수 리 영 역

기본문제

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수 리 영 역

기본문제

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 수열의 극한 (기본문제)

성명			수험번호

16

[eqn: lim_{n`->`infty}_`_` left (`root {n^2 + 6n`+4}_`-n `right)`]의 값은?

⑤

[eqn: lim_{n`->`infty}_`_` left (`root {n^2 + 6n`+4}_`-n `right)`]

[eqn: = lim_{n->inf} { (root {n^2 + 6n+4}-n ) (root {n^2 + 6n+4}`+n )} over { root {n^2 + 6n+4}+n }]

[eqn: = lim_{n`->`inf} { (n^2 + 6n`+4`) -n^2 } over { `root {n^2 + 6n`+4}`+n }]

[eqn: = lim_{n`->`inf} { 6n`+4`} over { `root {n^2 + 6n`+4}`+n }]

[eqn: = lim_{n`->`inf} { 6`+ 4 over n `} over { `root {1 + 6over n`+ 4 over n^2 }`+ 1 }]

[eqn: = 6 over 2][eqn: =3`]

[3점][2005년 수능]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5 CDOT 3 ^{n+1} -2 _{} ^{n+1}} over {3 ^{n} +2 ^{n}}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 15]

[eqn: lim_n->inf {5․3^n+1 - 2^n+1} over {3^n +2^n }][eqn: = lim_n->inf {5․3^n+1 over 3^n - 2^n+1 over 3^n } over { 3^n over 3^n + 2^n over 3^n }]

[eqn: = lim_n->inf {5․3 - 2 left( 2over 3 right)^n } over { 1 + left( 2 over 3right)^n }][eqn: ={5․3 - 0 } over { 1 +0 } = 15]

[3점][2006년 수능]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {3+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {2+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}}]의 값은?

②

[eqn: lim from { n -> INF } Left ( {1 } over {3 } right)^n =0,``` lim from { n -> INF } Left ( {1 } over {2 } right)^n =0]이므로

준식[eqn: = lim from { n -> inf } {3+0} over {2+0}= `{3} over {2}]

[2점][2007년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {n} over {sqrt {4n ^{2} +1} + sqrt {n ^{2} +2}}]의 값은?

③

[eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {sqrt {4+ {1} over {n ^{2}}} + sqrt {1+ {2} over {n ^{2}}}} = {1} over {sqrt {4} + sqrt {1}}][eqn: = {1 over 3}]

[2점][2008년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {4 ^{n}} =2]일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n} +4 ^{n+1} -3 ^{n-1}} over {4 ^{n-1} +3 ^{n+1}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 16``]

[eqn: sum from{n=1} to{inf} {{a_n} over{4^n }}`=2]에서 무한급수의 합이 수렴하므로

[eqn: lim from{n->inf} {{a_n } over {4^n } }`=0]

[eqn: THEREFORE (주어진~식)= lim _{n -> INF } {} {{a _{n}} over {4 ^{n}} +4- {1} over {3} LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}} over {{1} over {4} +3․ LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}} = {4} over {{1} over {4}} =16]

[3점][2008년 수능]

[eqn: lim_{n`→∞} 2_`over{root{n^2 +2n` }``-`root{n^2 +1}}^`]의 값은?

②

[eqn: lim_n->inf`2over{ root{n^2 + 2n} - root{ n^2 +1}}`]

[eqn: = lim_n->inf`{2( root{ n^2 + 2n } + root{ n^2 +1 })} over{ (n^2 +2n) - (n^2 +1)}`]

[eqn: = lim_n->inf`{2( root{ n^2 + 2n } + root{ n^2 +1 })} over{ 2n-1}`]

[eqn: = lim_n->inf`{2 left( root{ 1 + 2 over n } + root{ 1 + 1over n^2 }right)} over{ 2- 1over n}`][eqn: = 2(1+1) over2][eqn: = 2`]

[2점][2009년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{ n->inf} { { a times 6^n+1 - 5^n} over { 6^n +5^n} } `=` 4] 일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

③

[eqn: lim _{ n->inf} { { a times 6^n+1 - 5^n} over { 6^n +5^n} } `=` lim _{ n->inf} { { a times 6 - left ( 5 over 6 right )^n } over { 1 + left ( 5 over 6 right )^n} }][eqn: ``=``` 6a ``=` 4]

[eqn: therefore ```````` a `=` 2 over 3]

[[eqn: 3]점][2011년 수능]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 2 over 3]	④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 3 over 2]

[eqn: lim_n->inf {5^n+1 +2} over {5^n +3^n}``]의 값은?

④

(주어진 식)[eqn: = lim_n->inf {5 + 2over5^n } over {1+ left( 3over 5 right)^n }= 5+0 over 1+0 =5]

[2점][2012년 수능]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: lim _{n-> INF } {{5n ^{2} +1} over {3n ^{2} -1}}]의 값은?

⑤

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {5n ^{2} +1} over {3n ^{2} -1} = lim _{n` -> ` INF } {} {5+ {1} over {n ^{2}}} over {3- {1} over {n ^{2}}}][eqn: = {5} over {3}]

[2점][2013년 수능]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

[eqn: lim _{n -> INF } {{2 TIMES 3 ^{n+1} +5} over {3 ^{n}}}]의 값은?

⑤

[eqn: lim _{n-> inf} {2 times 3^{n+1}+5} over {3^n}][eqn: = lim _{ n-> inf} {2 times 3 + {5 over 3^n}} over {1}][eqn: =6]

[2점][2014년 수능]

① [eqn: 10]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: lim_n->inf { 4n^2 +6} over { n^2 +3n}]의 값은?

④

[eqn: lim _{n`-> INF } {{4n ^{2} +6} over {n ^{2} +3n} `=` lim _{n`-> INF } {{4+ {6} over {n ^{2}}} over {1+ {3} over {n}} `= {4} over {1} =4}}]

[2점][2015년 수능]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여
[eqn: sum_n=1^inf a_n =4],  [eqn: sum_n=1^inf b_n =10]
일 때, [eqn: sum_n=1^inf (a_n +5b_n )]의 값을 구하시오.

54

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } (a _{n} +5b _{n} )= sum _{n=1} ^{INF } a _{n} +5 sum _{n=1} ^{INF } b _{n} `=4+5 TIMES 10=54]

[3점][2015년 수능]

[eqn: lim_n->inf {{3times 9^n -13} over 9^n}]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

[출제의도] 수열의 극한값을 구할 수 있는가?

[eqn: lim_n->inf {{3times 9^n -13} over 9^n}] [eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT { 3-13 LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{n} RIGHT }] [eqn: =3]

[3점][2016년 수능]

무한급수
[eqn: log _{2} `2``+`log _{2} sqrt {2} ``+`log _{2} root {4} of {2} ``+`log _{2} root {8} of {2} ``+` CDOTS] 의 합은?

②

[eqn: log _{2} 2`+`log _{2} sqrt {2} `+`log _{2} root {4} of {2} `+`log _{2} root {8} of {2} `+`…``][eqn: =log _{2} 2`+` {1} over {2} rm log _{2} 2`+` {1} over {4} log _{2} 2`+` {1} over {8} log _{2} 2`+`…]

[eqn: =1`+` {1} over {2} `+` {1} over {4} `+` {1} over {8}` +`…= {1} over {1- {1} over {2}} =2]

[2점][2005년 3월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 16`]

수열 [eqn: left{`a _{n} `right }`]이 [eqn: lim _{n -> INF } {} `n`a _{n} `=`3``]을 만족할 때,  [eqn: lim _{n -> INF } {{2n ^{2} +`3n} over {n ^{3} `a _{n}}}] 의 값은?

②

[eqn: lim _{n -> INF } {{2n ^{2} +3n} over {n ^{3} ``a _{n}}}][eqn: = lim _{n -> INF } {{2n ^{2} +3n} over {n ^{2}} ``` ․ lim _{n -> INF } {{1} over {n`a _{n}}}}] [eqn: =2``` ․ {1} over {3} =` {2} over {3}]

[3점][2005년 3월]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim from {n -> inf} {n^2 -2005}_` over{``n^2 + 2005}^`]의 극한값은?

①

분모와 분자를 [eqn: n^2]로 나누면

[eqn: lim from {n -> inf} {n^2 -2005}_` over{``n^2 + 2005}^` = lim from {n->inf} {1 - 2005_` over n^2}over{1 + 2005_` over n^2} = 1]

[3점][2005년 5월]

① [eqn: 1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: root3]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여
[eqn: a_n = 2n -1][eqn: (n=1,~2,~3,`` CDOTS ``)]일 때,
[eqn: lim from {n``->``inf} left( `` root{a_2 + a_4 + ``cdots`` + a_2n } - root{a_1 + a_ 3 + ``cdots`` + a_2n-1 } `` right)]
의 값은?

②

[eqn: (준식) = root{sum from {k`=`1}^` to n left(4k - 1 right)} -root{sum from {k`=`1}^` to n left(4k - 3 right)}]

[eqn: =lim from n->inf left( `` root{ 2n^2 + n ```} - root{ 2n^2 - n ```} `` right) = sqrt 2 over 2]

[3점][2005년 5월]

① [eqn: root2 over 4]	② [eqn: root2 over 2]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: root2]	⑤ [eqn: 2]

무한급수 [eqn: left( 3over2 - 4over 3 right) + left( 4 over 3 - 5over 4 right) + left( 5 over 4 - 6over 5 right) +cdots]의 합은?

③

부분합[eqn: S_n = SUM from { { k}=1} to n left( n+2 over n+1 - n+3 over n+2 right ) = 3 over 2 - n+3 over n+2]

[eqn: lim from { n -> inf } S_n = 1 over 2]이다.

[3점][2005년 5월]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]	④  [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3over2]

무한급수 [eqn: a_1 + left( a_2 - 1over 2 right) + left( a_3 - 2over 3 right)+left( a_4 - 3over 4 right)+ ``cdots``] 가
수렴할 때,[eqn: lim from {n``->``inf} a_n]의 값을 구하시오.

