기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		1. 벡터의 연산			반 / 번호
	01 벡터의 뜻					이름

01 다음 각 벡터의 크기를 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]     [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )])[eqn: {vec{b}} = LEFT ( 2,~3,~1 RIGHT )]

02 다음 각 경우에서 [eqn: {vec{a}} =` {vec{b}}]가 성립하도록 하는 상수 [eqn: m,~n]의 값을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {vec{a}} = LEFT ( m,~-2 RIGHT ) ,` {vec{a}} = LEFT ( 1,~n+1 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~m-1,~2n RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( n,~3,~2 RIGHT ) `]

기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		1. 벡터의 연산			반 / 번호
	02 벡터의 연산					이름

01 평면 위에 정사각형[eqn: rmABCD]가 있다. 두 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라고 할 때, 벡터 [eqn: rm {vec{OA}}]의 크기는 [eqn: 1]이라고 한다.
[eqn: rm {vec{AB}} + {vec{AC}} + {vec{AD}} = it `k rm {vec{OA}}]를 성립시키는 상수 [eqn: k]값은?
① [eqn: -4]        ② [eqn: -2]       ③ [eqn: -1]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 3]

02 오른쪽 그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]인 원의 둘레를 [eqn: 8]등분하는 점을 [eqn: rm P _{1} ,~P _{2} ,~P _{3} ,cdots,~P _{8}]이라고 할 때, 임의의 점 [eqn: rmG]에 대하여 다음 중 [eqn: rm {vec{GP _{1}}} + rm {vec{GP _{3}}} + rm {vec{GP _{5}}} + rm {vec{GP _{7}}}]과
같은 것은?
① [eqn: 3rm {vec{GO}}]       ② [eqn: 4 rm {vec{GO}}]       ③ [eqn: 5 rm {vec{GO}}]
④ [eqn: 6 rm {vec{GO}}]       ⑤ [eqn: 7 rm {vec{GO}}]

03 오른쪽 그림에서 점 [eqn: rmO]는 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원의 중심이고, [eqn: rmangleAOB=60DEG]이다. 선분 [eqn: rmOC]가 [eqn: rmangleAOB]의 이등분선이고 [eqn: {vec{rmOC}} = it `k LEFT ( rm{vec{OA}} + {vec{OB}} RIGHT )]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?
① [eqn: {1} over {2}]          ② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]         ③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]
④ [eqn: 1]           ⑤ [eqn: 2]

04 세 벡터 [eqn: {vec{p}} =3 {vec{a}} + {vec{b}} ,~ {vec{q}} = {vec{a}} -2 {vec{b}} ,~ {vec{r}} = {vec{a}} +k {vec{b}}]에 대하여 [eqn: {vec{p}} + {vec{q}}]와 [eqn: {vec{q}} + {vec{r}}]가 서로 평행할 때, 실수 [eqn: k]의 값은? (단, 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]는 영벡터가 아니고, 서로 평행하지 않다.)
① [eqn: {1} over {2}]          ② [eqn: 1]         ③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]           ⑤ [eqn: {5} over {2}]

05 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm {vec{AB}} = {vec{it a rm}} ,~ {vec{AB}} = it {vec{b}}]라고 하고 [eqn: rm {vec{AC}}]의 중점을 [eqn: rmD,~ {vec{BC}}]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE]라고 하면 [eqn: rm {vec{DE}} = it m {vec{a}} +m {vec{b}}]이다. 이때, 실수[eqn: m,~n]의 곱 [eqn: mn]의 값은?
① [eqn: {1} over {36}]          ② [eqn: {1} over {24}]         ③ [eqn: {1} over {18}]
④ [eqn: {1} over {9}]           ⑤ [eqn: {1} over {3}]

06 오른쪽 그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]에서 [eqn: rm {vec{OA}} = it {vec{a}}], [eqn: rm {vec{OB}} = it {vec{b}}]라고 할 때, 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: rm {vec{AE}} =it- {vec{a}} - {vec{b}}]

ㄴ. [eqn: rm {vec{FC}} = it -2 {vec{a}} +2 {vec{b}}]

ㄷ. [eqn: rm {vec{CE}} = it {vec{a}} -2 {vec{b}}]

① ㄱ          ② ㄷ         ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

07 삼각형 [eqn: rmABC]의 변 [eqn: rmBC]의 연장선 위의 한 점을 [eqn: rmD]라고 하자. [eqn: rm {vec{AD}} + rm {vec{AB}} =2 {vec{AC}}]가 성립할 때, [eqn: TRIANGLE rmABD: TRIANGLE ACD]는?
① [eqn: 1:2]          ② [eqn: 1:3]         ③ [eqn: 2:1]
④ [eqn: 2:3]          ⑤ [eqn: 2:5]

08 오른쪽 그림과 같은 [eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rm 5 {vec{AP}} +3 {vec{BP}} +2 {vec{CP}} = {vec{0}}]를 만족한다. 선분 [eqn: rmAP]의 연장선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라고 할 때, [eqn: rm {bar{BD}} : {bar{CD}}]는?
① [eqn: 1:2]          ② [eqn: 2:1]         ③ [eqn: 1:3]
④ [eqn: 3:1]          ⑤ [eqn: 2:3]

09 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 내부에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm TRIANGLE PAB: TRIANGLE PBC: TRIANGLE PCA=2:1:3]이 성립한다. [eqn: rm {vec{AB}} = {vec{it b rm}} ,~ rm {vec{AC}} = {vec{it c rm}} ,~ rm {vec{AP}} = it x {vec{b}} +y {vec{c}}]라고 할 때, [eqn: x+y]의 값은?
① [eqn: {1} over {6}]          ② [eqn: {1} over {3}]         ③ [eqn: {1} over {2}]
④ [eqn: {2} over {3}]          ⑤ [eqn: {5} over {6}]

10 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA]가 부등식 [eqn: y GEQ {1} over {4} x ^{2} +3]이 나타내는 영역에서 움직일 때, 벡터 [eqn: rm {vec{OB}} = {{vec{OA}}} over {LEFT | {vec{OA}} RIGHT |}]의 종점 [eqn: rmB]가 나타내는 도형의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)
① [eqn: {pi} over {3}]          ② [eqn: sqrt {2}]         ③ [eqn: sqrt {3}]
④ [eqn: {2pi} over {3}]         ⑤ [eqn: 3]

11 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 외분하는 점을 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmPQ]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 하자.
[eqn: rm {vec{OA}} = {vec{it a rm}} ,~ rm {vec{OB}} = {vec{b rm}} ,~ rm {vec{OM}} = {vec{it m rm}}]일 때, [eqn: {vec{m}} =x {vec{a}} +y {vec{b}}]를 만족하는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값을 구하여라.

12 세 벡터 [eqn: {vec{rm OA it}} = LEFT ( -2,~m RIGHT ) ,~ {vec{rm OB it}} = LEFT ( n,~3 RIGHT ) ,][eqn: {vec{rm OC it}} = LEFT ( 6,~3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm {vec{OA}} +2 {vec{OB}} = {vec{OC}}]가 성립할 때, 실수 [eqn: m,~n]의 합 [eqn: m+n]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)
① [eqn: -2]          ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]            ⑤ [eqn: 2]

13 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~2 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( 4,~2 RIGHT ) ,~ {vec{c}} = LEFT ( 1,~0 RIGHT )]이고
[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} -2 {vec{c}}]와 같은 방향의 단위벡터를
[eqn: {vec{e}} = LEFT ( e _{1} ,~e _{2} RIGHT )]라고 할 때, [eqn: e _{1} +e _{2}]의 값은?
① [eqn: {3} over {7}]          ② [eqn: {5} over {7}]         ③ [eqn: {7} over {5}]
④ [eqn: {5} over {9}]          ⑤ [eqn: {7} over {3}]

14 세 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 2,~3 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( -5,~6 RIGHT ) ,~ {vec{c}} = LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{a}} +t {vec{c}}]와 [eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]가 평행하도록 하는 실수 [eqn: t]의 값은?
① [eqn: -9]          ② [eqn: -7]         ③ [eqn: -5]
④ [eqn: -3]          ⑤ [eqn: -1]

15 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 2,~3 RIGHT ) ,~B LEFT ( -2,~1 RIGHT ) ,~C LEFT ( 3,~-1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm {vec{AB}} = {vec{CD}}]가 되는 점 [eqn: rm D]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]라고 할 때, [eqn: a-b]의 값은?
① [eqn: -2]         ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]           ⑤ [eqn: 2]

16 두 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 2,~1 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( 1,~1 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{a}} +2 {vec{x}} =3 {vec{b}}]를  만족시키는 벡터 [eqn: {vec{x}}]의 크기는?
① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]     ② [eqn: {sqrt {3}} over {2}]     ③ [eqn: {sqrt {5}} over {2}]
④ [eqn: {sqrt {7}} over {2}]       ⑤ [eqn: {3} over {2}]

17 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: {vec{rm AB it}} = {vec{a}} ,~ {vec{rm BC it}} = {vec{b}} ,~ {vec{rm CA it}} = {vec{c}}]라고 할 때, [eqn: {vec{a}} - {vec{b}} +2 {vec{c}}]의 크기는?
① [eqn: 2]          ② [eqn: sqrt {5}]        ③ [eqn: sqrt {6}]
④ [eqn: sqrt {7}]       ⑤ [eqn: 3]

18 오른쪽 그림과 같이 직선 [eqn: y=-2x] 위에
[eqn: rm {bar{OA}} =6]
인 점 [eqn: rm A], 직선 [eqn: y= {1} over {2} x]위에
[eqn: rm {bar{OB}}=4]인 점 [eqn: rmB]가있을 때, [eqn: rm {vec{OP}} = it m {vec{rm OA it}} + it n {vec{rm OB it}}]를 만족하는 점 [eqn: rm P]가 존재하는 영역의 넓이는?
(단, [eqn: {1} over {2} LEQ m+n LEQ 1,~m GEQ 0,~n GEQ 0])
① [eqn: 9]            ② [eqn: 13]           ③ [eqn: 15]
④ [eqn: 18]           ⑤ [eqn: 21]

19 오른쪽 그림과 같이 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: LEFT | rm {vec{AB}} + {vec{AC}} RIGHT |]의 값을 구하여라.

