수 리 영 역

음함수, 매개변수

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 리 영 역

음함수, 매개변수

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 미분 (음함수, 매개변수 미분)

성명			수험번호

16

반지름의 길이 [eqn: 1`rmm]인 원판에 기대어 있는 막대 [eqn: rm bar{OP}]의 한 끝은 아래 그림과 같이 평평한 지면 위의 한 점 [eqn: rm O]에 고정되어 있다. 원판이 지면과 접하는 점을 [eqn: rm Q]라 하자. 원판의 중심이 오른쪽으로 지면과 평행하게 등속도 [eqn: 1.5`rmm]/초로 움직인다. [eqn: rm bar{OQ} =2`m]되는 순간, 막대 [eqn: rm bar{OP}]가 지면과 이루는 각의 크기 [eqn: theta]의 시간에 대한 순간변화율은? (단, 단위는 라디안/초이다)

①

[eqn: t]초 후의 선분 [eqn: OQ]의 길이는 [eqn: 1.5t]이므로

[eqn: tan {theta } over {2} = {1} over {1.5t} = {2} over {3t} ``]

[eqn: THEREFORE ```tan theta = {2tan {theta } over {2}} over {1-tan ^{2} {theta } over {2}}][eqn: = {{4} over {3t}} over {1- {4} over {9t`` ^{2}}}][eqn: = {12t} over {9t` ^{2} -4}]

양변을 [eqn: t]에 관하여 미분하면

[eqn: sec ^{2} theta ․ {d theta } over {dt} = {12(9t`` ^{2} -4)-12t TIMES 18t`} over {(9t` ^{2} -4) ^{2}}]

[eqn: THEREFORE ``` {d theta } over {dt} = {-12(9t`` ^{2} +4)`} over {(9t` ^{2} -4) ^{2}} BULLET cos ^{2} theta]

그런데 [eqn: barOQ = 2]이면 [eqn: 1.5t =2]에서 [eqn: t = 4 over 3]

이 때 [eqn: tan theta = {4} over {3} ,```cos theta = {3} over {5}]이므로

[eqn: LEFT [ {d theta } over {dt} RIGHT ] _{t= {4} over {3}}][eqn: = {-12 LEFT { 9 TIMES LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} +4 RIGHT }} over {LEFT { 9 TIMES LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} -4 RIGHT }} TIMES LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2}][eqn: = - 3 over 5]

[2점][1996년 수능]

①　[eqn: - scale 90 3 over 5`]	②　[eqn: -scale 90 3 over 2`]	③　[eqn: -scale 90 3 over 10`]

④　[eqn: -scale 90 sqrt5 over 6`]	⑤　[eqn: - scale 90 3 over {2`sqrt5}`]

지점 [eqn: \O`]와 지점 [eqn: \E] 사이의 거리는 [eqn: 40 \m`]이다. 오른쪽 그림과 같이 갑은 지점 [eqn: \O`]에서 출발하여 선분 [eqn: rm OE]에 수직인 반직선 [eqn: rm OS]를 따라 초속 [eqn: 3` \m]의 일정한 속력으로 달리고, 을은 갑이 출발한 지 [eqn: 10`]초가 되는 순간 지점 [eqn: \E`]에서 출발하여 선분 [eqn: \OE`]에 수직인 반직선 [eqn: \EN`]을 따라 초속 [eqn: 4` \m`]의 일정한 속력으로 달리고 있다. 갑과 을의 지점을 연결하여 만든 선분과 선분 [eqn: \OE`]가 만나서 이루는 각을 [eqn: theta``](라디안)라 할 때, 갑이 출발한 지 [eqn: 20`]초가 되는 순간 [eqn: theta``]의 변화율은?

③

지점 [eqn: O`]로부터 갑이 출발한 지 [eqn: t``]초가 지난 후 갑과 을의 위치를 각각 [eqn: A, ``B`]라 하면 [eqn: bar{OA} =3t,``` bar{OB} =4(t-10)]이다.

B

C

A

θ

θ

[eqn: 4(t-10)]

[eqn: 3t]

40

O

E

따라서 위의 그림에서 [eqn: bar BC = 7t-40], [eqn: bar AC = 40]이므로

[eqn: tan theta = {bar{BC}} over {bar{AC}} = {7t-40} over {40} ``` CDOTS CDOTS ```㉠]

양변을 [eqn: t``]에 대하여 미분하면 [eqn: sec ^{2} theta {d theta } over {dt} = {7} over {40}]

[eqn: THEREFORE ``` {d theta } over {dt} = {7} over {40} ․ {1} over {sec ^{2} theta }][eqn: = {7} over {40} ․ {1} over {1+tan ^{2} theta } ``` CDOTS CDOTS ```㉡]

