미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		2. 정적분의 활용			반 / 번호
	01 넓이					이름

01

정의역이 [eqn: left{x`|`-1 le x le 4 right}]일 때, 곡선
[eqn: y=x^2 -2x-3]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

02

곡선 [eqn: y= sqrt {x-1 }]과 직선 [eqn: y=1] 및 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 1 over3]	② [eqn: 2 over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

03

곡선 [eqn: y=x^2 +x-2]와 직선 [eqn: y=x-1]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 4 over 3]

④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: 5 over 3]

04

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int _{ 1} ^{x } { f(t)}dt=x^3 -ax^2 +2]가 성립할 때, [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

05

곡선 [eqn: x=y ^{3} -y ^{2`} -2y`]와 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 11 over 4]	② [eqn: 35 over 12]	③ [eqn: 37 over 12]

④ [eqn: 13 over 4]	⑤ [eqn: 41 over 12]

06

두 곡선 [eqn: y=ax ^{3`} ,~y=- {1} over {a} x ^{3}]과 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 도형의 넓이가 최소가 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값과 그때의 넓이의 합은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

07

오른쪽 그림은 함수 [eqn: y=f(x)]와 그 역함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프이다. 두 곡선이 두 점 [eqn: (1,~ 1)], [eqn: (4,~ 4)]에서 만나고 [eqn: int _{ 1} ^{4 } {f(x) }dx = 7 over 2]일 때, 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

08

곡선 [eqn: y=x^2 -3x]와 직선 [eqn: y=ax]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: x]축에 의하여 이등분될 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: root {3} of {2} -1]	② [eqn: root {3} of {2} +1]	③ [eqn: 3(root {3} of {2} -1)]

④ [eqn: 3root {3} of {2}]	⑤ [eqn: 3( root {3} of {2} +1)]

09

오른쪽 그림과 같이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A]라고 하자. 이때 [eqn: lim _{n`->`inf} {sum _{k=1} ^{n}} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}]의 값을 [eqn: A]로 나타내면?

① [eqn: {A} over {2}]	② [eqn: A]	③ [eqn: sqrt { 2} A]

④ [eqn: 2A]	⑤ [eqn: 4A]

10

곡선 [eqn: y=x^2]과 이 곡선 위의 점 [eqn: (2,~4)]에서의 접선 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

11

곡선 [eqn: y=x^2 -ax]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=3]으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0<a<3])

12

곡선 [eqn: y=x(x^2 -n)]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 100] 이하가 되도록 하는 모든 양의 정수 [eqn: n]의 개수는?

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

13

두 곡선 [eqn: y=x ^{2} `(x` GEQ `0)]과 [eqn: y= sqrt { x}]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: { 1} over { 3}]	② [eqn: 1} over {2 }]	③ [eqn: { 2} over { 3}]

④ [eqn: 3 over2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

14

오른쪽 그림과 같이 좌표평면에 정사각형 모양의 타일이 가로, 세로가 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 일치되게 놓여 있다. 이 타일에 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프를 경계로 하여 파란색과 노란색을 칠하려고 한다. 파란색과 노란색이 칠해지는 부분의 넓이의 비가 [eqn: 2:3]일 때, [eqn: int _{ 0} ^{15 } {f(x) }dx]의 값을 구하여라.

(단, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: f(x)]의 역함수이다.)

15

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=x^2 -2], [eqn: y=-x^2 + 2 over n^2]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S_n]이라고 할 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} { S_n}]의 값은?

① [eqn: { 8} over { 3}]	② [eqn: { 10} over { 3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 14 over 3]	⑤ [eqn: 16 over 3]

16

오른쪽 그림과 같이 포물선 [eqn: y=x^2]에 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을 내접시킬 때, 포물선과 원으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

17

곡선 [eqn: y=x ^{2} -2x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

18

곡선 [eqn: x=y ^{2}]과 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=1]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

19

곡선 [eqn: y=x ^{eqalign{2`# }}]과 직선 [eqn: y=x+2]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

20

곡선 [eqn: y=x^2 (x-1)]과 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

21

곡선 [eqn: y=x ^{2`} -2□``x``□+1]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

22

곡선 [eqn: y ^{2} =x+1]과 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=2]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 2 over 3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 4 over 3]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 8 over 3]

23

곡선 [eqn: y ^{2}=x]와 [eqn: y]축 및 두 직선 [eqn: y=1,~y=-2]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

24

두 곡선 [eqn: y=x^2 -1]과  [eqn: y=-x^2 +2x+3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

25

오른쪽 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=x^3], [eqn: y= root {3} of {x}]로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.

26

곡선 [eqn: y=x(x-a)]와 [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 서로 같도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하면? (단, [eqn: 0<a<2])

① [eqn: 7 over 6]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 3 over2]

④ [eqn: 5 over 3]	⑤ [eqn: 11 over 6]

27

곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 직선 [eqn: y=3] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

28

곡선 [eqn: y=x ^{2} -x]와 직선 [eqn: y=mx]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: {9} over {2}]가 되도록 하는 양수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

29

곡선 [eqn: |``y`` | =(`|``x`` |-1)^2]으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

30

곡선 [eqn: y= sqrt { x-1}]과 직선 [eqn: y=x-1]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3 over2]

31

[eqn: f(0)=2]이고 [eqn: x ge 0]에서 [eqn: f(x) >0]인 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 그리고 직선 [eqn: x=h]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S(h)]라고 한다. 이때 [eqn: lim _{ h`->`0} { { S(h)} over { h} }]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: h>0])

32

부등식 [eqn: x^2 le y le x le 2y]를 만족시키는 영역의 넓이는?

① [eqn: 5 over 22]	② [eqn: 5 over 24]	③ [eqn: 7 over 46]

④ [eqn: 7 over 47]	⑤ [eqn: 7 over 48]

33

곡선 [eqn: y=-x^2 +1]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 1 over3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

34

곡선 [eqn: x=y^2 -2y]와 직선 [eqn: x=0], [eqn: y=3]으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 2 over 3]	② [eqn: 4 over 3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 8 over 3]	⑤ [eqn: 10 over3]

35

오른쪽 그림과 같이 함수 [eqn: y=x^2 -8x+a]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이 [eqn: A,~ B]에 대하여 [eqn: A : B=1 : 2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: {8} over {3}]	② [eqn: 16 over 3]	③ [eqn: 32 over 3]

④ [eqn: 64 over3]	⑤ [eqn: 128 over 3]

36

곡선 [eqn: y=x(x^2 -n)]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 100] 이하가 되도록 하는 모든 양의 정수 [eqn: n]의 개수는?

