수 리 영 역

진위판정

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수 리 영 역

진위판정

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 수열의 극한 (진위판정)

성명			수험번호

16

무한등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 옳은 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

③

무한등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r``]라고 하자.

ㄱ. <참> 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: -1<r<1 ``]이다.

무한등비수열 [eqn: LEFT { a _{2n} RIGHT }]의 공비는 [eqn: r ^{2}]이고 [eqn: 0 LEQ r ^{2} <1]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}]도 수렴한다.

ㄴ. <참> 무한등비급수[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 발산하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}]도 발산한다.

ㄷ. <거짓> 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( a _{n} + {1} over {2} RIGHT )]도 수렴한다.

[3점][2005년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}]도 수렴한다. ㄴ. 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 발산하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}]도 발산한다. ㄷ. 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} + {1} over {2} RIGHT )]도 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 무한수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `], [eqn: LEFT { `b _{n} `RIGHT } `]에 대하여 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? (단, [eqn: alpha `], [eqn: beta ``]는 실수이고, [eqn: n`]은 자연수이다.)

②

ㄱ. (반례) [eqn: a _{n} `=` {1} over {n}] , [eqn: b _{n} `=`- {1} over {n} ``]  이면

임의의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} `]이지만

[eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} `=` lim _{n -> INF } {} `b _{n} `=`0]

ㄴ. [eqn: alpha - beta `=` sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `-` sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n}] [eqn: =` sum _{n`=`1} ^{INF } `(a _{n} -b _{n} `)]

[eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {} ` sum _{k`=`1} ^{n} `(a _{k} -b _{k} `)``＞``0]

([eqn: BECAUSE ``]임의의 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: a _{k} ``＞``b _{k}] )

∴[eqn: ` alpha ``＞`` beta `] (참)

ㄷ. 무한급수[eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `] 과 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} `] 의 합이 각각 존재하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `a _{n} `=` lim _{n` -> ` INF } {} `b _{n} `=0`] (거짓)

[4점][2005년 7월]

		〈 보 기 〉
	ㄱ. [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} `]이고 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} `=` alpha ``], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} `=` beta `]이면 [eqn: alpha `>` beta `]이다. ㄴ. [eqn: a _{n} ``＞``b _{n} `]이고 [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `a _{n} `=` alpha ``], [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `b _{n} `=` beta ``]이면 [eqn: alpha ``＞`` beta `]이다. ㄷ. [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `a _{n} `=` alpha `], [eqn: sum _{n`=1} ^{INF } `b _{n} `=` beta ``]이고 [eqn: alpha `＞` beta `]이면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} ``＞ lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} `] 이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

세 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT } `,~ LEFT { c _{n} RIGHT } `]에 대한 옳은 설명을 <보기>에서 모두 고른 것은?

②

ㄱ. (반례) [eqn: a _{n} = {1} over {n} ,~b _{n} =n+1`]이라 하면

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} =0,~ lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} b _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} {n+1} over {n} =1`]이지만

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 발산한다. (거짓)

ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { (a _{n} -2b _{n} )+2b _{n} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} (a _{n} -2b _{n} )+2 lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} =0+2=2] (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{n} =n- {1} over {n} ,~b _{n} =n,~c _{n} =n+ {1} over {n} `]이라 하면

[eqn: a _{n} `<`b _{n} `<`c _{n} `]이고, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (c _{n} -a _{n} )= lim _{n` -> ` INF } {} {2} over {n} =0`]이지만

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 발산한다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

[3점][2006년 3월]

		< 보 기 >
	ㄱ. 두 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ,~ LEFT { `a _{n}` b _{n} ` RIGHT } ``]이 모두 수렴하면, 수열 [eqn: LEFT { ` b _{n} ` RIGHT } ``]은 수렴한다. ㄴ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (`a _{n} ``-``2b _{n} `)```=`0``]이고 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} ```=`1``]이면, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} ```=`2``]이다. ㄷ. [eqn: a _{n} ``<``b _{n} ``<``c _{n} ``]이고 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} (`c _{n} ``-``a _{n} `)```=`0``]이면, 수열 [eqn: LEFT { ` b _{n} ` RIGHT } ``]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 무한수열 [eqn: left{a _{n}right} ,``left{b _{n}right}]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

①

ㄱ. 두 수열 [eqn: left{ a _{n} right}], [eqn: left{ b _{n} right}]이 수렴하고 [eqn: lim _{ n->inf} { (a_n -b_n )}=0] 이므로 [eqn: lim _{ n->inf}`` { a_n} -lim _{ n->inf} ``{ b_n}=0] (참)

ㄴ. 수렴하는 무한급수의 일반항 [eqn: a_n ,b_n]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n }= lim _{ n->inf} { b_n}=0] (거짓)