[eqn: 1]

[eqn: SUM from { { n}=1} to inf left( a_n - n-1 over n right)]이 수렴하므로[eqn: lim from { n -> inf } left( a_n - n-1 over n right)=0]

[eqn: therefore ~ lim from { n -> inf } a_n = 1]

[3점][2005년 5월]

[eqn: lim from { n` -> ` INF } { 2_` } over { sqrt { n^2 `+`2n` } `-` sqrt { n^2 `-`2n` } }^`]의 값은?

①

[eqn: lim from {n→inf} 2 over {root {n^2 +2n} -root{n^2 -2n}}]

[eqn: = lim from {n→inf} {2(root{n^2 +2n} + root{n^2 -2n} )} over 4n]

[eqn: = lim from {n→inf} {{2left(root{{n^2 over n^2 } + 2n over n^2}} + root {n^2 over n^2 - {2n} over {n^2}} right)} over {4n over n}]

[eqn: = 4 over 4 =1]

[2점][2005년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2` }]	③ [eqn: { 3_` } over { 2` }]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2` sqrt { 2 `}]

[eqn: `lim _{n` -> ` INF } {} {` sqrt {4n-1} `+ sqrt {4n+1} ``} over {sqrt {n}} ``]의 값은?

④

(주어진 식) = [eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {4- {1} over {n}} + sqrt {4+ {1} over {n}}} over {1} `=`4]

[2점][2005년 7월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim from { n `->` inf }`left (sqrt{n^2 +15n +13}^` -sqrt{n^2 -13n}^` `right )`]의 값을 구하시오.

14

(주어진 식) [eqn: =lim_n->inf 28n+13 over{root {n^2 +15n +13 }+root{n^2 -13n }}]

[eqn: =lim_n->inf {28+ 13 over n} over{root {1 + 15over n + 13 over n^2 }+root{1 - 13 over n }}]

[eqn: ={28} over{root {1 }+root{1}} = 14]

[3점][2005년 9월]

수렴하는 무한수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } ``]에 대하여
[eqn: lim _{n `-> ` INF } {} {a _{n-1} +20} over {a _{n+1} -14`}` `=``2``]
일 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } ` `a _{n} ``]의 값을 구하시오.

48

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} ``= lim _{n -> INF } {} a _{n+1} ``= lim _{n -> INF } {} a _{n-1} ``=x``]라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n-1} +20} over {a _{n+1} -14`} =2``]에서 [eqn: {x+20} over {x-14`} =2``]    [eqn: THEREFORE x=48``]

[3점][2005년 10월]

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF }` {8} over {n(n+2`)} ``]의 합은?

③

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+2`)} ``= sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+2} RIGHT ) ``]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) ``]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {8} over {n(n+2`)} ``=8`` lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {k(k+2`)} ``]

[eqn: =8`` lim _{n -> INF } {} {1} over {2} LEFT ( {1} over {1} + {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) =6``]

[3점][2005년 10월]

① [eqn: 2``]	② [eqn: 4``]	③ [eqn: 6``]	④ [eqn: 8``]	⑤ [eqn: 10``]

[eqn: lim from { n -> inf }`` {`(`n```+`3`)`(`n```+`4`)```-`n^2`}over {`(`n```+`1`)`(`n```+`2`)```-`n^2`}``]의 값은?

④

[eqn: lim _{n -> INF } {} {`(n+3)(n+4)`-`n ^{2} `} over {(n+1)(n+2)`-`n ^{2}}][eqn: `=` lim _{n -> INF } {} {(n ^{2} `+`7n`+12`)-n ^{2}} over {(n ^{2} `+`3n`+2`)-n ^{2}} `][eqn: `=` lim _{n -> INF } {} {7n+12} over {3n+2} `=` lim _{n -> INF } {} {7+ {12} over {n}} over {3+ {2} over {n}} `= {7} over {3}]

[2점][2006년 3월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {`5`} over {2}]	④ [eqn: {`7`} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} +3n`+`5} -n RIGHT )]의 값은?

②

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {( sqrt {n ^{2} +3n+5} -n)( sqrt {n ^{2} +3n+5} +n)} over {sqrt {n ^{2} +3n+5} +n}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {3n+5} over {sqrt {n ^{2} +3n+5} +n}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {3+ {5} over {n}} over {sqrt {1+ {3} over {n} + {5} over {n ^{2}}} +1}]

[eqn: = {3} over {2}]

[2점][2006년 4월]

①  [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③  [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤  [eqn: 3]

수열 [eqn: left{a _{n}right}]에 대하여 [eqn: {a _{n} -4} over {a _{n} +3} = {1 ^{3} +2 ^{3} + cdots+n ^{3}} over {n ^{4}+1}] 이 성립할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}] 의 값은?

④

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} -4} over {a _{n} +3} & = lim _{n -> INF } {} {1 ^{3} +2 ^{3} + LDOTS +n ^{3}} over {n ^{4} +1}# # & = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {n(n+1)} over {2} RIGHT ) ^{2} {1} over {n ^{4} +1} = {1} over {4}]

이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = alpha]라 하면 [eqn: {alpha -4} over {alpha +3} = {1} over {4}]

[eqn: ∴``alpha = {19} over {3}]

[3점][2006년 5월]

① [eqn: {16} over {3}]	② [eqn: {17} over {3}]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: {19} over {3}]	⑤ [eqn: {20} over {3}]

[eqn: lim _{ n`→`∞} { 4^n-1}_` over {4^n + 3^n} }]의 값은?

①

(주어진 식)[eqn: =lim_n->inf {1over4} over{ 1+ left( 3over4 right)^n }`][eqn: = {1over4} over {1+0} = 1over 4`]

[2점][2006년 6월]

① [eqn: { 1_`} over{4`}]	② [eqn: { 1_`} over{2`}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: lim from {n`->` inf} left{ 2 + left( - {1} over {5} right)^n `` right}`]의 값은?

②

[eqn: lim_n->inf left{ 2+ left( - 1over 5 right)^n right}=lim_n->inf 2 +lim_n->inf left( - 1over 5 right)^n][eqn: = 2+ 0=2``]

[2점][2006년 9월]

① [eqn: 1]　	② [eqn: 2]　	③ [eqn: 3]　	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim from {n`->`inf} { sqrt kn+1}_` over {n (sqrt n+1 - sqrt n-1 )}^` =5]일 때, 상수 [eqn: k``]의 값을 구하시오.

25

(주어진 식)

[eqn: =lim_n->inf {root {kn +1} (root n+1 +root n-1 )} over {n (n+1-n+1)}`]

[eqn: =lim_n->inf {root {kn +1} (root n+1 +root n-1 )} over {2n}`]

[eqn: =lim_n->inf {root {k + 1 over n } left( root {1+ 1 over n } +root{ 1- 1 over n } right)} over {2}`]

[eqn: = {root k+0 ( root 1+0 + root 1-0 )} over 2`]

[eqn: = root k =5`]

∴ [eqn: k=25`]

[4점][2006년 9월]

수열 [eqn: "{"`a _{n} "}"`]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: 2n - 1 `<` n`a_n `<` 2n + 4]
를 만족할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} ``a _{n}`]의 값은?

②

각 항을 자연수 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: { 2n-1} over {n }`＜ `a_n` ＜`{ 2n`+`4} over {n }]

[eqn: lim from { n -> inf }{ 2n-1} over {n }`≦`lim from { n -> inf } a_n` ≦`lim from { n -> inf }{ 2n`+`4} over {n }]

[eqn: 2`≦`lim from { n -> inf } a_n` ≦`2] 이므로 [eqn: `lim from { n -> inf } a_n` =`2]이다.

[2점][2006년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} + {n} over {2}} -n`` RIGHT ) `]의 값은?

②

[eqn: lim _{n -> INF } LEFT ( sqrt {n ^{2} + n over2 } -n RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( sqrt {n ^{2} + {n} over {2} } -n RIGHT ) LEFT ( sqrt {n ^{2} + {n} over {2} } +n RIGHT )} over { RIGHT . sqrt {n ^{2} + {n} over {2} } +n }]

[eqn: =lim _{n -> INF } { {n ^{2} + n over2 } -n^2 } over {sqrt {n ^{2} + n over2 } + n }][eqn: = lim _{n -> INF } {} {{1} over {2}} over {sqrt {1+ {1} over {2n}} +1}][eqn: = 1over4]

[3점][2007년 3월]

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: ROOT2 over 4]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: root2 over 2`]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {2cdot 3^n - 3 cdot 4^n } over {2^2n + 3^n } ``]의 값은?

①

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {2 CDOT 3 ^{n} -3 CDOT 4 ^{n}} over {2 ^{2n} +3 ^{n}} ``][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {2 CDOT LEFT( 3 OVER 4right) ^{n} -3 } over {1 + left( 3 over 4 right) ^{n}} ``][eqn: = {0 -3 } over {1 + 0} ``=-3]

[3점][2007년 3월]

① [eqn: -3 ``]	② [eqn: -2 ``]	③ [eqn: -1``]	④ [eqn: 1 ``]	⑤ [eqn: 2``]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n``]에 대하여

[eqn: 3n ^{2} -5n-1<a _{n} `<`3n ^{2} +n+2]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n ^{2} +2n+2}]의 값을 구하시오.

3

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} -5n-1} over {n ^{2} +2n+2}} <= lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n ^{2} +2n+2}}][eqn: <= lim _{n -> INF } {{3n ^{2} +n+2} over {n ^{2} +2n+2}}],

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} -5n-1} over {n ^{2} +2n+2}} =` lim _{n -> INF } {{3n ^{2} +n+2} over {n ^{2} +2n+2} =3}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n ^{2} +2n+2}} =3]

[3점][2007년 4월]

[eqn: lim _{n -> ` INF } {} LEFT ( sqrt {4n ^{2} +2n} -2n` RIGHT )]의 값은?

