미적분Ⅰ	Ⅱ. 함수의 극한과 연속		1. 함수의 극한			반 / 번호
	01 함수의 극한의 뜻					이름

01

함수 [eqn: f(x)`=`3 over x - 2]에 대하여
[eqn: lim_x->1{ ``f(x)} +lim_x->inf{ ``f(x)}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

02

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(x)= {cases{`-x~~(x<0)##```````1``~~(0 LEQ x<1)##`x-1~(x GEQ 1)}}]과 같이 정의되고, 그 그래프가 다음 그림과 같을 때, 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: lim _{x-> 0} {f(x)=0}]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1+0} {f(f(x))=1}]

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 1-0} {f(f(x))=0}]

① [eqn: ㄴ]	② [eqn: ㄷ]	③ [eqn: ㄱ,~ ㄴ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

03

다음 의 함수 중 [eqn: lim _{ x->0} { } f(x)]의 값이 존재하는 것을 모두 고른 것은?

(단, [ ]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

[eqn: ㄱ.~f(x) = { x} over { |`x` | }]

[eqn: ㄴ.~f(x)=(x^2 -x) [`x`]]

[eqn: ㄷ.~f(x) = { x^2} over {x^2 -2x }]

① [eqn: ㄴ]	② [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

04

오른쪽 그림과 같이 곡선
[eqn: y= 1 over x ~(x>0)] 위의 점
[eqn: rmA(1,~ 1)]과 점 [eqn: rmA]가 아닌 곡선 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmP]를 지나고 직선 [eqn: rmPA]에 수직인 직선이 직선 [eqn: rm OA]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라고 하자. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]에 한없이 가까워질 때, 점 [eqn: rmQ]가 한없이 가까워지는 점의 [eqn: x]좌표를 구하여라.

05

함수 [eqn: f(x)= { 3} over {x }-2]에 대하여 다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{ x->1} {f(x) }]
(2) [eqn: lim _{ x->inf} {f(x) }]

06

[eqn: lim _{ x`->`2} { { [`x`]-2} over { x-2} }]의 값은? (단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: inf]

④ [eqn: -inf]	⑤ 없다.

07

다음 중 극한값이 가장 작은 것은?

(단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

① [eqn: lim _{ x`->`-0} {[`x`] }]	② [eqn: lim _{x` -> `+0} {[`x`]}]

③ [eqn: lim _{x` -> `-0} {{x} over {[`x`]}}]	④ [eqn: lim _{x` -> `+0}{ {[`x`]}overx}]

⑤ [eqn: lim _{x` -> `-0} {{[`x-1`]} over {x+1}}]

08

다음 극한을 조사하여라.
(1) [eqn: lim _{ x`->`1} {{ x} over {(x-1)^2 } }]
(2) [eqn: lim _{ x`->`-1} { { x} over { (x+1)^2} }]

09

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{ x`->`1} {(x^2 +1) }]
(2) [eqn: lim _{x` -> `1} {{x+3} over {x+1}}]

10

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{x -> +0} {{|``x``|} over {x}}]
(2) [eqn: lim _{x -> -0} {{|``x``|} over {x}}]

11

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{ x->1} { { x^2 -1} over { x-1} }]
(2) [eqn: lim _{ x`->`inf} { 2 over x}]

12

다음 의 함수 [eqn: f ( x )]에 대하여 [eqn: lim_{x`->`0 }{``} f ( x )]의 값이 존재하는 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: [``x``]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수)

[eqn: ㄱ.~f(x) = { x} over { |``x`` | }]

[eqn: ㄴ.~f(x)=(x ^{2} -x`)`[``x``]]

[eqn: ㄷ.~f(x)= {x ^{2} -x} over {x}]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

13

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {{[``x``]+1} over {|``x+1``|}}]의 값은?

(단, [eqn: [``x``]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수)

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

14

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm A(1,~0)], [eqn: y]축 위의 점 [eqn: RMB(0,~3)]에 대하여 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: RMP]와 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: RMQ]의 좌표는 각각 [eqn: rm P( it 1+a,~0)], [eqn: rm Q(0,~3+ita)]이다. [eqn: bar{RMBP`}]와 [eqn: bar{RMAQ}]의 교점을 [eqn: RMR]라고 할 때, [eqn: lim _{a-> INF } {{TRIANGLE RMBRQ} over {TRIANGLE RMARP}}]의 값은? (단, [eqn: a>0])

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: 1]

15

좌표평면 위의 두 정점 [eqn: RMA(0,~1),~RMB(0,~7)]과 동점 [eqn: rm P( it x,~0)] [eqn: (x>0)]에 대하여 [eqn: ANGLERMAPB]의 이등분선이 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표를 [eqn: f(x)]라고 할 때, [eqn: lim _{x-> INF } {f(x)}]의 값을 구하여라.

미적분Ⅰ	Ⅱ. 함수의 극한과 연속		1. 함수의 극한			반 / 번호
	02 함수의 극한에 대한 성질					이름

01

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim_x->a{``f(x-a)=1]이 성립할 때, [eqn: lim_x->0{` { 5f(x)+2} over {3f(x)-2 }]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

02

[eqn: lim_{x``->``0}{`` { sqrt { 1+x} -1} over { x}]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -{ 1} over {2 }]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: { 1} over {2 }]	⑤ [eqn: 1]

03

두 상수 [eqn: a,~b]가 [eqn: lim _{x`` -> ``2} { { x^2 -(a+2)x+2a} over {x^2 - b } }=3]을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 2]

04

임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)]가
[eqn: { 3x+2} over {x } < f(x) < { 3x^2 -4x} over { x^2 }]
를 만족시킬 때, [eqn: lim_{x``->``inf}{f(x)}]의 값은?

05

다음 에서 극한값이 존재하는 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

[eqn: ㄱ.~ lim _{x`` -> ``1} {{x ^{2} -9} over {x-3}}]

[eqn: ㄴ.~ lim _{x`` -> ``0} {{1} over {x}}]

[eqn: ㄷ.~ lim _{x`` -> ``1} {(x-[`x`])}]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ ㄴ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

06

[eqn: lim _{x`` -> ``-inf} {`` {sqrt {1+x ^{2}} -1} over {x}}]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -{ 1} over {2 }]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: { 1} over {2 }]	⑤ [eqn: 1]

07

두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여
[eqn: f(x)`=`x` LEFT ( sqrt { { x+1} over {x-1 } }-1 right)], [eqn: g(x)`=`x` LEFT ( 1+ root {3} of {{1-x} over {x}} RIGHT )]일 때,
[eqn: lim _{x`` -> ``- INF } {f(x)} + lim _{x`` -> `` INF } {g(x)}]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

08

서로 다른 두 실수 [eqn: alpha,~beta]에 대하여 [eqn: alpha + beta = 3]일 때, [eqn: lim _{ x``->``inf} { { sqrt { x+alpha^2}- sqrt { x+beta^2} } over { sqrt { 4x+alpha}- sqrt { 4x+beta} } }]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 12]

09

다항식 [eqn: f(x)]가 두 식 [eqn: lim _{x`` -> `` INF } {{f(x)} over {x ^{2} +1}} =1], [eqn: lim _{x`` -> ``1} {{f(x)} over {x ^{2} -1}} =-1]을 만족시킬 때, [eqn: f(x)]의 일차항의 계수는?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]        ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

10

오른쪽 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2x^2] 위에 원점이 아닌 점 [eqn: rmP]가 있고, [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmQ]를 중심으로 하고 원점과 점 [eqn: rmP]를 지나는 원이 있다. 점 [eqn: rmP]가 원점에 한없이 가까워질 때, 원의 중심 [eqn: rmQ]는 어느 점으로 한없이 가까워지는가?

① [eqn: left(0,~ 1 over 4 right)]	② [eqn: LEFT ( 0,~ {1} over {3} RIGHT )]	③ [eqn: LEFT ( 0,~ {1} over {2} RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( 0,~ {2} over {3} RIGHT )]	⑤ [eqn: LEFT ( 0,~ {3} over {4} RIGHT )]

11

[eqn: lim _{ x``->``inf} { (sqrt { x^2 + ax+1} +bx)} = 1 over 2]이 되도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정할 때, [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

12

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)} over {x ^{2} -1}} =-1], [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f(x)} over {2x ^{2} +3x-1`} =2}]를 만족시킬 때, [eqn: f(-1)]의 값을 구하여라.

13

[eqn: lim _{ x`->`inf} {( sqrt { x^2 +2x+2}- sqrt { x^2 -2x-2} )}]의 극한값은?

14

[eqn: x]에 대한 다항식 [eqn: f(x)]가 다음 두 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값은?

Ⅰ. [eqn: lim _{ x`->`0} { { f(x)} over {x } }=-2]

Ⅱ. [eqn: lim _{ x`->`inf} { { f(x)-x^3} over { x^2} } =3]

① [eqn: 24]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 56]

15

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x->2} {{f(x)+1} over {x-2}} =4]일 때, [eqn: lim _{x -> 2} {{LEFT {f(x)right}^2 +f(x) } over {x^2 -4 }]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

16

[eqn: lim _{x`->`inf} {{ax ^{3} +bx ^{2} +1} over {x ^{2} -1} =2}]일 때, [eqn: lim _{x`->`1} {{x-a} over {x-b}}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b]는 상수)

17

[eqn: lim _{ x`->`0} { { sqrt { 1+5x}-1 } over { x} }]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: { 3} over { 2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: { 5} over {2 }]	⑤ [eqn: 3]

18

다음 두 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

Ⅰ. [eqn: lim _{x`->`inf} {{f(x)} over {x ^{2} +1} =2}]

Ⅱ. [eqn: lim _{x`->`1} {{f(x)} over {x ^{2} -1} =-1}]

19

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여
[eqn: f(x)=x LEFT ( sqrt { { x+1} over { x-1} }-1 RIGHT )], [eqn: g(x)=x LEFT ( 1+ root {3} of {{1-x} over {x}} RIGHT )]
일 때, [eqn: lim _{x`->`-inf} {f(x)} + lim _{x`->`inf} {g(x)}]의 값은?

