수 리 영 역

활용문제

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 리 영 역

활용문제

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 함수의 연속 (활용문제)

성명			수험번호

16

모든 실수에서 정의된 함수 [eqn: f``(x)]가 다음 <보기>에 있는 세 가지 조건을 만족시킨다.

	[ 보 기 ]
가. [eqn: f``(x)]는 연속함수이고 [eqn: f``(x)=f``(-x)]이다. 나. [eqn: |``x``|＞5]이면 [eqn: f``(x)=0]이다. 다. [eqn: |``x``|<5]이면 [eqn: |`f``(x)`| <= 10]이고 [eqn: f``(x)=10]이 되는 [eqn: x]는 오직 한 개 있다.

다음 중 옳지 않은 것은?

④

[eqn: f``(x) = f``(-x)]이므로 우함수,

즉, 그래프는 [eqn: y``]축에 관한 대칭이다.

[eqn: |``x``|>5,] 즉 [eqn: x< -5] 또는 [eqn: x>5]이면 [eqn: f``(x)=0]

[eqn: |``x``|<5,] 즉 [eqn: -5 <x `<5]이면 [eqn: |`f``(x)``| <= 10]

[eqn: f``(x)=10]이 되는 [eqn: x]는 오직 한 개

그런데 [eqn: f``(x)]는 우함수이므로 [eqn: f``(0)=10``` CDOTS CDOTS ```②]

[eqn: f``(x)]가 연속 함수이므로

[eqn: 0 <= f``(x)<10,```f``(-5)=f``(5)=0``` CDOTS CDOTS ```①]

[eqn: f``(x)=5]가 되는 [eqn: x]는 [eqn: 5]개 이상이다. [eqn: CDOTS CDOTS ```③]

[eqn: THEREFORE ```f`(x)]가 최소인 [eqn: x]는 무수히 많다.

[eqn: f``(x+5)] 또는 [eqn: f``(x-5)]가 [eqn: 0]이 되므로

[eqn: f``(x+5)f``(x-5)=0``` CDOTS CDOTS ```④]

[1994년 수능 1차]

①　[eqn: f``(5)=f``(-5)=0]이다.

②　[eqn: f``(x)]는 [eqn: x=0]일 때 최대이다.

③　[eqn: f``(x)=5]가 되는 [eqn: x]는 두 개 이상 있다.

④　[eqn: f``(x)]가 최소가 되는 [eqn: x]는 오직 한 개 있다.

⑤　모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f``(x+5)f``(x-5)=0]이다.

함수 [eqn: f`(x)=x^2 -4x+a`]와 함수 [eqn: g(x)= lim _{n` -> INF } {} {2`|``x-b``| ^{n} +1} over {|``x-b``| ^{n} +1}]에 대하여 [eqn: h(x)=f`(x)g(x)]라 하자. 함수 [eqn: h(x)]가 모든 실수 [eqn: x`]에서 연속이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a,```b]의 합 [eqn: a+b`]의 값은?

③

[eqn: f(x)= (x-2)^2 +a-4]이므로

함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭인 연속함수이다.

한편, [eqn: g(x)]를 간단히 하면 다음과 같다.

(i) [eqn: |x-b|>1]일 때 [eqn: g(x) =2]

(ii) [eqn: |x-b|=1]일 때 [eqn: g(x) = 3OVER 2]

(iii) [eqn: |x-b|<1]일 때 [eqn: g(x) =1]

이때 [eqn: |x-b|=1] ⇔ [eqn: x= b-1] 또는 [eqn: x=b+1]이므로

함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

이때, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=b-1], [eqn: x=b+1]일 때 불연속이므로 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)] 가 모든 실수 [eqn: x]에 연속이 되려면

[eqn: f(b-1)=f(b+1)=0] 이어야 한다.

따라서 [eqn: y=f(x)]의 대칭축의 방정식은

[eqn: x=2= b] ⋯㉠이고,

[eqn: f(3)= 9-12+a=0] ⋯㉡ 이어야 한다.

㉠, ㉡에서 [eqn: a=3,~b=2]

∴ [eqn: a+b=5]

[3점][2009년 수능]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

실수 [eqn: a``]에 대하여 집합
[eqn: LEFT { `x` vert ax ^{2} +2(a-2)x-(a-2)=0,```x는```실수` RIGHT }]의 원소의 개수를 [eqn: f``(a)``]라 할 때, 옳은 것만을 [보기]에서 있는 대로 고른 것은?

④

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때, [eqn: -4x+4=0] [eqn: ∴~x=1]

즉, [eqn: f`(0)=1]

(ⅱ) [eqn: a≠0]일 때,

이차방정식 [eqn: ax^2 +2(a-2)x-(a-2)=0]의 판별식을 [eqn: rmD]라 하면

[eqn: D over 4 =(a-2)^2 +a(a-2)=2(a-1)(a-2)]

즉, 이 이차방정식은 [eqn: a=1] 또는 [eqn: a=2]일 때 중근을 갖고, [eqn: 1＜a＜2]일 때 실근을 갖지 않고,

[eqn: a＜1] 또는 [eqn: a＞2]일 때 서로 다른 두 실근을 갖는다.

따라서, 함수 [eqn: f`(a)]는 [eqn: f`(0)=f`(1)=f`(2)=1],

[eqn: 1＜a＜2]일 때 [eqn: f`(a)=0],

[eqn: a＜0] 또는 [eqn: 0＜a＜1] 또는 [eqn: a＞2]일 때 [eqn: f`(a)=2]

ㄱ. (거짓) [eqn: lim from {a`→`0} f`(a)=2], [eqn: f`(0)=1], [eqn: lim from {a`→`0} f`(a) ≠f`(0)]

ㄴ. (참)[eqn: lim _{a` -> `c+} {} f`(a) != lim _{a` -> `c-} {} f`(a)]를 만족하는 c는 [eqn: 1,```2]의 [eqn: 2]개다.

ㄷ. (참) 함수 [eqn: f`(a)]가 불연속인 점은 [eqn: a=0], [eqn: a=1], [eqn: a=2] 일 때의 [eqn: 3]개이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[3점][2010년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: lim _{a ``-> ``0} {f``(a)}][eqn: =f``(0)] ㄴ.[eqn: lim _{a`` -> ``c+} {f``(a)}][eqn: ne][eqn: lim _{a`` -> ``c-} {f``(a)} ``]인 실수 [eqn: c``]는 [eqn: 2`]개다. ㄷ. 함수 [eqn: f``(a)``]가 불연속인 점은 [eqn: 3`]개이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 함수
[eqn: f(x)= {cases{-1&( LEFT | `x` RIGHT | geq1)#1&( LEFT | `x` RIGHT | <1)}}], [eqn: g(x)= {cases{1&( LEFT | `x` RIGHT | geq1)#-x&( LEFT | `x` RIGHT | <1)}}]
에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. (참) [eqn: lim _{x` -> `1+} {f(x)g(x)}][eqn: = lim _{x` -> `1+} {f(x)} TIMES lim _{x` -> `1+} {g(x)}][eqn: = (-1)×1=-1]

