(3x^2 + 4x` )]

[eqn: f`'`(1) =1^3 +21^2 +8 + (1-1)(3×1^2 + 4×1` )][eqn: =11]

[2점][1999년 수능]

다항함수 [eqn: f`(x)], [eqn: g`(x)]가
[eqn: lim from { x` -> `3 }][eqn: { f`(x)-2} over {x-3 } = 1], [eqn: lim from { x` -> `3}][eqn: { g`(x)-1} over {x-3 } =2]
를 만족시킬 때, 함수 [eqn: y=f`(x`)`g`(x`)]의 [eqn: x=3]에서의 미분계수는?

①

[eqn: lim from x->3 {f(x)-2}over{x-3}=1`]에서 [eqn: x->3]이면 분모[eqn: ->0]이므로

[eqn: lim from x->3 LEFT { f(x)-2RIGHT }=0]이고 다항함수이므로 [eqn: f(3)=2`cdots`①]

[eqn: lim from x->3 {f(x)-f(3)}over{x-3}=1`]에서 [eqn: f`'(3)=1`cdots`②]

마찬가지로 [eqn: g(3)=1,~g`'(3)=2`cdots`③]

[eqn: y`'=f`'(x)g(x)+f(x)g`'(x)`cdots`④]

[eqn: y`'_x=3 =f`'(3)g(3)+f(3)g`'(3)]이므로

①, ②, ③, ④를 대입하면 [eqn: y`'_x+3 =5]

[3점][2000년 수능]

①　[eqn: 5]	②　[eqn: 6]	③　[eqn: 7]

④　[eqn: 8]	⑤　[eqn: 9]

[eqn: f'(x)=x^5 +x]일 때, [eqn: f`' (1)]의 값은?

④

[eqn: f`'(x)=5x^4 +1]에서 [eqn: f`'(1)=5 cdot 1^4 +1=6]

[3점][2001년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 12]

함수 [eqn: f`(x`)`=x^4 +4x^2 +1`]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {} {f`(1+2h)-f`(1)} over {h}]의 값을 구하시오.

[eqn: 24]

[eqn: f`'(x) = 4x^3 +8x]이므로

[eqn: lim_h->0 {f(1+2h)-f(1)} over h][eqn: =lim_h->0 {f(1+2h)-f(1)} over 2h ․2] [eqn: = 2 f`'(1)][eqn: =24]

[3점][2006년 수능]

사차함수 [eqn: f`(x)=x^4 -4x^3 +6x^2 +4]의 그래프 위의 점 [eqn: (a,```b)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 4]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값을 구하시오.

[eqn: 50]

[eqn: f` prime (x`) = 4x^3 - 12x^2 + 12x`=4]

[eqn: THEREFORE ```x ^{3} -3x ^{2} +3x`-1=0]

[eqn: THEREFORE ```(x`-1) ^{3} =0]

[eqn: THEREFORE ```x=1=a]

[eqn: b``=f`(a`)=7]

[eqn: THEREFORE ```a ^{2} +b ^{2} =50]

[3점][2007년 수능]

다항함수 [eqn: f`(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> 2} {} {f`(x+1)-8} over {x ^{2} -4} =5]일 때,
[eqn: f`(3)+f`'(3)]의 값을 구하시오.

[eqn: 28]

[eqn: lim_x->2 {f(x+1)-8} over {x^2 -4} = 5]에서

[eqn: x->2]일 때 (분모)→0이므로 (분자)→0이어야 한다.

즉, [eqn: lim_x->2 left{ f(x+1)-8right} =0]이어야 하므로 [eqn: f(3)=8]

[eqn: x+1=t]로 놓으면

[eqn: lim_t->3 {f(t)-f(3)} over {t^2 - 2t-3}][eqn: = lim_t->3 {f(t)-f(3)} over t-3 times lim_t->3 1 over t+1]

[eqn: = 1over 4 f`'(3)=5]

∴ [eqn: f`'(3)=20]

∴ [eqn: f(3)+f`'(3)=28]

[3점][2009년 수능]

함수 [eqn: f``(x)=(x^2`+1)(x^2`+x-2)``]에 대하여 [eqn: f`prime(2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 41]

[eqn: f`(x)=(x^2 +1)(x^2 +x-2)]에서

[eqn: f`'(x)=2x(x^2 +x-2)+(x^2 +1)(2x+1)]

[eqn: =4x^3 +3x^2 -2x+1]

∴ [eqn: f`'(2)=4․2^3 +3․2^2 -2․2+1=41]

[3점][2010년 수능]

곡선 [eqn: y=`-x^3 +4x] 위의 점 [eqn: (1,```3)`]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b`]이다. [eqn: 10a+b`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b``]는 상수이다.)

[eqn: 12]

[eqn: f(x)=-x^3 +4x]로 놓으면 [eqn: f`prime (x)=-3x^2 +4]이다.

[eqn: f`prime (1)=-3+4=1]

따라서, 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1,```3)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=f`prime(1) (x-1) +3][eqn: =1cdot(x-1) +3][eqn: =x+2]

[eqn: therefore``` a=1], [eqn: b=2]

[eqn: therefore```10a+b=12]

[4점][2012년 수능]

함수 [eqn: f(x)=x^2 +5``]에 대하여 [eqn: lim_h->0 {f(1+h)-f(1)} over h ``]의 값은?

①

[eqn: lim_h->0 {f(1+h)-f(1)} over h `=f`prime (1)]

[eqn: f(x)=x^2 + 5]에서 [eqn: f`prime(x)=2x]

[eqn: therefore``` f`prime(1) = 2 times 1=2]

[2점][2012년 수능]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +9x+2]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: f(x)=x^3 +9x+2]에서 [eqn: f'(x)=3x^2 +9]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{x` -> `1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}} =f prime (1)=3+9=12]

[3점][2013년 수능]

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +9x+3]의 그래프 위의 점 [eqn: (1,```f(1))]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=2x+b]이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,```b]는 상수이다.)

