1	|단답형|

Ⅴ. 함수와 그래프

01

함 수

성취 기준    [10수학 04-01] 함수의 개념을 이해하고, 그 그래프를 이해한다.

평가 기준

함수의 개념을 이해하고 함수의 정의역, 공역, 치역을 구할 수 있다.

교과서 221쪽 문제 2

교과서 대표 문항  |단답형|

하

두 집합 [eqn: X=left{1,```2,```3 right}], [eqn: Y=left{-1,```0,```1,```2,```3 right}]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f]가

[eqn: f(x)=2x-3]

일 때, 함수 [eqn: f]의 정의역, 공역, 치역을 각각 구하라.

성취 ․ 평가 기준별 문항 자료

하

Ⅴ. 함수와 그래프

정의역이 [eqn: left{1,``2,``3,``4right}]인 함수 [eqn: f(x)=`-x+3]의 치역을 구하라.

2	|선다형|

중

함수 [eqn: f`:`X`->`Y]가 그림과 같을 때, 정의역, 공역, 치역의 집합을 각각 [eqn: A,```B,```C]라고 하자. 이때 집합 [eqn: A CUP B CUP C]의 모든 원소의 합은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]

③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]

⑤ [eqn: 11]

3	|선다형|

Ⅴ. 함수와 그래프

01

함 수

성취 기준    [10수학 04-01] 함수의 개념을 이해하고, 그 그래프를 이해한다.

평가 기준

함수의 그래프를 보고 함수를 구분할 수 있다.

교과서 232쪽 중단원 학습 점검 02

교과서 대표 문항  |단답형|

하

다음 그림 중에서 일대일대응, 항등함수, 상수함수의 그래프인 것을 각각 찾으라.

⑴ 	⑵ 	⑶

하

다음 중 함수의 그래프가 될 수 있는 것은?

① 	②

③ `	④

⑤

4	|합답형|

중

집합 [eqn: X``=` LEFT { -2,```-1,```0,```1 RIGHT }]일 때, [보기]의 [eqn: X``]에서 [eqn: X``]로의 함수의 그래프에 대하여 다음 함수를 찾으라.

보기

ㄱ.	ㄴ.

ㄷ. 	ㄹ.

⑴ 일대일함수	⑵ 일대일대응

⑶ 항등함수	⑷ 상수함수

5	|단답형|

Ⅴ. 함수와 그래프

01

함 수

성취 기준    [10수학 04-02] 함수의 합성을 이해하고, 합성함수를 구할 수 있다.

평가 기준

합성함수의 함숫값을 구할 수 있다.

교과서 232쪽 중단원 학습 점검 03

교과서 대표 문항  |단답형|

하

두 함수 [eqn: f(x)=cases{~~~2~&(x<3)# -3x+7~~~&(x≥3)^`^`^`^`^`^`^`^` }], [eqn: rm g it (x)=x^2 -1]에 대하여 다음을 구하라.

⑴ [eqn: (f CIRC rm g it )(3)]	⑵ [eqn: ( rm g it circ f)(1)]

하

두 함수 [eqn: f(x)=2x+1], [eqn: rm g it (x)=3x^{ 2 }]에 대하여 다음을 구하라.

⑴ [eqn: ( rm g it CIRC f)(1)]

⑵ [eqn: (f CIRC rm g it )(1)]

6	|단답형|

중

두 함수 [eqn: f(x)=x+1], [eqn: rm g it (x)=`-3x-2]에 대하여 [eqn: ( rm g it CIRC f)(a)=7]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하라.

7	|단답형|

Ⅴ. 함수와 그래프

01

함 수

성취 기준    [10수학 04-02] 함수의 합성을 이해하고, 합성함수를 구할 수 있다.

평가 기준

함수의 합성에서 교환법칙이 성립하는 특수한 경우 미지수의 값을 구할 수 있다.

교과서 233쪽 중단원 학습 점검 07

교과서 대표 문항  |단답형|

상

두 함수 [eqn: f(x)=4x-2], [eqn: rm g it (x)=ax+b]가 [eqn: f circ rm g=g it circ f]를 만족시킬 때, [eqn: a]의 값에 관계없이 함수 [eqn: y= rm g it (x)]의 그래프가 항상 지나는 점의 좌표를 구하라. (단, [eqn: a,```b]는 실수이다.)

중

두 함수 [eqn: f(x)=x+k], [eqn: rm g it (x)=2x+1]에 대하여
[eqn: ( rm g it CIRC f)(x)=][eqn: (f CIRC rm g it )(x)]가 성립할 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하라.

