수 리 영 역

미분가능

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수 리 영 역

미분가능

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (미분가능)

성명			수험번호

16

함수 [eqn: f``(x)]는 [eqn: x=0] 에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 다음 <보기> 중 [eqn: x=0] 에서 미분가능한 함수를 모두 고르면?

⑤

[eqn: lim_x->0 f``(x) = f``(0)]이지만 [eqn: f``'(0)]이 존재하지 않는다.

Ⅰ. [eqn: y `'= lim_h->0 {h f``(h)} over h][eqn: = lim_h->0 f``(h)][eqn: = f``(0)]

Ⅱ. [eqn: y `'= lim_h->0 {h^2 ` f``(h)} over h][eqn: = lim_h->0 h` f``(h)]

Ⅲ. [eqn: y `'= lim_h->0 { 1 over{1+ h f``(h)} -1 } over h][eqn: = lim_h->0 {-h` f``(h) } over {h (1+hf``(h))}]

[eqn: = lim_h->0 {- f``(h) } over { 1+hf``(h)}][eqn: = - f``(0)]

[1.5점][1995년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: y=xf``(x)] ㄴ. [eqn: y=x^2 f``(x)] ㄷ. [eqn: y= 1 over {1+xf``(x)}]

①　ㄱ	②　ㄴ	③　ㄷ

④　ㄱ, ㄴ	⑤　ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 그림은 함수 [eqn: y=1]과 함수 [eqn: y=0]의 그래프의 일부이다. 두 점 [eqn: rmA(0,```1)], [eqn: rmB(1,```0)] 사이를 [eqn: 0≦x≦1]에서 정의된 함수 [eqn: y=a { x}^{3 } + b { x}^{2 } + c { x} + 1]의 그래프를 이용하여 연결하였다. 이렇게 연결된 그래프 전체를 나타내는 함수가 구간 [eqn: LEFT ( - INF ,``` INF RIGHT )]에서 미분가능하도록 상수 [eqn: a,```b,```c]의 값을 정할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 13]

[eqn: (- INF ,``` INF )]에서 미분가능하려면 [eqn: x=0,```1]에서 연속이고

미분가능이어야 한다.

함수 [eqn: y=ax ^{3} +bx ^{2} +c`x+1]는 점 [eqn: (0,```6)]을 지나므로

[eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: x=1]에서 연속이려면 [eqn: 0 = a+b+c+1]

[eqn: THEREFORE ```a+b+c=-1]

[eqn: y``' = 3ax ^2 + 2bx +c ``]

ⅰ) [eqn: x=0]에서 미분가능하려면 [eqn: 0=c``]

ⅱ) [eqn: x=1]에서 미분가능하려면 [eqn: 3a+2b+c =0]

[eqn: THEREFORE ``` {cases{a+b=-1#3a+2b=0}}]

[eqn: THEREFORE ```a=2,```b=-3]

[eqn: THEREFORE ```a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =13]

따라서 [eqn: a^2 + b^2 =13]

[4점][1998년 수능]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: f(0)=3,`````f`'`(3)<0]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 [eqn: `t]에 대하여 집합 [eqn: S]를
[eqn: S= \{ a ``|]함수 [eqn: |f(x)-t|]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않다.[eqn: \}]
라 하고, 집합 [eqn: S]의 원소의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=3]과 [eqn: t=19]에서만 불연속일 때, [eqn: f(-2)]의 값을 구하시오.

[eqn: 147]

만약 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 극점을 하나만 가진다면, [eqn: g(t)]가 불연속인 점은 하나이거나 셋이다.

따라서 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 두 개의 극솟점과 하나의 극댓점을 가진다. 또한 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 두 개의 극솟값을 가지면, [eqn: g(t)]가 불연속인 점은 [eqn: 3]개다.

따라서 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 두 개의 극솟점의 극솟값은 같다.

