확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		1. 순열과 조합			반 / 번호
	01 경우의 수					이름

01

오른쪽 그림과 같이 네 개의 지점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 연결하는 도로망이 있다. [eqn: rmA] 지점에서 출발하여 동일한 지점을 한 번만 지나 [eqn: rmC] 지점까지 가는 모든 경우의 수는?

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

02

세 집합 [eqn: A=left{1,~2,~3right}], [eqn: B=left{1,~2,~3,~4right}], [eqn: C=left{1,~2,~3,~4,~5right}]에서 각각 한 개의 원소를 뽑을 때, 세 수의 합이 짝수가 되는 경우의 수는?

① [eqn: 20]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

03

한 개의 주사위를 차례로 두 번 던져 나온 눈의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b]라고 할 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: ax^2 + bx +a =0]이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우의 수는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

04

부등식 [eqn: 2x + y le 6]을 만족시키는 두 자연수 [eqn: x,~y]의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]의 개수는?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

05

[eqn: 4]개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4]에서 서로 다른 [eqn: 2]개의 숫자를 택하여 만들 수 있는 두 자리의 자연수 중에서 짝수의 개수는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

06

크고 작은 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 5]의 배수가 되는 경우의 수를 구하여라.

07

[eqn: 4]종류의 신문과 [eqn: 3]종류의 잡지에서 각각 [eqn: 1]종류씩 택하는 방법의 수를 구하여라.

08

방정식 [eqn: x+2y+ 3z=10]을 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y,~z]의 순서쌍의 개수를 구하여라.

09

다음 식을 전개할 때 생기는 항의 개수를 구하여라.
(1) [eqn: (a+b)(c+d+e)]
(2) [eqn: (x+y+z) (a+b)(u+v)]

10

크기가 다른 세 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 5] 이하가 되는 경우의 수를 구하여라.

11

다음 식을 전개할 때 생기는 항의 개수를 구하여라.
(1) [eqn: (a+b+c)(x+y+z)]
(2) [eqn: (1 +p + p^2 ) (1+ q + q^2 + q^3 ) (1 + r+ r^2 )]

12

[eqn: 200]의 양의 약수의 개수와 양의 약수의 총합을 구하여라.

13

다음 자연수의 양의 약수의 개수와 양의 약수의 총합을 구하여라.
(1) [eqn: 72]
(2) [eqn: 108]

14

[eqn: 1]에서 [eqn: 100]까지의 자연수가 각각 적혀 있는 [eqn: 100]장의 카드에서 [eqn: 1]장을 뽑을 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 5]의 배수가 나오는 경우의 수
(2) [eqn: 100]과 서로소인 수가 나오는 경우의 수

15

네 지점 [eqn: rmP,~Q,~R,~S]를 연결하는 길이 오른쪽 그림과 같다. [eqn: rmP]와 [eqn: rmS] 사이를 왕복하는데, 같은 지점을 두 번 이상 지나지 않고 왕복하는 방법의 수를 구하여라.

16

[eqn: 1]에서 [eqn: 200]까지의 자연수가 각각 적혀 있는 [eqn: 200]장의 카드에서 [eqn: 1]장을 뽑을 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: 4]의 배수 또는 [eqn: 6]의 배수가 나오는 경우의 수
(2) [eqn: 12]와 서로소인 자연수가 나오는 경우의 수

17

네 지점 [eqn: rmP,~Q,~R,~S]를 연결하는 길이 오른쪽 그림과 같다. 같은 지점을 두 번 이상 지나지 않고 [eqn: rmP]에서 [eqn: rmS]까지 가는 방법의 수를 구하여라.

18

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5]를 일렬로 배열할 때 [eqn: i]번째 숫자를 [eqn: a_i] [eqn: (1 le i le 5)]라고 한다. 이때
[eqn: (a_1 -1)(a_2 -2 )(a_3 -3) (a_4 -4 )(a_5 -5 )!=0]인 경우의 수를 구하여라.

19

[eqn: 1] 또는 [eqn: 2]로만 이루어져 있는 [eqn: 6]자리의 비밀번호 중에서 [eqn: 1]이 [eqn: 2]개 이상 연속하지 않는 경우의 수를 구하여라.

20

두 자리의 자연수에서 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합이 짝수인 수의 개수를 구하여라.

21

자연수 [eqn: 12`]를 서로소인 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있는 방법은
[eqn: 12= 1 times 12 = 3 times4]
으로 [eqn: 2]가지가 있다. 이와 같은 방법으로 자연수 [eqn: 1200]을 서로소인 두 자연수의 곱으로 나타낼 수 있는 방법의 수를 구하여라.

22

네 개의 도시 [eqn: rmA,~B,~C], [eqn: rmD] 사이에는 오른쪽 그림과 같은 도로가 있다. [eqn: rmA]를 출발하여 모든 도시를 한 번씩만 거치고, [eqn: rmA]로 다시 돌아오는 방법의 수를 구하여라.

23

[eqn: rmtriangleABC]의 세 변 [eqn: rmBC,~CA,~AB] 위에 꼭짓점을 제외하고 각각 [eqn: 6]개, [eqn: 4]개, [eqn: 3]개의 점이 있다. 이 점들로 만들 수 있는 직선의 개수는?

① [eqn: 23]개	② [eqn: 34]개	③ [eqn: 57]개

④ [eqn: 60]개	⑤ [eqn: 65]개

24

[eqn: 100]원, [eqn: 50]원, [eqn: 10]원짜리의 동전이 여러 개 있다. 이들을 적어도 하나씩 써서 [eqn: 310]원을 지불하는 방법의 수를 구하여라.

25

한 개의 정육면체의 각 면에 흰 색 또는 검은 색을 칠하여 다른 정육면체와 구별되게 하는 방법의 수를 구하여라.

26

오른쪽 정육면체에서 임의의 세 꼭짓점을 택하여 삼각형을 만들 때, 그림과 같은 정삼각형과 합동인 삼각형을 만들 수 있는 방법의 수는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 24]

27

[eqn: U=left{ 1,~2,~3,~4,~5right}]일 때, [eqn: left{2,~3right} cap A not= emptyset]을 만족시키는 [eqn: U]의 부분집합 [eqn: A]의 개수를 구하여라.

28

두 자리 자연수 중에서 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 곱이 짝수가 되는 수의 개수는?

① [eqn: 25]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 65]

29

180의 양의 약수 중 3의 배수의 개수는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

30

[eqn: 50원 ,~ 100원 ,~ 500원]짜리 동전을 이용하여 [eqn: 1000]원을 지불하는 서로 다른 방법의 수는? (단, 사용하지 않는 동전이 있어도 관계없다.)

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

31

두 개의 주사위 [eqn: rm A ,~ B]를 던져서 나오는 눈의 숫자를 각각 [eqn: a ,~b]라 할 때, 직선 [eqn: ax+by=4]가 원 [eqn: x^2 + y^2 = 4]와 만나는 경우의 수를 구하시오.

32

오른쪽 그림의 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD] 네 영역에 색을 칠하려고 한다. [eqn: 4]가지의 색으로 같은 색을 중복하여 사용해도 좋으나 인접한 부분은 서로 다른 색으로 칠할 때, 칠하는 방법의 수는?

① [eqn: 32]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 54]

33

한 개의 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 3] 또는 [eqn: 5]가 되는 경우의 수를 구하여라.

34

다항식 [eqn: (a+b+c)(x+y+z+w)]의 전개식에서 서로 다른 항의 개수를 구하여라.

35

[eqn: 1]에서 [eqn: 50]까지의 자연수가 각각 적혀 있는 [eqn: 50]장의 카드 중에서 [eqn: 1]장을 뽑을 때, 다음을 구하여라.
(1)[eqn: 7]의 배수 또는 [eqn: 9]의 배수가 나오는 경우의 수
(2)[eqn: 3]의 배수 또는 [eqn: 4]의 배수가 나오는 경우의 수

36

두 개의 주사위 [eqn: RMA, ~B]를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 4]의 배수일 경우의 수는?

① [eqn: 5]가지	② [eqn: 6]가지	③ [eqn: 7]가지

④ [eqn: 8]가지	⑤ [eqn: 9]가지

37

[eqn: 288]의 양의 약수의 개수는?

① [eqn: 12]개	② [eqn: 18]개	③ [eqn: 24]개

④ [eqn: 32]개	⑤ [eqn: 36]개

38

두 자리의 자연수 중에서 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자의 합이 짝수인 수의 개수는?

① [eqn: 40]개	② [eqn: 45]개	③ [eqn: 50]개

④ [eqn: 55]개	⑤ [eqn: 60]개

39

오른쪽 그림과 같이 세 지점 [eqn: rmA ,~ B ,~ C] 사이에 [eqn: 2]개, [eqn: 3]개, [eqn: 4]개의 길이 있다. [eqn: rmA]에서 출발하여 [eqn: rmB]를 반드시 거쳐 다시 [eqn: rmA]로 돌아오는 방법의 수는? (단, 같은 지점은 두 번 지나지 않는다.)

① [eqn: 44]가지	② [eqn: 48]가지	③ [eqn: 52]가지

④ [eqn: 56]가지	⑤ [eqn: 64]가지

40

[eqn: 10]원, [eqn: 20]원, [eqn: 50]원짜리 [eqn: 3]종류의 우표를 사용하여 [eqn: 150]원어치 우표를 사는 방법의 수는?

(단, 각 우표를 적어도 [eqn: 1]장씩은 산다고 한다.)

① [eqn: 6]가지	② [eqn: 7]가지	③ [eqn: 8]가지

④ [eqn: 9]가지	⑤ [eqn: 10]가지

41

두 개의 주사위 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 수의 합이 [eqn: 3]의 배수일 경우의 수는?

① [eqn: 9]가지	② [eqn: 10]가지	③ [eqn: 11]가지

④ [eqn: 12]가지	⑤ [eqn: 13]가지

42

[eqn: 10,000]원짜리 [eqn: 5]매, [eqn: 1000]원짜리 [eqn: 7]매와 [eqn: 100]원짜리 동전 [eqn: 3]개로 지불할 수 있는 금액의 가지 수는?

(단, [eqn: 0]원을 지불하는 것은 제외한다.)

① [eqn: 104]가지	② [eqn: 110]가지	③ [eqn: 191]가지

④ [eqn: 209]가지	⑤ [eqn: 256]가지

43

오른쪽 그림과 같이 이웃한 두 교차로 사이의 거리가 모두 [eqn: 1]인 바둑판 모양의 도로망이 있다. 두 차량이 각각 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]에서 출발하여 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 이외의 교차로 [eqn: rmP]에서 만났다. 두 차량이 움직인 거리의 합이 [eqn: 4]가 되는 [eqn: rmP]의 위치를 모두 표시하면?

①	②

③	④

⑤

확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		1. 순열과 조합			반 / 번호
	02 순열					이름

01

여섯 개의 문자 [eqn: a,~b,~c,~d,~e,~f]를 일렬로 배열할 때, 처음에 [eqn: a]가 오고 마지막에 [eqn: f]가 오는 경우의 수를 [eqn: m], 세 문자 [eqn: a,~b,~c]가 이웃하는 경우의 수를 [eqn: n]이라고 하면 [eqn: m+n]의 값은?

① [eqn: 128]	② [eqn: 138]	③ [eqn: 148]

④ [eqn: 158]	⑤ [eqn: 168]

02

[eqn: rmA,~B] 두 학생을 포함한 [eqn: 6]명의 학생을 일렬로 세울 때, [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 두 학생 사이에 한 명만 서는 경우의 수는?

① [eqn: 186]	② [eqn: 192]	③ [eqn: 198]

④ [eqn: 204]	⑤ [eqn: 208]

03

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5]를 모두 써서 다섯 자리의 정수를 만들 때, [eqn: 32000]보다 작은 정수는 몇 개인가?

① [eqn: 46]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 62]

04

종류가 다른 소설책 [eqn: 4]권, 시집 [eqn: 3]권을 책꽂이에 꽂을 때, 소설책 [eqn: 4]권이 이웃하도록 꽂는 방법의 수는?

① [eqn: 528]	② [eqn: 552]	③ [eqn: 576]

④ [eqn: 600]	⑤ [eqn: 624]

05

두 개의 숫자 [eqn: 1,~ 2]로 중복을 허락하여 자연수를 만들 때, 다섯 자리를 넘지 않는 것의 개수는?

① [eqn: 52]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 62]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 68]

06

[eqn: 6]명의 선거인이 [eqn: 2]명의 후보에게 기명으로 투표하는 방법은 몇 가지인가?

① [eqn: 12]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 128]

07

두 집합 [eqn: A=left{1,~ 2,~ 3right}], [eqn: B=left{3,~ 4,~ 5,~ 6right}]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 함수의 개수를 [eqn: p], 일대일함수의 개수를 [eqn: q]라고 할 때, [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: 27]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 88]

④ [eqn: 128]	⑤ [eqn: 256]

08

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA]에서 출발하여 [eqn: rmC], [eqn: rmC']을 지나 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수는?

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 100]	⑤ [eqn: 150]

09

[eqn: 0,~ 1,~ 1,~ 2,~ 2,~ 2,~ 3]의 [eqn: 7]개의 숫자를 일렬로 나열하여 만들 수 있는 일곱 자리의 자연수의 개수는?

① [eqn: 60]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 150]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 360]

10

[eqn: rmstudent]의 [eqn: 7]개의 영문자를 일렬로 배열할 때, [eqn: rm d]와 [eqn: rme]가 이웃하면서 [eqn: rmd]는 [eqn: rme]보다 반드시 앞에 오도록 하는 방법의 수는?

① [eqn: 300]	② [eqn: 360]	③ [eqn: 400]

④ [eqn: 440]	⑤ [eqn: 480]

11

기호‘․’와‘-’를 배열하여 전신 부호를 만들려고 한다. [eqn: 100]가지의 부호를 만들려면 이들 기호를 최소한 몇 개는 써야 하는가?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

12

[eqn: 1]부터 [eqn: 999]까지의 자연수를 차례대로 말하다가 [eqn: 3] 또는 [eqn: 6] 또는 [eqn: 9]가 들어간 수가 나오면 해당되는 수를 말하는 대신 박수를 치는 게임이 있다. 예를 들어 [eqn: 3,~16,~296]에서는 박수를 친다. 이 게임에서 박수를 치지 않고 수를 말하는 경우는 모두 몇 번인가?

① [eqn: 151]	② [eqn: 297]	③ [eqn: 342]

④ [eqn: 450]	⑤ [eqn: 567]

13

[eqn: 3]종류의 과일 사과, 배, 감을 [eqn: 4]개의 접시 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 [eqn: 1]개씩 담는 방법의 수를 [eqn: x], [eqn: 3]개의 과일 사과, 배, 감을 [eqn: 4]개의 접시 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 담는 방법의 수를 [eqn: y]라고 할 때, [eqn: x-y]의 값은?

(단 , 빈 접시가 있어도 된다.)

① [eqn: -17]	② [eqn: -7]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 17]

14

오른쪽 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]에서 출발하여 [eqn: rmB]로 가는 최단 경로의 수는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]

③ [eqn: 16`]	④ [eqn: 18]

⑤ [eqn: 20]

15

[eqn: 1,~ 2,~ 2,~3,~ 3,~ 3]의 [eqn: 6]개의 숫자에서 [eqn: 4]개의 숫자를 골라 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는?

① [eqn: 34]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 56]

16

[eqn: 9]개의 숫자 [eqn: 1,~ 1,~ 2,~ 2,~ 2,~ 3,~ 3,~ 3,~ 3]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 9]장의 카드 중에서 [eqn: 4]장의 카드를 골라 네 자리의 자연수를 만들었을 때, [eqn: 3]의 배수는 몇 개인가?

① [eqn: 23]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 27]

17

찬이는 새로 구입한 휴대 전화의 비밀번호 [eqn: 4]자리 수를 만드는데, 세 수 [eqn: 2,~ 8,~ 9]를 포함하여 만들려고 한다. 찬이가 만들 수 있는 비밀번호는 몇 가지인가? (단, 비밀번호에 사용될 수 있는 숫자는 [eqn: 0,~ 1,~ 2,~ cdots,~ 9]의 [eqn: 10]가지이다.)

① [eqn: 24]	② [eqn: 96]	③ [eqn: 148]

④ [eqn: 204]	⑤ [eqn: 256]

18

[eqn: 7]개의 숫자 [eqn: 1,~ 1,~ 2,~ 2,~ 3,~ 3,~ 3]을 일렬로 배열할 때, 맨 앞자리에는 [eqn: 1]이 오고 맨 뒷자리에는 [eqn: 3]이 오지 않는 경우의 수를 구하여라.

19

남학생 [eqn: 3]명, 여학생 [eqn: 3]명과 선생님 [eqn: 1]명이 원탁에 앉아서 수능을 잘 보는 방법에 대하여 토론을 하려고 한다. 여학생끼리 이웃하는 방법의수는?

① [eqn: 24]	② [eqn: 96]	③ [eqn: 144]

④ [eqn: 196]	⑤ [eqn: 204]

20

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 6]명이 정삼각형 모양의 탁자에 둘러앉는 방법의 수는?

① [eqn: 120]	② [eqn: 240]

③ [eqn: 360]	④ [eqn: 480]

⑤ [eqn: 720]

21

오른쪽 그림과 같은 정사각뿔의 각 면에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]의 다섯 개의 숫자를 하나씩 적는 방법의 수는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

22

정육면체의 각 면에 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 숫자를 하나씩 써넣는 방법의 수는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

23

다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.] 정오각뿔의 옆면을 [eqn: 5]가지 색으로 칠하는 방법은 [eqn: 24]가지이다.

[eqn: ㄴ.] [eqn: 5]통의 편지를 [eqn: 2]개의 우체통에 넣는 방법은 [eqn: 25]가지이다.

[eqn: ㄷ.] [eqn: a,~a,~b,~b,~c]를 일렬로 배열하는 방법은 [eqn: 30]가지이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

24

오른쪽 그림과 같이 정오각형의 식탁에 [eqn: 10]명이 둘러앉는 방법의 수는?

① [eqn: 1 over 2 times 9!]	② [eqn: 9!]
③ [eqn: 2 times 9!]	④ [eqn: 10!]

⑤ [eqn: 2 times 10!]

25

두 집합 [eqn: X=left{1,~ 2,~ 3right}], [eqn: Y=left{1,~ 2,~ 3,~ 4right}]에 대하여 함수 [eqn: f :~ X->Y] 중에서 [eqn: f(1)!=1]인 것은 모두 몇 가지인가?

① [eqn: 12]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 60]

26

부모님과 자녀 [eqn: 4]명을 합하여 [eqn: 6]명의 식구가 원탁에 둘러앉을 때, 부모님끼리는 이웃하지 않게 앉는 방법의 수는?

① [eqn: 24]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 72]

27

오른쪽 그림과 같이 가운데 호수가 있는 도로망이 있다. 도로를 따라 [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점까지 최단 거리로 가는 방법의 수는?

① [eqn: 28]	② [eqn: 32]

③ [eqn: 38]	④ [eqn: 42]

⑤ [eqn: 48]

28

재욱이와 재연이, 선생님 [eqn: 1]명을 포함한 [eqn: 8]명이 원탁에 앉아서 토론 수업을 하려고 한다. 재욱이와 재연이가 모두 선생님과 이웃하여 앉도록 하는 방법의 수는?

① [eqn: 24]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 240]

29

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7]의 [eqn: 7]개의 숫자를 원형으로 배열할 때, 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.] 모든 홀수와 짝수가 교대로 오는 경우의 수는 [eqn: 24]이다.

[eqn: ㄴ.] 모든 짝수가 서로 이웃하는 경우의 수는 [eqn: 144]이다.

[eqn: ㄷ.] 어느 두 짝수도 서로 이웃하지 않는 경우의 수는 [eqn: 144]이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

30

세 숫자 [eqn: 1,~ 2,~ 3]으로 중복을 허락하여 네 자리의 자연수를 만들 때, [eqn: 1]과 [eqn: 2]를 모두 포함하는 것의 개수는?

① [eqn: 50]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 58]

31

[eqn: 1,~ 1,~ 2,~ 3,~ 4]가 각각 적혀 있는 [eqn: 5]장의 카드를 일렬로 배열할 때, [eqn: 2,~ 3,~ 4]가 적힌 [eqn: 3]장의 카드를 [eqn: 2` → `3` →` 4]의 순서로 배열하는 방법의 수는?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

32

서로 단짝인 윤아, 현미, 상희를 포함하여 [eqn: 7]명이 원탁에 둘러앉아 토론을 하려고 한다. 윤아의 양 옆에 현미와 상희가 앉는 방법의 수는?

① [eqn: 24]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 72]

33

[eqn: 5]명의 학생이 원탁에 둘러 앉는 방법의 수를 구하여라.

34

[eqn: 1,~2,~2,~4,~5,~5]를 일렬로 배열하여 여섯 자리 자연수를 만들 때, [eqn: 300000]보다 큰 자연수의 개수를 구하여라.

35

[eqn: 7]개의 문자 [eqn: rmE,~K,~L,~O,~S,~V,~Y]를 일렬로 배열할 때, [eqn: rmSKYLOVE,~LOVESKY] 등과 같이 [eqn: rmSKY]라는 문자열이 있는 경우의 수는?

① [eqn: 5!]	② [eqn: 6!]	③ [eqn: 3! times 4!]

④ [eqn: 3! + 4!]	⑤ [eqn: 5! times 2]

36

오른쪽 그림과 같이 직사각형 모양의 깃발 안에 있는 크기가 같은 다섯 개의 원주에 각각 빨강, 파랑, 노랑, 초록, 검정색을 칠하여 앞면과 뒷면에 색이 모두 보이는 깃발을 만들 때, 서로 다른 깃발의 개수는? (단, 깃발의 모양은 좌우대칭이다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 120]

37

선생님 [eqn: 2]명, 남학생 [eqn: 2]명, 여학생 [eqn: 2]명 등 모두 [eqn: 6]명이 사진기를 향하여 일렬로 서서 사진을 찍으려고 한다. 선생님끼리 이웃하고 남학생끼리도, 여학생끼리도 이웃하게 서서 찍는 방법의 수를 구하여라.

38

부모를 포함하여 [eqn: 6]명의 가족이 원형의 탁자에 둘러 앉을 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 부모가 서로 이웃하여 앉는 방법의 수는?

① [eqn: 24]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 144]

(2) 부모가 서로 마주 보고 앉는 방법의 수를 구하여라.

39

남학생 [eqn: 3]명과 여학생 [eqn: 3]명이 원형의 탁자에 둘러 앉으려고 한다. 다음을 구하여라.

(1) [그림 [eqn: 1]]과 같이 남학생과 여학생이 교대로 앉는 방법의 수

(2) [그림 [eqn: 2]]와 같이 남학생 [eqn: 3]명이 서로 이웃하여 앉는 방법의 수

40

두 집합 [eqn: X=left{1,~ 2,~ 3right}], [eqn: Y=left{1,~ 2,~ 3,~ 4right}]에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수의 개수를 구하여라.
(2) 함수 [eqn: f :~ X->Y] 중에서 [eqn: f(1)!=1]인 것의 개수를 구하여라.

41

집합 [eqn: X= LEFT { -2,~-1,~0,~1,~2 RIGHT }]일 때, 다음 두 조건을 모두 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하여라.

(가) [eqn: f]는 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수

(나) [eqn: X]의 임의의 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT { `f(x) RIGHT } ^2 = 1]이다.

42

서로 다른 빛을 내는 [eqn: 6]개의 전구가 오른쪽 그림과 같이 배열되어 있다. 이 전구의 점멸 상태로 신호를 만든다고 할 때, 신호의 종류의 수를 구하여라. (단, 모든 전구가 꺼진 경우는 신호에서 제외한다.)

43

좌표평면 위에서 상하 또는 좌우 방향으로 한 번에 [eqn: 1]만큼씩 움직이는 점 [eqn: rmP]가 있다. 이때 원점을 출발한 점 [eqn: rmP]가 [eqn: 6]번 움직여서 최종 위치가 점 [eqn: rmA(1,~3)]이 되는 경우의 수는?

① [eqn: 60]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 100]

44

[eqn: 11]개의 알파벳 [eqn: rm M], [eqn: rmA], [eqn: rmT], [eqn: rmH], [eqn: rmE], [eqn: rmM], [eqn: rmA], [eqn: rmT], [eqn: rmI], [eqn: rmC], [eqn: rmS]를 모음 [eqn: rmA], [eqn: rmE], [eqn: rmI]는 모음끼리, 자음 [eqn: rmC], [eqn: rmH], [eqn: rm M], [eqn: rmS], [eqn: rmT]는 자음끼리 인접하게 일렬로 배열하는 경우의 수는?

① [eqn: 3! cdot 7!]	② [eqn: 3! CDOT 8!]	③ [eqn: 4! cdot6!]

④ [eqn: 4! CDOT 7!]	⑤ [eqn: 4! CDOT 8!]

45

어느 인터넷 사이트의 비밀번호는 다음 조건에 따라 알파벳 ‘[eqn: a,~b,~c,~cdots,~z]’ [eqn: 26]개와 숫자 ‘[eqn: 0,~1,~2,~cdots,~9]’ [eqn: 10]개 중에서 [eqn: 8]개를 적당히 중복 선택하여 만들어야 한다고 한다.

(가) 알파벳의 개수와 숫자의 개수는 각각 [eqn: 4]개를 초과할 수 없다.

(나) 알파벳과 숫자는 각각 연속하여 [eqn: 2]개 이상 배열할 수 없다.

조건을 만족시키는 비밀번호의 개수가
[eqn: 2^a times 5^ b times 13 ^c]일 때, 세 자연수의 합 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

46

컴퓨터는 내부에서 정보를 표현하기 위하여 비트([eqn: rmbit`])라는 최소 단위를 사용한다. 비트는 이진수인 [eqn: 1]과 [eqn: 0]의 두 가지 상태로 나타낼 수 있다. 비트는 이진수 체계이므로 [eqn: n]비트는 [eqn: 0,~1]을 중복하여 [eqn: n]개 배열하는 경우의 수만큼 데이터를 나타낼 수 있다. 어떤 컴퓨터의 모니터는 색을 나타내는 점인 화소가 가로 [eqn: 1024]개, 세로 [eqn: 768]개인 직사각형으로 이루어져 있고, 각 화소가 나타낼 수 있는 색의 데이터의 개수는 [eqn: 32]비트라고 한다. 이 모니터의 한 화면으로 나타낼 수 있는 데이터의 개수가 [eqn: 2^{a times 2^b }]일 때, [eqn: a times b]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: a]는 홀수, [eqn: b]는 자연수)

47

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수의 합이 짝수가 되는 경우의 수는?

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

48

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5] 다섯 개의 숫자를 짝수는 짝수 번째에, 홀수는 홀수 번째에 오도록 일렬로 배열하는 방법의 수는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

49

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmA,~B,~C,~D] 중 적어도 하나의 스위치와 [eqn: rmE,~F,~G] 중 적어도 하나의 스위치가 동시에 닫히면 닫힌 스위치 옆의 전구에 불이 켜지도록 되어 있는 전기 회로가 있다. 이때, 전구에 불이 켜질 수 있는 모든 경우의 수를 구하시오.
(단 ,모든 전구가 켜지지 않은 경우는 포함하지 않는다.)

50

[eqn: 5]명이 서로 다른 [eqn: 3]문제 중에서 한 문제씩 풀기로 한다. 각 문제는 적어도 한 사람에게 배당하기로 할 때, 모든 경우의 수를 구하여라.

51

[eqn: 7]개의 숫자 [eqn: 1,~1,~2,~2,~3,~3,~3]을 일렬로 배열할 때, 맨 앞자리에는 [eqn: 1]이 오고 맨 뒷자리에는 [eqn: 3]이 오지 않는 경우의 수는?

① [eqn: 20]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 60]

52

집합 [eqn: X=left{1,~2,~3,~4,~5 right}]일 때, [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 일대일대응인 함수 [eqn: f] 중에서 [eqn: f(1) not=1,~f(5)not=5]인 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는?

① [eqn: 64]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 78]

④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 120]

53

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5] 중에서 서로 다른 [eqn: 3]개의 숫자를 택하여 만들 수 있는 세 자리 정수의 개수를 구하여라.

54

다음 값을 구하여라.
(1) [eqn: {}_4 rm P _2]
(2) [eqn: {}_ 5 rmP _3]
(3) [eqn: {}_3 rmP _3]

55

다음 값을 구하여라.
(1) [eqn: 3!]
(2) [eqn: 4!]

56

주역에서 사용하는 괘는 ‘’와 ‘’ 두 가지를 중복하여 세 개를 세로로 배열하여 나타낸다. 모두 몇 가지의 괘를 만들 수 있는가?

57

[eqn: 5]명을 원형의 탁자에 앉히는 방법은 모두 몇 가지인가?

58

[eqn: a,~a,~b,~b,~c,~c]를 일렬로 배열하는 순열의 수를 구하여라.

59

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {}_ n rmP _2 = 12]
(2) [eqn: {}_ 5 rmP _{itn} = 5 cdot {}_ 4 rmP_2]

60

학생 수가 [eqn: 35]명인 학급에서 회장, 부회장을 각각 [eqn: 1]명씩 선출하는 방법은 모두 몇 가지인가?

61

[eqn: 6]명의 선수 중에서 [eqn: 4]명을 선발하여 [eqn: 400`rmm] 계주에 출전시키려고 한다. 이때 출발 순서까지 생각하여 선수를 선발하는 방법은 모두 몇 가지인가?

62

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4]를 한 번씩 써서 만들 수 있는 다섯 자리의 자연수는 몇 개인가?

63

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4] 중에서 서로 다른 [eqn: 3]개의 숫자를 택하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 몇 개인가?

64

, 의 두 종류의 신호를 사용하여 전신으로 통신을 할 때, 다섯 번 신호를 보내면 모두 몇 가지 내용의 통신을 할 수 있는가?

65

[eqn: 5]명의 학생이 특별 활동반 중에서 문예반, 서예반, 방송반에 가입하는 방법은 모두 몇 가지인가?

(단, 각 학생은 한 모임에만 가입할 수 있다.)

66

오른쪽 그림과 같은 정삼각형 [eqn: 4]개로 이루어진 도형에 서로 다른 네 가지 색을 칠하여 구별하는 방법은 모두 몇 가지인가?

67

오른쪽 그림과 같이 정사각형 모양이 [eqn: 8]인용 식탁이 있다. [eqn: 8]명이 식탁에 둘러앉는 방법의 수를 구하여라.

68

다음 단어를 구성하고 있는 문자를 일렬로 배열하는 방법은 몇 가지인가?
(1) [eqn: rmcoffee]
(2) [eqn: rm "success"]
(3) [eqn: rmstatistics]

69

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {} _{n} rm P _{2} =110]
(2) [eqn: {}_n rmP_ 5 = 12 cdot {}_{itn} rmP _3]

70

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5]의 다섯 개의 숫자에서 서로 다른 세 숫자를 택하여 만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수를 구하여라.

71

선거인 [eqn: 5]명이 후보 [eqn: 2]명에 대하여 기명 투표하는 방법의 수를 구하여라.

(단, 기권은 없는 것으로 한다.)