①

[eqn: f(x)=x^3 +ax^2 +9x+3]에서 [eqn: f'(x)=3x^2 +2ax+9]

점 [eqn: (1,```f(1))]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=2x+b]이므로

[eqn: f prime (1)=2]이다.

[eqn: 3+2a+9=2]에서 [eqn: 2a=-10]

[eqn: THEREFORE ```a=-5]

또, [eqn: f(1)=2+b]에서 [eqn: 1-5+9+3=2+b]

[eqn: THEREFORE ``b=6]

[eqn: THEREFORE ```a+b=-5+6=1]

[4점][2013년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)`= 2x^2 +ax]에 대하여 [eqn: lim _{ h->0} { { f(1+h)-f(1)} over {h } } =6]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

④

[eqn: lim _{ h rarrow0 } { { f(1+h)-f(1)} over {h } } =f'(1) =6]이고 [eqn: f'(x)=4x+a]이므로 [eqn: THEREFORE``` f'(1)=4+a=6]

[eqn: THEREFORE``` a=2]

[3점][2014년 수능]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x) =x^3 + 7x +3]에 대하여 [eqn: f` prime(1)]의 값은?

④

[출제의도] 미분계수를 구할 수 있는가?

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +7x+3]에서 [eqn: f`'(x)=3x ^{2} +7]이므로

[eqn: f`'(1)=3 TIMES 1 ^{2} +7=10]

[3점][2016년 수능]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

미분가능한 함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: f`(1) = 0],

[eqn: lim from {x``->``1} {left{f`(x)right}^2 - 2 f`(x)}over{1-x} =10]을 만족시킬 때, [eqn: x=1]에서의 미분계수 [eqn: f`prime(1)]의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

[eqn: lim from x->1 {{ left{ f`(x) right} }^2 - 2 f`(x)} over {1-x} = lim from x->1 {f`(x) left{ 2- f`(x) right} } over x-1]

[eqn: =lim from x->1 {f(x) - f(1)}over{x-1} times lim from x->1 left{2-f(x) right}]

[eqn: = f` prime(1) left{ 2- f`(1) right }=10] [eqn: therefore` f`prime(1) = 5]

[4점][2005년 5월]

함수 [eqn: f``(x)=(2x^2 -1)(x^2 +x-2)]에 대하여 [eqn: f`` prime (2)]의 값을 구하시오.

67

[eqn: f`(x)=(2x^2 -1)(x^2 +x-2)]에서

[eqn: f``'(x)=4x(x^2 +x-2)+(2x^2 -1)(2x+1)]

∴ [eqn: f``'(2)=32+35=67]

[3점][2005년 6월]

곡선 [eqn: y=(`x ^{2} -1)(`2x+1)`] 위의 점 [eqn: (`1`,``0`)]에서 접하는 직선의 기울기는?

⑤

[eqn: f`(x)=(x^2 -1)(2x+1)`]에서

[eqn: f``'(x)=2x(2x+1)+2(x^2 -1)`]이므로

[eqn: f``'(1)=2×3=6`]

[2점][2005년 7월]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 5`]	⑤ [eqn: 6`]

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3) CDOTS (x-10)]에 대하여 [eqn: {f` prime (1)} over {f`` prime (4)}]의 값은?

②

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) & = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) CDOTS LEFT ( x-10 RIGHT )# & ````````+ LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) CDOTS LEFT ( x-10 RIGHT )# & ```````````````````````````````````` VDOTS # & ~~+ LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) CDOTS LEFT ( x-9 RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT ( 1-2 RIGHT ) LEFT ( 1-3 RIGHT ) cdots LEFT ( 1-10 RIGHT )]

[eqn: f'` LEFT ( 4 RIGHT ) = LEFT ( 4-1 RIGHT ) LEFT ( 4-2 RIGHT ) LEFT ( 4-3 RIGHT ) LEFT ( 4-5 RIGHT ) cdots LEFT ( 4-10 RIGHT )]

[eqn: {f` prime LEFT ( 1 RIGHT )} over {f` prime LEFT ( 4 RIGHT )} = {(-7) TIMES (-8) TIMES (-9)} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =`-84]

(별해)

[eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) & = lim _{x -> 1} {{f(x)-f(1)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x -> 1} {LEFT { (x-2)(x-3)(x-4) CDOTS (x-10) RIGHT }}][eqn: = `-9`!]

[eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) & = lim _{x -> 4} {{f(x)-f(4)} over {x-4}}]

[eqn: = lim _{x -> 4} {LEFT { (x-1)(x-2)(x-3)(x-5) CDOTS (x-10) RIGHT }}][eqn: =`3`!` TIMES `6`!]

[eqn: therefore {f` prime LEFT ( 1 RIGHT )} over {f` prime LEFT ( 4 RIGHT )} =`-84]

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

① [eqn: -80]	② [eqn: -84]	③ [eqn: -88]	④ [eqn: -92]	⑤ [eqn: -96]

두 함수 [eqn: f`(x)=x+x ^{3} +x ^{5}`,`] [eqn: g`(x)=x ^{2} +x ^{4} +x ^{6}`]에 대하여
[eqn: lim _{h` ->` 0} {} {f`(1+2h)-g`(1-h)} over {3h}`]의 값은?

⑤

[eqn: f`′` (1)=9], [eqn: g`′` (1)=12]

[eqn: lim from { h ->0 } {f(1+2h)-g(1-h)} over 3h][eqn: = 2 over 3 `f`′` (1) + 1 over 3 `g`′` (1)][eqn: =10`]

[3점][2006년 10월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수 [eqn: f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)]일 때, [eqn: f prime (5)]의 값을 구하시오.