[eqn: f(x)=(x- alpha ) ^{2} (x- beta ) ^{2} +k]이고, 극솟값이 [eqn: 3]이어야 하므로 [eqn: k=3]

[eqn: f(x)=3]의 한 근이 [eqn: 0] 이므로 [eqn: f(x)=x ^{2} (x- alpha ) ^{2} +3]

[eqn: f`'(x)=2x(x-alpha) ^{2} +2x ^{2} (x-alpha)=2x(x-alpha)(2x-alpha)=0]에서

(극댓값)=[eqn: f LEFT ( {alpha} over {2} RIGHT ) = {alpha ^{4}} over {16} +3=19]

[eqn: THEREFORE alpha=±4]

그런데, [eqn: alpha=-4]이면 [eqn: f`'(3)>0]이므로 [eqn: alpha=4]

[eqn: f(x)=x ^{2} (x-4) ^{2} +3,````f(-2)=4times36+3=147]

[[eqn: 4]점][2011년 수능]

함수 [eqn: f(x)= {cases{x ^{3} +ax&(x<1)#bx ^{2} +x+1&(x`geq1)}}] 이 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,```b]는 상수이다.)

③

주어진 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: 1+a=b+1+1``` CDOTS CDOTS ```㉠]

또한 [eqn: x=1]에서 미분가능해야 하므로

[eqn: 3+a=2b+1``` CDOTS CDOTS ```㉡]

㉠, ㉡에서 두 식을 연립하면 [eqn: a=4,```b=3]

따라서 [eqn: a+b=7]

[4점][2013년 수능]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

좌표평면에서 삼차함수 [eqn: f(x) = x^3 +ax^2 +bx]와 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,~f(t) RIGHT )]에서 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: \P]라 할 때, 원점에서 [eqn: \P]까지의 거리를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: g(t)]는 다음 조건을 만족시킨다.

④

접점 [eqn: (t, ``` t^3 + at^2 + bt)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y = (3t^2 + 2at + b) (x-t) + t^3 +at^2 +bt]

[eqn: y = (3t^2 + 2at + b) x - 2t^3 -at^2]

따라서, 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: \P]는

[eqn: \P it(0, ```-2t^3 - at^2 )]

원점에서 점 [eqn: \P]까지의 거리 [eqn: g(t)]는

[eqn: g(t) = |-2 t^3 - at^2 `| = t^2 cdot | ``2t + a``|]
ⅰ) [eqn: a >0]일 때             ⅱ) [eqn: a=0]일 때

ⅲ) [eqn: a < 0]일 때

따라서, 함수 [eqn: g(t)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능이려면 [eqn: a=0]

조건 ㈎에서 [eqn: f(1) = 1+a+b=2], [eqn: b=1]

[eqn: THEREFORE``` f(x) = x^3 +x]

[eqn: THEREFORE``` f(3) = 3^3 +3 = 30]

(가) [eqn: f(1)=2]

(나) 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

[eqn: f(3)]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

[4점][2014년 수능]

① [eqn: 21]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 27]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 33]

다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: {f`prime(0) }over f(0)]의 최댓값을 [eqn: M`], 최솟값을 [eqn: m`]이라 하자. [eqn: M`m`]의 값은?

⑤

[출제의도] 조건에 맞는 삼차함수를 찾아 [eqn: {f`'(0)} over {f LEFT ( 0 RIGHT )}]의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는가?

조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =0]

또한, 조건 (가), (나)에 의하여 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 3,~5 RIGHT ]]에서 [eqn: x`]축과 접하게 된다.

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x- alpha RIGHT ) ^{2} ` LEFT ( k != 0,~3 LEQ alpha LEQ 5 RIGHT )]

라고 하면

[eqn: f`'(x)=k LEFT ( x- alpha RIGHT ) ^{2} +2k LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x- alpha RIGHT )]

이므로

[eqn: {f`'(0)} over {f LEFT ( 0 RIGHT )}][eqn: = {k alpha ^{2} -2k alpha } over {k alpha ^{2}}] [eqn: =1- {2} over {alpha }]

그런데, [eqn: 3 LEQ alpha LEQ 5]이므로

[eqn: alpha =3]일 때 최솟값 [eqn: m= {1} over {3}]