20 서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]가 등식 [eqn: LEFT ( 3m-n RIGHT ) {vec{a}} +4 {vec{b}} =m {vec{a}} - LEFT ( n-2 RIGHT ) {vec{b}}]를 만족시킬 때, [eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: vec { a}!= vec { 0},~ vec { b}!= vec { 0}])
① [eqn: -3]        ② [eqn: -1]          ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]           ⑤ [eqn: 3]

21 오른쪽 그림과 같은 정육각형 [eqn: rmABCDEF]에서 [eqn: rmbarCD]의 중점을 [eqn: rm G,~ rm {bar{AG}}]와 [eqn: rmbarBE]의 교점을 [eqn: rmH]라 하고, [eqn: rm {vec{rm AB}} = it {vec{a}} ,~ {vec{rm AF it}} = it {vec{b}}]라고 하자.
[eqn: rm {vec{AH}} = it `p {vec{a}} +q {vec{b}}]일 때, 두 상수 [eqn: p,~q]의 합은?
① [eqn: {2} over {3}]         ② [eqn: {4} over {5}]        ③ [eqn: {4} over {3}]
④ [eqn: {3} over {2}]         ⑤ [eqn: {7} over {4}]

22 오른쪽 그림과 같이 간격이 같은 평행선으로 이루어진 도형에서 [eqn: rm {vec{OA}} it = {vec{a}} ,` rm {vec{OB}} it = {vec{b}}]라고 하자. [eqn: rm {vec{PQ}} it =x {vec{a}} +y` {vec{b}}]로 나타낼 때, [eqn: xy]의 값을 구하시오.

23 오른쪽 그림과 같은 정육각형 [eqn: rm ABCDEF]에서 [eqn: rm {bar{CD}} it]의 중점을 [eqn: rmG,] [eqn: rm {bar{AG}} it]와[eqn: rm {bar{BE}} it]의 교점을 [eqn: rmH]라 하고, [eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{a`}} ,` rm][eqn: {vec{rmAF}} it = {vec{b`}} `]라 하자.
[eqn: rm {vec{AH}} it =p {vec{a`}} +q {vec{b`}} `]일 때, 두 상수 [eqn: p,`q]의 합은?

① [eqn: {7} over {6}]         ② [eqn: {5} over {4}]        ③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {3} over {2}]         ⑤ [eqn: {7} over {4}]

24 평면 위의 평행사변형 [eqn: rmOAPB]에서 [eqn: rm {vec{OA}} it = {vec{a`}} ,`` rm {vec{OB}} it = {vec{b`}}]라 하자. 세 점 [eqn: rmP,`Q,`R]에 대하여 [eqn: rm {vec{OQ}} it =x {vec{a`}} ,`` rm {vec{OR}} it =y {vec{b`}}]라 할 때, 세 점 [eqn: rmP,`Q,`R]는 일직선 위에 있다고 한다. 다음 중 항상 옳은 것은?

① [eqn: x+y= {1} over {2} xy]      ② [eqn: x+y=2xy]

③ [eqn: x+y=xy]        ④ [eqn: x+y+2=xy]

⑤ [eqn: x+y+4=xy]

25 원점 [eqn: rmO]와 서로 다른 세 점 [eqn: rmA,`B,`C]에 대하여
[eqn: rm {vec{OA}} it = {vec{a`}} ,` rm ` rm {vec{OB}} it = {vec{b`}} ,` rm ` rm {vec{OC}} it =2 {vec{a`}} +m {vec{b}} ,` rm]
일 때, 세 점[eqn: rmA,`B,`C]가 일직선 위에 있도록 하는 실수 [eqn: m]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: {vec{a`}} != {vec{0}} ,` {vec{b}} it != {vec{0}} ,` {vec{a`}} ` rm]와 [eqn: {vec{b`}} `]는 평행하지 않다.)

26 두 실수 [eqn: x,`y]와 평행이 아닌 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,` {vec{b`}}]에 대하여 등식 [eqn: LEFT ( x+y RIGHT ) {vec{a}} + LEFT ( x-y+2 RIGHT ) {vec{b}} = {vec{a}} +3 {vec{b}}]
가 성립할 때, [eqn: x+y]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: {vec{a`}} != {vec{0}} ,` {vec{b}} it != {vec{0}} rm])

27 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 내부의 한 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rm 13 {vec{PA}} it +` rm 2 {vec{PB}} +3 {vec{PC}} = {vec{0}}]를 만족시킨다. [eqn: rmbarAP]의 연장선과 [eqn: rm {bar{BC}}]와의 교점을 [eqn: rmD]라 할 때, [eqn: rm {barAP} over {barPD}]의 값은?

① [eqn: {5} over {13}]         ② [eqn: {6} over {13}]        ③ [eqn: {7} over {13}]

④ [eqn: {8} over {13}]         ⑤ [eqn: {9} over {13}]

28 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정삼각형 [eqn: rmOAB]에서 [eqn: x >= 0,~y >= 0,~][eqn: 1 <= x+y <= 3]인 실수 [eqn: x,`y]에 대하여 [eqn: rm {vec{OP}} it =x {vec{rm OA it}} +y rm {vec{OB}} it]로 나타내어지는 점 [eqn: rmP]가 존재하는 영역의 넓이는?

① [eqn: {sqrt {3}} over {2}]         ② [eqn: sqrt {3}]        ③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: 3 sqrt {3}]         ⑤ [eqn: 4 sqrt {3}]

29 오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rmbarAB]의 중점을 [eqn: rmE,`barAD]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmF]라 하고, [eqn: rm {bar{BF}}]와 [eqn: rm {bar{CE}}]의 교점을 [eqn: rmP]라고 한다.
[eqn: rm {vec{BE}} it = {vec{a}} ,` rm {vec{BC}} it = {vec{b}}]라고 하면 [eqn: rm {vec{BE}} it =x {vec{a}} ,``y {vec{b}}]가 성립할 때, [eqn: 16xy]의 값을 구하시오.

30 오른쪽 그림과 같이 천정에 무게가 [eqn: 30rmN]인 물건을 끈으로 매달아 놓앗다. [eqn: ANGLE rm AOC=120 DEG ,`][eqn: ANGLE rmBOC=150 DEG]일 때, 끈 [eqn: rmOB]에 걸리는 힘의 크기는?

① [eqn: 10rmN]         ② [eqn: 15 rm N]        ③ [eqn: 20 rm N]

④ [eqn: 10 rm sqrt {3} N]     ⑤ [eqn: 15 sqrt {3} rm N]

31 어떤 항구에서 짐을 실은 큰 배를 두 척의 작은 배가 각각 [eqn: 80000rmN]과 [eqn: 60000rmN]의 힘으로 오른쪽 그림과 같이 끌고 가고 있을 대, 큰 배가 받는 힘의 크기는?

① [eqn: 60000rmN]      ② [eqn: 70000 rm N]      ③ [eqn: 80000 rm N]

④ [eqn: 90000 rm N]       ⑤ [eqn: 100000 rm N]

32 오른쪽 그림과 같이 중심이 [eqn: rmO]인 정오각형 [eqn: rmABCDE]가 잇다. 벡터 [eqn: rm {vec{OA}}]의 크기가 [eqn: 1]이고. 이 평면 위에 [eqn: rm LEFT | {vec{OP}} RIGHT | =2]가 되도록 점 [eqn: rmP]를 잡을 때, 벡터
[eqn: rm {vec{PA}} + rm {vec{PB}} + rm {vec{PC}} + rm {vec{PD}} + rm {vec{PE}}]의 크기는?

① [eqn: 2]           ② [eqn: 5]         ③ [eqn: 10]

④ [eqn: 20]          ⑤ 점 [eqn: rmP]의 위치에 따라 다르다.

33 오른쪽 그림과 같은 정육각형 [eqn: rm ABCDEF]에 대하여 [eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{a}} ,` rm {vec{AC}} it = {vec{b}}]일 때, [eqn: rm {vec{AF}} it]를 [eqn: {vec{a}}]와 [eqn: {vec{b}}]로 나타내면?

