수 리 영 역

활용문제

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수 리 영 역

활용문제

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 함수의 극한 (활용문제)

성명			수험번호

16

곡선 [eqn: y`= sqrt { x ``}] 위의 점 [eqn: (t,`` sqrt { t ```} )]에서 점 [eqn: (1,``0)]까지의 거리를 [eqn: d_1], 점 [eqn: (2,``0)]까지의 거리를 [eqn: d_2]라 할 때, [eqn: lim from { t ``->` INF }` (d_1 -d_2 `)]의 값은?

①

점[eqn: (t], [eqn: root t )]에서 두 점[eqn: (1], [eqn: 0)], [eqn: (2], [eqn: 0)]까지의 거리 [eqn: d_1], [eqn: d_2]는

[eqn: d_1 = root {(t-1^2 )+( root t` ) ^2}=root {t^2 -t+1}]

[eqn: d_2 = root {(t-2^2 ) +(root t`) ^2}=root {t^2 -3t+4}]

∴[eqn: lim from { t ->inf } (d_1 - d_2 )]

[eqn: = lim from { t ->inf } (root {t^2 -t+1}-root {t^2 -3t+4} )]

[eqn: = lim from { t ->inf } 2t-3 over { root {t^2 -t+1} +root {t^2 -3t+4} }]

[eqn: = lim from { t -> inf } {2- 3 over t} over {root {1- {1 over t} + {1 over t^2}} + root {1- {3 over t} + {4 over t^2}}}]

[eqn: = 2 over 1+1 =1]

[3점][2005년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {1_`} over {2`}]	③ [eqn: {1_`} over {4`}]	④ [eqn: {1_`} over {8`}]	⑤ [eqn: 0]

두 함수 [eqn: f``(x`)= lim from { n` rarrow` INF } { { x^2n+1 } over { 1+x^2n } }], [eqn: g`(x`)=-x`(x^2 -a^2 )`]에 대하여 방정식 [eqn: f``(x`)-g`(x`)=0`]이 단 하나의 실근을 갖는 [eqn: a`]의 최대값은?

②

[eqn: f(x)=lim from { n -> inf } {x^2n+1} over {1+x^2n}]에서

(ⅰ)[eqn: ∣x∣＞1]일 때 [eqn: f(x)= lim from { n -> inf } x over {1 over x^2n +1}=x]

(ⅱ)[eqn: ∣x∣＜1]일 때 [eqn: f(x)=0]

(ⅲ) [eqn: x=1]일 때 [eqn: f(x)= 1 over 2]

(ⅳ) [eqn: x=-1]일 때 [eqn: f(x)=- 1 over 2]

방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]이 단 하나의 실근을 가지려면 [eqn: f(x)=g(x)] 에서 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 오직 한 점에서만 만나야 한다.

[eqn: y=g(x)]의 그래프는 원점 대칭이므로 점 (1, 1), (-1, -1) 을 지날 때 [eqn: a]의 값이 최대이다.

[eqn: g(1)=1]에서 [eqn: 1=-(1-a^2 )]

[eqn: a^2 =2]　　∴[eqn: a=+-root2]

따라서, [eqn: a]의 최대값은 [eqn: root2]이다.

[4점][2005년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: SQRT { 2`}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2` SQRT {2` }]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f(x)=a LEFT [ x RIGHT ] ^{3} +b LEFT [ x RIGHT ] ^{2}] ([eqn: a != 0])에 대하여 [eqn: lim _{x-> 1} {f(x)= alpha `] ([eqn: alpha]는 상수) 일 때, [eqn: a] 와 [eqn: b] 의 관계로 옳은 것은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수)

②

[eqn: lim _{x -> 1+} {LEFT. LEFT. (a LEFT [ x RIGHT ] ^{3} +b LEFT [ x RIGHT ] ^{2} ) RIGHT]

[eqn: lim _{x -> 1-} {(a LEFT [ x RIGHT ] ^{3} +b LEFT [ x RIGHT ] ^{2} )} =0]이므로

[eqn: ∴a+b=0]

[3점][2006년 5월]

① [eqn: a-b=0]	② [eqn: a+b=0]	③ [eqn: 2a-b=0]
④ [eqn: a+2b=0]	⑤ [eqn: 2a+b=0]

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> `2} {{f(x)} over {x-2}} =3], [eqn: lim _{x ->` INF } {{f(x)} over {x ^{2} -x} =1}]을 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

①

[eqn: lim _{x -> INF } {{f(x)} over {x ^{2} -x} =1}]이려면 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가  1인 이차식이어야 한다.