㉠에 [eqn: t=20]을 대입하면

[eqn: tan theta = {5} over {2}]이므로 이를 ㉡에 대입하면

[eqn: {d theta } over {dt} = {7} over {40} ․ {1} over {1+ {25} over {4}} = {7} over {40} ․ {4} over {29} = {7} over {290}] (라디안/초)

[4점][2006년 수능]

① [eqn: {21} over {290}]라디안/초	② [eqn: {13} over {290}]라디안/초

③ [eqn: {7} over {290}]라디안/초	④ [eqn: {3} over {290}]라디안/초

⑤ [eqn: {1} over {290}]라디안/초

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: \P]가 점 [eqn: (1,```0)]에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 [eqn: {1} over {40}](라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점 [eqn: \P]에서 [eqn: x`]축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 [eqn: S`]라 하자. 점 [eqn: \P]가 점[eqn: LEFT ( {sqrt {3}} over {2} ,``` {1} over {2} RIGHT )]을 지나는 순간, 넓이 [eqn: S`]의 시간(초)에 대한 변화율은 [eqn: {b} over {a}]이다. [eqn: a+b`]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 83]

시각 [eqn: t`]일 때, 선분 [eqn: {bar \OP`}]와 [eqn: x`]축의 양의 방향이 이루는 각을 [eqn: theta`]라 하면 [eqn: left (0 `＜`theta``＜`{pi} over {2} right)]

[eqn: {d theta } over {dt} = {1} over {40}]이고, 점 [eqn: \P]의 좌표는 [eqn: (cos theta`,``sin theta`)]이다.

이 때, 어두운 부분의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S`= {pi } over {2} + theta +sin theta `cos theta = {pi } over {2} + theta + {1} over {2} `sin`2 theta]

점 [eqn: \P]가 [eqn: LEFT ( {sqrt {3}} over {2} ,``` {1} over {2} RIGHT )]을 지날 때

[eqn: theta`= {pi} over {6}], [eqn: cos theta `= {sqrt {3}} over {2}], [eqn: sin theta`= {1} over {2}]이므로

[eqn: {d S} over {dt} =(1+cos 2theta `) `{d theta`` } over {dt``}][eqn: =Left ( 1+{1 } over {2 } right) CDOT {1} over {40}= {3} over {80} = {b``} over {a``}]

[eqn: THEREFORE ```a+b=83]

[4점][2007년 수능]

곡선 [eqn: x^3 - xy^2 = 10] 위의 점 [eqn: (-2,```3)]에서의 접선의 기울기는?

①

[eqn: x^3 -xy^2 =10]의 양변을 [eqn: x`]에 관하

여 미분하면

[eqn: 3x^2 -(y^2 +x cdot 2y cdot dy over dx )=0]

이므로 [eqn: dy over dx ={3x^2 -y^2}over 2xy]

따라서 구하는 접선의 기울기는

[eqn: ( dy over dx )={3cdot9-9}over{2cdot(-2)cdot3}=- 1over4]

[3점][2000년 수능]

①　[eqn: - {1} over {4 }]	②　[eqn: - { 1} over {6 }]	③　[eqn: 0]

④　[eqn: 1 over 6]	⑤　[eqn: { 1} over {4 }]

좌표평면에서  곡선  [eqn: y^3 = ln(5-x^2 )+xy+4] 위의 점(2,2)에서의 접선의 기울기는?

⑤

음함수의 미분법에 의하여

[eqn: 3y^2 y prime = -2x over 5-x^2 ``+ `y`+`xy prime],

[eqn: (3y^2 -x)y prime = -2x over 5-x^2 ``+ `y`], [eqn: (2,2)]를 대입하여 정리하면 [eqn: 10y prime=-2]

[eqn: therefore y prime = - 1 over 5]

[3점][2011년 수능]

① [eqn: - 3 over 5]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: - 2 over 5]

④ [eqn: - 3 over 10]	⑤ [eqn: - 1 over 5]

높이가 [eqn: 45` rm m``]인 번지점프대에 길이가 [eqn: 20`` rm m``]인 원기둥 모양의 탄력줄이 연결되어 있다. 이 탄력줄은 힘을 주어 길이가 늘어나도 원기둥 모양이 유지되며 그 부피는 변하지 않는다고 한다.

어떤 사람이 탄력줄을 매고 점프대를 출발한 후 [eqn: 20`` rm m``]였던 탄력줄의 길이가 [eqn: 25`` rm m``]로 되는 순간에 탄력줄의 길이가 늘어나는 속도는 [eqn: 10`` rm m/초``]이고, 탄력줄의 반지름의 길이는 [eqn: {3} over {100} `` rm m``]이다. 이 순간에 탄력줄의 반지름의 길이의 변화율을 [eqn: - {b} over {a} ` rm ``m/초```]라 할 때, [eqn: a+b``]의 값을 구하시오.(단, [eqn: a,``b``]는 서로소인 자연수이다.)