②

(준식)[eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( sqrt {4n ^{2} +2n} -2n` RIGHT ) left(sqrt {4n ^{2} +2n} +2n` RIGHT )} over { sqrt {4n ^{2} +2n} +2n` }]

[eqn: =lim _{n -> INF } {} {2n} over{sqrt {4n ^{2} +2n} +2n]

[eqn: =lim _{n -> INF } {} {2} over {sqrt {4 + 2 over n} +2} = 1 over 2]

[2점][2007년 5월]

①  [eqn: 1]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1 over 3]	④ [eqn: 1 over 4]	⑤  [eqn: 0]

[eqn: lim _{n -> ` INF } {} {n ^{2} +3n} over {LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( 1+ {1} over {4} RIGHT ) ` CDOTS LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]의 값은?

⑤

(분모)[eqn: =left{left (1+ 1 over 2right)left (1+ 1 over 3right) cdotsleft (1+ 1 over n right) right}^2]

[eqn: = LEFT ( {3} over {2} CDOT {4} over {3} CDOT {5} over {4} cdot CDOTS cdot {n+1} over {n} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {n+1} over {2} RIGHT ) ^{2}]

(준식)[eqn: =lim_n->inf}{n^2 +3n} over {left( n+1 over2 right)^2 }][eqn: = lim _{n -> INF } {} {1+ {3} over {n}} over {{1} over {4} LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =4]

[3점][2007년 5월]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③  [eqn: 1]	④  [eqn: 2]	⑤  [eqn: 4]

[eqn: lim _{n -> INF } {{2 BULLET 3 ^n+1 +5_`} over {3 ^n -1}}]의 값은?

④

[eqn: lim from { n` -> inf } {6+ {5}_` over 3^n}_` over {1- {1}_` over 3^n}`=`6]

[2점][2007년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _n ``RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n `-> ` INF } {{2a _n -3} over {a _n +1} = {3_`} over {4`}}]일 때,   [eqn: lim _{n `-> ` INF } {a _n}`]의 값은?

③

[eqn: {2a_n -3} over{a_n +1} `=`b_n `]으로 놓으면

[eqn: lim from { n` ->` inf } b_n`=` {3}_` over {4}], [eqn: a_n`=` {b_n +3} over {2-b_n}]

[eqn: lim from { n` ->` inf } a_n`=lim from { n` ->` inf }`{b_n +3} over {2-b_n}]  [eqn: =` {{3}_` over {4} + 3}_` over{2- {3}_` over {4}}`=`3]

[3점][2007년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등차수열 [eqn: \{a_n \}]에서
[eqn: a_1 =4],  [eqn: a_1 -a_2 +a_3 -a_4 +a_5 =28]
일 때, [eqn: lim from { n` ->` inf } { a_n} over {n }]의 값을 구하시오.

12

[eqn: {a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+a_{5}}]

[eqn: =`a_1 +(a_3 -a_2 )+(a_5 -a_4 )]

[eqn: =`a_1 `+`2d`=`4+2d`=`28]  [eqn: THEREFORE ~d`=`12]

[eqn: THEREFORE ~a_n `=`12n -8]

[eqn: THEREFORE ~ lim from { n -> inf } {a_n} over {n}`=`{12n-8} over {n}`=`12]

[4점][2007년 6월]

[eqn: lim _{n ``-> ``INF } {``n LEFT ( sqrt {n ^{2} -n+1} - sqrt {n ^{2} -n-1} RIGHT )} `]의 값은은?

①

[eqn: lim _{n -> INF } {``n LEFT ( sqrt {n ^{2} -n+1} - sqrt {n ^{2} -n-1} RIGHT )} `]

[eqn: =lim _{n -> INF } {``n LEFT { left(n ^{2} -n+1 right) - left(n ^{2} -n-1 RIGHT ) right} }over { sqrt { n^2 -n +1} + sqrt { n^2 -n -1}]

[eqn: =lim _{n -> INF } { 2n }over { sqrt { n^2 -n +1} + sqrt { n^2 -n -1}]

[eqn: =1]

[[eqn: 2`]점][2007년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim _{ {n`->inf}``} {{6n^2 + n + 1}_` over {n^2 + 1} ^` }]의 값은?

④

[eqn: lim from { n` ->` inf } `{6n^2 +n+1}over {n^2 +1}`=` lim from { n` ->` inf } `{6+ 1 over n + 1 over n^2}over {1+ 1 over n^2}`=`6]

[2점][2007년 9월]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

수열 [eqn: left {`a_n ``right }]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n]이
[eqn: S_n = 2^n + 3^n]일 때, [eqn: lim _{n `->` INF `} {a_n_` over S_n^` }]의 값은?

④

[eqn: S_n `=`2^n +3^n]이므로

[eqn: a_n `=`S_n -S_n-1]

[eqn: =`(2^n +3^n )`-`(2^n-1 +3^n-1 )]

[eqn: =`2 BULLET 3^n-1 +2^n-1][eqn: (n`≧`2)]

[eqn: lim from { n` -> `inf } a_n over S_n `=` lim from { n` -> `inf } {2 BULLET 3^n-1 +2^n-1} over {2^n +3^n}]

[eqn: =` lim from { n` -> `inf } {2 over 3 + 1 over 2 BULLET LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^n}_` over { LEFT ( 2 over 3 RIGHT ) ^n +1} `=`2 over 3]

[3점][2007년 9월]

① [eqn: {1_`} over {6`}]	② [eqn: {1_`} over {3`}]	③ [eqn: {1_`} over {2`}]	④ [eqn: {2_`} over {3`}]	⑤ [eqn: {5_`} over {6`}]

[eqn: lim _{ n rarrow INF } { {3 ^{ n+2}+2 ^{ 2n-1} } over { 4 ^{ n}-3 ^{ n+1} } }]의 값은?

①

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n+2} +2 ^{2n-1}} over {4 ^{n} -3 ^{n+1}}} = lim _{n -> INF } {{9 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} + {1} over {2}} over {1-3 LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}} = {1} over {2}}]

[2점][2007년 10월]

① [eqn: { 1} over {2 }]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: { 5} over {2 }]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}} over {sqrt {n+1} +sqrt {n-1}}]의 값은?

②

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}} over {sqrt {n+1} + sqrt {n-1}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {sqrt {2+ 1overn} + sqrt {2- 1 overn}} over {sqrt {1+ 1over n } + sqrt {1- 1overn }} = {2root2 } over 2 = root2]

[2점][2008년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4]

자연수 [eqn: n``]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2} +1}]의 정수부분을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF }`a_n ( sqrt { n^2 +1} ```- a_n `)]의 값은?

②

[eqn: sqrt {n ^{2}} < sqrt {n ^{2} +1} < sqrt {(n+1)^2}]

[eqn: n< sqrt {n ^{2} +1} <n+1]

∴ [eqn: a _{n} =n]

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -a _{n} RIGHT ) = lim _{n -> INF } {}` n LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n RIGHT )]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{n} over {sqrt {n ^{2} +1} +n}} = lim _{n -> INF } {{1} over {sqrt {1+ {1} over {n^2}} +1}} = {1} over {2}]

[3점][2008년 3월]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: sqrt { 2} over2]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt { 2}]

[eqn: lim _{n`` -> `` INF } {{2 ^{n+1} +3 ^{-n+1}} over {2 ^{n-1} +3 ^{-n}}}]의 값은?

④

[eqn: 2 ^{n-1}] 으로 분모와 분자를 나누어 정리하면

[eqn: lim _{n -> INF } {{4+ LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n-1}} over {1+ {1} over {3} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{n-1}} =4}]

[2점][2008년 4월]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {LEFT ( sqrt {n ^{2} +an+3} - sqrt {n ^{2} +bn+2} RIGHT ) =5}]를 만족하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

④

준식[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{(a-b)n+1} over {sqrt {n ^{2} +an+3} + sqrt {n ^{2} +bn+2}}}]

[eqn: = {a-b} over {2} =5] [eqn: THEREFORE ``][eqn: a-b=10]

[3점][2008년 4월]

①  [eqn: 2]	②  [eqn: 5]	③  [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

무한급수 [eqn: {1} over {1 CDOT 3} + {2} over {3 CDOT 7} + {3} over {7 CDOT 13} + {4} over {13 CDOT 21} +` CDOTS]의 합은?

①

수열의 일반항을 [eqn: a_n], [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면

[eqn: a_n = {n over{(n^2 -n+1)(n^2 +n +1) }]

[eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( {1} over {k ^{2} -k+1} - {1} over {k ^{2} +k+1} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {7} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {7} - {1} over {13} RIGHT ) +]

[eqn: LEFT. CDOTS + LEFT ( {1} over {n ^{2} -n+1} - {1} over {n ^{2} +n+1} RIGHT ) RIGHT }]

= [eqn: {1} over {2} left(1- {1} over {n ^{2} +n+1}right )]  [eqn: THEREFORE][eqn: lim _{n -> INF } {S _{n} = {1} over {2}}]

[3점][2008년 4월]

①[eqn: {1} over {2}]	②[eqn: 3over4]	③[eqn: 1]	④[eqn: {5} over {4}]	⑤[eqn: {3} over {2}]

함수 [eqn: f(x)`=` lim_{n-> ```inf}``{x^n+2 ``-6x+2} over {x^n ``+1}``]에 대하여 [eqn: f LEFT ( - 1over 2 RIGHT ) + f(4)``]의 값을 구하시오.

[eqn: 21``]

[eqn: f LEFT ( - 1over 2 RIGHT )``=` lim _{ n-> ``inf``} { { LEFT ( - 1over 2 RIGHT ) ^n+2 - LEFT ( - 1over 2 RIGHT )+2 } over { LEFT ( - 1over 2 RIGHT )^n +1}`=`5``]

[eqn: f(4)`=` lim _{ n->``inf``} { {4^n+2 - 6``·``4+2} over {4^n +1} }=16``]

[eqn: ∴``f LEFT ( - 1over 2 RIGHT )+ f(4) `=` 5+16`=`21``]

[3점][2008년 5월]

[eqn: lim _{ n->``inf} { {(3n+1)^3}over {1``·``2``+``2``·``3``+``cdots`+``n(n+1)``}``}]의 값을 구하시오.