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+b]라 하자.

[eqn: lim _{x -> 2} {{f(x)} over {x-2}} =3]으로 수렴하려면 [eqn: x -> 2]일 때, (분모)[eqn: -> 0]이므로 (분자)[eqn: -> 0]이어야 한다.

[eqn: lim _{x -> 2} {f(x)=4+2a+b=0}]

[eqn: b=-2a-4]

[eqn: lim _{x -> 2} {x^2 +ax-2a-4} over {x-2}} = lim _{x -> 2} {(x-2)(x+2+a)} over {x-2}}]

[eqn: = 4+a =3]

[eqn: a=-1,~b=-2]

[eqn: THEREFORE~f(x)=x ^{2} -x-2]이므로 [eqn: f(1)=-2]

[3점][2007년 5월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③   [eqn: 0]	④   [eqn: 1]	⑤   [eqn: 2]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f`(x)]가
[eqn: f`(-1)=2],  [eqn: f`(0)=0],  [eqn: f`(1)=-2]
를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x`->`0} { {f`(x) _`}over x}]의 값은?

③

[eqn: f`(x)`=`x(x^2 +ax+b)]이므로

[eqn: f`(-1)`=`a-b-1`=`2]

[eqn: THEREFORE ~a-b`=`3]	…… ㉠

[eqn: f`(1)`=`a+b+1`=`-2]

[eqn: THEREFORE ~a+b`=`-3]	…… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a`=`0, ```b`=`-3]

[eqn: THEREFORE ~f`(x)`=`x(x^2 -3)]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { x` ->`0 } `{f`(x)}_` over x `=` lim from { x` ->`0 } `(x^2 -3)`=`-3]

[3점][2007년 6월]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

극한 [eqn: lim_{x `->` 0} {left{f`(x)right}^2}_` over {f`(x^2 )} = 4]
를 만족시키는 함수 [eqn: f`(x)]를 <보기>에서 모두 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: lim from { x` ->0 }`{16`|x``|^2}_` over {4`|x^2 `|}`=`lim from { x` ->0 }` {16x^2}_` over {4x^2 }`=`4]   [eqn: THEREFORE] 참

ㄴ. [eqn: lim from { x` ->0 }`{(2x^2 +2x)^2}_` over {2x^4 +2x^2}`=`lim from { x` ->0 }` {(2x +2)^2}_` over {2x^2 +2}`=`2]

[eqn: THEREFORE] 거짓

ㄷ. [eqn: lim from { x` ->0 }`{ LEFT ( x + {4`}_` over {x`} RIGHT )^2}_` over {x^2 + {4`}_` over {x^2}}`=`lim from { x` ->0 }` {(x^2 +4)^2}_` over {x^4 +4}`=`4]

[eqn: THEREFORE] 참

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[3점][2007년 6월]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`(x)=4`|`` x``|] ㄴ. [eqn: f`(x)=2x^2 +2x] ㄷ. [eqn: f`(x)=x + { 4_`} over {x`` }]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다항함수 [eqn: f(x)``]가 [eqn: lim_{x->inf}``{f(x)-x^2} over x =2``]를 만족할 때,
[eqn: lim_{x->2}``f(x) over x-2 =a``]이다. 이때, 상수 [eqn: a``]의 값은?