ㄷ. (반례) [eqn: a_n = { 1} over { n}], [eqn: b_n = n] 이라하면

[eqn: lim _{ n->inf}```{ { 1} over {n } }=0], [eqn: lim _{ n->inf}```{ { 1} over {n } ․`n}=1] 이지만 [eqn: lim _{ n->inf} { b_n}]이 수렴하는 것은 아니다. (거짓)

옳은 것은 ㄱ

[3점][2006년 5월]

		<보 기>
	ㄱ. 수열 [eqn: left{a _{n}right} ,``left{b _{n}right}]이 수렴하고 [eqn: lim _{n -> INF } left(a_n -b _{n}right)=0] 이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}=lim _{n -> INF } {b_n}] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}= alpha], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}= beta] 이고 [eqn: alpha>beta] 이면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}>lim _{n -> INF } {b _{n}}] ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,`` LEFT { a _{n} `b _{n} RIGHT }]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {} ``b _{n}]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 무한등비수열 [eqn: \{a_n` \}], [eqn: \{b_n `\}]에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

무한등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r_1], 무한등비수열 [eqn: left{ b_n right}]의 첫째항을 [eqn: b`], 공비를 [eqn: r_2`]라 하면

[eqn: a_n = ar_1 ^n-1], [eqn: b_n = b r_2 ^n-1]

ㄱ. [eqn: SUM_n=1 ^inf a_n], [eqn: SUM_n=1 ^inf b_n]이 수렴하므로 [eqn: -1< r_1 < 1], [eqn: -1 < r_2 <1`]

[eqn: a_n b_n = ar_1 ^n-1 b r_2 ^n-1][eqn: = ab ( r_1 r_2 )^n-1] 에서  [eqn: -1< r_1 r_2 <1`]이므로

[eqn: SUM_n=1 ^inf a_n b_n = ab over {1-{r_1 r_2 } }] (수렴) (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a_n = (-1)^n], [eqn: b_n =(-1)^n-1`]이라 하면

[eqn: lim_n->inf a_n !=0], [eqn: lim_n->inf b_n !=0] 이므로 [eqn: SUM_n=1 ^inf a_n], [eqn: SUM_n=1 ^inf b_n]은 발산하지만

[eqn: a_n + b_n =(-1)^n + (-1)^n-1 = 0`]

∴ [eqn: lim_n->inf (a_n + b_n )= 0] (거짓)

ㄷ. [eqn: SUM_n=1 ^inf {a_n }^3], [eqn: SUM_n=1 ^inf{ b_n }^3`]이 수렴하므로 [eqn: -1< r_1 ^3 <1], [eqn: -1< r_2 ^3 <1]

∴ [eqn: -1< r_1 <1], [eqn: -1< r_2 <1]

따라서 [eqn: SUM_n=1 ^inf a_n], [eqn: SUM_n=1 ^inf b_n]이 수렴하고,

[eqn: SUM_n=1 ^inf (a_n +b_n ) = SUM_n=1 ^inf a_n + SUM_n=1 ^inf b_n]이므로

[eqn: SUM_n=1 ^inf (a_n +b_n )]은 수렴한다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[4점][2006년 6월]

	<보 기>
ㄱ. 두 무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n`], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n `` b_n `]은 수렴한다. ㄴ. 두 무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n`], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n`]이 발산하면 [eqn: lim from { n -> inf }(a_n +b_n` )!=0]이다. ㄷ. 두 무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a_n^{`3}`], [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b_n^{`3}`]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf ( a_n + b_n `)]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} -1),`` sum _{n=1} ^{INF } (`b _{n} +1)``]이 모두 수렴할 때,
<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1)`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} -1)``} =0``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} ``} =1``] (참)

ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)```]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {(b _{n} +1)``} =0``]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} ``} =-1``]

따라서 [eqn: `` sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ``]은 발산한다. (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1),```` sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)``]이 모두 수렴하므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -1)+`` sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} +1)``]

[eqn: =sum _{n=1} ^{INF }left{ (a _{n} -1 )+(b _{n} +1)``right] [eqn: =sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )``]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +b _{n} )``]은 수렴한다. (참)

[3점][2007년 3월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF }`` {a _{n} ``} =1``] ㄴ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ``]은 발산한다. ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a _{n} +b _{n} )``]은 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

무한수열의 극한값과 무한급수의 성질이다. <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n}] 이 수렴이므로 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} =0]이고,

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} = beta] (상수)이므로

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} = lim _{n` -> INF } {} `a_n ×lim _{n` -> INF } {} `b_n = 0× beta =0] (참)

ㄴ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf left(2a _{n} +b_n right) =SUM from { { n}=1} to inf c_n = alpha],

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf left(a _{n} -2b_n right) = SUM from { { n}=1} to inf d_n =beta]라 하면

