미적분Ⅰ	Ⅰ. 수열의 극한		1. 수열의 극한			반 / 번호
	01 수열의 수렴과 발산					이름

01

수열 [eqn: {1} over {2} ,~ {2} over {3} ,~ {3} over {4} ,~ {4} over {5} , CDOTS]의 수렴 또는 발산을 조사하여라.

02

수열 [eqn: LEFT. LEFT { (-1) ^{n} cdot{1} over {n} RIGHT . RIGHT }]의 수렴 또는 발산을 조사하여라.

03

다음 수열을 좌표평면 위에 나타내고, 그 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `:~1,~ {1} over {2} ,~ {1} over {3} ,~ {1} over {4} ,`~ CDOTS ,~` {1} over {n} ,` CDOTS]
(2) [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } `:` {1} over {2} ,~ {2} over {3} ,~ {3} over {4} ,~ {4} over {5} ,~ CDOTS ,~ {n} over {n+1} ,` CDOTS]
(3) [eqn: LEFT { c _{n} RIGHT } `:`0,~ {3} over {2} ,~ {2} over {3} ,~ {5} over {4} ,~ CDOTS ,~ {n+(-1) ^{n}} over {n} ,`~ CDOTS]

04

다음 수열을 좌표평면 위에 나타내고, 그 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: LEFT { d _{n} RIGHT } `:~-1,~1,~3,~5,~ CDOTS ~,`~2n-3,~ CDOTS]
(2)
[eqn: left{e_n right}~:~2,~-2,~2,~-2,cdots,~(-1)^n+1 cdot2 ,cdots]
(3)
[eqn: left{f_n right}~:~1,~-2,~3,~-4,cdots,~(-1)^n-1 cdotn ,cdots]

05

다음 수열의 수렴 또는 발산을 조사하여라.
(1) [eqn: 2+1,~ 2+ 1over2 ,~ 2+ 1over3 ,~ 2+ 1over4 ,~ cdots]
(2) [eqn: 1,~4,~9,~16,~25,~cdots]

06

수열 [eqn: LEFT { cosn pi RIGHT . right}]의 수렴 또는 발산을 조사하여라.

07

수열 [eqn: 2,~ 1over2 ,~ 4 over 3 ,~ 3 over4 ,~ cdots ,~1- (-1)^n over n ,~ cdots]의 수렴 또는 발산을 조사하여라.

08

수열 [eqn: left{{n^2 +1} over n right}]의 수렴 또는 발산을 조사하여라.

미적분Ⅰ	Ⅰ. 수열의 극한		1. 수열의 극한			반 / 번호
	02 극한값의 계산					이름

01

다음 극한값을 구하여라.
(1)[eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {2-n}}]
(2)[eqn: lim _{n -> INF } {{(n+2)(2n-1)} over {n ^{2} +3n+1}}]

02

두 수열 {[eqn: a _{n}]}, {[eqn: b_{ n}]}에 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =3],
[eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}}=-1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} ` ^{2} -a _{n}} b _{n} +b _{n`} ^{````2})]을 구하여라.

03

[eqn: {1} over {n ^{2} +1} <a _{n} < {3} over {n ^{2} +3}]을 만족시키는 수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여 [eqn: lim _{n-> INF } {na _{n}}]의 값을 구하여라.

04

두 수열 {[eqn: a _{n}]}, {[eqn: b _{n}]}이 모두 수렴하고
[eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n}} +b _{n} )=5,~ lim _{n -> INF } {a _{n}} b _{n} =4]일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n``}} ^{3} +b _{n``} ^{``````3})]의 값은?

① [eqn: 65]          ② [eqn: 85]          ③ [eqn: 120]

④ [eqn: 165]         ⑤ [eqn: 185]

05

수열 [eqn: left{ a _{n}right}]이 수렴하고 [eqn: lim _{n -> INF } {{3a _{n} +4} over {a _{n} +2}} =1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

06

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{1+3+5+ CDOTS +(2n-1)} over {1+2+3+ CDOTS +n}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n} - sqrt {n-1}} over {sqrt {n+1} - sqrt {n}}}]

07

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n-> INF } {{3n-2} over {2n+1}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +n}} -n)]

08

수열 {[eqn: a_{ n}]}이 [eqn: 2n-1<(3n+4)a _{ n}<2n+1]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

09

수열 {[eqn: a_{ n}]}에 대하여
[eqn: 3n ^{2} -n-1<2n ^{3} a _{n} <3n ^{2} +n+1]이 성립할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {(n+3)a _{n}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

10

양의 무한대로 발산하는 두 수열 {[eqn: a_{ n}]}, {[eqn: b_{ n}]}에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n}}-b _{ n})=3]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n}} over {b _{n}}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

11

[eqn: lim _{n -> INF } {{bn ^{2} +cn+2} over {an ^{3} +4n-1}} =3]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

12

[eqn: lim _{n -> INF } {{` sqrt {n+1} - sqrt {n}} over {sqrt {n+2} - sqrt {n}}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

13

[eqn: lim _{n-> INF } {{sin {n} over {2} pi} over {3n+1}}]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {pi } over {3}]	⑤ [eqn: {pi } over {2}]

14

다음  중 옳은 것을 모두 고르면?

(가) [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = INF ,~ lim _{n -> INF } {b _{n}}=inf]이면
[eqn: lim _{n -> INF } {{b _{n}} over {a _{n}}}=1]이다.

(나) [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = alpha ,~ lim _{n -> INF } {b _{n}} = beta]이고 [eqn: a _{n} <b _{ n}]이면 [eqn: alpha< beta]이다.

(다) [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n}}-b _{ n})=0]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =alpha]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} =alpha]이다.

① (가)	② (나)	③ (다)

④ (가), (나)	⑤ (가), (다)

15

[eqn: lim _{n -> INF } {{5-a _{n}} over {2a _{n} +1}}=3]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{n} +1} over {a _{n} -1}}]의 값은?

① [eqn: -1.8]	② [eqn: -1.2]	③ [eqn: -0.6]

④ [eqn: 1.2]	⑤ [eqn: 1.8]

16

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2} +3n}]의 소수 부분을 [eqn: a _{n}] 이라고 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

17

수열 [eqn: left{`a _{n}`right}]에서 [eqn: S _{it n} = sum _{it k=1} ^{n} a _{k} =n` CDOT 2 ^{n}]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{S _{n}} over {a _{n}}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

18

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n}} LEFT [ {n} over {10} RIGHT .right]]의 값을 구하여라.

(단, [[eqn: x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

19

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n}}=0]임을 이용하여 다음 수열의 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {n ^{2}}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{2+ {1} over {n}} over {{2} over {n} +3}}]

20

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n-> INF } {{2n-3} over {n+1}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n+1}} - sqrt {n-1})]

21

수열 [eqn: left{ `a _{n}` right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2n-1<(n+1)a _{n} <2n+1]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

22

다음 수열의 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: LEFT { 2- {3} over {n} RIGHT .right}]
(2) [eqn: LEFT { {2} over {n ^{2}} RIGHT . + {1} over {n}right}]
(3) [eqn: LEFT { {{1} over {n ^{2}} +1} over {2- {5} over {n}} RIGHT .right}]

23

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} -1} over {n ^{2} +2n}}]
(2) [eqn: lim _{n-> INF } {{n ^{2} -n} over {n+3}}]
(3) [eqn: lim _{n-> INF } {{3n+1} over {n ^{2} +2n+2}}]
(4) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n ^{2} +100n}} over {sqrt {n ^{2} +2}+n}}]

24

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +n}} -n)]
(2) [eqn: lim _{n-> INF } {(n ^{2} -2n-5)}]

25

[eqn: LEFT. lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( {4} over {n} RIGHT .} -3 RIGHT )]의 값을 구하여라.

.

26

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n-> INF } {{3n-1} over {n ^{2} +2}}]
(2) [eqn: lim _{n-> INF } {{(n+3)(3n-5)} over {(n+2)(2n-1)}}]

27

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n-> INF } {( sqrt {n+1} -n)}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {sqrt {n} ( sqrt {n+2} - sqrt {n+1}})]

28

수열 {[eqn: a _{n}]}이 수렴하고 [eqn: lim _{n -> INF } {{2a _{n+1} +5} over {a _{n} +2}} =1]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

29

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{1+2+3+ CDOTS +n} over {n ^{2} +1}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {4n ^{2} +1}} over {sqrt {n ^{2} +n} + sqrt {2n}}}]

30

수열 [eqn: left{`a _{n}`right}]에서 [eqn: lim _{n -> INF } {{3a _{n} -2} over {a _{n} +1}}=4]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

31

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +cdots+n ^{2}} over {n ^{3} +n ^{2} +1}}]
(2) [eqn: lim _{n-> INF } {{sqrt {n+1} + sqrt {n-1}} over {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}}}]

32

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF }{} "{"sqrt {1+2+3+ CDOTS +(n+1)} # ~~~~~~~~~~~- sqrt {1+2+3+ CDOTS +n} "}"]
(2) [eqn: lim _{n-> INF } {{sqrt {n+1} - sqrt {n-1}} over {sqrt {2n+1} - sqrt {2n-1}}}]

33

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {} "{"~ sqrt {1+2+3+ CDOTS +(n+1)}# ~~~~~~~~- sqrt {1+2+3+ CDOTS +(n-1)} "}`]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n+1} - sqrt {n}} over {sqrt {n+3} - sqrt {n+1}}}]

34

[eqn: lim _{n -> INF } {{an ^{2} +bn+3} over {3n+2}}=2]가 성립하도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

35

다음 등식이 성립하도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.
[eqn: lim _{n -> INF } {n left{ sqrt {n ^{2} +2n+3}} -(an+b) right}=1]

36

[eqn: lim _{n -> INF } {{an ^{3} +bn ^{2} +2} over {2n ^{2} +3}} =1]이 성립하도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

37

다음 등식이 성립하도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하여라.
[eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +an+2}} - sqrt {n ^{2} +3n+ 4})=2]

38

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n}rmcos{itn pi}]의 값을 구하여라.

39

수열 {[eqn: a_{ n}]}에서 [eqn: 2n-1<na _{n} < sqrt {4n ^{2} +n}]이 성립할 때,  [eqn: lim _{n -> INF } {{(2n+1)a _{n}} over {n+3}}]의 값을 구하여라.

40

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n _{}}} sin {n} over {2} pi]의 값을 구하여라.

41

수열 [eqn: left{ `a_{ n} `right}]에서 [eqn: {n(n+1)} over {6} <a _{n} < {(n+1) ^{2}} over {6}]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{a _{2n}} over {a _{n}}}]의 값을 구하여라.

42

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n-> INF } {{(3n+1)(4n+3)} over {(n+1)(2n+1)}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( {n+1} over {n} RIGHT .} - {n} over {n+1}right)n]
(3)
[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT { log _{2} ( it n ^{2} +2n+3)- rm log _{2} ( it 4n ^{2} it -2n+5) RIGHT }}]

43

수열 [eqn: left{ `a _{n}`right}]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {(3n+4)a _{n} =6}]일 때,
[eqn: lim _{n-> INF } {na _{n}}]의 값을 구하여라.

44

곡선 [eqn: y= sqrt {x}] 위의 점 [eqn: rm P(` it n,~ sqrt {it n})]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {( bar{rm OP it}} - bar{rm OQ it} )]의 값을 구하여라.

45

다음 등식이 성립하도록 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 정하여라.
[eqn: lim _{n -> INF } {n left{ sqrt {n ^{2} +4n+3}} -(an+b)right}=c]

46

[eqn: LEFT. lim _{n -> INF } {LEFT [ {n} over {3} RIGHT .} RIGHT ] {1} over {n}]의 값을 구하여라.

(단, [[eqn: x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

47

[eqn: lim _{n -> INF } {eqalign{( sqrt {n ^{2} +n} + sqrt {n ^{2} +2n}# ~~+` CDOTS `+ sqrt {n ^{2} +10n} -10n)}}]
의 값을 구하여라.

48

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2} +2n}]의 소수 부분을 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{}a _{ n}]의 값을 구하여라.

49

[eqn: lim _{n-> INF } {{1} over {sqrt {n} ( sqrt {n+5} - sqrt {n-1} )}}]의 값을 구하여라.

50

두 수열 {[eqn: { a _{n} }]}, {[eqn: b_{ n}]}에 대하여 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} b _{n} =3}]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =inf]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n} b`` _{`n} ^{2} -a _{n} b _{n} -b _{n} +1} )]의 값을 구하여라.

51

다음 는 극한의 성질에 대한 설명이다. 옳은 것을 모두 고르면?

ㄱ. 두 수열 {[eqn: { a _{n} }]}, {[eqn: b_{ n}]}이 발산하면 수열
{[eqn: { a _{n} }]+[eqn: b_{ n}]}도 발산한다.

ㄴ. 두 수열 {[eqn: { a _{n} }]},{[eqn: b_{ n}]}이 발산하면 수열
{[eqn: { a _{n} }][eqn: b_{ n}]}도 발산한다.

ㄷ. 수열 {[eqn: { a _{n} }]}은 수렴하고 수열 [eqn: left{ a _{n}-b_n right}]도 [eqn: 0]에 수렴하면 수열 {[eqn: b _{n}]}은 수렴하고 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} = lim _{n-> INF } {b _{n}}}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄷ

52

함수 [eqn: f(x)= sqrt {x}]에 대하여 수열 {[eqn: a _{n}]}을 [eqn: a _{1} =f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT )], [eqn: a _{2} =f(a _{1} )], [eqn: CDOTS ,~a _{n} =f(a _{n-1} ) RIGHT .]
[eqn: (n=2,~3,~cdots`)]로 정의할 때, 오른쪽 그래프를 이용하여 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

53

수열 {[eqn: a_{ n}]}의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합
[eqn: S _{n}=n cdot` 2 ^{n}]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {a}} sum _{k=1} ^{n}a _{ k}]의 값을 구하여라.

54

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm O(0,~0)], [eqn: rmA(2,~0)]과 직선 [eqn: y=2] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P( it t,~2)]가 있다. 선분 [eqn: RMAP]와 직선 [eqn: y= {1} over {2}x]가 만나는 점을 [eqn: RMQ]라고 하자. [eqn: rm TRIANGLE QOA]의 넓이가 [eqn: TRIANGLE RMPOA]의 넓이의 [eqn: {1} over {3}]일 때, [eqn: t]의 값을 [eqn: t _{1}], [eqn: {1} over {2}]일 때, [eqn: t]의 값을 [eqn: t _{2}], [eqn: cdots], [eqn: {n} over {n+2}]일 때 [eqn: t]의 값을 [eqn: t _{n}]이라 하면 [eqn: lim _{n-> INF } {t _{n}}]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

55

두 수열 {[eqn: a _{n}]}, {[eqn: b _{n}]}이 모두 수렴하고 일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n``}} ^{2} +b _{n``} ^{``````2} )]의 값은?

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

56

[eqn: lim _{n-> INF } {( sqrt {n(n+3)} -n)}]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

57

수열 {[eqn: a _{n}]}에서 [eqn: n LEQ a _{n} LEQ n+4]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{3a _{n} +2n-5} over {4a _{n} -3n+2}}]의 값은?

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: 0]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

58

수열 {[eqn: a_{ n}]}에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {na _{n}}=3]일 때,
[eqn: lim _{n-> INF } {{3n ^{2} -4n} over {n ^{3} a _{n}}}]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

59

수열 {[eqn: a_{ n}]}이 [eqn: lim _{n -> INF } {{3a _{n} +2} over {a _{n} -1}} =1]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: - {3} over {2}]	③ [eqn: - {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

60

[eqn: lim _{n -> INF } {{an ^{3} +bn ^{2} +n+2} over {2n ^{2} +3n-1 _{}}} =3]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b]의 합 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

61

오른쪽 그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 가로의 길이가 [eqn: n], 세로의 길이가 [eqn: 48]인 직사각형 [eqn: rm OAB _{it n rm} C _{it n rm}]이 있다. 대각선 [eqn: rm AC _{it n rm}]과 선분 [eqn: RMB _{ 1}C _{ 1}]의 교점을 [eqn: RMD _{ ITn}]이라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{bar{rm AC _{itn} it} - rm bar{OC _{it n rm}} it} over {rm bar{B _{1} rm D _{it n rm} }}}] 의 값을 구하여라.

62

다음 의 수열 중 수렴하는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: LEFT { 1+ {2} over {n} RIGHT }]

ㄴ. [eqn: LEFT { {n} over {n+1} RIGHT }]

ㄷ. [eqn: LEFT { ` rm log _{3} it n- rm log _{3} ( it 3n+1) RIGHT }]

ㄹ. [eqn: LEFT { sqrt {n ^{2} +2n} -n RIGHT }]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ

③ ㄴ, ㄹ	④ ㄱ, ㄴ, ㄷ

⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

63

양수로 수렴하는 수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여
[eqn: a _{n+1} =3+ {4} over {a _{n}}(n=1,~2,~3,~ cdots)]가 성립할 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

64

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{rm sin`it n theta it} over {n}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{rm cos ^{2} itn theta it} over {n}}]

65

오른쪽 그림과 같이 정삼각형 [eqn: RMABC]를 각 변의 중점을 연결하는 선분으로 잘랐을 때의 정삼각형의 개수를 [eqn: a _{1}]이라고 하자. 또 가운데 정삼각형을 각 변의 중점을 연결하는 선분으로 잘랐을 때의 모든 정삼각형의 개수를 [eqn: a _{2}]라고 하자. 이와 같은 과정을 [eqn: n]회 반복하였을 때의 모든 정삼각형의 개수를 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{ a _{n } over {2n}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

66

[eqn: lim_n->inf~{(2n)^3over{1^2 +2^2 +3^2 + cdots +n^2]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: inf]

67

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {n+1} + sqrt {n+2}} over {sqrt {n}}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 2}]	③ [eqn: sqrt { 3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

68

[eqn: lim _{n -> INF } {{an ^{2} +2n-1} over {bn ^{3} +n ^{2} -3n-2}} =3]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,~b]는 상수)

69

[eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n ^{2} -2015} -n} over {n- sqrt {n ^{2} -2014}}}]의 값은?

