수 리 영 역

응용문제

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수 리 영 역

응용문제

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 수열의 극한 (응용문제)

성명			수험번호

16

다음 <보기>의 수열 [eqn: left{ a_n ` right}] 중 극한값
[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}} over {n} ``]이 존재하는 것을 모두 고르면?

④

Ⅰ. [eqn: lim _{n -> INF } {} {1+2+3+ CDOTS +n} over {n}][eqn: = lim_n->inf {n(n+1) over 2 } over n ``]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {n+1} over {2} = INF]이므로 발산한다.

Ⅱ. [eqn: lim_n->inf {1 over 2 + 1 over 2^2 + …+ 1 over 2^n } over n][eqn: = lim_n->inf{ {1 over 2 left{ 1- left( 1 over 2 right)^n right}} over{ 1- 1 over 2 }} over n]

[eqn: = lim_n->inf {1- left( 1 over 2 right)^n } over n =0]이므로 수렴한다.

Ⅲ. [eqn: a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n} = {cases{0&(n``이~짝수)#-1&(n``이`홀수)}}]

ⅰ) [eqn: n``]이 짝수인 경우

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}} over {n} ``][eqn: = lim_n->inf 0 over n =0]

ⅱ) [eqn: n``]이 홀수인 경우

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{1} +a _{2} +a _{3} + CDOTS +a _{n}} over {n} ``][eqn: = lim_n->inf -1 over n =0]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: 0]으로 수렴한다.

따라서 극한값이 존재하는 것은 Ⅱ, Ⅲ이다.

[3점][1999년 수능]

	[ 보 기 ]
ㄱ. [eqn: a_n =n ``] ㄴ. [eqn: a_n = 1 over 2^n ``] ㄷ. [eqn: a_n = (-1)^n ``]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차함수 [eqn: f`(x)=3x ^{2}]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rm P(itn,```f`(n))]과 [eqn: rm Q`(itn+1,```f`(n+1))] 사이의 거리를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n}} over {n}]의 값은? (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

④

[eqn: a_n = root{ (n+1-n)^2 +left{3(n+1)^2 - 3n^2 right}}^2}`][eqn: = root{1+(6n+3)^2} ``]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n}} = lim _{n -> INF } {} {sqrt {1+(6n+3) ^{2}}} over {n} =6]

[4점][2005년 수능]

① [eqn: 9`]	② [eqn: 8`]	③ [eqn: 7`]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 5`]

수열 [eqn: left{a _n `right}`]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: n`＜`a _n `＜`n+1`]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {n ^2}_` over {a _1 +a _2 +` CDOTS `+a _n} `]의 값은?

②

[eqn: b_n = n , ~c_n = n+1]이라 하면

[eqn: sum_k=1^n b_k = n(n+1) over 2],

[eqn: sum_k=1^n c_k = {(n+1)(n+2)} over 2 - 1 = {n^2 +3n+1} over 2]이므로

[eqn: lim_n->inf n^2 over { sum_k=1^n b_k}= lim_n->inf n^2 over { sum_k=1^n c_k}][eqn: =2]

그런데 [eqn: sum_k=1^n b_k < sum_k=1^n a_k < sum_k=1^n c_k]이므로

[eqn: n^2 over { sum_k=1^n b_k}> n^2 over { sum_k=1^n a_k}> n^2 over { sum_k=1^n c_k}]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {sum _{k=1} ^{n} a _{k}} =2]

[3점][2006년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( n`cdot`a _{n} - {n ^{2} +1} over {2n+1} RIGHT ) =3]
일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {LEFT ( a _{n} ^{2} +2a _{n} +2 RIGHT )}]의 값은?

①

[eqn: SUM from n=1 to inf left(na_n - {n^2 +1} over 2n+1 right)=3]이므로

[eqn: lim from {n`→`inf} left(na_n - {n^2 +1} over 2n+1 right)=0]이다.

즉, [eqn: lim from {n`→`inf} n left(a_n - {n+ 1 over n} over 2n+1 right)=0]에서 [eqn: lim from {n`→`inf} n≠0]이므로

[eqn: lim from {n`→`inf} left(a_n - {n+ 1 over n} over 2n+1 right)=0]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( a _{n} - {n+ {1} over {n}} over {2n+1} RIGHT )} + lim _{n` -> ` INF } {{n+ {1} over {n}} over {2n+1}}] [eqn: = 0+ 1 over 2 = 1 over 2]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n` -> ` INF } {(a _{n} ^{2} +2a _{n} +2)}][eqn: = LEFT ( lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} RIGHT ) ^{2} +2 lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} +2]

[eqn: =left( 1 over 2 right)^2 +2× 1 over 2 +2= 13 over 4]

[4점][2013년 수능]

① [eqn: {13} over {4}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {11} over {4}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {4}]

첫째항이 [eqn: 1`]이고 공비가 [eqn: r`(r>1)`]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}`]에 대하여 [eqn: S_n =sum_k=1^n {a_k }]일 때, [eqn: lim_n->inf {a_n over S_n } = 3over4]이다. [eqn: r`]의 값을 구하시오.

[eqn: 4]

[출제의도] 등비수열의 극한을 구할 수 있는가?

첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: r`]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n} =r ^{n-1}]

또,

[eqn: S _{n} = {r ^{n} -1} over {r-1}]

그러므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {S _{n}}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {r ^{n-1}} over {{r ^{n} -1} over {r-1}}] [eqn: = lim _{n -> INF } {} {r ^{n} -r ^{n-1}} over {r ^{n} -1}] [eqn: = lim _{n -> INF } {} {r-1} over {r- LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) ^{n-1}}]
[eqn: = {r-1} over {r}] [eqn: =1- {1} over {r} = {3} over {4}]

[eqn: THEREFORE ~ {1} over {r} = {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE ~r=4]

[3점][2016년 수능]

수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^2 - (n+1) x + a_n]은 [eqn: x`]축과 만나고, 곡선 [eqn: y=x^2 -nx + a_n]은 [eqn: x`]축과 만나지 않는다. [eqn: lim_n->inf {a_n} over n^2]의 값은?

⑤

[출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가?

이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( n+1 RIGHT ) x+a _{n} =0]의 판별식을 [eqn: D _{1}]이라 하면

[eqn: D _{1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} -4a _{n} GEQ 0]에서

[eqn: a _{n} LEQ {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {4}]

또 이차방정식 [eqn: x ^{2} -nx+a _{n} =0]의 판별식을 [eqn: D _{2}]이라 하면

[eqn: D _{2} =n ^{2} -4a _{n} <0]에서

[eqn: a _{n} > {n ^{2}} over {4}]

즉 [eqn: {n ^{2}} over {4} <a _{n} LEQ {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {4}]

[eqn: {n ^{2}} over {4n ^{2}} < {a _{n}} over {n ^{2}} LEQ {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {4n ^{2}}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {4n ^{2}} < lim _{n -> } {} {a _{n}} over {n ^{2}} LEQ lim _{n -> INF } {} {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {4n ^{2}}]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {4n ^{2}} = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {4n ^{2}} = {1} over {4}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n ^{2}} = {1} over {4}]

[3점][2016년 수능]

① [eqn: 1over20]	② [eqn: 1over10]	③ [eqn: 3 over20]	④ [eqn: 1over5]	⑤ [eqn: 1over4]

순환소수로 이루어진 수열 [eqn: \{a_n \}`]의 각 항이

[eqn: a_1 `=`0 .dot 1^`]

[eqn: a_2`=`0.dot1^` dot 0^`]

[eqn: a_3`=`0.dot1^`0` dot 0^`]

[eqn: DOTSVERT]

[eqn: a_n`=`0.dot 1^` 0^` 0^` ``CDOTS`` 0 `dot 0^`]

0은 (n-1)개

□─□─□

[eqn: DOTSVERT]

일 때, [eqn: SUM from { n=1}^` to {`inf_`} ` LEFT( {` 1_`} over {a_n+1 } - {`1_` } over { a_n} RIGHT)`]의 값은?

②

[eqn: a_1 = 1over9`], [eqn: a_2 = 10over99`], [eqn: a_3 = 100over999`],  … 이므로

[eqn: 1over a_1 = 9`], [eqn: 1over a_2 = 99over10`], [eqn: 1over a_3 = 999over100`], …

따라서 [eqn: 1over a_2 - 1over a_1 = 9over10`], [eqn: 1over a_3 - 1over a_2 = 9over100`],  … ,

[eqn: 1over a_n+1 - 1over a_n = 9over 10^n`]이다.

∴[eqn: sum_n=1^inf ` left( 1over a_n+1 - 1over a_n`right) = {9over10}over{1- 1over10} = 1`]

[4점][2005년 9월]

① [eqn: {2_`} over {3^` }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: { 4_`} over {3^` }]	④ [eqn: { 5_`} over { 3^`}]	⑤ [eqn: 2]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 다항식 [eqn: f``(x`)=2^n x^2 +3^n x`+1]을
[eqn: x`-1], [eqn: x`-2]로 나눈 나머지를 각각 [eqn: a_n`,``b_n`]이라 할 때, [eqn: lim from { n`->` INF } `a_n over b_n]의 값은?

