기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		1. 공간도형			반 / 번호
	01 직선, 평면의 위치 관계					이름

01 다음 보기의 조건 중 평면이 하나로 결정되지 않는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. 세 점
ㄴ. 두 점과 한직선

ㄷ. 서로 만나는 두 직선

ㄹ. 만나지 않는 두 직선과 한점

① ㄱ, ㄴ        ② ㄱ, ㄴ        ③ ㄷ, ㄹ
④ ㄱ, ㄴ, ㄹ    ⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

02 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 세 꼭짓점 [eqn: rmA,~B,~H]와 두 직선 [eqn: rmFG,~CE]로 결정되는 평면의 개수는?

① [eqn: 4]          ② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]         ⑤ [eqn: 8]

03 오른쪽 그림과 같은 직육면체에 대하여 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: rmbarAD]와 꼬인 위치에 있는 모서리는 [eqn: 4]개다.
ㄴ. [eqn: rm {bar{AC}}]와 평면 [eqn: rmBFGC]는 수직이다.

ㄷ. [eqn: rm {bar{BC}}]와 [eqn: rm {bar{DG}}]평면 [eqn: rmBFGC]는 수직이다.

① ㄱ        ② ㄱ, ㄴ        ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ    ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 공간에서 [eqn: alpha,~beta,~gamma]는 서로 다른 세 평면을 [eqn: l,~m,~n]은 서로 다른 세 직선을 나타낸다고 할 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: l BOT alpha]이고 [eqn: l BOT beta]이면 [eqn: alpha⫽beta]
ㄴ. [eqn: alpha BOT m]이고 [eqn: alpha ⫽n]이면 [eqn: m BOT n]

ㄷ. [eqn: alpha BOT beta]이고 [eqn: alpha BOT gamma]이면 [eqn: beta ⫽gamma]

ㄹ. [eqn: alpha ⫽l]이고 [eqn: alpha ⫽m]이면 [eqn: l⫽m]

① ㄱ, ㄴ    ② ㄱ, ㄷ       ③ ㄴ, ㄷ
④ ㄴ, ㄹ    ⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

05 공간에서 서로 다른 [eqn: 6]개의 평면으로 만들 수 있는 교선의 최대 개수는?
① [eqn: 5]          ② [eqn: 10]        ③ [eqn: 15]
④ [eqn: 20]        ⑤ [eqn: 25]

06 평면 [eqn: alpha] 밖의 한 점 [eqn: rmP]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO]라 하고, 점 [eqn: rmO]에서 평면 [eqn: alpha] 위의 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라고 한다.
[eqn: rm {bar{PO}} =5,~ {bar{AQ}} = sqrt {13} ,~ {bar{AP}} =7]일 때, 선분 [eqn: rmOQ]의 길이는?
① [eqn: 3]          ② [eqn: sqrt {10}]        ③ [eqn: sqrt {11}]
④ [eqn: 2 sqrt {3}]        ⑤ [eqn: sqrt {13}]

07 오른쪽 그림과 같은 사면체에서 면[eqn: rmABC,~ACD]의 무게중심을 각각 [eqn: rmP,~Q]라고 할 때, 다음 보기 중 두 직선이 꼬인 위치에 있는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. 직선 [eqn: rmCD]와 직선 [eqn: rmBQ]

ㄴ. 직선 [eqn: rmAD]와 직선 [eqn: rmBC]

ㄷ. 직선 [eqn: rmPQ]와 직선 [eqn: rmBD]

① ㄴ          ② ㄷ          ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

08 오른쪽 그림의 정육면체에서 [eqn: rm {bar{AG}}]와 [eqn: rm {bar{BD}}]가 이루는 각의 크기는?

① [eqn: 45DEG]          ② [eqn: 60 DEG]        ③ [eqn: 75 DEG]
④ [eqn: 90 DEG]          ⑤ [eqn: 110 DEG]

09 오른쪽 그림의 정육면체에 대하여 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. (평면 [eqn: rmADG])[eqn: BOT rmbarCH]

ㄴ. (평면 [eqn: rm BDH])[eqn: BOT rm {bar{AG}}]

ㄷ. (평면 [eqn: rm ACGE])[eqn: BOT rm {bar{DH}}]

① ㄱ          ② ㄴ          ③ ㄷ
④ ㄱ, ㄴ      ⑤ ㄱ, ㄷ

10 모서리의 길이가 [eqn: a]인 정사면체에서 꼬인 위치에 있는 두 모서리 사이의 최단 거리는?
① [eqn: {sqrt {a}} over {2}]       ② [eqn: sqrt {2}]       ③ [eqn: {sqrt {2}} over {2} a]
④ [eqn: a]           ⑤ [eqn: sqrt {2} a]

11 오른쪽 그림과 같은 직육면체에서 [eqn: rm {bar{AB}} =2,~ rm {bar{AE}} =1,][eqn: rm {bar{AD}} =1~]이고, 점 [eqn: rmD]에서 [eqn: rm {bar{EG}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI]라고 할 때, [eqn: rmbarDI]의 길이는?
① [eqn: {sqrt {5}} over {5}]         ② [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]       ③ [eqn: {3 sqrt {5}} over {5}]
④ [eqn: {4 sqrt {5}} over {5}]        ⑤ [eqn: {5 sqrt {5}} over {5}]

12 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 직선 [eqn: rmBD]와 직선 [eqn: rmDG]가 이루는 각의 크기와 면 [eqn: rmBCGF]와 면 [eqn: rmACGE]가 이루는 각의 크기를 차례로 나열하면?
① [eqn: 30DEG45DEG]    ② [eqn: 30 DEG 60 DEG]    ③ [eqn: 60 DEG 45 DEG]
④ [eqn: 45 DEG 45 DEG]    ⑤ [eqn: 60 DEG 30 DEG]

13 오른쪽 그림에서 두 평면, [eqn: alpha,~beta]는 수직이고, [eqn: rm {bar{AC}} ,~barAD]는 가각 [eqn: alpha,~beta]위에 있다.
[eqn: rm ANGLE BAC= ANGLE BAD=45 DEG]일 때, [eqn: rm ANGLE CAD]의 크기는?
① [eqn: 30 DEG]     ② [eqn: 45 DEG]     ③ [eqn: 60 DEG]
④ [eqn: 75 DEG]     ⑤ [eqn: 90 DEG]

14 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사면체 [eqn: rmABCD]가 있다, [eqn: rmbarAC]의 중점을 [eqn: rmP], [eqn: rmbarBC]의 중점을 [eqn: rmQ], [eqn: rmbarAD]의 중점을 [eqn: rmR]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rm PQR]의 넓이는?
① [eqn: {1} over {6}]          ② [eqn: {1} over {4}]         ③ [eqn: {1} over {2}]
④ [eqn: sqrt {2}]         ⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

15 오른쪽 그림과 같이 정육면체 위에 정사각뿔을 올려 놓은 도형이 있다. 이 도형의 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2]이고 , 면 [eqn: rmPAB]와 면 [eqn: rmAEFB]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: cos`theta]의 값은?
(단, [eqn: {pi} over {2} <theta<pi])
① [eqn: - {sqrt {6}} over {3}]    ② [eqn: - {sqrt {2}} over {3}]     ③ [eqn: - {1} over {3}]
④ [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]    ⑤ [eqn: - {1} over {2}]

16 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 다음 두 직선이 이루는 각의 크기를 구하시오.
(1)[eqn: {dyad{rmAB}} `]와[eqn: {dyad{rm BG it}} `]
(2)[eqn: {dyad{rm AC it}} `]와[eqn: {dyad{rm EF it}} `]
(3)[eqn: {dyad{rm BD it}} `]와[eqn: {dyad{rm DG it}} `]

17 위의 문제에서 정육면체의 한 모서리의 길이를 [eqn: 1]이라고 할 때, 대각선 [eqn: rmAG]의 밑면 [eqn: rmEFGH]위로의 정사영을 말하시오. 또, 정사영의 길이를 구하시오.

18 서로 다른 세 직선 [eqn: l,`m,`n]과 서로 다른 세 평면 [eqn: alpha ,` beta ,`gamma]에 대하여 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.`l` BOT m,`m BOT n rm `]이면 [eqn: l⫽n]이다.
[eqn: ㄴ.`l` BOT alpha,`l BOT beta rm `]이면 [eqn: alpha⫽beta]이다.
[eqn: ㄷ.`l` SMALLINTER alpha = EMPTYSET]이면 [eqn: l⫽alpha]이다.
[eqn: ㄹ.`alpha` BOT beta,`alpha BOT gamma rm `]이면 [eqn: beta⫽gamma]이다.

① [eqn: ㄱ,`ㄴ]     ② [eqn: ㄱ,`ㄷ]      ③ [eqn: ㄴ,`ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,`ㄹ]      ⑤ [eqn: ㄴ,`ㄷ,ㄹ]

19 서로 다른 세 직선 [eqn: l,`m,`n]과 서로 다른 세 평면 [eqn: alpha ,` beta ,`gamma]에 대하여 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.`l` BOT alpha,`m BOT alpha rm `]이면 [eqn: l⫽n]이다.
[eqn: ㄴ.`l` BOT alpha ,`m BOT alpha rm `]이면 [eqn: l⫽n]이다.
[eqn: ㄷ.`]서로 만나지 않는 두 직선은 평행하다.
[eqn: ㄹ.` rm `]만나는 두 평면은 무수히 많은 점을 공유한다.

① [eqn: ㄱ,`ㄴ]     ② [eqn: ㄱ,`ㄷ]      ③ [eqn: ㄴ,`ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,`ㄹ]      ⑤ [eqn: ㄴ,`ㄷ,ㄹ]

20 오른쪽 그림은 평면 [eqn: alpha] 위에 두 삼각자를 서로 수직이 되게 붙여 놓은 것을 나타낸 것이다. 평면 [eqn: rmABC]와 평면 [eqn: alpha]의 이면각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 12tan ^{2} theta]의 값을 구하시오.  (단, [eqn: 0<=theta< {pi} over {2}])

21 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 24]인 정사면체 [eqn: rmABCD]가 있다. 두 삼각형 [eqn: RMABC]와 [eqn: rmACD]의 무게중심을 각각 [eqn: rmG,`H]라 할 때, 선분 [eqn: rmGH]의 길이를 구하시오.

22 오른쪽 그림과 같이 밑면이 정삼각형이고
[eqn: rm {bar{VA}} = {bar{VB}} = rm {bar{VC}} =2,][eqn: ANGLE rmAVB=30 DEG]인 정삼각뿔이 있다. 선분 [eqn: rmVA]의 중점 [eqn: rmD]에서 [eqn: rmA]까지 이 입체의 둘레에 실을 가능한 한 짧게 맬 때, 이 실의 길이는?

① [eqn: sqrt {5}]       ② [eqn: {sqrt {5}} over {2}]      ③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]       ⑤ [eqn: 2]

23 정육면체의 한 변 [eqn: rmAB]와 [eqn: RMA,`B]가 아닌 임의의 꼭짓점 [eqn: 2]개를 연결하여 만든 선분과 이루는 각을 [eqn: theta]라고 할 때, 다음 보기 중 [eqn: 12`cos` ^{2} theta]의 값이 될 수 있는 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.`3`]         [eqn: ㄴ.`4`]         [eqn: ㄷ.`6`]

① [eqn: ㄴ]        ② [eqn: ㄱ,`ㄴ]      ③ [eqn: ㄱ,`ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,`ㄷ]     ⑤ [eqn: ㄱ,`ㄴ,`ㄷ]

24 오른쪽의 [그림 1]과 같이 수평면에 대하여 어떤 평면이나 직선의 경사도는 수평면과 이루는 각의 탄젠트 값으로 나타낼 때, [그림 [eqn: 1]]와 같이 경사도가 [eqn: {1} over {3}]인 평면 [eqn: alpha]가 있다. 평면 [eqn: alpha]위의 서로 직교하는 두 직선 [eqn: l,`m]에 대하여 직선 [eqn: l]의 경사도가 [eqn: {1} over {5}]일 때, 직선[eqn: m]의 경사도는?