① [eqn: - {2015} over {2014}]	② [eqn: - {2014} over {2015}]	③ [eqn: - {2015} over {2013}]

④ [eqn: {2015} over {2014}]	⑤ [eqn: {2014} over {2015}]

70

[eqn: lim_n->inf{( sqrt { {n^2 +6n +4}} -n)의~값은?]

① [eqn: 1over3]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

71

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sqrt {n ^{2} +n}]의 소수 부분을 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n`}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

72

수열 [eqn: left{ a _{n}right}]에 대하여 부등식

[eqn: 3n+2<(n+1)a _{n} <3n+3]이 성립할 때,

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n`}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n]은 자연수)

73

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: left{ a _{n}right}]이 [eqn: □`a _{n} -3`□`< LEFT | {sin`n theta } over {n} RIGHT | `]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: theta]는 상수)

74

[eqn: lim _{n -> INF } {sqrt {n+10} ( sqrt {n+20} - sqrt {n-30} )}]의 값은?

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

75

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT { log _{2} (n ^{2} +2n-1)-log _{2} (4n ^{2} -2n+3) } right}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

76

두 수열 [eqn: LEFT{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 수렴하고
[eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} +b _{n} )=6], [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} b _{n} =2]일 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} ` ^{2} +b _{n} ` ^{2} )]의 값을 구하시오.

77

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} != 0], [eqn: b _{n} != 0]인 두 수열 [eqn: LEFT{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 수렴할 때, 의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~ lim _{n -> INF } {} (a _{n} -b _{n} )=0]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} {b _{n}} over {a _{n}} =1]이다.

[eqn: ㄴ.~ lim _{n -> INF } {} {b _{n}} over {a _{n}} =1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} -b _{n} )=0]이다.

(단, [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} != 0])

[eqn: ㄷ.~ lim _{n -> INF } {} {b _{n}} over {a _{n}} =1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {b _{n}} =1]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

78

[eqn: a _{1} =a], [eqn: a _{n+1} =2a _{n} +1~(n`=`1,~2,~3,~ CDOTS )]로 정의된 수열 [eqn: LEFT{a_n right}]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]이 수렴할 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

79

이차함수 [eqn: f(x)`=`3x ^{2}]의 그래프 위의 두 점 [eqn: rm P( it n,``````f(n))]과 [eqn: rm Q( it n+1,~`f(n+1))] 사이의 거리를 [eqn: a _{n}]이라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n}]의 값은?

(단, [eqn: n]은 자연수)

① [eqn: 9]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 5]

80

수열 [eqn: LEFT{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: n<a _{n} <n+1]을 만족시킬 때,
[eqn: lim _{n -> INF } {} {n ^{2}} over {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

81

두 수열 [eqn: LEFT{a_n right}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} b _{n} =2]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} `=`inf]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} b _{n} ` ^{2} -a _{n} b _{n} `-b _{n} `+1)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

82

계산기의  키를 누르면 화면에 나와 있는 양수의 제곱근이 다시 화면에 표시된다. 화면에 [eqn: x~(x>0)]가 나와 있는 상태에서  키를 계속하여 눌렀을 때의 극한값을 [eqn: f(x)]라고 하자. 이때, [eqn: f(100)+f(10)+f(0.1)+f(0.01)]의 값을 구하시오.

83

수렴하는 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여
[eqn: lim _{ n->inf} {(a_n +b_n ) } = 5 ,~ lim _{ n->inf} {(a_n - b_n ) } = 9]일 때,
[eqn: lim _{ n->inf} {(2a_n +4b_n ) }]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

84

수열 [eqn: 1,~ {2 ^{2}} over {1+2} ,~ {3 ^{2}} over {1+2+3} ,~ {4 ^{2}} over {1+2+3+4} ,~ CDOTS]의 극한값을 구하시오.

85

[eqn: lim _{ n->inf} { sqrt { n}( sqrt { n+1}- sqrt { n-1}) }]의 값은?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

86

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: 0LEQa_n le 4]일 때,
[eqn: lim _{n-> INF } {{3a_n + 2n-5} over {4a_n - 3n +2}]의 값은?

① [eqn: - 2 over 3]	② [eqn: - 1 over 2]        ③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 2 over 3]          ⑤ [eqn: 4 over 3]

87

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} {(4n-1)a_n} = 16]일 때, [eqn: lim _{ n->inf} {na_n }]의 값은?

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

88

[eqn: 10rmL]의 물이 들어 있는 그릇이 있다. 물의 양의 [eqn: 1 over 2]을 덜어내고 [eqn: 3rmL]의 물을 넣는 시행을 무한히 반복할 때, 그릇에 들어 있는 물의 양은 한없이 몇 [eqn: rmL]에 가까워지는가?

① [eqn: 4rmL]	② [eqn: 5rmL]	③ [eqn: 6rmL]

④ [eqn: 7rmL]	⑤ [eqn: 8rmL]

89

함수 [eqn: f(x)=2^x]이고,

[eqn: S _{n}= log _{2} LEFT { f(1) TIMES f(2) TIMES f(3) TIMES CDOTS TIMES f(n) RIGHT }]일 때,
[eqn: lim _{ n->inf} { S_n over n^2}]의 값은?

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3 over 2]

90

다음 그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 가로의 길이가 [eqn: n], 세로의 길이가 [eqn: 48]인 직사각형 [eqn: rmOAB_{itn} C_{itn}]이 있다. 대각선 [eqn: rmAC_{itn}]과 선분 [eqn: rm B_1 C_1]의 교점을 [eqn: rm D _{itn}]이라 한다.

이때, [eqn: lim _{n -> INF } {{rm bar{AC _{itn}} - bar{OC _{itn}} it} over {rm bar{B _{1}{D _{itn}} it}}]의 값을 구하시오.

91

수열 [eqn: 1`,~3`,~5`,~7`,~ CDOTS `]의 제[eqn: n]항을 [eqn: a_n], 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { na_n over S_n}]의 값을 구하시오.

92

수렴하는 두 수열 [eqn: left{a_n right},~ left{b_n right}]에 대하여
[eqn: lim _{ n->inf} {a_n } =3 ,~ lim _{ n->inf} {3a_n -1} over 2b_n } = 1over 3]일 때, [eqn: lim _{ n->inf} {b_n }]의 값을 구하시오.

미적분Ⅰ	Ⅰ. 수열의 극한		1. 수열의 극한			반 / 번호
	03 등비수열의 극한값					이름

01

다음 등비수열의 수렴 또는 발산을 조사하여라.
(1) [eqn: LEFT { LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) RIGHT . ^{n} right}]
(2) [eqn: LEFT { 2 LEFT ( - {4} over {3} RIGHT . RIGHT .right)^n-1}right]
(3) [eqn: LEFT . LEFT { ( sqrt {3} RIGHT . -1) ^{n-1} RIGHT .right]
(4) [eqn: LEFT { (-1) ^{n-1} RIGHT } RIGHT .]

02

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT. LEFT { 1+ LEFT ( - {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT . RIGHT }}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{3} over {1+2 ^{n}}}]

03

등비수열 {([eqn: 3x-4) ^{ n}]}이 수렴하기 위한 [eqn: x]의 값의 범위를 구하여라.

04

[eqn: r>1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{n}} over {1+r ^{n}}}]의 극한값을 구하여라.

05

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{2 ^{n+1} -(-1) ^{n}} over {2 ^{n} +(-1) ^{n}}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{a ^{n+1} +b ^{n+1}} over {a ^{n} +b ^{n}}}] (단, [eqn: a>b>0)]

06

[eqn: lim _{n-> INF } {{3 ^{n+1} +2 ^{n-1}} over {3 ^{n} -2 ^{n}}}]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

07

등비수열 [eqn: LEFT { (x-4) LEFT ( {x} over {3} RIGHT ) RIGHT . ^{n-1}right]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수는?

① [eqn: 3]개	② [eqn: 4]개	③ [eqn: 5]개

④ [eqn: 6]개	⑤ [eqn: 7]개

08

등비수열 {[eqn: x ^{n}(x-1) ^{n}}]}이 수렴하기 위한 [eqn: x]의 값의 범위는 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta]이다. 이때, [eqn: beta - alpha]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt {5}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2 sqrt {5}]

09

다음 중 [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{n+1} -1} over {r ^{n} +1}}]이 [eqn: 3]에 수렴하도록 하는 상수 [eqn: r]의 값은? (단, [eqn: r != -1])

① [eqn: -3]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

10

[eqn: f(r)= lim _{n-> INF } {{r ^{2n} -r ^{n} +2} over {r ^{2n} +r ^{n} +2}}]일 때,
[eqn: f(-2)+f(1)+f`left( {1} over {2} right)]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

11

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n-1}} over {2 ^{n-1} +3 ^{n+1}}}]의 극한값은?

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

12

첫째항이 [eqn: 2]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열의 일반항을 [eqn: a_{ n}], 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{ n}]이라고 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{S _{n}} over {a _{n}}}]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

13

등비수열 {([eqn: x ^{2} +x)`(x-1) ^{n-1}]}이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: x]의 값들의 합은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

14

양의 실수의 집합에서 정의된 함수
[eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{1-x ^{n}} over {1+x ^{n}}}]에 대하여 [eqn: f( sqrt {2}) TIMES f` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) RIGHT .]의 값을 구하여라.

15

등비수열 [eqn: left{ x(x-1) ^{n-1}right}]이 수렴하기 위한 [eqn: x]의 값의 범위를 구하여라.

16

[eqn: lim _{n -> INF } {(3 ^{n}} +2 ^{2n} ) ^{{1} over {n}}]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

17

함수 [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{x ^{2n+4} +2x} over {x ^{2n} +1}}]일 때,
[eqn: f left( {1} over {2}right)+f(2)]의 값을 구하여라.

18

의 수열 [eqn: left{`a_{ n}`right}] 중 극한값
[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{1} +a _{2} +`cdots`+a _{n}} over {n}}]이 존재하는 것을 모두 고르면?

(가) [eqn: a _{n}=n]

(나) [eqn: a _{n} = {1} over {2 ^{n}}]

(다) [eqn: a _{n}=(-1) ^{ n}]

① (가)	② (나)	③ (다)

④ (나), (다)	⑤ (가), (나), (다)

19

다음 등비수열의 수렴 또는 발산을 조사하여라.
(1) {[eqn: 3^{ n}]}
(2) {[eqn: (-2)^n]}
(3) [eqn: LEFT . LEFT . LEFT { LEFT ( {2} over {3} RIGHT . RIGHT . RIGHT ) ^{n} RIGHT }]
(4) [eqn: LEFT . LEFT . LEFT { LEFT ( - {3} over {2} RIGHT . RIGHT . RIGHT ) ^{n} RIGHT }]

20

다음 등비수열이 수렴하도록 실수 [eqn: r]값의 범위를 정하여라.
(1) {[eqn: (2r) ^{n-1}]}
(2) [eqn: LEFT . LEFT . LEFT { LEFT ( {3} over {r} RIGHT . RIGHT . RIGHT ) ^{n} RIGHT }] (단, [eqn: r>0)]

21

다음 수열의 수렴 또는 발산을 조사하여라.
(1) {[eqn: 1.5 ^{n}]}
(2) {[eqn: (-0.9) ^{n}]}
(3) [eqn: LEFT { LEFT . cos ^{n} {3} over {4} ` pi RIGHT } RIGHT .]

22

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{2 ^{n+1}} over {2^n -1}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n} -2 ^{n}} over {5 ^{n} +2 ^{n}}}]
(3) [eqn: lim _{n-> INF } {(3 ^{n} -2)}]

23

다음 수열의 수렴 또는 발산을 조사하여라.
(1) [eqn: left{(0.99)^n right}]
(2) [eqn: left{(-1.01) ^{n} right}]
(3) [eqn: left{pi ^{n}right}]

24

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n} -4 ^{n}} over {4 ^{n} +3 ^{n}}}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {5 ^{n}} +2} over {2 ^{n`} +1}}]
(3)[eqn: lim _{n-> INF } {(3 ^{n} -4 ^{n} )}]

25

[eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{2 n+1}} over {r ^{2n} +1}}]의 값을 구하여라.

26

두 수열 {[eqn: x^{ 2n-1} }},~{1+x) ^{ n-1}}]}, {[eqn: {(1+x) ^{ n-1}}]}이 동시에 수렴하도록 실수 [eqn: x]값의 범위를 정하여라.

27

다음 극한값을 구하여라.
(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{n}} over {1+r ^{n}}}] (단, [eqn: r != -1])
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{2n} -1} over {r ^{2n} +1}}]

28

다음 등비수열이 수렴하도록 실수 [eqn: r]값의 범위를 정하여라.
(1) {[eqn: (2x+1) ^{n}]}
(2) {[eqn: (x ^{2} +2x) ^{n}]}

29

수열 {[eqn: a_{ n}]}이 수렴하고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.
[eqn: a _{1} =1,~3a _{n+1} =a _{n} +6]

30

수열 {[eqn: a_{ n}]}이 수렴하고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.
[eqn: a _{1} =5,~a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} +3]

31

다음과 같은 수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: a _{n} = LEFT ( {1998} over {1999} RIGHT ) ^{n}]
(2) [eqn: a _{n} >0,~ {a _{n+1}} over {a _{n}} < {1} over {2}]
(3) [eqn: a _{n} = {2cos ^{n} theta -3sin ^{n} theta } over {cos ^{n} theta +2sin ^{n} theta }](단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}])

32

첫째항이 [eqn: -1]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여 수열 {[eqn: x ^{a _{n}}]}이 수렴하기 위한 [eqn: x]값의 범위를 구하여라.

33

수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여
[eqn: b _{n} =a _{n+1} -a _{n} ~(n=1,~2,~3,~ CDOTS )]인 수열 {[eqn: b _{n}]}은 첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열을 이룬다고 한다. 이때 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: a_{ 1}=1])

34

수열 {[eqn: a _{n}]}의 일반항이 [eqn: a _{n} = {1} over {r ^{n} +1} (r != -1)]로 주어질 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

35

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 10 ^{n}]의 양의 약수의 총합을 [eqn: f(n)]이라고 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{f(n)} over {10 ^{n}}}]의 값을 구하여라.

36

수열{[eqn: a_{ n}]}의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S _{n}]에 대하여 [eqn: S _{1} =1000,~S _{n+1} = {2} over {3} S _{n} +4]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

37

자연수 [eqn: n]에 대하여 다항식 [eqn: x ^{n} +2x]를
[eqn: (x-2)(x _{} -3)]으로 나눈 나머지를 [eqn: R(x)]라고 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {{R(2)} over {R(3)}}]의 값을 구하여라.

38

의 수열 {[eqn: a _{n}]} 중 극한값
[eqn: lim _{n-> INF } {{a _{1} +a _{2} +cdots`+a _{n}} over {n}}]이 존재하는 것을 모두 고르면?

ㄱ. [eqn: a _{n} =n]

ㄴ. [eqn: a _{n} = {1} over {2 ^{n}}]

ㄷ. [eqn: a _{n} =(-1) ^{n}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

39

양의 정수 [eqn: a,~b]에 대하여 연산 [eqn: @]를 [eqn: a @b =lim _{n-> INF } {{ba ^{n} +ab ^{n}} over {a ^{n} +b ^{n}}}]으로 정의할 때, [eqn: (5@7)@3]의 값을 구하여라.

40

함수[eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{x ^{2n+4} +2x} over {x ^{2n} +1}}]일 때,
[eqn: LEFT. f`left( {1} over {2} RIGHT ) +f(2)]의 값을 구하여라.

41

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: a _{n} >0], [eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} <{1 over 2]을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]의 값은?

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: INF]

42

다음 수열의 수렴, 발산을 조사하고, 수렴하는 것은 그 극한값을 구하시오.
(1) [eqn: left{1-{2overn} right]
(2) [eqn: left{{1-n^2}overn right]
(3) [eqn: left{(-2)^n right]

43

함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {x ^{n} +3} over {x ^{n} +1}]으로 정의할 때, [eqn: f(-3)+f LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) +f(1)]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

44

[eqn: lim _{n -> INF } {} {8 ^{n+2} +4 ^{n}} over {(2 ^{n} +1)(2 ^{2n} -1)}]의 값을 구하시오.

45

수열 [eqn: LEFT { {r ^{n+1}} over {1+r ^{n}} RIGHT . right}]이 수렴할 때, 다음 중 그 극한값이 될 수 없는 것은?

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1 OVER 2]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: 2]

46

[eqn: rm A] 그릇과 [eqn: rm B] 그릇에 농도가 3%인 소금물과 5%인 소금물이 각각 100g씩 들어 있다. [eqn: rm A], [eqn: rm B] 그릇에서 동시에 10g의 소금물을 퍼내어 서로 바꾸어 넣는 시행을 [eqn: n]회 되풀이했을 때, [eqn: rm A] 그릇과 [eqn: rm B] 그릇의 농도(%)를 각각 [eqn: a_n], [eqn: b_n]이라고 하자. 이때 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]의 값은? (단, [eqn: n=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots])

① [eqn: 10 OVER 3]	② [eqn: {11} over {3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {13} over {4}]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

47

[eqn: 1rmL]의 물이 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 두 그릇에 적당히 나누어 담아져 있다. [eqn: rmA] 그릇의 물의 절반을 [eqn: rmB] 그릇에 따른 후 [eqn: rmB] 그릇의 물의 [eqn: {1} over {3}]을 [eqn: rmA] 그릇에 따르는 시행을 무한히 반복할 때, [eqn: rmA] 그릇에 들어 있는 물의 양은 한없이 몇 [eqn: rm L]에 가까워지는가?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

48

수열 [eqn: LEFT{a_n right}]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {} (2 ^{n+1} +3 ^{n} )a _{n} =4]가 성립할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {(2 ^{n} +3 ^{n+1} )a _{n}}]의 값을 구하시오.

