수 리 영 역

기본문제

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수 리 영 역

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 함수의 연속 (기본문제)

성명			수험번호

16

함수

[eqn: f(x)= {cases{eqalign{{x ^{2} +x-12} over {x-3}# }&eqalign{(x != 3)# }#````````````````a&(x=3)}}]

가 모든 실수 [eqn: x`]에서 연속일 때, [eqn: a`]의 값은?

④

[eqn: f``(x)`]는 [eqn: x=3`]에서 연속이므로 [eqn: lim_x->3`f``(x) = f``(3)`]이어야 한다.

[eqn: lim_x->3`f``(x) = lim_x->3`{x^2 +x-12} over x-3`][eqn: = lim_x->3`{(x-3)(x+4)} over x-3`]

[eqn: = lim_x->3`(x+4)`][eqn: =7`]

∴ [eqn: f``(3) = a=7`]

[2점][2008년 수능]

① [eqn: 10]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 6]

함수
[eqn: f(x) = cases{x+1 ~~~~~``(x le 0)#- 1over2 x +7~~(x>0)}]
에 대하여 함수 [eqn: f(x) f(x-a)]가 [eqn: x=a]에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: 13]

[eqn: y = f(x)]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이고

함수 [eqn: f(x-a)]는 [eqn: x=a]에서 불연속이다.

ⅰ) [eqn: a=0]일 때

[eqn: lim _{x -> a+} {} ```f(x)`f(x-a)= lim _{x -> 0+} {} ```(f(x)) ^{2} =49]

[eqn: lim _{x -> a-} {} ```f(x)f(x-a)= lim _{x -> 0-} {} ```(f(x)) ^{2} =1]

[eqn: lim _{x -> a+} {} ```f(x)`f(x-a) != lim _{x -> 0-} {} ```f(x)`f(x-a)]이므로

[eqn: a=0]일 때 함수 [eqn: f(x) f(x-a)]는 [eqn: x=a]에서 불연속이다.

ⅱ) [eqn: a ne 0]일 때

[eqn: lim _{x -> a+} {} ```f(x)`f(x-a)=7f(a)]

[eqn: lim _{x -> a-} {} ```f(x)f(x-a)=f(a)]

[eqn: f(a)` f(0) = f(a)]

따라서, 함수 [eqn: f(x) f(x-a)]가 [eqn: x=a]에서 연속이 되기 위해서는

[eqn: 7 f(a) = f(a)], [eqn: f(a) = 0]     [eqn: therefore ``` a = -1] 또는 [eqn: 14]

따라서 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 13]이다.

[4점][2014년 수능]

함수
[eqn: f(x) = cases{ `2x+10 `````````````&(x<1) _` #`x+a &(x ge1) ^`]
이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

11

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이려면

[eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{x -> 1-} {f(x)= lim _{x -> 1+} {f(x)=f(1)}}]

즉, [eqn: lim _{x -> 1-} {(2x+10)= lim _{x -> 1+} {(x+a)=1+a}}] 이어야 하므로

[eqn: 12=1+a]

[eqn: THEREFORE a=11]

[3점][2015년 수능]

두 함수
[eqn: f(x)= cases{x+3&(x& le&a)#x^2 -x~~&(x&>&a)}`,~~g(x)=x-(2a+7)]
에 대하여 함수 [eqn: f(x)`g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 곱을 구하시오.

[eqn: 21]

[출제의도] 두 함수의 곱이 연속함수가 될 조건을 구할 수 있는가?

(ⅰ) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a`]에서 연속일 때
[eqn: lim _{x -> a+} {} f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x -> a+} {} LEFT ( x+3 RIGHT ) =a+3]
[eqn: lim _{x -> a-} {} f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x -> a-} {} LEFT ( x ^{2} -x RIGHT ) =a ^{2} -a]
이므로
[eqn: a ^{2} -a=a+3], [eqn: a ^{2} -2a-3=0]
[eqn: LEFT ( a-3 RIGHT ) LEFT ( a+1 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE ~a= it -1] 또는 [eqn: a=3]

(ⅱ) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a`]에서 불연속일 때
[eqn: lim _{x -> a} {} g LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x -> a} {} LEFT { x- LEFT ( 2a+7 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =a- LEFT ( 2a+7 RIGHT )]
[eqn: = it -a-7=0]
[eqn: THEREFORE ~a= it -7]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 실수 [eqn: a`]의 값의 곱은

[eqn: -1 TIMES 3 TIMES LEFT ( -7 RIGHT ) =21]

[4점][2016년 수능]

함수[eqn: f``(`x`)= {cases{``x`(`x-1)``&```(` LEFT | x`` RIGHT | ``＞``1`) phantom{{1} over {2}}#-x ^{2} `+``a`x``+``b&```(` LEFT | x`` RIGHT | `` <= ``1`)}}]  가 모든 실수 [eqn: x``]에서 연속이 되도록 상수 [eqn: a, ``b``]의 값을 정할 때,  [eqn: a-b``]의 값은?

