수 리 영 역

무한등비급수

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 리 영 역

무한등비급수

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 수열의 극한 (무한등비급수)

성명			수험번호

16

무한등비급수 [eqn: SUM from { { n}=1} to inf r^n]이 수렴할 때, 다음 중 반드시 수렴한다고 할 수 없는 것은?

⑤

[eqn: sum_n=1 ^inf r^n]이 수렴하므로, [eqn: |`r`|<1``` CDOTS CDOTS ```㈎]

따라서, [eqn: |`r ^{2} ``|<1,```|`-r`|<1]이므로

[eqn: sum_n=1 ^inf r^n ,] [eqn: sum_n=1 ^inf r^2n ,] [eqn: sum_n=1 ^inf (- r) ^n]은 모두 수렴한다.

즉, ①, ②, ③은 수렴한다.

④ : ㈎에서 [eqn: -1<r`<1] [eqn: ` RARROW ```-2<r-1`<0]

[eqn: RARROW ```-1< {r-1} over {2} <0]이므로

[eqn: sum_n=1 ^inf left( r-1 over 2 right)^n ``]은 수렴한다.

⑤ : [eqn: - 1 over 2 < r over 2 < 1 over 2] [eqn: RARROW ```- {3} over {2} < {r} over {2} -1<- {1} over {2}]

[eqn: sum_n=1 ^inf left( r over 2 -1 right)^n ``]은 수렴하지 않는다.

[1994년 수능 2차]

① [eqn: SUM from { { n}=1} to inf (r^n +r^2n `)]	② [eqn: SUM from { { n}=1} to inf (r^n -2r^2n `)]
③ [eqn: SUM from { { n}=1} to inf {r^n +(-r)^n} over 2]	④ [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT( r-1 over 2 RIGHT)^n]
⑤ [eqn: SUM from { { n}=1} to inf LEFT( r over 2 -1 RIGHT)^n]

실수 [eqn: a```(a＞1)]에 대하여 [eqn: b`= sum _{`n`=1} ^{ INF } LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{n}]을 [그림 [eqn: 1`]]과 같이 나타내고, 실수 [eqn: c``]에 대하여 [eqn: d `= 16^c`]을 [그림 [eqn: 2`]]와 같이 나타내기로 한다.

[그림 1]

[그림 2]

아래 그림의 실수 [eqn: x,```y,```z]에 대하여 [eqn: {x`z} over {y}]의 값을 구하시오.

[eqn: 40]

[eqn: x→S→y`]에서 [eqn: y= sum_n=1^inf left( 1over x right)^n = {1over x} over{1- 1over x} = 1over x-1`]

[eqn: y→T→z`]에서 [eqn: z= 16^y`]

[eqn: z→S→1`]에서[eqn: 1= sum_n=1^inf left( 1over z right)^n = {1over z} over{1- 1over z} = 1over z-1`]

[eqn: THEREFORE ```z=2], [eqn: y= 1over4`], [eqn: x=5`]

따라서 [eqn: xz over y = 40`]

[4점][2005년 수능]

무한급수 [eqn: SUM from { n=1} TO {` inf_``} left{{ 1+(-1)^n`}over3 right}^n``]의 합을 [eqn: S``]라고 할 때, [eqn: 20 S``]의 값을 구하시오.

[eqn: 16]

[eqn: a_n `=`left{{ 1+(-1)^n`}over3 right}]이라 하면 [eqn: a_2n-1 `=`0]이므로

[eqn: S`=`a_2 `+`a_4 `+`a_6 `+`cdots`=` LEFT ( 2over3 RIGHT )^2 + LEFT ( 2over3 RIGHT )^4 + LEFT ( 2over3 RIGHT )^6 +cdots`]이다.

즉 [eqn: S`]는 공비가 [eqn: {4} over {9}], 첫째항이 [eqn: {4} over {9}]인 무한등비수열이므로

[eqn: sum from n=1to inf a_n `=`{4over9}over{1- 4over9}= 4over5 =S`]

[eqn: THEREFORE ```20S=20 TIMES {4} over {5} =16]

[3점][2003년 수능]

수열 [eqn: LEFT { LEFT ( { 2x-1_`} over { 4} RIGHT )^n``` RIGHT }`]이 수렴하기 위한 정수 [eqn: x`]의 개수를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: 10k`]의 값을 구하시오.