[eqn: 81``]

(분자)[eqn: = (3n+1)^3```=`27 n^3 +27 n^2 + 9n+1``]

(분모)[eqn: = sum_k=1^n ``k(k+1)`=` sum _{ k=1} ^{n } k^2 + sum _{ k=1} ^{n } k``]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over 6 + {n(n +1)} over 2``]이므로

(준식)[eqn: = lim _{ n-> ``inf} { {27n^3 + 27n^2 + 9n + 1} over { {n(n+1)(2n+1)}over 6 + {n(n+1)over2}][eqn: =81``]

[3점][2008년 5월]

[eqn: lim from {n`->`inf}][eqn: {2n^2 -7n} over {n ^2 +5}]의 값은?

②

[eqn: lim _{ n rarrowinf } { } { 2n^2 -7n} over {n^2 +5 }= lim _{ n rarrowinf } { } { 2 - 7 over n} over {1+ {5 } over {n^2 } }=2]

[2점][2008년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n} over {sqrt {4n ^{2} +1} -n}} `]의 값은?

⑤

[eqn: lim _{n-> INF } {{3n} over {sqrt {4n ^{2} +1} -n} = lim _{n-> INF } {{3} over {sqrt {4+ {1} over {n^2}} -1} =3}}]

[[eqn: 2`]점][2008년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim_{n`→`inf} {5^n -2^n}_` over{5^n+1 +3^n+1 }]의 값은?

②

[eqn: lim _{n -> INF } {{5 ^{n} -2 ^{n}} over {5 ^{n+1} +3 ^{n+1}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{1- LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n}} over {5+3 LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n}}}][eqn: = {1} over {5}]

[2점][2008년 9월]

① [eqn: {1_`} over {8`}]	② [eqn: {1_`} over {5`}]	③ [eqn: {1_`} over {3`}]	④ [eqn: {3_`} over {8`}]	⑤ [eqn: 1]

[eqn: lim _{n -> INF } {} `{sqrt {n+2`}`` - sqrt {n`}`} over {sqrt {n+1`}`` - sqrt {n`}`} `]의 값은?

⑤

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {n+2} - sqrt {n}} over {sqrt {n+1} - sqrt {n}} `]

[eqn: `= lim _{n -> INF } {} {LEFT { (n+2)-n RIGHT } ( sqrt {n+1} + sqrt {n} `)} over {LEFT { (n+1)-n RIGHT } ( sqrt {n+2} + sqrt {n} `)}]

[eqn: =2 lim _{n -> INF } {} {sqrt {n+1} + sqrt {n}} over {sqrt {n+2} + sqrt {n}} =2`]

[2점][2009년 3월]

① [eqn: {1`} over {2`}]	② [eqn: `sqrt{2`}_` over {`2`}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: root2]	⑤ [eqn: 2]

수렴하는 수열 [eqn: LEFT {` a_n` RIGHT }`]에 대하여
[eqn: a _{n} +2`＜``3`a _{n+1} `＜``2`a _{n} +1`] ([eqn: n=1,``2,``3,`` CDOTS])
이 성립할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} `]의 값은?

③

[eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} = alpha] ([eqn: alpha]는 상수)로 놓으면 [eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n+1} = alpha]

[eqn: a _{n} +2`＜``3a _{n+1} ``＜``2a _{n} +1`]에서

[eqn: lim _{n -> INF } {} `(a _{n} +2)` <= ` lim _{n -> INF } {} `(3a _{n+1} )`` <= lim _{n -> INF } {} `(2a _{n} +1)`],

[eqn: lim _{n -> INF } {} `a _{n} +2` <= `3 lim _{n -> INF } {} `a _{n+1} `` <= `2 lim _{n -> INF } {} `a _{n} +1`]

∴ [eqn: alpha +2 <= 3 alpha <= 2 alpha +1`]

[eqn: alpha +2 <= 3 alpha]에서 [eqn: alpha >= 1] … ㉠

[eqn: 3 alpha <= 2 alpha +1`]에서 [eqn: alpha <= 1`] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: alpha =1]

[3점][2009년 3월]

① [eqn: {1`} over {3`}]	② [eqn: {2`} over {3`}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {4`} over {3`}]	⑤ [eqn: {5`} over {3`}]

함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n-1} +x ^{2n}} over {x ^{2n} +2}}]으로 정의할 때,
[eqn: LEFT. f(-2)+f`left( {1} over {2} RIGHT )]의 값은?

④

[eqn: f(-2)+f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2} +0= {1} over {2}]

[3점][2009년 4월]

①  [eqn: -2]	② [eqn: -{1} over {2}]	③    [eqn: 0]

④   [eqn: {1} over {2}]	⑤    [eqn: 2]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1 ^{2} +3 ^{2} +5 ^{2} + CDOTS +(2n-1) ^{2}} over {2 ^{2} +4 ^{2} +6 ^{2} + CDOTS +`(2n) ^{2} + CDOTS +(4n) ^{2}}}]의 값은?

①

[eqn: lim _{n -> INF } {{sum _{k=1} ^{n} (2k-1) ^{2}} over {sum _{k=1} ^{2n} (2k) ^{2}}} = lim _{n -> INF } {{sum _{k=1} ^{n} (4k ^{2} -4k+1)} over {sum _{k=1} ^{2n} 4k ^{2}}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{{4n(n+1)(2n+1)} over {6} - {4n(n+1)} over {2} +n} over {{4`․`2n(2n+1)(4n+1)} over {6}}}]

[eqn: = {1} over {8}]

[3점][2009년 4월]

①[eqn: {1} over {8}]	②[eqn: {1} over {4}]	③[eqn: {1} over {2}]
④[eqn: 1]	⑤[eqn: 2]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {an ^{2} +bn+5} over {5n+5} =5]가 성립하도록 하는 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[eqn: 25]

극한값이 존재하므로 [eqn: a=0]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {bn+5} over {5n+5}} = lim _{n`-> ` INF } {` {b+ {5} over {n}} over {5+ {5} over {n}}} = {b} over {5} =5]이므로

[eqn: b=25]이다. 따라서 [eqn: a+b=25]이다.

[2점][2009년 4월]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2n+1} over {sqrt {9n ^{2} +1} -n} ``]의 값은?

①

[eqn: lim_n->inf 2n+1 over {root {9n^2 +1} -n}``][eqn: = lim_n->inf {(2n+1)(sqrt{9n^2 +1}+n)} over {(sqrt {9n^2 +1} -n)(sqrt {9n^2 +1} +n)}]

[eqn: = lim_n->inf {sqrt{(2n+1)^2 (9n^2 +1)} +2n^2 +n } over {8n^2 +1}]

분모, 분자를 [eqn: n^2`]으로 나누면 (준식)[eqn: = {sqrt36 +2} over 8 =1]

[2점][2009년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: left{a_n right}`]에 대하여 [eqn: lim from {n-> inf} `` {5^n `a_n } over {3^n +1 }`]이 [eqn: 0`]이 아닌 상수일 때,
[eqn: lim from {n-> inf} `` {a_n } over {a_{n +1} }`]의 값은?

③

[eqn: lim _{n -> inf} {5^n a_n } over {3^n +1} = alpha~(alpha not = 0)]　[eqn: {5^n a_n } over {3^n +1} = b_n]이라 하면
[eqn: lim _{n -> inf} b_n = alpha~(alpha not = 0)]이다.
[eqn: a_n = {3^n+1} over 5^n b_n]에서
[eqn: lim_{n-> inf} a_n over a_n+1 = lim_{n-> inf} {{3^n +1} over5^n b_n} over {{3^n+1 +1} over5^n+1 b_n} = lim_{n-> inf} {5^n+1 (3^n +1)b_n} over {5^n (3^n+1 +1)b_n+1} = 5 over 3]

[3점][2009년 6월]

① [eqn: 2over 3]	② [eqn: 4over 5]	③ [eqn: 5over 3]	④ [eqn: 9over 5]	⑤ [eqn: 8over 3]

[eqn: lim _{n -> ` INF } {} ( sqrt {n ^{2} +2n+3} -n)]의 값은?

①

[eqn: lim _{n-> INF } {( sqrt { n^2 +2n +3}-n)]

[eqn: =lim _{n-> INF } {{( sqrt { n^2 +2n +3}-n)( sqrt { n^2 +2n+3 }+n)} over { { sqrt { n^2 +2n+3} +n}}]

[eqn: =lim _{n-> INF } { { 2n+3} over { sqrt { n^2 + 2n +3}+n } }=1]

[2점][2009년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

[eqn: lim_n->inf 7^n+1 over {2cdot 7^n +3}]의 값은?

④

[eqn: lim _{n -> inf} {7^n+1} over {2·7^n + 3}]에서 분자,분모를 [eqn: 7^n]으로 나누면

준식 = [eqn: lim _{n -> inf} {7} over {2 + 3over7^n} = 7 over 2]

[2점][2009년 9월]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 5 over2]	④ [eqn: 7 over2]	⑤ [eqn: 9 over 2]

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { `a_{`n}` RIGHT }``]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} `` {``6+2a_{`n}`` } over {``3a_{`n} -1``}= 3 over 2`]일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {} ``a_{`n} ``]의 값은?

③

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n} `=` alpha }]로 놓으면 [eqn: 12`+`4` alpha `=`9` alpha `-`3`] ∴ [eqn: alpha `=`3``]

[3점][2009년 10월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[eqn: lim _{n -> INF } {} `n` LEFT ( sqrt {n ^{2} +1} -n` RIGHT ) `]의 값은?