① [eqn: { 1} over { 3}]	② [eqn: { 2} over { 3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: { 4} over { 3}]	⑤ [eqn: { 5} over { 3}]

20

[eqn: lim _{x`->`a} {f(x)} =3], [eqn: lim _{x`->`a} {g(x)} =2]일 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: lim _{ x`->`a} { left{-2f(x)right}} =-6]

② [eqn: lim _{x` -> `a} {LEFT { 3f(x)g(x) RIGHT }} =18]

③ [eqn: lim _{x` -> `a} {{2f(x)} over {g(x)}} =3]

④ [eqn: lim _{x` -> `a} {``f(g(x))} =3]

⑤ [eqn: lim _{x` -> `a} {LEFT. ` LEFT [ 3 LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +2g(x) RIGHT ] =31]

21

곡선 [eqn: y= sqrt { x}] 위의 점 [eqn: (t,~ sqrt { t})]에서 점 [eqn: (1,~0)]까지의 거리를 [eqn: d_1], 점 [eqn: (2,~0)]까지의 거리를 [eqn: d_2]라고 할 때, [eqn: lim _{ t`->`inf} {(d_1 -d_2 )}]의 값을 구하여라.

22

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{x` -> `1`} {{x ^{3} +2x-3} over {x-1}}]
(2) [eqn: lim _{ x`->`inf} { ( sqrt { x^2 -3x}-x) }]

23

[eqn: lim _{ x`->`3} { { x^2 -9} over { sqrt { x+6} -3} }]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 36]

24

[eqn: lim _{x` -> 1`}{ { x^2 +ax+b} over { x-1}=3]일 때, [eqn: ab]의 값은?

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

25

[eqn: lim _{ x`->`1} { {x-1 } over {a sqrt { x} +b} }=1]일 때, [eqn: a-b]의 값은?

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

26

모든 양수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가
[eqn: { 2x^2 +x} over { 3x^2} le f(x) le { 4x+3} over { 6x}]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ x`->`inf} {f(x) }]의 값은?

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

27

[eqn: lim _{ x`->`0} { ``x^2 ``sin { 1} over { x^2} }]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: { sqrt { 3} } over { 2}]	⑤ [eqn: 2]

28

[eqn: lim _{ x`->`inf} {x( sqrt { x^2 +2} -x)}]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 7]

29

[eqn: lim _{x`->`2} {{x-2} over {sqrt {x+a} +b} =2}]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: 4]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -4]

30

[eqn: lim _{ x`->`inf} { { f(x)} over { 2x^2 +x+1} }=1,~ lim _{ x`->`2} { { f(x)} over { x^2 +x-6} }=2]를 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)]를 구하여라.

31

[eqn: lim _{ x`->`inf} { { cos``x} over {x } }]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 1]

32

[eqn: lim _{ x`->`-1} { { x^3 +1} over { x^3 -2x^2 -2x +1} }]의 값은?

① [eqn: 1 over 5]	② [eqn: 2 over 5]	③ [eqn: 3 over 5]

④ [eqn: 4 over 5]	⑤ [eqn: 6 over 5]

33

[eqn: lim _{ x`->`-inf} { { sqrt { x^2 +1}-1 } over { x} }]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

34

[eqn: lim _{x`->`0} {{1} over {x}} LEFT ( {1} over {sqrt {1-x}} -1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: - { 1} over { 2}]	② [eqn: -{ 1} over { 4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1 over 4]	⑤ [eqn: 1 over 2]

35

[eqn: lim _{x` -> `-1-0} {{□``x+1``□} over {x+1}} =a,~ lim _{x` -> `-1+0} {{□``x+1``□} over {x+1}} =b]라고 할 때, [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

36

[eqn: lim _{ x`->`0} { { f(x)} over { x} }=2]일 때, [eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x-1)} over { x^3 -1} }]의 값은?

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 4 over 3]

④ [eqn: 5 over 3]	⑤ [eqn: 7 over 3]

37

[eqn: lim _{x` -> `0} {``x`cos {1} over {x}}]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -{ 1} over { 2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: { 1} over { 2}]	⑤ [eqn: 1]

38

[eqn: lim _{x`->`1-0} {{x ^{2} -x} over {□``x-1``□}} =a,~ lim _{x`->`1+0} {{[``x``]-1} over {x-1}} =b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: [``x``]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

39

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim _{ x`->`inf} { { f(x)} over { 2x^2 -x -2} }=-1,~ lim _{ x`->`2} { { f(x)} over { x^2 -x-2} }=-2]
가 성립할 때, [eqn: f(0)]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

40

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가
[eqn: lim _{ x`->`inf} { f(x)}=inf,~ lim _{ x`->`inf} { left{2f(x)-g(x)right}}=1]
을 만족시킬 때, [eqn: lim _{ x`->`inf} { { 8f(x)-2g(x)} over { 2f(x)-3g(x)} }]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: - 1over 2]	⑤ [eqn: -1]

41

이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{ x`->`a} { { f(x)} over { x-a} }=b], [eqn: lim _{ x`->`b} { { f(x)} over { x-b} }=a]를 만족할 때, [eqn: lim _{ x`->`a} { { f(x)} over { (x-a)(x-b)} }]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b]는 [eqn: 0]이 아닌 서로 다른 실수)

42

오른쪽 그림과 같이 원점 [eqn: rmO]가 중심이고, 곡선 [eqn: y= sqrt { x}] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP(itx,~y)]를 지나는 원이 [eqn: x]축의 양의 부분과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라고 한다. 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 할 때, [eqn: lim _{ x`->`0}{ { rmbarPH}^2} over {rmbarQH } }]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: {1} over 3]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 1]

43

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: lim _{x`->`0} {{sqrt {x ^{2} +4} -2} over {x ^{n} ( sqrt {x+1} -1)}} =a]가 성립할 때, [eqn: na]의 값은? (단, [eqn: a]는 실수)

① [eqn: - 1over 2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

44

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x`->`1} {{8(x ^{4} -1)} over {(x ^{2} -1)f(x)} =1}]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하여라.

45

함수 [eqn: f(x)= lim _{ n`->`inf} { { x^2n+4 +2x} over { x^2n +1} }]일 때,
[eqn: f LEFT ( { 1} over { 2} right )+f(2)]의 값을 구하여라.

46

이차함수 [eqn: f(x)=x^2 +ax+b]에 대하여
[eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x)} over { x^3 -1} }= { 4} over { 3}]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근은?

① [eqn: 0,~1]	② [eqn: 0,~2]	③ [eqn: -2,~2]

④ [eqn: -3,~1]	⑤ [eqn: -4,~1]

47

두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]가 [eqn: lim _{x` -> `inf} {f(x)} =inf],
[eqn: lim _{x`->`inf} {left{2f(x)-g(x)right}} =1]을 만족시킬 때,
[eqn: lim _{x`->`inf} {{f(x)+2g(x)} over {-f(x)+3g(x)}}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

48

[eqn: lim _{x` -> `-inf} {( sqrt {x ^{2} -4x} +3+x)}]의 값은?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over2]

49

[eqn: lim _{x` -> `2} {{x ^{2} +x-6} over {x ^{2} -a}} !=0]일 때, [eqn: lim _{x` -> `1} {{x ^{2} -1} over {x ^{2} +ax-5}}]의 값은?

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 1]

50

임의의 양수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f ( x )]가 [eqn: x+1<f(x)<x+2]를 만족시킬 때,
[eqn: lim _{ x`->`inf} { { xf(x)} over { x^2 + 2} }]의 값은?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

51

다항함수 [eqn: y=f(x)]가 다음 두 조건을 모두 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은?

Ⅰ. [eqn: lim _{ x`->`inf} { { f(x)-x^3} over { x^2} }=1]

Ⅱ. [eqn: lim _{x` -> `0} {{f(x)} over {x}} =1]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

52

[eqn: lim _{x` -> `-inf} {{sqrt {x ^{2} +1} -1} over {x}}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

52

오른쪽 그림과 같은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에 대하여 [eqn: lim _{ x`->`1} {left{f(x)+f(1)right} }]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]

③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]

⑤ [eqn: 6]

53

[eqn: lim _{x`->`0} {{f(x)} over {x}} =1]일 때, [eqn: lim _{x`->`3} {{x ^{2} -9} over {f(x-3)}}]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

54

[eqn: lim _{x`->`n} {{[`x`] ^{2} +3x} over {[`x`]}}]의 극한값이 존재할 때, 정수 [eqn: n]의 값과 극한값의 합은?

(단, [eqn: [``x``]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수)

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

55

[eqn: lim _{x` -> `0} {{sqrt {1+x} - sqrt {1-x}} over {x}}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

56

[eqn: f(x)=x^2 -2x]일 때
[eqn: lim _{ x`->`-inf} {left{ sqrt { f(x)}- sqrt { f(-x)} right}}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

57

함수 [eqn: f(x)= {ax ^{3} +bx ^{2} +cx+d} over {x ^{2} -1}]가
[eqn: lim _{x`->`inf} {f(x)} =1], [eqn: lim _{x` -> `1} {f(x)} =1]을 만족시킬 때, 네 상수 [eqn: a,~b,~c,~d]의 합 [eqn: a+b+c+d]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

58

함수 [eqn: f ( x )]가 [eqn: lim _{x`` -> `1} {{f(x)+1} over {x-1}} =9]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x` -> `1} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +f(x)} over {x ^{3} -1}}]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

59

[eqn: lim _{x -> 1} {{a sqrt {x} -4} over {x-1}} =b]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a,~ b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

60

함수 [eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n+4} +4x} over {x ^{2n} +1}}]일 때,
[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f(2)]의 값을 구하여라.