④

[eqn: f`(x)]를 [eqn: (x-1)]로 나눈 나머지는

[eqn: f`(1)=2^n +3^n +1 =a_n]

[eqn: f`(x)]를 [eqn: (x-2)]로 나눈 나머지는

[eqn: f`(2)=4․2^n +2․3^n +1 =b_n]

[eqn: lim from {n→inf} a_n over b_n =lim from {n→inf} {2^n +3^n +1} over {4․2^n +2․3^n +1}][eqn: =lim from {n→inf} {left(2 over 3 right)^n +1+1 left(1 over 3 right)^n} over {4․left(2 over 3 right)^n +2․1+ left(1 over 3 right)^n}][eqn: = 1 over 2]

[3점][2005년 6월]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1_`} over {4`}]	③ [eqn: {1_`} over {3`}]	④ [eqn: {1_`} over {2`}]	⑤ [eqn: 1]

수렴하는 무한수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]에 대하여
[eqn: a _{1} ``=`2`], [eqn: a _{n+1} ``=` {3n(2n+3)} over {(2n-1)(2n+1)} ``-`2`a _{n} ``]([eqn: `n=1], [eqn: 2], [eqn: 3],[eqn: cdots] )
이 성립할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} `a _{n} `=` alpha `]이다. [eqn: 30 alpha `]의 값을 구하시오.

15

[eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n+1} = lim _{n -> INF } {} ` LEFT { {3n(2n+3)} over {(2n-1)(2n+1)} -2a _{n} ` RIGHT }]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ` {3n(2n+3)} over {(2n-1)(2n+1)} - lim _{n -> INF } {} `2a _{n} `]

그런데 [eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n+1} = lim _{n -> INF } {} `a _{n} `]이므로

[eqn: alpha = {3} over {2} -2 alpha `]에서 [eqn: alpha = {1} over {2} `] ∴ [eqn: 30 alpha `=15`]

<다른풀이>

[eqn: a _{1} =2`], [eqn: a _{2} =1= {3} over {3} ``], [eqn: a _{3} = {4} over {5} `], [eqn: a _{4} = {5} over {7} `], [eqn: CDOTS]

이므로 [eqn: a _{n} = {n+1} over {2n-1} `]임을 알 수 있다.

따라서 [eqn: alpha = lim _{n -> INF } {} `a _{n} = lim _{n -> INF } {} ` {n+1} over {2n-1} = {1} over {2} ``]에서

[eqn: 30 alpha `=15`]이다.

[4점][2005년 7월]

좌표평면에서 직선 [eqn: x-3y+3 =0] 위에 있는 점 중에서
[eqn: x``]좌표와 [eqn: y``]좌표가 자연수인 모든 점의 좌표를 각각
[eqn: (a _1 ,```b _1 `),```(a _2 ,```b _2 `),`` CDOTS ,```(a _n` ,```b _n `), ``CDOTS]
이라 할 때, 무한급수 [eqn: sum from {n=1}^` to {`inf_`} {1_`} over {a _n ` b _n}^`]의 값은?
(단, [eqn: a_1 `＜`a_ 2 `＜`` CDOTS ``＜`a_ n `＜`` CDOTS] 이다.)

③

직선의 방정식은 [eqn: y= 1over3 x+ 1`]이므로 [eqn: x`]는 3의 배수이다.

[eqn: x=3n`]로 놓으면 [eqn: y=n+1`]이다. ([eqn: n=1,2,3, … `])

따라서 [eqn: a_n =3n`], [eqn: b_n =n+1`]이다.

[eqn: 1over {a_n b_n} = 1over {3n(n+1)} = 1over3 `left( 1over n - 1over n+1`right)`]이므로

[eqn: sum_n=1^inf` 1over{a_n b_n} = sum_n=1^inf`1over3 `left( 1over n - 1over n+1 right)`][eqn: = 1over3 lim_n→inf` left( 1- 1over n+1 right) = 1over3`]

[3점][2005년 9월]

① [eqn: 1]	②[eqn: {1} over {2}]	③[eqn: {1} over {3}]	④[eqn: {1} over {4}]	⑤[eqn: {1} over {5}]

다음 무한수열 중에서 수렴하지 않는 것은?

⑤

[해설] ① [eqn: 0]에 수렴한다.  ② [eqn: {1} over {2}]에 수렴한다.

③ [eqn: 0]에 수렴한다.  ④ [eqn: -1]에 수렴한다.

⑤ 수렴하지 않는다.

[3점][2006년 4월]

① [eqn: LEFT { LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2n} RIGHT }]	② [eqn: LEFT { {n} over {2n+1} RIGHT }]	③ [eqn: LEFT { {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} } over {n+1} RIGHT }]
④ [eqn: LEFT { {1- 3^n} over {1+ 3 ^{n}} RIGHT }]	⑤ [eqn: LEFT { {1} over {log _{2} (n+4)-log _{2} `n} RIGHT }]

정수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: 2 `^{a} times3 `^{b} = sum _{n=1} ^{INF }` {1} over {n(n+2)}]가 성립할 때,
[eqn: a ^{2} +b ^{2} `]의 값을 구하시오.

5

[eqn: 2 ^{a} TIMES `3 ^{b} = lim _{n` -> ` INF } {} ` sum _{k=1} ^{n} `` {1} over {2} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT )]

[eqn: =` lim _{n` -> ` INF } {``} {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: = {3} over {4} ```=`2 ^{-2} times 3 ^{1}]

∴ [eqn: a ^{2} +b ^{2} =5]

[3점][2006년 4월]

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 무한급수
[eqn: left ( a _{1} - {2} over {1 ^{2}} RIGHT ) + LEFT ( a _{2} - {2+4} over {3 ^{2}} RIGHT ) +cdots+ LEFT { a _{n} - {2+4+6+ CDOTS +2n} over {(2n-1)^2} ` RIGHT }+ CDOTS]
이 수렴할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]의 값은?

③

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` t_{n}]이 수렴하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } ``{t_n}=0]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { a _{n} - {2+4+6+ CDOTS +2n} over {(2n-1) ^{2}} RIGHT } =0]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} - {n ^{2} +n} over {4n ^{2} -4n+1} RIGHT ) =0]  ∴ [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} = {1} over {4}]

[4점][2006년 4월]

①  [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤  [eqn: 1]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {n ^{k}} LEFT { `` LEFT ( n+ {1} over {n} RIGHT ) ^{10} - {1} over {n ^{10}} RIGHT } `]이 수렴하기 위한 [eqn: k`]의 최소값을 구하시오.

10

[eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {n ^{k}} LEFT { LEFT ( n+ {1} over {n} RIGHT ) ^{10} - {1} over {n ^{10}} RIGHT } `][eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT { LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT ) ^{10} -1 RIGHT }} over {n ^{k+10}} `]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {LEFT { LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT ) ^{10} -1 RIGHT }} over {n ^{k+10}} `]가 수렴하기 위해서는 [eqn: k >= 10]

[eqn: ∴``]최소값은 [eqn: 10]

[3점][2006년 5월]

다음과 같이 무한히 나열된 수를 모두 더하면?

③

나열된 모든 수의 합은

[eqn: ```````(9+0.9+0.09+0.009+0.0009+`` {CDOTS } )# # +(0.9+0.09+0.009+0.0009+`` {CDOTS } )# # +(0.09+0.009+0.0009+`` {CDOTS } )# # +(0.009+0.0009+`` {CDOTS } )# # +`` {CDOTS }]

[eqn: =10+1+ {1} over {10} + {1} over {100} +```` CDOTS]

[eqn: = {10} over {1- {1} over {10}} = {100} over {9}]

(별해)

[eqn: S=9+2 TIMES 0.9+3 TIMES 0.09+4 TIMES 0.009+ CDOTS]  …①

[eqn: 0.1S=0.9 +2 TIMES 0.09+3 TIMES 0.009+ CDOTS]     …②

①[eqn: -]②에서

[eqn: 0.9S=9+0.9+0.09+0.009+ CDOTS] [eqn: ={ 9} over { 1-0.1}=10]

[eqn: ∴``S= { 100} over { 9}]

[4점][2006년 5월]

												[eqn: 9]
								[eqn: 0.9]								[eqn: 0.9]
						[eqn: 0.09]						[eqn: 0.09]								[eqn: 0.09]
			[eqn: 0.009]					[eqn: 0.009]							[eqn: 0.009]							[eqn: 0.009]
	[eqn: 0.0009]				[eqn: 0.0009]						[eqn: 0.0009]								[eqn: 0.0009]						[eqn: 0.0009]
		⋮										⋮														⋮

① [eqn: {98} over {9}]	② [eqn: 11]	③ [eqn: {100} over {9}]	④ [eqn: {101} over {9}]	⑤ [eqn: {34} over {3}]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 원점 [eqn: \O]와 점[eqn: (n,`` 0)]을 이은 선분을 밑변으로 하고, 높이가 [eqn: h_n`]인 삼각형의 넓이를 [eqn: a_n`]이라 하자. 수열 [eqn: left { a_n `right }]은 첫째항이 [eqn: {1_`}over {2`}]인 등비수열일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

⑤

[eqn: a_n = 1 over 2 n h_n] [eqn: cdots ㉠]

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1over 2 `]인 등비수열이므로 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a_n = 1 over 2 r^n-1][eqn: cdots ㉡]

ㄱ. 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n = 1over 2`]이면 ㉠에서

[eqn: 1over 2 = 1over 2 n h_n]

∴ [eqn: h_n = 1over n] (참)

ㄴ. [eqn: h_2 = 1over4]이면 ㉠과 ㉡에서 [eqn: a_2 = 1 over 2 cdot 2 cdot 1 over 4 = 1 over 2 cdot r]