③

[eqn: lim _{n -> INF } {} `n` left( sqrt {n ^{2} +1} -n` right ) =lim _{n -> INF } {} `n over { sqrt {n ^{2} +1} +n} = 1over2 `]

[2점][2010년 3월]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: LEFT { `a_n` RIGHT }]이 [eqn: 3n -1 < n`a_n < 3n+2]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} {``a_n }]의 값은?

④

[eqn: 3n-1 < n`a_n < 3n+2]의 양변을 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: 3n-1 over n < a_n < 3n+2 over n]

이다. 따라서, [eqn: lim _{ n`->`inf} {`3n-1 over n }=3], [eqn: lim _{ n`->`inf} {`3n+2 over n }=3]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} {`a_ n }=3] 이다.

[3점][2010년 4월]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3`․`4 ^{n} -3 ^{n}} over {4 ^{n} +3 ^{n} +2}}]의 값은?

③

[eqn: lim _{ n->inf}` { 3cdot4^n`-3^n}over{4^n`+3^n`+2}`=`lim _{ n->inf}` { 3`-`left(3over4`right)^n}over{1`+`left(3over4`right)^n`+`2over{4^n}}`=`3`]

[2점][2010년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( 3 ^{n} a _{n} -2 RIGHT )]가  수렴할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{6a _{n} +5`․`4 ^{-n}} over {a _{n} +3 ^{-n}}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 4`]

급수가 수렴하므로 일반항은 [eqn: 0]으로 수렴한다.

[eqn: lim _{ n->inf} { 3^n a_n -2} =0]이르로 [eqn: lim _{ n->inf} { }3^n a_n =2]이다.

[eqn: lim _{ n->inf} {6 a_n +5 cdot4 ^-n }over{a_n +3^-n} = lim _{ n->inf} { } { 6 cdot 3^n a_n +5 left( 3over4 right)^n} over{3^n a_n +1]이므로

주어진 식의 극한값은 [eqn: 12 over3 =4]이다.

[3점][2010년 6월]

[eqn: lim _{n -> `INF } {{1} over {sqrt{n^2 +n+1} - sqrt {n^2 -n +1}}}`]의 값은?

①

[eqn: lim _{n -> ` INF } {{1} over {sqrt {n ^{2} +n+1} - sqrt {n ^{2} -n+1}}}]

[eqn: = lim _{n -> ` INF } {{LEFT ( sqrt {n ^{2} +n+1} + sqrt {n ^{2} -n+1} RIGHT )} over {2n}} =1]

[[eqn: 2`]점][2010년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `,````` LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {2n+3}} =2],
[eqn: lim _{n -> INF } {` {b _{n}} over {3n+1}} =3]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n} b _{n}} over {n ^{2} +4}}]의 값을 구하시오.

[eqn: 36]

[eqn: lim _{n-> INF } {` {a _{n}} over {2n+3} =2,``` lim _{n-> INF } {` {b _{n}} over {3n+1} =3``}}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {` {a _{n}} over {2n+3} `times` {b _{n}} over {3n+1} ``}]

[eqn: = lim _{n`-> ` INF } {` {a _{n}} over {2n+3} `times` lim _{n`-> ` INF } {` {b _{n}} over {3n+1} `=2times3=6`}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n`-> ` INF } {` {a _{n``} b _{n} ^{}} over {n ^{2} +4}}]

[eqn: =` lim _{n` -> INF } { {a _{n``} b _{n}} over {(2n+3)(3n+1)}` TIMES lim _{n` -> ` INF } { {(2n+3)(3n+1)} over {n ^{2} +4}}}]

[eqn: =6times6=36]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

[eqn: lim _{n->inf} {LEFT ( sqrt {n ^{2} +4n+11} -n RIGHT )}]의 값은?

②

[eqn: lim _{n -> INF } {} ( sqrt {n ^{2} +4n+11} -n)][eqn: = lim _{n -> INF } {} {( sqrt {n ^{2} +4n+11} -n)( sqrt {n ^{2} +4n+11} +n)} over {sqrt {n ^{2} +4n+11} +n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {4n+11} over {sqrt {n ^{2} +4n+11} +n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {4+ {11} over {n}} over {sqrt {1+ {4} over {n} + {11} over {n ^{2}}} +1}][eqn: = 2]

[2점][2010년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 등식 [eqn: lim _{n -> INF } {{an+b} over {n}} `=`2`], [eqn: sum _{n=1} ^{5} LEFT ( `an``+`b` RIGHT ) `=60`]을 만족시키는 상수 [eqn: a`,``b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은?

④

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a+ {b} over {n} RIGHT )} =a=2], [eqn: sum _{n=1} ^{5} LEFT ( `2n``+`b` RIGHT ) ` & =30+5b=60]

[eqn: THEREFORE`` a+b=2+6=8]

[3점][2010년 10월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: lim_ {n``-> ``inf} { 3 over {sqrt{n^2 +3n +2} `-n}}`]의 값을 구하시오.

[eqn: 2]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {3} over {sqrt {n ^{2} +3n+2} -n}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT . {3(sqrt {n ^{2} +3n+2} +n)} over {(sqrt {n ^{2} +3n+2} -n)(sqrt {n ^{2} +3n+2} +n)}]

[eqn: =2]

[2점][2011년 4월]

[eqn: lim_n->inf 3n over {2n+1} ``]의 값은?

③

식의 분모, 분자를 [eqn: n] 으로 나누면,

[eqn: lim from n->inf { { 3n} over n } over { {2n +1 } over n }] [eqn: = lim from n->inf{ 3 } over { 2+ {1 over n} }= 3 over 2]

[2점][2011년 6월]

①　[eqn: 1 over 2]	②　[eqn: 1]	③　[eqn: 3 over 2]	④　[eqn: 2]	⑤　[eqn: 5 over 2]

[eqn: lim_n->inf {3n^2 +5} over {2n^2 +n}``]의 값은?

③

[eqn: lim _{ n->inf} { { 3n^2 +5} over {2n^2 +n } } =lim _{ n->inf} { { 3 + { 5} over {n^2 } } over {2 + { 1} over {n } } } = { 3} over {2 }]

[2점][2011년 9월]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 5 over 4]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: 7 over 4]	⑤ [eqn: 5 over 2]

수열 [eqn: left{a_n right}``]과 [eqn: left{b_n right}``]이
[eqn: lim_n->inf (n+1)`a_n =2], [eqn: lim_n->inf left(n^2 +1 right)`b_n =7]
을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf {(10n+1)`b_n } over a_n ``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a_n ne 0])

[eqn: 35]

[eqn: lim_n->inf (10n+1)b_n over a_n = lim_n->inf {(n^2 +1)b_n }over (n+1)a_n TIMES { (n+1)(10n+1)} over {n^2 +1 }]

[eqn: = {7} over {2 } lim _{ n->inf} { { 10+ { 11} over {n } + { 1} over {n^2 } } over { 1+{ 1} over {n^2 }} }] [eqn: = { 7} over { 2} TIMES 10 =35]

[3점][2011년 9월]

[eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{(2`^n +1)(2`^n -1)}`]의 값은?

④

[eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{(2`^n +1)(2`^n -1)}`][eqn: =][eqn: lim _{ n->inf} {4`^n+1 - 1}over{4^n -1}]

[eqn: `=][eqn: lim _{ n->inf} {4 - 1 over 4^n}over{1- 1over 4^n} =4]

[2점][2012년 3월]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 8]

두 수열 [eqn: left{ `a`_n` right}], [eqn: left{ `b`_n `right}`]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim_n->inf `a`_n`][eqn: =inf]

(나) [eqn: lim_n->inf `left(`2a`_n -`5b`_n `right)`=3`]

[eqn: lim_n->inf {2a`_n +`3b`_n}over{a`_n +`b`_n} `= q over p`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p,``q`]는 서로소인 자연수이다.)

23

[eqn: c_{it n}=2a_n -5b_n`]이라 하면  [eqn: b _{it n} = {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {c _{n}} = 3]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {c _{n}} over {a _{n}} =`0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2a` _{n} +`3b` _{n}} over {a` _{n} +`b` _{n}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {} {2a` _{n} +`3`·` {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `} over {a` _{n} +` {1} over {5} LEFT ( `2a _{n} -`c _{n`} ` RIGHT ) `} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {16a` _{n} `-3c _{n}} over {7a` _{n} -c _{n} `} `]

[eqn: =` lim _{n -> INF } {} {16`-3``·`` {c _{n}} over {a _{n}}} over {7- {c _{n}} over {a _{n}} `} `]

[eqn: = {16} over {7}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p`+`q`=7`+`16`=`23]

[다른풀이]

[eqn: lim_n->inf (2a_n -5b_n )=3`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} a_n LEFT ( 2-5`` ·``{b _{n}} over {a _{n}} RIGHT ) =3]에서

[eqn: lim_n->inf `a`_n`][eqn: =inf] 이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( 2-5` `·``{b _{n}} over {a _{n}} RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim_n->inf b_n overa_n = 2over5]

[eqn: lim_n->inf {2a_n +3b_n}over{a_n +b_n} = lim_n->inf {2+3 ``‧``b_n overa_n }over{1+ b_n overa_n }]

[eqn: ={2+3``․`` 2over5}over{1+ 2over5}= 16over7]

[eqn: THEREFORE] [eqn: `p`+`q``=7`+`16``=`23]

[4점][2012년 3월]

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }a_n = 3`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {2a _{n} -`3} over {a _{n} +`1}]의 값은?

①

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n-> inf} {a _{n} =0}``]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n-> inf} {{2a _{n} -3} over {a _{n} +1}}][eqn: = {2``․``0-3} over {0+1} =-3]

[3점][2012년 3월]

① [eqn: -3`]	② [eqn: -2`]	③ [eqn: -1`]	④ [eqn: 0`]	⑤ [eqn: 1`]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4 ^{n} +3} over {2 ^{2n} -1}}]의 값은?