49

두 함수 [eqn: f(x)`=` lim _{n -> INF } {} {x ^{2n+1}} over {1+x ^{2n}}], [eqn: g(x)=ax]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: -1]          ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

50

[eqn: a _{1} =2,~a _{n+1} =- {2} over {3} a _{n} +5~(n GEQ 1)]를 만족시키는 수열 {[eqn: a_{ n}]}에서 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

51

[eqn: a _{1} =1], [eqn: a _{2} =3],
[eqn: 3a _{n+2} -4a _{n+1} +a _{n} =0~(n GEQ 1)]을 만족시키는 수열 [eqn: left{ `a _{n}`right}]에서 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

52

[eqn: a _{1} =1,~a _{2} =2,~a _{n+1} = {1} over {3} (2a _{n} +a _{n-1} )`(n GEQ 2)]인 수열 {[eqn: a _{n}]}에 대하여  [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]을 구하여라.

53

[eqn: a_1 = 3,~a_n+1 = 1 over 3 a_n + 4 over 3 ~(n ge 1 )]로 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]의 극한값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: { 2} over { 3}]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

54

수열 {[eqn: (x-1) ^{2n-1}]}이 수렴하기 위한 실수 [eqn: x]값의 범위는?

① [eqn: 0 LEQ x<2]	② [eqn: 0<x LEQ2]	③ [eqn: 0 LEQx LEQ2]

④ [eqn: 1LEQx<2]	⑤ [eqn: 1LEQx LEQ2]

55

함수 [eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{x ^{2n-1} -2} over {1+x ^{2n}}}]에 대하여 다음 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f(1)= {1} over {2}]

ㄴ. [eqn: f(-1)=- {3} over {2}]

ㄷ. [eqn: □`x`□<1]일 때,  [eqn: f(x)=-1]

ㄹ. [eqn: □`x`□>1]일 때,  [eqn: f(x)= {1} over {x}]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄹ	③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄷ, ㄹ

56

수열 {[eqn: a_{ n}]}의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라고 하면 [eqn: a _{n} +S _{n} =n+2]의 관계식이 성립한다. 이때, [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}}]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: n=1,~2,~3,~cdots])

57

두 수열 {[eqn: a_{ n}]}, {[eqn: b_{ n}]}은 첫째항이 [eqn: a]로 같고, 공비가 각각 [eqn: 2,~3]인 등비수열이다.
[eqn: lim _{n -> INF } {{rm ` it `a _{n} (a _{n} +b _{n} ) it} over {6 ^{n}}} =54]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

58

[eqn: lim _{n->inf} {LEFT ( {2015} over {2016} RIGHT ) ^{n}}]의 값을 구하시오.

59

수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n} >0], [eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} LEQ {2015} over {2016}]
를 만족시킬 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} { { 3a_n +3n-2} over { 4a_n -n+1} }]의 값을 구하여라.

60

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 = 1 ,~ a_n+1 = 1over3 a_n + 2]일 때, [eqn: lim _{ n->inf} {a_n }]의 값은?

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

61

수열 [eqn: left{ r^n+1 over 1+r^n right}]이 수렴할 때, 다음 중 이 수열의 극한값이 될 수 없는 것은? (단, [eqn: r!=-1])

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

62

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 부등식
[eqn: 7 ^{n+1} -3 ^{n} <(3 ^{n+1} +7 ^{n} )a _{n} <3 ^{n} +7 ^{n+1}]
이 성립할 때, [eqn: lim _{ n->inf} {a_n }]의 값은?(단, [eqn: n]은 자연수)

① [eqn: 3 over 7]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 7 over 3]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7]

63

다음  중 수렴하는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} {4^n -1 }over {3^n +1 }]
ㄴ. [eqn: lim _{ n->inf} {2^n+1 -1 }over {2^n }]

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} {2^3n }over {3^n +8^n }]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

64

[eqn: a_1 =1 ,~ a_2 =4]이고
[eqn: 3a_n+2 =2a_n+1 + a_n (n = 1 ,~2 ,~3 ,~ cdots)]으로

정의된 수열 [eqn: left { a_n right}]에 대하여 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n }]의 값을 구하시오.

미적분Ⅰ	Ⅰ. 수열의 극한		1. 수열의 극한			정답
	01 수열의 수렴과 발산

01

수렴

답

02

수렴

답

해

설

수열의 일반항은 [eqn: a_n = (-1) ^n cdot 1 over n]이고, 그 그래프는 다음과 같다.

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} { (-1) ^n cdot 1 over n }=0]
따라서 주어진 수열은 [eqn: 0]에 수렴한다.

03

(1) [eqn: 0]   (2) [eqn: 1]   (3) [eqn: 1]

답

해

설

(1) 다음 그림에서 [eqn: n]의 값이 커짐에 따라 일반항 [eqn: 1 over n]의
값은 [eqn: 0]에 한없이 가까워짐을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {a_n}=lim _{n-> INF } {1overn}=0]
즉, 극한값은 [eqn: 0]이다.

(2) 다음 그림에서 [eqn: n]의 값이 커짐에 따라 일반항 [eqn: n over n+1]의 값은 [eqn: 1]에 한없이 가까워짐을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {b_n}=lim _{n-> INF } {n over n+1}=1]
즉, 극한값은 1이다.

(3) 다음 그림에서 [eqn: n]의 값이 커짐에 따라 일반항 [eqn: n+(-1)^n over n]의 값은 [eqn: 1]에 한없이 가까워짐을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {c_n}=lim _{n-> INF } {n+(-1)^n over n}=1]
즉, 극한값은 1이다.

04

(1) 극한값은 없다.
(2) 극한값은 없다.
(3) 극한값은 없다.

답

해

설

(1) 다음 그림에서 수열 [eqn: left{2n-3 right}]은 [eqn: n]의 값이 한없이 커짐에 따라 일반항 [eqn: 2n-3]의 값이 한없이 커짐을 알 수 있다. 즉, 양의 무한대로 발산한다.

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {(2n-3)}=INF]
따라서, 극한값은 없다.

(2) 다음 그림에서 수열 [eqn: left{(-1)^n+1 cdot2 right}]는 [eqn: n]의 값이 커짐에 따라 [eqn: 2,~-2,~2,~-2,~cdots]와 같이 [eqn: 2]와 [eqn: -2]가 반복되므로 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는다. 즉, 진동한다.

따라서, 극한값은 없다.

(3) 다음 그림에서 수열 [eqn: left{(-1)^n-1 n right}]은 [eqn: n]의 값이 커짐에 따라 [eqn: |`(-1) ^{n-1} n`|]이 커지므로 수렴하지도 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는다. 즉, 진동한다.

따라서, 극한값은 없다.

05

(1) [eqn: 2]에 수렴한다.
(2) 양의 무한대로 발산한다.

답

해

설

(1) 일반항은 [eqn: a_n = 2+ 1overn]이고, 그 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {left(2+ 1 over n right)}=2]
따라서, 주어진 수열은 [eqn: 2]에 수렴한다.

(2) 주어진 수열은 [eqn: 1^2 ,~ 2^2 ,~ 3^2 ,~ 4^2 ,~ 5^2 ,~ cdots]이므로 일반항은 [eqn: a_n = n^2]이고, 그 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {n^2}=INF]
따라서, 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.

06

발산한다.

답

해

설

수열 [eqn: LEFT { cosn pi RIGHT . right}]는 [eqn: -1,~ 1,~ -1,~ 1,~cdots,~ (-1)^n ,~ cdots]이므로 진동한다. 따라서 발산한다.

07

수렴

답

해

설

일반항은 [eqn: a_n = 1- (-1)^n over n]이고, 그 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE lim _{n-> INF } {left{1- (-1)^n over n right)}=1]

따라서 주어진 수열은 [eqn: 1]에 수렴한다.

08

발산

답

해

설

일반항은 [eqn: a_n = {n^2 +1} over n = n + 1 overn]이고, 그 그래프는 다

음 그림과 같다.

[eqn: THEREFORE lim _{ n->inf} {n^2 +1} over n = inf]

따라서 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다.

미적분Ⅰ	Ⅰ. 수열의 극한		1. 수열의 극한			정답
	02 극한값의 계산

01

(1) [eqn: 0]   (2) [eqn: 2]

답

02	[eqn: 13]

답

03

[eqn: 0]

답

04

①

답

해

설

[eqn: lim _{n`->`inf} {a _{n}} =alpha], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} =beta] ([eqn: alpha,~beta]는 상수)로 놓으면

[eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n}} +b _{n} )=alpha+beta=5]

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} b _{n} =alphabeta`=4]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {(a _{n``}} ^{3} +b _{n``} ^{``````3} ) & = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { (a _{n} +b _{n} ) ^{3} -3a _{n} b _{n} (a _{n} +b _{n} ) RIGHT }}# & =( alpha +` beta `) ^{3} -3 alpha beta ( alpha + beta )# & =5 ^{3} -`3 TIMES 4times5=65]

05

②

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}= alpha]로 놓으면

[eqn: lim _{n -> INF } {{3a _{n} +4} over {a _{n} +2}} = {lim _{n` -> ` INF } {(3a _{n} +4)}} over {lim _{n` -> ` INF } {(a _{n} +2)}} {3 alpha +4} over {alpha +2} =1`]

[eqn: 3alpha+ 4 = alpha +2]

[eqn: therefore alpha =-1]

06

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 1]

답

해

설

(1) [eqn: 1+2+3+cdots + n = 1 over 2 n(n+1)]
[eqn: 1+3+5+cdots + (2n-1) = n over 2 left{ 1+(2n-1) right} = n^2]
[eqn: lim _{n -> INF } {{1+3+5+ CDOTS +(2n-1)} over {1+2+3+ CDOTS +n}}# = lim _{n` -> ` INF } {{n ^{2}} over {{1} over {2} n(n+1)}} = lim _{n` -> ` INF } {{2n ^{2}} over {n(n+1)}}# = lim _{n` -> ` INF } {{2} over {1+ {1} over {n}}} =2]

(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n} - sqrt {n-1}} over {sqrt {n+1} - sqrt {n}}}# = lim _{n -> INF } {{( sqrt {n} - sqrt {n-1} )( sqrt {n} + sqrt {n-1} )( sqrt {n+1} + sqrt {n} )} over {( sqrt {n+1} - sqrt {n} )( sqrt {n+1} + sqrt {n} )( sqrt {n} + sqrt {n-1} )}}# = lim _{n` -> ` INF } {{sqrt {n+1} + sqrt {n}} over {sqrt {n} + sqrt {n-1}}} = lim _{n` -> ` INF } {{sqrt {1+ {1} over {n}} +1} over {1+ sqrt {1- {1} over {n}}}}# = {1+1} over {1+1} =1]

07

(1) [eqn: {3} over {2}]   (2) [eqn: ` {1} over {2}]

답

해

설

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{3n-2} over {2n+1} = lim _{n -> INF } {{3- {2} over {n}} over {2+ {1} over {n}}} = {3} over {2}}]

(2) [eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +n}} -n) & = lim _{n -> INF } {{n} over {sqrt {n ^{2} +n} +n}}# & = lim _{n -> INF } {{1} over {sqrt {1+ {1} over {n}} +1}} = {1} over {2}]

08

②

답

해

설

[eqn: 2n-1<(3n+4)a _{ n}<2n+1]의 각 변을 [eqn: 3n+4]로 나누면

[eqn: {2n-1} over {3n+4} <a _{n} < {2n+1} over {3n+4}]

그런데 [eqn: lim _{n`->`inf} {{2n-1} over {3n+4} = lim _{n`->`inf} {{2n+1} over {3n+4} = {2} over {3}}}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = {2} over {3}]

09

④

답

해

설

[eqn: 3n ^{2} -n-1<2n ^{3} a _{n} <3n ^{2} +n+1]에서

[eqn: {3n ^{2} -n-1} over {2n ^{3}} <a _{n} < {3n ^{2} +n+1} over {2n ^{3}}]

[eqn: THEREFORE {(3n ^{2} -n-1)(n+3)} over {2n ^{3}} <(n+3)a _{n}# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`< {(3n ^{2} +n+1)(n+3)} over {2n ^{3}}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {(3n ^{2} -n-1)(n+3)} over {2n ^{3}}# = lim _{n` -> ` INF } {} {(3n ^{2} +n+1)(n+3)} over {2n ^{3}}# = {3} over {2}]

이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {(n+3)a _{n}} = {3} over {2}]

10

③

답

해

설

[eqn: a _{n} -b _{n} =c _{n}]으로 놓으면 [eqn: lim _{n`->`inf} {c _{n}} =3]이고 [eqn: a _{n}= b_ n + c _ n]이다.

[eqn: THEREFORE lim _{n` -> ` INF } {{a _{n}} over {b _{n}}} = lim _{n` -> ` INF } {{b _{n} +c _{n}} over {b _{n}}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 1+ {c _{n}} over {b _{n}} RIGHT )} =1]

11

④

답

해

설

분모와 분자의 차수가 같아야 하므로

[eqn: a=0,~b=0]

[eqn: lim _{n`->`inf} {{cn+2} over {4n-1} = {c} over {4} =4}]에서

[eqn: c=12]

[eqn: THEREFORE `a`+b+c=12]

12

①

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{` sqrt {n+1} - sqrt {n}} over {sqrt {n+2} - sqrt {n}}}# = lim _{n -> INF } {{`( sqrt {n+1} - sqrt {n} )`( sqrt {n+1} + sqrt {n} )`( sqrt {n+2} + sqrt {n} )} over {( sqrt {n+2} - sqrt {n} )`( sqrt {n+1} + sqrt {n} )`( sqrt {n+2} + sqrt {n} )}}# = lim _{n` -> ` INF } {{sqrt {n+2} + sqrt {n}} over {2( sqrt {n+1} + sqrt {n} )}}# = lim _{n` -> ` INF } {{sqrt {1+ {2} over {n}} + sqrt {1}} over {2 LEFT ( sqrt {1+ {1} over {n}} + sqrt {1} RIGHT )}} = {2} over {4} = {1} over {2}]

13

①

답

해

설

[eqn: -1le sin n over2 pi le 1]이므로

[eqn: - {1} over {3n+1} LEQ {sin {n} over {2} pi } over {3n+1} LEQ {1} over {3n+1}]

[eqn: lim _{n`->`inf} {LEFT ( - {1} over {3n+1} RIGHT )} = lim _{n`->`inf} {{1} over {3n+1} =0}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{sin {n} over {2} pi } over {3n+1}}=0]

14

③

답

해

설

(가) (반례) [eqn: a_n =n ,~b_n = 2n+1]

(나) (반례) [eqn: a_ n = 1 + 1 over n ,~b_n = 1 + 2 over n]

(다) [eqn: a_n - b_n =c_n]으로 놓으면 [eqn: lim _{ n`->`inf} {c_n }=0]이고
[eqn: b_n = a_n -c _n]에서
[eqn: lim _{ n`->`inf} {b_n }= lim _{ n`->`inf} {(a_n -c_n ) = alpha - 0 = alpha }]

15

①

답

해

설

[eqn: { 5-a_n} over { 2a_n +1}=b_n]으로 놓으면 [eqn: lim _{ n`->`inf} {b_n }=3]이고
[eqn: a_n = { -b_n + 5} over { 2b_n +1}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{a _{n} +1} over {a _{n} -1}} = lim _{n` -> ` INF } {{-b _{n} +5+(2b _{n} +1)} over {-b _{n} +5-(2b _{n} +1)} =-1.8}]

16

[eqn: 1 over 2]

답

해

설

[eqn: n+1 < sqrt { n^2 +3n } <n+2]이므로

[eqn: a_n = sqrt { n^2 +3n }-(n+1)]

[eqn: THEREFORE lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} & = lim _{n` -> ` INF } {( sqrt {n ^{2} +3n} -n-1)}# & = lim _{n`->`inf} {{n-1} over {sqrt {n ^{2} +3n} +n+1}} = {1} over {2}]

17

④

답

해

설

[eqn: n ge 2]에서  [eqn: a_n = S_n - S_n-1 =(n+1) cdot 2^n-1]

[eqn: S_1 = a_1 =2]이므로

[eqn: a_n =(n+1) cdot 2^n-1]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} { { S_n} over {a_n } }= lim _{ n`->`inf} { { n cdot 2^n } over {(n+1)cdot2^n-1 } }= lim _{ n`->`inf} { { 2n} over { n+1} }=2]

18

[eqn: 1 over 10]

답

해

설

[eqn: left[ n over 10 right] le n over 10 < left[ n over 10 right] +1]이므로

[eqn: n over 10 - 1 < left[ n over 10 right] le n over 10 ,~ 1 over n left( n over10 - 1 right) < 1 overn left[ n over 10 right] le 1 over10]

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 1} over { n}left( n over 10 - 1 right) }= lim _{ n`->`inf} { 1 over 10 }= 1 over 10]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} {1 over n left[ n over 10 right] }= 1 over 10]

19

(1) [eqn: 0]   (2) [eqn: 2 over 3]

답

해

설

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {n ^{2}}} & = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {n} CDOT {1} over {n} RIGHT )}# & = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n}} CDOT lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n}}# & =0 CDOT 0=0]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{2+ {1} over {n}} over {{2} over {n} +3}} = {lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2+ {1} over {n} RIGHT )}} over {lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {2} over {n} +3 RIGHT )}} & = {2+ lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n}}} over {2 lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n}} +3}# & = {2+0} over {0+3} = {2} over {3}]

20

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 0]

답

해

설

(1) [eqn: inf over inf]꼴이므로 분모의 최고차항 [eqn: n]으로 분모, 분자를 나누어 계산하면
[eqn: lim _{n -> INF } {{2n-3} over {n+1}} = lim _{n` -> ` INF } {{2- {3} over {n}} over {1+ {1} over {n}}} = {2} over {1} =2]

(2) [eqn: INF -inf]꼴이므로 분자를 유리화하여 계산하면
[eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n+1}} - sqrt {n-1} )# = lim _{n` -> ` INF } {{( sqrt {n+1} - sqrt {n-1} )( sqrt {n+1} + sqrt {n-1} )} over {sqrt {n+1} + sqrt {n-1}}}# = lim _{n`->`inf} {{(n+1)-(n-1)} over {sqrt {n+1} + sqrt {n-1}}}# = lim _{n`->`inf} {{2} over {sqrt {n+1} + sqrt {n-1}} = {2} over {inf} =0}]

21

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: 2n-1 over n+1 < a_n < 2n+1 over n+1]이고,

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 2n-1} over { n+1} }= lim _{ n`->`inf} { { 2n+1} over { n+1} }=2]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} {a_n }=2]

22

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 0]   (3) [eqn: 1 over 2]

답

해

설

(1) [eqn: lim _{ n`->`inf} {left( 2- 3 over n right) }=2 - 3 lim _{ n`->`inf} {1 over n }=2 - 3 cdot 0 =2]

(2) [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {2} over {n ^{2}} + {1} over {n} RIGHT )} & =2 lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}}} + lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n}}# & =2cdot0 +0=0]

(3) [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{{1} over {n ^{2}} +1} over {2- {5} over {n}}} = {lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {n ^{3}} +1 RIGHT )}} over {lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2- {5} over {n} RIGHT )}} = {0+1} over {2-0} = {1} over {2}]

23

(1) [eqn: 3]   (2) 극한값은 없다.
(3) [eqn: 0]   (4) [eqn: 1 over 2]

답

해

설

(1) 분모의 최고차항 [eqn: n^2]으로 분모, 분자를 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} -1} over {n ^{2} +2n}} = lim _{n -> INF } {{3- {1} over {n ^{2}}} over {1+ {2} over {n}}} = {3} over {1} =3]

(2) 분모의 최고차항 [eqn: n]으로 분모, 분자를 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{2} -n} over {n+3}} = lim _{n -> INF } {{n-1} over {1+ {3} over {n}}} = {INF } over {1+0} =inf]
따라서 극한값은 없다.