503

점프대를 출발한지 [eqn: t``]초 후의 탄력줄의 길이를 [eqn: l( >= 20)``], 반지름의 길이를 [eqn: r``]라 하면 탄력줄의 부피 [eqn: V``]는 [eqn: V= pi ``r` ^{2} ``l`](일정)이고 [eqn: l`]과 [eqn: r`]는 모두 [eqn: t`]의 함수이다. 이 식을 시각 [eqn: t``]에 대하여 미분하면

[eqn: {dV} over {dt} = pi ` LEFT ( `r` ^{2} ` {dl} over {dt} +2rl` {dr} over {dt} `` RIGHT ) =0``],

[eqn: r` ^{2} {dl} over {dt} +2rl` {dr} over {dt} =0``]

[eqn: A``]지점을 지나는 순간 [eqn: l=25( rm m)``],[eqn: r= {3} over {100} ( rm m)``],

[eqn: {dl} over {dt} =10( rm m/초)``]이므로

[eqn: LEFT ( {3} over {100} RIGHT ) ^{2} TIMES 10+2 TIMES {3} over {100} TIMES 25`` {dr} over {dt} =0``]에서

[eqn: {dr} over {dt} =- {3} over {500} ``( rm m/초`)``]

∴ [eqn: a+b=500+3=503``]

[4점][2005년 10월]

[eqn: y``]가 [eqn: x``]의 함수일 때, 곡선 [eqn: e^x lny=1 `] 위의 점 [eqn: (0,~e`)`]에서의 접선의 기울기는?

①

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: {d} over {dx} (e ^{x} `lny)= {d} over {dx} (1)]

[eqn: e ^{x} `lny+e ^{x} {1} over {y} {dy} over {dx} =0]

[eqn: {dy} over {dx} =-y`lny]

따라서 점[eqn: (`0`,`e`)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -e]

[3점][2006년 9월]

① [eqn: -e]	② [eqn: - {1} over {e}]	③ [eqn: {1} over {e}]	④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

곡선 [eqn: y=x ^{{3} over {2}} `]위의 점 [eqn: rm `P`]가 시간이 지남에 따라 원점으로부터 멀어지고 있다. [eqn: x=3`]이 되는 순간 선분 [eqn: rm OP`]의 시각에 대한 길이의 순간변화율이 [eqn: 11`]일 때, 점 [eqn: rm P`]의 [eqn: x`]좌표의 시각에 대한 순간변화율은?

⑤

[eqn: {rm P} (x,~ x^ {3 over 2} )]에 대하여

[eqn: rm bar{OP} it =l= sqrt {x ^{2} +x ^{3}}]

[eqn: dl over dt = 1 over 2 ( x^2 +x^3 )^{ - 1 over 2 } (2x+3x^2 ) dx over dt]

[eqn: x=3]일 때, [eqn: dl over dt = 11]이므로

∴ [eqn: dx over dt =4]

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: {rmP }(x``,````x ^{{3} over {2}} `)]

[eqn: y=x ^{{3} over {2}} `]

[eqn: rmO]

① [eqn: 8]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 4]

좌표평면에서 [eqn: x``]축 위를 움직이는 점 [eqn: \P]의 시각 [eqn: t``]([eqn: 0<t<pi])에서의 좌표는 [eqn: LEFT ( {t`^2} over pi`,````0 RIGHT )``]이다. 점 [eqn: \P`]를 지나고 [eqn: x``]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=sin`x``]와 만나는 점을 [eqn: \Q``]라 할 때, 점 [eqn: \P``]를 중심으로 하고 선분 [eqn: \PQ`]를 반지름으로 하는 원의 넓이를 [eqn: S```]라 하자.

[eqn: t= pi over2`]인 순간, 넓이 [eqn: S``]의 [eqn: t``]에 대한 변화율은?

⑤

[eqn: S= pi (sinx) ^{2}``]에서 [eqn: dS over dt = 2pi ``sinx cosx × dx over dt]

[eqn: x= {t`^2} overpi``]로 놓으면 [eqn: dx over dt = 2t over pi``]이고 [eqn: t= pi over2``]일 때 [eqn: x= pi over4``]이다.

∴ [eqn: LEFT [ dS over dt RIGHT ]_{t= piover2} = 2pi × 1over root2 × 1over root2 × 1 = pi]

[4점][2007년 10월]

① [eqn: -pi]	② [eqn: - piover2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: piover2]	⑤ [eqn: pi]

지면에서 회전 중심축까지의 높이가 [eqn: 10m]이고, 길이가 [eqn: 2m]인 풍력 발전기의 날개가 축을 중심으로 일정한 속력으로 시계반대방향으로 돌고 있다. 지면에서 날개 끝까지의 높이가 [eqn: 9m]가 될 때, 시간(초)에 따른 높이의 변화율이 [eqn: 4 pi`( m/s)]이고, 풍력 발전기의 날개가 한 바퀴 도는데 걸리는 시간을 [eqn: k]초라 하자. [eqn: k ^{2} = {q} over {p}]([eqn: p,~q]는 서로소)일 때, [eqn: 10(p+q)]의 값을 구하시오.(단, 축은 지면과 평행하고 축과 날개의 두께는 고려하지 않는다.)