∴ [eqn: r= 1over 2 `]

∴ [eqn: a_n = 1 over 2 left( 1over 2 right)^n-1 = left( 1 over 2 right)^n] (참)

ㄷ. [eqn: h_2 < 1over 2 `]이면 [eqn: a_2 = 1 over 2 cdot 2 cdot h_2 = 1 over 2 cdot r]에서

[eqn: 0<r= 2 h_2 <1`]이므로 [eqn: lim_n->inf n h_n = lim_n->inf r^n-1 = 0] (참)

([eqn: because`]㉠, ㉡에서 [eqn: nh_n = r^n-1])

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[4점][2006년 6월]

	<보 기>
ㄱ. 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n = {1_`} over {2`}]이면 [eqn: h_n = {1_`} over {n` }]이다. ㄴ. [eqn: h_2 = {1_`} over {4 ` }]이면 [eqn: a_n = left ( {{1_`} over {2`}} right )^n]이다. ㄷ. [eqn: h_2 ＜ {1_`} over {2`}]이면 [eqn: lim from { n -> inf }n`h_n =0] 이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { `a_n ` RIGHT }``]에 대하여 [eqn: S _{n} =sum_k=1^n a_k`]라 하자.
[eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{n}} over {n ^{2}} `= {1} over {2} ``]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {sum _{k=1} ^{n} (2+a _{k} )} over {sum _{k=1} ^{n} (2k+a _{k} )} ``]의 값은?

④

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } (2+a_k ) = 2n+S_n ``],

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } (2k+a_k ) = n(n+1)+ sum _{ k=1} ^{n } a_k = n^2 +n+S_n ``]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} {sum _{ k=1} ^{n } (2+a_k )} over {sum _{ k=1} ^{n } (2k+a_k )}``][eqn: = lim _{ n`->`inf} {2n +S_n} over {n^2 +n+S_n}``]

[eqn: = lim _{ n`->`inf} {2 over n + S_n over n^2 } over {1+ 1over n + S_n over n^2}``][eqn: = {0+ 1over2} over {1+ 0+ 1 over 2} = 1over 3`]

[3점][2007년 3월]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 1over 2``]	④ [eqn: 1over3``]	⑤ [eqn: 1over4``]

[eqn: 2007 ^{n}]을 [eqn: 5]로 나눈 나머지를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: 100 sum _{n=1} ^{INF } {a _{4n}} over {3 ^{n}}]의 값을 구하시오.

50

[eqn: 2007 ^{n}]을 [eqn: 5]로 나눈 나머지는 [eqn: 2007 ^{n}]의 일의 자리 수를

[eqn: 5]로 나눈 나머지와 같으므로

[eqn: 2007 ^{1}]을 [eqn: 5]로 나눈 나머지는 [eqn: 2]이고,

[eqn: 2007 ^{2}]을 [eqn: 5]로 나눈 나머지는 [eqn: 4]이고,

[eqn: 2007 ^{3}]을 [eqn: 5]로 나눈 나머지는 [eqn: 3]이고,

[eqn: 2007 ^{4}]을 [eqn: 5]로 나눈 나머지는 [eqn: 1]이다.

따라서 [eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{2} =`4], [eqn: a _{3} =`3,``a _{4} =`1]이고

이 네 개의 수가 순서대로 반복 된다.

따라서 [eqn: a _{4n} =] [eqn: a _{4cdot1} =`a _{4 CDOT 2} =a _{4 CDOT 3} =` CDOTS `=1]이므로

[eqn: 100 sum _{n=1} ^{INF } {a _{4n}} over {3 ^{n}} =100 sum _{n=1} ^{INF } {1} over {3 ^{n}} =100 ``LEFT ( {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} RIGHT ) `=`50]

[4점][2007년 4월]

수열의 극한 [eqn: lim _{n -> ` INF } {{r ^{n-1} `-r+2} over {r ^{n} `+1}} ```(r != -1)]에 대한 설명으로  옳은 것을 <보기>에서 모두 고르면?

④

[eqn: lim_{n->inf} { r^n-1 -r+2} over{ r^n +1} = CASES{ 1 OVER r ~~~`````~(`` |``r`` |>1) # ``1 ~`````~~~``(``r=1)_{}_{}_{}_{}# {}^{}^`````2-r~~(`` |``r`` |<1)]이다.

따라서 ㄴ, ㄷ이 참이다.

[4점][2007년 5월]

		보 기
ㄱ. [eqn: LEFT | ` r `RIGHT |` >1]일 때, 발산한다. ㄴ. [eqn: r=1]일 때, 극한값은 [eqn: 1]이다. ㄷ. [eqn: LEFT | ` r` RIGHT |`<1]일 때, 극한값은 [eqn: 2-r]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

다음 <보기> 의 무한급수 중 수렴하는 것을 모두 고르면?

②

ㄱ. [eqn: a_n = n over 2n-1]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} = {1} over {2} != 0]이므로 [eqn: sum_{n = 1 }^inf}^ {} `a _{n}]은 발산한다.

ㄴ. [eqn: a _{n} = {1} over {1+2+ CDOTS +n} = {1} over {{n(n+1)} over {2}} = {2} over {n(n+1)}]이고
[eqn: S_n = 2 sum_k=1 ^ n { left(1 over k - 1 over k+1 right)] [eqn: =2- {2} over {n+1}]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} ``S _{n} =2]로 수렴한다.

ㄷ.  [eqn: a_n = 1 over {left( sqrt{n+2 }- sqrtn right) }= { sqrt{n+2 }- sqrtn } over 2]이고
[eqn: S _{n} = {1} over {2} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( sqrt {k+2} - sqrt {k} RIGHT )]
[eqn: = 1 over 2 ( -1-sqrt2 + sqrtn+1 + sqrtn+2 )]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} ``S _{n}]은 발산하다.

[3점][2007년 5월]

		보 기
ㄱ. [eqn: 1+ {2} over {3} + {3} over {5} + {4} over {7} + `CDOTS `] ㄴ. [eqn: 1+ {1} over {1+2} + {1} over {1+2+3} + {1} over {1+2+3+4} +` CDOTS `] ㄷ. [eqn: {1} over {1+ sqrt {3}} + {1} over {sqrt {2} + sqrt {4}} + {1} over {sqrt {3} + sqrt {5}} + {1} over {sqrt {4} + sqrt {6}} +` CDOTS]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ,ㄷ

이차방정식 [eqn: 9x ^{2} -6x-1=0`]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta ``]라 할 때,

[eqn: {1} over {beta - alpha } sum _{n=1} ^{INF } (` beta `` ^{n} - alpha ` ^{n} )= {q} over {p}``]

이다. 이때, [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

11

[eqn: 9x^2 -6x -1=0``]의 두 근은 [eqn: x= {1+-root2}over3``]이고

[eqn: dmatrix{`alpha` } `＜`1], [eqn: dmatrix{` beta`}`＜`1``]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } alpha^n ,~ sum _{n=1} ^{INF } beta^n``]은 수렴한다.

근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha + beta = 2over3`,~alpha` beta =- 1over9``]이므로

[eqn: 1over{ beta- alpha}sum_n=1^inf ( beta^n - alpha^n )= 1over{ beta- alpha}left( beta over{1- beta} - alpha over{1- alpha} right)= 9over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=2+9=11]

[4점][2007년 10월]

두 무한수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(2n-1)a _{n} =`3}], [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(n ^{2} +3n+2)b _{n} =`2}]일 때,
[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {(2n+1) ^{3} a _{n} b _{n}}]의 값을 구하시오.

24

[eqn: (2n-1)a_n = c_n]이라 하면  [eqn: a_n = c_n over 2n-1],

[eqn: (n ^{2} +3n+2)b _{n} =d _{n}]라 하면 [eqn: b _{n} = {d _{n}} over {n ^{2} +3n+2}],[eqn: lim _{ n->inf} {c_n = 3 }], [eqn: lim _{n -> INF } {d _{n} =2}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {(2n+1) ^{3} a _{n} b _{n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{(2n+1) ^{3`}} over {(2n-1)(n ^{2} +3n+2)} `` lim _{n -> INF } {c _{n```}}} lim _{n -> INF } {d _{n}}]

[eqn: =4 TIMES 3 TIMES 2=24]

[4점][2008년 4월]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{S _{n}} over {a _{n}}}]의 값이 존재하는 것을 <보기>에서 모두 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: a_n = 2^n]이므로 [eqn: S_n = 2^n+1 - 2]이다.

[eqn: lim _{ n->inf} { S_n over a_n}= lim _{ n->inf} { {2^n+1 -2 }over 2^n}=lim _{ n->inf} left ( {2 - 1over 2^n-1}right) = 2]

ㄴ. [eqn: a_n = (-1)^n]이면

[eqn: S _{n} = {cases{n``이````짝수이면`````&````0#n``이````홀수이면`&-1}}] 이므로

수열 [eqn: LEFT { {S _{n}} over {a _{n}} RIGHT }]은 [eqn: 1]또는 [eqn: 0]으로 진동한다.

ㄷ. [eqn: S_n = 3^n -1]이므로 [eqn: a _{n} =2 CDOT 3 ^{n-1}]

[eqn: lim _{ n->inf} { S_n over a_n}= lim _{ n->inf} { {3^n -1 }over {2cdot 3^n-1}= lim _{ n->inf} { 1over2 left( 3 - 1over 3^n-1 right)} = 3over 2]

∴ㄱ, ㄷ의 경우에 [eqn: lim _{ n->inf} { S_n over a_n}]가 존재한다.