④

[eqn: lim_{x->inf}``{f(x)-x^2} over x =2``]에서

[eqn: f(x)=x^2 +2x+k``] ([eqn: k``]는 상수)꼴이고

[eqn: lim_{x->2}``f(x) over x-2 =a``]에서 [eqn: f(2)=0``]이므로 [eqn: k=-8``]

[eqn: lim_{x->2}``{(x-2)(x+4)} over x-2 =6``]  [eqn: therefore`````][eqn: a=6``]

[3점][2008년 5월]

① [eqn: 3``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: 5``]	④ [eqn: 6``]	⑤ [eqn: 7``]

다항함수 [eqn: g`(x)]에 대하여 극한값 [eqn: lim from {x`->`1} {{g`(x)-2x_`} over {x-1}}]가 존재한다. 다항함수 [eqn: f`(x)]가 [eqn: f`(x)+x-1=(x-1)g`(x)]를 만족시킬 때,
[eqn: lim from {x`->`1}} {{f`(x)`g`(x)_`} over {x ^2 -1}^`}]의 값은?

①

[eqn: lim _{ x`->`1} { { g(x) -2x} over { x-1} }]의 값이 존재하므로

[eqn: lim _{ x`->`1} LEFT { g(x) -2x RIGHT } =0]

[eqn: THEREFORE```` g(1) =2]

[eqn: THEREFORE ```` lim _{ x->1} { { f(x) cdot g(x) } over {x^2 -1 } }][eqn: = lim _{ x->1} { { (x-1)(g(x)-1) cdot g(x)} over { x^2 -1} }]

[eqn: ``= lim _{ x->1} { { (g(x)-1) cdot g(x)} over {x+1 } }]

[eqn: ``= { (g(1)-1) cdot g(1)} over {2 }][eqn: =1]

[3점][2008년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f`(x)`]가
[eqn: lim _{x` -> `0+} {{x ^{3} `f` LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) -1} over {x ^{3} +x}} =5],  [eqn: lim _{ x`->`1 } { { f`(x)} over {x^2 +x-2 } }= { 1} over { 3}]
을 만족시킬 때, [eqn: f`(2)`]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: lim _{x -> 0+} {} {x ^{3} f( {1} over {x} )-1} over {x ^{3} +x}] ([eqn: { 1} over { x} =t``]라 놓으면)

[eqn: =lim_t->inf { { 1} over {t^3 } f(t) - 1 } over { { 1} over {t^3 }+{ 1} over {t } }=lim_t->inf { f(t) - t^3 } over{ {t^2 }+{ 1} }=5]

∴ [eqn: f(x)=x^3 +5x^2 +ax+b]

또 [eqn: lim _{ x`->`1 } { { f`(x)} over {x^2 +x-2 } }= { 1} over { 3}] 에서 [eqn: f(1)=0``]

∴ [eqn: f(1)=6+a+b=0]    ∴  [eqn: b=-a-6]

[eqn: lim _{ x`->`1 } { { (x-1)(x^2 +6x+a+6)} over {(x-1)(x+2 )} }= { 1} over { 3}``]에서

[eqn: lim _{ x`->`1 } { { x^2 +6x+a+6 } over { x+2 } }= { 13+a} over { 3}= { 1} over { 3} ``]  ∴ [eqn: a=-12`,``b=6]

∴ [eqn: f(x)=x^3 +5x^2 -12x+6]

∴ [eqn: f(2)=10]

[3점][2009년 6월]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)]인 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: f(x)=`-2` LEFT |`` x- {1} over {2} `RIGHT | `+1~`left(`- {1} over {2} ` ≦ `x ≦ {3} over {2} `right)]이고
함수 [eqn: g(x)=` lim _{n ->` INF } {` {LEFT { 1+f(x) RIGHT } ^{n} `-1} over {LEFT { 1+f(x) RIGHT } ^{n} `+1}}]일 때,
[eqn: g(10 sqrt {2} )-g( sqrt {3} )]의 값은?