① [eqn: {sqrt {41}} over {41}]       ② [eqn: {2 sqrt {41}} over {41}]      ③ [eqn: {sqrt {61}} over {61}]

④ [eqn: {2 sqrt {61}} over {61}]        ⑤ [eqn: {3 sqrt {61}} over {61}]

25 정사면체에서 밑면과 옆면이 이루는 각을 [eqn: theta _{4}], 정팔면체에서 위쪽에 있는 면과 아래쪽에 있는 면이 이루는 각을 [eqn: theta _{8}]이라고 할 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.`cos`theta _{8} =- {1} over {3} `]

[eqn: ㄴ.` theta _{4} + theta _{8} = pi]

[eqn: ㄷ.``]한 변의 길이가 같은 정사면체와 정팔면체

[eqn: 1]개씩을 합동인 면을 붙여서  만든 입체도형

은 [eqn: 7]면체이다.

① [eqn: ㄱ]        ② [eqn: ㄱ,`ㄴ]      ③ [eqn: ㄱ,`ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,`ㄷ]     ⑤ [eqn: ㄱ,`ㄴ,`ㄷ]

26 한 모서리의 길이가 각각 [eqn: 2]와 [eqn: 3]인 두 정육면체를 오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmO]와 두 모서리가 겹치도록 붙여 놓았다. 두 정육면체의 대각선 [eqn: rmOA,`OB]에 대하여 [eqn: anglermAOB]의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때,  [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]         ② [eqn: {1} over {2}]        ③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {2} over {3}]          ⑤ [eqn: {3} over {4}]

27 오른쪽 그림과 같이 직각으로 꺾어진 [eqn: ㄱ](기역) 모양의 건물이 있다. 이 건물의 높이가 30[eqn: rmm]이고, 폭은 10[eqn: rmm], 꺾어진 안쪽 두 모서리의 길이는  모두 30[eqn: rmm]이다. 이때, [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB]지점까지의 최단거리는?

① [eqn: 10 sqrt {35} rmm]    ② [eqn: 10 sqrt {34} rm m]     ③ [eqn: 10 sqrt {33} rm m]

④ [eqn: 40 sqrt {2} rm m]      ⑤ [eqn: 40 sqrt {3} rm m]

28 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]가 같은 속력으로 각각 [eqn: rmC]와[eqn: rmG]에서 동시에 출발하여, 점 [eqn: rmP]는

[eqn: rm C -> D -> A -> B -> C,] 점 [eqn: rm Q]는 [eqn: rm G -> F -> E -> H -> G]
로 각각 한 번씩 회전한다. 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]의 중점을 [eqn: rmR]라 할 때, 점 [eqn: rmR]가 움직인 거리는?

① [eqn: 2]           ② [eqn: 2 sqrt {2}]        ③ [eqn: pi]

④ [eqn: sqrt {2} pi]       ⑤ [eqn: 2pi]

29 어느 세 점도 한 직선 위에 잇지 않고, 어느 네 점도 한 평면 위에 잇지 않은 서로 다른 [eqn: 4]개의 점에 의하여 결정되는 평면의 개수를 구하여라.

※오른쪽 그림의 정육면체에서 다음 물음에 답하여라.[eqn: LEFT ( 30 SIM 32 RIGHT )]

30 모서리 [eqn: rmAB]와 평행인 면을 모두 말하여라.

31 모서리 [eqn: rmAB]와 수직인 면을 모두 말하여라.

32 직선 [eqn: rmBD]와 직선 [eqn: rm DE]가 이루는 예각의 크기를 말하여라.

33 오른쪽 그림과 같이 평행한 평면 [eqn: alpha,`beta]위에 각각 한 직선 위에 있지 않은 세 점 [eqn: rmA,`B,`C,`D]와 [eqn: rmP,`Q`,`R]가 있다. 어느 네 점도 한 평면 위에 있지 않을 때, [eqn: 6]개의 점에 의하여 결정되는 평면의 개수는?

[eqn: ①][eqn: 9]개        [eqn: ②][eqn: 12]개       [eqn: ③][eqn: 15]개

[eqn: ④][eqn: 18]개        [eqn: ⑤][eqn: 20]개

34 오른쪽 그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]와 이 사각형에 평행한 직선 [eqn: l]위에 두 점 [eqn: rmP,`Q]가 있다. 이 [eqn: 6]개의 점에 의하여 결정되는 평면의 개수의 최댓값은?

[eqn: ①][eqn: 11]개       [eqn: ②][eqn: 12]개       [eqn: ③][eqn: 15]개

[eqn: ④][eqn: 17]개        [eqn: ⑤][eqn: 19]개

35 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 두 직선 [eqn: rmBE]와 [eqn: rmDG]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때,[eqn: sin`theta]의 값은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {2}]        [eqn: ②][eqn: {sqrt {2}} over {2}]      [eqn: ③][eqn: {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: ④][eqn: {sqrt {3}} over {2}]      [eqn: ⑤][eqn: 1]

36 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 두 직선 [eqn: rm AG]와 [eqn: rm CF]가 이루는 각의 크기를 구하여라.

37 다음 중 오직 하나의 평면을 결정하는 조건을 모두 고르면?

(가) 서로 다른 세 점

(나) 평행한 두 직선

(다) 꼬인 위치에 있는 두 직선

[eqn: ①](가)           [eqn: ②](나)           [eqn: ③](가). (나)

[eqn: ④](나), (다)      [eqn: ⑤](가), (나), (다)

38 공간 위의 서로 다른 두 직선[eqn: l,`m]과 두 평면 [eqn: alpha,`beta]에 대한 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? (단, 두 직선은 어느 평면에도 포함되지 않는다.)

(가) [eqn: l⫽ alpha ,``m⫽ alpha ``````````l⫽m]
(나) [eqn: l⫽ alpha ,``l⫽ beta ``````````l⫽ beta]
(다) [eqn: l BOT alpha ,``m BOT alpha ``````````l⫽m]

(라) [eqn: l BOT alpha ,``l BOT beta ````````` alpha ⫽ beta]

[eqn: ①](가), (나)      [eqn: ②](가), (다)      [eqn: ③](나), (다)

[eqn: ④](나), (라)      [eqn: ⑤](다), (라)

39 오른쪽 그림의 직육면체에서 [eqn: rm {bar{AB}} = rm {bar{BC}} =2 sqrt {2}]
[eqn: rm {bar{AE}} =4]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmACF]의 넓이를 구하여라.

※오른쪽 그림의 정육면체에서 다음 물음에 답하여라.[eqn: LEFT ( 40 SIM 41 RIGHT )]

40 직선 [eqn: rmDE]와 면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각의 크기를 구하여라.

41 두 면 [eqn: rmAEHD]와 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각의 크기를 구하여라.

42 오른쪽 그림의 직육면체의 모서리 중 모서리 [eqn: rmAB]와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수를 [eqn: a]개, 평행한 모서리의 개수를 [eqn: b]개, 수직인 모서리의 개수를 [eqn: c]개라고 할 때, [eqn: abc]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 32]           [eqn: ②][eqn: 36]           [eqn: ③][eqn: 40]

[eqn: ④][eqn: 44]           [eqn: ⑤][eqn: 48]

43 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 두 직선 [eqn: rmBE]와 [eqn: rmCF]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: sin`theta]의 값은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {3}]         [eqn: ②][eqn: {sqrt {3}} over {3}]        [eqn: ③][eqn: {1} over {2}]

[eqn: ④][eqn: {sqrt {2}} over {2}]      [eqn: ⑤][eqn: {sqrt {3}} over {2}]

44 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 구를 깎아 정육면체를 만들 때, 정육면체의 최대 부피를 구하여라.

45 오른쪽 그림의 직육면체에서 [eqn: rm {bar{AB}} `=3,` {bar{AD}} `=1,][eqn: rm {bar{AE}} `=2`]이다. 두 직선 [eqn: rmAG]와 [eqn: rmCF]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos` theta]의 값은?
(단, [eqn: {pi} over {2} <theta<pi])

[eqn: ①][eqn: - {sqrt {35}} over {25}]     [eqn: ②][eqn: - {sqrt {35}} over {35}]     [eqn: ③][eqn: - {sqrt {70}} over {70}]

[eqn: ④][eqn: - {sqrt {70}} over {35}]     [eqn: ⑤][eqn: - {3 sqrt {70}} over {70}]

46 오른쪽 그림과 같은 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사면체에서 모서리 [eqn: rmAB]와 [eqn: rmCD]위의 임의의 점을 각각 [eqn: rmP,`Q]라고 할 때, [eqn: rmbarPQ]의 최솟값을 구하여라.

47 오른쪽 그림에서 두 평면 [eqn: alpha,`beta]는 수직이고, 직선 [eqn: l,m]은 교선 위의 한 점 [eqn: rmA]에서 각각 교선과 [eqn: rm30DEG], 60[eqn: DEG]의 각을 이루는 평면 [eqn: alpha,`beta]에 포함된 직선이다. 두 직선 [eqn: l,`m]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라.

48 오른쪽 그림의 사면체에서[eqn: rm {bar{AB}} BOT](면 [eqn: rmOBC]),
[eqn: rm {bar{OA}} = rm {bar{BC}} =6]이고 사면체의 부피는 [eqn: 48]일 때, 점 [eqn: rmO]에서 면 [eqn: rmABC]에 내린 수선의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 4.8]          [eqn: ②][eqn: 5]         [eqn: ③][eqn: 5.2]

[eqn: ④][eqn: 5.4]           [eqn: ⑤][eqn: 5.6]

49 한 모서리의 길이가 각각 [eqn: 2]와 [eqn: 3]인 두 정육면체를 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmO]와 두 모서리가 겹치도록 붙여 놓았다. 두 정육면체의 대각선 [eqn: rmOA]와 [eqn: rmOB]에 대하여 [eqn: anglermAOB]의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {3}]          [eqn: ②][eqn: {1} over {2}]         [eqn: ③][eqn: {3} over {5}]

[eqn: ④][eqn: {2} over {3}]          [eqn: ⑤][eqn: {3} over {4}]

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		1. 공간도형			반 / 번호
	02 삼수선의 정리					이름

01 다음은 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 수심 [eqn: rmH]에서 평면 [eqn: rmABC]에 수선을 세우고, 이 위에 [eqn: rmH]와 다른 한 점 [eqn: rmD]를 잡을 때, [eqn: rm {bar{DA}}]와 [eqn: rm {bar{DC}}]도 서로 수직임을 증명하는 과정 이다. 다음 중 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로  나열할 것은?

[eqn: rmbarAH]의 연장선이 [eqn: rm {bar{BC}}]와 만나는 점을 [eqn: rmN]이라고 하면 [eqn: rm {bar{AN}} BOT {bar{BC}}]   ……㉠
또, [eqn: rm {bar{DH}} BOT](평면 [eqn: rmABC])이므로 [eqn: {BOX{~(가)~}}]에 이하여 [eqn: rm {bar{AN}} BOT {bar{BC}}]   ……㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: rm {bar{BC}} BOT][eqn: {BOX{~(나)~}}]  [eqn: rm therefore {bar{BC}} BOT {bar{DB}}]  ……㉢
또, 가정에서 [eqn: rm {bar{DA}} BOT {bar{DB}}] ……㉣
㉢, ㉣에 의하여 [eqn: {BOX{~(나)~}}][eqn: BOT](평면 [eqn: rmBCD])
[eqn: therefore rm {bar{DA}} BOT {bar{DC}}]

(가)            (나)            (다)
①중점연결정리     평면 [eqn: rmBCD]        [eqn: rmbarBA]
②중점연결정리     평면 [eqn: rm ADN]        [eqn: rm {bar{DB}}]
③중점연결정리     평면 [eqn: rm BCD]        [eqn: rm {bar{DA}}]
④삼수선의 정리    평면 [eqn: rm ADN]        [eqn: rmbarBA]
⑤삼수선의 정리    평면 [eqn: rm ADN]        [eqn: rm {bar{DA}}]

02 평면 [eqn: alpha]위에 있지 않은 한 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO]라 하고, 점 [eqn: rmO]에서 [eqn: alpha]위의 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라고 하자. [eqn: rmbarOP][eqn: =4], [eqn: rmbarAQ][eqn: =2],
[eqn: rmbarAP][eqn: =7]일 때, [eqn: rmbarOQ]의 길이를 구하여라.

03 오른쪽 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 밖의 한 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO]라 하고, [eqn: rmO]에서 [eqn: alpha] 위의 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라고 하자.
[eqn: rm {bar{OP}} =8,` rm {bar{AQ}} =4 sqrt {6} ,` rm {bar{AP}} =14`]일 때, [eqn: rm {bar{OQ}}]의 길이를 구하시오.