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 28]

37

곡선 [eqn: x=y^2]과 직선 [eqn: y=x-2]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 3 over2]	③ [eqn: 5 over 2]

④ [eqn: 7 over 2]	⑤ [eqn: 9 over2]

38

두 곡선 [eqn: y=x^4 +2], [eqn: y=-2x^3 - 2]와 두 직선 [eqn: x=-3], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 나타내는 식은?

① [eqn: int _{ -3} ^{ 3} { (x^4 -x^3 )} dx]	② [eqn: int _{-3} ^{3} {(x ^{4} +2)} dx]

③ [eqn: 2 int _{0} ^{3} {(x ^{4} +4)} dx]	④ [eqn: 2 int _{0} ^{3} {(x ^{4} +x ^{3} )} dx]

⑤ [eqn: 2+2 int _{0} ^{3} {x ^{4}} dx]

39

두 곡선 [eqn: y=x^2 -2x]와 [eqn: y=-x^2 +4]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 8]	② [eqn: 17 over 2]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 19 over 2]	⑤ [eqn: 10]

40

오른쪽 그림에서 곡선 [eqn: y=3x-x^2]과 직선 [eqn: y=ax] 및 [eqn: x=3]으로 둘러싸인 두 부분 [eqn: A,~ B]의 넓이가 같을 때, [eqn: a]의 값은?

(단, [eqn: a>0])

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

41

두 곡선 [eqn: y=x ^{n+1}], [eqn: y=x ^{n+2}]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라고 할 때, 급수 [eqn: sum _{ n=0} ^{ inf}S_n]의 합은?

① [eqn: 1 over 2`]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

42

삼차함수 [eqn: y=f(x)]와 일차함수 [eqn: y=g( x )]의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. 색칠한 부분의 넓이가 [eqn: 16 over 3]일 때, [eqn: f(4)-g( 4 )]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

43

오른쪽 그림과 같이 포물선 [eqn: y=x^2]에 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을 내접시킬때, 포물선과 원으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: pi over 3 - { sqrt { 3} } over { 4}]	② [eqn: {2pi } over {3} - {sqrt {3}} over {4}]	③ [eqn: pi - {3 sqrt {3}} over {4}]

④ [eqn: {3 sqrt {3}} over {4} - {pi } over {3}]	⑤ [eqn: { 5 sqrt { 3} } over { 4} - pi over 3]

44

연속함수 [eqn: f ( x )]가 역함수를 갖고, 다음 세 조건을 만족시킨다.

Ⅰ. [eqn: f(2)=2]

Ⅱ. [eqn: f(4)=4]

Ⅲ. [eqn: int _{ 2} ^{ 4} {f(x) }dx =A`] ([eqn: A]는 상수)

[eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g( x )]라고 할 때, [eqn: int _{ 2} ^{ 4} { g(x)}dx]의 값을 [eqn: A]의 식으로 나타내면?

① [eqn: 6-A]	② [eqn: 8-A]	③ [eqn: 10-A]

④ [eqn: 12-A]	⑤ [eqn: 14-A]

45

오른쪽 그림 같이 [eqn: x ge0]에서 두 곡선 [eqn: y=x^n], [eqn: y=x ^{n+1}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라고 할 때, [eqn: 50 sum _{k=1} ^{48} S _{n}]의 값은?

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

46

오른쪽 그림과 같이 함수 [eqn: y=x ^{ 2}-6x+a]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 대하여 [eqn: A:B=1:2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

47

오른쪽 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{3}]과 직선 [eqn: y=a~(0<a<1)] 및 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=1]로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

48

곡선 [eqn: y=3x-x ^{2}]과 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 [eqn: x=k]가 이등분할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: sqrt { 2}]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: sqrt { 5}]

49

[그림 [eqn: 1]]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 모양의 땅이 포물선을 경계로 분할되어 있다. 이것을 [그림 [eqn: 2]]와 같이 두 부분의 넓이가 변하지 않게 하여 새로운 경계선을 그으려고 한다. 이때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

50

이차함수 [eqn: y=-x ^{2} +(k+2)x-2k]의 그래프와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{1,~}x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S_{ 2}]라 하자. [eqn: S_{ 1}=S _{ 2}]일 때, [eqn: 3k]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: k<2])

51

포물선 [eqn: y=-x ^{2} +3]과 [eqn: x]축 사이에 직사각형을 내접시킬 때, 색칠한 부분의 넓이의 최솟값은?

① [eqn: 4( sqrt { 3}-1)]
② [eqn: 3( sqrt {3} -1)]

③ [eqn: 4( sqrt {2} -1)]
④ [eqn: 3( sqrt {2} -1)]

⑤ [eqn: 2( sqrt {2} +1)]

52

곡선 [eqn: y=1-x ^{2}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

53

두 곡선 [eqn: y=x ^{ 4}+1,~y=-2x ^{ 3}-1]과 두 직선 [eqn: x=-2,~x=2]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S]를 나타내는 식은?

① [eqn: int _{-2} ^{2} {(x ^{4} -x ^{3} )dx}]	② [eqn: int _{-2} ^{2} {(x ^{4} +1)dx}]

③ [eqn: 2 int _{0} ^{2} {(x ^{4} +2)dx}]	④ [eqn: 2 int _{0} ^{2} {(x ^{4} +x ^{3} )dx}]

⑤ [eqn: 2+2 int _{0} ^{2} {x ^{4} dx}]

54

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
[eqn: int _{2} ^{4} {f(x)dx=4}]일 때,
[eqn: int _{1} ^{3} {f ^{-1} (x)dx}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: f ^{-1}]는 [eqn: f]의 역함수이다.)

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		2. 정적분의 활용			반 / 번호
	02 속도와 거리					이름

01

지상 [eqn: 10``rmm]의 높이에서 [eqn: 30``rmm/초]의 속도로 똑바로 쏘아 올린 공의 [eqn: t]초 후의 속도는 [eqn: v(t) = 30-6t]이다. 공이 최고점에 도달했을 때, 지면으로부터의 높이는?

① [eqn: 70``rmm]	② [eqn: 75``rmm]	③ [eqn: 80`` rm m]

④ [eqn: 85`` rm m]	⑤ [eqn: 90`` rm m]

02

어떤 전망대에 설치된 엘리베이터는 [eqn: 1]층에서 출발하여 꼭대기 층까지 올라가는 동안, 출발 후 처음 [eqn: 2]초까지는 [eqn: 3`` rm m/초^2]의 가속도로 올라가고, [eqn: 2]초 후부터 [eqn: 10]초까지는 등속도로 올라가며 [eqn: 10]초 후 부터는 [eqn: -2`rmm/초^2]의 가속도로 올라가서 멈춘다. 이 엘리베이터가 출발하여 멈출 때까지 움직인 거리는 몇 [eqn: rmm]인지 구하여라.