(3) [eqn: lim _{n -> INF } {{3n+1} over {n ^{2} +2n+2}} & = lim _{n -> INF } {{{3} over {n} + {1} over {n ^{2}}} over {1+ {2} over {n} + {2} over {n ^{2}}}}# & = {0+0} over {1+0+0} =0]

(4) 분모의 최고차항 [eqn: sqrt {n ^{2}} (=n)]으로  분모, 분자를 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n ^{2} +100n}} over {sqrt {n ^{2} +2} +n}} = lim _{n -> INF } {{sqrt {1+ {100} over {n}}} over {sqrt {1+ {2} over {n ^{2}}} +1}} & = {1} over {1+1}# & = {1} over {2}]

24

(1) [eqn: 1 over 2]   (2) 극한값은 없다.

답

해

설

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +n}} -n)# = lim _{n` -> ` INF } {{( sqrt {n ^{2} +n`-n} )( sqrt {n ^{2} +n} +n)} over {sqrt {n ^{2} +n} +n}}# = lim _{n` -> ` INF } {{n} over {sqrt {n ^{2} +n} +n}}# = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {sqrt {1+ {1} over {n}} +1}} = {1} over {2}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {(n ^{2} -2n-5)} & = lim _{n -> INF } {n ^{2} ` LEFT ( 1- {2} over {n} - {5} over {n ^{2}} RIGHT )}# & = INF ` CDOT `1# & =` INF]

25

[eqn: -6]

답

해

설

[eqn: LEFT . lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( {4} over {n} RIGHT .} -3 RIGHT )# = lim _{n`->`inf} {LEFT ( 2+ {1} over {n} RIGHT ) cdot lim _{n->inf} {LEFT ( {4} over {n} -3 RIGHT )}}# =2`cdot`(-3)=-6]

26

(1) [eqn: 0]   (2) [eqn: 3 over 2]

답

해

설

(1) 분모, 분자를 [eqn: n ^{2}]으로 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{3n-1} over {n ^{2} +2}}= lim _{ n`-> `inf} { { { 3} over { n} - 1 over n ^2 } over { 1+ 2 over n ^2 } }= 0-0 over 1+0 = 0]

(2) 분모, 분자를 [eqn: n^2]으로 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{(n+3)(3n-5)} over {(n+2)(2n-1)}}# = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( 1+ {3} over {n} RIGHT ) LEFT ( 3- {5} over {n} RIGHT )} over {LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2- {1} over {n} RIGHT )}} = {1cdot3} over {1cdot2} = {3} over {2}]

27

(1) [eqn: 0]   (2) [eqn: 1 over 2]

답

해

설

(1) 분자를 유리화하면
[eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n+1} -n)}# = lim _{n` -> ` INF } {{( sqrt {n+1} -n)( sqrt {n+1} + sqrt {n} )} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}}}# = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}} = {1} over {inf} =0}]

(2) [eqn: sqrt {n+2} - sqrt {n+1}]을 유리화하면
[eqn: lim _{n -> INF } {sqrt {n} ( sqrt {n+2} - sqrt {n+1}} )# = lim _{n`->`inf} {sqrt {n} `cdot` {(n+2)-(n+1)} over {sqrt {n+2} + sqrt {n+1}}}# = lim _{n`->`inf} {{sqrt {n}} over {sqrt {n+2} + sqrt {n+1}}}# = lim _{n`->`inf} {{sqrt {1}} over {sqrt {1+ {2} over {n}} + sqrt {1+ {1} over {n}}} `} = {1} over {2}]

28

[eqn: -3]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =alpha]라고 하면 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n+1}} = alpha]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{2a _{n+1} +5} over {a _{n} +2}} = {lim _{n` -> ` INF } {(2a _{n+1} +5)}} over {lim _{n` -> ` INF } {(a _{n} +} 2)} = {2alpha+5} over {alpha+2} =1]

따라서 [eqn: alpha`=-3]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =-3]

29

(1) [eqn: {1} over {2}]   (2) [eqn: 2]

답

해

설

(1) [eqn: 1+2+3+cdots+n= {n(n+1)} over {2}]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {{1+2+3+ CDOTS +n} over {n ^{2} +1}}# = lim _{n`->`inf} {{{n(n+1)} over {2}} over {n ^{2} +1}} = lim _{n`->`inf} {{n ^{2} +n} over {2n ^{2} +2}}# = lim _{n`->`inf} {{1+ {1} over {n}} over {2+ {2} over {n ^{2}}} = {1+0} over {2+0}} = {1} over {2}]

(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {4n ^{2} +1}} over {sqrt {n ^{2} +n} + sqrt {2n}}}# = lim _{n` -> ` INF } {{sqrt {4+ {1} over {n ^{2}}}} over {sqrt {1+ {1} over {n}} + sqrt {{2} over {n}}}} = {sqrt {4}} over {1+0} =2]

30

[eqn: -6]

답

해

설

[eqn: lim _{n-> INF } {a _{n}} =+-inf]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {{3a _{n} -2} over {a _{n} +1}} =3]이므로 수열 [eqn: left{`a _{n}`right}]은 수렴해야 한다.

즉, [eqn: lim _{n -> INF } {{3a _{n} -2} over {a _{n} +1}} = {lim _{n` -> ` INF } {(3a _{n} -2)}} over {lim _{n`->`inf} {(a _{n} +1)}} =4]에서

[eqn: 3 lim _{n` -> ` INF } {a _{n} -2=3} ( lim _{n`->`inf} {a _{n} +1)}]

[eqn: THEREFORE lim _{ n`->`inf} {a_n =-6 }]

31

(1) [eqn: 1 over 3]   (2) [eqn: { sqrt { 2} } over {2 }]

답

해

설

(1) [eqn: 1^2 + 2^2 + 3^2 + cdots + n^2 = { n(n+1)(2n+1)} over { 6}]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {{1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} + CDOTS +n ^{2}} over {n ^{3} +n ^{2} +1}}# = lim _{n` -> ` INF } {{n(n+1)(2n+1)} over {6(n ^{3} +n ^{2} +1)}}# = lim _{n`->`inf} {{1cdot LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2+ {1} over {n} RIGHT )} over {6 LEFT ( 1+ {1} over {n} + {1} over {n ^{3}} RIGHT )}}# = {2} over {6} = {1} over {3}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n+1} + sqrt {n-1}} over {sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1}}}# = lim _{n->inf} {{sqrt {1+ {1} over {n}} + sqrt {1- {1} over {n}}} over {sqrt {2+ {1} over {n}} + sqrt {2- {1} over {n}}}}# = {1+1} over {sqrt {2} + sqrt {2}} = {2} over {2 sqrt {2}}# = {sqrt {2}} over {2}]

32

(1) [eqn: { sqrt { 2} } over { 2}]   (2) [eqn: sqrt { 2}]

답

해

설

(1) [eqn: 1+2+3+cdots+n = n(n+1) over 2],
[eqn: 1+2+3+cdots+(n+1) = { (n+1)(n+2)} over {2 }]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {} "{"~ sqrt {1+2+3+ CDOTS +(n+1)}# ~~~~~~~~~~~~~~~- sqrt {1+2+3+ CDOTS +n} "}"# = {1} over {sqrt {2}} lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { sqrt {(n+1)(n+2)} - sqrt {n(n+1)} RIGHT }# = {1} over {sqrt {2}} lim _{n` -> ` INF } {{2n+2} over {sqrt {(n+1)(n+2)} + sqrt {n(n+1)}}}# = {1} over {sqrt {2}} lim _{n` -> ` INF } {{2+ {2} over {n}} over {sqrt {LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT )} + sqrt {1+ {1} over {n}}}}# = {1} over {sqrt {2}} cdot {2} over {1+1} = {sqrt {2}} over {2}]

(2) 분모와 분자를 각각 유리화하면
[eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n+1} - sqrt {n-1}} over {sqrt {2n+1} - sqrt {2n-1}}}# = lim _{n -> INF } {{2( sqrt {2n+1} + sqrt {2n-1} )} over {2( sqrt {n+1} + sqrt {n-1} )}}# = lim _{n -> INF } {{sqrt {2+ {1} over {n}} + sqrt {2- {1} over {n}}} over {sqrt {1+ {1} over {n}} + sqrt {1- {1} over {n}}}}# = {sqrt {2} + sqrt {2}} over {1+1} = sqrt {2}]

33

(1) [eqn: sqrt { 2}]   (3) [eqn: 1 over 2]

답

해

설

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {} "{"~ sqrt {1+2+3+ CDOTS +(n+1)}# ~~~~~~~~- sqrt {1+2+3+ CDOTS +(n-1)} "}"# = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { sqrt {{(n+1)(n+2)} over {2}} - sqrt {{(n-1)n} over {2}} RIGHT }}# = {1} over {sqrt {2}} lim _{n` -> ` INF } {sqrt {(n+1)(n+2)} - sqrt {(n-1)n}}# = {1} over {sqrt {2}} lim _{n` -> ` INF } {{4n+2} over {sqrt {(n+1)(n+2)} + sqrt {(n-1)n}}}# = {1} over {sqrt {2}} lim _{n` -> ` INF } {{4+ {2} over {n}} over {sqrt {LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT )} + sqrt {1- {1} over {n}}}}# = {1} over {sqrt {2}} cdot {4} over {1+1} = sqrt {2}]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n+1} - sqrt {n}} over {sqrt {n+3} - sqrt {n+1}}}# = lim _{n` -> ` INF } {} {LEFT { (n+1)-n RIGHT } ( sqrt {n+3} + sqrt {n+1} )} over {LEFT. LEFT { RIGHT . (n+3)-(n+1) RIGHT } ( sqrt {n+1} + sqrt {n} )}# = lim _{n`->`inf} {{sqrt {n+3} + sqrt {n+1}} over {2( sqrt {n+1} + sqrt {n} )}}# = lim _{n`->`inf} {{sqrt {1+ {3} over {n}} + sqrt {1+ {1} over {n}}} over {2 LEFT ( sqrt {1+ {1} over {n}} +1 RIGHT )}}# = {1+1} over {2(1+1)} = {1} over {2}]

34

[eqn: a=0,~b=6]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{an ^{2} +bn+3} over {3n+2}} = lim _{n -> INF } {{an+b+ {3} over {n}} over {3+ {2} over {n}}}]

이 식이 극한값을 가지려면 [eqn: a=0]이어야 한다.

또, 이때의 극한값 [eqn: b over 3 =2]에서  [eqn: b=6]

35

[eqn: a=1,~b=1]

답

해

설

[eqn: a le 0]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT. n LEFT { sqrt {n ^{2} +2n+3} RIGHT . -(an+b) RIGHT } =inf}]이므로 [eqn: a>0]이다.

[eqn: THEREFORE & lim _{n -> INF } {LEFT . n LEFT { sqrt {n ^{2} +2n+3} -(an+b) RIGHT . RIGHT }}# & = lim _{n` -> ` INF } {{n LEFT { (n ^{2} +2n+3)-(an+b) ^{2} RIGHT }} over {sqrt {n ^{2} +2n+3} +(an+b)}}# & = lim _{n` -> ` INF } {{(1-a ^{2} )n ^{2} +2(1-ab)n+3-b ^{2}} over {sqrt {1+ {2} over {n} + {3} over {n ^{2}}} +a+ {b} over {n}}}]

이 식이 수렴하려면 분자의 [eqn: n ^{2}], [eqn: n]의 계수가 모두 [eqn: 0]이어야 한다.

[eqn: a>0]이므로

[eqn: a=1,~b=1]

36

[eqn: a=0,~b=2]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{an ^{3} +bn ^{2} +2} over {2n ^{2} +3}}]가 [eqn: 0]이 아닌 실수에 수렴하므로 분자, 분모의 차수가 같다.

[eqn: therefore a=0]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{bn ^{2} +2} over {2n ^{2} +3}} = {b} over {2}=1]이므로  [eqn: b=2]

37

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +an+2}} - sqrt {n ^{2} +3n+4} )# = lim _{n -> INF } {{(n ^{2} +an+2)-(n ^{2} +3n+4)} over {sqrt {n ^{2} +an+2} + sqrt {n ^{2} +3n+4}}}# = lim _{n`->`inf} {{a-3- {2} over {n}} over {sqrt {1+ {a} over {n} + {2} over {n ^{2}}} + sqrt {1+ {3} over {n} + {4} over {n ^{2}}}}}# = {a-3} over {2} =2]

[eqn: therefore`a=7]

38

[eqn: 0]

답

해

설

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: -1 le cos`n pi le1]이므로

[eqn: - {1} over {n} LEQ {1} over {n} rmcos {itn pi} le 1 over {itn}]

이때 [eqn: lim _{ n`->`inf} {1 over n } =0], [eqn: lim _{ n`->`inf} { LEFT ( - { 1} over {n } RIGHT ) }=0]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} { 1 overn rm {cos} ``it n pi}=0]

39

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: 2n-1<na _{n} < sqrt {4n ^{2} +n}]에서

[eqn: 2n-1 over n < a _n < sqrt { 4n^2 +n} over n]

이때 [eqn: lim _{ n`->` inf} { { 2n-1} over { n} }=2,~ lim _{ n`->`inf} { sqrt { 4n^2 + n}overn }=2]이므로

[eqn: lim _{ n`->` inf} {a_n }=2]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} { { (2n+1)a_n} over {n+3 } } = lim _{ n`->`inf} { { 2n+1} over {n+3 }cdot lim _{ n`->`inf} {a_n } = 2 cdot 2 = 4]

40

[eqn: 0]

답

해

설

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: -1 LEQ sin` {n} over {2} pi LEQ 1]이므로

[eqn: - 1 over n le 1 over n sin n over 2 pi le 1 overn]

이때 [eqn: lim _{ n`->`inf} { LEFT ( - { 1} over { n} RIGHT ) }= lim _{ n`->`inf} { { 1} over { n} }=0]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} `} sin` {n} over {2} pi =0]

41

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: {n(n+1)} over {6} <a _{n} < {(n+1) ^{2}} over {6}]이므로

[eqn: {2n(2n+1)} over {6} <a _{2n} < {(2n+1) ^{2}} over {6}]

[eqn: THEREFORE {2n(2n+1)} over {(n+1) ^{2}} < {a _{2n}} over {a _{n}} < {(2n+1) ^{2}} over {n(n+1)}]

이때 [eqn: lim _{n`->`inf} {{2n(2n+1)} over {(n+1) ^{2}} =4,~ lim _{n`->`inf} {{(2n+1) ^{2}} over {n(n+1)}}} =4]이므로  [eqn: lim _{n -> INF } {{a _{2n}} over {a _{n}}}=4]

42

(1) [eqn: 6]   (2) [eqn: 2]    (3) [eqn: -2]

답

해

설

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{(3n+1)(4n+3)} over {(n+1)(2n+1)}} & = lim _{n`->`inf} {{LEFT ( 3+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 4+ {3} over {n} RIGHT )} over {LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2+ {1} over {n} RIGHT )}}# & = {3times4} over {1times1} =6]
(2) [eqn: LEFT. lim _{n -> INF } {LEFT ( {n+1} over {n} RIGHT .} - {n} over {n+1} RIGHT ) n & = lim _{n`->`inf} {{(n+1) ^{2} -n ^{2}} over {n(n+1)} cdotn}# & = lim _{n`->`inf} {{2n+1} over {n+1}}# & =2]
(3) [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT { log _{2} ( it n ^{2} +2n+3)- rm log _{2} ( it 4n ^{2} it -2n+5) RIGHT }}# = lim _{n` -> ` INF } {log _{2} {n ^{2} +2n+3} over {4n ^{2} -2n+5} `}# =log _{2} LEFT ( lim _{n` -> ` INF } {{n ^{2} +2n+3} over {4n ^{2} -2n+5}} RIGHT )# =log _{2} {1} over {4} =-2]

43

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {na _{n}} & = lim _{n` -> ` INF } {{n} over {3n+4} (3n+4)a _{n}}# & = lim _{n` -> ` INF } {{n} over {3n+4} CDOT lim _{n` -> INF } {(3n+4)a _{n}}}# & = 1 over 3 times 6 = 2]

44

[eqn: 1 over 2]

답

해

설

[eqn: rm bar{OQ} = it n,~ rm bar{OP} = sqrt {rm {bar{OQ}} ^{2} + rm{ bar{PQ}} ^{2}} = sqrt {it n ^{2} rm + it n rm}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {( bar{rm OP it}} - bar{rm OQ it} ) & = lim _{n` -> ` INF } {( sqrt {n ^{2} +n} -n)}# & = lim _{n` -> ` INF } {{(n ^{2} +n)-n ^{2}} over {sqrt {n ^{2} +n} +n}}# & = lim _{n -> ` INF } {{1} over {sqrt {1+ {1} over {n}} +1}} = {1} over {2}]

45

[eqn: a=1,~b=2]

답

해

설

[eqn: a` LEQ `0]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {n left{ sqrt {n ^{2} +4n+3}} -(an+b)right}=inf]이므로 [eqn: a>0]이다.