[eqn: 70``]

[출제의도] 미분을 이용하여 수학외적 문제해결하기

날개의 끝을 점 [eqn: (x,~y)]라 하면

[eqn: x ^{2} +(y-10) ^{2} =4] [eqn: CDOTS]㉠

[eqn: y=9]일 때, [eqn: {dy} over {dt} =4 pi (m/s)]

시간에 따른 각의 변화율을 [eqn: alpha]라 하면

[eqn: x=2sin alpha t,```y=10-2cos alpha t]

[eqn: y=9]를 ㉠에 대입하면 [eqn: x= sqrt {3}]

따라서 [eqn: sin alpha t= {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: ```y=10-2cos alpha t]를 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: {dy} over {dt} =2 alpha `sin` alpha t(m/s)] [eqn: THEREFORE][eqn: alpha= {4} over {sqrt {3}} pi]

따라서 한 바퀴 도는데 걸리는 시간은

[eqn: k= {2 pi } over {alpha } = {sqrt {3}} over {2}] [eqn: THEREFORE k ^{2} `=` {3} over {4}]

[eqn: THEREFORE 10(p+q)=70]

[4점][2009년 7월]

매개변수 [eqn: theta]로 나타내어진 함수

[eqn: x=tan` theta `], [eqn: y=cos ^{`2} ` theta `][eqn: left ( pile{ `# `}]단, [eqn: - pi over 2 < theta < pi over 2 `right)]

에 대하여 이 곡선 위의 점 [eqn: left (`1,~ 1 over2 `right)`]에서의 접선의 기울기는?

②

[eqn: {dx} over {d theta } =sec ^{2} theta `], [eqn: {dy} over {d theta } =`-2cos theta `sin theta `]이고

[eqn: x=1`]일 때, [eqn: theta = {pi } over {4} `]이므로

(접선의 기울기)[eqn: ={-2cos {pi } over {4} `sin {pi } over {4}} over {sec ^{2} {pi } over {4}} =- {1} over {2}]

[3점][2011년 4월]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

곡선 [eqn: x^3 +xy+y^3 -8=0]과 [eqn: x`]축이 만나는 점에서의 접선의 기울기는?

①

[eqn: x ^{3} +xy+y ^{3} -8=0]에 [eqn: y=0`]을 대입하면 [eqn: x=2`]이다.

[eqn: x ^{3} +xy+y ^{3} -8=0]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 3x ^{2} +y+xy`'+3y ^{2} y'=0`]

따라서 점 [eqn: (2,``0)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -6]이다.

[3점][2011년 10월]

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rm O]와 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 1`,~1 RIGHT ) `,~B LEFT ( 1`,~0 RIGHT ) `,~C LEFT ( 2`,~0 RIGHT ) `,~D LEFT ( 2`,~1 RIGHT ) `]을 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rm `ABCD]가 있다. 원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: x`]축을 따라 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 움직인다. [eqn: t]초 후 원의 내부와 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부가 겹치는 부분의 넓이를 [eqn: S`]라 하자. 원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: LEFT ( {1} over {2} `,~0 RIGHT )]을 지나는 순간, 넓이 [eqn: S`]의 시간(초)에 대한 변화율은? (단, [eqn: 0 LE t LE1])

④

[출제의도] 도함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm O]

[eqn: rm O']

[eqn: rm P]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: theta]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: rm Q]

그림과 같이 원 [eqn: rmO]의 [eqn: t`]초 후의 중심을 [eqn: rmO'], 원과 정사각형 [eqn: rm ABCD`]의 교점을 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 하고,

[eqn: rm ANGLE PO prime Q`=` theta]라 하면

[eqn: cos theta `=` 1-t] 에서 [eqn: -sin theta {d theta } over{dt} `=` -1]이다.

원과 정사각형 [eqn: rm ABCD`]가 겹치는 부분의 넓이 [eqn: S `=` 1 over 2 theta - 1 over2 (1-t) `sin theta]

[eqn: =` {1} over {2} theta - {1} over {2} `cos` theta `sin` theta `=` {1} over {2} theta - {1} over {4} ` sin`2theta]

[eqn: {d S} over dt `=` dS over {d theta} { d theta } over dt `=` left( 1 over2 - 1 over{2} `cos 2 theta right) 1 over { sin theta}]

원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: left( 1 over2 `, `0`right)]을 지나는 순간은 [eqn: t`=`1 over2]이다.