72

오른쪽 그림과 같은 직사각형 모양의 [eqn: 6]인용 식탁이 있다. [eqn: 6]명이 식탁에 둘러앉는 방법의 수를 구하여라.

73

크기가 같은 흰 바둑돌 [eqn: 3]개와 검은 바둑돌 [eqn: 3]개를 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라.

74

[eqn: 0,~1,~1,~1,~2,~2,~3]의 [eqn: 7]개의 숫자로 만들 수 있는 [eqn: 7]자리 정수의 개수를 구하여라.

75

다음을 증명하여라.
(1) [eqn: {}_n rmP_ {itr } = itn cdot {}_n-1 rmP _ {itr-1]
(2) [eqn: {}_ n rmP _{it r } = {}_{it n-1} rmP _{it r }+ itr cdot{}_ {it n-1} rmP _{it r-1 }]

76

[eqn: rma,~b,~c,~d,~e,~f]의 여섯 문자를 모두 사용하여 만들 수 있는 [eqn: 720]개의 순열을 사전식으로 [eqn: rmabcdef]에서 [eqn: rmfedcba]까지 배열할 때, [eqn: rmcdfeab]는 몇 번째에 오는가?

77

다음을 증명하여라.
(1) [eqn: {}_n rmP_{itr} =(itn-r+1) cdot {}_n rmP _ {itr-1}]
(2) [eqn: n cdot n! = (n+1)! -n!]

78

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5]를 한 번씩 써서 만든 다섯 자리의 자연수를 작은 수부터 차례로 배열한 수열을 [eqn: left{ a_n right}]이라고 하자. 즉,
[eqn: left{ a_n right} `:~12345,~12354,~12435,~cdots,~54321]
이때, [eqn: 34215]는 제 몇 항인가?

79

[eqn: 6]개의 숫자 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4,~5] 중 [eqn: 5]개의 숫자를 한 번씩 사용하여 만들 수 있는 다섯 자리의 정수는 모두 몇 개인가? 또한 그중 [eqn: 4]의 배수는 모두 몇 개인가?

80

남자 [eqn: 3]명, 여자 [eqn: 2]명이 한 줄로 서서 버스를 기다릴 때, 다음을 구하여라.
(1) 여자 [eqn: 2]명이 이웃하게 서는 방법의 수
(2) 맨 앞과 맨 뒤에 남자가 서는 방법의 수

81

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7]의 [eqn: 7]개의 숫자를 한 번씩 사용하여 다음과 같은 정수를 만들 때, 모두 몇 개를 만들 수 있는가?
(1) 네 자리의 홀수
(2) 양 끝이 홀수인 네 자리의 정수

82

남자 [eqn: 4]명, 여자 [eqn: 3]명이 한 줄로 설 때, 다음과 같이 서는 방법의 수를 구하여라.
(1) 남자, 여자가 교대로 선다.
(2) 여자 [eqn: 3]명이 서로 이웃하게 선다.

83

중복을 허용하여 네 개의 숫자 [eqn: 0,~1,~2,~3]으로 만들 수 있는 네 자리의 정수의 개수를 구하여라.

84

집합 [eqn: X=left{1,~2,~3right} ,~Y= left{ 1,~2,~3,~4,~5right}]일 때, 함수 [eqn: f:X``->``Y]에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) 함수 [eqn: f`]는 모두 몇 가지인가?
(2) 조건 ‘[eqn: x_1 != `x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) !=f(x_2 )]’를 만족시키는 함수 [eqn: f]는 몇 가지인가?

85

중복을 허용하여 다섯 개의 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]로 만들 수 있는 세 자리의 자연수는 모두 몇 개인가?

86

집합 [eqn: X=left{ 1,~2,~3,~4 right},~Y= left{ 1,~2,~3,~4,~5right}]일 때, 함수 [eqn: f:X``->``Y] 중에서 치역이 [eqn: left{1,~2right}]인 것은 몇 가지인가?

87

부모를 포함한 [eqn: 6]명의 가족이 [eqn: 6]인용 원형 식탁에 다음과 같이 둘러앉는 방법의 수를 구하여라.
(1) 부모가 이웃하게 앉는다.
(2) 부모가 마주 보고 앉는다.

88

정육면체의 각 면에 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 숫자를 하나씩 써서 주사위를 만들 수 있는 방법의 수를 구하여라.

89

다음과 같은 경우의 수를 구하여라.
(1) 남자 [eqn: 3]명과 여자 [eqn: 3]명이 원탁에 번갈아 앉는다.
(2) [eqn: 5]명의 남자와 [eqn: 3]명의 여자가 원탁에 둘러앉을 때, 여자까리 이웃하지 않는다.

90

오른쪽 그림과 같은 직육면체의 각 면에 [eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수를 하나씩 적는 방법은 모두 몇 가지인가?

91

[eqn: 6]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 네 개의 숫자를 골라 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구하여라.

92

자연수 [eqn: 10]을 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]의 합으로 다음과 같이 나타내는 방법은 모두 몇 가지인가?
[eqn: 10=1+1+1 + cdots + 1]
[eqn: 10= 2+1+1+cdots +1]
[eqn: 10= 1+2+1 +cdots +1]
⋮

93

[eqn: 0,~1,~1,~2,~2,~2,~3]을 모두 배열하여 만들 수 있는 [eqn: 7]자리의 짝수의 개수를 구하여라.

94

자연수 [eqn: 20]을 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3]의 합으로 다음과 같이 나타내는 방법은 모두 몇 가지인가?
[eqn: 20=2+3+3+3+3+3+3]
[eqn: 20= 3+2+3+3+3+3+3]
⋮

95

오른쪽 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수를 구하여라.

96

다음 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수를 구하여라.
(1)
(2)

97

다음 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수를 구하여라.
(1)
(2)

99

다음 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수를 구하여라.
(1)
(2)

100

오른쪽 그림과 같은 입체도형에서 [eqn: rmA]에서 주어진 선을 따라 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수를 구하여라.

101

오른쪽 그림과 같은 입체도형에서 [eqn: rmA]에서 주어진 선을 따라 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수를 구하여라.

102

[eqn: 6]개의 문자 [eqn: a,~b,~c,~d,~e,~f]를 일렬로 배열할 때, [eqn: a,~b] 또는 [eqn: b,~c]가 이웃하는 경우의 수를 구하여라.

103

부산에서 서울을 왕복하는 어떤 열차는 중간에 대구, 대전 그리고 수원에만 정차한다고 한다. 각 역에서 발매하는 승차권에는 출발역과 도착역이 동시에 표시되어 있다. 예를 들어, 부산에서 수원으로 가려는 사람이 구입한 승차권에는 [eqn: BOX{`부산~ -> ~수원`}]이라고 표시된다. 이 열차의 서로 다른 승차권의 종류는 모두 몇 가지인가?

(단, 왕복표는 없고, [eqn: 1,~2,~3]등의 구별도 없다.)

① [eqn: 12]가지	② [eqn: 16]가지	③ [eqn: 20]가지

④ [eqn: 32]가지	⑤ [eqn: 40]가지

104

서로 다른 숫자로 이루어진 세 자리의 자연수는 모두 몇 개인지 구하여라.

105

[eqn: 24842,~61316]과 같이 거꾸로 읽어도 처음과 똑같은 수를 회문수(回文數)라고 한다. 다섯 자리의 자연수 중 회문수의 개수를 구하여라.

106

[eqn: 0,~1,~2,~3,~4]의 [eqn: 5]개의 숫자를 써서 만들 수 있는 네 자리의 정수 중에서 각 자리에 있는 숫자가 적어도 한 번은 중복되는 정수의 개수를 구하여라.

107

서로 다른 숫자로 이루어진 다섯 자리의 자연수 중에서 [eqn: 12345]보다 큰 것의 개수를 구하여라.

108

[eqn: 12]개의 의자가 일렬로 놓여 있다. 이 의자에 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rm D] [eqn: 4]명이 앉을 때, 어느 두 사람도 인접하지 않는 경우의 수를 구하여라.

109

오른쪽 그림과 같이 정삼각형 모양의 [eqn: 6]인용 식탁이 있다. [eqn: 6]명이 식탁에 둘러앉는 방법의 수를 구하여라.

110

다음 □ 안의 (가), (나)에 알맞은 것을 채워라.

(단, [eqn: 1`le r le n])

[eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수 중에서 서로 다른 [eqn: r]개를 꺼내어 일렬로 배열하는 모든 순열을 생각하자. 이 순열 중에서

[eqn: 1]이 포함되어 있는 순열의 수는 [eqn: box{~~(가)~~]가지이고,

[eqn: 1]이 포함되어 있지 않은 순열의 수는 [eqn: box {~~(나)~~]가지이다.

따라서 [eqn: {}_n rmP _{itr} = box{~~(가)~~ }+ box{~~(나)~~}]이 성립한다.

111

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE]의 다섯 문자를 윗줄에, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]의 다섯 문자를 아랫줄에 배열하여 위와 아래의 문자를 대응시킬 때, [eqn: rmA]와 [eqn: a]가 대응되지 않도록 하는 방법의 수를 구하여라.

112

오른쪽 그림과 같은 모눈이 있다. 각 행과 각 열에 칸을 한 개 이상 색칠하는 방법의 수를 구하여라. (단, 대칭이동이나 회전이동은 생각하지 않는다.)

113

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA]에서 출발하여 [eqn: rmP]를 지나서 [eqn: rmB]로 가는 최단 경로의 수는 몇 가지인가? 또, [eqn: rmP]를 지나지 않는 최단 경로의 수는 몇 가지인가?

114

오른쪽 그림과 같이 정육면체의 여섯 면에 십자(+) 형의 선이 있다. 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 출발하여 십자형의 선 또는 정육면체이 모서리를 따라서 점 [eqn: rmB]까지 최단 거리로 가는 방법의 수를 구하여라.

115

남학생 [eqn: 3]명과 여학생 [eqn: 2]명이 교대로 일렬로 줄을 서는 방법의 수를 구하여라.

116

[eqn: rmPROOF]를 알파벳 순으로 [eqn: rm FOOPR], [eqn: rmFOORP], [eqn: CDOTS ,rm~RPOOF]와 같이 일렬로 배열하여 만든 순열 중에서 [eqn: rmPROOF]는 몇 번째 나오는가?

① [eqn: 48]번째	② [eqn: 50]번째	③ [eqn: 52]번째

④ [eqn: 54]번째	⑤ [eqn: 56]번째

117

주사위 한 개를 [eqn: 3]회 던질 때 나온 눈의 수 중에서 최대의 수가 [eqn: 4]인 경우는 모두 몇 가지인가?

118

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 1,~2,~2,~3,~5]를 모두 써서 일렬로 배열할 때 [eqn: 1`->`3`->`5]의 순서가 유지되도록 하는 방법의 수를 구하여라.

119

수학책 [eqn: 3]권을 포함하여 서로 다른 [eqn: 7]권의 책을 책꽂이에 꽂을 때, 수학책 [eqn: 3]권을 이웃하도록 꽂는 방법의 수를 구하여라.

120

[eqn: n ! = 2 ^{15} TIMES 3 ^{6} TIMES 5 ^{3} TIMES 7 ^{2} TIMES 11 TIMES 13]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.

121

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5]의 다섯 개의 숫자 중에서 서로 다른 세 개를 골라 세 자리의 자연수를 만들 때, 나타나는 모든 자연수의 총합을 구하여라.

122

다섯 자리의 자연수 중에서 각 자리의 숫자의 곱이 [eqn: 2000]인 것은 모두 몇 개인지 구하여라.

123

[eqn: x_i (1 le i le 9 )]가 [eqn: 2] 또는 [eqn: -1]의 값을 가질 때, 방정식 [eqn: x_1 +x_2 +x_3 +x_4 + cdots + x_ 9 =0]의 해의 개수를 구하여라.

124

영문자 [eqn: rmP,~A,~S,~S]를 일렬로 배열하는 방법의 수는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 24]

125

문자 [eqn: a,~b,~c]에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어를 전송하려고 한다. 단, 전송되는 단어 [eqn: a]가 연속되면 수신이 불가능하다고 하자. 예를 들면, [eqn: aab,~aaa] 등은 수신이 불가능하고 [eqn: bba,~aba] 등은 수신이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 구하여라.

126

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 4]개의 섬이 있다. [eqn: 3]개의 다리를 건설하여 섬 모두를 연결하는 방법의 수를 구하여라.

127

[eqn: rmA ,~ B ,~ C ,~D] 네 명을 일렬로 세울 때, [eqn: rmA]가 가장 뒤에 서는 경우의 수를 [eqn: p ,~ rmB ,~C]가 이웃하게 서는 경우의 수를 [eqn: q]라 하자. 이때, [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

128

등식 [eqn: 3_n rmP_1 + _n P_2 = _n P_3]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

129

대표 [eqn: 2]명을 포함한 [eqn: 6]명의 회원이 원탁에 둘러 앉을 때, 대표끼리 이웃하여 앉는 방법의 수를 구하시오.

130

다음 그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmB]지점까지 최단 거리로 갈 때, [eqn: rmP]지점은 반드시 지나고, [eqn: rmQ]지점은 지나지 않는 경우의 수는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

131

여학생 [eqn: 3]명, 남학생 [eqn: 4]명이 한 줄로 설 때, 여학생끼리 이웃하지 않게 서는 방법의 수는?

① [eqn: 240]	② [eqn: 720]	③ [eqn: 960]

④ [eqn: 1020]	⑤ [eqn: 1440]

132

다음 그림과 같이 여섯 칸으로 나누어진 직사각형의 각 칸에 [eqn: 6]개의 수 [eqn: 1 ,~2 ,~4 ,~6 ,~8 ,~9]를 한 개씩 써 넣으려고 한다. 각 가로줄에 있는 세 수의 합이 서로 같은 경우의 수를 구하시오.

133

(가) 함수 [eqn: f]는 일대일 대응이다.

(나) 정의역 [eqn: rmA]의 한 원소 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f(n+1) - f(n)=5]

집합 [eqn: rmA= left{ 1 ,~ 2 ,~3 ,~4 ,~5 ,~6 right}]에 대하여 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmA]로의 함수 중에서 다음 두 조건을 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

134

세 숫자 [eqn: 1 ,~2 ,~3]을 중복 사용하여 네 자리의 자연수를 만들 때, [eqn: 1]과 [eqn: 2]가 모두 포함되어 있는 자연수의 개수는?

① [eqn: 58]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 50]

135

6명의 학생을 다음 그림과 같은 정삼각형 모양의 탁자에 앉히는 방법의 수는?

① [eqn: 120]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 200]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 280]

136

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 1 ,~ 1 ,~2 ,~3 ,~4]를 일렬로 배열할 때, [eqn: 2->~3->~4]의 순서가 유지되는 방법의 수는?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

137

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 수 중에서 서로 다른 세 수를 택하여 만들 수 있는 세 자리 정수 중 [eqn: 3]의 배수인 것은 개수는?

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 48]

138

등식 [eqn: 4_n rmP_3 - 6_n rmP _2 - 5_n-1 rmP_3 = 0]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

139

다음 순열의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {}_3 rmP_1]
(2) [eqn: {}_4 rmP_3]
(3) [eqn: {}_6rm P_6]

140

학생 수가 [eqn: 35]명인 학급에서 회장 한 명과 부회장 한 명을 선출하는 방법의 수를 구하여라.

141

남자 [eqn: 4]명과 여자 [eqn: 3]명을 일렬로 세울 때, 다음을 구하여라.
(1)여자 [eqn: 3]명이 모두 이웃하여 서는 방법의 수
(2)여자끼리는 어느 둘도 이웃하지 않게 서는 방법의 수

142

다섯 개의 숫자 [eqn: 0 ,~ 1 ,~2 ,~3 ,~4] 중에서 서로 다른 세 개의 숫자를 뽑아서 세 자리 정수를 만들 때, 다음을 구하여라.

(1) 세 자리 정수의 개수

(2) [eqn: 340]보다 작은 정수의 개수

143

[eqn: {}_n rmP_4 = 3 times _{itn }rmP_3]을 만족하는 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {} _{n} rm P _{itn-3}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 210]

144

다섯 개의 숫자 [eqn: 0 ,~ 1 ,~2 ,~3 ,~4] 중에서 서로 다른 네 개의 숫자를 사용하여 만들 수 있는 네 자리 수 중 짝수의 개수는?

① [eqn: 36]개	② [eqn: 48]개	③ [eqn: 54]개

④ [eqn: 60]개	⑤ [eqn: 120]개

145

중복을 허락하여 세 개의 숫자 [eqn: 1 ,~2 ,~3]으로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수를 구하여라.

146

[eqn: 6]명의 사람을 원탁에 앉히는 방법의 수를 구하여라.

147

[eqn: a ,~ a ,~ b ,~ b ,~c ,~c]를 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하여라.

148

오른쪽 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]지점을 출발하여 [eqn: rmB]지점까지 가는 최단 경로의 수를 구하여라.

149

두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT } ,~B= LEFT { a,~b,~c RIGHT }]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 함수 [eqn: f]의 개수는?

① [eqn: 12]개	② [eqn: 24]개	③ [eqn: 48]개

④ [eqn: 61]개	⑤ [eqn: 81]개

150

서로 다른 [eqn: 5]통의 편지를 우체통 [eqn: rmA ,~ B ,~ C]에 넣는 방법의 수는?

(단, 비어 있는 우체통이 있을 수도 있다.)

① [eqn: 5^3]가지	② [eqn: 3^5]가지	③ [eqn: {} _5 rmP_3]가지

④ [eqn: 5!]가지	⑤ [eqn: 3!]가지

151

남자 [eqn: 4]명과 여자 [eqn: 3]명이 원탁에 앉을 때, 다음을 구하여라.
(1) 여자끼리 이웃하여 앉는 방법의 수
(2) 여자끼리는 어느 두 사람도 이웃하지 않도록 앉는 방법의 수

152

부모를 포함한 [eqn: 8]명의 가족이 원탁에 앉을 때, 다음을 구하여라.
(1) 부모가 이웃하여 앉는 방법의 수
(2) 부모가 마주보고 앉는 방법의 수

153

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA]지점을 출발하여 [eqn: rmP]지점을 지나서 [eqn: rmB]지점으로 가는 최단 경로의 수를 구하여라.

① [eqn: 20]가지	② [eqn: 40]가지	③ [eqn: 60]가지

④ [eqn: 64]가지	⑤ [eqn: 80]가지

154

[eqn: rm "success"]의 [eqn: 7]개의 문자를 일렬로 나열하는 방법의 수는?

① [eqn: 240]가지	② [eqn: 280]가지	③ [eqn: 300]가지

④ [eqn: 360]가지	⑤ [eqn: 420]가지

155

오른쪽 그림과 같은 원판이 있다. [eqn: 5]개의 부분에 서로 다른 [eqn: 5]가지의 색을 칠하여 구별하는 방법의 수는?

① [eqn: 15]가지	② [eqn: 24]가지	③ [eqn: 30]가지

④ [eqn: 60]가지	⑤ [eqn: 120]가지

156

오른쪽 그림과 같은 도로망이 있다. [eqn: rmA]지점을 출발하여 [eqn: rmC]지점을 지나지 않고 [eqn: rmB]지점으로 가는 최단 경로의 수는?

① [eqn: 20]가지	② [eqn: 22]가지	③ [eqn: 24]가지

④ [eqn: 26]가지	⑤ [eqn: 28]가지

157

[eqn: 6]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3]으로 만들 수 있는 네 자리의 정수의 개수를 구하여라.

158

다음 중 [eqn: {}_n rmP _ {itr+1 }+ (itr+1) {}_ n rmP_ {itr}]와 같은 것은?

① [eqn: {} _{n+1} rm P _{it r}]	② [eqn: {} _{n+1} rm P _{it r+1 rm}]	③ [eqn: {} _{n+2} rm P _{it r rm}]

④ [eqn: {} _{n+2} rm P _{it r+1 rm}]	⑤ [eqn: {} _{n+2} rm P _{it r+2 rm}]

159

[eqn: 6]개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6] 중에서 서로 다른 네 개의 숫자를 뽑아서 네 자리 자연수를 만들 때, [eqn: 2300]보다 큰 수는 모두 몇 개인가?

① [eqn: 188]개	② [eqn: 216]개	③ [eqn: 240]개

④ [eqn: 288]개	⑤ [eqn: 316]개

160

[eqn: rmequations]에 있는 [eqn: 9]개의 문자를 모두 사용하여 만들 수 있는 순열 중에서 자음의 순서가 [eqn: rmq], [eqn: rmt], [eqn: rmn], [eqn: rms]가 되는 것의 개수는?

① [eqn: 120]개	② [eqn: 720]개	③ [eqn: 7560]개

④ [eqn: 15120]개	⑤ [eqn: 17280]개

161

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 10]명의 가족이 식탁에 앉아서 식사를 하려고 한다. 앉을 수 있는 방법의 수는?

① [eqn: 10!]가지	② [eqn: 10! TIMES10]가지

③ [eqn: 9!]가지	④ [eqn: 10! TIMES5]가지

⑤ [eqn: 9! TIMES5]가지

162

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 0,~1,~2,~3,~4]를 이용하여 만들 수 있는 네 자리 정수 중에서 각 자리에 있는 숫자가 적어도 한 번은 중복되는 수의 개수는?

① [eqn: 96]개	② [eqn: 212]개	③ [eqn: 404]개

④ [eqn: 500]개	⑤ [eqn: 625]개

163

오른쪽 그림과 같은 도로망에서 [eqn: rmA]지점을 출발하여 [eqn: rmB]지점까지 가는 최단 경로의 수는?

① [eqn: 271]가지	② [eqn: 290]가지	③ [eqn: 301]가지

④ [eqn: 320]가지	⑤ [eqn: 341]가지

164

한 개의 주사위를 [eqn: 4]번 연속으로 던져서 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~b,~c,~d]라고 할 때,
[eqn: (a-b)(b-c)(c-d)=0]일 경우의 수를 구하여라.

165

문자 [eqn: a,~b,~c]에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어를 전송하려고 한다. 단, 전송되는 단어에 [eqn: a]가 연속되면 수신이 불가능하다고 하자. 예를 들면 [eqn: aab,~aaa] 등은 수신이 불가능하고 [eqn: bba,~aba] 등은 수신이 가능하다. 수신 가능한 단어의 개수를 구하여라.

확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		1. 순열과 조합			반 / 번호
	03 조합					이름

01

[eqn: n]명의 학생 중에서 대표 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수가 [eqn: 45]가지일 때, [eqn: n]의 값을 구하여라.

02

등식 [eqn: 3 _{n} rm C _{3} + it _{n} rm C _{2} =18]이 성립할 때, [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

03

주머니 속에 흰 공 [eqn: 5]개와 검은 공 [eqn: 3]개가 있다. 이 중에서 [eqn: 3]개를 임의로 뽑을 때, 검은 공이 적어도 하나는 포함되는 경우의 수는?

① [eqn: 46]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 58]	⑤ [eqn: 62]

04

서로 다른 [eqn: n]개의 물건 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 순열의 수와 조합의 수의 차가 [eqn: 36]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은? (단, [eqn: n ge2])

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

05

어느 모임에서 모든 회원들끼리 서로 한 번씩 악수를 하였더니 그 횟수가 총 [eqn: 105]회였다. 이 모임의 회원 수는?

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

06

[eqn: 3]종류의 과자, [eqn: 3]종류의 사탕, [eqn: 4]종류의 껌이 있다. 과자, 사탕, 껌을 적어도 한 종류씩 포함하여 총 [eqn: 4]개들이 선물 세트를 구성할 때, 만들 수 있는 모든 선물 세트의 가짓수를 구하여라.

07

여학생 [eqn: 5]명과 남학생 [eqn: 7]명 중에서 대표 [eqn: 4]명을 뽑을 때, 여학생과 남학생이 각각 [eqn: 2]명씩 포함되는 경우의 수는?

① [eqn: 170]	② [eqn: 210]	③ [eqn: 240]

④ [eqn: 280]	⑤ [eqn: 320]

08

[eqn: 5]개의 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5] 중에서 서로 다른 [eqn: 3]개를 택하여 세 자리의 자연수를 만들 때, [eqn: 200]보다 작거나 [eqn: 400]보다 큰 수의 개수는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

09

오른쪽 그림과 같이 반원 위에 [eqn: 7]개의 점이 있다. 이 중에서 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는?

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

10

[eqn: 3]개의 학급에서 [eqn: 7]명의 임원을 선출하는 방법의수는?

① [eqn: 28]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 54]

④ [eqn: 63]	⑤ [eqn: 84]

11

방정식 [eqn: x+y+z=10]을 만족시키는 음이 아닌 세 정수 [eqn: x,~ y,~ z]의 순서쌍 [eqn: (x,~ y,~ z)]의 개수는?

① [eqn: 58]	② [eqn: 62]	③ [eqn: 66]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 76]

12

두 집합 [eqn: rmA=left{1,~ 2,~ 3 right}],
[eqn: rmB=left{4,~ 5,~ 6,~ 7,~ 8right}]에 대하여 [eqn: a inA,~ b in A]이고 함수 [eqn: f:~ A -> B] 중 [eqn: a<b]이면 [eqn: f ( a ) lef ( b )]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는?

① [eqn: 25]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 38]

13

[eqn: 10]명의 유권자가 [eqn: 3]명의 입후보자에게 무기명으로 후보자 한 명을 적어낼 때, 개표 결과 일어날 수 있는 모든 경우의 수는? (단, 무효표는 생각하지 않는다.)

① [eqn: 52]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 66]

14

같은 종류의 볼펜 [eqn: 12]자루를 [eqn: 3]명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는? (단, 모든 학생은 적어도 한 자루의 볼펜을 받는다.)

① [eqn: 50]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 70]

15

서로 다른 [eqn: 4]개의 소수 [eqn: a,~ b,~ c,~ d]에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택한 후 모두 곱할 때, 만들 수 있는 정수의 개수는?

① [eqn: 48]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 56]

16

[eqn: (x+y+z)^6]을 전개했을 때 생기는 항의 개수는?

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

17

같은 모양의 구슬 [eqn: 12]개를 [eqn: 3]명의 학생에게 나누어 주려고 한다. 모든 학생이 적어도 [eqn: 2]개의 구슬을 받도록 나누어 주는 경우의 수는?

① [eqn: 24]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 40]

18

인원수가 [eqn: 35]명인 학급에서 란이, 동이, 빈이가 반장 선거에 출마했다. 이 학급의 모든 학생이 한 명의 후보에게 무기명으로 투표하는 방법의 수는?

① [eqn: 238]	② [eqn: 438]	③ [eqn: 536]

④ [eqn: 666]	⑤ [eqn: 700]

19

서점에서 국어, 영어, 수학의 세 과목의 참고서를 사려고 한다. [eqn: 5]권을 사는 방법의 수를 [eqn: a], 세 과목 모두 적어도 한 권씩을 포함하여 [eqn: 5]권을 사는 방법의 수를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 24]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 29]	⑤ [eqn: 31]

20

두 집합 [eqn: X=left{1,~ 2,~ 3right}],
[eqn: Y=left{3,~ 4,~ 5,~ 6,~ 7right}]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f] 중에서 [eqn: f(1) LEQ f(2) lef(3)]을 만족사키는 [eqn: f]의 개수는?

① [eqn: 12]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 45]

21

같은 종류의 단팥빵 [eqn: 3]개와 같은 종류의 크림빵 [eqn: 5]개를 세 사람에게 나누어 주는 방법의 수는? (단, 세 사람은 단팥빵과 크림빵을 모두 적어도 한 개씩은 받아야 한다.)

① [eqn: 84]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 102]	⑤ [eqn: 108]

22

방정식 [eqn: x+y+z=8]의 음이 아닌 정수해의 개수를 [eqn: a], 양의 정수해의 개수를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

23

[eqn: {} _n rm C_2 : _n+2rmC_3 = 1:4]를 만족하는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n!=2])

24

두 집합 [eqn: A=left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6right}],
[eqn: B=left{1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5,~ 6,~ 7 right}]에 대하여 함수
[eqn: f : ~A->B]는 [eqn: a in A,~ b in B]이고 [eqn: a<b]이면
[eqn: f(a) le f(b)]를 만족시킨다. 이때,
[eqn: f(1)f(4)=12]인 [eqn: f]의 개수는?

① [eqn: 30]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 75]	⑤ [eqn: 90]

25

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 카드가 각각 [eqn: 2]장씩 있다. 두 장의 카드를 뽑아 카드에 적혀 있는 숫자를 순서쌍 [eqn: (a,~ b)]로 나타낼 때, [eqn: a le b]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,~ b)]의 개수를 구하여라.

26

같은 종류의 볼펜 [eqn: 12]자루를 [eqn: 3]명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는? (단, 모든 학생은 적어도 한 자루의 볼펜을 받는다.)

① [eqn: 50]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 70]

27

서로 다른 [eqn: 4]개의 소수 [eqn: a,~ b,~ c,~ d]에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택한 후 모두 곱할 때, 만들 수 있는 정수의 개수는?

① [eqn: 48]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 56]

28

[eqn: 9]장의 카드에 [eqn: 1,~ 2,~ 3,~cdots,~ 9]의 숫자가 하나씩 적혀 있다. 카드를 잘 섞어서 두 장을 동시에 뽑을 때, [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]가 적힌 카드가 단 한 장 나올 확률은?

① [eqn: 2 over 9]	② [eqn: 5 over 18]	③ [eqn: 1 over3]

④ [eqn: 7 over 18]	⑤ [eqn: 4 over9]

29

[eqn: 100]원짜리, [eqn: 50]원짜리, [eqn: 10]원짜리 동전이 각각 [eqn: 10]개씩 들어 있는 주머니에서 [eqn: 9]개의 동전을 꺼낼 때, 세 종류의 서로 다른 금액의 동전이 모두 적어도 한 개씩은 포함되는 경우의 수는?

① [eqn: 21]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 40]

30

[eqn: {}_5 rmC _2]와 [eqn: {}_5 rmC _ 3]의 값을 각각 구하여라.

31

[eqn: 6]명의 학생 중에서 [eqn: 2]명의 대표를 뽑는 방법의 수를 구하여라.

32

남학생 [eqn: 4]명과 여학생 [eqn: 5]명 중에서 남자 회장, 여자 회장을 각각 [eqn: 1]명씩 뽑는 방법의 수를 구하여라.

33

남자 [eqn: 5]명, 여자 [eqn: 3]명 중에서 대표 [eqn: 3]명을 선출할 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 남자 [eqn: 2]명, 여자 [eqn: 1]명을 선출하는 방법의 수는?

① [eqn: 10]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 50]

(2) 여자를 적어도 [eqn: 1]명 선출하는 방법의 수를 구하여라.

34

[eqn: 1]부터 [eqn: 100]까지의 자연수 중에서 서로 다른 두 수를 택할 때, 두 수의 차가 [eqn: 10]의 배수인 경우의 수를 구하여라.

35

[eqn: 1]부터 [eqn: 9]까지의 자연수로 된 수열 [eqn: a_1 ,~a_2 ,~cdots,~a_9] 중에서
[eqn: a_1 <a_2 < a_3 < a_4 < a_ 5],
[eqn: a_6 > a_7 > a_ 8 > a_ 9]를 만족시키는 것은 몇 가지인가?

