수 리 영 역

속도,가속도,거리

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수 리 영 역

속도,가속도,거리

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 평면운동 (속도, 가속도, 거리)

성명			수험번호

16

[eqn: x=0]에서 [eqn: x=6]까지 곡선 [eqn: y= {1} over {3} (x ^{2} +2)]의 길이를 구하시오.

[eqn: 78]

[eqn: f(x)`=`1 over 3`(`x^2`+`2 )^{3 over 2 }]라 하면 구하는 길이는

[eqn: int _{ 0} ^{6 } {root{ 1+` LEFT { f` prime(x)} RIGHT }^2` }`dx`][eqn: =`int _{ 0} ^{6 } {root{ 1+` LEFT { 1over 2`(`x^2`+2`)^ {1over 2} 2x}` RIGHT }^2` }dx]

[eqn: =`int _{ 0} ^{6 } {root{ 1+` LEFT { x^2``(`x^2`+2`) } RIGHT }` }`dx][eqn: =`int _{ 0} ^{6 } {root{ (x^2`+`1)`^2`} }`dx][eqn: =`int _{ 0} ^{6 } (x^2`+`1) }`dx`=`[`` 1over 3`x^3`+`x]_0^6][eqn: `=`72`+6`=`78]

[4점][2008년 수능]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t``]에서의 위치 [eqn: LEFT ( x,```y RIGHT )]가
[eqn: {cases{x&=4 LEFT ( cos`t+sin`t RIGHT )#y&=cos2t}} `~~~ LEFT ( 0 LEQ t LEQ 2 pi RIGHT )]
이다. 점 [eqn: rm P]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2 pi]까지 움직인 거리 (경과 거리)를 [eqn: a` pi]라 할 때, [eqn: a ^{2}]의 값을 구하시오.

[eqn: 64]

[eqn: dx over dt = 4(-sin t +cos t )], [eqn: dy over dt = -2 sin 2t]이므로

곡선의 길이 [eqn: l`]은

[eqn: l= int from 0 to 2pi root{ left ( dx over dt right) ^2 +left ( dy over dt right) ^2 }``dt]

[eqn: = int from 0 to 2pi root{16(1-sin 2t )+4 sin^2 ``2t} `dt]

[eqn: = int from 0 to 2pi 2(2-sin 2t) dt][eqn: = left[4t + cos 2t right]_0^2pi]

[eqn: =8pi +1-1][eqn: =8pi]

[eqn: THEREFORE ```a ^{2} =8 ^{2} =64]

[4점][2010년 수능]

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고

[eqn: f`(0)`=`0,~~f`(1)`=`ROOT{3```}]

을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f`(x)]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{1} {} sqrt {1+ LEFT { f`` prime (x) RIGHT } ^{2} ``} d`x`]

의 최소값은?

②

[eqn: INT _{ 0}^{ 1} root {1+{f``' (x)}^2 } `dx]는 [eqn: y`=`f`(x)`]의 [eqn: 0`≦`x`≦`1`]

부분에서 곡선의 길이이므로 최소인 경우는 원점 [eqn: \O]와 점[eqn: (1,~ root {3} )]을 직선으로 연결할 때이다.

[eqn: THEREFORE ~root {1^2 + {root {3`}} ^2}^` `=`2]

[3점][2007년 9월]

① [eqn: root{2``}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 1+sqrt{2``}]

④ [eqn: sqrt{5``}]	⑤ [eqn: 1+ROOT{3``}]

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치벡터를
[eqn: vec p =][eqn: (`x`,``y)]라 하면

[eqn: x= {e ^{t} +e ^{-t}} over {2}], [eqn: y= {e ^{t} -e ^{-t}} over {2}]

이 성립한다. 이때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

④

ㄱ. [eqn: vec v = LEFT ( dx over dt , dy over dt RIGHT ) =LEFT ( {e ^{t} -e ^{-t}} over {2}, {e ^{t} +e ^{-t}} over {2} RIGHT )]

[eqn: t=1]일 때 [eqn: vec{v} CDOT vec{p}] [eqn: =` {`e ^{2} -`e ^{-2`}} over {2}][eqn: neq 0] (거짓)

ㄴ. [eqn: vec{a} = LEFT ( {d ^{2} x} over {dt ^{2`}}, {d ^{2} y} over {dt ^{2}} RIGHT ) = LEFT ( {e ^{t} +e ^{-t}} over {2} , {e ^{t} -e ^{-t}} over {2} RIGHT )][eqn: = vec p] (참)

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{1} {sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}} dt}]

[eqn: =int _{0} ^{1} {sqrt {{e ^{2t} +e ^{-2t}} over {2}} dt][eqn: >= int _{0} ^{1} {1dt} =1] (참)

[4점][2009년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rmP]의 속도 [eqn: vec v]와 위치벡터 [eqn: vec p]는 서로 수직이다. ㄴ. 임의의 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: rmP]의 가속도 [eqn: vec{a}]와 위치벡터 [eqn: vec p]는 서로 같다. ㄷ. 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리는 [eqn: 1] 이상이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]의 시각 [eqn: t`]에서의 위치 [eqn: x_{\P}], [eqn: x_{\Q}]는 다음과 같다.

[eqn: x_{\P}=`t`^2 `-at `], [eqn: x_{\Q} =`ln`(`t`^2 -t `+1`)`]

두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]가 서로	반대 방향으로 움직이는 시각 [eqn: t`]의 범위가 [eqn: 1over2 <t< 2`]일 때, 실수 [eqn: a`]의 값은?

⑤

두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]의 시각 [eqn: t`]에서의 속도를 각각 [eqn: v_{rmP}`], [eqn: v_{rmQ}`]라 하면

[eqn: v_{rmP}=`{d`x_{\P} }over dt `=`2t-a`]

[eqn: v_{rmQ}`=`{d`x_{\Q}} over dt `=` 2t-1 over {t^2 -t+1} `]

두 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]가 움직이는 방향이 서로 반대 방향이 되려면 [eqn: v_{rmP}v_{rmQ}<0]이어야 한다.

[eqn: v_{rmP}v_{rmQ}`=][eqn: {(2t-a)(2t-1)} over {t^2 -t+1}` < 0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: {(2t-a)(2t-1)}<0] … ㉠ [eqn: (BECAUSE``t^2 -t+1`>`0)]

㉠의 해가 [eqn: 1over2 <t< 2]이므로 [eqn: a over2 =2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4]

[3점][2012년 3월]

① [eqn: 2`]	② [eqn: {5} over {2} `]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: {7} over {2} `]	⑤ [eqn: 4`]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x(t)]가

40

[출제의도] 가속도를 활용하여 문제해결하기

[eqn: x` prime `(t)`=1- {40} over {pi } `sin LEFT ( 2 pi t RIGHT )]

[eqn: x` prime prime `(t)`=-80cos LEFT ( 2 pi t RIGHT )]

따라서 시각 [eqn: t= {1} over {3}]에서의 점 [eqn: rmP]의 가속도의 크기는

[eqn: LEFT | x` prime prime ` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) RIGHT | `= LEFT | -80cos {2 pi } over {3} RIGHT | =40]

[eqn: x(t)=t+{20}over{pi^2}`cos LEFT ( `2pi`t RIGHT )]

이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t= {1 } over { 3}]에서의 가속도의 크기를 구하시오.

[4점][2015년 7월]

[해설] 기벡-(4)평면운동 (속도, 가속도, 거리)