기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			반 / 번호
	01 공간벡터의 뜻과 그 연산					이름

01 다음 그림과 같은 직육면체에서 [eqn: rm {vec{AB}} = {vec{it a rm}} ,~ rm {vec{AF}} = {vec{it b rm}} ,][eqn: rm {vec{AC}} = {vec{it c rm}}]할 때, [eqn: rm {vec{DF}} = it l {vec{a rm }} +m {vec{b rm }} +n {vec{c rm }}]가 성립한다. 이때, [eqn: it l+m+n]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

02 오른쪽 그림과 같은 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 점 [eqn: rmM,~N]은 각각 [eqn: rm {bar{BC}} ,~ {bar{CD}}]의 중점일 때, 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: rm LEFT | {vec{AM}} RIGHT | < LEFT | {vec{AN}} RIGHT | + {1} over {2} LEFT | {vec{BD}} RIGHT |]

ㄴ. [eqn: rm {vec{AM}} it +k {vec{rm BD it}} = {vec{0}}]를 만족하는 실수[eqn: k]가 존재한다.

ㄷ. [eqn: rm {vec{BM}} + rm {vec{CN}} = it k rm {vec{MN}}]을 만족하는 실수[eqn: k]가 존재한다.

① ㄱ          ② ㄴ         ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 서로 다른 네 점 [eqn: rm O,~A,~B,~C]에 대하여 [eqn: rm {vec{OA}} = it {vec{a}} +2 {vec{b}} ,~ rm {vec{OB}} = it 2 {vec{a}} - {vec{b}} ,~ rm {vec{OC}} = it k {vec{a}} -5 {vec{b}}]일 때, 세 점 [eqn: rm A,~B,~C]가 같은 직선 위에 있도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은?
(단, 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]는 영벡터가 아니고, 서로 평행하지 않다.)

① [eqn: {1} over {3}]          ② [eqn: {4} over {3}]         ③ [eqn: 2]
④ [eqn: {6} over {3}]          ⑤ [eqn: {10} over {3}]

04 좌표공간의 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 0,~1,~-1 RIGHT ) ,~B LEFT ( 2,~3,~0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{rmAB}}]와 방향이 같고 크기가 [eqn: 1]인 벡터를 성분으로 나타내면 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]이다. 이때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]          ② [eqn: {2} over {3}]         ③ [eqn: 1]
④ [eqn: {4} over {3}]          ⑤ [eqn: {5} over {3}]

05 공간벡터[eqn: {vec{rm OP it}} = LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]을 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면에 정사영시켜 얻은 벡터를 각각 [eqn: rm {vec{OA}} ,~ {vec{OB}} ,~ {vec{OC}} ~]라고 하자.[eqn: rm {vec{OP}} = it a {vec{rm OA it}} + it b {vec{rm OB it}} + it c {vec{rm OC it}}]일 때, 세 실수 [eqn: a,~b,~c]의 합 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: - {2} over {3}]          ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]             ⑤ [eqn: {3} over {2}]

06 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 2,~-3,~4 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( -2,~5,~3 RIGHT ) ,]
[eqn: {vec{c}} = LEFT ( 6,~-11,~5 RIGHT )]일 때, [eqn: {vec{c}} =k {vec{a}} +h {vec{b}}]를 만족하는 실수[eqn: k,~h]의 합 [eqn: k+h]의 값은?

① [eqn: -1]         ② [eqn: 0]         ③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]           ⑤ [eqn: 3]

07 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( -1,~0,~1 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]이고, [eqn: LEFT | {vec{a}} +t {vec{b}} RIGHT |]는 [eqn: t=m]일 때, 최솟값 [eqn: M]을 갖는다.
[eqn: m+M]의 값은? (단, [eqn: t]는 실수)

① [eqn: sqrt {2}]         ② [eqn: sqrt {3}]         ③ [eqn: 2]
④ [eqn: sqrt {5}]         ⑤ [eqn: sqrt {6}]

08 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 2x-1,~ {4} over {5} RIGHT )]가 단위벡터일 때, 실수 [eqn: x]의 값의 합은?

① [eqn: {3} over {5}]         ② [eqn: 1]         ③ [eqn: {7} over {5}]
④ [eqn: {9} over {5}]         ⑤ [eqn: 2]

09 공간 위의 세 점 [eqn: rm O LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT ) ,~A LEFT ( 1,~ sqrt {3} ,~0 RIGHT ) ,~B LEFT ( -1,~0,~2 sqrt {2} RIGHT )]
에 대하여 선분 [eqn: rmAB] 위에 점[eqn: rmP]가 있다. 선분 [eqn: rm OP]가 [eqn: rmangleAOB]를 이등분할 때, 선분 [eqn: rmOP]의 길이는?

① [eqn: {sqrt {15}} over {5}]       ② [eqn: {2 sqrt {15}} over {5}]      ③ [eqn: {3 sqrt {15}} over {5}]
④ [eqn: {4 sqrt {15}} over {5}]      ⑤ [eqn: {6 sqrt {15}} over {5}]

10 오른쪽 그림의 사면체에서 [eqn: {vec{rm OA it}} = {vec{a}} ,~ {vec{rm OB it}} = {vec{b}} ,`][eqn: {vec{rm OC it}} = {vec{c}}]라고 할 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: rm {vec{AC}} = it {vec{c}} - {vec{a}}]

ㄴ. [eqn: rm {vec{AB}} - rm {vec{CA}} + rm {vec{BO}} = it - {vec{c}}]

ㄷ. [eqn: rm {vec{BC}} + rm {vec{AB}} - rm {vec{CA}} =2 rm {vec{AC}}]

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ         ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

11 오른쪽 그림과 같은 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 [eqn: rm {vec{AB rm}} it = {vec{a}} ,` rm {vec{`AD}} it = {vec{b}} ,` rm][eqn: rm {vec{`AE}} it = {vec{c}}]일 때, 다음 벡터를[eqn: {vec{a}} ,` {vec{b}} ,` {vec{c}}] 로 나타내시오.

(1)[eqn: rm {vec{AC rm}} it]   (2)[eqn: rm {vec{AH rm}} it]   (3)[eqn: rm {vec{AG rm}} it]   (4)[eqn: rm {vec{DF rm}} it]

12 다음을 간단히 하시오.

(1)[eqn: rm 3it LEFT ( {vec{a}} +2 {vec{b}} it RIGHT ) - LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} it RIGHT )]

(2)[eqn: rm 2it LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} it RIGHT ) -3b LEFT ( {vec{a}} -2 {vec{b}} it RIGHT )]

13 오른쪽 그림과 같은 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 [eqn: rm {vec{AC}} = rm {vec{a}} ,` rm {vec{AF}} = rm {vec{it b rm}} ,` rm {vec{AH}} = rm {vec{it c rm}} `]라 할 때, [eqn: rm {vec{AB}}]를
[eqn: {vec{a}} ,` rm {vec{b}} ,` rm {vec{c}} `]로 나타내면?

① [eqn: {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT )]     ② [eqn: {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} + {vec{c}} ) RIGHT .]

③ [eqn: {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} - {vec{c}} ) RIGHT .]     ④ [eqn: {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} - {vec{b}} - {vec{c}} ) RIGHT .]

⑤ [eqn: {1} over {2} LEFT ( - {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} ) RIGHT .]

14 다음 그림의 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서
[eqn: rm {bar{AB}} =1,~ rm {bar{AD}} =3,~ rm {bar{AE}} =2]일 때, 다음 물음에 답하여라.

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]벡터 [eqn: rm {vec{AB}}]와 같은 벡터를 모두 말하여라.

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]다음 벡터의 크기를 구하여라.

[eqn: ①][eqn: rm {vec{EH}}]       [eqn: ②][eqn: rm {vec{EH}}]       [eqn: ③][eqn: rm {vec{EH}}]

15 오른쪽 그림의직육면체에서 [eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{a}} ,` rm {vec{AD}} it = {vec{b}} ,` rm][eqn: rm` {vec{AE}} it = {vec{c}}]일 때, 다음 중 [eqn: {vec{a}} - {vec{b}} + {vec{c}}]와 같은 것은?

[eqn: ①][eqn: rm {vec{AC}}]          [eqn: ②][eqn: rm {vec{AG}}]         [eqn: ③][eqn: rm {vec{DE}}]

[eqn: ④][eqn: rm {vec{DF}}]           [eqn: ⑤][eqn: rm {vec{CE}}]

16 위의 예제의 직육면체에서[eqn: {vec{a}} - {vec{b}} - {vec{c}}]와 같은 것은?

[eqn: ①][eqn: rm {vec{AG}}]          [eqn: ②][eqn: rm {vec{BH}}]         [eqn: ③][eqn: rm {vec{FD}}]

[eqn: ④][eqn: rm {vec{GA}}]           [eqn: ⑤][eqn: rm {vec{HB}}]

17 두 벡터[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 2,~-1,~6 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( 3,~1,~-1 RIGHT )]에 대하여 등식 [eqn: {vec{x}} +2 {vec{a}} =3 {vec{b}} -4 {vec{x}}]를 만족하는 벡터 [eqn: vecx]의 모든 성분의 합은?

[eqn: ①][eqn: -3]          [eqn: ②][eqn: -1]          [eqn: ③][eqn: 0]

[eqn: ④][eqn: 1]             [eqn: ⑤][eqn: 3]

18 두 벡터[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~1,~-1 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( 3,~0,~k RIGHT )]에 대하여 [eqn: 2 {vec{a}} + {vec{b}}]의 크기가 [eqn: 3 sqrt {5}]일 때, 음수 [eqn: k]의 값은?

[eqn: ①][eqn: -1]          [eqn: ②][eqn: -2]          [eqn: ③][eqn: -3]

[eqn: ④][eqn: -4]           [eqn: ⑤][eqn: -5]

19 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) ,`B` it LEFT ( 3~m,~4 RIGHT ) ,`` rm C` it LEFT ( -2,~2,~n RIGHT )]
이 한직선 위에 있을 때, [eqn: m+n]의 값은?

(단, [eqn: m,`n]은 실수)

[eqn: ①][eqn: -1]          [eqn: ②][eqn: -3]          [eqn: ③][eqn: -5]

[eqn: ④][eqn: -7]           [eqn: ⑤][eqn: -9]

20 공간벡터 [eqn: {vec{rmOP}}][eqn: = LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]을 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면에 정사영시켜 얻은 벡터를 각각 [eqn: rm {vec{OA}}], [eqn: rm {vec{OB}}], [eqn: rm {vec{OC}}]라고 하자. [eqn: rm {vec{OP}}][eqn: =a rm {vec{OA}} + it b rm {vec{OB}} +c rm {vec{rm OC}}]일 때, 세 실수[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합[eqn: a+b+c]는?

[eqn: ①][eqn: - {3} over {2}]         [eqn: ②][eqn: -1]         [eqn: ③][eqn: 0]
[eqn: ④][eqn: 1]           [eqn: ⑤][eqn: {3} over {2}]

21 오른쪽 그림은 어떤 정육면체의 전개도이다. 원래의 정육면체에서 [eqn: {vec{rmAB}}]와 같은 것은?

[eqn: ①][eqn: rm {vec{CD}}]           [eqn: ②][eqn: rm {vec{DC}}]           [eqn: ③][eqn: rm {vec{ED}}]
[eqn: ④][eqn: rm {vec{DE}}]           [eqn: ⑤][eqn: rm {vec{FD}}]

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			반 / 번호
	02 공간벡터의 성분과 내적					이름

01 다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체에서 [eqn: rm {vec{AC}} · {vec{AG}}]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

02 두 벡터[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 8,~x-1,~12 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( 9,~x,~-7 RIGHT )]이 서로 수직일 때, 양수 [eqn: x]의 값은?

① [eqn: 4``]          ② [eqn: 6]          ③ [eqn: 8]
④ [eqn: 10]          ⑤ [eqn: 12`]

03 다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: LEFT | {vec{rm AB it}} + {vec{rm AC}} + {vec{rm AD it}} RIGHT |]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: sqrt {2}]         ③ [eqn: sqrt {3}]
④ [eqn: sqrt {5}]         ⑤ [eqn: sqrt {6}]

04 좌표공간 위의 세 점[eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~-1 RIGHT ) ,][eqn: rmB LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT ) ,~C LEFT ( 1,~1,~ it a RIGHT )]에 대하여 [eqn: anglermBAC=60DEG]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: -2]         ② [eqn: -1]          ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]           ⑤ [eqn: 2]

05 좌표공간 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 10,~-1,~3 RIGHT ) ,~B LEFT ( -2,~0,~6 RIGHT )]에 대하여 점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmOB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 할 때, [eqn: LEFT | {vec{rmOH}} RIGHT |]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: {sqrt {10}} over {10}]       ② [eqn: {sqrt {10}} over {9}]       ③ [eqn: {sqrt {10}} over {8}]
④ [eqn: {sqrt {10}} over {7}]       ⑤ [eqn: {sqrt {10}} over {6}]

06 오른쪽 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 있는 원 [eqn: rm S _{1}]과 평면 [eqn: beta] 위에 있는 원 [eqn: rmS _{2}]는 반지름의 길이가 각각 [eqn: 2]이고, 점 [eqn: rmC]에서 두 평면 [eqn: alpha,~beta]의 교선 [eqn: l]과 접한다. [eqn: rmS _{1}]의 중심 [eqn: rmO _{1}]을 지나고 평면 [eqn: alpha]에 수직인 직선과 [eqn: rmS _{2}]의 중심 [eqn: rmO _{2}]를 지나고 평면 [eqn: beta]에 수직인 직선이 만나는 점을 [eqn: rmP]라고 하자.[eqn: rm ANGLE O _{1} CO _{2} = {2} over {3} pi.~]원[eqn: rmS _{1}] 위에 있는 임의의 점 [eqn: rmA]와 원[eqn: rmS _{2}] 위에 있는 임의의 점 [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: rm LEFT | {vec{PA}} + {vec{PB}} RIGHT |]의 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

① [eqn: 2]           ② [eqn: 8]          ③ [eqn: 12]
④ [eqn: 16]          ⑤ [eqn: 20]

07 두 벡터 [eqn: it {vec{a}} = LEFT ( 1,~-3,~-2 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( k,~-2,~1 RIGHT )]이 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi} over {3}]가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 합은?

① [eqn: {16} over {5}]         ② [eqn: {14} over {5}]        ③ [eqn: {12} over {5}]
④ [eqn: {9} over {5}]          ⑤ [eqn: {7} over {5}]

08 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 3]인 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]의 세 모서리 [eqn: rmAD,~BC,~FG]위에 [eqn: rm {bar{DP}} = rm {bar{BQ}} = rm {bar{GR}} =1]인 세 점 [eqn: rmP,~Q,~R]가 있다. 평면 [eqn: rmPQR]와 평면 [eqn: rmCGHD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta] 의 값은?
(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}])

① [eqn: {sqrt {10}} over {5}]       ② [eqn: {sqrt {10}} over {10}]       ③ [eqn: {sqrt {11}} over {11}]
④ [eqn: {2 sqrt {11}} over {11}]      ⑤ [eqn: {3 sqrt {11}} over {11}]

09 성분으로 주어진 다음 벡터의 크기를 구하시오.
(1) [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 3,~-4 RIGHT )]    (2) [eqn: {vec{b}} = LEFT ( sqrt {2} ,~ sqrt {2} RIGHT )]
(3) [eqn: {vec{c}} = LEFT ( 2,~-2,~1 RIGHT )]

10 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 5,~-1,~2 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( 1,~3,~4 RIGHT )]일 때, 내적[eqn: {vec{a}} · {vec{b}}]의 값을 구하시오

11 두 벡터[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~1,~-3 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( -3,~2,~-1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: veca`+vecb]와 같은 방향의 단위 벡터를 [eqn: vece]라고 하자. 이때, 벡터 [eqn: vece]의 모든 성분의 합은?

① [eqn: - {2} over {3}]         ② [eqn: - {1} over {3}]         ③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {3}]            ⑤ [eqn: {2} over {3}]

12 좌표공간에서 벡터 [eqn: veca]가 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: 60DEG,`45DEG]라 할 때, [eqn: {veca} over {LEFT | veca RIGHT |}]는?

① [eqn: LEFT ( 1,~1,~± sqrt {2} RIGHT )]      ② [eqn: LEFT ( 1,~-1,~± sqrt {2} RIGHT )]

③ [eqn: {1} over {2} LEFT ( 1,~2,~±1 RIGHT )]      ④ [eqn: {1} over {2} LEFT ( 1,~2,~± sqrt {2} RIGHT )]

⑤ [eqn: {1} over {2} LEFT ( 1,~ sqrt {2} ,~±1 RIGHT )]

13 좌표공간 위의 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,~1,~2 RIGHT ) ,`B LEFT ( 1,~0,~3 RIGHT ) ,`][eqn: C LEFT ( 4,~-3,~0 RIGHT ) ,`D` it LEFT ( 1,~x,~y RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm {vec{AB it rm}} ⫽ {vec{CD}}]일 때, 실수 [eqn: x,`y]의 값을 구하시오.

14 다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 변 [eqn: rmAB,`BC,`CD]의 중점을 각각[eqn: rmP,`Q,`R]라할 때, 내적 [eqn: rm {vec{PQ}} · {vec{PR}}]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]       ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]      ⑤ [eqn: {1} over {3}]

15 좌표공간 위의 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT ) ,`B LEFT ( 3,~-2,~1 RIGHT ) ,`][eqn: rmC LEFT ( 6,~-3,~-1 RIGHT ) `]이 주어졌을 때, [eqn: anglermBAC]의 크기를 구하시오.

16 두 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( -4,~-3,~2 RIGHT )]에 각각 수직이고, 크기가 3인 벡터를 구하시오.

17 [eqn: 119] 구조대의 헬리콥터가 산에서 조난당한 사람을 구조하기 위하여 출동하였다. 출발점을 원점, 동쪽 방향을 [eqn: x]축의 양의 방향, 북쪽 방향을 [eqn: y]축의 양의 방향, 지상을 [eqn: z]축의 양의 방향으로 하여 [eqn: {vec{u}} `= LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]의 방향으로 [eqn: 13 sqrt {3} rmm/]초의 속력으로 출발하여 [eqn: 10]초가 되는 순간부터 고도를 유지하며[eqn: {vec{v}} = LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT )]의 방향으로 [eqn: 40 sqrt {2} rmm/]초의 속력으로 비행하였다. [eqn: t>10]일 때 출발한 지 [eqn: t]초 후 헬리콥터의 위치를 [eqn: t]에 관한 성분으로 나타내시오.

18 오른쪽 그림과 같이 원점 [eqn: rmO]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축 위에 모서리가 있는 정육면체의 한 변의 길이는 [eqn: 4]이다. 이때, 벡터 [eqn: rm {vec{FD}} + {vec{BH}}]의 모든 성분의 합은?

① [eqn: -8]       ② [eqn: -4]       ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 8]

19 다음 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~vecb]에 대하여[eqn: {vec{a}} · {vec{b}}]의 값을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~3 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( -2,~1 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT )]

20 다음 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~vecb]가 이루는 각의 크기 [eqn: theta]를 구하여라.(단, [eqn: 0 DEG <= theta <= 180DEG])
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {vec{a}} = LEFT ( 3,~1 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( 1,~2 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( -2,~2,~0 RIGHT )]

21 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 다음을 구하여라.

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: rm {vec{AB}} ⦁ {vec{AB}}]

[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: rm {vec{AB}} ⦁ {vec{CD}}]

22 세 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT ) ,~B LEFT ( 2,~-1,~1 RIGHT ) ,~C LEFT ( 0,~3,~1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rmangleABC=theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라.

23 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT ) ,~B LEFT ( 3,~0,~-1 RIGHT ) ,]
[eqn: rm C` it LEFT ( x,~x+1,~2-x RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 [eqn: anglermA=90DEG]인 직각삼각형일 때, 실수 [eqn: x]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 1]           [eqn: ②][eqn: {1} over {2}]          [eqn: ③][eqn: {1} over {3}]

[eqn: ④][eqn: {1} over {4}]           [eqn: ⑤][eqn: {1} over {5}]

24 오른쪽 그림의 직육면체에서 [eqn: rm {bar{AB}}][eqn: =1], [eqn: rm {bar{AD}}][eqn: =2], [eqn: rm {bar{AE}}][eqn: =1]일 때, [eqn: rm {vec{AC}} · {vec{DF}}]의  값을 구하여라.

25 두 벡터 [eqn: {vec{a}}]=[eqn: = LEFT ( 0,~x,~y+1 RIGHT )], [eqn: {vec{b}}][eqn: = LEFT ( 2,~2-x,~3-y RIGHT )]가 서로 수직이 되도록 하는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]가 그리는 자취의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: pi]           [eqn: ②][eqn: 2pi]         [eqn: ③][eqn: 3pi]
[eqn: ④][eqn: 4pi]          [eqn: ⑤][eqn: 5pi]

26 원점 [eqn: rmO]에서 직선 [eqn: x][eqn: =-y-1][eqn: = {z-1} over {2}]에 이르는 거리의 최솟값은?

[eqn: ①][eqn: 1]           [eqn: ②][eqn: {sqrt {2}} over {2}]         [eqn: ③][eqn: {sqrt {3}} over {3}]
[eqn: ④][eqn: sqrt {2}]        [eqn: ⑤][eqn: sqrt {3}]

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			반 / 번호
	03 직선의 방정식					이름

01 점 [eqn: LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT )]을 지나고 방향벡터가
[eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~0,~-5 RIGHT )]인 직선이 점 [eqn: LEFT ( 0,~`1,~a RIGHT )]를 지날 때, 실수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 6]           ② [eqn: 7]          ③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]          ⑤ [eqn: 10]

02 점 [eqn: LEFT ( 1,~-2,~1 RIGHT )]을 지나고 벡터가[eqn: {vec{u}} = LEFT ( -1,~2,~2 RIGHT )]에 평행한 직선이 [eqn: xy]평면과 만나는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: rm P LEFT ( ita,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: - {3} over {2}]         ② [eqn: - {1} over {2}]          ③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1} over {2}]           ⑤ [eqn: {3} over {2}]

03 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 2,~-1,~3 RIGHT ) ,~B LEFT ( 4,~4,~0 RIGHT )]을 지나는 직선이 점[eqn: rm C` it LEFT ( a~b,~6 RIGHT )]을 지난다고 할 때, [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: -2]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 4]
④ [eqn: 6]             ⑤ [eqn: 8]

04 직선 [eqn: l]:[eqn: {x-1} over {3} =y+1= {z+1} over {4}]을 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: l':]대칭시킨 직선의 방정식은?

① [eqn: {x+1} over {3} =y-4= {z-7} over {4}]
② [eqn: {x-1} over {3} =y-5= {z-3} over {4}]
③ [eqn: {x+1} over {3} =y-3= {z-6} over {4}]
④ [eqn: {x+1} over {3} =y-4= {z-3} over {4}]
⑤ [eqn: {x-1} over {3} =y-5= {z-7} over {4}]

05 두 직선 [eqn: l: {x-3} over {3} = {y+2} over {2} =z+1]과
[eqn: m:x+2= {y+13} over {13} = {z-2} over {-2}]가 이루는 각 [eqn: theta]의 크기는? (단, [eqn: 0DEG LEQ theta LEQ 90DEG])

① [eqn: 15DEG]           ② [eqn: 30 DEG]          ③ [eqn: 45 DEG]
④ [eqn: 60 DEG]           ⑤ [eqn: 90 DEG]

06 두 직선 [eqn: l:6 LEFT ( x-3 RIGHT ) =-3 LEFT ( y+1 RIGHT ) =z-3]
[eqn: l _{2} : {x+1} over {a} = {y-2} over {2} = {3-z} over {b}]가 평행할 때, [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -6]       ② [eqn: -3]      ③ [eqn: -1]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 3]

07 직선 [eqn: {x+1} over {2} = {y-2} over {3} =-z]우의 점 중에서 점 [eqn: rmA LEFT ( 5,~3,~1 RIGHT )]과의 거리가 최소인 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: rm P it (x,~y,~z)]라고 할 때, [eqn: x+y+z]의 값은?

① [eqn: 4]         ② [eqn: 5]       ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]          ⑤ [eqn: 8]

08 두 직선 [eqn: x= {y} over {2} = {z} over {3} ,~x-1= {x-1} over {3} = {z-2} over {4}]의
교점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a+b-c]의 값은?

① [eqn: -1]           ② [eqn: 0]          ③ [eqn: 1]
④ [eqn: 2]             ⑤ [eqn: 3]

09 직선 [eqn: {x-3} over {a} =1-y= {z+3} over {b}]이 직선 [eqn: x=y=-z]와 평행하고 직선 [eqn: x+2=y-2= {z-1} over {c}]과 수직일 때, 세 실수 [eqn: a,~b,~c]의 합[eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]           ⑤ [eqn: 5]

10 좌표공간에서 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름이 [eqn: r LEFT ( r>0 RIGHT )]인 구 위에 점 [eqn: rmA,~B]를 잡아 벡터 [eqn: rm {vec{OA}}]와 [eqn: rm {vec{OB}}]가 이루는 각을 [eqn: theta LEFT ( 0 LEQ theta LEQ pi RIGHT )]라고 한다. 벡터 [eqn: rm {vec{OB}} - it `t {vec{rmOA}}]의 크기의 최솟값을 [eqn: a], 이때의 [eqn: t]값을 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 0]                   ② [eqn: sin`theta]
③ [eqn: cos`theta+sin`theta]       ④ [eqn: r`cos` theta +sin` theta]
⑤ [eqn: r`sin`theta+cos`theta]

11 점 [eqn: LEFT ( 2,~-1,~3 RIGHT )]을 지나고, [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향과 각각 [eqn: 30DEG,~60DEG,~120DEG]의 각을 이루는 직선이 [eqn: xy] 평면과 만나는 점의 좌표를 [eqn: rm P it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 1+ sqrt {3}]     ② [eqn: 2+ sqrt {3}]     ③ [eqn: 3+ sqrt {3}]
④ [eqn: 4+ sqrt {3}]     ⑤ [eqn: 5+ sqrt {3}]

12 점 [eqn: LEFT ( -1,~1,~5 RIGHT )]을 직선[eqn: l: {x-1} over {3} =y-2=-z+1] 에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 할 때, [eqn: rm {bar{AH}}]의 길이는?

① [eqn: sqrt {6}]     ② [eqn: sqrt {7}]     ③ [eqn: 2 sqrt {2}]
④ [eqn: 3]        ⑤ [eqn: sqrt {10}]

13 직선 [eqn: {x-1} over {2} = {y+1} over {3} =1-z]와 [eqn: z]축이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]이 값은?

① [eqn: {sqrt {8}} over {8}]      ② [eqn: {sqrt {10}} over {10}]     ③ [eqn: {sqrt {3}} over {6}]
④ [eqn: {sqrt {14}} over {14}]     ⑤ [eqn: {1} over {4}]

14 두 직선 [eqn: l:x-1=y-2=z,~m:x-2=y+5][eqn: =-z+3]에 대하여 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmP]와 [eqn: m] 위의 점[eqn: rmQ]를 지나는 직선 [eqn: rmPQ]가 두 직선 [eqn: l,~m]과 각각 서로 수직일 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이를 구하여라.

15 [eqn: rm {vec{OA}} = LEFT ( 2,~1,~0 RIGHT )], [eqn: {vec{rm OB it}} = LEFT ( 0,~2,~1 RIGHT )]에 대하여 점[eqn: rm P it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]가 직선 [eqn: rmAB]위에 있을 조건은?

① [eqn: {x-2} over {-2} =y-1=z]   ② [eqn: {x-2} over {3} =y+1=z]
③ [eqn: {x+2} over {4} = {y+1} over {2} =z]  ④ [eqn: {x+2} over {3} =y+1=z]
⑤ [eqn: {x+2} over {5} =2y-3=z]

16 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT )]과 직선 [eqn: x+1= {y-1} over {2} =2-z]위의 두 점 [eqn: rm B,~C]에 대하여 [eqn: rm TRIANGLE ABC]가 정삼각형 일 때, [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이는?

① [eqn: sqrt {3}]          ② [eqn: 2 sqrt {3}]          ③ [eqn: 3 sqrt {5}]
④ [eqn: 4 sqrt {2}]          ⑤ [eqn: 4 sqrt {3}]

17 점 [eqn: LEFT ( 1,~-2~,~3 RIGHT )]을 지나고, 벡터 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 3,~4,~2 RIGHT )]에 평행한 직선의 방정식을 구하시오.

18 점 [eqn: LEFT ( 3,~0~,~-1 RIGHT )]을 지나고, 벡터 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]에 평행한 직선의 방정식을 구하시오.

19 직선 [eqn: {x-1} over {2} = {y} over {3} = {z+1} over {-1}]에 평행하고, 점[eqn: LEFT ( 3,~4,~-5 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식을 [eqn: {x-a} over {2} = {y-4} over {b} =-z+c]로 나타낼 때, [eqn: abc]의 값을 구하시오.

20 다음 각 직선의 방정식을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]점 [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나고 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 2,~-1,~3 RIGHT )]에 평행     한 직선
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]두점 [eqn: LEFT ( -1,~-2,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 0,~1,~2 RIGHT ) `]를 지나는 직선

21 두 점 [eqn: rm A` it LEFT ( 0,~p,~q RIGHT ) ,~rmB` it LEFT ( r,~s,~0 RIGHT )]이 직선[eqn: {x} over {2} = {y-1} over {3} =z+1]위에 있을 때, 실수 [eqn: p,~q,~r,~s]의값을 구하여라.

22 두 직선[eqn: {x-1} over {2} =y= {z} over {-1}]와 [eqn: x= {y} over {-2} = {z+1} over {-1}]
이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라.

23 두 직선[eqn: {x-1} over {2} =y= {z} over {k}]와 [eqn: x= {y} over {-k+2} = {z+1} over {-1}]
이 서로 수직이 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

24 다음 중 직선 [eqn: x-1=2 LEFT ( y+1 RIGHT ) =3 LEFT ( 1-z RIGHT )]에 평행하고 원점을 지나는 직선의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: x-1= {y+1} over {2} = {z-1} over {3}]

[eqn: ②][eqn: x= {y} over {2} = {z} over {3}]

[eqn: ③][eqn: {x} over {6} = {y} over {3} = {z} over {2}]

[eqn: ④][eqn: {x-1} over {6} = {y+1} over {3} = {z-1} over {-2}]

[eqn: ⑤][eqn: {x-6} over {6} = {y-3} over {3} = {z+2} over {-2}]

25 두 점[eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT ) ,~B LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT )]을 지나는 직선이 점[eqn: rm C`it LEFT ( a,~b,~10 RIGHT )]도 지날 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b]는 실수)

26 다음 두 직선[eqn: l _{1} ,~l _{2}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: 1+tan ^{2} theta]의 값은?