[3점][2008년 4월]

		보 기
ㄱ. [eqn: a _{n} =`2 ^{n}] ㄴ. [eqn: a _{n} =` LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}] ㄷ. [eqn: S _{n} =`3 ^{n} -1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: n>=2``]인 자연수 [eqn: n``]에 대하여 다항식 [eqn: (x+1)^n``]을 [eqn: x^2 -3x+2``]로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)``]라 할 때, [eqn: lim_n->inf``{R(0)} over {3^n + 2^n }]의 값은?

④

[eqn: (x+1)^n`=` (x-1) (x-2) Q(x) + ax+b``]러 하면

[eqn: R(x)`=` ax+b``]이다.

[eqn: x`=`1``]을 대입하면 [eqn: 2^n`=` a+b``]

[eqn: x`=`2``]을 대입하면 [eqn: 3^n`=` 2a+b``]

[eqn: ∴```a`=`3^n - 2^n``], [eqn: b`=` -3^n +2^n+1``]

[eqn: R(0)``=`-3^n + 2^n+1`]

[eqn: lim_n->inf``{-3^n + 2^n+1} over {3^n + 2^n} `=`-1``]

[4점][2008년 5월]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 1``]	③ [eqn: 0``]	④ [eqn: -1``]	⑤ [eqn: -2``]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x`]에 관한 이차방정식
[eqn: (4n ^2 -1)`x ^2 -4nx+1=0]의 두 근이 [eqn: alpha _n , ``` beta _n] ([eqn: alpha _n`` ＞ beta _n `])일 때,
[eqn: sum from n=1 to inf LEFT ( alpha _n - beta _n RIGHT ) `]의 값은?

①

[eqn: (4n^2 -1)x^2 -4nx+1=0]

[eqn: LEFT { (2n-1)x-1 RIGHT } LEFT { (2n+1)x-1 RIGHT } =0]

[eqn: x= { 1} over {2n-1}], [eqn: { 1} over {2n+1}]

[eqn: alpha _n > beta_n]이고 [eqn: n]이 자연수이므로

[eqn: alpha_n = { 1} over {2n-1 }], [eqn: beta _n = { 1} over {2n+1 }]

[eqn: THEREFORE~`` sum _{ n=1} ^{ inf}( alpha_n - beta_n )=sum _{ n=1} ^{ inf} LEFT ( { 1} over {2n-1 }- { 1} over {2n+1 }RIGHT )]

[eqn: =lim _{ n rarrowinf } { } LEFT { LEFT ( { 1} over {1 }- { 1} over { 3} RIGHT )+ LEFT ( { 1} over {3 }- { 1} over { 5} RIGHT )+ LEFT ( { 1} over {5 }- { 1} over { 7} RIGHT )][eqn: + CDOTS+ LEFT ( { 1} over {2n-1 }- { 1} over { 2n+1} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =lim _{ n rarrowinf } { } LEFT ( 1-{ 1} over {2n+1 } RIGHT )`=1]

<다른 풀이>

[eqn: (alpha_n - beta_n )^2` =` ( alpha_n + beta_n )^2`- 4 alpha_n beta_n``]

[eqn: alpha_n + beta_n`=` 4n over {4n^2 - 1}``], [eqn: alpha_n beta_n`=` 1 over {4n^2 - 1}]이므로

[eqn: (alpha_n - beta_n )^2`=` LEFT ( 4n over {4n^2 -1} RIGHT )^2 - 4 times 1over {4n^2 - 1}``][eqn: = LEFT ( 4 over {4n^2 - 1}`` RIGHT )^2``]

[eqn: alpha_n - beta_n`=` 2over {4n^2 -1}``] [eqn: (∵```alpha_n > beta_n``)``]

[eqn: = 2 over {(2n-1)(2n+1)}``][eqn: = 1over 2n-1 - 1 over 2n+1``]

[eqn: THEREFORE~`` sum _{ n=1} ^{ inf}( alpha_n - beta_n )=sum _{ n=1} ^{ inf} LEFT ( { 1} over {2n-1 }- { 1} over {2n+1 }RIGHT )]

[eqn: =lim _{ n rarrowinf } { } LEFT { LEFT ( { 1} over {1 }- { 1} over { 3} RIGHT )+ LEFT ( { 1} over {3 }- { 1} over { 5} RIGHT )+ LEFT ( { 1} over {5 }- { 1} over { 7} RIGHT )][eqn: + CDOTS+ LEFT ( { 1} over {2n-1 }- { 1} over { 2n+1} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =lim _{ n rarrowinf } { } LEFT ( 1-{ 1} over {2n+1 } RIGHT )`=1]

[3점][2008년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

자연수 [eqn: n]에 대하여 도형 [eqn: (n+1)|`x`|+`n`|`y`|`=1`]의 넓이를 [eqn: {S } _{n}`]이라고 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF }{ S} _{n}`]의 값은?

③

[eqn: (n+1) vert x vert +`n vert y vert =1]의

[eqn: x]절편은 [eqn: ± {1} over {n+1}] , [eqn: y]절편은 [eqn: ± {1} over {n}]

그러므로 [eqn: { S} _{n} = {2} over {n(n+1)}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } { S} _{n} = sum _{n=1} ^{INF } {2} over {n(n+1)} ``=``2]

[[eqn: 4`]점][2008년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]	④  [eqn: 5 over {2}]	⑤ [eqn: 3]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 이차함수 [eqn: f`(x)=sum_{k=1^`}^n_` left(x- {k_`} over {n} right)^2]의 최솟값을 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: lim_{n`→`inf} a_n over n]의 값은?

①

[eqn: f(x)=sum_k=1^n left( x - k over n right)^2][eqn: =sum_k=1^n left( x^2 - 2k over n x+ k^2 over n^2 right)]

[eqn: = nx^2 - 2 over n cdot n(n+1) over 2 x+ {n(n+1)(2n+1)} over 6n^2]

[eqn: =nx^2 - (n+1)x+ {(n+1)(2n+1)} over 6n]

[eqn: = n left( x - n+1 over 2n right)^2][eqn: + {(n+1)(2n+1)} over 6n - (n+1)^2 over 4n]

따라서 주어진 이차함수의 최솟값은

[eqn: a_n = {2(n+1)(2n+1)-3(n+1)^2 } over 12n][eqn: = {n^2 -1} over 12n]

∴ [eqn: lim_n->inf a_n over n = lim_n->inf {n^2 -1} over 12n^2 = 1over12]

[4점][2008년 9월]

① [eqn: {1_`}over{12}]	② [eqn: {1_`}over{6`}]	③ [eqn: {1_`}over{3`}]	④ [eqn: {1_`}over{2`}]	⑤ [eqn: 1]

수열 [eqn: LEFT { a` _{`n} RIGHT }`]이 [eqn: a` _{`1} `=`1`], [eqn: a` _{`n} `+`a` _{`n+1} `=`3`] ([eqn: n=1`,``2`,``3`,`` CDOTS `])을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

주어진 식을 이용하여 각 항을 차례로 나열하면

[eqn: 1`,``2`,``1`,``2`,``1`,``2`,`` CDOTS `]

ㄱ. [eqn: n`]이 홀수이면 [eqn: a _{n} `=`1`]이므로 [eqn: a _{11} =1]이다. (참)

ㄴ. [eqn: a` _{2n} `=2`]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{2n} =2]이다. (참)

ㄷ. [eqn: n`=`2`m`] ([eqn: m]은 자연수)일 때

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a` _{k}} `=` lim _{m -> INF } {{1} over {2m} sum _{k=1} ^{2m} a` _{k}} `=` lim _{m -> INF } {{3m} over {2m} `=` {3} over {2}}]

[eqn: n`=`2`m`-1`] ([eqn: m]은 자연수)일 때

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a` _{k}} `= lim _{m -> INF } {{1} over {2m-1} sum _{k=1} ^{2m-1} a` _{k}} `=` lim _{m -> INF } {{3m-2} over {2m-1} `=` {3} over {2}}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a` _{k}} `=` {3} over {2} `] (참)

[4점][2008년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a _{`11} =1] ㄴ. [eqn: lim _{n `-> ` INF }` a _{`2n} =2] ㄷ. [eqn: lim _{n` -> ` INF }{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} a _{`k} = {3} over {2}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{ (-1) ` ^{n-1} right}`]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S _{n}`]이라 할 때, <보기>의 수열 중 수렴하는 것만을 있는 대로 고른 것은?

⑤

[eqn: n=2m]일 때 [eqn: S _{n} =S _{2m} =0]

[eqn: n=2m-1]일 때 [eqn: S _{n} =S _{2m-1} =1]

ㄱ. [eqn: lim _{m -> INF } {S _{2m}} != lim _{m -> INF } {S _{2m-1}}]이므로 수열 [eqn: "{" S _{n}"}"]은 발산한다.