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f(x)g(x)}][eqn: = lim _{x` -> `1-} {f(x)} TIMES lim _{x` -> `1-} {g(x)}][eqn: = 1×(-1)=-1]

ㄴ. (거짓) [eqn: lim _{x` -> `0+} {g(x+1)} = lim _{t` -> `1+} {g(t)} =1]

[eqn: lim _{x` -> `0-} {g(x+1)} = lim _{t` -> `1-} {g(t)} =-1]

즉, [eqn: lim _{x` -> `0+} {g(x+1)} != lim _{x` -> `0-} {g(x+1)}]이므로

함수 [eqn: g(x+1)]은 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

ㄷ. (참) [eqn: lim _{x` -> `-1-} {f(x)g(x+1)}]

[eqn: = lim _{x` -> `-1-} {f(x)} TIMES lim _{x` -> `-1-} {g(x+1)}]

[eqn: = lim _{x` -> `-1-} {f(x)} TIMES lim _{t` -> `0-} {g(t)}][eqn: =-1 TIMES 0=0]

[eqn: lim _{x` -> `-1+} {f(x)g(x+1)}]

[eqn: = lim _{x` -> -`1+} {f(x)} TIMES lim _{x` -> -`1+} {g(x+1)}]

[eqn: = lim _{x` -> `-1+} {f(x)} TIMES lim _{t` -> `0+} {g(t)}][eqn: = 1×0=0]

[eqn: lim _{x` -> `-1-} {f(x)g(x+1)} = lim _{x` -> `-1+} {f(x)g(x+1)} =0]이고

[eqn: f(0)g(1)=1 TIMES 0=0]이므로

함수 [eqn: f(x)g(x+1)]은 [eqn: x=-1]에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[4점][2013년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: lim _{x-> 1} {f(x)`g(x)} =-1] ㄴ. 함수 [eqn: g(x+1)]은 [eqn: x=0]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: f(x)`g(x+1)]은 [eqn: x=-1]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 함수 [eqn: f``(x`),``g`(x`)]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

①

ㄱ. (거짓)【반례】[eqn: f(x)= 1 over x^2], [eqn: g(x)= - 1 over x^2]이면

[eqn: lim from { x -> 0 }1 over x^2 =inf], [eqn: lim from { x ->0 } left( - 1 over x^2 right )=-inf]이지만

[eqn: lim from { x -> 0 }left(1 over x^2 - 1 over x^2 right ) = lim from {x->0} 0 =0]이다.

ㄴ. (참) [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이므로 [eqn: lim from { x -> 0 } f(x)=f(0)]

(ⅰ) [eqn: f(0)=0]인 경우

[eqn: lim _{x -> 0+} {LEFT | f(x) RIGHT | `}][eqn: = lim _{x -> 0+} {} f(x)=f(0)=0]

[eqn: lim _{x -> 0-} {LEFT | f(x) RIGHT |} `][eqn: = lim _{x -> 0-} {} LEFT { -f(x) RIGHT } =-f(0)=0]

∴[eqn: lim _{x -> 0} {LEFT | f(x) RIGHT |} =`` LEFT | f(0) RIGHT | ``]

(ⅱ) [eqn: f(0)=a(a>0)]인 경우

[eqn: lim _{x -> 0} {LEFT | f(x) RIGHT |}][eqn: =lim from { x -> 0 }f(x)]

[eqn: =f(0)=a=` LEFT | f(0) RIGHT |]

(ⅲ) [eqn: f(0)=b``````(b<0)]인 경우

[eqn: lim _{x -> 0} {LEFT | f(x) RIGHT |}][eqn: = lim from { x -> 0 } left {-f(x)right}]

[eqn: =-f(0)=-b= LEFT | f(0) RIGHT |]

[eqn: (∵~b<0)]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]도 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄷ. (거짓)【반례】[eqn: f(x)= left{ 1~(x≧0) atop -1~(x<0)]

위의 그림에서 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]는 [eqn: x=0]에서 연속이지만 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

따라서, 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

[3점][2005년 6월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim from { x `rarrow `0 } `{ f``(x`) }]와 [eqn: lim from { x `rarrow` 0 } ` { g`(x`) }]가 모두 존재하지 않으면 [eqn: lim _{x` -> `0} {LEFT { f(x)+g(x) RIGHT }}]도 존재하지 않는다. ㄴ. [eqn: y`= f``(x`)]가 [eqn: x=0]에서 연속이면 [eqn: y`= LEFT | f``(x`) RIGHT | ```]도 [eqn: x=0]에서 연속이다. ㄷ. [eqn: y`= LEFT | f``(x`) RIGHT | ```]가 [eqn: x=0]에서 연속이면 [eqn: y`= f``(x`)]도 [eqn: x=0]에서 연속이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

다음은 세 변의 길이가 모두 다른 예각삼각형에서 각 변을 같은 길이만큼 짧게 했을 때, 짧아진 세 선분을 각 변으로 하는 직각삼각형이 존재함을 증명한 것이다.

<증명>

예각삼각형의 세 변의 길이를 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c``]([eqn: `a`＜`b`＜`c``])로 놓으면[eqn: a` ^{2} +`b` ^{2} ``＞``c` ^{2} ``]이다.

그런데 [eqn: x``]만큼 짧아진 삼각형의 세 변의 길이는

[eqn: a-x], [eqn: b-x], [eqn: c-x``]이므로 [eqn: 0``＜``x``＜``][eqn: BOX{```````(가)````````}] 이다.

따라서 등식 [eqn: (`a-x`) ^{2} +(`b-x`) ^{2} =(`c-x`) ^{2} ``]을 만족시키는 실수 [eqn: x``]가 [eqn: 0``＜``x``＜``][eqn: BOX{```````(가)````````}] 에서 존재함을 보이면 된다.

[eqn: f`(x`)=(`a-x`) ^{2} +(`b-x`) ^{2} -(`c-x`) ^{2} ``]으로 놓으면

[eqn: f``(x`)`]는 연속함수이고,

[eqn: f``(0`)``][eqn: BOX{```````(나)````````}] [eqn: 0], [eqn: f``(` BOX{```````(가)```````} `)``` BOX{`````(다)`````}]  [eqn: 0``]이므로

중간값의 정리에 의해 [eqn: 0``＜``x``＜``][eqn: BOX{```````(가)````````}] 에서 [eqn: f``(x`)=0`]인 [eqn: x``]가 존재한다.

그러므로 짧아진 세 선분을 각 변으로 하는 직각삼각형이 존재한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

②

[eqn: x``]만큼 짧아진 삼각형의 세 변의 길이는

[eqn: a-x,``b-x,``c-x``]이므로

[eqn: (a-x)+(b-x)``＞``c-x``]  ∴ [eqn: 0``＜``x``＜``a+b-c``]

[eqn: f(0)=a ^{2} +b ^{2} -c ^{2} ``＞``0``]

[eqn: f(a+b-c)=(c-b) ^{2} +(c-a) ^{2} -(a+b-2c) ^{2} ``]                 [eqn: =`-2(c-a)(c-b)``＜``0``]

[eqn: y=f(x)``]는 연속함수이므로 중간값의 정리에 의해 [eqn: f(x)=0``]이 되는 [eqn: x``]가 [eqn: 0``＜``x``＜``a+b-c``]인 범위에 존재하므로 직각삼각형을 만드는 것이 가능하다.