① [eqn: 126]	② [eqn: 132]	③ [eqn: 144]

④ [eqn: 156]	⑤ [eqn: 188]

36

집합 [eqn: A= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT }]에서 집합
[eqn: B= LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]으로의 함수 [eqn: f] 중
[eqn: B= left{f(a) ` |`a in A right}]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하여라.

37

오른쪽 정육면체의 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF], [eqn: rmG], [eqn: rmH] [eqn: 8]개의 꼭짓점 중에서 세 점을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형의 개수는?

① [eqn: 44]	② [eqn: 48]

③ [eqn: 52]	④ [eqn: 56]

⑤ [eqn: 60]

38

오른쪽 그림과 같은 [eqn: 6]개의 평행선과 또 다른 [eqn: 4]개의 평행선이 서로 만나고 있다. 이들 평행선으로 이루어진 평행사변형의 개수를 구하여라.

39

평면 위에 [eqn: n]개의 직선이 있다. 어느 세 직선도 한 점에서 만나지 않고, 두 직선만 평행이라고 한다. 이들 [eqn: n]개의 직선에 의해서 생기는 교점의 개수가 [eqn: 54]일 때, 이들 [eqn: n]개의 직선으로 만들어지는 삼각형의 개수를 구하여라.

40

자연수 [eqn: n] ([eqn: n ge 4])에 대하여 [eqn: n]각형의 대각선의 총 개수를 [eqn: a_n]이라고 할 때, [eqn: sum _{ n=4} ^{13 } a_n]의 값을 구하여라.

41

원 위에 서로 다른 [eqn: 10]개의 점 [eqn: rm A _{1}], [eqn: rmA _{2}], [eqn: rm A _{3}], …, [eqn: rmA_10]이 있다. 이 [eqn: 10]개의 점 중 [eqn: n]개의 점을 이어서 만들 수 있는 [eqn: n]각형의 개수를 [eqn: a_n]이라고 할 때, [eqn: sum _{ n=3} ^{10 }a_n]의 값을 구하여라.

42

[eqn: 1]부터 [eqn: 45]까지의 자연수 중에서 중복하지 않고 임의로 뽑은 [eqn: 6]개의 숫자를 순서를 고려하지 않고 맞히는 게임이 있다. 다음 중 이 게임에서 나올 수 있는 모든 경우의 수를 나타내는 것은?

① [eqn: 45! over 6!]	② [eqn: {45!} over {39!]	③ [eqn: 45! over6!39!]

④ [eqn: 6!39!]	⑤ [eqn: 45!]

43

네 자리 자연수에서 천의 자리 수를 [eqn: A], 백의 자리 수를 [eqn: B], 십의 자리 수를 [eqn: C], 일의 자리 수를 [eqn: D]라고 할 때, [eqn: A>B>C>D]가 성립하는 네 자리 자연수 중 [eqn: 3000]보다 크고 [eqn: 9000]보다 작은 수의 개수를 구하여라.

44

오른쪽 그림과 같은 정사각형 모양의 모눈종이에서 다음을 구하시오.
(1) 직사각형의 개수
(2) 정사각형이 아닌 직사각형의 개수

45

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 각각 하나씩 쓰여 있는 [eqn: 10]장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 주머니에서 [eqn: 3]장의 카드를 꺼내어 각 카드에 쓰여 있는 숫자를 곱할 때, 그 수가 [eqn: 8]의 배수가 되는 경우의 수는?

① [eqn: 55]	② [eqn: 58]	③ [eqn: 61]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 71]

46

어느 회사의 번호 열쇠는 [eqn: 10]개의 버튼 중 순서에 관계없이 서로 다른 [eqn: 5]개를 눌러서 비밀번호를 설정하게 되어 있다. 만일 버튼을 [eqn: 1]회 이상 [eqn: 9]회 이하 눌러서 비밀번호를 설정하도록 다시 설계한다면 현재보다 늘어나는 비밀번호의 개수는? (단, 순서에 관계없이 서로 다른 버튼으르 누른 경우만 생각한다.

① [eqn: 550]	② [eqn: 580]	③ [eqn: 630]

④ [eqn: 690]	⑤ [eqn: 770]

47

어떤 호텔에서 [eqn: 12]개의 객실이 일렬로 배치되어 있다. [eqn: 4]대의 소화기를 객실 문 앞에 놓는데 어느 두 개의 소화기도 서로 인접하지 않도록 배치하는 방법의 수는? (단, 양 끝에 있는 두 개의 객실 앞에는 소화기를 배치하지 않는다.)

① [eqn: 35]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 72]

48

양의 정수 [eqn: x,~y]에 대하여 부등식
[eqn: (x-2) ^2 + (y-3) ^ 2 <4]를 만족시키는 좌표평면 위의 점에서 임의로 세 점을 선택할 때, 이 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는?

① [eqn: 58]	② [eqn: 64]	③ [eqn: 76]

④ [eqn: 82]	⑤ [eqn: 84]

49

두 집합 [eqn: X=left{1,~2,~3,~4,~5right}],
[eqn: Y= left{1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8right}]에 대하여 다음 두 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X->Y]의 개수를 구하여라.

(가) [eqn: a in X,~b inX]일 때, [eqn: a<b]이면 [eqn: f(a) <f(b)]이다.

(나) [eqn: f(3)= 4]

50

두 집합 [eqn: X=left{1,~2,~3,~4,~5right}], [eqn: Y= LEFT { a,~b,~c RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f:X->Y] 중 치역과 공역이 같은 함수의 개수를 구하여라.

51

다음 조합의 수를 구하여라.
(1) [eqn: {}_ 5 rmC _2]
(2) [eqn: {} _{6} rm C _{4}]
(3) [eqn: {} _{8} rm C _{8}]
(4) [eqn: {} _{n} rm C _{3}]

52

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n] 또는 [eqn: r]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {}_ 10 rmC _ 8 = {}_ 10 rmC _ {itr}] (단, [eqn: r!=8])
(2) [eqn: {} _{10} rm C _{3} + _{10} rm C _{4 rm} = _{itn} rm C _{4 rm}]

53

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n] 또는 [eqn: r]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {} _{n} rm C _{5} = _{itn} rm C _{6 rm}]
(2) [eqn: {} _{10} rm C _{itr} = _{10} rm C _{itr-2 rm}]

54

집합 [eqn: left{1,~2,~3,~cdots ,~10right}]의 부분집합 중에서 다음을 만족시키는 부분집합의 개수를 구하여라.
(1) 원소의 개수가 [eqn: 2`]개인 것
(2) 원소의 개수가 [eqn: 5]개인 것 중에서 원소 [eqn: 1,~2]를 반드시 포함하는 것

55

오른쪽 그림과 같이 한 원 위에 [eqn: 6]개의 점이 있다. 다음 물음에 답하여라.
(1) 이들 중 두 점을 지나는 직선은 모두 몇 개인가?
(2) 이들 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 모두 몇 개인가?

56

한 개의 주사위를 [eqn: 5]회 던질 때 나타나는 눈의 수를 순서대로 [eqn: a_1 ,~a_2 ,~a_3 ,~a_4 ,~a_ 5]라고 한다.
[eqn: a_1 < a_2 < a_3 < a_ 4 < a_ 5]를 만족시키는 경우의 수를 구하여라.

57

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n] 또는 [eqn: r]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {} _{n} rm C _{3} = _{itn} rm C _{5 rm}]
(2) [eqn: {} _{8} rm C _{itr-2} = _{8} rm C _{it2r-1}]

58

서로 다른 [eqn: n]개의 물건 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 순열의 수와 조합의 수의 차가 [eqn: 21]일 때, [eqn: n]의 값을 구하여라.

59

[eqn: 17]명의 학생 중에서 [eqn: 5]명을 뽑는 경우, 특정한 [eqn: 4]명이 한 명도 포함되지 않는 경우의 수를 구하여라.

60

서로 색이 다르고 크기가 같은 크레파스가 [eqn: 12]개 들어 있는 통이 있다. 이 중에서 [eqn: 5]개를 꺼낼 때, 정해 놓은 색이 크레파스 [eqn: 2]개가 항상 포함되는 경우의 수를 구하여라.

61

어느 모임에서 모든 회원이 다른 회원들과 꼭 한 번씩 악수를 하였다. 전체 회원들이 악수한 횟수가 [eqn: 105]회일 때, 회원의 수를 구하여라.

62

한 원 위에 [eqn: 8]개의 점이 있다. 이들 중 두 점을 지나는 직선은 모두 몇 개인가? 또, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 모두 몇 개인가?

63

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {} _{n} rm C _{4} = _{it n-1 rm} rm C _{2} + _{it n-1 rm} rm C _{3}]
(2) [eqn: {} _{it n+1 rm } rm C _{it n-2 rm} + _{it n+1 rm} rm C _{it n-1 rm} =35]

64

[eqn: 9]명의 학생 중 [eqn: 4]명의 농구 선수를 선발할 때, 키가 큰 특정한 두 명 중 적어도 한 명을 포함하도록 선발하는 방법의 수를 구하여라.

65

다음 등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n] 또는 [eqn: r]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {} _{it n+2 rm } rm C _{it n-2 rm} + _{it n+2 rm} rm C _{it n-1 rm} =15]
(2) [eqn: {}_n rmP _ {itr}=120,~{}_{itn} rmC _ {itr}=20]

66

남자가 [eqn: 6]명, 여자가 [eqn: 4]명인 동아리에서 대표 [eqn: 3]명을 선출할 때, 적어도 여자가 한 명 이상 선출되는 방법의 수를 구하여라.

67

다섯 명의 어른과 네 명의 어린이 중에서 세 명의 어른과 두 명의 어린이를 자동차에 태우는 방법의 수를 구하여라.

68

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 4]개의 평행선과 [eqn: 5]개의 평행선이 서로 만나고 있다. 이들 평행선으로 이루어진 평행사변형의 개수를 구하여라.

69

남학생 [eqn: 8]명, 여학생 [eqn: 6]명 중에서 다음과 같이 [eqn: 4]명을 선출하는 방법의 수를 각각 구하여라.
(1) 전체에서 [eqn: 4]명을 선출한다.
(2) 남학생 중에서 [eqn: 2]명, 여학생 중에서 [eqn: 2]명을 선출한다.
(3) [eqn: 4]명 중 적어도 [eqn: 1]명의 남학생을 포함시킨다.

70

[eqn: 6]명의 학생을 다음과 같이 나누는 방법의 수를 각각 구하여라.
(1) [eqn: rmA,~B,~C] 세 팀으로 [eqn: 2]명씩 나눈다.
(2) [eqn: 2]명씩 세 팀으로 나눈다.

71

[eqn: 6]개의 서로 다른 구슬이 있다. 다음을 구하여라.
(1) [eqn: 3]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개의 세 묶음으로 나누는 방법의 수
(2) [eqn: rmA]에게 [eqn: 3]개, [eqn: rmB]에게 [eqn: 2]개, [eqn: rmC]에게 [eqn: 1]개를 나누어 주는 방법의 수

72

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 4times3]개의 점이 같은 간격으로 배열되어 있다. 다음 물음에 답하여라.
(1) 이들 중 두 점을 지나는 직선은 모두 몇 개인가?
(2) 이들 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 모두 몇 개인가?

73

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 5 TIMES 3]개의 점이 같은 간격으로 배열되어 있다. 다음 물음에 답하여라.
(1) 이들 중 두 점을 지나는 직선은 모두 몇 개인가?
(2) 이들 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 모두 몇 개인가?

74

집합 [eqn: A= left{ 1,~2,~3,~4,~5,~6right}]의 부분집합 중에서 원소의 개수가 [eqn: 4]개이고 [eqn: 1]을 포함하는 부분집합의 개수를 구하여라.

75

오른쪽 그림과 같이 직사각형 [eqn: rmABCD]의 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmCD] 위에 각각 [eqn: 6]개의 점이 있다. 변 [eqn: rmAB] 위의 점으로부터 변 [eqn: rmCD] 위의 점으로 서로 만나지 않는 세 개의 선분을 긋는 방법의 수를 구하여라.

76

집합 [eqn: X= left{ 1,~2,~3right} ,~Y= left{ 1,~2,~3,~4,~5 right}]일 때, 조건 ‘[eqn: x_1 < x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) < f(x_2 )]이다.’를 만족시키는 함수 [eqn: f:X`->`Y`]의 개수를 구하여라.

77

남자 [eqn: 6]명, 여자 [eqn: 4]명 중에서 [eqn: 5]명의 위원을 선출할 때, 다음을 구하여라.
(1) 선출하는 방법의 수
(2) 남자 [eqn: 2]명, 여자 [eqn: 3]명을 선출하는 방법의 수
(3) 여자를 적어도 [eqn: 1]명을 포함하는 경우의 수
(4) 특정한 남녀 각 [eqn: 1]명을 포함하는 경우의 수

78

[eqn: rmA]가 친구 [eqn: rmB,~C,~D,~E,~F]의 집을 모두 방문한다. 이때 친구 [eqn: rmB]의 집만 [eqn: 2]회, 나머지 친구의 집은 [eqn: 1]회 방문하고 돌아오는 방법의 수를 구하여라. (단, [eqn: rmB]의 집 다음에 또 [eqn: rmB]의 집을 방문하는 일은 없는 것으로 한다.)

① [eqn: 60]가지	② [eqn: 120]가지	③ [eqn: 150]가지

④ [eqn: 180]가지	⑤ [eqn: 240]가지

79

오른쪽 그림에서 [eqn: 8]개 부분에 서로 다른 [eqn: 8]가지 색을 칠하여 구별하는 방법의 수를 구하여라.

80

[eqn: 6]명이 서로 다른 [eqn: 4]문제 중에서 한 문제씩 풀기로 한다. 각 문제는 적어도 한 사람에게 배당하기로 할 때, 모든 경우의 수를 구하여라.

81

[eqn: rmA,~B,~C,~D]의 네 회사에서 각각 [eqn: 2]명씩 탁구선수를 뽑아 오른쪽 그림과 같이 토너먼트로 시합을 한다. 같은 회사에서 나온 선수끼리는 같은 조로 편성하지 않기로 할 때, 대진표의 경우의 수를 구하여라. (단, [eqn: rmX]조, [eqn: rmY]조는 서로 바뀌어도 같은 것으로 한다.)

82

두 집합 [eqn: X=left{1,~2,~3`,~4,~5right}],
[eqn: Y= left{ 1,~2,~3,~4,~5,~6,~7,~8right}]에 대하여 다음 도 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f:X`->`Y`]의 개수를 구하여라.

ㄱ. [eqn: x_1 in X ,~x_2 in X]일 때, [eqn: x_1 < x_2]이면 [eqn: f(x _{1} )<f(x_2 )]이다.

ㄴ. [eqn: f(3) =4]

83

[eqn: 7]명의 가족이 [eqn: 2]대의 택시에 나누어 타려고 한다. 택시의 정원이 기사를 제외하고 [eqn: 4]명일 때, 모두 몇 가지 방법으로 탈 수 있는가?

84

남녀 각각 [eqn: 5]명씩 [eqn: 10]명이 있다. 이 중에서 남자 [eqn: 3]명, 여자 [eqn: 2]명의 다섯 사람을 뽑아 원탁의 둘레에 앉히는 방법의 수는 몇 가지인가?

85

[eqn: 6]명의 학생을 [eqn: 2]명, [eqn: 2]명, [eqn: 2]명의 [eqn: 3]개 조로 편성하여 각각 서로 다른 과제를 부여하는 방법의 수를 구하여라.

86

[eqn: rmA,~B,~C,~D,~E,~F]의 여섯 팀이 오른쪽과 같이 토너먼트로 시합을 할 때, 대진표를 작성하는 방법의 수를 구하여라.

87

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형으로 이루어진 모눈이 있다. 다음을 구하여라.
(1) 정사각형의 개수
(2) 직사각형의 개수

88

[eqn: {} _{n} rm C _{1} ,~ _{it n rm} rm C _{2} ,~ _{it n rm} rm C _{3}]이 이 차례로 등차수열을 이루도록 하는 [eqn: n]의 값을 구하여라.

89

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: {} _{n} rm C _{2} ` it x ^{2} - _{it n} rm C _{3} it x+ _{it n} rm C _{4} =0]의 두 근을 [eqn: alpha ,~ beta]라고 한다. [eqn: alpha beta = 5 over 2]일 때, [eqn: alpha+ beta]의 값을 구하여라.

90

[eqn: 6]명이 타고 있는 승강기가 [eqn: 2]층부터 [eqn: 6]층까지의 [eqn: 5]개의 층에서 선다고 한다. 각각 [eqn: 2]명씩 [eqn: 3]개의 층에서 모두 내리게 되는 경우의 수를 구하여라.

91

[eqn: 5]권의 소설책과 [eqn: 3]권의 잡지책이 있다. 이 중에서 소설책 [eqn: 3]권과 잡지책 [eqn: 2]권을 뽑아 책꽂이에 일렬로 꽂는 방법의 수를 구하여라.

92

세 사람이 다섯 가지의 일을 분담해서 맡는데 모든 사람이 적어도 한 가지 일을 맡아야 하며, 한 가지 일을 두 사람 이상이 동시에 맡을 수 없다. 또, 세 사람이 다섯 가지의 일을 모두 맡아야 할 때, 세 사람이 일을 분담하는 방법의 수를 구하여라.

93

[eqn: 1]에서 [eqn: 30]까지의 정수 중에서 서로 다른 [eqn: 3]개의 정수의 합이 짝수가 되는 경우의 수를 구하여라.

94

[eqn: 6]명의 남자와 [eqn: 3]명의 여자 중에서 [eqn: 3]명의 위원을 선출하려고 하는데 남자 [eqn: 2]명, 여자 [eqn: 1]의 위원을 선출하는 방법의 수를 [eqn: a], 여자를 적어도 [eqn: 1]명 포함하여 선출하는 방법의 수를 [eqn: b]라 하자. 이때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 74]	② [eqn: 86]	③ [eqn: 94]

④ [eqn: 98]	⑤ [eqn: 109]

95

등식 [eqn: {}_n rm C_4 = _n-1 C_2 + _n-1 C_3]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오.

96

서로 다른 [eqn: 6]권의 책을 [eqn: 2]권씩 세 묶음으로 나누는 방법의 수는 [eqn: a]이고, 이 세 묶음을 세 사람에게 나누어 주는 방법의 수는 [eqn: b]일 때, [eqn: b-a]의 값을 구하시오.

97

서로 다른 [eqn: n]개의 물건에서 [eqn: 2]를 택하는 수열의 수와 조합의 수의 합이 [eqn: 165]일 때, [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

98

남학생 [eqn: 5]명 중에서 [eqn: 2]명을 뽑고, 여학생 [eqn: n]명 중에서 [eqn: 2]명을 뽑아 대표로 임명하는 방법이 [eqn: 30]가지 일 때, [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

99

[eqn: rmA]지역에는 세 곳, [eqn: rmB]지역에는 네 곳, [eqn: rmC]지역에는 다섯 곳, [eqn: rmD]지역에는 여섯 곳의 관광지가 있다. 이 중에서 세 곳을 선택하여 관광하려고 할 때, 선택한 세 곳이 모두 같은 지역이 되는 경우의 수는?

① [eqn: 20]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

100

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: 10]장의 카드에서 뽑은 서로 다른 세 수의 곱이 [eqn: 4]의 배수가 되는 경우의 수는?

① [eqn: 60]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 80]

④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 100]

101

평면 위에 [eqn: n]개의 평행선과 이것과 만나는 [eqn: (n-1)]개의 평행선이 있다. 이들 평행선으로 이루어지는 평행사변형의 총 개수가 [eqn: 150]개일 때, [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

102

[eqn: 6]개의 팀이 다음 그림과 같은 토너먼트 방식으로 경기를 할 때, 대진표를 만들 수 있는 방법의 수는?

① [eqn: 30]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 150]

103

전체집합 [eqn: rmU = left{ 1 ,~2 ,~3 ,~ cdots ,~10 right}]에 대하여 다음 두 조건을 모두 만족하는 [eqn: rmU]의 부분집합 [eqn: rmA]의 개수를 구하시오.

(가) [eqn: left{1 ,~2 ,~3 right} SMALLINTER rmA = left{1 ,~2 right}]

(나) 집합 [eqn: rmA]의 원소의 개수는 [eqn: 6]개 이상이다.

104

다음 그림과 같이 반원 위에 [eqn: 7]개의 점이 있다. 이 중 세 점을 택하여 만들 수 있는 삼각형의 개수를 구하시오.

105

흰 공 [eqn: 6]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있는 주머니에서 [eqn: 6]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 흰 공이 [eqn: 5]개 이상 나올 확률은?

① [eqn: 1 over8]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 5 over 36]

④ [eqn: 5 over42]	⑤ [eqn: 7 over 46]

106

주머니 속에 크기와 모양이 같은 흰 바둑돌과 검은 바둑돌이 모두 [eqn: 6]개 들어 있다. 이 주머니에서 [eqn: 2]개를 꺼내어 색을 확인하고 다시 넣는 일을 되풀이하였더니 [eqn: 5]회 중 [eqn: 2]회의 꼴로 [eqn: 2]개 모두 검은 바둑돌이었다고 한다. 주머니 속에 들어 있는 흰 바둑돌의 개수는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

107

[eqn: 8]명의 학생 중에서 [eqn: 5]명을 뽑으려고 한다. 특정한 [eqn: 2]명이 모두 뽑히는 경우의 수를 [eqn: a], 특정한 [eqn: 2]명 중 한 명만 뽑히는 경우의 수를 [eqn: b], 특정한 [eqn: 2]명이 모두 뽑히지 않는 경우의 수를 [eqn: c]라 하자. 이때, [eqn: a+b-c]의 값은?

① [eqn: 36]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 56]

108

다음 조합의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {}_ 10 rmC _ 3]
(2) [eqn: {}_ 6 rmC _ 4]
(3) [eqn: {}_ 5 rmC _ 2]

109

다음 등식을 만족하는 자연수 [eqn: n]또는 [eqn: r]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: {}_ 8 rmC_ 6 = {}_ 8 rmC _{itr}] (단, [eqn: r!=6])
(2) [eqn: {}_8 rmC _3 + {}_ 8 rmC_ 4 = {}_{itn} rmC_ 4]

110

[eqn: 8]명의 학생을 [eqn: 3]명, [eqn: 5]명의 두 조로 나누는 방법의 수를 구하여라.

111

등식 [eqn: {}_8 rmC_{itr-1}={}_8 C _{it3r+1}]을 만족시키는 [eqn: ` r]의 값에 대하여 등식 [eqn: {}_ n rmC _ {itr} + {}_{itn} rmC _{itr+1} = 2 cdot {}_ {it2n} rmC _ {itr-1}]을 만족시키는 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

112

[eqn: {}_ n rmC _ 1 ,~{}_{itn} rmC _ 2 ,~{}_{itn} rmC _ 3]이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

113

[eqn: 8]명의 학생 중에서 [eqn: 4]명의 위원을 뽑을 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: 4]명의 위원을 뽑는 방법의 수
(2) 특정한 세 학생 [eqn: RMA,~B,~C] 중 [eqn: rmA]는 포함되지 않고, [eqn: rmB], [eqn: rmC]는 포함되는 방법의 수
(3) 특정한 세 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 중 적어도 한 명이 포함되는 방법의 수

114

남자 [eqn: 8]명, 여자 [eqn: 6]명 중에서 [eqn: 5]명의 임원을 뽑을 때, 다음을 구하여라.
(1) 남자 [eqn: 3]명과 여자 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수
(2) 적어도 한명의 남자가 포함되는 방법의 수
(3) 특정한 남자 [eqn: 1]명과 여자 [eqn: 1]명이 포함되는 방법의 수

115

[eqn: 9]명의 학생을 [eqn: 3]개의 조로 나누려고 할 때, 다음을 구하여라.
(1) [eqn: 4]명, [eqn: 3]명, [eqn: 2]명의 [eqn: 3]개의 조로 나누는 방법의 수
(2) [eqn: 3]명씩 [eqn: 3]개의 조로 나누는 방법의 수

116

서로 다른 종류의 꽃 [eqn: 6]송이를 [eqn: 3]송이씩 두 사람[eqn: rmA], [eqn: rmB]에게 나누어 주는 방법의 수는?

① [eqn: 18]가지	② [eqn: 20]가지	③ [eqn: 22]가지

④ [eqn: 40]가지	⑤ [eqn: 60]가지

117

등식 [eqn: {}_ n+1 rmC _{itn-2 } + {}_ {itn+1} rmC _ {itn-1} =35]를 만족시키는 [eqn: n]의 값을 구하여라.

118

어느 모임에서 모든 회원끼리 꼭 한 번씩 악수를 할 때, 그 횟수가 [eqn: 105]회이었다. 이 모임의 회원의 수는?

① [eqn: 15]명	② [eqn: 20]명	③ [eqn: 25]명

④ [eqn: 30]명	⑤ [eqn: 35]명

119

오른쪽 그림과 같이 [eqn: 4]개의 평행선과 또 다를 [eqn: 5]개의 평행선이 서로 만나고 있다. 이 평행선으로 이루어지는 평행사변형의 개수는?

① [eqn: 30]개	② [eqn: 45]개	③ [eqn: 60]개

④ [eqn: 75]개	⑤ [eqn: 90]개

120

서로 다른 [eqn: 7]개의 구슬을 [eqn: 3]개, [eqn: 2]개, [eqn: 2]개의 세 묶음으로 나누어 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 세 명의 어린이에게 나누어 주려고 한다. 이때 나누어 주는 방법의 수는?

① [eqn: 450]가지	② [eqn: 540]가지	③ [eqn: 630]가지

④ [eqn: 720]가지	⑤ [eqn: 810]가지

121

[eqn: rmA,~B]를 포함한 [eqn: 7]명 중에서 대표 [eqn: 3]명을 뽑을 때, [eqn: rmA,~B]가 모두 선출되는 방법이 [eqn: a]가지, [eqn: rmA,~B]가 모두 선출되지 않는 방법이 [eqn: b]가지, [eqn: rmA,~B] 중 한 사람만 선출되는 방법이 [eqn: c]가지이다. 이때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 18]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 40]

122

[eqn: 4]명의 친구들이 보트를 타기 위하여 강으로 갔다. 각 보트의 정원은 [eqn: 3]명이어서 두 대의 보트 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]를 빌려야 했다. 이 보트에 [eqn: 4]명의 친구들이 나누어 탈 수 있는 방법의 수는?

① [eqn: 10]가지	② [eqn: 12]가지	③ [eqn: 14]가지

④ [eqn: 16]가지	⑤ [eqn: 20]가지

123

오른쪽 그림과 같이 별 모양의 도형 위에 [eqn: 10]개의 점이 있다. 이 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수를 구하여라.

124

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: {} _{n} rm C _{2} it `x ^{2} - _{n} rm C _{3} ` it x+ _{n} rm C _{4} =0]의 두 근을 [eqn: alpha,~ beta]라고 할 때, [eqn: alpha beta = {5} over {3}]이다. 이때, [eqn: alpha + beta]의 값은?

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {5} over {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

125

[eqn: 7]명의 학생이 명찰을 임의로 나누어 가질 때, [eqn: 3]명의 학생이 자기 명찰을 갖게 되는 경우의 수는?

① [eqn: 35]가지	② [eqn: 105]가지	③ [eqn: 175]가지

④ [eqn: 315]가지	⑤ [eqn: 345]가지

126

[eqn: x_i (``1 le i le 9)]가 [eqn: 2] 또는 [eqn: -1]의 값을 가질 때, 방정식 [eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} `+x _{4}+cdots+x_9 =0]의 해의 개수를 구하여라.

127

커뮤니케이션의 경로는 다음 그림과 같이 두 사람사이에는 [eqn: 1]가지, 세 사람 사이에는 [eqn: 3]가지, 네 사람 사이에서 [eqn: 6]가지, [eqn: cdots]로 사람의 수가 증가함에 따라서 증가한다. 사람의 수가 [eqn: 12]명인 경우의 커뮤니케이션의 경로의 수를 구하여라.

128

오른쪽 그림과 같이 한 원을 [eqn: 6]등분하여 서로 다른 [eqn: 5]가지의 색을 칠하려고 한다. 인접한 곳에는 같은 색을 칠하지 않기로 할 때, 칠하는 모든 방법의 수는?

① [eqn: 120]가지	② [eqn: 180]가지	③ [eqn: 240]가지

④ [eqn: 300]가지	⑤ [eqn: 360]가지

확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		1. 순열과 조합			정답
	01 경우의 수

01

④

답

해

설

(i) [eqn: rmA->D->C]로 가는 경우의 수: [eqn: 2 times2= 4](가지)

(ii) [eqn: rmA ->D -> B->C]로 가는 경우의 수:
[eqn: 2 times1 times3 = 6](가지)

(iii) [eqn: rmA->B->C]로 가는 경우의 수: [eqn: 1 times 3 =3](가지)

(iv) [eqn: rmA->B->D->C]로 가는 경우의 수:

[eqn: 1times1 times 2 =2](가지)

따라서 합의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 4+6+3+2=15](가지)

02

④

답

해

설

세 수의 합이 짝수가 되려면 세 수 모두가 짝수이거나 세 수 중 하나만 짝수이어야 한다.

(i) 세 수가 모두 짝수인 경우의 수: [eqn: 1 times 2 times 2 = 4](가지)

(ii) 세 수 중 하나만 짝수인 경우의 수:

[eqn: A]의 원소만 짝수이고 [eqn: B,~C]의 원소는 홀수일 때

[eqn: 1 times 2 times 3 = 6](가지)

[eqn: B]의 원소만 짝수이고 [eqn: A,~C]의 원소는 홀수일 때

[eqn: 2 times 2 times 3 =12](가지)

[eqn: C]의 원소만 짝수이고 [eqn: A,~B]의 원소는 홀수일 때

[eqn: 2times 2 times 2 = 8](가지)

[eqn: therefore6+12+8=26](가지)

따라서 합의 법칙에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 4+26=30](가지)

03

②

답

해

설

이차방정식 [eqn: ax^2 + bx +a =0]이 서로 다른 두 실근을 가지려면 판별식 [eqn: D]가 [eqn: D>0]이어야 하므로

[eqn: D= b^2 - 4a^2 >0~~~therefore b^2 >4a^2]

위의 식을 만족시키는 [eqn: (a,~b)]의 순서쌍은

[eqn: (1,~3),~(1,~4),~(1,~5),~(1,~6),~(2,~5),~(2,~6)]

이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 6]가지이다.

04

④

답

해

설

부등식 [eqn: 2x + y le 6]을 만족시키는 두 자연수 [eqn: x,~y]의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는

(i) [eqn: x=1]일 때, [eqn: y]는 [eqn: 1,~2,~3,~4]이므로

[eqn: (1,~1),~(1,~2),~(1,~3),~(1,~4)]의 [eqn: 4]가지

(ii) [eqn: x=2]일 때, [eqn: y]는 [eqn: 1,~2]이므로

[eqn: (2,~1),~(2,~2)]의 [eqn: 2]가지

(iii) [eqn: x ge 3]일 때, 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: y]의 값은 존재하지 않는다.

따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 순서쌍 [eqn: (x,~y)]의 개수는  [eqn: 4+2=6]

05

③

답

해

설

짝수는 일의 자리의 숫자가 짝수인 수이므로 구하는 자연수는 [eqn: □ 2], [eqn: □4]의 꼴이다.