[eqn: 26``]

[eqn: f` prime (x)=(x-2)(x-3)+(x-1)(x-3)][eqn: +(x-1)(x-2)]

이므로  [eqn: f` prime (5)=26]

[3점][2007년 5월]

함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: f`(x+2)- f`(2)=x^3 +6x^2 + 14x`]를 만족시킬 때, [eqn: f`` prime (2)]의 값을 구하시오.

14

[eqn: f``'(2)`=` lim from { h` ->`0 } `{f`(2+h)-f`(2)}_` over h `][eqn: =` lim from { h` ->`0 } `{h^3 +6h^2 +14h}_` over h]

[eqn: =` lim from { h` ->`0 } `(h^2 +6h +14)`=`14]

[3점][2007년 6월]

함수 [eqn: f(x)=3x ^{2} -2x`]에 대하여 [eqn: x`]의 값이 [eqn: 0`]에서 [eqn: a`]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: x=1]에서의 미분계수가 같을 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

①

[eqn: x]의 값이 [eqn: 0]부터 [eqn: a]까지 변할 때의 [eqn: f(x)]의 평균변화율은

[eqn: {f(a)-f(0) } over {a-0 } ``=`` { 3a^2 -2a} over { a} =3a-2]

[eqn: x=1]에서의 미분계수 [eqn: f``'(1) =4]이므로

[eqn: 3a-2=4]

∴ [eqn: a=2]

[[eqn: 2`]점][2007년 7월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f`(x)=x ^3 +5x`]에 대하여 [eqn: lim from {h``->`0```} {f`(2+h `)-f`(2)}_` over h^`]의 값을 구하시오.

17

[eqn: lim from { h` ->`0 } `{f`(2+h)-f`(2)}_` over h ` =` f``'(2)]

[eqn: f``'(x) `=` 3x^2 +5]

[eqn: THEREFORE ~f``'(2)`=`17]

[3점][2007년 9월]

두 다항함수 [eqn: f`(x)], [eqn: g`(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g`'(0)`]의 값을 구하시오.

24

[eqn: f`(0)`=` 1, ~g`(0)`=`4`]이므로

[eqn: lim from { x` ->`0 } `{f`(x)g`(x)-4}_` over x = lim from { x` ->`0 } `{f`(x) g`(x)-f`(0)g`(0)}_` over x}]

[eqn: h(x)`=` f`(x)`g`(x)]로 놓으면

(주어진 식)[eqn: =` lim from { x` ->` 0 } ` {h`(x)- h`(0)}_` over x `=`h`'(0)]

[eqn: =`f`'(0) g``(0) +f`(0)`g`'(0)]

[eqn: =`-24+g`'(0)`=`0]

[eqn: THEREFORE ~g`'(0)`=`24]

[4점][2007년 9월]

(가) [eqn: f`(0)=1], [eqn: f ``'(0)=-6], [eqn: g`(0)=4]

(나) [eqn: lim from { {x` rarrow` 0}` } { { f`(x )`g`(x )- 4 }_` over { x }^` =0 }]

함수 [eqn: f(x)=(2x^2 -3x)(x^2 -x+2)``]에 대하여 [eqn: f``'(2)``]의 값은?

③

[eqn: f``'(x)=(4x-3)(x^2 -x+2)``][eqn: +(2x^2 -3x)(2x-1)``]

이므로 [eqn: f``'(2)=26``]

[2점][2008년 5월]

① [eqn: 24``]	② [eqn: 25``]	③ [eqn: 26``]	④ [eqn: 27``]	⑤ [eqn: 28``]

함수 [eqn: f(x) = 2x^2 +5x +1]에 대하여 [eqn: lim_n->inf n left{ f LEFT ( 1 + 3 over n RIGHT ) - f LEFT ( 1- 1 over n RIGHT ) right}] 값을 구하시오.

36

[eqn: 1 over n = h`]라 하면

준식[eqn: = lim_h->0 { f ( 1+3h) - f(1-h) } over h][eqn: = 3 f prime(1) + f prime (1) = 4 f prime (1) = 36]

[3점][2008년 5월]

함수 [eqn: f`(x)=(2x^3 +1)(x-1)^2 `]에 대하여 [eqn: f`prime(-1)`]의 값을 구하시오.

[eqn: 28]

[eqn: f(x)=(2x^3 +1)(x-1)^2]

[eqn: f`'(x)=6x^2 (x-1)^2 +2(x-1)(2x^3 +1)]

∴ [eqn: f`'(-1)=28]

[3점][2009년 6월]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} -6x+5]에 대하여
[eqn: lim _{h -> `0} {{f(a+h)-f(a-h)} over {h}} =8]을 만족하는 상수 [eqn: a]의 값은?

①

[eqn: lim _{ h->0} { { f(a+h)-f(a-h)} over {h } }`]

[eqn: `=`lim _{ h->0} { { f(a+h)-f(a)-f(a-h)+f(a)} over {h } }`]

[eqn: =2f'(a)=8]      ∴ [eqn: a=5]

[3점][2009년 7월]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

곡선 [eqn: y=x`^3 +2`] 위의 점 [eqn: \P(a,``-6)`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=mx+n`]이라 할 때, 세 수 [eqn: a,``m,``n`]의 합을 구하시오.