[eqn: l _{1} : {x} over {2} =y+1=z-1,~l _{2} :x+1= {y-1} over {2} =z~~~]

[eqn: ①][eqn: 1]         [eqn: ②][eqn: 2]         [eqn: ③][eqn: 3]
[eqn: ④][eqn: 4]         [eqn: ⑤][eqn: 5]

27 다음 두 직선[eqn: l _{1} ,~l _{2}]가 이루는 각의 크기가[eqn: 60DEG]일 때, 정수 [eqn: k]의 값은?

[eqn: l _{1} : {x+1} over {-2} = {y+1} over {3} =z,~l _{2} :x-1= {y} over {2} = {z} over {k} ~~~]

[eqn: ①][eqn: -3]         [eqn: ②][eqn: -1]         [eqn: ③][eqn: 1]
[eqn: ④][eqn: 2]           [eqn: ⑤][eqn: 3]

28 다음 두 직선이 서로 평행할 때, [eqn: 3m+2n]의 값은? (단, [eqn: m,~n]은 실수)

[eqn: l _{1} : {x} over {2} =y= {z-1} over {m} ,~l _{2} : {x+1} over {n} = {y-1} over {3} =z+2~~]

[eqn: ①][eqn: 11]         [eqn: ②][eqn: 12]         [eqn: ③][eqn: 13]
[eqn: ④][eqn: 14]         [eqn: ⑤][eqn: 15]

29 다음 두 직선이 서로 수직일 때, 실수[eqn: k]의 값은?

[eqn: l _{1} : {x+3} over {2} = {y-1} over {3} = {z} over {k+1} ,~l _{2} : {x-1} over {k} = {2z-1} over {4}]

[eqn: ①][eqn: 1]         [eqn: ②][eqn: {1} over {2}]         [eqn: ③][eqn: {1} over {3}]
[eqn: ④][eqn: {1} over {4}]        [eqn: ⑤][eqn: {1} over {5}]

30 점 [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: x=1]                [eqn: ②][eqn: x=1,~y=2]

[eqn: ③][eqn: y=2,~z=3]         [eqn: ④][eqn: x= {y} over {2} = {z} over {3}]
[eqn: ⑤][eqn: x-1= {y-2} over {2} = {z-3} over {3}]

31 두 직선 [eqn: x=y-1=1-z]와
[eqn: {x} over {2} = {y+1} over {3} = {z-1} over {-2}]의 교점이 [eqn: rm P`it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]일 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.(단, [eqn: a,~b,~c]는 실수)

32 다음 그림의 직육면체에서 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AD}} =2,][eqn: rm {bar{AE}} =1]이다. [eqn: rm {bar{AG}}]와 [eqn: rm {bar{BH}}]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {2}]         [eqn: ②][eqn: {1} over {3}]         [eqn: ③][eqn: {1} over {4}]
[eqn: ④][eqn: {1} over {6}]        [eqn: ⑤][eqn: {1} over {9}]

33 두 직선 [eqn: l _{1} :x+2=-y+1=-z+3,~][eqn: l _{2} : {x-1} over {3} = {y} over {-5} =z]에 수직이고 점[eqn: LEFT ( -1,~0,~1 RIGHT )]을 지나는 직선의 방정식이 [eqn: l: {x+1} over {3} = {y} over {p} = {z-r} over {q}]일 때, [eqn: p+q+r]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: p,~q,~r]는 실수)

34 정호는 지금 청룡열차 옆에서 구경하고 있다. 청룡열차가 정호의 북쪽으로 [eqn: 10rmm], 동쪽으로 [eqn: rm10rmm] 떨어진 지점에서, 정호의 북쪽으로 [eqn: 10rmm], 서쪽으로 [eqn: 10rmm] 떨어지고 높이가 [eqn: 10rmm]인 지점까지 직선으로 지나간다고 한다. 정호로부터 청룡열차까지의 거리의 최솟값을 구하시오. (단, 단위는 [eqn: rmm])

35 두 점 [eqn: rm A LEFT ( it 1,~-1,~a RIGHT ) ,~ rm B LEFT ( itb,~3,~4 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식이 [eqn: {x+1} over {2} = {y+c} over {4} = {z+d} over {1}]일 때, [eqn: a+b+c+d]의 값은?  (단, [eqn: a,~b,~c,~d]는 실수)

[eqn: ①][eqn: 3]          [eqn: ②][eqn: 5]          [eqn: ③][eqn: 7]
[eqn: ④][eqn: 9]          [eqn: ⑤][eqn: 11]

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			반 / 번호
	04 평면과 구의 방정식					이름

01 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나고 직선
[eqn: {x-2} over {6} = {y-2} over {2} = {1-z} over {3}]에 수직인 평면의 방정식을 [eqn: ax+by+cz-1=0]이라고 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

02 점 [eqn: rm LEFT ( -2,~3,~1 RIGHT )]을 지나고 평면
[eqn: x+y-z+2=0]에 평행한 평면의 방정식은?

① [eqn: x+y-z=0]      ② [eqn: x-y-z=0]
③ [eqn: x+y+z=0]      ④ [eqn: x-2y+z=0]
⑤ [eqn: x+y-2z=0]

03 두 평면 [eqn: x+2y-3z-1=0,~][eqn: 2x-3y+z+1=0]이 이루는 예각의 크기는?

① [eqn: {3} over {5} pi]       ② [eqn: {2} over {5} pi]       ③ [eqn: {pi } over {3}]
④ [eqn: {pi} over {4}]        ⑤ [eqn: {pi} over {6}]

04 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =4] 위의 한점 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]에 대하여 두 평면 [eqn: ax+by+cz=1,~ax+by+cz=3]사이의 최단 거리는? (단, [eqn: abc!=0])

① [eqn: {1} over {2}]         ② [eqn: 1]        ③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]           ⑤ [eqn: {5} over {2}]

05 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -2x+4y-6z+5=0] 위의 한점 [eqn: rmP LEFT ( 2,~0,~5 RIGHT )]에서 이구에 접하는 평면의 방정식은?

① [eqn: x+2y+2z=12]     ② [eqn: x+2y+2z=10]
③ [eqn: x+2y+2z=5]      ④ [eqn: x-2y-2z=12]
⑤ [eqn: x-2y-2z=10]

06 좌표공간에서 구
[eqn: LEFT ( it x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+1 RIGHT ) ^{2} =9]와 평면
[eqn: x+2y-2z=3]이 만나서 만들어지는 원을 [eqn: rmC]라고 하자. 이때, 원 [eqn: rmC]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이는?

① [eqn: {5} over {3} pi]        ② [eqn: {7} over {3} pi]        ③ [eqn: {10} over {3} pi]
④ [eqn: {9} over {2} pi]        ⑤ [eqn: {11} over {2} pi]

07 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =3]위의 점 [eqn: rmP LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]에서 이 구에 접하는 평면의 방정식은?

① [eqn: x+y-z+2=0]     ② [eqn: x-y+z+2=0]
③ [eqn: x+y-z+3=0]     ④ [eqn: x-y+z+3=0]
⑤ [eqn: x+y+z-3=0]

08 평면 [eqn: alpha:x+2y+2z=3]에 대하여 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,~4,~5 RIGHT )]의 대칭점의 좌표를 [eqn: rm P it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a-b-c]의 값은?

① [eqn: 4]          ② [eqn: 5]          ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]          ⑤ [eqn: 8]

09 점 [eqn: LEFT ( -2,~1,~-1 RIGHT )]을 지나고, 직선[eqn: x-1= {y-2} over {-2} = {z-3} over {2}]에 수직인 평면을 [eqn: alpha]라고 할 때, 원점에서평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 길이는?

① [eqn: sqrt {2}]          ② [eqn: sqrt {3}]          ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 2 sqrt {2}]         ⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

10 좌표공간에서 원점이 아닌 점[eqn: rmP]가 집합 [eqn: rm K=it LEFT { LEFT ( x,~y,~z RIGHT ) |x GEQ 0,~y GEQ 0,~z GEQ 0 RIGHT }]이 나타내는 영역의 내부를 움직일 때, [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: x=y=z]에 그은 수선의 발을 [eqn: rmP']이라고 하자. 이때, [eqn: rm {LEFT | {vec{OP'}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{OP}} RIGHT |}]의 최솟값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]        ② [eqn: {sqrt {3}} over {2}]       ③ [eqn: sqrt {3}]
④ [eqn: 2 sqrt {3}]         ⑤ [eqn: 3 sqrt {3}]

11 좌표공간에 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT ) ,~B LEFT ( 1,~3,~4 RIGHT )]와 평면 [eqn: pi:2x-y+z+1=0]이 있다. 두 점 [eqn: rmA,~B]를 지나는 빛이 평면 [eqn: pi] 위의 점 [eqn: rmP]에서 반사될 때, 반사되는 빛의 직선의 방정식은 [eqn: {x+1} over {a} = {y-4} over {b} = {z+1} over {c}]이다. 이때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c]는 서로소인 정수이다.)

① [eqn: 6]            ② [eqn: 8]          ③ [eqn: 10]
④ [eqn: 12]           ⑤ [eqn: 14]

12 직선 [eqn: l: {x+1} over {2} =-y+1=1-z]에 포함되는 길이가 [eqn: 6]인 선분이 있다. 이 선분의 평면 [eqn: alpha:x-2y-z-3=0]위로의 정사영의 길이는?

① [eqn: 3]          ② [eqn: sqrt {10}]       ③ [eqn: sqrt {11}]
④ [eqn: 2 sqrt {3}]       ⑤ [eqn: sqrt {13}]

13 평면 [eqn: alpha]와 구 [eqn: rm C: it x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -2x+2y+2z-3=0]이 점 [eqn: rmA LEFT ( 2,~0,~-3 RIGHT )]에서 접할 때, 평면 [eqn: alpha]에 평행하고 구 [eqn: rmC]와 접하는 평면의 방정식은?

① [eqn: x+y+2z=0]     ② [eqn: x+y-2z+4=0]
③ [eqn: x+y-2z=0]     ④ [eqn: x-y+z+1=0]
⑤ [eqn: x-y-z-1=0]

14 평면 [eqn: alpha]와 구 [eqn: rm alpha : it 2x+2y+z=0] 위에 넓이가 [eqn: 18]인 [eqn: rm TRIANGLE ABC]가 있다. [eqn: TRIANGLE rmABC]를 평면 [eqn: beta:x+2y-2z=0] 위에 정사영시킬 때 생기는 도형의 넓이를 구하여라.

15 좌표공간의 점 [eqn: rmA LEFT ( -1,~2,~1 RIGHT )]에서 평면 [eqn: x+y+z=5]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a-b+c]이 값은?

① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 2]

16 직선 [eqn: {x+3} over {a} =2-y= {z-1} over {3}]과 평면 [eqn: rm it4x+by-6z+9=0]이 서로 수직으로 만날 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은?

① [eqn: 6]          ② [eqn: 7]          ③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]          ⑤ [eqn: 10]

17 좌표공간에 중심이 [eqn: LEFT ( 5,~12,~16 RIGHT )]이고 반지름이 [eqn: 8]인 구가 있다. 이 구의 [eqn: xz]평면 위로의 정사영의 넓이는?

① [eqn: 16pi]       ② [eqn: 24pi]       ③ [eqn: 32pi]
④ [eqn: 48pi]       ⑤ [eqn: 64pi]

18 두 점 [eqn: LEFT ( 0,~5,~-3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2,~1,~1 RIGHT )]을 지름의 양 끝 점으로 하는 구가 [eqn: xy]평면과 만나서 생기는 원의 반지름의 길이는?

① [eqn: 1]           ② [eqn: sqrt {2}]         ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 2 sqrt {2}]       ⑤ [eqn: 3 sqrt {2}]

19 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~4,~5 RIGHT )]에서 구
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2} =5] 위의 점까지의 최단 거리는?

① [eqn: sqrt {3}]         ② [eqn: 2]        ③ [eqn: sqrt {5}]
④ [eqn: sqrt {6}]         ⑤ [eqn: sqrt {7}]

20 두 평면 [eqn: 3x+y+z=4,~x-y+z=2]이 교선을 포함하는 평면과 직선 [eqn: x-1= {y-3} over {7} = {z+2} over {a}]가 수직일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a!=0])

① [eqn: -4]         ② [eqn: -3]        ③ [eqn: -2]
④ [eqn: -1]         ⑤ [eqn: 1]

21 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =6`]위의 점[eqn: rmA LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]에 접하는 평면과 점 [eqn: rmP LEFT ( 4,~2,~1 RIGHT )] 사이의 거리는?)

① [eqn: 2]           ② [eqn: sqrt {6}]        ③ [eqn: 2 sqrt {3}]
④ [eqn: 3 sqrt {2}]       ⑤ [eqn: 5]

22 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~0,~2 RIGHT )]에서 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2x+2y+4z+5=0] 위의 임의의 한 점 [eqn: rmP]까지의 거리의 최댓값을[eqn: M], 최솟값을[eqn: m]이라고 할 때, [eqn: Mm]의 값을 구하여라.

23 점 [eqn: rm LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]에서 평면  [eqn: x+y+z+4=0]에 내린 수선의 발의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.

24 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~3,~1 RIGHT ) ,` rm B LEFT ( 2,~4,~-1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rmABC]가 정삼각형이 되도록 [eqn: xy]평면 위에 점 [eqn: rmC]를 잡을 때, 축 위의 점이 아닌 점 [eqn: rmC]의 좌표는?

① [eqn: LEFT ( 3,~2,~0 RIGHT )]    ② [eqn: LEFT ( 3,~1,~0 RIGHT )]   ③ [eqn: LEFT ( 2,~4,~0 RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( 3,~4,~0 RIGHT )]    ⑤ [eqn: LEFT ( -1,~4,~0 RIGHT )]

25 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -2x+6y-4z=0]밖의 한 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT )]에서 이 구에 그은 접선과 만나는 점으로 이루어진 도형의 넓이를 구하시오.

26 좌표공간에 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 구가 있다. 이구를 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면으로 자른 단면이 모두 원이고 반지름의 길이는 각각 [eqn: 2,`3,`4]이다. 이때, 원점에서 구의 중심까지의 거리는?

① [eqn: sqrt {26}]         ② [eqn: sqrt {30}]        ③ [eqn: 4 sqrt {2}]

④ [eqn: sqrt {46}]         ⑤ [eqn: 4 sqrt {3}]

27 좌표공간에서 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면은 공간을 [eqn: 8]개의 부분으로 나눈다. 이 [eqn: 8]개의 부분 중에서 구 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-4 RIGHT ) ^{2} =24]가 지나는 부분의 개수는?

① [eqn: 8]         ② [eqn: 7]        ③ [eqn: 6]

④ [eqn: 5]         ⑤ [eqn: 4]

28 두 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =81,``x ^{2} + LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2} +z ^{2} =56]을 각각 [eqn: rmS _{1`} ,`S _{2}]라 하자. 두 구 [eqn: rmS _{1`} ,`S _{2}]가 만나서 생기는 원 위의 한 점을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영을 [eqn: rmP']이라 하자. 구 [eqn: rmS _{1}]과 [eqn: y]축이 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ,`R]라 할 때, 사면체 [eqn: rmPQP'R]의 부피의 최댓값을 구하시오.

29 원점 [eqn: LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT )]과 평면 [eqn: 2x+2y+z-6=0]사이의 거리를 구하시오.

30 점 [eqn: LEFT ( -1,~2~,~3 RIGHT )]을 지나고, [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향과 각각 [eqn: 60 DEG ,`45 DEG ,60 DEG]의 각을 이루는 직선의 방정식이  [eqn: xy]평면과 만나는 점의 좌표의 합은?

① [eqn: -2-3 sqrt {2}]  ② [eqn: 2-3 sqrt {2}]   ③ [eqn: -2+3 sqrt {2}]

④ [eqn: 2+3 sqrt {2}]     ⑤ [eqn: 3+2 sqrt {2}]

31 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나고 직선
[eqn: l:x-1= {y-2} over {-2} = {z-3} over {3}]에 수직인 평면을 [eqn: alpha]라 하자. 평면 [eqn: alpha]와 직선 [eqn: m:x-2=y= {z-6} over {5}]의 교점
을 [eqn: rmB]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

① [eqn: sqrt {19}]       ② [eqn: sqrt {17}]       ③ [eqn: sqrt {15}]

④ [eqn: sqrt {13}]       ⑤ [eqn: sqrt {11}]

32 좌표공간 위의 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT ) ,` rm B LEFT ( 0,~1,~0 RIGHT ) ,` rm C LEFT ( 0,~0,~2 RIGHT ) ,]를 지나는 평면 [eqn: alpha]와 직선 [eqn: l: {x-1} over {2} = {y} over {-1} = {z} over {2}]가 있다.
직선 [eqn: l]위의 점 [eqn: rmP LEFT ( 3,~-1,~2 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAP]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영의 길이를 구하시오.

33 평면[eqn: 2x-y+2z=3]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축이 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha ,` beta ,`gamma]라 할 때, [eqn: cos ^{2} alpha+cos ^{2} beta+cos ^{2} gamma]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]            ② [eqn: 1]           ③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]             ⑤ [eqn: {5} over {2}]

34 좌표공간에서 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9] 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( 2,~-1,~2 RIGHT )]에서 구에 접하는 평면과 [eqn: x]축이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sintheta]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]            ② [eqn: {1} over {3}]           ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]            ⑤ [eqn: {3} over {4}]

35 직선 [eqn: x= {2-y} over {4} =z-1]과 평면 [eqn: x+2y-2z+7=0]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin`theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]            ② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]           ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]            ⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

36 다음 그림과 같이 좌표공간에서 평행한 두 평면[eqn: alpha :2x+y+2z=-2,~ beta :2x+y+2z=7] 사이에 넣을 수 있는 구의 지름의 길이의 최댓값은?

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

37 좌표공간에서 중심이 [eqn: LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]이고 평면 [eqn: x+2y-2z=31]에 접하는 구의 반지름의 길이를 구하시오.

① [eqn: 1]            ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

38 좌표공간에서 두점  [eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT ) ,`][eqn: rmB LEFT ( 2,~-5,~-3 RIGHT ) `]을 이은 선분 [eqn: rmAB]가 평면 [eqn: 2x-y-2z=6]과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때 , [eqn: rm {bar{AP}} : {bar{BP}}]는?

① [eqn: 2:1]          ② [eqn: 3:1]         ③ [eqn: 4:1]

④ [eqn: 3:2]          ⑤ [eqn: 4:3]

39 좌표공간에서 구
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -2x+4y-6z-2=0]과 직선
[eqn: {x-a} over {2} = {y-b} over {3} = {z-c} over {4}]가 두 점 [eqn: rmA,`B]에서 만날 대, 선분 [eqn: rmAB]의 길이의 최댓값을 구하시오.
(단, [eqn: a,`b,`c]는 상수)

40 좌표공간 위의 점 [eqn: rmA LEFT ( 12,~2,~11 RIGHT )]에서 평면[eqn: 3x+4y+5z+1=0]에 내린 수선이 반구면 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =11 ^{2`} LEFT ( z>=0 RIGHT )]과 점 [eqn: rm P`it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]에서 만난다. 이때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 11]            ② [eqn: 12]           ③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]            ⑤ [eqn: 15]

41 두 평면 [eqn: 3x+2y-z=6,`x+y-z=4]의 교선의 방정식은?

① [eqn: -x+1= {y} over {2} =z+3]

② [eqn: x-3= {y-2} over {2} =z-6]

③[eqn: -x+1=y= {z+3} over {2}]

④ [eqn: {-x+1} over {3} = {y} over {2} = {z+3} over {2}]

⑤ [eqn: x= {y-2} over {2} =2z+6]

42 좌표 공간 에서 점[eqn: rmA(2,~-1,~-2)]와 점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]가 [eqn: rm {vec{OA}} `·` {vec{OP}} =12]를 만족하면서 움직인다. 이때, 점 [eqn: rmB LEFT ( -5,~4,~5 RIGHT )]와 점 [eqn: rmP] 사이의 거리의 최솟값을 구하시오.

43 좌표공간에 두 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,~1,~1 RIGHT ) ,`B LEFT ( 1,~-3,~-1 RIGHT )]이 있다. 평면 [eqn: x-y+z=0]에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm LEFT | {vec{PA}} `+ {vec{PB}} RIGHT |]의 최솟값은?

① [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]      ② [eqn: {5 sqrt {3}} over {3}]       ③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: {7 sqrt {3}} over {3}]      ⑤ [eqn: {8 sqrt {3}} over {3}]

44 좌표공간의 원점 [eqn: rmO]에서 두 평면 [eqn: alpha:x-2y+2z=12,`beta:2x+y+2z=6]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA,`B]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmOAB]의 넓이는?

① [eqn: 2 sqrt {3}]       ② [eqn: 4]       ③ [eqn: {sqrt {65}} over {9}]

④ [eqn: {2 sqrt {65}} over {9}]     ⑤ [eqn: {4 sqrt {65}} over {9}]

45 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]의 평면 [eqn: alpha:2x+y+z+1=0]에 대한 대칭점을 [eqn: rmB]라고 할 때, 점 [eqn: rmB]의 촤표를 구하시오.

46 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =4]와 평면 [eqn: z=-1]이 만나서 생기는 원을 [eqn: C]라 하자. [eqn: x]축을 포함하는 평면 [eqn: alpha]와 구[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =4]가 만나서 생기는 원이 [eqn: C]와 오직 한 점에서 만날 때, 평면 의 [eqn: alpha]의 한 법선벡터를 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( a,~3,~b RIGHT )]라 하자. [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오.

47 직선 [eqn: l:x-1= {y+1} over {4} =z-3]을 따라 작용한 [eqn: 5rmN]의 힘이 평면 [eqn: alpha:3x-4y-5z=0]위에서 물체를 [eqn: 2rmm] 움직였을 때의 작용한 일의 양은 몇 [eqn: rmJ]인가?
(단, 좌표축의 단위길이는 [eqn: 1rmm]이고, [eqn: rmJ=N·m]이다.)

① [eqn: 6rmJ]          ② [eqn: 8 rm J]         ③ [eqn: 10J]

④ [eqn: 12 rm J]          ⑤ [eqn: 14 rm J]

48 좌표공간 위에 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 구가 있다. [eqn: xy]평면으로 자른 단면의 방정식이
[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-4 RIGHT ) ^{2} =9]일 때, 구의 중심 [eqn: rmC]의 좌표를 구하여라.

49 다음 평면의 방정식을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나고 [eqn: {vec{h}} = LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT )]에 수직     인 평면
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]점 [eqn: rm B LEFT ( 0,~-1,~2 RIGHT )]를 지나고 법선벡터가             [eqn: {vec{h}} = LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )]인 평면

50 두 평면 [eqn: 3x-4y+5z]과 [eqn: 4x+3y-5z+5=0]이 이루는 각의 크기를 구하여라.

51 두 평면 [eqn: 2x+y-3z+1=0]과
[eqn: 3x+ay+z-4=0]이 서로 수직일 때, 상수[eqn: a]의 값을  구하여라.

52 원점에서 평면 [eqn: 2x-y-2z+6=0]가지의 거리를 구하여라.

53 평면[eqn: 2x+y-z+1=0]과 평행하고 점 [eqn: LEFT ( 1,~1,`~2 RIGHT )]를 지나는 평면의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: 2x+y-z=0]          [eqn: ②][eqn: 2x+y-z-1=0]
[eqn: ③][eqn: 2x+y-z-2=0]      [eqn: ④][eqn: 2x+y+2z=0]
[eqn: ⑤][eqn: x+y+2z-1=0]

54 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) ,~B LEFT ( 0,~1,~`1 RIGHT ) ,~C LEFT ( 0,~0,~2 RIGHT )]를 지나는 평면의 방정식을 [eqn: px+qy+z+r=0]이라고 할 때, [eqn: p+q+r]의 값은? (단, [eqn: p,~q,~r]는 양수)

[eqn: ①][eqn: 1]            [eqn: ②][eqn: 2]           [eqn: ③][eqn: 3]
[eqn: ④][eqn: 4]            [eqn: ⑤][eqn: 5]

55 두 평면 [eqn: 2x+y-z-1=0,~x+ky+2z+1=0]이 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]이고 [eqn: cos`theta= {1} over {6}]일대,  양수 [eqn: k]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 1]            [eqn: ②][eqn: sqrt {2}]          [eqn: ③][eqn: sqrt {3}]
[eqn: ④][eqn: 2]            [eqn: ⑤][eqn: 3]

56 직선[eqn: {x+1} over {5} = {y-1} over {3} = {z} over {4}]와 평면[eqn: 5x+4y-3z+10=0]이 이루는 각의 크기는?

[eqn: ①][eqn: {pi} over {5}]            [eqn: ②][eqn: {pi} over {6}]          [eqn: ③][eqn: {pi } over {4}]
[eqn: ④][eqn: {pi } over {3}]            [eqn: ⑤][eqn: {pi } over {12} pi]

57 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x-4y-4=0]이 평면
[eqn: x+y+z=0]과 만나서 생기는 원의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 2pi]            [eqn: ②][eqn: 4pi]          [eqn: ③][eqn: 6pi]
[eqn: ④][eqn: 8pi]            [eqn: ⑤][eqn: 10pi]

58 중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]이고 평면 [eqn: 2x+y-2z+4=0]에 접하는 구의 반지름의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 1]            [eqn: ②][eqn: sqrt {2}]          [eqn: ③][eqn: 2]
[eqn: ④][eqn: 2 sqrt {2}]        [eqn: ⑤][eqn: 4]

59 점 [eqn: LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )]을 지나고 직선 [eqn: {x-1} over {2} =y= {z+1} over {-1}]에 수직인 평면이 [eqn: z]축과 만나는 교점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 0,~0,~k RIGHT )]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

[eqn: ①][eqn: -1]          [eqn: ②][eqn: -2]          [eqn: ③][eqn: -3]
[eqn: ④][eqn: -4]          [eqn: ⑤][eqn: -5]

60 두 평면 [eqn: ax+4y+z-5=0]과 [eqn: x+by-2z+1=0]이 서로 평행하도록 하는 상수[eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?
[eqn: ①][eqn: 2]            [eqn: ②][eqn: 4]            [eqn: ③][eqn: 6]
[eqn: ④][eqn: 8]            [eqn: ⑤][eqn: 10]

61 원점 [eqn: rmO]에서 평면 [eqn: 3x-2y+z+14=0]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b,~c]는 실수)

62 좌표공간 위의 세 점[eqn: rm A LEFT ( 2,~0,~0 RIGHT ) ,~B LEFT ( 0,~1,~0 RIGHT ) ,~C LEFT ( 0,~0,~3 RIGHT ) `]을 지나는 평면을 [eqn: alpha]라고 할 때, 원점 [eqn: rmO]에서 평면 [eqn: alpha]에 이르는 거리는?
[eqn: ①][eqn: {1} over {7}]          [eqn: ②][eqn: {3} over {7}]          [eqn: ③][eqn: {6} over {7}]
[eqn: ④][eqn: {9} over {7}]          [eqn: ⑤][eqn: {12} over {7}]

63 직선 [eqn: {x-1} over {p} =y+1= {z-1} over {2}]과 평면
[eqn: 2x+qy+4z+5=0]이 서로 수직일 때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: p,~q]는 실수)
[eqn: ①][eqn: 1]          [eqn: ②][eqn: 2]          [eqn: ③][eqn: 3]
[eqn: ④][eqn: 4]          [eqn: ⑤][eqn: 5]

64 구[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9]위의 점[eqn: LEFT ( 1,~-2,~-2 RIGHT )]에서 이 구에 접하는 평면의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: x+y+z=-3]        [eqn: ②][eqn: 2x+y+z=-2]
[eqn: ③][eqn: 2x+y-z=2]        [eqn: ④][eqn: x-2y+2z=1]
[eqn: ⑤][eqn: x-2y-2z=9]

65 구[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =10]이 평면 [eqn: 2x+y+z+k=10]과 만나서 생기는 원의 넓이가 [eqn: 4pi]일 때, [eqn: k ^{2}]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수)

[eqn: ①][eqn: 40]           [eqn: ②][eqn: 36]          [eqn: ③][eqn: 25]
[eqn: ④][eqn: 20]           [eqn: ⑤][eqn: 16]

66 두 평면 [eqn: x+2y-2z+2][eqn: =0], [eqn: x+2y-2z+5][eqn: =0]
[eqn: ①][eqn: 1]           [eqn: ②][eqn: {sqrt {2}} over {2}]         [eqn: ③][eqn: {sqrt {3}} over {3}]
[eqn: ④][eqn: {1} over {2}]          [eqn: ⑤][eqn: {1} over {3}]

67 직선 [eqn: 2x][eqn: =2y][eqn: =z]와 평면 [eqn: x+2y+3z+9][eqn: =0]이 만나는 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( p,~q,~r RIGHT )]일 때, [eqn: p+q+r]의 값을 구하여라.

68 평면 [eqn: x-3y-2z-3][eqn: =0]에 대한 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]의 대칭점을 [eqn: rm A prime LEFT ( ita,~b,~c RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?
[eqn: ①][eqn: -4]           [eqn: ②][eqn: -2]           [eqn: ③][eqn: 0]
[eqn: ④][eqn: 2]             [eqn: ⑤][eqn: 4]

69 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구를 거리가 [eqn: 1]인 두 평행한 평면으로 자를 때, 얻어진 두 단면이 넓이의 합의 최댓값은?