(i) 일의 자리의 숫자가 [eqn: 2]인 경우: [eqn: 12,~32,~42]의 [eqn: 3]가지

(ii) 일의 자리의 숫자가 [eqn: 4]인 경우: [eqn: 14,~24,~34]의 [eqn: 3]가지

따라서 (i), (ii)에서  [eqn: 3+3=6]

06

[eqn: 7]

답

해

설

(i) 눈의 수의 합이 [eqn: 5]인 경우

[eqn: (1,~4)], [eqn: (2,~3)], [eqn: (3,~2)], [eqn: (4,~1)]의 [eqn: 4]가지

(ii) 눈의 수의 합이 [eqn: 10]인 경우

[eqn: (4,~6),~(5,~5),~(6,~4)]의 [eqn: 3]가지

(i)과 (ii)는 동시에 일어나지 않으므로 구하는 경우의 수는  [eqn: 4+3 =7]

07

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: 4 times 3 = 12]

08

[eqn: 4]개

답

해

설

(i) [eqn: z=1]일 때, [eqn: x+2y = 7]에서

[eqn: (x,~y)=(1,~3),~( 3,~2),~(5,~1)] ➡ [eqn: 3]개

(ii) [eqn: z=2]일 때, [eqn: x+2y= 4]에서

[eqn: (x,~y) = (2,~1)] ➡ [eqn: 1]개

(iii) [eqn: z=3]일 때, [eqn: x+2y =1]이며 이것을 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y]는 없다.

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 순서쌍의 개수는

[eqn: 3+1 = 4](개)

09

[eqn: 12]

답

해

설

(1) [eqn: a,~b] 각각에 [eqn: c,~d,~e]가 곱해지므로

[eqn: 2times 3= 6](개)

(2) [eqn: x,~y,~z] 각각에 [eqn: a,~b]가 곱해지고, 이들 각각에 [eqn: u,~v]가 곱해지므로

[eqn: 3times 2times 2=12](개)

10

[eqn: 10]

답

해

설

세 개의 주사위에서 나오는 눈의 수를 순서쌍 [eqn: (x,~y,~z)]로 나타낼 때, [eqn: x+y +z le 5]인 경우의 수를 구하면 된다.

(i) [eqn: x+y+z = 5]인 경우

[eqn: (1,~1,~3)], [eqn: (1,~2,~3)], [eqn: (1,~3,~1)], [eqn: (2,~1,~2)], [eqn: (2,~2,~1)], [eqn: (3,~1,~1)]

➡ [eqn: 6]가지

(ii) [eqn: x+y+z= 4]인 경우

[eqn: (1,~1,~2)], [eqn: (1,~2,~1)], [eqn: ( 2,~1,~1)]

➡ [eqn: 1]가지

(i), (ii), (iii)에서 구하는 순서쌍의 개수는

[eqn: 6+3+1=10]

11

(1) [eqn: 9]개    (2) [eqn: 36]개

답

해

설

(1) [eqn: 3times 3=9](개)

(2) [eqn: 3 times 4 times 3 = 36](개)

12

양의 약수의 개수: [eqn: 12]개,
양의 약수의 총합: [eqn: 465]

답

해

설

[eqn: 200]을 소인수분해하면  [eqn: 200= 2^3 times 5^2]

따라서 [eqn: 200]의 양의 약수는

[eqn: 2^m times 5^n ~(m=0,~1,~2,~3,~n=0,~1,~2)]

의 꼴로 나타낼 수 있다.

[eqn: 2^3]의 약수의 집합을 [eqn: A]라고 하면

[eqn: A = left{ 1,~2,~2^2 ,~2^3 right}]

[eqn: 5^2]의 약수의 집합을 [eqn: B]라고 하면

[eqn: B= left{1,~5,~5^2 right}]

따라서 [eqn: 200]의 양의 약수의 개수는

[eqn: n(A) times n ( B) = (3+1) times (2+1)= 12](개)

한편 [eqn: 200]의 양의 약수의 총합은

[eqn: (1times 1 + 1 times 5 + 1 times 5^2 ) +(2times 1 + 2times 5 + 2times 5^2 )#+(2^2 times 1 + 2^2 times 5 + 2^2 times 5^2 ) + (2^3 times 1 + 2 ^3 times 5 + 2^3 times 5^2 ) #=(1+2+2^2 +2^3 )times (1+5+ 5^2 ) #= 15 times 31 = 465`]

13

(1) 양의 약수의 개수: [eqn: 12]개,  양의 약수의 총합: [eqn: 195]
(2) 양의 약수의 개수: [eqn: 12]개,  양의 약수의 총합: [eqn: 280]

답

해

설

(1) [eqn: 72 = 2^3 times 3^2]이므로

양의 약수의 개수는

[eqn: (3+1 ) times (2+1) = 12](개)

양의 약수의 총합은

[eqn: (1+2+2^2 +2^3 ) times (1+3+3^2 )= 15 times 13 = 195]

(2) [eqn: 108 = 2^2 times 3^3]이므로

양의 약수의 개수는

[eqn: (2+ 1 ) times ( 3 +1)=12](개)

양의 약수의 총합은

[eqn: (1+2+2^2 )times (1+3+3^2 + 3^3 ) = 7 times 40 = 280]

14

(1) [eqn: 60]    (2) [eqn: 40]

답

해

설

(1) [eqn: 2]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 5]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: B]라고 하면

[eqn: n(A)=50,~n(B)=20,~n(A cap B)= 10]

[eqn: THEREFORE n(A CUP B) & =n(A)+n(B)-n(A SMALLINTER B)# & =50+20`-10`=`60]

(2) [eqn: 100=`2 ^{2}times 5^2]이므로 [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 5]의 배수는 [eqn: 100]과 서로소가 아니다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 100-60=40]

15

[eqn: 108]

답

해

설

(i) [eqn: rmP`->`Q ->`S`-> R`->P]로 왕복하는 경우

[eqn: 3 times 2 times 3 times 3 =54]

(ii) [eqn: rmP`->`R `->`S`->`Q `->`P]로 왕복하는 경우

[eqn: 3times 3 times 2 times 3 = 54]

(i), (ii)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 54+54 = 108]

16

(1) [eqn: 67]   (2) [eqn: 67]

답

해

설

(1) [eqn: 4]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 6]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: B]라고 하면

[eqn: n(A) =50,~n(B) = 33,~n(A cap B) = 16]

[eqn: THEREFORE n(A CUP B) & =n(A)+n(B)-n(A SMALLINTER B)# & =50+33-16`# & =`67]

(2) [eqn: 12=`2 ^{2}times 3]이므로 [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 3]의 배수는 [eqn: 12]와 서로소가 아니다.

[eqn: 2]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 3]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: B]라고 하면

[eqn: n(A)= 100,~n(B)= 66,~n(A cap B) = 33]

따라서 [eqn: 2]의 배수 또는 [eqn: 3]의 배수가 나오는 경우의 수는

[eqn: n(A CUP B) & =n(A)+n(B)-n(A SMALLINTER B)# & =`100+66-33`# & =`133]

이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: n(A ^{c} cap B` `^c ) = 200-133= 67]

17

[eqn: 16]

답

해

설

(i) [eqn: rmP->Q->S]로 가는 경우

[eqn: 2times 2 =4]

(ii) [eqn: rmP->Q -> R ->S]로 가는 경우

[eqn: 2 times 1 times 2 = 4]

(iii) [eqn: rmP-> R ->S]로 가는 경우

[eqn: 2times 2 =4]

(iv) [eqn: rmP->R ->Q->S]로 가는 경우

[eqn: 2 times 1 times 2 = 4]

(i), (ii), (iii), (iv)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 4+4+4+4=16]

18

[eqn: 44]

답

해

설

[eqn: (a_1 -1)(a_2 -2 )(a_3 -3) (a_4 -4 )(a_5 -5 )!=0]인 것은 [eqn: a_1 !=1,~a_2 != 2,~a_3 != 3 ,~a_4 != 4 ,~a_5 != 5]인 것을 뜻한다. 따라서 [eqn: a_1 != 1]이므로 [eqn: a_1 =2,~3,~4,~5]이어야 한다.

우선 [eqn: a_1 =2]인 경우
[eqn: a_2 = 1,~3,~4,~5]가 될 수 있으므로 오른쪽과 같이 수형도를 그려 보면 [eqn: 11]가지 경우가 있다.

이때 [eqn: a_1 = 3,~4,~5]인 경우도 마찬가지이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 11times 4= 44]

19

[eqn: 21]

답

해

설

(i) [eqn: 1]로 시작하는 경우

➡ [eqn: 8]가지

(ii) [eqn: 2]로 시작하는 경우

➡ [eqn: 13]가지

(i), (ii)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 8+13= 21]

20

[eqn: 45]개

답

해

설

(짝수)+(짝수)=(짝수), (홀수)+(홀수)=(짝수)

이므로 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자가 모두 짝수이거나 모두 홀수인 경우를 생각하면 된다.

(i) 모두 짝수인 경우

십의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 2,~4,~6,~8]의 [eqn: 4]가지이고, 이들 각각에 대하여 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 0,~2,~4,~6,~8]의 [eqn: 5]가지이다.

[eqn: therefore 4 times 5 = 20](개)

(ii) 모두 홀수인 경우

십의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 1,~3,~5,~7,~9]의 [eqn: 5]가지이고, 이들 각각에 대하여 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 1,~3,~5,~7,~9]의 [eqn: 5]가지이다.

[eqn: therefore 5 times 5 = 25](개)

(i), (ii)에 의하여 구하는 개수는

[eqn: 20+25=45](개)

21

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: 1200= 2^4 times 3 times 5^2]이므로

[eqn: 1200=a b] (단, [eqn: a,~b]는 서로소)라 하고

[eqn: a= 2^ p times 3 ^ q times 5^ r ,~b= 2^4-p times 3^1-p times 5^2-r]

라고 하면 [eqn: a]와 [eqn: b]가 서로소일 조건은

[eqn: p=0] 또는 [eqn: 4-p=0]

[eqn: q=0] 또는 [eqn: 1-q=0]

[eqn: r=0] 또는 [eqn: 2-r = 0]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 1 over 2 times 2 times 2 times 2 = 4]

22

[eqn: 144]

답

해

설

(i) [eqn: rmA`->`rmB`->`C`->`D`->A]로 갈 때

[eqn: 3times 2times 3times 4 = 72]

(ii) [eqn: rm A` -> ` rm D` -> `C` -> `B` -> A]로 갈 때

[eqn: 4` TIMES 3 times 2 times 3 = 72]

(i), (ii)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 72+ 72 = 144]

23

③

답

해

설

(i) [eqn: rmbarBC]와 [eqn: rmBAR CA] 위의 점으로 만들어지는 직선의 개수는

[eqn: 6 times 4 = 24](개)

(ii) [eqn: rmbarCA]와 [eqn: rmbarAB] 위의 점으로 만들어지는 직선의 개수는

[eqn: 4 times 3 = 12](개)

(iii) [eqn: rmbarAB]와 [eqn: rmbarBC] 위의 점으로 만들어지는 직선의 개수는

[eqn: 3 times 6 = 18](개)

(iv) [eqn: rmbarBC] 위의 점, [eqn: rmbarCA] 위의 점, [eqn: rmbarAB] 위의 점으로 만들어지는 직선의 개수는 각각 [eqn: 1]개씩 있다.

(i), (ii), (iii), (iv)에 의하여 구하는 직선의 개수는

[eqn: 24+12+18+1times 3 = 57](개)

24

[eqn: 6]가지

답

해

설

[eqn: 100]원, [eqn: 50]원, [eqn: 10]원짜리 동전을 사용하는 개수를 각각 [eqn: x,~y,~z~(x ge 1,~y ge 1 ,~z ge 1 )]라고 하면

[eqn: 100x+ 50y +10z = 310]

(i) [eqn: x=`1]일 때

[eqn: 50y +10z =210]을 만족시키는 경우는

[eqn: (y,~z)=(1,~16),~(2,~11),~(3,~6),~(4,~1)] ➡ [eqn: 4]가지

(ii) [eqn: x=2]일 때

[eqn: 50y+10z=110]을 만족시키는 경우는

[eqn: (y,~z)=(1,~6),~(2,~1)] ➡ [eqn: 2]가지

(iii) [eqn: x=3]일 때

[eqn: 50y +10z = 10]을 만족시키는 경우는 없다.

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 4+2 = 6](가지)

25

[eqn: 10]가지

답

해

설

(i) 검은 색을 칠하는 경우: [eqn: 1]가지

(ii) 검은 색을 [eqn: 1]개의 면에 칠하는 경우: [eqn: 1]가지

(iii) 검은 색을 [eqn: 2]개의 면에 칠하는 경우: [eqn: 2]가지

(iv) 검은 색을 [eqn: 3]개의 면에 칠하는 경우: [eqn: 2]가지

(v) 검은 색을 [eqn: 4]개의 면에 칠하는 경우: [eqn: 2]가지

(vi) 검은 색을 [eqn: 5]개의 면에 칠하는 경우: [eqn: 1]가지

(vii) 검은 색을 [eqn: 6]개의 면에 칠하는 경우: [eqn: 1]가지

따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 1+1+2+2+2+1+1=10](가지)

26

③

답

해

설

정육면체의 각 꼭짓점에 하나의 정삼각형이 대응된다. 따라서 정육면체의 꼭짓점은 [eqn: 8]개이므로 구하는 정삼각형은 [eqn: 8]개다.

27

[eqn: 24]

답

해

설

[eqn: left{2,~3right} cap A not= emptyset]이므로 집합 [eqn: A]는 [eqn: 2,~3] 중 적어도 하나는 원소로 가져야 한다.

이때 [eqn: 2,~3]을 원소로 갖지 않는 집합 [eqn: U]의 부분집합의 개수는

[eqn: 2 ^{5-2} =`2 ^{3} =8]

따라서 구하는 부분집합 [eqn: A]이 개수는

[eqn: 2 ^{5`} `-8`=`32`-`8=`24]

28

⑤

답

해

설

두 자리 자연수의 개수에서 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자가 모두 홀수인 자연수를 제외하면

[eqn: 90-25=65]

29

④

답

해

설

[eqn: 180 = 2^2 cdot3^2 cdot5]이므로 [eqn: 180]의 양의 약수의 개수는

[eqn: (2+1)(2+1)(1+1)=18]

[eqn: 2^2 cdot 5]의 양의 약수의 개수는 [eqn: (2+1)(1+1)=6]

따라서 3의 배수의 개수는 [eqn: 18-6=12]

30

④

답

해

설

[eqn: 50원 ,~ 100원 ,~ 500원]짜리 동전의 수를 각각 [eqn: x ,~y ,~z]라 하면 [eqn: x+2y+10z=20]

[eqn: (rmi)~ z=2]일 때, [eqn: 1]가지   [eqn: (rmii) ~ z=1]일 때, [eqn: 6]가지

[eqn: rm(iii)~z=0]일 때, [eqn: 11]가지

따라서 구하는 방법의 수는 [eqn: 1+6+11 = 18]

31

35

답

해

설

원점에서 직선 [eqn: ax+by-4=0]까지의 거리가 반지름의 길이 [eqn: 2]보다 작거나 같아야 하므로

[eqn: |-4 |}over sqrt {a^2 +b^2 } LEQ2]에서

[eqn: 4(a^2 - b^2) GEQ 16~~~ ~~therefore a^2 + b^2 geq4]

[eqn: a ,~b]의 순서쌍 [eqn: (a ,~b)]의 개수는 모두 [eqn: 36]이고,

[eqn: a^2 + b^2 <4]인 경우는 [eqn: (1 ,~1)]의 [eqn: 1]가지이므로

[eqn: a^2 + b^2 geq4]인 경우의 수는 [eqn: 36-1=35]

32

④

답

해

설

[eqn: rmA]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 4]가지, [eqn: rmB]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 3]가지, [eqn: rmC]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 2]가지, [eqn: rmD]에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 2]가지, 따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 4 cdot3 cdot2 cdot 2 = 48]

33

[eqn: 6]가지

답

34

[eqn: 12]개

답

35

(1) [eqn: 12]   (2) [eqn: 24]

답

해

설

(1) [eqn: 7]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: A], [eqn: 9]의 배수가 나오는사건을 [eqn: B]라고 하면
[eqn: n(A)=7,~n(B)=5]
[eqn: A cap B]는 [eqn: 7]과 [eqn: 9]의 공배수, 즉 [eqn: 63]의 배수가 나오는 경우이므로
[eqn: n(A cap B) =0]
[eqn: therefore n(A cap B) = n(A) + n(B) = 7+5 =12]

(2) [eqn: 3]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: C], [eqn: 4]의 배수가 나오는 사건을 [eqn: D]라고 하면
[eqn: n(C)= 16 ,~n(D)=12]
[eqn: C Cap D]는 [eqn: 3]과 [eqn: 4]의 공배수, 즉 [eqn: `12]의 배수가 나오는 경우이므로
[eqn: n(C cap D) = 4]
[eqn: THEREFORE n(C SMALLINTER D) & =n(C)+n(D)-n(C SMALLINTER D)# & =16+`12`-`4=`24]

36

⑤

답

해

설

눈의 수의 합이 [eqn: 4]인 경우 [eqn: 3]가지, 눈의 수의 합이 [eqn: 8]인 경우 [eqn: 5]가지, 눈의 수의 합이 [eqn: 12]인 경우 [eqn: 1]가지

각각의 경우 서로 동시에 일어나지 않으므로

[eqn: 3+5+1=9](가지)

37

②

답

해

설

[eqn: 288]을 소인수분해하면  [eqn: 288=`2 ^{5} TIMES 3^2]

[eqn: 2^5]의 약수는  [eqn: 1,~2,~2^2 ,~2^3 ,~2^4 ,~2^5]

[eqn: 3^2]의 약수는  [eqn: 1,~3,~3^2]

이므로 [eqn: 2^5]의 각 약수에 [eqn: 3^2]의 약수를 곱하면 [eqn: 288]의 약수가 된다.

따라서 구하는 약수의 개수는 곱의 법칙에 의하여 [eqn: 6 times 3 = 18](개)

38

②

답

해

설

숫자의 합이 짝수가 되는 것은 두 숫자가 (i) 모두 짝수이거나 (ii) 모두 홀수인 경우이다.

(i)의 경우  [eqn: 4 times 5 = 20](개)

(ii)의 경우  [eqn: 5 times 5= 25](개)

따라서 구하는 두 자리 자연수의 개수는

[eqn: 20+25 = 45](개)

39

③

답

해

설

(i) [eqn: rm A -> B -> A`:~2 TIMES 2=4](가지)

(ii) [eqn: rm A -> B -> C -> A`:~2 TIMES 3 TIMES 4=24](가지)

(iii) [eqn: rm A -> C -> B -> A`:~4 TIMES 3 TIMES 2=24](가지)

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 4+24+24=52](가지)

40

①

답

해

설

[eqn: 10x+20y+50z=150]

[eqn: THEREFORE x+2y+5z=15``(x GEQ `1,~y GEQ 1,~z GEQ 1)]

(i) [eqn: z=1]일 때 [eqn: x+2y=10]에서 [eqn: x geq1]이므로
[eqn: y=1 ,~2 ,~3 ,~4]의 [eqn: 4]가지

(ii) [eqn: z=2]일 때 [eqn: x+2y=5]에서 [eqn: x geq1]이므로
[eqn: y= 1,~2]의 [eqn: 2]가지

(i), (ii)에서  [eqn: 4+2=6](가지)

41

④

답

해

설

눈의 수의 합이 [eqn: 3]인 경우 [eqn: 2]가지, [eqn: 6]인 경우 [eqn: 5]가지, [eqn: 9]인 경우 [eqn: 4]가지, [eqn: 12]인 경우 [eqn: 1]가지

[eqn: therefore 2+5+4+1=12](가지)

42

③

답

해

설

[eqn: 10,000]원짜리로 지불할 수 있는 방법은 [eqn: 6]가지, [eqn: 1,000]원짜리, [eqn: 100]원짜리로 지불할 수 있는 방법은 각각 [eqn: 8]가지, [eqn: 4]가지이므로 구하는 가지 수는

[eqn: 6 TIMES 8 times 4 -1=191](가지)

43

①

답

해

설

[eqn: x+y=4]를 만족시키는 [eqn: x,~y]의 값은 [eqn: x=1,~y=3] 또는 [eqn: x=2,~y=2] 또는 [eqn: x=3,~y=1]

각각의 경우에 해당하는 점 [eqn: rmP]의 위치를 모두 모아서 그림으로 나타내면 ①과 같다.

확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		1. 순열과 조합			정답
	02 순열

01

⑤

답

해

설

(i) [eqn: a,~□,~□,~□,~□,~f]와 같이 배열하는 경우이므로 [eqn: b,~c,~d,~e]의 [eqn: 4]개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수를 구하면 된다. 즉, [eqn: m= 4! =24](가지)

(ii) [eqn: a,~b,~c]를 하나의 문자로 생각하면 [eqn: 4]개의 문자를 일렬로 배열하는 방법의 수는 [eqn: 4!]이고, 그 각각에 대하여 [eqn: a,~b,~c]를 일렬로 배열하는 방법의 수는 [eqn: 3!]이므로

[eqn: n=4! times3! =24 times 6 = 144](가지)

(i), (ii)에서  [eqn: m+n=24+144=168]

02

②

답

해

설

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 두 학생 사이에 들어갈 학생 한 명을 택하는 경우의 수는 [eqn: 6]명의 학생에서 [eqn: 2]명의 학생을 제외한 [eqn: 4]가지이다. 이때 [eqn: rmA,~B] 두 학생과 뽑힌 학생 한 명을 하나로 생각하면 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 전체를 일렬로 배열하는 경우의 수는

[eqn: 4! times 2 ! = 48](가지)

따라서 구하는 경우의 수는  [eqn: 4times 4 8= 192](가지)

03

③

답

해

설

[eqn: 32000]보다 작은 다섯 자리의 정수는

[eqn: 1□□□□,~2□□□□,~31□□□]의 꼴이다.

(i) [eqn: 1□□□□]의 꼴인 경우

[eqn: 1]을 제외한 나머지 [eqn: 4]개를 뒷부분에 나열하면  [eqn: 4!]

(ii) [eqn: 2□□□□]의 꼴인 경우

[eqn: 2]를 제외한 나머지 [eqn: 4]개를 뒷부분에 나열하면  [eqn: 4!]

(iv) [eqn: 31□□□]의 꼴인 경우

[eqn: 1,~3]을 제외한 나머지 [eqn: 3]개를 뒷부분에 나열하면  [eqn: 3!]

(i), (ii), (iii)에서  [eqn: 4! + 4! + 3! = 24+ 24+ 6 = 54]

04

③

답

해

설

소설책 [eqn: 4]권을 하나로 생각하면, 소설책과 시집 [eqn: 3]권을 책꽂이에 꽂는 방법의 수는  [eqn: (1+3) ! = 4! = 24]

이때 각각의 경우에 대하여 소설책 [eqn: 4]권의 자리를 바꾸는 경우의 수가 [eqn: 4! = 24]이므로 구하는 방법의 수는

[eqn: 24 times 24= 576]

05

③

답

해

설

한 자리의 수: [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{1} =2], 두 자리의 수:  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{2} =4],

세 자리의 수: [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{3} =8], 네 자리의 수:  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{4} =16],

다섯 자리의 수: [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{5} =32]

[eqn: ∴ 2+4+8+16+32=62]

06

④

답

해

설

[eqn: 2]명의 후보에서 [eqn: 6]명을 택하는 중복순열의 수와 같다.

[eqn: ∴{} _{2} SMALLPROD _{6} =64]

07

③

답

해

설

(i) [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 함수의 개수는  [eqn: {} _{4} SMALLPROD _{3} =64]

(ii) [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 일대일함수의 개수는  [eqn: {} _{4} rm P it rm _{3}= 4times 3times 2 = 24]

(i), (ii)에서 [eqn: p=64,~ q=24]이므로  [eqn: p+q=88]

08

③

답

해

설

(i) [eqn: rmA ->C:~ 4! over 3! = 4]

(ii) [eqn: rmC -> C ':~1]

(iii) [eqn: rmC' ->B :~ 5! over 3!times2! = 10]

[eqn: therefore 4times 1 times 10 =40]

09

⑤

답

해

설

[eqn: 7]개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수에서 [eqn: 0]이 처음에 오는 경우의 수를 빼면 되므로

[eqn: 7! over 2!3! - 6! over 2!3! = 420- 60= 360]

10

②

답

해

설

[eqn: rmde]를 [eqn: rmx]로 생각하여 [eqn: 6]개의 문자 [eqn: rms,~ t,~ u,~ x,~ n,~ t]를 일렬로 배열한다.

[eqn: ∴ 6! over 2! =360]

11

③

답

해

설

‘․’와 ‘-’에서 [eqn: n]개를 뽑아 전신 부호를 만드는 방법의 수는  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{n} =2 ^{`n}]

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{1} +{} _{2} SMALLPROD _{2}+{} _{2} SMALLPROD _{3}+cdots+{} _{2} SMALLPROD _{n} ge 100]에서

[eqn: {2(2 ^{n} -1)} over {2-1} GEQ 100~~~therefore n ge 6]

따라서 주어진 기호를 최소한 [eqn: 6]개는 써야 한다.

12

③

답

해

설

[eqn: 999]가지 중에서 박수를 치지 않는 경우의 수는 [eqn: 3,~ 6,~ 9]가 들어가지 않는 숫자이다.

즉, [eqn: 0,~ 1,~ 2,~ 4,~ 5,~ 7,~ 8]로 중복을 허락해서 만들 수 있는 자연수이다.

(i) 한 자리의 수: [eqn: 6](가지)

(ii) 두 자리의 수: [eqn: 6times {} _{7} SMALLPROD _{1} =42](가지)

(iii)‹세 자리의 수: [eqn: 6 TIMES _{7} SMALLPROD _{2} = 6 times 7 ^2 = 294](가지)

[eqn: ∴ 6+42+294=342]

13

⑤

답

해

설

(i) [eqn: 4]개의 접시에 [eqn: 1]개씩 담으려면 과일 [eqn: 4]개가 필요하므로 [eqn: 3]종류의 과일에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 뽑는다.

[eqn: THEREFORE x= _{3} SMALLPROD _{4} =3 ^{4} =81]

(ii) [eqn: 3]개의 과일을 모두 한 접시에 담아도 되므로 [eqn: 4]

개의 접시 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 뽑는다.

[eqn: THEREFORE y= _{4} SMALLPROD _{3} =4 ^{3} =64]

[eqn: ∴ x-y=81-64=17]

14

④

답

해

설

오른쪽 그림의 도로망에서 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]로 가는 최단 경로의 수는  [eqn: {6!} over {3!3!} =20]

이때, [eqn: rmA->P ->B]의 경우는 [eqn: 1]가지, [eqn: rmA->Q->B]의 경우도 [eqn: 1]가지이다

따라서 구하는 최단 경로의 수는  [eqn: 20-(1+1)=18]

15

②

답

해

설

(i) [eqn: (3,~3,~3,~1),~(3,~3,~3,~2)] ➡ [eqn: 2 times 4! over 3! = 8]

(ii) [eqn: (2,~2,~3,~3)] ➡ [eqn: 4! over 2!2! = 6]

(iii) [eqn: (1,~2,~2,~3),~(1,~2,~3,~3)] ➡ [eqn: 2 times 4! over 2! = 24]

[eqn: ∴ 8+6+24=38]

16

①

답

해

설

[eqn: 3]의 배수는 자연수 각 자리 숫자의 합이 [eqn: 3]의 배수이면 되므로

(i) [eqn: (1,~1,~2,```` 2)] ➡ [eqn: 4! over 2!2! = 6]

(ii) [eqn: (1,~2,~3,```3)] ➡ [eqn: {4!} over {2!} =12]
[eqn: (2,~2,~2,```3)] ➡ [eqn: {4!} over {3!} =4]

(iii) [eqn: (3,~3,~3,```3)] ➡ [eqn: 1]

[eqn: ∴ 6+12+4+1=23]

17

④

답

해

설

(i) 같은 숫자가 있는 경우

[eqn: (2,~2,~8,````9)] ➡ [eqn: {4!} over {2!} =12]

[eqn: (2,~8,~8,````9)] ➡ [eqn: {4!} over {2!} =12]

[eqn: (2,~8,~9,````9)] ➡ [eqn: {4!} over {2!} =12]

(ii) 같은 숫자가 없는 경우

[eqn: (2,~8,~9)] 이외에 [eqn: 7]가지의 숫자를 사용할 수 있으므로

[eqn: 7times 4! = 168]

[eqn: ∴ 36+168=204]

18

[eqn: 30]

답

해

설

(i) [eqn: 1□□□□□ 1]일 때, 빈칸에 [eqn: 2,~ 2,~ 3,~ 3,~ 3]이 오는 경우의 수이므로  [eqn: {5!} over {2!3!} =10]

(ii) [eqn: 1□□□□□2]일 때, 빈칸에 [eqn: 1,~2,~3,~3,~3]이 오는 경우의 수이므로  [eqn: {5!} over {3!} =20]

[eqn: ∴ 10+20=30]

19

③

답

해

설

세 여학생을 한 묶음으로 생각하면 원탁에 둘러앉는 방법의 수는  [eqn: (5-1)! =4!]

이때, 세 여학생이 자리를 바꾸는 방법의 수는  [eqn: 3!]

[eqn: THEREFORE 4! TIMES 3 ! = 144]

20

②

답

해

설

[eqn: 6]명을 원형으로 앉게 하는 방법의 수는

[eqn: (6-1)! =5!]

이때, 기준이 되는 위치에 따라 [eqn: 2]가지의 다른 경우가 생기므로

[eqn: 5!times2=240]

21

⑤

답

해

설

(i) 정사각뿔의 밑면에 숫자를 적는 방법의 수는  [eqn: 5]

(ii) [eqn: 4]개의 옆면에 숫자를 적는 방법의 수는

[eqn: (4-1)! = 3!]

[eqn: ∴ 5times 3! = 30]

22

④

답

해

설

특정한 숫자, 이를테면 [eqn: 1]을 한 면에 써넣으면 [eqn: 1]과 마주보는 면에 들어가는 숫자는 [eqn: 2,~3,~ 4,~ 5,~ 6]의 [eqn: 5]가지이고, 이때 각 경우에 나머지 네 면에 [eqn: 4]개의 숫자를 넣는 방법의 수는  [eqn: (4-1)! =6]

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 5times 6=30]

23

③

답

해

설

ㄱ. 정오각뿔의 옆면을 [eqn: 5]가지 색으로 칠하는 방법의 수는 원순열로 생각하면  [eqn: (5-1)! =4! =24] (참)

ㄴ. 우체통을 각각 [eqn: rmA,~ B]라고 하면 [eqn: 2]개의 문자 [eqn: rmA,~ B]에서 [eqn: 5]개를 택하는 중복순열의 수와 같다.

[eqn: ∴ _{2} SMALLPROD _{5}=2^5 =32] (거짓)

ㄷ. 같은 것이 있는 순열이므로  [eqn: 5! over2!2! =30] (참)

24

③

답

해

설

[eqn: 10]명이 둘러앉는 원순열을 생각하면  [eqn: (10-1)! = 9!]