28

점 [eqn: P(a,-6)]는 [eqn: y=x ^{3} +2]위의 점이므로 [eqn: a=-2]

점 [eqn: P(-2,-6)]에서의 접선의 기울기 [eqn: m=12]

접선의 방정식은 [eqn: y=12x+18]

[eqn: THEREFORE a=-2,```m=12,```n=18]

[eqn: a+m+n=28]

[3점][2009년 9월]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{4} -3x+1]에 대하여
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`n LEFT { `f LEFT ( 1+ {3} over {n} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {2} over {n} RIGHT ) RIGHT }}]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

[eqn: lim from n->inf n left{f left(1+ 3 over n right)-f left(1- 2 over n right) right}][eqn: =lim from n->inf {left{f left(1+ 3 over n right)-f left(1- 2 over n right) right}} over {1over n}]

[eqn: =lim from n->inf {left{f left(1+ 3 over n right)-f(1) +f(1)-f left(1- 2 over n right) right}} over {1over n}]

[eqn: =lim from n->inf {f left(1+ 3 over n right)-f(1) } over {1 over n} +lim from n->inf {f(1)-f left(1- 2 over n right) } over {1over n}]

[eqn: =3 lim from n->inf {f left(1+ 3 over n right)-f(1) } over {3 over n} +2lim from n->inf {f(1)-f left(1- 2 over n right) } over {2over n}]

[eqn: =3 f prime(1)+2 f prime(1)=5 f prime(1)][eqn: =25]

( [eqn: because] [eqn: f prime(x)=8x^3 -3]에서 [eqn: f prime(1)=5])

[3점][2010년 6월]

곡선 [eqn: y=2x ^{2} +1`]위의 점 [eqn: (`-1,~3`)`]에서의 접선이
곡선 [eqn: y=2x ^{3} -ax+3`]에 접할 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

곡선 [eqn: y=2x ^{2} +1`]위의 점 [eqn: (`-1,```3`)`]에서의

접선의 방정식은 [eqn: y=-4x-1] [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

직선 [eqn: ㉠]이 곡선 [eqn: y=2x ^{3} -ax+3`]에 접하므로
접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 하면

점 [eqn: (` t,```2t ^{3} -at+3 `)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(6t ^{2} -a)(x-t)+2t ^{3} -at+3`]

[eqn: =(6t ^{2} -a)x-4t ^{3} +3`] [eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡]이 [eqn: ㉠]과 같으므로 [eqn: `t=1`]

따라서 [eqn: a=10]

[3점][2011년 4월]

다항함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 [eqn: lim_x->1 {f(x)-2} over {x^2 -1} =3``]일 때, [eqn: {f`'(1)} over {f(1)} ``]의 값은?

①

[eqn: lim from x->1 {f(x)-2} over {x^{2}-1} = 3]일 때, [eqn: x]가 1에 가까워질 때, 분모가 0에 가까이 가므로, 분자도 0으로 가까이 가고, [eqn: f(x)]가 다항함수가 다항함수이므로, [eqn: f(1)=2]

[eqn: f(x)]가 다항함수라서 미분이 가능하므로, 도함수의 정의를 이용할 수 있도록 주어진 식을 변형하면,

[eqn: lim _{x -> 1} {( {f(x)-2} over {x-1}) ({1} over {x+1}) =f prime (1) TIMES {1 over 2}=3]

그러므로 [eqn: f prime (1)=6]

따라서 구하고자 하는

[eqn: {f prime (1)} over{f(1)}= {6 over 2} =3]이 된다.

[3점][2011년 6월]

①　[eqn: 3]	②　[eqn: 7 over 2]	③　[eqn: 4]	④　[eqn: 9 over 2]	⑤　[eqn: 5]

이차함수 [eqn: f(x)=x^2 +3x``]에 대하여 [eqn: f(2)+f`'(2)``]의 값을 구하시오.

[eqn: 17]

[eqn: f(x)=x^2 + 3x]

[eqn: f(2)= 2^2 +3 BULLET 2 =10]

[eqn: f``'(x)= 2x +3]

[eqn: f``'(2) =2 BULLET 2 +3 =7]

[eqn: THEREFORE f(2) +f``'(2) =10+7 =17]

[3점][2011년 6월]

곡선 [eqn: y=x^3 -x^2 +a ``]위의 점 [eqn: (1,```a)``]에서의 접선이 점 [eqn: (0,```12)``]를 지날 때, 상수 [eqn: a``]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

[eqn: y``' =3x^2 -2x] 에서

[eqn: x=1] 일 때, [eqn: y``' =1]

기울기 [eqn: 1]이고 접점[eqn: (1,`a)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=x-1+a]

따라서 접선 [eqn: y=x-1+a] 위의 점[eqn: (0,`12)]이므로

[eqn: 12=0-1+a]

[eqn: THEREFORE a=13]

[4점][2011년 6월]

최고차항의 계수가 1인 다항함수 [eqn: f(x)]가

[eqn: f(x)f` prime (x)=2x ^{3} -9x ^{2} +5x+6]

을 만족할 때, [eqn: f(-3)]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

[eqn: f(x)]가 [eqn: n]차 함수이면

[eqn: f`'(x)]는 [eqn: (n-1)]차 함수이다. [eqn: THEREFORE `n=2]

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b], [eqn: f` prime (x)=2x+a]

[eqn: f(x)f` prime `(x)=(x ^{2} +ax+b)(2x+a)]

[eqn: 3a=-9], [eqn: ab=6] 이므로 [eqn: a=-3,`b=-2]

따라서 [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) =9-3a+b=16]

[3점][2011년 7월]

함수 [eqn: f(x)=left(x^3 +5 right)left(x^2 -1 right)``]에 대하여 [eqn: f`'(1)``]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: f(x)=(x^3 +5)(x^2 -1)] 에서 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f'(x)=3x^2 (x^2 -1) +2x(x^3 +5)]

따라서 [eqn: f'(1) = 2 TIMES 6 =12]

[3점][2011년 9월]

점 [eqn: (0,```-4)``]에서 곡선 [eqn: y=x^3 -2``]에 그은 접선이 [eqn: x``]축과 만나는 점의 좌표를 [eqn: (a,```0)``]이라 할 때, [eqn: a``]의 값은?