① [eqn: {1} over {2} pi]          ② [eqn: {3} over {4} pi]          ③ [eqn: pi]
④ [eqn: {3} over {2} pi]          ⑤ [eqn: 2 pi]

70 거리가 [eqn: 1]인 두 평행한 평면으로 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구를 잘라서 얻어진 두 단면의 넓이의 합의 최댓값은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {2} pi]          [eqn: ②][eqn: {3} over {4} pi]         [eqn: ③][eqn: pi]

[eqn: ④][eqn: {3} over {2} pi]           [eqn: ⑤][eqn: 2pi]

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			정답
	01 공간벡터의 뜻과 그 연산

01   ①

답

[eqn: rm {vec{DF}} = {vec{AF}} - {vec{AD}} = {vec{AF}} - {vec{BC}}]
[eqn: = rm {vec{AF}} - LEFT ( {vec{AF}} - {vec{AF}} RIGHT ) = it {vec{a}} + {vec{b}} - {vec{c}}]
[eqn: thereforel+m+n=1+1-1=1]

해

설

02   ④

답

ㄱ. [eqn: rm LEFT | {vec{AN}} RIGHT | + {1} over {2} LEFT | {vec{BD}} RIGHT |]
[eqn: =rm LEFT | {vec{AN}} RIGHT | + LEFT | {vec{MN}} RIGHT | > LEFT | {vec{AM}} RIGHT |] (참)
ㄴ. [eqn: rm {vec{AM}} it] ⫽ [eqn: {vec{rm BD it}}]이므로 실수 [eqn: k]는 존재하지 않는다. (거짓)
ㄷ. [eqn: rm {vec{BM}} + {vec{CN }} = {vec{MN}}]이므로  [eqn: k=1] (참)

해

설

03   ⑤

답

[eqn: rm {vec{AC}} = it `t rm {vec{AB}}](단, [eqn: t!=0]인 실수),
[eqn: rm {vec{OC}} - {vec{OA}} = it `t LEFT ( rm {vec{OB}} - {vec{OA}} RIGHT )]이므로
[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) {vec{a}} -7 {vec{b}} =t {vec{a}} -3t {vec{b}}]
[eqn: thereforek=t+1= {7} over {3} +1= {10} over {3}]

해

설

04   ⑤

답

[eqn: {vec{rmAB}} = LEFT ( 2,~2,~1 RIGHT )]에서 [eqn: LEFT | rm {vec{AB}} RIGHT | =3]
[eqn: rm {vec{AB}}]와 방향이 같고 크기가 [eqn: 1]인 벡터를 [eqn: {vec{p}}]라고 하면
[eqn: {vec{p}} = LEFT ( {2} over {3} ,~ {2} over {3} ,~ {1} over {3} RIGHT ) = LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]
[eqn: thereforea+b+c= {5} over {3}]

해

설

05   ⑤

답

[eqn: rm {vec{rm OA it rm}} = LEFT ( 1,~-1,`~0 RIGHT ) ,~ rm {vec{rm OA it rm}} = LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT ) ,]
[eqn: rm {vec{rm OC it rm}} = LEFT ( 1,~0,`~1 RIGHT )]에서
[eqn: {vec{rm OC }} = it a LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) + it b LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT ) + it c LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )]      [eqn: = LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]
[eqn: thereforea+b+c= {3} over {2}]

해

설

06   ③

답

[eqn: k LEFT ( 2,~-3,~4 RIGHT ) +h LEFT ( -2,~5,~3 RIGHT ) = LEFT ( 6,~-11,~5 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE 2k-2h=6,~-3k+5h=-11,~4k+3h=5]
위의 식을 연립하여 풀면
[eqn: k=2,~h=-1]   [eqn: thereforek+h=1]

해

설

07  ①

답

[eqn: {vec{a}} +t {vec{b}} = LEFT ( -1,~0,~1 RIGHT ) +t LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]                   [eqn: = LEFT ( -1+t,~-t,~1+t RIGHT )]
[eqn: LEFT | {vec{a}} +t {vec{b}} RIGHT | = sqrt {LEFT ( -1+t RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -t RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1+t RIGHT ) ^{2}}]               [eqn: = sqrt {3t ^{2} +2}]
따라서 [eqn: t=0]일 때, 최솟값 [eqn: sqrt {2}]를 가지므로[eqn: m+M= sqrt {2}]

해

설

08   ②

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =1]이므로 [eqn: sqrt {LEFT ( 2x-`1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2}} =1]
[eqn: LEFT ( 2x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2} =1]
[eqn: 25x ^{2} -25+4=0], [eqn: LEFT ( 5x-1 RIGHT ) LEFT ( 5x-4 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex= {1} over {5}] 또는 [eqn: x= {4} over {5}]  [eqn: therefore {1} over {5} + {4} over {5} =1]

해

설

09  ②

답

[eqn: rm {bar{OA}} = sqrt {1 ^{2} + LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} =2,~][eqn: rm {bar{OB}} = sqrt {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} =3] 이므로
[eqn: rm {bar{OA}} : {bar{OB}} = {bar{AP}} : {bar{PB}} =2:3]
점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점이므로
[eqn: rm P LEFT ( {1} over {5`} ,~ {3 sqrt {3}} over {5} ,~ {4 sqrt {2}} over {5} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE {bar{rm OP it}} = sqrt {LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3 sqrt {3}} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4 sqrt {2}} over {5} RIGHT ) ^{2}}]              [eqn: = {2 sqrt {15}} over {5}]

해

설

10   ③

답

ㄱ. [eqn: rm {vec{AC}} = rm {vec{OC}} - rm {vec{OA}} = it {vec{c}} - {vec{a}}] (참)
ㄷ.[eqn: rm {vec{BC}} + rm {vec{AB}} - rm {vec{CA}} = rm {vec{AB}} + rm {vec{BC}} - rm {vec{CA}}]
[eqn: = rm {vec{AC}} - rm {vec{CA}}]
[eqn: = rm {vec{AC}} - LEFT ( rm - {vec{AC}} RIGHT )]
[eqn: =2 rm {vec{AC}}] (참)

해

설

11    (1)[eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]  (2)[eqn: {vec{b}} + {vec{c}}]  (3)[eqn: {vec{a}} - {vec{b}} + {vec{c}}]

답

12   (1)[eqn: rm it2 {vec{a}} +7 {vec{b}}]   (2)[eqn: rm -it {vec{a}} +8 {vec{b}}]

답

13    ③

답

[eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{x}} ,` rm {vec{AD}} it = {vec{y}} ,` rm {vec{AE}} it = {vec{z}} `]라 하면
[eqn: {vec{x}} + {vec{y}} = {vec{a}} `~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]                      [eqn: {vec{y}} + {vec{z}} = {vec{c}} `~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]                      [eqn: {vec{z}} + {vec{x}} = {vec{b}} `~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉢]
[eqn: ㉠+㉡+㉢]에서 [eqn: 2 LEFT ( {vec{x}} + {vec{y}} + {vec{z}} RIGHT ) = {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}}]
[eqn: THEREFORE {vec{x}} + {vec{y}} + {vec{z}} = {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT ) ~~~~ CDOTS CDOTS ㉣]
[eqn: ㉣-㉡]에서
[eqn: {vec{x}} = {vec{rm AB it}} `= {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT ) - {vec{c}} = {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} - {vec{c}} RIGHT ) ~]

해

설

14   [eqn: (1)][eqn: rmvecHG]   [eqn: (2)][eqn: sqrt {14}]

답

[eqn: (1)]크기와 방향이 같은 벡터가 서로 같은 벡터이므로
[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{DC}} = {vec{EF}} = {vec{HG}}]
[eqn: (2)][eqn: ①][eqn: rm LEFT | {vec{EH}} RIGHT | = {bar{EH}} = {bar{AD}} =3]
[eqn: ②][eqn: rm LEFT | {vec{BD}} RIGHT | = {bar{BD}} = sqrt {{bar{AB}} ^{2} + {bar{AD}} ^{2}}# ~~~~~= sqrt {1+9} = sqrt {10}]
[eqn: ③][eqn: rm LEFT | {vec{AG}} RIGHT | = {bar{AG}} = sqrt {{bar{AB}} ^{2} + {bar{AD}} ^{2} + {bar{AE}} ^{2}}# ~~~~~= sqrt {1+9+4} = sqrt {14}]

해

설

15   [eqn: ④]

답

[eqn: {vec{a}} - {vec{b}} + {vec{c}}]=[eqn: rm {vec{AB}} - rm {vec{AD}} + rm {vec{AE}} = LEFT ( {vec{AB}} + {vec{DA}} RIGHT ) + rm {vec{AE}} rm]
[eqn: = LEFT ( rm {vec{DA it rm}} + {vec{AB}} RIGHT ) + rm {vec{AE}} rm = {vec{DB}} + {vec{AE}}]                 [eqn: =rm {vec{DB}} + {vec{BF}} = rm {vec{DF}}]

해

설

16   [eqn: ⑤]

답

[eqn: {vec{a}} - {vec{b}} - {vec{c}} = rm {vec{AB}} - {vec{AD}} - {vec{AE}}]
[eqn: = rm {vec{AB}} - LEFT ( {vec{AD}} + {vec{AE}} RIGHT )]
[eqn: = rm {vec{AB}} - rm {vec{AH}} = rm {vec{HB}}]

해

설

17   [eqn: ②]

답

[eqn: {vec{x}} +2 {vec{a}} =3 {vec{b}} -4 {vec{x}}]에서
[eqn: {vec{x}} +4 {vec{x}} =3 {vec{b}} -2 {vec{a}} ,~5 {vec{x}} =3 {vec{b}} -2 {vec{a}}]
[eqn: THEREFORE {vec{x}} = {1} over {5} LEFT ( 3 {vec{b}} -2 {vec{a}} RIGHT )]                                   [eqn: = {1} over {5} LEFT { 3 LEFT ( 3,~1,~-1 RIGHT ) -2 LEFT ( 2,~-1,~6~ RIGHT ) RIGHT }]             [eqn: = {1} over {5} LEFT { LEFT ( 9,~3,~-3 RIGHT ) - LEFT ( 4,~-2,~12~ RIGHT ) RIGHT }]              [eqn: = {1} over {5} LEFT ( 5,~5,~-15 RIGHT ) = LEFT ( 1,~1,~-3~ RIGHT )]
따라서 벡터 [eqn: vecx]의 모든 성분의 합은
[eqn: 1+1+ LEFT ( -3 RIGHT ) =-1]

해

설

18   [eqn: ②]

답

[eqn: 2 {vec{a}} + {vec{b}} =2 LEFT ( 1,~1,~-1 RIGHT ) + LEFT ( 3,~0,~k RIGHT ) = LEFT ( 5,~2,~-2+k RIGHT )][eqn: LEFT | 2 {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | =3 sqrt {5}]   [eqn: sqrt {5 ^{2} +2 ^{2} + LEFT ( -2+k RIGHT ) ^{2}} =3 sqrt {5}]
양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: k ^{2} -4k-12=0,~ LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( k-6 RIGHT ) =0]
[eqn: k<0]이므로 [eqn: k=-2]

해

설

19   [eqn: ⑤]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = LEFT ( 3,~ it m,~4 RIGHT ) -` it LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) = it LEFT ( 2,~m+1,~4 RIGHT ) ,][eqn: rm {vec{AC}} = LEFT ( -2,~2,~ it n RIGHT ) -` it LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) = it LEFT ( -3,~3,~n RIGHT ) `]
[eqn: rm {vec{AB}} =it`t rm {vec{AC}}]([eqn: t!=0]인 실수)에서
[eqn: it LEFT ( 2,~m+1,~4 RIGHT ) =t LEFT ( -3,~3,~n RIGHT )]
[eqn: THEREFORE 2=-3t,~`m+1=3t,`~4=tn]
[eqn: thereforet=- {2} over {3} ,`m=-3,`n=-6]
[eqn: thereforem+n=-9]

해

설

20   [eqn: ⑤]

답

[eqn: rm {vec{OA}}][eqn: = LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT )], [eqn: rm {vec{OB}}][eqn: = LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT )], [eqn: rm {vec{OC}}][eqn: = LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )], 이므로 [eqn: rm {vec{OP}}][eqn: =a rm {vec{OA}} + it b rm {vec{OB}} +c rm {vec{rm OC}}][eqn: =a LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) +b LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT ) +c LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( a+c,~-a-b,~b+c RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]에서
[eqn: a+c][eqn: =1], [eqn: a+b][eqn: =1], [eqn: b+c][eqn: =1]
각 식을 변끼리 더하면 [eqn: 2 LEFT ( a+b+c RIGHT )][eqn: =3]
[eqn: thereforea+b+c][eqn: = {3} over {2}]

해

설

21   [eqn: ②]

답

주어진 전개도를 이용하여 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다.
그림에서 [eqn: rm {bar{AB}} ⫽ {bar{DC}}]이고 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{DC}}]이므로[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{DC}}]이다.

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			정답
	02 공간벡터의 성분과 내적

01   ②

답

[eqn: rm LEFT | {vec{AC}} RIGHT | = {bar{AC}} = sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2}][eqn: rm LEFT | {vec{AC}} RIGHT | = {bar{AG}} = sqrt {1 ^{2} +1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {3}]
이때, [eqn: ANGLE rmCAG= theta]라고 하면 [eqn: cos` theta =rm {{bar{AC}}} over {{bar{AG}}} = {sqrt {2}} over {sqrt {3}}]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AC}} · {vec{AG}} = LEFT | {vec{AC}} RIGHT | LEFT | {vec{AG}} RIGHT | cos`theta= sqrt {2} · sqrt {3} · {sqrt {2}} over {sqrt {3}}]
[eqn: =2]

해

설

02   ①

답

두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 수직이므로
[eqn: {vec{a}} · {vec{b}} =x ^{2} -x-12=0]   [eqn: x=4 LEFT ( BECAUSE x>0 RIGHT )]

해

설

03   ⑤

답

[eqn: {vec{rm AB it}} = {vec{a}} ,~ {vec{rm AC it}} = {vec{b}} ,~ {vec{rm AD it}} = {vec{c}}]라고하면
[eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT | ^{2}][eqn: = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{c}} RIGHT | ^{2} +2 LEFT ( {vec{a}} · {vec{b}} + {vec{a}} · {vec{c}} + {vec{b}} · {vec{c}} RIGHT )][eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | = LEFT | {vec{b}} RIGHT | = LEFT | {vec{c}} RIGHT | =1]이고
[eqn: {vec{a}} · {vec{b}} = {vec{b}} · {vec{c}} = {vec{c}} · {vec{a}} =1·1·cos`60DEG= {1} over {2}]이므로
[eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT | ^{2} =1+1+1+2 LEFT ( {1} over {2} + {1} over {2} + {1} over {2} RIGHT ) =6]
[eqn: therefore LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT | = sqrt {6}]

해

설

04   ①

답

[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{it a rm}} ,~ {vec{AC}} = {vec{it b rm}}]라고 하면 두 벡터[eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: anglermBAC]의 크기와 같다.
[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) ,~~ {vec{b}} = LEFT ( 0,~-1,~a+1 RIGHT )]이므로 [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm BAC RIGHT ) =cos`60 DEG = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE sqrt {a ^{2} +2a+2} = sqrt {2}]에서 [eqn: a=0]또는 [eqn: a=-2]
[eqn: therefore0-2=-2]

해

설

05   ①

답

세 점 [eqn: rmO,~H,~B]는 일직선 위에 있으므로 [eqn: {vec{rm OH it}} =t {vec{rm OB it}}] (단, [eqn: t!=0]인 실수)
[eqn: rm {vec{AH}} BOT {vec{OB}}]이므로
[eqn: rm {vec{AH}} · {vec{OB}} =0,~ LEFT ( it `t` rm {vec{OB}} - {vec{OA}} RIGHT ) · {vec{OB}} =0]
[eqn: thereforet=rm {{vec{OA}} · {vec{OB}}} over {LEFT | {vec{OB}} RIGHT | ^{2}}]
[eqn: THEREFORE rm LEFT | {vec{OH}} RIGHT | = LEFT | it `t RIGHT | LEFT | {vec{OB}} RIGHT | = rm {LEFT | {vec{OA}} · {vec{OB}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{OB}} RIGHT |}]                     [eqn: = {2} over {2 sqrt {10}} = {sqrt {10}} over {10}]

해

설

06   ③

답

[eqn: ANGLE rm PCO _{1} = ANGLE rm PCO _{2} = {pi } over {3}]이므로
[eqn: rm LEFT | {vec{PA}} RIGHT | = LEFT | {vec{PB}} RIGHT | = LEFT | {vec{PC}} RIGHT | =4]
두 벡터[eqn: rm {vec{PA}} ,~ {vec{PB}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: 0 LEQ theta LEQ {2} over {3} pi]   [eqn: therefore- {1} over {2} LEQ cos`theta LEQ 1]
[eqn: rm LEFT | {vec{PA}} + {vec{PB}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{PA}} RIGHT | ^{2} +2 {vec{PA}} · {vec{PB}} + LEFT | {vec{PB}} RIGHT | ^{2}]                [eqn: =32+32`cos` theta]
[eqn: THEREFORE M+n=8+4=12]

해

설

07   ①

답

두 벡터가 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi} over {3}]이므로 [eqn: cos {pi } over {3} = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {k+4} over {sqrt {14} sqrt {k ^{2} +5}} = {1} over {2}]
연립하여 풀면 [eqn: k=3] 또는 [eqn: k= {1} over {5}]
[eqn: therefore3+ {1} over {5} = {16} over {5}]

해

설

08   ⑤

답

정육면체를 점 [eqn: rmE]를 원점 [eqn: rmO]로 하는 좌표공간 위에 나타내면 [eqn: rm P LEFT ( 0,~2,~3 RIGHT ) ,~Q LEFT ( 3,~1,~3 RIGHT ) ,][eqn: rmR LEFT ( 3,~2,~0 RIGHT )] 두 벡터 [eqn: rm {vec{PQ}}]와 [eqn: rm {vec{PR}}]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: alpha]라고 하면 [eqn: cos` alpha =rm {LEFT | {vec{PQ}} · {vec{PR}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{PQ}} RIGHT | LEFT | {vec{PR}} RIGHT |} = {3 sqrt {5}} over {10}]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm PQR= {1} over {2} LEFT | {vec{PQ}} RIGHT | LEFT | {vec{PR}} RIGHT | sin` alpha = {3 sqrt {11}} over {2}]
[eqn: THEREFORE `cos` theta =rm {TRIANGLE DOG} over {TRIANGLE PQR} = {3 sqrt {11}} over {11}]

해

설

09    (1)[eqn: 5]    (2)[eqn: 2]    (3)[eqn: 3]

답

10    [eqn: 10]

답

11    ②

답

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} = LEFT ( -2,~4,~-4 RIGHT )]이므로 [eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]를 [eqn: {vec{s}}]라고 하면
[eqn: LEFT | {vec{s}} RIGHT | = sqrt {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +4 ^{2} | LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2}} =6]
따라서 구하는 단위벡터 [eqn: vece]는
[eqn: {vec{e}} = {{vec{s}}} over {LEFT | {vec{s}} RIGHT |} = {1} over {6} LEFT ( -2,~4,~-4 RIGHT ) = LEFT ( - {1} over {3} ,~ {2} over {3} ,~- {2} over {3} RIGHT )]
그러므로 모든 성분의 합은
[eqn: - {1} over {3} + {2} over {3} + LEFT ( - {2} over {3} RIGHT ) =- {1} over {3}]

해

설

12    ⑤

답

[eqn: veca]의 방향코사인을 각각 [eqn: cos`theta,`cos`beta,`cos`gamma]라 하면 [eqn: cos`gamma=± {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE {{vec{a}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT |} = LEFT ( cos` alpha ,~cos` beta ,~cos` gamma RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( 1,~ sqrt {2,} ~±1 RIGHT )]

해

설

13    [eqn: x=-6,`y=3]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = LEFT ( -1,~-1,~1 RIGHT ) ,` {vec{CD` rm}} it = LEFT ( -3,~x+3,~y RIGHT ) `]이고[eqn: rm {vec{AB}} ⫽ rm {vec{CD}}]이므로 [eqn: LEFT ( -1,~-1,~1 RIGHT ) =k LEFT ( -3,~x+3,~y RIGHT ) LEFT ( k!=0 RIGHT )]

해

설

따라서 [eqn: l= {-1} over {-3} = {-1} over {x+3} = {1} over {y}]에서 [eqn: x=-6,`y=3]

14   [eqn: 1]

답

[eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{a}} ,` {vec{rm AC it}} it = {vec{b}} ,` rm {vec{AD}} it = {vec{c}}]로 놓으면 [eqn: rm {vec{PQ}} it = {1} over {2} {vec{b}}]
[eqn: rm {vec{PR}} = {vec{AR }} - {vec{AP}} it= {1} over {2} LEFT ( {vec{ b } + {vec{ c }} RIGHT ) - {1} over {2} {vec{ b}}][eqn: THEREFORE rm {vec{PQ}} · {vec{PR}} it = {1} over {2} {vec{b}} · LEFT { {1} over {2} LEFT ( {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT ) - {1} over {2} {vec{a}} RIGHT }]                          [eqn: it = {1} over {4} LEFT ( {vec{b}} · {vec{b}} + {vec{b}} · {vec{c}} - {vec{b}} · {vec{a}} RIGHT )]                             [eqn: it = {1} over {4} (2 ^{2} TIMES cos`0 DEG +2 ^{2} cos`60 DEG]                       [eqn: it -2 ^{2} TIMES cos`60 DEG )]

해

설

[eqn: it = {1} over {4} LEFT ( 4+2-2 RIGHT ) `=1]

15  [eqn: 30DEG]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = LEFT ( 2,~-3,~1 RIGHT ) ,` {vec{AC}} = LEFT ( 5,~-4,~1 RIGHT )]이므로 [eqn: rm LEFT | {vec{AB}} RIGHT | = sqrt {14} ,` LEFT | {vec{AC}} RIGHT | = sqrt {42} ,`` {vec{AB}} · {vec{AC}} =21]
따라서[eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm BAC RIGHT ) = {{vec{AB}} · {vec{AC}}} over {LEFT | {vec{AB}} RIGHT | LEFT | {vec{AC}} RIGHT |} = {sqrt {3}} over {2}]이므로 [eqn: ANGLE rm BCC=30DEG]

해

설

16  [eqn: LEFT ( 2,~-2,~1 RIGHT ) ,` LEFT ( -2,~2,~-1 RIGHT )]

답

구하는 벡터를 [eqn: {vec{c}} = LEFT ( c,~y,~z RIGHT )]로 놓으면
[eqn: {vec{a}} BOT {vec{c}}]에서 [eqn: {vec{a}} `·` {vec{c}} =x+2x+2z=0~cdotscdots㉠]
[eqn: {vec{b}} BOT {vec{c}}]에서 [eqn: {vec{b}} `·` {vec{c}} =-4x-3y+2z=0~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: LEFT | {vec{c}} RIGHT | =3]에서 [eqn: LEFT | {vec{c}} RIGHT | ^{2} =x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9`cdotscdots㉢]
[eqn: ㉠,`㉡,`㉢]을 연립하여 풀면
[eqn: x=±2,`y= -+ 2,`z=±1](복부호동순)
[eqn: THEREFORE {vec{c}} = LEFT ( 2,~-2,~`1 RIGHT )] 또는[eqn: {vec{c}} = LEFT ( -2,~2,~-`1 RIGHT )]

해

설

17   [eqn: LEFT ( 40t-270,`40t-270,`130 RIGHT )]

답

[eqn: LEFT | {vec{u}} RIGHT | = sqrt {3} , LEFT | {vec{v}} RIGHT | = sqrt {2}]이므로 [eqn: 10]초까지는 [eqn: 1]초 동안 [eqn: 13 LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]만큼, [eqn: 10]초 후부터는 [eqn: 1]초 동안 [eqn: 40 LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT )]만큼 움직였다.
따라서[eqn: t>10]일 때 출발한 지 [eqn: t]초 후의 위치벡터[eqn: vecq]는 [eqn: {vec{q}} =13·10· LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT ) +40· LEFT ( t-10 RIGHT ) · LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT )]        [eqn: = LEFT ( 40t-270,`40t-270,``30 RIGHT )][eqn: #]

해

설

18   ③

답

[eqn: rm {vec{FD}} + {vec{BH}} = {vec{OD}} - {vec{OF}} + {vec{OH}} - {vec{OB}}][eqn: = LEFT ( 0,~4,~0 RIGHT ) - LEFT ( 4,~0,~4 RIGHT ) - LEFT ( 4,~0,~0 RIGHT ) = LEFT ( -8,~8,~0 RIGHT )]
따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 0]이다.

해

설

19   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: 1]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 1]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {vec{a}} · {vec{b}} = LEFT ( 1,~3 RIGHT ) · LEFT ( -2,~1 RIGHT )]
[eqn: =1 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) +3 TIMES 1]
[eqn: =-2+3=1]
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {vec{a}} · {vec{b}} = LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT ) · LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT )]
[eqn: =1 TIMES 0+1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +2 TIMES 1]
[eqn: =0-1+2=1]

해

설

20   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: 45DEG]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 120DEG]

답

[eqn: cos` theta = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |}]이므로
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: cos` theta = {3 TIMES 1+1 TIMES 2} over {sqrt {3 ^{2} +1 ^{2} sqrt {1 ^{2} +2 ^{2}}}} = {5} over {sqrt {50}} = {1} over {sqrt {2}}]
[eqn: thereforetheta=45DEG]
[eqn: cos` theta = {1 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) +0 TIMES 2+1 TIMES 0} over {sqrt {1 ^{2} +0 ^{2} +1 ^{2} sqrt {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2} +0 ^{2}}}}]             [eqn: = {-2} over {sqrt {16}} =- {1} over {2}]
[eqn: thereforetheta=120DEG]

해

설

21   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: 2]  [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 0]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: TRIANGLE rmABC]가 정삼각형이므로 [eqn: rmvecAB]와 [eqn: rm {vec{AC}}]가 이루     는 각의 크기는 [eqn: 60DEG]이다.
[eqn: THEREFORE rm {vec{AB}} ⦁ {vec{AC}} = LEFT | rm {vec{AB}} RIGHT | LEFT | rm {vec{AC}} RIGHT | TIMES cos`60 DEG]             [eqn: =2 TIMES 2 TIMES {1} over {2} =2]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]정사면체의 꼬인 위치에 있는 두 모서리 [eqn: rmAB]와     [eqn: rmCD]는 서로 수직이므로
[eqn: rm {vec{AB}} ⦁ {vec{CD}} = LEFT | rm {vec{AB}} RIGHT | LEFT | rm {vec{CD}} RIGHT | TIMES cos`90 DEG]               [eqn: =2 TIMES 2 TIMES 0=0]

해

설

22   [eqn: {sqrt {30}} over {6}]

답

[eqn: rm {vec{BA}} = {vec{OA}} - {vec{OB}} = LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT ) - LEFT ( 2,~-1,~1 RIGHT )]            [eqn: = LEFT ( -1,~2,~-1 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{BC}} = {vec{OC}} - {vec{OB}} = LEFT ( 0,~3,~1 RIGHT ) - LEFT ( 2,~-1,~1 RIGHT )]            [eqn: = LEFT ( -2,~4,~0 RIGHT )]이므로

해

설

[eqn: cos` theta =rm {{vec{BA}} · {vec{BC}}} over {LEFT | {vec{BA}} RIGHT | LEFT | {vec{BC}} RIGHT |} = {10} over {sqrt {6} sqrt {20}} = {sqrt {30}} over {6}]

23   [eqn: ②]

답

해

설

[eqn: rm {vec{AB}} = rm {vec{OB}} - rm {vec{OA}}][eqn: = LEFT ( 3,~0,~-1 RIGHT ) - LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 2,~-1,~-3 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AC}} = rm {vec{OC}} - rm {vec{OA}}][eqn: = it LEFT ( x,~x+1,~2-x RIGHT ) - LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x-1,~x,~-x RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AB}} BOT rm {vec{AC}}]이므로 [eqn: rm {vec{AB}} ⦁ rm {vec{AC}} =0]
[eqn: 2 LEFT ( x-1 RIGHT ) -x+3x=0]
[eqn: thereforex= {1} over {2}]

24   [eqn: -3]

답

점 [eqn: rmE]를 원점, 직선[eqn: rmEF], 직선[eqn: rmEH,] 직선[eqn: rmEA]를 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축으로 하는 좌표공간을 생각하면
[eqn: rm {vec{AC}}][eqn: =rm {vec{OC}} - {vec{OA}}][eqn: = LEFT ( 1,~2,~1 RIGHT ) - LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{DF}}][eqn: = rm {vec{OF}} - {vec{OD}}][eqn: = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT ) - LEFT ( 0,~2,~1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT )]
[eqn: therefore][eqn: rm {vec{AC}} · {vec{DF}}][eqn: = LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT ) · LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT )][eqn: =-3]

해

설

25  [eqn: ⑤]

답

[eqn: {vec{a}} · {vec{b}}][eqn: =0]에서 [eqn: x LEFT ( 2-x RIGHT ) + LEFT ( y+1 RIGHT ) LEFT ( 3-y RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: therefore LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2}][eqn: =5]
따라서 구하는 자취의 넓이는 [eqn: 5pi]이다.

해

설

26   [eqn: ②]

답

직선 위의 임의의 점을 [eqn: rm P LEFT ( itt,~-t-1,~2t+1~ RIGHT )]로 놓으면
[eqn: rmbarOP][eqn: = sqrt {t ^{2} + LEFT ( -t-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2t+1 RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {6t ^{2} +6t+2}][eqn: sqrt {6 LEFT ( t+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {2}}]
따라서 [eqn: rmbarOP]의 최솟값은                   [eqn: t=- {1} over {2}]일 때 [eqn: sqrt {{1} over {2}}][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]이다.