8	|단답형|

상

집합 [eqn: X = left { 1,~ 2,~ 3,~ 4 right }]에서 [eqn: X `]로의 함수 [eqn: f~:~X~` -> ``~X`]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: f`(x)= {cases{x+1~```(x` LEQ `3)##~~1~~~(x=4)}}]

함수 [eqn: rm g it ~:~ X ~→~ X`]에 대하여 [eqn: rm g it (1)=2]이고 [eqn: f∘ rm g it `=` rm g it ∘f ``]가 성립할 때, [eqn: rm g it (2)], [eqn: rm g it (3)], [eqn: rm g it (4)]의 대소 관계를 말하라.

9	|단답형|

Ⅴ. 함수와 그래프

01

함 수

성취 기준    [10수학 04-03] 역함수의 의미를 이해하고, 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.

평가 기준

역함수의 뜻을 이해하고 함숫값이나 미지수의 값을 구할 수 있다.

교과서 232쪽 중단원 학습 점검 04

교과서 대표 문항  |단답형|

하

함수 [eqn: f(x)=ax+3]에 대하여 [eqn: f`^-1 (1)=2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하라.

하

함수 [eqn: f(x)=x-1]의 역함수를 [eqn: f`^{ -1 }]라고 할 때, [eqn: f`^{ -1 } (1)]의 값을 구하라.

10	|단답형|

하

함수 [eqn: f(x)=ax+b]에 대하여 [eqn: f(2)=`-3], [eqn: f`^{ -1 } (3)=`-1]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하라.

11	|선다형|

Ⅴ. 함수와 그래프

01

함 수

성취 기준    [10수학 04-03] 역함수의 의미를 이해하고, 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.

평가 기준

함수의 합성에서 역함수의 성질을 이용할 수 있다.

교과서 253쪽 대단원 학습 점검 10

교과서 대표 문항  |단답형|

상

함수 [eqn: f]의 역함수를 [eqn: rm g it]라고 할 때, 함수 [eqn: f(3x-2)]의 역함수를 [eqn: y= rm g it (x)]로 나타내라.

상

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: rm g it (x)]일 때, 함수 [eqn: f(2x)]의 역함수는?

① [eqn: 2 rm g it (x)]	② [eqn: rm g it LEFT ( {x} over {2} RIGHT )]

③ [eqn: rm g it (2x)]	④ [eqn: {1} over {2} rm g it LEFT ( {x} over {2} RIGHT )]

⑤ [eqn: {1over2} rm g it (x)]

12	|단답형|

상

두 함수 [eqn: f(x)=x+1], [eqn: rm g it (x)=2x+6]에 대하여

[eqn: (f CIRC ( rm g it CIRC f)^{ -1 } CIRC f)(1)]의 값을 구하라.

13	|단답형|

Ⅴ. 함수와 그래프

01

함 수

성취 기준    [10수학 04-03] 역함수의 의미를 이해하고, 주어진 함수의 역함수를 구할 수 있다.

평가 기준

함수의 그래프에서 역함수의 함숫값을 구할 수 있다.

교과서 233쪽 중단원 학습 점검 09

교과서 대표 문항  |단답형|

상

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음을 구하라. (단, 모든 점선은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행하다.)

⑴ [eqn: (f circ f)(a)]

⑵ [eqn: (f circ f)^-1 (d)]

상

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,
[eqn: (f`^{ -1 } CIRC f`^{ -1 } )(b)]의 값을 구하라.

14	|단답형|

상

두 함수 [eqn: y=f`(x)]와 [eqn: y= rm g it (x)]에 대하여

[eqn: h`(x) =(`f CIRC rm g it CIRC f``^-1`)(x)]라고 할 때, [eqn: h`(c)]의 값을 구하라.

15	|단답형|

Ⅴ. 함수와 그래프

02

유리함수와 무리함수

성취 기준    [10수학 04-04] 유리함수 [eqn: y= {ax+b} over {cx+d}]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.

평가 기준

유리식의 사칙연산을 할 수 있다.

교과서 238쪽 문제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

하

다음 식을 계산하라.

⑴ [eqn: {1}over{x+1}+2]	⑵ [eqn: {1}over{x-2}-{1}over{x}]

⑶ [eqn: {x-1}over{x^2 -2x} ×{x}over{x-1}]	⑷ [eqn: {x-1}over{x^2 -2x}÷{x^2 -1}over{x^2 -5x+6}]

하

[eqn: {3x - 7} over {x-3} - {2x+9} over {x+5}]를 계산하면 [eqn: {ax+b} over {x^2 +2x-15} +1]이다. 이때 [eqn: a+b]의 값을 구하라. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

16	|단답형|

중

다음 등식이 [eqn: x]에 대한 항등식이 되도록 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 정하라.