ㄴ. [eqn: lim _{m -> INF } {S _{2m}} over 2m = 0], [eqn: lim _{m -> INF } {S _{2m-1}} over 2m-1 = 0]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{n}} over {n} =0] (수렴)

ㄷ. [eqn: lim _{m -> INF } {S _1 +S_2 +cdots+S_2m} over {2m} = lim _{m -> INF } m over 2m = 1over2]이고,

[eqn: lim _{m -> INF } {S _1 +S_2 +cdots+S_2m-1} over {2m-1} = lim _{m -> INF } m over 2m-1 = 1over2]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {S _{1} +S _{2} +S _{3} + CDOTS +S _{n}} over {n} = 1over2] (수렴)

이상에서 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

[4점][2009년 3월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: left{ {S ` _{n}} right}] ㄴ. [eqn: left{ {S` _{n}} over n right}] ㄷ. [eqn: left{ {S`_1 +S`_2 +S`_3 + `cdots`+S`_n} over n right}]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: LEFT { sqrt {16 ^{n} +a ^{n}} ``-`4 ^{n} ` RIGHT } `]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 개수는?

④

[eqn: lim _{n -> INF } {} ( sqrt {16 ^{n} +a ^{n}} -4 ^{n} )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {a ^{n}} over {sqrt {16 ^{n} +a ^{n}} +4 ^{n}}][eqn: = lim _{n -> INF } {} { LEFT ( a over4 RIGHT ) ^{n}} over {sqrt {1 +LEFT ( a over16 RIGHT ) ^{n}} +1}]

(ⅰ) [eqn: 0<a<4]일 때 [eqn: 0]으로 수렴한다.

(ⅱ) [eqn: a=4]일 때 [eqn: 1over2]로 수렴한다.

(ⅲ) [eqn: a>4]일 때 발산한다.

따라서 구하는 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1,``2,``3,``4]의 [eqn: 4]개다.

[3점][2009년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``], [eqn: LEFT {` b _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여
[eqn: a _{n} +`b _{n} `=`2``+` {1} over {n}] [eqn: (`n`=`1,``2,``3,`․`․`․)`]
일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. [eqn: lim _{n` -> INF } {left(a _{n} +b _{n} right)}`=` lim _{n`-> INF } {left(2+ {1} over {n} right)}`=` 2] 이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{n`-> INF } {a _{n} `=` alpha }]라고 하면 [eqn: b _{n} =2+ {1} over {n} -a _{n}]에서

[eqn: lim _{n`-> INF } {b _{n} `=` lim _{n`-> INF } {left(2+ {1} over {n} -a _{n} right)`=`2- alpha }}]이다. (참)

ㄷ. [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} `=`0`]이므로 ㄴ에 의해

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `=`2`]이다.

따라서 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} `]은 발산한다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[4점][2009년 3월]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {(`a _{n}} `+`b _{n} )`=`2`] ㄴ. 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]이 수렴하면 수열 [eqn: LEFT {` b _{n} ` RIGHT } ``]도 수렴한다. ㄷ. [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `b _{n} `]도 수렴한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf b_n``]의 값은?

③

[eqn: lim_n->inf `` (a_n +b_n )=20] ,  [eqn: lim_n->inf `` (a_n -b_n )=10]

[eqn: c_n = a_n + b_n]	… ①	[eqn: ∴~lim_n->inf `` c_n =20]

[eqn: d_n = a_n - b_n]	… ②	[eqn: ∴~lim_n->inf `` d_n =10]

①-②를 하면 [eqn: c_n -d_n = 2b_n]

[eqn: ∴~lim_n->inf `` b_n `= lim_n->inf `` 1 over 2 (c_n -d_n )][eqn: = 1 over 2 (20-10)][eqn: = 5]

[3점][2009년 6월]

(가) [eqn: 20- 1 over n <a_n +b_n < 20+ 1 over n]

(나) [eqn: 10- 1 over n <a_n -b_n < 10+ 1 over n]

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① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a_n =log{n+1 over n}``]일 때, [eqn: lim_n->inf n over {10^{a_1 +a_2 +cdots+a_n }}``]의 값은?

①

[eqn: a_n =log{n+1 over n} = log(n+1) -log``n]

[eqn: a_1 +a_2 +`` cdots ``+ a_n]

[eqn: = left{ (log``2 - log``1 )+(log``3-log``2)+``cdots``+ (log(n+1) -log``n right}]

[eqn: =log`(n+1)]

[eqn: lim_n->inf n over {10^{a_1 +a_2 +cdots+a_n }} = lim_n->inf n over {10^{log(n+1)}}][eqn: = lim_n->inf n over n+1][eqn: =1]

[3점][2009년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: a _{1} =1]이고, 자연수 [eqn: n``]에 대하여
[eqn: a_n `a_n+1 = left(1 over 5 right)^n]
이다. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} ``]의 값은?

③

[eqn: a_n cdota_n+1 = left( 1 over 5 right )^n ~~~~~~~~cdots ①]
[eqn: a_n+1 cdot a_n+2 = left( 1 over 5 right )^n+1 ~~~cdots ②]
[eqn: ② div①] : [eqn: a_n over a_n+2 = 1 over 5]은 짝수 번째 항의 공비를 의미한다.
①에 [eqn: n = 1]을 대입하면 [eqn: a_1 cdot a_2 = 1 over 5]이므로 [eqn: a_2 = 1 over 5]이다.[eqn: (because~ a_1 = 1)]
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =a _{2} +a _{4} +a _{6} + CDOTS CDOTS = {1} over {5} + LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3} + CDOTS]	[eqn: = { 1 over 5 } over {1- 1 over 5 } = 1 over 4]
(다른 풀이)
축차대입법에 의하여
[eqn: n = 1,~2,~3,~CDOTS] 대입하여 나열하면
[eqn: 1,~ {1} over {5} ,~ {1} over {5} ,~ LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} ,``` LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} ,``` LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3} ,~ LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{3} ,``` CDOTS]
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{2n} =a _{2} +a _{4} +a _{6} + CDOTS CDOTS]은 공비가 [eqn: 1 over 5]인 무한등비급수이므로
[eqn: = { 1 over 5 } over {1- 1 over 5 } = 1 over 4]

[4점][2009년 6월]

① [eqn: 1over 6]	② [eqn: 1over 5]	③ [eqn: 1over 4]	④ [eqn: 1over 3]	⑤ [eqn: 1over 2]

첫째항과 공차가 같은 등차수열 [eqn: left{ a_n` right}]에 대하여 [eqn: S_n =SUM from { {k}=1} to n `a_k`]라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a_1`>`0`])

⑤

[eqn: a_n = an](단, [eqn: a]는 첫째항이고 양수)

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}= a times{n(n+1)}over2]

ㄱ. 수열 [eqn: lim _{n` -> INF } {S_n} = inf] 이므로 거짓

ㄴ. 무한급수 [eqn: sum _{k=1} ^{inf} 1overS_n}=][eqn: sum _{k=1} ^{INF } {2} over {a} ( 1overn - 1 overn+1 )]이므로

[eqn: lim _{n` -> INF } {2overa LEFT { (1- 1over2 )+ ( 1over2 - 1 over3 )+ cdots+( 1overn - 1 overn+1 ) RIGHT } }= 2overa]

따라서 수렴하므로 참.

ㄷ. [eqn: sqrtS_n+1 -sqrtS_n = {S_n+1 - S_n }over {sqrtS_n+1 +sqrtS_ n }]

[eqn: = a(n+1) over {sqrt {{a over2}(n+1)(n+2)} +sqrt {{a over2}(n)(n+1)}]

[eqn: = {a(n+1)} over {sqrt {{a} over {2} (n+1)(n+2)} + sqrt {{a} over {2} (n)(n+1)}}]

[eqn: THEREFORE ` inf overinf]꼴이므로 분모 분자를 최고차항 [eqn: n]으로 나누어 정리하면 주어진 식은 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a} over {sqrt {2a}} = {sqrt {2a}} over {2}]이므로 존재한다. 따라서 참.

[3점][2009년 9월]

[보 기]

ㄱ. 수열 [eqn: left{S_n` right}]이 수렴한다.

ㄴ. 무한급수 [eqn: SUM from { {n}=1} to inf 1over S_n`]이 수렴한다.

ㄷ. [eqn: lim from { n`` ->``inf } LEFT ( sqrt{S_n+1}-sqrt{S_n}` RIGHT )]이 존재한다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

공차가 [eqn: 0]이 아닌 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]은 [eqn: b _{n} =a _{3n-2} +2a _{3n-1} +a _{3n}]이다. [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} =A _{n} `], [eqn: sum _{k=1} ^{n} b _{k} =B _{n} `]일 때 [eqn: lim _{n -> `INF } {{B _{n}} over {A _{n}} `}]의 값을 구하시오.

[eqn: 12``]

[eqn: a _{n} `=`an+b]라 하면,

[eqn: b _{n} =a _{3n-2} +2a _{3n-1} +a _{3n}]

[eqn: =4a_3n-1`=`12an-4a+4b]

[eqn: A_n`=` {an(n+1) } over { 2}+bn]

[eqn: B_n`=` {12an(n+1) } over { 2}-(4a-4b)n]

[eqn: lim _{n -> INF } {{B _{n}} over {A _{n}} `}`=`12]

[3점][2009년 7월]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]이 [eqn: a _{`1} `=`2`], [eqn: a _{`2} `=`3`],

[eqn: log _{`2} `a _{`n} `+`log _{`2} `a _{`n+1} `+`log _{`2}`a _{`n+2} `=`1``] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS `])

을 만족시킬 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

로그의 성질에 의해 [eqn: a_{n}a_{n+1}a_{n+2}`=`2``]이므로 수열[eqn: LEFT { a_{n} RIGHT }`]은 [eqn: 2`,``3`,`` {1} over {3}]이 반복되어 나타난다.

