기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		1. 이차곡선			반 / 번호
	01 포물선					이름

01 초점이 [eqn: rm F LEFT ( 2,~-3 RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: `y=-1]인 포물선의 방정식은?

① [eqn: x ^{2} -4x+4y+12=0]
② [eqn: x ^{2} +4x+4y-12=0]
③ [eqn: x ^{2} -4x-4y+12=0]
④ [eqn: x ^{2} -4x-4y-12=0]
⑤ [eqn: x ^{2} +4x-4y-12=0]

02 원 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =1]의 중심을 초점으로 하고, 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이 점[eqn: LEFT ( a,~6 RIGHT )]을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]          ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

03 좌표평면 위의 한 점 [eqn: A LEFT ( 0,~2 RIGHT )]와 직선 [eqn: y=-4]에 이르는 거리가 같은 점 [eqn: rm P it LEFT ( x,~y RIGHT )]의 자취를 나타내는 방정식이 [eqn: x ^{2} +ay ^{2} +bx+cy+d=0]일 때, 상수 [eqn: a,`b,`c,`d]에 대하여 [eqn: a+b+c+d]의 값은?

① [eqn: 0]          ② [eqn: 1]          ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]          ⑤ [eqn: 4]

04 좌표평면 위의 점 [eqn: rmA LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =8x] 위의 한 점 [eqn: rmP]를 거쳐 점 [eqn: rmB LEFT ( 5,~3 RIGHT )]까지 이르는 최단 거리는?

① [eqn: 6]          ② [eqn: 7]          ③ [eqn: 8]
④ [eqn: 9]          ⑤ [eqn: 10]

05 직선[eqn: y=2x+3]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 직선이 포물선 [eqn: y ^{2} =2x]에 접할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {11} over {8}]          ② [eqn: {13} over {8}]          ③ [eqn: {15} over {8}]
④ [eqn: {17} over {8}]          ⑤ [eqn: {19} over {8}]

06 포물선 [eqn: y ^{2} =4x] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,~-4 RIGHT )]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=ax+b]라고 할 때, [eqn: 4a ^{2} +b ^{2}]의 값은?

① [eqn: 3]          ② [eqn: 4]          ③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]          ⑤ [eqn: 7]

07 원 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =16]과 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 준선의 방정식이 만나는 두 점을 [eqn: rmA,~B]라고 할 때, [eqn: rmbarAB]의 길이는?

① [eqn: 2]          ② [eqn: 4]          ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]          ⑤ [eqn: 10]

08 다음 그림의 포물선 [eqn: m]과 직선 [eqn: l]에 대하여 점 [eqn: rmF,~O]는 각각 포물선의 초점, 꼭짓점이다. 점 [eqn: rmA,~F,~D]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmB,~P,~C]라고 하자. [eqn: rm {bar{FO}} = {bar{OP}}], [eqn: rm {bar{FD}} =2], [eqn: rm {bar{AF}} =4]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는?

① [eqn: 10 sqrt {2}]       ② [eqn: 12 sqrt {2}]       ③ [eqn: 14 sqrt {2}]
④ [eqn: 16 sqrt {2}]       ⑤ [eqn: 18 sqrt {2}]

09 포물선 [eqn: y ^{2} =x]위의 점 [eqn: rm P`it LEFT ( a,~b RIGHT )]와 직선 [eqn: 2x-y+3=0] 사이의 거리가 최소일 때, [eqn: 8ab]의 값은?

① [eqn: {1} over {8}]       ② [eqn: {1} over {4}]       ③ [eqn: {1} over {2}]
④ [eqn: 2]        ⑤ [eqn: 4]

10 다음 그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =6x]와 [eqn: n]개의직선 [eqn: x=1,~x=2,~x=3,cdots,~x=n]의 교점을 각각 [eqn: rm P _{1} ,~P _{2} ,~P _{3} ,~ CDOTS ,~P _{it `n rm}]이라고 한다. 이 포물선의 초점을 [eqn: rmF]라고 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{30} rm {bar{EP _{itn}}}]의 값은?(단, [eqn: n]은 자연수이고, 점 [eqn: rm P rm _{it n rm}]은 제1사분면 위에 있다.)

① [eqn: 465]       ② [eqn: 490]       ③ [eqn: 510]
④ [eqn: 555]       ⑤ [eqn: 630]

11 다음 그림의 포물선 [eqn: y ^{2} =4px]의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점 [eqn: rmA,`B]에서 준선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC,~D]라 하고, [eqn: x]축과 [eqn: l]의 교점을 [eqn: rmE]라고 하자. 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: anglermAFC=angleCFE]  ㄴ. [eqn: rm {bar{CF}} BOT {bar{DE}}]

ㄷ. [eqn: {bar{rm CA it}} = it a, {bar{rm DB it}} = it b]일 때, [eqn: {bar{rm CD it}} =2 sqrt {ab}]

① ㄱ        ② ㄴ        ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ    ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

12 다음 그림과 같이 점 [eqn: rmP LEFT ( -3,~1 RIGHT )]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =x]에 두 개의 접선을 그어 그 접섬을 각각 [eqn: rm A,~B]라고 할 때, 두 점 [eqn: rmA,~B]의 [eqn: x]좌표의 합은?

① [eqn: 2]       ② [eqn: 4]       ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 8]       ⑤ [eqn: 10]

13 두 포물선 [eqn: y ^{2} =2x]와 [eqn: x ^{2} =2y]에 동시에 접하는 접선의 방정식은 [eqn: y=ax+b]이다. 이때, [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: - {3} over {2}]       ② [eqn: - {1} over {2}]       ③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1} over {2}]         ⑤ [eqn: {3} over {2}]

14 오른쪽 그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =4x] 위에 있는 두점 [eqn: A], [eqn: B]이 중점의 좌표가 [eqn: rmM LEFT ( 2,~1 RIGHT )]이다. 포물선의 초점을 [eqn: rmF]라고 할 때, [eqn: rm {bar{AF}} +barBF]의 값을 구하여라.

15 두 포물선 [eqn: y ^{2} =P LEFT ( x+2 RIGHT ) ,~x ^{2} =q LEFT ( y+3 RIGHT )]의 두 초점이 일치할 때, 상수 [eqn: p,~q]의 합 [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: 16]          ② [eqn: 18]        ③ [eqn: 20]
④ [eqn: 22]         ⑤ [eqn: 24]

16 수심이 [eqn: 5rmm]로 일정한 강에서 어선 두 척이 포물선 [eqn: x ^{2} =4y]의 그래프 모양으로 그물을 치고 있다. 그물과 강 바닥 사이의 최소 간격이 [eqn: 1rmm]일 때, 두 어선 사이의 거리는?

① [eqn: 4 rm m]          ② [eqn: 5rmm]        ③ [eqn: 6 rm m]
④ [eqn: 7 rm m]         ⑤ [eqn: 8 rm m]

17 오른쪽 그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]위에 세 점[eqn: rm A it LEFT ( a _{1} ,~b _{1} RIGHT ) ,~ rm B it LEFT ( a _{2} ,~b _{2} RIGHT ) ,~ rm C it LEFT ( a _{3} ,~b _{3} RIGHT )]이 있다.
[eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심 좌표가 [eqn: rmG LEFT ( {10} over {3} ,~- {1} over {3} RIGHT )]일 때, [eqn: rm {bar{AF}} + rm {bar{BF}} + rm {bar{CF}}]의 값은?

(단, 점 [eqn: rmF]는 이 포물선의 초점이다.)

① [eqn: 14]          ② [eqn: 16]        ③ [eqn: 18]
④ [eqn: 20]         ⑤ [eqn: 22]

18 포물선 [eqn: y ^{2} =2x] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~-2 RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: tan`theta+cot`theta]의 값은?

① [eqn: - {5} over {2}]          ② [eqn: -2]         ③ [eqn: - {3} over {2}]
④ [eqn: -1]           ⑤ [eqn: - {1} over {2}]

19 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]와 이포물선의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선 [eqn: y=mx-1]이 만나는 두 점에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A,~B]라고 할 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

① [eqn: sqrt {2}]        ② [eqn: 2 sqrt {2}]       ③ [eqn: 3 sqrt {2}]
④ [eqn: 4 sqrt {2}]       ⑤ [eqn: 5 sqrt {2}]

20 다음 그림과 같이 직선 [eqn: l]이 점 [eqn: rmP]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =2x]와 원[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =9]에 동시에 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

21 초점이 [eqn: rmF LEFT ( 2,~0 RIGHT )], 준선이 [eqn: x=-2]인 포물선에 대하여 다음을 구하시오.
(1)포물선의 방정식
(2)꼭짓점의 좌표와 축의 방정식

22 포물선[eqn: y ^{2} =4x]와 진선 [eqn: y=x+k]의 위치 관꼐를 상수 [eqn: k]의 값에 따라 구분하시오.

23 다음 그림과 같이 직선[eqn: x=-2]에 접하고 원[eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =4]에 외접하는 원의 중심을 [eqn: rmP]라 할 때, 점[eqn: rmP]가 움직이면서 그리는 도형은 포물선이다. 다음 중 이 포물선 위의 점은?

① [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]       ② [eqn: LEFT ( 1,~4 RIGHT )]       ③ [eqn: LEFT ( 1,~8 RIGHT )]

④ [eqn: LEFT ( 2,~4 RIGHT )]        ⑤ [eqn: LEFT ( 2,~8 RIGHT )]

24 다음 그림과 같이 원[eqn: x ^{2} +y ^{2} =9]에 외접하고 직선[eqn: x=-5]에 접하면서 움직이는 원의 중심을 [eqn: rmP]라 할 때, 점 [eqn: rmP]가 움직이면서 그리는  도형의 방정식이 [eqn: y ^{2} =ax+b]라고 한다. 이때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b]는 상수)

25 오른쪽 그림과 같이 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하고, 중심이 [eqn: rmO]인 반원에 내접하는 원의 중심 [eqn: rmP]의 자취는 어떤 도형의 일부인지 구하시오.

26 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]위에 세 점 [eqn: rm A` it LEFT ( a _{1} ,~b _{1} RIGHT )], [eqn: rm B` it LEFT ( a _{2} ,~b _{2} RIGHT ) ,] [eqn: rm C` it LEFT ( a _{3} ,~b _{3} RIGHT )]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rm ABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표가 [eqn: LEFT ( {10} over {3} ,~- {1} over {3} RIGHT )]일 때, [eqn: rm {bar{AF}} `+ rm {bar{BF}} `+ rm {bar{CF}}]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmF]는 이 포물선의 초점)

27 포물선 [eqn: x ^{2} =4y]위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA,~B,~C]에서 준선까지의 거리의 합이 [eqn: 15]일 때, [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심의 [eqn: y]좌표를 구하시오.

28 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]와 직선 [eqn: x=4]는 두 점 [eqn: rmA,`B]에서 만나고 있다. 선분 [eqn: rm AB] 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축과 평행하게 빛을 보내면 포물선 위의 점 [eqn: rmQ]에서 반사되어 초점 [eqn: rmF]를 거쳐서 점 [eqn: rmA]에 도달한다. 이때, 빛의 이동 거리를 구하시오.

29 포물선 [eqn: y ^{2} -4x-10y+37=0]의 초점을 [eqn: rmF]라 하자. 점 [eqn: rmF]를 초점으로 하고 직선 [eqn: y=-1]을 준선으로 가지는 포물선의 방정식을 [eqn: x ^{2} +ax+by+x=0]이라 할 때, [eqn: c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b,`c]는 상수)

30 포물선 [eqn: x ^{2} +2x-4y+5=0]의 초점을 [eqn: rmF]라 하자. 점 [eqn: rmF]를 초점으로 하고, 직선 [eqn: x=5]를 준선으로 가지는 포물선의 방정식을 [eqn: y ^{2} +ay+bx+c=0]이라 할 때, [eqn: c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b,`c]는 상수)

31 초점이 [eqn: rm F LEFT ( 4,~4 RIGHT )], 준선이 [eqn: x=-2]인 포물선의 방정식이 [eqn: LEFT ( y-a RIGHT ) ^{2} =b LEFT ( x-c RIGHT )]일 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b,`c]는 상수)

32 포물선 [eqn: y ^{2} =-4 LEFT ( x-1 RIGHT )][eqn: x]축, [eqn: y]축의 양의 부분과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,`B]라 하고, 이 포물선의 제1사분면 위의 한 점을 [eqn: rmP`]라고 할 때, [eqn: □rmOAPB]의 넓이의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점)

33 포물선 [eqn: y ^{2} =4 LEFT ( x-1 RIGHT )] 위의 점[eqn: rmP]와 직선 [eqn: y=x+4] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 선분 [eqn: rmPQ]의 길이의 최솟값을 구하시오.

34 위성방송 시청을 위한 접시형 안테나는 중앙의 축을 포함하여 어느 방향으로 가로질러 절단하여도 잘려진 단면은 항상 동일한 포물선이 된다. 안테나의 수신기가 포물선의 초점에 위치할 때, 지름의 길이가 [eqn: 2rmm], 깊이가 [eqn: 20rmm]인 접시형 안테나의 수신기는 꼭짓점으로부터 얼마나 떨어져 있는가?

① [eqn: 0.6rmm]       ② [eqn: 0.85 rm m]        ③ [eqn: 1 rm m]

④ [eqn: 1.25 rm m]       ⑤ [eqn: 1.5 rm m]

35 반사망원경은 단면이 포물선인 포물면경을 이용하여 만든다. 지름의 길이가 [eqn: 20 rm ㎝]인 포물면경으로 만든 반사망원경의 꼭짓점에서 초점까지의 거리가 [eqn: 100rmcm]일 때, 포물면경의 깊이를 구하시오. (단, 단위는 [eqn: rmcm])

36 오른쪽 그림과 같이 평면 위에 직각자의 한 변[eqn: rmAB]와 길이가 같은 실의 양 끝을 점 [eqn: rmF]와 직각자의 한 끝점 [eqn: rmB]에 고정시키고 연필의 끝점 [eqn: rmP]를 자에 대고 실을 팽팽하게 당기면서 직각자를 벽면을 따라 아래위로 움직일 때, 벽면과 연필의 끝점 [eqn: rmP] 사이의 가장 가까운 거리를 옳게 나타낸 것은?

① [eqn: {1} over {2} rmbarAB]      ② [eqn: {1} over {4} rm {bar{AP}}]     ③ [eqn: {1} over {2} rm {bar{FP}}]

④ [eqn: {1} over {4} rm {bar{AF}}]        ⑤ [eqn: {1} over {2} rm {bar{CF}}]

37 오른쪽 그림과 같이 원점[eqn: rmO]를 초점으로 하고 점 [eqn: rm A` it LEFT ( a,~0 RIGHT ) , rm ~B` it LEFT ( -b,~0 RIGHT )]을 각각 꼭짓점으로 하는 두 포물선이 만나는 두 점을 [eqn: rmP,`Q]라 할 때, 선분 [eqn: rmOP]의 길이는? (단, [eqn: 0<b<a])

① [eqn: {1} over {2} LEFT ( a+b RIGHT )]     ② [eqn: a+b]      ③ [eqn: 2 LEFT ( a-b RIGHT )]

④ [eqn: 2a+b]         ⑤ [eqn: a+2b]

38 직선[eqn: y=3x+2]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 직선이 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에 접할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {2} over {3}]        ② [eqn: {5} over {9}]        ③ [eqn: {4} over {9}]

④ [eqn: {1} over {3}]         ⑤ [eqn: {2} over {9}]

39 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]와 직선 [eqn: y= {1} over {2} x+k]가 접할 때, 이 직선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

40 오른쪽 그림과 같은 포물선 [eqn: y ^{2} =4px]에 대하여 [eqn: x]축 위의 세 점 [eqn: x _{1,`} `x _{2,`} `x _{3,`}]이 이 순서대로 등차수열을 이루고, [eqn: rm {bar{A _{1} B _{1}}} =4,~ rm {bar{A _{2} B _{2}}} =8~]일 때, [eqn: rm {bar{A _{3} B _{3}}}]의 길이는?

① [eqn: sqrt {7}]      ② [eqn: 2 sqrt {7}]      ③ [eqn: 4 sqrt {7}]

④ [eqn: 12]         ⑤ [eqn: 20]

41 오른쪽 그림의 포물선 [eqn: m]과 직선 [eqn: l]에 대하여 점[eqn: rmF,`O]는 각각 포물선의 초점과 꼭짓점이고, 점[eqn: rmA,`F,`D]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmB,`P,`C]라 하자. [eqn: rm {bar{FO}} = rm {bar{OP}} ,` {bar{FD}} =2,` rm {bar{AF}} =4]일 때, 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 구하시오.

42 점[eqn: LEFT ( -3,~2 RIGHT )]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에 그은 두 접선의 방정식에서 [eqn: y]절편을 각각 [eqn: a,`b]라 할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오.

43 포물선 [eqn: y ^{2} =4px]의 초점[eqn: rmF]를 지나는 현의 양 끝점 [eqn: rmP,`Q]에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmR,`S]라 하자. 다음 보기 중 항상 성립 하는 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.`rmbarQF`=barQS]

[eqn: ㄴ.`anglermPFR=angleRFO]

[eqn: ㄷ.` rm {bar{RS}} ^{2} `= {bar{RF}} ^{2} + {bar{SF}} ^{2}]

① [eqn: ㄱ]        ② [eqn: ㄱ,`ㄴ]        ③ [eqn: ㄱ,`ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,`ㄷ]     ⑤ [eqn: ㄱ,ㄴ,`ㄷ]

44 직선[eqn: y=-2x+1]위의 점 [eqn: LEFT ( a,`~b RIGHT )]에서 포물선 [eqn: y=x ^{2} +1]에 그은 두 접선이 수직일 때, [eqn: {b} over {a}]의 값을 구하시오.

45 다음 포물선의 방정식을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]초점이 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )], 준선이 [eqn: x=-1]인 포물선
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]초점이 [eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )], 준선이 [eqn: x=2]인 포물선

46 다음 포물선의 방정식을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]초점이 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )], 준선이 [eqn: x=-1]인 포물선
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]초점이 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )], 준선이 [eqn: x=2]인 포물선

47 다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: y ^{2} =-12x]   [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: y ^{2} =2x]   [eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: x ^{2} =16y]

48 다음 보기는 포물선[eqn: y ^{2} +4x+2y+1=0]에 대한 설명이다. 옳은 것을 모두 고르면?

(가) 초점의 좌표는[eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT )]이다.

(나) 초점의 좌표는[eqn: LEFT ( 0,~-1 RIGHT )]이다.

(다) 초점의 좌표는[eqn: x=1]이다.

[eqn: ①] (가)         [eqn: ②] (가), (나)      [eqn: ③] (가), (다)

[eqn: ④] (나), (다)     [eqn: ⑤] (가), (나), (다)

49 포물선[eqn: y ^{2} +8x+2y+17=0]의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 차례로 나열한 것은?

[eqn: ①][eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )], [eqn: x=0]  [eqn: ②][eqn: LEFT ( -4,~-1 RIGHT )], [eqn: x=0]

[eqn: ③][eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )], [eqn: x=4]   [eqn: ④][eqn: LEFT ( -4,~-1 RIGHT )], [eqn: x=4]

[eqn: ⑤][eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )], [eqn: x=4]

50 초점이 [eqn: LEFT ( 1,`~0 RIGHT )]이고, 축이 [eqn: x]축이며 점 [eqn: LEFT ( 4,~4 RIGHT )]를 지나는 포물선의 방정식은?

(단, 꼭짓점은 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]이 아니다.)

[eqn: ①][eqn: y ^{2} =-16 LEFT ( x-5 RIGHT )]    [eqn: ②][eqn: y ^{2} =-16 LEFT ( x-4 RIGHT )]

[eqn: ③][eqn: y ^{2} =-16 LEFT ( x-3 RIGHT )]     [eqn: ④][eqn: y ^{2} =-8 LEFT ( x-4 RIGHT )]

[eqn: ⑤][eqn: y ^{2} =-8 LEFT ( x-3 RIGHT )]

51 초점이 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: x]축에 평행하며 점 [eqn: LEFT ( 2,~2 RIGHT )]를 지나는 포물선의 방정식을 모두 구하여라.