[eqn: 40]

[eqn: -1＜r= {2x-1} over {4} LEQ 1], [eqn: -4＜2x-1 LEQ 4]

[eqn: -3＜2x LEQ 5], [eqn: - {3} over {2} ＜x LEQ {5} over {2}]

[eqn: x`=-1,```0,```1,```2]  [eqn: THEREFORE ```k=4]

[eqn: THEREFORE ```10k=40]

[3점][2007년 수능]

공비가 같은 두 무한등비수열 [eqn: LEFT { a_n `RIGHT }], [eqn: LEFT { b_n` RIGHT }]에 대하여
[eqn: a_1 -b_1 =1]이고 [eqn: sum _{ n=1^`} ^{ INF }a_n = 8], [eqn: sum _{ n=1^`} ^{ INF }b_n = 6]일 때, [eqn: sum _{ n=1^`} ^{ INF }a_n `b_n]의 값을 구하시오.

[eqn: 16`]

두 무한등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,``` LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r`]라 하자.

[eqn: sum_n=1^inf``a_n = a_1 over 1-r = 8`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: sum_n=1^inf`b_n = b_1 over 1-r = 6`] [eqn: cdots㉡``]

㉠-㉡에서 [eqn: {a_1 - b_1 } over 1-r = 2`]

[eqn: a_1 - b_1 = 1`]이므로 [eqn: 1over 1-r = 2`], [eqn: 1-r = 1over2`] ∴ [eqn: r = 1over2`]

㉠에서 [eqn: a_1 = 8 (1- r) = 8 cdot 1over2 = 4`]

㉡에서 [eqn: b_1 = 6(1-r) = 6 cdot 1over2 = 3`]

따라서 수열 [eqn: left{ a_n b_n right}`]은 첫째항이 [eqn: a_1 b_1 = 4 cdot 3 = 12`]이고,

공비가 [eqn: r^2 = 1over4`]인 등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf`a_n b_n = 12 over{ 1- 1over4} = 12 over {3over4} = 16`]

[3점][2009년 수능]

등비수열 [eqn: left{ a_n right}]이 [eqn: a_2 = 1 over 2], [eqn: a _{5} = {1} over {6}]을 만족시킨다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `a _{n+1} `a _{n+2} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

19

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{2} =ar= {1} over {2} ``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: a _{5} =ar ^{4} = {1} over {6} ``` CDOTS CDOTS ```㉡]

㉡÷㉠을 하면 [eqn: r^3 = 1 over 3]

[eqn: THEREFORE ~r= ^{3} sqrt {{1} over {3}} ``` CDOTS CDOTS ```㉢]

㉢을 ㉠에 대입하면 [eqn: a={`^3root3} over 2]

[eqn: a_n a_n+1 a_n+2 = ar^n-1 CDOT ar^n CDOT ar^n+1][eqn: = 3 over 8 ․ left(1 over 3 right)^n][eqn: =a^3 r^3n]

[eqn: SUM from n=1 to inf a_n a_n+1 a_n+2 = 1 over 8 over {1- 1 over 3} = 3 over 16]

∴ [eqn: p+q=16+3=19]

(단, [eqn: p,```q]는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2010년 수능]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 =3], [eqn: a_2 =1]일 때,
[eqn: sum_n=1^inf (a_n )^2]의 값은?

①

등비수열 [eqn: a _{n} `]의 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: r= {a _{2}} over {a _{1}} =` {1} over {3} `]        [eqn: THEREFORE a _{n} `=`3 TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} ) ^{2} = sum _{n=1} ^{INF } 9 TIMES LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{n-1} `= {9} over {1- {1} over {9}} = {81} over {8}]

[3점][2015년 수능]

① [eqn: 81 over8]	② [eqn: 83 over8]	③ [eqn: 85 over8]	④ [eqn: 87 over8]	⑤ [eqn: 89 over8]

자연수 [eqn: k]에 대하여
[eqn: a_k = lim_n->inf { LEFT ( 6 overk RIGHT )^n+1 } over { LEFT ( 6 overk RIGHT )^n +1 }]
이라 할 때, [eqn: sum_k=1^10 k a_k]의 값을 구하시오.