③

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{4 ^{n} +3} over {2 ^{2n} -1}} = lim _{n` -> ` INF } {{1+ {3} over {4 ^{n}}} over {1- {1} over {4 ^{n}}}} =1]

[2점][2012년 4월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③  [eqn: 1]

④    [eqn: 2]	⑤    [eqn: 4]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b``]에 대하여 [eqn: lim_n->inf {an^2 +bn+7} over 3n+1 =4``]일 때, [eqn: a+b``]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

분자가 일차식이어야 하므로 [eqn: a=0]
극한에서 일차항 계수의 비가 [eqn: b over 3 =4``]이므로 [eqn: b=12]
[eqn: therefore```a+b=12]

[3점][2012년 6월]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {a _{n} +n} - sqrt {n} RIGHT )} =5`]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}}]의 값을 구하시오.

10

[eqn: b_n `=` root{ a_n +n } - rootn]이라 하면,

[eqn: lim_{n `-> ` inf } { b_n `=` 5]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {sqrt {n}}} `=` lim _{n` -> ` INF } {{(b _{n} + sqrt {n} ) ^{2} -n} over {sqrt {n}}} `]

[eqn: `=`` lim _{`n` -> INF } {{b _{n} ^{2}} over {sqrt {n}} +2 lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} `=`10}]

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

[eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{3}+2} over {8n ^{3} `+5}}]의 값은?

①

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{3} +2} over {8n ^{3} +5} = lim _{n -> INF } {} {1+ {2} over {n ^{3}}} over {8+ {5} over {n ^{3}}}][eqn: = 1over8]

[2점][2012년 9월]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]	④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[eqn: lim_{n -> inf} {3n-1}over{ sqrt{n^{`2} +1}`]의 값은?

③

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n-1} over {sqrt {n ^{2} +1}}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {{3- {1} over {n}} over {sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}}}} `][eqn: =3`]

[2점][2012년 10월]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

[eqn: lim_n->inf {2 times 5^n -3^n } over {5^n+1 +2^n }``]의 값은?

④

[eqn: lim_n->inf {2 times 5^n -3^n } over {5^n+1 +2^n }``][eqn: =lim_n->inf {2 - left(3 over 5 right)^n } over {5 + left( 2 over 5 right)^n } = 2 over 5]

[2점][2012년 5월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4 over 5]	③ [eqn: 3 over 5]	④ [eqn: 2 over 5]	⑤ [eqn: 1 over 5]

수열 [eqn: "{" a_{`n} "}" `]에 대하여 무한급수 [eqn: sum_{n=1}^{inf} {a_{`n} -n} over n `]이 수렴할 때, [eqn: lim_{n-> inf} {5n+ a_{`n} }over{5n- a_{`n} }`]의 값은?

⑤

무한급수 [eqn: sum _{n=1`} ^{INF } ` {a _{`n} -n} over {n} `]이 수렴하므로

[eqn: lim_{n->inf} left( {a_{`n} -n} over n right) = lim_{n->inf} left( {a_{`n} over n -1 right) =0`]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{`n}} over {n} =1}]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {5n+a _{`n}} over {5n-a _{`n}}] [eqn: = lim _{n -> INF } {} {5+ {a _{`n}} over {n}} over {5- {a _{`n}} over {n}}] [eqn: = {5+1} over {5-1}] [eqn: = 3over2 `]

[참고] 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} a _{n} `]이 수렴하면 [eqn: lim _{n -> INF } {`a _{n} =0}]이다.

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3over4]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 5over4]	⑤ [eqn: 3over2]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n} =1,~ sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {n} =2`]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} +4n} over {b _{n} +3n-2}]의 값은?

③

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {b _{n}} over {n}`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {b _{n}} over {n} =0]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} +4n} over {b _{n} +3n-2}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {{a _{n}} over {n} +4} over {{b _{n}} over {n} +3- {2} over {n}}][eqn: = {1+4} over {0+3-0}][eqn: = {5} over {3}]

[3점][2013년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 5 over 3]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {2`․`3 ^{n} -2} over {3 ^{n+1} +1}}]의 값은?

②

[eqn: lim _{n -> INF } {{2·3 ^{n} -2} over {3 ^{n+1} +1}} = lim _{n -> INF } {{{2} over {3} - {2} over {3 ^{n+1}}} over {1+ {1} over {3 ^{n+1}}}} = {2} over {3}]

[2점][2013년 4월]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

수열 [eqn: left{a_n right}``]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 부등식
[eqn: 3n ^{2} +2n`<`a _{n} `<`3n ^{2} +3n]
을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{5a _{n}} over {n ^{2} +2n}}]의 값을 구하시오.

15

[eqn: 3n ^{2} +2n`<`a _{n} `<`3n ^{2} +3n]의 양변에 [eqn: {5} over {n ^{2} +2n}]를 곱하면

[eqn: {5 LEFT ( 3n ^{2} +2n RIGHT )} over {n ^{2} +2n} `<` {5a _{n}} over {n ^{2} +2n} `<` {5 LEFT ( 3n ^{2} +3n RIGHT )} over {n ^{2} +2n}]이다.

양변에 [eqn: n]을 한없이 크게 하는 극한을 취하면

[eqn: lim _{n-> INF } {{5 LEFT ( 3n ^{2} +2n RIGHT )} over {n ^{2} +2n}} `=`15,```` lim _{n -> INF } {{5 LEFT ( 3n ^{2} +3n RIGHT )} over {n ^{2} +2n} =15} `]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{5a _{n}} over {n ^{2} +2n}} `=15]이다.

[3점][2013년 6월]

[eqn: lim_n->inf {5 times 7^n+1 +3} over 7^n ``]의 값은?

⑤

[eqn: lim_n->inf {5 times 7^n+1 +3} over 7^n ``=lim_n->inf {35 + 3 over 7^n } over 1 ``=35]

[2점][2013년 6월]

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 25]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 35]

[eqn: lim _{n` -> `` INF } {{2n ^{2} +5} over {n ^{2} +2}}]의 값은?

②

[eqn: lim _{n -> INF } {{2n ^{2} +5} over {n ^{2} +2}} ``=` lim _{n -> INF } {{{2n ^{2}} over {n ^{2}} + {5} over {n ^{2}}} over {{n ^{2}} over {n ^{2}} + {2} over {n ^{2}}}```=`2]

[[eqn: 2]점][2013년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> `` INF } {{a _{n}} over {n+1} =3}]일 때, [eqn: lim _{n` -> `` INF } {{(2n+1)a _{n}} over {3n ^{2}}}]의 값은?

②

[eqn: {a _{n}} over {n+1} =b _{n}]이라 하면 [eqn: a _{n} =(n+1)b _{n}]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} =3}]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {{(2n+1)a _{n}} over {3n ^{2}} `=`} lim _{n -> INF } {{(2n+1)(n+1)b _{n}} over {3n ^{2}}}# ``````````````````````````````````````````=` lim _{n -> INF } {{(2n+1)(n+1)} over {3n ^{2}}} TIMES lim _{n -> INF } {b _{n}}# ``````````````````````````````````````````=` {2} over {3} TIMES 3```=`2]

[[eqn: 3]점][2013년 7월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim_n->inf left(root{n^2 +28n} -n right)``]의 값을 구하시오.

[eqn: 14]

[eqn: {n ^{2} +28n-n ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +28n} +n} = {28n} over {sqrt {n ^{2} +28n} +n}]

[eqn: lim _{n -> INF } {{28n} over {sqrt {n ^{2} +28n} +n} =14}]

[3점][2013년 9월]

[eqn: lim _{n`-> `inf} {} {2n ^{2} +n-3} over {3n ^{2} -1} `]의 값은?

①

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {2n ^{2} +n-3} over {3n ^{2} -1} `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {2+ {1} over {n} - {3} over {n ^{2}}} over {3- {1} over {n ^{2}}} `][eqn: = {2+0-0} over {3-0} = {2} over {3} `]

[2점][2013년 10월]

① [eqn: {2} over {3} `]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: {4} over {3} `]	④ [eqn: {5} over {3} `]	⑤ [eqn: 2`]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {3-a _{n}} over {2} =1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{4na _{n} +5} over {n-3} `}]의 값을 구하시오.

[eqn: 12]

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {3-a _{n}} over {2} `]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{3-a _{n}} over {2} =0`}], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} =3`]

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {{4na _{n} +5} over {n-3} = lim _{n -> INF } {{4a _{n} + {5} over {n}} over {1- {3} over {n}} =}} {4 TIMES 3+0} over {1-0} =12`]

[3점][2013년 10월]

수열 [eqn: left{a_n right} `]에 대하여 [eqn: lim _n->inf {`a_n} over n = 1 over 3 `]일 때, [eqn: lim _n->inf {root {9n^2 +n}-n} over a_n`]의 값을 구하시오.

6

[eqn: {sqrt {9n ^{2} +n} -n} over {a _{n}} `]의 분모, 분자를 각각 [eqn: n`]으로 나누면

[eqn: {{sqrt {9n ^{2} +n} -n} over {n}} over {{a _{n}} over {n}} `][eqn: = {sqrt {9+ {1} over {n}} -1} over {{a _{n}} over {n}} `]

이때 [eqn: lim _n->inf a_n over n = 1 over 3 `]이고 [eqn: lim_n->inf left ( root{9+ 1 over n} -1 right) = 2]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {9n ^{2} +n} -n} over {a _{n}}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {sqrt {9+ {1} over {n}} -1} over {{a _{n}} over {n}} `][eqn: = {lim _{n -> INF } {} LEFT ( sqrt {9+ {1} over {n} }-1 RIGHT )} over {lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n}} `]

[eqn: = 2 over {{1} over {3}} `][eqn: =6`]

[3점][2014년 3월]

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT ( 2n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n-3 RIGHT )} over {4n ^{2} +5}} `]의 값은?