[eqn: alpha =5]일 때 최댓값 [eqn: M= {3} over {5}]

[eqn: THEREFORE ~Mm= {3} over {5} TIMES {1} over {3} = {1} over {5}]

[4점][2016년 수능]

(가) 함수 [eqn: |`f(x) `|`]는 [eqn: x=`-1`]에서만 미분가능하지 않다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0`]은 닫힌구간 [eqn: [`3`,```5`]]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

① [eqn: 1over15]	② [eqn: 1over10]	③ [eqn: 2over15]
④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 1over5]

삼차함수 [eqn: f`(x`)``=x ^{3} +3x ^{2} -9x``]에 대하여 함수 [eqn: g`(x`)``]를
[eqn: g`(x`)= cases{`~f`(x`)~~~~~~&(x<a`)#``m-f`(x`)&(a` <= `x`<`b`) #`~n+f`(x`)``&(x` >= `b`)} ``]
로 정의한다. 함수 [eqn: g`(x`)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 미분가능하도록 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]와 [eqn: m`], [eqn: n``]의 값을 정할 때, [eqn: m+n``]의 값을 구하시오.

118

함수 [eqn: g(x)`]는 연속이고 미분가능하므로

[eqn: f`(a`)=m-f`(a`)``], [eqn: m-f`(b`)=n+f`(b`)``] ……㉠

[eqn: g`` prime (x`)= cases{f`` prime (x`)~~&(x<a`)#-f`` prime (x`)~~&(a` <= `x`<`b`)#f`` prime (x`)``&(x` >= `b`)} ``]

[eqn: f`` prime (x`)``=3x ^{2} +6x-9=3(x+3`)(x-1`)``]

따라서 극대값은 [eqn: f`(-3`)=27``], 극소값은 [eqn: f`(1`)=-5``]

㉠에서 [eqn: m=2f`(-3`)=54``],

[eqn: n=m-2f`(1`)=54+10=64``]이므로

[eqn: a=-3,``b=1,``m=54,``n=64``]

∴ [eqn: m+n=118``]

[4점][2005년 10월]

다음은 함수 [eqn: f(x)= LEFT | `x(x-k)` RIGHT |]의 [eqn: x=0]에서 연속성과 미분가능성을 조사하는 과정이다.

(ⅰ) [eqn: x=0]에서 [eqn: f(x)]의 연속성

[eqn: f(0)=0]이고

[eqn: lim _{h -> `0} {} LEFT { f(0+h)-f(0) RIGHT } = lim _{h -> `0} {} ` LEFT |`h(h-k)` RIGHT | `=]

(가)

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 [eqn: k]의 값에 관계없이 연속이다.

(ⅱ) [eqn: x=0]에서 [eqn: f(x)]의 미분가능성

[eqn: lim _{h -> `0+} {{f(0+h)-f(0)} over {h}} = lim _{h -> `0+} {{LEFT | `h(h-k)` RIGHT |} over {h}} `= LEFT | `k` RIGHT |]

[eqn: lim _{h -> `0-} {{f(0+h)-f(0)} over {h}} = lim _{h -> `0-} {{LEFT | `h(h-k)` RIGHT |} over {h} `} =]

(나)

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: k=0]인 경우에만 [eqn: x=0]에서

(다)

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

③

[출제의도] 함수의 연속성과 미분가능성 조사하기

[해설] (가)

[eqn: 0]

(나)

[eqn: - |`` k`` |]

(다)

미분가능하다.

[3점][2007년 5월]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 0]	[eqn: left |``k``right |]	미분가능하다.
②	[eqn: 0]	[eqn: -left |``k``right |]	미분가능하지 않다.
③	[eqn: 0]	[eqn: -left |``k``right |]	미분가능하다.
④	[eqn: -k]	[eqn: left |``k``right |]	미분가능하다.
⑤	[eqn: -k]	[eqn: -left |``k``right |]	미분가능하지 않다.