52 다음 그림과 같이 포물선[eqn: y ^{2} =8x]의 초점 [eqn: rmF]를 지나는 직선이 포물선과 만나는 두 점을 [eqn: rmP,`Q]라고 할 때, [eqn: rm {bar{PQ}} =11]이다. 이 때,두 점[eqn: rmP,`Q]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각[eqn: rmH,`H']이라고 하면 [eqn: rm {bar{PH}} + {bar{QH prime }}]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 3]          [eqn: ②][eqn: 4]         [eqn: ③][eqn: 5]

[eqn: ④][eqn: 6]          [eqn: ⑤][eqn: 7]

53 포물선 [eqn: x ^{2} =4y]위의 세 점 [eqn: rmA,`B,`C]에서 [eqn: x]축에 내린 세 수선의 길이가 각각 [eqn: 1,`2,`3]일 때, 포물선의 초점 [eqn: rmF]에서 세 점 [eqn: rmA,`B,`C]에 이르는 거리의 합
[eqn: rm {bar{FA}} + rm {bar{FB}} + rm {bar{FC}}]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 6]          [eqn: ②][eqn: 7]         [eqn: ③][eqn: 8]

[eqn: ④][eqn: 9]          [eqn: ⑤][eqn: 10]

54 점 [eqn: LEFT ( 3,~0 RIGHT )]과 직선 [eqn: x=-1]로부터 같은 거리에 잇는 점의 자취의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: y ^{2} =12x]           [eqn: ②][eqn: y ^{2} =-12x]

[eqn: ③][eqn: y ^{2} =8 LEFT ( x+1 RIGHT )]       [eqn: ④][eqn: y ^{2} =8 LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: ⑤][eqn: LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =-8x]

55 점 [eqn: LEFT ( 1,~a RIGHT )]를 초점으로 하고, [eqn: x]축을 준선으로 하는 포물선이 점 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: a]의 값은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {2}]        [eqn: ②][eqn: 1]         [eqn: ③][eqn: {3} over {2}]

[eqn: ④][eqn: 2]         [eqn: ⑤][eqn: {5} over {2}]

56 포물선 [eqn: y ^{2} =16x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이도 하였더니 초점이 [eqn: LEFT ( 2,~3 RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: x=c]인 포물선이 되었다. 이때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.

57 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]위의 세 점[eqn: rmA,`B,`C]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT )]일 때, 세 점 [eqn: rm A,`B,`C]에서 포물선의 초점에 이르는 거리의 합은?

[eqn: ①][eqn: 2]         [eqn: ②][eqn: 4]          [eqn: ③][eqn: 6]

[eqn: ④][eqn: 8]         [eqn: ⑤][eqn: 10]

58 포물선[eqn: y ^{2} =4x]와 직선[eqn: y=x+k]에 대하여 다음 물음에 답하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]포물선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만날 때,      실수 [eqn: k]값의 범위를 구하여라.
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]포물선과 직선이 한 점에서 만날 때, 실수 [eqn: k]값의     범위를 구하여라.
[eqn: LEFT ( 4 RIGHT )]포물선과 직선이 만나지 않을 때, 실수 [eqn: k]값의 범     위를 구하여라.

59 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]에 접하고, 기울기가 [eqn: 2]인 접선의 방정식을 구하여라.

60 포물선 [eqn: y ^{2} =4x] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

61 포물선 [eqn: x ^{2} =-4y] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~-1 RIGHT )]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

62 포물선 [eqn: y ^{2} =4x] 위의 점 [eqn: rmP][eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]에서 직선[eqn: x-y+3=0]에 이르는 거리가 최소가 되도록 하는 상수 [eqn: a,`b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

[eqn: ①][eqn: -1]         [eqn: ②][eqn: -2]         [eqn: ③][eqn: -3]

[eqn: ④][eqn: -4]         [eqn: ⑤][eqn: -5]

63 포물선 [eqn: x ^{2} =4y]의 접선 중 직선[eqn: y=- {1} over {2} x-1]에 수직인 접선의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: y=-2x-1]          [eqn: ②][eqn: y=-2x-2]

[eqn: ③][eqn: y=-2x+4]          [eqn: ④][eqn: y=2x-4]

[eqn: ⑤][eqn: y=2x-5]

64 포물선 [eqn: y ^{2} =-4x] 위의 점[eqn: rmP LEFT ( -1,~2 RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: x]축의 교점을 [eqn: rmQ]라 하고, 이 포물선의 초점을 [eqn: rmF]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmPQF]의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: {1} over {2}]         [eqn: ②][eqn: 1]         [eqn: ③][eqn: {3} over {2}]

[eqn: ④][eqn: 2]           [eqn: ⑤][eqn: {5} over {2}]

65 포물선 [eqn: x ^{2} =8y]위의 점 [eqn: rm P LEFT ( 4,~2 RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmOPQ]의 넓이는?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[eqn: ①][eqn: 1]         [eqn: ②][eqn: 2]         [eqn: ③][eqn: 3]

[eqn: ④][eqn: 4]          [eqn: ⑤][eqn: 5]

66 다음 중 점 [eqn: LEFT ( -1,~1 RIGHT )]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]에 그은 접선의 방정식을 모두 고르면?

[eqn: ①][eqn: y=x+1]      [eqn: ②][eqn: y=x+2]     [eqn: ③][eqn: y=x+3]

[eqn: ④][eqn: y=-2x-1]   [eqn: ⑤][eqn: y=-2x+3]

67 다음 중 점[eqn: LEFT ( -2,~1 RIGHT )]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에 그은 접선의 접점의 좌표를 모두 고르면?

[eqn: ①][eqn: LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]              [eqn: ②][eqn: LEFT ( 2,~2 sqrt {2} RIGHT )]

[eqn: ③][eqn: LEFT ( 3,~-2 sqrt {3} RIGHT )]         [eqn: ④][eqn: LEFT ( 4,~4 RIGHT )]

[eqn: ⑤][eqn: LEFT ( 5,~-2 sqrt {5} RIGHT )]

68 직선 [eqn: y=x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동하면 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에 접할 때, [eqn: a]의 값은?

[eqn: ①][eqn: -2]       [eqn: ②][eqn: -1]      [eqn: ③][eqn: 1]

[eqn: ④][eqn: 2]         [eqn: ⑤][eqn: 3]

69 두 포물선[eqn: y ^{2} =4x,`x ^{2} =4y]의 공통접선이 [eqn: y=ax+b]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 1]           [eqn: ②][eqn: 0]          [eqn: ③]-1

[eqn: ④][eqn: -2]         [eqn: ⑤][eqn: -3]

70 포물선[eqn: y ^{2} =-2x]위의 점[eqn: LEFT ( - {1} over {2} ,`1 RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: tan`theta]라고 할 때, [eqn: tan`theta]의 값을 구하여라.

71 점[eqn: rmP LEFT ( -2,~0 RIGHT )]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]에 그은 두 접점을 각각[eqn: rmQ,`R]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmPQR]의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 8]           [eqn: ②][eqn: 10]          [eqn: ③]12

[eqn: ④][eqn: 14]          [eqn: ⑤][eqn: 16]

72 포물선 [eqn: y ^{2} +4x-8=0]의 초점이 직선 [eqn: x+y=k]위에 잇을 때, 상수[eqn: k]의 값을 구하여라.

73 포물선 [eqn: y ^{2} =2x] 위의 점[eqn: LEFT ( {3} over {2} ,` sqrt {3} RIGHT )]에서 그은 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는?

[eqn: ①][eqn: 15DEG]       [eqn: ②][eqn: 30DEG]         [eqn: ③][eqn: 45DEG]

[eqn: ④][eqn: 60DEG]        [eqn: ⑤][eqn: 90DEG]

74 포물선[eqn: y ^{2} =-8x]위의 점 [eqn: rmP LEFT ( -2,~4 RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: x]축과의 교점을 [eqn: rmT], 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: Q]라고 할 때, [eqn: rm {barOQ} over {barTO}]의 값을 구하여라.
(단, [eqn: rmO]는 원점)

75 포물선 [eqn: x ^{2} =y]위의 동점 [eqn: rm P` it LEFT ( a,~a ^{2} RIGHT )]에서의 접선의 기울기와 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~1 RIGHT )]을 지나는 직선의 기울기의 곱을 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]라고 할 때, [eqn: lim _{a-> 1} {`f LEFT ( a RIGHT )}]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 8]         [eqn: ②][eqn: 4]         [eqn: ③][eqn: {1} over {2}]

[eqn: ④][eqn: - {1} over {2}]      [eqn: ⑤][eqn: -4]

76 포물선 [eqn: y ^{2} =x]와 원 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =a ^{2}]이 원점에서만 만나도록 하는 [eqn: a]값의 범위는?

[eqn: ①][eqn: 0<`-1]          [eqn: ②][eqn: -1<a<0]

[eqn: ③][eqn: a>0]              [eqn: ④][eqn: a<0`]또는 [eqn: a= {2} over {3}]

[eqn: ⑤][eqn: a<0`]또는 [eqn: a= {1} over {2}]

77 점 [eqn: rmA LEFT ( 4,~1 RIGHT )]에 대하여 포물선 [eqn: y ^{2} =8x] 위의 임의의 한 점을 [eqn: rmP], 초점을 [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{FP}}]의 최솟값은?

[eqn: ①][eqn: 4]          [eqn: ②][eqn: 5]          [eqn: ③][eqn: 6]

[eqn: ④][eqn: 7]          [eqn: ⑤][eqn: 8]

78 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점을 지나는 직선이 이 포물선과  만나는 점을 [eqn: rmP,`Q]라고 하자. 이때 두 점[eqn: rmP,`Q]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 길이가 각각 [eqn: a,`b]일 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이를 [eqn: a,`b]로 나타내면?

[eqn: ①][eqn: a+b-2]     [eqn: ②][eqn: a+b]       [eqn: ③][eqn: a+b+2]

[eqn: ④][eqn: ab]           [eqn: ⑤][eqn: ab+1]

기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		1. 이차곡선			반 / 번호
	02 타원					이름			3

01 오른쪽 그림은 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {9} =1]이다.
[eqn: rm {bar{AF}} + rm {bar{AF'}} =12]일 때, 점 [eqn: rmF]의 좌표는?
(단, [eqn: rmF,~F prime]은 초점, [eqn: a>0])

① [eqn: LEFT ( sqrt {3} ,~0 RIGHT )]     ② [eqn: LEFT ( 2 sqrt {3} ,~0 RIGHT )]    ③ [eqn: LEFT ( 3 sqrt {3} ,~0 RIGHT )]
④ [eqn: LEFT ( 4 sqrt {3} ,~0 RIGHT )]   ⑤ [eqn: LEFT ( 5 sqrt {3} ,~0 RIGHT )]

02 두 정점 [eqn: rmF LEFT ( 3,~0 RIGHT ) ,~rmF' LEFT ( -3,~0 RIGHT )]에서의 거리의 합이 [eqn: 10]인 점의 자취의 방정식은?

① [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {25} =1]       ② [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {25} =1]
③ [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1]      ④ [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {16} =1]
⑤ [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {34} =1]

03 타원 [eqn: 4x ^{2} +9y ^{2} -16x+18y-11=0]에 대하여 보기에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2± sqrt {5} ,~-1 RIGHT )]이다.

ㄴ. 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~-1 RIGHT )]이다.

ㄷ. 네 꼭짓점의 [eqn: x]좌표의 합은 [eqn: 6]이다.

① ㄱ        ② ㄴ        ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ    ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 직선 [eqn: y=x+k]가 타원 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4]에 접할 때, [eqn: k]의 값은?

① [eqn: ±1]            ② [eqn: ± sqrt {2}]         ③ [eqn: ±2]
④ [eqn: ± sqrt {5}]        ⑤ [eqn: ± sqrt {7}]

05 점 [eqn: LEFT ( 5,~3 RIGHT )]에서 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1]에 접선을 그을 때, 두 접점 사이의 거리는?

① [eqn: sqrt {21}]         ② [eqn: sqrt {26}]        ③ [eqn: sqrt {29}]
④ [eqn: sqrt {31}]        ⑤ [eqn: sqrt {34}]

06 타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {4} =1] 밖의 한 점 [eqn: rmP LEFT ( 5,~4 RIGHT )]에서 이 타원에 그은 두 개의 접선의 기울기를 각각 [eqn: m _{1} ,~m _{2}]라고 하고,  [eqn: m _{1} +m _{2} =a,~m _{1} m _{2} =b]라고 할 때, [eqn: 2a+4b]의 값은?

① [eqn: 5]           ② [eqn: 6]          ③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]          ⑤ [eqn: 9]

07 중심이 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]이고 장축의 길이가 [eqn: 8,] 단축의 길이가 [eqn: 6]인 타원의 두 초점 사이의 거리는?

① [eqn: 2 sqrt {3}]         ② [eqn: 4]         ③ [eqn: 2 sqrt {5}]
④ [eqn: 2 sqrt {6}]        ⑤ [eqn: 2 sqrt {7}]

08 다음 그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF,~F']인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 한 점 [eqn: rmA]에 대하여 [eqn: rm TRIANGLE AFF']은 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정삼각형이다. 이때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a>b>0])

① [eqn: 26]         ② [eqn: 28]         ③ [eqn: 30]
④ [eqn: 32]        ⑤ [eqn: 34]

09 타원 [eqn: 3x ^{2} +4y ^{2} +8y+4=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하면 타원 [eqn: 3x ^{2} +4y ^{2} =k]와 일치할 대, 상수 [eqn: k,~m,~n]에 대하여 [eqn: k-m-n]의 값은?
① [eqn: 9]            ② [eqn: 10]          ③ [eqn: 11]
④ [eqn: 12]          ⑤ [eqn: 13]

10 다음 그림의 안쪽 도형은 중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원이다. 이 원을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {3} over {2}]배만큼 확대한 도형은 두 점[eqn: rmF,~F']을 초점으로 하는 타원이다. 이때, 선분 [eqn: rmFF']의 길이는?

① [eqn: sqrt {3}]          ② [eqn: sqrt {5}]        ③ [eqn: 2 sqrt {3}]
④ [eqn: 2 sqrt {5}]       ⑤ [eqn: 3 sqrt {5}]

11 타원 [eqn: 4x ^{2} +9y ^{2} =36] 위의 한 점 [eqn: rmP]와 이 타원의 두 초점 [eqn: rmF,~F']에 대하여 [eqn: ANGLE rmFPF prime ` theta]라 하고 [eqn: rm {bar{PF}} : {bar{PF'}} =2:1]일 때, [eqn: theta]의 값은?
① [eqn: {pi} over {6}]          ② [eqn: {pi } over {4}]        ③ [eqn: {pi } over {3}]
④ [eqn: {pi } over {2}]         ⑤ [eqn: {4} over {3} pi]

12 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]에서 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {9a ^{2}} =1]에 그은 두 접선이 서로 수직일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?
① [eqn: {1} over {2}]          ② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]        ③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: sqrt {2}]

13 다음 그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 두 초덤을 [eqn: rm F,~F prime], 장축의 양 끝 점을 [eqn: rmA,~A']이락 할 때, 다음 조건을 만족시키는 두 양수 [eqn: a,~b]의 [eqn: ab]의 값은?

Ⅰ. ([eqn: TRIANGLE rmPF'F]의 둘레의 길이)[eqn: =8]
Ⅱ. ([eqn: TRIANGLE rm PA prime A]의 넓이)[eqn: =3times]([eqn: TRIANGLE rmPF'F]의 넓이)

① [eqn: 4 sqrt {2}]          ② [eqn: 6 sqrt {2}]        ③ [eqn: 6 sqrt {2}]
④ [eqn: 10 sqrt {2}]        ⑤ [eqn: {4} over {3} 12 sqrt {2}]

14 오른쪽 그림과 같이 장축의 길이가 [eqn: 12]이고, 단축의 길이가 [eqn: 8]인 타원에 내접하는 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이의 최댓값을 구하여라.

15 타원 [eqn: x ^{2} +2y ^{2} =4]와 직선 [eqn: y=x+n]이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 정수 [eqn: n]의 개수는?

① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

16 오른쪽 그림과 같이 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =1]의 타원을 거울로 만들었다. 점 [eqn: rmA LEFT ( -1,~0 RIGHT )]에서 기울기가 [eqn: 1]인 직선을 따라 위쪽으로 쏘아진 빛이 처음으로 반사되는 점을 [eqn: rmP]라고 하자. 점 [eqn: rmP]에서 반사된 빛이 점 [eqn: rmT]에서 반사되어 다시 점 [eqn: rmA]로 돌아간다고 할 때, 삼각형 [eqn: rmAPT]의 둘레의 길이는?

① [eqn: 6]          ② [eqn: 8]        ③ [eqn: 10]
④ [eqn: 12]        ⑤ [eqn: 14]

17 좌표평면 위에서 원 [eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =5 ^{2}]에 내접하면서 이 원의 중심과 원점을 지나는 원의 중심 [eqn: RMp]의 자취는 타원이 된다. 이 타원의 단축의 길이는?

① [eqn: {1} over {2}]          ② [eqn: 1]         ③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]            ⑤ [eqn: 3]

18 한 건축가가 벽과 천장이 타원 모양인 접견실을 만들었다. 이 방에서는 타원의 초점에 해당하는 위치에서 작은 소리를 내면 타원의 다른 초점의 위치에 있는 사람이 그 소리를 들을 수 있다. 접견실의 천장의 타원의 방정식이 [eqn: 4x ^{2} +49y ^{2} +24x+98y-111=0]일 때, 이방에서 서로 소리를 들을 수 있는 두 위치 사이의 거리는?

① [eqn: 3 sqrt {2}]       ② [eqn: 2 sqrt {5}]       ③ [eqn: 4 sqrt {7}]
④ [eqn: 6 sqrt {5}]        ⑤ [eqn: 9 sqrt {5}]

19 다음 그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {100} + {y ^{2}} over {36} =1]의 장축을 [eqn: 10]등분한 후 장축의 양 끝 점을 제외한 각 등분점에서 장축에 수직인 직선을 그어 [eqn: x]축의 위쪽에 있는 타원과의 교점을 차례로 [eqn: rm P _{1} ,~P _{2} ,~P _{3} ,~ CDOTS ,~P _{9}]라고 하자. 타원의 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF]라고 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{9} ` {bar{rm FP _{k} it}}]의 값은?

① [eqn: 50]         ② [eqn: 70]         ③ [eqn: 90]
④ [eqn: 110]         ⑤ [eqn: 130]

20 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {9} =1]의 제1사분면 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( x _{1} ,~x _{2} RIGHT )]에서의 접선의 방정식이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmQ,~R]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmOQR]의 넓이의 최솟값을 구하여라.

21 두 점 [eqn: rmF LEFT ( 2,~0 RIGHT ) ,`rmF' LEFT ( -2,~0 RIGHT )]으로부터의 거리의 합이 [eqn: 6]으로 일정한 점[eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하시오.

22 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {16} =1]의 초점의 좌표, 장축의 길이, 단축의 길이를 구하시오.

23 타원[eqn: x ^{2``} +2y ^{2} =1]과 직선[eqn: y=x+k]가 서로 접할 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

24 두 원[eqn: rmA`it: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =1,][eqn: rmB`it: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =25]에 대하여 원 [eqn: A]에 외접하고 원[eqn: rmB]에 내접하는 원 [eqn: rmC]의 중심 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]의 자취는 타원이다. 이 타원의 단축의 길이를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: 5m ^{2}]의 값을 구하시오.

25  원 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =16]의 중심을 [eqn: rmC]라 하고, 점 [eqn: rmC]의 원점에 대한 대칭점을 [eqn: rmA]라 하자. 원 위의 동점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmAP]의 수직이등분선 [eqn: l]이 선분 [eqn: rm CP]와 만나는 점을 [eqn: rmX]라 하면 점 [eqn: rmX]의 자취는 타원을 이룬다고 한다. 이 타원의 단축의 길이를 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: 4m ^{2}]의 값을 구하시오.