① [eqn: {vec{a}} `- {vec{b}}]         ② [eqn: - {vec{a}} `+ {vec{b}}]       ③ [eqn: - {vec{a}} `- {vec{b}}]

④ [eqn: - {vec{a}} +2 {vec{b}}]      ⑤ [eqn: -2 {vec{a}} + {vec{b}}]

34 세 점[eqn: rmA, B, C]의 위치벡터가 각각[eqn: {vec{a}} `,` {vec{b}} ,` {vec{c}}] 일 때, [eqn: rm {vec{AB}} +2 {vec{BC}} + rm 3 {vec{CA}} it =x {vec{a}} +y {vec{b}} +z {vec{c}}]를 만족하는 [eqn: x,`y,`z]에 대하여 [eqn: xyz]의 값을 구하시오.

35 오른쪽 그림과 같은 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]에서 [eqn: rm {vec{AP}} = {vec{AG}} + rm {vec{AH}} ,` rm {vec{AQ}}][eqn: =2 rm {vec{AB}} - rm {vec{AH}}][eqn: rm {vec{AR}} = rm {vec{AB}} ` it +k {vec{rm AH it}}]를 만족하는 세 점 [eqn: rmP, Q, R]가 일직선 위에 있도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 13]

④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

36 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 외분하는 점을 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmPQ]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 하자. [eqn: rm {vec{OA}}it = {vec{a}} ,` rm {vec{OB}}it = {vec{b}} ,` rm {vec{OM}}it = {vec{m}} ,`]이라고 할 때, [eqn: {vec{m}} =`x {vec{a}} +y {vec{b}}]를 만족하는 [eqn: x,`y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값을 구하시오.

37 세 점 [eqn: rmA,`B,`C]로 결정되는 평면을 [eqn: alpha]라고 할 때, 다음 조건을 모두 만족하는 세 점 [eqn: rmP,`Q,`R]중 평면 [eqn: alpha] 위에 있는 점을 모두 고른 것은?

[eqn: 가.` rm ` {vec{OP}} = {vec{OA}} + {vec{OB}} + {vec{OC}}]

[eqn: 나.` rm ` {vec{OQ}} = {vec{OA}} + {vec{OB}} - {vec{OC}}]

[eqn: 다.` rm ` {vec{OR}} = {vec{OA}} +2 {vec{OB}} -3 {vec{OC}}]

① [eqn: rmP]        ② [eqn: rmQ]      ③ [eqn: rmR]

④ [eqn: rmP,`Q]     ⑤ [eqn: rm Q`,`R]

38 평면 위의 두 삼각형 [eqn: TRIANGLE rm ABC,` TRIANGLE rm PQR]에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족할 때, [eqn: {TRIANGLE rm PQR it} over {TRIANGLE rmABC}]의 값은?

[eqn: 가.` rm ` {vec{PA}} + {vec{PB}} + {vec{PC}} = {vec{BC}}]

[eqn: 나.` rm ` {vec{QA}} + {vec{QB}} + {vec{QC}} = {vec{CA}}]

[eqn: 다.` rm ` {vec{RA}} + {vec{RB}} + {vec{RC}} = {vec{AB}}]

① [eqn: {1} over {3}]          ② [eqn: {1} over {2}]         ③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]            ⑤ [eqn: 3]

39 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA]가 부등식 [eqn: y >= {1} over {4} x ^{2} +3]이 나타내는 영역에서 움직일 때, 벡터 [eqn: rm {vec{OB}} = {rm {vec{OA}}} over {LEFT | rm {vec{OA}} RIGHT |}]
의 종점 [eqn: rmB]가 나타내는 도형의 길이는?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: {pi} over {3}]        ② [eqn: sqrt {2}]        ③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: {2pi} over {3}]       ⑤ [eqn: 3]

40 강폭이 일정한 강에 강물의 속도가 [eqn: 15rmkm/]시로 일정하게 흐른다. 그림과 같이 배가 [eqn: 45rmkm/]시의 속력으로 수평 방향과 [eqn: theta]의 각으로 가면 유람선이 강을 수직으로 가로질러 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmB]로 갈 수 있다고 한다. 이때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {sqrt {2}} over {3}]         ② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]        ③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]         ⑤ [eqn: {3} over {4}]

41 오른쪽 그림은 합동인 정사각형을 [eqn: 9]개 그린 것이다. [eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{b}} ,~ rm {vec{rm AB}} it = {vec{c}}]라고 할 때, 다음 각 벡터를 [eqn: vec { b}]와[eqn: vec { c}]로 나타내어라.

[eqn: (1)][eqn: rm {vec{AP}}]       [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: rm {vec{AQ}}]       [eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: rm {vec{AR}}]

42 오른쪽 그림과 같은 정육각형 [eqn: rmABCDEF]에서 변 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM], [eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{a}} ,` rm {vec{AF}} it = {vec{b}}]라고 할 때, [eqn: rm {vec{DM}}]을 [eqn: {vec{a}}]와 [eqn: {vec{b}}]로 나타내면?

[eqn: ①][eqn: - {1} over {2} {vec{a}} - {3} over {2} {vec{b}}] [eqn: ②][eqn: - {3} over {2} {vec{a}} - {1} over {2} {vec{b}}]  [eqn: ③][eqn: - {1} over {2} {vec{a}} + {3} over {2} {vec{b}}]

[eqn: ④][eqn: {1} over {2} {vec{a}} - {3} over {2} {vec{b}}]    [eqn: ⑤][eqn: - {1} over {2} {vec{a}} + {1} over {2} {vec{b}}]

43 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로의 간격이  각각 같은 평행선으로 이루어진 도형이 있다. [eqn: rm {vec{OA}}it = {vec{a}}], [eqn: rm {vec{OB}} it = {vec{b}}]라고 할 때, [eqn: rm {vec{PQ}}]를 [eqn: {vec{a}}]와 [eqn: {vec{b}}]로 나타내면?

[eqn: ①][eqn: {vec{a}} -2 {vec{b}}]     [eqn: ②][eqn: - {vec{a}} +3 {vec{b}}]     [eqn: ③][eqn: 2 {vec{a}} -3 {vec{b}}]

[eqn: ④][eqn: 3 {vec{a}} -2 {vec{b}}]     [eqn: ⑤][eqn: -3 {vec{a}} +2 {vec{b}}]

44 오른쪽 그림은 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]이다. [eqn: rm {vec{AB}} + {vec{FE}} + {vec{DF}}]의 크기는?

[eqn: ①][eqn: 0]            [eqn: ②][eqn: 1]           [eqn: ③][eqn: sqrt {3}]

[eqn: ④][eqn: 2 sqrt {3}]         [eqn: ⑤][eqn: 3 sqrt {3}]

45 오른쪽 그림은 합동인 [eqn: 9]개의 직사각형이다.
[eqn: rm {bar{AB` rm}} = it {vec{a}} ,` {bar{rm AD` it rm }} = it {vec{b}}]일 때, [eqn: rm {bar{PQ`}}]를 [eqn: {vec{a}}]와 [eqn: {vec{b}}]로 나타내면?

[eqn: ①][eqn: {1} over {3} {vec{a}} + {2} over {3} {vec{b}}]  [eqn: ②][eqn: {1} over {3} {vec{a}} - {2} over {3} {vec{b}}]  [eqn: ③][eqn: - {1} over {3} {vec{a}} + {2} over {3} {vec{b}}]

[eqn: ④][eqn: - {1} over {3} {vec{a}} - {2} over {3} {vec{b}}]     [eqn: ⑤][eqn: {vec{a}} -2 {vec{b}}]

46 수직선 위의 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 0 RIGHT ) ,~B LEFT ( 4 RIGHT ) ,~C LEFT ( 6 RIGHT ) ,~D LEFT ( 10 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm {vec{AB}} it =k` {vec{rm CD it}} ,~ rm {vec{BD}} it =k` {vec{rm CB it}}]를 만족하는 실수 [eqn: k,`l]의 값을 각각 구하여라.

47 [eqn: TRIANGLE rmABC]와 같은 평면 위에 있는 점 [eqn: rmP]에 대비하여 [eqn: rm {vec{PA}} + {vec{PB}} + {vec{PC}} = {vec{AB}}]가 성립할 때, [eqn: TRIANGLE rm PAB]와[eqn: TRIANGLE rm PBC]의 넓이의 비는?

[eqn: ①][eqn: 1:1]          [eqn: ②][eqn: 1:2]          [eqn: ③][eqn: 2:3]

[eqn: ④][eqn: 2:1]           [eqn: ⑤][eqn: 3:2]

48 두 점 [eqn: rmA, B]의 위치벡터가 각각 [eqn: 2 {vec{p}} -3 {vec{p}} ,`- {vec{p}} + {vec{q}}]일 때, [eqn: rm {vec{AB}}]를 [eqn: {vec{p}}]와 [eqn: {vec{q}}]로 나타내어라.

49 두 점 [eqn: rmA,`B]의 위치벡터를 각각[eqn: {vec{a}} ,` {vec{b}}]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmP]와 외분하는 점 [eqn: rmQ]의 위치 벡터 [eqn: {vec{p}} ,` {vec{q}}]를 각각 [eqn: {vec{a}} ,` {vec{b}}]로 나타내어라.