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			정답
	03 직선의 방정식

01   ④

답

주어진 직선의 방정식은 [eqn: y=1,~x-2= {z+1} over {-5}]
이 직선이 점 [eqn: LEFT ( 0,~1,`~a RIGHT )]를 지나므로
[eqn: -2= {a+1} over {-5}]      [eqn: thereforea=9]

해

설

02   ①

답

주어진 직선의 방정식은 [eqn: {x-1} over {-1} = {x+2} over {2} = {z-1} over {2}]
이 직선이 [eqn: xy]평면과 만나는 점의 [eqn: z]좌표는 항상
[eqn: 0]이므로 [eqn: z=0]을 대입하면 [eqn: x= {3} over {2} ,~y=-3]
따라서 [eqn: rmP LEFT ( {3} over {2} ,~-3,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: a+b+c=- {3} over {2}]

해

설

03  ④

답

두 점 [eqn: rmA,~B]를 지나는 직선의 방정식은
[eqn: {x-2} over {2} = {x+1} over {5} = {z-3} over {-3}]
이 직선이 점 [eqn: rm C it LEFT ( a,~b,~6 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: therefore {a-2} over {2} = {b+1} over {5} =-1]
[eqn: thereforea=0,~b=-6]
[eqn: thereforea-b=0- LEFT ( -6 RIGHT ) =6]

해

설

04   ⑤

답

[eqn: l] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]와 점 [eqn: rm A it LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]에 대하여 대칭인 직선 [eqn: l'] 위의 점을 [eqn: rm P prime it LEFT ( x prime ,~y prime ,~z prime RIGHT )]이라고 하면
[eqn: x=2-x',~y=4-y',~z=6-z']
[eqn: THEREFORE l prime : {x-1} over {3} =y-5= {z-7} over {4}]

해

설

05   ④

답

직선 [eqn: l]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT )], 직선 [eqn: m]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{2}}} = LEFT ( 1,~3,~-2 RIGHT )]이므로
[eqn: cos` theta = {LEFT | {vec{u}} _{1} · {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |} = {1} over {2}]  [eqn: thereforetheta=60DEG]

해

설

06   ①

답

두 직선 [eqn: l _{1} ,~l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}]라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 1,~-2,~6 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( a,~2,~-b RIGHT )]
[eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}]가 평행하므로 [eqn: {1} over {a} = {-2} over {2} = {6} over {-b}]
[eqn: thereforeab=-6]

해

설

07   ②

답

[eqn: x=2t-1,~y=3t+2,~z=-t]로 놓으면
[eqn: rm {bar{AP}} ^{2} = LEFT ( it x-5 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =14 LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2} +24]
따라서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: rm barAP]는 최소이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: rmP LEFT ( 1,~5,~-1 RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a+b-c]
[eqn: thereforex+y+z=5]

해

설

08   ②

답

[eqn: x= {y} over {2} = {z} over {3} =t,~x-1= {y-1} over {3} = {z-2} over {4} =s]로 놓으면 두 직선 위의 점은 각각 [eqn: LEFT ( t,~2t,~3t RIGHT ) ,~ LEFT ( s+1,~3s+1,~4s+2 RIGHT ) ~]이므로 [eqn: t=s+1,~2t=3s+1,~3t=4s+2]
[eqn: thereforet=2,~s=1]
따라서 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~4,~6 RIGHT )]이므로 [eqn: a+b-c=2+4-6=0]

해

설

09   ②

답

직선 [eqn: {x-3} over {a} =1-y= {z+3} over {b}]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( a,~-1,~b RIGHT )]
직선 [eqn: x=y=-z]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~1,~-1 RIGHT )]
직선 [eqn: x+2=y-2= {z-1} over {c}]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~1,~c RIGHT )]
[eqn: {a} over {1} = {-1} over {1} = {b} over {-1}]에서 [eqn: a=-1,~b=1,~ {vec{u}} · {vec{u}} =a-1+bc=0]에서 [eqn: c=2]
[eqn: a+b+c=2]

해

설

10   ⑤

답

[eqn: rm {vec{OA}} · {vec{OB}} = it r ^{2} `cos` theta ,~]                     [eqn: rm LEFT | {vec{OB}} - {vec{OA}} RIGHT | ^{2} = it r ^{2} LEFT ( t-cos` theta RIGHT ) ^{2} +r ^{2} `sin ^{2`} theta]
따라서 [eqn: rm LEFT | {vec{OB}} - it t {vec{rm OA it}} RIGHT |]는 [eqn: t=cos`theta]일 때, 최소이고, 최솟값은 [eqn: r`sin`theta]이다.
[eqn: thereforea+b=r`sin`theta+cos`theta]

해

설

11   ④

답

주어진 직선의 방정식은 [eqn: {x-2} over {sqrt {3}} = {y+1} over {1} = {z-3} over {-1}]이고, 이직선이 [eqn: xy]평면과 만나는 것은 [eqn: z=0]일 때이므로
[eqn: {x-2} over {sqrt {3}} = {y+1} over {1} =3]  [eqn: thereforea+b+c= LEFT ( 2+3 sqrt {3} RIGHT ) +2+0=4+3 sqrt {3}]

해

설

12   ⑤

답

[eqn: l: {x-1} over {3} =y-2=-z+1=t]([eqn: t]는 실수)라고 하면 [eqn: rm H LEFT ( it3t+1,~t-2,~-t+1 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AH}} = {vec{OH}} - {vec{OA}} = LEFT ( it 3t+2,~t+1,~-t-4 RIGHT )]
직선 [eqn: l] 의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 3,~1,~-1 RIGHT )]이고
[eqn: rm {vec{AH}} BOT {vec{itu}}]이므로 [eqn: {vec{rmAH}} · {vec{u}} =0]에서
[eqn: 3 LEFT ( 3t+2 RIGHT ) +t+1+t+4=0]  [eqn: thereforet=-1]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AH}} LEFT ( -1,~0,`-3 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AH}} = sqrt {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +0 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {10}]

해

설

13   ④

답

주어진 직선의 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~3,~-1 RIGHT )]
[eqn: z]축의 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{2}}} = LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {LEFT | {vec{u _{1}}} · {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |} = {sqrt {14}} over {14}]

해

설

14   [eqn: 4 sqrt {2}]

답

[eqn: rm P LEFT ( it t+1,~t+2,~t RIGHT ) ,~rmQ LEFT ( it s+2,~s-5,~-s+3 RIGHT ) ~]에 대하여 [eqn: rm {vec{PQ}} = LEFT ( its-t+1,~s-t-7,~-s-t-3 RIGHT )]
직선 [eqn: l]과 [eqn: rm {vec{PQ}}]가 서로 수직이므로 [eqn: s-3t-3=0]
직선 [eqn: m]과 [eqn: rm {vec{PQ}}]가 서로 수직이므로 [eqn: 3s-t-9=0]
두 식을 연립하여 풀면 [eqn: s=3,~t=0]
따라서 [eqn: rm {vec{PQ}} = LEFT ( 4,~-4,~0 RIGHT )]이므로 구하는 길이는
[eqn: rm LEFT | {vec{PQ}} RIGHT | =4 sqrt {2}]

해

설

15   ①

답

[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{OB}} - {vec{AB}} = LEFT ( 0,~2,~1 RIGHT ) - LEFT ( 2,~1,~0 RIGHT )]                        [eqn: = LEFT ( -2,`1,~1 RIGHT )]
따라서 직선 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]에 대하여
[eqn: {x-2} over {-2} = {y-1} over {1} = {z-0} over {1}]
[eqn: therefore {x-2} over {-2} =y-1=z]

해

설

16   ①

답

점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT )]에서 주어진 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면 [eqn: x+1= {y-1} over {2} =2-z=t]에서
[eqn: rm H` it LEFT ( t-1,~2t+1,~2-t RIGHT )]로 놓을 수 있다.
[eqn: rm {vec{AH}} ` it LEFT ( t-1,~2t-1,~2-t RIGHT )]와 주어진 직선의 방향벡터 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~2,~-1 RIGHT )]이 수직이므로
[eqn: rm {vec{AH}} ` it · {vec{u}} = LEFT ( t-2 RIGHT ) +2 LEFT ( 2t-1 RIGHT ) - LEFT ( 2-t RIGHT ) =0`] [eqn: THEREFORE t=1]
따라서 [eqn: rm {vec{AH}} = LEFT ( -1,~1,~1 RIGHT )]에서 [eqn: LEFT | {vec{rmAH}} RIGHT | = sqrt {3}],
[eqn: TRIANGLE rmABC]는 정삼각형이므로 [eqn: rm {bar{AB}} `sin`60 DEG = {bar{rmAH}}]
[eqn: rm {bar{AB}} · {sqrt {3}} over {2} = sqrt {3}]       [eqn: THEREFORE {bar{rmAB}} =2]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm ABC= {sqrt {3}} over {2} times2 ^{2} = sqrt {3}]

해

설

17   [eqn: {x-1} over {3} = {x+2} over {4} = {z-3} over {2}]

답

18   [eqn: x+2y+3z=0]

답

01   [eqn: -45]

답

구하는 직선의 방향벡터는 [eqn: LEFT ( 2,~3,~-1 RIGHT )]이므로 구하는 직선의 방정식은 [eqn: {x-3} over {2} = {y-4} over {3} =- LEFT ( z+5 RIGHT )]
[eqn: thereforeabc3·3· LEFT ( -5 RIGHT ) =-45]

해

설

19   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {z-3} over {3}]    [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: z-1]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]방향벡터가 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 2,~-1~3 RIGHT )]이고 점 [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을     지나므로 [eqn: {x-1} over {2} = {y-2} over {-1} = {z-3} over {3}]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]방향벡터가
[eqn: {vec{u}} = LEFT ( 0,~1,~2 RIGHT ) - LEFT ( -1,~-2,~1 RIGHT ) = LEFT ( 1,~3,~1 RIGHT )]
이고 점 [eqn: LEFT ( -1,~-2,~1 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: x+1= {y+2} over {3} =z-1]

해

설

20   [eqn: p=1,~q=-1,~r=2,~s=4]

답

점 [eqn: rm A`it LEFT ( 0,~p,~q RIGHT )]를 주어진 직선의 방정식에 대입하면
[eqn: {0} over {2} = {p-1} over {3} =q+1]   [eqn: p-1=0,~q+1=0]에서
[eqn: p=1,~q=-1]
점 [eqn: rm B` it LEFT ( r,~s,~0 RIGHT )]을 주어진 직선의 방정식에 대입하면
[eqn: {r} over {2} = {s-1} over {3} =0+1]   [eqn: {r} over {2} =1,~ {s-1} over {3} =1]에서
[eqn: r=2,~s=4]

해

설

21   [eqn: {1} over {6}]

답

두 직선의 방향벡터가 각각
[eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT )]이므로
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {LEFT | {vec{u _{1}}} ⦁ {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |}]                                 [eqn: = {LEFT | LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT ) ⦁ LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}}}]       [eqn: = {LEFT | 2-2+1 RIGHT |} over {sqrt {6} sqrt {6}} = {1} over {6}]

해

설

22   [eqn: 4]

답

두 직선의 방향벡터가 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~k RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 3,~-k+2,~-1 RIGHT )][eqn: {vec{u _{1}}} ⦁ {vec{u _{2}}} =0]에서
[eqn: 2 TIMES 3+1 TIMES LEFT ( -k+2 RIGHT ) +k`times LEFT ( -1 RIGHT ) =0]
[eqn: 6-k+2-k=0]
[eqn: thereforek=4]

해

설

23   [eqn: ⑤]

답

[eqn: x-1=2 LEFT ( y+1=3 LEFT ( 1-z RIGHT ) RIGHT )]의 각 변을 [eqn: 6]으로 나누면
[eqn: {x-1} over {6} = {y+1} over {3} = {z-1} over {-2} ~cdotscdots㉠]
구하는 직선은 [eqn: ㉠]과 평행하므로 그 방향벡터는
[eqn: {vec{u}} = LEFT ( 6,~3,~-2 RIGHT )]이고 원점을 지난다. 즉,
[eqn: {x} over {6} = {y} over {3} = {z} over {-2} ~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉡]의 각 변에서 1을 빼면 [eqn: {x} over {6} -1= {y} over {3} -1= {z} over {-2} -1]
각 변을 통분하면 [eqn: {x-6} over {6} = {y-3} over {3} = {z+2} over {-2}]

해

설

24   [eqn: 10]

답

세 점 [eqn: rmA,~B,~C]가 한 직선 위에 있으므로 [eqn: rm {vec{AC}} = it `t {vec{rm AB it}}]([eqn: t!=0]인 실수)에서
[eqn: LEFT ( a-1,~b-2,~7 RIGHT ) =t LEFT ( 0,~-3,~-3 RIGHT )]
[eqn: thereforea-1=0,~b-2=-3t,~7-3t]
[eqn: thereforea=1,~b=9~~thereforea+b=10]

해

설

25   [eqn: ④]

답

두 직선 [eqn: l _{1} ,~l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}]라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~1 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 1,~2,~-1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {LEFT | {vec{u _{1}}} ⦁ {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |}# ~~~~~~= {LEFT | LEFT ( 2,~1,~1 RIGHT ) ⦁ LEFT ( 1,~2,~-1 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} +1 ^{2} sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}}}# ~~~~~~= {3} over {6} = {1} over {2}]
[eqn: therefore1+tan ^{2} theta=sec ^{2} theta= {1} over {cos ^{2} theta} = {1} over {{1} over {4}} =4]

해

설

26   [eqn: ⑤]

답

두 직선 [eqn: l _{1} ,~l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}} ,~]라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( -2,~3,~1 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 1,~2,~k RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `cos`60 DEG = {LEFT | {vec{u _{1}}} ⦁ {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |}]에서[eqn: {1} over {2} = {LEFT | k+4 RIGHT |} over {sqrt {14} sqrt {k ^{2} +5}}]
양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 5k ^{2} -16k+3=0,~ LEFT ( k-3 RIGHT ) LEFT ( 5k-1 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforek=3] ([eqn: BECAUSE k]는 정수)

해

설

27   [eqn: ③]

답

두 직선 [eqn: l _{1,~} l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}] 라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~m RIGHT ) ,~~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( n,~3,~1 RIGHT ) ~]
[eqn: {vec{u _{1}}} ⫽ {vec{u _{2}}}]이므로 [eqn: {vec{u _{2}}} =t {vec{u _{1}}}](단, [eqn: t!=0]인 실수)에서
[eqn: LEFT ( n,~3,~1 RIGHT ) =t LEFT ( 2,~1,~m RIGHT )]
[eqn: therefore {cases{m=2t&#eqalign{3=t# 1=mt}&}}]
이것을 풀면 [eqn: m= {1} over {3} ,~n=6]
[eqn: therefore3m+2n=3times {1} over {3} +2times6=13]

해

설

28  [eqn: ④]

답

두 직선 [eqn: l _{1,~} l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}] 라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~3,~k+1 RIGHT ) ,~~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( k,~-1,~2 RIGHT ) ~]
[eqn: {vec{u _{1}}} · {vec{u _{2}}} =0]에서 [eqn: LEFT ( 2,~3,~k+1 RIGHT ) · LEFT ( k,~-1,~2 RIGHT ) =0~]
[eqn: 2k+ LEFT ( -3 RIGHT ) +2 LEFT ( k+1 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforek= {1} over {4}]

해

설

29   [eqn: ③]

답

[eqn: x]축의 방향벡터가 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: x]축에 평행한 직선의 방향벡터도 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT )]이다.
또, 점 [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: {x-1} over {1} = {y-2} over {0} = {z-3} over {0}]
분모가 [eqn: 0]이면 분자도 [eqn: 0]으로 생각하여 구하는 직선의 방정식은 [eqn: y=2,~z=3] ([eqn: x]는 임의의 실수)

해

설

30   [eqn: 6]

답

[eqn: x=y-1=1-z=t]([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: rm P LEFT ( itt,~t+1,~-t+1 RIGHT )]로 놓을 수 있다.
[eqn: {x} over {2} = {y+1} over {3} = {z-1} over {-2} =s]([eqn: s]는 실수)로 놓으면
[eqn: rm P LEFT ( it 2s,~3s-1,~-2s+1 RIGHT )]로 놓을 수 있다.
[eqn: ㉠,~㉡]에서
[eqn: t=2s,~`t+1=3s-1,~-t+1=-2s+1]이므로 [eqn: t=4,~s=2] [eqn: ㉠]에서 [eqn: rmP LEFT ( 4,~5,~-3 RIGHT )]이므로
[eqn: a+b+c=4+5+ LEFT ( -3 RIGHT ) =6]

해

설

31   [eqn: 6]

답

직선 [eqn: rmEF,`EH,`EA]를 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축으로 하는 좌표공간을 도입하면 [eqn: rm A LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT ) ,~G LEFT ( 2,~2,~0 RIGHT ) ,][eqn: rmB LEFT ( 2,~0,~1 RIGHT ) ,~H LEFT ( 0,~2,~0 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AG}} = LEFT ( 2,~2,~0 RIGHT ) - LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT ) = LEFT ( 2,~2,~-1 RIGHT ) ,][eqn: rm {vec{BH}} = LEFT ( 0,~2,~0 RIGHT ) - LEFT ( 2,~0,~1 RIGHT ) = LEFT ( -2,~2,~-1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `cos theta = {LEFT | LEFT ( 2,~2,~-1 RIGHT ) · LEFT ( -2,~2,~-1 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {4+4+1} sqrt {4+4+1}} = {1} over {9}]

해

설

32   [eqn: 4]

답

세 직선 [eqn: l _{1} ,~l _{2,~} l]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 1,~-1,~-1 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 3,~-5,~1 RIGHT ) ,][eqn: {vec{u}} = LEFT ( 3,~p,~q RIGHT )]라고 하면 [eqn: {vec{u}} · {vec{u _{1}}} =0]에서 [eqn: 3-p-q=0], [eqn: {vec{u}} · {vec{u _{2}}} =0]에서 [eqn: 9-5p+q=0]
이를 연립하여 풀면 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT )]이고 [eqn: {x+1} over {3} = {y} over {2} = {z-1} over {1}]에서 [eqn: p=2,~q=1,~r=1]
[eqn: thereforep+q+r=4]

해

설

33   [eqn: 2 sqrt {30} rmm]

답

해

설

정호의 위치를 원점으로 놓고, 두 지점을 좌표로 나타내면 [eqn: rm A LEFT ( 10,~10,~0 RIGHT ) ,`B LEFT ( -10,~10,~0 RIGHT ) `]
직선 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: {x-10} over {-20} = {z} over {10} ,`y=10]
직선 [eqn: rmAB]위의 점을 [eqn: rm P LEFT ( -20t+10,~10,~10t RIGHT )]라고 하면 [eqn: LEFT | {vec{rm OP it}} RIGHT | ^{2} = LEFT ( -20t+10 RIGHT ) ^{2} +10 ^{2} + LEFT ( 10t RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =500 LEFT ( t- {2} over {5} RIGHT ) ^{2} +120]
따라서 [eqn: rmbarOP]는 [eqn: t= {2} over {5}]일 때 최솟값 [eqn: 2 sqrt {30}]을 가진다. 그러므로 [eqn: LEFT ( 2,~10,~4 RIGHT )]인 지점일 때, [eqn: 2 sqrt {30} rm m]로 가장 가깝다.

34   [eqn: ④]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = it LEFT ( b-1,~4,~4-a RIGHT ) ,` {vec{u}} = LEFT ( 2,~4,~1 RIGHT )]에서 [eqn: rm ` {vec{AB}} rm ⫽ it {vec{u}}]이므로 [eqn: rm {vec{AB}} = it `t it {vec{u}}]([eqn: t!=0]인 실수)에서 [eqn: LEFT ( b-1,~4,~4-a RIGHT ) =t LEFT ( 2,~4,~1 RIGHT )]
[eqn: thereforet=1,~a=3,~b=3]
또, 직선[eqn: {x+1} over {2} = {y+c} over {4} = {z+d} over {1}]가               점[eqn: rm A LEFT ( 1,~-1,~3 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: c=5,~a=-2]
[eqn: thereforea+b+x+d=3+3+5+ LEFT ( -2 RIGHT ) =9]

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			정답
	04 평면과 구의 방정식

01  ⑤

답

[eqn: {x-2} over {6} = {y-2} over {2} = {1-z} over {3}]의 방향벡터
[eqn: {vec{u}} = LEFT ( 6,~2,~-3 RIGHT )]은 구하는 평면의 법선벡터이므로
[eqn: 6 LEFT ( x-1 RIGHT ) +2 LEFT ( y-2 RIGHT ) -3 LEFT ( z-3 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore6x+2y-3z-1=0]
[eqn: thereforea+b+c=6+2-3=5]

해

설

02  ①

답

구하는 평면은 점 [eqn: rm LEFT ( -2,~3,~1 RIGHT )]을 지나고
벡터 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~1,~-1 RIGHT )]을 법선벡터로 가지므로
[eqn: 1· LEFT ( x+2 RIGHT ) +1· LEFT ( y-3 RIGHT ) -1· LEFT ( z-1 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE x+y-z=0]

해

설

03  ③

답

두 평면의  법선벡터는 각각 [eqn: LEFT ( 1,~2,~-3 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~-3,~1 RIGHT )]이므로 두평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면
[eqn: cos` theta = {LEFT | 1·2+2· LEFT ( -3 RIGHT ) + LEFT ( -3 RIGHT ) ·1 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} sqrt {2 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}}}}]       [eqn: = {1} over {2}]
따라서 구하는 예각의 크기는 [eqn: theta= {pi} over {3}]

해

설

04  ②

답

두 평면은 서로 평행하므로 최단 거리 [eqn: d]는
[eqn: d= {LEFT | a· {1} over {a} +b· {1} over {b} +c· {1} over {c} -1 RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}}} = {2} over {sqrt {4}} =1]

해

설

05   ①

답

중심이 [eqn: rm C LEFT ( 1,~-2,~3 RIGHT ) ,`~]반지름의 길이가 [eqn: 3]인 구이다. 점 [eqn: rmP]에서 접하는 평면을 [eqn: alpha]라 하고, 평면 [eqn: alpha] 위의 임의의 점을 [eqn: rm X LEFT ( itx,~y,~z RIGHT )]라고 하면 [eqn: rm {vec{CP}} · {vec{PX}} =0]이므로
[eqn: rm {vec{CP}} · {vec{PX}} = LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT ) · LEFT ( itx-2,~y,~z-5 RIGHT )]
[eqn: =x-2+2y+2z-10=0]
[eqn: thereforea:x+2y+2x=12]

해

설

06  ③

답

구의 중심 [eqn: LEFT ( 3,~2,~-1 RIGHT )]에서 평면까지의 거리는 [eqn: 2]이므로 원 [eqn: rmC]의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {3 ^{2} -2 ^{2}} = sqrt {5}]
원 [eqn: rmC]의 넓이는 [eqn: 5pi]
한편, [eqn: xy]평면과 평면 [eqn: x+2y-2z=3]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: cos`theta]=[eqn: {2} over {3}]
따라서 정사영의 넓이는 [eqn: 5 pi `cos` theta =5pitimes {2} over {3} = {10} over {3} pi]

해

설

07  ⑤

답

구의 중심인 원점 [eqn: rmO]와 구 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]을 잇는 선분이 구하는 평면과 수직이므로 구하는 평면의 법선벡터는 [eqn: {vec{rmOP}} = LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]이다. 따라서 평면의 방정식은
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) + LEFT ( y-1 RIGHT ) + LEFT ( z-1 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex+y+z-3=0]

해

설

08  ③

답

해

설

[eqn: rm {bar{AM}} = {bar{CM}}]이고 [eqn: rm {bar{AM}}]과 평면 [eqn: alpha]의 법선벡터 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~2,~2 RIGHT )]가 평행하므로 [eqn: rm {vec{AM}} =it`t {vec{n}}]
[eqn: THEREFORE rm {vec{OM}} = {vec{OA}} + it LEFT ( t,~2t,~2t RIGHT )]                     [eqn: = LEFT ( t+3,~2t+4,~2t+5 RIGHT )]
그런데 [eqn: rmM]은 평면 [eqn: alpha] 위의 점이므로 [eqn: x+2y+2z=3]에 대입하면
[eqn: t+3+2 LEFT ( 2t+4 RIGHT ) +2 LEFT ( 2t+5 RIGHT ) =3]  [eqn: thereforet=-2,~rmM LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )]
[eqn: rmM]이 [eqn: rmbarAC]의 중점이므로
[eqn: {3+a} over {2} =1,~ {4+b} over {2} =0,~ {5+c} over {2} =1]
[eqn: thereforea-b-c=-1+4+3=6]

09   ③

답

평면 [eqn: alpha]의 법선벡터는 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~-2,~2~ RIGHT )]이고 점 [eqn: LEFT ( -2,~1,~-1 RIGHT )]을 지나므로 평면의 방정식은 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) -2 LEFT ( y-1 RIGHT ) +2 LEFT ( z+1 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex-2y+2z+6=0]
원점에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 길이를 [eqn: d]라고 하면
[eqn: d= {LEFT | 6 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}} = {6} over {3} =2]

해

설

10   ①

답

직선 [eqn: l:x=y=z] 위의 점 [eqn: rmE LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]을 지나고 [eqn: l]에 수직인 평면 [eqn: x+y+z=3]과 좌표축과의 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 [eqn: rmD]라고 하면 오른쪽 그림에서
[eqn: rm {LEFT | {vec{OP prime }} RIGHT |} over {LEFT | {vec{OP}} RIGHT |} = {LEFT | {vec{OE}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{OQ}} RIGHT |} = {sqrt {3}} over {LEFT | {vec{OQ}} RIGHT |} GEQ {sqrt {3}} over {LEFT | {vec{OA}} RIGHT |} = {sqrt {3}} over {3}]
(단, 동호는 점 [eqn: rmQ]가 삼각형 [eqn: rmD]의 꼭짓점일 때 성립한다.)

해

설

11  ③

답

점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: pi] 위의 점이므로 [eqn: rmP LEFT ( -3,~5,~10 RIGHT )] 점[eqn: rmA]의 평면 [eqn: pi]에 대한 대칭점을 [eqn: rmA']이라고 하면 [eqn: rm {vec{AA'}} BOT pi,~ {vec{AA'}}]의 중점은 평면 [eqn: pi] 위의 점이므로 [eqn: rmA' LEFT ( -1,~4,~-1 RIGHT )]
반사되는 빛의 직선은 직선[eqn: rmA'P]와 같으므로
[eqn: {x+1} over {-2} =y-4= {z+1} over {11}]   [eqn: thereforea+b+c=10]

해

설

12   ③

답

직선 [eqn: l]의 방향벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 2,~-1,~-1 RIGHT )]과 평면 [eqn: alpha]의 법선벡터 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT )]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: cos`theta= {LEFT | {vec{a}} · {vec{n}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{n}} RIGHT |} = {5} over {6}]
[eqn: l]과 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기는 [eqn: rm {pi} over {2} -theta]이므로 [eqn: 6 TIMES `cos LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =6 TIMES `sin theta =6 TIMES sqrt {1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}}]                   [eqn: = sqrt {11}]

해

설

13   ②

답

구의 중심은 [eqn: rm P LEFT ( 1,~-1,~-1 RIGHT )], 구하는 평면의 법선벡터는 [eqn: rm {vec{PA}} = LEFT ( 1,~1,~-2 RIGHT )]이므로 구하는 평면의 방정식을 [eqn: c+y-2z+d=0]으로 놓으면
[eqn: {LEFT | 1-1+2+d RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} = sqrt {6}] [eqn: therefored=4]또는 [eqn: d=-8]
이때, 점 [eqn: rmA]를 지나는 평면 [eqn: alpha]이 방정식은
[eqn: x+y-2x-8=0]
따라서 구하는 평면의 방정식은
[eqn: x+y-2z+4=0]

해

설

14  [eqn: 8]

답

두 평면 [eqn: alpha,~beta]의 법선벡터를 각각 [eqn: {vec{n _{1}}} ,~ {vec{n _{2}}}]라고 하면 [eqn: {vec{n _{1}}} = LEFT ( 2,~2,~1 RIGHT ) .~ {vec{n _{2}}} = LEFT ( 1,~2,~-2 RIGHT )]
두 평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: cos` theta = {LEFT | {vec{n _{1}}} · {vec{n _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{n _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{n _{2}}} RIGHT |} = {4} over {9}]
이때, [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라고 하면[eqn: S=18]
따라서 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 정사영의 넓이 [eqn: S prime]은 [eqn: S prime =`cos` theta =18 TIMES {4} over {9} =8]

해

설

15  ②

답

점 [eqn: rmH]는 평면 위에 있으므로 [eqn: a+b+c=5]
[eqn: rm {vec{AH}}]가 평면의 법선벡터인 [eqn: LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]과 평행해야 하므로 [eqn: rm {vec{AH}} = rm {vec{OH}} - rm {vec{OA}} = it LEFT ( a+1,~b-2,~c-1 RIGHT )]
[eqn: =k LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]에서
[eqn: a=k-1,~b=k+2,~x=k+1]
[eqn: k-1+k+2+1=5,~k=1]
[eqn: thereforermH LEFT ( 0,~3,~2 RIGHT )]   [eqn: THEREFORE a-b+c=-1]

해

설

16  ③

답

직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터를 각각 [eqn: {vec{u}} ,~ {vec{n}}]이라고 하면 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( a,~-1,~3 RIGHT ) ,][eqn: {vec{n}} = LEFT ( 4,~b,~-6 RIGHT )] 직선과 평면이 수직으로 만나면
[eqn: {vec{u}} ⫽ {vec{n}}]이므로 [eqn: {a} over {4} = {-1} over {b} = {3} over {-6}] [eqn: thereforea=-2,~b=2]
[eqn: THEREFORE a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2} =8]

해

설

17  ⑤

답

구의 정사영은 원이고, 정사영의 반지름과 구의 반지름의 길이는 서로 같으므로 정사영의 넓이는 [eqn: 8times8timespi=64pi]

해

설

18  ④

답

구의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,~3,~-1 RIGHT )], 반지름의 길이는 [eqn: 3]이므로 구의 방정식은 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+1 RIGHT ) ^{2} =9]
[eqn: xy]평면과 만나므로 [eqn: z=0]을 대입하면
[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]
따라서 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2 sqrt {2}]

해

설

19  ③

답

점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~4,~5 RIGHT )]에서 구의 중심 [eqn: LEFT ( 1,~2,~1 RIGHT )]까지의 거리는 [eqn: 2 sqrt {5}] 또한 구의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {5}]이므로 점 [eqn: rmA]에서 구 위의 점까지의 최단 거리는 [eqn: 2 sqrt {5} - sqrt {5} = sqrt {5}]

해

설

20  ②

답

두 평면의 교선을 포함하는 평면의 방정식은
[eqn: LEFT ( 3x+y+z-4 RIGHT ) +k LEFT ( x-y+z-2 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE LEFT ( 3x+y RIGHT ) x+ LEFT ( 1-k RIGHT ) y+ LEFT ( 1+k RIGHT ) z-4-2k=0]
이 평면의 법선벡터와 주어진 직선의 방향벡터가 평행이므로 [eqn: {3+k} over {1} = {1-k} over {7} = {1+k} over {a}]
[eqn: thereforek=- {5} over {2} ,~a=-3]