[eqn: a_n ={ 2c_n +d_n } over { 5} , b_n ={ c_n -2d_n } over { 5}]에서

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} =SUM from { { n}=1} to inf{ 2c_n +d_n } over { 5} = { 2} over {5 } alpha+ { 1} over {5 } beta]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } {c _{n} -2d _{n}} over {5} = { 1} over { 5} alpha- { 2} over {5 } beta]  (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{n} = (-1)^n ,``b_n =(-1)^n]

[eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} b _{n} =1]이지만 [eqn: lim _{n` -> INF } {} ` a _{n}]과 [eqn: lim _{n` -> INF } {} ` b _{n}]은 모두 수렴하지 않는다. (거짓)

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} =alpha`], [eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} =beta`]이면 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} = 0`]이다. (단, [eqn: alpha`,```` beta`]는 상수) ㄴ. [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT ( 2 a _{n} +b_n RIGHT ) `]과 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT ( a _{n} - 2b_n RIGHT ) `]이 수렴하면 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf a _{n} `]과 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf b _{n} `]이 수렴한다. ㄷ. [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a_n b _{n} =alpha`]이면 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `a _{n} `] 또는 [eqn: lim _{n` -> INF } {} `b _{n} `]이 수렴한다. (단, [eqn: alpha`]는 상수)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ	④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

②

ㄱ. (반례) 수열 [eqn: 1,~0,~1,~0,~1,~0,~ CDOTS]에서

[eqn: lim _{ n->inf} {a_2n = 0 }]으로 수렴하지만 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n]은 발산한다. (거짓)

ㄴ.[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = lim _{n -> INF } {a _{n-1}}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{2n}} = lim _{n -> INF } {a _{2n-1}}] (참)

ㄷ. (반례) 수열 [eqn: -1,~1,~- {1} over {2} ,~ {1} over {2} ,~- {1} over {3} ,~ {1} over {3} ,~ CDOTS]에서 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_n = 0]으로 수렴하지만 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =` INF]이므로 발산한다. (거짓)

[4점][2008년 4월]

		보 기
ㄱ. [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{n}}]도 수렴한다. ㄴ. [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{n}}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n}} = lim _{n`` -> `` INF } {a _{2n-1}}]이다. ㄷ. 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하면 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n}] 도 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 무한수열 [eqn: LEFT {` a _{`n} `RIGHT }`], [eqn: LEFT {` b _{`n}` RIGHT }`]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> INF }` {{b _{`n}} over {a _{`n}}}` = alpha `]일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: alpha `]는 [eqn: 0`]이 아닌 실수이다.)

③

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } ` b _{n} = lim _{n -> INF }`a _{n} ``․`` {b _{n}} over {a _{n}}` =0] (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a _{n} =n+1], [eqn: b _{n} =n]이면 [eqn: alpha =1]이지만

[eqn: lim _{n` -> INF } {(a _{n} -b _{n}} )=1]이다. (거짓)

ㄷ. [eqn: {b _{n}} over {a _{n}} =c _{n}]으로 놓으면 [eqn: b _{n} =a _{n} `c _{n}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {b _{n}} = lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {a _{n} `c _{n}} = lim _{n -> INF } {} {1} over {c _{n}} = {1} over {alpha }] (참)

[3점][2010년 3월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{n` -> INF } {a _{`n}} =0`]이면 [eqn: lim _{n` -> INF }` {b _{`n}} =0`]이다. ㄴ. [eqn: alpha =1`]이면 [eqn: lim _{n` -> INF } {} ` LEFT ( `a _{`n} -b _{`n}RIGHT )` =0`]이다. ㄷ. [eqn: lim _{n` -> INF }` {{a _{`n}} over {b _{`n}}}` = {1} over {alpha }]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 무한수열 [eqn: LEFT {` a _{`n} `RIGHT }], [eqn: LEFT { `b _{`n} `RIGHT }`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. 두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{ `n} `], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{`n} `]이 모두 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {}` `a _{`n} =`` lim _{n -> INF } {} ``b _{`n} =`0`]이다. (거짓)

ㄴ. 두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF }(` a _{`n} +`b_{`n} ) `], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (`a_{`n} -` b _{`n} ) `]이 모두 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {}` `(`a _{`n} +`b_{`n} ) = lim _{n -> INF } {} ``(`a_{`n} -` b _{`n} ) =0`]이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {} ```a _{`n} = 1over2 lim _{n -> INF }`` LEFT { (`a_{`n} +`b_{`n} )+(`a_{`n} -`b_{`n} ) RIGHT } =0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} ```b _{`n} = `lim _{n -> INF }`` LEFT { (`a_{`n} +`b_{`n} )-`a_{`n} RIGHT } =0]