26  정점 [eqn: rmA LEFT ( -2,~0 RIGHT )]을 지나고, 원[eqn: x ^{2} +y ^{2} =4 ^{2}]에 내접하는 원의 중심 [eqn: rmP]가 그리는 자취의 방정식을 구하시오.

27  타원 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4]가 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 양의 부분과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,`B]라 하고, 이타원의 제 [eqn: 1]사분면 위의 한 점을 [eqn: rmP]라고 핼 때, [eqn: □rmOAPB]의 넓이의 최댓값은? (단, [eqn: rmO]는 원점)

① [eqn: 1]          ② [eqn: sqrt {2}]         ③ [eqn: sqrt {3}]

④ [eqn: 1+ sqrt {2}]    ⑤ [eqn: 1+ {sqrt {3`}} over {2}]

28  타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {4} =1] 위의 점에서 직선
[eqn: x-2y+10=0]까지의 거리의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

29  다음 그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1][eqn: LEFT ( a>0,~b>0 RIGHT )] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,`B]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmAOB]의 넓이의 최솟값을 구하시오.

30  타원[eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1]의 장축을 [eqn: 5]등분한 후 각 등분점에서 장축에 수직인 직선을 그어 이 타원과의 교점 [eqn: 8]개를 정하였다. 이 [eqn: 8]개의 점 각각에 대하여 타원의 초점 중 오른쪽에 있는 초점까지의 거리를 각각 [eqn: r _{1} ,`r _{2} ,`cdots,`r _{s}]이라고 할 때, [eqn: sum _{i=1} ^{8} r _{i}]의 값은?

① [eqn: 12]        ② [eqn: 10 sqrt {2}]       ③ [eqn: 16]

④ [eqn: 12 sqrt {2}]     ⑤ [eqn: 20]

31  타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {5} =1]위에 서로 다른 세 점[eqn: rmP,`Q,`R]와 [eqn: x]축 위에 두 정점 [eqn: rmA LEFT ( 2,~0 RIGHT ) ,`B LEFT ( -2,~0 RIGHT )]이 있다. [eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{AQ}} + rm {bar{AR}} =10]일 때, [eqn: rm {bar{BP}} + rm {bar{BQ}} + rm {bar{BR}}]의 값을 구하시오.

32  점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]을 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =1]과 만나는 두 점 [eqn: rmA,`B]와 점 [eqn: rmC LEFT ( -1,~0 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이를 구하여라.

33  태양을 한 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: 2a], 단축의 길이가 [eqn: 2b]인 타원 궤도 위를 공전하는 행성이 있다. 이 행성과 태양 사이의 거리의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값을 [eqn: a,`b]로 나타내시오.

34  태양계의 수성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도 위를 움직이며 태양과 가장 가까울 때의 거리는 [eqn: m=4.6times10 ^{7} ㎞], 가장 멀 때의 거리는 [eqn: M=7.0times10 ^{7} ㎞]라고 한다. 이 자료를 이용할 때, 다음 중 수성의 궤로를 나타내는 타원의 방정식은?

① [eqn: {x ^{2}} over {LEFT ( 4.6 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} + {y ^{2}} over {LEFT ( 7.0 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} =1]

② [eqn: {x ^{2}} over {LEFT ( 7.0 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} + {y ^{2}} over {LEFT ( 6.4 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} =1]

③ [eqn: {x ^{2}} over {LEFT ( 5.8 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} + {y ^{2}} over {LEFT ( 5.7 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} =1]

④ [eqn: {x ^{2}} over {LEFT ( 5.8 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} + {y ^{2}} over {LEFT ( 4.6 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} =1]

⑤ [eqn: {x ^{2}} over {LEFT ( 4.6 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} + {y ^{2}} over {LEFT ( 5.7 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} =1]

35  다음 그림과 같이 다리의 아치는 반타원형 모양이고, 길이는 [eqn: 40rmm]이다. 중심 [eqn: rmO]에서 높이가 [eqn: 12rmm]일 때, 중심 [eqn: rmO]에서 [eqn: 10rmm] 떨어진 지점 [eqn: rmA]에서의 높이는?

① [eqn: 3 sqrt {10 it} rm m]     ② [eqn: 6 sqrt {3 it} rm m]     ③ [eqn: 6 sqrt {2 it} rm m]

④ [eqn: 10rmm]          ⑤ [eqn: 9rmm]

36  밑면의 반지름 길이가 [eqn: 6]인 직원기둥을 밑면과 [eqn: 30DEG]의 각을 이루는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 모양은 타원이다. 이 타원의 두 초점 사이의 거리는?

① [eqn: 2 sqrt {2 it}]       ② [eqn: 2 sqrt {3 it}]       ③ [eqn: 4 sqrt {2 it}]

④ [eqn: 4 sqrt {3 it}]        ⑤ [eqn: 6]

37  타원 [eqn: {x ^{2}} over {20} + {y ^{2}} over {k} =1 LEFT ( k<20 RIGHT )]의 두 초점을 각각 [eqn: rmF,`F']이라 하자. 이 타원 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPFF']의 둘레의 길이가 [eqn: 6 sqrt {5}]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

38  타원 [eqn: 16x ^{2} +25y ^{2} -32x-100y-284=0]의 두 초점의 좌표는?

① [eqn: LEFT ( 2,~4 RIGHT ) ,` LEFT ( 2,~-2` RIGHT )]     ② [eqn: LEFT ( 3,~2 RIGHT ) ,` LEFT ( -4,~2` RIGHT )]

③ [eqn: LEFT ( -3,~2 RIGHT ) ,` LEFT ( 4,~2` RIGHT )]     ④ [eqn: LEFT ( 2,~-4 RIGHT ) ,` LEFT ( 2,~2` RIGHT )]

⑤ [eqn: LEFT ( 4,~2 RIGHT ) ,` LEFT ( -2,~2` RIGHT )]

39  타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점[eqn: LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b]는 상수)

40  두 타원이 점[eqn: rmF]를 한 초점으로 공유하고, 서로 다른 두 점 [eqn: rmP,`Q]에서 만난다. 두 타원의 장축의 길이가 각각 [eqn: 16,`24]이고, 두 타원의 나머지 초점을 각각 [eqn: rmF _{1} ,F _{2}]라 할 때, [eqn: LEFT | rm {bar{PF _{1}}} - {bar{PF _{2}}} RIGHT | + LEFT | rm {bar{QF _{1}}} - {bar{QF _{2}}} RIGHT |]의 값은?

① [eqn: 16]        ② [eqn: 14]        ③ [eqn: 12]

④ [eqn: 10]        ⑤ [eqn: 8]

41  타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이 포물선 [eqn: y ^{2} =16x]와 초점 [eqn: rmF]를 공유하고 점 [eqn: rmA LEFT ( -4,~6 RIGHT )]을 지난다. 타원의 또 다른 초점을 [eqn: rmF'], 포물선과 타원의 교점을 [eqn: rmP]라 할 때, [eqn: rm ` {bar{PF}} + {bar{PF prime `}}]의 값을 구하시오.

42  다음 그림은 한 변의 길이가 [eqn: 10]인 정육각형 [eqn: rmABCDEF]의 각 변을 장축으로 하고, 단축의 길이가 같은 타원 [eqn: 6]개를 그린 것이다. 그림과 같이 정육각형의 꼭짓점과 이웃하는 두 타원의 초점으로 이루어진 삼각형 [eqn: 6]개의 넓이의 합이 [eqn: 6 sqrt {3}]일 때, 타원의 단축의 길이는?

① [eqn: 4 sqrt {2}]       ② [eqn: 6]         ③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 8]           ⑤ [eqn: 6 sqrt {2}]

43  타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1]과 원[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =1 LEFT ( a>0 RIGHT )]에 대한 다음 보기의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: a=1]일 때, 두 곡선은 서로 다른 세 점에서 만난다.

ㄴ. [eqn: 0<a<1`]일 때, 두 곡선이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {2} over {3} a]와 [eqn: 2a]이다.

ㄷ. 원주 중에서 타원의 외부에 있는 부분의 호의    길이가 [eqn: pi]일 때, [eqn: a]의 값은  [eqn: {3} over {sqrt {10}}]이다.

① [eqn: ㄱ]        ② [eqn: ㄱ,`ㄴ]        ③ [eqn: ㄱ,`ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,`ㄷ]     ⑤ [eqn: ㄱ,ㄴ,`ㄷ]

44 타원[eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {9} =1]에 대하여 다음을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]초점의 좌표
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]꼭짓점의 좌표
[eqn: (3)]중심의 좌표
[eqn: (4)]장축의 길이
[eqn: (5)]단축의 길이

45 타원[eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {25} =1]에 대하여 다음을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]초점의 좌표
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]꼭짓점의 좌표
[eqn: (3)]중심의 좌표
[eqn: (4)]장축의 길이
[eqn: (5)]단축의 길이

46 두 정점 [eqn: rm F LEFT ( 4,~0 RIGHT ) ,`rmF' LEFT ( -4,~0 RIGHT )]에서의 거리의 합이 [eqn: 10]인 점[eqn: rm P`it LEFT ( x,~y RIGHT )]의 자취의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: {x ^{2}} over {20} + {y ^{2}} over {4} =1]         [eqn: ②][eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {20} =1]

[eqn: ③][eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1]        [eqn: ④][eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {25} =1]

[eqn: ⑤][eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {9} =1]

47 두 정점 [eqn: rm F LEFT ( 0,~2 RIGHT ) ,`F prime LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]에서의 거리의 합이 [eqn: 6]인 점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y RIGHT )]의 자취의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: {x ^{2}} over {5} + {y ^{2}} over {9} =1]        [eqn: ②][eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {5} =1]

[eqn: ③][eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {12} =1]        [eqn: ④][eqn: {x ^{2}} over {12} + {y ^{2}} over {8} =1]

[eqn: ⑤][eqn: {x ^{2}} over {12} + {y ^{2}} over {4} =1]

48 타원 [eqn: 4x ^{2} +9 LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =36]의 장축의 길이를 [eqn: m], 단축의 길이를[eqn: n], 두 초점 중 하나의 좌표를 [eqn: LEFT ( p,~q RIGHT )]라고 할 때, [eqn: m+n+p+q]의 값은? (단, [eqn: p>0])

[eqn: ①][eqn: 9+ sqrt {3}]        [eqn: ②][eqn: 10+ sqrt {3}]

[eqn: ③][eqn: 10+ sqrt {3}]       [eqn: ④][eqn: 11+ sqrt {3}]

[eqn: ⑤][eqn: 11+ sqrt {3}]

49 타원 [eqn: 9 LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =9]의 장축의 길이를 [eqn: m,`]두 초점 중 하나의 좌표를 [eqn: LEFT ( p,~q RIGHT )]라고 할 때, [eqn: mpq]의 값은? (단, [eqn: q>0])

[eqn: ①][eqn: -24 sqrt {2}]      [eqn: ②][eqn: -12 sqrt {2}]     [eqn: ③][eqn: -6 sqrt {2}]

[eqn: ④][eqn: -4 sqrt {2}]        [eqn: ⑤][eqn: -2 sqrt {2}]

50 점 [eqn: rmD LEFT ( 2,~0 RIGHT )]을 지나고, 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {5} =1]과 만나는 두 점[eqn: rmA,`B]와 점[eqn: rmC LEFT ( -2,~0 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 10]           [eqn: ②][eqn: 12]         [eqn: ③][eqn: 14]

[eqn: ④][eqn: 16]            [eqn: ⑤][eqn: 18]

51 타원[eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1] 위의 한 점을 [eqn: rmP], 두 초점을 [eqn: rmF,`F']이라 하고 [eqn: anglermFPF'=90DEG]일 때, [eqn: TRIANGLE rmFPF']의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 1]           [eqn: ②][eqn: 2]         [eqn: ③][eqn: 3]

[eqn: ④][eqn: 4]            [eqn: ⑤][eqn: 5]

52 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]위의 한 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP'] 이라고 할 때, 선분 [eqn: rm PP']의 중점 [eqn: rmQ]가 그리는 자취의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: x ^{2} +y ^{2} =2]         [eqn: ②][eqn: x ^{2} +2y ^{2} =2]

[eqn: ③][eqn: x ^{2} +4y ^{2} =2]       [eqn: ④][eqn: 2x ^{2} +y ^{2} =4]

[eqn: ⑤][eqn: 4x ^{2} +y ^{2} =4]

53 타원 [eqn: x ^{2} -4x+9y ^{2} -18y-5=0]에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

[eqn: ①]중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]

[eqn: ②]장축은 [eqn: y]축과 평행하다.

[eqn: ③]장축의 길이는 [eqn: 6 sqrt {2}]

[eqn: ④]장축의 길이는 단축의 길이의 [eqn: 3]배이다.

[eqn: ⑤]두 초점 사이의 거리는 [eqn: 8]이다.

54 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1]의 장축을 [eqn: 4]등분한 후 각 등분점을 지나고, 장축에 수직인 직선을 그어 타원과의 교점 [eqn: 6]개를 얻었다. 이 [eqn: 6]개의 점에서 한 초점까지의 거리를 [eqn: d _{1,`} d _{2} ,`cdots,`d _{6}]이라고 할 때, [eqn: sum _{i=1} ^{6} d _{i}]의 값을 구하여라.

55 두 점 [eqn: rm F,~F prime]을 초점으로 하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {4} =1]위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rmPFF']의 둘레의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 1+3 sqrt {2}]    [eqn: ②][eqn: 2 LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )]   [eqn: ③][eqn: 2 LEFT ( 1+3 sqrt {2} RIGHT )]

[eqn: ④][eqn: 4 LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )]  [eqn: ⑤][eqn: 4 LEFT ( 1+3 sqrt {2} RIGHT )]

56 타원[eqn: x ^{2} +2y ^{2} =2]와 직선 [eqn: y=x+k]에 대하여 다음 물음에 답하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]타원과 직선이 서로 다른 두점에서 만날 때,        실수 [eqn: k]값의 범위를 구하여라.
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]타원과 직선이 한 점에서 만날 때, 실수 [eqn: k]값의      범위를 구하여라.
[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )]타원과 직선이 만나지 않을 때, 시수 [eqn: k]값의         범위를 구하여라.

57 타원[eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {9} =1]에 접하고, 기울기가 [eqn: 1]인 접선의 방정식을 구하여라.

58 타원[eqn: {x ^{2}} over {6} + {y ^{2}} over {3} =1]위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

59 타원[eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {5} =1]위의 점에서 직선 [eqn: y=x+5]에 이르는 거리의 최솟값은?

[eqn: ①][eqn: 1]          [eqn: ②][eqn: sqrt {2}]         [eqn: ③][eqn: sqrt {3}]

[eqn: ④][eqn: 2 sqrt {2}]      [eqn: ⑤][eqn: 2 sqrt {3}]

60 타원[eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4]에 접하고, 직선[eqn: y=x]에 수직인 접선을 [eqn: l]이라고 할 때, 타원의 중심에서 접선[eqn: l]에 이르는 거리는?

[eqn: ①][eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]      [eqn: ②][eqn: {5 sqrt {2}} over {2}]      [eqn: ③][eqn: {3 sqrt {3}} over {2}]

[eqn: ④][eqn: {3 sqrt {5}} over {2}]      [eqn: ⑤][eqn: {sqrt {10}} over {2}]

61 타원[eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {2} =1]위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: {5} over {2}]          [eqn: ②][eqn: 3]         [eqn: ③][eqn: {7} over {2}]

[eqn: ④][eqn: 4]           [eqn: ⑤][eqn: {9} over {2}]

62 타원[eqn: {x ^{2}} over {12} + {y ^{2}} over {16} =1]위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 3,~2 RIGHT ) ,`] [eqn: rmB LEFT ( -3,~2 RIGHT )] 에서의 두 접선이 만나는 점을 [eqn: rmC]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 16]          [eqn: ②][eqn: 18]          [eqn: ③][eqn: 20]

[eqn: ④][eqn: 22]           [eqn: ⑤][eqn: 24`]

63 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )] 에서 타원[eqn: 2x ^{2} + {2y ^{2}} over {9} =1]에 그은 두 접선의 기울기의 곱은?

[eqn: ①][eqn: -1]          [eqn: ②][eqn: - {1} over {2}]          [eqn: ③][eqn: {1} over {2}]

[eqn: ④][eqn: 1]              [eqn: ⑤][eqn: {3} over {2}]

64 다음 중 점 [eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )]에서 타원 [eqn: 2x ^{2} +3y ^{2} =6]에 그은 두 접선의 접점 사이의 거리는?

[eqn: ①][eqn: sqrt {2}]        [eqn: ②][eqn: sqrt {3}]        [eqn: ③][eqn: 2 sqrt {2}]

[eqn: ④][eqn: 2 sqrt {3}]       [eqn: ⑤][eqn: 2 sqrt {5}]

65 타원 [eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {4} =1]의 두 초점 중 [eqn: x]축의 양의 방향에 있는 점을 [eqn: rmF], 네 꼭짓점 중 [eqn: y]축의 양의 방향에 있는 점을 [eqn: rmA]라고 하자. 다음 중 선분 [eqn: rmAF]에 평행하고, 이 타원에 접하는 접선의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: y=-x± sqrt {3}]     [eqn: ②][eqn: y=-x±2 sqrt {3}]

[eqn: ③][eqn: y=-2x± sqrt {3}]    [eqn: ④][eqn: y=-2x±2 sqrt {3}]

[eqn: ⑤][eqn: y=-2x±3 sqrt {3}]

66 타원 [eqn: x ^{2} +2y ^{2} =6] 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( ita,~b RIGHT )]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 점 [eqn: rmP]에서 타원에 그은 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, [eqn: rm {bar{OH}} ·barOQ]의 값을 구하여라. (단, [eqn: rmO]는 원점)

67 오른쪽 그림과 같이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {2} +y ^{2} =1]
위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it x _{1} ,~y _{1} RIGHT )] 에서의 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라고 할 때, [eqn: rm TRIANGLE OAB]의 넓이의 최솟값은?

[eqn: ①][eqn: sqrt {2}]         [eqn: ②][eqn: sqrt {3}]         [eqn: ③][eqn: 2r2]

[eqn: ④][eqn: 2 sqrt {3}]         [eqn: ⑤][eqn: 2 sqrt {5}]

68 점 [eqn: rm LEFT ( 1,~2 RIGHT )]에서 타원[eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4]에 그은 두 접선이 이루는 각의 크기는?

[eqn: ①][eqn: 15DEG]       [eqn: ②][eqn: 30DEG]         [eqn: ③][eqn: 45DEG]

[eqn: ④][eqn: 60DEG]        [eqn: ⑤][eqn: 90DEG]

69 방정식 [eqn: 9x ^{2} -18x+4y ^{2} -16y-11=0]이 나타내는 도형으로 가당 적당한 것은?

[eqn: ①]                 [eqn: ②]

[eqn: ③]                 [eqn: ④]

[eqn: ⑤]

70 타원 [eqn: {x ^{2}} over {2} - {y ^{2}} over {8} =1]의 장축의 길이를 [eqn: p], 단축의 길이를 [eqn: q], 두 초점 사잉의 거리를 [eqn: r]라고 할 때, [eqn: p ^{2} -q ^{2} +r ^{2}]의 값을 구하여라.

71 두 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( -2,~0 RIGHT )]을 지나는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이 직선 [eqn: y=2x+5]와 접할 때, [eqn: a ^{2} b ^{2}]의 값을 구하여라.

72 타원 [eqn: {x ^{2}} over {12} + {y ^{2}} over {16} =1]의 두 초점 [eqn: rmF,`F']과 타원 위의 임의의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm {bar{PF}} ^{2} + rm {bar{PF'}} ^{2}]의 최솟값은?