ㄱ. [eqn: 6`=`3`times`2``]이므로 [eqn: a_{6}`=`{1}over{3}`](참)

ㄴ. [eqn: S_{10}`=`{16`times4`-`10}over{3}`=`18``](참)

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} { }{1}over{n}`S_{3n}`=`{16}over{3}``]이다. (참)

[4점][2009년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: a _{`6`} `=` 1 over 3`] ㄴ. [eqn: sum _{k`=`1} ^{10} `a_{`k} `=`18`] ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf}` { } 1 over n sum _{ k=1} ^{3n } a _{`k} = 16 over 3``]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

이차함수 [eqn: f`(`x)=2`x ^{`2} -`2`n`x``+ {1} over {2} n ^{2} +`6`n``+1] ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 [eqn: {rm P}_{n} (` x_{`n} `,````y_{`n} `)`]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {}` {y_{`n}} over {x_{`n}}`]의 값을 구하시오.

12

[eqn: f(`x)=2`x ^{2} -2`n`x+ {1} over {2} n ^{2} +6`n+1`=2 `left(x- {n} over {2} right) ^{2} +6`n+1]

∴ [eqn: {rmP}_n ` left ( n over2 `,``6`n+1 `right) `]

따라서 [eqn: x_{`n} = n over2 `,```` y_{`n} = 6`n+1]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } ` {y_{`n} } over {x_{n} } `=` lim _{n -> INF } {{6`n+1} over { {n} over {2}} `=12]

[3점][2010년 3월]

수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} `RIGHT }]을 다음과 같이 정의한다.

(가) [eqn: a _{`1} =2]

(나) [eqn: a` _{`n+1} =`]([eqn: {a _{`n}^{````2} +a_{`n}]을 [eqn: 5`]로 나눈 나머지) ([eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {a _{`n}} over {3 ^{`n}}` = q over p `]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

15

수열 [eqn: LEFT {a _{`n} RIGHT } `]은 [eqn: 2`,``1`,``2`,``1`,``2`,``1`,`` CDOTS]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {a _{`n}} over {3 ^{`n}} `= LEFT ( {2} over {3} + {2} over {3 ^{`3}} + {2} over {3 ^{`5}} +` CDOTS `` RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3 ^{`2}} + {1} over {3 ^{`4}} + {1} over {3 ^{`6}} +` CDOTS`` RIGHT )]

[eqn: = {{2} over {3}} over {1- {1} over {9}} ``+` {{1} over {9}} over {1- {1} over {9}}][eqn: = {3} over {4} `+` {1} over {8} `= {7} over {8}]

∴ [eqn: p+q=8+7=15]

[4점][2010년 3월]

수열 [eqn: LEFT { `a_n` RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{ n=1} ^{inf } ` LEFT ( a_n - {1^3 + 2^3 + 3^3 +`cdots`+n^3} over n^4 RIGHT )]이 수렴할 때, [eqn: lim _{ n`->`inf}{`a_n}]의 값은?

①

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } ` LEFT ( a_n - {1^3 + 2^3 + 3^3 +`cdots`+n^3} over n^4 RIGHT )]이 수렴하므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} { LEFT ( a_n - {1^3 + 2^3 + 3^3 +`cdots`+n^3} over n^4 RIGHT )} =0]이다.

따라서, [eqn: lim _{ n`->`inf}{`a_n}][eqn: = lim _{ n`->`inf} {` {1^3 + 2^3 + 3^3 +`cdots`+n^3} over n^4 }][eqn: = lim _{ n`->`inf} {` {LEFT { {n(n+1)} over 2 RIGHT }^2 }over n^4}]
[eqn: = lim _{ n`->`inf} {` { n^2 (n+1)^2 }over 4n^4}][eqn: = 1 over 4]

[3점][2010년 4월]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over 4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5 over 4]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 대각선의 길이가 [eqn: a _{n}]인 정사각형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} = {q} over {p}]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

④

대각선의 길이가 [eqn: a`]인 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: a overroot2 `]이고 정사각형의 넓이는 [eqn: 1 over2 a^2]이다.

이때, [eqn: a_1 =1,~a_2 = 1over 3 ,~a_3 = left( 1 over3 right)^2 ,~cdots``]이므로

[eqn: sum_n=1 ^inf S_n = 1 over2 left{ 1^2 + left( 1 over3 right)^2 + left( 1 over3 right)^4 + cdots right}]

[eqn: = 1 over2 cdot 1 over{1- 1 over9 }= 9 over16 = q overp `]이다.

따라서, [eqn: p=16,~q=9`]이므로 [eqn: p+q=25]이다.

[4점][2010년 4월]

① [eqn: 22]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 26]

연립부등식 [eqn: cases{ LEFT | `x`RIGHT | + 2 LEFT | `y`RIGHT |le 4 # 2^n (`y-x`)+y ge 1 }`]의 해 [eqn: (`x,````y`)`]가 나타내는 영역의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf}`S_n`]의 값은?(단, [eqn: n`]은 자연수이다.)

①

[eqn: 2^n`(`y-x`)+y=1`]을 [eqn: y`]에 관하여 정리하면,

[eqn: y= 2^n over {2^n +1}`x+ 1over {2^n +1}`]이고 [eqn: lim _{ n->inf}` 2^n over {2^n +1} =1,`]

[eqn: lim _{ n->inf}` 1over {2^n +1}=0`]이므로 아래 그림과 같이 [eqn: lim _{ n->inf}`S_n`]은 연립부등식 [eqn: cases{ ``LEFT | `x`RIGHT |+2 LEFT | `y`RIGHT | le 4 #`` y ge x }`]의 영역과 같다.

따라서, [eqn: lim _{ n->inf}`S_n = 16 TIMES 1over2 =8`]이다.

[4점][2010년 4월]

① [eqn: 8`]	② [eqn: 10`]	③ [eqn: 12`]

④ [eqn: 14`]	⑤ [eqn: 16`]

수렴하는 무한수열만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

⑤

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} { } left( - 1 over2 right)^n = 0] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{ n->inf} { } { 5^n+1 -3^n } over {5^n +4^n }= lim _{ n->inf} { } { 5- left( 3 over 5 right)^n } over {1+ left( 4 over 5 right)^n } =5] (참)

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} { }{root{n^2 +n } -n } over n = lim _{ n->inf} { }{1 } over {root{n^2 +n } +n } = 0] (참)

[4점][2010년 4월]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

[보 기]

ㄱ. [eqn: left{ left( - 1 over 2 right)^n right}]  ㄴ. [eqn: left{ { 5^n+1 -3^n } over {5^n +4^n } right}]  ㄷ. [eqn: left{ {root{n^2 +n } -n } over { n } right}]

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

동심원 [eqn: A _{1} `,```A _{2`} ,``` CDOTS ``,```A _{n`} ,``` CDOTS `]의 반지름의 길이를 각각  [eqn: r _{`1} `,```r _{2`} ,```` CDOTS ``,```r _{n`} ,``` CDOTS `]이라 하고, 그 넓이를 각각
[eqn: S _{1} ,```S _{2} ,````` CDOTS ``,```S _{n} ,``` CDOTS `]이라 할 때, [eqn: S _{n+1} =2S _{n}] ([eqn: n=1`,```2`,``` CDOTS `])이 성립한다. [eqn: r _{1} =1]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {r _{n}} `]의 값은?

②

[eqn: S` _{n} =` pi ``r _{n} ^{2} ``], [eqn: S _{n+1} =`2S _{n`} ``]이므로

[eqn: pi ```r _{n+1} ^{```````````````````2} ````=``2` pi ``r _{n} ^{```2}], [eqn: r _{n+1} `= sqrt {2} `r _{n`} `]

[eqn: r _{1} `=`1``]이므로 [eqn: r _{n} `=`( sqrt {2} ) ^{n-1}]

[eqn: therefore`````][eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {r _{n}} `=` sum _{n=1} ^{INF } left( {1} over {sqrt {2}} right ) ^{n-1} = {1} over {1- {1} over {sqrt {2}}} `]

[eqn: ``=``2+ sqrt {2}]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: 1+ sqrt {2}]	② [eqn: 2+ sqrt {2}]	③ [eqn: 1+2 sqrt {2}]

④ [eqn: 2+2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 1+3 sqrt {2}]

임의의 자연수 [eqn: p`,```q`,```r`]에 대하여,
수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }`]은 [eqn: a _{1} =10`], [eqn: a _{p} +a _{q} +a _{r} =a _{p+q+r}`]를 만족하고,
수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }`]은 [eqn: b _{1} = {3} over {5}`], [eqn: b _{p} `b _{q} =`b _{p+q}`]를 만족한다.
이 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` {a _{n} `b _{n}} over {n} `]의 값을 구하시오.

15

[eqn: p=q=1``], [eqn: r=n``]이면 [eqn: 2a _{1} +a _{n} =a _{n+2} ``]이므로

[eqn: a _{n+2} =a _{n} +20]

[eqn: p=q=r=1``]이면 [eqn: a _{3} =30]

[eqn: p=q=2`,``r=1``]이면 [eqn: a _{5} =2a _{2} +a _{1} ``]이고,

[eqn: a _{5} =a _{3} +2a _{1} ``,```a _{5} =50```]이므로 [eqn: a _{2} =20]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]은 공차가 [eqn: 10``]인 등차수열이다.