[3점][2005년 7월]

(가)          (나)	(다)

① [eqn: a+b-c``]	[eqn: `＜`]	[eqn: `＞`]

② [eqn: a+b-c``]	[eqn: `＞`]	[eqn: `＜`]

③ [eqn: a+b+c``]	[eqn: `＜`]	[eqn: `＞`]

④    [eqn: a``]	[eqn: `＜`]	[eqn: `＞`]

⑤    [eqn: a``]	[eqn: `＞`]	[eqn: `＜`]

함수 [eqn: f`(x`)]에 대하여 불연속점의 개수를 [eqn: N`(f`)]로 나타내자. 예를 들어

[eqn: f`(x`) =]	□ □ □	[eqn: 1 ~ (x`＞ 0)] [eqn: 0 ~ ( x` ≦0 )]	이면 [eqn: N`(f`) = 1]이다.

다음 두 함수 [eqn: g`(x`)], [eqn: h`(x`)]에 대하여
[eqn: a_1 =N (g + h`)], [eqn: a_2 = N (gh`)], [eqn: a_3 = N(|`h``| )]
라 할 때, [eqn: a_1 ,``a_2 ,``a_3]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은?
(단, [eqn: (g`+h`)(x`)=g`(x`)+h`(x`)], [eqn: (gh`)(x`)=g`(x`)h`(x`)],
[eqn: |`h``|`(x`)=|`h(x`)`|]이다.)

②

[eqn: g(x)+h(x) = cases{0 ```````(x<=0) #`0```````(0<x<=1) #`0```````(1<x<=2) #`2```````(x>2) `}]

[eqn: g(x)h(x) = cases{0 ````````````````(x<=0) #`-1```````(0<x<=1) #`0`````````````````(1<x<=2) #`1`````````````````(x>2) `}]

[eqn: LEFT |h(x) RIGHT | = cases{0 ```````(x<=0) #`1```````(0<x<=1) #`0```````(1<x<=2) #`1```````(x>2) `}]

[eqn: a_1 = N(g+h)=1 , ````` a_2 = N(gh)= 3],[eqn: a_3 = N(LEFT | h RIGHT |) = 3]

[eqn: ∴```a_1 `< ``a_2`=`a_3]

[3점][2006년 6월]

[eqn: g`(x`)=]	□ ︳︳ □ ︳ ︳ □	[eqn: 0~~````(x `≦ `0)] [eqn: 1~~````(0＜x`≦`1)] [eqn: 0~~```` (1＜x `≦ `2 )] [eqn: 1~~ ````(x`＞2)]
[eqn: h`(x`)=]	□ ︳︳ □ ︳ ︳ □	[eqn: 0~~````(x `≦`0)] [eqn: -1~(0＜x`≦`1)] [eqn: 0 ~~````(1＜ x`≦ `2 )] [eqn: 1~~```` (x`＞2)]

① [eqn: a_1 = a_2 = a_3]	② [eqn: a_1 ＜a_2 = a_3]

③ [eqn: a_1 = a_3 ＜ a_2]	④ [eqn: a_2 ＜a_1 = a_3]

⑤ [eqn: a_3 ＜`a_1 = a_2]

집합 [eqn: left{ x vert 0 `＜x`＜2 right} `]에서 정의된 함수 [eqn: f``(x`) `]가

[eqn: f``(x`)=]	□ ︳ □ ︳ □	[eqn: 1 over x -1 ``~~~~~(`0`＜`x ``≦`1`)] [eqn: 1 over x-1 -1 ~~ (`1`＜`x``＜`2`)]

일 때, 함수 [eqn: y=f``(x) g ``(x) `]가 [eqn: x=1 `]에서 연속이 되도록 하는 함수 [eqn: g ``(x) `]를 <보기>에서 모두 고른 것은?

③

[eqn: 0<x<1`]일 때, [eqn: f(x) = x-1 over x`]

[eqn: 1<x<2`]일 때, [eqn: f(x) = 2-x over x-1`]

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)g(x)= lim _{x -> 1-} {} {(x-1) ^{3}} over {x} `=0],

[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)g(x)][eqn: = lim _{x -> 1+} {} (2-x)(x-1)=0``]

∴ [eqn: lim_x->1 f(x) g(x)=0]

이 때, [eqn: f(1)g(1)=0×0=0`]이므로

[eqn: y=f(x)g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)g(x)][eqn: = lim _{x -> 1-} {} {x-1} over {x} "{"(x-1) ^{3} +1"}"`][eqn: =0]

[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)g(x)][eqn: = lim _{x -> 1+} {} {2-x} over {x-1} "{"(x-1) ^{3} +1"}"`][eqn: =inf`]

따라서 [eqn: lim_x->1 f(x) g(x)]의 값이 존재하지 않으므로

[eqn: y=f(x)g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 불연속이다.

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)g(x)][eqn: = lim _{x -> 1-} {} {x-1} over {x} "("x ^{2} +1")"`][eqn: =0`]

[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)g(x)][eqn: = lim _{x -> 1+} {} {2-x} over {x-1} (x-1) ^{3} `]

[eqn: = lim _{x -> 1+} {} (2-x)(x-1) ^{2} `=0]

∴ [eqn: lim_x->1 f(x) g(x)=0]

이 때, [eqn: f(1)g(1)=0×2=0`]이므로

[eqn: y=f(x)g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

따라서 연속인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

<참고>

[eqn: y= 1over x -1`]의 그래프는 [eqn: y= 1over x `]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 것이고,

[eqn: y= 1over x-1 -1`]의 그래프는 [eqn: y= 1over x `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 것이다.

이를 이용하여 [eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]의 그래프를 그려서 생각하면 좀 더 쉽게 연속성을 파악할 수 있다.

[3점][2006년 9월]

<보 기>

ㄱ. [eqn: g`` (x)= (x-1)^2 ````~```~~``` ~(`0`＜`x ``＜`2`)]

ㄴ. [eqn: g`` (x)= (x-1)^3 +1 ~~ ~(`0`＜`x ``＜`2`)]

ㄷ.	[eqn: g``(x)=]	□ □ □	[eqn: x^2 +1 ~~~~~~(`0`＜ `x``≦`1`)] [eqn: (x-1)^3 ~~~~(`1`＜`x ``＜`2`)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

개구간 ([eqn: 0,~1])에서 함수 [eqn: f(x)=left [`- log _{5} `x`right]]가 불연속이 되는 모든 점들의 [eqn: x]좌표의 합은? (단, [[eqn: x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

①

[eqn: -log _{5} `x` = log _{{1} over {5}} `x]가 정수일 때, [eqn: f(x)]는 [eqn: x]에서 불연속이다.