자연수 [eqn: a,``b`]에 대하여
함수 [eqn: f`(x) = lim from n->inf{ a`x^n+b + 2x -1_` }over{x^n +1 } `(x＞0)]이 [eqn: x=1`]에서 미분가능할 때, [eqn: a+10b`]의 값을 구하시오.

21

각 구간에서 [eqn: f(x)]를 구하면

(ⅰ) [eqn: 0< x < 1] : [eqn: f(x) =2x-1]

(ⅱ) [eqn: x=1] : [eqn: f(1) = { a+1} over {2 }]

(ⅲ) [eqn: x> 1] : [eqn: f(x) = ax^b]

[eqn: x=1]에서 미분 가능하므로

a) 연속조건 : [eqn: lim _{x` -> `1-} {f(x)} = lim _{x` -> `1+} {} f(x)=f(1)]

[eqn: THEREFORE```` a=1]

b) 미분가능조건 : [eqn: f'(x) = cases {2 & (x<1) # abx^b-1 & (x>1 )}]

[eqn: THEREFORE```` 2 =ab]

a)와 b)에서 [eqn: a=1], [eqn: b=2]

[eqn: THEREFORE```` a+ 10b =1+ 20=21]

[3점][2008년 6월]

그림과 같이 구간 [eqn: [`0`,~5`]]를 정의역으로 하는 두 함수 [eqn: f(x)],  [eqn: g(x)]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: {g(2)} over {f(2)} `=`0``,````` lim _{x-> 2} {` {g(x)} over {f(x)} ``=`0}]  (참)

ㄴ. [eqn: g (f(1))=-1], [eqn: lim _{x`` -> ``1} {} g(f(x))`=-1](참)

ㄷ.  [eqn: f(x)= cases{1&``````(3<=x<4)#x-3&``````(4 <= x <= 5)}],

[eqn: g(x)=x-4``(``3`<= x <=5)]

[eqn: f(x)g(x)= cases{x-4&`(3 <= ``x< 4)#(x-3)(x-4)&``(`4 <= x<= 5)}]

[eqn: lim _{x`` -> ``4-} {} {f(x)g(x)-f(4)g(4)} over {x-4} `=1]

[eqn: lim _{x`` -> ``4+} {} {f(x)g(x)-f(4)g(4)} over {x-4} `=1]  (참)

[4점][2009년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. 함수 [eqn: {g(x)} over {f(x)}]는 [eqn: x=2]에서 연속이다. ㄴ. 함수 [eqn: (g CIRC f)(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: f(x)`g(x)]는 [eqn: x=4]에서 미분가능하다.

① ㄱ               ② ㄷ               ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

사차함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: { f`'` (5) } over { f`'(3) } ~]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

[eqn: g(x)=f(x)-f(1)``]이라 하면

[eqn: g(1)=g`'(1)=0`,```g`'(2)=0]

[eqn: y=|`g(x)`|``]는 [eqn: x=1``]에서 극값을 갖는다.

따라서 (나)의 조건에 맞도록 [eqn: y=|`g(x)`|``]의 그래프를 그려보면

아래그림과 같다.

[eqn: y=g(x)``]의 그래프는 다음 두 가지 경우에 해당한다.

∴ [eqn: g`'(x)=a(x-1)^2 (x-2) =f`'(x)] ([eqn: a ne 0])

[eqn: { f`'(5)} over {f`'(3) } = { 48a} over { 4a}=12]

[4점][2009년 6월]

(가) 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=2 ~]에서 극값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: vert f(x) - f(1) vert ~]은 오직 [eqn: x=a~(a>2)`] 에서만 미분가능하지 않다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

함수 [eqn: f(`x`)]가 다음과 같다.

[eqn: f(x)= cases{###}]	[eqn: -3x`+a~~~~~~~~(``x< -1``)~]
	[eqn: x ^{3} +bx^2 +cx~~~`(`-1` <= `x` < `1`)]
	[eqn: -3x`+d~~~~~~~~(``x>= 1``)~]

함수 [eqn: f(x)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 미분가능하도록 네 실수
[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d``]의 값을 정할 때, [eqn: a+b+c+d``]의 값은?