⑴ [eqn: { 1 } over { x^ 2 -1 } = { a } over { x-1 } + { b } over { x+1 } &]

⑵ [eqn: { 2x+5 } over { x^ 2 -3x+2 } = a over { x-1 } + b over { x-2 }&]

17	|선다형|

Ⅴ. 함수와 그래프

02

유리함수와 무리함수

성취 기준    [10수학 04-04] 유리함수 [eqn: y= {ax+b} over {cx+d}]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.

평가 기준

유리함수의 그래프를 이해한다.

교과서 250쪽 중단원 학습 점검 05

교과서 대표 문항  |단답형|

중

유리함수 [eqn: y={ax+b}over{x+c}]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 세 상수 [eqn: a,```b,```c]의 값을 각각 구하라.

중

[eqn: 0<b<a ``]인 상수 [eqn: a,```b``]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = x+b over x+a ``]의 그래프의 개형으로 옳은 것은?

① 	②

③ 	④

⑤

18	|단답형|

상

함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,
함수 [eqn: y= {ax－b} over {x－c}]의 그래프가 지나지 않는 사분면을 구하라.

19	|단답형|

Ⅴ. 함수와 그래프

02

유리함수와 무리함수

성취 기준    [10수학 04-04] 유리함수 [eqn: y= {ax+b} over {cx+d}]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.

평가 기준

유리함수의 그래프를 통해 제한된 범위에서의 문제를 해결할 수 있다.

교과서 252쪽 대단원 학습 점검 04

교과서 대표 문항  |선다형|

중

유리함수 [eqn: y={x+1}over{x+2}]의 정의역이 [eqn: left{x ``LEFT |``0≤x≤2 right}]일 때, 이 함수의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: {1}over{4}]	② [eqn: {1}over{2}]	③ [eqn: {3}over{4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5}over{4}]

중

[eqn: a`LEQ`x`LEQ`1]일 때, 유리함수 [eqn: y= 2x-1 over x-2]의 최댓값이 [eqn: 1], 최솟값이 [eqn: b]이다. 이때 [eqn: ab]의 값을 구하라.

20	|단답형|

중

상

함수 [eqn: y = 2x+6 over x+1]의 치역이 [eqn: "{" y``|`` y leq0```또는```y geq4"}"]일 때, 정의역에 속하는 모든 정수의 합을 구하라.

21	|단답형|

Ⅴ. 함수와 그래프

02

유리함수와 무리함수

성취 기준    [10수학 04-05] 무리함수 [eqn: y= sqrt{ax+b}+c]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.

평가 기준

무리식의 사칙연산을 할 수 있다.

교과서 244쪽 문제 1

교과서 대표 문항  |단답형|

하

다음 식을 간단히 하라.

⑴ [eqn: {2}over{sqrt{x}+1}+{2}over{sqrt{x}-1}]	⑵ [eqn: {1}over{sqrt{x+1}+sqrt{x}}-sqrt{x+1}+sqrt{x}]

하

다음 식을 간단히 하라.

⑴ [eqn: { 1 } over { sqrt { x } +1 } + { 1 } over { sqrt { x } -1 } &]

⑵ [eqn: { sqrt { x+1 } } over { sqrt { x+1 }-1 } + { sqrt { x+1 } } over { sqrt { x+1 } +1 } &]

22	|단답형|

중

실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {sqrt {x+1} + sqrt {x}}]로 정의할 때,

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +cdots+f LEFT ( 400 RIGHT )]의 값을 구하라.

23	|선다형|

Ⅴ. 함수와 그래프

02

유리함수와 무리함수

성취 기준    [10수학 04-05] 무리함수 [eqn: y= sqrt{ax+b}+c]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.

평가 기준

무리함수의 식과 그래프를 이해한다.

교과서 251쪽 중단원 학습 점검 08

교과서 대표 문항  |단답형|

중

무리함수 [eqn: y=sqrt{ax+b}+c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 각각 구하라.

하

무리함수 [eqn: y=sqrt{-3x+6}+1]의 그래프의 개형으로 가장 알맞은 것은?

① 	②

③ 	④

⑤

24	|선다형|

중

무리함수 [eqn: y= sqrt {x+a} -2]의 그래프가 좌표평면 위의 제[eqn: 2]사분면을 지날 때, 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

① [eqn: a``>``3]	② [eqn: a``>``4]

③ [eqn: a``<``4]	④ [eqn: a``<``3]

⑤ [eqn: 3``<``a``<``4]

25	|단답형|

Ⅴ. 함수와 그래프

02

유리함수와 무리함수

성취 기준    [10수학 04-05] 무리함수 [eqn: y= sqrt{ax+b}+c]의 그래프를 그릴 수 있고, 그 그래프의 성질을 이해한다.