33

[eqn: a _{k} = lim _{n-> INF } {{LEFT ( {6} over {k} RIGHT ) ^{n+1}} over {LEFT ( {6} over {k} RIGHT ) ^{n} +1} ``````(k=1,`2`,`3,` CDOTS )}] 에서

(ⅰ) [eqn: k<6`] 일 때, [eqn: {6} over {k} >1`]이므로, 분모, 분자를 [eqn: LEFT ( {6} over {k} RIGHT ) ^{n}]으로 나누면

[eqn: a _{k} = lim _{n -> INF } {{LEFT ( {6} over {k} RIGHT )} over {1+ LEFT ( {k} over {6} RIGHT ) ^{n}} `= {6} over {k} ```( BECAUSE `0< {k} over {6} <1``)}]

(ⅱ) [eqn: k=6`]일 때, [eqn: a _{k} = {1} over {1+1} = {1} over {2}]

(ⅲ) [eqn: k>6`] 일 때, [eqn: 0< {6} over {k} <1] 이므로

[eqn: a _{k} = {0} over {0+1} =0]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{10} ka _{k} = sum _{k=1} ^{5} k TIMES {6} over {k} + sum _{k=6} ^{6} k TIMES {1} over {2} + sum _{k=7} ^{10} k TIMES 0]

[eqn: =6 TIMES 5+6 TIMES {1} over {2} =33]

[4점][2015년 수능]

무한등비급수 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a`r` ^{n-1} ``]의 합이 [eqn: -1`]일 때, 다음 중 상수 [eqn: a`]의 값이 될 수 있는 것은?

③

[eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a`r` ^{n-1} `=` {a} over {1-r} `=`-1]에서 [eqn: a=r-1]

[eqn: -1`<`r`<`1]이므로 [eqn: -2`<`a`<`0]

[3점][2005년 7월]

① [eqn: - 7 over 2`]	② [eqn: - 5 over 2`]	③ [eqn: - 3 over 2`]	④ [eqn: 1 over 2`]	⑤ [eqn: 3 over 2`]

수열 [eqn: left{ a_n right}`]은 첫째항 [eqn: 1], 공비 [eqn: {1} over {3}]인 등비수열이고, 수열 [eqn: left{ b_n right} `]은 첫째항 [eqn: 1], 공비 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이다. 수렴하지 않는 무한급수는?

⑤

[eqn: a _{n} = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}], [eqn: b _{n} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

① [eqn: sum _{n=1} ^{INF } 2a _{n} `=2 sum _{n=1} ^{INF } a _{n} `=2 TIMES {1} over {1- {1} over {3}} =3```] (수렴)

② [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} -b _{n} ``)= sum _{n=1} ^{INF } a _{n} - sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} - sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: = {1} over {1- {1} over {3}} - {1} over {1- {1} over {2}} =- {1} over {2}] (수렴)

③ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (-1) ^{n} b _{n} = sum _{n=1} ^{INF } (-1) ^{n} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} =`- sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: =`- {1} over {1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT )} =`- {2} over {3} `] (수렴)

④ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n} ``=][eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: =`- {1} over {1- LEFT ( {1} over {6} RIGHT )} =` {6} over {5} `] (수렴)

⑤ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {a _{n}} ``=][eqn: sum _{n=1} ^{INF } {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}} over {LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}} `= sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1}] (발산)

따라서 수렴하지 않는 무한급수는 ⑤이다.

[3점][2006년 9월]

① [eqn: sum from n=1 to inf 2a_n `]　	②[eqn: sum from n=1 to inf (a_n - b_n ``)]	③ [eqn: sum from n=1 to inf (-1)^n b_n]

④ [eqn: sum from n=1 to inf a_n b_n ``]	⑤[eqn: sum from n=1 to inf b_n over a_n]

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {5` ^{n+2} -4` ^{n+2}} over {6` ^{n}}]의 합을 구하시오.