①

[eqn: lim _{n -> INF } {{LEFT ( 2n+1 RIGHT ) LEFT ( 2n-3 RIGHT )} over {4n ^{2} +5}} `]

[eqn: = lim _{n->inf} {{4n ^{2} -4n-3} over {4n ^{2} +5}}] [eqn: = lim _{n->inf} {{4- {4} over {n} - {3} over {n ^{2}}} over {4+ {5} over {n ^{2}}}}] [eqn: = {4} over {4}] [eqn: =1]

[2점][2014년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 [eqn: a`]에 대하여
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( sqrt {n ^{2} +an} -n+2a RIGHT ) =10]
일 때, [eqn: a`]의 값을 구하시오.

4

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( sqrt {n ^{2} +an} -n+2a RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{n ^{2} +an-(n-2a) ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +an} +n-2a}} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5an-4a ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +an} +n-2a}} `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{5a- {4a ^{2}} over {n}} over {sqrt {1+ {a} over {n}} +1- {2a} over {n}}} `]

[eqn: = {5a} over {2}][eqn: =10]

∴ [eqn: a=4]

[3점][2014년 3월]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여
[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( 2- {a _{n}} over {9 ^{n}} RIGHT ) `=`1]
일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {9 ^{n}} over {2a _{n} +1}}]의 값은?

②

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( 2- {a _{n}} over {9 ^{n}} RIGHT )]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` LEFT ( 2- {a _{n}} over {9 ^{n}} RIGHT ) `} =0]
[eqn: therefore] [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {a _{n}} over {9 ^{n}}} `=`2]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {9 ^{n}} over {2a _{n} +1}} `= lim _{n` -> ` INF } {` {1} over {2 TIMES {a _{n}} over {9 ^{n}} `+ {1} over {9 ^{n}}}} `= {1} over {4}]

[3점][2014년 4월]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: 1+2`log` _{3} `n`<log` _{3} `a _{n} `<1+2`log _{`3} ` LEFT ( n+1 RIGHT )]
을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n ^{2}}}]의 값은?

③

[eqn: log_3 3n^2 < log_3 a_n <log_3 3 left(n+1right)^2]

[eqn: 3n ^{2} <a _{n} <3 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: {3n ^{2}} over {n ^{2}} < {a _{n}} over {n ^{2}} < {3 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {n ^{2}}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3n ^{2}} over {n ^{2}}} LEQ lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n ^{2}}} LEQ lim _{n` -> ` INF } {{3 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {n ^{2}}}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3n ^{2}} over {n ^{2}}} = lim _{n` -> ` INF } {{3 LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2}} over {n ^{2}} =3}]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {n ^{2}}} =3]

[3점][2014년 4월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

첫째항이 [eqn: 3]이고 공비가 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여
[eqn: lim from { n`->` inf} { 3^n+1 - 7 } over a_n]의 값은?

③

[eqn: a _{n} =3 TIMES 3 ^{n-1} =3 ^{n}]

[eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3 ^{n+1} -7} over {a _{n}}][eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3 ^{n+1} -7} over {3 ^{n}}][eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3- {7} over {3 ^{n}}} over {1}][eqn: =][eqn: {3-0} over {1} =3]

[3점][2014년 6월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim from { n `->` inf} { 3n^2 +5 } over { n^2 + 2n }]의 값을 구하시오.

[eqn: 3]

[eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3n ^{2} +5} over {n ^{2} +2n} `][eqn: =][eqn: lim _{n-> INF } {} `][eqn: {3+ {5} over {n ^{2}}} over {1+ {2} over {n}} `= {3+0} over {1+0} =3]

[3점][2014년 6월]

수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여 무한급수 [eqn: Sum from { n`=`1} to inf ` left( a_n - 5n over n+1 right)]이 수렴할 때, [eqn: lim from { n`->` inf}` a_n `]의 값을 구하시오.

[eqn: 5]

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+1} RIGHT )]이 수렴하려면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} - {5n} over {n+1}} =0]으로 수렴해야 하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =5]이다.

[3점][2014년 6월]

수렴하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> ` INF `} {{4a _{n} +3} over {2-a _{n}} `} =2`]일 때, [eqn: lim _{n`->`inf} {a _{n} `}]의 값은?

③

수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> inf} {a _{n} =alpha`}]라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {{4a _{n} +3} over {2-a _{n} `}} =2`]에서 [eqn: {4alpha+3} over {2-alpha} =2`]

[eqn: 4alpha+3=4-2alpha`], [eqn: alpha= {1} over {6} `]

따라서 [eqn: lim _{n->inf} {a _{n} =alpha= {1} over {6} `}]

[3점][2014년 7월]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {7}]	③ [eqn: {1} over {6}]	④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} -7 RIGHT ) =2014]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값을 구하시오.

7

[eqn: sum _{n=1} ^{inf} (a _{n} -7)`]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n-> inf} {(a _{n} -7)=0`}]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =7}]

[3점][2014년 7월]

[eqn: lim _{`n`-> INF } {} {5`n` ^{3} +1} over {n` ^{3} +3}]의 값은?

⑤

(준식)[eqn: =][eqn: lim _{`n` -> INF } {} {5`+ {1} over {n` ^{3}}} over {1+ {3} over {n` ^{3}}} = {5} over {1} =5]

[2점][2014년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n->inf} {left( 2n-1right) left( 2n+1right) }over{n^{`2}}`]의 값은?

④

[eqn: lim _{n -> INF } {{`(2n-1)(2n+1)} over {n ^{2}}} `][eqn: =lim _{n -> INF } {{4n ^{2} -1} over {n ^{2}}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {{4- {1} over {n^{`2}}} over {1}} `][eqn: =4]

[2점][2014년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

첫째항이 [eqn: 2`]이고 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over{ { a _{n} }` a_{`n+1}}]의 값은?

⑤

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]은 [eqn: a _{1} `][eqn: =2`], [eqn: d`][eqn: =3`]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n}`][eqn: =3n-1`], [eqn: a _{n+1} `][eqn: =3n+2`]

첫째항부터 제[eqn: n`]항까지 합 [eqn: S _{n}`]은

[eqn: S _{n}`][eqn: = {n left( 2+ 3n-1 right) }over {2} `][eqn: = {3n ^{2} +n} over {2} `]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over {a _{n} a _{n+1}}}][eqn: =lim _{n -> INF } {{{3n ^{2} +n} over {2}} over {(3n-1)(3n+2)} `}`]

[eqn: =lim _{n -> INF } {{3+ {1} over {n}} over {18+ {6} over {n} - {4} over {n ^{2}}}} `][eqn: = {1} over {6} `]

[3점][2014년 10월]

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 1 over 2]	④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 1 over 6]

수열 [eqn: LEFT { `a _{`n} ` RIGHT }]이 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( `a _{`n} `-` {n} over {2`n`+`1} ` RIGHT ) `=`2`]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{`n} `}]의 값은?

②

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {n} over {2n+1} RIGHT ) `=2]이므로 [eqn: lim_{n->inf}` left( a_n - n over 2n+1 right) =0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {n} over {2n+1}][eqn: = 1 over 2]이므로

[eqn: lim_{n->inf}` a_n][eqn: = lim _{n -> INF } left{ LEFT ( a _{n} - {n} over {2n+1} right)+ {n} over {2n+1} RIGHT }][eqn: = 0 + 1over2][eqn: = 1 over 2]

[3점][2014년 10월]

①　[eqn: 1 over 3]	②　[eqn: 1 over 2]	③　[eqn: 1`]	④　[eqn: 2`]	⑤　[eqn: 3`]

[eqn: lim _{n `-> ` INF } {} {8n -1 } over {sqrt {n ^{2} +1}}`]의 값은?

②

[출제의도] 수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {8n-1} over {sqrt {n ^{2} +1}} `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {8- {1} over {n}} over {sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}}} `][eqn: = {8-0} over {sqrt {1+0}} `][eqn: =8`]

[2점][2015년 3월]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

두 양의 실수 [eqn: a `], [eqn: b`]([eqn: a > b`])에 대하여 [eqn: lim _{ n`->`inf} { {2a^n} over {a^n +b^{`n}}`]의 값은?

②

[출제의도] 무한등비수열의 성질을 이해하고 극한값을 구한다.

[eqn: a>b>0`]이므로 [eqn: 0< {b} over {a} <1 `]에서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n} `][eqn: =0`]

[eqn: lim _{n` -> `INF } {} {2a ^{n}} over {a ^{n} +b ^{n}} `][eqn: = lim _{n` ->` INF } {} {2} over {1+ LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n}} `][eqn: = {2} over {1+0} `][eqn: =2`]

[3점][2015년 3월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: "{"a_n "}"]에 대하여 무한급수 [eqn: SUM_n=1 ^inf LEFT(a_n - 5n over n+1 RIGHT)]이 수렴할 때, [eqn: lim_{n`->`inf} {a_n +3}over{a_n -1}]의 값은?

⑤

[출제의도] 무한급수와 일반항의 관계를 이해하고 이를 활용하여 극한값을 구한다.

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+1} RIGHT ) `]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n` -> `INF } {} LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+1} RIGHT ) `][eqn: =0`]

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {} {5n} over {n+1} `][eqn: =5`]이므로

[eqn: lim _{n` -> `INF } {} {a _{n} +3} over {a _{n} -1}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {a _{n} - {5n} over {n+1} + {5n} over {n+1} +3} over {a _{n} - {5n} over {n+1} + {5n} over {n+1} -1}]

[eqn: = {lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+1} RIGHT ) + lim _{n` -> ` INF } {} {5n} over {n+1} + lim _{n` -> ` INF } {} 3} over {lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+1} RIGHT ) + lim _{n` -> ` INF } {} {5n} over {n+1} - lim _{n` -> ` INF } {} 1} `]

[eqn: = {0+5+3} over {0+5-1} `][eqn: =2`]

[다른 풀이]

[eqn: b _{n} `][eqn: =a _{n} - {5n} over {n+1} `]이라 하자.