①

[eqn: f(x)=cases{x(x-1)&(x＞1또는x＜1)#-x^2 +ax+b&(-1≦x≦1)}`]이므로

[eqn: x=+-1`]에서 연속이면 모든 실수[eqn: x`]에서 연속이다.

[eqn: f(1)=0=-1+a+b`]

[eqn: f(-1)=2=-1-a+b`]

연립하여 풀면 [eqn: a=-1`], [eqn: b=2`]

∴[eqn: a-b =-1-2=-3`]

[3점][2005년 9월]

① [eqn: -3]	② [eqn: - 1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

함수

[eqn: f`(x`)=]	□ □ □	[eqn: x^2 +x+a~~(x`≧`2)] [eqn: x+b~~~~~~(x`＜`2)]

가 [eqn: x=2]에서 연속이 되도록 상수[eqn: a,``b`]를 정할 때, [eqn: a-b`]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: f(2)=lim from { x -> 2 } f(x)]이어야 한다.

[eqn: f(2)= 2^2 +2+a=6+a]

[eqn: lim from { x -> 2 } f(x) = lim from { x -> 2 }(x+b) = 2+b]

에서 [eqn: `6+a=2+b]

[eqn: ∴```a-b = 2-6 =-4]

[2점][2006년 6월]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

함수 [eqn: f(`x)= lim _{n -> INF } {{ax ^{n+1} +4x+1} over {x ^{n} +b}}`]이 [eqn: x=1`]에서 연속이 되도록 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 값을 정할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}`]의 값을 구하시오.

26

[eqn: f(1)= lim _{x -> 1+} {f(x)= lim _{x -> 1-} {f(x)}}]이어야 하므로

[eqn: a+5 over 1+b = a = 5 over b]에서 [eqn: ab=5]

[eqn: a=1], [eqn: b=5] 또는 [eqn: a=5], [eqn: b=1]이므로  [eqn: a^2 +b^2 =26]

[3점][2008년 10월]

함수 [eqn: f(x)= {cases{``` {a sqrt {x+2} +b} over {x-2} ~~(`x != 2) _{{} _{{} _{}}}#`````````````````````````2~~~~~~~(`x=2) ^{{} ^{{} ^{}}}}}] 가 [eqn: x=2`]에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 2a-b`]의 값을 구하시오.

[eqn: 32]

[eqn: lim _{ x`` ->``2} {left( {a sqrt {x + 2} +b }right) =0]이므로 [eqn: 2a+b=0]

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {{a sqrt {x+2} -2a} over {x-2}}][eqn: = lim _{x`` -> ``2} {{a} over { sqrt {x+2} + 2 }}][eqn: = 2]

따라서 [eqn: a=8], [eqn: b=`-16]이므로 [eqn: 2a-b=32]

[3점][2011년 4월]

함수 [eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} +ax-10} over {x-2}&(x != 2)#~~~~~b&(x=2)}}] 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a,~b``]의 값은?

①

실수전체의 집합에서 연속이므로,

[eqn: lim _{x-> 2} {f(x)=f(2)}# lim _{x -> 2} {{x ^{2} `+ax-10} over {x-2} `=`b}]

[eqn: x -> 2]일때 분모[eqn: ->]0 이므로 분자[eqn: ->]0

[eqn: 4+2a-10=0# THEREFORE a=3]

[eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{2} +3x-10} over {x-2} `=`b}# lim _{x -> 2} {{(x+5)(x-2)} over {x-2} `=`7}# # THEREFORE `b`=7]

따라서 [eqn: a+b`=`10]

[3점][2011년 6월]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{sqrt {ax} -b} over {x-1}&LEFT ( x != 1 RIGHT )# &# ~~~``2&LEFT ( x=1 RIGHT )}}]가 [eqn: x`=1]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.

[eqn: 20]

[eqn: x=1]에서 함수의 극한값과 함숫값이 같으므로

[eqn: lim _{x -> 1} {{sqrt {ax} -b} over {x-1} =} lim _{x -> 1} {{sqrt {ax} - sqrt {a}} over {x-1}} = {sqrt {a}} over {2} =2]

[eqn: THEREFORE `a=16,~b=4]

따라서 [eqn: a+b=20]

[3점][2011년 7월]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{{x ^{2} +4x-5} over {x-1 _{{} _{{} _{}}}}&``` LEFT ( x != 1 RIGHT )#```````````````````a&``` LEFT ( x=1 RIGHT ) ^{{} ^{{} ^{}}}}}] 이 [eqn: x=1]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

6

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: f(1)=lim _{x` -> `1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+5 RIGHT )} over {x-1}} =6]

따라서 [eqn: a=6]

[3점][2012년 4월]

함수
[eqn: f(x)= {cases{{x ^{2} +x-2} over {x-1}&``````` LEFT ( x != 1 RIGHT )#eqalign{# ```````````````k}&eqalign{# ``````` LEFT ( x=1 RIGHT )}}}]
가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

④

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {f(x)=f(1)} =k]이다.