⑤

[eqn: y=f(x)]의 그래프는

함수 [eqn: y=g(x)]는

1) [eqn: x]가 정수이면 [eqn: f(x)=0]이므로  [eqn: g(x)=0]

2) [eqn: 2k-1<x<2k``(``k는정수)]이면

[eqn: 0 <= `1+f(x)<1]이므로 [eqn: g(x)=-1]

3) [eqn: 2k<x<2k+1``(``k는정수)]이면

[eqn: 1 < `1+f(x)<=2]이므로 [eqn: g(x)=1]

따라서 [eqn: y=g(x)]의 그래프는

[eqn: g(10 sqrt { 2})-g( sqrt { 3})=1-(-1)=2]

[4점][2009년 7월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: x]가 양수일 때, [eqn: x]보다 작은 자연수 중에서 소수의 개수를  [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]라 하고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = cases{`f LEFT ( x RIGHT )&`````` LEFT ( `x>2f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )#` {1} over {f LEFT ( x RIGHT )}&`````` LEFT ( `x LEQ 2f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )}]
라고 하자. 예를 들어, [eqn: f LEFT ( {7} over {2} RIGHT ) =2]이고, [eqn: {7} over {2} <2f LEFT ( {7} over {2} RIGHT )]이므로
[eqn: g LEFT ( {7} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]이다. [eqn: lim _{x` -> `8+} {g LEFT ( x RIGHT )} = alpha], [eqn: lim _{x` -> `8-} {g LEFT ( x RIGHT )} = beta]라고 할 때,  [eqn: {alpha } over {beta }]의 값을 구하시오.

[eqn: 16`]

[eqn: lim _{x -> 8+} {} g(x)]이면 [eqn: x=8.1]을 생각하자

[eqn: f(8.1)=4] 그러면 [eqn: x>2f(x)]이다.

따라서, [eqn: alpha=4]

[eqn: lim _{x -> 8-} {} g(x)]이면 [eqn: x=7.9]를 생각하자.

[eqn: f(7.9)=4] 그러면 [eqn: x<2f(x)]이다.

따라서, [eqn: beta= 1over 4]

[eqn: therefore~ 4 over {1 over 4} =16]

[4점][2010년 6월]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: lim _{x->inf} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{3}} =0}], [eqn: lim _{x->0} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} =5}]를 만족시킨다. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x]의 한 근이 [eqn: -2]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

②

[eqn: lim_x->inf``f(x) over x^3 = 0`]이므로

[eqn: f(x)`]의 차수를 [eqn: n`]이라 하면 [eqn: n<=2`]이다.

[eqn: lim_x->0`f(x) over x = 5`]이고, [eqn: x->0`]일 때 (분자)[eqn: ->0`]이므로 (분모)[eqn: ->0`]이어야 한다.

따라서, [eqn: lim_x->0`f(x) = f(0) =0`]이므로

[eqn: f(x) = ax^2 + bx`]로 놓을 수 있다.

[eqn: lim_x->0 f(x) over x = lim_x->0`{ax^2 + bx} over x][eqn: = lim_x->0` (ax+b)`][eqn: =b`]

이므로 [eqn: b= 5`]

방정식 [eqn: ax^2 + 5x = x`]의 한 근이 [eqn: x=-2`]이므로

[eqn: 4a-10 = -2`]에서[eqn: 4a = 8`]

∴ [eqn: a=2`]

따라서, [eqn: f(x) = 2x^2 +5x`]이므로

[eqn: f(1) = 7`]

[3점][2010년 9월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

다항함수 [eqn: f(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(1)`]의 값을 구하시오.

[eqn: 7]

조건 (가)에 의해 [eqn: f(x)-3x^3 = 2x^2 + ax +b]라 하면

[eqn: lim _{ x``->``0} { f(x) over x }``=][eqn: lim _{ x`->`0} { { 3x^3 + 2x^2 + ax +b } over x }=2]이므로
[eqn: a=2], [eqn: b=0]
따라서 [eqn: f(x)=3x ^{3} +2x ^{2} +2x]이므로 [eqn: f(1)=7]

[3점][2011년 4월]

(가) [eqn: lim _{ x``->`` INF } { f(x)-3x^{`3} over x^{`2}} ``= 2`]

(나) [eqn: lim _{ x``->``0} { f(x) over x }``=2`]

실수 [eqn: t``]에 대하여 직선 [eqn: y=t``]가 함수 [eqn: y=``left|``x^2 -1``right|``]의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: f(t)``]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 1-} {} f(t)``]의 값은?