해

설

21  ②

답

구의 중심은 원점이므로 점 [eqn: rmA LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]에 접하는 평면의 법선벡터는 [eqn: LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]이 평면이 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]를 지나므로 평면의 방정식은
[eqn: - LEFT ( x+1 RIGHT ) + LEFT ( y-1 RIGHT ) +2 LEFT ( z-2 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex-y-2x+6=0]
따라서 이 평면과 점 [eqn: rm P LEFT ( 4,~2,~1 RIGHT )]사이의 거리는
[eqn: {LEFT | 4-2-2+6 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} = sqrt {6}]

해

설

22  [eqn: 20]

답

해

설

구의 중심은 [eqn: rmC LEFT ( -1,~-1,~-2 RIGHT ) ,`]반지름의 길이는 [eqn: 1]이므로

[eqn: M= rm {bar{AQ}} = rm {bar{AC}} +1][eqn: = sqrt {21} +1,~]

[eqn: m= rm {bar{AR}} = {bar{AC}} -1= sqrt {21} -1]

[eqn: thereforeMm=20]

23  [eqn: -4]

답

평면 [eqn: x+y+z+4=0]의 법선벡터를 방향벡터로 하고 점 [eqn: LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은
[eqn: x+1=y-1=z-2]
주어진 수선의 발 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]는 이 직선과 평면의 교점이므로 [eqn: x+1=y-1=z-2=t]와 [eqn: x+y+z+4=0]을 연립하여 풀면 [eqn: t=-2]
[eqn: THEREFORE LEFT ( a,~b,~c RIGHT ) = LEFT ( t-1,~t+1,~t+2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -3,~-1,~0 RIGHT ) ~]
[eqn: thereforea+b+c=-4]

해

설

24   ①

답

[eqn: xy]평면 위의 점은 [eqn: LEFT ( x,~y,~0 RIGHT )]의 꼴이므로 점[eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x,~y,~0 RIGHT )]으로 놓으면 [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} = {bar{BC}} ^{2} = {bar{CA}} ^{2}]
[eqn: THEREFORE LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} +1= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-4 RIGHT ) ^{2} +1=6]
[eqn: x+y=5], 즉[eqn: y=5-x]이므로
[eqn: 6= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 5-x-3 RIGHT ) ^{2} +1,`x ^{2} -3x=0]
[eqn: thereforex=0]또는[eqn: x=3,`]이때[eqn: y=5] 또는[eqn: y=2]
따라서 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~5,~0 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 3,~2,~0 RIGHT )]

해

설

25   [eqn: {112} over {15} pi]

답

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -2x+6y-4z=0]에서
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-2 RIGHT ) ^{2} =14] 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT )]
에 구의 중심 [eqn: rm LEFT ( 1,~-3,~2 RIGHT )]에 이르는 거리 [eqn: d]는
[eqn: d= sqrt {LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1-2 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {30}]
구의 반지름의 길이는 [eqn: r= sqrt {14}]이므로 접선의 길이 [eqn: l]은 [eqn: l= sqrt {d ^{2} -r ^{2}} =4]이고, 접점을 [eqn: rmP]라 하면 [eqn: TRIANGLE rmAPC]의 넓이에서 [eqn: rl=dh]에서 [eqn: h= {4 sqrt {14}} over {sqrt {30}}]
따라서 구하는 원의 넓이는
[eqn: pih ^{2} =pi· {16·14} over {30} = {112} over {15} pi]

해

설

26    ④

답

구의 방정식을 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-c RIGHT ) ^{2} =5 ^{2}]으로 놓으면 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면으로 자른 단면은 각각[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-b RIGHT ) ^{2} =5 ^{2} -c ^{2} `cdotscdots㉠],
[eqn: LEFT ( y-b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-c RIGHT ) ^{2} =5 ^{2} -a ^{2} ` CDOTS CDOTS ㉡][eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-c RIGHT ) ^{2} =5 ^{2} -b ^{2} ` CDOTS CDOTS ㉢]
이때, 각 원 [eqn: ㉠,`㉡,`㉢]의 반지름의 길이가 각각 [eqn: 2,`3,`4]이므로 [eqn: 5 ^{2} -c ^{2} =2 ^{2} ,`5 ^{2} -a ^{2} =3 ^{2} ,]
[eqn: `5 ^{2} -b ^{2} =4 ^{2}]
따라서 원점에서 구의 중심까지의 거리는 [eqn: sqrt {x ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} = sqrt {46}]

해

설

27   ③

답

구 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-4 RIGHT ) ^{2} =24]는 중심이 [eqn: rmX LEFT ( -2,~3,~4 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt {6}]이다.
점 [eqn: rmC]에서 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP,`Q,`R]라 하고, [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmS,`T,`U]라 하면 [eqn: rm P LEFT ( -2,~3,~0 RIGHT ) ,`Q LEFT ( 0,~3,~4 RIGHT ) ,`][eqn: rm R LEFT ( -2,~0,~4 RIGHT ) ,`T LEFT ( 0,~3,~0 RIGHT ) ,`U LEFT ( 0,~0,~4 RIGHT )]
이때, [eqn: rm {bar{CP}} it =4<r,` rm {bar{CQ}} it =2<r,` rm {bar{CR}} it =3<r,` rm {bar{CS}} it =5>r,# rm {bar{CT}} it =2 sqrt {5} <r,` rm {bar{CU}} it = sqrt {13} <r,`` rm {bar{CO}} it = sqrt {29} >r]
이므로 6개의 부분을 지난다.

해

설

28    ②

답

두 구 [eqn: rmS _{1`} ,`S _{2}]가 만나서 생기는 원 위의 한 점이 [eqn: rmP]이므로 주어진 식에서 [eqn: y=5] [eqn: rm P`it LEFT ( a,~5,~b RIGHT )]라 하면 점[eqn: rmP']은 점 [eqn: rmP]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영이므로 [eqn: rm {bar{PP prime }} `= LEFT | itb RIGHT |], [eqn: V= {1} over {3} TRIANGLE rm QP prime R· rm {bar{PP prime }} `=3 it LEFT | a RIGHT | LEFT | b RIGHT |][eqn: =3 LEFT | ab RIGHT |]이고 [eqn: LEFT | ab RIGHT | <=28]에서 부피의 최댓값은 [eqn: 84]이다.

해

설

29   [eqn: 2]

답

30   ①

답

[eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향과 각각 [eqn: 60 DEG ,`45 DEG ,60 DEG]의 가을 이루는 단위벡터를 [eqn: {vec{u}}]라 하면 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( cos`60 DEG ,~cos`45 DEG ,~cos`60 DEG RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} , {1} over {sqrt {2}} ,` {1} over {2} RIGHT )]
따라서 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,~2,~3 RIGHT )]을 지나고 [eqn: {vec{u}}]에 평행인 직선의 방정식은
[eqn: {x+1} over {{1} over {2}} = {y-2} over {{1} over {sqrt {2}}} = {z-3} over {{1} over {2}} ~~ THEREFORE x+1= {y-2} over {sqrt {2}} =z-3]
직선 [eqn: ㉠]이 [eqn: xy]평면과 만나므로 [eqn: z=0]을 대입하면
[eqn: x=-4,`y=2-3 sqrt {2}]
따라서 구하는 좌표의 합은 [eqn: -2-3 sqrt {2}]

해

설

31   ④

답

평면 [eqn: alpha]와 직선 [eqn: l:x-1= {y-2} over {-2} = {z-3} over {3}]이 수직이므로 평면 [eqn: alpha]의 법선벡터는 [eqn: {vec{h}} = LEFT ( 1,~-2.~3 RIGHT )]이고, 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나므로 평면 [eqn: alpha]의 방정식은
[eqn: 1 LEFT ( x-1 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) · LEFT ( y-2 RIGHT ) +3 LEFT ( z-3 RIGHT ) =0~~][eqn: THEREFORE x-2y+3z-6=0]
[eqn: m:x-2=y= {z-6} over {5} =t]라 하면 직선 [eqn: m]위의 임의의점은 [eqn: LEFT ( t+2,~t,~5t+6 RIGHT )]
직선 [eqn: m]위의 점 [eqn: rmB]가 평면 [eqn: alpha]위에 있으므로
[eqn: LEFT ( t+2 RIGHT ) -2t+3 LEFT ( 5t+6 RIGHT ) -6=0.`14t+14=0~~# THEREFORE t=-1]
[eqn: thereforermB LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE {vec{rmAB}} `= sqrt {LEFT ( 1-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1-3 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {13}]

해

설

32   [eqn: {sqrt {65}} over {3}]

답

평면 [eqn: alpha]의 방정식은 [eqn: 2x+2y+z=2]이므로, 평면과 직선이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos`theta= {sqrt {65}} over {9}]
따라서 구하는 정사영의 길이는

해

설

[eqn: rm {vec{AP`}} `cos` theta = {sqrt {65}} over {3}]

33   ④

답

주어진 평면의 법선벡터를 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 2,~-1,~2 RIGHT )]라 하고, [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT ) ,` {vec{u _{2}}} = LEFT ( 0,~1,~0 RIGHT ) ,` {vec{u _{3}}} = LEFT ( 0,~0,~1` RIGHT ) `]로 놓으며
[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} - alpha RIGHT ) =sin` alpha = {{vec{u}} `·` {vec{v _{1}}}} over {LEFT | {vec{u}} ` RIGHT | LEFT | {vec{v _{1}}} RIGHT |}# = {2} over {sqrt {4+1+4 sqrt {1}}} = {2} over {3}]
같은 방법으로 [eqn: sin`beta=- {1} over {3} ,`sin`gamma= {2} over {3}]
[eqn: THEREFORE `cos ^{2} alpha +cos ^{2} beta +cos ^{2} gamma][eqn: = LEFT ( 1-sin ^{2} alpha RIGHT ) + LEFT ( 1-sin ^{2} beta RIGHT ) + LEFT ( 1-sin ^{2} gamma RIGHT )]
[eqn: =3- LEFT ( {4} over {9} + {1} over {9} + {4} over {9} RIGHT ) =3-1=2]

해

설

34   ④

답

구에 접하는 평면의 법선벡터 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 2,~-1,~2 RIGHT )]와 [eqn: x]축 방향의 기본벡터 [eqn: vece _{1} = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT )]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta']이라 하면
[eqn: cos theta prime {{vec{n}} ``·` {vec{e _{1}}}} over {LEFT | {vec{n}} RIGHT | LEFT | {vec{e _{1}}} RIGHT |} = {2} over {3} ~~~ THEREFORE sin` theta =cos` theta prime = {2} over {3}]

해

설

35   ④

답

평면의 법선벡터는 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~2,~-2 RIGHT )], 직선의 방향벡터는 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~-4,~1 RIGHT )]이므로 구하는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =sin` theta = {{vec{u}} `· {vec{n}}} over {LEFT | {vec{u}} RIGHT | LEFT | {vec{n}} RIGHT |} = {sqrt {2}} over {2}]

해

설

36   ③

답

오른쪽 그림과 같이 접하는 구의 단면을 생각하면 두 평면 [eqn: alpha,`beta]에 동시에 접하는 구의 지름의 길이는 평행한 두 평면 [eqn: alpha,`beta] 사이의 거리 [eqn: d]와 같다. 평면 [eqn: alpha] 위의 한 점 [eqn: LEFT ( 0,~0,~-1 RIGHT )]에서 평면 [eqn: beta]까지의 거리를 구하면
[eqn: d= {LEFT | 0+0-2-7 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2}}}]         [eqn: = {9} over {3} =3]

해

설

37   ③

답

구의 중심 [eqn: LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]에서 평면
[eqn: x+2y-2z-31=0]에 이르는 거리가 구의 반지름의 길이와 같으므로 구의 반지름의 길이를 [eqn: r]라고 하면 [eqn: r= {LEFT | 1+2-2-31 RIGHT |} over {sqrt {1+4+4}} =10]

해

설

38   ⑤

답

두 점 [eqn: rmA,`B]에서 주어진 평면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC,`D]라고 하면,
[eqn: rm {bar{AP}} :` {bar{BP}} = {bar{AC}} : {bar{BD}} ~~ THEREFORE {bar{AP}} : {bar{BP}} = {12} over {3} : {9} over {3} =4:3]

해

설

39   [eqn: 8]

답

[eqn: rmbarAB]가 구의 지름일 때 [eqn: rmbarAB]가 최대이므로 선분 [eqn: rmAB]의 길이의 최댓값은 [eqn: 8]이다.

해

설

40   ③

답

구하는 점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]의 좌표를
[eqn: x=3t+12,`y=4t+2,`z=5t+11]([eqn: t]는 실수)로 나타내면 점 [eqn: rmP]는 반구면 위의 점이므로
[eqn: LEFT ( 3t+12 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 4t+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 5t+11 RIGHT ) ^{2} =11 ^{2}]
[eqn: thereforet=-1` LEFT ( BECAUSE z>=0 RIGHT )]
즉, [eqn: rmP LEFT ( 9,~-2,~6 RIGHT )]이므로
[eqn: a+b+c=9+ LEFT ( -2 RIGHT ) +6=13]

해

설

41   ③

답

[eqn: 3x+2y-z=6` CDOTS CDOTS ㉠,~x+y-z=4` CDOTS CDOTS ㉡]
㉠-[eqn: ㉡]에서 [eqn: y=2x-2x,`3times㉡-㉠]에서 [eqn: y=2z+6]
[eqn: therefore-x+1= {y} over {2} =z+3]

해

설

42   ③

답

점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]라 하면 [eqn: rm {vec{OA}} `·` {vec{OP}} =12]와 점 [eqn: rmP]의 자취는 평면 [eqn: 2x-y-2z=12]이다.
따라서 점 [eqn: rmB LEFT ( -5,~4,~5 RIGHT )]와 점 [eqn: rmP]사이의 거리의 최솟값은 [eqn: {LEFT | -10-4-10-12 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} =12]

해

설

43   ③

답

[eqn: rm {1} over {2} LEFT | {vec{PA}} `+ {vec{PB}} RIGHT |]의 최솟값은 선분 [eqn: rmAB]의 중점에서 평면 [eqn: x-y+z=0]까지의 거리 [eqn: d]이므로 [eqn: rm LEFT | {vec{PA}} `+ {vec{PB}} RIGHT |]의 최솟값 [eqn: m]은
[eqn: m=2d= {2 LEFT | 2+1+0 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}}} = {6} over {sqrt {3}} =2 sqrt {3}]

해

설

44   ⑤

답

[eqn: rm LEFT | {vec{OA}} RIGHT | = {12} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}} =4,` rm# rm LEFT | {vec{OB}} RIGHT | = {6} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2}}} =2`]
두 벡터 [eqn: rm {vec{OA}}]와 [eqn: rm {vec{OB}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면
[eqn: cos` theta = {1·2+ LEFT ( -2 RIGHT ) ·1+2·2} over {3·3} = {4} over {9} ~ THEREFORE `sin` theta = LEFT ( {sqrt {65}} over {9} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm ABC= {1} over {2} · LEFT | {vec{rm OA}} RIGHT | · LEFT | {vec{rm OB}} RIGHT | sin`theta= {4 sqrt {65}} over {9}]

해

설

45   [eqn: rmB LEFT ( -1,~-2,~0 RIGHT )]

답

대칭점을 [eqn: rm B`it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 하면 [eqn: rm {vec{AB}} =it LEFT ( a-1,`b+1,`c-1 RIGHT )]은 평면의 법선벡터 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 2,~1,~1 RIGHT )]과 평행이므로 [eqn: rm {bar{AB}} `it=t {vec{u}}]
(단, [eqn: t]는 실수)
즉, [eqn: LEFT ( a-1,~b+1,~c-1 RIGHT ) = LEFT ( 2t,~t,~t RIGHT )]이므로
[eqn: a=2t+1,`b=t-1,`c=t+1~ CDOTS CDOTS ㉠]
또, 두 점 [eqn: rmA,`B]의 중점은 평면 [eqn: alpha]위에 있으므로 [eqn: 2 LEFT ( {a+1} over {2} RIGHT ) + {b-1} over {2} + {c+1} over {2} +1=0]
[eqn: THEREFORE 2a+b+c+4=0~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠]을 [eqn: ㉡]에 대입하면 [eqn: 6t+6=0]에서 [eqn: t=-1]
[eqn: thereforermB LEFT ( -1,~-2,~0 RIGHT )]

해

설

46   [eqn: 27]

답

평면 [eqn: alpha]의 법선벡터는 [eqn: yz]평면에서 [eqn: y]축의 양의 방향과 [eqn: 60DEG]의 각을 이루는 벡터이다. 따라서 구하는 법선벡터의 성분은 [eqn: LEFT ( 0,~3,~3 sqrt {3} RIGHT )]이다.
[eqn: thereforea ^{2} +b ^{2} =0 ^{2} + LEFT ( 3 sqrt {3} ^{2} RIGHT ) =27]

해

설

47   ②

답

직선 [eqn: l]의 방향벡터와 평면 [eqn: c]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: sintheta= {3} over {5}]이므로 일의 양은
[eqn: {vec{F}} · {vec{d}} = LEFT | {vec{F}} RIGHT | LEFT | {vec{d}} RIGHT | cos` theta =5 TIMES 2 TIMES {4} over {5} =8][eqn: LEFT ( rmJ RIGHT )]

해

설

48   [eqn: rm C LEFT ( 2,~4,~±4 RIGHT )]

답

구의 중심 [eqn: rm C]의 좌표는 [eqn: rm C`it LEFT ( 2,~4,~a RIGHT )]
구의 중심에서 [eqn: xy]평면까지의 거리가 [eqn: 4]이므로
[eqn: a=±4]          [eqn: thereforermC LEFT ( 2,~4,``±4 RIGHT )]

해

설

49  [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: therefore3x+2y+z-10=0]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: THEREFORE x+z-2=0]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: 3 LEFT ( x-1 RIGHT ) +2 LEFT ( y-2 RIGHT ) +1 LEFT ( z-3 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore3x+2y+z-10=0]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 1 LEFT ( x-0 RIGHT ) +0 LEFT ( y+1 RIGHT ) +1 LEFT ( z-2 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE x+z-2=0]

해

설

50  [eqn: {pi} over {3}]

답

두 평면의 법선벡터가 각각[eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( 3,~-4,~5 RIGHT ) ,~ {vec{h _{2}}} = LEFT ( 4,~3,~-5 RIGHT )]이므로
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {LEFT | {vec{h _{1}}} · {vec{h _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{h _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{h _{2}}} RIGHT |}]
[eqn: = {LEFT | LEFT ( 3,~-4,~5 RIGHT ) · LEFT ( 4,~3,~-5 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} +5 ^{2}} sqrt {4 ^{2} +3 ^{2} + LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2}}}]          [eqn: = {25} over {50} = {1} over {2}]
[eqn: 0<=theta<= {pi} over {2}]이므로   [eqn: theta= {pi} over {3}]

해

설

51  [eqn: -3]

답

두 평면의 법선센터 [eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~-3 RIGHT ) ,~ {vec{h _{2}}} = LEFT ( 3,~a,~1 RIGHT )]이 서로 수직이므로 [eqn: {vec{h _{1}}} · {vec{h _{2}}} =0]에서  [eqn: 6+a-3=0]
[eqn: thereforea=-3]

해

설

52  [eqn: 2]

답

[eqn: d= {LEFT | 2times0-1times0-2times0+6 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} = {6} over {3} =2]

해

설

53   [eqn: ②]

답

구하는 평면의 법선벡터를 [eqn: {vec{h _{1}}}]라고 하면 평면 [eqn: 2x+y-z+1=0]의 법선벡터와 같으므로 [eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT )]
점 [eqn: LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT )]를 지나므로 구하는 평면의 방정식은
[eqn: 2 LEFT ( x-1 RIGHT ) + LEFT ( y+1 RIGHT ) - LEFT ( z-2 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore2x+y-z-3=0]

해

설

54   [eqn: ②]

답

평면 [eqn: px+qy+z+r=0~ CDOTS CDOTS ㉠]이 세점 [eqn: rmA,~B,~C]를 지나므로
[eqn: rmA LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT )]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: p-q+r=0cdots㉡]
[eqn: rm B LEFT ( 0,~1,~1 RIGHT )]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: q+1+r=0~`~ CDOTS ㉢]
[eqn: rm C LEFT ( 0,~0,~2 RIGHT )]를 [eqn: ㉠]에 대입하면
[eqn: 2+r=0~ THEREFORE r=-2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS ㉣]
[eqn: ㉡,~㉢,~㉣]을 연립하여 풀면 [eqn: p=3,~q=1,~r=-2]
[eqn: thereforep+q+r=3+1-2=2]

해

설

55   [eqn: ①]

답

두 평면의 법선벡터가 각각 [eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT ) ,~ {vec{h _{2}}} = LEFT ( 1,~k,~2 RIGHT )]이므로
[eqn: THEREFORE `cos theta = {LEFT | {vec{h _{1}}} · {vec{h _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{h _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{h _{2}}} RIGHT |}]
[eqn: = {LEFT | 2+k-2 RIGHT |} over {sqrt {4+1+1} sqrt {1+k ^{2} +4}} = {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {6} sqrt {k ^{2} +5}} = {1} over {6}]  [eqn: 6 LEFT | k RIGHT | = sqrt {6} sqrt {k ^{2} +5}]
이 식의 양변을 제곱하면 [eqn: 36k ^{2} =6 LEFT ( k ^{2} +5 RIGHT ) ,~k ^{2} =1]
[eqn: k>0]이므로 [eqn: k=1]

해

설

56   [eqn: ②]

답

직선의 방향벡터 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 5,~3,~4 RIGHT )]와 평면의 법선벡터[eqn: {vec{h}} = LEFT ( 5,~4,`~-3 RIGHT )]이 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha LEFT ( 0<=alpha<= {pi} over {2} RIGHT )]라고 하면
[eqn: THEREFORE `cos theta = {LEFT | {vec{h _{1}}} · {vec{h _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{h _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{h _{2}}} RIGHT |} = {LEFT | 25+12-12 RIGHT |} over {sqrt {50} sqrt {50}} = {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE alpha = {pi } over {3}]
직선과 평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면
[eqn: theta= {pi} over {2} -alpha= {pi} over {6}]

해

설

57   [eqn: ③]

답

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x-4y-4=0][eqn: LRARROW][eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} +z ^{2} =9]에서 구의 중심은 [eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT )], 반지름의 길이는 [eqn: 3]이다. 한편, 원의 중심을 [eqn: rmB], 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라고 하면
[eqn: rm {bar{AB}} = {LEFT | 1+2+0 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {3}}]
오른쪽 그림에서 피타고라스의 정리에 의하여
[eqn: r ^{2} =3 ^{2} - rm {bar{AB}} ^{2} =0-3=6]
따라서 구하는 원의 넓이는 [eqn: pir ^{2} =6pi]

해

설

58   [eqn: ①]

답

구의 중심[eqn: LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]이고 평면
[eqn: 2x+y-2z+4=0]까지의 거리가 구의 반지름의 길이이므로
[eqn: r= {LEFT | 2 TIMES 1+1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) -2 TIMES 1+4 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} = {3} over {3} =1]

해

설

59   [eqn: ①]

답

평면의 법선벡터 [eqn: vech]는 [eqn: {vec{h}} = LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT )]이고 점 [eqn: LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )]을 지나므로 구하는 평면의 방정식은
[eqn: 2 LEFT ( x-1 RIGHT ) + LEFT ( y-0 RIGHT ) - LEFT ( z-1 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore2x+y-z-1=0]이 식에 [eqn: x=y=0,~z=k]를 대입하면 [eqn: -k-1=0~~thereforek=-1]

해

설

60  [eqn: ②]

답

두 평면의 법선벡터가 각각 [eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( a,~4,~1 RIGHT ) ,~ {vec{h _{2}}} = LEFT ( a,~4,~1 RIGHT )]이고 [eqn: {vec{h _{1}}} ⫽ {vec{h _{2}}}]에서[eqn: {vec{h _{2}}} =t {vec{h _{1}}}]([eqn: t!=0]인 실수)이므로
[eqn: LEFT ( 1,`~b,~-2 RIGHT )][eqn: =t LEFT ( a,~4.~1 RIGHT )]
[eqn: thereforea=- {1} over {2} ,~b=-8]   [eqn: thereforeab=4]

해

설

61   [eqn: 14]

답

원점 [eqn: rmO]에서 평면 [eqn: 3x-2y+z+14=0]까지의 거리는 [eqn: rmbarOH]와 같으므로
[eqn: sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} = {LEFT | 14 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}}} = sqrt {14}]
[eqn: THEREFORE a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =14]

해

설

62  [eqn: ③]

답

평면의 방정식이 [eqn: {x} over {2} + {y} over {1} + {z} over {3} =1], 즉[eqn: 3x+6y+2z-6=0]이므로 원점에서 이 평면까지의 거리는 [eqn: {LEFT | -6 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +6 ^{2} +2 ^{2}}} = {6} over {7}]

해

설

63   [eqn: ③]

답

직선의 방향벡터 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( p,~1,~2 RIGHT ) it]와 평면의 법선벡터 [eqn: {vec{h}} = LEFT ( 2,~q,~4~ RIGHT )]가 서로 평행하므로 [eqn: {vec{h}} =t` {vec{u}}]([eqn: t!=0]인 실수)에서 [eqn: LEFT ( 2,~q,~4~ RIGHT ) =t LEFT ( p,~1,~2 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE 2=pt,~q=t,~4=2t~~thereforep=1,~q=2]
[eqn: THEREFORE p+q=3]

해

설

64   [eqn: ⑤]

답

구의 중심을 [eqn: rm O LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT )], 구와 평면의 접점을 [eqn: rmA LEFT ( 1,~-2,~-2 RIGHT )]로 놓으면 평면의 법선벡터는 [eqn: {vec{h}} = rm {vec{OA}} = LEFT ( 1,~-2,~-2~ RIGHT )]
이 평면이 점 [eqn: rmA]를 지나므로
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) -2 LEFT ( y+2 RIGHT ) -2 LEFT ( z+2 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex-2y-2z=9]

해

설

65   [eqn: ②]

답

구의 중심 [eqn: LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT )]에서 평면까지의 거리는 [eqn: {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {6}}], 구와 평면이 만나서 생긴 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2], 구의 반지름의 길이는 [eqn: 2], 구의 반지름 길이는 [eqn: sqrt {10}]이므로 피타고라스의 정리에 의하여
[eqn: LEFT ( {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {6}} RIGHT ) ^{2} +2 ^{2} = LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2}]    [eqn: thereforek ^{2} =36]

해

설

66  [eqn: ①]

답

평면 [eqn: x+2y-2z+2][eqn: =0] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT )]에서 평면 [eqn: x+2y-2z+5][eqn: =0]까지의 거리와 같으므로
[eqn: {LEFT | 0+0-2+5 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}}][eqn: =1]

해

설

67  [eqn: -4]

답

[eqn: 2p][eqn: =2q][eqn: =r]의 각 변을 [eqn: 2]로 나누고 그 값을 [eqn: t]로 놓으면 [eqn: p][eqn: =t], [eqn: q][eqn: =t], [eqn: r][eqn: =2t~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
㉠을 평면의 방정식 [eqn: x+2y+3z+0][eqn: =0]에 대입하면
[eqn: t][eqn: =-1]   [eqn: thereforep+q+r][eqn: =-1-1-2][eqn: =-4]

해

설

68   [eqn: ②]

답

[eqn: {vec{rmAA'}}][eqn: = LEFT ( a-1,~b-2,~c-3 RIGHT )]이 [eqn: {vec{h}}][eqn: = LEFT ( 1,~-3,~-2 RIGHT )]와 평행하므로 [eqn: LEFT ( a-1,~b-2,~c-3 RIGHT )][eqn: =t LEFT ( 1,~-3,~-2 RIGHT )] ([eqn: t != 0]인 실수)에서 [eqn: a][eqn: =t+1], [eqn: b][eqn: =-3t+2], [eqn: c=-2t+3]
직선 [eqn: rmAA']과 평면의 교점 [eqn: rm M LEFT ( {t+2} over {2} ,~ {-3t+4} over {2} ,~ {-2t+6} over {2} RIGHT )]이 평면 위의 점이므로 대입하면 [eqn: t][eqn: =2]
[eqn: therefore`a][eqn: =3], [eqn: b][eqn: =-4], [eqn: c][eqn: =-1]
[eqn: thereforea+b+c=-2]

해

설

69  ④

답

해

설

[eqn: r _{1} ^{2} =1-x ^{2} ,~r _{2} ^{2} =-x ^{2} +2x]
이므로 두 단면의 넓이의 합은
[eqn: pi r _{1} ^{2} + pi r _{2} ^{2}][eqn: = pi LEFT { -2 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {3} over {2} RIGHT }]
따라서 넓이의 합의 최댓값은 [eqn: {3} over {2} pi]이다.

70   [eqn: ④]

답

해

설

위, 아래 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{1} ,`r _{2}]로 놓으면 두 단면이 넓이의 합 [eqn: rmS]는
[eqn: rm S` it = pi LEFT ( r _{1} ^{2} +r _{1} ^{2} RIGHT ) = pi LEFT { 1-x ^{2} +1- LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{2} RIGHT }]            [eqn: = pi LEFT ( -2x ^{2} +2x+1 RIGHT ) = pi LEFT { -2 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {3} over {2} RIGHT }]
따라서 [eqn: rmS]의 최댓값은 [eqn: x= {1} over {2}]일 때 [eqn: {3} over {2} pi]이다.