50 오른쪽 그림의 삼각형 [eqn: rmOAB]에서 [eqn: rm {bar{OA}} : {bar{OB}} =3:2]이고, 선분 [eqn: rmOC]는 [eqn: anglermAOB]를 이등분한다. [eqn: rm {vec{OA}} it = {vec{a}} ,~ {vec{rm OB it}} it = {vec{b}}]일 때, [eqn: rm {vec{OC}} it it = {vec{b}}]를 [eqn: {vec{a}}]와[eqn: {vec{b}}]로 나타내면?

[eqn: ①][eqn: {1} over {2} {vec{a}} + {vec{b}}]     [eqn: ②][eqn: {1} over {2} {vec{a}} + {1} over {2} {vec{b}}]    [eqn: ③][eqn: {1} over {3} {vec{a}} + {2} over {3} {vec{b}}]

[eqn: ④][eqn: {1} over {4} {vec{a}} + {3} over {4} {vec{b}}]   [eqn: ⑤][eqn: {2} over {5} {vec{a}} + {3} over {5} {vec{b}}]

51 두 점 [eqn: rmA, B]의 위치벡터를 각각 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]라 할 때, 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmP], [eqn: 1:3]으로 외분하는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 선분 [eqn: rmPQ]의 중점 [eqn: rmM]의 위치벡터를 [eqn: {vec{a}}]와 [eqn: {vec{b}}]로 나타내면?

[eqn: ①][eqn: {11} over {12} {vec{a}} + {1} over {12} {vec{b}}]   [eqn: ②][eqn: {10} over {11} {vec{a}} + {1} over {11} {vec{b}}]   [eqn: ③][eqn: {8} over {9} {vec{a}} + {1} over {9} {vec{b}}]

[eqn: ④][eqn: {6} over {7} {vec{a}} + {1} over {7} {vec{b}}]      [eqn: ⑤][eqn: {3} over {4} {vec{a}} + {1} over {4} {vec{b}}]

52 좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A LEFT ( 3,~2 RIGHT ) ,~B LEFT ( 1,~-1 RIGHT ) ,`C LEFT ( -2,~0 RIGHT ) ,`D`it LEFT ( x,~y RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm {vec{AB}} = {vec{CD}}]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: x,`y]의 합을 구하면?

[eqn: ①][eqn: -1]         [eqn: ②][eqn: -3]        [eqn: ③][eqn: -5]

[eqn: ④][eqn: -7]          [eqn: ⑤][eqn: -9]

53 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 1,~2 RIGHT )]와 점 [eqn: rmP LEFT ( 3,~0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: rm {vec{PQ}} = {vec{a}}]를 만족하는 점 [eqn: rmQ]의 좌표를 구하여라.

54 넓이가 [eqn: 12]인 [eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 [eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{b}} ,` rm {vec{AC rm}} it = {vec{c}}]이다. 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rm {vec{AP}} it = {3} over {4} {vec{b}} +` {1} over {4} rm {vec{c}}]를 만족할 때, [eqn: TRIANGLE rmABP]의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 2]          [eqn: ②][eqn: 3]          [eqn: ③][eqn: 4]

[eqn: ④][eqn: 8]           [eqn: ⑤][eqn: 9]

55 실수 [eqn: m,`n]에 대하여 세 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( 3,~0 RIGHT ) ,~ {vec{b}} = LEFT ( 1,~-2 RIGHT ) ,~ {vec{c}} = LEFT ( 0,~-6 RIGHT )]이 [eqn: {vec{c}} =m {vec{a}} +n {vec{b}}]를 만족할 때, [eqn: m ^{2} +n ^{2}]의 값을 구하여라.

56 두 벡터[eqn: {vec{a}} = LEFT ( 3,~2x RIGHT ) ,` {vec{b}} = LEFT ( 2,~x-1 RIGHT )]이 서로 평행할 때, 실수 [eqn: x]의 값은?

[eqn: ①][eqn: -1]          [eqn: ②][eqn: -2]          [eqn: ③][eqn: -3]

[eqn: ④][eqn: -4]           [eqn: ⑤][eqn: -5]

57 영 벡터가 아니고 서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]에 대하여 [eqn: {vec{p}}][eqn: = {vec{a}} - {vec{b}}], [eqn: {vec{q}}][eqn: = {vec{a}} +2 {vec{b}}],          [eqn: {vec{r}}][eqn: =2 {vec{a}} +k {vec{b}}]일 때, [eqn: {vec{p}} + {vec{q}}]와 [eqn: {vec{p}} - {vec{r}}]가 서로 평행하기 위한 실수 [eqn: k]의 값은?
[eqn: ①][eqn: -1]           [eqn: ②][eqn: - {1} over {2}]         [eqn: ③][eqn: - {1} over {3}]
[eqn: ④][eqn: - {1} over {4}]          [eqn: ⑤][eqn: - {1} over {6}]

58 오른쪽 그림과 같이 가로로 같은 간격의 평행선 [eqn: 3]개, 세로로 같은 간격의 평행선 [eqn: 5]개가 서로 만나서 생긴 [eqn: 12]개의 평행사변형은 모두 합동이다.
[eqn: rm {bar{OC}} = it p` {bar{rmOA}} + it q` {bar{rmOB}}]를 만족하는 두 실수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p-q]의 값을 구하여라.

59 [eqn: rmbarAC][eqn: =3], [eqn: rm {bar{BC}}][eqn: =4], [eqn: ANGLE rm C=60 DEG]인 [eqn: TRIANGLE rmABC]가 잇다. [eqn: m>=], [eqn: n>=0], [eqn: m+n=1]을 만족하는 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: {vec{rmOP}}][eqn: =m {vec{rm OA it}} + it n {vec{rm OB it}}]를 만족하는 점 [eqn: rmP]의 자취의 길이는?
[eqn: ①][eqn: sqrt { 10}]        [eqn: ②][eqn: sqrt {11}]       [eqn: ③][eqn: 2 sqrt {3}]
[eqn: ④][eqn: sqrt {13}]         [eqn: ⑤][eqn: sqrt {14}]

60 넓이가 [eqn: 20]인 [eqn: TRIANGLE rmABC]와 그 내부의 한점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: 5 {vec{rm AP it}} +3 {vec{rm BP it}} +2 {vec{rm CP it}} = {vec{rm 0 it}}]이 성립할 때, [eqn: TRIANGLE rmPAB]의 넓이는?
[eqn: ①][eqn: 2]             [eqn: ②][eqn: 4]             [eqn: ③][eqn: 6]
[eqn: ④][eqn: 8]             [eqn: ⑤][eqn: 10]

기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		1. 벡터의 연산			정답
	01 벡터의 뜻

01   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: sqrt {5}]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: sqrt {14}]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | = sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {5}]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: LEFT | {vec{b}} RIGHT | = sqrt {2 ^{2} +3 ^{2} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}} = sqrt {14}]

해

설

02  [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: m=1,`n=1]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: m=4,`n=1]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: m=1,`2=n+1]
[eqn: m=1,`n=1]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: 1=n,~m-1=3,~2n-2]에서
[eqn: m=4,`n=1]

해

설

기하와 벡터	Ⅱ. 평면 벡터		1. 벡터의 연산			반 / 번호
	02 벡터의 연산					이름

01    ①

답

점 [eqn: rmO]가 중심이므로 [eqn: rm {vec{OA}} + rm {vec{OB}} + rm {vec{OC}} + rm {vec{OD}} = rm {vec{0}}]
[eqn: rm {vec{AB}} + rm {vec{AC}} + rm {vec{AD}}]
[eqn: rm = rm LEFT ( {vec{OB}} - {vec{OA}} RIGHT ) + rm LEFT ( {vec{OC}} - {vec{OA}} RIGHT ) + rm LEFT ( {vec{OD}} - {vec{OA}} RIGHT )][eqn: = rm -4 {vec{OA}}]
[eqn: thereforek=-4]

해

설

02    ①

답

[eqn: (준식)= LEFT ( rm {vec{GO}} + rm {vec{OP _{1}}} RIGHT ) + LEFT ( rm {vec{GO}} + rm {vec{OP _{3}}} RIGHT )# ~~~~~~~~+ LEFT ( rm {vec{GO}} + rm {vec{OP _{5}}} RIGHT ) + LEFT ( rm {vec{GO}} + rm {vec{OP _{7}}} RIGHT )][eqn: =4 rm {vec{GO}} + rm LEFT ( {vec{OP _{1}}} + rm {vec{OP _{3}}} + rm {vec{OP _{5}}} + rm {vec{OP _{7}}} RIGHT )][eqn: =4 rm {vec{GO}} + rm LEFT { {vec{OP _{1}}} + rm {vec{OP _{3}}} + LEFT ( - rm {vec{OP _{1}}} RIGHT ) + LEFT ( - rm {vec{OP _{3}}} RIGHT ) RIGHT }][eqn: =4 rm {vec{GO}}]