[eqn: t`=` 1 over2]일 때,  [eqn: theta`=` pi over3]이다.

[eqn: therefore`]원 [eqn: rmO]의 중심이 [eqn: left( 1 over2 `,` 0`right)]을 지나는 순간 넓이 [eqn: S`]의 시간(초)에 대한 변화율은[eqn: ``root3 over 2]

[[eqn: 4]점][2012년 7월]

[eqn: x]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: rm O]

[eqn: -1]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: y]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

곡선 [eqn: e ^{3x} `lny=2] 위의 점 [eqn: (0,``e ^{2} )]에서의 접선의 기울기는?

①

[eqn: `lny=2e ^{-3x}]이고 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: {y prime } over {y} =`-6e ^{-3x}]

[eqn: y prime =`-6e ^{-3x} cdot y]       [eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]에 [eqn: x=0,```y=e ^{2}]을 대입하면 [eqn: y prime =`-6e ^{2}]

따라서 점 [eqn: LEFT ( 0,`e ^{2} RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -6e ^{2}]

[3점][2012년 4월]

① [eqn: -6`e ^{2}]	② [eqn: -5`e ^{2}]	③ [eqn: -4`e ^{2}]

④ [eqn: -3`e ^{2}]	⑤ [eqn: -2`e ^{2}]

두 곡선 [eqn: y=4 ^{`x} ,~y=2 ^{`x}]과 [eqn: y`]축 위의 점 [eqn: rm `P][eqn: (0,```a)] ([eqn: a>1])가 있다. 점 [eqn: rm P]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 두 곡선 [eqn: y=4 ^{`x} ,~y=2 ^{`x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm A,~B]라 하자. 또, 점 [eqn: rm B]를 지나고 [eqn: y`]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y= 4`^x]과 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하고, 점 [eqn: rm C]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 `^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rm D]라 하자.
점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: (0,```2)]를 출발하여 [eqn: y`]축의 양의 방향으로 매초 [eqn: 1]의 일정한 속도로 움직인다. 점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: (0,```4)]를 지나는 순간, 삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이의 시간(초)에 대한 순간변화율은?

④

[출제의도] 함수의 미분법을 이용하여 넓이의 순간변화율을 구한다.

네 점 [eqn: rm A,~B,~rm C,~D]의 좌표는

[eqn: rm A(log _{4} a,~a),~ rm B(log _{2} a,~a),~][eqn: rm C(log _{2} a,~a ^{2} ),~ rm D(2log _{2} a,~a ^{2} )] 이다.

[eqn: rm bar{CD} =log _{2} a], [eqn: rm bar{BC} =it`a ^{2} -a]이므로

삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이를 [eqn: S(a)]라 하면

[eqn: S(a)= {1} over {2} (a ^{2} -a) CDOT log _{2} a]

∴ [eqn: S``'(a)= {1} over {2} (2a-1)log _{2} a+ {1} over {2} (a ^{2} -a) {1} over {a`ln2}]

[eqn: = {1} over {2} (2a-1)log _{2} a+ {1} over {2ln2} (a-1)]

∴ [eqn: S``'(4)= 7+ {3} over {2ln2}]

이때 [eqn: {dS} over {dt} =S``'(a) {da} over {dt}]이고 [eqn: {da} over {dt} =1]이므로

구하는 순간변화율은

[eqn: left(7+ {3} over {2ln2} right) TIMES 1][eqn: =7+ {3} over {2ln2}]

[다른 풀이]

점 [eqn: rm`P]가 점 [eqn: (0,``2)]를 출발한 지 [eqn: t]초 후의 점 [eqn: rm`P]의 좌표는 [eqn: (0,``2+t)]

이므로 삼각형 [eqn: rm ADC]의 넓이는

[eqn: S(t)= {1} over {2} (t ^{2} +3t+2) CDOT log _{2} (t+2)]

∴ [eqn: S`` prime (t)= {1} over {2} (2t+3)log _{2} (t+2)]

[eqn: + {1} over {2} (t ^{2} ``+3t+2) {1} over {(t+2)`ln2}]

[eqn: = {1} over {2} (2t+3)log _{2} (t+2)][eqn: + {1} over {2ln2} (t +1)]

점 [eqn: rm P]가 점 [eqn: (0,4)]를 지나는 순간은 [eqn: t=2]일 때이므로 구하는

순간변화율은

∴ [eqn: S``'(2)= {1} over {2} (2times2+3)log _{2} (2+2)][eqn: + {1} over {2ln2} (2 +1)]

[eqn: =7+ {3} over {2ln2}]

[4점][2013년 3월]

① [eqn: 5+ {3} over {2ln2}]	② [eqn: 5+ {5} over {2ln2}]	③ [eqn: 7+ {1} over {2ln2}]