[eqn: `log _{{1} over {5}} `x`=1]이면 [eqn: x= {1} over {5}], [eqn: `log _{{1} over {5}} `x`=2]이면 [eqn: x= LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2}], [eqn: CDOTS]

따라서 [eqn: {1} over {5} + LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3} +` CDOTS = {{1} over {5}} over {1- {1} over {5}} = {1} over {4}]

[4점][2007년 4월]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

두 함수 [eqn: f`(x)], [eqn: g`(x)]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

①

ㄱ. [eqn: (g∘f`)(0)`=`g(f`(0))`=`g(1)`=`1]

[eqn: lim _{x` -> `0+} {} `(g CIRC f`)(x)`=`g(1)`=`1]

[eqn: lim _{x` -> `0-} {} `(g CIRC f`)(x)`=`g(-1)`=`1]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { x` ->`0 } `(g∘f`)(x)`=`(g∘f`)(0)]

따라서, [eqn: x`=`0]에서 연속   [eqn: THEREFORE] 참

ㄴ. (반례)

문제의 <보기> ㄱ에서 [eqn: (g∘f`)(x)]는 [eqn: x`=`0]에서 연속이지만

[eqn: f`(x)]는 [eqn: x`=`0]에서 연속이 아니다.   [eqn: THEREFORE] 거짓

ㄷ. (반례)

[eqn: f(x)= {cases{{1} over {x} `````````&(x != 0)#0&(x=0)}}]

[eqn: lim from { x` ->`0 } `(f`∘f`)(x)`=`(f`∘f`)(0)`=`0]이므로

[eqn: (f∘f`)(x)]는 [eqn: x`=`0]에서 연속이지만

[eqn: f`(x)]는 [eqn: x`=`0]에서 연속이 아니다.   [eqn: THEREFORE] 거짓

따라서, 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

[3점][2007년 6월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`(x)= cases{~~1&(x `≧ `0)#-1&(x`＜`0)}], [eqn: g`(x)= LEFT | x` RIGHT |]일 때, [eqn: (g CIRC f `` )(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다. ㄴ. [eqn: (g CIRC f``)(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이면 [eqn: f`(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다. ㄷ. [eqn: (f CIRC f``)(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이면 [eqn: f`(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f`(x)]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: lim from { h` ->`0 } `{f`(1+h)-f`(1)}_` over h `=`f`'(1)`=`0]이므로

[eqn: f`(x)]는 [eqn: x`=`1]에서 미분가능이고 연속이다.

[eqn: THEREFORE ~ lim from { x` ->`1 } `f`(x)`=`f`(1)]    [eqn: THEREFORE] 참

ㄴ. [eqn: lim from { h` ->`0 } `{f`(1+h)-f`(1)}_` over h `=`0]이면

[eqn: lim from { h` ->`0 } `{f`(1-h)-f`(1)}_` over -h `=`0]이다.

[eqn: THEREFORE ~lim from { h` ->`0 } `{f`(1+h)-f`(1-h)}_` over 2h]

[eqn: =`lim from { h` ->`0 } ` LEFT ( {f`(1+h)-f`(1)}_` over 2h `+`{f`(1-h)-f`(1)}_` over -2h RIGHT )]

[eqn: =`0]	[eqn: THEREFORE] 참

ㄷ. [eqn: f`(x)`=`|`x-1|]일 때

[eqn: lim from { h` ->`0 } `{f`(1+h)-f`(1-h)}_` over 2h][eqn: =`lim from { h` ->`0 } `{|`h``|-|`-h`|}_` over 2h `=`0]	[eqn: THEREFORE] 참

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[3점][2007년 6월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{h` -> `0} { {f`(1+h)- f`(1)}_` over {h}} =0]이면 [eqn: lim from { x` ->`1 }`f`(x) = f`(1)]이다. ㄴ. [eqn: lim _{h` -> `0} { {f`(1+h)- f`(1)}_` over {h}} =0]이면 [eqn: lim _{h` -> `0} { {f`(1+h)- f`(1-h)}_` over {2h}} =0]이다. ㄷ. [eqn: f`(x)=|`x-1`|]일 때, [eqn: lim _{h` -> `0} { {f`(1+h)- f`(1-h)}_` over {2h}} =0]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f`(x )]가

[eqn: f(x)= {cases{{x ^{2}} over {2x- LEFT | x RIGHT |}&(x != 0)#```````````a&(x=0)}}]

일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: a`]는 실수이다.)

⑤

[eqn: f(x)= {cases{pile{x#a}&pile{(x>0)#(x=0)}#{1} over {3} x``````````&(x<0)}}]

ㄱ. [eqn: f`(-3) `=` -1]   [eqn: THEREFORE] 거짓

ㄴ. [eqn: x`>`0,~f`(x)`=`x]   [eqn: THEREFORE] 참

ㄷ. [eqn: lim from { x `->`0 } `f`(x)`=`0,~f`(0)`=`a`]이므로

[eqn: a`=`0]일 때 [eqn: lim from { x `->` 0 }` f`(x)`=`0]   [eqn: THEREFORE] 참

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[3점][2007년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`(-3)`=1]이다. ㄴ. [eqn: x`＞ 0`]일 때, [eqn: f`(x ) =x]이다. ㄷ. 함수 [eqn: f`(x )]가 [eqn: x=0]에서 연속이 되도록 하는 [eqn: a``]가 존재한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 함수 [eqn: f(x)=`|``x-1``|], [eqn: g(x)=[``x``]`]일 때, [eqn: h(x)=f(x)g(x)`]라 하자. 함수 [eqn: y=h(x)]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [eqn: [x]`]는 [eqn: x`]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

①

ㄱ. [eqn: h(1)= {`f(1)`g(1)} =0 TIMES 1=0] [eqn: THEREFORE``]참

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1} {`h(x)} = lim _{x -> 1} {`f(x)`g(x)}][eqn: =( lim _{x -> 1} {} `f(x))( lim _{x -> 1} {} `g(x))=0 TIMES 0=0]

[eqn: THEREFORE``]거짓

ㄷ. 거짓 [eqn: (BECAUSE x=1`]에서 연속이다.[eqn: )]

따라서 옳은 것은 ㄱ

[3점][2007년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: x=1]에서 함수값은 [eqn: 0]이다. ㄴ. [eqn: x=1]에서 극한값은 [eqn: 1]이다. ㄷ. 모든 정수에서 불연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{5} +x ^{3} -3x ^{2} +k], [eqn: g(x)=x ^{3} -5x ^{2} +3]에 대하여 구간 [eqn: (1,````2)]에서 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]가 적어도 하나의 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 구하시오.

36

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라고 하면

[eqn: h(x)=x ^{5} +2x ^{2} +k-3]

[eqn: x>0]에서 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 연속이고 증가하므로

[eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) h LEFT ( 2 RIGHT ) =k(k+37)<0]이면 구간[eqn: (1,````2)]에서 실근을 갖는다.

[eqn: -37<k<0]인 정수 [eqn: k]는 [eqn: 36]개

[3점][2008년 4월]

서로 다른 두 다항함수 [eqn: f`(x)], [eqn: g`(x)]에 대하여 함수

[eqn: y=]	□ □ □	[eqn: f`(x) ~~~(x`＜a`)]
		[eqn: g`(x) ~~``(x`≧a`)]

가 모든 실수에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 개수를 [eqn: N`(f,``g)]라 하자. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

[eqn: h(x) = cases{ f(x)&~`` (x<a) # g(x)& ~``(x GEQa )}]라 하자.