해

설

03    ②

답

[eqn: rm {vec{OC}}]의 연장선 위에 [eqn: {vec{rm OA it}} rm + {vec{OB it rm}} = {vec{OP it rm}}]인 저 [eqn: rmP]를 잡으면 [eqn: rm□OAPB]는 평행사변형이다. 이때, 두 대각선 [eqn: rmOP], [eqn: rmAB]의 교점을 [eqn: rmM]이라고 하면
[eqn: rm {vec{OC}} = {2} over {sqrt {3}} {vec{OM}} = {1} over {sqrt {3}} LEFT ( {vec{OA}} + {vec{OB}} RIGHT )]   [eqn: thereforek= {sqrt {3}} over {3}]

해

설

04    ③

답

[eqn: {vec{p}} + {vec{q}} =4 {vec{a}} - {vec{b}} ,~ {vec{q}} + {vec{r}} =2 {vec{a}} + LEFT ( k-2 RIGHT ) {vec{b}}]
[eqn: {vec{p}} + {vec{q}}]와 [eqn: {vec{q}} + {vec{r}}]가 서로 평행하므로
[eqn: {vec{p}} + {vec{q}} =m LEFT ( {vec{q}} + {vec{r}} RIGHT )](단, [eqn: m!=0]인 실수)
[eqn: 4=2m,~-1= LEFT ( k-2 RIGHT )]   [eqn: thereforem=2,~k= {3} over {2}]

해

설

05    ③

답

[eqn: rm {vec{DE}} = rm {vec{AE}} - rm {vec{AD}}]
[eqn: rm {vec{AE}} = it {{vec{a}} +2 {vec{b}}} over {3} ,~ rm {vec{AD it rm}} = {1} over {2} {vec{AC}} = {1} over {2} {vec{it b rm}}]이므로
[eqn: rm {vec{DE}} = it {{vec{a}} +2 {vec{b}}} over {3} - {1} over {2} {vec{b}} = {1} over {3} {vec{a }} + {1} over {6} {vec{b}}]
[eqn: THEREFORE mn= {1} over {3} times {1} over {6} = {1} over {18}]

해

설

06    ⑤

답

ㄱ. [eqn: rm {vec{AE}} = rm {vec{OE}} - rm {vec{OA}} = rm - it {vec{b}} rm - rm {vec{a}}] (참)
ㄴ. [eqn: rm {vec{FC}} =2 {vec{AB}} = 2 LEFT ( {vec{OB}} - {vec{OA}} RIGHT ) =2 it LEFT ( {vec{b}} - {vec{a}} RIGHT ) it] (참)
ㄷ. [eqn: rm {vec{CE}} = {vec{CD}} + {vec{DE}} =- {vec{OB}} - {vec{AB}} = it {vec{a}} -2 {vec{b}}] (참)

해

설

07    ⑤

답

[eqn: rm {vec{AD}} + rm {vec{AB}} =2 {vec{AC}}]에서
[eqn: rm {vec{AD}} + rm {vec{AB}} = {vec{AC}} + {vec{AC}} ,~ {vec{AD}} - {vec{AC}} = {vec{AC}} - {vec{AB}} ,]  [eqn: rm {vec{CD}} = {vec{BC}}]
따라서 점 [eqn: rmD]는 점[eqn: rmC]의 오른쪽 방향으로 [eqn: rm {vec{BD}} = {vec{CD}}]인 위치에 있다.
[eqn: thereforermTRIANGLE ABD: TRIANGLE ACD=2:1]

해

설

08    ⑤

답

[eqn: rm 5 {vec{AP}} +3 {vec{BP}} +2 {vec{CP}} = {vec{0}}]에서
[eqn: rm {vec{AP}} = {1} over {2} · {3 {vec{AB}} +2 {vec{AC}}} over {5}]
[eqn: rmbarBC]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmE]라고 하면
[eqn: rm {vec{AP}} = {1} over {2} {vec{AE}}]
따라서 점 [eqn: rmD]와 [eqn: rmE]는 서로 같은 점이므로 [eqn: rm {bar{BD}} : {bar{CD}} =2:3]

해

설

09    ⑤

답

[eqn: rm barAP]의 연장선이 [eqn: rm {bar{BC}}]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라고 하면
[eqn: rm {bar{BD}} : rm {bar{DC}}][eqn: =rm TRIANGLE PAB: TRIANGLE PCA]
[eqn: =2:3]
[eqn: rm {bar{AP}} : rm {bar{PD}}][eqn: rm = TRIANGLE PCA: TRIANGLE PDC]
[eqn: =5:1]
[eqn: THEREFORE rm {vec{AP}} = {5} over {6} {vec{AD}} = {5} over {6} · {2 {vec{AC}} +3 {vec{AB}}} over {2+3} = it {1} over {2} {vec{b}} + {1} over {3} {vec{c}}]
[eqn: THEREFORE x+y= {5} over {6}]

해

설

10    ①

답

원점을 지나고 포물선 [eqn: y= {1} over {4} x ^{2} +3]에 접하는 두 직선은 [eqn: r=± sqrt {3} x] [eqn: rm {vec{OB}}]는 [eqn: rm {vec{OA}}]와 같은 방향의 단위벡터이므로 구하는 길이는
[eqn: rm {arch{QP}} =1· {pi} over {3} = {pi} over {3}]

해

설

11    [eqn: 1]

답

[eqn: rm {vec{OP}} = {vec{it p rm}} ,~ rm {vec{OQ}} = {vec{it q rm}}]라고 하면
[eqn: {vec{p}} = {2 {vec{b}} +3 {vec{a}}} over {2+3} ,~ {vec{q}} = {2 {vec{b}} -3 {vec{a}}} over {2-3}]
[eqn: THEREFORE {vec{m}} = {1} over {2} LEFT ( {vec{p}} + {vec{q}} RIGHT ) = {9} over {5} {vec{a}} - {4} over {5} {vec{b}}]
[eqn: thereforex+y= {9} over {5} + LEFT ( - {4} over {5} RIGHT ) =1]

해

설

12   ④

답

[eqn: rm {vec{OA}} +2 {vec{OB}} = it LEFT ( 2n-2,~m+6 RIGHT )]
[eqn: 2n-2=6,~m+6=3]이므로 [eqn: m=-3,~n=4]
[eqn: thereforem+n=1]

해

설

13    ③

답

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} -2 {vec{c}}]=[eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT ) + LEFT ( 4,~2 RIGHT ) -2 LEFT ( 1,~0 RIGHT ) = LEFT ( 3,~4 RIGHT )]
[eqn: LEFT | {vec{a}} + {vec{b}} -2 {vec{c}} RIGHT | = sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}} =5]
따라서 [eqn: {vec{e}} = LEFT ( {3} over {5} · {4} over {5} RIGHT )]이므로 [eqn: e _{1} +e _{2} = {7} over {5}]

해

설

14    ①

답

[eqn: {vec{a}} +t {vec{c}} = LEFT ( 2,~3 RIGHT ) +t LEFT ( 1,~-2 RIGHT ) = LEFT ( 2+t,~3-2t RIGHT ) ~][eqn: {vec{a}} + {vec{b}} = LEFT ( 2,~3 RIGHT ) + LEFT ( -5,~6 RIGHT ) = LEFT ( -3,~9 RIGHT ) ~]
[eqn: {vec{a}} +t {vec{c}}]와 [eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]가 평행하려면
[eqn: {vec{a}} +t {vec{c}} =m LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT )] (단, [eqn: m!=0]인 실수)
즉, [eqn: LEFT ( 2+t,~3-2t RIGHT ) =m LEFT ( -3,~9 RIGHT )]
[eqn: 2+t=-3m,~3-2t=9m]
위의 두 식을 연립하여 풀면 [eqn: t=-9]

해

설

15   ⑤

답

[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{OB}} - {vec{OA}} = LEFT ( -2,~1 RIGHT ) - LEFT ( 2,~3 RIGHT ) = LEFT ( -4,~-2 RIGHT )][eqn: rm {vec{CD}} = {vec{OD}} - {vec{OC}} = it LEFT ( a,~b RIGHT ) - LEFT ( 3,~-1 RIGHT )]                [eqn: = LEFT ( a-3,~b+2 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{CD}}]이므로  [eqn: a-3=-4,~b+1=-2]
[eqn: thereforea=-1,~b=-3]  [eqn: thereforea-b=-1+3=2]

해

설

16    ③

답

[eqn: {vec{a}} +2 {vec{x}} =3 {vec{b}}]에서 [eqn: 2 {vec{x}} =- {vec{a}} +3 {vec{b}}]
[eqn: {vec{it x}} =- {1} over {2} {vec{a}} + {3} over {2} {vec{b}} =- {1} over {2} LEFT ( 2,~1 RIGHT ) + LEFT ( 1.~1 RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} ,~1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE LEFT | {vec{x}} RIGHT | = sqrt {LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} +`1 ^{2}} = {sqrt {5}} over {2}]

해

설

17    ④

답

[eqn: rm {bar{AX}} ^{2} = rm {bar{AD}} ^{2} + rm {bar{DX}} ^{2} -2 rm {bar{AD}} · rm {bar{DX}} `cos`120 DEG]
[eqn: =2 ^{2} +1 ^{2} -4times LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =7]
[eqn: therefore LEFT | {vec{a}} - {vec{b}} +2 {vec{c}} RIGHT | = sqrt {7}]