04 오른쪽 그림과 같이 평면 [eqn: alpha]밖의 한 점 [eqn: rmP]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO,~O]에서 평면 [eqn: alpha]위에 있는 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 한다. 점 [eqn: rmA]는 직선 [eqn: l] 위에 있고 [eqn: rm {bar{OP}} =4,` rm {bar{OQ}}]
[eqn: =2 sqrt {2} ,` rm {bar{AQ}} =2 sqrt {3} `]일 때, [eqn: rm {bar{AP}}]의 길이를 구하여라.

05 오른쪽 그림에서 [eqn: rm {bar{OA}} it ,` rm {bar{OB}} it ,` rm {bar{OC}} `]는 서로 수직이고, [eqn: rm {bar{OA}} =3 it ,` rm {bar{OB}} =2 it ,` rm {bar{OC}} =1`]이라고 한다. 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: rm {bar{BC}}]에 내린 수선 [eqn: rmAH]의 길이는?

[eqn: ①][eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]     [eqn: ②][eqn: {7 sqrt {5}} over {5}]    [eqn: ③][eqn: 2 sqrt {5}]

[eqn: ④][eqn: {11 sqrt {5}} over {5}]    [eqn: ⑤][eqn: {14 sqrt {5}} over {5}]

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		1. 공간도형			반 / 번호
	03 정사영					이름

01 오른쪽 그림의 정사면체 [eqn: rmOABC]에서 모서리 [eqn: rmOA]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하고, 모서리 [eqn: rmOB]와 [eqn: rmOC]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmQ]와 [eqn: rmR]라고 하자. [eqn: rm TRIANGLE PQR]와 [eqn: rm TRIANGLE ABC]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]          ② [eqn: {sqrt {2}} over {3}]       ③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]
④ [eqn: {sqrt {5}} over {3}]      ⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {3}]

02 어떤 선분의 길이가 [eqn: l]이고, 이 선분이 평면 [eqn: alpha]와 이루는 각이 [eqn: 45DEG]이다. 이 선분의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영의 길이가 [eqn: sqrt {2}]일 때, [eqn: l]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]       ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

03 오른쪽 그림과 같이 직선 [eqn: l]위에 있는 [eqn: rmbarAB]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영을 [eqn: rmbarA'B']이라고 하자. [eqn: rm {bar{AB}} =8,~ {bar{A prime B prime }} =6]일 때, 직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin`theta]의 값은?

① [eqn: {sqrt {7}} over {7}]         ② [eqn: {sqrt {7}} over {6}]       ③ [eqn: {sqrt {7}} over {5}]
④ [eqn: {sqrt {7}} over {4}]        ⑤ [eqn: {sqrt {7}} over {3}]

04 오른쪽 그림은 밑면의 지름의 길이가 [eqn: 4]인 원기둥을 자른 것이다. 이대, 잘린 단면의 넓이는?

① [eqn: 4 sqrt {5} pi]      ② [eqn: 3 sqrt {5} pi]      ③ [eqn: 2 sqrt {13} pi]
④ [eqn: 4 sqrt {3} pi]      ⑤ [eqn: 3 sqrt {5} pi]

05 오른쪽 그림과 같은 직육면체에서 [eqn: rm {bar{AB}} =1,~ rm {bar{BC}} =2,~ rm {bar{CG}} = sqrt {5}]이고, 대각선[eqn: rmAG]와 면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각을 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]      ② [eqn: sqrt {2}]      ③ [eqn: sqrt {3}]
④ [eqn: 2 sqrt {3}]      ⑤ [eqn: 3 sqrt {2}]

06 오른쪽 그림과 같이 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 평면 [eqn: rmABC]와 평면 [eqn: rmBCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]      ② [eqn: {1} over {4}]      ③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {1} over {2}]      ⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

07 오른쪽 그림에서 두 평면 [eqn: alpha,~beta]는 수직이고 두 직선 [eqn: l,~m]은 각각 평면 [eqn: alpha,~beta]위에 있다. [eqn: l,~m]이 교선 [eqn: rmXY] 위의 점 [eqn: rmP]에서 만나고 [eqn: rm {bar{XY}}]와 각각 [eqn: 60DEG,~30DEG]의 각을 이룬다. [eqn: l]과 [eqn: m]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {sqrt {2}} over {4}]      ② [eqn: {sqrt {3}} over {4}]      ③ [eqn: {sqrt {2}} over {5}]
④ [eqn: {sqrt {3}} over {5}]      ⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {6}]

08 선분 [eqn: rmAB]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영 [eqn: rmbarA'B']의 길이는 [eqn: 2 sqrt {3}]이고, 직선 [eqn: rmAB]가 평면 [eqn: alpha]와 이루는 각의 크기가 [eqn: 30DEG]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

① [eqn: 3]          ② [eqn: 4]         ③ [eqn: 3 sqrt {2}]
④ [eqn: 2 sqrt {6}]      ⑤ [eqn: 4 sqrt {3}]

09 오른쪽 그림과 같이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]일 때, 평면 [eqn: beta] 위의 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이는?

① [eqn: pi]           ② [eqn: 2pi]         ③ [eqn: 3 sqrt 4pi]
④ [eqn: 3 sqrt {2} pi]      ⑤ [eqn: 3 sqrt {3}]

10 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정육면체가 잇다. [eqn: rmbarCG]를 [eqn: 3:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmI]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmFGH]의 [eqn: TRIANGLE rmFIH] 위로의 정사영의 넓이는?

① [eqn: {15 sqrt {2}} over {8}]      ② [eqn: {15 sqrt {2}} over {4}]    ③ [eqn: {16 sqrt {2}} over {5}]
④ [eqn: {16 sqrt {2}} over {3}]      ⑤ [eqn: 16 sqrt {2}]

11 오른쪽 그림과 같이 평탄한 지면에 수직으로 세워진 두 벽면이 직각으로 만나는 모서리에 [eqn: 12rmm] 길이의 막대기가 [eqn: rm8rmm]높이에 비스듬히 놓여 있다. 막대기의 한쪽 벽면 위로의 정사영의 길이가 [eqn: rm10rmm]일 때, 다른 벽면 위로의 정사영의 길이는?

① [eqn: 2 sqrt {3} rmm]      ② [eqn: 3 sqrt {3} rm m]    ③ [eqn: 4 sqrt {3} rm m]
④ [eqn: 5 sqrt {3} rm m]      ⑤ [eqn: 6 sqrt {3} rm m]

12 오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 선분 [eqn: rmAF]와 선분 [eqn: rmEC]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라.

13 좌표공간에서 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,~-1,~2 RIGHT ) rm],[eqn: rm B LEFT ( 1,~2,`-3 RIGHT )]을 지나는 직선이 [eqn: xy]평면과 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {sqrt {10}} over {7}]      ② [eqn: {2 sqrt {3}} over {7}]     ③ [eqn: {sqrt {14}} over {7}]
④ [eqn: {4} over {7}]          ⑤ [eqn: {3 sqrt {2}} over {7}]

14 좌표공간에서 선분 [eqn: rmOP]이 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면 위로의 정사영의 길이가 각각 [eqn: sqrt {11}], [eqn: 5]이다. 선분 [eqn: rmOP]의 길이의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을[eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M+m]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: 8]          ② [eqn: 9]          ③ [eqn: 10]
④ [eqn: 11]          ⑤ [eqn: 12]

15 오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정사면체 [eqn: rmABCD]의 모서리 [eqn: rmCD]에 수직인 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영이 [eqn: TRIANGLE rmA'B'C']이고 [eqn: rmangleA'C'B'=theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]          ② [eqn: {1} over {4}]          ③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {1} over {2}]          ⑤[eqn: {sqrt {2}} over {2}]

16 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~ sqrt {2} ,~3 RIGHT ) ,~B it LEFT ( 4,~0,~a RIGHT )]를 이은 직선이 [eqn: yz]평면과 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]일 때, 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: 3]          ② [eqn: 4]          ③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]          ⑤ [eqn: 7]

17 오른쪽 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위의 두 점 [eqn: rm A,~B]와 [eqn: alpha] 밖의 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라고 하자. [eqn: rm ANGLE PAQ=60 DEG ,][eqn: ANGLE rm BAQ=30 DEG ~]일 때,
[eqn: cos` LEFT ( ANGLE rmPAB RIGHT )]의 값은?
① [eqn: {sqrt {2}} over {4}]      ② [eqn: {sqrt {3}} over {4}]     ③ [eqn: {1} over {2}]
④ [eqn: {sqrt {2}} over {3}]       ⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

18 오른쪽 그림과 같은 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 두 모서리 [eqn: rm AB,~CD]의 중점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라고 하자.
[eqn: rmbarPQ]와 [eqn: rm barAC]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: sin`theta]의 값은?
① [eqn: {1} over {3}]         ② [eqn: {1} over {2}]        ③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]
④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]       ⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

19 오른쪽 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정사각뿔 [eqn: rmA-BCDE]에서 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 평면 [eqn: rmACD]위로의 정사영의 넓이는?
① [eqn: {sqrt {3}} over {9}]     ② [eqn: {sqrt {3}} over {10}]     ③ [eqn: {sqrt {3}} over {11}]
④ [eqn: {sqrt {3}} over {12}]     ⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {13}]

20 좌표공간에 중심이 [eqn: LEFT ( 5,~12,~16 RIGHT )]이고 반지름이 [eqn: 8]인 구가 있다. 이 구의 [eqn: xz]평면 위로의 정사영의 넓이는?
① [eqn: 16pi]       ② [eqn: 24pi]       ③ [eqn: 32pi]
④ [eqn: 48pi]       ⑤ [eqn: 64pi]

21 오른쪽 정육면체에서 [eqn: rmbarCG]를 [eqn: 1:3]으로 내분한 점을 [eqn: rmK]라 하고 평면 [eqn: rmDFK]와 평면 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta] 라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라. (단, [eqn: 0<theta< {pi } over {2}])

22 오른쪽 그림에서 두 평면 [eqn: alpha,`beta]는 수직이고, 두 직선[eqn: l,`m]은 각각 평면 [eqn: alpha,`beta]위에 있다. [eqn: l,`m]이 교선 [eqn: rm {bar{XY}}] 위의 점 [eqn: rmP]에서 만나고 [eqn: rm {bar{XY}}]와 각각 [eqn: 60 DEG ,`30 DEG]의 각을 이룬다. [eqn: l]과 [eqn: m]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: 48cos ^{2} theta]의 값을 구하시오.

23 오른쪽 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 [eqn: rm {bar{AB}} ,` rm {bar{AD}} ,` rm {bar{AE}}]의 길이가 각각 [eqn: 2,`3,`1]이다. 선분 [eqn: rmFG]의 중점을 [eqn: rmM], 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: rmHM]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmN]이라 할 때, [eqn: 30 rm {bar{AN}}]의 값을 구하시오.

24 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 반구를 넓은 쪽으로 엎어 놓았다가 한 쪽 끝을 [eqn: 60DEG]만큼 들 때 정사영의 넓이를 구하시오.

25 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 2], 높이가 [eqn: 10]인 직원기둥이 오른쪽 그림과 같이 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: 60DEG]의 각을 이루고 비스듬히 놓여 있다. 이 직원기둥의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이는?

① [eqn: 10+pi]     ② [eqn: 10 sqrt {3} pi]      ③ [eqn: 20+ pi]

④ [eqn: 20+2 pi]     ⑤ [eqn: 20+2 sqrt {3} pi]

26 밑면의 반지름의 길이와 높이가 모두 [eqn: 2]인 직원기둥을 한 평면으로 비스듬히 잘랐더니 오른쪽 그림과 같이 되었다. 이때, 잘린 단면의 넓이를 구하시오.

27 태양이 지면과 [eqn: 64DEG]의 각도로 지면을 비출 때 지면에 생긴 애드벌룬의 그림자의 넓이가 [eqn: 10pi㎡]이었다. 이 애드벌룬의 반지름의 길이는?
(단, [eqn: cos26DEG=0.9]로 계산한다. )

① [eqn: sqrt {3} rmm]      ② [eqn: 2 rm m]     ③ [eqn: sqrt {6} rm m]

④ [eqn: 2 sqrt {2} rm m]      ⑤ [eqn: 3 rm m]

28 오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 10rmcm], 높이가 [eqn: 30rmcm]인 원뿔이 지면에 놓여 있다. 햇빛이 지면에 수직으로 비출 때, 이 원뿔의 그림자의 넓이는?