③

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=+-1]에서 미분가능해야 하므로

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =3+a=-1+b-c], [eqn: f`` prime LEFT ( -1 RIGHT ) =-3]이고

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-3+d=1+b+c], [eqn: f`` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =-3]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b+c+d=2+0-6-2=-6]

[3점][2009년 10월]

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]	④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

함수 [eqn: f(x)= cases{`````````x^2&`````( x<= 3)#- 1 over 2 (x- a)^2 + b &`````(x>3)}`]이 모든 실수에서 미분가능할 때, [eqn: a+ b `]의 값을 구하시오.

[eqn: 36]

[eqn: f`(x)`]가 [eqn: x=3``]에서 연속이므로,

[eqn: - {1} over {2} (3-a) ^{2} +b=9`] … ①

또한 [eqn: f` prime (x)= {cases{`2x&(x <= 3)#-x+a``````&(x``>3)}} ``]

[eqn: f`(x)`]는 [eqn: x=3`]에서 미분가능하므로 [eqn: a=9``]… ②

①, ②  에 의하여

[eqn: a=9`,```b=27]

[eqn: therefore] [eqn: a+b`=36]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{4} +4 LEFT ( a-1 RIGHT ) x ^{3} +6ax ^{2}] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]과 실수 [eqn: t]에 대하여, [eqn: x<=t]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

①

[eqn: f`'(x) = -12x^3 + 12(a-1)x^2 + 12ax`]

[eqn: = -12x left{ x^2 - (a-1)x - a`right}`]

[eqn: = -12x (x+1)(x-a)`]

[eqn: f`'(x) =0`]에서 [eqn: x= -1,``0,``a`]

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: a]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	+	0	-	0	+	0	-
[eqn: f(x)]	↗		↘		↗		↘

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f(-1) = 2a+1`], [eqn: f(a) = a^4 +2a^3`]이고,

[eqn: f(a)- f(-1) =][eqn: a^4 + 2a^3 -2a-1`][eqn: = (a+1)^3 (a-1)`]

이므로

[eqn: 0<a<1`]이면 [eqn: f(a)`<`f(-1)`]

[eqn: a>=1`]이면 [eqn: f(a)`>= f(-1)`]이다.

(ⅰ) [eqn: 0<a<1`]인 경우

[eqn: t< -1`]이면

[eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: t>= -1`]이면

[eqn: g(t) = f(-1) = 2a+1`]

따라서,

[eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12(a-1)t^2 +12at &(t < -1)#~~~0&(t> -1)}`]

이고, [eqn: lim _{t -> -1-} {} g` prime (t)= lim _{t -> -1+} {} g` prime (t)`=0`]

이므로 [eqn: g(t)`]는 [eqn: t= -1`]에서 미분가능하다.

그러므로 [eqn: 0<a<1`]일 때 함수 [eqn: g(t)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅱ) [eqn: a>=1`]인 경우

[eqn: f(-1) = f( alpha )] ([eqn: 0< alpha <= a`])이라 하자.

[eqn: t< -1`]이면

[eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: -1<= t< alpha`]이면

[eqn: g(t) = f(-1) = 2a+1`]

[eqn: alpha` <= t< a`]이면

[eqn: g(t) = f(t) = -3t^4 + 4(a-1)t^3 + 6at^2`]

[eqn: t>=a`]이면

[eqn: g(t) = f(a) = a^4 + 2a^3`]

따라서,

[eqn: g` prime (t)= {cases{-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12at&(t<-1)#~~~~0&(-1<t< alpha )#-12t ^{3} +12(a-1)t ^{2} +12at&( alpha <t<a)#~~~~0&(t>a)}}]

[eqn: lim _{t -> -1-} {} g` prime (t)= lim _{t -> -1+} {} g` prime (t)`=0`]이므로

[eqn: g(t)`]는 [eqn: t= -1`]에서 미분가능하다.