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			정답
	01 공간벡터의 뜻과 그 연산

01   ①

답

[eqn: rm {vec{DF}} = {vec{AF}} - {vec{AD}} = {vec{AF}} - {vec{BC}}]
[eqn: = rm {vec{AF}} - LEFT ( {vec{AF}} - {vec{AF}} RIGHT ) = it {vec{a}} + {vec{b}} - {vec{c}}]
[eqn: thereforel+m+n=1+1-1=1]

해

설

02   ④

답

ㄱ. [eqn: rm LEFT | {vec{AN}} RIGHT | + {1} over {2} LEFT | {vec{BD}} RIGHT |]
[eqn: =rm LEFT | {vec{AN}} RIGHT | + LEFT | {vec{MN}} RIGHT | > LEFT | {vec{AM}} RIGHT |] (참)
ㄴ. [eqn: rm {vec{AM}} it] ⫽ [eqn: {vec{rm BD it}}]이므로 실수 [eqn: k]는 존재하지 않는다. (거짓)
ㄷ. [eqn: rm {vec{BM}} + {vec{CN }} = {vec{MN}}]이므로  [eqn: k=1] (참)

해

설

03   ⑤

답

[eqn: rm {vec{AC}} = it `t rm {vec{AB}}](단, [eqn: t!=0]인 실수),
[eqn: rm {vec{OC}} - {vec{OA}} = it `t LEFT ( rm {vec{OB}} - {vec{OA}} RIGHT )]이므로
[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) {vec{a}} -7 {vec{b}} =t {vec{a}} -3t {vec{b}}]
[eqn: thereforek=t+1= {7} over {3} +1= {10} over {3}]

해

설

04   ⑤

답

[eqn: {vec{rmAB}} = LEFT ( 2,~2,~1 RIGHT )]에서 [eqn: LEFT | rm {vec{AB}} RIGHT | =3]
[eqn: rm {vec{AB}}]와 방향이 같고 크기가 [eqn: 1]인 벡터를 [eqn: {vec{p}}]라고 하면
[eqn: {vec{p}} = LEFT ( {2} over {3} ,~ {2} over {3} ,~ {1} over {3} RIGHT ) = LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]
[eqn: thereforea+b+c= {5} over {3}]

해

설

05   ⑤

답

[eqn: rm {vec{rm OA it rm}} = LEFT ( 1,~-1,`~0 RIGHT ) ,~ rm {vec{rm OA it rm}} = LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT ) ,]
[eqn: rm {vec{rm OC it rm}} = LEFT ( 1,~0,`~1 RIGHT )]에서
[eqn: {vec{rm OC }} = it a LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) + it b LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT ) + it c LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )]      [eqn: = LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]
[eqn: thereforea+b+c= {3} over {2}]

해

설

06   ③

답

[eqn: k LEFT ( 2,~-3,~4 RIGHT ) +h LEFT ( -2,~5,~3 RIGHT ) = LEFT ( 6,~-11,~5 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE 2k-2h=6,~-3k+5h=-11,~4k+3h=5]
위의 식을 연립하여 풀면
[eqn: k=2,~h=-1]   [eqn: thereforek+h=1]

해

설

07  ①

답

[eqn: {vec{a}} +t {vec{b}} = LEFT ( -1,~0,~1 RIGHT ) +t LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]                   [eqn: = LEFT ( -1+t,~-t,~1+t RIGHT )]
[eqn: LEFT | {vec{a}} +t {vec{b}} RIGHT | = sqrt {LEFT ( -1+t RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -t RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1+t RIGHT ) ^{2}}]               [eqn: = sqrt {3t ^{2} +2}]
따라서 [eqn: t=0]일 때, 최솟값 [eqn: sqrt {2}]를 가지므로[eqn: m+M= sqrt {2}]

해

설

08   ②

답

[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =1]이므로 [eqn: sqrt {LEFT ( 2x-`1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2}} =1]
[eqn: LEFT ( 2x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2} =1]
[eqn: 25x ^{2} -25+4=0], [eqn: LEFT ( 5x-1 RIGHT ) LEFT ( 5x-4 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex= {1} over {5}] 또는 [eqn: x= {4} over {5}]  [eqn: therefore {1} over {5} + {4} over {5} =1]

해

설

09  ②

답

[eqn: rm {bar{OA}} = sqrt {1 ^{2} + LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} =2,~][eqn: rm {bar{OB}} = sqrt {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} =3] 이므로
[eqn: rm {bar{OA}} : {bar{OB}} = {bar{AP}} : {bar{PB}} =2:3]
점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점이므로
[eqn: rm P LEFT ( {1} over {5`} ,~ {3 sqrt {3}} over {5} ,~ {4 sqrt {2}} over {5} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE {bar{rm OP it}} = sqrt {LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3 sqrt {3}} over {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {4 sqrt {2}} over {5} RIGHT ) ^{2}}]              [eqn: = {2 sqrt {15}} over {5}]

해

설

10   ③

답

ㄱ. [eqn: rm {vec{AC}} = rm {vec{OC}} - rm {vec{OA}} = it {vec{c}} - {vec{a}}] (참)
ㄷ.[eqn: rm {vec{BC}} + rm {vec{AB}} - rm {vec{CA}} = rm {vec{AB}} + rm {vec{BC}} - rm {vec{CA}}]
[eqn: = rm {vec{AC}} - rm {vec{CA}}]
[eqn: = rm {vec{AC}} - LEFT ( rm - {vec{AC}} RIGHT )]
[eqn: =2 rm {vec{AC}}] (참)

해

설

11    (1)[eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]  (2)[eqn: {vec{b}} + {vec{c}}]  (3)[eqn: {vec{a}} - {vec{b}} + {vec{c}}]

답

12   (1)[eqn: rm it2 {vec{a}} +7 {vec{b}}]   (2)[eqn: rm -it {vec{a}} +8 {vec{b}}]

답

13    ③

답

[eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{x}} ,` rm {vec{AD}} it = {vec{y}} ,` rm {vec{AE}} it = {vec{z}} `]라 하면
[eqn: {vec{x}} + {vec{y}} = {vec{a}} `~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]                      [eqn: {vec{y}} + {vec{z}} = {vec{c}} `~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]                      [eqn: {vec{z}} + {vec{x}} = {vec{b}} `~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉢]
[eqn: ㉠+㉡+㉢]에서 [eqn: 2 LEFT ( {vec{x}} + {vec{y}} + {vec{z}} RIGHT ) = {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}}]
[eqn: THEREFORE {vec{x}} + {vec{y}} + {vec{z}} = {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT ) ~~~~ CDOTS CDOTS ㉣]
[eqn: ㉣-㉡]에서
[eqn: {vec{x}} = {vec{rm AB it}} `= {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT ) - {vec{c}} = {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} - {vec{c}} RIGHT ) ~]

해

설

14   [eqn: (1)][eqn: rmvecHG]   [eqn: (2)][eqn: sqrt {14}]

답

[eqn: (1)]크기와 방향이 같은 벡터가 서로 같은 벡터이므로
[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{DC}} = {vec{EF}} = {vec{HG}}]
[eqn: (2)][eqn: ①][eqn: rm LEFT | {vec{EH}} RIGHT | = {bar{EH}} = {bar{AD}} =3]
[eqn: ②][eqn: rm LEFT | {vec{BD}} RIGHT | = {bar{BD}} = sqrt {{bar{AB}} ^{2} + {bar{AD}} ^{2}}# ~~~~~= sqrt {1+9} = sqrt {10}]
[eqn: ③][eqn: rm LEFT | {vec{AG}} RIGHT | = {bar{AG}} = sqrt {{bar{AB}} ^{2} + {bar{AD}} ^{2} + {bar{AE}} ^{2}}# ~~~~~= sqrt {1+9+4} = sqrt {14}]

해

설

15   [eqn: ④]

답

[eqn: {vec{a}} - {vec{b}} + {vec{c}}]=[eqn: rm {vec{AB}} - rm {vec{AD}} + rm {vec{AE}} = LEFT ( {vec{AB}} + {vec{DA}} RIGHT ) + rm {vec{AE}} rm]
[eqn: = LEFT ( rm {vec{DA it rm}} + {vec{AB}} RIGHT ) + rm {vec{AE}} rm = {vec{DB}} + {vec{AE}}]                 [eqn: =rm {vec{DB}} + {vec{BF}} = rm {vec{DF}}]

해

설

16   [eqn: ⑤]

답

[eqn: {vec{a}} - {vec{b}} - {vec{c}} = rm {vec{AB}} - {vec{AD}} - {vec{AE}}]
[eqn: = rm {vec{AB}} - LEFT ( {vec{AD}} + {vec{AE}} RIGHT )]
[eqn: = rm {vec{AB}} - rm {vec{AH}} = rm {vec{HB}}]

해

설

17   [eqn: ②]

답

[eqn: {vec{x}} +2 {vec{a}} =3 {vec{b}} -4 {vec{x}}]에서
[eqn: {vec{x}} +4 {vec{x}} =3 {vec{b}} -2 {vec{a}} ,~5 {vec{x}} =3 {vec{b}} -2 {vec{a}}]
[eqn: THEREFORE {vec{x}} = {1} over {5} LEFT ( 3 {vec{b}} -2 {vec{a}} RIGHT )]                                   [eqn: = {1} over {5} LEFT { 3 LEFT ( 3,~1,~-1 RIGHT ) -2 LEFT ( 2,~-1,~6~ RIGHT ) RIGHT }]             [eqn: = {1} over {5} LEFT { LEFT ( 9,~3,~-3 RIGHT ) - LEFT ( 4,~-2,~12~ RIGHT ) RIGHT }]              [eqn: = {1} over {5} LEFT ( 5,~5,~-15 RIGHT ) = LEFT ( 1,~1,~-3~ RIGHT )]
따라서 벡터 [eqn: vecx]의 모든 성분의 합은
[eqn: 1+1+ LEFT ( -3 RIGHT ) =-1]

해

설

18   [eqn: ②]

답

[eqn: 2 {vec{a}} + {vec{b}} =2 LEFT ( 1,~1,~-1 RIGHT ) + LEFT ( 3,~0,~k RIGHT ) = LEFT ( 5,~2,~-2+k RIGHT )][eqn: LEFT | 2 {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT | =3 sqrt {5}]   [eqn: sqrt {5 ^{2} +2 ^{2} + LEFT ( -2+k RIGHT ) ^{2}} =3 sqrt {5}]
양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: k ^{2} -4k-12=0,~ LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( k-6 RIGHT ) =0]
[eqn: k<0]이므로 [eqn: k=-2]

해

설

19   [eqn: ⑤]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = LEFT ( 3,~ it m,~4 RIGHT ) -` it LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) = it LEFT ( 2,~m+1,~4 RIGHT ) ,][eqn: rm {vec{AC}} = LEFT ( -2,~2,~ it n RIGHT ) -` it LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) = it LEFT ( -3,~3,~n RIGHT ) `]
[eqn: rm {vec{AB}} =it`t rm {vec{AC}}]([eqn: t!=0]인 실수)에서
[eqn: it LEFT ( 2,~m+1,~4 RIGHT ) =t LEFT ( -3,~3,~n RIGHT )]
[eqn: THEREFORE 2=-3t,~`m+1=3t,`~4=tn]
[eqn: thereforet=- {2} over {3} ,`m=-3,`n=-6]
[eqn: thereforem+n=-9]

해

설

20   [eqn: ⑤]

답

[eqn: rm {vec{OA}}][eqn: = LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT )], [eqn: rm {vec{OB}}][eqn: = LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT )], [eqn: rm {vec{OC}}][eqn: = LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )], 이므로 [eqn: rm {vec{OP}}][eqn: =a rm {vec{OA}} + it b rm {vec{OB}} +c rm {vec{rm OC}}][eqn: =a LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) +b LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT ) +c LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( a+c,~-a-b,~b+c RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]에서
[eqn: a+c][eqn: =1], [eqn: a+b][eqn: =1], [eqn: b+c][eqn: =1]
각 식을 변끼리 더하면 [eqn: 2 LEFT ( a+b+c RIGHT )][eqn: =3]
[eqn: thereforea+b+c][eqn: = {3} over {2}]

해

설

21   [eqn: ②]

답

주어진 전개도를 이용하여 정육면체를 만들면 오른쪽 그림과 같다.
그림에서 [eqn: rm {bar{AB}} ⫽ {bar{DC}}]이고 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{DC}}]이므로[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{DC}}]이다.

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			정답
	02 공간벡터의 성분과 내적

01   ②

답

[eqn: rm LEFT | {vec{AC}} RIGHT | = {bar{AC}} = sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2}][eqn: rm LEFT | {vec{AC}} RIGHT | = {bar{AG}} = sqrt {1 ^{2} +1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {3}]
이때, [eqn: ANGLE rmCAG= theta]라고 하면 [eqn: cos` theta =rm {{bar{AC}}} over {{bar{AG}}} = {sqrt {2}} over {sqrt {3}}]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AC}} · {vec{AG}} = LEFT | {vec{AC}} RIGHT | LEFT | {vec{AG}} RIGHT | cos`theta= sqrt {2} · sqrt {3} · {sqrt {2}} over {sqrt {3}}]
[eqn: =2]

해

설

02   ①

답

두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 수직이므로
[eqn: {vec{a}} · {vec{b}} =x ^{2} -x-12=0]   [eqn: x=4 LEFT ( BECAUSE x>0 RIGHT )]

해

설

03   ⑤

답

[eqn: {vec{rm AB it}} = {vec{a}} ,~ {vec{rm AC it}} = {vec{b}} ,~ {vec{rm AD it}} = {vec{c}}]라고하면
[eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT | ^{2}][eqn: = LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2} + LEFT | {vec{c}} RIGHT | ^{2} +2 LEFT ( {vec{a}} · {vec{b}} + {vec{a}} · {vec{c}} + {vec{b}} · {vec{c}} RIGHT )][eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | = LEFT | {vec{b}} RIGHT | = LEFT | {vec{c}} RIGHT | =1]이고
[eqn: {vec{a}} · {vec{b}} = {vec{b}} · {vec{c}} = {vec{c}} · {vec{a}} =1·1·cos`60DEG= {1} over {2}]이므로
[eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT | ^{2} =1+1+1+2 LEFT ( {1} over {2} + {1} over {2} + {1} over {2} RIGHT ) =6]
[eqn: therefore LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT | = sqrt {6}]

해

설

04   ①

답

[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{it a rm}} ,~ {vec{AC}} = {vec{it b rm}}]라고 하면 두 벡터[eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: anglermBAC]의 크기와 같다.
[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT ) ,~~ {vec{b}} = LEFT ( 0,~-1,~a+1 RIGHT )]이므로 [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm BAC RIGHT ) =cos`60 DEG = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE sqrt {a ^{2} +2a+2} = sqrt {2}]에서 [eqn: a=0]또는 [eqn: a=-2]
[eqn: therefore0-2=-2]

해

설

05   ①

답

세 점 [eqn: rmO,~H,~B]는 일직선 위에 있으므로 [eqn: {vec{rm OH it}} =t {vec{rm OB it}}] (단, [eqn: t!=0]인 실수)
[eqn: rm {vec{AH}} BOT {vec{OB}}]이므로
[eqn: rm {vec{AH}} · {vec{OB}} =0,~ LEFT ( it `t` rm {vec{OB}} - {vec{OA}} RIGHT ) · {vec{OB}} =0]
[eqn: thereforet=rm {{vec{OA}} · {vec{OB}}} over {LEFT | {vec{OB}} RIGHT | ^{2}}]
[eqn: THEREFORE rm LEFT | {vec{OH}} RIGHT | = LEFT | it `t RIGHT | LEFT | {vec{OB}} RIGHT | = rm {LEFT | {vec{OA}} · {vec{OB}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{OB}} RIGHT |}]                     [eqn: = {2} over {2 sqrt {10}} = {sqrt {10}} over {10}]

해

설

06   ③

답

[eqn: ANGLE rm PCO _{1} = ANGLE rm PCO _{2} = {pi } over {3}]이므로
[eqn: rm LEFT | {vec{PA}} RIGHT | = LEFT | {vec{PB}} RIGHT | = LEFT | {vec{PC}} RIGHT | =4]
두 벡터[eqn: rm {vec{PA}} ,~ {vec{PB}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: 0 LEQ theta LEQ {2} over {3} pi]   [eqn: therefore- {1} over {2} LEQ cos`theta LEQ 1]
[eqn: rm LEFT | {vec{PA}} + {vec{PB}} RIGHT | ^{2} = LEFT | {vec{PA}} RIGHT | ^{2} +2 {vec{PA}} · {vec{PB}} + LEFT | {vec{PB}} RIGHT | ^{2}]                [eqn: =32+32`cos` theta]
[eqn: THEREFORE M+n=8+4=12]

해

설

07   ①

답

두 벡터가 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi} over {3}]이므로 [eqn: cos {pi } over {3} = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |} = {k+4} over {sqrt {14} sqrt {k ^{2} +5}} = {1} over {2}]
연립하여 풀면 [eqn: k=3] 또는 [eqn: k= {1} over {5}]
[eqn: therefore3+ {1} over {5} = {16} over {5}]

해

설

08   ⑤

답

정육면체를 점 [eqn: rmE]를 원점 [eqn: rmO]로 하는 좌표공간 위에 나타내면 [eqn: rm P LEFT ( 0,~2,~3 RIGHT ) ,~Q LEFT ( 3,~1,~3 RIGHT ) ,][eqn: rmR LEFT ( 3,~2,~0 RIGHT )] 두 벡터 [eqn: rm {vec{PQ}}]와 [eqn: rm {vec{PR}}]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: alpha]라고 하면 [eqn: cos` alpha =rm {LEFT | {vec{PQ}} · {vec{PR}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{PQ}} RIGHT | LEFT | {vec{PR}} RIGHT |} = {3 sqrt {5}} over {10}]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm PQR= {1} over {2} LEFT | {vec{PQ}} RIGHT | LEFT | {vec{PR}} RIGHT | sin` alpha = {3 sqrt {11}} over {2}]
[eqn: THEREFORE `cos` theta =rm {TRIANGLE DOG} over {TRIANGLE PQR} = {3 sqrt {11}} over {11}]

해

설

09    (1)[eqn: 5]    (2)[eqn: 2]    (3)[eqn: 3]

답

10    [eqn: 10]

답

11    ②

답

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} = LEFT ( -2,~4,~-4 RIGHT )]이므로 [eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]를 [eqn: {vec{s}}]라고 하면
[eqn: LEFT | {vec{s}} RIGHT | = sqrt {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +4 ^{2} | LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2}} =6]
따라서 구하는 단위벡터 [eqn: vece]는
[eqn: {vec{e}} = {{vec{s}}} over {LEFT | {vec{s}} RIGHT |} = {1} over {6} LEFT ( -2,~4,~-4 RIGHT ) = LEFT ( - {1} over {3} ,~ {2} over {3} ,~- {2} over {3} RIGHT )]
그러므로 모든 성분의 합은
[eqn: - {1} over {3} + {2} over {3} + LEFT ( - {2} over {3} RIGHT ) =- {1} over {3}]

해

설

12    ⑤

답

[eqn: veca]의 방향코사인을 각각 [eqn: cos`theta,`cos`beta,`cos`gamma]라 하면 [eqn: cos`gamma=± {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE {{vec{a}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT |} = LEFT ( cos` alpha ,~cos` beta ,~cos` gamma RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( 1,~ sqrt {2,} ~±1 RIGHT )]

해

설

13    [eqn: x=-6,`y=3]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = LEFT ( -1,~-1,~1 RIGHT ) ,` {vec{CD` rm}} it = LEFT ( -3,~x+3,~y RIGHT ) `]이고[eqn: rm {vec{AB}} ⫽ rm {vec{CD}}]이므로 [eqn: LEFT ( -1,~-1,~1 RIGHT ) =k LEFT ( -3,~x+3,~y RIGHT ) LEFT ( k!=0 RIGHT )]

해

설

따라서 [eqn: l= {-1} over {-3} = {-1} over {x+3} = {1} over {y}]에서 [eqn: x=-6,`y=3]

14   [eqn: 1]

답

[eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{a}} ,` {vec{rm AC it}} it = {vec{b}} ,` rm {vec{AD}} it = {vec{c}}]로 놓으면 [eqn: rm {vec{PQ}} it = {1} over {2} {vec{b}}]
[eqn: rm {vec{PR}} = {vec{AR }} - {vec{AP}} it= {1} over {2} LEFT ( {vec{ b } + {vec{ c }} RIGHT ) - {1} over {2} {vec{ b}}][eqn: THEREFORE rm {vec{PQ}} · {vec{PR}} it = {1} over {2} {vec{b}} · LEFT { {1} over {2} LEFT ( {vec{b}} + {vec{c}} RIGHT ) - {1} over {2} {vec{a}} RIGHT }]                          [eqn: it = {1} over {4} LEFT ( {vec{b}} · {vec{b}} + {vec{b}} · {vec{c}} - {vec{b}} · {vec{a}} RIGHT )]                             [eqn: it = {1} over {4} (2 ^{2} TIMES cos`0 DEG +2 ^{2} cos`60 DEG]                       [eqn: it -2 ^{2} TIMES cos`60 DEG )]

해

설

[eqn: it = {1} over {4} LEFT ( 4+2-2 RIGHT ) `=1]

15  [eqn: 30DEG]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = LEFT ( 2,~-3,~1 RIGHT ) ,` {vec{AC}} = LEFT ( 5,~-4,~1 RIGHT )]이므로 [eqn: rm LEFT | {vec{AB}} RIGHT | = sqrt {14} ,` LEFT | {vec{AC}} RIGHT | = sqrt {42} ,`` {vec{AB}} · {vec{AC}} =21]
따라서[eqn: cos` LEFT ( ANGLE rm BAC RIGHT ) = {{vec{AB}} · {vec{AC}}} over {LEFT | {vec{AB}} RIGHT | LEFT | {vec{AC}} RIGHT |} = {sqrt {3}} over {2}]이므로 [eqn: ANGLE rm BCC=30DEG]

해

설

16  [eqn: LEFT ( 2,~-2,~1 RIGHT ) ,` LEFT ( -2,~2,~-1 RIGHT )]

답

구하는 벡터를 [eqn: {vec{c}} = LEFT ( c,~y,~z RIGHT )]로 놓으면
[eqn: {vec{a}} BOT {vec{c}}]에서 [eqn: {vec{a}} `·` {vec{c}} =x+2x+2z=0~cdotscdots㉠]
[eqn: {vec{b}} BOT {vec{c}}]에서 [eqn: {vec{b}} `·` {vec{c}} =-4x-3y+2z=0~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: LEFT | {vec{c}} RIGHT | =3]에서 [eqn: LEFT | {vec{c}} RIGHT | ^{2} =x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9`cdotscdots㉢]
[eqn: ㉠,`㉡,`㉢]을 연립하여 풀면
[eqn: x=±2,`y= -+ 2,`z=±1](복부호동순)
[eqn: THEREFORE {vec{c}} = LEFT ( 2,~-2,~`1 RIGHT )] 또는[eqn: {vec{c}} = LEFT ( -2,~2,~-`1 RIGHT )]

해

설

17   [eqn: LEFT ( 40t-270,`40t-270,`130 RIGHT )]

답

[eqn: LEFT | {vec{u}} RIGHT | = sqrt {3} , LEFT | {vec{v}} RIGHT | = sqrt {2}]이므로 [eqn: 10]초까지는 [eqn: 1]초 동안 [eqn: 13 LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]만큼, [eqn: 10]초 후부터는 [eqn: 1]초 동안 [eqn: 40 LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT )]만큼 움직였다.
따라서[eqn: t>10]일 때 출발한 지 [eqn: t]초 후의 위치벡터[eqn: vecq]는 [eqn: {vec{q}} =13·10· LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT ) +40· LEFT ( t-10 RIGHT ) · LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT )]        [eqn: = LEFT ( 40t-270,`40t-270,``30 RIGHT )][eqn: #]

해

설

18   ③

답

[eqn: rm {vec{FD}} + {vec{BH}} = {vec{OD}} - {vec{OF}} + {vec{OH}} - {vec{OB}}][eqn: = LEFT ( 0,~4,~0 RIGHT ) - LEFT ( 4,~0,~4 RIGHT ) - LEFT ( 4,~0,~0 RIGHT ) = LEFT ( -8,~8,~0 RIGHT )]
따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 0]이다.

해

설

19   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: 1]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 1]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {vec{a}} · {vec{b}} = LEFT ( 1,~3 RIGHT ) · LEFT ( -2,~1 RIGHT )]
[eqn: =1 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) +3 TIMES 1]
[eqn: =-2+3=1]
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {vec{a}} · {vec{b}} = LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT ) · LEFT ( 0,~-1,~1 RIGHT )]
[eqn: =1 TIMES 0+1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) +2 TIMES 1]
[eqn: =0-1+2=1]

해

설

20   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: 45DEG]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 120DEG]

답

[eqn: cos` theta = {{vec{a}} · {vec{b}}} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT |}]이므로
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: cos` theta = {3 TIMES 1+1 TIMES 2} over {sqrt {3 ^{2} +1 ^{2} sqrt {1 ^{2} +2 ^{2}}}} = {5} over {sqrt {50}} = {1} over {sqrt {2}}]
[eqn: thereforetheta=45DEG]
[eqn: cos` theta = {1 TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) +0 TIMES 2+1 TIMES 0} over {sqrt {1 ^{2} +0 ^{2} +1 ^{2} sqrt {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2} +0 ^{2}}}}]             [eqn: = {-2} over {sqrt {16}} =- {1} over {2}]
[eqn: thereforetheta=120DEG]

해

설

21   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: 2]  [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 0]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: TRIANGLE rmABC]가 정삼각형이므로 [eqn: rmvecAB]와 [eqn: rm {vec{AC}}]가 이루     는 각의 크기는 [eqn: 60DEG]이다.
[eqn: THEREFORE rm {vec{AB}} ⦁ {vec{AC}} = LEFT | rm {vec{AB}} RIGHT | LEFT | rm {vec{AC}} RIGHT | TIMES cos`60 DEG]             [eqn: =2 TIMES 2 TIMES {1} over {2} =2]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]정사면체의 꼬인 위치에 있는 두 모서리 [eqn: rmAB]와     [eqn: rmCD]는 서로 수직이므로
[eqn: rm {vec{AB}} ⦁ {vec{CD}} = LEFT | rm {vec{AB}} RIGHT | LEFT | rm {vec{CD}} RIGHT | TIMES cos`90 DEG]               [eqn: =2 TIMES 2 TIMES 0=0]

해

설

22   [eqn: {sqrt {30}} over {6}]

답

[eqn: rm {vec{BA}} = {vec{OA}} - {vec{OB}} = LEFT ( 1,~1,~0 RIGHT ) - LEFT ( 2,~-1,~1 RIGHT )]            [eqn: = LEFT ( -1,~2,~-1 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{BC}} = {vec{OC}} - {vec{OB}} = LEFT ( 0,~3,~1 RIGHT ) - LEFT ( 2,~-1,~1 RIGHT )]            [eqn: = LEFT ( -2,~4,~0 RIGHT )]이므로

해

설

[eqn: cos` theta =rm {{vec{BA}} · {vec{BC}}} over {LEFT | {vec{BA}} RIGHT | LEFT | {vec{BC}} RIGHT |} = {10} over {sqrt {6} sqrt {20}} = {sqrt {30}} over {6}]

23   [eqn: ②]

답

해

설

[eqn: rm {vec{AB}} = rm {vec{OB}} - rm {vec{OA}}][eqn: = LEFT ( 3,~0,~-1 RIGHT ) - LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 2,~-1,~-3 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AC}} = rm {vec{OC}} - rm {vec{OA}}][eqn: = it LEFT ( x,~x+1,~2-x RIGHT ) - LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( x-1,~x,~-x RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AB}} BOT rm {vec{AC}}]이므로 [eqn: rm {vec{AB}} ⦁ rm {vec{AC}} =0]
[eqn: 2 LEFT ( x-1 RIGHT ) -x+3x=0]
[eqn: thereforex= {1} over {2}]

24   [eqn: -3]

답

점 [eqn: rmE]를 원점, 직선[eqn: rmEF], 직선[eqn: rmEH,] 직선[eqn: rmEA]를 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축으로 하는 좌표공간을 생각하면
[eqn: rm {vec{AC}}][eqn: =rm {vec{OC}} - {vec{OA}}][eqn: = LEFT ( 1,~2,~1 RIGHT ) - LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{DF}}][eqn: = rm {vec{OF}} - {vec{OD}}][eqn: = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT ) - LEFT ( 0,~2,~1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT )]
[eqn: therefore][eqn: rm {vec{AC}} · {vec{DF}}][eqn: = LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT ) · LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT )][eqn: =-3]

해

설

25  [eqn: ⑤]

답

[eqn: {vec{a}} · {vec{b}}][eqn: =0]에서 [eqn: x LEFT ( 2-x RIGHT ) + LEFT ( y+1 RIGHT ) LEFT ( 3-y RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: therefore LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2}][eqn: =5]
따라서 구하는 자취의 넓이는 [eqn: 5pi]이다.

해

설

26   [eqn: ②]

답

직선 위의 임의의 점을 [eqn: rm P LEFT ( itt,~-t-1,~2t+1~ RIGHT )]로 놓으면
[eqn: rmbarOP][eqn: = sqrt {t ^{2} + LEFT ( -t-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2t+1 RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {6t ^{2} +6t+2}][eqn: sqrt {6 LEFT ( t+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {1} over {2}}]
따라서 [eqn: rmbarOP]의 최솟값은                   [eqn: t=- {1} over {2}]일 때 [eqn: sqrt {{1} over {2}}][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]이다.