평가 기준

무리함수의 그래프의 성질을 이해하고, 도형 문제를 해결할 수 있다.

교과서 253쪽 대단원 학습 점검 07

교과서 대표 문항  |선다형|

상

무리함수 [eqn: y=sqrt{kx+1}-1]의 그래프가 두 점 [eqn: rm A(1,```1)], [eqn: rm B(1,```3)]을 잇는 선분 [eqn: rm AB]와 만나도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

중

무리함수 [eqn: y= SQRT{ -3x+4}-1]의 그래프와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축이 만나는 두 점을 각각 [eqn: RMA,~B]라고 할 때, 삼각형 [eqn: RMOAB]의 넓이를 구하라. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

26	|단답형|

상

두 함수 [eqn: f(x)= sqrt {x+3} -5], [eqn: rm g it (x)= sqrt {-x+3} +5]의 그래프와 두 직선 [eqn: x=`-3], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라.

정답 및 풀이

Ⅴ. 함수와 그래프

함수

01

1

평가 목표	함수의 정의역과 치역을 이해한다.

풀이	정의역이 [eqn: left{1,``2,``3,``4right}]이므로 치역은 함수식에 정의역을 대입한 값의 집합과 같다.

따라서 [eqn: LEFT { -1, ```0,```1,```2 RIGHT }]이다.

정답	[eqn: LEFT { -1,```0,```1,```2 RIGHT }]

채점 기준표	배점 비율
함수의 치역을 구한다.	100%

2

평가 목표	함수의 정의역, 공역, 치역을 이해한다.

풀이	주어진 함수는 집합 [eqn: X]에서 집합 [eqn: Y]로의 함수이고 정의역은 [eqn: A= LEFT { -1,```2,```3 RIGHT }]이고 공역은 [eqn: B= LEFT { 1,```2,```3,```5 RIGHT }]이다.

이때 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =3], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =5]이므로 치역은
[eqn: C= LEFT { 1,```3,```5 RIGHT }]이다.

∴ [eqn: A CUP B CUP C= LEFT { -1,```1,```2,```3,```5 RIGHT }]

따라서 구하는 모든 원소의 합은 [eqn: 10]이다.

정답	④

채점 기준표	배점 비율
함수의 정의역, 공역, 치역을 구한다.	50%
합집합을 구한 후 원소의 합을 구한다.	50%

3

평가 목표	함수의 뜻을 이해하고 그래프를 이해한다.

풀이	①, ②, ③, ④는 직선 [eqn: x=a]와 주어진 그래프의 교점이 2개 이상이므로 함수가 아니다.

⑤는 직선 [eqn: x=a]와 주어진 그래프의 교점이 1개이다.

따라서 함수인 것은 ⑤이다.

정답	⑤

채점 기준표	배점 비율
함수의 그래프를 찾는다.	100%

4

평가 목표	함수의 그래프를 이해한다.

풀이	⑴ [eqn: x_1 not= x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) not= f(x_2 )]이어야 하므로 이를 만족하는 함수의 그래프는 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

⑵ 일대일함수이고 치역과 공역이 같아야 하므로 이를 만족하는 함수의 그래프는 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

⑶ [eqn: f(x)=x]이어야 하므로 이를 만족하는 함수의 그래프는 ㄱ이다.

⑷ [eqn: f(x) =c] ([eqn: c]는 상수)이어야 하므로 이를 만족하는 함수의 그래프는 ㄷ이다.

정답	풀이 참조

채점 기준표	배점 비율
함수의 그래프를 보고 함수의 성질에 따라 분류한다.	100%

5

평가 목표	합성함수를 이해하고 합성함수의 함숫값을 구할 수 있다.

풀이	⑴ [eqn: ( rm g it ∘f`)(1)= rm g it (f`(1))= rm g it (3)=27]

⑵ [eqn: (f∘ rm g it `)(1)=f`( rm g it (1))=f`(3)=7]

정답	⑴ [eqn: 27]  ⑵ [eqn: 7]

채점 기준표	배점 비율
합성함수의 함숫값을 구한다.	100%

6

평가 목표	합성함수를 이해하고 합성함수의 함숫값을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: ( rm g it ∘f`)(x)][eqn: = rm g it (f`(x))]
[eqn: = rm g it (x+1)]
[eqn: =`-3(x+1)-2]
[eqn: =`-3x-5]

조건에서 [eqn: ( rm g it ∘f`)(a)=7]이므로
[eqn: -3a-5=7]

따라서 [eqn: a=`-4]이다.