그런데 다음 그림과 같이 각각의 경우에 대하여 [eqn: 2]가의 다른 경우가 있다.

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 2times 9!]

25

④

답

해

설

함수 [eqn: f]의 총 개수는  [eqn: {} _{4} SMALLPROD _{3} =4 ^{3} =`64]

[eqn: f(1)=1]인 경우는 집합 [eqn: left{2,~ 3right}]에서 집합
[eqn: left{1,~ 2,~ 3,~ 4right}]로의 함수의 개수와 같으므로

[eqn: {} _{4} SMALLPROD _{2} =4 ^{2} =`16]

따라서 [eqn: f(1)` != 1]인 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 64-16=48]

26

⑤

답

해

설

(i) [eqn: 6]명의 식구가 앉는 모든 방법의 수는

[eqn: (6-1)! =120]

(ii) 부모님이 이웃하여 앉는 방법의 수는 부모님을 한 사람으로 보고 계산한 뒤 어머니와 아버지가 자리를 바꿔 앉는 경우로 생각하면  [eqn: (5-1)!times 2=48]

(i), (ii)에서 구하는 방법의 수는  [eqn: 120-48=72]

27

③

답

해

설

(i) [eqn: rmA->P ->B]인 경우: [eqn: 1]

(ii) [eqn: rmA->Q ->B]인 경우: [eqn: 6! over 5!1! times 5! over 4!1! = 30]

(iii) [eqn: rmA->R ->B]인 경우: [eqn: 7! over 6!1! =7]

(i), (ii), (iii)에서 구하는 방법의 수는

[eqn: 1+30+7=38]

28

⑤

답

해

설

(i) 재욱이, 재연이, 선생님을 한 묶음으로 묶으면 [eqn: 6]명이 원탁에 앉는 경우의 수는  [eqn: (6-1)! =5! =120]

(ii) 재욱이와 재연이가 모두 선생님과 이웃하며 앉는 방법은 (재욱, 선생님, 재연), (재연, 선생님, 재욱)의 [eqn: 2]가지

(i), (ii)에서 구하는 방법의 수는  [eqn: 120times 2=240]

29

⑤

답

해

설

ㄱ. 짝수는 [eqn: 2,~4,~ 6]의 [eqn: 3]개이고 홀수는 [eqn: 1,~ 3,~ 5,~ 7]의 [eqn: 4]개이므로 홀수 [eqn: 2]개는 반드시 이웃하게 된다. (거짓)

ㄴ. 짝수 [eqn: 2,~4,~ 6]을 한 묶음으로 묶으면 [eqn: 5]개를 원 위에 나열하는 방법의 수는 [eqn: (5-1)!]이고, 짝수 묶음에서 짝수를 나열하는 방법의 수는 [eqn: 3!]이므로

[eqn: (5-1)! cdot3! =144] (참)

ㄷ. 홀수 [eqn: 1,~ 3,~ 5,~ 7]을 원 위에 나열하는 방법의 수는 [eqn: (4-1)!]이고, 이때 홀수 사이의 네 곳에 짝수 [eqn: 2,~4,~ 6]을 배열하는 방법의 수는 [eqn: {}_4 rmP _3]이므로

[eqn: (4-1)! times {}_4 rmP_3 =144] (참)

30

①

답

해

설

(i) [eqn: 1,~ 2,~ 3]으로 중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리의 수:  [eqn: {} _{3} SMALLPROD _{4} =3 ^{4`} =81]

(ii) [eqn: 1,~3]만으로 중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리의 수:  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{4} =2 ^{4`} =16]

(iii) [eqn: 2,~3]만으로 중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리의 수:  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{4} =2 ^{4`} =16]

이때, (ii), (iii)에서 [eqn: 3333]이 중복되므로 구하는 자연수의 개수는  [eqn: 81-16-16+1=50]

31

②

답

해

설

[eqn: 2` → `3` →` 4]의 순서를 유지해야 하므로 [eqn: 2,~ 3,~ 4]를 모두 [eqn: a]로 바꾸고, [eqn: 1,~ 1,~ a,~ a,~ a]를 일렬로 배열한 후 첫 번째의 [eqn: a]는 [eqn: 2]로, 두 번째의 [eqn: a]는 [eqn: 3]으로, 세 번째의 [eqn: a]는 [eqn: 4]로 각각 바꾸면 된다.

따라서 같은 것을 포함하는 순열이므로 구하는 방법의 수는  [eqn: 5! over 2!3! =10]

32

③

답

해

설

윤아, 현미, 상희를 묶어서 한 사람으로 생각하면 [eqn: 5]명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는

[eqn: (5-1)! =4! =24]

또 각각에 대하여 윤아를 가운데 두고 현미와 상희가 서로 자리를 바꾸어 앉는 방법의 수는  [eqn: 2! =2]

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 24times 2=48]

33

[eqn: 24]

답

34

[eqn: 90]

답

35

①

답

해

설

[eqn: rmSKY]를 한 문자로 보고, 나머지 네 문자 [eqn: rm E,~L,~O,~V]와 함께 [eqn: 5]개의 문자를 일렬로 배열하는 경우의 수는  [eqn: 5!]

36

④

답

해

설

깃발의 모양이 좌우대칭이므로 앞면과 뒷면은 색의 배열이 다르지만 한 가지 경우이다.

따라서 구하는 깃발의 개수는  [eqn: 5! over 2 = 60]

37

[eqn: 48]

답

해

설

[eqn: 2]명을 각각 한 조로 생각하여 세 조를 일렬로 배열하는 방법의 수는  [eqn: 3!]

각 조의 두 명끼리 자리를 바꾸는 방법의 수는  [eqn: 2^3]

[eqn: THEREFORE 3!times`2 ^{3`}= 48]

38

(1) ②   (2) [eqn: 24]

답

해

설

(1) 부모를 [eqn: 1]인으로 생각하여 모두 [eqn: 5]명이 원탁에 둘러 앉는 방법의 수는

[eqn: (5-1)! = 24]

그 각각에 대하여 부모가 서로 자리를 바꿔 앉는 방법의 수는  [eqn: 2]

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 24 times 2 = 48]

(2) 아버지의 자리를 정하면 어머니의 자리는 반대쪽으로 정해지므로 나머지 [eqn: 4]명의 가족이 앉는 방법의 수만 구하면 된다.

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 4! =24]

39

(1) [eqn: 12]   (2) [eqn: 36]

답

해

설

(1) 남학생이 원탁에 둘러 앉는 방법의 수는

[eqn: (3-1)! =2!]

남학생 사이의 세 자리에 여학생이 앉는 방법이 수는 [eqn: 3!]

[eqn: therefore 2! times 3! =12]

(2) 남학생 [eqn: 3]명을 [eqn: 1]인으로 묶어서 생각하여 [eqn: 4]명이 둘러 앉는 방법의 수는  [eqn: (4-1)! =3!]

남학생끼리 자리를 바꿔 앉는 방법의 수는  [eqn: 3!]

[eqn: therefore 3! times 3! = 36]

40

(1) [eqn: 64]   (2) [eqn: 48]

답

해

설

(1) [eqn: Y]의 원소 [eqn: 4]개 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 택하여 순서대로 배열하는 방법의 수와 같다.

[eqn: therefore][eqn: {} _{4} SMALLPROD _{3} =4 ^{3} =`64]

(2) [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 중에서 [eqn: f(1)=1]인 경우의 수는 [eqn: {} _{4} SMALLPROD _{2}]가지이므로 [eqn: f(1)` != 1]인 경우의 수는

[eqn: {} _{4} SMALLPROD _{3} - _{4} SMALLPROD _{2} =4 ^{3`} -4 ^{2} =`48]

41

[eqn: 32]

답

해

설

[eqn: x in X]에 대하여 [eqn: f(x)=1] 또는 [eqn: f(x)=-1]이므로

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{5} =2^5 = 32]

42

[eqn: 63]

답

해

설

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{6} -1=2 ^{6} -1=63]

43

④

답

해

설

원점에서 점 [eqn: rmA(1,~3)]까지 최단 거리로 움직이는 경우는 위쪽 방향으로 [eqn: 3]칸, 오른쪽 방향으로 [eqn: 1]칸 움직여야 한다. 그런데 모두 [eqn: 6]번 움직여야 하므로 아래쪽 방향으로 [eqn: 1]칸 움직인 후 다시 위쪽 방향으로 [eqn: 1]칸 움직여야 한다.

오른쪽으로 [eqn: 1]칸 움직이는 경우를 [eqn: a], 왼쪽으로 [eqn: 1]칸 움직이는 경우를 [eqn: a'],

위쪽으로 [eqn: 1]칸 움직이는 경우를 [eqn: b], 아래쪽으로 [eqn: 1]칸 움직이는 경우를 [eqn: b']이라고 하면

원점에서 점 [eqn: rmA(1,~3)]으로 움직이는 경우의 수는 [eqn: a]를 [eqn: 2]개, [eqn: a']을 [eqn: 1]개, [eqn: b]를 [eqn: 3]개 배열하는 경우의 수와 [eqn: a]를 [eqn: 1]개, [eqn: b']을 [eqn: 1]개, [eqn: b]를 [eqn: 4]개 배열하는 경우의 수의 합과 같다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6! over 2!3! + 6! over 4! = 60+ 30=90]

44

①

답

해

설

모음 [eqn: rmA], [eqn: rmA], [eqn: rmE], [eqn: rmI]와 자음 [eqn: rmC], [eqn: rmH], [eqn: rm M], [eqn: rm M], [eqn: rmS], [eqn: rmT], [eqn: rmT]를 일렬로 배열하는 경우의 수는 각각 [eqn: 4! over 2! ,~ 7! over 2!cdot2!]이고 순서를 바꿀 수 있으므로

[eqn: 4! over 2! cdot~ 7! over 2!cdot2! cdot 2! = 3! cdot 7!]

45

④

답

해

설

알파벳	숫자	알파벳	숫자	알파벳	숫자	알파벳	숫자
□
숫자	알파벳	숫자	알파벳	숫자	알파벳	숫자	알파벳

표에서 알파벳 칸에 알파벳을 중복하여 배열하는 경우의 수는

[eqn: {} _{26} SMALLPROD _{4} =26 ^{4}]

표에서 숫자 칸에 숫자를 중복하여 배열하는 경우의 수는

[eqn: {} _{10} SMALLPROD _{4} =10 ^{4}]

한편, 알파벳과 숫자의 위치를 표와 같이 바꿀 수 있으므로 구하는 비밀번호의 개수는

[eqn: 26 ^{4} TIMES 10 ^{4} TIMES 2 & =2 TIMES 260 ^{4}# & =2 TIMES (2 ^{2} TIMES 5 TIMES 13) ^{4}# & =2 ^{9} TIMES 5 ^{4} TIMES 13 ^{4}]

[eqn: THEREFORE a+b+c=9+4+4=17]

46

[eqn: 69]

답

해

설

한 화소가 나타내는 데이터의 개수는  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{32} =2 ^{32}]

전체 화수의 개수는  [eqn: 1024` TIMES `768`= 3 times 2^18]

따라서 전체 데이터의 개수는  [eqn: 2^{32 times 3 times 2^18 }= 2 ^{3 times 2^23]

[eqn: therefore a times b = 3 times 23 = 69]

47

④

답

해

설

(홀수, 홀수): [eqn: 3times 3 = 9]

(짝수, 짝수): [eqn: 3 times 3 = 9]

[eqn: therefore 9+9=18]

48

①

답

해

설

[eqn: 1,~3,~5]를 첫 번째, 세 번째, 다섯 번째에 오도록 일렬로 배열하는 방법의 수는  [eqn: 3! = 6]

[eqn: 2,~4]를 두 번째, 네 번째에 오도록 일렬로 배열하는 방법의 수는  [eqn: 2! =2]

[eqn: therefore 6 times 2 =12]

49

[eqn: 105]

답

해

설

[eqn: rmA,~B,~C,~D] 중 적어도 한 전구에 불이 켜지는 경우의 수는  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{4} -1`=`15]

[eqn: rmE,~F,~G] 중 적어도 한 전구에 불이 켜지는 경우의 수는  [eqn: {} _{2} SMALLPROD _{3} -1`=`7]

[eqn: THEREFORE `15` TIMES 7=105]

50

[eqn: 150]

답

해

설

한 문제를 세 사람이 푸는 경우의 수는  [eqn: 5! over 3! times 3 = 60]

두 문제를 각각 두 사람이 푸는 경우의 수는

[eqn: 5! over2!2! times 3 = 90]

[eqn: therefore 60+90 = 150]

51

②

답

해

설

(i) [eqn: 1□□□□□1] 꼴: 빈칸에 [eqn: 2,~2,~3,~3,~3]이 들어가는 경우의 수이므로  [eqn: 5! over 2!3! =10]

(ii) [eqn: 1□□□□□2] 꼴: 빈칸에 [eqn: 1,~2,~3,~3,~3]이 들어가는 경우의 수이므로  [eqn: 5! over 3! =20]

[eqn: therefore 10+20=30]

52

③

답

해

설

일대일대응인 함수 [eqn: f] 전체의 집합을 [eqn: U]라 하고 [eqn: f(1)=1], [eqn: f(5)=5]를 만족시키는 함수의 집합을 각각 [eqn: A,~B]라고 하면 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: n(A ^{c} SMALLINTER B ^{c} ) & =n((A CUP B) ^{c} )# & =n(A)-n(B)+n(A SMALLINTER B)# & =5!-4!+3 ! = 78]

53

[eqn: 60]

답

54

(1) [eqn: 12]   (2) [eqn: 60]   (3) [eqn: 6]

답

해

설

(1) [eqn: {}_4 rm P _2 = 4 times 3 =12]

(2) [eqn: {} _{5} rm P _{3} =5 TIMES 4 TIMES 3=60]
(3) [eqn: {} _{3} rm P _{3} = 3 times 2times1 = 6]

55

(1) [eqn: 6]   (2) [eqn: 24]

답

해

설

(1) [eqn: 3! = 3 times 2 times 1= 6]
(2) [eqn: 4! = 4times 3times 2times1 = 24]

56

[eqn: 8]가지

답

해

설

[eqn: 2]개 중에서 [eqn: 3]개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{3} =2 ^{3} =`8](가지)

57

[eqn: 24]가지

답

해

설

[eqn: 5! over 5 = (5-1)! = 4! = 4times 3times 2times 1 = 24](가지)

58

[eqn: 90]가지

답

해

설

[eqn: 6! over2!2!2! = 90](가지)

59

(1) [eqn: 4]   (2) [eqn: 3]

답

해

설

(1) [eqn: {} _{n} rm P _{2} = it n(n-1)=12]

[eqn: n^2 -n -12=0,~(n-4)(n+3)=0]

[eqn: therefore n=4~(because n ge 2)]
(2) [eqn: 5 CDOT _{4} rm P _{2} =5 times (4 times 3 ) = 5 times 4times 3 = {}_5 rmP _ 3 = {}_ 5 rmP _{itn}]

[eqn: therefore n=3]

60

[eqn: 1190]가지

답

해

설

[eqn: 35]명에서 [eqn: 2]명을 택하는 순열의 수이므로

[eqn: {}_ 35 rmP _ 2 = 35 times 34 = 1190](가지)

61

[eqn: 360]가지

답

해

설

[eqn: 6]명에서 [eqn: 4]명을 택하는 순열의 수이므로

[eqn: {} _{6} rm P _{4} =6 TIMES 5 TIMES 4 TIMES 3=360](가지)

62

[eqn: 96]개

답

해

설

[eqn: 5]개의 숫자를 일렬로 배열하여 만들 수 있는 모든 경우에서 만의 자리의 숫자가 [eqn: 0]인 경우를 제외하면 된다.

[eqn: THEREFORE 5! - 4! = 120- 24 = 96](개)

63

[eqn: 48]개

답

해

설

[eqn: 5]개의 숫자 중 [eqn: 3]개를 택하는 순열의 수 중에서 백의 자리가 [eqn: 0]인 경우를 제외하면 된다.

[eqn: THEREFORE {}_5 rmP _ 3 - {}_ 4 rmP _ 2 = 60-12= 48](개)

64

[eqn: 32]가지

답

해

설

[eqn: 2]개 중에서 [eqn: 5]개를 택하는 중복순열의 수이므로

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{5} =2 ^{5} =`32](가지)

65

[eqn: 243]가지

답

해

설

[eqn: 3]개 중에서 [eqn: 5]개를 택하는 중복순열의 수이므로

[eqn: {} _{3} SMALLPROD _{5} =3 ^{5} =`243](가지)

66

[eqn: 8]가지

답

해

설

한 가운데 칠할 색을 고르는 방법의 수는 [eqn: 4]가지이고, 그 각각에 대하여 나머지 세 군데에 칠하는 방법의 수는 원순열의 수와 같으므로

[eqn: (3-1) ! = 2! = 2](가지)

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 4 times 2 = 8](가지)

67

[eqn: 10080]

답

해

설

다음 네 가지는 모두 같은 경우로 볼 수 있다.

[eqn: therefore 8! over 4 = 10080]

68

(1) [eqn: 180]가지   (2) [eqn: 420]가지  (3) [eqn: 50400]가지

답

해

설

(1) [eqn: 6]개의 문자 중에서 [eqn: rmc]가 [eqn: 1]개, [eqn: rmo]가 [eqn: 1]개, [eqn: rmf]가 [eqn: 2]개, [eqn: rme]가 [eqn: 2]개 있으므로

[eqn: 6! over 1!1!2!2! = 180](가지)

(2) [eqn: 7]개의 문자 중에서 [eqn: rms]가 [eqn: 3]개, [eqn: rmu]가 [eqn: 1]개, [eqn: rmc]가 [eqn: 2]개, [eqn: rme]가 [eqn: 1]개 있으므로

[eqn: 7! over 3!1!2!1! = 420](가지)

(3) [eqn: 10]개의 문자 중에서 [eqn: rms]가 [eqn: 3]개, [eqn: rmt]가 [eqn: 3]개, [eqn: rma]가 [eqn: 1]개, [eqn: rmi]가 [eqn: 2]개, [eqn: rmc]가 [eqn: 1]개 있으므로

[eqn: 10! over{ 3!3!1!2!1!} = 50400](가지)

69

(1) [eqn: 11]   (2) [eqn: 7]

답

해

설

(1) [eqn: {} _{n} rm P _{2} =it n (n-1) =110]이므로

[eqn: n^2 - n -110=0]

[eqn: (n+10)(n-11)=0]

[eqn: therefore n=11~(because n ge 2)]

(2) [eqn: {}_n rmP_ 5 = 12 cdot {}_{itn} rmP _3]에서

[eqn: n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)# =12n(n-1)(n-2)]

[eqn: n(n-1)(n-2)(n ^{2}-7n) =0]

[eqn: n^2 (n-1)(n-2)(n-7) =0]

[eqn: therefore n= 7~(because n ge 5)]

70

[eqn: 60]개

답

해

설

[eqn: 5]개에서 [eqn: 3]개를 택하는 순열의 수와 같으므로

[eqn: {} _{5} rm P _{3} =5 TIMES 4 TIMES 3=60](개)

71

[eqn: 32]

답

해

설

후보 이름 [eqn: 2]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 배열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{5} =2 ^{5} =`32](가지)

72

[eqn: 360]

답

해

설

다음 두 가지는 서로 같은 경우로 볼 수 있다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6! over 2 = 360]

73

[eqn: 20]

답

해

설

[eqn: {6!} over {3!3!} `=`20]

74

[eqn: 360]개

답

해

설

[eqn: 7]개의 숫자를 배열하는 경우의 수에서 맨 앞에 [eqn: 0]이 오는 경우의 수를 빼면 되므로

[eqn: 7! over 3!2! - 6! over3!2! = 360](개)

75

풀이 참조

답

해

설

(1) [eqn: it n CDOT _{n-1} rm P _{it r-1 rm} & = it n TIMES {(n-1)!} over {LEFT { (n-1)-(r-1) RIGHT } !}# & ={n(n-1)! } over(n-r)! = n! over(n-r)! =_{n} rm P _{it r}]
(2) [eqn: {} _{it n-1 rm } rm P _{it r rm} + it r CDOT _{it n-1} rm P _{it r-1 rm}# = {it (n-1)! rm} over {( it n-1-r)! rm} + {it r(n-1)! rm} over {it (n-r)! rm}# = {(n-r)(n-1)!`+r(n-1)!} over {(n-r)!}# = {(n-1)!(n-r+r)} over {(n-r)!} = {n(n-1)!} over {(n-r)!}# = {n!} over {(n-r)!} = _{it n rm} rm P _{it r rm}]

76

[eqn: 311]번째

답

해

설

(i) [eqn: rm a□□□□□,~ rm b□□□□□]: [eqn: 5!` TIMES 2 =240](가지)

(ii) [eqn: rm ca□□□□,~c rm b□□□□]: [eqn: 4!` TIMES `2`= 48](가지)

(iii) [eqn: rm cda□□□,~cd rm b□□□,~cde□□□]

[eqn: 3!` TIMES `3`= 18](가지)

(iv) [eqn: rm cdfa□□,~ rm cdfb□□]: [eqn: 2!` TIMES `2 = 4](가지)

(i)~(iv)에 의하여 [eqn: rmcdfeab]는

[eqn: 240+ 48 + 18+4+1= 311](번째)에 온다.

77

풀이 참조

답

해

설

(1) [eqn: ( it n-r+1) CDOT _{n} rm P _{it r-1 rm} & =( it n-r+1) TIMES {n!} over {(n-r+1)!}# & =` {n!} over {(n-r)!} = _{n} rm P _{it r}]

(2) [eqn: (n+1)!-n!` & =(n+1)n!`-n!# & =n!(n+1)-1# & =n` CDOT `n!]

78

[eqn: 63]

답

해

설

(i) [eqn: 1□□□□~➡~4! = 24](가지)

(ii) [eqn: 2□□□□~➡`4!`=`24](가지)

(iii) [eqn: 31□□□~➡~3 ! = 6](가지)

(iv) [eqn: 32□□□~➡~3 ! = 6](가지)

(v) [eqn: 341□□~➡~2 ! = 2](가지)

따라서 [eqn: 34215]는 바로 다음 항이므로

[eqn: 24+24+6+6+2+1=63](항)

79

[eqn: 600]개, [eqn: 144]개

답

해

설

(i) 구하는 다섯 자리의 정수는

[eqn: {}_ 6 rmP _ 5 - {}_5 rmP _ 4 = 720- 120 = 600](개)

(ii) 끝의 두 자리가 [eqn: 20,~40,~04`]인 경우

[eqn: {}_ 4 rmP _ 3 times3 = 72](개)

끝의 두 자리가 [eqn: 12,~34,~32,~52]인 경우

[eqn: ({}_ 4 rmP _3 - {} _3 rm{ P _ 2 ) times 4 = 72](개)

따라서 구하는 [eqn: 4]의 배수의 개수는

[eqn: 72+72= 144](개)

80

(1) [eqn: 48]   (2) [eqn: 36]

답

해

설

(1) 여자 [eqn: 2]명을 한 사람으로 보고, [eqn: 4]명을 일렬로 세우는 방법의 수는

[eqn: {}_ 4 rmP _ 4 = 4! = 24]

또 그 각각에 대하여 여자 [eqn: 2]명을 서로 바꾸어 일렬로 세우는 방법의 수는

[eqn: {}_2 rmP _ 2 = 2! =2]

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 24 times 2 = 48]

(2) [eqn: 3]명의 남자 중 [eqn: 2]명을 맨 앞과 맨 뒤에 각각 세우는 방법의 수는

[eqn: {} _{3} rm P _{2} =3times 2 =6]

또 그 각각에 대하여 나머지 [eqn: 3]명을 한 줄로 세우는 방법의 수는

[eqn: {} _{3} rm P _{3} =3 ! = 6]

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 6 TIMES 6=36]

81

(1) [eqn: 480]개   (2) [eqn: 240]개

답

해

설

(1)

[eqn: therefore {}_ 6 rmP _ 3 times 4 = ( 6times 5times 4 ) times 4 = 480](개)

(2)

[eqn: THEREFORE _{4} rm P _{2} TIMES _{5} rm P _{2} =(4 TIMES 3) TIMES (5 TIMES 4)=240]

82

(1) [eqn: 144]   (2) [eqn: 720]

답

해

설

(1) 남자를 [eqn: rmM], 여자를 [eqn: rm F]로 나타내면

[eqn: rm M~F~M~F~M```F~M]

과 같이 되어야 하므로 남자를 먼저 세우고 그 사이에 여자를 세우면 된다.

[eqn: THEREFORE 4! times 3! = 24 times 6= 144]

(2) 여자 [eqn: 3]명을 한 사람([eqn: rmF])으로 보고

[eqn: rmM_1 ,~M_2 ,~M_3 ,~M_ 4 ,~F]

를 한 줄로 세우는 방법의 수는

[eqn: 5! = 120]

또 그 각각에 대하여 여자 [eqn: 3]명을 한 줄로 세우는 방법의 수는

[eqn: 3! = 6]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 5! times 3! = 120 times 6 = 720]

83

[eqn: 192](개)

답

해

설

천의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 0]을 제외한 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]의 [eqn: 3]가지이다.

또 그 각각에 대하여 백의 자리, 십의 자리, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]의 어느 숫자도 중복하여 올 수 있으므로 [eqn: {} _{4} SMALLPROD _{3} =4 ^{3}](가지)이다.

따라서 구하는 정수의 개수는

[eqn: 3` TIMES `4^3 = 192](개)

84

(1) [eqn: 125]가지   (2) [eqn: 60]가지

답

해

설

(1) [eqn: Y]의 원소 [eqn: 5]개 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 택하여 배열하는 순열의 수와 같으므로

[eqn: {} _{5} SMALLPROD _{3} =5 ^{3} = 125](가지)

(2) [eqn: Y]의 원소 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 3]개를 택하여 배열하는 순열의 수와 같으므로

[eqn: {} _{5} rmP _{3} =5 times 4 times 3 =60](가지)

85

[eqn: 100]개

답

해

설

백의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 0]을 제외한 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 [eqn: 4]가지이다.

또 그 각각에 대하여 십의 자리와 일의 자리에는 [eqn: 5]개의 숫자 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 2]개를 택하는 순열의 수만큼 배열할 수 있다.

[eqn: therefore 4 cdot {}_5 smallprod _2 = 4 times 5^2 = 100](개)

86

[eqn: 14]가지

답

해

설

집합 [eqn: X=left{ 1,~2,~3,~4 right}]에서 집합 [eqn: Z= left{1,~2 right}`]로의 모든 함수의 개수는

[eqn: {} _{2} SMALLPROD _{4} =2 ^{4}](가지)

이 중에서 [eqn: X]의 모든 원소가 [eqn: Z]의 원소 [eqn: 1]에 대응되는 경우와 [eqn: 2]에 대응되는 경우를 제외하면 된다.

따라서 구하는 함수의 개수는

[eqn: 2^4 - 2 = 14](가지)

87

(1) [eqn: 48]   (2) [eqn: 24]

답

해

설

(1) 부모를 한 사람으로 보고, [eqn: 5]명이 식탁에 둘러앉는 방법의 수는

[eqn: (5-1)! = 24]

또 그 각각에 대하여 부모가 서로 바꿔 앉는 방법의 수는  [eqn: 2]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 24 times 2 = 48]

(2) 부모가 마주 보고 앉으면 다른 [eqn: 4]자리의 위치는 확정된다.