61

다음 극한값을 구하시오.
(1) [eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{3} -8} over {x-2}}]
(2) [eqn: lim _{x -> 1} {{sqrt {x+8} -3} over {x-1}}]
(3) [eqn: lim _{x -> inf} {{x ^{2} -2x+3} over {3x ^{2} +1}}]

62

다음 극한값을 구하시오.
(1) [eqn: lim _{x -> 1+0} {{□x ^{} -1□} over {x-1}}]
(2) [eqn: lim _{x -> 1-0} {{□x ^{} -1□} over {x-1}}]

63

다음 극한값을 구하시오.
(1) [eqn: lim _{x -> INF } {( sqrt {x ^{2} +x}}-x)]
(2) [eqn: LEFT . lim _{x -> 0} {LEFT . {1} over {x} LEFT ( 1- {1} over {x+1} RIGHT . RIGHT )} RIGHT .]

64

함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f( lim _{x -> 1} {g(x))=2}]

ㄴ. [eqn: lim _{x-> 1} {f(g(x))=2}]

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0} {g(f(x))=2}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

65

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때,
[eqn: lim _{x-> 0} {f(x)+ lim _{x-> 0} {f(f(x))}}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

66

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x ^{2} +x-2}}=4]일 때,
[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x ^{2} +2x-3}}]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

67

함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim _{x -> 0} {( sqrt {1+x} - sqrt {1-2x} )f(x)} =4]일 때,
[eqn: lim _{x -> 0} {( sqrt {1+2x} - sqrt {1-x} )f(x)}]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 2sqrt { 2}]

④ [eqn: 4sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 8sqrt { 2}]

68

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 [eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { f(x)-2g(x)` RIGHT } =3], [eqn: lim _{x -> 1} {f(x)= INF }}] 을 만족시킬 때,
[eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)-g(x)} over {f(x)+g(x)}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

69

[eqn: lim _{x -> 2} {{sqrt {x ^{2} +a} -b} over {x-2}} = {2} over {5}]를 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단,[eqn: a,~b]는 실수)

70

두 상수 [eqn: a,~`b]가 [eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{2} -(a+2)x+2a} over {x ^{2} -b}} =3]을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 2]

71

삼차함수 [eqn: f(x)]가 두 조건 [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {x(x-1)}} =10], [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)} over {x(x-1)}} =4]를 모두 만족시킬 때,
[eqn: lim _{x-> 2} {{f(x)} over {x(x-1)}}]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

72

포물선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rm RMP]와 원점을 지나고 [eqn: y]축 위에 중심이 있는 원 [eqn: RMC]가 있다. 점 [eqn: RMP]가 원점에 한없이 가까워질 때, 원 [eqn: RMC]의 반지름의 길이의 극한값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: 0]

73

곡선 [eqn: y= sqrt { x}]위에  점 [eqn: RMP]를 잡고 [eqn: bar { RMOP}= bar { RMOQ}]인 점 [eqn: RMQ]를 [eqn: y]축의 양의 방향에 잡는다. 직선 [eqn: RMPQ]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: RMR]라 할 때, 점 [eqn: RMP]가 곡선을 따라 한없이 원점에 가까워지면 점 [eqn: RMR]는 점 [eqn: (r,~0)]에 한없이 가까워진다. 이때, [eqn: r]의 값을 구하시오.

74

[eqn: RMO]에서 수직으로 만나는 도로 [eqn: RMOX]와 [eqn: RMOY]위에 각각 [eqn: bar{rm OA it} =2 rm ``km], [eqn: bar{rm OB} =1``rmkm]인 두 점 [eqn: RMA,~B]가 있다. [eqn: RMO]에서 출발한 자동차 [eqn: RMP]와 [eqn: RMB]의 위쪽에서 출발한 자동차 [eqn: RMQ]가 [eqn: bar{RMPA} = bar{RMQB}]를 유지하면서 움직이고 있다. [eqn: RMP]가 [eqn: RMA]에 한없이 가까이 갈 때, [eqn: bar{RMAB}]와 [eqn: bar{RMPQ}]의 교점 [eqn: RMR]가 한없이 가까워지는 점은?

① [eqn: bar{RMAB}]의 중점
② [eqn: bar{RMAB}]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점

③ [eqn: bar{RMAB}]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점

④ [eqn: bar{RMAB}]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점
⑤ [eqn: bar{RMAB}] 위의 임의의 점

75

곡선 [eqn: y=x ^{2} (x>0)] 위의 점 [eqn: rm P( it x,~ it y)]에 대하여 [eqn: rm A( it x)]를 세 점 [eqn: rm O( it 0,~0),~ rm P( it x,~y),~RMQ(1,~0)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이라고 하고, [eqn: RMB(itx)]를 세 점 [eqn: RMO(0,~0),~RMP(itx,~y),~rmR(0,~1)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이라고 하자. 이때,
[eqn: lim _{x-> 0} {{RMA(itx)} over {RMB(itx)}}]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {sqrt {2}}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

76

[eqn: a>1]일 때, [eqn: lim _{x-> 1} {{□x-a□-(a-1)} over {x-1}}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: -2]

77

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x` -> `0} {(x ^{2} +2x)f(x)=4}]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x` -> `0} {(x ^{2} -3x)f(x)}]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

78

삼차함수 [eqn: f(x)=x ^{ 3}+ax ^{ 2}+bx+c]가
[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)-c} over {x-1}} =-1]을 만족시킬 때, [eqn: b-a]의 값을 구하시오.

79

곡선 [eqn: y= sqrt {x}] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,~ sqrt {t} ) RIGHT .]에서 점 [eqn: (1,~0)]까지의 거리를 [eqn: d _{1}], 점 [eqn: (2,~0)]까지의 거리를 [eqn: d _{2}]라 할 때, [eqn: lim _{t-> INF } {(d _{1} -d _{2} )}]의 값을 구하시오.

80

포물선 [eqn: y=x ^{2}]과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: RMP]라 하고, 점 [eqn: RMP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 할 때, [eqn: lim _{r -> 0} {{bar{rm PH it}} over {bar{rm OP it} it rm ^{2} it}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: RMO]는 원점이다.)

81

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)+1} over {x-1}} =6]일 때,  [eqn: lim _{x -> 1} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +f(x)} over {x ^{3} -1}}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

82

함수 [eqn: y=1-x ^{ 2}]의 그래프 위에 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~0 RIGHT )], [eqn: rm B(0,~1)]과 제[eqn: 1]사분면 위의 동점 [eqn: rm P( it t,~1- it t ^{2} )]이 있다. 직선 [eqn: RMBP]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: RMQ,~Q]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선과 직선 [eqn: RMOP]의 교점을 [eqn: RMR]라고 하자. 이때,[eqn: lim _{t-> 1} {{bar{rmRQ}} over {bar{RMAQ}}}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: RMO]는 원점이다.)

83

[eqn: lim _{x` -> `1} {{ax ^{2} -5x+b} over {x ^{2} +2x-3}} =- {1} over {4}]일 때, [eqn: a-b]의 값은?

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

미적분Ⅰ	Ⅱ. 함수의 극한과 연속		1. 함수의 극한			정답
	01 함수의 극한의 뜻

01

②

답

해

설

(i) [eqn: x->1]일 때, [eqn: f(x) ->1]이므로
[eqn: lim _{x -> 1} {``f(x)} =1]

(ii) [eqn: x -> INF]일 때, [eqn: f(x)` -> `-2]이므로
[eqn: lim _{x -> INF } {``f(x)} =-2]

(i), (ii)에서 구하는 합은 [eqn: -1]이다.

02

⑤

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{x -> -0} {f(x)=0}],  [eqn: lim _{x-> +0} {f(x)=1}]이므로
[eqn: lim _{x-> 0} {f(x)}]의 값은 존재하지 않는다.
[eqn: THEREFORE]거짓

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1+0} {f(f(x))= lim _{x -> +0} {f(x)=1}}]
[eqn: THEREFORE]참

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 1-0} {f(f(x))= lim _{x -> 1-0} {f(1)=1]
[eqn: THEREFORE]참

03

④

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{ x->-0} { { x} over { |`x` | } } = lim _{ x->-0} { { x} over {-x } }=-1],
[eqn: lim _{x -> +0} {{x} over {|`x`|}} = lim _{x -> +0} {{x} over {x}} =1]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> -0} {} (x ^{2} -x)[`x`]= lim _{x -> -0} {} (x ^{2} -x)cdot(-1)=0].
[eqn: lim _{x -> +0} {} (x ^{2} -x)[`x`]= lim _{x -> +0} {} (x ^{2} -x) CDOT (-1)=0]

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0} {} {x ^{2}} over {x ^{2} -2x} & = lim _{x -> 0} {} {x ^{2}} over {x(x-2)}# & = lim _{x -> 0} {{x} over {x-2}} = {0} over {-2} =0]

따라서 [eqn: lim _{x->0} {f(x)}]의 값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

04

[eqn: 3]

답

해

설

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: rmP left( itp,~ 1 over p right)]이라고 하면 직선 [eqn: rmPQ]는 직선 [eqn: rmAP]와 수직이므로 직선 [eqn: rmPQ]의 방정식은

[eqn: y- 1 over p =p(x-p)~~~ ∴ y=px-p^2 + 1 overp]

직선 [eqn: rmOA]의 방정식은 [eqn: y=x]이므로 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: px-p^2 + 1 over p =x]에서  [eqn: x= { p^2 +p +1} over { p}~~ (∵ p+1)]

점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmA]에 한없이 가까워질 때, [eqn: p``->``1]이므로

[eqn: lim_p->1`x=lim _p->1 { p^2 +p+1} over {p } =3]

따라서 점 [eqn: rmQ]가 한없이 가까워지는 점의 [eqn: x]좌표는 3이다.