03

자동차가 시속 [eqn: 72``rmkm]의 속력으로 직선 도로를 달리고 있다. 이 차의 운전자가 철도건널목 위험 표지판을 보고 위험 표지판을 지나는 순간부터 브레이크를 작동하여 매초 [eqn: 4`rmm/초]씩 일정한 비율로 속력을 줄였더니 건널목 정지선에 정확히 정지하였다. 이때 건널목 정지선과 위험 표지판 사이의 거리를 구하여라.

04

원점을 동시에 출발하여 [eqn: x]축 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 있다. 출발한 지 [eqn: t]초 후의 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]의 속도가 각각 [eqn: v _{rm P it} =2t,~v _{rmQ}=3t(4-t)]일 때, [eqn: rmP,~Q]가 다시 만날 때까지 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmQ]가 움직인 거리의 차를 구하여라.

05

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v]가 [eqn: v=4-2t]일 때, 다음을 구하여라.
(1) 점 [eqn: rmP]의 [eqn: t=5]에서의 위치
(2) 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]일 때까지 움직인 거리

06

[eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 원점을 출발한 후 시각 [eqn: t]일 때의 속도 [eqn: v]가 [eqn: v=6(t^2 -3t+2)]일 때, [eqn: t=1]에서 [eqn: t=2]일 때까지 움직인 거리는?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5 over 2]

07

[eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]가 원점을 출발하여 시각 [eqn: t]일 때의 속도 [eqn: v]가 [eqn: v=3-3t ^{2}]일 때, 점 [eqn: rmP]가 다시 원점으로 돌아올 때까지 움직인 거리는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

08

지상 [eqn: 5`rmm]의 높이에서 처음 속도 [eqn: 20`` rm m/초]로 위로 발사한 물 로켓의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v]는 [eqn: v=`20-10t~(rmm/초)]라고 할 때, 최고점에 도달했을 때의 지면으로부터의 높이를 구하여라.

09

좌표평면 위에서 원점을 출발하여 [eqn: x]축 위를 움직이는 동점 [eqn: rmP]와 [eqn: y]축 위를 움직이는 동점 [eqn: rmQ]의 속도는 각각 [eqn: 3t ^{2} -`6t], [eqn: -6t ^{2} `+`4t]이다. 점 [eqn: rmP]가 출발 후 다시 원점에 돌아왔을 때, 점 [eqn: rmQ]의 위치의 좌표를 구하여라.

10

초속 [eqn: 20rm`` m]로 똑바로 위로 던져 올린 물체의 [eqn: t]초 후의 속도는 [eqn: v(t)=20-10t]이다. 던지고 나서 [eqn: 6]초 후에 이 물체가 지면에 떨어지도록 하려면 지면으로부터 몇 [eqn: rmm]의 높이에서 던져 올려야 하는가?

① [eqn: 40``rm m]	② [eqn: 45rm`` m]	③ [eqn: 50``rm m]

④ [eqn: 55rm`` m]	⑤ [eqn: 60``rm m]

11

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 속도 [eqn: v ( t )]와 시각 [eqn: t] 사이의 관계가 오른쪽 그림과 같고 출발점의 위치는 [eqn: 5]이다. [eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 7]일 때, [eqn: t=7]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치는?

① [eqn: 19 over 2]	② [eqn: 21 over 2]	③ [eqn: 23 over 2]

④ [eqn: 25 over 2]	⑤ [eqn: 27 over2]

12

어떤 전망대에 설치된 엘리베이터는 [eqn: 1]층에서 출발하여 꼭대기 층까지 올라가는 동안 출발 후 처음 [eqn: 2]초까지는 [eqn: 3rm`` m/s^2]의 가속도로 올라가고, [eqn: 2]초 후부터 [eqn: 10]초까지는 등속도로 올라가며 [eqn: 10]초 후부터는 [eqn: -2 rm ``m/s ^{2}]의 가속도로 올라가서 멈춘다. 이 엘리베이터가 출발하여 멈출 때까지 움직인 거리는?

① [eqn: 28``rmm]	② [eqn: 38``rmm]	③ [eqn: 43``rmm]

④ [eqn: 55``rmm]	⑤ [eqn: 63``rmm]

13

원점을 동시에 출발하여 [eqn: x]축 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP,~ Q]가 있다 출발한 지 [eqn: t]초 후의 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ`]의 속도가 각각 [eqn: v_{rmP} =2t,~ v_{rmQ} =3t(4-t)]일 때, [eqn: rmP,~ Q]가 다시 만날 때까지 두 점이 실제로 움직인 거리의 차를 구하여라.

14

[eqn: x]축 위를 움직이는 물체의 속도 [eqn: v]와 시각 [eqn: t]사이의 관계가 오른쪽 그래프와 같다. [eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 실제로 움직인 거리가 [eqn: {9} over {2}]일 때, [eqn: t=3]에서 [eqn: t=6]까지 실제로 움직인 거리는?

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

15

원점을 출발하여 [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]의 [eqn: t]초 후의 속도 [eqn: v]가 [eqn: v=t ^{ 2}-4t]로 주어질 때, 점 [eqn: RMP]가 다시 원점을 지나는 시각은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

16

원점을 출발하여 [eqn: x]축 위를 움직이는 두 동점 [eqn: RMP,~Q]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 각각 [eqn: f(t),~g(t)]이다. 다음 중 [eqn: RMP,~Q]가 원점의 반대 방향에 있는 시각 [eqn: t]를 구하는 부등식은?

① [eqn: f(t)g(t)<0]

② [eqn: int _{0} ^{t} {f(t)g(t)dt>0}]

③ [eqn: int _{0} ^{t} {f(t)g(t)dt<0}]

④ [eqn: int _{0} ^{t} {f(t)dt int _{0} ^{t} {} g(t)dt>0}]

⑤ [eqn: int _{0} ^{t} {f(t)dt int _{0} ^{t} {} g(t)dt<0}]

17

원점을 출발하여 [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]의 [eqn: t]초 후의 속도는 [eqn: v=6-2t]이다. 점 [eqn: RMP]가 다시 원점을 지날 때까지 움직인 거리를 구하시오.

18

고속열차가 출발하여 [eqn: 3 ``rm `km]를 달리는 동안은 시각 [eqn: t]에서의 속력이 [eqn: v(t)= {3} over {4} t ^{2} + {1} over {2} t(rm`km/분)]이고 그 이후로는 속력이 일정하다. 출발 후 [eqn: 5]분 동안 이 열차가 달린 거리를  구하시오.

(단, 단위는 [eqn: rm`km])

19

공중에서 지면에 수직으로 번지 점프를 한 사람이 점프한 지 [eqn: t]초 후의 속도가
[eqn: v(t)=-9□t-2□+18(rm`m/초)(0 LEQ t LEQ 4)]
일 때, [eqn: 4]초 동안 낙하한 거리를 구하시오.