93

[eqn: sum _{ n=1} ^{ ∞} {5^n+2 -4^n+2} over {6^n }][eqn: =sum _{ n=1} ^{ ∞} LEFT {5^2 BULLET LEFT ( { 5} over { 6} RIGHT )^n - 4^2 BULLET LEFT ( { 4} over { 6} RIGHT )^n RIGHT }]

[eqn: =25 BULLET {{5} over {6}} over {1- {5} over {6}} -16 BULLET {{2} over {3}} over {1- {2} over {3}}][eqn: =93]

[3점][2007년 3월]

첫째항이 [eqn: 12], 공비가 [eqn: {1_`} over {3`}]인 등비수열 [eqn: left{a_n` right}]에 대하여 [eqn: sum from n=1 to inf a_n]의 값을 구하시오.

18

[eqn: a`=`12], [eqn: r`=`1 over 3]이므로

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf_` a_n `=`12 over {1- 1 over 3}`=`18]

[3점][2007년 9월]

첫째항이 [eqn: 1 `]인 두 무한등비급수 [eqn: sum from n=1 to inf a sub n `,~ sum from n=1 to inf b sub n `]이 모두 수렴하고, [eqn: sum from n=1 to inf ( a sub n + b sub n ) `=` 8 over 3 `], [eqn: sum from n=1 to inf ` a sub n b sub n `=` 4 over 5 `]가 성립한다. 이 때, 무한급수 [eqn: sum from n=1 to inf ( a sub n + b sub n ) sup 2 `]의 합은?

①

[eqn: left { a sub n right } `]의 공비를 [eqn: r `], [eqn: left { b sub n right } `]의 공비를 [eqn: s`]라 하면 (단, [eqn: r ≦s `])      [eqn: 1 over 1-r + 1 over 1-s `=` 8 over 3 `,~ 1 over 1-rs `=` 4 over 5 `]      ∴[eqn: 3 ( 2-r -s ) `=` 8 ( 1-r-s+rs)`]…㉠

[eqn: 4( 1- rs ) `=` `5 `]…㉡

㉠, ㉡을 연립하면, [eqn: rs `=` - 1 over 4 `,~ r+s `=` 0`]

∴[eqn: r `=` - 1 over 2 `,~ s `=` 1 over 2 `]

∴[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} ^{2} `=` {1} over {1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `} =` {4} over {3} `]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} ^{2} `=` {1} over {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}} `=` {4} over {3} `]

∴[eqn: sum from n=1 to inf ( a sub n + b sub n ) sup 2 `=` sum from n=1 to inf ( a sub n sup 2 + b sub n sup 2 + 2 a sub n b sub n ) `]

[eqn: `=` 4 over 3 + 4 over 3 + 2 times 4 over 5 `][eqn: `=` 64 over 15 `]

[3점][2007년 10월]

① [eqn: 64over 15]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 32 over 5 `]	④ [eqn: 15 over 2]	⑤ [eqn: 10]

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (x+1) LEFT ( 1- {x} over {4} RIGHT ) ^{n-1}]의 합이 존재하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 합을 구하시오.

27

주어진 무한등비급수가 수렴하기 위한 조건은

(ⅰ) [eqn: -1 < 1- x over 4 <1]일 때, [eqn: 0<x<8]

(ⅱ) 첫째항이 [eqn: 0]일 때, [eqn: x=`-1]

[eqn: ∴ x = -1,~ 1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6,~ 7]  합은 [eqn: 27]

[3점][2008년 4월]

무한급수 [eqn: x+3 over 5 + {(x+3)(x-5) } over 5^2 `+ {(x+3)(x-5)^2} over 5^3``+ cdots]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x``]의 합을 구하시오.

[eqn: 42`]

공비가 [eqn: x-5 over 5``]이므로 [eqn: -1< x-5 over 5 <1``]

[eqn: 0<x<10``]이며 [eqn: x`=`-3``]일 때도 수렴하므로 수렴하는 모든 정수 [eqn: x``]의 합은 [eqn: 42``]이다.