②

[eqn: y`'= 3x^2]이므로 접점의 좌표를 A[eqn: (a, a^3 -2 )]라 하면 점 A에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-alpha^3 +2 = 3alpha^2 (x-alpha)]

∴ [eqn: y= 3alpha^2 x - 2alpha^3 -2]

이 접선이 점 (0, -4)를 지나야 하므로

[eqn: -4 = -2alpha^3 -2]

∴ [eqn: alpha =-1]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y= 3x-4]이므로 [eqn: x]절편은 [eqn: a= 4over 3]

[4점][2011년 9월]

① [eqn: 7 over 6]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: 5 over 3]	⑤ [eqn: 11 over 6]

다항함수 [eqn: f`(`x)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {f`(`x)} over {x ^{3}}} `=`1]

(나) [eqn: x`=`-1`]과 [eqn: x`=`2`]에서 극값을 갖는다.

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f`(`3+h)-f`(`3-h)} over {h}} `]의 값은?

⑤

[eqn: lim _{ x`->`inf} {`{f`(x)} over x^3 }`=`1]이므로 [eqn: f`(x)`]는 삼차함수이고 삼차항의 계수는 [eqn: 1`]이다. 따라서 [eqn: f` prime(x)`]는 이차함수이고 이차항의 계수는 [eqn: 3`]이다.

[eqn: x`=`-1`]과 [eqn: x`=`2`]에서 극값을 가지므로 [eqn: f` prime(x)`]는 [eqn: x+1`]과 [eqn: x-2`]를 인수로 갖는다.

따라서 [eqn: f` prime(x)`=`3(x+1)(x-2)`]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{ h`->`0} {{f`(3+h)-f`(3-h)} over h }`]

[eqn: =` lim _{ h`->`0} {left{f`(3+h)-f`(3)right}-left{f`(3-h)-f`(3)right}} over h }`]

[eqn: =` lim _{ h`->`0}{{f`(3+h)-f`(3)}} over h }`+` lim _{ h`->`0}{{f`(3-h)-f`(3)}} over -h }]

[eqn: =`2f` prime(3)`=`2`․`3`․`4`․`1`=`24]

[3점][2012년 3월]

① [eqn: 8]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

함수 [eqn: f(x)=x``|`x`|``+`|`x-1`| ` ^{3}`]에 대하여 [eqn: f` prime (`0)`+f` prime (1)`]의 값은?

②

[eqn: g(x)=x`|`x`|`], [eqn: h(x)=|`x-1`|`^3`]으로 놓으면

두 함수 [eqn: g(x)], [eqn: h(x)]는 실수 전체에서 미분가능하므로 함수 [eqn: f(x)]도 실수 전체에서 미분가능하다.

[eqn: g'(0)=0], [eqn: h'(1)=0]이고

[eqn: x>0]일 때 [eqn: g(x)=x^2],

[eqn: x<1]일 때 [eqn: h(x)=`-(x-1)^3]이므로

[eqn: f`'(0)=0+h'(0)][eqn: =`-3(0-1)^2 =`-3]

[eqn: f`'(1)=g'(1)+0= 2``·``1=2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`'(0)+f`'(1)=-3+2=`-1]

[다른풀이1]

[eqn: f(x)=x`|`x`|+|`x-1`|` ^{3}]에서 [eqn: f(0) =1], [eqn: f(1) =1]

[eqn: lim _{``h`` -> 0+} {} {f(0+h)`-`f(0)`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> 0+} {} {h`|h|`+|`h-1| ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> 0+} {} {h ^{2} -(`h-1) ^{3} `-1} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> 0+} {} {-h ^{3`} +4h ^{2`} -3h`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> 0+} {} (-h ^{2`} +4h-3)`][eqn: =``-3]

[eqn: lim _{``h`` -> 0-} {} {f(0+h)`-`f(0)`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> 0-} {} {h`|h|`+|`h-1| ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> 0-} {} {-h ^{2} -(`h-1) ^{3} `-1} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> 0-} {} {-h ^{3`} +2h ^{2`} -3h`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> 0-} {} (-h ^{2`} +2h-3)`][eqn: =``-3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f``'(0`)`=`-3`]

[eqn: lim _{``h`` -> 0+} {} {f(1+h)`-`f(1)`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> 0+} {} {(1+h)`|1+h|`+|`1+h-1`|` ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> `0+`} {} {(1+h)` ^{2} +|`h`|` ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> 0`+`} {} {h ^{3`} +`h ^{2`} +2h`} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> ```0+`} {} (`h ^{2`} +`h+2)`][eqn: = 2]

[eqn: lim _{``h`` -> 0-} {} {f(1+h)`-`f(1)`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> 0-} {} {(1+h)`|1+h|`+|`1+h-1`|` ^{3`} `-1} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> `0-`} {} {(1+h)` ^{2} +|`h`|` ^{3`} `-1} over {h}][eqn: = lim _{``h`` -> ``0-`} {} {-h ^{3`} +`h ^{2`} +2h`} over {h}]

[eqn: = lim _{``h`` -> ```0-`} {} (`-h ^{2`} +`h+2)`][eqn: =`` 2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f`` prime (1`)`=``2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` prime (0)+f` prime (1)=`-`3`+`2``=`-1]

[다른풀이2]

[eqn: f(x)][eqn: =`` {cases{``x ^{2} ```+`(x-1) ^{3} &(x` GEQ 1`)#``x ^{2`} `-``(x-1) ^{3} &(`0 LEQ x<`1)#`-x ^{2`} `-(x-1) ^{3} &(`x<0)}} ``]

이므로

[eqn: f`'(x)`=`` {cases{`2`x```+`3(x-1) ^{2} &(x>1`)#``2x``-`3(x-1) ^{2} &(`0<x<1)#`-2x`-3(x-1) ^{2} &(`x<0)}}]

[eqn: lim _{x` -> `0+} {} f` prime (x)=2``․``0`-`3(0-1) ^{2`} `=`-3`]

[eqn: lim _{x` -> `0-} {} f` prime (x)=`-2``․``0``-`3(0-1) ^{2`} `=`-3`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` prime (0)=`-3]

[eqn: lim _{x` -> `1+} {} f` prime (x)=2``․``1`+`3(1-1) ^{2`} `=2`]

[eqn: lim _{x` -> `1-} {} f` prime (x)=2``․``1`-`3(1-1) ^{2`} `=2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` prime (1)=2]

이상에서 [eqn: f` prime (0)+f` prime (1)=`-3`+`2=`-1]

[4점][2012년 3월]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 3`]	⑤ [eqn: 5`]

[eqn: x>0``]에서 함수 [eqn: f(x)``]가 미분가능하고 [eqn: 2x<=f(x)<=3x``]이다. [eqn: f(1)=2``]이고 [eqn: f(2)=6``]일 때, [eqn: f`'(1)+f`'(2)``]의 값은?