(단, 단위는 [eqn: rm`m])

20

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]가 있다. 원점을 출발하여 [eqn: t]초 후의 속도가 [eqn: v(t)=4t-1]일 때, 다음을 구하시오.
(1) [eqn: t=3]에서의 점 [eqn: RMP]의 좌표
(2) [eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: RMP]가 실제로 움직인 거리

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		2. 정적분의 활용			정답
	01 넓이

01

③

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{3} {(-x ^{2} +2x+3)} dx+ int _{3} ^{4} {(x ^{2} -2x+3)dx}# = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} +3x RIGHT ] _{-1} ^{3} + LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -x ^{2} -3x RIGHT ] _{3} ^{4}# = {32} over {3} + {7} over {3} =13]

02

④

답

해

설

[eqn: y= sqrt { x-1}]에서 [eqn: x=y^2 +1~(y ge 0)]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{ 1} { x}dy = int _{ 0} ^{ 1} { (y^2 +1)}dy = left[ 1 over 3 y ^3 +y right] _0 ^1 = 4 over 3]

03

③

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT { (x-1)-(x ^{2} +x-2) RIGHT } dx}# = int _{-1} ^{1} {(-x ^{2`} +1)} dx`=` LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +x RIGHT ] _{-1} ^{1}# = {4} over {3}]

04

③

답

해

설

[eqn: int _{ 1} ^{x } {f(t)}dt=x^3 -ax^2 +2 }]의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: int _{1 } ^{ 1} { f(t)}dt=1-a+2~~~∴a=3]

[eqn: int _{ 1} ^{ x} { f(t) }dt=x^3 -3x^2 +2]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면  [eqn: f(x)=3x^2 -6x]

따라서 다음 그림에서 구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{2} {(-3x ^{2} +6x)} dx=[`-x ^{3} +3x``] _{0} ^{2} =4]

05

③

답

해

설

[eqn: int _{-1} ^{2} {|`y ^{3} -y ^{2} -2y`|} dy# = int _{-1} ^{0} {(y ^{3} -y ^{2} -2y)} dy- int _{0} ^{2} {(y ^{3} -y ^{2} -2y)dy}# = LEFT [ ` {y ^{4}} over {4} -` {y ^{3}} over {3} -y ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{0} `-` LEFT [ {y ^{4}} over {4} - {y ^{3}} over {3} -y ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2}# = {5} over {12} + {8} over {3} = {37} over {12}]

06

⑤

답

해

설

그림에서 색칠한 부분의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{2} {LEFT { ax ^{3} - LEFT ( - {1} over {a} x ^{3} RIGHT ) RIGHT }} dx & = LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT ) LEFT [ {1} over {4} x ^{4} RIGHT ] _{0} ^{2}# & =4 LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT )]

이때, [eqn: a=1]에서 넓이는 [eqn: 4 LEFT ( a+ {1} over {a} RIGHT ) =4 CDOT 2=8]로 최소이므로 구하는 합은

[eqn: 1+8=9]

07

[eqn: 8]

답

해

설

두 곡선은 서로 역함수 관계이므로 구하는 넓이는 직선 [eqn: y=x]에 의하여 이등분된다.

오른쪽 그림에서 색칠한 부분의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES (1+4) TIMES 3# - int _{1} ^{4} {f(x)} dx# =4]

따라서 구하는 도형의 넓이는  [eqn: 4times 2=8]

08

③

답

해

설

곡선 [eqn: y=x^2 -3x]와 직선 [eqn: y=ax]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: x]축에 의하여 이등분되려면 위 그림에서

[eqn: int _{0} ^{a+3} {LEFT . LEFT { ax-(x ^{2} -3x) RIGHT . RIGHT } dx}=2 int _{ 0} ^{3 } {(3x-x^2 ) }dx]

[eqn: LEFT [ {a+3} over {2} x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{a+3} =2 LEFT [ {3} over {2} x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{3}]

[eqn: {(a+3) ^{3}} over {2} - {1} over {3} (a+3) ^{3} =9]

[eqn: THEREFORE `a=3( root {3} of {2} -1)]

09

①

답

해

설

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=1} ^{n}} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) {1} over {n}# = {1} over {2} lim _{n`->`inf} {sum _{k=1} ^{n}} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) {2} over {n}# = {1} over {2} int _{1} ^{3} {f(x)} dx= {A} over {2}]

10

[eqn: 2 over 3]

답

해

설

[eqn: y'=2x]이므로 접선의 기울기는 [eqn: 4]이고, 접선의 방정식은  [eqn: y-4=4(x-2)]

[eqn: therefore int _{ 0} ^{ 2} {x^2 }dx-1 cdot 4 cdot 1 over 2 = { 2} over { 3}]

11

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: int _{ 0 } ^{3 } { (x^2 -ax) }dx =left[ { 1} over {3 }x^3 - { a} over {2 }x^2 right]_0^3 =9 - 9 over 2 a =0]

12

③

답

해

설

[eqn: S & = int _{- sqrt {n}} ^{sqrt {n}} {``|``x(x ^{2} -n)``|``} dx# & =-2 int _{0} ^{sqrt {n}} {(x ^{3} -nx)} dx# & = {n ^{2}} over {2} LEQ `100]

[eqn: therefore n ^2 le 200]

따라서 양의 정수 [eqn: n]은 [eqn: 1,~2,~3,~cdots,~14]의 [eqn: 14]개다.

13

①

답

해

설

[eqn: x^2 = sqrt { x}]에서  [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]

또한 두 곡선은 직선 [eqn: y=x]에 대칭이므로 구하는 넓이는

[eqn: 2 int _{0} ^{1} {(x-x ^{2} )} dx=` {1} over {3}]

14

[eqn: 45]

답

해

설

파란색으로 칠해지는 각 부분의 넓이를 [eqn: S], 노란색으로 칠해지는 부분의 넓이를 [eqn: T]라고 하면

[eqn: 2S+T= 15^2 ,~2S:T=2:3]에서  [eqn: T=3S]

두 식을 연립하면  [eqn: S=45]

[eqn: therefore][eqn: int _{ 0} ^{15 } {f(x) }dx=45]

15

①

답

해

설

두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha,~beta~(alpha < beta)]라고 하면

[eqn: alpha = - sqrt { 1+ { 1} over {n ^2} }], [eqn: beta= sqrt { 1+ { 1} over { n^2} }]

[eqn: S _{n} & = int _{alpha } ^{beta } {LEFT { LEFT ( -x ^{2} + {2} over {n ^{2}} RIGHT ) -(x ^{2} -2) RIGHT }} dx# & =2 int _{0} ^{beta } {LEFT ( -2x ^{2} +2+ {2} over {n ^{2}} RIGHT )} dx #&={8} over {3} LEFT ( 1+ {1} over {n ^{2}} RIGHT ) sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}}]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} {S_n }= 8 over 3]