05

(1) [eqn: 1]   (2) [eqn: -2]

답

해

설

(1) [eqn: x``->``1]일 때, [eqn: f(x)``->``1]이므로
[eqn: lim _{x -> 1} {f(x)}=1]

(2) [eqn: x`->`inf]일 때, [eqn: f(x)``->``-2]이므로
[eqn: lim _{x -> INF } {f(x)}=-2]

06

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `2+0} {{[`x`]-2} over {x-2}} = lim _{x` -> `2+0} {{0} over {x-2}} =0][eqn: lim _{x` -> `2-0} {{[`x`]-2} over {x-2}} = lim _{x` -> `2-0} {{-1} over {x-2}} =inf]

따라서 극한값은 존재하지 않는다.

07

⑤

답

해

설

① [eqn: -1]

② [eqn: 0]

③ [eqn: 0]

④ [eqn: 0]

⑤ [eqn: -2]

08

(1) [eqn: inf]   (2) [eqn: -inf]

답

09

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 2]

답

10

(1) [eqn: 1]   (2) [eqn: -1]

답

11

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 0]

답

12

⑤

답

해

설

ㄴ. [eqn: lim _{x` -> `-0} {(x ^{2} -x`)`[``x``]} = lim _{x` -> `-0} {(x ^{2} -x`)`cdot(-1)} =0]
[eqn: lim _{x` -> `+0} {(x ^{2} -x`)`[``x``]} = lim _{x` -> `+0} {(x ^{2} -x`)` CDOT 0} =0]

ㄷ. [eqn: lim _{x` -> `0} {{x ^{2} -x} over {x}} = lim _{x` -> `0} {(x-1)} =-1~( BECAUSE x!=0)]

따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

13

④

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {{[``x``]+1} over {|``x+1``|}} = lim _{x` -> `1+0} {{1+1} over {x+1}} = {1+1} over {1+1} =1]

14

①

답

해

설

[eqn: a -> inf]일 때,

[eqn: (직선~ rm AQ의~기울기)` -> `- INF],

[eqn: (직선~rm BP의~기울기)`->`0]

이므로  [eqn: (교점~RMR의~좌표)`->`(1,~3)]

한편, [eqn: lim _{a -> INF } {{bar{rm BQ it}} over {rm bar{RMAP} it}}} =1]이므로  [eqn: lim _{a -> INF } {{TRIANGLE rm BRQ it} over {TRIANGLE rm ARP it}} = {1} over {3}]

15

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: x` -> inf]이면 [eqn: lim _{x -> INF } {{bar{rm AP it}} over {rm bar{rmBP} it}} =1]이므로 점 [eqn: RMQ]는 [eqn: bar{RMAB}]의 중점 [eqn: RMC(0,~4)]에 가까워진다.

따라서 [eqn: lim _{x-> INF } {f(x)=4}]이다.

미적분Ⅰ	Ⅱ. 함수의 극한과 연속		1. 함수의 극한			정답
	02 함수의 극한에 대한 성질

01

③

답

해

설

[eqn: x-a=t]로 놓으면 [eqn: x``->``a]일 때, [eqn: t``->``0]이므로

[eqn: lim _{x`` -> ``a} {``f(x-a)} = lim _{t`` -> ``0} {``f(t)} =1]

[eqn: therefore lim _{x -> 0} {` {5f(x)+2} over {3f(x)-2}} = { 5cdot1+2} over {3cdot 1 -2 }= 7]

02

④

답

해

설

[eqn: lim _{x`` -> ``0} {`` {sqrt {1+x} -1} over {x}} & = lim _{x`` -> ``0} {`` {1+x-1} over {x( sqrt {1+x} +1)}}# & = lim _{x`` -> ``0} {`` {1} over {sqrt {1+x} +1} = {1} over {2}}]

03

①

답

해

설

[eqn: x``->``2]일 때, [eqn: (분자)``->``0]이므로 [eqn: (분모)``->``0]이다.

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {(x ^{2} -b)} =4-b=0]에서  [eqn: b=4]

[eqn: THEREFORE lim _{x`` -> ``2} {{x ^{2} -(a+2)x+2a} over {x ^{2} -b}} & = lim _{x`` -> ``2} {{(x-2)(x-a)} over {(x-2)(x+2)}}# & = {2-a} over {2+2} =3]

[eqn: THEREFORE `a=-10~~~therefore a+b=-10+4=-6]

04

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: lim _{x`` -> `` INF } {{3x+2} over {x} = lim _{x`` -> `` INF } {{3x ^{2} -4x} over {x ^{2}}}} =3]

이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의하여

[eqn: lim _{x`` -> `` INF } {f(x)}=3]

05

①

답

해

설

[eqn: ㄱ.~ lim _{x`` -> ``1} {{x ^{2} -9} over {x-3}} & = lim _{x`` -> ``1} {{(x-3)(x+3)} over {x-3}}# & = lim _{x`` -> ``1} {(x+3)=4}]
이므로 극한값이 존재한다.

[eqn: ㄴ.~ lim _{x`` -> ``-0} {{1} over {x}} =- INF ,~ lim _{x`` -> ``+0} {{1} over {x}} = INF ~]이므로 극한값이 존재하지 않는다.

[eqn: ㄷ.~ lim _{x`` -> ``+1} {(x-[`x`])} =0,~ lim _{x`` -> ``-1} {(x-[`x`])} =1]이므로 극한값이 존재하지 않는다.

06

①

답

해

설

[eqn: lim _{x`` -> ``- INF } {`` {sqrt {1+x ^{2}} -1} over {x}}# = lim _{t`` -> `` INF } {{sqrt {1+t ^{2}} -1} over {-t}}# = lim _{t`` -> `` INF } {{( sqrt {1+t ^{2}} -1)( sqrt {1+t ^{2}} +1)} over {-t( sqrt {1+t ^{2}} +1)}}# = lim _{t`` -> `` INF } {{-t} over {sqrt {1+t ^{2}} +1}}# = lim _{t`` -> `` INF } {{-1} over {sqrt {{1} over {t ^{2}} +1} + {1} over {t}}} =-1]

07

④

답

해

설

[eqn: lim _{x`` -> ``- INF } {f(x)} + lim _{x`` -> `` INF } {g(x)}# = lim _{x -> - INF } {{{2x} over {x-1}} over {sqrt {{x+1} over {x-1}} +1}} + lim _{x -> INF } {eqalign{{1} over {1- root {3} of {{1-x} over {x}} + root {3} of {LEFT ( {1-x} over {x} RIGHT ) ^{2}}}}}# =1+ 1 over 3 = 4 over 3]

08

③

답

해

설

[eqn: lim _{x`` -> `` INF } {{sqrt {x+ alpha ^{2}} - sqrt {x+ beta ^{2}}} over {sqrt {4x+ alpha } - sqrt {4x+ beta }}}# = lim _{x`` -> `` INF } {{( alpha ^{2} - beta ^{2} )( sqrt {4x+ alpha } + sqrt {4x+ beta } )} over {( alpha - beta )( sqrt {x+ alpha ^{2}} + sqrt {x+ beta ^{2}} )}}# = lim _{x`` -> `` INF } {LEFT { {( alpha + beta ) LEFT ( sqrt {4+ {alpha } over {x}} + sqrt {4+ {beta } over {x}} RIGHT )} over {sqrt {1+ {alpha ^{2}} over {x}} + sqrt {1+ {beta ^{2}} over {x}}} RIGHT }}# = {3cdot(2+2)} over {1+1} =6]

09

①

답

해

설

[eqn: f(x) = (x-1)(x+a)]로 놓으면

[eqn: lim _{x`` -> ``1} {{f(x)} over {x ^{2} -1}} = lim _{x`` -> ``1} {{(x-1)(x+a)} over {(x-1)(x+1)}} =-1]

[eqn: a+1 over 2 = -1~~~therefore a=-3~~~therefore f(x) = x^2 -4x +3]

따라서 [eqn: f(x)]의 일차항의 계수는 [eqn: -4]이다.

10

①

답

해

설

[eqn: rm P(itt,~2t^2 ),~rmQ(it0,~a)]라고 하면
[eqn: rm bar{PQ} = sqrt {it t ^{2} +(2t ^{2} -a) ^{2} rm} =ita](반지름의 길이)

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: t^2 ( 4t^2 +1-4a) =0]

[eqn: therefore 4t^2 +1-4a=0(because t !=0)]

[eqn: lim _{t``->``0} { ``a}= lim _{ t``->``0} {left( t^2 + 1 over 4 right) }= 1 over 4]

[eqn: therefore][eqn: left(0,~ 1 over 4 right)]

11

②

답

해

설

[eqn: x``->``inf]일 때, [eqn: sqrt { x^2 + ax +1}``->``inf]이므로

[eqn: bx``->``-inf]

[eqn: therefore b <0]

[eqn: lim _{x`` -> `` INF } {( sqrt {x ^{2} +ax+1} +bx)} = lim _{x`` -> `` INF } {{(1-b ^{2} )x+a} over {1-b}} = {1} over {2}]

에서 [eqn: 1-b` != 0]이므로

[eqn: 1-b^2 = 0,~ a over 1-b = 1 over 2]

[eqn: therefore b=-1,~a=1~~~therefore ab=-1]

12

[eqn: 20]

답

해

설

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]을 인수로 갖고, 최고차항은 이차항이고 그 계수가 [eqn: 4]이므로

[eqn: f(x)= 4(x-1)(x+a)]로 놓으면

[eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x)} over {x^2 -1}=2(1+a)=-1]

[eqn: therefore a= - 3 over 2]