[eqn: lim _{t -> a-} {} g` prime (t)= lim _{t -> a+} {} g` prime (t)`]이어야 하므로

[eqn: -12a^3 + 12(a-1)a^2 +12a^3 =0`]에서

[eqn: 12(a-1)a^2 =0`]  ∴ [eqn: a=1`]

[eqn: a=1`]이면 [eqn: f(x) = -3x^4 + 6x^2`]이므로

[eqn: f(-1) = f(1)`]  ∴ [eqn: alpha = a = 1`]

∴ [eqn: g`'(t) = cases{ -12t^3 + 12t &(t< -1)#~~~0&(-1<t<1)#-12t^3 +12t &(t>1)}`]

[eqn: g`'(-1) =0`], [eqn: g`'(1) = 0]이므로

[eqn: a=1`]일 때, [eqn: g(t)`]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(ⅰ),(ⅱ)에서 함수 [eqn: g(t)`]가 수 전체의 집합에서 미분가능하기 위한 [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: 0<a<=1`]이므로

구하는 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 1`]이다.

[4점][2010년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

삼차식 [eqn: f(`x`)``]에 대하여 함수 [eqn: g(`x`)``]를

[eqn: g(`x`)= cases{###}]	[eqn: 3]	[eqn: (``x`` < - 1)]
	[eqn: f(`x`)]	[eqn: (-1 <= x <= 1)]
	[eqn: -1]	[eqn: (``x``>`1`)]

로 정의하자. 함수 [eqn: g(`x`)``]가 모든 실수에서 미분가능할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

②

[eqn: f` prime `(x)=k(x-1)(x+1)`]이고 [eqn: f(-1)=3], [eqn: f(1)=-1]

∴[eqn: f(x)=x ^{3} -3x+1`], [eqn: f` prime `(x)=3x ^{2} -3``]

[eqn: g`` prime (x)= cases{``0~~~~~&(x < -1,`````x > 1)#3x ^{2} -3&(-1 <= x <= 1)}`]에서

ㄴ. [eqn: g`` prime (x) <= 0] (참)

ㄷ. [eqn: g`` prime (x) >= -3]이므로 [eqn: g`` prime (x)]의 최솟값은 [eqn: -3`] (거짓)

[4점][2010년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: g`` prime (`-1`)=g`` prime (`1`)] ㄴ. 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: g`` prime (`x`) <= 0] ㄷ. 함수 [eqn: g`` prime (`x`)``]의 최솟값은 [eqn: -2``]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f`(`x`)= {cases{``x` ^{3} `+`a`x`+`1~~&(`x GEQ 1`)#``2`x` ^{2} +`a&(`x``<`1`)}} `]가 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 미분가능하도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값은?

④

함수 [eqn: f(x)`]는 연속함수이다.

[eqn: f` prime `(`x`)= {cases{``3x ^{2} +a~~&(`x>1`)#``4x&(`x`<`1`)}}`]

[eqn: lim _{x` -> `1+} {} (3x ^{2} +a)= lim _{x` -> `1-} {} ``4x`]에서 [eqn: 3+a=4`]이다.

[eqn: ∴] [eqn: a=1`]

[3점][2011년 10월]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]	④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 -9x-1``]과 실수[eqn: m``]에 대하여 함수[eqn: g(x)``]를
[eqn: g(x)=cases{``&f(x)~~~~&(f(x)>=mx)`` #&mx &(f(x)<mx)]
라 하자. [eqn: g(x)``]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: m``]의 값은?

②

[eqn: f(x)=mx``]인 [eqn: x=alpha``]라 하면
[eqn: x=alpha``]에서 미분가능하므로
[eqn: alpha^3 -3alpha^2 -9alpha-1=m alpha] [eqn: cdotscdots] [eqn: ㉠]
[eqn: 3alpha^2 -6alpha-9=m] [eqn: cdotscdots] [eqn: ㉡]
[eqn: ㉡]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: (alpha-1)^2 (2alpha+1)=0]
[eqn: therefore```alpha=1] 또는 [eqn: alpha = `- 1 over2]
그래프를 그려보면, [eqn: alpha= 1``]일 때 [eqn: m=`-12``]이고 [eqn: g(x)``]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하지만 [eqn: alpha= `- 1 over 2 ``]일 때 [eqn: m= `- 21 over 4 ``]이고 [eqn: g(x)``]는 [eqn: x>0``]에서 미분불가능한 뽀족한 점이 발생한다. (그래프 생략)
따라서 [eqn: m=`-12]