따라서 두 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]과 [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT }]은 모두 수렴한다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{`n} =(-1) ` ^{` n} `], [eqn: b _{`n} =(-1)` ^{` n+1} `]이면

[eqn: LEFT |`` a _{`n} +`b _{`n}`` RIGHT |` `=0`], [eqn: LEFT |`` a _{`n} -`b _{`n} ``RIGHT | ``=2`]이므로

두 수열 [eqn: LEFT {` LEFT |` a _{`n} +`b _{`n}` RIGHT |` RIGHT } `], [eqn: LEFT {`` LEFT |`` a _{`n} -`b _{`n} ``RIGHT | `RIGHT }`]이 모두 수렴하지만 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT }`]과 [eqn: LEFT { b _{`n} RIGHT }`]은 수렴하지 않는다. (거짓)

[4점][2010년 3월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` a _{`n} = 1], [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `b _{`n} = 2``]이면 [eqn: lim _{n -> INF } ` a _{`n} < `lim _{n -> INF } ` b _{`n}`]이다. ㄴ. 두 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `left(`a _{`n} +`b _{`n}` right)`], [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` left(`a _{`n}-` b_{`n} `right)`]이 모두 수렴하면 두 수열 [eqn: LEFT {` a _{`n} `RIGHT }], [eqn: LEFT { `b _{`n} `RIGHT }`]도 모두 수렴한다. ㄷ. 두 수열 [eqn: left{``left |`` a _{`n} `+`b _{`n} ``right|`` right}], [eqn: left{``left |`` a _{`n} `-`b _{`n} ``right|`` right}]이 모두 수렴하면 두 수열 [eqn: LEFT {` a _{`n} `RIGHT }], [eqn: LEFT { `b _{`n} `RIGHT }`]도 모두 수렴한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: - |`b_n `| le b_n le |`b_n `|`]에서 [eqn: lim_n->inf (-|`b_n `|)=lim_n->inf |`b_n `| =0`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} b _{n} =0`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: (3n+1)a _{n} =c _{n} `]라 하면 [eqn: lim _{n -> INF } {} c _{n} =6`]이고 [eqn: a _{n} = {c _{n}} over {3n+1} `]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} na _{n} = lim _{n -> INF } {} {nc _{n}} over {3n+1}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {n} over {3n+1} c _{n}]

[eqn: = {1} over {3} TIMES 6=2`]이다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a _{n} =(-1) ^{n} ,~b _{n} =2(-1) ^{n} `]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} b _{n} =2](수렴)이지만, 수열 [eqn: "{"a _{n} "}",~"{"b _{n} "}"]은 각각 발산한다. (거짓)

[3점][2010년 4월]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT | `b _{n} ` RIGHT |} `=0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} `=0]이다.

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 3n+1 RIGHT ) a _{n}} `=6]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {na _{n}} `=2]이다.

ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT }]이 수렴하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT },~LEFT { b _{n} RIGHT }]은 각각 수렴한다.

두 무한수열 [eqn: left{a_{`n} right}`], [eqn: left{ b_{`n} right}`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {n+1} - 1 ` RIGHT )][eqn: = inf]

[eqn: therefore] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]은 발산 (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a _{n} = {1} over {3 ^{n}} ,``b _{n} =2] (거짓)

ㄷ.  [eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1`} = 1 over n+1 a_n]이므로

[eqn: a_2 = 1 over 2 a_1], [eqn: a_3 = 1 over 3 a_2], [eqn: cdots], [eqn: a_n = 1 over n a_n-1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n`} = 1 over {2 TIMES 3 TIMES4 TIMES · · · TIMES n} a_1 = 1 over n!]이므로

[eqn: a_n+2 over a_n][eqn: = 1 over n+1 - 1 over n+2]

[eqn: sum _n=1^inf a_n+2 over a_n =sum _n=1 ^inf left( 1 over n+1 - 1 over n+2 right)][eqn: = 1 over 2] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[4점][2011년 4월]

		보 기
ㄱ. 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]에서 [eqn: a_{`n} = 1 over {sqrtn+1 + sqrt n }`]일 때, [eqn: sum_n=1 ^ inf a_{`n}]은 발산한다. ㄴ. 두 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`], [eqn: left{ b_{`n} right}`]이 각각 수렴하면 [eqn: sum_n=1 ^ inf a_{`n} b_{`n} = sum _n=1 ^ inf a_{`n} sum_n=1 ^inf b_{`n}]이다. ㄷ. 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]이 [eqn: a _{`1} =1], [eqn: a _{`n+1} = 1 over n+1 a_{`n} `(`n=1,``2,``3, ``CDOTS`)`]을 만족시킬 때, [eqn: sum _n=1^inf a_{`n+2} over a_{`n} = 1 over 2]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[해설] 미적분1-(1)수열의극한-(f)진위판정