[eqn: therefore f(x) = 4x^2 -10x + 6~~~therefore f(-1) = 20]

13

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {( sqrt {x ^{2} +2x+2} - sqrt {x ^{2} -2x-2} )}# = lim _{x` -> ` INF } { { 4x+4} over { sqrt { x^2 +2x+2}+ sqrt { x^2 -2x-2} } }=2]

14

④

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 +3x^2 +ax+b]로 놓으면

[eqn: lim _{ x`->`0} { f(x)}= lim _{ x`->`0} {(x^3 +3x^2 +ax+b)=0}]

[eqn: THEREFORE b=0]

[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `0} {{f(x)} over {x} } &= lim _{x` -> `0} {{x(x ^{2} +3x+a)} over {x}}# & = lim _{x` -> `0} {(x ^{2} +3x+a)=a}]

따라서 [eqn: a=-2]이므로

[eqn: f(x)=x^3 +3x^2 -2x]

[eqn: therefore f(3) = 27 +27 - 6 = 48]

15

②

답

해

설

[eqn: lim _{x->2} {{f(x)+1} over {x-2}} =4]에서 [eqn: x->2]일 때, [eqn: (분모)->0]이므로 [eqn: (분자)->0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x -> 2} {} {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +f(x)} over {x ^{2} -4} & = lim _{x -> 2} {} {f(x) LEFT { f(x)+1 RIGHT }} over {(x-2)(x+2)}# & = lim _{x -> 2} {eqalign{LEFT. LEFT { {f(x)+1} over {x-2} CDOT ` {f(x)} over {x+2} RIGHT . RIGHT }}}# & = 4 cdot left( - 1 over 4 right) =-1]

16

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: a=0,~b=2]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1} {{x-a} over {x-b}}= { 1-0} over { 1-2}=-1]

17

④

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `0} {{sqrt {1+5x} -1} over {x}} & = lim _{x` -> `0} {{1+5x-1} over {x( sqrt {1+5x} +1)}}# & = lim _{x`->`0} {{5} over {sqrt {1+5x} +1}} = {5} over {2}]

18

[eqn: f(x)=2x ^{2} -6x+4]

답

해

설

Ⅰ에서 [eqn: f(x)=2x ^{2} +bx+c]로 놓으면 Ⅱ에서

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)}=2+b+c=0]

[eqn: thereforec=-b-2]

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x)} over {x ^{2} -1}} = lim _{x` -> `1} {{(x-1)(2x+2+b)} over {(x+1)(x-1)}} = {4+b} over {2} =-1]

[eqn: therefore f(x)=2x ^{2} -6x+4]

19

④

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `- INF } {f(x)} + lim _{x` -> ` INF } {g(x)}# = lim _{x` -> ` INF } {{{2x} over {x-1}} over {sqrt {{x+1} over {x-1}} +1}} + lim _{x` -> ` INF } {{1} over {1- root {3} of {{1-x} over {x}} + root {3} of {LEFT ( {1-x} over {x} RIGHT ) ^{2}}}}# =1+ {1} over {3} = {4} over {3}]

20

④

답

해

설

④ [eqn: lim _{x` -> `a} {``f(g(x))}]의 값은 알 수 없다. (거짓)

21

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: d_1 = sqrt { t^2 -t+1}], [eqn: d_2 = sqrt { t^2 -3t+4}]

[eqn: THEREFORE lim _{t` -> ` INF } {(d _{1} -d _{2} )} & = lim _{t` -> ` INF } {{2t-3} over {sqrt {t ^{2} -t+1} + sqrt {t ^{2} -3t+4}}}# & = {2} over {1+1} =1]

22

(1) [eqn: 5]   (2) [eqn: - 3 over 2]

답

해

설

(1) [eqn: f(x)=x^3 +2x-3]이라고 하면 [eqn: f(1)=0]이므로
[eqn: f(x)=(x-1)(x^2 +x+3)]
[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `1`} {{x ^{3} +2x-3} over {x-1}} & = lim _{x` -> `1} {{(x-1)(x ^{2} +x+3)} over {x-1}}# & = lim _{x`->`1} {(x ^{2} `+x+3)=5}]

(2) [eqn: lim _{x` -> ` INF } {( sqrt {x ^{2} -3x} -x)}# = lim _{x` -> ` INF } {{( sqrt {x ^{2} -3x} -x)( sqrt {x ^{2} -3x} +x)} over {sqrt {x ^{2} -3x} +x}}# = lim _{x` -> ` INF } {{( sqrt {x ^{2} `-3x} ) ^{2} -x ^{2}} over {sqrt {x ^{2} -3x} +x}} = lim _{x` -> ` INF } {{-3x} over {sqrt {x ^{2} -3x} +x}}# = lim _{x` -> ` INF } {{-3} over {sqrt {1- {3} over {x}} +1}} =- {3} over {2}]

23

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `3} {{x ^{2} -9} over {sqrt {x+6} -3}}# = lim _{x`->`3} {{(x ^{2} -9)( sqrt {x+6} +3)} over {( sqrt {x+6} -3)( sqrt {x+6} +3)}}# = lim _{x`->`3} {(x+3)( sqrt {x+6} +3)=6cdot6=36}]

24

①

답

해

설

[eqn: x`->`1]일 때 분모 [eqn: x-1`->`0]이므로 극한값이 존재하기 위해서는 [eqn: x`->`1]일 때 분자도 [eqn: 0]에 수렴해야 한다.

즉, [eqn: lim _{ x`->`1} { { x^2 +ax+b} over { x-1} }=3]이고 [eqn: lim _{ x`->`1 }{(x-1) }=0]이므로

[eqn: lim _{ x`->`1} {(x^2 +ax+b) }=0]

[eqn: therefore 1+a+b=0]

[eqn: therefore b=-a-1]	㉠

㉠을 주어진 식에 대입하면

[eqn: lim _{x` -> `1} {{x ^{2} +ax-a-1} over {x-1}} & = lim _{x` -> `1} {{(x-1)(x+a+1)} over {x-1}}# & = lim _{x`->`1} {(x+a+1)} =a+2=3]

[eqn: therefore`a=1]

㉠에서  [eqn: b=-1-1=-2]

[eqn: THEREFORE `ab=1cdot(-2)=-2]

25

④

답

해

설

[eqn: lim _{x`->`1 } {(a sqrt { x} +b)=0}]에서

[eqn: a+b=0]

[eqn: therefore b=-a]

[eqn: lim _{x` -> `1} {{x-1} over {a sqrt {x} -a}} & = {1} over {a} lim _{x` -> `1} {{(x-1)( sqrt {x} +1)} over {( sqrt {x} -1)( sqrt {x} +1)}}# & = {1} over {a} CDOT 2=1]

[eqn: THEREFORE a=2,~b=-2~~~~therefore a-b=4]

26

②

답

해

설

[eqn: lim _{ x`->`inf} { { 2x^2 +x} over { 3x^2} }= { 2} over { 3},~ lim _{ x`->`inf} { { 4x+3} over { 6x} }= { 2} over { 3}]이고, 함수의 극한의 대소 관계에 의하여

[eqn: lim _{ x`->`inf} { { 2x^2 +x} over { 3x^2} }le lim _{ x`->`inf} { f(x)} le lim _{ x`->`inf} { { 4x+3} over { 6x} }]

[eqn: therefore lim _{ x`->`inf} { f(x)= { 2} over { 3} }]

27

①

답

해

설

[eqn: x!=0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: -1 le sin { 1} over { x^2} le 1]이므로

[eqn: -x^2 le x^2 sin { 1} over { x^2} le x^2]

[eqn: lim _{ x`->`0} {(-x^2 )}= lim _{ x`->`0} { x^2}=0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {``x ^{2} ``sin {1} over {x ^{2}}}=0]

28

②

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {x( sqrt {x ^{2} +2} -x)}# = lim _{x` -> ` INF } {{x( sqrt {x ^{2} +2} -x)( sqrt {x ^{2} +2} +x)} over {sqrt {x ^{2} +2} +x}}# = lim _{x` -> ` INF } {{2x} over {sqrt {x ^{2} +2} +x}} = lim _{x` -> ` INF } {{2} over {sqrt {1+ {2} over {x ^{2}}} +1} =1}]

29

④

답

해

설

[eqn: lim _{ x`->`2} {( sqrt { x+a}+b) }=0]이므로  [eqn: b=- sqrt { 2+a}]

[eqn: lim _{x` -> `2} {{x-2} over {sqrt {x+a} - sqrt {2+a}}}# = lim _{x` -> `2} {{(x-2)( sqrt {x+a} + sqrt {2+a} )} over {x+a-(2+a)}}# =2 sqrt {2+a} =2]

[eqn: THEREFORE a=-1,~b=-1~~~~therefore a+b=-2]

30

[eqn: f(x)=2x^2 +2x-12]

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f(x)} over {2x ^{2} +x+1}} =1]에서 [eqn: f(x)=2x ^{2} +ax+ b`]라고 하면

[eqn: lim _{x` -> `2} {{f(x)} over {x ^{2} +x-6}} =2]에서  [eqn: 8+2a+b=0]

[eqn: THEREFORE `b=-2a-8]

[eqn: lim _{ x`->`2} { { 2x^2 +ax-2a-8} over { x^2 +x-6} }= lim _{ x`->`2} { { 2x+a+4} over { x+3} }= { a+8} over { 5}=2]

[eqn: therefore a=2,~b=-12~~~therefore f(x) = 2 x^2 +2x-12]

31

③

답

해

설

[eqn: x`->`inf]이므로 [eqn: x>0]이고, [eqn: -1 le cos`x le 1]

[eqn: therefore - 1 over x le { cos`x} over { x}le { 1} over {x }]

이때 [eqn: lim _{ x`->`inf} { left( - 1 over x right) }= lim _{ x`->`inf} { { 1} over { x} }=0]이므로