16

[eqn: { 3 sqrt { 3} } over { 4}- pi over 3]

답

해

설

[eqn: (구하는~넓이)# =2"{"(사다리꼴~ rm OABC)-(부채꼴~ABD)# ~~ LEFT . - int _{0} ^{{sqrt {3}} over {2}} {x ^{2}} dx RIGHT }# = {3 sqrt {3}} over {4} - {pi } over {3}]

17

[eqn: 4 over 3]

답

18

[eqn: 1 over3]

답

19

[eqn: 9 over 2]

답

20

③

답

해

설

[eqn: y=x^2 (x-1)]의 그래프는 위 그림과 같으므로

[eqn: 0 le x le 1]에서 [eqn: y le 0,~1 le x le 2]에서  [eqn: y ge 0]

따라서 구하는 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S & = int _{0} ^{1} {(-y)} dx+ int _{1} ^{2} {y} dx# & =- int _{0} ^{1} {(x ^{3} -x ^{2} )} dx+ int _{1} ^{2} {(x ^{3} -x ^{2} )dx}# & =-left[ {x ^{4}} over {4} - {x ^{3}} over {3} right] _{0} ^{1} +left[ {x ^{4}} over {4} - {x ^{3}} over {3} right] _{1} ^{2}# & = {1} over {12} + {17} over {12} = {3} over {2}]

21

②

답

해

설

[eqn: x ge 0]일 때,  [eqn: y=x^2 -2x+1=(x-1)^2]

[eqn: x<0]일 때,  [eqn: y=x^2 +2x+1=(x+1)^2]

[eqn: THEREFORE S & = int _{-1} ^{0} {(x+1) ^{2}} dx+ int _{0} ^{1} {(x-1) ^{2}} dx# & =2 int _{0} ^{1} {(x-1) ^{2}} dx# & =2 LEFT [ {1} over {3} (x-1) ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} = {2} over {3}]

22

⑤

답

해

설

[eqn: y ^{2} =x+1], 즉 [eqn: x=y^2 -1]의 그래프는 [eqn: y=x^2 -1]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 것으로 다음 그림과 같다.

[eqn: -1 le y le 1]에서  [eqn: x le 9]

[eqn: 1 le y le 2]에서  [eqn: x ge 0]

이므로 구하는 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S & = int _{-1} ^{1} {(-x)} dy+ int _{1} ^{2} {x} dy# & = int _{-1} ^{1} {(1-y ^{2} )} dy+ int _{1} ^{2} {(y ^{2} -1)} dy# & = LEFT [ y- {1} over {3} y ^{3} RIGHT ] _{-1} ^{1} + LEFT [ {1} over {3} y ^{3} -y` RIGHT ] _{1} ^{2}# & = {4} over {3} + {4} over {3} = {8} over {3}]

23

①

답

해

설

[eqn: S= int _{ -2} ^{ 1} {x }dy= int _{ -2} ^{ 1} {y^2 }dy=left[ { 1} over {3 }y^3right]_-2^1 =3]

24

[eqn: 9]

답

해

설

두 곡선의 교점의 좌표는 [eqn: x^2 -1=-x^2 +2x+3]에서

[eqn: x^2 -x-2=0~~~~therefore x=-1,~2]

위 그림에서 [eqn: -1 le x le 2]일 때

[eqn: -x^2 +2x+3 ge x^2 -1]이므로 구하는 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S & = int _{-1} ^{2} {LEFT { (-x ^{2} +2x+3)-(x ^{2} -1) RIGHT }} dx# & = int _{-1} ^{2} {(-2x ^{2} +2x+4)} dx# & = LEFT [ - {2} over {3} x ^{3} +x ^{2} +4x right] _{-1} ^{2} =9 RIGHT .]

25

[eqn: 1 over 2]

답

해

설

두 함수는 서로 역함수의 관계이므로 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

[eqn: therefore S=2 int _{ 0} ^{ 1} {(x-x^3 ) }dx = 2 left[ 1 over 2 x ^2 - 1 over 4 x^4 right ]_0^1 = 1 over2]

26

②

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{2} {(x ^{2} -ax)} dx= LEFT [ {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} ax ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2} = {8} over {3} -2a=0]에서

[eqn: a=` {4} over {3}]

27

④

답

해

설

[eqn: y= sqrt {x}]에서  [eqn: x=y ^{2}]

[eqn: THEREFORE `S= int _{0} ^{3} {x} dy= int _{0} ^{3} {y ^{2}} dy= LEFT [ {1} over {3} y ^{3} RIGHT ] _{0} ^{3} =9]

28

②

답

해

설

[eqn: x ^{2} -x=mx]에서

[eqn: x=0,~m+1]

[eqn: THEREFORE `S= int _{ 0} ^{ m+1} { left{mx-(x^2 -x) right} }dx = { (m+1)^3} over { 6}= 9 over 2]

29

④

답

해

설

[eqn: S= 4 int _{ 0} ^{ 1} {(x-1) ^2 }dx = 4 LEFT [ { 1} over { 3} (x-1) ^3 RIGHT ]_0^1 = 4 over 3]

30

①

답

해

설

[eqn: y= sqrt { x-1}]에서  [eqn: x=y ^{2} +1]

[eqn: y=x-1]에서  [eqn: x=y+1]

[eqn: THEREFORE `S & = int _{0} ^{1} {LEFT { (y+1)-(y ^{2} +1) RIGHT }} dy# & = LEFT [ {1} over {2} y ^{2} - {1} over {3} y ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} = {1} over {6}]

31

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: lim _{h` -> `0} {{S(h)} over {h}} = lim _{h` -> `0} {{ int _{0} ^{h} {f(x)} dx} over {h}} & = lim _{h` -> `0} {{F`(h)-F`(0)} over {h}}# & =F`` prime (0)=f(0)=2]

32

⑤

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{{1} over {2}} {LEFT ( x- {x} over {2} RIGHT )} dx+ int _{{1} over {2}} ^{1} {(x-x ^{2} )} dx# = LEFT [ {1} over {4} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{{1} over {2}} + LEFT [ {1} over {2} x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{{1} over {2}} ^{1}# = {1} over {16} + LEFT ( {1} over {6} - {1} over {12} RIGHT ) = {7} over {48}]

33

④

답

해

설

[eqn: y=-x^2 +1=-(x+1)(x-1)]

따라서 곡선과 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -1,~ 1]이므로

[eqn: int _-1^1 (-x^2 +1)dx=2int_0^1 (-x^2 +1)dx= 4 over 3]

34

④

답

해

설

[eqn: x=y^2 -2y=y(y-2)]

따라서 곡선과 [eqn: y]축의 교점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 0,~ 2]이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {} |``x``|dy=- int _{0} ^{2} {} (y ^{2} -2y)dy+ int _{2} ^{3} {} (y ^{2} -2y)dy= {8} over {3}]

35

③

답

해

설

[eqn: B]의 넓이는 대칭축 [eqn: x=4]에 의하여 이등분되므로 [eqn: A]와 [eqn: C]의 넓이는 서로 같다.