[4점][2012년 6월]

① [eqn: -14]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -10]	④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -6]

미분가능한 함수

②

함수 [eqn: f(x)]가 연속이므로 [eqn: f(0)=a+b=1] [eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: f`(x)]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로

[eqn: f`'`(0)][eqn: = lim _{h -> 0+} {{f``(0+h)-f`(0)} over {h}} `][eqn: = lim _{h -> 0-} {{f``(0+h)-f`(0)} over {h}} `]

그런데 [eqn: lim _{h -> 0-} {{f``(0+h)-f`(0)} over {h}} `][eqn: =`-1`],

[eqn: lim _{h -> 0+} {{f``(0+h)-f`(0)} over {h}}][eqn: =2a(0-1)`][eqn: =`-2a`]이므로

[eqn: -1=`-2a`] [eqn: CDOTS] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 [eqn: b= {1} over {2} `] ∴ [eqn: f(1)`][eqn: =b`][eqn: = {1} over {2} `]이다.

[eqn: f`(`x`)= {cases{``-x`+`1~~~~~~~&(`x < `0`)#``a`(x-1)` ^{2} +`b&(`x ge 0`)}} `]

에 대하여 [eqn: f(`1)`]의 값은? (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

[3점][2012년 10월]

① [eqn: 1over4`]	② [eqn: 1over2`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 3over 2`]	⑤ [eqn: 2`]

좌표평면 위에 그림과 같이 어두운 부분을 내부로 하는 도형이 있다. 이 도형과 네 점 [eqn: (0,```0)], [eqn: (t,```0)], [eqn: (t,```t)], [eqn: (0,```t)``]를 꼭짓점으로 하는 정사각형이 겹치는 부분의 넓이를 [eqn: f(t)``]라 하자.

③

[eqn: f(t)=cases{``& t^2 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&(0<t<1) #&1+int from1 to t x `dx = 1 over 2 t^2 + 1 over 2 &(1<=t<2) #&5 over2 + int from 2 to t 2 `dx= 2t - 3 over 2 &(2<=t<3) #& 9 over 2 + int from 3 to t 3 `dx= 3t - 9 over 2 &(3<=t<4)] 이고,
[eqn: t``]가 자연수가 아닐 때는 미분가능하므로
[eqn: f`'(t)=cases{``& 2t ~~~~~~&(0<t<1) #& t &(1<t<2) #& 2 &(2<t<3) #& 3 &(3<t<4)]
[eqn: lim _{t -> 2+} {} f` prime (t)``= lim _{t -> 2-} {} f` prime (t)``=2``]가 되어 [eqn: t=2``]에서 미분가능하지만 [eqn: t=1] 또는 [eqn: 3``]에서는 미분이 불가능하다.
따라서 [eqn: 1+3=4``]이다.

열린 구간 [eqn: (0,```4)``]에서 함수 [eqn: f(t)``]가 미분가능하지 않은 모든 [eqn: t``]의 값의 합은?

[4점][2012년 5월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

③

ㄱ.[eqn: lim _{ x``-> root 2 } { [ ` x ` f(x) ` ] `=` 1] (참)

ㄴ. [eqn: g(x) `=` [` x `f(x) ` ]]라 하면,

[eqn: g(root2 ) `=` 0], [eqn: lim_{ x ``-> root 2 } { g(x) `=` 1] 이므로

[eqn: [xf(x)]]는 [eqn: x =root 2]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{x -> sqrt {2}} {{(x- sqrt {2} )[xf(x)]-0} over {x- sqrt {2}}} =1]  (참)

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: x]

[eqn: sqrt {2}]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{x` -> sqrt {2}} {``[xf(x)]`=1}] ㄴ. 함수 [eqn: [xf(x)]]는 [eqn: x= sqrt {2}]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: LEFT ( x- sqrt {2} RIGHT ) [xf(x)]]는 [eqn: x= sqrt {2}]에서 미분가능하다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)`=` {cases{-x ^{2} +ax+2~&(x GEQ 2)#``````2x`+`b~~~&(x<`2)}}]가 [eqn: x`=2`]에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a`,~b`]에 대하여 [eqn: ab`]의 값을 구하시오.