[eqn: THEREFORE ` & lim _{n -> INF } {LEFT . n LEFT { sqrt {n ^{2} +4n+3} RIGHT . -(an+b) RIGHT }}# & = lim _{n -> INF } {{LEFT . n LEFT { (n ^{2} +4n+3 RIGHT . )-(an+b) ^{2} RIGHT }} over {sqrt {n ^{2} +4n+3} +(an+b)}}# & = lim _{n` -> ` INF } {{(1-a ^{2} )n ^{2} `+2(2-ab)n+3-b ^{2}} over {sqrt {1+ {4} over {n} + {3} over {n ^{2}}} + LEFT ( a+ {b} over {n} RIGHT )}}]

이 식이 수렴하려면 분자의 [eqn: n ^{2}], [eqn: n]의 계수가 모두 [eqn: 0]이어야 하므로  [eqn: 1-a ^{2} `=0], [eqn: 2-ab=0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=1,~b=2]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n` -> ` INF } {{3-2 ^{2}} over {sqrt {1+ {4} over {n} + {3} over {n ^{2}}} + LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT )}} = {-1} over {1+1} =- {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE `c=-` {1} over {2}]

46

[eqn: 1 over 3]

답

해

설

[eqn: LEFT [ {n} over {3} RIGHT ]=k] ([eqn: k]는 정수)라고 하면

[eqn: k le n over 3 <k+1], [eqn: 3k le n <3k+3]

[eqn: 1 over 3k+3 < 1 overn le 1 over 3k]

[eqn: therefore k over 3k+3 < left[ n over 3 right] 1 overn le k over 3k]

이때 [eqn: n`->` inf]일 때 [eqn: k`->`inf]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} { { k} over { 3k+3} }= lim _{ k`->`inf} {k over3k = 1 over3 }]

[eqn: therefore LEFT . lim _{n -> INF } {LEFT [ {n} over {3} RIGHT .} RIGHT ] {1} over {n} = 1 over 3]

47

[eqn: 55 over 2]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +n} + sqrt {n ^{2} +2n} +` CDOTS `+ sqrt {n ^{2} +10n} -10n)}# = lim _{n` -> INF } {} "{"( sqrt {n ^{2} +n} -n)+( sqrt {n ^{2} +2n} -n)# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+ CDOTS +( sqrt {n ^{2} +10n} -n)"}"]

이때

[eqn: ( sqrt {n ^{2} +kn} -n)= lim _{n`->`inf} {{kn} over {sqrt {n ^{2} +kn} +n}} = {k} over {2}]이므로 구하는 극한값은

[eqn: 1 over 2 + 2 over 2 +cdots + 10 over 2 = 1 over 2 (1+2+cdots+10)= 55 over2]

48

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: n ^{2} <n ^{2} +2n <(n+1) ^2]이므로

[eqn: n< sqrt { n^2 +2n } <n+1]

[eqn: therefore a_n = sqrt { n^2 +2n }-n]

[eqn: THEREFORE lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} & = lim _{n` -> ` INF } {( sqrt {n ^{2} +2n} -n)}# & = lim _{n`->`inf} {{2n} over {sqrt {n ^{2} +2n} +n}}# & = lim _{n`->`inf} {{2} over {sqrt {1+ {2} over {n}} +1}}# & = {2} over {1+1} =1]

49

[eqn: 1 over3]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{1} over {sqrt {n} ( sqrt {n+5} - sqrt {n-1} )}}# = lim _{n -> INF } {{sqrt {n+5} + sqrt {n-1}} over {sqrt {n} LEFT { (n+5)-(n-1) RIGHT }}}# = lim _{n -> INF } {{sqrt {n+5} + sqrt {n-1}} over {6 sqrt {n}}}# = lim _{n -> INF } {{sqrt {1+ {5} over {n}} + sqrt {1- {1} over {n}}} over {6}}# = {1} over {3}]

50

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} =inf]이고 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} b _{n} =3}]일 때

(i) [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} = INF]이면 [eqn: INF cdotinf=inf] 꼴이므로
[eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} b _{n} =inf]가 되어 모순이다.

(ii)  [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} = c] ([eqn: c]는 [eqn: 0]이 아닌 상수)이면 [eqn: c cdotinf=inf](또는 [eqn: -inf])꼴이므로 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} b _{n} =inf](또는 [eqn: -inf])가 되어 역시 모순이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n}} = 0]이어야 한다.

[eqn: a _{n} b`` _{`n} ^{2} -a _{n} b _{n} -b _{n} +1 & =a _{n} b _{n} (b _{n} -1)-(b _{n} -1)# & =(a _{n} b _{n} -1)(b _{n} -1)]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {(a _{n} b`` _{`n} ^{2} -a _{n} b _{n} -b _{n} +1} ) & = lim _{n -> INF } {(a _{n} b _{n} -1)(b _{n} -1} )# & =(3-1)(0-1)=-2]

51

③

답

해

설

ㄱ. (반례) [eqn: a _{n`} =n,~b _{n} =-n]이면 두 수열 [eqn: LEFT { a_n right},~left{b_n right}]은 발산하지만 [eqn: a_n + b_ n =n+(-n)=0]이므로 수열 [eqn: left{ a_n + b_ n right}]은 [eqn: 0]에 수렴한다.

ㄴ. (반례) [eqn: a_n =(-1) ^n ,~b_n =(-1) ^n]이면 두 수열 [eqn: LEFT { a_n right},~left{b_n right}]은 진동으로 발산하지만 [eqn: a_n b_n = (-1) ^2n =1]이므로 수열 [eqn: left{a_n b_n right}]은 [eqn: 1]에 수렴한다.

ㄷ. [eqn: a_n -b_n =c_n]이라고 하면 [eqn: lim _{ n`->`inf} {c_n }=0]이므로
[eqn: b_n = a_n -c_n]에서
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}} & = lim _{n` -> ` INF } {(a _{n} -c _{n} )}# & = lim _{n` -> INF } {a _{n} - lim _{n -> INF } {c _{n}}}# & = lim _{n` -> INF } {a _{n}} -0= lim _{n` -> INF } {a _{n}}]

따라서 옳은 것은 ㄷ뿐이다.

52

[eqn: 1]

답

해

설

오른쪽 그림에서 [eqn: y=x]와 [eqn: y= sqrt { x} }]의 그래프의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0,~1]이다.

[eqn: a_1 = f left( 1 over 2 right)]은 그래프를 이용하여 찾고 직선 [eqn: y=x]에 의하여 [eqn: x]축에서 [eqn: a_1]의 위치를 찾는다.

같은 방법으로 [eqn: a_2 ,~a_ 3 ,~cdots]의 위치를 찾으면

[eqn: a_1 < a_ 2 < a_3 < cdots<1]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} {a_n }=1]

53

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: S _{n} =n cdot 2^n]이므로

[eqn: n ge 2]일 때

[eqn: a _{n} =S _{n} -S _{n-1} & =n CDOT 2 ^{n} -(n-1)2 ^{n-1}# & =(n+1)2 ^{n-1}]	㉠

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} =S _{1} =2]	㉡

그런데 ㉡은 ㉠에 [eqn: n=1]을 대입한 것과 같으므로 ㉠은 [eqn: n=1]인 경우에도 성립한다.

[eqn: THEREFORE `a_n =(n+1) 2^n-1]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> ` INF } {{1} over {a _{n}}} sum _{k=1} ^{n} a _{k} & = lim _{n -> INF } {{1} over {(n+1)2 ^{n-1}} S _{n}}# & = lim _{n -> INF } {{n CDOT 2 ^{n}} over {(n+1)2 ^{n-1}}}# & = lim _{n -> INF } {{2n} over {n+1}} =2]

54

⑤

답

해

설

[eqn: {rm TRIANGLE QOA it} over {rm TRIANGLE POA it} = {rm bar{AQ} it} over {rm bar{AP} it} = {n} over {n+2}]으로 놓으면 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAP]를 [eqn: n:2]로 내분하는 점이다.

이때 [eqn: rmA(2,~0)], [eqn: rmP(itt _{n} ,~2)]이므로 점 [eqn: rmQ]의 좌표를 구하면

[eqn: rm Q left( {itnt_n + 4 } over {itn+2} ,~{it2n } over {itn+2 } right)]

한편 점 [eqn: rmQ]는 직선 [eqn: y= 1 over 2 x] 위의 점이므로

[eqn: 2n over n+2 = 1 over 2 cdot {nt_n + 4 } over 2+n]

[eqn: thereforet_n = 4n-4 over n]

[eqn: therefore lim _{n -> INF } {t _{n}}=4]

55

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} = alpha ,~ lim _{n -> INF } {b _{n}} = beta]라고 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {(a _{n``}} +b _{n} )=alpha+beta = 6]

[eqn: lim _{ n`->`inf} { a_n b_n = alpha beta = 3}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {(a _{n``}} ^{2} +b _{n``} ^{``````2} ) & = lim _{n -> INF } {a _{n``} ^{````2}} + lim _{n -> INF } {b _{n``} ^{````2}}# & = LEFT ( lim _{n -> INF } {a _{n}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( lim _{n -> INF } {b _{n}} RIGHT ) ^{2}# & = alpha ^{2} + beta ^{2}# & =( alpha + beta )` ^{2`} -2 alpha beta # & =6 ^{2} -2 CDOT 3=30]

56

③

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n(n+3)} -n)}# = lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +3n} -n)}# = lim _{n -> INF } {{( sqrt {n ^{2} +3n} -n)( sqrt {n ^{2} +3n} +n)} over {( sqrt {n ^{2} +3n} +n)}}# = lim _{n -> INF } {{3n} over {sqrt {n ^{2} +3n} +n}}# = lim _{n -> INF } {{3} over {sqrt {1+ {3} over {n}} +1}}# = {3} over {2}]

57

⑤

답

해

설

[eqn: n LEQ a _{n} LEQ n+4]에서

[eqn: 1le { a_n} over { n} le 1+ 4 over n]

이때 [eqn: lim _{ n`->`inf} {1 }= lim _{ n->inf} {left(1+ 4 over n }right) = 1]이므로

[eqn: lim _{ n->`inf} { { a_n} over {n } }=1]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{3a _{n} +2n-5} over {4a _{n} -3n+2}} & = lim _{n` -> ` INF } {{{3a _{n}} over {n} +2- {5} over {2}} over {{4a _{n}} over {n} -3+ {2} over {n}}}# & = {3+2-0} over {4-3+0} =5]

58

④

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{3n ^{2} -4n} over {n ^{3} a _{n}}} & = lim _{n -> INF } {{3n ^{2} -4n} over {n ^{2}} cdot {1} over {na _{n}}}# & = lim _{n->inf} {{3n ^{2} -4n} over {n ^{2}} cdot lim _{n->inf} {{1} over {na _{n}}}}# & =3cdot {1} over {3} =1]

59

②

답

해

설

[eqn: {3a _{n`} +2} over {a _{n} -1} =`b _{n}]이라고 하면

[eqn: b _{n`} (a _{n} -1)`=3a _{`n} +2]

[eqn: (b _{n} -3)`a _{n} =b _{n`} +2]

[eqn: THEREFORE `a _{n}= { b_n +2} over { b_n -3}]

이때 [eqn: lim _{ n`->~inf} { b_n}= lim _{ n`->inf} { { 3a_n +2} over { a_n -1} }=1]이므로

[eqn: lim _{n` -> ~ INF } {a _{n}} = lim _{n` -> INF } {{b _{n} +2} over {b _{n} -3}} = {1+2} over {1-3} =- {3} over {2}]

60

④

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{an ^{3} +bn ^{2} -n +2 } over {2n^2 + 3n-1 }]가 수렴하므로 분자는 이차식이어야 한다.

[eqn: therefore a=0]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{an ^{3} +bn ^{2} -n+2} over {2n ^{2} +3n-1}} & = lim _{n -> INF } {{bn ^{2} -n+2} over {2n ^{2} +3n-1}}# & = lim _{n->inf} {{b- {1} over {n} + {2} over {n ^{2}}} over {2+ {3} over {n} - {1} over {n ^{2}}} =3}]

[eqn: b over 2 = 3 ~~~therefore b=6]

[eqn: therefore a + b = 0+ 6 = 6]

61

[eqn: 24]

답

해

설

[eqn: {bar{rm AC _{itn}}= sqrt { n^2 +48^2 }], [eqn: bar{rm OC _{it n rm} it} =n], [eqn: rm ` bar{B_1 D_{itn} } = 48 over {itn}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{bar{rm AC _{it n rm} it} - rm bar{OC _{it n rm}} it} over {rm bar{B _{1} rm D _{it n rm}} it}}# = lim _{n -> INF } {{sqrt {it n ^{2} +48 ^{2}} -n} over {rm {48} over {it n rm} it}}# = lim _{n -> ` INF } {{( sqrt {it n ^{2} +48 ^{2}} -n)( sqrt {it n ^{2} +48 ^{2}} +n)} over {{48} over {n} ( sqrt {it n ^{2} +48 ^{2}} -n)}}# = lim _{n -> ` INF } {{48 ^{2}} over {48 LEFT ( sqrt {1+ {48 ^{2}} over {n ^{2}}} +1 RIGHT )}}# = {48} over {2} =24]

62

⑤

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{n->inf} {{2} over {n}} =0]이므로  [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT )} =1](수렴)

ㄴ. [eqn: lim _{n->inf} {{n} over {n+1} = lim _{n->inf} {{1} over {1+ {1} over {n}} =1}}] (수렴)

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT . LEFT { log _{3} n-log _{3} (3n+1) RIGHT . RIGHT }}# = lim _{n -> INF } {log _{3} {n} over {3n+1}}# =log _{3} LEFT ( lim _{n -> INF } {{n} over {3n+1}} RIGHT )# =log _{3} {1} over {3} =-1~(수렴)]

ㄹ. [eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +2n} -n)}# = lim _{n -> INF } {{( sqrt {n ^{2} +2n} -n)( sqrt {n ^{2} +2n} +n)} over {sqrt {n ^{2} +2n} +n}}# = lim _{n -> INF } {{2n} over {sqrt {n ^{2} +2n} +n}}# = lim _{n -> INF } {{2} over {sqrt {1+ {2} over {n}} +1}} =1```(수럼)]

따라서 수렴하는 수열은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 모두이다.