[eqn: f(x), ~``g(x)]가 다항함수이므로 [eqn: h(x)]는 모든 실수에서 연속 ⇔ [eqn: h(x)]가 [eqn: x = a]에서 연속

[eqn: h(x)]가 [eqn: x = a]에서 연속이려면

[eqn: lim _{x` -> `a-} {f(x)} `=`g(a)]	㉠

그런데 [eqn: lim _{x` -> `a-} {f(x)} =f(a)]이므로

㉠ : [eqn: f(a) = g(a)]

즉, [eqn: x = a]에서 [eqn: h(x)]가 연속이려면 [eqn: a]가 방정식 [eqn: f(a) = g(a)]의 실근이면 된다.

ㄱ. 방정식 [eqn: x^2 = x+1]의 실근이 2개이므로  ∴ 참

ㄴ. [eqn: N(f,~g) = n] ([eqn: n] : 음이 아닌 정수)라 하면 [eqn: n]은 방정식 [eqn: f(a) = g(a)]의 실근의 개수이다.

[eqn: N(g,~f)=m]([eqn: m] : 음이 아닌 정수)라 하면

[eqn: m]은 방정식 [eqn: g(a) = f(a)]의 실근의 개수이다.

∴ [eqn: m = n]

∴ 참

ㄷ.  [eqn: f(a) = g(a)]의 실근의 개수를 [eqn: n`]개라 하면 [eqn: N(f, ````g)=n]

한편, [eqn: (h CIRC f)(a) = (h CIRC g)(a)]

⇔ [eqn: left{{f(a)} right}^3 = left{g(a) right}^3]

⇔ [eqn: f(a) = g(a)]이므로 [eqn: N(h CIRC f, ````h CIRC g)=n]

∴ 참

따라서, ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[4점][2008년 6월]

	<보기>
ㄱ. [eqn: f`(x)=x^2], [eqn: g`(x)=x+1]이면 [eqn: N`(f,``g`)=2]이다. ㄴ. [eqn: N` (f,```g`)=N`(g,```f``)] ㄷ. [eqn: h`(x)=x^3]이면 [eqn: N`(f,``g`)= N `(h CIRC f,```h CIRC g`)]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f`(x)]는 구간 [eqn: (-1,``1]`]에서 [eqn: f``(x) = (x-1)(2x-1)(x+1)] 이고, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(x) = f`(x+2)`] 이다. [eqn: a＞1]에 대하여 함수 [eqn: g`(x)]가

[eqn: g`(x)=]	□ □ □	[eqn: x ~~~(x `ne `1)]
		[eqn: a~~~(x =1)]

일 때, 합성함수 [eqn: (f circ g`) (x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이다.
[eqn: a`]의 최솟값은?

②

[eqn: y= f(g(x))]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로  [eqn: f(g(1)) = f(a)] [eqn: CDOTS]㉠

[eqn: lim _{x -> 1-} {f(g(x))} `=` lim _{x -> `1+} {} f(g(x))``=0] [eqn: CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: f(a) = lim _{ x->`1`} {``f(g(x)) } ``= 0]

[eqn: f(x) = (x-1)(2x-1)(x+1)]에서

[eqn: f(a) = (a-1)(2a-1)(a+1) = 0]

[eqn: a>1,~`f(a)=f(a+2)]이므로  [eqn: a= 5 over 2 ,~``3,] …

따라서, 구하는 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 5 over 2]이다.

[4점][2008년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5_` } over 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7_`} over 2]	⑤ [eqn: 4]

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는

[eqn: f LEFT ( x+4 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) `]

를 만족시키고, 폐구간 [eqn: [`0```,```4]`]에서 다음과 같이 정의된다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = cases{~~3x&(`0 <= x<1`)#x ^{2} +ax+b``````&(`1 <= x <= 4`)} `]

이 때, [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) `]의 값은?

②

ⅰ) [eqn: f(0)=f(4)]

[eqn: 0=16+4a+b`]

ⅱ) [eqn: lim _{x -> 1-} {f(x)} = lim _{x -> 1+} {f(x)} =f(1)`]

[eqn: 3=1+a+b`]

[eqn: a=-6,```b=8`]

∴ [eqn: f(10)=f(2)=0`]

[[eqn: 3`]점][2008년 7월]

① [eqn: -1`]	② [eqn: 0`]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 3`]

함수 [eqn: f(x)= cases{````````x ^{2} -2x-1&``(x<1)#~~```````````1&``(x=1)#`-x ^{2} +2x+1&``(x>1)} `]에 대한 설명 중
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

[eqn: y=f(x)]             [eqn: y=|f(x)|]

ㄱ. 그래프에 의하여 [eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT | `f(x)` RIGHT |} =2] (참)

ㄴ.[eqn: lim _{x` -> `2+} {} f(f(x))= lim _{t`` -> 1-} {f(t)=-2}] (참)

ㄷ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( f(x) RIGHT )]는 [eqn: `f(x)=1]일 때 불연속점을 가지므로

[eqn: x=2``,``1`,``1- sqrt {3}] 에서 불연속이다.

따라서 3개 존재한다. (참)

[[eqn: 4`]점][2008년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT | `f(x)` RIGHT |=2 `] ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `2+} {} f(f(x))=-2] ㄷ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( f(x) RIGHT )]의 불연속점의 개수는 [eqn: 3`]개이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

②

ㄱ. [eqn: lim _{h -> 0} {`|`(2+h) ^{2} -(2-h) ^{2} `|} `= lim _{h -> 0} {`|`8h|=0}] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{h -> 0} {`left|`[`2+h`]-[`2-h`]`right|} = {|`2-1`|} =1] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: f(x)=` cases{x&LEFT ( x != 2 RIGHT )#0&LEFT ( x=2 RIGHT )}]이면

[eqn: lim _{h -> 0} {`|`f(2+h)-f(2-h)`|} = lim _{h -> 0} {`LEFT | `` LEFT ( `2+h RIGHT ) - LEFT ( 2-h RIGHT ) `` RIGHT |} =0]이지만 [eqn: x=2]에서 불연속이다. (거짓)

[4점][2008년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(x)=x ^{2}]이면 [eqn: lim _{h` ->` 0} {`|`f(`2+h)-f(`2-h)`|}``=0`]이다. ㄴ. [eqn: {f(x)= [`x`]]이면 [eqn: lim _{h `->` 0} {`|`f(`2+h)-f(`2-h)`|}``=1`]이다. ㄷ. [eqn: lim _{h` ->` 0} {`|`f(`2+h)-f(`2-h)`|}``=0``]이면 [eqn: f(`x)]는 [eqn: x=2`]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모든 실수에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x)= {cases{{ax} over {x-1}&````````(|`x`|>1)#{a} over {1-x}&````````(|`x`|`<1`)#`````` {a} over {2}&````````(|`x`|=1)}}]
일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a]는 실수이다.)

⑤

ⅰ) [eqn: a=0]인 경우, [eqn: f(x)=0]

ⅱ) [eqn: a>0]인 경우

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: left(1,` {a} over {2} right)]

[eqn: a]

[eqn: y]

ⅲ) [eqn: a<0]인 경우

ⅱ)의 그래프를 [eqn: x]축으로 대칭이동한 그래프이다.