[eqn: lim _{ x`->`inf} { { cos``x} over {x } }=0]

32

③

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `-1} {{x ^{3} +1} over {x ^{3} -2x ^{2} -2x+1}}# lim _{x` -> `-1} {{(x+1)(x ^{2} -x+1)} over {(x+1)(x ^{2} -3x+1)}}# = lim _{x` -> `-1}{ {x^2 -x+1 } over { x^2 -3x+1}}= 3 over 5]

33

②

답

해

설

[eqn: -x=t]로 놓으면

[eqn: lim _{x` -> `- INF } {{sqrt {x ^{2} +1} -1} over {x}} & = lim _{t` -> ` INF } {{sqrt {t ^{2} +1} -1} over {-t}}# & = lim _{t`->`inf} {{sqrt {1+ {1} over {t ^{2}}} - {1} over {t}} over {-1}} =-1]

34

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `0} {{1} over {x}} LEFT ( {1} over {sqrt {1-x}} -1 RIGHT )# = lim _{x` -> `0} {{1} over {x} CDOT {(1- sqrt {1-x} )(1+ sqrt {1-x} )} over {sqrt {1-x} (1+ sqrt {1-x} )}}# = lim _{x`->`0} {{1} over {sqrt {1-x} (1+ sqrt {1-x} )}} = {1} over {2}]

35

①

답

해

설

[eqn: a= lim _{x` -> `-1-0} {{□``x+1``□} over {x+1}} = lim _{x` -> `-1-0} {{-(`x+1)} over {x+1}} =-1]

[eqn: b= lim _{x` -> `-1+0} {{□``x+1``□} over {x+1}} = lim _{x` -> `-1+0} {{x+1} over {x+1}} =1]

[eqn: THEREFORE `a-b=-1-1=-2]

36

②

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `1} {{f(x-1)} over {x ^{3} -1}} & = lim _{x` -> `1} {{f(x-1)} over {x-1}} CDOT {1} over {x ^{2} +x+1}# & =2 CDOT {1} over {3} = {2} over {3}]

37

③

답

해

설

[eqn: -1 le cos { 1} over { x} le 1]이므로

(i) [eqn: x>0]이며  [eqn: -x le x`cos { 1} over {x } le x]

(ii) [eqn: x<0]이면  [eqn: -x ge x`cos {1} over {x} ge x]

[eqn: lim _{ x`->`0} {(-x) }= lim _{ x`->`0} { x}=0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {``x`cos {1} over {x}}=0]

38

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: a= lim _{x` -> `1-0} {{x(x-1)} over {-(x-1)}} =-1], [eqn: b= lim _{x` -> `1+0} {{1-1} over {x-1}} =0]

[eqn: THEREFORE a+b=-1]

39

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f(x)} over {2x ^{2} -x-2}} =-1]에서 [eqn: f(x)=-2x^2 +ax+b]라고 하면 [eqn: lim _{x` -> `2} {{-2x ^{2} +ax+b} over {x ^{2} -x-2}} =-2]에서  [eqn: b=8-2a]

[eqn: lim _{x` -> `2} {{-2x ^{2} +ax+8-2a} over {x ^{2} -x-2}} & = lim _{x` -> `2} {{-2x+a+4} over {x+1}}# & = {a-8} over {3} =-2]

[eqn: THEREFORE `a=2,~b=4~~~~therefore f(0)=4]

40

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{8f(x)-2g(x)} over {2f(x)-3g(x)}}# = lim _{x`` -> ` INF } {{2 LEFT { 2f(x)-g(x) RIGHT } +4f(x)} over {LEFT . 3 LEFT { 2f(x)-g(x) RIGHT } -4f(x) RIGHT }}}# = lim _{x` -> ` INF } {{2 CDOT {2f(x)-g(x)} over {f(x)} +4} over {3 CDOT {2f(x)-g(x)} over {f(x)} -4}} =-1]

41

[eqn: - 1 over 2]

답

해

설

[eqn: f(a)=f(b)=0]이고 [eqn: f(x)]가 이차식이므로

[eqn: f(x)=k(x-c)(x-b)]로 놓으면

[eqn: lim _{ x`->`a} { { f(x)} over { x-a} }=k(a-b)=b], [eqn: lim _{ x`->`b} { { f(x)} over { x-b} }=k(b-a)=a]

두 식에서  [eqn: a+b=0]

[eqn: therefore b=-a ~~~~therefore k=- 1over 2]

[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `a} {{f(x)} over {(x-a)(x-b)}}=- 1 over 2]

42

①

답

해

설

[eqn: rmbarPH = sqrt { itx}], [eqn: rm barOH = itx],
[eqn: rmbarOQ =barOP = sqrt { itx^2 +( sqrt { x} )^2}= sqrt {it x^2 +x }], [eqn: rm bar{QH} = bar{OQ} - bar{OH} = sqrt {it x ^{2} +x rm} -itx]

이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {rm bar{PH} it rm ^{2} it} over {rm bar{QH} it} & = lim _{x` -> `0} {{x} over {sqrt {x ^{2} +x} -x}}# & = lim _{x` -> `0} {( sqrt {x ^{2} +x} +x)=0}]

43

③

답

해

설

[eqn: a & = lim _{x` -> `0} {{( sqrt {x ^{2} +4} -2)( sqrt {x ^{2} +4} +2)( sqrt {x+1} +1)} over {x ^{n} ( sqrt {x+1} -1)( sqrt {x+1} +1)( sqrt {x ^{2} +4} +2)}}# & = lim _{x`->`0} {{sqrt {x+1} +1} over {x ^{n-1} ( sqrt {x ^{2} +4} +2)}}]

이때 [eqn: n` GEQ `2]이면 [eqn: a=+-inf]이므로  [eqn: n=1]

[eqn: therefore a = 1 over 2]

[eqn: therefore na = 1 over 2]

44

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `1} {{8(x ^{4} -1)} over {(x ^{2} -1)f(x)} }= lim _{ x`->`1} { { 8(x^2 +1)} over {f(x) } }= { 16} over { f(1)}=1]

[eqn: therefore f(1)=16]

45

[eqn: 17]

답

해

설

(i) [eqn: |``x`` |<1]이면  [eqn: f(x)=2x~~~therefore f LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )=1]

(ii) [eqn: |``x``|>1]  [eqn: f(x)= lim _{n`->`inf} {{x ^{4} + {2} over {x ^{2n-1}}} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}} =x ^{4}]
[eqn: THEREFORE `f(2)`=`2 ^{4`}=16]

[eqn: thereforef LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )+f(2)=1+16=17]

46

④

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `1} {(x ^{2} +ax+b)} =0]에서  [eqn: b=-a-1]

[eqn: lim _{x` -> `1}{ { x^2 +ax-a-1} over { x^3 -1}= lim _{ x`->`1} { { x+1+a} over { x^2 +x+1} }= { 2+a} over { 3}= { 4} over {3 }]

[eqn: therefore a=2,~b=-3]

따라서 방정식은 [eqn: x^2 +2x-3=0]이고 두 근은 [eqn: -3,~1]이다.

47

①

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f(x)+2g(x)} over {-f(x)+3g(x)}}# = lim _{x` -> ` INF } {{-2 LEFT { 2f(x)-g(x) RIGHT } +5f(x)} over {LEFT. -3 LEFT { 2f(x)-g(x) RIGHT . RIGHT } +5f(x)}} =1]

48

④

답

해

설

[eqn: x=-t]로 놓으면 [eqn: x`-> -inf]일 때, [eqn: t`->`inf]이므로

[eqn: lim _{x` -> `- INF } {( sqrt {x ^{2} -4x+3} +x)}# = lim _{t` -> ` INF } {( sqrt {t ^{2} +4t+3} -t)}# = lim _{t` -> ` INF } {{4t+3} over {sqrt {t ^{2} +4t+3} +t} =2}]

49

③

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `2} {(x ^{2} -a)=0}]에서  [eqn: 4-a=0]

[eqn: therefore`a=`4]

[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `1} {{x ^{2} -1} over {x ^{2} +ax-5}} = lim _{x` -> `1} {{(x-1)(x+1)} over {(x-1)(x+5)}} = {1} over {3}]

50

②

답

해

설

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{x(x+1)} over {x ^{2} +2}} LEQ lim _{n` -> ` INF } {{xf(x)} over {x ^{2} +2}} LEQ lim _{n` -> ` INF } {{x(x+2)} over {x ^{2} +2}}]에서

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{x(x+1)} over {x ^{2} +2}} =1], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{x(x+2)} over {x ^{2} +2}} =1]

[eqn: THEREFORE lim _{ x`->`inf} { { xf(x)} over { x^2 + 2} }=1]

51

④

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 + x^2 + ax +b]로 놓으면 Ⅱ에서 [eqn: x`->`0]일 때 [eqn: (분모)`->`0]이므로 [eqn: (분자)`->`0]에서  [eqn: b=0]

[eqn: lim _{ x`->`0} { { x^3 +x^2 +ax } over { x} }= lim _{ x`->`0} { (x^2 +x+a)}=1]에서  [eqn: a=1]

[eqn: thereforef(x)=x^3 +x^2 + x]

[eqn: therefore f(2) =14]

52

②

답

해

설

[eqn: x=-t]로 놓으면 [eqn: x` -> `- INF]일 때 [eqn: t`->`inf]이다.

[eqn: lim _{x` -> `- INF } {{sqrt {x ^{2} +1} -1} over {x}} = lim _{t` -> ` INF } {{sqrt {t ^{2} +1} -1} over {-t}} =-1]

52

③

답

해

설

[eqn: lim _{ x`->`1+0} {f(x) }= lim _{ x`->`1-0} {f(x) }=1]이고 [eqn: f(1)=3]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1} {LEFT { f(x)+f(1) RIGHT }} = lim _{x` -> `1} {f(x)+f(1)=1+3=4}]

53

④

답

해

설

[eqn: x-3=t]로 놓으면 [eqn: x`->`3]일 때 [eqn: t`->`0]이다.