정답	[eqn: -4]

채점 기준표	배점 비율
합성함수의 함숫값을 구한 후 미지수의 값을 구한다.	100%

7

평가 목표	[eqn: ( rm g it CIRC f)(x)=(f CIRC rm g it )(x)]임을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: ( rm g it ∘f`)(x)][eqn: = rm g it (f(x))]
[eqn: = rm g it (x+k)]
[eqn: =2(x+k)+1]
[eqn: =2x+2k+1]

[eqn: (f∘ rm g it `)(x)][eqn: =f`( rm g it (x))]
[eqn: =f`(2x+1)]
[eqn: =(2x+1)+k]
[eqn: =2x+k+1]

[eqn: 2x+2k+1=2x+k+1]에서 [eqn: k=0]이다.

정답	[eqn: 0]

채점 기준표	배점 비율
합성함수의 교환법칙이 성립되는 경우의 미지수의 값을 구한다.	100%

8

평가 목표	합성함수의 성질과 [eqn: f∘ rm g it = rm g it ∘f ``]를 이용하여 함숫값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: (f∘ rm g it )(1) = f`( rm g it `(1)) = f`(2) = 3]

[eqn: f∘ rm g it = rm g it ∘f ``]가 성립하므로

[eqn: ( rm g it ∘f`)(1) = rm g it (f`(1)) = rm g it (2)= 3]

[eqn: (f∘ rm g it `)(2) = f`( rm g it `(2)) = f`(3) = 4]

[eqn: f∘rm g =g∘ it f ``]가 성립하므로

[eqn: ( rm g it ∘f`)(2) = rm g it `(f`(2)) = rm g it `(3)=4]

[eqn: (f∘ rm g it `)(3) = f`( rm g it `(3)) = f`(4) = 1]

[eqn: f∘ rm g it `=` rm g it ∘f ``]가 성립하므로

[eqn: ( rm g it ∘f`)(3) = rm g it `(f`(3)) = rm g it `(4)=1]

따라서 [eqn: rm g it (4) `<` rm g it (2) `<` rm g it (3)]이다.

정답	[eqn: rm g(4) `<` g(2) `<` g(3)]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: rm g(1)]의 값을 이용하여 [eqn: rm g(2)]의 값을 구한다.	30%
[eqn: f(2)]의 값과 [eqn: f CIRCrm g=g CIRC it f]를 이용하여 [eqn: rm g it (3)]의 값을 구한다.	30%
[eqn: f(3)]의 값과 [eqn: f CIRC rm g it = rm g it CIRC f]를 이용하여 [eqn: rm g it (4)]의 값을 구한다.	30%
[eqn: rm g(2)], [eqn: rmg(3)], [eqn: rm g(4)]의 값을 비교한다.	10%

9

평가 목표	역함수의 뜻을 이해하고 역함수의 값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: y=x-1]의 역함수는 [eqn: x=y-1]에서
[eqn: y=x+1]

따라서 [eqn: f`^-1 (1)=1+1=2]이다.

혹은 [eqn: f`^{ -1 } (1)=a]로 놓으면 [eqn: f(a)=a-1=1]이므로

[eqn: a=f`^{ -1 } (1)=2]로도 구할 수 있다.

정답	[eqn: 2]

채점 기준표	배점 비율
역함수를 이용하여 역함수의 함숫값을 구한다.	100%

10

평가 목표	역함수의 함숫값을 이용하여 미지수의 값을 구할 수 있다.

풀이	[eqn: f(2)=2a+b=`-3]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f`^-1 (3)=`-1]에서 [eqn: f(-1)=3]이므로

[eqn: f(-1)=`-a+b=3]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면
[eqn: a=`-2,```b=1]

따라서 [eqn: a+b=`-2+1=`-1]이다.

정답	[eqn: -1]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: a]의 값을 구한다.	50%
[eqn: b]의 값을 구한다.	50%

11

평가 목표	합성함수와 역함수의 뜻을 이해한다.

풀이	함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 [eqn: rm g it LEFT ( x RIGHT )]이므로
[eqn: f` ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) = rm g it LEFT ( x RIGHT )]

이때 [eqn: y=f LEFT ( 2x RIGHT )]에서 [eqn: x], [eqn: y]를 바꾸면 [eqn: x=f LEFT ( 2y RIGHT )]

[eqn: f`^-1 (x)=2y], [eqn: y={1}over{2}f^-1 (x)]
따라서 [eqn: y= {1} over {2} f` ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} rm g it LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( 2x RIGHT )]의 역함수는
[eqn: {1} over {2} rm g it LEFT ( x RIGHT )]이다.

정답	⑤

채점 기준표	배점 비율
[eqn: f(2x)]의 역함수를 구한다.	100%

12

평가 목표	합성함수와 역함수가 복합된 형태의 식을 이해할 수 있다.