④

위 그래프에서 [eqn: y=t]의 위치에 따라 다음과 같은 함수가 만들어진다.

[eqn: t SUCC 1], [eqn: t =0] 일 때, [eqn: f(t)=2]

[eqn: t = 1] 일 때, [eqn: f(t)=3]

[eqn: 0 PREC t PREC 1] 일 때, [eqn: f(t)=4]

[eqn: t =0] 일 때, [eqn: f(t)=2]

[eqn: t PREC 0] 일 때, [eqn: f(t)=0]

[eqn: THEREFORE lim _{t -> 1-} {f(t)} =4]

[4점][2011년 6월]

①　[eqn: 1]	②　[eqn: 2]	③　[eqn: 3]	④　[eqn: 4]	⑤　[eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)= {cases{sum _{n=0} ^{INF } `(x ^{4} +x ^{2} )(1-x ^{2} ) ^{n}&~~ LEFT ( LEFT | x RIGHT | <1 RIGHT )#~~~~~~~~~0&~~( LEFT | x RIGHT | GEQ 1)}}] 에 대하여
[eqn: lim _{x` -> ``-1+} {f` LEFT ( x RIGHT )}]의 값은?

④

[eqn: x != 0] 이고 [eqn: -1<x<1] 일 때,

[eqn: 0<1-x ^{2} <1] 이므로

[eqn: f(x)= sum _{n=0} ^{INF } (x ^{4} +x ^{2} )(1-x ^{2} ) ^{n}] [eqn: = {x ^{4} +x ^{2}} over {1-(1-x ^{2} )} =x ^{2} +1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x ^{2} +1`&( LEFT | x RIGHT | `<``1,```x != 0)``#``````````0&(|x| GEQ 1,```x=0)}}]

따라서 [eqn: lim _{x` -> `-1+} {``f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> -1+} {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )} `=2}]

[4점][2011년 7월]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

최고차항의 계수가 양수인 다항함수 [eqn: f(`x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim_x->inf {left{`f(`x) right}^2 }overx^4 =4]

(나) [eqn: lim_x->1{f(`x) -x^2}overx-1 =3]

[eqn: f(`10)`]의 값을 구하시오.

208

조건 (가)에서 [eqn: f(x)]는 이차함수임을 알 수 있다.

[eqn: f(x)=ax^2 +bx+c`]로 놓으면

[eqn: lim_x->inf {left{f(x) right}^2 }overx^4 =lim_x->inf {(ax^2 +bx+c)^2 }overx^4 =a^2 =4]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2] ([eqn: BECAUSE][eqn: a>0])

조건 (나)에서

[eqn: f(x)-x^2 = (2x^2 +bx+c)-x^2]

[eqn: =x^2 +bx+c]

[eqn: =(x-1)(x-c)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{x -> 1} {} {f(x)-x ^{2}} over {x-1} =lim _{x -> 1} {(x-1)(x-c)} over x-1]

[eqn: = 1-c=3]

[eqn: THEREFORE] [eqn: c=-2], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: f(x)=2x^2 +x-2]이므로 [eqn: f(10)=208]

[3점][2012년 3월]

이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 다항함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT { 2f LEFT ( x RIGHT ) -3g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }} =2]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {8f LEFT ( x RIGHT ) -3g LEFT ( x RIGHT )} over {3g LEFT ( x RIGHT )}}]의 값은?