④

[eqn: (1,```2)``]에서 [eqn: y=2x``]가 [eqn: f(x)``]의 접선이고, [eqn: (2,```6)``]에서 [eqn: y=3x``]가 [eqn: f(x)``]의 접선이므로 [eqn: f`'(1)=2], [eqn: f`'(2)=3``]
[eqn: therefore```][eqn: f`'(1)+f`'(2) =5]

[4점][2012년 5월]

① [eqn: 8]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)=x^2 +7x``]에 대하여 [eqn: f`'(3)``]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

[eqn: f`'(x)=2x+7]   [eqn: therefore```f`'(3)=6+7 =13]

[3점][2012년 6월]

다항함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: lim_x->1 {f(x)-5} over x-1 =9``]를 만족시킨다.
[eqn: g(x)=x`f(x)``]라 할 때, [eqn: g`'(1)``]의 값을 구하시오.

[eqn: 14]

[eqn: f(1)=5], [eqn: f`'(1)=9``]이고 [eqn: g`'(x)=f(x)+x`f`'(x)``]이므로
[eqn: therefore```][eqn: g`'(1)=f(1)+f`'(1)=5+9=14]

[4점][2012년 6월]

함수 [eqn: f(x)``]에 대하여 [eqn: lim_x->2 {f(x-2)} over {x^2 -2x} =4``]일 때, [eqn: lim_x->0 {f(x)} over x ``]의 값은?

④

(분모)[eqn: ->0``]이므로 (분자)[eqn: ->0``]이어야 한다. [eqn: therefore```f(0)=0]
[eqn: lim _{x -> 2} {} {f(x-2)} over {x ^{2} -2x} = {1} over {2} lim _{x -> 2} {} {f(x-2)} over {x-2} = {1} over {2} lim _{t -> 0} {} {f(t)} over {t} = {1} over {2} f` prime (0)=4]
[eqn: therefore```lim_x->0 {f(x)} over x = f`'(0)=8]

[3점][2012년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> `1} {{f(x)-f(1)} over {x ^{2} `-`1`} `=`-1`}]일 때, [eqn: lim _{h -> `0} {{f(1-2h)-f(1+5h)} over {h} `}]의 값을 구하시오.

14

[eqn: lim _{x -> `1} {{f(x)-f(1)} over {x ^{2} `-`1`} `=` 1 over2 f`'(1)`=` -1`]

[eqn: f`'(1) `=` -2]

[eqn: lim_{h `-> `0 } { { f(1-2h) - f(1+5h) } over { h } `=` -7 ` f`' (1) `=` 14]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +4x-2]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0`} {{f(1+3h)-f(1)} over {h}}]의 값을 구하시오.

21

[eqn: lim_h->0 {f(1+3h) - f(1)} over h][eqn: = lim_h->0 {f(1+3h) - f(1)} over 3h cdot3]

[eqn: = 3 f`'(1)]

[eqn: f(x)= x^3 +4x-2`]에서 [eqn: f`'(x)= 3x^2 +4]

∴[eqn: 3 f`'(1)=3times ( 3+4 )][eqn: = 21]

[4점][2012년 9월]

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)`]가
[eqn: f(`x ^{3} )=2x ^{3} -x ^{2} +32x]
를 만족시킬 때, [eqn: f`prime(1)`]의 값을 구하시오.

12

주어진 식의 양변을 미분하면

[eqn: f`'(x^3 ) times 3x^2 = 6x^2 -2x +32]

따라서, [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f`'(1) times 3 = 36]

[eqn: therefore] [eqn: f`'(1) = 12]

[3점][2012년 9월]

곡선 [eqn: f(x)= 2over 3 x^{`3} +ax `] 위의 두 점 [eqn: (0`, ``f(0))], [eqn: (1`,``f(1))`]에서의 접선이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

②

[eqn: f` prime `(x)=2x ^{2} +a`]에서 [eqn: f`'`(0)=a`], [eqn: f` prime `(1)`=`2`+`a`]

그러므로 [eqn: a(2+a)=`-1], [eqn: (a+1) ^{2} =0`]

따라서 [eqn: a=`-1`]

[4점][2012년 10월]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

함수 [eqn: f(x)= {1} over {3} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} +x+1]에 대하여 [eqn: f`'`(1)]의 값은?

⑤

[eqn: f prime (x)= x^2 + x + 1]이므로

[eqn: f prime (1)=1 ^{2} +1+1=3]

[2점][2013년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f(x)=5x^2 +3x-1]에 대하여 [eqn: f`'(1)]의 값을 구하시오.

13

[eqn: f'(x)=10x+3]이므로 [eqn: f'(1)=13]이다.

[3점][2013년 6월]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (2,~1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]이다. [eqn: g(x)=x^3 f(x)]일 때, [eqn: g`'(2)]의 값을 구하시오.

28

우선 주어진 조건으로부터 [eqn: f(2)=1], [eqn: f'(2)=2]이다.

[eqn: g(x)]를 미분하면

[eqn: g'(x)=3x^2 f(x)+x^3 f'(x)]

이고 [eqn: x=2]이면

[eqn: g'(2)=12f(2)+8f'(2)=12 times1 +8 times2=28]

이다.