[eqn: ①][eqn: 8]         [eqn: ②][eqn: 16]         [eqn: ③][eqn: 24]

[eqn: ④][eqn: 32]         [eqn: ⑤][eqn: 40]

73 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2 RIGHT )]와 쌍곡선 [eqn: 16x ^{2} -9y ^{2} =144]의 두 초점 [eqn: rm F,`F prime]을 세 꼭짓점으로 하는 [eqn: TRIANGLE rmAFF']의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 6]         [eqn: ②][eqn: 7]         [eqn: ③][eqn: 8]

[eqn: ④][eqn: 9]          [eqn: ⑤][eqn: 10]

74 점근선의 방정식이 [eqn: y=±2x]이고, 점 [eqn: LEFT ( 1,~-1 RIGHT )]을 지나는 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는?

[eqn: ①][eqn: sqrt {11}]        [eqn: ②][eqn: sqrt {13}]       [eqn: ③][eqn: sqrt {14}]

[eqn: ④][eqn: sqrt {15}]        [eqn: ⑤][eqn: sqrt {17}]

75 쌍곡선 [eqn: 3x ^{2} -4y ^{2} =12]의 접선 중 기울기가 [eqn: 1]인 두 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 두 도형의 넓이의 합은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {2}]        [eqn: ②][eqn: 1]        [eqn: ③][eqn: {3} over {2}]

[eqn: ④][eqn: 2]        [eqn: ⑤][eqn: {5} over {2}]

76 오른쪽 그림과 같은 타원 모양의 땅에 직사각형 모양의 잔디밭을 만들려고 한다. 이때, 잔디밭의 넓이의 최댓값은?

[eqn: ①][eqn: 20rmm ^{2}]       [eqn: ②][eqn: 24 rm m ^{2}]        [eqn: ③][eqn: 28 rm m ^{2}]

[eqn: ④][eqn: 32 rm m ^{2}]       [eqn: ⑤][eqn: 36 rm m ^{2}]

77 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {25} =1]과 두 초점을 공유하고, 주축의 길이가 [eqn: 2]인 쌍곡선의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: {x ^{2}} over {8} -y ^{2} =1]       [eqn: ②][eqn: {x ^{2}} over {8} -y ^{2} =-1]

[eqn: ③][eqn: {x ^{2}} over {8} - {y ^{2}} over {2} =1]      [eqn: ④][eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {2} =-1]

[eqn: ⑤][eqn: {x ^{2}} over {2} -y ^{2} =1]

78 점 [eqn: LEFT ( 3,~2 RIGHT )]에서 타원 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =20]에 그은 두 접선의 접점을 지나는 직선의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: 3x+8y=20]      [eqn: ②][eqn: 8x+3y=20]

[eqn: ③][eqn: x+16y=20]      [eqn: ④][eqn: 16x+y=20]

[eqn: ⑤][eqn: 9x-4y=20]

79 그림과 같이 원점을 중심으로 하는 타원의 한 초점을 [eqn: rmF]라 하고, 이 타원이 [eqn: y]축과 만나는 한 점을 [eqn: rmA]라고 하자. 직선 [eqn: rmAF]의 방정식이 [eqn: y= {1} over {2} x-1]일 때, 이 타원의 장축의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 4 sqrt {2}]     [eqn: ②][eqn: 2 sqrt {7}]       [eqn: ③][eqn: 45]

[eqn: ④][eqn: 2 sqrt {6}]      [eqn: ⑤][eqn: 2 sqrt {5}]

기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		1. 이차곡선			반 / 번호
	03 쌍곡선					이름

01 평면 위의 두 정점 [eqn: rm A LEFT ( 5,`~0 RIGHT ) ,`~rmB LEFT ( -5,~0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: LEFT | rm {bar{PA}} - {bar{PB}} RIGHT | =8]을 만족하는 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이다. 이때, [eqn: a ^{2} -b ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a>0,~b>0])
① [eqn: 5]          ② [eqn: 6]        ③ [eqn: 7]
④ [eqn: 8]         ⑤ [eqn: 9]

02 포물선 [eqn: y ^{2} =12x]의 초점과 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 한 초점이 일치할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은?
① [eqn: 3]          ② [eqn: 6]        ③ [eqn: 9]
④ [eqn: 12]        ⑤ [eqn: 16]

03 점 [eqn: rmF LEFT ( -4,~0 RIGHT )]을 지나는 직선이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {7} =1]의 [eqn: x LEQ 0]인 부분과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라고 하자. 점 [eqn: rmA,~B]와 점 [eqn: rm C(4,~0)]을 꼭짓점으로 하는 [eqn: rm TRIANGLE ABC]의 둘레의 길이가 [eqn: 18]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?
① [eqn: 3]          ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]         ⑤ [eqn: 7]

04 두 직선 [eqn: y=3x,~y=-3x]를 점근선으로 하고, 점 [eqn: rmA LEFT ( 1,~2 RIGHT )]를 지나는 쌍곡선의 방정식이 [eqn: mx ^{2} +my ^{2}]일 때, [eqn: m+n]의 값은?
① [eqn: 4]          ② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]         ⑤ [eqn: 8]

05 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {2} =-1]위의 점 [eqn: LEFT ( -2,~-2 RIGHT )]에서이 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
① [eqn: 1]          ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

06 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} -y ^{2} =1]에 그은 두 접선의 기울기를 [eqn: m _{1} ,~m _{2}]라고 할 때, [eqn: m _{1} m _{2}]의 값은?
① [eqn: - {1} over {2}]        ② [eqn: - {1} over {3}]       ③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {1} over {3}]          ⑤ [eqn: {1} over {2}]

07 다음 그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]위의 두 점 [eqn: rmP,~P']과 두 초점 [eqn: rmF,~F']에 대하여 사각형 [eqn: rmPF'P'F]의 둘레의 길이가 [eqn: 16]일 때, [eqn: rm {bar{PF}} + rm {bar{P'F}}]의 값은?

① [eqn: 6]        ② [eqn: 8]       ③ [eqn: 10]
④ [eqn: 12]      ⑤ [eqn: 14]

08 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {3} =1]위의 점 [eqn: rmP]와 두 초점 [eqn: rmF,~F']에 대하여 [eqn: TRIANGLE rmPFF']의 둘레의 길이가 [eqn: 12]일 때, [eqn: LEFT | rm {bar{PF}} ^{2} - {bar{PF'}} ^{2} RIGHT |]의 값은?

① [eqn: 14]          ② [eqn: 15]        ③ [eqn: 16]
④ [eqn: 17]         ⑤ [eqn: 18]

09 다음 그림과 같이 쌍곡선 [eqn: 4x ^{2} -y ^{2} =9]위의 한 점 [eqn: rmP]와 두 초점을 이은 선분 [eqn: rmRF,~PF']이 서로 직교하도록 점[eqn: rmP]를 잡을 때, 선분 [eqn: rmPF]의 길이는?

① [eqn: 3]          ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]
④ [eqn: 6]         ⑤ [eqn: 7]

10 다음 중 직선 [eqn: y=mx+n]이 [eqn: n]의 값에 관계없이 항상 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {25} - {y ^{2}} over {4} =-1]과의 교점을 갖기 위한 [eqn: m]의 값이 될 수 있는 것은?
① [eqn: -1]          ② [eqn: - {1} over {2}]        ③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {1} over {2}]          ⑤ [eqn: 1]

11 오른쪽 그림과 같이 타원[eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1]과
원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =16]의 교점 중의 한 점을 [eqn: rmP]라고 하자. 이때, 타원과 초점을 공유하면서 점 [eqn: rmP]를 지나는 쌍곡선의 주축의 길이는?

① [eqn: 2 sqrt {2}]          ② [eqn: 2 sqrt {3}]        ③ [eqn: 2 sqrt {5}]
④ [eqn: 2 sqrt {6}]         ⑤ [eqn: 2 sqrt {7}]

12 직선 [eqn: y=3x+5]가 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a} - {y ^{2}} over {2} =1]에 접할 때, 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는?
① [eqn: sqrt {3}]          ② [eqn: sqrt {5}]        ③ [eqn: 2 sqrt {3}]
④ [eqn: 2 sqrt {5}]        ⑤ [eqn: 13 sqrt {3}]

13 점 [eqn: rmP LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서 쌍곡선 [eqn: 2x ^{2} -3y ^{2} =6]에 그은 두 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: tan`alpha+tan`beta]의 값은?
① [eqn: 4]          ② [eqn: 5]        ③ [eqn: 6]
④ [eqn: 7]         ⑤ [eqn: 8]

14 오른쪽 그림의 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1]에서 추점 [eqn: rmF,~F']과 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 세 선분 [eqn: rmPF,~FF',~PF']의 길이를 각각 [eqn: a,~b,~c]라고 하면 [eqn: a,~b,~c] 는 이 순서대로 등차수열을 이룬다. 이때, [eqn: c ^{2} -a ^{2}]의 값을 구하여라.

15 오른쪽 그림과 같이 직사각형 [eqn: rmABCD]의 변 [eqn: rmAB] 위에 정점 [eqn: rmP]가 있고, 변 [eqn: rmAD] 위에 동점 [eqn: rmQ]가 있다. [eqn: rm {bar{PQ}} = rm {bar{QR}}]가 되도록 선분 [eqn: rmAD]와 수직인 직선 위에 점 [eqn: rmR]를 잡을 때, 점 [eqn: rmR]는 어떤 도형 위를 움직이는가?
① 직선          ② 원       ③ 포물선
④ 타원         ⑤ 쌍곡선

16 오른쪽 그림과 같이 쌍곡 [eqn: {x ^{2}} over {16} - {y ^{2}} over {9} =1] 위의 한 점 [eqn: rmP]와 두 초점 [eqn: rmF,~F']에 대하여 [eqn: ANGLE rmFPF prime =60 DEG]이다. 이때, [eqn: TRIANGLE rmPF'F]의 넓이는?

① [eqn: sqrt {3}]          ② [eqn: 3 sqrt {3}]        ③ [eqn: 6 sqrt {3}]

④ [eqn: 9 sqrt {3}]        ⑤ [eqn: 12 sqrt {3}]

17 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {8} - {y ^{2}} over {4} =-1]위의 점 [eqn: LEFT ( 8,~6 RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
① [eqn: {1} over {9}]         ② [eqn: {1} over {8}]         ③ [eqn: {1} over {6}]
④ [eqn: {1} over {4}]          ⑤ [eqn: {1} over {3}]

18 오른쪽 그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {5} - {y ^{2}} over {4} =1]의 두 초점을 각각 [eqn: rmF,~F']이라 하고, 꼭짓점이 아닌 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]의 원점에 대한 대칭점을 [eqn: rmQ]라고 하자. 사각형 [eqn: rmF'QFP]의 넓이가 [eqn: 24]가 되는 점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]라고 할 때, [eqn: LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |]의 값은?

① [eqn: 9]           ② [eqn: 10]          ③ [eqn: 11]
④ [eqn: 12]            ⑤ [eqn: 13]

19 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} -y ^{2} =-1]에 그은 두 접선의 기울기를 [eqn: m _{1} ,~m _{2}]라고 할 때, [eqn: m _{1} m _{2}]의 값은?
① [eqn: - {1} over {13}]        ② [eqn: - {1} over {15}]         ③ [eqn: 0]
④ [eqn: {1} over {15}]            ⑤ [eqn: {1} over {13}]

20 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =3] 위의 점[eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서의 접선이 쌍곡선의 두 점근선과  만나는 점을 각가 [eqn: rmP,~Q]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmOPQ]의 넓이를 구하여라.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, ([eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표)<([eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표)이다.)

21  초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 0,~3 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,~-3 RIGHT )]이고, 주축의 길이가 [eqn: 4]인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

22  초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT ) LEFT ( -1,~0 RIGHT )]이고, 점근선의 방정식이 [eqn: y±x]인 쌍곡선의 방정식을 구하시오.

23  쌍곡선 [eqn: 2x ^{2} -y=2] 위의 점 [eqn: LEFT ( 3,~4 RIGHT )]에서의 접선의 방정식을 구하시오.

24  두 동점[eqn: rmP,`Q]가 각각 직선[eqn: y=2x,`y=-2x] 위를 움직이고 [eqn: TRIANGLE rmOPQ]의 넓이가 항상 [eqn: 8]이라고 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 중점의 자취의 방정식을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점)

25  정점[eqn: rmA LEFT ( 2,~1 RIGHT )]이 있다. [eqn: y]축 위의 임의의 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선을 그어, 그 위의 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rm {bar{PA}} = {bar{PQ}}]가 되도록 잡을 때, 점[eqn: rmQ]의 자취의 방정식은 쌍곡선이라고 한다. 이 쌍곡선의 주축의 길이는?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

26  중심이 [eqn: rmO]인 원 밖의 한 정점을 [eqn: rmF]라 하자. 원 위의 동점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmPF]의 수직이등분선 [eqn: l]이 직선 [eqn: rmPO]와 만나는 점을 [eqn: rmX]라 할 때, 다음 중 점 [eqn: rmX]의 자취의 모양은?

① 원             ② 타원         ③ 선분

④ 쌍곡선의 일부  ⑤ 포물선의 일부

27  쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {3} =1]에 접하는 기울기가 [eqn: sqrt {3}]인 접선은 두 개 존재한다. 이때, 두 접선 사이의 거리는?

① [eqn: sqrt {2}]         ② [eqn: sqrt {3}]         ③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]        ⑤ [eqn: 3]

28  쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =5] 위의 점 [eqn: rmA LEFT ( 3,~2 RIGHT )]에서 접선이 두 점근선과 만나는 점을 [eqn: rmP,`Q]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmOPQ]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

29  점[eqn: rm P`it LEFT ( p,~q RIGHT )]에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {3} =1]에 직교하는 두 접선을 그을 때, 점 [eqn: rmP]는 어느 도형 위를 움직이는가?

① [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]       ② [eqn: x ^{2} +y ^{2} = {1} over {2}]

③ [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =1]      ④ [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =4]

⑤ [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {3} =-1]

30  기울기가 [eqn: m]인 직선이 점[eqn: LEFT ( 0,~3 RIGHT )]을 지나고, 쌍곡선 [eqn: 3x ^{2} -y ^{2} +6y=0]과 만나지 않는다고 한다. 이때, [eqn: m]의 값의 범위는?

① [eqn: m <= -3,`m >= 3]       ② [eqn: m <= - sqrt {3} ,`m >= 3]

③ [eqn: m<`- sqrt {3} ,`m> sqrt {3}] ④ [eqn: - sqrt {3} <= `m<=3]

⑤ [eqn: -3 <= `m<=3]

31  방정식 [eqn: 4x ^{2} -9y ^{2} -8x-36y-68=0]이 나타내는 도형의 점근선의 방정식은?

① [eqn: y= {3} over {2} x-3,`y=- {3} over {2} x-1]

② [eqn: y= {3} over {2} x- {3} over {2} ,`y=- {3} over {2} x- {3} over {2}]

③ [eqn: y= {3} over {2} x+1,`y=- {2} over {3} x-2]

④ [eqn: y= {2} over {3} x- {8} over {3} ,`y=- {2} over {3} x- {4} over {3}]

⑤ [eqn: y= {4} over {9} x- {11} over {2} ,`y=- {4} over {9} x- {7} over {4}]

32  쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {16} - {y ^{2}} over {9} =1] 위의 한 점 [eqn: rm P`it LEFT ( m,~n RIGHT )]과 초점[eqn: rm F` it LEFT ( c,~0 RIGHT ) ,` rm F'` it LEFT ( -c,~0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: anglermPF'F=theta]라고 할 때, [eqn: lim _{m-> INF } {`tan`theta}]의 값은?
(단, [eqn: m>0,`n>0`,`c>0])

① [eqn: {3} over {2}]          ② [eqn: {2} over {3}]          ③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]          ⑤ [eqn: {9} over {16}]

33  [eqn: 20rmkm] 떨어진 두 등대 [eqn: rmA,`B]와 평행한 방향으로 매분 1[eqn: rmkm]의 속력으로 항해하는 배가 있다. [eqn: 3]시 정각 배에서 낸 고동소리를 등대에서 들은 시간의 차이로 계산한 결과 두 등대에서 배까지의 거리의 차가 [eqn: 16rmkm]이었고, [eqn: 3]시 [eqn: 32]분의 고동소리에서도 두 등대에서 배까지의 거리의 차가 [eqn: 16rmkm]이었다. 이때, 배에서 직선 [eqn: rmAB] 사이의 거리를 구하시오.
(단, 단위는 [eqn: rmkm])

34 [eqn: 400rmkm] 떨어진 두 기지 [eqn: rmA,`B]에서 동시에 발사된 전파가 배에서 수신된 시간의 차이를 계산한 결과 배와 두 기지 사이의 거리의 차가 [eqn: 200 rm km] 임을 알았다. 두 기지의 위치를 [eqn: rmA LEFT ( -200,~0 RIGHT ) ,`B LEFT ( 200,`0 RIGHT )] 이라 하고, 배의 위치를 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y RIGHT )]라 할 때, [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]사이의 관계식을 구하시오.

35 쌍곡선 [eqn: 4x ^{2} -y ^{2} -24x-4y-28=0]에서 초점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT ) ,` LEFT ( c,~d RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +d ^{2}]의 값을 구하시오.

36 다음 그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {8} -y ^{2} =-1]의 두 초점을 [eqn: rmF,`F']이라 한다. 한 초점 [eqn: rmF']을 지나고 주축에 수직인 현을 [eqn: rmbarAB]라 할 때, [eqn: TRIANGLE rmFAB]의 넓이를 구하시오.

37 점 [eqn: rmA LEFT ( 2,~0 RIGHT )]과 곡선 [eqn: x ^{2} -2y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rm P` it LEFT ( a,~b RIGHT )]에 대하여 [eqn: a]의 값이 한없이 커질 때, 직선 [eqn: rmAP]의 기울기는 어떻게 되는가? (단, [eqn: a>0,`B>0])

① [eqn: {1} over {sqrt {2}}]에 가까워진다.   ② [eqn: {1} over {2}]에 가까워진다.

③ [eqn: 1]에 가까워진다.       ④ [eqn: sqrt {2}]에 가까워진다.

⑤ [eqn: 2]에 가까워진다.

38 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {3} =1]과 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]을 지나는 직선이 두점 [eqn: rmA,`B]에서 만난다. 점[eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 둘레의 길이가 [eqn: 12]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

① [eqn: 3]에       ② [eqn: 4]        ③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]       ⑤ [eqn: 2]

39 쌍곡선[eqn: {x ^{2}} over {25} - {y ^{2}} over {24} =1]의 두 초점을 [eqn: rmF,`F']이라 하고, 이 쌍곡선 위의 한점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: anglermFPF'=90DEG]일 때 [eqn: TRIANGLE rmFPF']의 넓이를 구하시오.

40 쌍곡선[eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4] 위의 한 점 [eqn: rmA]와 두 초점 [eqn: rmF,`F']에 대하여[eqn: ANGLE rm FPF prime =theta]라 하자.[eqn: rm {bar{AF}} : {bar{AF prime }} =1:2]일 때,[eqn: cos` theta]의 값은?

① [eqn: {5} over {8}]          ② [eqn: {11} over {16}]          ③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: {7} over {8}]          ⑤ [eqn: {15} over {16}]

41 좌표평면 위에 두 원[eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =4][eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =1]이 있다. 동점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y RIGHT )]에서 두 원까지의 최단거리가 같을 때, 점 [eqn: rmP]가 그리는 자취는?

① 직선                ② 원의 일부분

③ 포물선의 일부분     ④ 타원의 일부분

⑤ 쌍곡선의 일부분

42 두 집합 [eqn: A,`B]가
[eqn: A= LEFT { LEFT ( x,~y RIGHT ) □ LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-k RIGHT ) ^{2} <8 RIGHT } ,`][eqn: B= LEFT { LEFT ( x,~y RIGHT ) □ {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {10} <1 RIGHT }]로 주어질 때, 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 [eqn: A SUBSET B]를 만족하는 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a ^{2}]의 최솟값을 구하시오.