해

설

18    ①

답

[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )][eqn: m+n= {1} over {2} LEFT ( m GEQ 0,~n GEQ 0 RIGHT )]이면 점 [eqn: rmP]는 [eqn: rm {bar{OA prime }} =3,~~ rm {bar{OB prime }} =2]인 선분 [eqn: rmA'B']위에 존재한다.
(단, 각 [eqn: rm {bar{OA}} ,~ {bar{OB}}]위의 점)
[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )][eqn: m+n=1 LEFT ( m GEQ 0,~n GEQ 0 RIGHT )]이면 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB] 위에 존재한다.
[eqn: therefore](구하는 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 6 TIMES 4- {1} over {2} times3 TIMES 2=9]

해

설

19    [eqn: sqrt { 3}]

답

[eqn: rm LEFT | {vec{AB}} + {vec{AC}} RIGHT |]
[eqn: =rm LEFT | {vec{AB}} + {vec{BD}} RIGHT |][eqn: =rm rm LEFT | {vec{AD}} RIGHT | = {bar{AD}}]
[eqn: rm {bar{AD}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2} + {bar{BD}} ^{2} rm# ~~~~~ rm -2 {bar{AB}} · {bar{BD}} `cos`120 DEG =3][eqn: THEREFORE rm LEFT | {vec{AB}} + {vec{AC}} RIGHT | = {bar{AD}} = sqrt {3}]

해

설

20    ①

답

[eqn: 3m-n=m,~][eqn: 4=- LEFT ( n-1 RIGHT )]
[eqn: m=-1,~n=-2]
[eqn: thereforem+n=-1+ LEFT ( -2 RIGHT ) =-3]

해

설

21    ⑤

답

[eqn: rm {vec{AG}} = {1} over {2} LEFT ( {vec{AC}} + {vec{AD}} RIGHT ) = it {1} over {2} LEFT { 2 {vec{a}} + {vec{b}} +2 LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) RIGHT }]        [eqn: = {1} over {2} LEFT ( 4 {vec{a}} +3 {vec{b}} RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AH}} = {1} over {2} {vec{AG}} = it {1} over {4} LEFT ( 4 {vec{a}} +3 {vec{b}} RIGHT ) = {vec{a}} + {3} over {4} {vec{b}}]
[eqn: thereforep+q=1+ {3} over {4} = {7} over {4}]

해

설

22    [eqn: -3]

답

[eqn: rm {vec{PQ}} = {vec{PR}} + {vec{RQ}}# # = rm {vec{PR}} + {vec{PS}} = it - {vec{a}} +3 {vec{b}}# # THEREFORE xy= LEFT ( -1 RIGHT ) ·3=-3]

해

설

23   ⑤

답

[eqn: rm {vec{AG}} it = {1} over {2} LEFT ( rm {vec{AC}} + {vec{AD}} it ` RIGHT ) = {1} over {2} LEFT { 2 {vec{a}} + {vec{b`}} +2 LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) RIGHT }# = {1} over {2} LEFT ( 4 {vec{a}} +3 {vec{b}} RIGHT )]
즉, [eqn: rm {vec{AH}} it = {1} over {2} rm {vec{AG}} it = {1} over {4} LEFT ( 4 {vec{a}} +3 {vec{b}} RIGHT ) = {vec{a}} + {3} over {4} {vec{b}} `~~# THEREFORE p+q=1+ {3} over {4} = {7} over {4}]

해

설

24    ③

답

[eqn: rm {vec{PQ}} = {vec{OQ`}} - rm {vec{OP}} it =x {vec{a}} - LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) {vec{a}} - {vec{b}}]
[eqn: rm {vec{PR}} = {vec{OR}} - rm {vec{OP}} it =y {vec{b}} - LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) =- {vec{a}} + LEFT ( y-1 RIGHT ) {vec{b}}]
세 점 [eqn: rmP,`Q,`R]는 동일 직선 위에 있으므로
[eqn: rm {vec{PQ}} it =t {vec{rm PR` it}}]를 만족하는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: t]가 존재한다.
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) {vec{a}} - {vec{b}}# =-t {vec{a}} +t LEFT ( y-1 RIGHT ) {vec{b}}][eqn: THEREFORE LEFT ( x+t-1 RIGHT ) {vec{a}} + LEFT ( -1-ty+t RIGHT ) {vec{b}} = {vec{0}}]
[eqn: {vec{a}}]와 [eqn: {vec{b}}]는 서로 평행이 아니므로
[eqn: {cases{x+t-1=0&CDOTS CDOTS ㉠#-1-ty+t=0~~~~~~~~&CDOTS CDOTS ㉡}}]
[eqn: ㉠,`㉡]으로부터 [eqn: t]를 소거하면 [eqn: xy-x-y=0]
[eqn: thereforex+y=xy]

해

설

25    [eqn: -1]

답

[eqn: rm {vec{AC}} = {vec{OC}} - {vec{OA}} ` it = LEFT ( 2 {vec{a`}} +m {vec{b}} ` RIGHT ) - {vec{a`}} = {vec{a`}} +m {vec{b`}}]
[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{OB}} - {vec{OA}} ` it = {vec{b`}} - {vec{a`}}]
[eqn: rm {vec{AC}} it =k rm {vec{AB}}]에서
[eqn: {vec{a`}} +m {vec{b`}} =k LEFT ( - {vec{a`}} + {vec{b`}} RIGHT ) ~ THEREFORE k=-1,`m=k~ THEREFORE m=-1]

해

설

26    ②

답

[eqn: LEFT ( x+y RIGHT ) {vec{a}} + LEFT ( x-y+2 RIGHT ) {vec{b}} = {vec{a}} +3 {vec{b}}]에서
[eqn: LEFT ( x+y-1 RIGHT ) {vec{a}} =- LEFT ( x-y-1 RIGHT ) {vec{b}}]
영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: {vec{a`}}]와 [eqn: {vec{b`}}]는 평행하지 않으므로[eqn: {vec{b`}} =k {vec{a}}]인 실수 [eqn: k]가 존재하지 않는다.
따라서 [eqn: x+y-1=0,`x-y-1=0]이어야 하므로
[eqn: x=1,`y=0~~~~thereforex+y=1]

해

설

27    ①

답

[eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{b}} ,` rm {vec{AC}} it = {vec{c}}]로 놓으면
[eqn: rm 13 {vec{PA}} it +` rm 2 {vec{PB}} +3 {vec{PC}} = {vec{0}}# # rm 13 LEFT ( - {vec{AP}} RIGHT ) +` rm 2 LEFT ( {vec{AB}} - {vec{AP}} RIGHT )# # +3 LEFT ( {vec{rm AC}} - {vec{AP}} RIGHT )# # =-18 {vec{rm AP}} it +2 {vec{b}} it + {vec{3c}} = {vec{0}} it]
[eqn: rm {vec{AP}} it = {5} over {18} · {2 {vec{b}} + rm 3 {vec{c}} it} over {5} it = {5} over {18} rm {vec{AD}} it]
([eqn: BECAUSE rm {2 {vec{b}} + rm 3 {vec{c}} it} over {5}]의 종점은 변 [eqn: rmBC]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점이므로 [eqn: rmD]와 같다.)
[eqn: thereforermbarAP`:barPD`= {5} over {18} : {13} over {18} =5:13]
따라서 [eqn: rm {barAP} over {barPD} = {5} over {13}]

해

설

28    ③

답

구하는 영역의 넓이는 [eqn: TRIANGLE rmOAB]의 [eqn: 8]배이므로
[eqn: 8· {sqrt {3}} over {4} =2 sqrt {3}]

해

설

29   [eqn: 3]

답

[eqn: TRIANGLE rm BEC]에서 [eqn: rm {bar{EP}} : {bar{PC}} it =t: LEFT ( 1-t RIGHT )]라고 하면
[eqn: rm {vec{BP}} it = LEFT ( 1-t RIGHT ) {vec{a}} +t {vec{b}} ~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: rm {vec{BP}} it =s {vec{rm BF it}} it]로 놓으면
[eqn: rm {vec{BP}} it =s LEFT ( {vec{rm BA it}} + {vec{rm AF it}} it RIGHT ) =2s {vec{a}} + {2} over {3} s {vec{b}} ~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 [eqn: 1-t=2s,`t= {2} over {3} s```thereforet= {1} over {4} ,`s= {3} over {8}]
[eqn: rm {vec{BP}} it = {3} over {4} {vec{a}} + {1} over {4} {vec{b}} ~~~~~~ THEREFORE 16xy=16· {3} over {4} · {1} over {4} =3]