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 4! = 24]

88

[eqn: 30]

답

해

설

특정한 숫자, 이를테면 [eqn: 1]을 한 면에 고정시키면 [eqn: 1]과 마주 보는 면에 들어가는 숫자는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 [eqn: 5]가지

나머지 네 면에 [eqn: 4]개의 숫자를 적는 방법의 수는 원순열이므로  [eqn: (4-1)! = 6](가지)

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 5 times 6 = 30]

89

(1) [eqn: 12]   (2) [eqn: 1440]

답

해

설

(1) 먼저 [eqn: 3]명의 남자가 원탁에 둘러앉는 방법의 수는

[eqn: (3-1)! = 2]

남자들 사이에 [eqn: 3]명의 여자가 앉는 방법의 수는

[eqn: 3! = 6]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 2times 6 = 12]

(2) 남자 [eqn: 5]명이 원탁에 둘러앉는 방법의 수는

[eqn: (5-1)! = 24]

남자들 사이에 [eqn: 5]개의 자리 중에서 [eqn: 3]개를 택하여 여자들이 앉는 방법의 수는

[eqn: {}_5 rmP _3 = 60]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 24 times 60= 1440]

90

[eqn: 90]가지

답

해

설

두 면 (가), (나)에 두 수를 적는 방법의 수는

[eqn: {{}_ 6 rmP _2 } over 2 = 15]

나머지 네 면에 [eqn: 4]개의 수를 적는 방법의 수는 원순열이므로

[eqn: (4-1)! = 6]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 15 times 6 = 90]

91

[eqn: 38]개

답

해

설

(i) 같은 숫자가 [eqn: 3]개 포함될 경우

[eqn: (`1,~1,~1,~2),~(1,~1,~1,~3)] ➡ [eqn: 2times { 4! over3! = 8](개)

(ii) 같은 숫자가 [eqn: 2]개씩 포함될 경우

[eqn: (1,~1,~2,````2)] ➡ [eqn: 4! over2!2! = 6](개)

(iii) 같은 숫자가 [eqn: 2]개만 포함될 경우

[eqn: (1,~1,~2,~3),~(2,~2,~1,~3)] ➡ [eqn: 2 times 4! over 2! = 24](개)

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 8+ 6+ 24 = 38](개)

92

[eqn: 89]

답

해

설

[eqn: 1]과 [eqn: 2]의 개수를 각각 [eqn: x,~y]라고 하면

[eqn: x+2y=10~# (x=0,~1,~2,~ CDOTS ,~10,~y=0,~1,~2,~ CDOTS ,~5)]

(i) [eqn: (x,~y )= (10,~0)]일 경우: [eqn: 1](가지)

(ii) [eqn: (x,~y)= (8,~1)]일 경우: [eqn: 9! over 8! = 9](가지)

(iii) [eqn: (x,~y)= (6,~2)]일 경우: [eqn: 8! over 6!2! = 28](가지)

(iv) [eqn: (x,~y)= (4,~3)]일 경우: [eqn: 7! over4!3! = 35](가지)

(v) [eqn: (x,~y)= (2,~4)]일 경우: [eqn: 6! over 2!4! = 15](가지)

(vi) [eqn: (x,~y)= (0,~5)]일 경우: [eqn: 1](가지)

(i)~(vi)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 1+9+28+ 35+ 15+1= 89]

93

[eqn: 210]

답

해

설

(i) 일의 자리의 숫자가 [eqn: 0]일 경우

[eqn: 6! over 2!3! = 60]

(ii) 일의 자리의 숫자가 [eqn: 2]일 경우

[eqn: 6! over2!2! - 5! over2!2! = 150]

(i), (ii)에 의하여 구하는 짝수의 개수는

[eqn: 60+ 150= 210]

94

[eqn: 114]

답

해

설

[eqn: 2]와 [eqn: 3]의 개수를 각각 [eqn: x]개, [eqn: y]개라고 하면

[eqn: 2x+ 3y =20]

[eqn: (x=0,~1,~2,~cdots,~10,```~y=0,~1,~2,~cdots,~6)]

(i) [eqn: (x,~y)= (10,~0)]일 경우

[eqn: 10! over 10! =1]

(ii) [eqn: (x,~y)= (7,~2)]일 경우

[eqn: 9! over 7!2! = 36]

(iii) [eqn: (x,~y)= (4,~4)]일 경우

[eqn: 8! over 4!4! = 70]

(iv) [eqn: (x,~y)= (1,~6)]일 경우

[eqn: 7! over 6! = 7]

(i)~(iv)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 1+36+70+ 7= 114]

95

[eqn: 19]가지

답

해

설

오른쪽 그림과 같이 두 개의 길 [eqn: a,~b]를 연결했을 때 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수는

[eqn: 7! over4!3! = 35](가지)

[eqn: rmA]에서 [eqn: rmP]까지 가는 최단 경로의 수는 [eqn: 2! over1!1! = 2](가지)이고, [eqn: rmQ]에서 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수는 [eqn: 4! over3!1! = 4](가지)이므로 [eqn: a]를 반드시 거쳐 가는 최단 경로의 수는

[eqn: 2times 4= 8](가지)

[eqn: b]를 반드시 거쳐 가는 최단 경로의 수는

[eqn: 4! over 3!1! times 2! over1!1! = 8](가지)

따라서 구하는 최단 경로의 수는

[eqn: 35- 8-8=19](가지)

96

(1) [eqn: 18]가지   (2) [eqn: 34]가지

답

해

설

(1) 오른쪽 그림과 같이 길을 연결하면 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수는

[eqn: 6! over 3!3! = 20](가지)

[eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]를 반드시 거쳐 가는 경우가 각각 한 가지씩 있으므로 구하는 최단 경로의 수는

[eqn: 20-(1+1)= 18](가지)

(2) 오른쪽 그림과 같이 길을 연결하면 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수는

[eqn: {8!} over {4!4!} =70](가지)

[eqn: rm C]를 반드시 거쳐 가는 최단 경로의 수는

[eqn: 4! over2!2! times 4! over2!2! = 36](가지)

따라서 구하는 최단 경로의 수는

[eqn: 70- 36= 34](가지)

97

(1) [eqn: 14]가지   (2) [eqn: 10]가지

답

해

설

(1)

[eqn: therefore14]가지

(2)

[eqn: therefore10]가지

99

(1) [eqn: 15]가지   (2) [eqn: 38]가지

답

해

설

(1)
[eqn: therefore 15]가지

(2)
[eqn: therefore 38]가지

100

[eqn: 8]가지

답

해

설

(i) [eqn: rmA`->`P`->rmB]로 가는 경우
[eqn: 3! over1!1!1! = 6](가지)

(ii) [eqn: rmA`->`rmQ `-> `B]로 가는 경우
[eqn: 2! over1!1! =2](가지)

(i), (ii)에 의하여 구하는 최단 경로의 수는

[eqn: 6+2 = 8](가지)

101

[eqn: 25]

답

해

설

(i) [eqn: rmA`->`rmP`->`B]로 가는 경우
[eqn: 8]가지

(ii) [eqn: rmA`->`Q`->`B]로 가는 경우
[eqn: rmS]와 [eqn: rmT]를 거쳐서 가는 경우가 각각 [eqn: 2]가지, [eqn: 3]가지 있으므로
[eqn: 2+3= 5](가지)

(iii) [eqn: rmA`->`R`->`B]로 가는 경우
[eqn: 4! over1!1!2! =12](가지)

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 최단 경로의 수는

[eqn: 8+5+12=25](가지)

102

[eqn: 432]

답

해

설

(i) [eqn: a,~b]가 이웃하는 경우의 수는
[eqn: 2! times 5! = 240]

(ii) [eqn: b,~c]가 이웃하는 순열의 수는
[eqn: 2! times 5! = 240]

(iii) [eqn: a,~b]도 이웃하고 [eqn: b,~c]도 이웃하는 경우는 [eqn: abc] 또는 [eqn: cba]로 인접하므로
[eqn: 2times 4! = 48]

(i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 240+ 240 - 48 = 432]

103

③

답

해

설

[eqn: 5]개의 역 중에서 순서를 생각하여 [eqn: 2]개의 역을 택하는 순열의 수와 같으므로

[eqn: {} _ 5 rmP _ 2 = 5 times 4 = 20]

104

[eqn: 648]개

답

해

설

[eqn: 10]개의 숫자 [eqn: 0,~1,~2,~3,~cdots,~9] 중 [eqn: 3]개를 택하는 순열의 수 중에서 백의 자리가 [eqn: 0]인 경우를 제외하면 된다.

[eqn: therefore {}_ 10 rmP _ 3 - {}_ 9 rm P _ 2 = 10 times 9 times 8 - 9 times 8 = 648](개)

105

[eqn: 900]

답

해

설

만의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 1,~2,~cdots,~ 9]의 [eqn: 9]개이고, 천의 자리와 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 [eqn: 0,~1,~2,~cdots,~9]의 [eqn: 10]개다.

한편 십의 자리, 일의 자리의 숫자는 각각 천의 자리, 만의 자리의 숫자와 서로 같으므로 만의 자리, 천의 자리, 백의 자리에 올 수 있는 숫자만 정하면 된다.

따라서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 9 times 10^2 = 900]

106

[eqn: 404]

답

해

설

중복을 허용하여 만들 수 있는 네 자리의 정수의 개수는  [eqn: 4times 5times 5times 5 = 500]

각 자리의 숫자가 모두 다른 네 자리의 정수의 개수는

[eqn: 4times4times 3 times 2= 96]

따라서 중복되는 숫자가 있는 네 자리의 정수의 개수는  [eqn: 500- 96=404]

107

[eqn: 26830]

답

해

설

각 자리의 숫자가 서로 다른 다섯 자리의 자연수의 개수는  [eqn: {}_ 10 rmP _ 5 - {} _9 rmP _ 4 = 30240-3024 = 27216]

그런데 [eqn: 12345] 이하의 자연수는

[eqn: 10□□□] 꼴: [eqn: {}_ 8 rmP _ 3 = 336](개)

[eqn: 120□□] 꼴: [eqn: {}_7 rmP_ 2 = 42](개)

[eqn: 1230□ `] 꼴: [eqn: {} _{6} rm P _{1}= 6](개)

[eqn: 12340]: [eqn: 1]개

[eqn: 12345]: [eqn: 1]개

따라서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 27216-(336+42+6+1+1)= 26830]

108

[eqn: 3024]

답

해

설

[eqn: 12]개의 의자에 네 사람이 앉으므로 빈 의자는 [eqn: 8]개

빈 의자 사이와 양끝의 두 자리, 즉 [eqn: 9]자리에 네 사람을 앉히는 경우의 수와 같으므로

[eqn: {}_ 9 rmP _ 4 = 9times 8 times 7 times 6= 3024]

109

[eqn: 240]가지

답

해

설

다음의 세 가지 경우는 같은 것으로 볼 수 있다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6! over 3 = 240]

110

(가) [eqn: r cdot {}_n-1 rmP _ {itr-1]   (나) [eqn: {}_n-1 rmP _ {itr}]

답

해

설

(i) [eqn: 1]이 포함되어 있는 순열의 수
집합 [eqn: LEFT { 2,~3,~4,~ CDOTS ,~n right }]의 [eqn: n-1]개의 원소 중에서 [eqn: r-1]개를 택한 순열에 [eqn: 1]을 추가하면 된다.
[eqn: THEREFORE _{n-1} rm P _{it r-1 rm} TIMES it r]

(ii) [eqn: 1]이 포함되어 있지 않은 순열의 수
집합 [eqn: LEFT { 2,~3,~4,~ CDOTS ,~n right }]의 [eqn: n-1]개의 원소 중에서 [eqn: r]개를 택한 순열의 수와 같다.
[eqn: THEREFORE _{n-1} rm P _{it r rm}]

(i), (ii)에 의하여

[eqn: {}_n rmP _{itr} = {}_ {it n-1 } rmP _{itr-1} times itr +{}_n-1 rmP _ {itr}]

[eqn: THEREFORE (가)~r cdot {}_n-1 rmP _{itr-1 } ~~(나)~{}_{itn-1 } rmP _{itr}]

111

[eqn: 11520]

답

해

설

배열하는 모든 경우의 수는 [eqn: 5! times 5!]이고, [eqn: rmA]와 [eqn: a]가 대응되는 경우의 수는 [eqn: 5! times 4!]이다.

따라서 [eqn: rmA]와 [eqn: a]가 대응되지 않는 경우의 수는

[eqn: 5! times 5! - 5! times 4! = 5! times 4! times 4 = 11520]

112

[eqn: 25]

답

해

설

[eqn: 1]개의 행의 [eqn: 2]칸 중 적어도 [eqn: 1]칸에 색칠하는 방법은 [eqn: 3]가지이다.

이러한 [eqn: 3]개의 행을 순서를 생각하여 택하는 방법은 [eqn: 3^3]가지이다.

이 중에서 각 행이 모두 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]와 같은 경우는 제외되어야 하므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 3^3 - 2 = 25]

113

[eqn: 60]가지, [eqn: 66]가지

답

해

설

(i) [eqn: rmA]에서 [eqn: rmP]를 지나 [eqn: rmB]로 가는 최단 경로의 수는
[eqn: 4! over2!2! times 5! over3!2! = 69]

(ii) [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]로 가는 최단 경로의 수는
[eqn: {9!} over {5!4!} =126]

따라서 [eqn: rmP]를 지나지 않는 최단 경로의 수는

[eqn: 126-`60=`66]

114

[eqn: 54]

답

해

설

위의 그림과 같이 내부에 길을 연결하면 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수는

[eqn: 6! over 2!2!2! = 90]

[eqn: rmA]에서 중심 [eqn: rmO]를 거쳐 [eqn: rmB]까지 가는 최단 경로의 수는

[eqn: 3! times3! = 36]

따라서 위의 그림에서 표면에 난 길로만 가는 최단 경로의 수는

[eqn: 90- 36 = 54]

115

[eqn: 12]가지

답

해

설

먼저 남학생 [eqn: 3]명을 일렬로 세우는 방법의 수는

[eqn: 3! = 6]

또 그 각각에 대하여 남학생들 사이에 여학생 [eqn: 2]명을 세우는 방법의 수는

[eqn: 2! = 2]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 3! times 2! = 6 times 2 = 12]

116

①

답

해

설

(i) [eqn: rmF]로 시작하는 것의 개수는 [eqn: rmP,~R,~O,~O]를 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로
[eqn: 4! over 2! = 12]

(ii) [eqn: rmO]로 시작하는 것의 개수는 [eqn: rmP,~R,~O,~F]를 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로
[eqn: 4! = 24]

(iii) [eqn: rmP]로 시작하는 것의 개수는 [eqn: rmR,~O,~O,~F]를 일렬로 배열하는 순열의 수와 같으므로
[eqn: 4! over2! =12]

따라서 [eqn: rmPROOF]는 [eqn: rmP]로 시작하는 것 중에서 맨 나중에 나오므로

[eqn: 12+24+12= 48]번째

117

[eqn: 37]가지

답

해

설

[eqn: 1,~2,~3,~4]의 [eqn: 4]개의 숫자 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 택하는 중복순열의 수는

[eqn: {}_ 4 smallprod _3 = 4^ 3]

[eqn: 1,~2,~3]의 [eqn: 3]개의 숫자 중에서 중복을 허용하여 [eqn: 3]개를 택하는 중복순열의 수는

[eqn: {} _{3} SMALLPROD _{3} =3 ^{3}]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 4 ^{3} -3 ^{3`} =`37]

118

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: 1`->`3`->`5]의 순서를 유지한다는 것은 [eqn: 1,~3`,~5]를 같은 숫자로 생각하는 것과 마찬가지이다.

따라서 [eqn: 1,~3,~5] 모두를 [eqn: a]로 바꿔 놓아도 좋다.

즉, [eqn: 2,~2,~a,~a,~a]를 일렬로 배열하는 방법의 수는

[eqn: 5! over 2!3! = 10]

119

[eqn: 720]가지

답

해

설

수학책 [eqn: 3]권 [eqn: rmA,~B,~C]와 다른 책 [eqn: rmD,~E,~F,~G]를 일렬로 세울 때, [eqn: rmA,~B,~C]를 한 권의 책으로 생각하고 [eqn: rmABC,~D,~E,~F,~G] [eqn: 5]권을 일렬로 세우는 방법의 수는

[eqn: 5! = 120]

각각에 대하여 [eqn: rmA,~B,~C]끼리 자리바꿈하는 방법의 수는

[eqn: 3! = 6]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 120 times 6 = 720]

120

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: n!]은 소수 [eqn: 13]을 인수로 가지므로

[eqn: n ge 13]

[eqn: n!]은 소수 [eqn: 17]을 인수로 가지지 않으므로

[eqn: n < 17]

[eqn: n!]은 [eqn: 5^3]을 인수로 가지므로

[eqn: n=15] 또는 [eqn: n= 16]

[eqn: n!]의 인수 [eqn: 2]의 개수는 [eqn: 15]이고 [eqn: 16!]의 인수 [eqn: 2]의 개수는

[eqn: 2=2 ^{1} ,~4=2 ^{2} ,~6=2 ^{1} TIMES 3,~8=2 ^{3} ,~10=2 ^{1} TIMES 5,# 12=2 ^{2} TIMES 3,~14=2 ^{1} TIMES 7,~16=2 ^{4}]

에서

[eqn: 1+2+1+3+1+2+1+4=15]이므로

[eqn: n=16]

121

[eqn: 19980]

답

해

설

[eqn: S=S _{1}times 100 + S_2 times 10 +S_3]

이때 [eqn: S_1]에는 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5]가 각각 [eqn: {}_ 4 rmP _ 2]개씩 더해지므로
[eqn: S_1 = (1+2+3+4+5) times {}_ 4 rmP _2 = 180]

마찬가지로 [eqn: S_2 =S_3 = 180]

[eqn: therefore S= 180(100+10+1)= 19980]

122

[eqn: 30]개

답

해

설

[eqn: 5]개의 자리의 숫자를

[eqn: box{```a```}``box{```b```}``box{```c```}``box{```d```}``box{```e```}]

라고 하면

[eqn: 0 le a,~b,~c,~d,~e le 9,~a not =0]

[eqn: 5]개의 숫자의 곱이 [eqn: 2000]이므로

[eqn: abcde= 2000= 2^4 cdot 5^3]

(i) [eqn: 5,~5,~5,~4,~4~➡~`5! over 3!2! = 10](개)

(ii) [eqn: 5,~5,~5,~2,~8~➡~20](개)

(i), (ii)에 의하여 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 10+20=30]

123

[eqn: 84]

답

해

설

[eqn: 2,~-1]의 해를 갖는 [eqn: x_i]의 개수를 각각 [eqn: a,~b]라고 하면

[eqn: a+b=9,~2a-b=0]

[eqn: therefore a= 3,~b=6]

따라서 구하는 해의 개수는

[eqn: 9! over 3!6! = 9times8times7 over3times2times1 = 84]

124

③

답

해

설

[eqn: rmP]가 [eqn: 1]개, [eqn: rmA]가 [eqn: 1]개, [eqn: rmS]가 [eqn: 2]개이므로 구하는 방법의 수는  [eqn: 4! over 2! = 12]

125

[eqn: 22]

답

해

설

문자 [eqn: a,~b,~c]에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어의 개수는

[eqn: {}_ 3 smallprod _3 = 3^3 = 27]

이 중 수신이 가능한([eqn: a]가 연속되지 않는) 경우는 [eqn: 27]개 중에서 [eqn: a]가 연속인 경우를 제외하면 된다.

[eqn: a]가 연속인 경우는

[eqn: aaa,~aab,```baa,~aac,`caa]

의 [eqn: 5]개이므로 구하는 단어의 개수는

[eqn: 27-`5`=`22]

126

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: 4]개의 섬을 [eqn: rmA,~B,~C,~D]라고 하자.

(i)
[eqn: rmA,~B,~C,~D]를 일렬로 배열하는 순열의 수는
[eqn: 4!`=`24]
이들 중에서 순서가 서로 반대인 두 순열의 연결 방법은 서로 같으므로
[eqn: 24`÷ 2 = 12]

(ii)
한 개의 섬에서 나머지 [eqn: 3]개의 섬을 모두 연결하는 방법의 수는 섬 한 개당 한 가지이므로 모두 [eqn: 4]가지이다.

(i), (ii)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 12+4 =16]

127

②

답

해

설

[eqn: p=3! =3 times2times1=6# q=3! times 2 = 6 times 2 =12# therefore p+q=18]

128

①

답

해

설

[eqn: 3n+n(n-1)=n(n-1)(n-2)# n^2 + 2n = n^3 -3n^2 +2n ,~ n^2 (n-4) = 0# therefore n=0 ~ 또는 ~n=4 ~~~~~ therefore n=4(because n GEQ3)]

129

48

답

해

설

[eqn: (5-1)! times2 = 4! times2=48]

130

④

답

해

설

[eqn: 4! over {2! times 2!} times 5! over {3!times2! }- 4! over {2! times 2! } times 3! over 2! times 2# =60-36=24]

131

⑤

답

해

설

남학생 [eqn: 4]명을 할 줄로 세우는 방법의 수는 [eqn: 4!]

양 끝과 남학생 사이의 [eqn: 5]개의 자리 중에서 [eqn: 3]개를 택하여 여학생 [eqn: 3]명을 세우는 방법의 수는 [eqn: {}_{5} rmP_3]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 4! times _5 rmP_3 = 24 times 60 = 1440]

132

[eqn: 72]

답

해

설

[eqn: (1 ,~6 ,~8)]을 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

[eqn: (2 ,~4 ,~9)]를 배열하는 경우의 수는 [eqn: 3!]

[eqn: therefore~ 3! times 3! times2=72]

133

[eqn: 120]

답

해

설

[eqn: f(n)=1 ,~ f(n+1)=6]

[eqn: n=1 ,~2 ,~3 ,~4 ,~5]이고, 남은 [eqn: 4]개의 원소끼리 일대일 대응하는 방법의 수는 [eqn: 4!]

[eqn: therefore ~ 5times4! =120]

134

⑤

답

해

설

[eqn: (rmi)~ 1 ,~2 ,~3]을 사용한 경우 [eqn: {} _3 SMALLPROD_4 = 3^4 = 81]

[eqn: rm(ii)~ 1 ,~3]만 사용한 경우 [eqn: {} _2 SMALLPROD_4 = 2^4 = 16]

[eqn: rm(iii)~ 2 ,~3]만 사용한 경우 [eqn: {} _2 SMALLPROD_4 = 2^4 = 16]

[eqn: rm(ii) ,~ (iii)]에서 [eqn: 3333]이 중복되므로 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 81-16-16+1=50]

135

④

답

해

설

[eqn: (6-1)!times2=120 times2=240]

136

②

답

해

설

[eqn: 2 ,~3 ,~4]를 모두 [eqn: a]로 바꾸고 [eqn: 1 ,~1 ,~a ,~a ,~a]를 일렬로 배열한 후 첫 번째의 [eqn: a]는 [eqn: 2]로, 두 번째의 [eqn: a]는 [eqn: 3]으로, 세 번째의 [eqn: a]는 [eqn: 4]로 각각 바꾸면 된다.

따라서 같은 것을 포함하는 순열의 수이므로

[eqn: 5! over 2!3! =1 0]

137

⑤

답

해

설

[eqn: (rm i)]합이 [eqn: 6]인 경우 : [eqn: 1 ,~2 ,~3]

[eqn: (rm ii)]합이 [eqn: 9]인 경우 : [eqn: 1 ,~2 ,~6] 또는 [eqn: 1 ,~3 ,~5]

또는 [eqn: 2 ,~3 ,~4]

[eqn: (rm iii)]합이 [eqn: 12]인 경우 : [eqn: 1 ,~5 ,~6] 또는 [eqn: 2 ,~4 ,~6]
또는 [eqn: 3 ,~4 ,~5]

[eqn: (rm iv)]합이 [eqn: 15]인 경우 : [eqn: 4 ,~5 ,~6]

[eqn: therefore ~ 8 times _3rmP_3 = 8 times 3! = 48]

138

[eqn: 11]

답

해

설

[eqn: 4n(n-1)(n-2)-6n(n-1)# -5(n-1)(n-2)(n-3)=0# # n ^{2} -11n+30=0,~(n-5)(n-6)=0# # THEREFORE `n=5````또는```n=6]

따라서 구하는 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 11]이다.

139

(1) [eqn: 3]   (2) [eqn: 24]   (3) [eqn: 720]

답

140

[eqn: 1190]가지

답

141

(1) [eqn: 720]가지   (2) [eqn: 1440]가지

답

해

설

(1) 이웃하는 여자 [eqn: 3]명을 묶어서 한 사람으로 보면 남자 [eqn: 4]명과 함께 모두 [eqn: 5]명을 일렬로 세우는 방법의 수는  [eqn: 5!]가지
그 각각에 대하여 묶음 속의 [eqn: 3]명을 일렬로 세우는 방법의 수는  [eqn: 3!]가지
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: 5!` TIMES 3! = 120 times 6 = 720](가지)

(2) 먼저 남자 [eqn: 4]명을 일렬로 세우고 남자의 양 끝과 사이사이에 여자 [eqn: 3]명을 세우면 된다.
남자 [eqn: 4]명을 일렬로 세우는 방법의 수는  [eqn: 4!]가지
그 각각에 대하여 여자 [eqn: 3]명이 남자의 양 끝과 사이사이의 [eqn: 5]개의 자리 중 [eqn: 3]개의 자리를 택하여 서는 방법의 수는
[eqn: {}_ 5 rmP _ 3]가지
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: 4! times {}_ 5 rmP _ 3 = 24 times 60 = 1440](가지)

142

(1) [eqn: 48]개   (2) [eqn: 33]개

답

해

설

(1) [eqn: 4 times {}_ 4 rmP _ 2 = 4 times( 4times3) = 48](개)

(2) [eqn: 340] 이상인 경우는
(i) [eqn: 34□]인 경우: [eqn: 3]개
(ii) [eqn: 4□□]인 경우: [eqn: {}_ 4 rmP _ 2 = 12](개)
[eqn: therefore 48- ( 3+12) = 33](개)

143

④

답

해

설

[eqn: n(n-1)(n-2)(n-3)=3n(n-1)(n-2)]

등식의 양변을 [eqn: n(n-1)(n-2)]로 나누면

[eqn: n-3=3 ~~~therefore n=6]

[eqn: therefore {}_n rmP _{itn-3 }= _6rmP_3 = 6 times 5 times 4 = 120]

144

④

답

해

설

(i) [eqn: □□□0] : [eqn: {}_4 rmP_3 = 24](개)

(ii) [eqn: □□□2] : [eqn: 3 times{}_3 rmP_2 = 18](개)

(iii) [eqn: □□□4] : [eqn: 3 times{}_3 rmP_2 = 18](개)

따라서 네 자리 짝수의 개수는

[eqn: 24+18+18 = 60](개)

145

[eqn: 81]개

답

146

[eqn: 120]가지

답

147

[eqn: 90]가지

답

148

[eqn: 10]가지

답

149

⑤

해

설

[eqn: f(1)]의 값으로 가능한 것은 [eqn: a ,~b ,~ c]의 [eqn: 3]가지

[eqn: f(2)]의 값으로 가능한 것은 [eqn: a ,~b ,~ c]의 [eqn: 3]가지

[eqn: f(3)]의 값으로 가능한 것은 [eqn: a ,~b ,~ c]의 [eqn: 3]가지

[eqn: f(4)]의 값으로 가능한 것은 [eqn: a ,~b ,~ c]의 [eqn: 3]가지

즉, 집합 [eqn: B]의 원소 [eqn: a ,~b ,~ c]에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개

를 뽑아 [eqn: 1 ,~2 ,~3 ,~ 4]의 함숫값으로 나열하면 된다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_3 SMALLPROD_4 =3^4 = 81](개)

150

②

답

해

설

[eqn: {} _{3} SMALLPROD _{5} =3 ^{5}](가지)

151

(1) [eqn: 144]가지   (2) [eqn: 144]가지

답

해

설

(1) 이웃하는 여자 [eqn: 3]명을 묶어서 한 사람으로 보면 남자 [eqn: 4]명과 함께 모두 [eqn: 5]명이므로 [eqn: 5]명이 원탁에 앉는 방법의 수는

[eqn: (5-1)! = 4!](가지)

그 각각에 대하여 묶음 속의 여자 [eqn: 3]명이 자리를 바꾸는 방법의 수는

[eqn: 3!]가지

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 4! times 3! = 24 times 6 = 144](가지)

(2) 먼저 남자 [eqn: 4]명이 원탁에 앉는 방법의 수는

[eqn: (4-1)! = 6](가지)

그 각각에 대하여 여자 [eqn: 3]명이 남자 사이사이의 [eqn: 4]개의 자리 중 [eqn: 3]개의 자리를 택하여 앉는 방법의 수는

[eqn: {}_4 rmP_3 = 24](가지)

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 6 times 24 = 144](가지)

152

(1) [eqn: 1440]가지   (2) [eqn: 720]가지

답

해

설

(1) [eqn: (7-1)! times 2! = 1440](가지)

(2) 아버지의 자리가 결정되면 어머니의 자리는 자동으로 정해지므로 [eqn: 7]명이 원탁에 앉는 방법의 수와 같다.

[eqn: therefore ~ (7-1)! = 6! = 720](가지)

153

③

답

해

설

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: a], 위로 한 칸 가는 것을 [eqn: b]라고 하자.

(i) [eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmP]지점으로 가는 최단 경로의 수는 [eqn: a ,~ a,~ b ,~b]를 나열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: 4! over {2! 2!](가지)

(ii) [eqn: rmP]지점에서 [eqn: rmB]지점으로 가는 최단 경로의 수는 [eqn: a ,~ a,~a ,~ b ,~b]를 나열하는 방법의 수와 같으므로

[eqn: 5! over {3! 2!](가지)

따라서 구하는 최단 경로의 수는

[eqn: 4! over {2! 2} times 5! over {3! 2} = 60](가지)

154

⑤

답

해

설

[eqn: 7]개의 문자 중에서 [eqn: rms]가 [eqn: 3]개 , [eqn: rm u]가 [eqn: 1]개, [eqn: rmc]가 [eqn: 2]개, [eqn: rme]가 [eqn: 1]개 있으므로 구하는 방법의 수

[eqn: 7! over {3! 1! 2! 1!} = 420](가지)

155

③

답

해

설

가운데 부분에 칠할 수 있는 색은 [eqn: 5]가지

나머지 부분을 칠하는 방법의 수는 [eqn: (4-1)! = 6](가지)

따라서 구하는 방법의 수는  [eqn: 5 times 6 = 30](가지)

156

④

답

해

설

[eqn: rmA]지점에서 [eqn: rmB]지점으로 가는 최단 경로의 수는

[eqn: 8! over5!3! = 56](가지)

[eqn: rmC]지점을 지나는 최단 경로릐 수는

[eqn: 3! over2!1! times 5! over3!2! = 30](가지)

따라서 구하는 최단 경로의 수는

[eqn: 56-30 = 26](가지)

157

[eqn: 38]개

답

해

설

(i) [eqn: (1,~1,~1,``~2),~(1,~1,~1,~3)]:[eqn: 2 times 4! over3!1! = 8](개)

(ii) [eqn: (1,~1,~2,```~2)]:[eqn: 4! over2!2! = 6](개)

(iii) [eqn: (1,~1,~2,````3),~(1,~2,~2,~3)]:[eqn: 2` TIMES 4! over2!1!1! = 24](개)

158

②

답

해

설

[eqn: {} _{n} rm P _{it r+1 rm} +( it r+1) _{n} rm P _{it r rm}# = {it n! rm} over {it (n-r-1)! rm} +( it r+1) CDOT {it n!} over {(n-r)!}# = {(n+1)!} over {(n-r)!} = _{n+1}rmP _ {itr+1}]

159

④

답

해

설

[eqn: 6□□□,~5□□□,~4□□□,~3□□□]

[eqn: ➡] [eqn: 4 TIMES _{5} rm P _{3} =240](개)

[eqn: 26□□,~ 25□□,~ 24□□,~23□□]

➡ [eqn: 4 times {}_ 4 rmP_ 2 = 48](개)

따라서 [eqn: 2300]보다 큰 수는

[eqn: 240+ 48 = 288](개)

160

④

답

해

설

[eqn: rmq], [eqn: rmt], [eqn: rmn], [eqn: rms]를 [eqn: rmA]로 보고 [eqn: rmA]의 자리에 앞에서부터 [eqn: rmq], [eqn: rmt], [eqn: rmn], [eqn: rms]를 넣으면 된다.