[eqn: lim _{x` -> `3} {{x ^{2} -9} over {f(x-3)}} = lim _{x` -> `3} {{(x-3)(x+3)} over {f(x-3)}} & = lim _{x` -> `3} {{6(x-3)} over {f(x-3)}}# & = lim _{t` -> `0} {{6t} over {f(t)}}# & = lim _{t` -> `0} {{6} over {{f(t)} over {t}}} =6]

54

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{ x`->`n+0} {[`x`] }=n]이므로

[eqn: lim _{x` -> `n+0} {{[`x`] ^{2} +3x} over {[`x`]}} = {n ^{2} +3n} over {n} =n+3]

[eqn: lim _{x` -> `n-0} {[`x`]} =n-1]이므로

[eqn: lim _{x` -> `n-0} {{[`x`] ^{2} +3x} over {[`x`]}} = {(n-1) ^{2} +3n} over {n-1} = {n ^{2} +n+1} over {n-1}]

[eqn: n+3`=` {n ^{2} +n+1} over {n-1}]에서  [eqn: n=4]

[eqn: THEREFORE ` lim _{x` -> `4} {{[`x`] ^{2} +3x} over {[`x`]}}=7]

55

①

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `0} {{sqrt {1+x} - sqrt {1-x}} over {x}}# = lim _{x` -> `0} {{1+x-1+x} over {x( sqrt {1+x} + sqrt {1-x} )}}# = lim _{x` -> `0} {{2} over {sqrt {1+x} + sqrt {1-x}}} =1]

56

②

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `- INF } {LEFT { sqrt {f(x)} - sqrt {f(-x)} RIGHT }}# = lim _{x` -> `- INF } {LEFT { sqrt {x ^{2} -2x} - sqrt {x ^{2} +2x} RIGHT }}]

[eqn: x=-t]로 놓으면 [eqn: x`->`-inf]일 때 [eqn: t`->`inf]이므로

[eqn: lim _{x` -> `- INF } {LEFT { sqrt {f(x)} - sqrt {f(-x)} RIGHT }}# = lim _{t -> ` INF } {LEFT { sqrt {t ^{2} +2t} - sqrt {t ^{2} -2t} RIGHT }}# = lim _{t -> ` INF } {{4t} over {sqrt {t ^{2} +2t} + sqrt {t ^{2} -2t}}} =2]

57

③

답

해

설

[eqn: lim _{x`->`inf} {f(x)} =1]에서  [eqn: a=0,~b=1]

[eqn: lim _{x` -> `1} {f(x)} =1]에서  [eqn: lim _{x->`1} {(x ^{2} +cx+d)=1+c+d=0}]

[eqn: THEREFORE d=-c-1]

[eqn: lim _{x -> `1} {{x ^{2} +cx-c-1} over {x ^{2} -1}} = lim _{x -> `1} {{(x-1)(x+1+c)} over {(x-1)(x+1)}} & = {2+c} over {2}# & =1]

[eqn: THEREFORE `c=0,~d=-1]

[eqn: therefore a+b+c+d=0+1+0+(-1)=0]

58

①

답

해

설

[eqn: lim _{x`` -> `1} {{f(x)+1} over {x-1}} =9]에서 [eqn: lim _{x -> 1} {(x-1)} =0]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { f(x)+1 RIGHT }} =0]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> 1} {f(x)} =-1]

[eqn: THEREFORE & lim _{x -> 1} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +f(x)} over {x ^{3} -1}}# & = lim _{x -> 1} {LEFT { f(x) CDOT {f(x)+1} over {x-1} CDOT {1} over {x ^{2} +x+1} RIGHT }}# & =-1 CDOT 9 CDOT {1} over {3} =-3]

59

⑤

답

해

설

[eqn: x` ->` 1]일 때, [eqn: left( 분모 right) `->` 0]이므로　[eqn: left( 분자 right)` ->` 0]

[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `1} {(a sqrt {x} -4)} =a-4=0]

[eqn: ∴ a=4]

[eqn: a=4]를 주어진 등식에 대입하면

[eqn: lim _{x` -> `1} {{4 sqrt {x} -4} over {x-1}} & = lim _{x` -> `1} {{4( sqrt {x} -1)( sqrt {x} +1)} over {(x-1)( sqrt {x} +1)}}# & = lim _{x` -> `1} {{4(x-1)} over {(x-1)( sqrt {x} +1)}}# & = lim _{x` -> `1} {{4} over {sqrt {x} +1}} = {4} over {2} =b]

[eqn: ∴ b=2]

[eqn: ∴ a+b=4+2=6]

60

[eqn: 18]

답

해

설

(i) [eqn: |`x`|<1]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {x ^{2n} =} lim _{n` -> ` INF } {x ^{2n+4} =0}]이므로　[eqn: f(x)=4x `]

(ii) [eqn: |`x`|>1]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {x ^{2n}} =} lim _{n` -> ` INF } {{1} over {x ^{2n-1}} =0}]이므로
[eqn: f(x)= lim _{n`->`inf} {{x ^{4} + {4} over {x ^{2n-1}}} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}} =x ^{4}]

(i)에서 [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =4 CDOT {1} over {2} =2], (ii)에서 [eqn: f(2)=2^4 =16]이므로

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f(2)=2+16=18]

61

(1) [eqn: 12]   (2) [eqn: {1} over {6}]   (3) [eqn: {1} over {3}]

답

62

(1) [eqn: 1]   (2) [eqn: -1]

답

63

(1) [eqn: {1} over {2}]   (2)[eqn: 1]

답

64

③

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{x -> 1} {g LEFT ( x)=1}]이므로   [eqn: f( lim _{x-> 1} {g(x))=f(1)=2}]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1} {g LEFT ( x)=1}]이므로
[eqn: lim _{x -> 1} {f(g(x))= lim _{x -> 1} {f(x)=1}}]

ㄷ. [eqn: lim _{x-> 0} {f(x)}]의 값은 [eqn: 1]에 한없이 가까운 값이 아니라 [eqn: 1]이므로  [eqn: lim _{x -> 0} {g(f(x))=g(1)=2}]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ 이다.

65

④

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 0} {f(x)=1,~} lim _{x-> 1} {f(x)=0}]  [eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {f(f(x))=~} lim _{x -> 1} {f(x)=0}]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {f(x)} + lim _{x -> 0} {f(fx))} & = lim _{x -> 0} {f(x)} + lim _{x -> 1} {f(x)}# & =1+0=1]

66

④

답

해

설

[eqn: g(x)= {f(x)} over {x ^{2} +x-2}]로 놓으면 [eqn: lim _{x-> 1} {g(x)=4}]이고,
[eqn: f(x)=g(x)(x ^{2} +x-2)]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x ^{2} +2x-3}} & = lim _{x -> 1} {{g(x)(x ^{2} +x-2)} over {x ^{2} +2x-3}}# & = lim _{x -> 1} {g(x) CDOT lim _{x -> 1} {{x ^{2} +x-2} over {x ^{2} +2x-3}}}# & = lim _{x -> 1} {g(x) CDOT lim _{x -> 1} {{x+2} over {x+3}}}# & =4 CDOT {3} over {4} =3]

67

②

답

해

설

[eqn: ( sqrt {1+2x} - sqrt {1-x} )f(x)# = {sqrt {1+2x} - sqrt {1-x}} over {sqrt {1+x} - sqrt {1-2x}} TIMES ( sqrt {1+x} - sqrt {1-2x} )f(x)]

[eqn: THEREFORE & lim _{x -> 0} {( sqrt {1+2x} - sqrt {1-x} )f(x)}# & = lim _{x -> 0} {{sqrt {1+2x} - sqrt {1-x}} over {sqrt {1+x} - sqrt {1-2x}}}# & ~~ TIMES lim _{x -> 0} {( sqrt {1+x} - sqrt {1-2x} )f(x)}# & =1 TIMES 4=4]

68

②

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 1} {LEFT { f(x)-2g(x) RIGHT } =3}]에서
[eqn: LEFT. lim _{x -> 1} {f(x) LEFT { 1- {2g(x)} over {f(x)} RIGHT .} RIGHT } =3]

[eqn: lim _{x-> 1} {f(x)=inf}]이므로

[eqn: LEFT . lim _{x -> 1} {LEFT { 1- {2g(x)} over {f(x)} RIGHT .} RIGHT } =0]

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{x -> 1} {{g(x)} over {f(x)}} = {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> 1} {{f(x)-g(x)} over {f(x)+g(x)}} = lim _{x -> 1} {{1- {g(x)} over {f(x)}} over {1+ {g(x)} over {f(x)}}} = {1- {1} over {2}} over {1+ {1} over {2}} = {1} over {3}]

69

[eqn: 26]

답

해

설

[eqn: x -> 2]일 때 [eqn: (분모) `->` 0]이므로 [eqn: {2} over {5}]에 수렴하려면 [eqn: x -> 2]일 때 [eqn: (분자) `-> `0]이어야 한다.

즉, [eqn: sqrt {4+a} -b=0]에서  [eqn: b= sqrt {4+a}]

[eqn: THEREFORE & lim _{x -> 2} {{sqrt {x ^{2} +a} - sqrt {4+a}} over {x-2}}# & = lim _{x -> 2} {{x ^{2} -4} over {(x-2)( sqrt {x ^{2} +a} + sqrt {4+a} )}}# & = lim _{x -> 2} {{x+2} over {sqrt {x ^{2} +a} + sqrt {4+a}}}# & = {4} over {2 sqrt {4+a}} = {2} over {sqrt {4+a}} = {2} over {5}]

[eqn: sqrt {4+a} =5]에서  [eqn: 4+a=25]

[eqn: THEREFORE a=21,~`b= sqrt {21+4} = sqrt {25} =5]

따라서 [eqn: a+b=26]이다.