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			정답
	03 직선의 방정식

01   ④

답

주어진 직선의 방정식은 [eqn: y=1,~x-2= {z+1} over {-5}]
이 직선이 점 [eqn: LEFT ( 0,~1,`~a RIGHT )]를 지나므로
[eqn: -2= {a+1} over {-5}]      [eqn: thereforea=9]

해

설

02   ①

답

주어진 직선의 방정식은 [eqn: {x-1} over {-1} = {x+2} over {2} = {z-1} over {2}]
이 직선이 [eqn: xy]평면과 만나는 점의 [eqn: z]좌표는 항상
[eqn: 0]이므로 [eqn: z=0]을 대입하면 [eqn: x= {3} over {2} ,~y=-3]
따라서 [eqn: rmP LEFT ( {3} over {2} ,~-3,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: a+b+c=- {3} over {2}]

해

설

03  ④

답

두 점 [eqn: rmA,~B]를 지나는 직선의 방정식은
[eqn: {x-2} over {2} = {x+1} over {5} = {z-3} over {-3}]
이 직선이 점 [eqn: rm C it LEFT ( a,~b,~6 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: therefore {a-2} over {2} = {b+1} over {5} =-1]
[eqn: thereforea=0,~b=-6]
[eqn: thereforea-b=0- LEFT ( -6 RIGHT ) =6]

해

설

04   ⑤

답

[eqn: l] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]와 점 [eqn: rm A it LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]에 대하여 대칭인 직선 [eqn: l'] 위의 점을 [eqn: rm P prime it LEFT ( x prime ,~y prime ,~z prime RIGHT )]이라고 하면
[eqn: x=2-x',~y=4-y',~z=6-z']
[eqn: THEREFORE l prime : {x-1} over {3} =y-5= {z-7} over {4}]

해

설

05   ④

답

직선 [eqn: l]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT )], 직선 [eqn: m]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{2}}} = LEFT ( 1,~3,~-2 RIGHT )]이므로
[eqn: cos` theta = {LEFT | {vec{u}} _{1} · {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |} = {1} over {2}]  [eqn: thereforetheta=60DEG]

해

설

06   ①

답

두 직선 [eqn: l _{1} ,~l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}]라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 1,~-2,~6 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( a,~2,~-b RIGHT )]
[eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}]가 평행하므로 [eqn: {1} over {a} = {-2} over {2} = {6} over {-b}]
[eqn: thereforeab=-6]

해

설

07   ②

답

[eqn: x=2t-1,~y=3t+2,~z=-t]로 놓으면
[eqn: rm {bar{AP}} ^{2} = LEFT ( it x-5 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =14 LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2} +24]
따라서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: rm barAP]는 최소이므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: rmP LEFT ( 1,~5,~-1 RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a+b-c]
[eqn: thereforex+y+z=5]

해

설

08   ②

답

[eqn: x= {y} over {2} = {z} over {3} =t,~x-1= {y-1} over {3} = {z-2} over {4} =s]로 놓으면 두 직선 위의 점은 각각 [eqn: LEFT ( t,~2t,~3t RIGHT ) ,~ LEFT ( s+1,~3s+1,~4s+2 RIGHT ) ~]이므로 [eqn: t=s+1,~2t=3s+1,~3t=4s+2]
[eqn: thereforet=2,~s=1]
따라서 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~4,~6 RIGHT )]이므로 [eqn: a+b-c=2+4-6=0]

해

설

09   ②

답

직선 [eqn: {x-3} over {a} =1-y= {z+3} over {b}]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( a,~-1,~b RIGHT )]
직선 [eqn: x=y=-z]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~1,~-1 RIGHT )]
직선 [eqn: x+2=y-2= {z-1} over {c}]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~1,~c RIGHT )]
[eqn: {a} over {1} = {-1} over {1} = {b} over {-1}]에서 [eqn: a=-1,~b=1,~ {vec{u}} · {vec{u}} =a-1+bc=0]에서 [eqn: c=2]
[eqn: a+b+c=2]

해

설

10   ⑤

답

[eqn: rm {vec{OA}} · {vec{OB}} = it r ^{2} `cos` theta ,~]                     [eqn: rm LEFT | {vec{OB}} - {vec{OA}} RIGHT | ^{2} = it r ^{2} LEFT ( t-cos` theta RIGHT ) ^{2} +r ^{2} `sin ^{2`} theta]
따라서 [eqn: rm LEFT | {vec{OB}} - it t {vec{rm OA it}} RIGHT |]는 [eqn: t=cos`theta]일 때, 최소이고, 최솟값은 [eqn: r`sin`theta]이다.
[eqn: thereforea+b=r`sin`theta+cos`theta]

해

설

11   ④

답

주어진 직선의 방정식은 [eqn: {x-2} over {sqrt {3}} = {y+1} over {1} = {z-3} over {-1}]이고, 이직선이 [eqn: xy]평면과 만나는 것은 [eqn: z=0]일 때이므로
[eqn: {x-2} over {sqrt {3}} = {y+1} over {1} =3]  [eqn: thereforea+b+c= LEFT ( 2+3 sqrt {3} RIGHT ) +2+0=4+3 sqrt {3}]

해

설

12   ⑤

답

[eqn: l: {x-1} over {3} =y-2=-z+1=t]([eqn: t]는 실수)라고 하면 [eqn: rm H LEFT ( it3t+1,~t-2,~-t+1 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AH}} = {vec{OH}} - {vec{OA}} = LEFT ( it 3t+2,~t+1,~-t-4 RIGHT )]
직선 [eqn: l] 의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 3,~1,~-1 RIGHT )]이고
[eqn: rm {vec{AH}} BOT {vec{itu}}]이므로 [eqn: {vec{rmAH}} · {vec{u}} =0]에서
[eqn: 3 LEFT ( 3t+2 RIGHT ) +t+1+t+4=0]  [eqn: thereforet=-1]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AH}} LEFT ( -1,~0,`-3 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AH}} = sqrt {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +0 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {10}]

해

설

13   ④

답

주어진 직선의 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~3,~-1 RIGHT )]
[eqn: z]축의 방향벡터는 [eqn: {vec{u _{2}}} = LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {LEFT | {vec{u _{1}}} · {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |} = {sqrt {14}} over {14}]

해

설

14   [eqn: 4 sqrt {2}]

답

[eqn: rm P LEFT ( it t+1,~t+2,~t RIGHT ) ,~rmQ LEFT ( it s+2,~s-5,~-s+3 RIGHT ) ~]에 대하여 [eqn: rm {vec{PQ}} = LEFT ( its-t+1,~s-t-7,~-s-t-3 RIGHT )]
직선 [eqn: l]과 [eqn: rm {vec{PQ}}]가 서로 수직이므로 [eqn: s-3t-3=0]
직선 [eqn: m]과 [eqn: rm {vec{PQ}}]가 서로 수직이므로 [eqn: 3s-t-9=0]
두 식을 연립하여 풀면 [eqn: s=3,~t=0]
따라서 [eqn: rm {vec{PQ}} = LEFT ( 4,~-4,~0 RIGHT )]이므로 구하는 길이는
[eqn: rm LEFT | {vec{PQ}} RIGHT | =4 sqrt {2}]

해

설

15   ①

답

[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{OB}} - {vec{AB}} = LEFT ( 0,~2,~1 RIGHT ) - LEFT ( 2,~1,~0 RIGHT )]                        [eqn: = LEFT ( -2,`1,~1 RIGHT )]
따라서 직선 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]에 대하여
[eqn: {x-2} over {-2} = {y-1} over {1} = {z-0} over {1}]
[eqn: therefore {x-2} over {-2} =y-1=z]

해

설

16   ①

답

점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT )]에서 주어진 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면 [eqn: x+1= {y-1} over {2} =2-z=t]에서
[eqn: rm H` it LEFT ( t-1,~2t+1,~2-t RIGHT )]로 놓을 수 있다.
[eqn: rm {vec{AH}} ` it LEFT ( t-1,~2t-1,~2-t RIGHT )]와 주어진 직선의 방향벡터 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~2,~-1 RIGHT )]이 수직이므로
[eqn: rm {vec{AH}} ` it · {vec{u}} = LEFT ( t-2 RIGHT ) +2 LEFT ( 2t-1 RIGHT ) - LEFT ( 2-t RIGHT ) =0`] [eqn: THEREFORE t=1]
따라서 [eqn: rm {vec{AH}} = LEFT ( -1,~1,~1 RIGHT )]에서 [eqn: LEFT | {vec{rmAH}} RIGHT | = sqrt {3}],
[eqn: TRIANGLE rmABC]는 정삼각형이므로 [eqn: rm {bar{AB}} `sin`60 DEG = {bar{rmAH}}]
[eqn: rm {bar{AB}} · {sqrt {3}} over {2} = sqrt {3}]       [eqn: THEREFORE {bar{rmAB}} =2]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm ABC= {sqrt {3}} over {2} times2 ^{2} = sqrt {3}]

해

설

17   [eqn: {x-1} over {3} = {x+2} over {4} = {z-3} over {2}]

답

18   [eqn: x+2y+3z=0]

답

01   [eqn: -45]

답

구하는 직선의 방향벡터는 [eqn: LEFT ( 2,~3,~-1 RIGHT )]이므로 구하는 직선의 방정식은 [eqn: {x-3} over {2} = {y-4} over {3} =- LEFT ( z+5 RIGHT )]
[eqn: thereforeabc3·3· LEFT ( -5 RIGHT ) =-45]

해

설

19   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {z-3} over {3}]    [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: z-1]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]방향벡터가 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 2,~-1~3 RIGHT )]이고 점 [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을     지나므로 [eqn: {x-1} over {2} = {y-2} over {-1} = {z-3} over {3}]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]방향벡터가
[eqn: {vec{u}} = LEFT ( 0,~1,~2 RIGHT ) - LEFT ( -1,~-2,~1 RIGHT ) = LEFT ( 1,~3,~1 RIGHT )]
이고 점 [eqn: LEFT ( -1,~-2,~1 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: x+1= {y+2} over {3} =z-1]

해

설

20   [eqn: p=1,~q=-1,~r=2,~s=4]

답

점 [eqn: rm A`it LEFT ( 0,~p,~q RIGHT )]를 주어진 직선의 방정식에 대입하면
[eqn: {0} over {2} = {p-1} over {3} =q+1]   [eqn: p-1=0,~q+1=0]에서
[eqn: p=1,~q=-1]
점 [eqn: rm B` it LEFT ( r,~s,~0 RIGHT )]을 주어진 직선의 방정식에 대입하면
[eqn: {r} over {2} = {s-1} over {3} =0+1]   [eqn: {r} over {2} =1,~ {s-1} over {3} =1]에서
[eqn: r=2,~s=4]

해

설

21   [eqn: {1} over {6}]

답

두 직선의 방향벡터가 각각
[eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT )]이므로
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {LEFT | {vec{u _{1}}} ⦁ {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |}]                                 [eqn: = {LEFT | LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT ) ⦁ LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}}}]       [eqn: = {LEFT | 2-2+1 RIGHT |} over {sqrt {6} sqrt {6}} = {1} over {6}]

해

설

22   [eqn: 4]

답

두 직선의 방향벡터가 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~k RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 3,~-k+2,~-1 RIGHT )][eqn: {vec{u _{1}}} ⦁ {vec{u _{2}}} =0]에서
[eqn: 2 TIMES 3+1 TIMES LEFT ( -k+2 RIGHT ) +k`times LEFT ( -1 RIGHT ) =0]
[eqn: 6-k+2-k=0]
[eqn: thereforek=4]

해

설

23   [eqn: ⑤]

답

[eqn: x-1=2 LEFT ( y+1=3 LEFT ( 1-z RIGHT ) RIGHT )]의 각 변을 [eqn: 6]으로 나누면
[eqn: {x-1} over {6} = {y+1} over {3} = {z-1} over {-2} ~cdotscdots㉠]
구하는 직선은 [eqn: ㉠]과 평행하므로 그 방향벡터는
[eqn: {vec{u}} = LEFT ( 6,~3,~-2 RIGHT )]이고 원점을 지난다. 즉,
[eqn: {x} over {6} = {y} over {3} = {z} over {-2} ~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉡]의 각 변에서 1을 빼면 [eqn: {x} over {6} -1= {y} over {3} -1= {z} over {-2} -1]
각 변을 통분하면 [eqn: {x-6} over {6} = {y-3} over {3} = {z+2} over {-2}]

해

설

24   [eqn: 10]

답

세 점 [eqn: rmA,~B,~C]가 한 직선 위에 있으므로 [eqn: rm {vec{AC}} = it `t {vec{rm AB it}}]([eqn: t!=0]인 실수)에서
[eqn: LEFT ( a-1,~b-2,~7 RIGHT ) =t LEFT ( 0,~-3,~-3 RIGHT )]
[eqn: thereforea-1=0,~b-2=-3t,~7-3t]
[eqn: thereforea=1,~b=9~~thereforea+b=10]

해

설

25   [eqn: ④]

답

두 직선 [eqn: l _{1} ,~l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}]라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~1 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 1,~2,~-1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {LEFT | {vec{u _{1}}} ⦁ {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |}# ~~~~~~= {LEFT | LEFT ( 2,~1,~1 RIGHT ) ⦁ LEFT ( 1,~2,~-1 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} +1 ^{2} sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}}}# ~~~~~~= {3} over {6} = {1} over {2}]
[eqn: therefore1+tan ^{2} theta=sec ^{2} theta= {1} over {cos ^{2} theta} = {1} over {{1} over {4}} =4]

해

설

26   [eqn: ⑤]

답

두 직선 [eqn: l _{1} ,~l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}} ,~]라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( -2,~3,~1 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 1,~2,~k RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `cos`60 DEG = {LEFT | {vec{u _{1}}} ⦁ {vec{u _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{u _{2}}} RIGHT |}]에서[eqn: {1} over {2} = {LEFT | k+4 RIGHT |} over {sqrt {14} sqrt {k ^{2} +5}}]
양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 5k ^{2} -16k+3=0,~ LEFT ( k-3 RIGHT ) LEFT ( 5k-1 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforek=3] ([eqn: BECAUSE k]는 정수)

해

설

27   [eqn: ③]

답

두 직선 [eqn: l _{1,~} l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}] 라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~m RIGHT ) ,~~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( n,~3,~1 RIGHT ) ~]
[eqn: {vec{u _{1}}} ⫽ {vec{u _{2}}}]이므로 [eqn: {vec{u _{2}}} =t {vec{u _{1}}}](단, [eqn: t!=0]인 실수)에서
[eqn: LEFT ( n,~3,~1 RIGHT ) =t LEFT ( 2,~1,~m RIGHT )]
[eqn: therefore {cases{m=2t&#eqalign{3=t# 1=mt}&}}]
이것을 풀면 [eqn: m= {1} over {3} ,~n=6]
[eqn: therefore3m+2n=3times {1} over {3} +2times6=13]

해

설

28  [eqn: ④]

답

두 직선 [eqn: l _{1,~} l _{2}]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} ,~ {vec{u _{2}}}] 라고 하면 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 2,~3,~k+1 RIGHT ) ,~~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( k,~-1,~2 RIGHT ) ~]
[eqn: {vec{u _{1}}} · {vec{u _{2}}} =0]에서 [eqn: LEFT ( 2,~3,~k+1 RIGHT ) · LEFT ( k,~-1,~2 RIGHT ) =0~]
[eqn: 2k+ LEFT ( -3 RIGHT ) +2 LEFT ( k+1 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforek= {1} over {4}]

해

설

29   [eqn: ③]

답

[eqn: x]축의 방향벡터가 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: x]축에 평행한 직선의 방향벡터도 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT )]이다.
또, 점 [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: {x-1} over {1} = {y-2} over {0} = {z-3} over {0}]
분모가 [eqn: 0]이면 분자도 [eqn: 0]으로 생각하여 구하는 직선의 방정식은 [eqn: y=2,~z=3] ([eqn: x]는 임의의 실수)

해

설

30   [eqn: 6]

답

[eqn: x=y-1=1-z=t]([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: rm P LEFT ( itt,~t+1,~-t+1 RIGHT )]로 놓을 수 있다.
[eqn: {x} over {2} = {y+1} over {3} = {z-1} over {-2} =s]([eqn: s]는 실수)로 놓으면
[eqn: rm P LEFT ( it 2s,~3s-1,~-2s+1 RIGHT )]로 놓을 수 있다.
[eqn: ㉠,~㉡]에서
[eqn: t=2s,~`t+1=3s-1,~-t+1=-2s+1]이므로 [eqn: t=4,~s=2] [eqn: ㉠]에서 [eqn: rmP LEFT ( 4,~5,~-3 RIGHT )]이므로
[eqn: a+b+c=4+5+ LEFT ( -3 RIGHT ) =6]

해

설

31   [eqn: 6]

답

직선 [eqn: rmEF,`EH,`EA]를 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축으로 하는 좌표공간을 도입하면 [eqn: rm A LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT ) ,~G LEFT ( 2,~2,~0 RIGHT ) ,][eqn: rmB LEFT ( 2,~0,~1 RIGHT ) ,~H LEFT ( 0,~2,~0 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AG}} = LEFT ( 2,~2,~0 RIGHT ) - LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT ) = LEFT ( 2,~2,~-1 RIGHT ) ,][eqn: rm {vec{BH}} = LEFT ( 0,~2,~0 RIGHT ) - LEFT ( 2,~0,~1 RIGHT ) = LEFT ( -2,~2,~-1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `cos theta = {LEFT | LEFT ( 2,~2,~-1 RIGHT ) · LEFT ( -2,~2,~-1 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {4+4+1} sqrt {4+4+1}} = {1} over {9}]

해

설

32   [eqn: 4]

답

세 직선 [eqn: l _{1} ,~l _{2,~} l]의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 1,~-1,~-1 RIGHT ) ,~ {vec{u _{2}}} = LEFT ( 3,~-5,~1 RIGHT ) ,][eqn: {vec{u}} = LEFT ( 3,~p,~q RIGHT )]라고 하면 [eqn: {vec{u}} · {vec{u _{1}}} =0]에서 [eqn: 3-p-q=0], [eqn: {vec{u}} · {vec{u _{2}}} =0]에서 [eqn: 9-5p+q=0]
이를 연립하여 풀면 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT )]이고 [eqn: {x+1} over {3} = {y} over {2} = {z-1} over {1}]에서 [eqn: p=2,~q=1,~r=1]
[eqn: thereforep+q+r=4]

해

설

33   [eqn: 2 sqrt {30} rmm]

답

해

설

정호의 위치를 원점으로 놓고, 두 지점을 좌표로 나타내면 [eqn: rm A LEFT ( 10,~10,~0 RIGHT ) ,`B LEFT ( -10,~10,~0 RIGHT ) `]
직선 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: {x-10} over {-20} = {z} over {10} ,`y=10]
직선 [eqn: rmAB]위의 점을 [eqn: rm P LEFT ( -20t+10,~10,~10t RIGHT )]라고 하면 [eqn: LEFT | {vec{rm OP it}} RIGHT | ^{2} = LEFT ( -20t+10 RIGHT ) ^{2} +10 ^{2} + LEFT ( 10t RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =500 LEFT ( t- {2} over {5} RIGHT ) ^{2} +120]
따라서 [eqn: rmbarOP]는 [eqn: t= {2} over {5}]일 때 최솟값 [eqn: 2 sqrt {30}]을 가진다. 그러므로 [eqn: LEFT ( 2,~10,~4 RIGHT )]인 지점일 때, [eqn: 2 sqrt {30} rm m]로 가장 가깝다.

34   [eqn: ④]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = it LEFT ( b-1,~4,~4-a RIGHT ) ,` {vec{u}} = LEFT ( 2,~4,~1 RIGHT )]에서 [eqn: rm ` {vec{AB}} rm ⫽ it {vec{u}}]이므로 [eqn: rm {vec{AB}} = it `t it {vec{u}}]([eqn: t!=0]인 실수)에서 [eqn: LEFT ( b-1,~4,~4-a RIGHT ) =t LEFT ( 2,~4,~1 RIGHT )]
[eqn: thereforet=1,~a=3,~b=3]
또, 직선[eqn: {x+1} over {2} = {y+c} over {4} = {z+d} over {1}]가               점[eqn: rm A LEFT ( 1,~-1,~3 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: c=5,~a=-2]
[eqn: thereforea+b+x+d=3+3+5+ LEFT ( -2 RIGHT ) =9]

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		3. 공간벡터			정답
	04 평면과 구의 방정식

01  ⑤

답

[eqn: {x-2} over {6} = {y-2} over {2} = {1-z} over {3}]의 방향벡터
[eqn: {vec{u}} = LEFT ( 6,~2,~-3 RIGHT )]은 구하는 평면의 법선벡터이므로
[eqn: 6 LEFT ( x-1 RIGHT ) +2 LEFT ( y-2 RIGHT ) -3 LEFT ( z-3 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore6x+2y-3z-1=0]
[eqn: thereforea+b+c=6+2-3=5]

해

설

02  ①

답

구하는 평면은 점 [eqn: rm LEFT ( -2,~3,~1 RIGHT )]을 지나고
벡터 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~1,~-1 RIGHT )]을 법선벡터로 가지므로
[eqn: 1· LEFT ( x+2 RIGHT ) +1· LEFT ( y-3 RIGHT ) -1· LEFT ( z-1 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE x+y-z=0]

해

설

03  ③

답

두 평면의  법선벡터는 각각 [eqn: LEFT ( 1,~2,~-3 RIGHT ) ,~ LEFT ( 2,~-3,~1 RIGHT )]이므로 두평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면
[eqn: cos` theta = {LEFT | 1·2+2· LEFT ( -3 RIGHT ) + LEFT ( -3 RIGHT ) ·1 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} sqrt {2 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}}}}]       [eqn: = {1} over {2}]
따라서 구하는 예각의 크기는 [eqn: theta= {pi} over {3}]

해

설

04  ②

답

두 평면은 서로 평행하므로 최단 거리 [eqn: d]는
[eqn: d= {LEFT | a· {1} over {a} +b· {1} over {b} +c· {1} over {c} -1 RIGHT |} over {sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}}} = {2} over {sqrt {4}} =1]

해

설

05   ①

답

중심이 [eqn: rm C LEFT ( 1,~-2,~3 RIGHT ) ,`~]반지름의 길이가 [eqn: 3]인 구이다. 점 [eqn: rmP]에서 접하는 평면을 [eqn: alpha]라 하고, 평면 [eqn: alpha] 위의 임의의 점을 [eqn: rm X LEFT ( itx,~y,~z RIGHT )]라고 하면 [eqn: rm {vec{CP}} · {vec{PX}} =0]이므로
[eqn: rm {vec{CP}} · {vec{PX}} = LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT ) · LEFT ( itx-2,~y,~z-5 RIGHT )]
[eqn: =x-2+2y+2z-10=0]
[eqn: thereforea:x+2y+2x=12]

해

설

06  ③

답

구의 중심 [eqn: LEFT ( 3,~2,~-1 RIGHT )]에서 평면까지의 거리는 [eqn: 2]이므로 원 [eqn: rmC]의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {3 ^{2} -2 ^{2}} = sqrt {5}]
원 [eqn: rmC]의 넓이는 [eqn: 5pi]
한편, [eqn: xy]평면과 평면 [eqn: x+2y-2z=3]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: cos`theta]=[eqn: {2} over {3}]
따라서 정사영의 넓이는 [eqn: 5 pi `cos` theta =5pitimes {2} over {3} = {10} over {3} pi]

해

설

07  ⑤

답

구의 중심인 원점 [eqn: rmO]와 구 위의 점 [eqn: rmP LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]을 잇는 선분이 구하는 평면과 수직이므로 구하는 평면의 법선벡터는 [eqn: {vec{rmOP}} = LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]이다. 따라서 평면의 방정식은
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) + LEFT ( y-1 RIGHT ) + LEFT ( z-1 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex+y+z-3=0]

해

설

08  ③

답

해

설

[eqn: rm {bar{AM}} = {bar{CM}}]이고 [eqn: rm {bar{AM}}]과 평면 [eqn: alpha]의 법선벡터 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~2,~2 RIGHT )]가 평행하므로 [eqn: rm {vec{AM}} =it`t {vec{n}}]
[eqn: THEREFORE rm {vec{OM}} = {vec{OA}} + it LEFT ( t,~2t,~2t RIGHT )]                     [eqn: = LEFT ( t+3,~2t+4,~2t+5 RIGHT )]
그런데 [eqn: rmM]은 평면 [eqn: alpha] 위의 점이므로 [eqn: x+2y+2z=3]에 대입하면
[eqn: t+3+2 LEFT ( 2t+4 RIGHT ) +2 LEFT ( 2t+5 RIGHT ) =3]  [eqn: thereforet=-2,~rmM LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )]
[eqn: rmM]이 [eqn: rmbarAC]의 중점이므로
[eqn: {3+a} over {2} =1,~ {4+b} over {2} =0,~ {5+c} over {2} =1]
[eqn: thereforea-b-c=-1+4+3=6]

09   ③

답

평면 [eqn: alpha]의 법선벡터는 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~-2,~2~ RIGHT )]이고 점 [eqn: LEFT ( -2,~1,~-1 RIGHT )]을 지나므로 평면의 방정식은 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) -2 LEFT ( y-1 RIGHT ) +2 LEFT ( z+1 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex-2y+2z+6=0]
원점에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 길이를 [eqn: d]라고 하면
[eqn: d= {LEFT | 6 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}} = {6} over {3} =2]

해

설

10   ①

답

직선 [eqn: l:x=y=z] 위의 점 [eqn: rmE LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]을 지나고 [eqn: l]에 수직인 평면 [eqn: x+y+z=3]과 좌표축과의 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 [eqn: rmD]라고 하면 오른쪽 그림에서
[eqn: rm {LEFT | {vec{OP prime }} RIGHT |} over {LEFT | {vec{OP}} RIGHT |} = {LEFT | {vec{OE}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{OQ}} RIGHT |} = {sqrt {3}} over {LEFT | {vec{OQ}} RIGHT |} GEQ {sqrt {3}} over {LEFT | {vec{OA}} RIGHT |} = {sqrt {3}} over {3}]
(단, 동호는 점 [eqn: rmQ]가 삼각형 [eqn: rmD]의 꼭짓점일 때 성립한다.)

해

설

11  ③

답

점 [eqn: rmP]는 직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: pi] 위의 점이므로 [eqn: rmP LEFT ( -3,~5,~10 RIGHT )] 점[eqn: rmA]의 평면 [eqn: pi]에 대한 대칭점을 [eqn: rmA']이라고 하면 [eqn: rm {vec{AA'}} BOT pi,~ {vec{AA'}}]의 중점은 평면 [eqn: pi] 위의 점이므로 [eqn: rmA' LEFT ( -1,~4,~-1 RIGHT )]
반사되는 빛의 직선은 직선[eqn: rmA'P]와 같으므로
[eqn: {x+1} over {-2} =y-4= {z+1} over {11}]   [eqn: thereforea+b+c=10]

해

설

12   ③

답

직선 [eqn: l]의 방향벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 2,~-1,~-1 RIGHT )]과 평면 [eqn: alpha]의 법선벡터 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~-2,~-1 RIGHT )]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: cos`theta= {LEFT | {vec{a}} · {vec{n}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{n}} RIGHT |} = {5} over {6}]
[eqn: l]과 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기는 [eqn: rm {pi} over {2} -theta]이므로 [eqn: 6 TIMES `cos LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =6 TIMES `sin theta =6 TIMES sqrt {1- LEFT ( {5} over {6} RIGHT ) ^{2}}]                   [eqn: = sqrt {11}]

해

설

13   ②

답

구의 중심은 [eqn: rm P LEFT ( 1,~-1,~-1 RIGHT )], 구하는 평면의 법선벡터는 [eqn: rm {vec{PA}} = LEFT ( 1,~1,~-2 RIGHT )]이므로 구하는 평면의 방정식을 [eqn: c+y-2z+d=0]으로 놓으면
[eqn: {LEFT | 1-1+2+d RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} = sqrt {6}] [eqn: therefored=4]또는 [eqn: d=-8]
이때, 점 [eqn: rmA]를 지나는 평면 [eqn: alpha]이 방정식은
[eqn: x+y-2x-8=0]
따라서 구하는 평면의 방정식은
[eqn: x+y-2z+4=0]

해

설

14  [eqn: 8]

답

두 평면 [eqn: alpha,~beta]의 법선벡터를 각각 [eqn: {vec{n _{1}}} ,~ {vec{n _{2}}}]라고 하면 [eqn: {vec{n _{1}}} = LEFT ( 2,~2,~1 RIGHT ) .~ {vec{n _{2}}} = LEFT ( 1,~2,~-2 RIGHT )]
두 평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: cos` theta = {LEFT | {vec{n _{1}}} · {vec{n _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{n _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{n _{2}}} RIGHT |} = {4} over {9}]
이때, [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라고 하면[eqn: S=18]
따라서 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 정사영의 넓이 [eqn: S prime]은 [eqn: S prime =`cos` theta =18 TIMES {4} over {9} =8]

해

설

15  ②

답

점 [eqn: rmH]는 평면 위에 있으므로 [eqn: a+b+c=5]
[eqn: rm {vec{AH}}]가 평면의 법선벡터인 [eqn: LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]과 평행해야 하므로 [eqn: rm {vec{AH}} = rm {vec{OH}} - rm {vec{OA}} = it LEFT ( a+1,~b-2,~c-1 RIGHT )]
[eqn: =k LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]에서
[eqn: a=k-1,~b=k+2,~x=k+1]
[eqn: k-1+k+2+1=5,~k=1]
[eqn: thereforermH LEFT ( 0,~3,~2 RIGHT )]   [eqn: THEREFORE a-b+c=-1]

해

설

16  ③

답

직선의 방향벡터와 평면의 법선벡터를 각각 [eqn: {vec{u}} ,~ {vec{n}}]이라고 하면 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( a,~-1,~3 RIGHT ) ,][eqn: {vec{n}} = LEFT ( 4,~b,~-6 RIGHT )] 직선과 평면이 수직으로 만나면
[eqn: {vec{u}} ⫽ {vec{n}}]이므로 [eqn: {a} over {4} = {-1} over {b} = {3} over {-6}] [eqn: thereforea=-2,~b=2]
[eqn: THEREFORE a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2} =8]

해

설

17  ⑤

답

구의 정사영은 원이고, 정사영의 반지름과 구의 반지름의 길이는 서로 같으므로 정사영의 넓이는 [eqn: 8times8timespi=64pi]

해

설

18  ④

답

구의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,~3,~-1 RIGHT )], 반지름의 길이는 [eqn: 3]이므로 구의 방정식은 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z+1 RIGHT ) ^{2} =9]
[eqn: xy]평면과 만나므로 [eqn: z=0]을 대입하면
[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]
따라서 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2 sqrt {2}]

해

설

19  ③

답

점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~4,~5 RIGHT )]에서 구의 중심 [eqn: LEFT ( 1,~2,~1 RIGHT )]까지의 거리는 [eqn: 2 sqrt {5}] 또한 구의 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {5}]이므로 점 [eqn: rmA]에서 구 위의 점까지의 최단 거리는 [eqn: 2 sqrt {5} - sqrt {5} = sqrt {5}]

해

설

20  ②

답

두 평면의 교선을 포함하는 평면의 방정식은
[eqn: LEFT ( 3x+y+z-4 RIGHT ) +k LEFT ( x-y+z-2 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE LEFT ( 3x+y RIGHT ) x+ LEFT ( 1-k RIGHT ) y+ LEFT ( 1+k RIGHT ) z-4-2k=0]
이 평면의 법선벡터와 주어진 직선의 방향벡터가 평행이므로 [eqn: {3+k} over {1} = {1-k} over {7} = {1+k} over {a}]
[eqn: thereforek=- {5} over {2} ,~a=-3]