[eqn: therefore 9! over 4! = 15120](개)

161

⑤

답

해

설

[eqn: (10-1)! times5 = 9! times5](가지)

162

③

답

해

설

중복을 허락하여 만들 수 있는 네 자리 정수의 개수는

[eqn: 4times5times5times 5= 500](개)

각 자리의 숫자가 모두 다른 네 자리 정수의 개수는

[eqn: 4times 4times 3times 2 = 96](개)

따라서 중복되는 숫자가 있는 네 자리의 정수의 개수는

[eqn: 500-96= 404](개)

163

③

답

해

설

[eqn: rmA~->~C~->~B:~ 4!over{2!2! } times 7! over{5! 2! } = 126](가지)

[eqn: rm A~ -> ~D~ -> ~B:~ {4!} over {3!} TIMES {7!} over {4!3!} =140](가지)

[eqn: rm A~ -> ~E~ -> ~B:~1 TIMES {7!} over {3!4!} =35](가지)

[eqn: THEREFORE 126+ 140 + 35 = 301](가지)

164

[eqn: 546]가지

답

해

설

[eqn: (a-b)(b-c)(c-d)!=0]은 [eqn: a !=b]이고 [eqn: b!=c]이고 [eqn: c!=d]이므로 이 경우의 수는 [eqn: 6times 5times 5times5 = 750](가지)이다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6^4 - 750 = 546](가지)

165

[eqn: 22]개

답

해

설

문자 [eqn: a,~b,~c]에서 중복을 허용하여 세 개를 택하여 만든 단어는 모두

[eqn: {} _{`3`}smallprod_3 = 3^3 = 27](개)

[eqn: a`]가 연속인 경우는 [eqn: aaa,~aab,~baa,~aac,~caa]의 다섯 개이므로 구하는 단어의 개수는

[eqn: 27- 5= 22](개)

확률과 통계	Ⅰ. 순열과 조합		1. 순열과 조합			정답
	03 조합

01

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: n]명의 학생 중에서 대표 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수는

[eqn: {}_n rmC _2 =it { {}_n rmP_2} over 2! = n(n-1) over2]이므로

[eqn: n(n-1) over2 = 45 ,~n(n-1)=90]

[eqn: n^2 - n-90=0,~(n-10)(n+9)=0]

[eqn: thereforen=10(becausen>0)]

02

③

답

해

설

[eqn: {} _{n} rm C _{3} = {it n(n-1)(n-2) rm} over {6} ,~ _{it n rm} rm C _{2} = {it n(n-1) rm} over {2}]이므로

[eqn: (주어진~식)=3 CDOT {n(n-1)(n-2)} over 6 + {n(n-1)} over2 = 18]

[eqn: n(n-1)(n-2)+n(n-1)=36]

[eqn: n(n-1)^2 = 4 cdot 3^2]

[eqn: thereforen=4(therefore n ge 3)]

03

①

답

해

설

주머니 속에 있는 [eqn: 8]개의 공 중에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 뽑는 경우의 수는  [eqn: {}_8 rmC _3 = {8 cdot 7 cdot 6 } over {3 cdot 2 cdot1 }= 56]

이때 흰 공 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 3]개를 뽑는 경우의 수는

[eqn: {} _{5} rm C _{3} = {5 CDOT 4 CDOT 3} over {3 CDOT 2 CDOT 1} =10]

따라서 검은 공이 적어도 하나 포함되는 경우의 수는

[eqn: {} _{8} rm C _{3} - {} _{5} rm C _{3} = 56- 10 = 46]

04

④

답

해

설

서로 다른 [eqn: n]개의 물건 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 순열의 수는  [eqn: {}_n rm{P _2 =itn(n-1)]

서로 다른 [eqn: n]개의 물건 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 조합의 수는  [eqn: {}_n rm{C_2 ={itn(n-1)} over2]

[eqn: therefore {}_n rmP _2 -it {}_n rmC_2 = itn(n-1)- {n(n-1) } over 2 = 36]

[eqn: {n(n-1)} over2 = 36,~n(n-1)= 72]

[eqn: n^2 - n -72 =0,~(n-9)(n+8)= 0]

[eqn: therefore n= 9( because n ge 2 )]

05

⑤

답

해

설

회원 수를 [eqn: n]명이라고 하면 악수한 총횟수는 [eqn: {}_n rmC _2]이므로

[eqn: {}_n rmC_2 = it{n(n-1) } over 2 = 105,~n(n-1)=210]

[eqn: n^2 - n - 210 =0,~(n-15)(n+14) = 0]

[eqn: therefore n = 15](명) ([eqn: because n ge 2])

06

[eqn: 126]

답

해

설

선물 세트체 들어가는 과자, 사탕, 껌의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라고 하면  [eqn: a+b+c= 4]

순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]가

(i) [eqn: (2,~1,~1)]인 경우: [eqn: {}_3 rmC _2 times {}_3 rmC _1 times {} _4rmC_1 = 36](가지)

(ii) [eqn: (1,~2,~1)]인 경우: [eqn: {} _{3} rm C _{1} TIMES _{3} rm C _{2} TIMES _{4} rm C _{1} =36](가지)

(iii) [eqn: (1,~1,~2)]인 경우: [eqn: {} _{3} rm C _{1} TIMES _{3} rm C _{1} TIMES _{4} rm C _{2} =54](가지)

따라서 (i), (ii), (iii)에서 구하는 가짓수는

[eqn: 36+36+54=126]

07

②

답

해

설

여학생 [eqn: 2]명을 뽑는 경우의 수: [eqn: {}_5 rmC _2 = { 5 times 4 } over {2 times1 }=10]

남학생 [eqn: 2]명을 뽑는 경우의 수: [eqn: {} _{7} rm C _{2} = {7 TIMES 6} over {2 TIMES 1} =21]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_5 rmC _2 times{} _{7} rm C _{2} = 10 times 21 = 210]

08

④

답

해

설

[eqn: 200]보다 작은 수는 [eqn: 1□□]의 꼴이고, [eqn: 400]보다 큰 수는 [eqn: 4□□,~5□□]의 꼴이다.

(i) [eqn: 1□□]의 꼴인 경우

[eqn: 1]을 제외한 나머지 [eqn: 4]개의 숫자에서 [eqn: 2]개를 택하여 나열하여야 하므로  [eqn: {} _4 rmC _ 2 times 2 ! = 12]

(ii) [eqn: 4□□]의 꼴인 경우

[eqn: 4]를 제외한 나머지 [eqn: 4]개의 숫자에서 [eqn: 2]개를 택하여 나열하여야 하므로  [eqn: {} _4 rmC _ 2 times 2 ! = 12]

(iii) [eqn: 5□□]의 꼴인 경우

[eqn: 5]를 제외한 나머지 [eqn: 4]개의 숫자에서 [eqn: 2]개를 택하여 나열하여야 하므로  [eqn: {} _4 rmC _ 2 times 2 ! = 12]

(i), (ii), (iii)에서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 12+12+12=36]

09

④

답

해

설

삼각형은 [eqn: 3]개의 점으로 이루어지므로 [eqn: 7]개의 점 중에서 [eqn: 3]개의 점을 택하는 경우의 수는

[eqn: {}_7rmC _3 = { 7 times 6 times 5 } over 3! = 35](가지)

그런데 주어진 그림에서 [eqn: 4]개의 점은 일직선 위에 있고, 일직선 위의 세 점은 삼각형을 만들지 못하므로 구하는 삼각형의 개수는

[eqn: {}_7rmC _3 -{}_4rmC _3 = 35 - 4= 31]

10

②

답

해

설

구하는 방법의 수는 [eqn: 3]개의 학급 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 7]개를 택하는 조합의 수와 같으므로

[eqn: {} _{3+7-1} rm C _{7} = _{9} rm C _{7} = _{9} rm C _{2}=36]

11

③

답

해

설

방정식 [eqn: x+y+z=10]을 만족시키는 [eqn: x,~ y,~ z]의 음이 아닌 정수해의 개수는 [eqn: x,~ y,~ z]에서 중복을 허락하여 [eqn: 10]개를 택하는 조합의 수와 같으므로

[eqn: {} _{3+10-1} rm C _{10} = _{12} rm C _{10} = _{12} rm C _{2} =66]

12

④

답

해

설

집합 [eqn: B]의 원소 [eqn: 5]개 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 골라 작은 수부터 차례로 집합 [eqn: A]의 원소 [eqn: 1,~ 2,~ 3]에 대응시키는 경우이므로 구하는 함수의 개수는

[eqn: {} _{5+3-1} rm C _{3} = _{7} rm C _{3} =35]

13

⑤

답

해

설

입후보자 [eqn: 3]명 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 10]번을 뽑는 조합의 수이므로

[eqn: {} _{3+10-1} rm C _{10} = _{12} rm C _{10} = _{12} rm C _{2} =66]

14

②

답

해

설

모든 학생이 적어도 한 자루의 볼펜을 받아야 하므로 먼저 [eqn: 3]명의 학생에게 볼펜한 자루씩을 나누어 주고, 남은 볼펜 [eqn: 9]자루를 [eqn: 3]명의 학생에게 나누어 주는 경우와 같다. 따라서 서로 다른 [eqn: 3]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 9]개를 택하는 조합의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{3+9-1} rm C _{9} = _{11} rm C _{9} = _{11} rm C _{2} =55]

15

⑤

답

해

설

[eqn: a]를 [eqn: x]개, [eqn: b]를 [eqn: y]개, [eqn: c]를 [eqn: z]개, [eqn: d]를 [eqn: w]개 택한다고 하면

[eqn: x+y+z+w=5]	㉠

이때, 구하는 정수의 개수는 ㉠을 만족하는 음이 아닌 정수의 순서쌍 [eqn: (x,~ y,~ z,~ w)]의 개수와 같다.

따라서 서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택하는 조합의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{4+5-1} rm C _{5} = _{8} rm C _{5} = _{8} rm C _{3} =56]

16

④

답

해

설

세 문자 [eqn: x,~ y,~ z] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 6]개를 택하는 조합의 수와 같으므로

[eqn: {} _{3+6-1} rm C _{6} = _{8} rm C _{6} = _{8} rm C _{2} =28]

17

②

답

해

설

모든 학생이 적어도 [eqn: 2]개의 구슬을 받아야 하므로 먼저 [eqn: 3]명의 학생에게 구슬 [eqn: 2]개씩을 나누어 주고, 남은 구슬 [eqn: 6]개를 [eqn: 3]명의 학생에게 나누어 주는 경우와 같다. 따라서 서로 다른 [eqn: 3]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 6 `]개를 택하는 조합의 수와 같으므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{3+6-1} rm C _{6} = _{8} rm C _{6} = _{8} rm C _{2} =28]

18

④

답

해

설

서로 다른 [eqn: 3]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 35]개를 뽑는 조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_ 3 rmH _35 = {}_ 3+35-1 rmC _35 = {}_ 37 rmC _ 35 = {} _37 C _2 = 666]

19

③

답

해

설

[eqn: a ={}_ 3 rmH _5 = {}_ 3+5-1 rmC _5 = {}_ 7 rmC _ 5 = {} _7 C _2 = 21]

[eqn: b ={}_ 3 rmH _2 = {}_ 3+2-1 rmC _2 = {}_ 4 rmC _ 2 =6]

[eqn: ∴ a+b=21+6=27]

20

③

답

해

설

구하는 함수의 개수는 집합 [eqn: Y]의 [eqn: 5]개의 원소 중에서 3[eqn: 3]개를 선택하는 중복조합의 수와 같다.

[eqn: therefore {}_ 5 rmH _3 = {}_ 5+3-1 rmC _3 = {}_ 7 rmC _3 = 35]

21

②

답

해

설

(i) 단팥빵을 [eqn: 1]개씩 나누어 주고 남은 [eqn: 2]개를 세 사람에게 나누어 주는 방법의 수는  [eqn: {} _{3+2-1} rm C _{2} = _{4} rm C _{2} =6]

(ii) 크림빵을 [eqn: 1]개씩 나누어 주고 남은 [eqn: 4]개를 세 사람에게 나누어 주는 방법의 수는

[eqn: {} _{3+4-1} rm C _{4} = _{6} rm C _{4} = _{6} rm C _{2} =15]

(i), (ii)에 의하여 구하는 경우의 수는　 [eqn: 6times15=90]

22

⑤

답

해

설

[eqn: a= _{3} rm H _{8} = _{3+8-1} rm C _{8} = _{10} rm C _{8} = _{10} C _{2} =45]

[eqn: b= _{3} rm H _{5} = _{3+5-1} rm C _{5} = _{7} rm C _{5} = _{7} rm C _{2} =21]

[eqn: THEREFORE a-b=45-21=24]

23

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: {} _{n+2} rm C _{3} :4 _{n} rm C _{2}]에서

[eqn: {(n+2)(n+1)n} over {6} =4 TIMES {n(n-1)} over {2}# # =n ^{2} +3n+2=12n-12,~(n-2)(n-7)=0# # = therefore ~ n=7( because ~ n !=2)]

24

④

답

해

설

(i) [eqn: f(1)=2,~f(4)=6]일 때, [eqn: f(2)]와 [eqn: f(3)]의 값이 될 수 있는 수는 [eqn: 2,~3,~4,~5,~6] 중 각각 한 개씩이고, [eqn: f(5)]와 [eqn: f(6)]의 값이 될 수 있는 수는 [eqn: 6] 또는 [eqn: 7]이므로 [eqn: f]의 개수는  [eqn: {} _{5} rm H _{2} TIMES _{2} rm H _{2} = _{6} rm C _{2} TIMES _{3} rm C _{2} =45]

(ii) [eqn: f(1)=3,~ f(4)=4]일 때, 마찬가지 방법으로 생각하면 [eqn: f]의 개수는  [eqn: {} _{2} rm H _{2} TIMES _{4} rm H _{2} = _{3} rm C _{2} TIMES _{5} rm C _{2} =30]

(i), (ii).에서 구하는 함수의 개수는  [eqn: 45+30=75]

25

[eqn: 45]

답

해

설

[eqn: 1,~ 2,~ 3,~ cdots ,~ 9]에서 중복을 허용하여 [eqn: 2]개의 숫자를 선택하는 경우이므로 두 장의 카드를 뽑으면 [eqn: a le b]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,~ b)]는 단 하나로 결정된다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 서로 다른 [eqn: 9]개의 숫자에서 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수이므로

[eqn: {} _{9} rm H _{2} = _{10} rm C _{2} =45]

26

②

답

해

설

먼저 [eqn: 3]명의 학생에게 볼펜 한 자루씩을 나누어 주고, 남은 볼펜 [eqn: 9]자루를 [eqn: 3]명의 학생에게 나누어 주는 경우와 같다. 따라서 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 9]개를 택하는 중복조합이므로 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{3} rm H _{9} = _{3+9-1} rm C _{9} = _{11} rm C _{9} = _{11} C _{2} =55]

27

⑤

답

해

설

[eqn: a]를 [eqn: x]개, [eqn: b]를 [eqn: y]개, [eqn: c]를 [eqn: z]개, [eqn: d]를 [eqn: w]개 택한다고 하면[eqn: x+y+z+w=5]	㉠

[eqn: a,~ b,~ c,~ d]가 서로 다른 소수이므로 구하는 정수의 개수는 ㉠을 만족시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍 [eqn: (x,~ y,~ z,~ w)]의 개수와 같다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{4} rm H _{5} = _{4+5-1} rm C _{5} = _{8} rm C _{5} = _{8} C _{3} =56]

28

④

답

해

설

[eqn: 9]장의 카드 중에서 두 장을 뽑는 경우의 수는  [eqn: {}_9 rmC _ 2]

[eqn: 1]의 카드 또는 [eqn: 2]의 카드만 들어 있는 경우의 수는 각각  [eqn: {}_7 rmC _ 1]

따라서 구하는 확률은  [eqn: {{}_7 rmC _1 + {}_7 rmC _1 } over{{}_9 rmC _2 }= 7 over 18]

29

③

답

해

설

금액이 다른 동전이 모두 적어도 한 개씩은 포함되므로 [eqn: 100]원짜리, [eqn: 50]원짜리, [eqn: 10]원짜리 동전 하나씩을 제외한 나머지 동전의 개수는  [eqn: 9-3=6]

따라서 구하는 방법의 수는 서로 다른 [eqn: 3]개에서 [eqn: 6]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

[eqn: {} _{3} rm H _{6} = _{3+6-1} rm C _{6} = _{8} rm C _{6} = _{8} C _{2} =28]

30

[eqn: {}_5 rmC _2 =10], [eqn: {}_5 rmC _ 3 =10]

답

31

[eqn: 15]

답

32

[eqn: 20]가지

답

33

(1) ③   (2) [eqn: 46]

답

해

설

(1) 남자 [eqn: 5]명 중에서 [eqn: 2]명을 선출하는 방법의 수는

[eqn: {} _{5} rm C _{2}]

여자 [eqn: 3]명 중에서 [eqn: 1]명을 선출하는 방법의 수는

[eqn: {} _{3} rm C _{1}]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: {} _{5} rm C _{2} times {} _{3} rm C _{1} ={ 5times 4 }over {2 times1 } times 3 = 30]

(2) 전체 [eqn: 8]명 중에서 [eqn: 3]명을 선출하는 방법의 수는 [eqn: {} _{8} rm C _{3}]이고, 이 중에서 남자만 [eqn: 3]명을 선출하는 방법의 수는 [eqn: {} _{5} rm C _{3}]이므로 구하는 방법의 수는

[eqn: {} _{8} rm C _{3} -{} _{5} rm C _{3} = 8times7times6 over3times2times1 - 5times4times3 over3times2times1 = 56-10=46]

34

[eqn: 450]

답

해

설

[eqn: 10]으로 나눈 나머지가 [eqn: r(r=0,~1,~2,~3,~cdots,~9)]인 수는 각각 [eqn: 10]가지이므로 서로 다른 두 수의 차가 [eqn: 10]의 배수인 경우의 수는  [eqn: 10 times {}_10 rmC _2 = 10 times 10times9 over 2 = 450]

35

①

답

해

설

먼저 [eqn: 5]개의 수를 뽑아서 조건을 만족시키도록 배열하면 되므로

[eqn: {}_9 rmC_5 = {9times8times7times6times5 } over {5times 4 times 3times2times1} = 126]

36

[eqn: 150]

답

해

설

집합 [eqn: A]를 [eqn: 3]개의 그룹으로 나누는 방법의 수는 [eqn: 3]개, [eqn: 1]개, [eqn: 1]개 또는 [eqn: 2]개, [eqn: 2]개, [eqn: 1]개의 두 가지이므로 구하는 함수의 개수는

[eqn: {} _{5} rm C _{3} TIMES _{2} rm C _{1} TIMES _{1} rm C _{1} TIMES {1} over {2!} TIMES 3!+ _{5} rm C _{2} TIMES _{3} rm C _{1} TIMES _{1} rm C _{1} TIMES {1} over {2!} TIMES 3!# =150]

37

②

답

해

설

(i) 정사각형인 각 면의 네 꼭짓점 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 직각삼각형이므로 그 개수는

[eqn: {}_4 rmC _3 times6 = 4 times 6= 24]

(ii) 사각형 [eqn: rmABGH]와 같은 직사각형의 네 꼭짓점 중 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 직각삼각형이므로 그 개수는  [eqn: {}_4 rmC _3 times6 = 4 times 6= 24]

따라서 구하는 직각삼각형의 개수는

[eqn: 24+24=48]

38

[eqn: 90]

답

해

설

[eqn: 4]개의 가로선 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 방법의 수는

[eqn: {}_4 rmC _2]

[eqn: 6]개의 세로선 중에서 [eqn: 2]개를 택하는 방법의 수는

[eqn: {}_6 rmC _ 2]

[eqn: therefore {}_4 rmC _ 2 times {}_6 rmC _ 2 = 4times3 over 2times1 times 6times5 over 2times1 = 90]

39

[eqn: 156]

답

해

설

평행한 두 직선은 교점을 만들지 않으므로

[eqn: {} _{n} rm C _{2} -1= {it n(n-1) rm} over {2} -1=54~~~thereforeit` n=11]

평행한 직선 [eqn: 2]개와 나머지 직선 [eqn: 9]개로 만들어지는 삼각형의 개수는

[eqn: {}_11 rmC _3 - {}_2 rmC _2 times {}_9 rmC _1 = 11times10times9 over 3times2times1 -9 = 156]

40

[eqn: 275]

답

해

설

[eqn: a _{n} & =(n각형의~대각선의~총~개수)# & = _{n} rm C _{2} -itn #&={n(n-1)} over2 - n = {n(n-3)} over2]

[eqn: THEREFORE sum _{n=4} ^{13} a _{n} & = sum _{n=4} ^{13} {n(n-3)} over {2}# & = sum _{n=1} ^{10} {n(n+3)} over {2}# & = {1} over {2} sum _{n=1} ^{10} (n ^{2`} +3n)# & =` {1} over {2} LEFT ( {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} +3 TIMES {10 TIMES 11} over {2} RIGHT )#&=275]

41

[eqn: 968]

답

해

설

[eqn: n]각형의 개수는  [eqn: a _{n} = _{10} rm C _{itn}]

[eqn: THEREFORE sum _{n=3} ^{10} a _{n`} & = _{10} rm C _{3} + _{10} rm C _{4} + _{10} rm C _{5} + CDOTS + _{10} rm C _{10}# & =2 ^{10`} -({}_10 rmC _0 +{}_10 rmC _1 + {}_10 rmC _2 )#&=1024 -56=968]

42

③

답

해

설

[eqn: {}_45 rmC _ 6 = 45! over 6!39!]

43

[eqn: 126]

답

해

설

[eqn: A>B>C>D]가 성립하는 자연수의 전체 개수는

[eqn: {}_10 rmC _ 4 = {10times9times8 times 7 } over {4times3 times2times1 }= 210]

[eqn: 9000]보다 큰 수는  [eqn: {}_9 rmC _3 = {9 times8times7} over{3times2times1}= 84]

[eqn: therefore210-84=126]

44

[eqn: 22]

답

해

설

(1) 세로선 중에서 [eqn: 2]개, 가로선 중에서 [eqn: 2]개를 택하면 되므로  [eqn: {}_4 rmC _2 times {}_4 rmC _2 = 36]

(2) 정사각형의 개수는 [eqn: 9+4+1=14]이므로

[eqn: 36-14=22]

45

①

답

해

설

곱한 수를 소인수분해했을 때 [eqn: 2]의 인수가 적어도 세 개 있어야 한다.

(i) 세 장의 카드 중에 [eqn: 8]이 있을 때  [eqn: {}_9 rmC _2 = 36]

(ii) 세 장의 카드 중에 [eqn: 8]은 없고 [eqn: 4]가 있을 때

[eqn: {}_3 rmC _1 times {}_5 rmC _1 + {}_3 rmC _2 =18]

(iii) 세 장의 카드에 [eqn: 8,~4]가 모두 없을 때  [eqn: 1]

[eqn: therefore36+ 18+1= 55]

46

⑤

답

해

설

[eqn: (2^10 -2 ) - {}_ 10 rmC _ 5 = 770]

47

①

답

해

설

소화기를 놓는 객실 [eqn: 4]개를 제외한 [eqn: 8]개의 객실(□)을 일렬로 배열하면

□∨□∨□∨□∨□∨□∨□∨□

∨로 표시된 [eqn: 7]군데 중 [eqn: 4]군데를 택하여 소화기를 놓는 객실을 배치하면 되므로

[eqn: {}_7 rmC _4 = {}_ 7 rmC_ 3 = 35]

48

③

답

해

설

원의 내부에 있는 [eqn: x,~y]좌표가 자연수인 점은 [eqn: 9]개이고 그중 일직선 위에 있는 세 점은 삼각형이 아니므로 구하는 삼각형의 개수는

[eqn: {}_9 rmC _ 3 - 8 =76]

49

[eqn: 18]

답

해

설

[eqn: f(3)= 4]인 증가함수의 개수를 구하면 된다.

[eqn: left{1,~2right}]에서 [eqn: left{1,~2,~3right}]으로의 증가함수의 개수는

[eqn: {}_3 rmC_2 = 3]

[eqn: left{ 4,~5right}]에서 [eqn: left{5,~6,~7,~8right}]로의 증가함수의 개수는

[eqn: {}_4 rmC _ 2 = 6]

따라서 구하는 함수의 개수는  [eqn: 3times 6 = 18]

50

[eqn: 150]

답

해

설

구하는 함수의 개수는 서로 다른 [eqn: 5]개의 물건을 세 사람에게 적어도 한 개씩 분배하는 방법의 수와 같다.

(i) ([eqn: 1]개, [eqn: 1]개, [eqn: 3]개)씩 분배하는 경우

[eqn: {} _ 5 rmC _1 times {}_ 4 rmC _ 1 times {}_3 rmC _3 times 1 over 2! times 3! = 60]

(ii) ([eqn: 1]개, [eqn: 2]개, [eqn: 2]개)씩 분배하는 경우

[eqn: {}_ 5 rmC _1 times {}_4 rmC _ 2 times {}_ 2 rm C _2 times 1 over2! times 3! = 90]

[eqn: therefore 60+90=150]

51

(1) [eqn: 10]  (2) [eqn: 15]  (3) [eqn: 1] (4) [eqn: {n(n-1)(n-2) } over 6]

답

해

설

(1) [eqn: {}_ 5 rmC _2 ={{}_ 5 rmP _2} over 2! = 5times4 over 2times1 = 10]

(2) [eqn: {} _{6} rm C _{4} = {{} _{6} rm P _{4}} over 4! ={ 6times 5times4times 3 } over 4times3times2times1 = 15]

(3) [eqn: {}_8 rmC _ 8 = {{}_8 rmP _ 8 } over 8! = 8! over8! =1]

(4) [eqn: {} _{n} rm C _{3} ={{} _{itn} rm P _{3}} over3! =it{n(n-1)(n-2) } over 6]

52

(1) [eqn: r=2]   (2) [eqn: n=11]

답

해

설

(1) [eqn: {} _{10} rm C _{8} = _{10} rm C _{10-8} = _{10} rm C _{2 rm}]
[eqn: THEREFORE r=2]

(2) [eqn: {} _{10} rm C _{3} + _{10} rm C _{4 rm} = _{10+1} rm C _{4} = _{11} rm C _{4 rm}]
[eqn: THEREFORE n=11]

53

(1) [eqn: n=11]   (2) [eqn: r=6]

답

해

설

(1) [eqn: {} _{n} rm C _{5} = _{itn} rm C _{6 rm}]에서 [eqn: 5 != 6]이므로
[eqn: n-5= 6~~~therefore n=11]

(2) [eqn: {} _{10} rm C _{itr} = _{10} rm C _{itr-2 rm}]에서 [eqn: r!=r-2]이므로
[eqn: 10-r=r-2~~~thereforer=6]

54

(1) [eqn: 45]   (2) [eqn: 56]

답

해

설

(1) [eqn: 10]개에서 [eqn: 2]개를 택하는 조합의 수와 같다.
[eqn: therefore {}_10 rmC _2 = {10times 9 } over 2 = 45]

(2) [eqn: 1,~2]를 제외한 [eqn: 3,~4,~5,~cdots,~10]의 [eqn: 8]개 중에서 [eqn: 3]개를 택하는 조합의 수와 같다.
[eqn: therefore{}_ 8 rmC _ 3 = 8times7times6 over3times2times1 = 56]

55

(1) [eqn: 15]개   (2) [eqn: 20]개

답

해

설

(1) [eqn: 6]개에서 [eqn: 2]개를 택하는 조합의 수와 같다.
[eqn: therefore{}_6 rmC _ 2 = {6times 5 } over 2 = 15](개)

(2) [eqn: 6]개에서 [eqn: 3]개를 택하는 조합의 수와 같다.
[eqn: therefore {} _ 6 rmC _ 3 = {6 times 5times 4 }over { 3times2times1 }= 20](개)

56

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: 1,~2,~3,~4,~5,~6]의 [eqn: 6]개의 수 중에서 [eqn: 5]개의 수를 뽑아 작은 수부터 크기순으로 배열하면 된다.

즉, [eqn: 6]개의 수 중에서 [eqn: 5]개의 수를 뽑기만 하면 된다.

[eqn: THEREFORE _{6} rm C _{5} = _{6} rm C _{1} `=6]

57

(1) [eqn: 8]   (2) [eqn: 3]

답

해

설

(1) [eqn: n-3=5]에서  [eqn: n=3+5=8]

(2) [eqn: {} _{8} rm C _{it r-2 rm} = _{8} rm C _{it 2r+1 rm}]에서
[eqn: r-2=2r+1] 또는 [eqn: 8-(r-2)=2r+1]
[eqn: THEREFORE `r=-3] 또는 [eqn: r=3]
이때 [eqn: r ge 2]이므로  [eqn: r=3]

58

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: {} _{n} rm P _{2} - _{itn} rm C _{2} =21]에서

[eqn: n(n-1) - {n(n-1)} over 2 =21]

[eqn: therefore n(n-1)= 42 = 7cdot 6]

[eqn: therefore n= 7~(because n ge 2)]

59

[eqn: 1287]

답

해

설

[eqn: 17]명의 학생 중에서 특정한 [eqn: 4]명을 제외한 [eqn: 13]명의 학생 가운데서 [eqn: 5]명을 뽑으면 된다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_13 rmC _ 5 = {13times12times11times10times9 } over { 5times 4times3times2times1 }= 1287]

60

[eqn: 120]

답

해

설

[eqn: 12]개의 크레파스 중에서 정해 놓은 색의 크레파스 [eqn: 2]개를 제외한 나머지 [eqn: 10]개의 크레파스 가운데서 [eqn: 3]개를 뽑으면 된다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {}_ 10 rmC _ 3 ={10times 9 times 8 } over {3times2times1}=120]

61

[eqn: 15]명

답

해

설

회원의 수를 [eqn: n]명이라고 하면 악수는 [eqn: 2]명씩 하므로

[eqn: {}_ n rmC _2 = 105]

[eqn: {n(n-1)}over2 = 105]

[eqn: n(n-1)= 210= 15 cdot 14]

[eqn: therefore n=15](명)

62

직선: [eqn: 28]개, 삼각형: [eqn: 56]개

답

해

설

(i) 두 점을 지나는 직선의 개수는
[eqn: {}_8 rmC _ 2 = {8times 7 } over 2times1 = 28]

(ii) 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 개수는
[eqn: {}_8 rmC _ 3 = { 8times 7times 6 } over 3times2times1 = 56]

63

(1) [eqn: 7]   (2) [eqn: 5]

답

해

설

(1) [eqn: {n(n-1)(n-2)(n-3)} over {4!}# = {(n-1)(n-2)} over {2!} + {(n-1)(n-2)(n-3)} over {3!}]
양변에 [eqn: 4!]을 곱하면
[eqn: n(n-1)(n-2)(n-3)#=12(n-1)(n-2)+4(n-1)(n-2)(n-3)]
[eqn: n(n-1)(n-2)(n-7)=0]d
이때 [eqn: n ge 4]이므로  [eqn: n=7]

(2) [eqn: {} _{it n+1 rm } rm C _{it n-2 rm} = _{it n+1 rm} rm C _{it 3 rm}], [eqn: {} _{it n+1 rm } rm C _{it n-1} = _{it n+1 rm} rm C _{it 2 rm}]이므로
[eqn: {} _{it n+1 rm } rm C _{3 rm} + _{it n+1 rm} rm C _{2 rm} =35]
[eqn: {(n+1)n(n-1)} over3! + { (n+1)n } over2! = 35]
양변에 [eqn: 3!]을 곱하면
[eqn: (n+1)n(n-1) +3(n+1)n = 35 times 3!]
[eqn: n(n+1)(n+2) = 5times 6times 7]
이때 [eqn: n ge 2]이므로  [eqn: n=5]

64

[eqn: 91]

답

해

설

[eqn: 9]명의 학생 중 [eqn: 4]명의 농구 선수를 뽑는 방법의 수는 [eqn: {}_9 rmC_ 4]이고, 특정한 두 명을 모두 포함하지 않는 방법의 수는 [eqn: {}_7 rmC _ 4]이다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{9} rm C _{4} - _{7} rm C _{4} & = {9 TIMES 8 TIMES 7 TIMES 6} over {4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1} - {7 TIMES 6 TIMES 5 TIMES 4} over {4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1}# & =126-35=91]

65

(1) [eqn: 3]   (2) [eqn: n=6,~r=3]

답

해

설

(1) [eqn: {} _{it n+2 rm } rm C _{it n-2 rm} + _{it n+2 rm} rm C _{it n-1 rm} =15]에서
[eqn: {} _{it n+2 rm } rm C _{it 4 rm} + _{it n+2 rm} rm C _{3 rm} =15]
[eqn: {(n+2)(n+1)n(n-1)} over 4! + {(n+2)(n+1)n } over 3! = 15]
[eqn: (n+2)(n+1)n(n-1)+4(n+2)(n+1)n# =15 TIMES 4!]
[eqn: n(n+1)(n+2)(n+3)=3 TIMES `4times 5times 6]
[eqn: therefore n = 3~(because n ge 2)]

(2) [eqn: {} _{n} rm P _{it r rm} =120,~ _{it n rm} rm C _{it r rm} =20]이고 [eqn: {} _{n} rm P _{it r rm} = it r! _{it n rm } rm C _{it r rm}]이므로
[eqn: 120=`20` CDOT r!]
[eqn: r! = 6 = 3times2times1]
[eqn: therefore r=3]
따라서 [eqn: {}_n rmP_ 3 = 120]이므로
[eqn: n(n-1)(n-2) =6times 5times 4]
[eqn: therefore n = 6~( because n ge 3)]

66

[eqn: 100]

답

해

설

[eqn: 10]명 중에서 [eqn: 3]명의 대표를 선출하는 방법의 수는 [eqn: {}_10 rmC _3]이고, [eqn: 3]명 모두 남자를 대표로 선출하는 방법의 수는 [eqn: {}_ 6 rmC _ 3]이다.