[3점][2008년 5월]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1+2 ^{n}} over {3 ^{n}}]의 값은?

④

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1+2 ^{n}} over {3 ^{n}} =sum_n=1^inf left( 1over 3 right)^n + sum_n=1^inf left( 2over 3 right)^n]

[eqn: = {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} + {{2} over {3}} over {1- {2} over {3}} = {5} over {2}]

[2점][2009년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 5over2]	⑤ [eqn: 3]

공비가 [eqn: r]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ->` INF }{} {{S _{n}} over {a _{n}}} = 15 over 14]이다. [eqn: r]의 값을 구하시오.

[eqn: 15``]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항 [eqn: a], 공비 [eqn: r] 이라면

[eqn: lim _{ n->inf} { { S_n} over { a_n} }= lim _{ n->inf} { {a(1-r^n ) } over {ar^n-1 (1-r)} }]

[eqn: =lim _{ n->inf} { { 1} over {1-r } }․ { 1-r^n} over {r^n-1 }= -{ r } over {1-r }= { 15} over { 14}]

[eqn: THEREFORE~r=15]

[3점][2009년 7월]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a_5 = 2^8 , ``` a_8 = 2^5]을 만족시킬 때, [eqn: sum_n=9 ^inf a_n]의 값을 구하시오.

[eqn: 32]

[eqn: ar^4 =2^8 cdots①]

[eqn: ar^7 =2^5 cdots②]

이므로 ①[eqn: div]②를 계산하면 [eqn: r^3 = 2^-3]이므로 [eqn: r= 1over2]이다.

따라서 [eqn: a=2^12]

[eqn: sum _{n=9} ^{inf}a_n]은 첫째항이 [eqn: a_9]이고 공비가 [eqn: 1over2]인 무한등비급수이므로 [eqn: sum _{n=9} ^{inf}a_n = a_9 over{1- 1over2 }= 2^5 =32]

[3점][2009년 9월]

무한수열 [eqn: LEFT { LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -4x+3 RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 합을 구하시오.

[eqn: 2]

무한수열 [eqn: LEFT { LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -4x+3 RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]이 수렴하기 위해서는

(ⅰ) 첫째항이 [eqn: x+2=0`]일 때, [eqn: x=-2]

(ⅱ) 공비가 [eqn: r= x^2 -4x+3`]이므로

[eqn: -1< x^2 -4x+3` le 1`]에서 정수 [eqn: x`]는 [eqn: 1,~3`]이다.

따라서, (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 정수 [eqn: x]는 [eqn: -2,~1,~3`]이므로 모든 정수 [eqn: x`]의 합은 [eqn: 2`]이다.

[3점][2010년 4월]

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } 5` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1}]의 값은?

④

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } 5` LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n-1} = {5} over {1- {3} over {4}} `=`20]

[2점][2010년 10월]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

첫째항이 [eqn: 1``]인 무한등비수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} =`3]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( `a _{3n-2} ``-`a _{3n-1} ` RIGHT ) ``]의 값은?

③

등비수열 [eqn: left{a _{n}right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = { 1} over {1-r }=3]이므로 [eqn: r={ 2} over {3 }]이다.

수열 [eqn: LEFT { a_3n-2 RIGHT }]는 첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 8 over 27]인 등비수열이고

수열 [eqn: LEFT { a _{3n-1} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: {2} over {3}]이고 공비가 [eqn: 8 over 27]인 등비수열이다. 따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{3n-2} -a _{3n-1} RIGHT ) = {1} over {1- {8} over {27}} - {{2} over {3}} over {1- {8} over {27}}] [eqn: = 9 over 19]

[3점][2011년 3월]

① [eqn: {7} over {19}]	② [eqn: {8} over {19}]	③ [eqn: {9} over {19}]	④ [eqn: {10} over {19}]	⑤ [eqn: {11} over {19}]

무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {LEFT ( 3 ^{a} +1 RIGHT ) ^{n}} over {6 ^{3n}}]이 수렴하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 개수는?