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+1} RIGHT ) `]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} - {5n} over {n+1} RIGHT ) `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} `][eqn: =0`]

[eqn: a _{n} `][eqn: =b _{n} + {5n} over {n+1} `]이고, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {5n} over {n+1`} `][eqn: =5`]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} `][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( b _{n} + {5n} over {n+1} RIGHT ) `]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} b _{n} + lim _{n` -> ` INF } {} {5n} over {n+1} `][eqn: =0+5`][eqn: =5`]

[eqn: lim _{n `-> ` INF } {} {a _{n} +3} over {a _{n} -1}][eqn: = {lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +3 RIGHT )} over {lim _{n`-> ` INF } {} LEFT ( a _{n} -1 RIGHT )} `][eqn: = {5+3} over {5-1} `][eqn: =2`]

[3점][2015년 3월]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } left(a _{n} - {5n ^{2} +1} over {2n +3}right)=4`]일 때, [eqn: lim _{n `->` INF } {{2a _{n}} over {n+1}} `]의 값은?

⑤

[출제의도] 무한급수와 일반항 사이의 관계를 이해하고 극한값을 구한다.

[eqn: b _{n} =a _{n} - {5n ^{2} +1} over {2n+3} `]이라 하면

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }b_n`=4`]이므로 [eqn: lim_{n ` -> ` inf} b_n =0]

[eqn: a_n = b_n + {5n^2 + 1 }over { 2n + 3}]이므로

[eqn: lim_{n`->`inf} {2 a_n }over{n+1}][eqn: = lim_{n`->`inf} left( {2 b_n}over{ n+1} + {2(5n^2 +1)} over {(2n+3)(n+1)} right)]

[eqn: = lim_{n`->`inf} {2 b_n}over{ n+1} + lim_{n`->`inf} {2(5n^2 +1)} over {(2n+3)(n+1)}]

[eqn: = 0+5][eqn: =5]

[참고]

문제의 조건을 만족시키는 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]의 여러 예 중 하나는
[eqn: a_n ={5n^2 +1}over2n+3 + 4 over2^n]이다.

[3점][2015년 3월]

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: lim _{n`->` INF } {{2 TIMES 6 ^{n+1} +3 } over {6 ^{n}}}]의 값은?

⑤

[출제의도] 무한수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{2 TIMES 6 ^{n+1} +3} over {6 ^{n}}}` = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( 2times6+ {3} over {6 ^{n}} RIGHT )` =12]

[2점][2015년 4월]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {3n+1 } over {n} RIGHT )]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n`->` INF }` {{a _{n}}}]의 값은?

③

[출제의도] 무한급수와 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {3n+1 } over {n} RIGHT )]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n` ->` INF } {LEFT ( a _{n} - {3n+1 } over {n} RIGHT ) =0}]

[eqn: a _{n} - {3n+1 } over {n} =b _{n}]이라 하면

[eqn: lim _{n`->` INF } {{b _{n}}=0]이고 [eqn: a _{n} =b _{n} + {3n +1} over {n}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: lim _{n`->` INF } {{a _{n}}][eqn: = lim _{n`->` INF } {LEFT ( {b _{n}} + {3n +1} over {n } RIGHT )]

[eqn: = lim _{n`->` INF } {{b _{n}}+ lim _{n`-> ` INF } {{3n +1} over {n } =3]

[3점][2015년 4월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n+1} - {1} over {2} RIGHT )]이 수렴할 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {4n+1}}]의 값은?

⑤

[출제의도] 무한급수와 일반항 사이의 관계 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n+1} - {1} over {2} RIGHT )]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {a _{n}} over {n+1} - {1} over {2} RIGHT ) =0}]

[eqn: {a _{n}} over {n+1} - {1} over {2} =b _{n}]이라 하면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n} =0}]이고

[eqn: a _{n} = LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( b _{n} + {1} over {2} RIGHT )]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {4n+1}} = lim _{n` -> ` INF } {`} {LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( b _{n} + {1} over {2} RIGHT )} over {4+ {1} over {n}} = {1} over {8}]

[3점][2015년 4월]

① [eqn: {5} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {8}]

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT { 6+ LEFT ( {5} over {9} RIGHT ) ^{n} RIGHT }}]의 값은?

①

[eqn: lim _{n-> INF } {LEFT { 6+ LEFT ( {5} over {9} RIGHT ) RIGHT }}] = 6

[2점][2015년 6월]

① 6	② 7	③ 8	④ 9	⑤ 10

공비가 3인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]이
[eqn: lim _{n-> INF } {{S _{n}} over {3 ^{n}} =5}]
를 만족시킬 때, 첫째항 [eqn: a _{1}]의 값은?

②

[eqn: S _{n} ``=` {a _{1} (3 ^{n} -1)} over {3-1} `=` {a _{1} (3 ^{n} -1)} over {2} `]이므로

[eqn: lim _{n-> INF } {{S _{n}} over {3 ^{n}} `=` lim _{x-> INF } {{{a _{1} (3 ^{n} -1)} over {2}} over {3 ^{n}}} `=` lim _{x-> INF } {{a _{1} (3 ^{n} -1)} over {2 BULLET 3 ^{n}} `=` {a _{1}} over {2} `=`5}}]

[eqn: a _{1} `=`10]

[3점][2015년 6월]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {n}]이 수렴할 때,
[eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n} +9n} over {n}}]의 값을 구하시오.

9

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {n}]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {n} `=`0`}]으로부터 [eqn: {a _{n}} over {n} `=`b _{n}]이라 놓으면

[eqn: a _{n} `=`nb _{n}] 이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n} `+`9n} over {n}} `=` lim _{n-> INF } {{nb _{n} `+`9n} over {n} `=`9}]

[4점][2015년 6월]

두 수열 [eqn: left {a_n`right}], [eqn: left {b_n`right}]에 대하여 [eqn: lim_{n`->`inf}{a_n`}=5`], [eqn: lim_{n`->`inf}{left(b_n`-4right)=0] 이 성립할 때, [eqn: lim_{n`->`inf}{ `{ a_{n}b_{n}}]의 값은?

⑤

[출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {a _{n} =5}], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n} =4}]

따라서 [eqn: lim _{n` -> INF } {a _{n} b _{n}} =20]

[3점][2015년 7월]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3 ‧ 5 ^{n} +2^n} over {5 ^{n} -2 ^{n}} `} `]의 값을 구하시오.

3

[출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3`․`5 ^{n} +2 ^{n}} over {5 ^{n} -2 ^{n}} `} `=][eqn: lim _{n -> INF } {{3+ LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n}} over {1- LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n}} =3}]

[3점][2015년 7월]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{inf} LEFT ( a _{n} - {2} RIGHT ) =4`]일 때,
[eqn: lim _{n`->`inf} {LEFT ( 4a _{n} + {3n ^{2} -1} over {n ^{2} +1} RIGHT ) `}]의 값은?

②

[출제의도] 무한급수 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} `-`2 RIGHT ) =4`]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( a _{n} `-`2 RIGHT ) =0}], [eqn: lim _{n-> INF } {`a _{n} =2}]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 4a _{n} + {3n ^{2} -1} over {n ^{2} +1} RIGHT )} =4 TIMES 2+3=11]

[3점][2015년 7월]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[eqn: lim from { n `->`` inf} {3 times 2^n+1 +1 } over {2^n } `]의 값은?

②

[eqn: lim from { n `->`` inf} { 6 times 2^n +1 } over {2^n } `=` 6]

[2점][2015년 9월]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

양수 [eqn: a `]와 실수 [eqn: b`]에 대하여

[eqn: lim from { n `-> `` inf} ` left( root{ an^2 + 4n } `-` bn right) `=` 1 over 5]

일 때, [eqn: a+b `]의 값을 구하시오.

[eqn: 110]

[eqn: lim from { n `->`` inf} left( root{ an ^2 + 4n } -bn right) `=` 1 over 5]

[eqn: Lrarrow] [eqn: lim from { n `->`` inf} left( root{ an ^2 + 4n } -bn times {root{ an ^2 + 4n } + bn} over {root{ an ^2 + 4n } + bn} right) `=` 1 over 5]

[eqn: Lrarrow] [eqn: lim from { n `->`` inf} left( { (a - b^2 ) n^2 +4n } over {root{ an ^2 + 4n } + bn} right) `=` 1 over 5]

위 식의 극한값이 존재하므로 [eqn: a-b^2 `=`0], [eqn: 4 over {root{a} +b } `=` 1 over 5]

따라서 [eqn: a `=` 100], [eqn: b `=`10]   ∴ [eqn: a+b `=`110]

[4점][2015년 9월]

[eqn: lim _{n -> INF }`{{2 ^{`n} +1} over {3 ^{`n} +1}}`]의 값은?

①

[출제의도] 수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{2 ^{n} +1} over {3 ^{n} +1}}][eqn: = lim _{n -> INF } {{LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}}}][eqn: =0 `]

[2점][2015년 10월]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

수열 [eqn: left{a_n right}`]이 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} - {2n} over {n+3} RIGHT ) =5`]를 만족시킬 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {{5a _{n} -2n} over {a _{n} +2n+1}}`]의 값은?

②

[출제의도] 무한급수의 수렴과 수열의 극한값 사이의 관계를 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( {a _{`n}} over {n} - {2n} over {n+3} RIGHT ) =5`]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} left( {a _{`n}} over {n} - {2n} over {n+3} right)=0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{`n}} over {n}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {2n} over {n+3}][eqn: =2]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF }` {{5a _{`n} -2n} over {a _{`n} +2n+1}}][eqn: = lim _{n -> INF } `{{{5a _{`n}} over {n} -2} over {{a _{`n}} over {n} +2+ {1} over {n}}}][eqn: =2]

[3점][2015년 10월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[해설] 미적분1-(1)수열의극한-(a)기본문제