④ [eqn: 7+ {3} over {2ln2}]	⑤ [eqn: 7+ {5} over {2ln2}]

그림과 같이 두 정점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ] 사이의 거리가 [eqn: 3`` rm m]이고, 점 [eqn: rmQ]를 지나고 선분 [eqn: rmPQ]에 수직인 직선을 [eqn: l]이라 하자. 점 [eqn: rmA]가 점 [eqn: rm Q]에서 출발하여 직선 [eqn: l]을 따라 초속 [eqn: 1``rmm]의 일정한 속력으로 움직일 때, 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmB]는 [eqn: rm bar{AP} `+` bar{PB} `=20`` LEFT ( rm m RIGHT )]을 만족시키며 점 [eqn: rm Q]쪽으로 움직이고 있다. [eqn: rm bar{AQ} `=4`` LEFT ( m RIGHT )]가 되는 순간, 선분 [eqn: rm BQ]의 길이[eqn: LEFT ( rmm RIGHT )]의 시간(초)에 대한 변화율은?

①

[출제의도] 미분법을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm bar{BQ} `= it x], [eqn: rm bar{AQ} `= it y]라 하면
[eqn: sqrt {x ^{2} +9} `+ sqrt {y ^{2} +9} `=20] [eqn: CDOTS cdots㉠]
[eqn: ㉠]의 양변을 시간 [eqn: t]에 대하여 미분하면
[eqn: {2x} over {2 sqrt {x ^{2} +9}} · {dx} over {dt} `+ {2y} over {2 sqrt {y ^{2} +9}} · {dy} over {dt} `=0]
[eqn: y=4]일 때 [eqn: x=6 sqrt {6}]이고, [eqn: {dy} over {dt} `=1]이므로
[eqn: {6 sqrt {6}} over {15} · {dx} over {dt} `+ {4} over {5} `=0]에서 [eqn: {dx} over {dt} `=`- {sqrt {6}} over {3}]
따라서 구하는 변화율은 [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]

[4점][2013년 4월]

[eqn: rmP]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: l]

[eqn: 3``rmm]

① [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]	② [eqn: - {sqrt {6}} over {4}]	③ [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: - {sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: - {sqrt {6}} over {6}]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=x^2 +x``]위의 두 점 [eqn: A], [eqn: B``]의 [eqn: x``]좌표를 각각 [eqn: s], [eqn: t] [eqn: (0<s<t)``]라 하자. 양수 [eqn: k``]에 대하여 두 직선 [eqn: OA], [eqn: OB``]와 곡선 [eqn: y=x^2 +x``]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: k``]가 되도록 하는 점 [eqn: (s,```t)``]가 나타내는 곡선을 [eqn: C``]라 하자. 곡선 [eqn: C``]위의 점 중에서 점 [eqn: (1,```0)``]과의 거리가 최소인 점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: 2 over 3 ``]일 때, [eqn: k= q over p ``]이다. [eqn: p+q``]의 값을 구하시오. (단, [eqn: O``]는 원점이고, [eqn: p``]와 [eqn: q``]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 109]

구하려고 하는 부분의 넓이는

[eqn: (선분```OB와```포물선으로```둘러싸인```도형)]

[eqn: -(선분```OA와```포물선으로```둘러싸인```도형)]

이므로 [eqn: {1} over {6} t ^{3} - {1} over {6} s ^{3}]이다.

([eqn: BECAUSE]포물선과 이차곡선으로 둘러싸인 도형 넓이=[eqn: {1} over {6} |a|(beta-alpha) ^{3}])

이 값이 [eqn: k]이므로 [eqn: (s,```t)]가 그리는 도형 [eqn: C]의 방정식은

[eqn: x ^{3} -y ^{3} =-6k]

[eqn: y^3 =x^3 +6k] [eqn: cdots] ①

곡선 [eqn: C``]위의 점 중에서 점 [eqn: (1,```0)``]과의 거리가 최소인 점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: 2 over 3 ``]이려면 그림에서와 같이 [eqn: x= 2 over3]인 그래프 위의 점에서 접선과 수직인 직선이 [eqn: (1,~0)]을 지나야 한다.