63

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: lim _{n` -> INF } {a _{n} = alpha }~(alpha >0)]라고 하면 [eqn: lim _{n` -> INF } {a _{n+1} = alpha }]이므로

[eqn: a _{n+1} =3+ {4} over {a _{n}}]에서

[eqn: lim _{n->inf} {a _{n+1} =} lim _{n->inf} {LEFT ( 3+ {4} over {a _{n}} RIGHT )}]

[eqn: alpha `= 3+ 4 over alpha]

[eqn: alpha ^2 - 3alpha -4=0,~(alpha + 1) (alpha -4) =0]

[eqn: thereforealpha =4 (becausealpha >0)]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} { a_n }=4]

64

(1) [eqn: 0]   (2) [eqn: 0]

답

해

설

(1) [eqn: -1 < sin n theta le 1]이므로
[eqn: - {1} over {n} ` LEQ ` {sin`n` theta } over {n} LEQ ` {1} over {n}]
이때 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( - {1} over {n} RIGHT )} = lim _{n -> INF } {{1} over {n}} =0]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {{rm sin` it n theta it} over {n}}=0]

(2) [eqn: 0` LEQ `cos^2 n theta le 1]이므로
[eqn: 0 le {cos^2`n theta } over n le 1 over n]
이때 [eqn: lim _{n -> INF } {0} = lim _{n -> INF } {{1} over {n}} =0]이므로
[eqn: lim _{n -> INF } {{rm cos ^{2} it n theta it} over {n}}=0]

65

③

답

해

설

정사각형의 개수는

[eqn: 1]회 시행하면  [eqn: 4]개

[eqn: 2]회 시행하면  [eqn: 7]개

[eqn: 3]회 시행하면  [eqn: 10]개

[eqn: 4]회 시행하면  [eqn: 13]개

⋮

즉, 한 회 시행할 때마다 [eqn: 3]개의 정삼각형이 더 생기므로 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 4], 공차가 [eqn: 3]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: thereforea_n = 4+(n-1) cdot 3 = 3n +1]

[eqn: therefore lim _{n -> INF } {{a _{n } it} over {2n}}= lim _{ n->inf} { { 3n+1} over { 2n} = 3 over2]

66

③

답

해

설

[eqn: 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} CDOTS +n ^{2} = {n(n+1)(2n+1)} over {6}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {(2n) ^{3}} over {1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} CDOTS +n ^{2}} & = lim _{n -> INF } {} {(2n) ^{3}} over {{n(n+1)(2n+1)} over {6}}# ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~# & = lim _{n -> INF } {} {48n ^{2}} over {2n ^{2} +3n+1}]

분모, 분자를 분모의 최고차항인 [eqn: n ^{2}]으로 나누면

[eqn: lim _{n -> INF } {} {(2n) ^{3}} over {1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} CDOTS +n ^{2}} & = lim _{n -> INF } {} {48} over {2+ {3} over {n} + {1} over {n ^{2}}}# & = {48} over {2} =24]

67

④

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {} {sqrt {n+1} + sqrt {n+2}} over {sqrt {n}} & = lim _{n -> INF } {LEFT ( sqrt {1+ {1} over {n}} + sqrt {1+ {2} over {n}} RIGHT )}# & =1+1=2]

68

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: b!=0]이면 주어진 극한값은 [eqn: 0]이므로  [eqn: b=0]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{an ^{2} +2n-1} over {bn ^{3} +n ^{2} -3n-2}} = lim _{n -> INF } {{a+ {2} over {n} - {1} over {n ^{2}}} over {1- {3} over {n} - {2} over {n ^{2}}}} =a=3]

[eqn: therefore a+b=3]

69

①

답

해

설

주어진 식의 분모, 분자를 각각 유리화하면

[eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {n ^{2} -2015} -n} over {n- sqrt {n ^{2} -2014}}}# = {LEFT . LEFT { (n ^{2} -2015)-n ^{2} RIGHT } (n+ sqrt {n ^{2} -2014} RIGHT . LEFT . ) RIGHT .} over {LEFT { n ^{2} -(n ^{2} -2014) RIGHT } ( sqrt {n ^{2} -2015} +n)}# = lim _{n -> INF } {{-2015(n+ sqrt {n ^{2} -2014} )} over {2014( sqrt {n ^{2} -2015} +n)}}# = lim _{n -> INF } {{-2015 LEFT ( 1+ sqrt {1- {2014} over {n ^{2}}} RIGHT )} over {2014 LEFT ( sqrt {1- {2015} over {n ^{2}}} +1 RIGHT )}}# =- {2015} over {2014}]

70

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +6n+4} -n)} & = lim _{n -> INF } {{6n+4} over {sqrt {n ^{2} +6n+4} +n}}# & =` lim _{n -> INF } {{6+ {4} over {n}} over {sqrt {1+ {6} over {n} + {4} over {n ^{2}}} +1}}# & =3]

71

④

답

해

설

[eqn: sqrt {n ^{2} +n}]의 소수 부분은 [eqn: sqrt {n ^{2} +n} -n]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}} & = lim _{n -> INF } {( sqrt {n ^{2} +n} -n)}# & = lim _{n -> INF } {{n} over {sqrt {n ^{2} +n} +n}}# & = lim _{n -> INF } {{1} over {sqrt {1+ {1} over {n} +1}}} = {1} over {2}]

72

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: n+1>0]이므로 주어진 부등식의 각 변을 [eqn: n+1]로 나누면

[eqn: {3n+2} over {n+1} <a _{n} < {3n+3} over {n+1}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {} {3n+2} over {n+1} ~ LEQ lim _{n -> INF } {} a _{n} LEQ lim _{n -> INF } {} {3n+3} over {n+1}]

이때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {3n+2} over {n+1} = lim _{n -> INF } {} {3+ {2} over {n}} over {1+ {1} over {n}} =3]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {3n+3} over {n+1} = lim _{n -> INF } {} {3+ {3} over {n}} over {1+ {1} over {n}} =3]

이므로  [eqn: 3` LEQ lim _{n -> INF } {} a _{n`} LEQ 3]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {} a _{n} =3]

73

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: - LEFT | {sin`n theta } over {n} RIGHT | `<a _{n} -3`< LEFT | {sin`n theta } over {n} RIGHT | `]이므로

[eqn: 3- LEFT | {sin`n theta } over {n} RIGHT | `<a _{n} `<3+ LEFT | {sin`n theta } over {n} RIGHT | `]

[eqn: lim _{n -> INF } {} ` {sin`n theta } over {n} =0]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 3- LEFT | {sin`n theta } over {n} RIGHT | RIGHT )} = LEFT ( 3+ LEFT | {sin`n theta } over {n} RIGHT | RIGHT ) =3`]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {} a _{n} =3]

74

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {sqrt {n+10} ( sqrt {n+20} - sqrt {n-30} )}# =lim _{n -> INF } {{50 sqrt {1+ {10} over {n}}} over {sqrt {1+ {20} over {n}} + sqrt {1- {30} over {n}}} = {50} over {1+1} =25}]

75

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT { log _{2} (n ^{2} +2n-1)-log _{2} (4n ^{2} -2n+3) RIGHT }}# = lim _{n -> INF } {log _{2} {n ^{2} +2n-1} over {4n ^{2} -2n+3}} rm `=log _{2} {1} over {4} =-2]

76

[eqn: 32]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} ` ^{2} +b _{n} ` ^{2} )= lim _{n -> INF } {} LEFT { (a _{n} +b _{n} ) ^{2} -2a _{n} b _{n} RIGHT }# =6 ^{2} -2 CDOT 2=32]

77

④

답

해

설

ㄱ. (반례) [eqn: a _{n} = {2} over {n}], [eqn: b _{n} = {1} over {n}]

ㄴ. [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} `=` lim _{n -> INF } {} b _{n} `]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} (a _{n} -b _{n} )= lim _{n -> INF } {} a _{n} - lim _{n -> INF } {} b _{n} =0]

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {b _{n}} `= lim _{n -> INF } {} {1} over {{b _{n}} over {a _{n}}} `= {1} over {1} =1``]

[eqn: THEREFORE ㄴ,~ㄷ]

78

②

답

해

설

[eqn: a _{n} =(a+1) CDOT 2 ^{n-1} -1]이므로 [eqn: a != -1]이면

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]은 발산, [eqn: a=-1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} =-1]이다.

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n}]이 수렴하면  [eqn: a=-1]

79

④

답

해

설

[eqn: a _{n} & = sqrt {(n+1-n) ^{2} + LEFT { 3(n+1) ^{2} -3n ^{2} RIGHT } ^{2}}# & = sqrt {36n ^{2} +36n+10}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{a _{n}} over {n}} `= lim _{n -> INF } {{sqrt {36n ^{2} +36n+10}} over {n}} `=6]

80

②

답

해

설

[eqn: 1<a _{1} <2,~2<a _{2} <3,~ CDOTS ,`~n<a _{n} <n+1]이므로

[eqn: {n(n+1)} over {2} <a _{1} +a _{2} + CDOTS a _{n} < {n(n+3)} over {2}]

[eqn: lim _{n -> INF } {{2n ^{2}} over {n(n+3)}} ` & LEQ lim _{n -> INF } {{n ^{2}} over {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}}} `# & LEQ lim _{n -> INF } {{2n ^{2}} over {n(n+1)}} `]

에서

[eqn: lim _{n -> INF } {{n ^{2}} over {a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{n}}} `=2`]

81

②

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} b _{n} =2]이고 [eqn: lim _{n -> INF } {} a _{n} `=`inf]이므로  [eqn: lim _{n -> INF } {} b _{n} =0]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {} (a _{n} b _{n} ` ^{2} -a _{n} b _{n} `-b _{n} `+1)`# ``````= lim _{n -> INF } {} (a _{n} b _{n} `-1)(b _{n} `-1)=(2-1)(0-1)=-1`]

82

[eqn: 4]

답

해

설

키를 계속 누르면 [eqn: y`=` sqrt {x}]와 [eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표인 [eqn: 1]에 가까워지므로 구하는 값은 [eqn: 4]이다.

83

③

답

해

설

[eqn: 2 lim _{ n->inf} {a_n } = 14]    [eqn: THEREFORE lim _{ n->inf} a_n = 7]

[eqn: 2 lim _{ n->inf} {b_n } = -4]    [eqn: THEREFORE lim _{ n->inf} b_n = -2]

[eqn: THEREFORE lim _{ n->inf} (2a_n + 4b_n ) = 2 lim _{ n->inf} {a_n } + 4 lim _{ n->inf} { b_n} =6]

84

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: a_n = n^2 over 1+2+3+cdots+n = n^2 over {n(n+1) over2} = 2n^2 over {n^2 +n}]

[eqn: THEREFORE lim _{ n->inf} {a_n} = 2]

85

②

답

해

설

[eqn: lim _{ n->inf} {{ sqrt n}( sqrt {n+1 }- sqrt { n-1})( sqrt { n+1}+ sqrt {n-1 }) } over {sqrt {n+1} +sqrt {n-1 }} }]

[eqn: =lim _{ n->inf} {{2sqrt { n}} over {sqrt { n+1}+ sqrt { n-1} } = 2 over 1+1 = 1]

86

①

답

해

설

[eqn: lim _{ n->inf} {0 over n } = lim _{ n->inf} {4 over n } = 0]이므로  [eqn: lim _{ n->inf} {a_n over n} = 0]

[eqn: therefore lim _{n-> INF } {{3a_n + 2n-5} over {4a_n - 3n +2}= lim _{n-> INF } {{3a_n over n + 2- 5over n}over{ 4a_n over n -3 + 2 over n }= - 2 over 3]

87

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{ n->inf} {na_n }= lim _{ n->inf} {n over 4n-1 cdot (4n-1)a_n }#= lim _{ n->inf} {{1} over{ 4 - 1over n} cdot (4n-1)a_n } = 1 over 4 TIMES16=4]

88

③

답

해

설

[eqn: a_n+1 = 1 over 2 a_n +3]에서 [eqn: lim _{ n->inf} {a_n+1 = 1over2 lim _{ n->inf} {a_n +3 } }] 이때, [eqn: lim _{ n->inf} {a_n} = lim _{ n->inf} {a_n+1 =a }]로 놓으면

[eqn: a= 1over2 a +3 ,~ 1over 2 a=3]         [eqn: therefore ~a=6]

89

③

답

[eqn: f(1) TIMESf(2) TIMES cdots times f(n) =2^1 times 2^2 times cdots times 2^n = 2^{n(n+1) over2]

해

설

이므로 [eqn: S _{n} =log _{2} 2 ^{{n(n+1)} over {2}}={n(n+1)} over {2}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {{S _{n}} over {n ^{2}}}= lim _{ n->inf} { {n^2 +n} over 2n^2} = 1over2]

90

[eqn: 24]

답

[eqn: lim _{n -> INF } {{rm bar{AC _{it n rm}} - bar{OC _{it n rm}} it} over {rm bar{B _{1} D _{it n rm}} it}} & = lim _{n -> INF } {{sqrt {n ^{2} +48 ^{2}} -n} over {{48} over {n}}}# & = lim _{n -> INF } {{48 ^{2}} over {48 LEFT ( sqrt {LEFT . LEFT . {1+48 ^{2}} over {n ^{2}} RIGHT . RIGHT .} +1 RIGHT )}} =24]

해

설

91

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: a _{n} =1+(n-1)2=2n-1]

[eqn: S_n = {n LEFT { 2 TIMES 1+(n-1)2 RIGHT }} over {2} =n ^{2}]

[eqn: therefore lim _{ n->inf} {na_n over S_n } = lim _{ n->inf} {n(2n-1)} overn^2 } = 2]

92

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {} {3a _{n} -1} over {2b _{n}} = {3 lim _{n -> INF } {a _{n} -1}} over {2 lim _{n -> INF } {b _{n}}} # ={3 TIMES 3-1} over {2 lim _{ n->inf} {b_n }} = 4 over {lim _{ n->inf} {b_n }} = 1over3## therefore~ lim _{ n->inf} {b_n } =12]

미적분Ⅰ	Ⅰ. 수열의 극한		1. 수열의 극한			정답
	03 등비수열의 극한값

01

(1) 수렴   (2) 발산   (3) 수렴   (4) 발산

답

02

(1) [eqn: 1]   (2) [eqn: 0]

답

03

[eqn: 1 le x le { 5} over {3 }]

답

04

[eqn: 1]

답

05

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: a]

답

해

설

(1) 분모와 분자를 [eqn: 2 ^{n}]으로 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{2 ^{n+1} -(-1) ^{n}} over {2 ^{n} +(-1) ^{n}}} & = lim _{n -> INF } {{2- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n}}}# & = {2-0} over {1+0} =2]

(2) [eqn: a>b>0]이므로  [eqn: 0 < b over a < 1]
[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} { LEFT ( b over a RIGHT )^n }=0]
분모와 분자를 [eqn: a^n]으로 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{a ^{n+1} +b ^{n+1}} over {a ^{n} +b ^{n}}} & = lim _{n -> INF } {{a+b LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n}}}# & = {a+b cdot 0} over {1+0} = a]

06

④

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n+1} +2 ^{n-1}} over {3 ^{n} -2 ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{3+2 ^{-1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}}} =3]

07

⑤

답

해

설

등비수열 [eqn: LEFT { (x-4) LEFT ( {x} over {3} RIGHT ) RIGHT . ^{n-1}right]의 첫째항이 [eqn: x-4], 공비가 [eqn: x over 3]이므로 이 수열이 수렴하려면

[eqn: x-4=0] 또는 [eqn: -1 < x over 3 le 1]

[eqn: therefore x=4] 또는 [eqn: -3 < x le 3]

따라서 구하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -2,~-1,~0,~1,~2,~3,~4]의

[eqn: 7]개다.

08

③

답

해

설

공비가 [eqn: x(x-1)]이므로

[eqn: -1 <x(x-1) le 1]

(i) [eqn: -1<x(x-1)]에서  [eqn: x^2 -x +1 >0]
이것은 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 성립한다.

(ii) [eqn: x(x-1) le1]에서  [eqn: x^2 - x -1 le 0]
[eqn: therefore { 1- sqrt { 5} } over { 2} le x le { 1+ sqrt { 5} } over { 2}]

(i), (ii)에서  [eqn: { 1- sqrt { 5} } over { 2}le x le { 1+ sqrt { 5} } over { 2}]

[eqn: therefore beta - alpha = { 1+ sqrt { 5} } over {2 }- { 1- sqrt { 5} } over { 2}= sqrt { 5}]

09

④

답

해

설

(i) [eqn: -1<r<1]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {r ^{n}} =0]이므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{r ^{n+1} -1} over {r ^{n} +1}} = {-1} over {1} =-1]

(ii) [eqn: r=1]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {r ^{n}} =1]이므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{r ^{n+1} -1} over {r ^{n} +1}} = {1-1} over {1+1} =0]

(iii) [eqn: r>1] 또는 [eqn: r`<`-1`]일 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {r ^{n}}} =0]이므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{r ^{n+1} -1} over {r ^{n} +1}} = lim _{n` -> ` INF } {{r- {1} over {r ^{n}}} over {1+ {1} over {r ^{n}}}} =r]

(i), (ii), (iii)에서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{r ^{n+1} -1} over {r ^{n} +1}}]이 [eqn: 3]에 수렴하는 경우는 (iii)이고, 이때 [eqn: r=3]이다.

10

⑤

답

해

설

[eqn: f(-2) & = lim _{n -> INF } {{4 ^{n} -(-2) ^{n} +2} over {4 ^{n} +(-2) ^{n} +2}}# & = lim _{n -> INF } {{1- LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n} + {2} over {4 ^{n}}} over {1+ LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) ^{n} + {2} over {4 ^{n}}}} =1]

[eqn: f(1) & = lim _{n -> INF } {{1 ^{2n} -1 ^{n} +2} over {1 ^{2n} +1 ^{n} +2} = {1-1+2} over {1+1+2} = {1} over {2}}]

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) & = lim _{n -> INF } {{LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n} - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} +2} over {LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} +2} = {0-0+2} over {0+0+2} =1}]

[eqn: THEREFORE `f(-2) + f(1) + f LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )=1+ 1 over 2 + 1 = 5 over 2]

11

①

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n-1}} over {2 ^{n-1} +3 ^{n+1}}} = lim _{n -> INF } {{{1} over {9}} over {{1} over {9} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1} +1}} = {1} over {9}]

12

③

답

해

설

[eqn: a _{n} = 2 times 2^ n-1 =2^n]

[eqn: S_n = { 2(2^n -1)} over { 2-1}=2^n+1 -2]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over {a _{n}}} = lim _{n -> INF } {{2 ^{n+1} -2} over {2 ^{n}}} = lim _{n -> INF } {LEFT ( 2- {2} over {2 ^{n}} RIGHT )} =2]

13

⑤

답

해

설

첫째항이 [eqn: x ^{2} +x]이고 공비가 [eqn: x-1]이므로

[eqn: x ^{2}+ x =0] 또는 [eqn: -1 < x-1 le 1]

(i) [eqn: x^2 + x =0]에서  [eqn: x=-1,~0]

(ii) [eqn: -1 < x-1 le 1]에서  [eqn: 0 < x le 2]

(i), (ii)에서 구하는 정수 [eqn: x]는

[eqn: x=-1,~0,~1,~2]

[eqn: therefore -1+0+1+2=0]

14

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: f( sqrt {2} )= lim _{n` -> ` INF } {{1-( sqrt {2} ) ^{n}} over {1+( sqrt {2} ) ^{n}}} = lim _{n` -> ` INF } {} {{1} over {( sqrt {2} ) ^{n}} -1} over {{1} over {( sqrt {2} ) ^{n}} +1} =-1]

[eqn: f LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}}} =1]

[eqn: THEREFORE f( sqrt { 2}) times f LEFT ( { 1} over { 3} RIGHT )=-1]

15

[eqn: 0 le x le2]

답

해

설

첫째항이 [eqn: x], 공비가 [eqn: x-1]이므로

[eqn: x=0] 또는 [eqn: -1 <x-1 le 1]

[eqn: therefore 0 le x le 2]

16

④

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {(3 ^{n} +2 ^{2n} ) ^{{1} over {n}}} & = lim _{n -> INF } {LEFT [ 4 ^{n} LEFT { LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} +1 RIGHT } RIGHT ] ^{{1} over {n}}}# & = lim _{n`->`inf} {4 LEFT { LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} +1 RIGHT }} ^{{1} over {n}}# & =4(0+1) ^{0} =4]

17

[eqn: 17]

답

해

설

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2n+4} +2times {1} over {2}} over {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2n} +1}} =1],

[eqn: f(2)= lim _{n` -> ` INF } {{2 ^{2n+4} +4} over {2 ^{2n} +1}} = lim _{n` -> ` INF } {{2 ^{4} + {4} over {2 ^{2n}}} over {1+ {1} over {2 ^{2n}}}} =16]

[eqn: therefore f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f(2)=1+16=17]

18

④

답

해

설

(가)
[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 1+2+3+cdots+n} over { n} }= lim _{ n`->`inf} { { n+1} over { 2} }=inf] (발산)

(나)
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} LEFT ( {1} over {2} + {1} over {2 ^{2}} + {1} over {2 ^{3}} + CDOTS + {1} over {2 ^{n}} RIGHT )}# = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT } =0}]

(수렴)

(다)

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{(-1)+(-1) ^{2} + CDOTS +(-1) ^{n}} over {n} } #= lim _{n` -> ` INF } {{(-1)+(-1) ^{n}} over {2n}}} =0]

(수렴)

19

(1) 발산   (2) 수렴   (3) 수렴   (4) 발산

답

해

설

(1) [eqn: 3>1]이므로 [eqn: lim _{ n`->`inf} {3^n }]은 양의 무한대로 발산한다.