① [eqn: LEFT ( 3pi+40 RIGHT ) sqrt {10} ㎠]     ② [eqn: LEFT ( 3 pi +90 RIGHT ) sqrt {10} ㎠]

③ [eqn: LEFT ( 5 pi +40 RIGHT ) sqrt {10} ㎠]     ④ [eqn: LEFT ( 5 pi +70 RIGHT ) sqrt {10} ㎠]

⑤ [eqn: LEFT ( 5 pi +90 RIGHT ) sqrt {10} ㎠]

29 오른쪽 그림과 같은 직육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]의 세 면 [eqn: rm ABCD,`ABFE,`][eqn: rmAEHD]가 면 [eqn: rmEBD]와 이루는 예각의 크기를 각각[eqn: alpha,`beta,`gamma]라 하자.
[eqn: cosalpha= {sqrt {2}} over {4} ,`cos`beta= {sqrt {6}} over {4}]일 때, [eqn: cos`gamma]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]        ② [eqn: {sqrt {2}} over {4}]      ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {6}} over {4}]      ⑤ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

30 오른쪽 그림과 같이 일자(一字) 모양의 막대가 한 귀퉁이에 비스듬히 세워져 있다. 이때, 두 벽과 바닥 위로의 막대의 정사영의 길이가 각각 [eqn: rm50cm], [eqn: rm 60cm], [eqn: rm 70cm]일 때, 막대의 길이는?(단, 이웃하는 두 벽은 서로 수직이며 벽과 바닥도 수직이다.)

① [eqn: 10 sqrt {50} rmcm]  ② [eqn: 10 sqrt {53} rm cm]  ③ [eqn: 10 sqrt {55} rm cm]

④ [eqn: 10 sqrt {57} rm cm]  ⑤ [eqn: 10 sqrt {59} rm cm]

31 오른쪽 그림과 같이 평평한 지면에 수직으로 두 벽면이 직각으로 만나는 모서리에 [eqn: 6rmm] 길이의 막대기가 [eqn: rm4rmm] 높이에 비스듬히 놓여 있다. 막대기의 한쪽 벽면 위로의 정사영의 길이가 [eqn: 5rmm]일 때, 다른 벽면 위로의 정사영의 길이를 구하시오, (단, 단위는 [eqn: rmm])

32 오른쪽 그림의 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 두 직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: RmCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라.

33 오른쪽 그림의 직육면체에서 [eqn: rm {bar{AB}} = rm {bar{BC}} =2 sqrt {2}]
[eqn: rm {bar{AE}} =4]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmACF]의 넓이를 구하여라.

34 직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]이다. 직선 [eqn: l]위의 길이가 [eqn: 8rmcm]인 선분의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영의 길이를 구하여라.

35 두 평면 [eqn: alpha,`beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 45DEG]이다. 평면, [eqn: alpha]위의 넓이가 [eqn: 20rmcm ^{2}]인 도형의 평면 [eqn: beta]위로의 정사영의 넓이를 구하여라.

36 오른쪽 그림의 정사면체 [eqn: rmABCD]에서 모서리 [eqn: rmAB]와 밑면 [eqn: rmBCD]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {4}]        [eqn: ②][eqn: {1} over {3}]       [eqn: ③][eqn: {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: ④][eqn: {sqrt {2}} over {2}]      [eqn: ⑤][eqn: {sqrt {10}} over {4}]

37 오른쪽 그림은 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사각뿔이다. 모서리[eqn: rmOA]와 밑면 [eqn: rmABCD]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: sin`theta]의 값은?

[eqn: ①][eqn: {sqrt {2}} over {2}]       [eqn: ②][eqn: {sqrt {3}} over {3}]      [eqn: ③][eqn: {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: ④][eqn: {1} over {3}]           [eqn: ⑤][eqn: {1} over {2}]

38 오른쪽 그림은 정사면체 [eqn: rmOABC]에서 옆면과 밑면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: tan`theta]의 값은?

[eqn: ①][eqn: sqrt {2}]         [eqn: ②][eqn: 2]       [eqn: ③][eqn: 2 sqrt {2}]

[eqn: ④][eqn: 2 sqrt {3}]          [eqn: ⑤][eqn: 4]

39 오른쪽 그림은 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정사각뿔이다. 이웃한 두 옆면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?
(단, [eqn: {pi} over {2} <theta<pi])

[eqn: ①][eqn: - {sqrt {2}} over {3}]      [eqn: ②][eqn: - {2} over {3}]       [eqn: ③][eqn: - {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: ④][eqn: - {sqrt {2}} over {3}]       [eqn: ⑤][eqn: - {1} over {3}]

40 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 3], 높이가 [eqn: 8]인 원기둥을 오른쪽 그림과 같이 자른 단면은 타원이다. 이 타원의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 9 pi]       [eqn: ②][eqn: 12 pi]       [eqn: ③][eqn: 15 pi]

[eqn: ④][eqn: 18]         [eqn: ⑤][eqn: 21 pi]

41 두 평면 [eqn: alpha,`beta]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: sin` theta = {2 sqrt {2}} over {3}]이다. 평면 [eqn: alpha]위에 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원의 평면 [eqn: beta]위로의 정사영의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 12 pi]       [eqn: ②][eqn: 12 sqrt {2} pi]      [eqn: ③][eqn: 18 sqrt {3} pi]

[eqn: ④][eqn: 24pi]         [eqn: ⑤][eqn: 24 sqrt {2} pi]

42 오른쪽 그림은 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정육면체이다. 대각선 [eqn: RmAG]와 옆면 [eqn: rmBFGC]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라.

43 오른쪽 그림은 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정육면체이다. 면 [eqn: rm ACF]와 옆면 [eqn: rm EFGC]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라.

44 직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기는 [eqn: 30DEG]이다. 직선 [eqn: l]위의 길이가 [eqn: 12rmcm]인 선분 [eqn: rmAB]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 3 sqrt {2} rmcm]     [eqn: ②][eqn: 3 sqrt {3} rm cm]      [eqn: ③][eqn: 6 rm cm]

[eqn: ④][eqn: 6 sqrt {2} rm cm]     [eqn: ⑤][eqn: 6 sqrt {3} rm cm]

45 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 30DEG], 평면 [eqn: beta]와 [eqn: gamma]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 45DEG]이다. 빛을 평면 [eqn: beta]와 수직인 방향으로 비출 때, 평면 [eqn: alpha]위의 넓이가 [eqn: 30]인 도형이 평면 [eqn: gamma]에 생기는 그림자의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 15 sqrt {2} rm]     [eqn: ②][eqn: 15 sqrt {3} rm]      [eqn: ③][eqn: 30]

[eqn: ④][eqn: 15 sqrt {6} rm]     [eqn: ⑤][eqn: 30 sqrt {2}]

46 좌표공간 위에 두 점 [eqn: rm A` it LEFT ( 2,~1,~0 RIGHT ) ,` rm B` it LEFT ( -1,~2,~a RIGHT )]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각의 크기가 [eqn: rm 60 DEG]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

47 평면 [eqn: alpha]위에 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정육각형이 있다. 두 평면 [eqn: alpha,`beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 30DEG]일 때, 이 정육각형의 평면 [eqn: beta]위로의 정사영의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 16 sqrt {3}]       [eqn: ②][eqn: 24]          [eqn: ③][eqn: 24 sqrt {3}]

[eqn: ④][eqn: 36]           [eqn: ⑤][eqn: 36 sqrt {3}]

48 오른쪽 그림의 정육면체에서 삼각형 [eqn: rmAFH]와 밑면 [eqn: rm EFGH]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값을 구하여라.

49 오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 원기둥을 밑면과 이루는 각의 크기가 [eqn: 60DEG]가 되도록 자른 단면은 타원이 된다. 타원의 두 초점 사이의 거리를 구하여라.

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		1. 공간도형			반 / 번호
	01 직선, 평면의 위치 관계					이름

01    ④

답

평면이 하나로 결정되지 않는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

해

설

02    ③

답

[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )]  세 점 [eqn: rm A,~B,~H~ -> ~1]개
[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )]  세 점 [eqn: rm FG]와 세 점 [eqn: rm A,~B,~H~ -> ~3]개
[eqn: LEFT ( rm iii RIGHT )] 세 점 [eqn: rmCE]와 네 점 [eqn: rmB,~C,~H,~E~ ->] 2개
[eqn: therefore6]개

해

설

03    ③

답

ㄱ. [eqn: rmbarAD]와 꼬인 위치에 있는 모서리는
[eqn: rm {bar{BF}} ,~ rm {bar{CG,}} ~ rm {bar{EF,}} ~ rm {bar{HG}}]이므로 [eqn: 4]개다. (참)
ㄷ. [eqn: rm {bar{BC}} BOT](평면 [eqn: rmCDHG])이므로 [eqn: rm {bar{BC}} BOT {bar{DG}}]
이다.(참)

해

설

04    ①

답

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

해

설

05    ③

답

[eqn: {} _{6} C _{2} = {6times5} over {2} =15]

해

설

06    ③

답

[eqn: rm {bar{PQ}} BOT {bar{AB}}]이므로 [eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {7 ^{2} - LEFT ( sqrt {13} RIGHT ) ^{2}} =6]
[eqn: THEREFORE {bar{rmOQ}} = sqrt {6 ^{2} -5 ^{2}} = sqrt {11}]

해

설

07    ③

답

ㄱ, ㄴ 직선 [eqn: rmCD]와 직선 [eqn: rmBQ], 직선 [eqn: rmAD]와 직선 [eqn: rmBC]는 서로 만나지도 평행하지도 않으므로 꼬인 위치에 있다.

해

설

08    ④

답

[eqn: rm {bar{AC}} BOT {bar{BD}} ,~ {bar{BD}} BOT {bar{CG}}]
[eqn: THEREFORE rm {bar{BD}} BOT](평면 [eqn: rmACG])
따라서 [eqn: rm {bar{BD}} BOT {bar{AG}}]이므로 두 선분이 이루는 각의 크기는 [eqn: 90DEG]이다.

해

설

09    ⑤

답

ㄱ. 평면 [eqn: rmADG] 위의 두 선분 [eqn: rm AD,~DG]에 대하      여 [eqn: rm {bar{AD}} BOT {bar{CH}} ,~ {bar{DG}} BOT {bar{CH}}]이므로
(평면 [eqn: rmADG])[eqn: BOT rmbarCH] (참)
ㄷ. [eqn: rm {bar{AE}} ⫽ rm {bar{DH}} ,~ rm {bar{OG}} ⫽ BOT rm {bar{DH}}]이므로
(평면 [eqn: rm ACGE])[eqn: ⫽ rm {bar{DH}}] (참)

해

설

10    ③

답

[eqn: TRIANGLE rmABC]와 [eqn: TRIANGLE rm BCD]는 정삼각형이므로 [eqn: rm {bar{AE}} BOT {bar{BC}} ,~ {bar{MD}} BOT {bar{BC}}]
따라서 (평면 [eqn: rmAMD])[eqn: BOT rm {bar{BC}}]이므로 [eqn: rm {bar{MN}} BOT {bar{BC}}]
[eqn: TRIANGLE rm AMD]가 이등변삼각형이므로 [eqn: rm {bar{MN}} BOT {bar{AD}}]
따라서 두 모서리 [eqn: rmAD]와 [eqn: rmBC] 사이의 최단 거리는 선분 [eqn: rm MN]의 길이와 같다.
[eqn: rm {bar{AN}} = {1} over {2} it a,~ rm {bar{AM}} = {sqrt {3}} over {2} it a~]
[eqn: rm {bar{MN}} = sqrt {rm {bar{AM}} ^{2} - rm {bar{AN}} ^{2}}# ~~~~= it sqrt {LEFT ( {sqrt {3}} over {2} a RIGHT ) ^{2} LEFT ( {1} over {2} a RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {2}} over {2} it a~]

해

설

11    ③

답

[eqn: {1} over {2} rm {bar{EH}} · rm {bar{HG}} = {1} over {2} {bar{EG}} · rm {bar{HI}} ~~~ THEREFORE rm {bar{HI}} = {2} over {sqrt {5}} ~]
[eqn: TRIANGLE rmDHI]는 직각삼각형이므로
[eqn: rm {bar{DI}} = sqrt {rm {bar{DH}} ^{2} + rm {bar{HI}} ^{2}} = sqrt {1+ {4} over {5}} = {3 sqrt {5}} over {5}]

해

설

12    ③

답

삼각형 [eqn: rmBDG]는 정삼각형이므로 직선 [eqn: rmBD]와 직선 [eqn: rmDG]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 60DEG]이고, 면 [eqn: rmBCGF]와 면 [eqn: rmACGE]가 이루는 각의 크기는 [eqn: rmangleACB]와 같으므로 [eqn: `45DEG]이다.