ㄱ.[eqn: lim _{x` -> `-1} {f} (x)=f(-1)= {a} over {2}] (참)

ㄴ. [eqn: a=0]일 때, 함수 [eqn: f(x)=0]이므로 모든 실수에서 연속이다. (참)

ㄷ. [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=a]와 오직 한 점에서 만난다. (참)

[4점][2009년 4월]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

[보 기]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`-1]에서 연속이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수에서 연속이 되도록 하는 [eqn: a]의 값이 존재한다.

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=a]는 한 개의 실근을 갖는다.
(단, [eqn: a != 0`])

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]와 두 함수
[eqn: g(x) = lim_n->inf { x^2n-1 -1} over { x^2n +1 } ,~h(x)=cases{ { vert x vert } over x ``(x!=0) # ``````````0````````````(x=0) ~ }]
에 대하여 함수 [eqn: f(x) g(x)`]와 함수 [eqn: f(x) h(x)`]가 모두 연속함수일 때, [eqn: f(10)`]의 값을 구하시오.

[eqn: 90]

[eqn: g(x)= cases { { 1} over { x} `````(x>1) # ``0````````(x=1)# -1```(-1<x<1)#-1```(x=1)#{ 1} over { x} `````(x< -1)]        [eqn: h(x)= cases { ``1````````(x>0) # ``0````````(x=0)# -1```(x<0)]

[eqn: y=f(x) cdot g(x)``]가 연속이므로

[eqn: f(1) cdot g(1)=0``], [eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)g(x)=f(1)=0]

[eqn: y=f(x) cdot h(x)``]가 연속이므로

[eqn: f(0) cdot h(0)=0``], [eqn: lim _{x -> 0+} {} f(x)h(x)=f(0)=0]

∴ [eqn: f(x)=x cdot(x-1)]

∴ [eqn: f(10)=90]

[4점][2009년 6월]

실수 [eqn: x``]보다 작지 않은 최소의 정수를 [eqn: LEFT < x RIGHT >``]로 나타내기로 하자. 예를 들어 [eqn: LEFT < 2 RIGHT > =2], [eqn: LEFT < 2.2 RIGHT > =3``]이다. 세 함수

[eqn: f(x) = LEFT < x` RIGHT >], [eqn: g(x) = x^2] , [eqn: h(x) =left (x- 1 over 2 right)^2]

에 대하여 <보기>의 합성함수 중에서 [eqn: x=0``]에서 연속인 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 0} {(f CIRC g)(x)} =1], [eqn: (f CIRC g)(0)=0] ∴ 불연속

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 0} {(f CIRC h)(x)} =(f CIRC h)(0)=1] ∴ 연속

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0} {(h CIRC f)(x)} =][eqn: (h CIRC f)(0)= {1} over {4}] ∴ 연속

[4점][2009년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: (f circ g )(x)] ㄴ. [eqn: ( f circ h)(x)] ㄷ. [eqn: ( h circ f)(x)]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 실수 [eqn: a,````b`]에 대하여 함수
[eqn: f`(`x`)= lim _{ n->inf}` {-a LEFT | `x`RIGHT |- LEFT | `x`RIGHT |^n +b }over { LEFT | `x`RIGHT |^n +1}`]
가 모든 실수 [eqn: x`]에서 연속일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

④

[eqn: f`(`x`)= cases{`` -a LEFT | `x`RIGHT | +b``&~~( `LEFT | `x`RIGHT |<1) #`` {-a-1+b}over2``&~~(` LEFT | `x`RIGHT |=1) #``-1``&~~(` LEFT | `x`RIGHT | >1) }`]

ㄱ. 함수 [eqn: f`(`x`)`]가 연속함수이므로 [eqn: lim _{ x`->1 }`f`(`x`)=f`(1)`]이다.
[eqn: THEREFORE````a-b=1`] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a=-1,````b=-2`]일 때, 함수 [eqn: f`(`x`)`]의 최솟값은 [eqn: -2`]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: a<1`]일 때, [eqn: b<0`]이므로 함수 [eqn: f`(`x`)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 만나지 않는다. (참)

[4점][2010년 4월]

[보 기]

ㄱ. [eqn: a-b=1`]

ㄴ. 함수 [eqn: f`(`x`)`]의 최솟값은 [eqn: -1`]이다.

ㄷ. [eqn: a<1`]일 때, 함수 [eqn: f`(`x`)`]의 그래프는 [eqn: x`]축과 만나지 않는다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x)= cases{`x ^{2}&````` LEFT ( x != 1 RIGHT )#`2&````` LEFT ( x=1 RIGHT )}]
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. 좌우 극한값이 [eqn: 1`]이므로 (참)

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)`]를 [eqn: a`]만큼 평행이동 시켜도 불연속 점이 존재하기 때문에 (거짓)

ㄷ. [eqn: h(x)=(x-1)f(x)]는 [eqn: x!=1`]에서도 [eqn: x=1`]에서도  [eqn: y=0``]이 되기 때문에 연속 (참)

[4점][2010년 6월]

ㄱ. [eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )}]

ㄴ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-a RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: a]가 존재한다.

ㄷ. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

* 배포 *

helpmemath

* 작성자 *

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다항함수 [eqn: f(`x`)``]와 함수 [eqn: g(`x`)= cases{eqalign{`[``x``]```````(`-1` <= `x`` <= 1)# }#`````0````````````(`x`<`-1`,~`x`>1)} ``]이 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: f(`4`)`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: [``x``]``]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[eqn: 120]

[eqn: f(x)]는 삼차항의 계수가 [eqn: 2]인 삼차함수이고

[eqn: f(-1)=f(0)=f(1)=0]이므로 [eqn: f(x)=2x(x-1)(x+1)]

∴[eqn: f(4)=120]

[3점][2010년 10월]

(가) [eqn: lim _{x` ->`` INF } {} ``{f(`x`)} over {x ^{3} +x-1} =2]

(나) 모든 실수 [eqn: x``]에서 함수 [eqn: f(`x`)`g(`x`)``]는 연속이다.

연속함수 [eqn: f` LEFT ( `x` RIGHT ) ``]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f`(`x+5`)=f`(`x`)]

(나) [eqn: f` LEFT ( `x` RIGHT ) `= cases{&2x+a&`(`-2 LEQ x<1`)#&x ^{2} +bx+3&`(`1 LEQ x LEQ 3`)} `]

이때, [eqn: f` LEFT ( `2011` RIGHT ) `]의 값은?