해

설

30    ⑤

답

끈 [eqn: rmOA,`OB,`OC]에 걸리는 힘을 각각 [eqn: {vec{f _{1}}} ,` {vec{f _{2}}} ,` {vec{f _{3}}}]이라고 하면
[eqn: {vec{f _{1}}} + {vec{f _{2}}} +` {vec{f _{3}}} = {vec{0}}]
오른쪽 그림과 같이
[eqn: {vec{f _{1}}} = {vec{rm OA it}} prime ,` {vec{f _{2}}} = {vec{rm OB}} prime `]에서
[eqn: rm {vec{OA it rm}} prime + {vec{OB}} prime = {vec{OD}} ~~~# THEREFORE {vec{rm OD rm}} =- it {vec{f}} _{3}]
[eqn: TRIANGLE rmOA'D]에서
[eqn: {LEFT | {vec{f _{1}}} RIGHT |} over {sin`30 DEG } = {LEFT | {vec{f _{2}}} RIGHT |} over {sin`60 DEG } = {LEFT | {vec{f _{3}}} RIGHT |} over {sin`90 DEG }]
이때, [eqn: LEFT | {vec{f _{3}}} RIGHT | =30 rm N]이므로 [eqn: LEFT | {vec{f _{2}}} RIGHT | =30`sin`60 DEG]
[eqn: =15 sqrt {3} ( rm N)]

해

설

31    ⑤

답

[eqn: sqrt {60000 ^{2} +80000 ^{2}} =100000 LEFT ( rmN RIGHT )]

해

설

32

③

답

[eqn: rm {vec{OA}} + rm {vec{OB}} + rm {vec{OC}} + rm {vec{OD}} + rm {vec{OE}} = {vec{0}}]이므로 [eqn: rm {vec{PA}} + rm {vec{PB}} + rm {vec{PC}} + rm {vec{PD}} + rm {vec{PE}} =-5 rm {vec{OP}}]
[eqn: rm THEREFORE LEFT | {vec{PA}} + rm {vec{PB}} + rm {vec{PC}} + rm {vec{PD}} + rm {vec{PE}} RIGHT | =10]

해

설

33    ⑤

답

[eqn: rm {vec{CF}} =-2 {vec{AB}} it =-2 {vec{a}} ~~ THEREFORE rm {vec{AF}} = rm {vec{AC}} + rm {vec{CF}}it =-2 {vec{a}} + {vec{b}}]

해

설

34   [eqn: 2]

답

[eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{b}} - {vec{a}} ,` rm {vec{BC}} it = {vec{c}} - {vec{b}} ,` rm {vec{CA}} it = {vec{a}} - {vec{c}}# THEREFORE rm {vec{AB}} it +2 rm {vec{BC}} +3 {vec{CA}} = it LEFT ( {vec{b}} - {vec{a}} RIGHT ) +2 LEFT ( {vec{c}} - {vec{b}} RIGHT ) +3 LEFT ( {vec{a}} - {vec{c}} RIGHT )# ~~~~~~~~~~~~~~~~~# ~~~~~~~~~~~~~~~~~=2 {vec{a}} - {vec{b}} - {vec{c}}]
[eqn: thereforexyz=2· LEFT ( -1 RIGHT ) · LEFT ( -1 RIGHT ) =2]

해

설

35    [eqn: 2]

답

[eqn: {vec{a}} = rm{vec{AB}}it ,`{vec{b}} = rm {vec{AH}}]로 놓으면 [eqn: rm {vec{PQ}} ⫽ {vec{QR}}]에서
[eqn: LEFT ( rm {vec{AQ}} - {vec{AP}} RIGHT ) ⫽ LEFT ( rm {vec{AR}} - {vec{AQ}} RIGHT )]
즉. [eqn: LEFT ( {vec{a}} -3 {vec{b}} RIGHT ) ⫽ LEFT ( - {vec{a}} + LEFT ( k+1 RIGHT ) {vec{b}} RIGHT )]
[eqn: THEREFORE k+1=3~~~~~ THEREFORE k=2`]

해

설

36   [eqn: 1]

답

[eqn: rm {vec{OP}} it = {vec{p}} ,` rm {vec{OQ}} it = {vec{q}}]라고 하면
[eqn: {vec{p}} it = {2 {vec{b}} it +3 {vec{a}} it} over {2+3} ,` {vec{q}} it = {2 {vec{b}} it -3 {vec{a}} it} over {2-3}]
[eqn: THEREFORE {vec{m}} it = {1} over {2} LEFT ( {vec{p}} + {vec{q}} RIGHT ) it = {5} over {9} {vec{a}} - {4} over {5} {vec{b}}]
[eqn: thereforex+y= {5} over {9} + LEFT ( - {4} over {5} RIGHT ) =1]

해

설

37    ④

답

만약 점 [eqn: rmT]가 평면 [eqn: alpha]위에 있으려면 [eqn: rm {vec{AT}} = it m {vec{rm AB it}} +n {vec{rm AC}} ,`rm {vec{OT}} - {vec{OA}}][eqn: =` it m LEFT ( rm {vec{OB }} - {vec{OA}} RIGHT ) + it n LEFT ( rm {vec{OC }} - {vec{OA}} RIGHT )]
따라서 [eqn: rm {vec{OT}} it =l {vec{rm OA it}} it +n {vec{rm OB it}} +n {vec{rm OC it}} LEFT ( l+m+n=1 RIGHT )] 이어야 하므로 점 [eqn: rmQ]만 평면 [eqn: alpha] 위에 있다.

해

설

38    ④

답

[eqn: rm {vec{PA}} + {vec{PB}} + {vec{PC}} = {vec{BC}}]에서
[eqn: rm {vec{PA}} = {vec{BP}} - {vec{PB}} =2 {vec{BP}} ~~~ THEREFORE {vec{AP}} : {vec{PB}} =2:1]
같은 방법으로 [eqn: rm {vec{BQ}} : {vec{QC}} =2:1,` rm {vec{CR}} : {vec{RA}} =2:1]
이므로 구하는 값은 [eqn: {1} over {3}]이다.

해

설

39    ①

답

[eqn: rm {vec{OB}} ` rm]의 종점 [eqn: rmB]는 단위원 위의 점 중에서 선분 [eqn: rmOA]와 만나는 점이다. 원점을 지나는 두 접선이 [eqn: y=± sqrt {3} x]이므로 종점 [eqn: rmB]가 그리는 도형은 중심각이 [eqn: 60DEG]인 부채꼴의 호이다. 따라서 구하는 도형의 길이는 [eqn: 2pitimes {60} over {360} = {pi} over {3}]

해

설

40    ④

답

[eqn: rm {vec{AC}} ` rm]는 배의 진행을 나타내고 , [eqn: rm {vec{CB}} ` rm]는 강물의 진행을 나타낸다고 하면 [eqn: LEFT | rm {vec{AC}} RIGHT | =45,` LEFT | rm {vec{CB}} RIGHT | =15~~~ THEREFORE LEFT | rm {vec{AB}} RIGHT | =30 sqrt {2} ~][eqn: THEREFORE `cos theta = {2 sqrt {2}} over {3}]

해

설

41   [eqn: (1)][eqn: rm {vec{AP}} =3 rm {vec{AB}} =3 {vec{b}}]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: rm {vec{AQ}} =3 rm {vec{AC}} =3 {vec{c}}]
[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: rm {vec{AR}} =2 rm {vec{AB}} +3 rm {vec{AC}} =2 {vec{b}} +3 {vec{c}}]

답

42   [eqn: ①]

답

정육각형의 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라고 하면
[eqn: rm {vec{DM}} = rm {vec{DC}} + rm {vec{CM}}]
[eqn: rm = rm {vec{FA}} + {1} over {2} rm {vec{CB}} = rm {vec{FA}} + {1} over {2} rm {vec{OA}}][eqn: rm = rm {vec{FA}} - {1} over {2} rm {vec{AO}}# = rm {vec{FA}} - {1} over {2} LEFT ( rm {vec{AB}} + rm {vec{AF}} RIGHT )][eqn: =- {vec{b}} - {1} over {2} LEFT ( {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT ) =- {1} over {2} {vec{a}} - {3} over {2} {vec{b}}]

해

설

43   [eqn: ④]

답

두 점 [eqn: rmR,~S]를 [eqn: rm {vec{PR}} it =3 {vec{a}} ,~ rm {vec{PS}} it =-2 {vec{b}} ~]가 되게 잡으면 [eqn: rm {vec{PQ}} = {vec{PR}} + {vec{PS}} it=3 {vec{a}} -2 {vec{b}} ~]

해

설

44   [eqn: ①]

답

[eqn: rm {vec{AB}} + {vec{FE}} + {vec{DF}} = LEFT ( {vec{AB}} + {vec{BC}} RIGHT ) + {vec{DF}} = {vec{AC}} + {vec{DF}}]
[eqn: rm = {vec{AC}} + {vec{CA}} = {vec{AC}} + LEFT ( - {vec{AC}} RIGHT ) = {vec{0}}]
[eqn: therefore LEFT | rm {vec{AB}} + rm {vec{FE}} + rm {vec{DF}} RIGHT | = LEFT | rm {vec{0}} RIGHT | =0]

해

설

45   [eqn: ③]

답

점 [eqn: rmP]를 지나고 변 [eqn: rmAB]와 평행한 직선과 점 [eqn: rmQ]를 지나고 변 [eqn: rmAD]와 평행한 직선이 만나는 교점을 [eqn: rmR]라고 하면
[eqn: rm {vec{PQ}} = {vec{PR}} + {vec{RQ}} =- {1} over {3} {vec{AB}} + {2} over {3} {vec{AD}} = it - {1} over {3} {vec{a}} + {2} over {3} {vec{b}}]

해

설

46   [eqn: k=1,~l=-3]