해

설

13    ③

답

직선 [eqn: rmAC] 위에 한 점 [eqn: rmP]를 잡고, 점[eqn: rmP]에서 교선 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ], 점 [eqn: rmQ]에서 직선 [eqn: rmAD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR]라고 하면 [eqn: cos` rm LEFT ( ANGLE CAD RIGHT ) = {{bar{AR}}} over {{bar{AP}}} = {1} over {2}~~~thereforeangleCAD=60DEG]

해

설

14    ③

답

[eqn: TRIANGLE rmABC]에서 [eqn: rm {bar{PQ}} ⫽ {bar{AB}} ,~ {bar{PQ}} = {1} over {2} {bar{AB}} =1,]
[eqn: rm TRIANGLE ACD]에서 [eqn: rm {bar{PR}} ⫽ rm {bar{CD}} , rm {bar{PR}} = {1} over {2} rm {bar{CD}} =1]
또한 [eqn: rm {bar{AB}} BOT rm {bar{CD}}]이므로 [eqn: rm {bar{PQ}} BOT rm {bar{PR}}]
[eqn: therefore]([eqn: TRIANGLE rmPQR]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{PQ}} TIMES PR= {1} over {2}]

해

설

15    ①

답

[eqn: TRIANGLE rmPAK]에서 [eqn: rm {bar{PK}} = sqrt {3}], [eqn: TRIANGLE rm PKL]에서[eqn: rm {bar{PL}} = sqrt {2} ~]
[eqn: TRIANGLE rm PQM]에서 [eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {7+4 sqrt {2}}]
따라서 [eqn: TRIANGLE rmPKQ]에서
[eqn: cos` theta = rm {{bar{ KQ}} ^{2} + {bar{ PK}} ^{2} - {bar{PQ }} ^{2}} over {2· {bar{KQ }} · {bar{ PK}}} =- {sqrt {6}} over {3}]

해

설

16  (1)[eqn: 90DEG] (2)[eqn: 45DEG](3)[eqn: 60DEG]

답

17  [eqn: rm {bar{EG}} ,` sqrt {2}]

답

18  ③

답

[eqn: ㄱ.`]위의 그림에서 [eqn: l BOT m,`m BOT n]이지만 두 직선         [eqn: l,`m]은 평행하지 않다. (거짓)
[eqn: ㄴ.`]한 직선에 수직인 서로 다른 두 평면은 평행하      다.(참)
[eqn: ㄷ.`]한 직선과 한 평면이 만나지 않으면 그들은 서      로 평행하다. (참)
[eqn: ㄹ.`]한 평면에 수직인 서로 다른 두 평면은 평행하      지 않고 수직일 수 있다. (거짓)
따라서 옳은 것은 [eqn: ㄴ,`ㄷ]이다.

해

설

19  ④

답

[eqn: ㄱ.`]한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선이 수직인       경우 평행하지 않다. (거짓)
[eqn: ㄴ.`]한 평면에 수직인 서로 다른 두 직선은 평행하       다. (참)
[eqn: ㄷ.`]꼬인 위치에 있으면 두 직선은 만나지도 않고        평행하지도 않다. (거짓)
[eqn: ㄹ.`]만나는 두 평면은 교선을 가지며, 교선은 무수히      많은 점을 가지고 있다. (참)

해

설

20  [eqn: 16]

답

점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: rm {bar{AO}} it BOT alpha it ,` {bar{rm AH it}} it BOT it {bar{rm BC}}]이므로 삼수선의 정리에 의하여
[eqn: rm {bar{OH}} it BOT {bar{rm BC it}}]이면각의 정의에 의하여 [eqn: anglermAHO]는 평면 [eqn: rmABC]와 평면 [eqn: alpha]의 이면각이다. 이때, [eqn: rm {bar{AO}} =1]로 놓으면 [eqn: rm {bar{BO}} =1,` {bar{CO}} = sqrt {3}]이고,
[eqn: rm {bar{BC}} it = sqrt {it rm {bar{BO}} ^{2} it + rm {bar{CO}} ^{2} it} =2]이므로
[eqn: {1} over {2} rm {bar{BO}} · rm {bar{CO}} = {1} over {2} {bar{BC}} · {bar{HO}}]에서 [eqn: rm {bar{HO}} = {sqrt {3}} over {2}]
[eqn: THEREFORE `tan theta = rm {{bar{AO}}} over {{bar{HO}}} = {1} over {{sqrt {3}} over {2}} = {2 sqrt {3}} over {3}]
따라서 구하는 값은 [eqn: 12tan ^{2} theta=16#]

해

설

21  [eqn: 8]

답

두 선분 [eqn: rm {bar{BC}}]와 [eqn: rm {bar{CD}}]의 중점을 각각 [eqn: rmM,`N]이라 하면
[eqn: rm {bar{BC}} ⫽ rm {bar{BD}} ,` rm {bar{MN}} = {1} over {2} rm {bar{BD}} =12]
한편, 무게중심은 중선을 꼭짓점으로부터 [eqn: 2:1]로 내분하는
점이므로 [eqn: rm {bar{AG}} = rm {2} over {3} {bar{AM}} ,`] [eqn: {bar{rm AH it}} = {2} over {3} rm {bar{AN}} it]
따라서 [eqn: TRIANGLE rm AMN∾ TRIANGLE rm rmAGH]이므로
[eqn: rm {bar{GH}} = {2} over {3} rm {bar{MN}} = rm 8]

해

설

22  ①

답

전개도를 이용하여 최단 거리를 구한다. 입체의 전개도를 그리면 오른쪽 그림과 같고, [eqn: TRIANGLE rmAVD]는 직각삼각형이다.
[eqn: THEREFORE rm {bar{DE}} + rm {bar{EF}} + rm {bar{FA}} >= + rm {bar{DA}} = sqrt {5}]

해

설

23  ④

답

[eqn: ㄱ.`12cos ^{2`} theta=3]이면 [eqn: costheta= {1} over {2}]
그런데 꼭짓점 두 점을 잡아 한 변 [eqn: rm AB]와 이루는 각에 대한 코사인값이 [eqn: cos theta = {1} over {2}]인 경우는 없다.

해

설

24  ④

답

[eqn: rm {bar{OB}} it =x]로 놓으면
[eqn: rm {bar{OA}} it =4]이므로
[eqn: rm {bar{CD}} it = rm {bar{AB}}# = rm {bar{OA}} + rm {bar{OB}} it =x+4] 직선 [eqn: l]의 경사도가 [eqn: {1} over {5}]이므로 [eqn: rm {bar{OC}} it = sqrt {26}], [eqn: anglermOBD]에서
[eqn: rm {bar{OC}} it = sqrt {x ^{2} + {bar{rm BD ^{2} it}} it} = sqrt {x ^{2} +10}]
[eqn: TRIANGLE rmCOD]에서 피타고라스의 정리에 의하여
[eqn: LEFT ( 4+x RIGHT ) ^{2} =26+ LEFT ( x ^{2} -10 RIGHT ) ~~~thereforex= {5} over {2}]
따라서 직선 [eqn: m]의 경사도는
[eqn: rm {{bar{DE}} it rm} over {{bar{OE}} it rm} it = {1} over {sqrt {x ^{2} +3 ^{2}}} = {2 sqrt {61}} over {61}]

해

설

25  ⑤

답

[eqn: ㄴ.] 정사면체의 꼭짓점을 밑면에 정사영시키면 무        게중심이 수선의 발이다.
따라서 옆면의 정사영이 무게중심을 꼭짓점으       로 하는 이등변삼각형이 되므로 [eqn: cos`theta _{4} = {1} over {3}]        그런데 [eqn: cos LEFT ( pi-theta _{4} RIGHT ) =-costheta _{4} =- {1} over {3} =costheta _{8}]       이 성립하므로 [eqn: theta _{4} +theta _{8} =pi] (참)

해

설

26   ①

답

[eqn: rmO]를 원점으로 하는 좌표공간을 생각하면[eqn: rm A LEFT ( -2,~-2,~2 RIGHT ) ,` rm B LEFT ( -3,~-3,~3 RIGHT )] 이므로
[eqn: rm {bar{OA}} `= sqrt {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} +2 ^{2}} =2 sqrt {3}]             [eqn: rm {bar{OB}} `= sqrt {LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} +3 ^{2} +3 ^{2}} =3 sqrt {3}]                 [eqn: rm {bar{AB}} `= sqrt {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +5 ^{2} +1 ^{2}} =3 sqrt {3}]
코사인 법칙을 이용하면
[eqn: cos` theta = rm {{bar{OA}} ^{2} + {bar{OB}} ^{2} - {bar{AB}} ^{2}} over {2· {bar{OA}} · {bar{OB}}} = {12+27-27} over {2·2 sqrt {3} ·2 sqrt {3}} = {1} over {3}]

해

설

27   ②

답

오른쪽 그림에서
[eqn: rmA LEFT ( 40,~10,~0 RIGHT ) ,`rmB LEFT ( 0,~40,~30 RIGHT )]
이므로
[eqn: rm {bar{AB}} `= sqrt {LEFT ( 0-40 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 40-10 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 30-0 RIGHT ) ^{2}}# ~~~~=10 sqrt {34} rm m]

해

설

28    ④

답

정육면체의 점 [eqn: rmE]를 원점으로 하는 공간좌표에 놓고, 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmQ]가 속력 [eqn: 1]로 움직인다면 [eqn: 4]초 후에 처음 자리에 돌아오게 된다.
[eqn: LEFT ( rm i`it RIGHT ) `0 <= t <=]일 때 [eqn: rm R it LEFT ( {2-t} over {2} ,` {2-t} over {2} ,` {1} over {2} ` RIGHT )]
[eqn: LEFT ( rm ii`it RIGHT ) `1 <= t<2]일 때 [eqn: rm R it LEFT ( {2-t} over {2} ,` {2-t} over {2} ,` {1} over {2} ` RIGHT )]
[eqn: LEFT ( rm iii` it RIGHT ) `2 <= t<3]일 때 [eqn: rm R it LEFT ( {t-2} over {2} ,` {t-2} over {2} ,` {1} over {2} ` RIGHT )]
[eqn: LEFT ( rm iv` it RIGHT ) `3 <= t<4]일 때 [eqn: rm R it LEFT ( {t-2} over {2} ,` {t-2t} over {2} ,` {1} over {2} ` RIGHT )]
각 구간에서 점 [eqn: rmR]의 [eqn: z]좌표는 일정하고,  [eqn: x]좌표와, [eqn: y]좌표는 같으므로 점 [eqn: rmR]는 평면에서의 직선 [eqn: y=x] 위를 왕복한다. 따라서 정사각형의 대각선의 길이는 [eqn: sqrt {2}]이므로 점 [eqn: rmR]가 움직인 거리는 [eqn: 2 sqrt {2}]이다.