풀이	[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+1]의 역함수 [eqn: f`^-1 (x)]는 [eqn: x=y+1]에서

[eqn: f ^{`-1} (x)=x-1]

[eqn: rm g it (x)=2x+6]의 역함수 [eqn: rm g ^-1 (itx)]는 [eqn: x=2y+6]에서

[eqn: rmg^-1 (it x)={1 over 2}x-3]

따라서

[eqn: (f∘( rm g it ∘f`)^-1 ∘f`)(1)]

[eqn: =(f∘f`^-1 ∘ rm g ^-1 ∘ it f``)(1)]
[eqn: =(rm g^-1 it ∘f``)(1)]

[eqn: =rm g ^{-1} it (f(1))= rm g ^{-1} (2)]
[eqn: = {1} over {2} times2-3]
[eqn: =`-2]

정답	[eqn: -2]

채점 기준표	배점 비율
[eqn: f` ^{-1} (x)]와 [eqn: rm g ^{-1} it (x)]를 구한다.	40%
[eqn: (f CIRC ( rm g it CIRC f) ^{-1} CIRC f)(1)]을 나타내어 값을 구한다.	60%

13

평가 목표	함수의 그래프와 직선 [eqn: y=x]와 역함수의 그래프의 관계를 이해한다.

풀이	[eqn: f`(b)=a,~f(c)=b,] [eqn: f(d)=c]이므로

[eqn: f`^-1 (a)=b]

[eqn: f`^-1 (b)=c]

[eqn: f`^-1 (c)=d]

따라서

[eqn: (f`^-1 ∘f`^-1 )(b)][eqn: =f`^-1 (f`^-1 (b))][eqn: =f`^-1 (c)=d]이다.

정답	[eqn: d]

채점 기준표	배점 비율
함수의 그래프를 통해 역함수의 값을 구한다.	40%
[eqn: (f` ^{-1} CIRC f ` ^{-1} )(b)]의 값을 구한다.	60%

14

평가 목표	함수의 그래프와 직선 [eqn: y=x]와 역함수의 그래프의 관계를 이해한다.

풀이	[eqn: h(x) = (f CIRC rm g it CIRC f`^-1 ) (x) = f`( rm g it `(f`^-1 (x)))]이므로

[eqn: h(c)= f`( rm g it `(f`^-1 (c)))]에서 [eqn: f`^-1 (c) = k]([eqn: k]는 상수)로 놓으면 역함수의 정의에 의해 [eqn: f(k) = c]이다.

[eqn: f(k) = c]를 만족하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: k=d]이므로 [eqn: f`^-1 (c) = d]따라서

[eqn: h(c)][eqn: =(f∘ rm g it ∘f`^-1 )(c)]
[eqn: =(f∘ rm g it )(d)] (∵ [eqn: rm g it (d)=d])
[eqn: =f(d)]
[eqn: =c]

정답	[eqn: c]

채점 기준표	배점 비율
그래프를 통해 [eqn: (`f CIRC rm g it CIRC f`` ^{-1} `)(x)]를 이해하고 [eqn: h(c)]의 값을 구한다.	100%

유리함수와 무리함수

02

15

평가 목표	유리식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다.

풀이	[eqn: {3x - 7} over {x-3} - {2x+9} over {x+5}]를 계산하면

[eqn: {3x - 7} over {x-3} - {2x+9} over {x+5}][eqn: = {3(x-3)+2} over {x-3} - {2(x+5)-1} over {x+5}]
[eqn: = 3+ 2over x-3 - 2+ 1 over x+5]
[eqn: = 1+ 2 over x-3 + 1 over x+5]
[eqn: = 1+ {2x+10+x-3} over {(x-3)(x+5)}]
[eqn: = {3x+7} over { x^2 +2x-15} +1]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b=7]이므로 [eqn: a+b=10]이다.

정답	[eqn: 10]

채점 기준표	배점 비율
주어진 유리식을 바르게 계산한다.	80%
[eqn: a+b]의 값을 구한다.	20%

16

평가 목표	유리식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다.

풀이	⑴ [eqn: a over x-1 } + b over {x+1}][eqn: = {a(x+1)} over {(x-1)(x+1)} + {b(x-1)} over {(x+1)(x-1)}]
[eqn: = {(a+b)x + (a-b)} over {x^2 -1 }]

[eqn: a+b=0]이고 [eqn: a-b=1]이므로 [eqn: a= 1over2], [eqn: b= - 1over2]이다.

⑵ [eqn: a over { x-1 } + b over { x-2 }][eqn: = {a(x-2)} over {(x-1)(x-2)} + b(x-1) over {(x-2)(x-1) }]
[eqn: = {(a+b)x - (2a+b)} over {x^2 - 3x+2}]

[eqn: a+b = 2]이고 [eqn: 2a+b = `-5]이므로 [eqn: a= `-7], [eqn: b=9]이다.