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: {} _{10} rm C _{3} - _{6} rm C _{3} & = {10 TIMES 9 TIMES 8} over {3 TIMES 2 TIMES 1} - {6 TIMES 5 TIMES 4} over {3 TIMES 2 TIMES 1}# & =120-20=100]

67

[eqn: 60]

답

해

설

다섯 명의 어른 중에서 세 명을 뽑는 방법의 수는 [eqn: {} _ 5 rmC _ 3]이고, 네 명의 어린이 중에서 두 명을 뽀는 방법의 수는 [eqn: {}_ 4 rmC _2]이다.

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: {} _{5} rm C _{3} TIMES _{4} rm C _{2} = _{5} rm C _{2} TIMES _{4} rm C _{2} `= {5 TIMES 4} over {2} TIMES {4 TIMES 3} over {2} =60]

68

[eqn: 60]

답

해

설

[eqn: 4]개의 가로선 중에서 [eqn: 2]개를 택하고, [eqn: 5]개의 세로선 중에서 [eqn: 2]개를 택하면 하나의 평행사변형이 결정된다.

따라서 평행사변형의 개수는

[eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES _{5} rm C _{2} `=6 TIMES 10=60]

69

(1) [eqn: 1001]   (2) [eqn: 420]   (3) [eqn: 986]

답

해

설

(1) [eqn: {} _{14 } rmC _ 4 = {14 times 13 times 12 times 11} over 4times3times2times1 = 1001]
(2) [eqn: {} _{8} rm C _{2} TIMES _{6} rm C _{2} `= {8 TIMES 7} over {2} TIMES {6 TIMES 5} over {2} =420]

(3) [eqn: 4]명 모두 여학생으로 선출하는 방법의 수는
[eqn: {} _{6} rmC _ 4 = {} _{6} rmC _ 2 =15]
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 1001-15=986]

70

(1) [eqn: 90]   (2) [eqn: 15]

답

해

설

(1) [eqn: 6]명 중에서 [eqn: rmA]팀에 들어갈 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수는 [eqn: {} _ 6 rmC _2]이고, 나머지 [eqn: 4]명 중에서 [eqn: rmB]팀에 들어갈 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수는 [eqn: rm{}_ 4 rmC _2]이다. [eqn: rmA]팀과 [eqn: rmB]팀이 정해지면 [eqn: rmC]팀은 저절로 결정되므로 구하는 방법의 수는
[eqn: {} _ 6 rmC _2 times rm _{4} rm C _{2} = 15 times 6 = 90]

(2) 세 팀으로 나누는 방법이 모두 [eqn: x]라고 하자. 세 팀으로 나눈 다음 [eqn: rmA,~B,~C]팀에 배정하는 방법의 수는 [eqn: 3!]이므로 곱의 법칙에 의하여
[eqn: x times 3! = 90]
[eqn: therefore x = 90 over 3! = 15]

71

(1) [eqn: 60]   (2) [eqn: 60]

답

해

설

(1) [eqn: {}_ 6 rmC _3 times {}_ 3 rmC _2 times {}_1 rmC _1 = 20 times 3 times 1 = 60]

(2) [eqn: {}_ 6 rmC _3 times {}_ 3 rmC _2 times {}_1 rmC _1 = 20 times 3 times 1 = 60]

72

(1) [eqn: 35]개   (2) [eqn: 200]개

답

해

설

(1) [eqn: 12]개에서 [eqn: 2]개를 택하는 조합의 수는 [eqn: {}_12 rmC _2]이다.
[eqn: THEREFORE & _{12} rm C _{2} -( _{4} rm C _{2} TIMES 3+ _{3} rm C _{2} TIMES 8)+(3+8)# & = { 12 times 11 } over 2 - left( {4times3 } over 2 times 3 +3times 8 right) +(3+ 8 ) #&= 66-(18+24) +11#&= 35(개)]

(2) [eqn: 12]개에서 [eqn: 3]개를 택하는 조합의 수는 [eqn: {}_12 rmC _ 3]이다.
그런데 일직선 위에 있는 세 점으로는 삼각형이 만들어지지 않는다.
따라서 구하는 삼각형의 개수는
[eqn: {} _{12} rm C _{3} -( _{4} rm C _{3} TIMES 3+ _{3} rm C _{3} TIMES 8)# = {12 TIMES 11 TIMES 10} over {3 TIMES 2 TIMES 1} -(4 TIMES 3+1 TIMES 8)# =220-(12+8)=200(개)]

73

(1) [eqn: 52]개   (2) [eqn: 412]개

답

해

설

(1) [eqn: {}_ 15 rmC _2 -({}_5 rmC _2 times 3 +{} _ 3 rmC _2 times13) +3+13#=105-(10times3+3times13)+16 #=52(개)]

(2) [eqn: {} _{15} rm C _{3} -( _{5} rm C _{3} TIMES 3+ _{3} rm C _{3} TIMES 13)# =455-(10 TIMES 3+1 TIMES 13)# =412(개)]

74

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: 1]을 제외한 [eqn: 2,~3,~4,~5,~6]의 [eqn: 5]개 중에서 [eqn: 3]개를 택하면 된다.

[eqn: THEREFORE _{5} rm C _{3} = _{5} rm C _{2} =10]

75

[eqn: 400]

답

해

설

변 [eqn: rmAB], [eqn: rmCD]에서 세 점씩을 뽑는 방법의 수는 각각 [eqn: {} _ {6} rmC _ 3]이다.

변 [eqn: rmAB], [eqn: rmCD]에서 택한 각각의 세 점을 점 [eqn: rmA,~D]나 [eqn: rmB,~C]에서 가까운 쪽부터 연결하면 세 선분은 만나지 않는다.

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: {} _{6} rm C _{3} TIMES _{6} rm C _{3} `=`20 TIMES 20=400]

76

[eqn: 10]

답

해

설

공역의 원소 중에서 정의역에 대응시킬 [eqn: 3]개의 원소를 택한 다음(택하는 순서는 무시하고) 크기순으로 정의역의 원소에 대응시키면 주어진 조건에 알맞은 함수가 된다.

예를 들어 [eqn: Y]의 원소 중에서 [eqn: 3,~4,~5]를 택하면 된다.

[eqn: 1 -> 3,~2->4,~3->5]와 같이 대응시키면 된다.

따라서 구하는 함수의 개수는

[eqn: {}_ 5 rmC _ 3 = 10]

77

(1) [eqn: 252]   (2) [eqn: 60]   (3) [eqn: 246]   (4) [eqn: 56]

답

해

설

(1) 순서에 관계없이 [eqn: 5]명을 선출하며 남녀의 구분이 없다.
[eqn: therefore {}_ 10 rm C _ 5 = { 10 times 9 times 8times 7 times 6 } over { 5times 4times3times2times1 } = 252]

(2) 남자 [eqn: 6]명 중 [eqn: 2]명, 여자 [eqn: 4]명 중 [eqn: 3]명을 순서에 관계없이 뽑으면 된다.
[eqn: therefore{}_ 6 rmC _ 2 times {} _ 4 rmC _ 3 = 15 times 4= 60]

(3) [eqn: 5]명 모두 남자만 선출하는 사건의 여사건이다.
[eqn: therefore{}_ 10 rmC _ 5 - {}_ 6 rmC _ 5 = 252 - 6 = 246]

(4) 특정한 남녀를 미리 뽑아 놓고 남은 [eqn: 8]명에서 [eqn: 3]명을 선출한다.
[eqn: therefore{}_ 8 rmC _ 3 = 56]

78

⑤

답

해

설

[eqn: rmC,~D,~E,~F]를 일렬로 배열하는 방법의 수는

[eqn: 4! = 4times 3times2 times 1 = 24]

또 그 각각에 대하여 [eqn: rmB]가 [eqn: 4]명의 맨 앞뒤와 그 사이에 [eqn: 2]회 들어가는 방법의 수는

[eqn: {}_5 rmC _2 =10]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 24times 10= 240]

79

[eqn: 10080]

답

해

설

안쪽 [eqn: 4]개의 부분에 칠할 책을 고르는 방법의 수는

[eqn: {}_ 8 rmC _ 4 = {8times7times 6times 5 } over {4times 3times2times1} =70]

또 그 각각에 대하여 칠하는 방법의 수는 원순열의 수와 같으므로

[eqn: (4-1)! =3! = 6]

한편 바깥쪽 [eqn: 4]개의 부분에 네 가지의 색을 칠하는 방법의 수는 순열의 수와 같으므로

[eqn: 4! = 24]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 70 times 6 times 24 = 10080]

80

[eqn: 1560]

답

해

설

각 문제를 조건에 맞게 배당하는 경우는 다음과 같이 나눌 수 있다.

(i) 한 문제를 [eqn: 3]번 배당하고 나머지 세 문제를 [eqn: 1]번 배당하는 경우 (□ [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4])
[eqn: 6! over 3! times 4 = 480]

(ii) 두 문제를 [eqn: 2]번 배당하고 나머지 두 문제를 [eqn: 1]번 배당하는 경우 (□ [eqn: 1,~1,~2,~2,~3,~4])
[eqn: 6! over 2!2! times{}_ 4 rmC _ 2 = 1080]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 480+ 1080 = 1560]

81

[eqn: 72]

답

해

설

[eqn: rmA,~B,~C,~D] 네 회사의 탁구 선수를 각각 [eqn: (a_1 ,~a_2 )], [eqn: (b_1 ,~b_2 ) ,~(c_1 ,~c_2 ) ,~(d_1 ,~d_2 )]라고 하자.

(i) [eqn: rmX,~Y]조로 나누는 방법의 수는
[eqn: 2 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 2=`16]
그런데 [eqn: rmX,~Y]조가 바뀌어도 관계없으므로 [eqn: 2]개의 조로 분류하는 방법의 수는
[eqn: 16 over 2 = 8]

(ii) 예를 들어 [eqn: (a_1 ,~b_1 ,~c_1 ,~d_1 )]의 조에서 [eqn: a_1]과 시합할 파트너의 경우는 [eqn: 3]가지이다.

(iii) 예를 들어 [eqn: (a_2 ,~b_2 ,~c_2 ,~d_2 )]의 조에서 [eqn: a_2]와 시합할 파트너의 경우는 [eqn: 3]가지이다.

(i), (ii), (iii)이 동시에 일어나므로 구하는 방법의 수는

[eqn: 8times 3times 3 = 72]

82

[eqn: 18]

답

해

설

[eqn: f(3)=4]인 증가함수의 개수를 구하면 된다.

[eqn: left{1,~2right}]에서 [eqn: left{1,~2,~3right}]으로의 증가함수의 개수는 [eqn: {}_3 rmC _2]이고, [eqn: left{4,~5right}]에서 [eqn: left{ 5,~6,~7,~8right}]으로의 증가함수의 개수는 [eqn: {}_ 4 rm C _2]이다.

따라서 구하는 함수의 개수느

[eqn: {}_ 3 rmC _ 2 times {}_ 4 rmC _ 2 = 3 times 6 = 18]

83

[eqn: 35]가지

답

해

설

기사를 제외한 택시의 정원이 [eqn: 4]명이므로 [eqn: 4]명, [eqn: 3]명으로 나누어 타는 방법의 수를 구하면 된다.

[eqn: THEREFORE _{7} rm C _{4} TIMES _{3} rm C _{3} = _{7} rm C _{3} TIMES 1=35]

84

[eqn: 2400]

답

해

설

남자 [eqn: 5]명 중 [eqn: 3]명, 여자 [eqn: 5]명 중 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수는  [eqn: {} _{5}rmC _ 3 times {}_ 5 rmC _2 =100]

또 그 각각에 대하여 원탁의 둘레에 앉히는 방법의 수는  [eqn: (5-1)! = 4 ! = 24]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 100times 24 = 2400]

85

[eqn: 90]

답

해

설

서로 다른 [eqn: 3]개의 과제에 각각 [eqn: 2`]명, [eqn: 2]명, [eqn: 2]명을 편성하는 방법의 수이므로

[eqn: {} _{6} rm C _{2} TIMES _{4} rm C _{2} TIMES _{2} rm C _{2} =16 TIMES 6 TIMES 1=90]

86

[eqn: 45]

답

해

설

[eqn: 6]개의 팀 중에서 ◯에 배정될 두 팀을 정하는 방법의 수는  [eqn: {}_ 6 rmC _ 2 = 15]

나머지 네 개의 팀을 [eqn: 2]개의 팀씩 [eqn: 2]조를 나누는 방법의 수는  [eqn: {}_ 4 rmC _ 2 times{}_ 2 rmC _ 2 times 1 over2! = 3]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 15 times 3 = 45]

87

(1) [eqn: 40]   (2) [eqn: 400]

답

해

설

(1) 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형: [eqn: 5times 4 = 20](개)
한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형: [eqn: 4times3=12](개)
한 변의 길이가 [eqn: 3]인 정사각형: [eqn: 3times 2 = 6](개)
한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형: [eqn: 2times1 = 2](개)
따라서 구하는 정사각형의 개수는
[eqn: 20+12+6+2 = 40]

(2) [eqn: 5]개의 가로선 중에서 [eqn: 2]개를 택하고, [eqn: 6]개의 세로선 중에서 [eqn: 2]개를 택하면 하나의 직사각형이 결정된다.
따라서 구하는 직사각형의 개수는
[eqn: {} _{5} rm C _{2} TIMES _{6} rm C _{2} = {5 TIMES 4} over {2} TIMES {6 TIMES 5} over {2} =150]

88

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: 2 _{it n rm } rm C _{2} =` _{itn} rm C _{1} + _{it n rm} rm C _{3}]에서

[eqn: n(n-1)=n+{n(n-1)(n-2)}over6]

[eqn: 6n^2 - 6n = 6n +n^3 -3n^2 +2n]

[eqn: n^3 - 9 n ^2 +14 n = 0]

[eqn: n(n-2)(n-7)= 0]

[eqn: therefore n = 7~(because n ge 3 )]

89

[eqn: 2]

답

해

설

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha beta = {{}_{itn} rmC _4 } over{{}_n rmC _ 2 } = 5 over 2]

[eqn: {n(n-1)(n-2)(n-3) } over 4cdot3cdot2cdot1 = 5 over 2 cdot {n(n-1)}over2]

[eqn: n^2 - 5n + 6 = 30]

[eqn: (n-8)(n+3) = 0]

[eqn: therefore n= 8~(because n ge 4 )]

[eqn: THEREFORE alpha + beta = {{} _{it n} rm C _{3} it} over {{} _{it n} rm C _{2} it} = {{} _{8} rm C _{3} it} over {{} _{it 8} rm C _{2} it} =2]

90

[eqn: 900]

답

해

설

[eqn: 6]명을 [eqn: 2]명씩 [eqn: 3]조로 나누는 방법의 수는

[eqn: {} _{6} rm C _{2} TIMES _{4} rm C _{2} TIMES _{2} rm C _{2} times 1 over 3! = 15]

또 그 각각에 대하여 [eqn: 5]개의 층 중에서 [eqn: 3]개의 층에서 내리는 방법의 수는

[eqn: {}_ 5 rmP _ 3 = 5 times 4times 3 = 60]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 15 times 60 = 900]

91

[eqn: 3600]

답

해

설

[eqn: 5]권의 소설책 중에서 [eqn: 3]권을 뽑는 방법의 수는

[eqn: {}_ 5 rm C _ 3]

[eqn: 3]권의 잡지책 중에서 [eqn: 2]권을 뽑는 방법의 수는

[eqn: {}_ 3 rm C _ 2]

소설책 [eqn: 3]권과 잡지책 [eqn: 2]권을 뽑는 방법의 수는

[eqn: {}_ 5 rmC _ 3 times {}_ 3 rm C _2 = {}_ 5 rmC _ 2 times {}_ 3 rm C _1 = 30]

또 그 각각에 대하여 뽑은 소설책과 잡지책 [eqn: 5]권을 책꽂이에 일렬로 꽂는 방법의 수는

[eqn: 5! =120]

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: 30times 120= 3600]

92

[eqn: 150]

답

해

설

세 사람을 [eqn: rmA,~B,~C]라고 하자.

(i) 한 사람이 세 가지 일을 맡는 경우
[eqn: rmA]가 세 가지 일을 택하는 방법의 수는 [eqn: {}_ 5 rmC _ 3]이고 [eqn: rmB,~C]가 남은 두 가지 일을 맡는 방법의 수는 [eqn: 2]이므로  [eqn: {}_ 5 rm C _ 3 times 2]
[eqn: rmB,~C]의 경우도 마찬가지이므로
[eqn: 3times {}_ 5 rmC _ 3 times 2 = 60]

(ii) 두 사람이 각각 두 가지 일을 맡는 경우
[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 두 가지 일을 택하는 방법의 수는
[eqn: {}_ 5 rmC _ 2 times {}_ 3 rmC _ 2]
[eqn: rmA]와 [eqn: rmC], [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]의 경우도 같으므로
[eqn: 3times {} _ 5 rmC _ 2 times{}_ 3 rm C _ 2 = 90]

(i), (ii)에 의하여 구하는 방법의 수는

[eqn: 60+90= 150]

93

[eqn: 2030]

답

해

설

(i) [eqn: 3]개의 정수가 모두 짝수인 경우의 수는
[eqn: {}_ 15 rmC _3 = 15times14times13 over 3times2times1 = 455]

(ii) [eqn: 3]개의 정수 중 하나는 짝수, [eqn: 2]개는 홀수인 경우의 수는
[eqn: {}_ 15 rmC _ 1 times{}_ 15 rmC _ 2 = 15 times 105 = 1575]

(i), (ii)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 455+ 1575=2030]

94

⑤

답

해

설

[eqn: a= _6rmC_2 times _3 C_1 = 15 times 3=45# b= _9 rmC_3 - _6 C_3 = 84-20 = 64# therefore a+b = 45 + 64 = 109]

95

7

답

해

설

[eqn: {n(n-1)(n-2)(n-3)} over 24 # = {(n-1)(n-2) } over 2 +{(n-1)(n-2)(n-3)} over 6# n(n-3)= 12+4(n-3) ,~ n(n-7)=0# therefore n=7(because~n GEQ4)]

96

75

답

해

설

[eqn: a= _6 rmC_2 times _4 C_2 times _2 C_2 times 1over3! = 15# b= 15 times 3! = 90# thereforeb-a=90-15=75]

97

⑤

답

해

설

[eqn: n(n-1)+ n(n-1) over 2! = 165 ,~ 3n^2 -3n =330 ,#~ (n+10)(n-11)=10 ~~~~therefore n=11(because n GEQ2)]

98

①

답

해

설

[eqn: {}_5 rmC_2 times _n C_2 = {5 times4 }over 2 times n(n-1) over 2 = 30# 5n(n-1)=30 ,~ (n+2)(n-3)=0# therefore n=3(because n GEQ2)]

99

④

답

해

설

[eqn: {}_3rmC_3 + _4 C_3 +_5 C_3 + _6 C_3 = 1+4+10+20 =35]

100

③

답

해

설

[eqn: rm(i)]세 수가 모두 짝수일 때, [eqn: {}_5 rmC_3 =10]

[eqn: rm(ii)]짝수 [eqn: 2]개와 홀수 [eqn: 1]개일 때, [eqn: {} _5 rmC_2 times _5 C_1 = 50]

[eqn: rm(iii)]짝수 [eqn: 1]개와 홀수 [eqn: 2]개일 때, [eqn: {} _2 rmC_1 times _5 C_2 = 20]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 10+50+20=80]

101

②

답

해

설

[eqn: {} _n rmC_2 times _n-1 C_2 = n(n-1) over2! times{ (n-1)(n-2) }over 2! =150# n(n-1)^2 (n-2)=600 ~~~~~thereforen=6]

102

②

답

해

설

[eqn: 6]개의 팀을 [eqn: 2]개의 조로 나누는 방법의 수는

[eqn: {} _6 rmC_3 times _3 C_3 times 1over2!]

각 조에서 부전승으로 올라가는 팀을 정하는 방법의 수는 각각 [eqn: 3]

[eqn: therefore~{} _6 rmC_3 times _3 C_3 times 1over2! times3times3 = 90]

103

64

답

해

설

(가)에서 집합 [eqn: rmA]는 원소 [eqn: 1 ,~2]를 반드시 포함하고, [eqn: 3]은 포함하지 않는다.

(나)에서 집합 [eqn: rmA]는 [eqn: left{ 4 ,~5 ,~6 ,~7 ,~8 ,~9 ,~10}]의 원소 중 [eqn: 4]개 이상 [eqn: 7]개 이하를 포함한다.

주어진 두 조건을 모두 만족하는 집합 [eqn: rmA]의 개수는

[eqn: {}_7rmC_4 + _7 C_5 +_7 C_6 + _7 C_7 = 2^6 = 64]

104

31

답

해

설

[eqn: {}_7rmC_3 - _4rmC_3 =35-4=31]

105

④

답

해

설

[eqn: {{} _{6} rm C _{5} TIMES _{4} rm C _{1} it} over {{} _{10} rm C _{6} it} + {{} _{6} rm C _{6} it} over {{} _{10} rm C _{6} it} = {24} over {210} + {1} over {210} = {5} over {42}]

106

②

답

해

설

[eqn: 6]개 중에 포함된 검은 바둑돌의 개수를 [eqn: x]라 하면

[eqn: {} _x rmC_2 }over {{}_6 rmC_2 }= {itx(x-1)} over{ 6 cdot 5} = 2 over 5]

[eqn: x(x-1)=12,~(x+3)(x-4)=0## THEREFORE `x=4( BECAUSE ~x>0)]

따라서 검은 바둑돌의 개수가 [eqn: 4]이므로 흰 바둑돌의 개수는 [eqn: 2]이다.

107

③

답

해

설

[eqn: a= _{6} rm C _{3} =20,~b=2 TIMES _{6} rm C _{4} =30,~c= _{6} rm C _{5} =6# THEREFORE `a+b-c=20+30-6=44]

108

(1) [eqn: 120]   (2) [eqn: 15]   (3) [eqn: 10]

답

109

(1) [eqn: r=2]   (2) [eqn: n=9]

답

110

[eqn: 56]가지

답

111

②

답

해

설

[eqn: {}_ 8 rmC _ {itr-1} = {}_ 8 rmC _{it3r+1 }]에서

[eqn: r-1=3r+1] 또는 [eqn: 8-(r-1)=3r+1]

[eqn: THEREFORE `r= -1] 또는 [eqn: r=2]

그런데 [eqn: r >0]이므로  [eqn: r=2]

따라서 [eqn: {}_n rmC _ {itr} + {}_ {itn} rmC _{itr+1} = 2 cdot {}_{it2n} rmC _ 1]

[eqn: n(n-1) over2 + {n(n-1)(n-2) } over 6 = 4n]

이것을 정리하면  [eqn: 3(n-1)+ (n-1)(n-2) =24]

[eqn: n^2 - 25 = 0,~(n+5)(n-5) = 0]

그런데 [eqn: n ge 3]이므로  [eqn: n=5]

112

③

답

해

설

[eqn: {} _{it n rm } rm C _{2} = _{n} rm C _{1} + _{it n rm} rm C _{3}]에서
[eqn: n(n-1)=n+{n(n-1)(n-2)} over 6]

[eqn: 6(n-1)= 6+ (n-1)(n-2)], [eqn: n^2 - 9 n + 14 = 0]

[eqn: therefore (n-2)(n-7)=0]

그런데 [eqn: n ge 3]이므로  [eqn: n=7]

113

(1) [eqn: 70]가지   (2) [eqn: 10]가지   (3) [eqn: 65]가지

답

해

설

(1) [eqn: 8]명 중 [eqn: 4]명의 위원을 뽑는 방법의 수는
[eqn: {}_ 8 rmC _ 4 = {8times7times6times 5 } over { 4times3times2 times1 } = 70](가지)

(2) [eqn: rmA]는 포함되지 않고, [eqn: rmB,~C]는 함께 포함되는 방법의 수는 [eqn: rmA,~B,~C] 세 학생을 제외한 [eqn: 5]명 중에서 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수와 같으므로 구하는 방법의 수는
[eqn: {}_ 5 rmC _ 2 = { 5 times 4 } over {2times1 } = 10](가지)

(3) 특정한 세 학생 [eqn: rmA,~B,~C]가 모두 뽑히지 않는 방법의 수는  [eqn: {}_ 5 rmC _ 4 = 5](가지)
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: 70-5 = 65](가지)

114

(1) [eqn: 840]가지   (2) [eqn: 1996]가지  (3) [eqn: 220]가지

답

해

설

(1) [eqn: {}_ 8 rmC _ 3 times {}_ 6 rmC _ 2 = { 8times7times6} over{3times2times1 } times{6times 5 } over {2 times 1 } = 840](가지)

(2) [eqn: {} _{14} rm C _{5} - _{6} rm C _{5} ={14 TIMES 13times12times11times10 } over{ 5 times4times3times2times1 }- 6 = 1996](가지)

(3) [eqn: {}_12 rmC _ 3 = {12 times 11 times10 } over {3times2times1 } = 220](가지)

115

(1) [eqn: 1260]가지   (2) [eqn: 280]가지

답

해

설

(1) [eqn: 9]명 중 [eqn: 4]명을 뽑는 방법의 수는 [eqn: {}_9 rm C _ 4]가지, 이 각각에 대하여 나머지 [eqn: 5]명 중 [eqn: 3]명을 뽑는 방법의 수는 [eqn: {}_ 5 rmC _ 3]가지, 이 각각에 대하여 나머지 [eqn: 2]명 중 [eqn: 2]명을 뽑는 방법의 수는 [eqn: {}_2 rmC _2]가지이다.
따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: {} _{9} rm C _{4} TIMES _{5} rm C _{3} TIMES _{2} rm C _{2} & = {9 TIMES 8 TIMES 7 TIMES 6} over {4 TIMES 3 TIMES 2 TIMES 1} TIMES {5 TIMES 4 TIMES 3} over {3 TIMES 2 TIMES 1} TIMES 1# & =1260(가지)]

(2) [eqn: 3]명씩 [eqn: rmA,~B,~C]의 [eqn: 3]개의 조로 나누는 방법의 수는  [eqn: {} _{9} rm C _{3} TIMES _{6} rm C _{3} TIMES _{3} rm C _{3}](가지)
그런데 [eqn: rm A,~B,~C]의 조의 구분 없이 단지 [eqn: 3]개의 조로 나누게 되면 같은 것이 [eqn: 3!]개씩 있게 된다. 따라서 구하는 방법의 수는
[eqn: {} _{9} rm C _{3} TIMES _{6} rm C _{3} TIMES _{3} rm C _{3} times 1 over3! #= {9 times 8times 7 } over { 3times 2times1 } times{ 6times5times 4 } over { 3times2times1 } times1 times { 1over 6 } #= 280(가지)]

116

②

답

해

설

[eqn: 3]송이, [eqn: 3]송이로 분할하여 [eqn: rmA,~B]에게 나누어 주는 방법의 수이므로

[eqn: left( {}_ 6 rmC _ 3 times{}_ 3 rmC _ 3 times 1over2! right) times2! = 20](가지)

117

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: {}_ n+1 rmC _{itn-2 } + {}_ {itn+1} rmC _ {itn-1} =35]

[eqn: {(n+1)n(n-1) } over 6 + (n+1)n over2 = 35]

[eqn: n(n-1)(n+1) +3n(n+1)=35 cdot 6]

[eqn: n(n+1)(n+2)=5cdot6cdot7]

[eqn: thereforen=5]

118

①

답

해

설

회원 수를 [eqn: n]명이라고 하면
[eqn: {}_ n rmC _ 2 = 105 ,~{itn(n-1) } over2 = 105]

[eqn: n^2 - n - 210 = 0,~(n+14)(n-15) = 0]

[eqn: therefore n = 15](명)

119

③

답

해

설

[eqn: {}_ 4 rmC _ 2 times{}_ 5 rmC _ 2 = 60](개)

120

③

답

해

설

[eqn: left( {}_ 7 rmC _ 3 times {}_ 4 rmC _ 2 times {}_ 2 rmC _ 2 times 1over2! right) times3! = 630](가지)

121

④

답

해

설

[eqn: a= {}_ 5 rmC_ 1 = 5,~itb={}_ 5 rmC_ 3 = 10,~c={}_ 7 rmC_ 3 - 5 -10=20]

[eqn: therefore a+b+c=5+10+20 =35]

122

③

답

해

설

(i) [eqn: 3]명, [eqn: 1]명으로 나누어 타는 방법
[eqn: {}_ 4 rmC_ 3 times {}_ 1 rmC_ 1 times 2! = 8](가지)

(ii) [eqn: 2]명, [eqn: 2]명으로 나누어 타는 방법
[eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES _{2} rm C _{2} TIMES {1} over {2!} TIMES 2 ! = 6](가지)

(i), (ii)에서 구하는 방법의 수는

[eqn: 8+6=14](가지)

123

[eqn: 100]개

답

해

설

[eqn: 10]개의 점 중에서 [eqn: 3]개를 뽑는 방법의 수는

[eqn: {}_ 10 rmC_ 3 = 120](가지)

일직선 위의 [eqn: 4]개의 점 중에서 [eqn: 3]개를 뽑는 방법의 수는

[eqn: {}_ 4 rmC_ 3 = 4](가지)

따라서 구하는 삼각형의 개수는

[eqn: 120-5times 4 = 100](개)

124

③

답

해

설

[eqn: alpha beta = {{}_ n rmC _ 4 } over {{}_ n rmC_ 2 } = 5 over 3]이므로  [eqn: {(n-2)(n-3) } over 12 = 5 over 3]

[eqn: n^2 - 5n -14=0,~(n-7)(n+2)=0]

[eqn: therefore n=7~( because n ge 4)]

[eqn: thereforealpha+beta = {{}_ 7 rmC_ 3 } over {{}_ 7 rmC_ 2 } = 5 over 3]

125

④

답

해

설

[eqn: 3]명 이외의 [eqn: 4]명이 다른 명찰을 갖게 되는 경우는

[eqn: 9]가지

또 자기 명찰을 갖는 [eqn: 3]명을 뽑는 방법의 수는

[eqn: {}_ 7 rmC_ 3]가지

따라서 구하는 방법의 수는

[eqn: {}_ 7 rmC_ 3 times 9 = {7times6times5 } over{3times2times1 }times 9 = 315](가지)

126

[eqn: 84]개

답

해

설

[eqn: 2,~-1]의 해를 갖는 [eqn: x_i]의 개수를 각각 [eqn: a,~b]라고 하면

[eqn: a+b= 9,~2a-b=0]

[eqn: therefore a=3,~b=6]

따라서 구하는 해의 개수는

[eqn: {}_ 9 rmC_3 = 84](개)

127

[eqn: 66]가지

답

해

설

[eqn: {}_ 12 rmC_ 2 = {12times11} over2 = 66](가지)

128

②

답

해

설

(i)
[eqn: 4! = 24](가지)

(ii)
[eqn: 4! over2 = 12](가지)

[eqn: 5]가지 색 중 두 군데에 칠하는 색을 뽑는 방법의 수는 [eqn: {}_ 5 rmC_ 1 = 5](가지)

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 5times (24 + 12) = 180](가지)