[eqn: a _{n} =10`n``] …①

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에서 [eqn: p=1```]을 대입하여 정리하면

[eqn: b _{n} = {3} over {5} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n-1`} = LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}]…②

①, ②에 의하여

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} `b _{n}} over {n} ``=` sum _{n=1} ^{INF } {10`n` TIMES `( {3} over {5} ) ^{n}} over {n} `][eqn: `=`10 sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n} =`15]

[[eqn: 4`]점][2010년 7월]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 무한급수
[eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( a _{n} - {3n} over {n+1} RIGHT )]과 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT )]
이 모두 수렴할 때, [eqn: lim _{n->inf} {{3-b _{n}} over {a _{n}}}]의 값은? (단, [eqn: a _{n} !=0])

②

[eqn: SUM from n=1 to inf ( a_n - 3n over n+1 )], [eqn: sum from n=1 to inf (a_n + b_n )]

이 수렴하므로

[eqn: lim _{ n->inf} ( a_n - 3n over n+1 ) = lim _{ n->inf} (a_n - 3 )=0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} { } a_n = 3]

[eqn: lim _{ n->inf} (a_n + b_n ) = 3+ lim _{ n->inf} b_n = 0]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} b_n = -3]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ n->inf} {}3-b_n over {a_n} = 3-(-3) over 3 = 2]

[3점][2010년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

자연수 [eqn: n``]에 대하여,

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} k(`k+1`)], [eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n} (`n+k`)(`n+k+1`)]

일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{T _{n}} over {S _{n}}} `]의 값을 구하시오.

7

[eqn: S _{n} & = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( k ^{2} +k` RIGHT ) = {n(n+1)(n+2)} over {3}]

[eqn: T _{n} & = sum _{k=1} ^{n} LEFT { k ^{2} +(2n+1)k+n ^{2} +n RIGHT }][eqn: = {n(n+1)(7n+2)} over {3}]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {{T _{n}} over {S _{n}}} = 7]

[4점][2010년 10월]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(n)= {1^{`2} +2^{`2} +3^{`2} +` CDOTS `+n^{`2}} over {3+5+7+` CDOTS `+(2n+1)}`]일 때,
[eqn: lim _{n`` -> `` INF } { f(n)over n }`]의 값은?

②

[eqn: f(n)= {{n(n+1)(2n+1)} over {6}} over {n ^{2} +2n} ``= {2n ^{`2} +3n+1} over {6n+12}]

따라서 [eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{f(n)} over {n}} `` = lim _{n`` -> `` INF } {{2n ^{`2} +3n+1} over {6n^{`2}+12n}}][eqn: = 1 over 3]

[3점][2011년 4월]

①  [eqn: 1 over 4]	②  [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 5 over 12]

④  [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 7 over 12]

수열 [eqn: left{`a`_n` right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n<` a`_n <n+1`]을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf 1overn^2 sum_k=1^n a`_k`]의 값은?

①

[eqn: n< a_n <n+1`]에서

[eqn: sum_k=1^n k < sum_k=1^n a_k <sum_k=1^n (k+1)]이므로

[eqn: n(n+1)over2 < sum_k=1^n a_k < n(n+3)over2`]

[eqn: n(n+1)over2n^2 < 1overn^2 sum_k=1^n a_k < n(n+3)over2n^2`]

[eqn: lim_n->inf n(n+1)over2n^2 =lim_n->inf n(n+3)over2n^2`= 1over2`]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_n->inf 1overn^2 sum_k=1^n a_k`= 1over2]

[3점][2012년 3월]

① [eqn: 1over2`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2} `]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2} `]

좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 네 직선 [eqn: x=1`], [eqn: x=n+1`], [eqn: y=x`], [eqn: y=2x`]로 둘러싸인 사각형의 넓이를 [eqn: S ` _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S ` _{n}} `]의 값은?

③

네 직선 [eqn: x=1`], [eqn: x=n+1], [eqn: y=x`], [eqn: y=2x`]로 둘러싸인 사각형은 그림과 같이 평행한 두 변의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: (n+1)`]이고, 높이가 [eqn: n`]인 사다리꼴이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: S _{n} = {n(n+2) over {2} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {S _{n}} `= sum _{n=1} ^{INF } {2} over {n(n+2)}]

[eqn: = lim _{ n->inf} { } sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT ) }] [eqn: = lim _{n`-> INF } left({1+ {1} over {2} - {1} over {n+1}} - {1} over {n+2}right)]

[eqn: = 3over2]

[4점][2012년 3월]

① [eqn: {1} over {2} `]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: {5} over {2} `]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값은?

①

(가)에서 [eqn: {3n ^{2} +1} over {n(n+1)} <a _{n}]이고

(나)에서 [eqn: a _{n} <3- {1} over {2} b _{n}]이므로

[eqn: {3n ^{2} +1} over {n(n+1)} <a _{n} <3- {b _{n}} over {2}]이다.

한편, [eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} +1} over {n(n+1)}} le lim _{n -> INF } {a _{n}} LEQ lim _{n -> INF } {LEFT. LEFT ( 3- {b _{n}} over {2} RIGHT . RIGHT )}]이고

(다)에서 [eqn: lim _{n-> INF } {b _{n} =0}]이므로

[eqn: 3 le lim _{n -> INF } {a _{n}} le3]이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =3]

[3점][2012년 4월]

(가) [eqn: 3n ^{2} +1<(`2+4+6+` CDOTS `+2n)a _{n}]

(나) [eqn: b _{n} <6-2a _{n}]

(다) 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}]이 수렴한다.

①  [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

첫째항이 [eqn: 10]인 수열 [eqn: left{`a _{n} ` right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n} <a _{n+1}],  [eqn: sum _{k=1} ^{n}(a_{k+1} - a_k )^2 = 2 left( 1- 1 over 9^n right)]
을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n->inf} `{a_n }]의 값을 구하시오.

12

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( a _{k+1} -a _{k} RIGHT ) ^{2} =2 LEFT ( 1- {1} over {9 ^{n}} RIGHT )]에서

[eqn: (a _{n+1} -a _{n} ) ^{2} = sum _{k=1} ^{n} (a _{k+1} -a _{k} ) ^{2} - sum _{k=1} ^{n-1} (a _{k+1} -a _{k} ) ^{2}]

[eqn: =2 LEFT ( 1- {1} over {9 ^{n}} RIGHT ) -2 LEFT ( 1- {1} over {9 ^{n-1}} RIGHT )]

[eqn: = {16} over {9 ^{n}}][eqn: (n` GEQ 2)]

이때, [eqn: n=1]이면

[eqn: (a _{2} -a _{1} ) ^{2} =2(1- {1} over {9} )= {16} over {9}] 이므로

[eqn: (a _{n+1} -a _{n} ) ^{2} = {16} over {9 ^{n}}] ([eqn: n GEQ 1])

한편, [eqn: a _{n+1} >a _{n}]이므로

[eqn: a _{n+1} -a _{n} = {4} over {3 ^{n}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n+1} =a _{n} + {4} over {3 ^{n}}]

이때,  [eqn: a _{1} =10]이므로

[eqn: a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} {4} over {3 ^{k}}]

[eqn: =10+ {{4} over {3} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }} over {1- {1} over {3}}]

[eqn: =10+2 LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]([eqn: n GEQ 2])

따라서,  [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =12]

[4점][2012년 9월]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값은?

④

(가)에서 [eqn: {6 LEFT ( 2n ^{3} +3 RIGHT )} over {n(n+1)(2n+1)} <a _{n} <2b _{n}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{6 LEFT ( 2n ^{3} +3 RIGHT )} over {n(n+1)(2n+1)}} =6]이고,
(나)에서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}}=3], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {2b _{n}} =6]이므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}} =6]

[3점][2013년 4월]

(가) [eqn: {2n ^{3} +3} over {1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS `+n ^{2}} <a _{n} <2b _{n}] [eqn: LEFT ( n=1,`2,`3,`cdots RIGHT )]

(나) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (b _{n} -3)=2]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { `a _{n`} RIGHT }]은 다음 두 조건을 만족시킨다. 이때 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `a _{n}`]의 값은?