43 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1]에 대하여 다음을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]초점의 좌표
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]꼭짓점의 좌표
[eqn: (3)]중심의 좌표
[eqn: (4)]장축의 길이
[eqn: (5)]단축의 길이

44 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {16} - {y ^{2}} over {9} =-1]에 대하여 다음을 구하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]초점의 좌표
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]꼭짓점의 좌표
[eqn: (3)]중심의 좌표
[eqn: (4)]장축의 길이
[eqn: (5)]단축의 길이

45 두 점[eqn: rmF LEFT ( 3,~0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( -3,~0 RIGHT )]에서의 거리의 차가 [eqn: 4]인 점의 자취의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: 3x ^{2} -4y ^{2} =12]     [eqn: ②][eqn: 4x ^{2} -3y ^{2} =12]

[eqn: ③][eqn: 4x ^{2} -3y ^{2} =-12]    [eqn: ④][eqn: 4x ^{2} -5y ^{2} =20]

[eqn: ⑤][eqn: 5x ^{2} -4y ^{2} =20]

46 두 점 [eqn: rmF LEFT ( 0,~4 RIGHT ) ,`F' LEFT ( 0,~-4 RIGHT )]에서의 거리의 차가 [eqn: 6]인 점의 자취의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: 4x ^{2} -3y ^{2} =-12]    [eqn: ②][eqn: 4x ^{2} -3y ^{2} =12]

[eqn: ③][eqn: 9x ^{2} -7y ^{2} =-63]     [eqn: ④][eqn: 9x ^{2} -7y ^{2} =63]

[eqn: ⑤][eqn: 13x ^{2} -9y ^{2} =17]

47 다음 중 초점이 [eqn: LEFT ( 0,~ sqrt {5} RIGHT ) ,` LEFT ( 0,~- sqrt {5} RIGHT )]이고, 주축의 길이가 [eqn: 4]인 쌍곡선의 점근선이 지나는 점은?

[eqn: ①][eqn: LEFT ( -2,~1 RIGHT )]     [eqn: ②][eqn: LEFT ( -1,~2 RIGHT )]      [eqn: ③][eqn: LEFT ( 0,~3 RIGHT )]

[eqn: ④][eqn: LEFT ( 1,~-1 RIGHT )]     [eqn: ⑤][eqn: LEFT ( 2,~-2 RIGHT )]

48 다음 중 초점이 [eqn: LEFT ( 6,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( -6,~0 RIGHT )]이고, 꼭짓점이  [eqn: LEFT ( 4,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( -4,~0 RIGHT )]인 쌍곡선의 점근선의 방정식은?

[eqn: ①][eqn: y=± {1} over {2} x]  [eqn: ②][eqn: y=± {sqrt {2}} over {2} x]  [eqn: ③][eqn: y=± {sqrt {3}} over {2} x]

[eqn: ④][eqn: y=±x]     [eqn: ⑤][eqn: y=± {sqrt {5}} over {2} x]

49 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {4} =1]의 두 초점을 [eqn: rmF,`F']이라 하고, 이 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: anglermFPF'=90DEG]일 때, [eqn: TRIANGLE rmFPF']의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 1]         [eqn: ②][eqn: 2]          [eqn: ③][eqn: 3]

[eqn: ④][eqn: 4]          [eqn: ⑤][eqn: 5]

50 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {16} - {y ^{2}} over {9} =1]의 두 초점을 [eqn: rmF,`F']과
쌍곡선 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm {bar{PF prime }} it =`2 rm {bar{PF}}]가 성립할 때, [eqn: TRIANGLE rmPFF']의 둘레의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 18]         [eqn: ②][eqn: 22]          [eqn: ③][eqn: 26]

[eqn: ④][eqn: 30]          [eqn: ⑤][eqn: 34]

51 점 [eqn: rmF LEFT ( 4,~0 RIGHT )]과 직선 [eqn: x=1]에 이르는 거리의 비가[eqn: 2:1]인 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식을 구하여라.

52 다음 중 초점이 [eqn: rm F LEFT ( 0,~4 RIGHT ) ,`F' LEFT ( 0,~-4 RIGHT )]이고, 점근선이 [eqn: y=± {1} over {sqrt {3}} x]인 쌍곡선 위의 점은?

[eqn: ①][eqn: LEFT ( sqrt {3} ,~0 RIGHT )]     [eqn: ②][eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]     [eqn: ③][eqn: LEFT ( 1,~-3 RIGHT )]

[eqn: ④][eqn: LEFT ( 2,~-4 RIGHT )]     [eqn: ⑤][eqn: LEFT ( 3,~-5 RIGHT )]

53 점 [eqn: rm D LEFT ( sqrt {5} ,~0 RIGHT )]을 지나는 직선이 쌍곡선 [eqn: 2x ^{2} -3y ^{2} =6 LEFT ( x>=0 RIGHT )]과 두 점 [eqn: rmA,`B]에서 만날 때, [eqn: rm {bar{AB}} it =`2]이다. 두 점 [eqn: rmA,`B]와 점 [eqn: rm C LEFT ( - sqrt {5} ,~0 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 둘레의 길이는?

[eqn: ①][eqn: 2 sqrt {3}]        [eqn: ②][eqn: 4 sqrt {2}]        [eqn: ③][eqn: 4 sqrt {3}]

[eqn: ④][eqn: 4 LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )]   [eqn: ⑤][eqn: 4 LEFT ( 1+ sqrt {3} RIGHT )]

54 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {5} =1] 위의 한 점 [eqn: rmP]와 두 초점 [eqn: rmF,`F']에 대하여 [eqn: ANGLE rmF prime PF= theta]이고 [eqn: rm {bar{PF'}} rm + {bar{PF}} =3:1]
일 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

[eqn: ①][eqn: {1} over {6}]        [eqn: ②][eqn: {1} over {3}]        [eqn: ③][eqn: {1} over {3}]

[eqn: ④][eqn: {2} over {3}]        [eqn: ⑤][eqn: {5} over {6}]

55 쌍곡선 [eqn: 5x ^{2} -y ^{2} =-10]과 [eqn: y=2x+k]에 대하여 다음 물음에 답하여라.
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]쌍곡선과 직선이 다른 두 점에서 만날 때, 실수      [eqn: k]값의 범위를 구하여라.
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]쌍곡선과 직선이 접할 때, 실수 [eqn: k]값이 범위를       구하여라.
[eqn: LEFT ( 4 RIGHT )]쌍곡선과 직선이 만나지 않을 때, 실수 [eqn: k]값의       범위를 구하여라.

56 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2} - {y ^{2}} over {3} =1] 에 접하고, 기울기가 [eqn: 2]인 접선의 방정식을 구하여라.

57 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {3} =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,~3 RIGHT )]에서의 접선의 방정식을 구하여라.

58 쌍곡선 [eqn: 4x ^{2} -y ^{2} =16]에 접하는 접선 중 기울기가 [eqn: 3]인 접선은 두 개 존재한다. 이때, 두 접선 사이의 거리는?

[eqn: ①][eqn: sqrt {2}]         [eqn: ②][eqn: sqrt {3}]         [eqn: ③][eqn: 2 sqrt {2}]

[eqn: ④][eqn: 3 sqrt {2}]        [eqn: ⑤][eqn: 2 sqrt {3}]

59 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =2]에 접하고, [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가[eqn: 60DEG]인 접선의 [eqn: y]절편은?

[eqn: ①][eqn: ± {sqrt {3}} over {3}]      [eqn: ②][eqn: ±1]        [eqn: ③][eqn: ± sqrt {3}]

[eqn: ④][eqn: ±2]           [eqn: ⑤][eqn: ± {5 sqrt {3}} over {3}]

60 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =3]위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서의 선이 쌍곡선의 두 점근선과 만나는 점을 [eqn: rmP,`Q]라고 할 때, [eqn: rmbarPQ]의 길이는?

[eqn: ①][eqn: sqrt {2}]         [eqn: ②][eqn: sqrt {3}]         [eqn: ③][eqn: 2 sqrt {2}]

[eqn: ④][eqn: 2 sqrt {3}]        [eqn: ⑤][eqn: 2 sqrt {5}]

61 쌍곡선 [eqn: 2x ^{2} -y ^{2} =4]위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~2 RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: {1} over {2}]        [eqn: ②][eqn: 1]        [eqn: ③][eqn: {3} over {2}]

[eqn: ④][eqn: 2]         [eqn: ⑤][eqn: {5} over {2}]

62 점 [eqn: rm P LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -4y ^{2} =4]에 그은 접선의 두 접점을 각각 [eqn: rmA,`B]라고 할 때, [eqn: rm TRIANGLE rmAPB]의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: 2 sqrt {3}]        [eqn: ②][eqn: 3 sqrt {2}]        [eqn: ③][eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: ④][eqn: 4 sqrt {2}]         [eqn: ⑤][eqn: 4 sqrt {3}]

63 점 [eqn: LEFT ( 0,~a RIGHT )]에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} -y ^{2} =1]에 그은 접선이 직교할 때, [eqn: a ^{2}]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 1]           [eqn: ②][eqn: 2]           [eqn: ③][eqn: 3]

[eqn: ④][eqn: 4]            [eqn: ⑤][eqn: 5]

64 직선[eqn: y=x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동하면 쌍곡선 [eqn: 4x ^{2} -5y ^{2} =20]에 접한다. 이때, [eqn: k ^{2}]의 값을 구하여라.

65 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =3]과 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =1]이 제1사분면에서 만나는 점에서 쌍곡선에 그은 접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[eqn: ①][eqn: {sqrt {2}} over {4}]        [eqn: ②][eqn: {sqrt {2}} over {2}]        [eqn: ③][eqn: {sqrt {3}} over {4}]

[eqn: ④][eqn: {sqrt {3}} over {2}]        [eqn: ⑤][eqn: {sqrt {3}} over {3}]

66 점근선의 방정식이 [eqn: y=± {sqrt {2}} over {2} x]이고 주축이 [eqn: x]축인 쌍곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편은?

[eqn: ①][eqn: - {1} over {2}]        [eqn: ②][eqn: -1]        [eqn: ③][eqn: - {3} over {2}]

[eqn: ④][eqn: -2]         [eqn: ⑤][eqn: - {5} over {2}]

67 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -3y ^{2} =6] 위의 점 [eqn: LEFT ( a,`~b RIGHT )]에서의 접선이 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 6]         [eqn: ②][eqn: 7]         [eqn: ③][eqn: 8]

[eqn: ④][eqn: 9]          [eqn: ⑤][eqn: 10]

68 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =5] 위의 점 [eqn: LEFT ( 3,~2 RIGHT )]에서의 접선에 이 쌍곡선의 두 초점에서 내린 수선의 길이의 곱을 구하여라.

69 오른쪽 그림과 같이 만나지 않는 두 원 [eqn: C _{1} ,~`C _{2}]의 반지름의 길이가 각각 [eqn: 3,~1]일 때, 두 원 중 한 원과 내접하고 다른 한 원과 외접하는 원의 중심 [eqn: rmP]가 그리는 도형은?

[eqn: ①]포물선

[eqn: ②]장축의 길이가 [eqn: 4]인 타원

[eqn: ③]단축의 길이가 [eqn: 2]인 타원

[eqn: ④]주축의 길이가 [eqn: 2]인 쌍곡선

[eqn: ⑤] 주축의 길이가 [eqn: 4]인 쌍곡선

70 방정식 [eqn: x ^{2} -y ^{2} +2y+a=0]이 나타내는 도형이 [eqn: x]축에 평행인 주축을 갖는 쌍곡선이 되기 위한 [eqn: a]값의 범위는?

[eqn: ①][eqn: a<`-1]     [eqn: ②][eqn: a>-1]       [eqn: ③][eqn: a<1]

[eqn: ④][eqn: a>1]        [eqn: ⑤][eqn: a>2]

71 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {c ^{2}} =1]과 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {b ^{2}} + {y ^{2}} over {c ^{2}} =1]은 두 초점[eqn: rmF,`F']을 공유한다. 이 두 곡선의 교점중 하나를 [eqn: rmP]라고 할 때, [eqn: rm {bar{PF}} =4,` rm {bar{PF'}} =12]이면 [eqn: c ^{2}]의 값은?

[eqn: ①][eqn: 24]        [eqn: ②][eqn: 26]       [eqn: ③][eqn: 28]

[eqn: ④][eqn: 30]          [eqn: ⑤][eqn: 32]

기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		1. 이차곡선			정답
	01 포물선

01  ①

답

[eqn: sqrt {LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+3 RIGHT ) ^{2}} = LEFT | y+1 RIGHT |]
[eqn: thereforex ^{2} -4x+4y+12=0]

해

설

02  ③

답

포물선의 초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 3,~0 RIGHT )]이므로
[eqn: y ^{2} =4px]에서 [eqn: p=3]
따라서 포물선의 방정식은 [eqn: y ^{2} =4·3x]이고 이식에 [eqn: LEFT ( a,~6 RIGHT )]을 대입하면 [eqn: 36=12a]
[eqn: thereforea=3]

해

설

03  ①

답

점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: y=-4]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 고 하면 [eqn: rm {bar{PA}} =barPH]이므로
[eqn: sqrt {x ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2}} = LEFT ( y+4 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE x ^{2} -12y-12=0]
[eqn: THEREFORE a+b-c+d=0]

해

설

04  ②

답

[eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{BP}} = rm {bar{PH}} + rm {bar{BP}}][eqn: GEQ rm {bar{P prime H prime }} + rm {bar{B prime P prime }} = rm {bar{BH prime }}]
따라서 구하는 최단 거리는 [eqn: rm {bar{BH prime }} =5- LEFT ( -2 RIGHT ) =7]

해

설

05   ①

답

직선 [eqn: y == 2x+3]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 직선의 방정식은 [eqn: y=2 LEFT ( x-k RIGHT ) +3]
[eqn: y ^{2} =2x]에 접하면서 기울기가 [eqn: 2]인 직선의 방정식은 [eqn: y=2x+ {1} over {4}]
[eqn: therefore-2k+3= {1} over {4} ~~thereforek= {11} over {8}]

해

설

06   ③

답

포물선 [eqn: y ^{2} =4x`]위의 점 [eqn: LEFT ( 4,~-4 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: -4y=2·1· LEFT ( x+4 RIGHT )]
[eqn: thereforey=- {1} over {2} x-2]
따라서 [eqn: a=- {1} over {2} ,~b=2]이므로 [eqn: 4a ^{2} +b ^{2} =5]

해

설

07   ④

답

원의 중심은 [eqn: LEFT ( -1,~3 RIGHT )]이고 반지름은 [eqn: 4]이다. 또[eqn: y ^{2} =4·1·x]이므로 준선의 방정식은 [eqn: x=-1]이다. 따라서 준선이 원의 중심을 지나므로 두 교점 [eqn: rmA,~B]를 연결한 선분은 원의 지름이 된다.
[eqn: THEREFORE rm {bar{AB}} =2 TIMES](반지름)=[eqn: 8]

해

설

08   ②

답

[eqn: rm {bar{AF}} = rm {bar{AB}} =4,~ rm {bar{DF}} = rm {bar{CD}} =2,~ rm {bar{BC}} =4 sqrt {2} ~]
[eqn: THEREFORE □ rm ABCD= {1} over {2} LEFT ( rm {bar{AB}} + rm {bar{CD}} RIGHT ) · rm {bar{BC}}]                          [eqn: = {1} over {2} LEFT ( 4+2 RIGHT ) ·4 sqrt {2} =12 sqrt {2}]

해

설

09   ①

답

점 [eqn: rm P`it LEFT ( a,~b RIGHT )]가 [eqn: y ^{2} =x] 위에 있으므로 [eqn: b ^{2} =a]
점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: 2x-y+3=0]까지의 거리는
[eqn: {LEFT | 2a-b+3 RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +1 ^{2}}} = {LEFT | 2b ^{2} -b+3 RIGHT |} over {sqrt {5}}]
[eqn: 2b ^{2} -b+3=2 LEFT ( b- {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + {23} over {8}]이므로 [eqn: b= {1} over {4}]
일 때 최소이고, 이때 [eqn: a= {1} over {16}]
[eqn: THEREFORE 8ab· {1} over {16} · {1} over {4} = {1} over {8}]

해

설

10   ③

답

[eqn: y ^{2} =6x=4· {3} over {2} x]에서 포물선의 초점 [eqn: rmF]의 좌표는 [eqn: rmF LEFT ( {3} over {2} ,~0 RIGHT )]이고 준선의 방정식은 [eqn: x=- {3} over {2}]이므로 [eqn: rm {bar{FP _{it n rm}}} = it n+ {3} over {2}]
[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{30} rm {bar{FP _{itn}}} = sum _{it `n=1 rm} ^{30} LEFT ( it `n+ {3} over {2} RIGHT ) = {30·31} over {2} + {3} over {2} ·=510]

해

설

11  ⑤

답

ㄱ. [eqn: rm ANGLE CFE= ANGLE ACF]([eqn: BECAUSE]엇각)이므로
[eqn: rm ANGLE AFC= ANGLE CFE]  (참)
ㄴ. ㄱ과 같은 방법으로
[eqn: rm ANGLE EFD= ANGLE DFB,~ ANGLE AFC+# rm ANGLE CFE+ ANGLE EFD+ ANGLE DFB=180 DEG]
[eqn: rm ANGLE CFE+ ANGLE EFD=90 DEG]에서
[eqn: rm ANGLE CFD=90 DEG], 따라서 [eqn: rm {bar{CF}} BOT {bar{DF}}]이다. (참)
ㄷ. 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmbarDB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고       하면
[eqn: rm {bar{CD}} = rm {bar{AH}} = it sqrt {LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} - LEFT ( b-a RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {ab}]

해

설

12   ⑤

답

포물선 [eqn: y ^{2} =x] 위의 점 [eqn: LEFT ( t ^{2} ,~t RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: ty= {1} over {2} LEFT ( x+t ^{2} RIGHT ) ,~2ty=x+t ^{2}] 이 접선은 점 [eqn: LEFT ( -3,~1 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: 2t=-3+t ^{2}]에서 [eqn: t=-1]또는 [eqn: t=3]
따라서 두 점 [eqn: rmA,~B]의 [eqn: x]좌표의 합은 [eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +3 ^{2} =10]

해

설

13   ②

답

[eqn: y=mx+ {1} over {2m}]을 [eqn: x ^{2} =2y]에 대입하면
[eqn: x ^{2} =2 LEFT ( ma+ {1} over {2m} RIGHT ) ,~x ^{2} -2mx- {1} over {m} =0]
[eqn: {D} over {4} =m ^{2} + {1} over {m} =0]에서 [eqn: m=-1,~y=-x- {1} over {2}]
에서 [eqn: a=-1,~b=- {1} over {2}]  [eqn: thereforea-b=- {1} over {2}]

해

설

14   [eqn: 6]

답

포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점은 [eqn: rmF LEFT ( 1,~0 RIGHT )], 준선은 [eqn: x=-1]이다. [eqn: rm A` it LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT ) ,~ rm B` it LEFT ( x _{2} ,~y _{2} RIGHT )]라고 하면[eqn: rmbarAB]의 중점이 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]이므로
[eqn: {x _{1} +x _{1}} over {2} =2,~ {y _{2} +y _{2}} over {2} =1][eqn: THEREFORE x _{1} +x _{2} =4,~y _{1} +y _{2} =2~]
[eqn: rm {bar{AF}}]와[eqn: rm {bar{BF}}]는 각각 점 [eqn: rmA,~B]에서 준선 [eqn: x=-1]에 이르는 거리와 같다.
[eqn: THEREFORE rm {bar{AF}} + rm {bar{BF}} = it LEFT ( x _{1} +1 RIGHT ) + LEFT ( x _{2} +1 RIGHT )]                          [eqn: = LEFT ( x _{1} +x _{2} RIGHT ) +2=6]

해

설

15   ③

답

[eqn: y ^{2} =p LEFT ( x+2 RIGHT )]에서 [eqn: y ^{2} =4· {p} over {4} · LEFT ( x+2 RIGHT )]이므로 초점       의 좌표는 [eqn: LEFT ( {p} over {4} -2,~0 RIGHT )]
[eqn: x ^{2} =q LEFT ( y+3 RIGHT )]에서 [eqn: x ^{2} =4· {q} over {4} · LEFT ( y+3 RIGHT )]이므로 초점       의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~ {q} over {4} -3 RIGHT )]
두 초점의 좌표가 같으므로
[eqn: {p} over {4} -2=0,~ {q} over {4} -3=0~~~ THEREFORE p=8,~q=12]
[eqn: thereforep+q=20]

해

설

16   ⑤

답

해

설

[eqn: rm {bar{BF}} = {bar{BH}} =5,# rm {bar{MF}} =5-1-1=3,# rm {bar{BM}} = sqrt {5 ^{2} -3 ^{2}} =4# THEREFORE rm {bar{AB}} `=8]
따라서 두 어선 사이의 거리는 [eqn: 8rmm]이다.