해

설

29   [eqn: 17](개)

답

[eqn: LEFT ( rm i RIGHT ) rm][eqn: rmA,`B,`C,`D]중 [eqn: 2]개와 [eqn: rmP,`Q]중 [eqn: 1]개로 이루어지는     평면의 개수는 [eqn: {} _{4} rmC _{2} times _{2} C _{1} =12](개)
[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )][eqn: rm A,`B,`C,`D]중 [eqn: 1]개와 [eqn: rmP,`Q]중 [eqn: 2]개로 이루어지는     평면의 개수는 [eqn: {} _{4} rm C _{1} =4](개)
[eqn: LEFT ( rm iii RIGHT ) rm]평면 [eqn: rm A`B`C`D]
[eqn: LEFT ( rm i RIGHT ) rm], [eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )], [eqn: LEFT ( rm iii RIGHT ) rm]에 의하여 [eqn: 12+4+1=17]

해

설

30   [eqn: 17](개)

답

31   [eqn: 90 DEG]

답

[eqn: rm {bar{AB}} BOT {bar{BC}} ,` rm {bar{AB}} BOT {bar{BF}}]에서
[eqn: rm {bar{AB}} BOT](평면 [eqn: rmBFGC])
[eqn: therefore rm {bar{AB}} BOT {bar{CF}}]
또한, [eqn: rm {bar{BG}} BOT {bar{CF}}]이므로
[eqn: rm {bar{CF}} BOT](평면 [eqn: rmABG])
[eqn: THEREFORE rm {bar{CF}} BOT {bar{AG}}]
따라서 [eqn: rm {bar{AG}}]와[eqn: rm {bar{CF}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 90DEG]

해

설

32   [eqn: {7 sqrt {5}} over {5}]

답

[eqn: rm {bar{OA}} BOT](평면 [eqn: rm OBC]),
[eqn: rm {bar{AH}} BOT rm {bar{BC}}]이므로
삼수선의 정리에 의하여
[eqn: rm {bar{OH}} BOT rm {bar{BC}}]
한편, [eqn: TRIANGLE rmOBC]에서
[eqn: {1} over {2} · rm {bar{OB}} · {bar{OC}} = {1} over {2} · {bar{BC}} · {bar{OH}}]
[eqn: {1} over {2} · rm 2·1= {1} over {2} · sqrt {5} · {bar{OH}}]
[eqn: thereforerm {bar{OH}} = {2} over {sqrt {5}}]
[eqn: THEREFORE rm {bar{AH}} = sqrt {{bar{OA}} ^{2} + {bar{OH}} ^{2}} = sqrt {9+ {4} over {5}} = {7 sqrt {5}} over {5}]

해

설

33   [eqn: ⑤]

답

어느 세 점도 일직선 위에 있지 않고 , 어느 네 점도 한 평면 위에 있지 않으므로 서로 다른 세 점에 의하여 평면이 하나 결정된다.
따라서 구하는 평면의 개수는
[eqn: rm _{6} C _{3} = {6 TIMES 5 TIMES 4} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =20](개)

해

설

34   [eqn: ④]

답

[eqn: {} _{4} rm C _{2} TIMES _{2} rm C _{1} + _{4} rm C _{1} TIMES _{2} C _{2} +1=17](개)

해

설

35   [eqn: ⑤]

답

[eqn: rm {dyad{DG}} ⫽ {dyad{AF}}]이므로 두 직선 [eqn: rmBE]와 [eqn: rmDG]가 이루는 각의 크기는 두 직선 [eqn: rmBE]와 [eqn: rmAF]가 이루는 각의 크기와 같고, 사각형 [eqn: rmAEFB]는 정사각형이므로 두 대각선은 서로 수직으로 만난다.
[eqn: THEREFORE theta = {pi } over {2}]    [eqn: THEREFORE `sin`` theta =sin {pi } over {2} =1]

해

설

36   [eqn: 90DEG]

답

[eqn: rm {bar{AB}} BOT](평면 [eqn: rmBFGC]), [eqn: rm {bar{AB}} BOT rm {bar{CF}} , rm ` {bar{BG}} BOT rm {bar{CF}}]이므로
[eqn: rm {bar{CF}} BOT](평면 [eqn: rmABG])   [eqn: THEREFORE rm {bar{CF}} BOT rm {bar{AG}}]

해

설

37   [eqn: ②]

답

(가) 세 점이 일직선 위에 있으면 무수히 많은           평면이 결정된다.
(다)꼬인 위치에 있는 두 직선으로 이루어지는           평면은 없다.

해

설

38   [eqn: ⑤]

답

한 직선에 대하여 평행한 평면 사이에는 일정한 관계가 없지만 한 직선에 대하여 수직인 평면들은 서로 평행한 관계에 있다.

해

설

39   [eqn: 4 sqrt {5}]

답

점 [eqn: rmF]에서 [eqn: rmbarAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO]라 하면 [eqn: rm {bar{FO}} it = sqrt {rm {bar{BF}} ^{2} + it rm {bar{BO}} ^{2} it} =2 sqrt {5}]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm ACF= {1} over {2} · {bar{AC}} · {bar{FO}} = {1} over {2} ·4·2 sqrt {5} =4 sqrt {5}]

해

설

40   [eqn: 45DEG]

답

점 [eqn: rmD]에서 면 [eqn: rmEFGH]에 내린 수선의 발이 [eqn: rmH]이므로 구하는 각의 크기는 [eqn: anglermDEH]이므로 [eqn: 45DEG]이다.

해

설

41   [eqn: 90 DEG]

답

두 면 [eqn: rmAEHD]와 [eqn: rmEFGH]가 이루는 각은 두 모서리 [eqn: rmAE]와 [eqn: rmEF]가 이루는 각과 같으므로 [eqn: 90DEG]이다.

해

설

42   [eqn: ⑤]

답

[eqn: a=4,`b=3,`x=4]   [eqn: thereforeabc=4times3times4=48]

해

설

43   [eqn: ⑤]

답

[eqn: rm {dyad{DE}} ⫽ {dyad{CF}}]이므로 두 직선 [eqn: rmBE]와 [eqn: rmCF]가 이루는 각의 크기는 두 직선 [eqn: rmBE]와 [eqn: rmDE]가 이루는 각의 크기와 같다. [eqn: TRIANGLE rmBDE]가 정삼각형이므로 [eqn: theta=60DEG]
[eqn: THEREFORE `sin` theta =sin`60DEG= {sqrt {3}} over {2}]

해

설

44   [eqn: 24 sqrt {3}]

답

정육면체의 한 모서리의 길이를 [eqn: a]라고하면 [eqn: sqrt {3} a=6]일 때 최대이므로 [eqn: a=2 sqrt {3}]
[eqn: THEREFORE a ^{3} = LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{3} =24 sqrt {3}]

해

설

45   [eqn: ⑤]

답

오른쪽 그림과 같이 직육면체를 붙여 놓으면 [eqn: rmbarAG]와 [eqn: rmbarGJ]가 이루는 각의 크기와 같다.
[eqn: rm {bar{AG}} = sqrt {14} ,` {bar{GJ}} = sqrt {5} ,` {bar{AJ}} =5`]이므로
[eqn: cos`theta= {14+5-25} over {2 sqrt {14} sqrt {5}} =- {3 sqrt {70}} over {70}]

해

설

46   [eqn: sqrt {2}]

답

오른쪽 그림에서
[eqn: rm {bar{AP}} =1,` rm {bar{AQ}} = sqrt {3}]이므로
[eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {rm {bar{AQ}} ^{2} - rm {bar{AP}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {2}]

해

설

47   [eqn: {sqrt {3}} over {4}]

답

오른쪽 그림과 같이 직선 [eqn: l]위에
[eqn: rm {bar{AB}}=2]인 점 [eqn: rmB]를 잡으면
[eqn: rm {bar{BH}} =1,` rm {bar{AH}} = sqrt {3} ,`][eqn: rm {bar{AC}} =2 sqrt {3} ,` rm {bar{CH}} =3]이므로 [eqn: rm {bar{BC}} = sqrt {10}]
[eqn: THEREFORE ` theta = rm {{bar{AB}} ^{2} + {bar{AC}} ^{2} - {bar{BC}} ^{2}} over {2 {bar{AB}} · {bar{AB}}} = {sqrt {3}} over {4}]

해

설

48  [eqn: ①]

답

[eqn: TRIANGLE rmOBC=24]이므로 [eqn: rm {bar{OH}} =8]
[eqn: TRIANGLE rm OBC]에서 [eqn: rm {bar{AH}} =10]   [eqn: therefore TRIANGLE rmABC=30]
구하는 수선의 길이를 [eqn: x]로 놓으면
[eqn: {1} over {3} times30timesx=48~~~thereforex=4.8]

해

설

49   [eqn: ①]

답

점 [eqn: rmO]를 좌표공간 위의 원점으로 놓으면
[eqn: rm A LEFT ( -2,~-2,~2 RIGHT ) ,`B LEFT ( -3,~3,~3 RIGHT )]
[eqn: rm {bar{OA}} =2 sqrt {3} ,` rm {bar{OB}} =3 sqrt {3} ,` rm {bar{AB}} =3 sqrt {3}]이므로
[eqn: cos` theta = rm {{bar{OA}} ^{2} + {bar{OB}} ^{2} - {bar{AB}} ^{2}} over {2 {bar{OA}} · {bar{OB}}} = {12+27-27} over {2·2 sqrt {3} ·3 sqrt {3}} = {1} over {3}]

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		1. 공간도형			반 / 번호
	02 삼수선의 정리					이름

01  ⑤

답

(가)삼수선의 정리,(나)평면 [eqn: rm ADN], (다)[eqn: rm {bar{DA}}]

해

설

02  [eqn: 3]

답

[eqn: alpha BOT rmbarPO], [eqn: rmbarOQ BOT barAB]이므로 [eqn: rm {bar{PQ}} BOT {bar{AB}}] 따라서 삼각형 [eqn: rmPAQ]가 직각삼각형이므로           [eqn: rmbarPQ][eqn: = sqrt {rm {bar{AP}} ^{2} - {bar{AQ}} ^{2} it}][eqn: = sqrt {7 ^{2} - LEFT ( 2 sqrt {6} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =5]
[eqn: rm {bar{OQ}}][eqn: = sqrt {rm {bar{PQ}} ^{2} - {bar{PO}} ^{2} it}][eqn: = sqrt {5 ^{2} -4 ^{2}}][eqn: =3]

해

설

03  [eqn: 6]

답

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm {bar{PO}} BOT rm {bar{OQ}} ,`` rm {bar{OQ}} BOT rm {bar{AB}}]이면 [eqn: rm {bar{PQ}} BOT {bar{AB}}]이므로
[eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {{bar{AQ}} ^{2} - {bar{AQ}} ^{2}} = sqrt {14 ^{2} - LEFT ( 4 sqrt {6} ^{2} RIGHT )} =10]
[eqn: rm therefore {bar{OQ}} = sqrt {{bar{PQ}} ^{2} - {bar{OP}} ^{2}} = sqrt {10 ^{2} -8 ^{2}} =6]

해

설

04   [eqn: 6]

답

[eqn: rm {bar{PO}} it BOT alpha ,` rm {bar{PO}} it BOT l]이므로 삼수선의 정리에 의하여
[eqn: rm {bar{PQ}} it BOT l]이다.
[eqn: THEREFORE rm {bar{PQ}} it = sqrt {rm {bar{OP}} ^{2} + {bar{OQ}} ^{2} it} = sqrt {16+8} =2 sqrt {6}]
[eqn: THEREFORE rm {bar{AP}} it = sqrt {rm {bar{PQ}} ^{2} + {bar{AQ}} ^{2} it} = sqrt {24+12} =6]

해

설

05   [eqn: {7 sqrt {5}} over {5}]

답

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm {bar{OH}} it BOT rm {bar{BC}}]
[eqn: rm {bar{OH}} it = {2} over {sqrt {5}}]    [eqn: rm {bar{AH}} it = sqrt {rm {bar{OA}} ^{2} + it rm {bar{OH}} ^{2} it} = sqrt {9+ {4} over {5}} = {7 sqrt {5}} over {5}]

해

설

기하와 벡터	Ⅲ. 공간도형과 공간벡터		1. 공간도형			반 / 번호
	03 정사영					이름

01    ③

답

[eqn: rmbarOA]의 다른 삼등분점을 [eqn: rmD]라고 하면 [eqn: cos`theta=rm {barPM} over {barDM}] 정사면체 [eqn: rmODQR]의 한 변의 길이를 [eqn: 2]라고 하면 [eqn: rm {bar{DP}} =1, rm ` rm {bar{DM}} = sqrt {3} ,][eqn: ` rm {bar{PM}} = sqrt {2}]
[eqn: cos`theta= {sqrt {6}} over {3}]

해

설

02    ②

답

[eqn: sqrt {2} =l`cos`45 DEG]  [eqn: sqrt {2} =l· {1} over {sqrt {2}}]
[eqn: thereforel=2]

해

설

03    ⑤

답

[eqn: rm {bar{A prime B prime }} = {bar{AB}} `cos`theta]에서 [eqn: cos`theta= {3} over {4}]
[eqn: sin` theta = sqrt {1-cos ^{2} theta `} = sqrt {1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2}}]=[eqn: sqrt {{7} over {16}}]
[eqn: therefore`sin`theta= {sqrt {7}} over {4}]

해

설

04    ③

답

잘린 단면과 밑면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: cos`theta= {4} over {2 sqrt {13}} = {2} over {sqrt {13}}]
한편 잘린 단면의 넓이를 [eqn: S], 밑면의 넓이를 [eqn: S prime]이라고 하면 [eqn: S prime =4 pi]이므로 [eqn: S prime =S`cos` theta]에서
[eqn: 4pi=rmS· {2} over {sqrt {13}} ~~~~~~thereforermS=2 sqrt {13} pi]