④

ⅰ) 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1-} {(2x+a} )= lim _{x -> 1+} {(x ^{2} +bx+3)} `]

[eqn: 2+a=1+b+3]

따라서 [eqn: a-b=2]

ⅱ) [eqn: f(x+5)=f(x)]이므로

[eqn: f(3)=f(-2)]

[eqn: 3 ^{2} +3b+3=2 TIMES (-2)+a]

따라서 [eqn: a-3b=16]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: a=-5], [eqn: b=-7]

∴ [eqn: f(x)= cases{2x-5&(-2` LEQ `x`<1)#x ^{2} -7x+3&`(1` LEQ `x` LEQ 3)}]

[eqn: f(2011)``=f(402times5+1)`]

[eqn: =f(1)`][eqn: =1-7+3][eqn: =`-3]

[3점][2011년 3월]

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

함수 [eqn: f(x)=x^2 -x+a``]에 대하여 함수 [eqn: g(x)``]를
[eqn: g(x)=left{&f(x+1)~~~&(x<=0) ##&f(x-1)~~&(x>0)]
이라 하자. 함수 [eqn: y=left{g(x) right}^2 ``]이 [eqn: x=0``]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

②

함수 [eqn: y= "{"g(x)"}"^2]이 [eqn: x=0]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 0-} {} "{"g(x)"} " ^{2} = lim _{x -> 0+} {} "{"g(x)"} " ^{2}][eqn: ="{"g(0)"}"^2]

이 성립해야 한다.

이때 이차함수 [eqn: f(x)]는 연속함수이므로

[eqn: lim _{x -> 0-} {} "{"g(x)"} " ^{2}][eqn: = lim _{x -> 0-} {} "{"f(x+1)"} " ^{2} ="{"f(1)"} " ^{2} =a ^{2}],

[eqn: lim _{x -> 0+} {} "{"g(x)"} " ^{2}][eqn: = lim _{x -> 0-} {} "{"f(x-1)"} " ^{2} ="{"f(-1)"} " ^{2} =(2+a) ^{2}],

[eqn: "{"g(0)"}"^2 = "{"f(1)"}"^2 = a^2]

이므로 [eqn: a^2 = (2+a)^2] 즉, [eqn: 4a+4=0]이어야 한다.

∴ [eqn: a=-1]

[4점][2011년 9월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수 [eqn: f(x)=cases{``&~~x~~~~&(`|`x`|`>=1)`` #&`-x &(`|`x`|`<1)]에 대하여,
옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. (참) [eqn: x= `+-1``]에서 불연속
ㄴ. (참) [eqn: lim_x->1 (x-1)f(x)= (1-1)f(1)=0``]이므로
[eqn: x=1``]에서 연속
ㄷ. (참) [eqn: y=left{f(x) right}^2 =x^2``]이므로 실수 전체에서 연속

[4점][2012년 6월]

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: f(x)``]가 불연속인 점은 [eqn: 2``]개다. ㄴ. 함수 [eqn: (x-1)f(x)``]는 [eqn: x=1``]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: left{f(x) right}^2 ``]은 실수 전체의 집합에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x)= {cases{`a&````(x LEQ 1)# -x+2 & ````(x```>1)}}}]
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

③

ㄱ. [eqn: x>1`]에서 [eqn: f(x)= -x+2]이므로

[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)= lim _{x -> 1+} {} (-x+2)=1] (참)

ㄴ. [eqn: x le 1`]에서 [eqn: f(x) =a`]이므로

[eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)= lim _{x -> 1-} {} a][eqn: = lim _{x -> 1-} {} 0=0]

이므로 ㄱ에서 [eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x) != lim _{x -> 1-} {} f(x)]

즉, [eqn: lim_x->1 f(x)]의 극한값이 존재하지 않는다.

따라서 함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: g(x)= (x-1) f(x)`]에 대하여

[eqn: lim _{x -> 1+} {} g(x)] [eqn: = lim _{x -> 1+} {} (x-1)f(x)] [eqn: = lim _{x -> 1+} {} (x-1)(-x+2)][eqn: =0]

[eqn: lim _{x -> 1-} {} g(x)][eqn: = lim _{x -> 1-} {} (x-1)f(x)][eqn: = lim _{x -> 1-} {} a(x-1)][eqn: =0]

이므로 [eqn: lim_x->1 g(x)=0]이고

[eqn: g(1)= (1-1) f(x)=0]

∴ [eqn: lim_x->1 g(x)=g(1)]

즉, 함수 [eqn: y= (x-1) f(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

한편, [eqn: x>1], [eqn: x le1`]에서 함수 [eqn: f(x)`]는 다항함수이므로 연속함수의 성질에 의해 함수 [eqn: y= (x-1) f(x)`]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[3점][2012년 9월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x -> 1+} {`f(x)=`1}] ㄴ. [eqn: a=0]이면 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: y=(x-1)f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수
[eqn: f(x)`=` {cases{eqalign{x+a```````````````````````````````````````````````(x LEQ 1)````````# `# lim _{n -> INF } {{2x ^{n+1} +3x ^{n}} over {x ^{n} +1}} ````(x>1)}}}]
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

함수 [eqn: f(x)`=` {cases{eqalign{x+a```````````````````````````````````````````````(x LEQ 1)````````# `# lim _{n -> INF } {{2x ^{n+1} +3x ^{n}} over {x ^{n} +1}} ````(x>1)}}}]

실수 전체의 집합에서 연속이기 때문에 [eqn: x=1] 에서도 연속

[eqn: THEREFORE][eqn: f(1)= lim _{x -> 1-} {f(x)} = lim _{x -> 1+} {f(x)}]

[eqn: f(1)= lim _{x -> 1-} {f(x)} `=1+a CDOTS ㉠]

[eqn: f(x)`=` lim _{n -> INF } {{2x ^{n+1} +3x ^{n}} over {x ^{n} +1}} ````(x>1)`= lim _{n -> INF } {{(2x ^{n+1} +3x ^{n} )( {1} over {x ^{n}} )} over {(x ^{n} +1)( {1} over {x ^{n}} )}} =2x+3]

[eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)} `=5 CDOTS ㉡]

㉠,㉡에서 [eqn: a=4]

[3점][2013년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{2} -x+2a&```` LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )#3x+a&```` LEFT ( x<`1 RIGHT ) pile{ # } }}]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +ax+3]
에 대하여 합성함수 [eqn: LEFT (` g CIRC f` RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 연속이  되도록 하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합은?

⑤

합성함수 [eqn: (g circ f)(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면

[eqn: lim _{x -> 1+} {} (g CIRC f)(x)= lim _{x -> 1-} {} (g CIRC f)(x)=(g CIRC f)(1)]

이어야 한다.

[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)=1 ^{2} -1+2a=2a`]이고, [eqn: g(x)`]는 연속함수이므로

[eqn: lim _{x -> 1+} {} (g CIRC f)(x)`][eqn: =(2a)^2 +a times 2a+3`][eqn: =6a^2 +3]

[eqn: lim _{x -> 1+} {} f(x)=3+a`]이므로

[eqn: lim _{x -> 1-} {} (g CIRC f)(x)`][eqn: =(3+a) ^{2} +a TIMES (3+a)+3`][eqn: =2a ^{2} +9a+12]

[eqn: (g CIRC f)(1)=g(f(1))=g(2a)=6a ^{2} +3]

따라서 [eqn: 6a^2 +3 =2a^2 +9a +12]이어야 하므로

[eqn: 4a^2 -9a -9 =0]

[eqn: (a-3)(4a+3)=0]

∴ [eqn: a=3`] 또는 [eqn: a=`- 3over4]

따라서 구하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합은 [eqn: 9 over4`]이다.