[4점][2013년 6월]

함수 [eqn: f(x)``=x^3 -x]에 대하여 [eqn: lim_h->0 { f(1+3h)-f(1)} over 2h] 의 값은?

③

[eqn: lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 1+3h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {2h}} `=` lim _{h -> 0} {LEFT { {f LEFT ( 1+3h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {3h} TIMES {3} over {2} RIGHT }} `=` {3} over {2} `f prime LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=`x ^{3} -x]이므로 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) `=`3x ^{2} -1]에서

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) `=`3-1`=`2]이다.

그러므로 구하는 답은 [eqn: {3} over {2} f'` LEFT ( 1 RIGHT ) `=`3]이다.

[3점][2013년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 7 over2]	⑤ [eqn: 4]

곡선 [eqn: y=x^3 -3x^2 +x+1] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: A,~B]에서의 접선이 서로 평행하다. 점 [eqn: A]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 3]일 때, 점 [eqn: B]에서의 접선의 [eqn: y]절편의 값은?

②

[eqn: y]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: y' =3x^2 -6x+1]이다.

따라서 점 [eqn: A]에서의 접선의 기울기는

[eqn: y' =3x^2 -6x+1 right vert_x=3 =10] 이다. 또,

[eqn: 3x^2 -6x+1=10],

[eqn: 3x^2 -6x-9=0],

[eqn: x^2 -2x-3=0]

[eqn: therefore x=-1,3]

즉, 점 [eqn: B]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -1]이다.

따라서 점 [eqn: B]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-(-4)=10(x-(-1))]

[eqn: y=10x+6]

이다. 곧, [eqn: y]절편은 [eqn: 6]이다.

[4점][2013년 6월]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =200x- {3} over {2} x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} `]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 10 RIGHT )]의 값을 구하시오.

70

[eqn: f` prime (x)``=``200-3x-x ^{2`}]

[eqn: f` prime (10)``=``70]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

곡선 [eqn: y`=`x ^{3} +6x ^{2} -11x+7```]위의 점 [eqn: (1`,~3)`]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y`=`mx+n`]이라 할 때, 상수 [eqn: m`,~n`]에 대하여 [eqn: m-n`]의 값은?

①

[eqn: f(x) `=` x^3 +6x^2 -11x+7]이라 하면

[eqn: f` prime (x)`=`3x ^{2} +12x-11`]이므로 [eqn: f`prime(1)`=`4`]

접선의 방정식은 [eqn: y-3`=`4(x-1)`]

[eqn: y`=`4x-1`]

[eqn: therefore][eqn: m`-`n`=`4-(-1)`=`5`]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

함수 [eqn: f(x)=7x^3 -ax+3``]에 대하여 [eqn: f`'(1)=2``]를 만족시키는 상수 [eqn: a``]의 값을 구하시오.

[eqn: 19]

[eqn: f prime (x)=21x ^{3} -a]

[eqn: f prime (1)=21-a=2]

[eqn: therefore a=19]

[3점][2013년 9월]

다항함수 [eqn: LEFT . f(x RIGHT ) `]에 대하여
[eqn: lim _{x` -> `2} {` {f LEFT ( x RIGHT ) -1} over {x-2} =2``}]
일 때, [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2-h RIGHT )} over {h} `}]의 값은?

⑤

[eqn: lim _{x` -> `2} {` LEFT ( x-2 RIGHT ) =0`} `]이므로 [eqn: lim _{x` -> `2} {` LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT } =0`} `]

∴ [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1`]

[eqn: lim _{x` -> `2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -1} over {x-2} = lim _{x -> 2} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}} ``}][eqn: =f` prime LEFT ( 2 RIGHT )} =2``}]

∴ [eqn: lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2-h RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f(2)} over {h} `+`} lim _{h -> 0} {{f LEFT ( 2-h RIGHT ) -f(2)} over {-h}} `]

[eqn: =2f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =2 TIMES 2=4`]

[3점][2013년 10월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x) = 8x - 4 over x `]에 대하여 [eqn: f `'( 1 ) `]의 값을 구하시오.

12

[eqn: f` prime (x)=8- LEFT ( - {4} over {x ^{2}} RIGHT ) =8+ {4} over {x ^{2}} `]이므로

[eqn: f` prime (1)=8+ {4} over {1} =12`]

[3점][2014년 3월]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선과 직선 [eqn: y=`- {1} over {3} x+2]가 서로 수직일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`n LEFT { f LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {1} over {3n} RIGHT ) RIGHT }}] 의 값은?

⑤

[eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) `=`-1]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )=3]
[eqn: {1} over {n} =h]라 하면 [eqn: n`->`inf]일 때 [eqn: h`->`0]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`n` LEFT { f` LEFT ( 1+ {1} over {2n} RIGHT ) -f` LEFT ( 1- {1} over {3n} RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: = lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 1+ {h} over {2} RIGHT ) -f LEFT ( 1- {h} over {3} RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {LEFT { {f LEFT ( 1+ {h} over {2} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {{h} over {2}} TIMES {1} over {2} + {f LEFT ( 1- {h} over {3} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {- {h} over {3}} TIMES {1} over {3} RIGHT }}]

[eqn: = {1} over {2} f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) + {1} over {3} f`' LEFT ( 1 RIGHT ) = {5} over {2}]

[3점][2014년 4월]

① [eqn: {5} over {6}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

함수 [eqn: f(x) `=` x^2 + 4 x]에 대하여 [eqn: lim from { h`->` 0 } { f(1+h) - f(1) } over { 2h }]의 값은?