⑤

[eqn: f(x)=a _{n} x ^{2} `+a _{n} `x`+2``]라고 하면 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-n]으로 나눈 나머지는

[eqn: f(n) `=` a _{n} n ^{2} +a _{n} `n+2=`20]

[eqn: a _{n} = {18} over {n(n+1)} `=`18 left( {1} over {n} - {1} over {n+1} right)]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ``=`` sum _{n=1} ^{INF } 18 left(` {1} over {n} `-` {1} over {n+1} `right)]

[eqn: =18 lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: =18]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

	(가) [eqn: a _{n} !=0] (나) [eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: a _{n} `x ^{2} +a _{n} `x+2`]를 [eqn: x`-`n`]으로 나눈 나머지가 [eqn: 20`]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

두 열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

③

조건 (가)에서 양변을 [eqn: 4^n`]으로 나누면

[eqn: 1< {a _{n}} over {4 ^{n}} <1+ {1} over {4 ^{n}} `]

[eqn: lim _{n -> INF } {``1}][eqn: = lim _{n -> INF } {` LEFT ( 1+ {1} over {4 ^{n}} RIGHT ) `} =1`]이므로

[eqn: lim_n->inf a_n over4^n =1] … ㉠

조건 (나)에서

[eqn: 2+2^2 +2^3 +`cdots`+2^n = {2(2^n -1)}over2-1]

[eqn: = 2^n+1 -2]

[eqn: 2^n+1 -2 < b_n < 2^n+1`]에서 양면을 [eqn: 2^n `]으로 나누면

[eqn: 2- 2over2^n < b_n over2^n < 2]

[eqn: lim _{n -> INF } {` LEFT ( 2- {2} over {2 ^{n}} RIGHT )} `][eqn: = lim _{n -> INF } {`2`} =2`]이므로

[eqn: lim_n->inf b_n over2^n =2] … ㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: lim_n->inf {4`a_n +b_n}over{2`a_n + 2^n `b_n}]  [eqn: =lim_n->inf {{4`a_n +b_n}over4^n }over{{2a_n + 2^n ` b_n}over4^n}}]

[eqn: =lim_n->inf {4times a_n over4^n + b_n over2^n times 1over2^n}over{2times a_n over4^n + b^n over2^n}] [eqn: = 4 over2+2 =1]

(가) [eqn: 4 ^{n} <a _{n} <4 ^{n} +1]

(나) [eqn: 2+2 ^{2} +2 ^{3} +` CDOTS `+`2 ^{n} <b _{n} <2 ^{n+1} `]

[eqn: lim _{n` -> ` INF `} {{4a _{n} +b _{n}} over {2a _{n} +2 ^{n} b _{n}}} `]의 값은?

[4점][2014년 3월]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 4`]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: 1+ 2+2 ^{2} +` CDOTS `+`2 ^{n-1} <a _{n} <2 ^{n} `]
[eqn: 3n-1 over n+1 <sum_k=1 ^n b_k < 3n+1 over n]
을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF `} {} { 8^n -1 } over {4 ^{n-1} a _{n} +8^n+1 b_n } `]의 값은?

③

[eqn: 1+2+2 ^{2} +` CDOTS `+`2 ^{n-1} <`a _{n} <2 ^{n} `]에서

[eqn: {1 TIMES (2 ^{n} -1)} over {2-1} <`a _{n} <2 ^{n}]

[eqn: 2 ^{n} -1<`a _{n} <`2 ^{n}]

[eqn: 1- 1 over 2^n < {a _{n}} over {2 ^{n}} <1]

[eqn: lim _n->inf left(1 - 1over2 ^n right) =1`], [eqn: lim_n->inf 1 = 1]이므로

[eqn: lim _n->inf{a_n} over 2^n = 1]

[eqn: 3n-1 over n+1 <sum_k=1 ^n b_k < 3n+1 over n]에서

[eqn: lim_n->inf 3n-1 over n+1 =3], [eqn: lim_n->inf 3n+1 over n =3`]이므로

[eqn: lim _n->inf sum_k=1 ^n b_k = 3]

∴ [eqn: lim _n->inf b_n = 0]

[eqn: lim _{n` -> ` INF `} {} {8 ^{n} -1} over {4 ^{n-1} a _{n} +8 ^{n+1} b _{n}} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF `} {} { 1 - 1over 8^n } over {1 over 4 times a_n over 2^n + 8times b_n } `][eqn: = {1-0} over {{1} over {4} times 1 + 8 times0}][eqn: =4]

[3점][2014년 3월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 16`]

첫째항이 [eqn: 1`]이고 공차가 [eqn: 6`]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여
[eqn: S _{n} =`a _{1} +a _{2} +a _{3} +` CDOTS `+a _{n}]
[eqn: T _{n} =`-a _{1} +a _{2} -a _{3} +` CDOTS `+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} a _{n}]
이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{2n} T _{2n}} over {S _{2n}}} `]의 값을 구하시오.

6

수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]의 일반항은 [eqn: a _{n} =1+(n-1) TIMES 6`][eqn: =6n-5`]이다.

∴ [eqn: a _{2n} =12n-5`]

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k} `][eqn: = sum _{k=1} ^{n} (6k-5)`][eqn: =6 sum _{k=1} ^{n} k-5n`][eqn: =6 TIMES {n(n+1)} over {2} -5n`]

[eqn: =3n ^{2} -2n`]

∴ [eqn: S _{2n} =3 TIMES (2n) ^{2} -2 TIMES (2n)`][eqn: =12n ^{2} -4n`]

[eqn: a _{n+1} -a _{n} =6`] ([eqn: n` GEQ `1])이므로

[eqn: T _{2n} =-a _{1} +a _{2} -a _{3} +` CDOTS `+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2n} a _{2n}]

[eqn: = LEFT ( -a _{1} +a _{2} RIGHT ) + LEFT ( -a _{3} +a _{4} RIGHT ) +`cdots`+ LEFT ( -a _{2n-1} +a _{2n} RIGHT )]

[eqn: =6+6+` CDOTS `+6]

[eqn: =6n]

∴[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{2n} T _{2n}} over {S _{2n}}} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT ( 12n-5 RIGHT ) ` TIMES `6n} over {12n ^{2} -4n} `}][eqn: = lim _{n -> INF } {{36n-15} over {6n-2} ``}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{36- {15} over {n}} over {6- {2} over {n}}}][eqn: = {36} over {6} =6]

[4점][2014년 3월]

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: 3 ^{n`} CDOT `5 ^{n+1`} ``]의 모든 양의 약수의 개수를 [eqn: a _{n`} ``]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}} ``]의 값은?

①

[eqn: 3 ^{n`} CDOT `5 ^{n+1`} ``]의 모든 양의 약수의 개수는 [eqn: a _{n`} ``= LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT ) ``]이다.

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {a _{n}} =` sum _{n=1} ^{INF } {1} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT { {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT }]

[eqn: = lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { {1} over {k+1} - {1} over {k+2} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT { {1} over {2} - {1} over {n+2} RIGHT }}] [eqn: = {1} over {2}]

[3점][2014년 9월]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {2} over {3}]	④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `]이 다음 조건을 만족시킨다.

①

[출제의도] 수열의 극한의 성질을 이해하여 수열의 극한값을 구한다.

[eqn: sum_k=1^n (a_k +b_k ) `][eqn: =S_n `]이라 하면

[eqn: a_n +b_n `][eqn: =S_n -S_n-1 `]([eqn: n GEQ 2`])

[eqn: = 1overn+1 - 1overn `][eqn: =` - 1overn(n+1) `]

[eqn: lim_{n`->`inf} n^2 (a_n +b_n )`][eqn: = lim_{`n->`inf} (n^2 a_n +n^2 b_n )`][eqn: =lim_{n`->`inf} -n^2 over{n(n+1)} `][eqn: =`-1`]

또, 조건에 의해 [eqn: lim_{n`->`inf} n^2 b_n `][eqn: =2 `]

따라서 [eqn: lim_{n`->`inf} n^2 a_n`][eqn: = lim _{`n -> ` INF } {} (n ^{2} a _{n} +n ^{2} b _{n} -n ^{2} b _{n} )`]

[eqn: = lim _{`n -> ` INF } {} (n ^{2} a _{n} +n ^{2} b _{n} )- lim _{n` -> ` INF } {} n ^{2} b _{n} `]

[eqn: =`-3 `]

(가) [eqn: sum_k=1^n (a_k +b_k )= 1overn+1`] ([eqn: n GEQ 1])

(나) [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} n ^{2`} b _{n} =2]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} n ^{2`} a _{n} `]의 값은?

[4점][2015년 3월]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1`]	④ [eqn: 0`]	⑤ [eqn: 1`]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {84} over {(2n+1)(2n+3)} `] 의 값을 구하시오.

14

[출제의도] 무한급수 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {84} over {LEFT ( 2n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n+3 RIGHT )} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} 84 TIMES {1} over {2} ` LEFT ( {1} over {2k+1} `-` {1} over {2k+3} RIGHT )} `]

[eqn: = lim _{n -> INF } {`42` LEFT ( {1} over {3} `-` {1} over {2n+3} RIGHT ) `=`14}]

[3점][2015년 7월]

등차수열 [eqn: left{ a_n right} `]에 대하여 [eqn: a_1 `=` 4], [eqn: a_4 - a_2 `=` 4 `]일 때, [eqn: Sum from { n=1} to inf ` 2 over { n a_n } `]의 값은?

①

등차수열 [eqn: left{ a_n right} `]의 공차를 [eqn: d `]라 하면 [eqn: a_4 - a_2 =` 2 d `=` 4] [eqn: Lrarrow] [eqn: d `=` 2]

∴ [eqn: a_n `=` 2n +2]

[eqn: Sum from { n=1} to inf ` 2 over { n a_n } `= Sum from {n=1} to inf 2 over {n (2n+2) } `= Sum from { n=1} to inf ` 1 over {n (n+1)} `=` 1]

[3점][2015년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 3]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: x`]에 대한 이차방정식

[eqn: x^2 + 2 n x - 4 n = 0 `]

의 양의 실근을 [eqn: a_n ``]이라 하자. [eqn: lim_n->inf a_n `]의 값을 구하시오.

2

주어진 이차방정식의 양의 실근 [eqn: a_n``]을 구하면

[eqn: a_n `=`-n +root{n^2 +4n}``]이다.

[eqn: therefore``lim_n->inf {`a_n} `=`lim_n->inf (`-n`+`root{n^2 +4n} `) `=` lim_n->inf {4n}over{n+root{n^2 +4n}} `=`2``]

[3점][2015년 9월]

[해설] 미적분1-(1)수열의극한-(d)응용문제