(2) [eqn: -2 le -1]이므로 [eqn: lim _{ n`->` inf} {(-2n) ^n }]은 진동한다. 즉, 발산한다.

(3) [eqn: LEFT | ` {2} over {3} ` RIGHT | <1]이므로 [eqn: lim _{n`->`inf} {LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}}]은 [eqn: 0]에 수렴한다.

(4) [eqn: -` {3} over {2} ` LEQ -1]이므로 [eqn: lim _{n`->`inf} {LEFT ( - {3} over {2} RIGHT )} ^{n}]은 진동한다. 즉, 발산한다.

20

(1) [eqn: -` {1} over {2} <r`le` {1} over {2}]   (2) [eqn: r`ge`3]

답

해

설

(1) 수열 {[eqn: (2r) ^{n-1}]}은 첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: 2r]인 등비수열이다.
이때 이 수열이 수렴하려면 [eqn: -1`<`2r`le`1]이어야 한다.
[eqn: THEREFORE `-` {1} over {2} <r le 1 over 2]

(2) 수열 [eqn: LEFT . LEFT . LEFT { LEFT ( {3} over {r} RIGHT . RIGHT . RIGHT ) ^{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 3 over r], 공비가 [eqn: 3 over r]인 등비수열이다. 이때 이 수열이 수렴하려면 [eqn: -1 < 3 over r le 1]이어야 한다.
[eqn: therefore r ge 3 (becauser>0)]

21

(1) 발산   (2) 수렴   (3) 수렴

답

해

설

(1) [eqn: 1.5 >1]이므로  [eqn: lim _{ n`->`inf} {5^n } =inf] (발산)

(2) [eqn: -1< - 0.9 <1]이므로
[eqn: lim _{ n`->`inf} {(-0.9) ^n =0 }] (수렴)

(3) [eqn: -1 <cos`3 over 4 pi = - 1 over sqrt { 2} <1]이므로
[eqn: lim _{ n`->`inf} {cos^n 3 over 4 pi =0 }] (수렴)

22

(1) [eqn: 2]   (2) [eqn: 0]   (3) 극한값은 없다.

답

해

설

(1) [eqn: lim _{n -> INF } {{2 ^{n+1}} over {2 ^{n} -1}} = lim _{n -> INF } {{2} over {1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}}} =2]
(2) [eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n} -2 ^{n}} over {5 ^{n} +2 ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n} - LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n}}} = {0-0} over {1+0} =0]

(3) [eqn: lim _{n -> INF } {(3 ^{n} -2)} = lim _{n -> INF } {3 ^{n} LEFT { 1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} = INF cdot1=inf]
[eqn: therefore]극한값은 없다.

23

(1) 수렴   (2) 발산   (3) 발산

답

해

설

(1) [eqn: -1< 0.99 < 1]이므로 수열 [eqn: left{ (0.99) ^n right}]은 [eqn: 0]에 수렴한다.

(2) [eqn: -1.01< -1]이므로 수열 [eqn: left{ (-1.01) ^n right}]은 진동한다. 즉, 발산한다.

(3) [eqn: pi >1]이므로 수열 [eqn: left{ pi ^n right}]은 양의 무한대로 발산한다.

24

(1) [eqn: -1]
(2) 극한값은 없다.
(3) 극한값은 없다.

답

해

설

(1) 분모, 분자를 [eqn: 4^n]으로 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{3 ^{n} -4 ^{n}} over {4 ^{n} +3 ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} -1} over {1+ LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n}}} = {0-1} over {1+0} =-1]

(2) 분모, 분자를 [eqn: 2 ^{n}]으로 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{sqrt {5 ^{n}} +2} over {2 ^{n`} +1}} = lim _{n -> INF } {{sqrt {LEFT ( {5} over {4} RIGHT ) ^{n}} +2 CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} =inf}]
따라서 극한값은 없다.

(3) [eqn: 4 ^{n}]으로 묶으면
[eqn: lim _{n -> INF } {(3 ^{n} -4 ^{n} )} = lim _{n -> INF } {eqalign{LEFT. 4 ^{n} LEFT { LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{n} RIGHT . -1 RIGHT } & = INF CDOT (-1)# & =- INF }}]
따라서 극한값은 없다.

25

해설 참조

답

해

설

(i) [eqn: LEFT | `r`RIGHT |<1]일 때  [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{2n+1}} over {r ^{2n} +1}}= 0 over 0+1 = 0]

(ii) [eqn: r=1]일 때  [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{2n+1}} over {r ^{2n} +1}} = 1 over 1+1 = 1 over2]

(iii) [eqn: r=-1]일 때  [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{2 n+1}} over {r ^{2n} +1}} = -1 over 1+1 =- 1 over2]

(iv) [eqn: LEFT | `r`RIGHT |>1]일 때 분모, 분자를 [eqn: r^2n]으로 나누면
[eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{2n+1}} over {r ^{2n} +1}} lim _{n -> INF } {{r} over {1+ LEFT ( {1} over {r ^{2}} RIGHT ) ^{n}}} = {r} over {1+0} =r]

[eqn: THEREFORE lim _{n` -> ` INF } {{r ^{2n+1}} over {r ^{2n} +1}} = {cases{`0~~~~( LEFT | `r` RIGHT | <1)##` {1} over {2} ~~~(r=1)##eqalign{- {1} over {2} ~~(r=-1)# # `r~~~~~( LEFT | `r` RIGHT | >1)}}}]

26

[eqn: -1`le x le0]

답

해

설

(i) 수열 {[eqn: x^{ 2n-1} }},~{1+x) ^{ n-1}}]}은 공비가 [eqn: x^2]이므로 수렴하기 위한 조건은  [eqn: -1 <x^2 le 1~~~therefore -1 le x le1]	㉠

(ii) 수열 {[eqn: {(1+x) ^{ n-1}}]}은 공비가 [eqn: 1+x]이므로 수렴하기 위한 조건은  [eqn: -1 <1+x le 1]
[eqn: therefore -2 <x le 0]	㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: x]값의 범위는

[eqn: -1 le x le0]

27

해설 참조

답

해

설

(1) (i) [eqn: LEFT | `r`RIGHT |<1]일 때  [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{n}} over {1+r ^{n}}} = {0} over {1+0} =0]
(ii) [eqn: r=1]일 때  [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{n}} over {1+r ^{n}}} = {1} over {1+1} = {1} over {2}]
(iii) [eqn: LEFT | `r`RIGHT |>1]일 때
[eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{n}} over {1+r ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{1} over {LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) ^{n} +1}} =1]
[eqn: THEREFORE lim _{n` -> ` INF } {{r ^{n}} over {1+r ^{n}}} = {cases{`0~~~~( LEFT | `r` RIGHT | <1)##` {1} over {2} ~~~(r=1)##`1~~~~~( LEFT | `r` RIGHT | >1)}}]

(2) (i) [eqn: LEFT | `r`RIGHT |<1]일 때  [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{2n} -1} over {r ^{2n} +1}} = {0-1} over {0+1} =-1]
(ii) [eqn: r=±1]일 때  [eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{2n} -1} over {r ^{2n} +1}}= 1-1 over 1+1 =0]
(iii) [eqn: LEFT | `r`RIGHT |>1]일 때
[eqn: lim _{n -> INF } {{r ^{2n} -1} over {r ^{2n} +1}} = lim _{n -> INF } {{1- LEFT ( {1} over {r ^{2}} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {1} over {r ^{2}} RIGHT ) ^{n}}} =1]
[eqn: THEREFORE lim _{n` -> ` INF } {{r ^{2n} -1} over {r ^{2n} +1}} = {cases{`-1~~~( LEFT | `r` RIGHT | <1)##`0~~~~~(r=+-1)##`1~~~~~( LEFT | `r` RIGHT | >1)}}]

28

(1) [eqn: -1<x`le`0]
(2) [eqn: 1- sqrt { 2}le x <1] 또는 [eqn: 1 < x le 1+ sqrt { 2}]

답

해

설

(1) [eqn: -1<2x+1` LEQ `1]에서
[eqn: -2 < 2x le 0]
[eqn: therefore -1 <x le 0]

(2) [eqn: -1 < x^2 - 2x le 1]에서
(i) [eqn: x^2 - 2x >-1]일 때
[eqn: x^2 - 2x +1 =(x-1) ^2 >0]
[eqn: therefore x !=1]인 모든 실수
(ii) [eqn: x^2 -2x le1]일 때
[eqn: x ^{2} -2x-1 LEQ 0]
[eqn: THEREFORE `1- sqrt { 2}le x le 1+ sqrt { 2}]
(i), (ii)에 의하여
[eqn: 1- sqrt { 2}le x <1] 또는 [eqn: 1 < x le 1+ sqrt { 2}]

29

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: a_n+1 = { 1} over { 3}a_n +2]에서  [eqn: a_n+1 -3 = 1 over 3 (a_n -3)]

따라서 수열 [eqn: left{a_n -3 right}]은 첫째항이 [eqn: a_1 -3 =-2]이고 공비가 [eqn: 1 over 3]인 등비수열이므로

[eqn: a_n -3 =- 2 cdot left( 1 over 3 right) ^n-1]

[eqn: therefore a_n = 3- 2 cdot left( 1 over 3 right) ^n-1]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} {a_n } = lim _{ n`->~inf} {left{ 3-2 cdot left( 1 over 3 right) ^n-1 right} = 3 }]

30

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} +3]에서

[eqn: a _{n+1`} -6= {1} over {2} (a _{n} -6)]

따라서 수열 [eqn: LEFT { ` RIGHT .a_n -6 right}]은 첫째항이 [eqn: a_1 - 6 = -1]이고 공비가 [eqn: 1 over 2]인 등비수열이므로

[eqn: a_n - 6 = - left( 1 over 2 right) ^n-1]

[eqn: therefore a_n =6- left( 1 over 2 right) ^n]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} { a_n}= lim _{ n`->`inf} {left{ 6-left( 1 over 2 right) ^n-1 right} = 6 }]

31

(1) [eqn: 0]   (2) [eqn: 0]   (3) [eqn: 2]

답

해

설

(1) [eqn: -1`< {1998} over {1999} <1]이므로
[eqn: lim _{n`->`inf} {a _{n} = lim _{n`->`inf} {LEFT ( {1998} over {1999} RIGHT ) ^{n}}} =0]

(2) [eqn: a _{n} >0]이고 [eqn: a _{n+1} over a_n < 1 over 2], 즉 [eqn: a_n+1 < 1 over 2 a_n]이므로
[eqn: 0 < a_n < 1 over 2 a_n-1 < left( 1 over 2 right) ^2 a_n-2 < cdots < left( 1 over2right) ^n-1 a_1]
이때 [eqn: lim _{ n`->`inf} {left( 1 over 2 right) ^n-1 }=0]이므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} a _{n} =0}]
[eqn: THEREFORE lim _{ n`->`inf} { a_n =0}]

(3) [eqn: 0 < theta < pi over 4]이므로
[eqn: 0 < tan theta <1]
[eqn: therefore lim _{ n`->` inf } {tan^n theta =0 }]
[eqn: THEREFORE lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} & = lim _{n` -> ` INF } {{2cos ^{n} theta -3sin ^{n} theta } over {cos ^{n} theta +2sin ^{n} theta }}# & = lim _{n` -> ` INF } {{2-3tan ^{n} theta } over {1+2tan ^{n} theta }} =2]

32

[eqn: -1` LEQ `x le 1]

답

해

설

첫째항이 [eqn: -1]이고 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{ a_n right}]의 일반항은

[eqn: a_n = -1 +(n-1) cdot 2 = 2n-3]

따라서 수열 [eqn: left{ x^a_n right }]은 [eqn: left{ x^2n-3 right}]이다.

이것은 공비가 [eqn: x^2]인 등비수열이므로 이 수열이 수렴하려면 [eqn: -1 < x^2 le1]이어야 한다.

이때 [eqn: x^2 ge 0]이므로

[eqn: 0 le x^2 le 1]

[eqn: therefore -1 le x le1]

33

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: b_n =a_n+1 -a_n]이므로 수열 [eqn: left{ b_n right}]은 수열 [eqn: left{ a_n right}]의 계차수열이다. 주어진 조건에서 수열 [eqn: left{ b_n right}]은 첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: 1 over 2]인 등비수열이므로

[eqn: a _{n} & =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} b _{k} =1+ sum _{k=1} ^{n-1} 2 CDOT LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{k-1}# & =1+ {LEFT . 2 LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT . RIGHT }} over {1- {1} over {2}}# & =1+4 LEFT { 1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1`} RIGHT }# & =5-4cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}# & =5-left(1over2right) ^{n-3~} (n`ge`2)]

[eqn: THEREFORE ` lim _{n -> INF } {a _{n}} = lim _{n` -> INF } {LEFT . LEFT { `5- LEFT ( {1 } over {2} ` RIGHT ) ^{n-3} RIGHT . RIGHT } `=`5}]

34

해설 참조

답

해

설

[eqn: lim _{ n`->`inf} {a_n }= lim _{ n`->`inf} { { 1} over {r^n +1} }]에서

(i) [eqn: LEFT | `r`RIGHT |<1]일 때 [eqn: lim _{ n`->`inf} { r^n }=0]이므로
[eqn: lim _{ n->inf} {1over{r^n +1 } }=1]

(ii) [eqn: r=1]일 때 [eqn: lim _{ n`->`inf} {r^n }=1]이므로
[eqn: lim _{ n`->`inf} { { 1} over { r^n +1} }= 1 over 2]

(iii) [eqn: LEFT |`r` RIGHT |>1]일 때
[eqn: lim _{ n`->`inf} {1 over {r^n +1} }= lim _{ n`->`inf} { { LEFT ( { 1} over { r} RIGHT )^n } over {1+ LEFT ( { 1} over { r} RIGHT ) ^n} }=0]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} { a_n }= cases {`1~~( LEFT | `r`RIGHT |<1)## { 1} over {2 }~~(r=1)##0~~( LEFT | `r`RIGHT |>1)]

35

[eqn: 5 over 2]

답

해

설

[eqn: 10^n = (2times5 ) ^n = 2^n times 5^n]이므로

[eqn: f(n) & =(1+2+2 ^{2} + CDOTS +2 ^{n} )(1+5+5 ^{2} + CDOTS +5 ^{n} )# & = {2 ^{n+1} -1} over {2-1} CDOT {5 ^{n+1} -1} over {5-1}# & = {1} over {4} (2 ^{n+1} -1)(5 ^{n+1} -1)]

[eqn: THEREFORE & ` lim _{n`->`inf} {{f(n)} over {10 ^{n}}}# & = lim _{n`->`inf} {{1} over {4} cdot {(2 ^{n+1} -1)(5 ^{n+1} -1)} over {10 ^{n}}}# & = {1} over {4} lim _{n`->inf} {{10 ^{n+1} -2 ^{n+1} -5 ^{n+1} +1} over {10 ^{n}}}# & = {1} over {4} lim _{n`->`inf} {left{10-2cdot LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{n} -5cdot LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} + LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{n} right}}# & = {1} over {4} cdot10= {5} over {2}]

36

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: S _{n+1} = {2} over {3} S _{n} +4]에서

[eqn: S _{n+1`} -12`=` {2} over {3} (S _{n} -12)]

따라서 수열 [eqn: LEFT { S_n -12 right}]는 첫째항이 [eqn: S_1 -12=988]이고 공비가 [eqn: 2 over 3]인 등비수열이므로

[eqn: S_ n = 988 cdot left( 2 over 3 right) ^n-1 +12]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} {S_n }= lim _{ n`->`inf} { left{ 988 cdot left( 2 over 3 right ) ^n-1 + 12 right}}= 12]

그런데 [eqn: a_n =S_n -S_n-1 ~(n ge 2)]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}} & = lim _{n` -> ` INF } {(S _{n} -S _{n-1} )}# & = lim _{n` -> ` INF } {S _{n`}} - lim _{n` -> ` INF } {S _{n`-1}}# & =12-12=0]

37

[eqn: 0]

답

해

설

다항식 [eqn: x ^{n} +2x]를 [eqn: (x-2)(x _{} -3)]으로 나눈 몫을 [eqn: Q(x)]라고 하면 나머지가 [eqn: R(x)]이므로

[eqn: x^ n +2x =(x-2)(x-3) Q(x) +R(x)]

위의 식의 양변에 [eqn: x=2,~x=3]을 각각 대입하면

[eqn: R(2) = 2^n + 4,~R(3) = 3^n + 6]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} { { R(2)} over { R(3)} }= lim _{ n`->`inf} { { 2^n + 4} over {3^n + 6 } }= lim _{ n`->`inf} { { LEFT ( { 2} over { 3} RIGHT ) ^n + { 4} over { 3^n} } over {1+ { 6} over {3^n } } }=0]

38

④

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{ n`->`inf} { { 1+2+cdots+n} over { n} }= lim _{ n`->`inf} { { 1} over { 2} (n+1)}=inf]

ㄴ. [eqn: lim _{ n->`inf} { { sum _{ k=1} ^{ n} LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )^k } over { n} }= lim _{ n->inf} { { { 1} over { 2}left{1- LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )^n right} } over { 1- 1 over 2 } }=0]

ㄷ. [eqn: lim _{n -> INF } {{sum _{k=1} ^{n} (-1) ^{k}} over {n}} & = lim _{n -> INF } {{1} over {n} CDOT {- LEFT { 1-(-1) ^{n} RIGHT }} over {1-(-1)}}# & = {1} over {n} CDOT {- LEFT { 1-(-1) ^{n} RIGHT }} over {2} =0]

따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

39

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: a @b =lim _{n-> INF } {{ba ^{n} +ab ^{n}} over {a ^{n} +b ^{n}}}]에서

(i) [eqn: a<b]이면  [eqn: a@b= lim _{n -> INF } {{b LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{n} +a} over {LEFT ( {a} over {b} RIGHT ) ^{n} +1}} =a]

(ii) [eqn: a=b]이면  [eqn: a@b= lim _{n -> INF } {{2a ^{n+1}} over {2a ^{n}}} =a]

(iii) [eqn: a>b]이면  [eqn: a@b= lim _{n -> INF } {{b+a LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n}} over {1+ LEFT ( {b} over {a} RIGHT ) ^{n}}} =b]

(i), (ii), (iii)에 의하여 [eqn: a@b]는 [eqn: a,~b] 중에서 크지 않은 쪽의 값을 연산의 결과로 한다.