③

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` {LEFT ( 3 ^{a} +1 RIGHT ) ^{n}} over {6 ^{3n}} = sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {3 ^{a} +1} over {216} RIGHT ) ^{n} `]이 수렴하므로

[eqn: -1< {3 ^{a} +1} over {216} <1`], [eqn: -217<3 ^{a} <215`]

[eqn: THEREFORE] 자연수 [eqn: a]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이다.

따라서 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 4]

[3점][2012년 4월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

무한급수 [eqn: sum_{n=1} ^inf `{1+(-1)^{`n} }over{3^{`n}} `]의 합은?

②

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1+(-1) ^{n}} over {3 ^{n}} `]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } left{ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n} `right}`][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n} +sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n} `]

[eqn: = {{1} over {3}} over {1- {1} over {3}} + {- {1} over {3}} over {1- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT )}][eqn: = {1} over {2} - {1} over {4}][eqn: = {1} over {4} `]

[다른 풀이]

주어진 무한급수의 합을 [eqn: S``]라 하고, 이를 덧셈으로 연결하여 나타내면

[eqn: S= sum _{n=1} ^{INF } {1+(-1) ^{n}} over {3 ^{n}} `]

[eqn: =0+ {2} over {3 ^{2}} +0+ {2} over {3 ^{4}} +0+ {2} over {3 ^{6}} +0+`cdots`]

[eqn: = {2} over {3 ^{2}} + {2} over {3 ^{4}} + {2} over {3 ^{6}} + {2} over {3 ^{8}} +` CDOTS `]

이므로 이 무한급수는 첫째항이 [eqn: {2} over {9} `]이고 공비가 [eqn: {1} over {9} `]인 무한등비급수의 합과 같다.

∴ [eqn: S= sum _{n=1} ^{INF } {1+(-1) ^{n}} over {3 ^{n}} `][eqn: `=` {{2} over {9}} over {1- {1} over {9}} = {1} over {4} `]

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 3over8]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 5over8]

무한등비수열 [eqn: LEFT {` left({ 2x-3 over 5 } right) ^{`n} ` RIGHT }]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x`]의 합을 구하시오.

10

무한등비수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {2x-3} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT } `]이 수렴하려면 공비가 [eqn: -1`~]보다 크고 [eqn: 1`]보다 작거나 같아야 하므로

[eqn: -1< {2x-3} over {5} LEQ 1`], [eqn: -5<2x-3 LEQ 5`], [eqn: -2<2x LEQ 8`]

∴ [eqn: -1<x LEQ 4`]

따라서 구하는 정수 [eqn: x`]는

[eqn: x=0], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`]이고 그 합은 [eqn: 10`]이다.

[참고]

주어진 무한등비수열은 [eqn: -1<x<4`]일 때 [eqn: 0`]으로 수렴하고, [eqn: x=4`]일 때 [eqn: 1`]로 수렴한다.

[3점][2013년 3월]

수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {2x-1} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT } `]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

⑤

수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {2x-1} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT } `]이 수렴하므로 [eqn: -1< {2x-1} over {5} LEQ1]

[eqn: -5<2x-1 LEQ5], [eqn: -2<x LEQ3]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 5]

[3점][2013년 4월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 [eqn: a _{1} =1`]이고 [eqn: 2a _{n+1} =7a _{n} `] ([eqn: n` GEQ `1`])을 만족시킬 때, 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } `` {10} over {a _{n}} `]의 값은?

④

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{n+1} = {7} over {2} a _{n}][eqn: LEFT ( n`ge`1 RIGHT )]에서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1`]이고 공비가 [eqn: {7} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} = LEFT ( {7} over {2} RIGHT ) ^{n-1}] [eqn: LEFT ( n`ge`1 RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {10} over {a _{n}}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } 10` TIMES LEFT ( {2} over {7} RIGHT ) ^{n-1}] [eqn: = {10} over {1- {2} over {7}}] [eqn: =14]

[3점][2014년 3월]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

[해설] 미적분1-(1)수열의극한-(b)무한등비급수