[eqn: 2 over3]

[eqn: 1]

[eqn: y^3 = x^3 + 6k]

①의 식을 미분하면

[eqn: 3y^2 y`' = 3x^2 , ~~y`' = x^2 over y^2]

[eqn: x= 2 over3]에서 [eqn: y=a] 라 두면

접선의 기울기는 [eqn: 4 over {9a^2 }]

따라서 접선에 수직인 접선의 기울기는 [eqn: - {9a^2 } over 4]

직선의 식은 [eqn: y -a = - 9 over 4 a^2 (x- 2over3 )]

[eqn: (1,~0)]을 지나므로

[eqn: -a = - 9 over 4 a^2 times 1over3]

[eqn: a ne 0] 이므로 [eqn: a= 4 over3]

[eqn: left( 4over3 right)^3 = left( 2over3 right)^3 + 6k]

[eqn: therefore ~ 6k= 56 over 27], [eqn: k = 28 over 81]

[eqn: therefore~ p+q = 109]

(다른 풀이1)

[eqn: y^3 =x^3 +6k] [eqn: cdots] ①

[eqn: y= left( x^3 +6k right)^ {1over 3}]

곡선 [eqn: C``]위의 점 중에서 점 [eqn: (1,```0)``]과의 거리가 최소인 점의 [eqn: x``]좌표가 [eqn: 2 over 3 ``]이려면 그림에서와 같이 [eqn: x= 2 over3]인 그래프 위의 점에서 접선과 수직인 직선이 [eqn: (1,~0)]을 지나야 한다.

[eqn: 2 over3]

[eqn: 1]

[eqn: y= ( x^3 + 6k )^ { 1over 3}]

[eqn: f(x)= left( x^3 +6k right)^ {1over 3}] 라 두면

[eqn: f( 2over3 ) = left{ ( 2over3 )^3 + 6k right}^ {1 over3}]

[eqn: f`'(x ) = 1over3 left( x^3 +6k right)^ {- 2over 3} times (3x^2 ) = x^2 left( x^3 +6k right)^ {- 2over 3}]

[eqn: f`'( 2 over 3 ) = ( 2 over 3 )^2 left{ ( 2over 3 )^3 +6k right}^ {- 2over 3}]

[eqn: left{ ( 2over3 )^3 + 6k right}^ {1 over3} =a]라 두면

[eqn: f( 2over3 ) =a],

[eqn: f`' ( 2over 3 ) = 4 over 9 a^{- 2 } = 4 over { 9a^2 }]

따라서 주어진 직선의 기울기를 [eqn: m] 이라 두면

[eqn: f`'( 2 over 3 ) times m =-1]

[eqn: therefore ~ m = - {9a^2 } over 4]

따라서 직선의 식은 [eqn: y-a = - 9 over 4 a^2 (x- 2over3 )]

[eqn: (1,~0)]을 지나므로 [eqn: -a = - 9 over 4 a^2 times 1over3]

[eqn: a ne 0] 이므로 [eqn: a= 4 over3]

[eqn: left{ ( 2over3 )^3 + 6k right}^ {1 over3} = 4 over 3]

[eqn: ( 2over3 )^3 + 6k = 64 over 27]

[eqn: therefore ~ 6k= 56 over 27], [eqn: k = 28 over 81]

[eqn: therefore~ p+q = 109]

(다른 풀이2)

곡선 [eqn: C] 위의 점 [eqn: (x`,```y)]에서 [eqn: (1`,``0)]까지의 거리를 [eqn: l]이라고 하면

[eqn: l^2 = (x-1)^2 + y^2]이다. [eqn: y =(x^3 + 6k )^ { 1 over3}]을 대입하면 ([eqn: because ~①])

[eqn: l^2 = (x-1)^2 + (x^3 +6k )^{2 over3}]이다.

[eqn: f(x) = (x-1)^2 + (x^3 + 6k )^{2 over3}]라고 하면 [eqn: l^2]이 최소일 때 [eqn: f(x)]도 최소이므로 주어진 조건에 의해서 [eqn: f prime left( 2 over3 right) =0]이다.

[eqn: f prime(x) =2(x-1) + 2 over3 (x^3 +6k) ^{- 1 over3 } cdot(3x^2 )]

[eqn: `f prime left( 2 over3 right) = 2 left( - 1 over3 right) + 2 over3 left(6k + 8 over27 right) ^{ - 1 over3 } cdot3 cdot 4 over 9 =0]에서 [eqn: k= 28 over81]이다.

[4점][2013년 6월]

자연수 [eqn: n``]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)``]를 매개변수 [eqn: t``]로 나타내면
[eqn: cases{&x=e^t #&y=left(2t^2 +nt+n right)`e^t``]
이고, [eqn: x>=e^{- n over 2 }``]일 때 함수 [eqn: y=f(x)``]는 [eqn: x=a_n ``]에서 최솟값 [eqn: b_n ``]을 갖는다. [eqn: b_3 over a_3 + b_4 over a_4 + b_5 over a_5 + b_6 over a_6 ``]의 값은?