③

[eqn: lim _{h-> 0} {} `][eqn: {f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {2h}][eqn: =][eqn: {1} over {2} `][eqn: lim _{h-> 0} {} `][eqn: {f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}][eqn: =][eqn: {f`prime LEFT ( 1 RIGHT )} over {2}]

한편, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +4x]에서 [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+4]이므로 [eqn: f`prime LEFT ( 1 RIGHT ) =6]

따라서 구하는 정답은 [eqn: {1} over {2} TIMES 6=3]

[3점][2014년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f (x) `=` x^2 + x + 3]에 대하여 [eqn: f `' (10)]의 값을 구하시오.

[eqn: 21]

[eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =2x+1]이므로 [eqn: f`prime LEFT ( 10 RIGHT ) =21]

[3점][2014년 6월]

곡선 [eqn: y `=` - x^3 + 2 x] 위의 점 [eqn: (1 , ``1)]에서의 접선이 점 [eqn: (-10, `` a )]를 지날 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

주어진 식의 [eqn: (1,1)]에서 접선의 방정식은 [eqn: y=-x+2]이다.

따라서 주어진 점을 대입하여 보면 [eqn: a=12]이다.

[4점][2014년 6월]

곡선 [eqn: y=2x ^{3} +ax+b] 위의 점 [eqn: LEFT ( `1`,~1` RIGHT ) `]에서의 접선과 수직인 직선의 기울기가 [eqn: - {1} over {2}]이다. 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은?

①

곡선이 [eqn: rm (1,~1)]을 지나므로 [eqn: a+b=-1]

[eqn: f` prime (x)=6x ^{2} +a]이고 [eqn: f`prime(1)=2] 이므로 [eqn: 6+a=2``]

[eqn: a=-4], [eqn: b=3`]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =25]

[3점][2014년 7월]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]	④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x+7`]에 대하여 [eqn: f`'` LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값을 구하시오.

11

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -1]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) `=`11]

[3점][2014년 7월]

다항함수 [eqn: f(x) `]가 [eqn: lim _{h -> 0} {` {f(`1+h)-3} over {h}} `=`3 over 2]을 만족시킬 때, [eqn: f` prime `(1)+f(1)]의 값은?

⑤

[eqn: lim _{h -> 0} {LEFT { f(1+h)-3 RIGHT }} `][eqn: = lim _{h -> 0} {`h LEFT { {f(1+h)-3} over {h} RIGHT } `]

[eqn: = lim _{h -> 0} {`h} CDOT lim _{h -> 0} {{f(1+h)-3} over {h}} =0} `]

[eqn: lim _{h -> 0} {LEFT { `f(1+h)-3 RIGHT }}][eqn: = lim _{h -> 0}`` {f(1+h)} -3`][eqn: =0`]이므로

[eqn: lim_{h->0``} {`f(1+h)}=3]

[eqn: f(x)]가 연속이므로

[eqn: f(1)`][eqn: = lim_{h->0}`{`f(1+h)} `][eqn: =3`]

[eqn: lim _{h -> 0} {` {f(1+h)-3} over {h}][eqn: = lim _{h -> 0} {` {f(1+h)-f(1)} over {h}][eqn: =f`'(1)][eqn: = 3 over 2]

따라서 [eqn: f`'(1) + f(1) `][eqn: = 3 over 2 + 3`][eqn: = 9 over 2 `]

[3점][2014년 10월]

① [eqn: 7 over 2]	② [eqn: 15 over 4]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 17 over 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +8x]에 대하여
[eqn: lim _{h-> 0} {{f(1+2h)-f(1)} over {h}}]
의 값은?

⑤

[eqn: f(x)`=`x ^{2} `+`8x]는 [eqn: x`=`1] 에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{h-> 0} {{f(1+2h)-f(1)} over {h} `=`2f'(1)}]

그런데 [eqn: f'(x)`=`2x`+`8`]이므로

[eqn: 2f'(1)`=`2` TIMES `10`=`20]

[3점][2015년 6월]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +10x]에 대하여 [eqn: f'(0)]의 값을 구하시오.

10

[eqn: f'(x)`=`3x ^{2} `+`10] 이므로 [eqn: f prime (0)`=`10]

[3점][2015년 6월]

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} +5x+6`]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 3+h RIGHT ) -f LEFT ( 3 RIGHT )} over {h}} `]의 값을 구하시오.

11

[출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: lim _{h` -> ``0} {{f LEFT ( 3+h RIGHT ) -f LEFT ( 3 RIGHT )} over {h}} =f` prime ` LEFT ( 3 RIGHT ) `]

[eqn: f`'`(x)=2x+5]이므로

[eqn: lim _{h` -> ``0} {{f LEFT ( 3+h RIGHT ) -f LEFT ( 3 RIGHT )} over {h}} =11]

[3점][2015년 7월]

함수 [eqn: f(x) `=` x^2 - 2 x - 12 `]에 대하여 [eqn: f `'(5) `]의 값을 구하시오.

[eqn: 8]

[eqn: f `'(x) `=` 2x -2 `]이므로 [eqn: f `'(5) `=` 8]

[3점][2015년 9월]

함수 [eqn: f(x)=`x ^{2} +ax`]에 대하여 [eqn: lim _{h -> 0} {{f(`1+h)-f(`1)} over {2h}} =6`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

①

[출제의도] 미분계수의 정의를 이해하여 미정계수를 구한다.

[eqn: f`prime(x)][eqn: =2x+a `]이므로 [eqn: f`prime(1)][eqn: =2+a`]

[eqn: lim _{h -> 0}` {{f(1+h)-f(1)} over {2h}}][eqn: = 1over2` lim _{h -> 0} `{{f(1+h)-f(1)} over {h}}]                          [eqn: =`1over2`f`prime (1)][eqn: =`1over2`(2+a)`]

따라서 [eqn: {1} over {2} `(2+a)][eqn: =6`]에서 [eqn: a][eqn: =10`]

[3점][2015년 10월]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[해설] 미적분1-(4)미분-(b)기본문제