해

설

21  ②

답

구의 중심은 원점이므로 점 [eqn: rmA LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]에 접하는 평면의 법선벡터는 [eqn: LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]이 평면이 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]를 지나므로 평면의 방정식은
[eqn: - LEFT ( x+1 RIGHT ) + LEFT ( y-1 RIGHT ) +2 LEFT ( z-2 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex-y-2x+6=0]
따라서 이 평면과 점 [eqn: rm P LEFT ( 4,~2,~1 RIGHT )]사이의 거리는
[eqn: {LEFT | 4-2-2+6 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} = sqrt {6}]

해

설

22  [eqn: 20]

답

해

설

구의 중심은 [eqn: rmC LEFT ( -1,~-1,~-2 RIGHT ) ,`]반지름의 길이는 [eqn: 1]이므로

[eqn: M= rm {bar{AQ}} = rm {bar{AC}} +1][eqn: = sqrt {21} +1,~]

[eqn: m= rm {bar{AR}} = {bar{AC}} -1= sqrt {21} -1]

[eqn: thereforeMm=20]

23  [eqn: -4]

답

평면 [eqn: x+y+z+4=0]의 법선벡터를 방향벡터로 하고 점 [eqn: LEFT ( -1,~1,~2 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은
[eqn: x+1=y-1=z-2]
주어진 수선의 발 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]는 이 직선과 평면의 교점이므로 [eqn: x+1=y-1=z-2=t]와 [eqn: x+y+z+4=0]을 연립하여 풀면 [eqn: t=-2]
[eqn: THEREFORE LEFT ( a,~b,~c RIGHT ) = LEFT ( t-1,~t+1,~t+2 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( -3,~-1,~0 RIGHT ) ~]
[eqn: thereforea+b+c=-4]

해

설

24   ①

답

[eqn: xy]평면 위의 점은 [eqn: LEFT ( x,~y,~0 RIGHT )]의 꼴이므로 점[eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x,~y,~0 RIGHT )]으로 놓으면 [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} = {bar{BC}} ^{2} = {bar{CA}} ^{2}]
[eqn: THEREFORE LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} +1= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-4 RIGHT ) ^{2} +1=6]
[eqn: x+y=5], 즉[eqn: y=5-x]이므로
[eqn: 6= LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 5-x-3 RIGHT ) ^{2} +1,`x ^{2} -3x=0]
[eqn: thereforex=0]또는[eqn: x=3,`]이때[eqn: y=5] 또는[eqn: y=2]
따라서 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~5,~0 RIGHT )] 또는 [eqn: LEFT ( 3,~2,~0 RIGHT )]

해

설

25   [eqn: {112} over {15} pi]

답

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} -2x+6y-4z=0]에서
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-2 RIGHT ) ^{2} =14] 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,~2,~1 RIGHT )]
에 구의 중심 [eqn: rm LEFT ( 1,~-3,~2 RIGHT )]에 이르는 거리 [eqn: d]는
[eqn: d= sqrt {LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2+3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1-2 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {30}]
구의 반지름의 길이는 [eqn: r= sqrt {14}]이므로 접선의 길이 [eqn: l]은 [eqn: l= sqrt {d ^{2} -r ^{2}} =4]이고, 접점을 [eqn: rmP]라 하면 [eqn: TRIANGLE rmAPC]의 넓이에서 [eqn: rl=dh]에서 [eqn: h= {4 sqrt {14}} over {sqrt {30}}]
따라서 구하는 원의 넓이는
[eqn: pih ^{2} =pi· {16·14} over {30} = {112} over {15} pi]

해

설

26    ④

답

구의 방정식을 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-c RIGHT ) ^{2} =5 ^{2}]으로 놓으면 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면으로 자른 단면은 각각[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-b RIGHT ) ^{2} =5 ^{2} -c ^{2} `cdotscdots㉠],
[eqn: LEFT ( y-b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-c RIGHT ) ^{2} =5 ^{2} -a ^{2} ` CDOTS CDOTS ㉡][eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-c RIGHT ) ^{2} =5 ^{2} -b ^{2} ` CDOTS CDOTS ㉢]
이때, 각 원 [eqn: ㉠,`㉡,`㉢]의 반지름의 길이가 각각 [eqn: 2,`3,`4]이므로 [eqn: 5 ^{2} -c ^{2} =2 ^{2} ,`5 ^{2} -a ^{2} =3 ^{2} ,]
[eqn: `5 ^{2} -b ^{2} =4 ^{2}]
따라서 원점에서 구의 중심까지의 거리는 [eqn: sqrt {x ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} = sqrt {46}]

해

설

27   ③

답

구 [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-4 RIGHT ) ^{2} =24]는 중심이 [eqn: rmX LEFT ( -2,~3,~4 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt {6}]이다.
점 [eqn: rmC]에서 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP,`Q,`R]라 하고, [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmS,`T,`U]라 하면 [eqn: rm P LEFT ( -2,~3,~0 RIGHT ) ,`Q LEFT ( 0,~3,~4 RIGHT ) ,`][eqn: rm R LEFT ( -2,~0,~4 RIGHT ) ,`T LEFT ( 0,~3,~0 RIGHT ) ,`U LEFT ( 0,~0,~4 RIGHT )]
이때, [eqn: rm {bar{CP}} it =4<r,` rm {bar{CQ}} it =2<r,` rm {bar{CR}} it =3<r,` rm {bar{CS}} it =5>r,# rm {bar{CT}} it =2 sqrt {5} <r,` rm {bar{CU}} it = sqrt {13} <r,`` rm {bar{CO}} it = sqrt {29} >r]
이므로 6개의 부분을 지난다.

해

설

28    ②

답

두 구 [eqn: rmS _{1`} ,`S _{2}]가 만나서 생기는 원 위의 한 점이 [eqn: rmP]이므로 주어진 식에서 [eqn: y=5] [eqn: rm P`it LEFT ( a,~5,~b RIGHT )]라 하면 점[eqn: rmP']은 점 [eqn: rmP]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영이므로 [eqn: rm {bar{PP prime }} `= LEFT | itb RIGHT |], [eqn: V= {1} over {3} TRIANGLE rm QP prime R· rm {bar{PP prime }} `=3 it LEFT | a RIGHT | LEFT | b RIGHT |][eqn: =3 LEFT | ab RIGHT |]이고 [eqn: LEFT | ab RIGHT | <=28]에서 부피의 최댓값은 [eqn: 84]이다.

해

설

29   [eqn: 2]

답

30   ①

답

[eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향과 각각 [eqn: 60 DEG ,`45 DEG ,60 DEG]의 가을 이루는 단위벡터를 [eqn: {vec{u}}]라 하면 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( cos`60 DEG ,~cos`45 DEG ,~cos`60 DEG RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} , {1} over {sqrt {2}} ,` {1} over {2} RIGHT )]
따라서 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,~2,~3 RIGHT )]을 지나고 [eqn: {vec{u}}]에 평행인 직선의 방정식은
[eqn: {x+1} over {{1} over {2}} = {y-2} over {{1} over {sqrt {2}}} = {z-3} over {{1} over {2}} ~~ THEREFORE x+1= {y-2} over {sqrt {2}} =z-3]
직선 [eqn: ㉠]이 [eqn: xy]평면과 만나므로 [eqn: z=0]을 대입하면
[eqn: x=-4,`y=2-3 sqrt {2}]
따라서 구하는 좌표의 합은 [eqn: -2-3 sqrt {2}]

해

설

31   ④

답

평면 [eqn: alpha]와 직선 [eqn: l:x-1= {y-2} over {-2} = {z-3} over {3}]이 수직이므로 평면 [eqn: alpha]의 법선벡터는 [eqn: {vec{h}} = LEFT ( 1,~-2.~3 RIGHT )]이고, 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )]을 지나므로 평면 [eqn: alpha]의 방정식은
[eqn: 1 LEFT ( x-1 RIGHT ) + LEFT ( -2 RIGHT ) · LEFT ( y-2 RIGHT ) +3 LEFT ( z-3 RIGHT ) =0~~][eqn: THEREFORE x-2y+3z-6=0]
[eqn: m:x-2=y= {z-6} over {5} =t]라 하면 직선 [eqn: m]위의 임의의점은 [eqn: LEFT ( t+2,~t,~5t+6 RIGHT )]
직선 [eqn: m]위의 점 [eqn: rmB]가 평면 [eqn: alpha]위에 있으므로
[eqn: LEFT ( t+2 RIGHT ) -2t+3 LEFT ( 5t+6 RIGHT ) -6=0.`14t+14=0~~# THEREFORE t=-1]
[eqn: thereforermB LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE {vec{rmAB}} `= sqrt {LEFT ( 1-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1-3 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {13}]

해

설

32   [eqn: {sqrt {65}} over {3}]

답

평면 [eqn: alpha]의 방정식은 [eqn: 2x+2y+z=2]이므로, 평면과 직선이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos`theta= {sqrt {65}} over {9}]
따라서 구하는 정사영의 길이는

해

설

[eqn: rm {vec{AP`}} `cos` theta = {sqrt {65}} over {3}]

33   ④

답

주어진 평면의 법선벡터를 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 2,~-1,~2 RIGHT )]라 하고, [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT ) ,` {vec{u _{2}}} = LEFT ( 0,~1,~0 RIGHT ) ,` {vec{u _{3}}} = LEFT ( 0,~0,~1` RIGHT ) `]로 놓으며
[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} - alpha RIGHT ) =sin` alpha = {{vec{u}} `·` {vec{v _{1}}}} over {LEFT | {vec{u}} ` RIGHT | LEFT | {vec{v _{1}}} RIGHT |}# = {2} over {sqrt {4+1+4 sqrt {1}}} = {2} over {3}]
같은 방법으로 [eqn: sin`beta=- {1} over {3} ,`sin`gamma= {2} over {3}]
[eqn: THEREFORE `cos ^{2} alpha +cos ^{2} beta +cos ^{2} gamma][eqn: = LEFT ( 1-sin ^{2} alpha RIGHT ) + LEFT ( 1-sin ^{2} beta RIGHT ) + LEFT ( 1-sin ^{2} gamma RIGHT )]
[eqn: =3- LEFT ( {4} over {9} + {1} over {9} + {4} over {9} RIGHT ) =3-1=2]

해

설

34   ④

답

구에 접하는 평면의 법선벡터 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 2,~-1,~2 RIGHT )]와 [eqn: x]축 방향의 기본벡터 [eqn: vece _{1} = LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT )]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta']이라 하면
[eqn: cos theta prime {{vec{n}} ``·` {vec{e _{1}}}} over {LEFT | {vec{n}} RIGHT | LEFT | {vec{e _{1}}} RIGHT |} = {2} over {3} ~~~ THEREFORE sin` theta =cos` theta prime = {2} over {3}]

해

설

35   ④

답

평면의 법선벡터는 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~2,~-2 RIGHT )], 직선의 방향벡터는 [eqn: {vec{n}} = LEFT ( 1,~-4,~1 RIGHT )]이므로 구하는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) =sin` theta = {{vec{u}} `· {vec{n}}} over {LEFT | {vec{u}} RIGHT | LEFT | {vec{n}} RIGHT |} = {sqrt {2}} over {2}]

해

설

36   ③

답

오른쪽 그림과 같이 접하는 구의 단면을 생각하면 두 평면 [eqn: alpha,`beta]에 동시에 접하는 구의 지름의 길이는 평행한 두 평면 [eqn: alpha,`beta] 사이의 거리 [eqn: d]와 같다. 평면 [eqn: alpha] 위의 한 점 [eqn: LEFT ( 0,~0,~-1 RIGHT )]에서 평면 [eqn: beta]까지의 거리를 구하면
[eqn: d= {LEFT | 0+0-2-7 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2}}}]         [eqn: = {9} over {3} =3]

해

설

37   ③

답

구의 중심 [eqn: LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT )]에서 평면
[eqn: x+2y-2z-31=0]에 이르는 거리가 구의 반지름의 길이와 같으므로 구의 반지름의 길이를 [eqn: r]라고 하면 [eqn: r= {LEFT | 1+2-2-31 RIGHT |} over {sqrt {1+4+4}} =10]

해

설

38   ⑤

답

두 점 [eqn: rmA,`B]에서 주어진 평면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC,`D]라고 하면,
[eqn: rm {bar{AP}} :` {bar{BP}} = {bar{AC}} : {bar{BD}} ~~ THEREFORE {bar{AP}} : {bar{BP}} = {12} over {3} : {9} over {3} =4:3]

해

설

39   [eqn: 8]

답

[eqn: rmbarAB]가 구의 지름일 때 [eqn: rmbarAB]가 최대이므로 선분 [eqn: rmAB]의 길이의 최댓값은 [eqn: 8]이다.

해

설

40   ③

답

구하는 점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]의 좌표를
[eqn: x=3t+12,`y=4t+2,`z=5t+11]([eqn: t]는 실수)로 나타내면 점 [eqn: rmP]는 반구면 위의 점이므로
[eqn: LEFT ( 3t+12 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 4t+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 5t+11 RIGHT ) ^{2} =11 ^{2}]
[eqn: thereforet=-1` LEFT ( BECAUSE z>=0 RIGHT )]
즉, [eqn: rmP LEFT ( 9,~-2,~6 RIGHT )]이므로
[eqn: a+b+c=9+ LEFT ( -2 RIGHT ) +6=13]

해

설

41   ③

답

[eqn: 3x+2y-z=6` CDOTS CDOTS ㉠,~x+y-z=4` CDOTS CDOTS ㉡]
㉠-[eqn: ㉡]에서 [eqn: y=2x-2x,`3times㉡-㉠]에서 [eqn: y=2z+6]
[eqn: therefore-x+1= {y} over {2} =z+3]

해

설

42   ③

답

점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]라 하면 [eqn: rm {vec{OA}} `·` {vec{OP}} =12]와 점 [eqn: rmP]의 자취는 평면 [eqn: 2x-y-2z=12]이다.
따라서 점 [eqn: rmB LEFT ( -5,~4,~5 RIGHT )]와 점 [eqn: rmP]사이의 거리의 최솟값은 [eqn: {LEFT | -10-4-10-12 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} =12]

해

설

43   ③

답

[eqn: rm {1} over {2} LEFT | {vec{PA}} `+ {vec{PB}} RIGHT |]의 최솟값은 선분 [eqn: rmAB]의 중점에서 평면 [eqn: x-y+z=0]까지의 거리 [eqn: d]이므로 [eqn: rm LEFT | {vec{PA}} `+ {vec{PB}} RIGHT |]의 최솟값 [eqn: m]은
[eqn: m=2d= {2 LEFT | 2+1+0 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}}} = {6} over {sqrt {3}} =2 sqrt {3}]

해

설

44   ⑤

답

[eqn: rm LEFT | {vec{OA}} RIGHT | = {12} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}}} =4,` rm# rm LEFT | {vec{OB}} RIGHT | = {6} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2}}} =2`]
두 벡터 [eqn: rm {vec{OA}}]와 [eqn: rm {vec{OB}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면
[eqn: cos` theta = {1·2+ LEFT ( -2 RIGHT ) ·1+2·2} over {3·3} = {4} over {9} ~ THEREFORE `sin` theta = LEFT ( {sqrt {65}} over {9} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm ABC= {1} over {2} · LEFT | {vec{rm OA}} RIGHT | · LEFT | {vec{rm OB}} RIGHT | sin`theta= {4 sqrt {65}} over {9}]

해

설

45   [eqn: rmB LEFT ( -1,~-2,~0 RIGHT )]

답

대칭점을 [eqn: rm B`it LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라고 하면 [eqn: rm {vec{AB}} =it LEFT ( a-1,`b+1,`c-1 RIGHT )]은 평면의 법선벡터 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 2,~1,~1 RIGHT )]과 평행이므로 [eqn: rm {bar{AB}} `it=t {vec{u}}]
(단, [eqn: t]는 실수)
즉, [eqn: LEFT ( a-1,~b+1,~c-1 RIGHT ) = LEFT ( 2t,~t,~t RIGHT )]이므로
[eqn: a=2t+1,`b=t-1,`c=t+1~ CDOTS CDOTS ㉠]
또, 두 점 [eqn: rmA,`B]의 중점은 평면 [eqn: alpha]위에 있으므로 [eqn: 2 LEFT ( {a+1} over {2} RIGHT ) + {b-1} over {2} + {c+1} over {2} +1=0]
[eqn: THEREFORE 2a+b+c+4=0~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠]을 [eqn: ㉡]에 대입하면 [eqn: 6t+6=0]에서 [eqn: t=-1]
[eqn: thereforermB LEFT ( -1,~-2,~0 RIGHT )]

해

설

46   [eqn: 27]

답

평면 [eqn: alpha]의 법선벡터는 [eqn: yz]평면에서 [eqn: y]축의 양의 방향과 [eqn: 60DEG]의 각을 이루는 벡터이다. 따라서 구하는 법선벡터의 성분은 [eqn: LEFT ( 0,~3,~3 sqrt {3} RIGHT )]이다.
[eqn: thereforea ^{2} +b ^{2} =0 ^{2} + LEFT ( 3 sqrt {3} ^{2} RIGHT ) =27]

해

설

47   ②

답

직선 [eqn: l]의 방향벡터와 평면 [eqn: c]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: sintheta= {3} over {5}]이므로 일의 양은
[eqn: {vec{F}} · {vec{d}} = LEFT | {vec{F}} RIGHT | LEFT | {vec{d}} RIGHT | cos` theta =5 TIMES 2 TIMES {4} over {5} =8][eqn: LEFT ( rmJ RIGHT )]

해

설

48   [eqn: rm C LEFT ( 2,~4,~±4 RIGHT )]

답

구의 중심 [eqn: rm C]의 좌표는 [eqn: rm C`it LEFT ( 2,~4,~a RIGHT )]
구의 중심에서 [eqn: xy]평면까지의 거리가 [eqn: 4]이므로
[eqn: a=±4]          [eqn: thereforermC LEFT ( 2,~4,``±4 RIGHT )]

해

설

49  [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: therefore3x+2y+z-10=0]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: THEREFORE x+z-2=0]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: 3 LEFT ( x-1 RIGHT ) +2 LEFT ( y-2 RIGHT ) +1 LEFT ( z-3 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore3x+2y+z-10=0]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 1 LEFT ( x-0 RIGHT ) +0 LEFT ( y+1 RIGHT ) +1 LEFT ( z-2 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE x+z-2=0]

해

설

50  [eqn: {pi} over {3}]

답

두 평면의 법선벡터가 각각[eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( 3,~-4,~5 RIGHT ) ,~ {vec{h _{2}}} = LEFT ( 4,~3,~-5 RIGHT )]이므로
[eqn: THEREFORE `cos` theta = {LEFT | {vec{h _{1}}} · {vec{h _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{h _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{h _{2}}} RIGHT |}]
[eqn: = {LEFT | LEFT ( 3,~-4,~5 RIGHT ) · LEFT ( 4,~3,~-5 RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} +5 ^{2}} sqrt {4 ^{2} +3 ^{2} + LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2}}}]          [eqn: = {25} over {50} = {1} over {2}]
[eqn: 0<=theta<= {pi} over {2}]이므로   [eqn: theta= {pi} over {3}]

해

설

51  [eqn: -3]

답

두 평면의 법선센터 [eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~-3 RIGHT ) ,~ {vec{h _{2}}} = LEFT ( 3,~a,~1 RIGHT )]이 서로 수직이므로 [eqn: {vec{h _{1}}} · {vec{h _{2}}} =0]에서  [eqn: 6+a-3=0]
[eqn: thereforea=-3]

해

설

52  [eqn: 2]

답

[eqn: d= {LEFT | 2times0-1times0-2times0+6 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} = {6} over {3} =2]

해

설

53   [eqn: ②]

답

구하는 평면의 법선벡터를 [eqn: {vec{h _{1}}}]라고 하면 평면 [eqn: 2x+y-z+1=0]의 법선벡터와 같으므로 [eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT )]
점 [eqn: LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT )]를 지나므로 구하는 평면의 방정식은
[eqn: 2 LEFT ( x-1 RIGHT ) + LEFT ( y+1 RIGHT ) - LEFT ( z-2 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore2x+y-z-3=0]

해

설

54   [eqn: ②]

답

평면 [eqn: px+qy+z+r=0~ CDOTS CDOTS ㉠]이 세점 [eqn: rmA,~B,~C]를 지나므로
[eqn: rmA LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT )]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: p-q+r=0cdots㉡]
[eqn: rm B LEFT ( 0,~1,~1 RIGHT )]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: q+1+r=0~`~ CDOTS ㉢]
[eqn: rm C LEFT ( 0,~0,~2 RIGHT )]를 [eqn: ㉠]에 대입하면
[eqn: 2+r=0~ THEREFORE r=-2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS ㉣]
[eqn: ㉡,~㉢,~㉣]을 연립하여 풀면 [eqn: p=3,~q=1,~r=-2]
[eqn: thereforep+q+r=3+1-2=2]

해

설

55   [eqn: ①]

답

두 평면의 법선벡터가 각각 [eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT ) ,~ {vec{h _{2}}} = LEFT ( 1,~k,~2 RIGHT )]이므로
[eqn: THEREFORE `cos theta = {LEFT | {vec{h _{1}}} · {vec{h _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{h _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{h _{2}}} RIGHT |}]
[eqn: = {LEFT | 2+k-2 RIGHT |} over {sqrt {4+1+1} sqrt {1+k ^{2} +4}} = {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {6} sqrt {k ^{2} +5}} = {1} over {6}]  [eqn: 6 LEFT | k RIGHT | = sqrt {6} sqrt {k ^{2} +5}]
이 식의 양변을 제곱하면 [eqn: 36k ^{2} =6 LEFT ( k ^{2} +5 RIGHT ) ,~k ^{2} =1]
[eqn: k>0]이므로 [eqn: k=1]

해

설

56   [eqn: ②]

답

직선의 방향벡터 [eqn: {vec{u _{1}}} = LEFT ( 5,~3,~4 RIGHT )]와 평면의 법선벡터[eqn: {vec{h}} = LEFT ( 5,~4,`~-3 RIGHT )]이 이루는 각의 크기를 [eqn: alpha LEFT ( 0<=alpha<= {pi} over {2} RIGHT )]라고 하면
[eqn: THEREFORE `cos theta = {LEFT | {vec{h _{1}}} · {vec{h _{2}}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{h _{1}}} RIGHT | LEFT | {vec{h _{2}}} RIGHT |} = {LEFT | 25+12-12 RIGHT |} over {sqrt {50} sqrt {50}} = {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE alpha = {pi } over {3}]
직선과 평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면
[eqn: theta= {pi} over {2} -alpha= {pi} over {6}]

해

설

57   [eqn: ③]

답

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -2x-4y-4=0][eqn: LRARROW][eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} +z ^{2} =9]에서 구의 중심은 [eqn: rm A LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT )], 반지름의 길이는 [eqn: 3]이다. 한편, 원의 중심을 [eqn: rmB], 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라고 하면
[eqn: rm {bar{AB}} = {LEFT | 1+2+0 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {3}}]
오른쪽 그림에서 피타고라스의 정리에 의하여
[eqn: r ^{2} =3 ^{2} - rm {bar{AB}} ^{2} =0-3=6]
따라서 구하는 원의 넓이는 [eqn: pir ^{2} =6pi]

해

설

58   [eqn: ①]

답

구의 중심[eqn: LEFT ( 1,~-1,~1 RIGHT )]이고 평면
[eqn: 2x+y-2z+4=0]까지의 거리가 구의 반지름의 길이이므로
[eqn: r= {LEFT | 2 TIMES 1+1 TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) -2 TIMES 1+4 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} = {3} over {3} =1]

해

설

59   [eqn: ①]

답

평면의 법선벡터 [eqn: vech]는 [eqn: {vec{h}} = LEFT ( 2,~1,~-1 RIGHT )]이고 점 [eqn: LEFT ( 1,~0,~1 RIGHT )]을 지나므로 구하는 평면의 방정식은
[eqn: 2 LEFT ( x-1 RIGHT ) + LEFT ( y-0 RIGHT ) - LEFT ( z-1 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore2x+y-z-1=0]이 식에 [eqn: x=y=0,~z=k]를 대입하면 [eqn: -k-1=0~~thereforek=-1]

해

설

60  [eqn: ②]

답

두 평면의 법선벡터가 각각 [eqn: {vec{h _{1}}} = LEFT ( a,~4,~1 RIGHT ) ,~ {vec{h _{2}}} = LEFT ( a,~4,~1 RIGHT )]이고 [eqn: {vec{h _{1}}} ⫽ {vec{h _{2}}}]에서[eqn: {vec{h _{2}}} =t {vec{h _{1}}}]([eqn: t!=0]인 실수)이므로
[eqn: LEFT ( 1,`~b,~-2 RIGHT )][eqn: =t LEFT ( a,~4.~1 RIGHT )]
[eqn: thereforea=- {1} over {2} ,~b=-8]   [eqn: thereforeab=4]

해

설

61   [eqn: 14]

답

원점 [eqn: rmO]에서 평면 [eqn: 3x-2y+z+14=0]까지의 거리는 [eqn: rmbarOH]와 같으므로
[eqn: sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} = {LEFT | 14 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} +1 ^{2}}} = sqrt {14}]
[eqn: THEREFORE a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =14]

해

설

62  [eqn: ③]

답

평면의 방정식이 [eqn: {x} over {2} + {y} over {1} + {z} over {3} =1], 즉[eqn: 3x+6y+2z-6=0]이므로 원점에서 이 평면까지의 거리는 [eqn: {LEFT | -6 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +6 ^{2} +2 ^{2}}} = {6} over {7}]

해

설

63   [eqn: ③]

답

직선의 방향벡터 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( p,~1,~2 RIGHT ) it]와 평면의 법선벡터 [eqn: {vec{h}} = LEFT ( 2,~q,~4~ RIGHT )]가 서로 평행하므로 [eqn: {vec{h}} =t` {vec{u}}]([eqn: t!=0]인 실수)에서 [eqn: LEFT ( 2,~q,~4~ RIGHT ) =t LEFT ( p,~1,~2 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE 2=pt,~q=t,~4=2t~~thereforep=1,~q=2]
[eqn: THEREFORE p+q=3]

해

설

64   [eqn: ⑤]

답

구의 중심을 [eqn: rm O LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT )], 구와 평면의 접점을 [eqn: rmA LEFT ( 1,~-2,~-2 RIGHT )]로 놓으면 평면의 법선벡터는 [eqn: {vec{h}} = rm {vec{OA}} = LEFT ( 1,~-2,~-2~ RIGHT )]
이 평면이 점 [eqn: rmA]를 지나므로
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) -2 LEFT ( y+2 RIGHT ) -2 LEFT ( z+2 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforex-2y-2z=9]

해

설

65   [eqn: ②]

답

구의 중심 [eqn: LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT )]에서 평면까지의 거리는 [eqn: {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {6}}], 구와 평면이 만나서 생긴 원의 반지름의 길이는 [eqn: 2], 구의 반지름의 길이는 [eqn: 2], 구의 반지름 길이는 [eqn: sqrt {10}]이므로 피타고라스의 정리에 의하여
[eqn: LEFT ( {LEFT | k RIGHT |} over {sqrt {6}} RIGHT ) ^{2} +2 ^{2} = LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2}]    [eqn: thereforek ^{2} =36]

해

설

66  [eqn: ①]

답

평면 [eqn: x+2y-2z+2][eqn: =0] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT )]에서 평면 [eqn: x+2y-2z+5][eqn: =0]까지의 거리와 같으므로
[eqn: {LEFT | 0+0-2+5 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}}][eqn: =1]

해

설

67  [eqn: -4]

답

[eqn: 2p][eqn: =2q][eqn: =r]의 각 변을 [eqn: 2]로 나누고 그 값을 [eqn: t]로 놓으면 [eqn: p][eqn: =t], [eqn: q][eqn: =t], [eqn: r][eqn: =2t~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
㉠을 평면의 방정식 [eqn: x+2y+3z+0][eqn: =0]에 대입하면
[eqn: t][eqn: =-1]   [eqn: thereforep+q+r][eqn: =-1-1-2][eqn: =-4]

해

설

68   [eqn: ②]

답

[eqn: {vec{rmAA'}}][eqn: = LEFT ( a-1,~b-2,~c-3 RIGHT )]이 [eqn: {vec{h}}][eqn: = LEFT ( 1,~-3,~-2 RIGHT )]와 평행하므로 [eqn: LEFT ( a-1,~b-2,~c-3 RIGHT )][eqn: =t LEFT ( 1,~-3,~-2 RIGHT )] ([eqn: t != 0]인 실수)에서 [eqn: a][eqn: =t+1], [eqn: b][eqn: =-3t+2], [eqn: c=-2t+3]
직선 [eqn: rmAA']과 평면의 교점 [eqn: rm M LEFT ( {t+2} over {2} ,~ {-3t+4} over {2} ,~ {-2t+6} over {2} RIGHT )]이 평면 위의 점이므로 대입하면 [eqn: t][eqn: =2]
[eqn: therefore`a][eqn: =3], [eqn: b][eqn: =-4], [eqn: c][eqn: =-1]
[eqn: thereforea+b+c=-2]

해

설

69  ④

답

해

설

[eqn: r _{1} ^{2} =1-x ^{2} ,~r _{2} ^{2} =-x ^{2} +2x]
이므로 두 단면의 넓이의 합은
[eqn: pi r _{1} ^{2} + pi r _{2} ^{2}][eqn: = pi LEFT { -2 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {3} over {2} RIGHT }]
따라서 넓이의 합의 최댓값은 [eqn: {3} over {2} pi]이다.

70   [eqn: ④]

답

해

설

위, 아래 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{1} ,`r _{2}]로 놓으면 두 단면이 넓이의 합 [eqn: rmS]는
[eqn: rm S` it = pi LEFT ( r _{1} ^{2} +r _{1} ^{2} RIGHT ) = pi LEFT { 1-x ^{2} +1- LEFT ( 1-x RIGHT ) ^{2} RIGHT }]            [eqn: = pi LEFT ( -2x ^{2} +2x+1 RIGHT ) = pi LEFT { -2 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {3} over {2} RIGHT }]
따라서 [eqn: rmS]의 최댓값은 [eqn: x= {1} over {2}]일 때 [eqn: {3} over {2} pi]이다.