정답	⑴ [eqn: a= 1over2], [eqn: b= `- 1over2]  ⑵ [eqn: a=` -7], [eqn: b=9]

채점 기준표	배점 비율
주어진 유리식을 바르게 계산한다.	50%
항등식의 성질을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구한다.	50%

17

평가 목표	유리함수의 그래프를 이해한다.

풀이	[eqn: f(x) = x+b over x+a = 1 + b-a over x+a]
이므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 점근선이 직선 [eqn: x=`-a] ([eqn: -a<0]), [eqn: y=1]이고 [eqn: b-a<0]이므로 ②와 같다.

정답	②

채점 기준표	배점 비율
함수 [eqn: f(x)]의 식을 간단히 나타낸다.	40%
주어진 조건을 이용하여 함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형을 파악한다.	60%

18

평가 목표	이차함수의 그래프와 유리함수의 그래프를 이해한다.

풀이	[eqn: y=ax^2 + bx+c=a LEFT ( x+ {b} over {2a} RIGHT ) ^{2} - {b ^{2} -4ac} over {4a}]에서

이차함수의 그래프가 아래로 볼록하므로 [eqn: a>0]

[eqn: a>0]이고 [eqn: - {b} over {2a} >0]이므로 [eqn: b<0]

[eqn: y]절편이 양수이므로 [eqn: c>0]

따라서 [eqn: y= {ax-b} over {x-c} = {-b+ac} over {x-c} +a]와 같이 나타낼 수 있다. 이 함수의 그래프는 [eqn: y= {-b+ac} over {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: c]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동한 그래프이다. 이때 [eqn: a>0], [eqn: b<0], [eqn: c>0]이므로 [eqn: -b+ac>0]이다.

따라서 함수의 그래프의 개형을 나타내면 오른쪽 그림과 같고, 함수의 그래프가 지나지 않는 사분면은 제[eqn: 3]사분면이다.

정답	제[eqn: 3]사분면

채점 기준표	배점 비율
이차함수의 그래프를 이용하여 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대한 조건을 구한다.	50%
함수의 그래프를 나타낸다.	50%

19

평가 목표	유리함수의 그래프를 통해 제한된 범위에서의 최댓값과 최솟값을 구할 수 있다.

풀이	주어진 함수를 정리하면

[eqn: y= 2x-1 over x-2 = 3 over x-2 +2]이므로 주어진 함수의 그래프는 [eqn: y = 3 over x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 그래프이다.

[eqn: x=a]일 때 최댓값 [eqn: 1]을 가지고 [eqn: x=1]일 때 최솟값 [eqn: b]를 가지므로

[eqn: 3 over a-2 +2 =1], [eqn: 3 over 1-2 +2=b]

따라서 [eqn: a=`-1], [eqn: b=`-1]이므로 [eqn: ab=1]이다.

정답	[eqn: 1]

채점 기준표	배점 비율
주어진 유리함수의 그래프를 그린다.	40%
그래프를 통해 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구한다.	60%

20

평가 목표	유리함수의 그래프를 그리고, 치역을 통해 정의역을 구할 수 있다.

풀이	주어진 함수를 정리하면

[eqn: y= {2x+6} over {x+1} = {2(x+1)+4} over {x+1} = {4} over {x+1} +2]이므로 주어진 함수의 그래프는 [eqn: y = 4 overx]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 그래프이다.

치역이 [eqn: left{y verty le 0```또는```y ge4 right]인 함수 [eqn: y = 2x+6 overx+1]의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로
[eqn: y = 0]일 때
[eqn: 2x+6 = 0]에서 [eqn: x=`-3]

[eqn: y = 4]일 때
[eqn: 4 = 2x+6 overx+1]에서 [eqn: 2x+6 = 4x+4], [eqn: x=1]

따라서 구하는 정의역은

[eqn: left{ x vert -3 le x< -1```또는```-1<x le1right]

이므로 정의역에 속하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -3,```-2,```0,```1]이고 이들의 합은 [eqn: -4]이다.

정답	[eqn: -4]

채점 기준표	배점 비율
주어진 유리함수의 그래프를 그린다.	50%
그래프를 통해 정의역을 구한다.	50%

21

평가 목표	무리식의 덧셈과 뺄셈을 할 수 있다.