17  ②

답

[eqn: y ^{2} =8x=4·2x]에서 초점은 [eqn: rmF LEFT ( 2,~0 RIGHT )], 꼭짓점은 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )], 준선은 [eqn: x=-2]이다.
[eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: rmG LEFT ( {10} over {3} ,~- {1} over {3} RIGHT )]이므로 [eqn: {a _{1} +a _{2} +a _{3}} over {3} = {10} over {3}]에서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} =10]
한편, [eqn: rm {bar{AF}}]는 점 [eqn: rmA]에서 준선에 내린 수선의 길이와 같으므로 [eqn: rm {bar{AF}} = it a _{1} +2]
같은 방법으로 [eqn: rm {bar{BF}} = it a _{2} +2,~ rm {bar{CF}} = it a _{3} +2]
[eqn: THEREFORE rm {bar{AF}} + {bar{BF}} + {bar{CF}} = it LEFT ( a _{1} +a _{2} +a _{3} RIGHT ) +6=16]

해

설

18   ①

답

접선의 방정식은 [eqn: y=- {1} over {2} x-1]
접선의 기울기는 [eqn: tan`theta=- {1} over {2}]이므로

해

설

[eqn: tan` theta +cot` theta =- {1} over {2} -2=- {5} over {2}]

19   ④

답

포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점은 [eqn: rmF LEFT ( 1,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: m=1]
[eqn: thereforey=x-1]
포물선과 직선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} =4x]에서 [eqn: x=3±2 sqrt {2}]
따라서 [eqn: rmA LEFT ( 3-2 sqrt {2} ,~0 RIGHT ) ,~B LEFT ( 3+2 sqrt {2} ,~0 RIGHT )]이라고 하면 [eqn: rm {bar{AB}} =4 sqrt {2}]

해

설

20   ⑤

답

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]이라고 하면 [eqn: l:y _{1} y=x+x _{1}]
직선 [eqn: l]이 원 [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =9]에 접하므로 점 [eqn: LEFT ( a,~0 RIGHT )]에서 직선 [eqn: l:x-y _{1} y+x _{1} =0]까지의 거리가 [eqn: 3]이다.
[eqn: {LEFT | a+x _{1} RIGHT |} over {sqrt {1+y _{1} ^{2}}} =3]에서
[eqn: LEFT ( a+x _{1} RIGHT ) ^{2} =9 LEFT ( `1+y _{1} ^{2} RIGHT ) ,~ LEFT ( a+x _{1} RIGHT ) ^{2} =9 LEFT ( 1+2x _{1} RIGHT )]
[eqn: x _{1} ^{2} +2 LEFT ( a-9 RIGHT ) x _{1} +a ^{2} -9=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: {D} over {4} = LEFT ( a-9 RIGHT ) ^{2} -a ^{2} +9=0]   [eqn: thereforea=5]

해

설

21   (1)[eqn: y ^{2} =8x]   (2)꼭짓점의 좌표:[eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )],
축의 방정식:[eqn: y=0 LEFT ( x축 RIGHT )]

답

22   [eqn: LEFT ( rm i RIGHT ) ~k<1]일 때, 두 점에서 만난다.
[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT ) ~k=1]일 때, 한 점에서 만난다.
[eqn: LEFT ( rm iii RIGHT ) ~k<1]일 때, 만나지 않는다.

답

23   ②

답

해

설

원 [eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =4]에 외접하고, 직선[eqn: x=-2]에 접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 [eqn: rm {bar{`CP rm}} it =r+2] 이므로 [eqn: rm {bar{`CP}}]와 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: x=-4]까지의 거리가 같다. 즉, 점 [eqn: rmP]가 그리는 도형은 초점이 [eqn: LEFT ( 4,~0 RIGHT )]이고 준선이 [eqn: x=-4]인 포물선이다. 따라서 구하는 포물선의 방정식은 [eqn: y ^{2} =16x]이고, 이 포물선 위의 점은 [eqn: LEFT ( 1,~4 RIGHT )]이다.

24   [eqn: 80]

답

해

설

점 [eqn: rmP]가 그리는 도형은 초점이 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: x=-8]포물선이다. 이것은 초점이 [eqn: LEFT ( 4,~0 RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: x=-4]인 포물선 [eqn: y ^{2} =16x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼 평행이동한 것이므로 구하는 방정식은 [eqn: y ^{2} =16x LEFT ( x+4 RIGHT )], 즉 [eqn: y ^{2} =16x+64]이다.
따라서 [eqn: a=16,~b=64]이므로 [eqn: a+b=80]

25   포물선의 일부

답

해

설

지름 [eqn: rmAB]에 평행한 접선 [eqn: l]의 접점을 [eqn: rmE,~P]에서 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH,~P]에서 반지름 [eqn: rmOE]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmD]라 하면 [eqn: rm {bar{OP}} = rm {bar{DE}} = rm {bar{PH}}]이므로 점 [eqn: rmP]는 [eqn: rmO]를 초점, [eqn: l]을 준선으로 하는 포물선의 일부이다.

26   [eqn: 16]

답

[eqn: y ^{2} =8x=4.2x]에서 초점은 [eqn: rm F LEFT ( 2,~0 RIGHT ) ,] 꼭짓점은 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )], 준선은 [eqn: x=-2]이다.
[eqn: rm A` it LEFT ( a _{1,~} b _{1} RIGHT ) ,~ rm B` it LEFT ( a _{2,~} b _{2} RIGHT ) ,~ rm C` it LEFT ( a _{3,~} b _{3} RIGHT )]에서
[eqn: {a _{1+} a _{2+} a _{3}} over {3} = {10} over {3} ~~~ THEREFORE a _{1+} a _{2+} a _{3} =10]
한편, [eqn: rmbarAF`]는 점 [eqn: rmA]에서 준선에 내린 수선의 길이와 같으므로 [eqn: rm {bar{AF}} =ita _{1} +2]
같은 방법으로, [eqn: rm {bar{BF}} ` it =a _{2} +2,~ rm {bar{CF}} ` it =a _{3} +2]
[eqn: THEREFORE rm {bar{AF}} + rm {bar{BF}} rm + {bar{CF`}} it = LEFT ( a _{1} +a _{1} +a _{1} RIGHT ) +6=16]

해

설

27   [eqn: 4]

답

세 점[eqn: rm A` it LEFT ( x _{1,~} y _{1} RIGHT ) ,~` rm B` it LEFT ( x _{2,~} y _{2} RIGHT ) ,~ rm C` it LEFT ( x _{3,~} y _{3} RIGHT ) ~]에서 준선
[eqn: y=-1]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm P,`Q,`R]라고 하
면 포물선의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{AP}} ` it =y _{1} +1,`` rm]
[eqn: rm {bar{BQ}} it `=y _{2} +1,` {bar{rm CR it}} it `=y _{3} +1`]이므로
[eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} =12]
따라서 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 무게중심의 [eqn: y]좌표는
[eqn: {y _{1} +y _{2} +y _{3}} over {3} =4]

해

설

28   ⑤

답

두 점[eqn: rmA,`P]에서 주선 [eqn: x=-2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA',`P']이라하면
[eqn: rm {bar{PQ}} `+ rm {bar{QA}} `= rm {bar{PQ}} `+ rm {bar{QF}} + rm {bar{AF}} `# ~~~~~~~~~~= rm {bar{PP prime }} `+ rm {bar{AA prime }} =6+6=12]

해

설

29  [eqn: 40]

답

[eqn: y ^{2} -4x-10y+37=0]을 변형하면

해

설

[eqn: LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2} =4 LEFT ( x-3 RIGHT )]

위의 방정식이 나타내는 도형은 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동한 포물선이다. 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점이 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]이므로 이 포물선의 초점은 [eqn: rmF LEFT ( 4,~5 RIGHT )]이다.
새 포물선의 초점은 [eqn: rmF LEFT ( 4,~5 RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: y=-1]이므로 포물선 위의 임의의 점을 [eqn: rmP`it LEFT ( x,~y RIGHT )]로 놓으면
[eqn: sqrt {LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2}} = LEFT | y+1 RIGHT |]
위 식의 양변을 제곱하면

[eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} =12 LEFT ( y-2 RIGHT )]에서 [eqn: x ^{2} -8x-12y+40=0]
따라서 구하는 값은 [eqn: c=40]

30   [eqn: -20]

답

해

설

[eqn: x ^{2} +2x-4y+5=0]을 변형하면

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} =4 LEFT ( y-1 RIGHT )] 새 포물선의 초점은 [eqn: rmF LEFT ( -1,~2 RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: x=5]이므로 포물선의 위의 임의의 점을 [eqn: rmP`it LEFT ( x,~y RIGHT )]로 놓으면 [eqn: sqrt {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2}} = LEFT | x-5 RIGHT |]
[eqn: LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} =-12 LEFT ( x-2 RIGHT )]에서 [eqn: y ^{2} -4y+12x-20=0]
[eqn: thereforex=-20]

31   [eqn: 17]

답

초점이 [eqn: rmF' LEFT ( 3,~0 RIGHT )], 준선이 [eqn: x=-3]인 포물선의 방정식은 [eqn: y ^{2} =12x]이 포물선을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동하면 구하는 포물선의 방정식은

해

설

[eqn: LEFT ( y-4 RIGHT ) ^{2} =12 LEFT ( x-1 RIGHT ) ~~thereforea=4,~b=12,~c=1]
[eqn: thereforea+b+c=17]

32   [eqn: {5} over {4}]

답

[eqn: rm A LEFT ( 1,~0 RIGHT ) ,~ rm B LEFT ( 0,~2 RIGHT )]이고, [eqn: TRIANGLE rmOAB]는 일정하므로 [eqn: □rmOAPB]의 넓이가 최대가 되려면 [eqn: TRIANGLE rmAPB]의 넓이가 최대가 되면 된다. 여기서, 밑변 [eqn: rmAB]가 일정하므로 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmbarAB]로부터 가장 멀리 떨어져 있어야 한다. 즉, 점[eqn: rmP]는 직선 [eqn: rmAB]와 평행한 접선과의 교점이다.
기울기가 [eqn: -2]인 포물선 [eqn: y ^{2} =-4x]의 접선은 [eqn: y=mx+ {p} over {m}]에서
[eqn: y=-2x+ {-1} over {-2} =-2x+ {1} over {2}]이므로 기울기가 [eqn: -2]인 포물선 [eqn: y ^{2} =-4 LEFT ( x-1 RIGHT )]의 접선은
[eqn: y=-2 LEFT ( x-1 RIGHT ) + {1} over {2} =-2x+ {5} over {2}]
점 [eqn: rm A LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서 직선[eqn: 4x+2y-5=0]에 이르는 거리는 [eqn: {LEFT | 4-5 RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} +2 ^{2}}} = {1} over {2 sqrt {5}}]
[eqn: rmbarAB`= sqrt {5}]이므로, [eqn: TRIANGLE rmABP]의 넓이는

해

설

[eqn: {1} over {2} · sqrt {5} · {1} over {2 sqrt {5}} = {1} over {4}]
따라서 [eqn: □rmOAPB]의 넓이의 최댓값은 [eqn: {5} over {4}]이다.

33   [eqn: 2 sqrt {2}]

답

기울기가 [eqn: 1]인 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 접선은 [eqn: y=x+1]이므로 기울기가 [eqn: 1]인 포물선 [eqn: y ^{2} =4 LEFT ( x-1 RIGHT )]의 접선은 [eqn: y= LEFT ( x-1 RIGHT ) +1=x] 따라서 직선 [eqn: y=x]에서 직선 [eqn: y=x+4]에 이르는 거리의 최솟값은 [eqn: 2 sqrt {2}]이다.

해

설

34   ④

답

해

설

위의 그림과 같이 좌표축을 잡자. 초점의 좌표를 [eqn: rm F LEFT ( it p,`0 RIGHT )]이라고 하면 [eqn: y ^{2} =4px]
이때, 점 [eqn: rm ` it LEFT ( 0.2,~1 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: 1=4·p· LEFT ( 0.2 RIGHT )]
[eqn: thereforep= {1} over {0.8} = {10} over {8} =1.25]
따라서 초점 [eqn: rmF LEFT ( 1.25,~0 RIGHT )]에서 꼭짓점까지의 거리는 [eqn: 1.25rmm]이다.

35   [eqn: a= {1} over {4} LEFT ( rmcm RIGHT )]

답

포물면경의 꼭짓점을 원점으로 놓으면 포물선의 방정식은 [eqn: y ^{2} =4·100x] 깊이를 [eqn: a]라 하면 [eqn: x=a]일 때, [eqn: y=10]이므로 [eqn: 10 ^{2} =400a~~ THEREFORE a= {1} over {4} LEFT ( rm cm RIGHT )]

해

설

36   ③

답

해

설

꼭짓점이 준선인 벽면에 가장 가까운 점이므로 구하는 거리는 [eqn: {1} over {2} rm barCF]이다.

37   ⑤

답

점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 두 준선과 만나는 점을 각각[eqn: rmH,`K]라 하면 포물선의 정의에 의하여
[eqn: rm {bar{OP}} = {bar{HP}} = {bar{PK}}]
따라서 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmHK]의 중점이므로[eqn: rm {bar{OP}} `= {1} over {2} {bar{HK}} `=ita+b]

해

설

38  ②

답

[eqn: y=3x+2]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 직선의 방정식 [eqn: y=3 LEFT ( x-k RIGHT ) +2]와 [eqn: y ^{2} =4x]를 연립한 이차방정식에서 판별식 [eqn: D=0]이므로 [eqn: k= {5} over {9}]

해

설

39   ①

답

해

설

포물선[eqn: y ^{2} =8x]에 직선[eqn: y= {1} over {2} x+k]를 대입하여 정리하면

[eqn: {1} over {4} x ^{2} + LEFT ( k-8 RIGHT ) x+k ^{2} =0]

[eqn: D= LEFT ( k·8 RIGHT ) ^{2} -4· {1} over {4} ·k ^{2} =0]에서

[eqn: k=4~ THEREFORE {1} over {2} x+4]
이 직선의 [eqn: x]절편과 [eqn: y]절편이 각각[eqn: -8,`4]이므로 구하는 넓이는 [eqn: {1} over {2} times8times4=16]

40   ③

답

세 점의 좌표를 각각

해

설

[eqn: rm A _{1} it LEFT ( a,~2 RIGHT ) ,` rm A _{2} it LEFT ( a+d,~4 RIGHT ) ,` rm A _{3} it LEFT ( a+2d,~k RIGHT ) `]라 하면
[eqn: 4=4ap]에서 [eqn: ap=1], [eqn: 16=4p LEFT ( a+d RIGHT )]에서 [eqn: pd=3], [eqn: k ^{2} =4p LEFT ( a+2d RIGHT ) =4ap+8pd]   [eqn: k ^{2} =28]에서 [eqn: k=2 sqrt {7} LEFT ( BECAUSE k>0 RIGHT )]    [eqn: THEREFORE rm {bar{A _{3} B _{3}}} =4 sqrt {7}]

41   ③

답

해

설

포물선의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{AF}} = rm {bar{AB}} =4,][eqn: rm {bar{DF}} =` rm {bar{CD}} =2] 점[eqn: rmD]에서 [eqn: rmbarAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면, [eqn: rm {bar{AH}} = rm {bar{AB}} - rm {bar{BH}} = rm {bar{AB}} - rm {bar{CD}} =2]
[eqn: rm {bar{DH}} ^{2} = {bar{AD}} ^{2} - {bar{AH}} ^{2} =32~~~~~ THEREFORE {bar{DH}} =4 sqrt {2}# THEREFORE □ rm ABCD= {1} over {2} LEFT ( rm {bar{AB}} + rm {bar{CD}} RIGHT ) · rm {bar{DH}} =12 sqrt {2}]

42  [eqn: 10]

답

해

설

포물선 [eqn: y ^{2} =4x] 위의 점[eqn: rmP`it LEFT ( x _{0} ,~y _{0} RIGHT )]에 대하여 [eqn: 2y _{0} =2 LEFT ( -3+x _{0} RIGHT ) CDOTS CDOTS ㉠,][eqn: y _{0} ^{2} =4x _{0} ~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]을 연립해서 풀면 [eqn: x _{0} =1,`y _{0} =-2]또는 [eqn: x _{0} =9,`y _{0} =6] 따라서 구하는 접선의 방정식은 [eqn: -2y=2 LEFT ( x+1 RIGHT ) ,`6y=2 LEFT ( x+9 RIGHT )]
두 접선의 [eqn: y]절편은 각각 [eqn: -1]과 [eqn: 3]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =10]

43  ②

답

포물선의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{PF}} `= {bar{PR}} ,`]
[eqn: rm {bar{QF}} `= {bar{QS}}]이므로 [eqn: ANGLE rm PRF= ANGLE PFR,` ANGLE QSF= ANGLE QFS` CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: rm {bar{RP}} ⫽ {bar{OF}} ⫽` {bar{SQ}}]이므로 [eqn: ANGLE rm PRF= ANGLE RFO,` ANGLE QSF= ANGLE SFO` CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에 의하여                    [eqn: ANGLE rm PFR= ANGLE RFO,` ANGLE QFS= ANGLE SFO` CDOTS CDOTS ㉢]
[eqn: ㉢]에 의하여 [eqn: ANGLE rm RFS= ANGLE RFO+ ANGLE SFO=90 DEG]
피타고라스의 정리에 의햐어 [eqn: rm {bar{RS}} ^{2} = {bar{RF}} ^{2} + {bar{SF}} ^{2}]

해

설

44   [eqn: 6]

답

[eqn: y=x ^{2} +1]에서 [eqn: x ^{2} =y-1=4· {1} over {4} LEFT ( y-1 RIGHT )]
따라서 초점은 [eqn: LEFT ( 0,` {5} over {4} RIGHT ) ,`]준선은 [eqn: y= {3} over {4}]이므로 [eqn: b= {4} over {3}] 또한, 점 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]는 직선[eqn: y=-2x+1] 위의 점이므로 [eqn: b=-2a+1~~~~thereforea= {1} over {8}]
[eqn: THEREFORE {b} over {a} =6]

해

설

45   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: y ^{2} =4x]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: y ^{2} =-8x]

답

초점이 [eqn: LEFT ( p,~0 RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선의 방정식은 [eqn: y ^{2} =4px`]이므로
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: y ^{2} =4x]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: y ^{2} =4· LEFT ( -2 RIGHT ) x=-8x# `````````````````` THEREFORE `y ^{2} =-8x]

해

설

46   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: y ^{2} =4x]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: y ^{2} =-8y]

답

초점이 [eqn: LEFT ( 0,~p RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: x=-p]인 포물선의 방정식은 [eqn: y ^{2} =4pxy]이므로
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: y ^{2} =4y]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: y ^{2} =4· LEFT ( -2 RIGHT ) y=-8y# `````````````````` THEREFORE `x ^{2} =-8y]

해

설

47

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]초점의 좌표:[eqn: LEFT ( -3,~0 RIGHT )], 준선의 방정식:[eqn: x=3]     [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]초점의 좌표:[eqn: LEFT ( {1} over {2} ,~0 RIGHT ) ,`]준선의 방정식:[eqn: x=- {1} over {2}]
[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )]초점의 좌표:[eqn: LEFT ( 0,~4,~0 RIGHT ) ,`]준선의 방정식:[eqn: x=-4]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: y ^{2} =-12x=4· LEFT ( -3 RIGHT ) ·x]이므로
초점의 좌표:[eqn: LEFT ( -3,~0 RIGHT ) ,`]준선의 방정식:[eqn: x=3]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: y ^{2} =2x=4· {1} over {2} ·x]이므로
초점의 좌표:[eqn: LEFT ( {1} over {2} ,~0 RIGHT ) ,`]준선의 방정식:[eqn: x=- {1} over {2}]
[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: y ^{2} =16y=4·4y]이므로
초점의 좌표:[eqn: LEFT ( 0,~4,~0 RIGHT ) ,`]준선의 방정식:[eqn: x=-4]

해

설

48   [eqn: ④]

답

주어진 방정식은 [eqn: y ^{2} +2y+1=-4x# LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =-4x]
즉, [eqn: y ^{2} =-4x]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향을 [eqn: -1]만큼 형행이동한 것이다. 이때, [eqn: y ^{2} =-4x]의 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT )], 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )], 준선의 방정식은 [eqn: x=1]이다. 그러므로 [eqn: LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =-4x]의 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,~-1 RIGHT )], 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~-1 RIGHT )], 준선의 방정식은 [eqn: x=1]이다.
따라서 옳은 것은 (나), (다)

해

설

49  [eqn: ②]

답

[eqn: LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =-8 LEFT ( x+2 RIGHT )]는 [eqn: y ^{2} =-8x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 것이다. 이때, [eqn: y ^{2} =-8x]의 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )], 준선의 방정식은 [eqn: x=2]이므로 구하는 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( -4,~-1 RIGHT )], 준선의 방정식은 [eqn: x=0]이다.