[eqn: int _{0} ^{4} {(x ^{2} -8x+a)} dx=0]

[eqn: THEREFORE a= 32 over 3]

36

③

답

해

설

[eqn: y=x(x^2 -n)]은 원점에 대하여 대칭이므로 도형의

넓이는

[eqn: int _{- sqrt {n}} ^{sqrt {n}} {} |``x(x ^{2} -n)``|``dx= {n ^{2}} over {2}]에서

[eqn: n^2 over 2 le 100]에서  [eqn: n ^2 le 200]

따라서 양의 정수 [eqn: n]은 [eqn: 1,~ 2,~cdots,~ 14]의 [eqn: 14]개이다.

37

⑤

답

해

설

두곡 선 [eqn: x=y^2]과 [eqn: x=y+2]의 교점의 [eqn: y]좌표는

[eqn: y^2 =y+2]에서 　[eqn: y=-1] 또는 [eqn: y=2]

닫힌 구간 [eqn: [`-1,~ 2`]]에서

[eqn: y^2 le y+2]이므로 구하는 넓이는

[eqn: int_-1^2 (y+2-y^2 )dy= 9 over 2]

38

③

답

해

설

[eqn: int _{-3} ^{3} {LEFT { (x ^{4} +2)-(-2x ^{3} -2) RIGHT }} dx# = int _{-3} ^{3} {(x ^{4} +2x ^{3} -4)} dx# = int _{-3} ^{3} {(x ^{4} +4)} dx~ LEFT ( BECAUSE int _{-3} ^{3} {x ^{3}} dx=0 RIGHT )# =2 int _{0} ^{3} {(x ^{4} +4)} dx]

39

③

답

해

설

주어진 두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x^2 -2x=-x^2 +4]에서　 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{-1} ^{2} {LEFT { -x ^{2} +4-(x ^{2} -2x) RIGHT }} dx# = int _{-1} ^{2} {(-2x ^{2} +2x+4)} dx=9]

40

①

답

해

설

[eqn: A=B]이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {} (3x-x ^{2} -ax)dx=0]

[eqn: LEFT [ `- {1} over {3} x ^{3} - {3-a} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3} =0], [eqn: -9+ {3-a} over {2} CDOT 9 =0]

[eqn: ∴ a=1]

41

①

답

해

설

[eqn: x^n+2 -x^n+1 =0]에서  [eqn: x^n+1 (x-1)=0]

[eqn: ∴ x=0] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: 0le x le1]일 때, [eqn: x^n+1 ge x^n+2]이므로 구하는 넓이 [eqn: S_n]은

[eqn: S _{n} = int _{0} ^{1} {(x ^{n+1} -x ^{n+2} )dx} = {1} over {n+2} - {1} over {n+3}]

[eqn: THEREFORE sum _{n=0} ^{INF } S _{n} = lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=0} ^{n}} S _{k} = lim _{n` -> ` INF } {sum _{k=0} ^{n}} LEFT ( {1} over {k+2} - {1} over {k+3} RIGHT )# = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {n+2} - {1} over {n+3} RIGHT ) RIGHT }}# = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {2} - {1} over {n+3} RIGHT )} = {1} over {2}]

42

③

답

해

설

[eqn: f(x)-g(x)=ax(x-2)(x-3)] ([eqn: a]는 상수)으로 놓으면 색칠한 부분의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{2} {} LEFT { f(x)-g(x) RIGHT } dx & = int _{0} ^{2} {} a(x ^{3} -5x ^{2} +6x)dx# & = {8} over {3} a= {16} over {3}]

[eqn: ∴ a=2]

따라서 [eqn: f(x)-g(x)=2x(x-2)(x-3)]이므로

[eqn: f(4)-g(4)=2 cdot 4 cdot 2 cdot 1=16]

43

④

답

해

설

원의 방정식을 [eqn: x^2 +(y-a)^2 =1]이라 하고, 이 식에 [eqn: x^2 =y]를 대입하면　 [eqn: y^2 -(2a-1)y+a^2 -1=0]

[eqn: D=(2a-1)^2 -4(a^2 -1)=0]

[eqn: ∴ a= 5 over 4]

[eqn: ∴ y= 3 over 4 ,~x=+- { sqrt { 3} } over {2 }]

[eqn: THEREFORE (구하는~넓이)= {3 sqrt {3}} over {4} - {pi } over {3}]

44

④

답

해

설

주어진 조건에 의하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 위 그림과 같으면 함수 [eqn: f ( x )]와 그 역함수 [eqn: g( x )]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 구하는 넓이는 [eqn: B]와 같다.

[eqn: THEREFORE int _{2} ^{4} {g(x)} dx=4 TIMES 4-2 TIMES 2-A=12-A]

45

④

답

해

설

주어진 두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x^n =x^n+1]에서　[eqn: x^n (x-1)=0]

[eqn: ∴ x=0] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: S _{n} & = int _{0} ^{1} {(x ^{n}} -x ^{n+1} )dx# & = LEFT [ {x ^{n+1}} over {n+1} - {x ^{n+2}} over {n+2} RIGHT ]_0 ^1 #&= { 1} over {n+1 }- { 1} over { n+2}]

이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{48} S _{n} & =S _{1} +S _{2} +S _{3} + CDOTS +S _{48}# & = LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {49} - {1} over {50} RIGHT )# & = {1} over {2} - {1} over {50} = {24} over {50}]

[eqn: THEREFORE 50 sum _{ k=1} ^{ 48}S_n =50 cdot 24 over 50 = 24]

46

④

답

해

설

[eqn: B]의 넓이는 대칭축 [eqn: x=3]에 의하여 이등분되므로 오른쪽 그림에서 두 부분 [eqn: A`와`C]의 넓이는 서로 같다.