해

설

05    ①

답

[eqn: rm {bar{EG}} = sqrt {1 ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {5} ,~# rm {bar{AG}} = sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} + LEFT ( sqrt {5 ^{2}} RIGHT )} = sqrt {10}]
[eqn: ANGLE rmAGE= theta]이므로 직각삼각형 [eqn: rmAGE]에서
[eqn: cos` theta = rm {{bar{EG}}} over {{bar{AG}}} = {sqrt {5}} over {sqrt {10}} = {sqrt {2}} over {2}]

해

설

06    ③

답

변 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 하면 [eqn: rm {bar{AM}} BOT {bar{BC}} ,~ rm {bar{DM}} BOT {bar{BC}} ~]꼬짓점 [eqn: rmA]에서 밑면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면 [eqn: rm {bar{MH}} = {1} over {3} rm {bar{MD}}]
[eqn: THEREFORE `cos`` theta = {rm {bar{MH}} it} over {rm {bar{AM}} it} =rm {{1} over {3} {bar{MD}}} over {{bar{MD}}} = {1} over {3}]

해

설

07    ②

답

직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: rm {bar{XY}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라 하고, 다시 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: m]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC,~ {bar{PA}} =1]이라고 하면
[eqn: rm {bar{PB}} =1·cos`60 DEG = {1} over {2} ,~ rm {bar{PC}} = rm {bar{PB}} ·cos`30 DEG = {sqrt {3}} over {4}]
따라서 직각삼각형 [eqn: rmAPC]에서
[eqn: cos`theta=rm {barPC} over {barAP} = {sqrt {3}} over {4}]

해

설

08    ②

답

[eqn: rm {bar{A prime B prime }} = {bar{AB}} cos`30 DEG]
[eqn: THEREFORE rm {bar{AB}} = {{bar{rm A prime B prime }}} over {cos`30 DEG } = {2 sqrt {3}} over {{sqrt {3}} over {2}} =4]

해

설

09    ②

답

평면 [eqn: beta]위의 원의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: S= pi TIMES 2 ^{2} =4 pi]
따라서 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이 [eqn: S']은
[eqn: S prime =S`cos`60 DEG =4 pi TIMES {1} over {2} =2 pi]

해

설

10    ④

답

[eqn: rm {bar{CI}} =3,~ rm {bar{IG}} =1,~ rm {bar{OG}} =2 sqrt {2} ,~ rm {bar{OI}} =3]이므로
[eqn: cos`theta=rm {barOG} over {barOI} = {2 sqrt {3}} over {3}]
[eqn: TRIANGLE rmFGH]의 [eqn: TRIANGLE rmFIH] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라고 하면
[eqn: S=8 TIMES cos` theta =8 TIMES {2 sqrt {2}} over {3} = {16 sqrt {2}} over {3}]

해

설

11    ⑤

답

[eqn: rm {bar{OC}} = sqrt {12 ^{2} -8 ^{2}} = sqrt {80} =4 sqrt {5} ,~# rm {bar{OB}} = sqrt {10 ^{2} -8 ^{2}} = sqrt {36} =6# rm {bar{OD}} = rm {bar{BC}} = sqrt {rm {bar{OC}} ^{2} - rm {bar{OB}} ^{2}}# ~~~= sqrt {80-36} = sqrt {44}# rm {bar{AD}} = sqrt {rm {bar{OA}} ^{2} + rm {bar{OD}} ^{2}} = sqrt {108} =6 sqrt {3} LEFT ( rm m RIGHT )]

해

설

12   [eqn: 0]

답

정육면체 하나를 더 붙이면 [eqn: rm {bar{AF}} ⫽ rm {bar{CK}}], [eqn: rm {bar{AF}} = rm {bar{CK}}]
따라서 두 선분 [eqn: rmEC]와 [eqn: rmCK]가 이루는 각의 크기는 [eqn: theta]이다. 정육면체의 한 변의 길이를 [eqn: a]라고 하면 [eqn: rm {bar{CE}} = sqrt {3} it a], [eqn: rm {bar{EK}} = sqrt {5} it a], [eqn: {bar{RMCK}} = sqrt {2} it a~]
[eqn: THEREFORE theta = {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2}} over {2· sqrt {3} a· sqrt {2}} =0]

해

설

13    ③

답

두 점 [eqn: rmA,~B]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영을 각각 [eqn: rmA',~B']라고 하면 [eqn: rmA' LEFT ( 2,~-1,~0 RIGHT )], [eqn: rmB' LEFT ( 1,~2,~0 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE `cos` theta = rm {{bar{A prime B prime }}} over {{bar{AB}}} = {sqrt {10}} over {sqrt {35}} = {sqrt {14}} over {7}]

해

설

14    ④

답

점 [eqn: rm P it LEFT ( a,~b,~c` RIGHT )]의 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면 위로의 정사영을 각각 [eqn: rmP _{1} ,~P _{2}]라고 하면 [eqn: rm P _{1} it LEFT ( a,~b,~0` RIGHT )], [eqn: rm P _{2} it LEFT ( 0,~b,~c` RIGHT )]
선분 [eqn: rmOP]의 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면 위로의 정사영의 길이가 각각 [eqn: sqrt {11}], [eqn: 5]이므로
[eqn: rm {bar{OP}} _{1} ^{2} =it`a ^{2} +b ^{2} =11], [eqn: rm {bar{OP}} _{2} ^{2} = it `b ^{2} +c ^{2} =25]
[eqn: THEREFORE rmbarOP][eqn: = sqrt {36-b ^{2}}]
[eqn: 0 LEQ b ^{2} LEQ 11]에서 [eqn: 5 LEQ rmbarOP LEQ 6]
[eqn: thereforeM+m][eqn: =6+5][eqn: =11]

해

설

15    ⑤

답

[eqn: TRIANGLE rm A prime B prime C prime == TRIANGLE rm ABM]이므로 [eqn: rmangleANB=theta]
[eqn: THEREFORE `cos` theta = rm {{bar{MA}} ^{2} + {bar{MB}} ^{2} - {bar{AB}} ^{2}} over {2 {bar{MA}} · {bar{MB}}}]                        [eqn: = {LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -4 ^{2}} over {2·2 sqrt {3} ·2 sqrt {3}} = {1} over {3}]

해

설

16   ④

답

두 점 [eqn: rmA,~B]의 [eqn: yz]평면 위로의 정사영을 각각 [eqn: rm A prime ,~B']이라고 하면 [eqn: rm A prime LEFT ( 0,~ sqrt {2} ,~3 RIGHT ) ,~B prime LEFT ( 0,~0,~ita RIGHT )]
[eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {ita ^{2} -6a+20} ,~ {bar{A prime B prime }} it = sqrt {a ^{2} -6a+11}][eqn: sqrt {a ^{2} -6a+11} it = sqrt {a ^{2} -6a+20} ·cos`60DEG]
[eqn: THEREFORE a ^{2} -6a+8=0]
따라서 근과 계수의 관계로부터 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 6]이다.

해

설

17    ②

답

점 [eqn: rmQ]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면 [eqn: rm {bar{PQ}} BOT alpha ,~ {bar{QH}} BOT {bar{AB}}]이므로 삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm {bar{PH}} BOT {bar{AB}}]
[eqn: THEREFORE `cos LEFT ( ANGLE rm PAB RIGHT ) = {{bar{AH}}} over {{bar{AP}}} = {{bar{AH}}} over {{bar{AQ}}} TIMES {{bar{AQ}}} over {{bar{AP}}}]                         [eqn: = {sqrt {3}} over {2} TIMES {1} over {2} = {sqrt {3}} over {4}]

해

설

18    ④

답

[eqn: rmbarAD]의 중점을 [eqn: rmR]라고 하면 [eqn: rm TRIANGLE PQR]는 직각이등변삼각형이고, [eqn: rmbarPQ]와 [eqn: rm {bar{AC}}]가 이루는 각의 크기는
[eqn: rmbarPQ]와 [eqn: rm {bar{RQ}}]가 이루는 각의 크기와 같다.
[eqn: therefore`sin45DEG= {sqrt {2}} over {2}]

해

설

19    ④

답

[eqn: rmbarAC]의 중점을 [eqn: rmM,~angleBMD=alpha]라고 하면 [eqn: rm {bar{BM}} = rm {bar{MD}} = {sqrt {3}} over {2}], [eqn: rm {bar{BD}} = sqrt {2}] [eqn: thereforecosalpha- {1} over {3}]
따라서 구하는 정사영의 넓이는
([eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이)·[eqn: cos( pi - alpha )= {sqrt {3}} over {4} · {1} over {3} = {sqrt {3}} over {12}]

해

설

20    ⑤

답

구의 정사영은 원이고, 정사영의 반지름과 구의 반지름의 길이는 서로 같으므로 정사영의 넓이는 [eqn: 8times8timespi=64pi]

해

설

21    [eqn: {2 sqrt {26}} over {13}]

답

[eqn: rm {bar{AB}} =it4a]라고 하면 [eqn: TRIANGLE rmFKD]에서
[eqn: cos` LEFT ( ANGLE RMFKD RIGHT ) =- {3} over {5 sqrt {17}}]
([eqn: TRIANGLE rmFKD]의 넓이)[eqn: ·cos`theta=]([eqn: TRIANGLE rmFGH]의 넓이)
[eqn: LEFT { {1} over {2} ·5a· sqrt {17} a· sqrt {1- LEFT ( - {3} over {5 sqrt {17}} RIGHT ) ^{2}} RIGHT }# ~·cos` theta = {1} over {2} ·4a·4a]
[eqn: therefore`cos`theta= {2 sqrt {26}} over {13} `]

해

설

22  [eqn: 9]

답

직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmA]에서[eqn: rm {bar{XY}}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라하고, 다시 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: m]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC]라 하면 삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm {bar{AC}} it BOT m]이때, [eqn: rm {bar{PA}} =1]이라 하면 [eqn: rm {bar{PB}} =1·cos`60 DEG = {1} over {2} ,` rm][eqn: rm {bar{PC}} = rm {bar{PB}} ·cos`30 DEG `= {sqrt {3}} over {4}]
[eqn: thereforecostheta= {rm {bar{PC}} it} over {rm {bar{AP}} it} = {sqrt {3}} over {4} ~~therefore48cos ^{2} theta=9]

해

설

23  [eqn: 78]

답

두 직선 [eqn: {dyad{rm HM it}} `]과[eqn: {dyad{rm EF it}} `]와의 교점을 [eqn: rmK]라 하면 [eqn: {bar{rm EK` it}} `=4,` {bar{rm HK` it}} =5] 또, [eqn: {bar{rm EN it}} `:` {bar{rm EH it}} `= {bar{rm EK it}} `:` {bar{rm HK it}} `=4:5]에서  [eqn: {bar{rm EN` it}} `= {12} over {5}]
[eqn: {bar{rm AN` it}} `= sqrt {1 ^{2} + LEFT ( {12} over {5} RIGHT ) ^{2}} = {13} over {5} ~~ THEREFORE 30 {bar{rm AN` it}} =78]

해

설

24  [eqn: {3} over {4} pi]

답

[eqn: 60DEG]만큼 든 반구를 정사영시키면 반구의 반은 그래로 반원이 나오고, 다른 반은 타원이 나온다. 원의 넓이의 [eqn: {1} over {2}]은 [eqn: {pi} over {2}]이고, 반원을 정사영시키면 [eqn: {pi} over {2} timescos60DEG= {pi} over {4}]
따라서 구하는 값은 [eqn: {3pi} over {4}]이다.