해

설

50   [eqn: ①]

답

구하는 포물선의 초점은 [eqn: x]축 위에 있고 축은 [eqn: x]축이므로 포물선의 방정식을[eqn: y ^{2} =4p LEFT ( x-a RIGHT )]로 놓을수 있다.
이때, 초점이 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]이므로
[eqn: p+a=1~~~ THEREFORE a=1-p`~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
또, 점 [eqn: LEFT ( 4,~4 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 16=4p LEFT ( 4-a RIGHT ) `cdotscdots㉡]
[eqn: ㉠]을 [eqn: ㉡]에 대입하면 [eqn: 4=p LEFT ( 4-1+p RIGHT )]
[eqn: p ^{2} +3p-4=0,` LEFT ( p+4 RIGHT ) LEFT ( p-1 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore {cases{p=-4&#a=5&}}]또는 [eqn: {cases{p=1&#a=0&}}]
한편, [eqn: p=1,`a=0]이면 꼭짓점이 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: p=-4,`a=5]이다.
따라서 구하는 포물선의 방정식은 [eqn: y ^{2} =-16 LEFT ( x-5 RIGHT )]

해

설

51   [eqn: x ^{2} =4 LEFT ( y-1 RIGHT )]또는 [eqn: x ^{2} =-4 LEFT ( y-3 RIGHT )]

답

구하는 포물선의 방정식을 [eqn: x ^{2} =4p LEFT ( y-a RIGHT )]로 놓으면
초점이 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]이므로 [eqn: p+a=2]
[eqn: THEREFORE a=2-p~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
점 [eqn: LEFT ( 2,~2 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 4=4p LEFT ( 2-a RIGHT )]
[eqn: THEREFORE 1=p LEFT ( 2-a RIGHT ) `~~~~~~~~``` CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠]을 [eqn: ㉡]에 대입하면 [eqn: p=±1]
[eqn: THEREFORE {cases{p=1&#a=1&}}]또는 [eqn: {cases{p=-1&#a=3&}}]
[eqn: thereforex ^{2} =4 LEFT ( y-1 RIGHT )]또는 [eqn: x ^{2} =-4 LEFT ( y-3 RIGHT )]

해

설

52   [eqn: ⑤]

답

해

설

포물선의 방정식이
[eqn: y ^{2} =4·2x]이므로 준선의 방정식은 [eqn: x=-2]이다. 이때, [eqn: rm {bar{PF}} it =a,` rm {bar{QF}} it =b`]라고 하면[eqn: rm {bar{PQ}} it=a+b=11]이고, 포물선의 정의에 의하여
[eqn: rm {bar{PF}} it =a-2,`` rm {bar{QH'}} it =b-2`]
이므로 [eqn: rm {bar{PF}} it +` rm {bar{QH prime }} it = LEFT ( a-2 RIGHT ) + LEFT ( b-2 RIGHT )# ~~~~~~~~~=a+b-4`# ~~~~~~~~~=11-4=7]

53   [eqn: ④]

답

세 점[eqn: rmA,`B,`C]에서 준선 [eqn: y=-1]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA',`B',`C']이라고 하면 [eqn: rm {bar{FA}} + rm {bar{FB}} + rm {bar{FC}} = rm {bar{AA prime }} + rm {bar{BB prime }} + rm {bar{CC prime }}][eqn: = LEFT ( 1+1 RIGHT ) + LEFT ( 2+1 RIGHT ) + LEFT ( 3+1 RIGHT ) =9]

해

설

54   [eqn: ④]

답

점 [eqn: LEFT ( 3,~0 RIGHT )]과 직선 [eqn: x=-1]로부터 같은 거리에 있는 점을 [eqn: rm P it LEFT ( x,~y RIGHT )]라고 하면 [eqn: sqrt {LEFT ( x-3 ^{2} RIGHT ) +y ^{2}} = LEFT | x+1 RIGHT |]
[eqn: thereforey ^{2} =8 LEFT ( x-1 RIGHT )]

해

설

55   [eqn: ②]

답

점 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]에서 [eqn: x]축에 이르는 거리와 점 [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]과 점 [eqn: LEFT ( 1,~a RIGHT )] 사이의 거리는 같다.
[eqn: THEREFORE 1= sqrt {LEFT ( 1-0 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2}} ~~~ THEREFORE a=1]

해

설

56   [eqn: -5]

답

[eqn: y ^{2} =16x]의 초점이 [eqn: LEFT ( 4,~0 RIGHT )], 준선이 [eqn: x=-4]이므로 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하면 [eqn: LEFT ( 4+a,~b RIGHT ) = LEFT ( 2,~3 RIGHT ) ,`x=a-4=c]
[eqn: thereforea+b+c=-2+3+ LEFT ( -6 RIGHT ) =-5]

해

설

57   [eqn: ③]

답

세 점[eqn: rmA,`B,`C]에서 준선 [eqn: x=-1]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA',`B',`C']이라 하고, 세 점 [eqn: rmA,`B,`C]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x _{1,} `x _{2,} `x _{3}]이라고 하면 [eqn: {x _{1} +x _{2} +x _{3}} over {3} =1]
[eqn: THEREFORE rm {bar{AA prime }} + rm {bar{BB prime }} + rm {bar{CC prime }}]                               [eqn: = LEFT ( x _{1} +1 RIGHT ) + LEFT ( x _{2} +1 RIGHT ) + LEFT ( x _{3} +1 RIGHT ) =3+3=6]

해

설

58  [eqn: {pi} over {6}]

답

[eqn: y ^{2} =4x]와[eqn: y=x+k]를 연립하여 정리하면
[eqn: x ^{2} +2 LEFT ( k-2 RIGHT ) x+k ^{2} =0]에서
[eqn: {D} over {4} = LEFT ( k-2 RIGHT ) ^{2} -k ^{2} =-4 LEFT ( k-1 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {D} over {4} =-4 LEFT ( k-1 RIGHT ) >0]    [eqn: thereforek<1]
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {D} over {4} =-4 LEFT ( k-1 RIGHT ) =0]    [eqn: THEREFORE k=1]
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {D} over {4} =-4 LEFT ( k-1 RIGHT ) <0]    [eqn: THEREFORE k>1]

해

설

59   [eqn: y=2x+1]

답

[eqn: y ^{2} =8x=4·2x]에서    [eqn: p=2]
따라서 기울기가 [eqn: m=2]인 접선의 방정식은
[eqn: y=mx+ {p} over {m} =2x+ {2} over {2}]    [eqn: thereforey=2x+1]

해

설

60   [eqn: y=x+1]

답

[eqn: y ^{2} =4x=4·1·x]에서    [eqn: p=-1]
따라서 [eqn: y ^{2} =4x] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y _{1} y=2p LEFT ( x+x _{1} RIGHT )]에서
[eqn: 2·y=2 LEFT ( x+1 RIGHT ) ~~~~thereforey=x+1]

해

설

61   [eqn: y=-x+1]

답

[eqn: x ^{2} =-4y=4· LEFT ( -1 RIGHT ) ·y]에서    [eqn: p=-1]
따라서[eqn: x ^{2} =-4y]위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~-1 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: x _{1} x=2p LEFT ( x+y _{1} RIGHT )]에서
[eqn: 2·x=-2 LEFT ( y-1 RIGHT ) ~~~x=- LEFT ( y-1 RIGHT )]
[eqn: thereforey=-x+1]

해

설

62   [eqn: ①]

답

해

설

위의 그림과 같이 포물선[eqn: y ^{2} =4x]에 접하고 직선 [eqn: x-y+3=0]에 평행한 직선과 포물선의 교점이 구하는 점[eqn: rm P`it LEFT ( a,~b RIGHT )]이다.
직선 [eqn: x-y+3=0]에 평행한 접선의 기울기는 [eqn: 1]이므로 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]에 접하고 기울기가 [eqn: 1]인 접선의 방정식은
[eqn: y=1·x+ {1} over {1} ~~~~thereforey=x+1]
이 때, 점[eqn: rm P`it LEFT ( a,~b RIGHT )]가 직선 [eqn: y=x+1]웨에 있으므로
[eqn: b=a+1]       [eqn: thereforea-b=-1]

63   [eqn: ④]

답

[eqn: y=- {1} over {2} x-1]에 수직인 접선의 기울기는 [eqn: 2]이므로 구하는 접선의 방정식을 [eqn: y=2x+k]라 하고 포물선 [eqn: x ^{2} =4y]에 대입하면 [eqn: x ^{2} -8x-4k=0~~~# THEREFORE {D} over {4} = LEFT ( -4 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( -4k RIGHT ) =0~~~ THEREFORE k=-4]
따라서 구하는 접선의 방정식은 [eqn: y=2x-4]

해

설

64   [eqn: ④]

답

[eqn: y ^{2} =-4x=4· LEFT ( -1 RIGHT ) ·x]에서 초점 [eqn: rmF]의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT )]
한편, 점[eqn: rmP LEFT ( -1,~2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: 2·y=-2 LEFT ( x-1 RIGHT )]   [eqn: thereforey=-x+1]
이 때, [eqn: x]축 [eqn: LEFT ( y=0 RIGHT )]과의 교점의 좌표는 [eqn: y=0]을 대입하면 [eqn: 0=-x+1]에서 [eqn: x=1]
즉, [eqn: rmQ LEFT ( 1,~0 RIGHT )]이다.
따라서 구하는 [eqn: TRIANGLE rmPQF]의 넓이는
[eqn: TRIANGLE rm PQF= {1} over {2} TIMES {bar{QF}} TIMES {bar{PF}} = {1} over {2} times2times2=2]

해

설

65   [eqn: ④]

답

점[eqn: rm P LEFT ( 4,~2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은
[eqn: 4x=4 LEFT ( y+2 RIGHT )]    [eqn: thereforey=x-2]
이때, [eqn: rmQ LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]이므로 구하는 [eqn: TRIANGLE rmPOQ]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times2times4=4]

해

설

66   [eqn: ②], [eqn: ④]

답

[eqn: y ^{2} =8x=4·2·x]에서    [eqn: p=2]
구하는 접선의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면 접선의 방정식은 [eqn: y=mx+ {p} over {m} ```thereforemx+ {2} over {m}]
이 접선이 점 [eqn: LEFT ( -1,~1~ RIGHT )]을 지나므로
[eqn: 1=-m+ {2} over {m} ,`m+1= {2} over {m}]
[eqn: m ^{2} +m-2=0,` LEFT ( m-1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforem=1]또는 [eqn: m=-2]
따라서 구하는 접선의 방정식은
[eqn: y=x+2] 또는 [eqn: y=-2x-1]

해

설

67   [eqn: ①], [eqn: ④]

답

접점을 [eqn: LEFT ( x _{1,~} y _{1} RIGHT )]이라 하면 접선의 방정식은 [eqn: y _{1} y=2 LEFT ( x+x _{1} RIGHT )]이고 점 [eqn: LEFT ( -2,~1 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: y _{1} =2 LEFT ( -2 RIGHT ) +x _{1} ~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
또한, 접점 [eqn: LEFT ( x _{1,~} y _{1} RIGHT )]은 포물선 [eqn: y ^{2} =4x]위의 점이므로 [eqn: y _{1} ^{2} =4x _{1} ~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 구하는 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]또는[eqn: LEFT ( 4,~4 RIGHT )]이다.

해

설

68   [eqn: ②]

답

[eqn: y ^{2} =4x]에 접하는 기울기가 [eqn: 1]인 접선은 [eqn: y=x+1]이므로 [eqn: y=x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동하면 된다.

해

설

69   [eqn: ④]

답

[eqn: y ^{2} =4x]와 접선[eqn: y=ax+b]에서 [eqn: LEFT ( ax+b RIGHT ) ^{2} =4x]
즉 [eqn: a ^{2} x ^{2} +2 LEFT ( ab-2 RIGHT ) x+b ^{2} =0]
[eqn: {D _{1}} over {4} = LEFT ( ab-2 RIGHT ) ^{2} -a ^{2} b ^{2} =0]에서   [eqn: ab=1]
[eqn: x ^{2} =4y]와 접선 [eqn: y=ax+b]에서 [eqn: x ^{2} =4 LEFT ( ax+b RIGHT )],
즉[eqn: x ^{2} -4ax-4b=0]
[eqn: {D _{2}} over {4} = LEFT ( -2a RIGHT ) ^{2} +4b=0]에서 [eqn: b=-a ^{2}]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 [eqn: a=-1,`b=-1]   [eqn: thereforea+b=-2]

해

설

70   [eqn: -1]

답

접선의 방정식은 [eqn: 1·y=- LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT )]로 기울기가 [eqn: -1]이므로   [eqn: tantheta=-1]

해

설

71   [eqn: ⑤]

답

정점을 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~`y _{1} RIGHT )]이라 하면 접선의 방정식은 [eqn: y _{1} y=4 LEFT ( x+x _{1} RIGHT )] 점[eqn: rmP LEFT ( -2,~0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: x _{1} =2], [eqn: y _{1} ^{2} =8x _{1}]에서 [eqn: y _{1} =8x _{1}]에서 [eqn: y _{1} =±4]
즉, [eqn: rmQ LEFT ( 2,~4 RIGHT ) ,`R LEFT ( 2,~-4 RIGHT )]이므로 [eqn: rm TRIANGLE PQR= {1} over {2} times8times4=16]

해

설

72   [eqn: 1]

답

[eqn: y ^{2} =-4 LEFT ( x-2 RIGHT )]의 초점은 [eqn: LEFT ( -1+2,~0 RIGHT ) ,] 즉 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]
이 초점이 직선 [eqn: x+y=k]위에 있으므로 [eqn: k=1+0=1]

해

설

73  [eqn: ②]

답

[eqn: sqrt {3} y=x+ {3} over {2} ~~~thereforey= {1} over {sqrt {3}} x+ {sqrt {3}} over {2}]
이 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면 [eqn: tan`theta= {1} over {sqrt {3}} ~~~ THEREFORE theta =30 DEG]

해

설

74   [eqn: 1]

답

접선의 방정식이 [eqn: 4y=-4 LEFT ( x-2 RIGHT )]이므로 [eqn: rmT LEFT ( 2,~0 RIGHT )]
또한, [eqn: rmQ LEFT ( -2,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: rm {barOQ} over {barTO} = {2} over {2} =1]

해

설

75   [eqn: ②]

답

점 [eqn: rm P LEFT ( ita,~a ^{2} RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2a]
직선[eqn: rmPA]의 기울기는 [eqn: {a ^{2} -1} over {a-1}]이므로
[eqn: THEREFORE lim _{a -> 1} {`f LEFT ( a RIGHT ) = lim _{a -> 1} {` LEFT ( 2a· {a ^{2} -1} over {a-1} RIGHT )}} = lim _{a -> 1} {`2a· LEFT ( a+1` RIGHT ) =4}]

해

설

76   [eqn: ⑤]

답

해

설

[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )][eqn: a<0]일 때는 항상 원점에서 만난다.
[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )][eqn: a>0]일 때는 원과 포물선이 원점에서       접해야 한다.
즉, [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} +x=a ^{2}]
이 중근을 가져야 하므로  [eqn: a= {1} over {2}]
[eqn: thereforea<0] 또는 [eqn: a= {1} over {2}]

77   [eqn: ③]

답

점 [eqn: rmP]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면
[eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{FP}} = rm {bar{AP}} + rm {bar{PH}}]
이때, [eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{FP}}]의 최솟값은 점 [eqn: rmA LEFT ( 4,~1 RIGHT )]에서 준선 [eqn: x=-2]에 내린 수선의 길이므로
[eqn: 4- LEFT ( -2 RIGHT ) =6]

해

설

78   [eqn: ③]

답

점[eqn: rmP,`Q]에서 준선 [eqn: x=-1]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP',`Q']이라고 하면
[eqn: rm {bar{PF}} = rm {bar{PP prime }} it =a+1,` rm] [eqn: rm {bar{QF}} = rm {bar{QQ prime }} it =b+1]
[eqn: THEREFORE rm {bar{PQ}} it = LEFT ( a+1 RIGHT ) + LEFT ( b+1 RIGHT ) =a+b+2]

해

설

기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		1. 이차곡선			정답
	02 타원								3

01   ③

답

[eqn: rm {bar{AF}} + rm {bar{AF prime }} = it 2a=12~~~thereforea=6]
점 [eqn: rmF]의 좌표를 [eqn: LEFT ( c,~0 RIGHT )]이라고 하면
[eqn: c ^{2} =36-9=27~~~thereforec=±3 sqrt {3}]
[eqn: thereforermF LEFT ( 3 sqrt {3} ,~0 RIGHT )]

해

설

02   ④

답

주어진 조건을 만족시키는 임의의 점을 [eqn: rm P it LEFT ( x,~y RIGHT )]
라고 하면 [eqn: rm {bar{PF}} + rm {bar{PF'}} =10]
[eqn: sqrt {LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +y ^{2}} + sqrt {LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} +y ^{2}} =10]
정리하면 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {16} =1]

해

설

03  ③

답

[eqn: {LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}} over {9} + {LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2}} over {4} =1]
ㄱ. 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2± sqrt {5} ,~-1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 2- sqrt {5} ,~-1 RIGHT )]이다. (참)
ㄴ. 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2,~-1 RIGHT )]이다. (참)

해

설

04  ④

답

직선 [eqn: y=x+k]와 타원 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4]에서 [eqn: y]를 소거하면 [eqn: x ^{2} +4 LEFT ( x+k RIGHT ) ^{2} =4]
이것을 정리하면 [eqn: 5x ^{2} +8kx+4x ^{2} -4=0]
직선이 타원과 접하려면 판별식 [eqn: D=0]이어야 하므로 [eqn: {D} over {4} =16k ^{2} -5 LEFT ( 4k ^{2} -4 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore=± sqrt {5}]

해

설

05   ⑤

답

점 [eqn: LEFT ( 5,~3 RIGHT )]에서 타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1]에 그은 두 접선 의 방정식은 [eqn: x=5,~y=3]이므로 접점은 [eqn: LEFT ( 5,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( 0,~3 RIGHT )]이다.
따라서 두 접점 사이의 거리는 [eqn: sqrt {5 ^{2} +3 ^{2}} = sqrt {34}]

해

설

06  ④

답

기울기가 [eqn: m]인 접선의 방정식 [eqn: y=mx± sqrt {9m ^{2} +4}]가 점 [eqn: rmP LEFT ( 5,~4 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 4=5m± sqrt {9m ^{2} +4}] [eqn: 4m ^{2} -10m+3=0]의 두실근이 각각 [eqn: m _{1} ,~m _{2}]이므로
[eqn: m _{1} +m _{2} =a= {5} over {2} ,~m _{1} m _{2} =b= {3} over {4}]
[eqn: therefore2a+4b=2times {5} over {2} +4times {3} over {4} =8]

해

설

07  ⑤

답

타원의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1~(a>b>0)]로 놓으면 장축의 길이는 [eqn: 2a=8]  [eqn: thereforea=4]
단축의 길이는 [eqn: 2b=6~~~thereforeb=3]
즉, [eqn: {x ^{2}} over {4 ^{2}} + {y ^{2}} over {3 ^{2}} =1]에서 [eqn: sqrt {4 ^{2} -3 ^{2}} = sqrt {7}]이므로 초점의 좌표는 [eqn: rm F LEFT ( sqrt {7} ,~0 RIGHT ) ,~ rm F prime LEFT ( - sqrt {7} ,~0 RIGHT )]이다.
따라서 두 초점 사이의 거리는 [eqn: 2 sqrt {7}]이다.