[eqn: eqalign{THEREFORE & int _{0} ^{3} {(x ^{2}} -6x+a)dx# & = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} -3x ^{2} +ax` RIGHT ] _{0} ^{3}} # &=9-27+3a=0]

[eqn: THEREFORE `a=6]

47

③

답

해

설

두 도형의 넓이가 같으므로

[eqn: int _{0} ^{1} {(x ^{3 ^{}}}-a)dx=0]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{1} {(x ^{3}} -a)dx= LEFT [ {1} over {4} RIGHT . x ^{4} -ax`right] _{0} ^{1} = {1} over {4} -a=0]

[eqn: THEREFORE a= {1} over {4}]

48

②

답

해

설

둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S]는
[eqn: S= int _{0} ^{2} {(3x-x ^{2}} -x)dx= int _{0} ^{2} {(2x-x ^{2}})dx]

따라서 [eqn: S]는 곡선 [eqn: y=2x-x ^{ 2}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로 대칭축 [eqn: x=1]에 의하여 이등분된다.
[eqn: THEREFORE k=1]

49

[ ③

답

해

설

오른쪽 그림과 같이 좌표축을 정하면 포물선의 식은 [eqn: y=x ^{2}]이다.

[eqn: A]와 [eqn: B]의 넓이가 서로 같아야 하므로

[eqn: int _{0} ^{2} {(x ^{2} -k)dx=0}]에서

[eqn: LEFT . LEFT [ {x ^{3}} over {3} -kx` RIGHT ] _{0} ^{2} =0,~` {8} over {3} -2k=0 RIGHT .]

[eqn: THEREFORE k= {4} over {3}]

50

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{2} {eqalign{left{-x ^{2} +(k+2)x-2k`right}dx# }}]

[eqn: LEFT. = LEFT [ - {1} over {3} RIGHT . x ^{3} + {k+2} over {2} x ^{2} -2kx` RIGHT ] _{0} ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE `3k=2]

51

①

답

해

설

직사각형의 넓이가 최대일 때 색칠한 부분의 넓이가 최소이다. 직사각형의 꼭짓점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a(a>0)]로 놓으면 직사각형의 넓이 [eqn: g(a)]는

[eqn: g(a)=2a(-a ^{2} +3)=-2a ^{3} +6a],

[eqn: g prime (a)=-6a ^{2} +6=-6(a+1)(a-1) _{}]

에서 [eqn: a=1]일 때 직사각형의 넓이의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

따라서 색칠한 부분의 최솟값은

[eqn: 2 int _{0} ^{sqrt {3}} {(-x ^{2} +3)dx-4} & =2 LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +3x` RIGHT ] _{0} ^{sqrt {3}} -4# & =4( sqrt {3} -1)]

52

[eqn: {4} over {3}]

답

53

③

답

해

설

[eqn: S & = int _{-2} ^{2} {LEFT { (x ^{4} +1)-(-2x ^{3} -1) RIGHT } dx}# & = int _{-2} ^{2} {(x ^{4} +2x ^{3} +2)dx}# & =2 int _{0} ^{2} {(x ^{4} +2)dx}][eqn: }]

54

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: int _{2} ^{4} {f(x)dx+ int _{1} ^{3} {f ^{-1}}} (y)dy=A+B=12-2=10]

[eqn: A= int _{2} ^{4} {f(x)dx=4}]이므로  [eqn: int _{1} ^{3} {f ^{-1}}(y)dy=B=6]

[eqn: THEREFORE int _{1} ^{3} {f ^{-1} (x)dx=6}]

미적분Ⅰ	Ⅳ. 다항함수의 적분법		2. 정적분의 활용			정답
	02 속도와 거리

01

④

답

해

설

[eqn: h & =10`+ int _{0} ^{t} {v(t)} dt=10+ int _{0} ^{t} {(30-6t)} dt# & =10+[`30t-3t ^{2} `] _{0} ^{t} =10+30t-3t ^{2}]

[eqn: v(t)=30-6t`=0]에서 [eqn: t=5]이므로 구하는 높이는

[eqn: h=10+30` CDOT 5 -3cdot 5 ^2 = 85``(rmm)]

02

[eqn: 63``rmm]

답

해

설

엘리베이터가 움직인 거리 [eqn: s]는

[eqn: s & = int _{0} ^{2} {3t} ``dt+ int _{2} ^{10} {6} ``dt+ int _{10} ^{13} {(-2t+26)} ``dt# & =63`( rm m)]

03

[eqn: 50``rmm]

답

해

설

[eqn: 72``rmkm/시=20``rmm/초]이므로 브레이크를 작동하는 순간부터 [eqn: t]초 후의 차의 속력은

[eqn: v(t)=20-4t(rmm/초)]

[eqn: v(t)=0]에서 이 자동차가 정지할 때까지 걸린 시간은 [eqn: 5]초이므로

[eqn: int _{0} ^{5} {v(t)} dt=50`( rm m)]

04

[eqn: 14]

답

해

설

[eqn: t]초 후에 두 점 [eqn: rmP,~Q]가 다시 만난다면

[eqn: int _{ 0} ^{ t} {2t }dt= int _{ 0} ^{t } {3t(4-t) }dt]

[eqn: therefore t=5~(becauset>0)]

점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는  [eqn: int _{0} ^{5} {|``2t``|}dt=25]

점 [eqn: rmQ]가 움직인 거리는  [eqn: int _{0} ^{5} {|``3t(4-t)``|} dt=39]

따라서 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rm Q]가 움직인 거리의 차는 [eqn: 14]이다.

05

(1) [eqn: -5]   (2) [eqn: 4]

답

06

②

답

해

설

위 그림에서 구하는 거리 [eqn: s]는

[eqn: s & = int _{1} ^{2} {|``6(t ^{2} -3t+2)``|} ``dt# & = int _{1} ^{2} {LEFT { -6(t ^{2} -3t+2) RIGHT }} dt# & = LEFT [ -2t ^{3} +9t ^{2} -12t RIGHT ] _{1} ^{2}# & =(-16+36-24)-(-2+9-12)=1]

07

④

답

해

설

[eqn: v>0]일 때 움직인 거리와 [eqn: v<0]일 때 움직인 거리가 서로 같아야 하므로

[eqn: s=2 int _{0} ^{1} {(3-3t ^{2} )} dt=2 LEFT [ 3t-t ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} =4]

08

[eqn: 25``rmm]

답

해

설

지면으로부터 최고점에 도달했을 때 [eqn: v=0]이므로

[eqn: v=20-10t=0]

[eqn: therefore`t=2]

[eqn: THEREFORE (높이) & =5+ int _{0} ^{2} {(20-10t)} dt# & =5+ LEFT [ 20t-5t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{2} =25( rm m)]

09

[eqn: rmQ(0,~-36)]

답

해

설

점 [eqn: rmP]가 원점에 있을 때의 위치의 변화량은 [eqn: 0]이므로

[eqn: int _{ 0} ^{ t} { (3t^2 - 6t ) }dt=t^3 -3t^2 = 0]

[eqn: therefore t=3]

이때의 점 [eqn: rmQ]의 위치의 변화량은

[eqn: int _{0} ^{3} {(-6t ^{2} +4t)} dt= LEFT [ -2t ^{3} +2t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3} =-36]

[eqn: THEREFORE `rmQ(0,~-36)]

10

⑤

답

해

설

물체를 지면으로부터 [eqn: h_0]의 높이에서 던져 올렸다고 하면 던지고 나서 [eqn: 6]초 후의 이 물체의 위치 [eqn: h]는

[eqn: h=h_0 + int _{0 } ^{ 6} {(20-10t) }dt = h_0 - 60]

그런데 이 물체가 지면에 떨어질 때 의 위치는 [eqn: h=0]이므로 　[eqn: h_0 -60=0]

[eqn: THEREFORE h _{0} =60(rmm)]

11

④

답

해

설

위 그림과 같이 각 부분의 넓이를 [eqn: S_1 ,~S_2 ,~S_3]이라고 하자.

[eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치가 [eqn: 7]이므로

[eqn: 7=5+int_0^2 v(t)dt=5+S _1]

[eqn: ∴ S_1 =2]

[eqn: ∴S_2 =2S_1 =4,~ S_3 = 3 over 4 S_1 = 3 over 2]

또한 [eqn: int _{5} ^{7} {} v(t)dt=0]이므로 [eqn: t=7]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: t=5]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치와 같다.

따라서 구하는 점 [eqn: rmP]의 위치는

[eqn: 5+ int _{0} ^{5} {} v(t)dt# =5+S _{1} +S _{2} +S _{3}# =5+2+4+ {3} over {2} = {25} over {2}]

12

⑤

답

해

설

엘리베이터의 속도 [eqn: v ( t )]는

[eqn: v(t)= {cases{`3t~~~~~~~~(0 LEQ t LEQ 2)##`6~~~~~~~~~(2 LEQ t LEQ 10)##`-2t+26~~(10 LEQ t LEQ 13)}}]

따라서 엘리베이터가 움직인 거리는

[eqn: int_0^2 3tdt+int_2^10 6dt+int_10^13 (-2t+26)dt=63 (rmm)]

13

[eqn: 14]

답

해

설

[eqn: t]초 후에 두 점 [eqn: rmP,~ Q]가 다시 만난다면

[eqn: int _{0} ^{t} {2t} dt= int _{0} ^{t} {3t(4-t)} dt]에서

[eqn: left[`t ^{2} `right]_0 ^t = left [`6t ^{2} -t ^{3}right]_0 ^t]

[eqn: t^2 =6t^2 -t^3], [eqn: t^2 (t-5)=0]

[eqn: ∴ t=0] 또는 [eqn: t=5]

따라서 [eqn: rmP,~ Q]는 [eqn: 5]초 후에 다시 만난다.

점 [eqn: rmP]가 실제로 움직인 거리를 [eqn: a]라고 하면

[eqn: a= int _{0} ^{5} {|`2t`|} dt= left[`t ^{2} `right]_0 ^5 =25]

점 [eqn: rmQ]가 실제로 움직인 거리를 [eqn: b]라고 하면

[eqn: b & = int _{0} ^{5} {|`3t(4-t)`|} dt# & = int _{0} ^{4} {3t(4-t)} dt+ int _{4} ^{5} {3t(t-4)} dt# & = left[`6t ^{2} -t ^{3} right]_0 ^ 4 + left [`t ^{3} -6t ^{2} `right]_4 ^5 =32+7=39]

따라서 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmQ]가 실제로 움직인 거리의 차는

[eqn: b-a=39-25=14]

14

②

답

해

설

[eqn: v=f(t)]라고 하면

[eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 실제로 움직인 거리는

[eqn: (A~부분의~넓이)# = int _{0} ^{3} {LEFT | `f(t)` RIGHT |} dt# = int _{0} ^{1} {LEFT | `f(t)` RIGHT |} dt+ int _{1} ^{2} {LEFT | `f(t)` RIGHT |} dt+ int _{2} ^{3} {LEFT | `f(t)` RIGHT |} dt# = {1} over {2} a+a+ LEFT ( a- {1} over {4} a RIGHT ) = {9} over {4} a= {9} over {2}]

[eqn: THEREFORE a=2]

따라서 구하는 거리 [eqn: d]는

[eqn: d & =(B~부분의~넓이)# & = int _{3} ^{6} {LEFT | `f(t)` RIGHT |} dt# & = int _{3} ^{4} {LEFT | `f(t)` RIGHT |} dt+ int _{4} ^{6} {LEFT | `f(t)` RIGHT |} dt# & = {1} over {2} +1= {3} over {2}]

15

③

답

해

설

[eqn: t=a]일 때 점 [eqn: rmP]의 위치를 원점이라고 하면 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=a]까지의 위치의 변화량은 [eqn: 0]이다.

[eqn: therefore int _{ 0} ^{a } { v}dt = int _{ 0} ^{a } {(t^2 -4t)}dt= { 1} over {3 }a^2 (a-6) =0]

[eqn: thereforea=6~(becausea>0)]

[eqn: thereforet=6]

16

⑤

답

해

설

[eqn: RMP,~Q]의 시각 [eqn: t]에서의 위치는 각각 [eqn: int _{ 0} ^{ t} {f(t) }dt], [eqn: int _{0} ^{t} {g(t)} dt]이고, 두 위치의 곱은 음수이어야 하므로

[eqn: int _{0} ^{t} {f(t)dt int _{0} ^{t} {} g(t)dt<0}]

17

[eqn: 18]

답

해

설

[eqn: t]초 후의 위치 [eqn: s(t)]는

[eqn: s(t)= int _{0} ^{t} {(6-2t)} dt=6t-t ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE `t=6~(becauset>0)]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{6} {LEFT | `6-2t` RIGHT |} dt= int _{0} ^{3} {(6-2t)dt} + int _{3} ^{6} {(2t-6)dt} =18]

18

[eqn: 15``rmkm]

답

해

설

[eqn: 3``rmkm]를 [eqn: a]분 동안 갔다고 하면

[eqn: int _{0} ^{a} {LEFT ( {3} over {4} t ^{2} + {1} over {2} t RIGHT ) dt} =3]에서  [eqn: a=2( BECAUSE a>0)]

[eqn: therefore int _{ 0} ^{ 2} { v(t)}dt+ 3 cdot 4 = 3+12 = 15`(rmkm)]

19

[eqn: 36`` rm m]

답

해

설

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT | `v(t)` RIGHT |} dt# = int _{0} ^{2} {LEFT { 9(t-2)+18 RIGHT )} dt+ int _{2} ^{4} {LEFT { -9(t-2)+18 RIGHT }} dt# =36( rm m)]

20

(1) [eqn: 15]   (2) [eqn: 61 over4]

답