④

[eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) -3g LEFT ( x RIGHT ) =h LEFT ( x RIGHT )]라 하면,
[eqn: lim _{x` -> ` INF } {h LEFT ( x RIGHT )} =2]이고 [eqn: 3g LEFT ( x RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{8f(x)-3g(x)} over {3g(x)}} `= lim _{x` -> ` INF } {{6f(x)+h LEFT ( x RIGHT )} over {2f LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( x RIGHT )}}] [eqn: = lim _{x` -> ` INF } {{6+ {h LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}} over {2- {h LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}}} =3]

[3점][2012년 4월]

① [eqn: {3} over {2}]	②  [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④  [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

함수 [eqn: f(x)= lim _{n`` -> ` INF } {LEFT ( x ^{2} + {1} over {2} RIGHT ) ^{n} -2} over {LEFT ( x ^{2} + {1} over {2} RIGHT ) ^{n} +2}}]에 대하여
[eqn: f` LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ``+ lim _{x` -> ` {sqrt {2}} over {2} -} {f(x)}]의 값은?

①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```-1&```` LEFT ( ` LEFT | `x` RIGHT | `< {sqrt {2}} over {2} ` RIGHT ) _{{} _{{} _{}}}#`- {1} over {3}&```` LEFT ( ` LEFT | `x` RIGHT | `= {sqrt {2}} over {2} ` RIGHT ) _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}#``````````1&```` LEFT ( ` LEFT | `x` RIGHT | `> {sqrt {2}} over {2} ` RIGHT )}}]

따라서 [eqn: f LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) `+ lim _{x -> ` {sqrt {2}} over {2} -} {f(x)} =`- {1} over {3} + LEFT ( -1 RIGHT ) =`- {4} over {3}]

[4점][2012년 4월]

① [eqn: - {4} over {3}]	② [eqn: -1]	③  [eqn: 0]

④     [eqn: 1]	⑤   [eqn: {4} over {3}]

다음 두 조건을 모두 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 [eqn: f(2)`]의 값을 구하시오.

5

조건(가), (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2`]인 이차함수이고, [eqn: f(1)`=` 0] 이므로

[eqn: f(x) `=` 2(x-1)(x+a)]

[eqn: lim_{` x`-> `1} { {f(x)over{x-1} `=` lim_{ x`-> `1} { {2(x-1)(x+a) } over{ x-1} `=` 2(1+a) `=` 3]

[eqn: therefore ` a`=` 1 over 2]

[eqn: f(x) `=` (x-1)(2x+1)]

[eqn: therefore `f(2) `=` 5]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

	(가) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{x ^{2} +3x+5} over {f(x)} = {1} over {2}}] (나) [eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)} over {x-1} =3}]

함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=` lim _{n` -> ` INF } {` {x ^{2n+1} +ax ^{2} +bx-2} over {x ^{2n} +1}}]
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

⑤

ⅰ) [eqn: LEFT | x RIGHT | <1]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {``x ^{2n}} `=`0]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=ax ^{2} +bx-2]

ⅱ) [eqn: LEFT | x RIGHT | >1]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {1} over {x ^{2n}}} `=`0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= lim _{n` -> ` INF } {` {x ^{2n+1} +ax ^{2} +bx-2} over {x ^{2n} +1}}]
[eqn: `= lim _{n` -> ` INF } {` {x+ {ax ^{2}} over {x ^{2n}} `+ {bx} over {x ^{2n}} - {2} over {x ^{2n}}} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}} `=`x]

ⅲ) [eqn: x=1]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `= {a+b-1} over {2}]

ⅳ) [eqn: x`=`-1]일 때, [eqn: f(-1)= {a-b-3} over {2}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: x`=`-1], [eqn: x=1]에서 연속이다.
① [eqn: x`=`-1]에서 연속이므로

[eqn: a-b-2`=`-1`=` {a-b-3} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: a-b=1] [eqn: cdotscdots]㉠

② [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: a+b-2=1= {a+b-1} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=3] [eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a=2], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: ab=2]

[4점][2014년 4월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 두 삼차함수 [eqn: f(x)], [eqn: g (x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

⑤

[eqn: n=1]일 때, [eqn: lim _{x-> 1} {} `][eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} =0] ……㉠

[eqn: n=2]일 때, [eqn: lim _{x -> 2} {} `][eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} =0] ……㉡

[eqn: n=3]일 때, [eqn: lim _{x -> 3} {} `][eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} =2] ……㉢

[eqn: n=4]일 때, [eqn: lim _{x -> 4} {} `][eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {g LEFT ( x RIGHT )} =6] ……㉣

조건 ㈎에서 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT )]로 놓을 수있다.