②

[eqn: y prime =e ^{t} LEFT { 2t ^{2} +(n+4)t+2n RIGHT }]

[eqn: n=3]에서부터 [eqn: n=6]일 때 [eqn: y prime =0]인 경우를 찾으면

[eqn: n=3]일 때 [eqn: t=-2,`- {3} over {2}]

[eqn: n=4]일 때 [eqn: t=-2](중근)

[eqn: n=5]일 때 [eqn: t=-2,`- {5} over {2}]

[eqn: n=6]일 때 [eqn: t=-2,`-3]

[eqn: g(t)=2t ^{2} +(n+4)t+2n]이라고 하면 그래프와 t축의 교점 중 큰 값이 [eqn: y=f(x)]의 최솟값의 x좌표가 된다.

[eqn: {dy} over {dt} =0]가 되는 [eqn: t]에 의해 결정되는 [eqn: x]의 값이 [eqn: {dy} over {dx} =0]가 되는 [eqn: x]이므로 [eqn: {b _{n}} over {a _{n}} = {y} over {x}]에서 [eqn: {y} over {x} =2t ^{2} +nt+n]

[eqn: n=3]일 때 [eqn: t=- {3} over {2}], [eqn: n=4]일 때 [eqn: t=-2], [eqn: n=5]일 때 [eqn: t=-2],

[eqn: n=6]일 때 [eqn: t=-2]를 대입하여 계산해주면,

∴[eqn: 3+4+3+2`=`12]

[4점][2013년 9월]

① [eqn: 23 over 2]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 25 over 2]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 27 over 2]

곡선 [eqn: C``:`x ^{2} +y ^{2} =100``(y GEQ 0)] 과 곡선 [eqn: C``]의 접선
[eqn: y=`- sqrt {3} x+20`] 이 있다. 곡선 [eqn: C``] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: y]축에 평행한 직선을 그어 접선과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rm A LEFT ( `10`,``0` RIGHT ) `]을 출발하여 곡선 위를 매초 [eqn: 5]의 일정한 속력으로 점 [eqn: rm B LEFT ( `-10`,``0` RIGHT ) `]까지 이동할 때, 시간(초)에 대한 선분 [eqn: rm PQ]의 길이의 순간변화율의 최댓값을 구하시오.

10

[출제의도] 속도와 가속도를 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: rm P`]

[eqn: rmQ]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: theta]

[eqn: rmA]

[eqn: ANGLE rm AOP`=theta`]라 하면 호의 길이 [eqn: l=10 theta `]

점 [eqn: rm P it ` LEFT ( `10cos theta `,~10sin theta ` RIGHT ) `]가 매초 [eqn: 5`]의 일정한 속력으로 이동하므로 양변을 시각 [eqn: t`]에 대해 미분하면

[eqn: {dl} over {dt} `=10 {d theta } over {dt} `=5], [eqn: {d theta } over {dt} `= {1} over {2}]

[eqn: {bar{rm PQ it}} ``=`L=20-10 sqrt {3} `cos theta `-10sin theta]

따라서 [eqn: L`]을 시각 [eqn: t`]에 대해 미분하면

[eqn: {dL} over {dt} ` & =` LEFT ( 10` sqrt {3} `sin theta `-10cos theta RIGHT ) ` {d theta } over {dt} `# ```````````` & =10sin LEFT ( theta - {pi } over {6} RIGHT ) `]

따라서 [eqn: theta = {2pi } over {3} `]일 때, 최댓값은 [eqn: 10]

[4점][2014년 7월]

[eqn: rm rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: -10]

[eqn: 10]

좌표평면에서 곡선 [eqn: 3x ^{3} -xy ^{2} =6] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~3 RIGHT )]에서의 접선의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: 40m]의 값을 구하시오.

90

[출제의도] 음함수의 미분법 이해하기

[eqn: 3x ^{3} -xy ^{2} =6]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 9x ^{2} -y ^{2} -2xy` {dy} over {dx} =0]

[eqn: {dy} over {dx} = {9x ^{2} -y ^{2}} over {2xy}]

따라서 점 [eqn: LEFT ( 2,``3 RIGHT )]에서 [eqn: m= {9} over {4}]이고 [eqn: 40m=90]

[3점][2014년 4월]

매개변수 [eqn: t``(t>0`)]으로 나타내어진 함수

[eqn: x=t^2 +1``],	[eqn: y= { 2} over {3 }t^3 +10`t -1``]

에서 [eqn: t=1``]일 때, [eqn: { dy} over {dx }``]의 값을 구하시오.

④

[eqn: x=t^2 +1``]에서 [eqn: {dx} over {dt} `=2`t``],

[eqn: y= { 2} over {3 }t^3 +10`t -1``]에서 [eqn: {dy} over {dt} `=2`t^2`+10``]

[eqn: THEREFORE { dy} over {dx }`= { { dy} over {dt } } over { { dx} over {dt } }= { 2`t^2 +10} over {2`t }]

[eqn: t=1``]일 때, [eqn: { dy} over {dx }``= { 12} over {2 }=6``]

[3점][2015년 6월]

[해설] 기벡-(2)음함수, 매개변수 미분