70

①

답

해

설

[eqn: lim _{x-> 2} {(x ^{2} -b)=4-b=0}]에서  [eqn: b=4]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> 2} {{x ^{2} -(a+2)x+2a} over {x ^{2} -b}} & = lim _{x -> 2} {{(x-2)(x-a)} over {(x-2)(x+2)}}# & = {2-a} over {2+2} =3]

[eqn: THEREFORE a=-10]

따라서 [eqn: a+b=-10+4=-6]이다.

71

②

답

해

설

[eqn: f(x)=x(x-1)(ax+b)]로 놓으면

[eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {x(x-1)}}=10]에서  [eqn: lim _{x -> 0} {{} (ax+b)=10]

[eqn: THEREFOREb=10]

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x(x-1)}}=4]에서  [eqn: lim _{x-> 1} {(ax+b)=4}]

[eqn: THEREFORE `a`=-6]

따라서 [eqn: f(x)=x(x-1)(-6x+10)]

[eqn: THEREFORE lim _{x -> 2} {{f(x)} over {x(x-1)} = lim _{x -> 2} {(-6x+10)=-2}}]

72

②

답

해

설

원 [eqn: rm C]의 반지름의 길이가 [eqn: r]라고 하면, [eqn: x]축과 원점에서 접하므로 원의 방정식은

[eqn: x^{ 2}+(y-r) ^{ 2}=r ^{ 2}]	㉠

점 [eqn: RMP]의 좌표를 [eqn: rm P( it x _{1} ,~ it y _{1} )]이라고 하면 점 [eqn: RMP]는 ㉠과 포물선 [eqn: y=x ^{ 2} }]위에 있으므로

[eqn: x _{1} ^{``2} +(y _{1} -r) ^{2} =r ^{2} ,~y _{1} =x _{1} ^{``2}]

이것을 연립하여 풀면

[eqn: y _{1} +y _{1} ^{``2}-2ry _{ 1}+r ^{ 2}=r ^{ 2},~y _{ 1}(1+y _{ 1}-2r)=0]

[eqn: y_{ 1} !=0]이므로  [eqn: 1+y _{1} -2r=0``````````` THEREFORE r= {1} over {2} (1+y _{1} )]

점 [eqn: RMP]가 원점에 가까워지면 [eqn: x _{1} -> 0,~y _{1} -> 0]이므로

[eqn: lim _{y _{1} -> 0} {r= lim _{y _{1} -> 0} {{1} over {2}}} (1+y _{1} )= {1} over {2}]

73

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: rm P(itt,~ sqrt {itt} )]라고 하면 [eqn: bar{rm OP it} = sqrt {t ^{2} +t}]이므로 직선 [eqn: RMPQ]의 방정식은 [eqn: y- sqrt {t ^{2} +t} = {sqrt {t} - sqrt {t ^{2} +t}} over {t} x]이고 점 [eqn: RMR]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {t sqrt {t ^{2} +t}} over {sqrt {t ^{2} +t} - sqrt {t}}]이다.

[eqn: THEREFORE r & = lim _{t -> 0} {{t sqrt {t ^{2} +t}} over {sqrt {t ^{2} +t} - sqrt {t}}}# & = lim _{t -> 0} {{sqrt {t ^{2} +t} ( sqrt {t ^{2} +t} + sqrt {t} )} over {t}}# & = lim _{t -> 0} {{sqrt {t ^{2} +t}} over {sqrt {t}}} CDOT {sqrt {t ^{2} +t} + sqrt {t}} over {sqrt {t}}# & = lim _{t -> 0} {sqrt {t+1} ( sqrt {t+1} + sqrt {1} )=2}]

74

②

답

해

설

직선 [eqn: RMAB]의 방정식은  [eqn: {x} over {2} +y=1]	㉠

[eqn: bar { RMPA}= bar { RMQB}=t]라고 하면 직선 [eqn: RMPQ]의 방정식은
[eqn: {x} over {2-t} + {y} over {1+t}=1]	㉡

㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면

[eqn: x= {2} over {3} (2-t),~y= {1} over {3} (1+t)]이므로

[eqn: LEFT . lim _{t -> 0} {{2} over {3} (2-t)= {4} over {3} ,~ lim _{t -> 0} {(1+t)} = {1} over {3`}} `````````` THEREFORE rm R left( {4} over {3} ,~ {1} over {3} RIGHT )]

[eqn: RMA(2,~0),~RMB(0,~1)]을 [eqn: 1:2]로 내분하는 점은
[eqn: LEFT . LEFT ( {2 TIMES 2} over {1+2} ,~ {1 TIMES 1} over {1+2} RIGHT ) =LEFT( {4} over {3} ,~ {1} over {3} RIGHT . RIGHT)]
이므로 구하는 점은 [eqn: bar{RMAB}]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점이다.

75

①

답

해

설

[eqn: ( TRIANGLE rm OPQ의`넓이)= it A( it x)= {1} over {2} CDOT 1 CDOT it y= {1} over {2} it x ^{2}],

[eqn: ( TRIANGLE rm OPR의`넓이)= it B( it x)= {1} over {2} cdot1cdot it x= {1} over {2} it x]

[eqn: THEREFORE lim _{x-> 0} {{A(x)} over {B(x)} = lim _{x-> 0} {x=0}}]

76

④

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 1} {{□x-a□-(a-1)} over {x-1}} & = lim _{x -> 1} {{-(x-a)-(a-1)} over {x-1}}# & = lim _{x -> 1} {{-x+1} over {x-1}} =-1]

77

①

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 0} {(x ^{2} -3x)f(x)} & = lim _{x -> 0} {(x ^{2} +2x)f(x) CDOT {x ^{2} -3x} over {x ^{2} +2x}}# & LEFT . =4 TIMES LEFT ( - {3} over {2} RIGHT . RIGHT ) =-6]

78

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 1} {LEFT . LEFT { f(x)-c` RIGHT } RIGHT . =1+a+b=0`````````` THEREFORE b=-a-1}]

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)-c} over {x-1}} & = lim _{x -> 1} {{x ^{3} +ax ^{2} -(a+1)x} over {x-1}}# & = lim _{x -> 1} {x(x+a+1)=a+2=-1}]

[eqn: a=-3,~`b=2`]에서

[eqn: b-a=2-(-3)=5]

79

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: d _{1} = sqrt {(t-1) ^{2} +( sqrt {t} ) ^{2}} = sqrt {t ^{2} -t+1} ,]

[eqn: d _{2} = sqrt {(t-2) ^{2} +( sqrt {t} ) ^{2 ^{}}} = sqrt {t ^{2} -3t+4}]

[eqn: THEREFORE ` lim _{t -> INF } {(d _{1} -d _{2}} ) & = lim _{t -> INF } {( sqrt {t ^{2} -t+1} - sqrt {t ^{2} -3t+4} )}# & = lim _{t -> INF } {{2t-3} over {sqrt {t ^{2} -t+1} + sqrt {t ^{2} -3t+4}}}# & = {2} over {1+1} =1]

80

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: y=x ^{2}]과 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =r ^{2}]에서
[eqn: y ^{2} +y-r ^{2} =0``````````` THEREFORE y= {-1+ sqrt {1+4r ^{2}}} over {2}]

[eqn: THEREFORE bar{rm PH it} = {-1+ sqrt {1+4r ^{2}}} over {2}]

[eqn: THEREFORE ` lim _{r -> 0} {{bar{rm PH it}} over {bar{rm OP it ^{2}}}} & = lim _{r -> 0} {{-1+ sqrt {1+4r ^{2}}} over {2r ^{2}}}# & = lim _{r -> 0} {{2} over {1+ sqrt {1+4r ^{2}}}} =1]

81

①

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)+1} over {x-1}}=6]에서 [eqn: lim _{x-> 1} {(x-1)=0}]이므로
[eqn: lim _{x-> 1} {f(x)=-1}]

[eqn: THEREFORE & lim _{x -> 1} {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2} +f(x)} over {x ^{3} -1}}# & = lim _{x -> 1} {LEFT { f(x) CDOT {f(x)+1} over {x-1} CDOT {1} over {x ^{2} +x+1} RIGHT }}# & =(-1) TIMES 6 TIMES {1} over {3} =-2]

82

[eqn: 2]

답

해

설

직선 [eqn: RMBP]의 방정식은 [eqn: y=-tx+1]이므로 점 [eqn: RMQ]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {t} ,~0 RIGHT )]이다. 직선 [eqn: RMOP]의 방정식은 [eqn: y= {1-t ^{2}} over {t}x]이므로 점 [eqn: RMR]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {1} over {t} ,~ {1-t ^{2}} over {t ^{2}} RIGHT .right)]이다.

[eqn: THEREFORE lim _{t -> 1} {{bar{rm RQ it}} over {bar{rm AQ it}}} = lim _{t -> 1} {{1-t ^{2}} over {t-t ^{2}}} = lim _{t -> 1} {{1+t} over {t} =2}]

83

①

답

해

설

[eqn: lim _{x` -> `1} {``(x ^{2} +2x-3)} =0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1} {``(ax ^{2} -5x+b)} =0]

[eqn: THEREFORE a-5+b=0~~~~therefore b= -a+5]

[eqn: lim _{x` -> `1} {{ax ^{2} -5x-a+5} over {x ^{2} +2x-3}} = lim _{x` -> `1} {{ax+a-5} over {x+3}} & = {2a-5} over {4}# & =- {1} over {4}]

[eqn: therefore`a=2,~b=3]

[eqn: therefore`a-b=-1]