[다른 풀이]

이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 모든 실수에서 연속이고 곡선 [eqn: y= g(x)`]는 직선 [eqn: x= `- {a} over {2} `]에 대하여 대칭이다.

따라서 함수 [eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )`]가 모든 실수 [eqn: x`]에서 연속이 되려면

[eqn: lim _{x -> 1+} {f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{x -> 1-} {f LEFT ( x RIGHT )}} `=f(1)`] 또는

[eqn: lim _{x -> 1+} {f LEFT ( x RIGHT ) `+ lim _{x -> 1-} {f LEFT ( x RIGHT ) =`-a}} `]이어야 한다.

[eqn: 1-1+2a=3+a`]에서

[eqn: a=3`]

[eqn: LEFT ( 1-1+2a RIGHT ) + LEFT ( 3+a RIGHT ) =`-a`]에서

[eqn: a= `- 3 over 4]

따라서 구하는 모든 상수 [eqn: a`]의 값의 합은

[eqn: 3- 3 over 4 = {9} over {4}`]

[4점][2014년 3월]

① [eqn: 7 over 4]	② [eqn: 15 over 8]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 17 over 8]	⑤ [eqn: 9 over 4]

다항함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f(x)} over {x ^{2}} `=1}], [eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)} over {x-1} `=`k}]
를 만족시키고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]는
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x+1~~&LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#``2-x&LEFT ( x`>2 RIGHT )}}]
이다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f(x)g(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은?

②

[eqn: lim _{x -> INF } {{f(x)} over {x ^{2}} `=1}]이므로

[eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x-1} `=`k}`]이므로 [eqn: f(x)=(x-1)(x-a)`]

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x-1} `=1-a=`k}]

[eqn: h(x)=f(x)g(x)`]가 [eqn: x=2`]에서 연속이므로

[eqn: h(2)= lim _{x -> 2+} {h(x)`} = lim _{x -> 2-} {h(x)`}]

[eqn: h(2)=f(2)g(2)=3 LEFT ( 2-a RIGHT ) `]

[eqn: lim _{x -> 2+} {h(x)`} = lim _{x -> 2+} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( 2-x RIGHT ) =0``}]

[eqn: lim _{x -> 2-} {h(x)`} = lim _{x -> 2-} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )}] [eqn: =3 LEFT ( 2-a RIGHT ) ```}]

따라서 [eqn: a`=2`]이므로 [eqn: k=`-1`]

[4점][2014년 7월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

함수

16

[출제의도] 함수의 연속 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2-} {} f LEFT ( x RIGHT ) =5], [eqn: lim _{x` -> `2+} {} f LEFT ( x RIGHT ) =-1]

[eqn: -x=t]라 하면

[eqn: x` -> `2-]일 때, [eqn: t` -> `-2+]

[eqn: x` -> `2+]일 때, [eqn: t` -> `-2-]이므로

[eqn: lim _{x` -> `2-} {} f LEFT ( -x RIGHT ) `= lim _{t` -> `-2+} {} f LEFT ( t RIGHT ) `=5]

[eqn: lim _{x` -> `2+} {} f LEFT ( -x RIGHT ) `= lim _{t` -> `-2-} {} f LEFT ( t RIGHT ) `=7]

함수 [eqn: f LEFT (- x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +k RIGHT }]가

[eqn: lim _{x` -> `2-} {} f LEFT ( -x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +k RIGHT } =5 LEFT ( 5+k RIGHT )],

[eqn: lim _{x` -> `2+} {f LEFT ( -x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +k RIGHT }} =7 LEFT ( -1+k RIGHT )],

[eqn: f(-2) LEFT { f(2)+k RIGHT }=5 LEFT ( 5+k RIGHT )]

이므로 [eqn: x=2]에서 연속이 되기 위해서는

[eqn: 5(5+k)=7 LEFT ( -1+k RIGHT )]

따라서 [eqn: k=16]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )` = {cases{``x^2 +1 _{{} _{{} _{}}}&````` LEFT ( LEFT | x RIGHT |le2 RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#`-2x+3 ^{{} ^{{} ^{}}}&````` LEFT ( LEFT | x RIGHT |>`2 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}}}]

에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +k RIGHT }]가 [eqn: x=2]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[4점][2015년 4월]

[eqn: -1]이 아닌 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

④

[출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 문제해결하기

[eqn: f(x-1)= {cases{```````-x&~(x LEQ 1)#````2x-2+a&~(x>1)}}]

[eqn: g(x)=f(x)f(x-1)]

[eqn: = {cases{~(-x-1)(-x)&~(x LEQ 0)#~(2x+a)(-x)&~(0<x LEQ 1)#````(2x+a)(2x-2+a)&~(x>1)}}]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되기 위하여 [eqn: x=0], [eqn: x=1]에서도 연속이 되어야 한다.

(ⅰ) [eqn: x=0]일 때
[eqn: lim _{x -> 0-} {g(x)} =g(0)= lim _{x -> 0+} {g(x)}]이므로
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: a]의 값에 관계없이 [eqn: x=0]에서 연속이다.

(ⅱ) [eqn: x=1]일 때
함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이 되려면
[eqn: lim _{x` -> `1-} {g(x)} =g(1)= lim _{x -> `1+} {g(x)}]
[eqn: -(a+2)=(a+2)a], [eqn: (a+1)(a+2)=0]

[eqn: a!=-1`]이므로 [eqn: a=-2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`-x-1&~~ LEFT ( `x` LEQ 0` RIGHT )#``2x+a&~~ LEFT (` x` > `0` RIGHT )}}]

일 때, 함수 [eqn: g(x)=f(x)f(x-1)`]이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 [eqn: a]의 값은?

[4점][2015년 7월]

① [eqn: -{ 7} over {2 }]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -{ 5} over {2 }]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -{3} over {2 }]

원 [eqn: x^{`2} + y^{`2} = t^{`2}`]과 직선 [eqn: y= 1`]이 만나는 점의 개수를 [eqn: f(t)`]라 하자. 함수 [eqn: (x+k)f(x) `]가 구간 [eqn: (0,~ inf)`]에서 연속일 때, [eqn: f(1) + k`]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

③

[출제의도] 함수의 연속의 성질을 이해하여 주어진 조건의 값을 구한다.

함수 [eqn: f(t)][eqn: = cases{``2 ~~&( `|`t`|> 1) # ``1 &(` |`t`| = 1 ) # ``0 &(`|`t`| < 1) `]이고 함수 [eqn: (x+k)`f(x)`]가 구간 [eqn: ( 0,~ inf)`]에서 연속이면 [eqn: x][eqn: =1`]에서 연속이다.

[eqn: (1+k) f(1)][eqn: = lim _{x` -> `1-} {} (x+k)f(x)][eqn: = lim _{x` -> `1+} {} (x+k)f(x)`]

[eqn: 1+k][eqn: = (1+k) times 0][eqn: = (1+k) times 2`]

따라서 [eqn: k``][eqn: = `-1`]이므로 [eqn: f(1) + k``][eqn: = 1-1][eqn: =0`]

[3점][2015년 10월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[해설] 미적분1-(3)함수의연속-(b)활용문제