[eqn: therefore(5@7)@3=5@3=3]

40

[eqn: 17]

답

해

설

(i) [eqn: LEFT | `x`RIGHT |<1]일 때
[eqn: f(x)= lim _{n-> INF } {{x ^{2n+4} +2x} over {x ^{2n} +1}}=2x]

(ii) [eqn: LEFT | `x`RIGHT |>1]일 때
[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {{x ^{4} + {2} over {x ^{2n-1}}} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}} = {x ^{4} +0} over {1+0} =x ^{4}]

(i), (ii)에 의하여

[eqn: f left( 1 over 2 right) + f(2) = 2 times 1 over 2 + 2^4 = 17]

41

④

답

해

설

[eqn: a _{n} >0]이므로  [eqn: a _{n+1} < {1} over {2} a _{n} < CDOTS < LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} a _{1}]

[eqn: THEREFORE 0<a _{n} < LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} a _{1}]

이때 [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} ^{n-1} a _{1}]이므로  [eqn: lim _{n -> INF } {} ^{} a _{n} =0]

42

(1) 수렴, [eqn: 1]  (2) 발산  (3) 발산(진동)

답

43

③

답

해

설

(i) [eqn: -1<x<1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} x _{n} =0]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {x ^{n} +3} over {x ^{n} +1} =3]

(ii) [eqn: x=1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} x ^{n} =1]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {x ^{n} +3} over {x ^{n} +1} =2]

(iii) [eqn: x < -1] 또는 [eqn: x>1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {x ^{n}} =0]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n -> INF } {} {x ^{n} +3} over {x ^{n _{}} +1} =` lim _{n -> INF } {} {1+ {3} over {x ^{n}}} over {1+ {1} over {x ^{n}}} =1]

[eqn: THEREFORE f(-3)=1], [eqn: f( {1} over {4} )=3], [eqn: f(1)=2]

[eqn: THEREFORE f(-3)+f( {1} over {4} )+f(1)=6]

44

[eqn: 64]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {} {8 ^{n+2} +4 ^{n}} over {(2 ^{n} +1)(2 ^{2n} -1)} ` & =` lim _{n -> INF } {} {8 ^{n+2} +4 ^{n}} over {8 ^{n} +4 ^{n} -2 ^{n} -1}# & =` lim _{n -> INF } {} {8 ^{n} +( {1} over {2} ) ^{n}} over {1+( {1} over {2} ) ^{n} -( {1} over {4} ) ^{n} -( {1} over {8} ) ^{n}}# & =64`]

45

④

답

해

설

[eqn: vert r` vert <1]   이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} {r ^{n+1}} over {1+r ^{n}} =0],

[eqn: r=1]이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} {r ^{n+1}} over {1+r ^{n}} = {1} over {2}],

[eqn: vert r` vert >1]   이면 [eqn: lim _{n -> INF } {} {r ^{n+1}} over {1+r ^{n}} = lim _{n -> INF } {} {r ^{}} over {{1} over {r ^{n}} +1} =r`]

따라서 극한값이 될 수 없는 것은 ④이다.

46

③

답

해

설

[eqn: a _{n+1} =0.9a _{n} +0.1b _{n`} ~~~ CDOTS CDOTS]㉠,

[eqn: b _{n+1} =0.1a _{n} +0.9b _{n`} ~~~ CDOTS CDOTS]㉡

㉠[eqn: +]㉡에서 [eqn: a _{n+1} +b _{n+1} `=a _{n} +b _{n}]이므로 [eqn: a _{n} +b _{n}]은

[eqn: 8]로 일정하다.

[eqn: a _{1} <b _{1}]이므로

[eqn: a _{2} =0.9a _{1} +0.1b _{1`} >0.9a _{1} +0.1a _{1`} =a _{1} `]

[eqn: b _{2} =0.9b _{1} +0.1a _{1`} <0.9b _{1} +0.1b _{1`} =b _{1} `]

마찬가지로 계속하면 [eqn: a _{1} `<a _{2} <a _{3} < cdots <a_n],

[eqn: b _{1} `>b _{2} >b _{3} > CDOTS >b _{n}]

㉡[eqn: -]㉠에서 [eqn: b _{n+1} -a _{n+1} =0.8(b _{1} -a _{1} )]이므로

[eqn: b _{n} -a _{n} =(0.8) ^{n-1} (b _{1} -a _{1} )]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {} (b _{n} -a _{n} )= lim _{n -> INF } {} (0.8) ^{n-1} (b _{n} -a _{n} )=0`]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {} a _{n} = lim _{n -> INF } {} b _{n} =4`]

47

①

답

해

설

처음에 [eqn: rmA] 그릇에 들어 있는 물의 양을 [eqn: a _{0}rmL], [eqn: n]번 시행 후 [eqn: rmA] 그릇에 들어 있는 물의 양을 [eqn: a _{n} rm L]라고 하면

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} + {1} over {3} LEFT ( 1-a _{n} + {1} over {2} a _{n} RIGHT ) = {1} over {3} a _{n} + {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE a _{n+1} - {1} over {2} = {1} over {3} LEFT ( a _{n} - {1} over {2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE a _{n} - {1} over {2} = LEFT ( a _{1} - {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: thereforelim _{n -> INF } {} a _{n} = {1} over {2} ( rm L)]

48

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {} (2 ^{n} +3 ^{n+1} )a _{n} `# = lim _{n -> INF } {} LEFT { (2 ^{n+1} +3 ^{n} )a _{n} CDOT {2 ^{n} +3 ^{n+1}} over {2 ^{n+1} +3 ^{n}} ` RIGHT }# =`4 CDOT 3=12]

49

⑤

답

해

설

[eqn: -1<x<1]이면  [eqn: f(x)=0]

[eqn: x=1]이면  [eqn: f(x)= {1} over {2}]

[eqn: x=-1]이면  [eqn: f(x)=- {1} over {2}]

[eqn: x<`-1] 또는 [eqn: x>1]이면  [eqn: f(x)=x]

이므로  [eqn: a= {1} over {2}]

50

③

답

해

설

[eqn: a _{n} =- LEFT ( - {2} over {3} RIGHT ) ^{n-1} +3]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {a _{n}}=3]

51

⑤

답

해

설

[eqn: a_n+2 -a_n+1 = 1 over 3 (a_n+1 -a_n )]에서

[eqn: a_n+1 -a_n =b_n]으로 놓으면

[eqn: b _{n} =2 LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE `a _{n} =1+2 sum _{k=1} ^{n-1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{k-1} =1+3 LEFT { 1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1} RIGHT }]

[eqn: THEREFORE lim _{ n`->`inf} {a_n }=4]

52

[eqn: {7} over {4}]

답

해

설

[eqn: a _{n+1} = {1} over {3} (2a _{n} +a _{n-1} )`(n GEQ 2)]에서

[eqn: 3a _{n+1} =2a _{n} +a _{n-1}]

이를 변형하여 정리하면

[eqn: 3(a _{n`+1} -a _{n`} )=-(a _{n`} -a _{n-1} )]

이때 [eqn: a _{n+1} -a _{n`} =b _{n}]으로 놓으면

[eqn: b _{n+1`} =- {1} over {3} b _{n} ,~b _{1} =a _{2} -a _{1} =1]

이므로 수열 [eqn: LEFT { ` RIGHT .b_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: - {1} over {3}]인 등비수열이다. 즉, [eqn: b _{n} = LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE a _{n} =a _{1} + sum _{k=1} ^{n-1} b _{k} & =1+ {1- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}} over {1- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT )}# & = {7} over {4} - {3} over {4} LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: THEREFORE lim _{ n`->`inf} { a_n}= lim _{ n`->`inf} {left{ { 7} over { 4}- { 3} over { 4}left(- 1 over 3 right)^n-1 right} = 7 over 4}]

53

④

답

해

설

[eqn: a _{n+1} = {1} over {3} a _{n} + {4} over {3}]에서

[eqn: a_n+1 -2= { 1} over { 3}(a_n -2)]

[eqn: a_n -2=b_n]이라고 하면  [eqn: b_n+1 = { 1} over { 3}b_n]

[eqn: b_1 = a_1 -2= 3-2 =1]

따라서 수열 [eqn: left{ b_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: 1 over 3]인 등비수열이므로

[eqn: b_n = a_ n -2 = 1 cdot left( 1 over 3 right) ^n-1]

[eqn: therefore a_ n = 2+ left( 1 over 3 right) ^n-1]

[eqn: therefore lim _{ n->inf} {a_n = lim _{ n`->`inf} { left{2+left( 1 over 3 right) ^n-1} right} = 2 }]

54

③

답

해

설

[eqn: (x-1) ^2n-1 = (x-1) ^2(n-1)+1 = (x-1) left{(x-1) ^2 right} ^n-1]

에서 수열 [eqn: left{ (x-1) ^2n-1 right}]은 첫째항이 [eqn: x-1], 공비가 [eqn: (x-1) ^2]인 등비수열이다.

그러므로 이 수열이 수렴하려면 등비수열이 수렴할 조건에 의하여

[eqn: x-1=0] 또는 [eqn: -1 < (x-1) ^2 le 1]

[eqn: x=1] 또는 [eqn: -1 le x -1 le 1]

[eqn: therefore x=1] 또는 [eqn: 0 le x le 2]

따라서 구하는 실수 [eqn: x]값의 범위는

[eqn: 0 le x le 2]

55

④

답

해

설

ㄱ. [eqn: f(1)= lim _{n` -> INF } {` {1 ^{2n-1} -2} over {1+1 ^{2n}}} =- {1} over {2}](거짓)

ㄴ. [eqn: f(-1)`= lim _{n`->inf} {{(-1) ^{2n-1} -2} over {1+(-1) ^{2n}}} =- {3} over {2}] (참)

ㄷ. [eqn: LEFT | `x` RIGHT | <1]일 때, [eqn: LEFT | `x ^{2`} RIGHT | <1]이므로
[eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n-1} -2} over {1+x ^{2n}}} = {0-2} over {1+2} =-2] (거짓)

ㄹ. [eqn: LEFT | `x` RIGHT | >1]일 때, [eqn: 0` LE LEFT | `x^2`RIGHT |<1]이므로
[eqn: f(x) & = lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n-1} -2} over {1+x ^{2n}}}# & = lim _{n->inf} {{{1} over {x} - {2} over {x ^{2n}}} over {{1} over {x ^{2n}} +1}}# & = {{1} over {x} -0} over {0+1} = {1} over {x} (참)]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

56

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: a _{n} +S _{n} =n+2]	㉠

[eqn: n` GEQ `2]일 때, ㉠의 [eqn: n]대신 [eqn: n-1]을 대입하면

[eqn: a_n-1 +S_n-1 = n+1]	㉡

[eqn: ㉠-㉡]에서

[eqn: a_n -a_n-1 +S_n -S_n-1 =1]

[eqn: a_n - a_n-1 +a_n =1 ~(because a_ n = S_n - S_n-1 )]

[eqn: 2a_n -a_n-1 =1]

[eqn: therefore a_n = 1 over 2 a_n-1 + 1 over 2]

[eqn: a_n - alpha = 1 over 2 (a_n-1 -alpha )]에서  [eqn: alpha =1]

[eqn: therefore a _n -1 = 1 over 2 (a_n-1 -1)]

따라서 수열 [eqn: left{a_n -1 right}]은 첫째항이 [eqn: a_1 -1], 공비가 [eqn: 1 over 2]인 등비수열이므로

[eqn: a_n -1 = (a_1 -1) cdot left( 1 over 2 right) ^n-1]

[eqn: therefore a_ n = (a_1 -1) cdot left( 1 over 2 right) ^n-1 + 1]

[eqn: therefore lim _{ n`->`inf} {a_n = lim _{ n->inf} { left{ (a_1 -1) cdot left( 1 over 2 right) ^n-1 + 1 right} =1} }]

57

[eqn: 18]

답

해

설

두 등비수열 {[eqn: a_{ n}]}, {[eqn: b_{ n}]}은 첫째항이 [eqn: a]로 같고, 공비가

각각 [eqn: 2,~3]이므로

[eqn: a _{n} =a` CDOT 2 ^{n-1} ,~b _{n} =a` CDOT 3^n-1]

[eqn: THEREFORE & lim _{n -> INF } {{rm ` it `a _{n} (a _{n} +b _{n} ) it} over {6 ^{n}}}# & = lim _{n -> INF } {{rm ` it `a _{n} ` ^{2} +a _{n} b _{n} it} over {6 ^{n}}}# & = lim _{n -> INF } {{rm ` it `(a` CDOT 2 ^{n-1} ) ^{2} +(a` CDOT 2 ^{n-1} )(a` CDOT 3 ^{n-1} )} over {6 ^{n}}}# & = lim _{n -> INF } {{rm ` it `a ^{2} CDOT 4 ^{n-1} +a ^{2} CDOT 6 ^{n-1}} over {6 ^{n}}}# & = lim _{n -> INF } {LEFT { {a ^{2}} over {4} CDOT LEFT ( {4} over {6} RIGHT ) ^{n} +a ^{2} CDOT {1} over {6} RIGHT }} = {1} over {6} a ^{2}]

[eqn: THEREFORE `1 over 6 a^2 = 54 ,~a^2 = 54 times 6 = 18^2]

[eqn: therefore a=18(because a>0)]

58

[eqn: 0]

답

59

[eqn: -3]

답

해

설

[eqn: 0<a _{n} LEQ LEFT ( {2015} over {2016} RIGHT ) ^{n-1} CDOT a _{1}]이므로

[eqn: lim _{ n`->`inf} { a_n}=0]

[eqn: THEREFORE lim _{n` -> ` INF } {{3a _{n} +3n-2} over {4a _{n} -n+1} = lim _{n` -> ` INF } {{{3a _{n}} over {n} +3- {2} over {n}} over {{4a _{n}} over {n} -1+ {1} over {n}} =-3}}]

60

⑤

답

해

설

[eqn: a_n+1 - 3 = 1 over 3 (a_n - 3)]   [eqn: therefore a_n = 3-2 left(1 over 3 right)^n-1]

[eqn: therefore lim _{ n->inf} {a_n } = lim _{ n->inf} left{ 3- 2 left(1 over3 right)^n-1 right} =3]

61

④

답

해

설

극한값은

(i) [eqn: |`r`|>1]일 때  [eqn: r]

(ii) [eqn: r=1]일 때  [eqn: {1} over {2}]

(iii) [eqn: |`r`|<1]일 때  [eqn: 0]

따라서 1은 극한값이 될 수 없다.

62

⑤

답

해

설

[eqn: 7^n+1 - 3^n} over {3^n+1 + 7^n} < a_n < { 3^n + 7^n+1} over {3^n+1 + 7^n}]

이때, [eqn: lim _{ n->inf} { 7^n+1 - 3^n} over {3^n+1 + 7^n}} = 7 ,~ lim _{ n->inf} { 3^n + 7^n+1} over {3^n+1 + 7^n}=7]

[eqn: therefore lim _{ n->inf} { a_n} = 7]

63

⑤

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf} {4^n -1 }over {3^n +1 } = lim _{ n->inf} { 1 - left(1over4 right)^n} over {{left(3over4 right)}^n + left(1 over 4 right)^n }= inf](발산)
ㄴ. [eqn: lim _{ n->inf} {2^n+1 -1 }over {2^n } =2](수렴)

ㄷ. [eqn: lim _{ n->inf} {2^3n }over {3^n +8^n } =1](수렴)

64

[eqn: 13 over 4]

답

해

설

[eqn: a_n+2 - a_n+1 = - 1 over 3 ( a_n+1 - a_n )]이므로

[eqn: a_n = 1 + sum _{ k=1} ^{n-1 } 3 left(- 1over 3 right)^k-1 = 13over 4 - 9 over 4 left(- 1over3 right)^n-1## therefore ~ lim _{ n->inf} {a_n }= 13 over 4]