답

[eqn: rm {vec{AB}} it]와[eqn: rm {vec{CD}}]는 같은 방향으로 평행하고, [eqn: rm {bar{AB}} =4,~ {bar{CD}} =4]이므로 [eqn: rm {vec{AB}} = {vec{CD}}]   [eqn: thereforek=1]
[eqn: rm {vec{BD}} it]와[eqn: rm {vec{CB}}]는 반대 방향으로 평행하고, [eqn: rm {bar{BD}} =6,~{bar{CB}} =2]이므로 [eqn: rm {vec{BD}} =-3 {vec{CB}}]   [eqn: THEREFORE l=-3]

해

설

47   [eqn: ②]

답

[eqn: rm {vec{PA}} + {vec{PB}} + {vec{PC}} = {vec{PB}} - {vec{PA}}]에서 [eqn: rm {vec{PC}} =-2 {vec{PA}}]
[eqn: THEREFORE rm LEFT | {vec{PA}} RIGHT | : LEFT | {vec{PC}} RIGHT | =1:2]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm PAB: TRIANGLE PBC= {bar{PA}} : {bar{PC}} =1:2]

해

설

48   [eqn: ②]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{OB}} - {vec{OA}} = it LEFT ( - {vec{p}} + {vec{q}} RIGHT ) - LEFT ( 2 {vec{p}} -3 {vec{q}} RIGHT )]
[eqn: it =-3 {vec{p}} +4 {vec{q}}]

해

설

49   [eqn: {vec{p}} = {1} over {3} {vec{a}} + {2} over {3} {vec{b}}],  [eqn: {vec{q}} =- {vec{a}} +2 {vec{b}}]

답

[eqn: {vec{p}} = {2 {vec{b}} + {vec{a}}} over {2+1} = {1} over {3} {vec{a}} + {2} over {3} {vec{b}}]
[eqn: {vec{q}} = {2 {vec{b}} - {vec{a}}} over {2-1} =- {vec{a}} +2 {vec{b}}]

해

설

50   [eqn: ⑤]

답

[eqn: rm {bar{AC}} : {bar{CB}} = rm {bar{OA}} : {bar{OB}} =3:2]이므로  점 [eqn: rmC]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점이다.
[eqn: THEREFORE rm {vec{OC}} = {3 {vec{OB}} +2 {vec{OA}}} over {3+2} = it {2} over {5} {vec{a}} + {3} over {5} {vec{b}}]

해

설

51   [eqn: ①]

답

[eqn: {vec{p}} = {2b+ {vec{a}}} over {2+1} = {1} over {3} {vec{a}} + {2} over {3} {vec{b}} ,~ {vec{q}} = {{vec{b}} -3 {vec{a}}} over {1-3} = {3} over {2} {vec{a}} - {1} over {2} {vec{b}}]
[eqn: THEREFORE rm {vec{OM}} it = {1} over {2} LEFT ( {vec{p}} + {vec{q}} RIGHT ) = {1} over {2} LEFT { LEFT ( {1} over {3} {vec{a}} + {2} over {3} {vec{b}} RIGHT ) + LEFT ( {3} over {2} {vec{a}} - {1} over {2} {vec{b}} RIGHT ) RIGHT }]        [eqn: = {11} over {12} {vec{a}} + {1} over {12} {vec{b}}]

해

설

52   [eqn: ④]

답

[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{OB}} - {vec{rm OA}} = LEFT ( 1,~-1 RIGHT ) - LEFT ( 3,~2 RIGHT ) = LEFT ( -2,~-3 RIGHT )]
[eqn: rm {vec{CD}} = {vec{OD}} - {vec{OC}} it = LEFT ( x,~y RIGHT ) - LEFT ( -2,~0 RIGHT ) = LEFT ( x+2,~y RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{CD}}]에서 [eqn: c+2=-2,~y=-3]
[eqn: thereforex=-4,~y=-3]
[eqn: THEREFORE x+y= LEFT ( -4 RIGHT ) + LEFT ( -3 RIGHT ) =-7]

해

설

53   [eqn: ①]

답

[eqn: rm Q LEFT ( itx,~y RIGHT )]로 놓으면
[eqn: rm {vec{PQ}} = {vec{OQ}} - {vec{OP}} it = LEFT ( x,~y RIGHT ) - LEFT ( 3,~0 RIGHT ) = LEFT ( x-3,~y RIGHT )]
[eqn: LEFT ( x-3,~y RIGHT ) = LEFT ( 1,~2 RIGHT )]에서 [eqn: x=4,~y=2]
[eqn: thereforermQ LEFT ( 4,~2 RIGHT )]

해

설

54   [eqn: ②]

답

[eqn: rm {vec{AP}} it = {3} over {4} {vec{b}} +` {1} over {4} rm {vec{c}} = {{vec{c}} +3 {vec{b}}} over {1+3}]에서 점 [eqn: rmP]는 [eqn: rmbarBC]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점이다.
[eqn: therefore]([eqn: TRIANGLE rmABP]의 넓이)=([eqn: TRIANGLE rmRBC]의 넓이)[eqn: TIMES {1} over {4}]
[eqn: =12 TIMES {1} over {4} =3]

해

설

55   [eqn: 10]

답

[eqn: {vec{c}} =m {vec{a}} +n {vec{b}} =m LEFT ( 3,~0 RIGHT ) +n LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]                [eqn: = LEFT ( 3m+n,~-2n RIGHT )]
[eqn: {vec{c}} = LEFT ( 0,~-6 RIGHT )]에서
[eqn: 3m+n=0,~-2n=-6~~thereforem=-1,~n=3]
[eqn: thereforem ^{2} +n ^{2} = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +3 ^{2} =10]

해

설

56   [eqn: ③]

답

[eqn: {vec{a}} =t {vec{a}}]([eqn: t!=0]인 실수)이므로 [eqn: LEFT ( 3,~2x RIGHT ) =t LEFT ( 2,~x-1 RIGHT )]
[eqn: therefore3=2t,~2x=t LEFT ( x-1 RIGHT ) ~~thereforet= {3} over {2} ,~x=-3]

해

설

57   [eqn: ②]

답

[eqn: {vec{p}} + {vec{q}}][eqn: =2 {vec{a}} + {vec{b}}], [eqn: {vec{p}} - {vec{r}}][eqn: =- {vec{a}} - LEFT ( k-1 RIGHT ) {vec{b}}]
[eqn: {vec{p}} - {vec{r}} =t LEFT ( {vec{p}} + {vec{q}} RIGHT )]([eqn: t!=0]인 실수)에서
[eqn: - {vec{a}} - LEFT ( k+1 RIGHT ) {vec{b}}][eqn: =t LEFT ( 2 {vec{a}} + {vec{b}} RIGHT )]
[eqn: therefore2t][eqn: =1], [eqn: t][eqn: =- LEFT ( k+1 RIGHT )]  [eqn: thereforet][eqn: =- {1} over {2}], [eqn: k][eqn: =- {1} over {2}]

해

설

58   [eqn: {1} over {3}]

답

그림에서[eqn: rm {vec{OD}}][eqn: = {vec{a}}], [eqn: rm {vec{OE}}][eqn: = {vec{b}}]로 놓으면
[eqn: rm {vec{OC}}][eqn: =p` rm {vec{OA}} + it q rm {vec{OB}}]
[eqn: = LEFT ( -p+2q RIGHT ) {vec{a}} + LEFT ( p+q RIGHT ) {vec{b}}]
[eqn: = {vec{a}} +3 {vec{b}}]
[eqn: THEREFORE -p+2q][eqn: =1], [eqn: p+q][eqn: =3]    [eqn: thereforep][eqn: = {5} over {3}], [eqn: q][eqn: = {4} over {3}]
[eqn: therefore][eqn: p-q][eqn: = {5} over {3} - {4} over {3}][eqn: = {1} over {3}]

해

설

59   [eqn: ④]

답

[eqn: {vec{rmOP}}][eqn: =m {vec{rm OA it}} + it n {vec{rm OB it}}][eqn: =m {vec{rm OA it}} + it LEFT ( 1-m RIGHT ) {vec{rm OB it}} ~ CDOTS ㉠]
[eqn: 0<=m<=1]이므로 [eqn: ㉠]에서 점 [eqn: rmP]의 자취는 선분 [eqn: rmAB]이다.
따라서 코사인법칙에 의하여
[eqn: rm {bar{AB}} ^{2}][eqn: rm = {bar{AC}} ^{2} + {bar{BC}} ^{2} -2 TIMES {bar{AC}} ^{2} TIMES {bar{BC}} ^{2} timescos`itC][eqn: =13]
[eqn: therefore rm {bar{AB}}][eqn: = sqrt {13}]

해

설

60   [eqn: ②]

답

선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라고 하면
[eqn: rm {vec{PQ}}][eqn: =rm {3 {vec{BP}} +2 {vec{PC}}} over {5}][eqn: = {vec{rmAP}}]이므로
점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAQ]의 중점이다.
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rmPAB][eqn: = {1} over {2} TRIANGLE rmABQ][eqn: = {1} over {2} LEFT ( {2} over {5} TRIANGLE rmABC RIGHT )][eqn: = {1} over {5} times20]            [eqn: =4]

해

설