풀이	⑴ [eqn: 1 over { { sqrt x } +1 } + 1 over {{sqrt x } -1 } = {{ sqrt x } -1+ {sqrt x } +1 } over { ( {sqrt x}+1 )( {sqrt x}-1 )} } }]

[eqn: = { 2 {sqrt x} } over { x-1 }]

⑵ [eqn: { sqrt { x+1 } } over { sqrt { x+1 } -1 } + { sqrt { x+1 } } over { sqrt { x+1 } +1 }]
[eqn: = { sqrt { x+1 } ( sqrt { x+1 } +1)+ sqrt { x+1 } ( sqrt { x+1 }-1) } over { ( sqrt { x+1 } -1)( sqrt { x+1 } +1) } `]
[eqn: = { x+1+ sqrt { x+1 } +x+1- sqrt { x+1 } } over { x }]
[eqn: = { 2x+2 } over { x }]

정답	⑴ [eqn: {2 sqrtx} over x-1]  ⑵ [eqn: 2x+2 over x]

채점 기준표	배점 비율
주어진 무리식을 바르게 계산한다.	100%

22

평가 목표	무리식을 계산하고 주어진 조건에 맞는 값을 구할 수 있다.

풀이	실수 [eqn: {x}]에 대하여

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {sqrt {x+1} + sqrt {x}}}]
[eqn: {= {sqrt {x+1} - sqrt {x}} over {LEFT ( sqrt {x+1} + sqrt {x} RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+1} - sqrt {x} RIGHT )}}]
[eqn: {=sqrt {x+1} - sqrt {x}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: { f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +`cdots`+f LEFT ( 400 RIGHT )}]

[eqn: {= LEFT ( sqrt2 -1 RIGHT ) + LEFT ( sqrt {3} - sqrt2 RIGHT ) + LEFT ( sqrt {4} -sqrt {3} RIGHT )}]

[eqn: {+`cdots`+ LEFT ( sqrt {400} - sqrt {399} RIGHT )}]

[eqn: {= sqrt {400} -1 =19]

정답	[eqn: 19]

채점 기준표	배점 비율
주어진 무리식을 바르게 계산한다.	40%
숫자를 대입하여 주어진 식의 값을 구한다.	60%

23

평가 목표	무리함수의 그래프를 그릴 수 있다.

풀이	함수 [eqn: y=sqrt{-3x+6}+1]을 정리하면

[eqn: y=sqrt{-3x+6}+1 = sqrt-3(x-2)} +1]이므로 주어진 함수의 그래프는 [eqn: y=sqrt3x]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하고, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 그래프와 같다.

정답	①

채점 기준표	배점 비율
무리함수의 그래프를 그린다.	100%

24

평가 목표	무리함수의 그래프를 이해한다.

풀이	함수 [eqn: y= sqrt {x+a} -2]의 그래프는 [eqn: y= sqrtx]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 그래프와 같다. 이때 주어진 함수의 그래프가 제[eqn: 2]사분면을 지나기 위해서는 [eqn: -a<0]이고 [eqn: y]절편이 [eqn: 0]보다 커야 한다.

따라서 [eqn: a>0], [eqn: sqrta -2>0]이므로 [eqn: a >4]이다.

정답	②

채점 기준표	배점 비율
주어진 무리함수의 그래프의 개형을 파악한다.	50%
제[eqn: 2]사분면을 지나기 위한 조건을 찾고 [eqn: a]의 값의 범위를 구한다.	50%

25

평가 목표	무리함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

풀이	[eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: 0= SQRT { -3x+4}`-1]
[eqn: 1= sqrt{-3x+4}], [eqn: x=1]

이므로 점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: (1,~0)]이다.

[eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: y= sqrt {4} -1=1]이므로 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: (0,~1)]이다.

따라서 삼각형 [eqn: RMOAB]의 넓이는

[eqn: 1over2 times 1 times 1 = 1 over 2]

정답	[eqn: 1 over 2]

채점 기준표	배점 비율
무리함수의 그래프가 [eqn: x], [eqn: y]축과 만나는 점의 좌표를 구한다.	40%
삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이를 구한다.	60%

26

평가 목표	무리함수의 그래프를 이해하여 도형의 넓이를 구할 수 있다.

풀이	함수 [eqn: y= sqrt {x+3} -5]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -5]만큼 평행이동한 것이다.

또한, 함수 [eqn: y= sqrt {-x+3} +5= sqrt {-(x-3)} +5]의 그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {x}]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 다음 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동한 것이다.

즉, 그림의 어두운 두 부분의 넓이가 같으므로 구하는 도형의 넓이는 굵은 선으로 표시된 직사각형의 넓이와 같다.

따라서 구하는 도형의 넓이는 [eqn: 6 times 10 =60]이다.

정답	[eqn: 60]

채점 기준표	배점 비율
두 함수의 그래프를 그린다.	30%
넓이가 같은 부분을 찾고 직사각형의 넓이를 통해 구하는 도형의 넓이를 구한다.	70%