[eqn: k= lim _{x -> 1} {f(x)= lim _{x -> 1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )} over {x-1}}}][eqn: = lim _{x -> 1} {LEFT ( x+2 RIGHT )}][eqn: =3]

[eqn: therefore] [eqn: k=3]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: f(x)``]는 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)``]를 만족시키고,
[eqn: f(x)= cases{``&ax+1~~~~~~~~~&(-1<=x<0)`` #``&3x^2 +2ax+b &(0<=x<1)``]
이다. 함수 [eqn: f(x)``]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b``]의 합 [eqn: a+b``]의 값은?

③

[eqn: f(x+2)=f(x)``]에서 최소의 주기가 [eqn: 2``]이고, 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: f(-1)= lim _{x -> 1-} {} f(x)], [eqn: lim _{x -> 0-} {} f(x)=f(0)``]이다.
[eqn: -a+1 = 3+2a+b], [eqn: 1= b]	[eqn: therefore```a=`-1]
[eqn: therefore```a+b=0]

[3점][2012년 5월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

12

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` {x ^{2} -x-2} over {x-2}&`````` LEFT ( x != 2 RIGHT )#`````````````````a ^{{} ^{{} ^{}}}&`````` LEFT ( x=`2 RIGHT )}}] 가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

①

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이려면 [eqn: x=2]에서 연속이어야 한다.

[eqn: f(2)= lim _{x` -> `2} {{(x-2)(x+1)} over {x-2}} = lim _{x` -> `2} {(x+1)} =3]

따라서 [eqn: a=3]

[3점][2013년 4월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: f(x)= {cases{{2} over {x-2} ``&(x != 2)#``````````1&(x=2)}}]와 이차함수 [eqn: g(x)]가 다음 두 조건을 만족시킨다.

32

함수 [eqn: f(x)g(x)]가 모든 실수에서 연속이 되기 위해서는 [eqn: x=2]에서 연속이 되어야 하므로 [eqn: lim _{x -> 2} {f(x)g(x) }=f(2)g(2)}]를 만족하여야 한다.

[eqn: lim _{x -> 2} {f(x)g(x)=} lim _{x -> 2} {{2g(x)} over {x-2}} =f(2)g(2)]이므로 [eqn: g(2)=0]

[eqn: g(x)=a(x-2)(x- alpha )]라고 하면,

[eqn: lim _{x -> 2} {f(x)g(x)}=lim _{x-> 2} {2a(x- alpha )=f(2)g(2)=0}]

[eqn: therefore][eqn: alpha =2]

[eqn: g(x)=a(x-2) ^{2}] 이고 [eqn: g(0)=8]

[eqn: therefore][eqn: a=2]

[eqn: g(x)=2(x-2) ^{2}]

[eqn: therefore``][eqn: g(6)=2(6-2) ^{2} =32]

	(가) [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =8] (나) 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 모든 실수에서 연속이다.

이때 [eqn: g(6)]의 값을 구하시오.

[[eqn: 4]점][2013년 7월]

함수 [eqn: f(x)=cases{&x+2~~~~&(x<=1) #&-x+a &(x>1)``]
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

⑤

문제에 주어진 문장인

[eqn: f(x)= {cases{x+2&(x LEQ 1)#-x+a&(x > 1)}}] 가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1+} {f(x)} = lim _{x -> 1-} {f(x)}]이 되면 된다.

[eqn: 1+2`=`-1+a]

∴ [eqn: a=4]

[3점][2013년 9월]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

함수
[eqn: f(x) `=` cases{ ` 2x+5 ~ ~( x ne 1) # ````a ~~``~~~(x `=`1)}]
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

②

[eqn: x=1]에서 연속이 되면 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {`} `][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )]에서 [eqn: lim _{x -> 1} {`} `][eqn: LEFT ( 2x+5 RIGHT ) =a]

∴ [eqn: a=7]

[3점][2014년 6월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

함수
[eqn: f(x)= {cases{{(3x+2)(x-3)} over {x-3}&&(x != 3)#```a&&(x=3)}}]
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[eqn: 11]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 [eqn: x=3]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{ x`->`3 } `{f(x) }=f(3)]

이 성립해야 한다.

[eqn: therefore~a][eqn: =lim _{ x`->`3 } `{ {(3x+2)(x-3) } overx-3 }]
[eqn: =lim _{ x`->`3 } `{(3x+2)]
[eqn: =3 times3+2=11]

[3점][2014년 9월]

[해설] 미적분1-(3)함수의연속-(a)기본문제