따라서 ㉠, ㉡에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT )]이고

㉢에서 [eqn: {f LEFT ( 3 RIGHT )} over {g LEFT ( 3 RIGHT )} = {2} over {9+3a+b} =2]이므로 [eqn: 3a+b+8=0]  ……㉤

㉣에서 [eqn: {f LEFT ( 4 RIGHT )} over {g LEFT ( 4 RIGHT )} = {6} over {16+4a+b} =6]이므로 [eqn: 4a+b+15=0]  ……㉥

㉤, ㉥을 연립하여 풀면 [eqn: a=`-7], [eqn: b=13]

∴ [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -7x+13 RIGHT )]

따라서 구하는 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT )]의 값은 [eqn: 4 TIMES 3=12]

(가) [eqn: g (1) `=`0]

(나) [eqn: lim from { x `->` n } {f(x)} over {g(x)} `=` (n-1)(n-2)]  ([eqn: n `=`1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4])

[eqn: g(5)]의 값은?

[4점][2014년 6월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

다항함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: lim from { x `->` inf} { f(x) - x^3 } over { x^2 } `=` -11],  [eqn: lim from { x`->` 1 } { f(x) } over x-1 `=` -9]
를 만족시킬 때, [eqn: lim from { x`->` inf} x ` f` left( 1 over x right) `]의 값을 구하시오.

[eqn: 10]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다항함수이고 [eqn: lim _{x->inf} {{f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{3}} over {x ^{2}} =-11}]에서 [eqn: {inf} over {inf}]꼴이어야 하므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -11x ^{2} +ax+b]이고 [eqn: lim _{x->1} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}} =-9]에서 [eqn: {0} over {0}]꼴이어야 하므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0], [eqn: f`prime LEFT ( 1 RIGHT ) =-9]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1-11+a+b=0]에서
[eqn: a+b=10]이고 [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -22x+a]이므로
[eqn: f`prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3-22+a=-9]이다.
따라서 [eqn: a=10], [eqn: b=0]이고 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -11x ^{2} +10x]이다.

[eqn: t= {1} over {x}]이라하면 [eqn: x->inf]일 때 [eqn: t->0]이고 다항함수이므로 모든 실수에서 미분가능하기 때문에 [eqn: lim _{x->inf} {x} f LEFT ( {1} over {x} RIGHT )][eqn: = lim _{t->0} {{f LEFT ( t RIGHT )} over {t}}][eqn: =f`prime LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =10]

[4점][2014년 6월]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x)-x ^{2}} over {x} =2`]를 만족시킬 때,
[eqn: lim _{x -> 0+} {} x ^{2} f LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) `]의 값은?

①

[eqn: lim_{x -> inf } {f(x) - x^{`2} } over x `][eqn: =2`]이므로 [eqn: f(x) `][eqn: = x^{`2} +2x + c `]

[eqn: f left( 1 over x right) `][eqn: = left( 1 over x right)^{`2} + 2 over x + c `]

[eqn: lim _{x -> 0+} {} `x ^{`2} `f LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) `][eqn: = lim _{x -> 0+} {} ` LEFT ( 1+2x+c`x ^{`2} RIGHT ) `][eqn: =1`]

[다른 풀이]

[eqn: 1 over x `][eqn: =t`]라 하면 [eqn: x -> +0 `]일 때, [eqn: t -> inf `]이므로

[eqn: lim _{x -> 0+} {} `x ^{`2} `f LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) `][eqn: = lim_{t-> inf} `{f left( t right) } over { t^{`2}} `][eqn: = lim_{t-> inf} `{ t^{`2} + 2t + c } over t^{`2} `][eqn: =1`]

[3점][2014년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[해설] 미적분1-(2)함수의극한-(c)활용문제