36

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x`=` 2]에서 미분가능하면 연속이므로

[eqn: -4+2a+2`=`4+b`] [eqn: therefore ` b`=` 2a-6]

[eqn: f`` prime (x)`=` {cases{-2x+a````(x>2)#```````````````2~``````````(x<2)`}}] 이고

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하므로 [eqn: -4+a=2]

따라서 [eqn: a=6`], [eqn: b=6`]

[eqn: therefore `ab`=`36`]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -9x+1`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를
[eqn: g(x)= {cases{f(x)&`````(x GEQ k)#f(2k-x)&`````(x<k`)}}]
라 하자. 함수 [eqn: g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합을 [eqn: {q} over {p} `]라 할 때, [eqn: p ^{2} +q ^{`2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

13

[출제의도] 함수의 대칭성을 이용하여 미분가능성 문제를 해결한다.

다항함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 직선 [eqn: x=k`]에 대하여 대칭인 함수 [eqn: g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [eqn: x=k`]에서 미분가능하면 된다.

[eqn: lim _{x` -> `k-} {{g(x)-g(k)} over {x-k}} `= lim _{x` -> `k-} {{f(2k-x)-f(k)} over {x-k}}]

[eqn: = lim _{x` -> `k-} {LEFT [ {LEFT { (2k-x) ^{3} -(2k-x) ^{2} -9(2k-x)+1 RIGHT }} over {x-k} RIGHT .}]

[eqn: LEFT . - {(k ^{3} -k ^{2} -9k+1)} over {x-k} RIGHT ]]

[eqn: = lim _{x` -> `k-} {LEFT [ pile{`#`} (k-x) RIGHT .}][eqn: LEFT. TIMES {LEFT { (2k-x) ^{2} +k(2k-x)+k ^{2} -(3k-x)-9 RIGHT }} over {x-k} RIGHT ]]

[eqn: =`-3k ^{2} +2k+9]

또, [eqn: lim _{x` -> `k+} {{g(x)-g(k)} over {x-k}}][eqn: = lim _{x` -> `k+} {{f(x)-f(k)} over {x-k}}]

[eqn: = lim _{x` -> `k+} {{(x ^{3} -x ^{2} -9x+1)-(k ^{3} -k ^{2} -9k+1)} over {x-k}}]

[eqn: = lim _{x` -> `k+} {{(x-k) LEFT { x ^{2} +kx+k ^{2} -(x+k)-9 RIGHT }} over {x-k}}]

[eqn: =3k ^{2} -2k-9]

[eqn: lim _{x` -> `k-} {{g(x)-g(k)} over {x-k}} = lim _{x` -> `k+} {{g(x)-g(k)} over {x-k}}]

이므로

[eqn: -3k ^{2} +2k+9=3k ^{2} -2k-9]

[eqn: 3k ^{2} -2k-9=0]

그러므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 구하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: {2} over {3}]이다.

따라서 [eqn: p=3], [eqn: q=2]이므로 [eqn: p ^{`2} +q ^{`2} =13]이다.

[참고]

함수 [eqn: y`=`f(2k-x)`]의 그래프는 함수 [eqn: y`=`f(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: x`=`k`]에 대하여 대칭이다. 따라서 함수 [eqn: y`=`g(x)`]의 그래프는 [eqn: x`=`k`]에 대하여 대칭이고, 함수 [eqn: y`=`g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [eqn: f` prime (k)=0]이어야 한다.

[4점][2015년 3월]

[해설] 미적분1-(4)미분-(a)미분가능