해

설

25  [eqn: 2 sqrt {3} pi+20]

답

오른쪽 그림에서 [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]의 넓이의 합은 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원의 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이와 같다. 따라서 구하는 넓이는
[eqn: rm LEFT ( A+C RIGHT ) +B= LEFT ( pi TIMES 2 ^{2} RIGHT ) cos`30 DEG + LEFT ( 10 TIMES 4 RIGHT ) cos`60 DEG # ~~~~~~~~~~=2 sqrt {3} pi +20]

해

설

26  [eqn: {16} over {9} sqrt {3} pi+4]

답

단면과 밑면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos`theta= {sqrt {3}} over {2} ,`]정사영의 넓이는 [eqn: {8pi} over {3} +2 sqrt {3}]
따라서 단면의 넓이는 [eqn: LEFT ( {8 pi } over {3} +2 sqrt {3} RIGHT ) ÷cos` theta]
[eqn: = {16} over {9} sqrt {3} pi +4]

해

설

27  ⑤

답

구의 반지름의 길이를[eqn: r], 그림자의 넓이를 [eqn: rmS]라 하면 오른쪽 그림에서 구의 단면과 지면이 이루는 각의 크기가 [eqn: 26DEG]이므로
[eqn: pi r ^{2} = rm S``cos`26 DEG =0.9 rm S# THEREFORE pi r ^{2} =0.9 TIMES 10 pi]
[eqn: r ^{2} =9]에서 [eqn: r=3 LEFT ( rm m RIGHT )]

해

설

28  ⑤

답

[eqn: cos alpha = {1} over {sqrt {10}} ,``cos beta = {3} over {sqrt {10}}# rm S _{1} = {1} over {2} pi ·10 ^{2} `cos` alpha =5 sqrt {10} pi LEFT ( ㎠ RIGHT )# rm S _{2} = TRIANGLE rm ABC·cos beta =300· {3} over {sqrt {10}} =90 sqrt {10} LEFT ( ㎠ RIGHT )# THEREFORE rm S=S _{1} +S _{2} = LEFT ( 5 pi +90 RIGHT ) sqrt {10} LEFT ( ㎠ RIGHT )]

해

설

29  ⑤

답

삼각형 [eqn: rmEBD]의 넓이를 [eqn: rmS,] 삼각형 [eqn: rmEBD]의 세 평면 [eqn: rmABCD,`ABFE,`AEHD] 위로의 정사명의 넓이를 각각 [eqn: rm S _{1,`} rm S _{2,`} rm S _{3,`}]라 하면
[eqn: rm S ^{2} =S _{1} ^{2} +S _{2} ^{2} +S _{3} ^{2} = rm S ^{2} cos ^{2} ` alpha +S ^{2} cos ^{2} ` beta +S ^{2} cos ^{2} ` gamma]
[eqn: cos ^{2} ` alpha +cos ^{2} ` beta +cos ^{2} ` gamma =1]이고 ,
[eqn: cos`` alpha = {sqrt {2}} over {4} ,`cos`` beta = {sqrt {6}} over {4}]이므로 [eqn: cos`` gamma = {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE gamma = {sqrt {2}} over {2} LEFT ( BECAUSE `cos` gamma >0 RIGHT )]

해

설

30    ③

답

막대의 양 끝점을 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b,~c RIGHT ) ,` rm B LEFT ( 0,~0,~c RIGHT )]로 놓자.
점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP,`Q]라고 하면 [eqn: rm {bar{PB}} =50,` rm {bar{QB}} =60,`][eqn: rm {bar{OA}} =70`]
[eqn: THEREFORE a ^{2} +c ^{2} =50 ^{2} ,`b ^{2} +c ^{2} =60 ^{2} ,`a ^{2} +b ^{2} =70 ^{2}# THEREFORE rm {bar{AB}} ` ^{2} =ita ^{2} +b ^{2} +c ^{2}# ~~~~~~~= {1} over {2} LEFT { LEFT ( a ^{2} +c ^{2} RIGHT ) + LEFT ( b ^{2} +c ^{2} RIGHT ) + LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) RIGHT } =5500# THEREFORE rm {bar{AB}} `=10 sqrt {55} LEFT ( rm cm RIGHT )]

해

설

31    [eqn: 3 sqrt {3} (rmm)]

답

오른쪽 그림에서 [eqn: rm A LEFT ( 0,~0,~0 RIGHT ) ,`][eqn: rm B it LEFT ( a,~b,~0 RIGHT ) ,` rm C it LEFT ( 0,~b,~0 RIGHT ) ,` rm][eqn: ` rm D it it LEFT ( a,~0,~0 RIGHT )]으로 놓으면
[eqn: rm {bar{AB}} ^{2} ` it =a` ^{2} +b ^{2} +4 ^{2} =6 ^{2} ,][eqn: {bar{rm AC it}} ^{2} it = it b ^{2} +4 ^{2} =5 ^{2} `~~~` THEREFORE a ^{2} =11]
따라서 다른 벽면으로의 정사영의 길이는
[eqn: rm {bar{AD}} ` it sqrt {a ^{2} +4 ^{2}} = sqrt {27} =3 sqrt {3} LEFT ( rmm RIGHT )]

해

설

32   [eqn: 0]

답

[eqn: rmbarCD]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rm {bar{CD}} BOT {bar{AM}} ,` rm {bar{CD}} BOT {bar{BM}}]
[eqn: therefore rm {bar{CD}} BOT](평면 [eqn: rmABM])  [eqn: THEREFORE rm {bar{AB}} BOT rm {bar{CD}}]  [eqn: therefore`cos90DEG=0]

해

설

33   [eqn: 4 sqrt {5}]

답

점 [eqn: rmF]에서 [eqn: rmbarAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO]라 하면 [eqn: rm {bar{FO}} it = sqrt {rm {bar{BF}} ^{2} + it rm {bar{BO}} ^{2} it} =2 sqrt {5}]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm ACF= {1} over {2} · {bar{AC}} · {bar{FO}} = {1} over {2} ·4·2 sqrt {5} =4 sqrt {5}]

해

설

34   [eqn: 4(rmcm)]

답

[eqn: 8`cos`60 DEG =4 LEFT ( rmcm RIGHT )]

해

설

35   [eqn: 10 sqrt {2}][eqn: LEFT ( rmcm ^{2} RIGHT )]

답

[eqn: 20`cos`45 DEG =10 sqrt {2} LEFT ( rm cm ^{2} RIGHT )]

해

설

36   [eqn: ③]

답

오른쪽 그림과 같이 모서리 [eqn: rmCD]의 중점을 [eqn: rmM], 점 [eqn: rmA]에서 밑면 [eqn: rmBCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면 점 [eqn: rmH]가 선분 [eqn: rmBM] 위에 있으므로
[eqn: anglermABM=theta]
한편, [eqn: rm {bar{AB}} it =2a]로 놓으면 [eqn: rm {bar{AB}} it = rm {bar{BM}} it = sqrt {3} a]
[eqn: TRIANGLE rmABM]에서 코사인법칙을 적용하면
[eqn: cos` theta = rm {{bar{AB}} ^{2} + {bar{BM}} ^{2} - {bar{AM}} ^{2}} over {2 {bar{AB}} · {bar{BM}}} it = {4a ^{2} +3a ^{2} -3a ^{2}} over {2·2a· sqrt {3} a}# ~~~~= {sqrt {3}} over {3}]

해

설

37   [eqn: ①]

답

점 [eqn: rmO]에서 밑면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면
[eqn: rm {bar{OA}} =2,` {bar{AH}} = sqrt {2} ,~ {bar{OH}} = sqrt {{bar{OA}} ^{2} - {bar{AH}} ^{2}} = sqrt {2}]
[eqn: THEREFORE `sin` theta = rm {{bar{OH}}} over {{bar{OA}}} = {sqrt {2}} over {2}]

해

설

38   [eqn: ③]

답

오른쪽 그림과 같이 옆면과 밑면의 교선인 모서리 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]으로 놓으면 [eqn: rm {bar{OM}} BOT {bar{AB}} ,][eqn: rm {bar{CM}} BOT {bar{AB}}]이므로 [eqn: anglermOMC=theta]
한편, 정사면체의 한 모서리의 길이를 [eqn: 2a]라고 하면
[eqn: rm {bar{OM}} = {bar{CM}} = sqrt {3} ita]
[eqn: TRIANGLE rmOMC]에서 코사인법칙을 적용하면
[eqn: cos` theta = rm {{bar{OM}} ^{2} + {bar{CM}} ^{2} - {bar{OC}} ^{2}} over {2 {bar{OM}} · {bar{CM}}} it = {3a ^{2} +3a ^{2} -4a ^{2}} over {2· sqrt {3} a· sqrt {3} a} = {1} over {3}]
[eqn: THEREFORE `tan ^{2} ` theta =sec ^{2} theta-1=8]
[eqn: THEREFORE `tan` theta =2 sqrt {2} ~( BECAUSE 0<theta< {pi} over {2} )]

해

설

39   [eqn: ⑤]

답

모서리 [eqn: rmOB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rm {bar{AM}} BOT {bar{OB}} ,` rm][eqn: rm {bar{CM}} BOT {bar{OB}}]이므로 [eqn: anglermAMC=theta]
[eqn: TRIANGLE rmAMC]에서 [eqn: cos` theta = rm {{bar{AM}} ^{2} + {bar{CM}} ^{2} - {bar{AC}} ^{2}} over {2 {bar{AM}} · {bar{CM}}}]
[eqn: = {LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 4 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}} over {2·2 sqrt {3} ·2 sqrt {3}} =- {1} over {3}]

해

설

40   [eqn: ③]

답

타원의 넓이를 [eqn: S], 밑면의 넓이를 [eqn: S prime]이라고 하면 [eqn: S prime]은 타원의 밑면 위로의 정사영의 넓이이다. 오른쪽 그림에서 [eqn: cos` theta = {3} over {5}]이므로
[eqn: S prime =S`cos`` theta]
[eqn: 9 pi =S· {3} over {5}]
[eqn: THEREFORE S=15 pi]

해

설

41   [eqn: ①]

답

[eqn: cos`theta= sqrt {1-sin` ^{2} theta} = {1} over {3}]
[eqn: THEREFORE rm S prime =S`cos` theta =36 pi times {1} over {3} =12 pi]

해

설

42   [eqn: {sqrt {6}} over {3}]

답

점 [eqn: rmA`]에서 옆면 [eqn: rmBFGC]에 내린 수선의 발이 [eqn: rmB]이고
[eqn: rm {bar{AG}} =2 sqrt {3} ,` {bar{BG}} =2 sqrt {2}]이므로
[eqn: cos`theta=rm {barBG} over {barAG} = {2 sqrt {2}} over {2 sqrt {3}} = {sqrt {6}} over {3}]

해

설

43   [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

답

[eqn: rmbarAC]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 하면 [eqn: rm {bar{AC}} BOT {bar{BM}} ,][eqn: rm {bar{AC}} BOT {bar{MF}}]이므로

해

설

[eqn: cos` theta = rm {{bar{BM}}} over {{bar{MF}}} = {2 sqrt {2}} over {2 sqrt {6}} = {sqrt {3}} over {3}]

44   [eqn: ⑤]

답

선분 [eqn: rmAB]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영을 선분 [eqn: rmA'B']이라고 하면 직선 [eqn: l]과 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: 30DEG]이므로 [eqn: rm {bar{A prime B prime }} = rm {bar{AB}} cos`30DEG=12· {sqrt {3}} over {2} =6 sqrt {3} LEFT ( rmcm RIGHT )]

해

설

45   [eqn: ④]

답

두 평면 [eqn: beta]와 [eqn: gamma]위로의 정사영의 넓이를 각각 [eqn: S prime ,`S]라고 하면 [eqn: S prime =30`cos`30 DEG =`S`cos`45 DEG]
[eqn: thereforermS=15 sqrt {6}]

해

설

46   [eqn: sqrt {30}]

답

[eqn: rm A prime LEFT ( 2,~1,~0 RIGHT ) ,`B prime LEFT ( -1,~2,~0 RIGHT )]이고
[eqn: rm {bar{AB}} `cos`60 DEG = rm {bar{A prime B prime }}]에서 [eqn: sqrt {a ^{2} +10} · {1} over {2} = sqrt {10}]
[eqn: thereforea= sqrt {30} LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT )]

해

설

47   [eqn: ④]

답

[eqn: LEFT { LEFT ( {sqrt {3}} over {4} times4 ^{2} RIGHT ) times6 RIGHT } timescos`30DEG=36]

해

설

48  [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

답

정육면체의 한 모서리의 길이를 [eqn: a]라고 하면 [eqn: TRIANGLE rmAFH]는 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {2} a]인 정삼각형이고, [eqn: TRIANGLE rmAFH]의 밑면 위로의 정사영이 [eqn: TRIANGLE rm EFH]이므로
[eqn: {sqrt {3}} over {4} · LEFT ( sqrt {2} a RIGHT ) ^{2} ·cos`theta= {1} over {2} a ^{2}]    [eqn: thereforecos``theta= {sqrt {3}} over {3}]

해

설

49  [eqn: 8 sqrt {3}]

답

타원의 장축의 길이와 단축의 길이를 각각 [eqn: 2a,`2b]라고 하면 [eqn: 2a`cos`60DEG=8,`2b=8~~~thereforea=8,`b=4]
즉, [eqn: {x ^{2}} over {8 ^{2}} + {y ^{2}} over {4 ^{2}} =1]에서 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( ±4 sqrt {3} ,~0 RIGHT )]이므로 두 초점 사이의 거리는 [eqn: 8 sqrt {3}]이다.

해

설