해

설

08   ②

답

초점의 좌표를 각각 [eqn: rm F LEFT ( c,~0 RIGHT ) ,~F prime LEFT ( -c,~0 RIGHT ) LEFT ( c>0 RIGHT )]으로 놓으면 [eqn: rm {bar{FF prime }} =4]에서 [eqn: 2c=4]  [eqn: thereforec=2]
또, 타원의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{AF}} + {bar{AF prime }} = it 2a=8~~thereforea=4]
[eqn: c ^{2} =a ^{2} -b ^{2}]에서 [eqn: b ^{2} =a ^{2} -c ^{2} =16-4=12]
[eqn: thereforea ^{2} +b ^{2} =16+12=28]

해

설

09   ⑤

답

[eqn: 3x ^{2} +4y ^{2} -12x+8y+4=0]에서
[eqn: {LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}} over {4} + {LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2}} over {3} =1]
따라서 주어진 타원을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하면 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =1,~]즉 [eqn: 3x ^{2} +4y ^{2} =12]와 일치한다.
[eqn: thereforek-m-n=12- LEFT ( -2 RIGHT ) -1=13]

해

설

10   ④

답

주어진 원의 방정식은 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]
이 원을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {3} over {2}]배만큼 확대하는 일차변환을 [eqn: f: LEFT ( x,~y RIGHT ) ~ -> ~ LEFT ( x, prime ~y prime RIGHT )]이라고 하면
[eqn: x prime =x,~y prime = {3} over {2} y], 즉[eqn: x=x',~y= {2} over {3} y']이므로 [eqn: LEFT ( x prime RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2} over {3} y prime RIGHT ) ^{2} =4~~~ THEREFORE {x ^{2}} over {4} + {x ^{2}} over {9} =1]
따라서 원을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {3} over {2}]배만큼 확대한 도형의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {9} =1]
따라서 원을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: {3} over {2}]배만큼 확대한
도형의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {9} =1]
[eqn: 9-4=5]에서 초점이 좌표는
[eqn: LEFT ( 0,~ sqrt {5} RIGHT ) ,~ LEFT ( 0,~- sqrt {5} RIGHT )]이므로
[eqn: rm {bar{FF prime }} = sqrt {5} - LEFT ( - sqrt {5} RIGHT ) =2 sqrt {5}]

해

설

11   ④

답

[eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {4} =1]에서 초점의 좌표는 [eqn: rm F LEFT ( sqrt {5} ,~0 RIGHT ) ,~F prime LEFT ( - sqrt {5,} 0 RIGHT ) ~~~ THEREFORE {bar{FF prime }} =2 sqrt {5}]
[eqn: rm {bar{PF}} + rm {bar{PF'}} =6]이고,  [eqn: rm {bar{PF}} : rm {bar{PF prime }} =2:1]이므로 [eqn: rm {bar{PF}} =4,~ rm {bar{PF prime }} =2]
[eqn: TRIANGLE rmPFF prime]에서 [eqn: ANGLE rmFPF prime = theta]이므로
[eqn: cos` theta = {4 ^{2} +2 ^{2} - LEFT ( 2 sqrt {5} RIGHT )} over {2times4times2} =0]
[eqn: THEREFORE ANGLE rmFPF prime = {pi } over {2}]

해

설

12  ③

답

점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식을 [eqn: y=m LEFT ( x-1 RIGHT ) +2]라고 하고 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {9a ^{2}} =1]에 대입하여 정리하면
[eqn: LEFT ( m ^{2} +9 RIGHT ) x ^{2} -2m LEFT ( m-2 RIGHT ) x+ LEFT ( m-2 RIGHT ) ^{2} -9a ^{2} =0,][eqn: {D} over {4} =m ^{2} LEFT ( m-2 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( m ^{2} +9 RIGHT ) LEFT { LEFT ( m-2 RIGHT ) ^{2} -9a ^{2} RIGHT } =0]
[eqn: LEFT ( a ^{2} -1 RIGHT ) m ^{2} +4m+ LEFT ( 9a ^{2} -4 RIGHT ) =0]에서
[eqn: {9a ^{2} -4} over {a ^{2} -1} =-1]이므로
[eqn: a ^{2} = {1} over {2} ~~~thereforea= {sqrt {2}} over {2} ~ LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT )]

해

설

13   ④

답

[eqn: rm A it LEFT ( a,~0 RIGHT ) ,~ rm A prime it LEFT ( -a,~0 RIGHT ) ,`~ rm F prime it LEFT ( c,~0 RIGHT ) ,~ rm F prime it LEFT ( -c,~0 RIGHT )]이라고 하면 Ⅰ에서 ([eqn: TRIANGLE rmPF'F]의 둘레의 길이)=[eqn: 8]이므로 [eqn: 2a+2c=8 LEFT ( BECAUSE rm {bar{PF prime }} + {bar{PF}} = it 2a RIGHT )]
[eqn: thereforea+c=4]
Ⅱ에서([eqn: TRIANGLE rm PA prime A]의 넓이)[eqn: =3times]([eqn: TRIANGLE rmPF'F]의 넓이)
이므로 [eqn: a=3c~ THEREFORE a=3,~cx=1]
한편 [eqn: b ^{2} =a ^{2} -c ^{2} =8]에서
[eqn: b=2 sqrt {2} LEFT ( BECAUSE b>0 RIGHT ) ~~~thereforeab=6 sqrt {2}]

해

설

14   [eqn: 48]

답

해

설

타원의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {16} =1]이고 점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: rmA LEFT ( p,~q RIGHT ) LEFT ( p>0,~q>0 RIGHT )]라고 하면 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 2p TIMES 2q=4pq]
또, 점 [eqn: LEFT ( p,~q RIGHT )]가 타원 위의 점이므로 [eqn: {p ^{2}} over {36} + {q ^{2}} over {16} =1]
[eqn: 1= {p ^{2}} over {36} + {q ^{2}} over {16} GEQ 2 sqrt {{p ^{2}} over {36} · {q ^{2}} over {16}} = {pq} over {12}]
(단, 등호는 [eqn: {p ^{2}} over {36} = {q ^{2}} over {16}]일 때 성립)
[eqn: therefore0<pq LEQ 12]
[eqn: 0<4pq LEQ 48]이므로 [eqn: □rmABCD]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 48]이다.

15   ⑤

답

[eqn: y=x+n]을 [eqn: x ^{2} +2y ^{2} =4]에 대입하면
[eqn: x ^{2} +2 LEFT ( x+n RIGHT ) ^{2} =4,~3x ^{2} +4nx+2n ^{2} -4=0]
[eqn: {D} over {4} =4n ^{2} -3 LEFT ( 2n ^{2} -4 RIGHT ) >0~~~therefore- sqrt {6} <n< sqrt {6}]
따라서 정수 [eqn: n]은 [eqn: -2,~-1,~0,~1,~2]의 5개이다.

해

설

16   ②

답

점 [eqn: rmA]는 타원의 한 초점이므로 점 [eqn: rmP]에서 반사된 빛은 다른 초점 [eqn: rmA' LEFT ( 1,~0 RIGHT )]을 지난다.
[eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{A'P}} =2·2=4] 이므로 삼각형 [eqn: rmAPT]의 둘레의 길이는 [eqn: 8]이다.

해

설

17    ⑤

답

해

설

[eqn: rm {bar{AP}} + rm {bar{OP}} = rm {bar{AP}} + rm {bar{PB}}][eqn: = rm {bar{AB}} =5](일정)이므로
타원의 초점은
[eqn: rm O LEFT ( 0,~0 RIGHT ) ,~A LEFT ( 4,~0 RIGHT )], 장축의 길이는 [eqn: 5]이다.
단축의 길이를 [eqn: x]라고 하면[eqn: LEFT ( ` {5} over {2} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) ^{2} =4]
[eqn: thereforex=3 LEFT ( BECAUSE x>0 RIGHT )]

18   ④

답

주어진 타원의 방정식을 변형하면 [eqn: {LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2}} over {49} + {LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2}} over {4} =1]
두 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 3 sqrt {5-3} ,~-1 RIGHT ) ,~ LEFT ( -3 sqrt {5-3} ,~-1 RIGHT )]이므로 구하는 거리는 [eqn: 6 sqrt {5}]

해

설

19   ③

답

초점의 좌표는 [eqn: rm F LEFT ( 8,~0 RIGHT ) ,~F' LEFT ( -8,~0 RIGHT ) ,~]장축의 길이는 [eqn: 20]이므로
[eqn: sum _{k=1} ^{9} ` {bar{rm FP _{it n rm} it}} = LEFT ( {bar{rm FP _{1} it}} + {bar{rm FP _{2} it}} + {bar{rm FP _{3} it}} + {bar{rm FP _{4} it}} RIGHT )# ~~~~~~~~~+ {bar{rm FP _{5} it}} + LEFT ( {bar{rm F'P _{4} it}} + {bar{rm F'P _{3} it}} + {bar{rm F'P _{2} it}} + {bar{rm F'P _{1} it}} RIGHT )]       [eqn: = LEFT ( {bar{rm FP _{1} it}} + {bar{rm FP _{`1} it}} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {bar{rm FP _{4} it}} + {bar{rm F prime P _{4} it}} RIGHT ) + {bar{rm F prime P _{5} it}}]       [eqn: =20 TIMES 4+ {bar{rm FP _{5} it}} =80+ sqrt {8 ^{2} +6 ^{2}} =90]

해

설

20   [eqn: 6]

답

접선의 방정식은 [eqn: {x _{1} x} over {4} {y _{1} y} over {9} =1]
[eqn: THEREFORE rm Q LEFT ( {4} over {itx _{1}} ,~0 RIGHT ) ,~R LEFT ( 0,~ {8} over {ity _{1}} RIGHT )]  (단, [eqn: x _{1} >0,~y _{1} >0])
[eqn: 1= {x _{1} ^{2}} over {4} + {y _{1} ^{2}} over {9} GEQ 2 sqrt {{x _{1} ^{2}} over {4} · {y _{1} ^{2}} over {9}} = {x _{1} y _{1}} over {3}]에서
[eqn: 0<x _{1} y _{1} LEQ 3]
[eqn: therefore]([eqn: TRIANGLE rmOQR]의 넓이)[eqn: = {18} over {x _{1} y _{1}} GEQ 6]
따라서 구하는 최솟값은 [eqn: 6]이다.

해

설

21  [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {5} =1]

답

22  초점 :[eqn: LEFT ( 3,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( -3,~0 RIGHT ) ,] 장축의 길이 :[eqn: 10],
단축의 길이:[eqn: 8]

답

23  [eqn: ± {sqrt {6}} over {2}]

답

24  [eqn: 160]

답

두 원[eqn: rmA,`B]의 중심은 각각 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT ) ,`rmQ LEFT ( 1,~0 RIGHT )]이고, 원 [eqn: rmC]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 [eqn: rm {bar{CP}} =1+ it r,~ rm {bar{CQ}} =5- it r,~]
두 식을 변끼리 더하면 [eqn: rm {bar{CP}} + {bar{CQ}} = LEFT ( 1+ it r RIGHT ) + LEFT ( 5-r RIGHT ) =6]
즉, 점[eqn: rmC]의 자취는 두 점[eqn: rm P LEFT ( -1,`~0 RIGHT ) ,`Q LEFT ( 1,~0 RIGHT )]을 초점으로 하고, 장축의 길이가 [eqn: 6]인 타원이므로 그 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {8} =1]이고, 단축의 길이는 [eqn: 4 sqrt {2}]이다. 따라서 구하는 값은 [eqn: 5m ^{2} =160]이다.

해

설

25   [eqn: 48]

답

두 정점[eqn: rmC,`A]에서 동점 [eqn: rmX]까지의 거리의 합[eqn: rm {bar{CX}} +~ rm {bar{XA}} =4]로 일정하므로 점 [eqn: rmX]의 자취는 타원이고, 이 타원의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =1]이다.
즉, 단축의 길이는 [eqn: m=2 sqrt {3}]
따라서 구하는 값은 [eqn: 4m ^{2} =48]이다.

해

설

26  [eqn: 1]

답

해

설

점 [eqn: rmP]의 자취는 두 정점 [eqn: rmA LEFT ( -2,~0 RIGHT )]과 원점 [eqn: rmO LEFT ( 0,~0 RIGHT )]을 초점으로 하고, 장축의 길이가 [eqn: 4]인 타원이다. 구하는 타원의 중심이 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT )]이므로 중심이 원점이고, 장축의 길이가 [eqn: 4], 초점이 [eqn: rmF LEFT ( 1,~0 RIGHT )]과 [eqn: rmF' LEFT ( -1,~0 RIGHT )]인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행 이동한 것이다. 따라서 구하는 타원의 방정식은 [eqn: {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {3} =1]

27   ②

답

해

설

[eqn: TRIANGLE rm OAB]는 일정하므로 그 넓이가 최대가 되려면 [eqn: TRIANGLE rm APB]가 최대가 되어야 한다. 여기서, 밑변 [eqn: rmAB]가 일정하므로 점 [eqn: rmP]가 직선 [eqn: rmAB]로부터 가장 멀리 떨어져 있어야 한다. 즉, 점[eqn: rmP]는 직선 [eqn: rmAB]와 평행한 접선과의 교점이다. 기울기가 [eqn: - {1} over {2}]이므로 구하는 접선을 [eqn: x+2y=k]로 놓고 타원 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4]와 연립하면 [eqn: LEFT ( k-2y RIGHT ) ^{2} +4y ^{2} =4]에서 [eqn: 8y ^{2} -4ky+k ^{2} -4=0]
[eqn: {D} over {4} = LEFT ( 2k RIGHT ) ^{2} -8 LEFT ( k ^{2} -4 RIGHT ) =0]에서 [eqn: -4k ^{2} +32=0]
[eqn: thereforek=2 sqrt {2} LEFT ( BECAUSE k>0 RIGHT )]
점 [eqn: rmA LEFT ( 2,~0 RIGHT )]에서 직선 [eqn: x+2y=2 sqrt {2}]에 이르는 거리는 [eqn: {2 sqrt {2} -2} over {sqrt {5}}]이므로 [eqn: TRIANGLE rmABP= sqrt {2} -1]
따라서 [eqn: □rmOAPB]의 넓이의 최댓값은
[eqn: □ rm OAPB= TRIANGLE OAB+ TRIANGLE ABP# ~~~~~~~~=1+ LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) = sqrt {2}]

28   [eqn: 4 sqrt {5}]

답

타원[eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {4} =1]에 접하고, 기울기가 [eqn: {1} over {2}]인 직선의 방정식은 [eqn: x-2y±5=0]
따라서 최솟값은 [eqn: x-2y+5=0]과 [eqn: x-2y+10=0] 사이의 거리[eqn: sqrt {5}]이고, 최댓값은 [eqn: x-2y-5=0]과 [eqn: x-2y+10=0] 사이의 거리[eqn: 3 sqrt {5}]이므로 구하는 값은 [eqn: 4 sqrt {5}]

해

설

29  [eqn: {1} over {2} TIMES ab`times {ab} over {LEFT | x _{1} y _{1} RIGHT |} >= ab]

답

[eqn: rm P`it LEFT ( x _{1} ,`y _{1} RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {x _{1} x} over {a ^{2}} + {y _{1} y} over {b ^{2}} =1]이므로 [eqn: TRIANGLE rm AOB` it = {1} over {2} TIMES {a ^{2}} over {LEFT | x _{1} RIGHT |} TIMES {b ^{2}} over {LEFT | y _{1} RIGHT |}]
[eqn: {x _{1} ^{2}} over {a ^{2}} + {y _{1} ^{2}} over {b ^{2}} >= 2 sqrt {{x _{1} ^{2}} over {a ^{2}} · {y _{1} ^{2}} over {b ^{2}}} ,`1 >= {2 LEFT | x _{1} y _{1} RIGHT |} over {ab} `# THEREFORE {ab} over {LEFT | x _{1} y _{1} RIGHT |} >= 2]
따라서 [eqn: TRIANGLE rm AOB` it = {1} over {2} TIMES {a ^{2}} over {LEFT | x _{1} RIGHT |} TIMES {b ^{2}} over {LEFT | y _{1} RIGHT |}# ~~~~~~~= {1} over {2} TIMES ab`times {ab} over {LEFT | x _{1} y _{1} RIGHT |} >= ab]

해

설

30   ③

답

타원 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4]의 초점을 각각 [eqn: rmF,`F']이라 하고, 타원 위의 [eqn: 8]개의 교점 중에서 임의의 한 점을 [eqn: rmP`it _{i} LEFT ( i=1,`2,`cdots,`8 RIGHT )]라고 하면 [eqn: rm {bar{P _{it i rm} F}} + {bar{P _{it i rm} F}} prime =4]이고, [eqn: sum _{i=1} ^{INF } `r _{i} = sum _{i=1} ^{INF } ` rm {bar{P it rm _{i} rm F}}]라 할수 있다.
[eqn: sum _{i=1} ^{8} `` LEFT ( {bar{rm P it rm _{i} rm F it}} + {bar{rm P it rm _{i} rm F it}} prime RIGHT ) = sum _{i=1} ^{8} ` rm 4=4 TIMES 8=32]
이고, 타원의 대칭성에 의하여 [eqn: sum _{i=1} ^{8} `r _{i} = {32} over {2} =16]

해

설

31   [eqn: 8]

답

[eqn: rmA,`B]가 타원의 두 초점이므로
[eqn: rm {bar{PA}} `+ rm {bar{PB}} = {bar{QA}} + rm {bar{QB}} = rm {bar{RA}} + rm {bar{RB}} =6]
[eqn: THEREFORE rm {bar{BP}} + rm {bar{BQ}} + rm {bar{BR}}# = LEFT ( 6- rm {bar{AP}} RIGHT ) + LEFT ( 6- rm {bar{AQ}} RIGHT ) + LEFT ( 6- rm {bar{AR}} RIGHT )# =18- LEFT ( rm {bar{AP}} + rm {bar{AQ}} + rm {bar{AR}} RIGHT ) =8]

해

설

32   [eqn: 8]

답

[eqn: rmD LEFT ( 1,~0 RIGHT )]이라 하면 [eqn: rm C,`D]는 타원의 두 초점이므로
[eqn: rm {bar{BC}} `+ rm {bar{BD}} =4,` {bar{AC}} + rm {bar{AD}} =4]
[eqn: THEREFORE rm ` rm {bar{AC}} + rm {bar{BC}} + rm {bar{AB}} =` {bar{AC}} + rm {bar{BC}} + {bar{BD}} + rm {bar{AD}} =8]

해

설

33   [eqn: 2 sqrt {a ^{2} -b ^{2}}]

답

오른쪽 좌표평면에서 태양의 위치를 타원의 한 초점 [eqn: rmF`it LEFT ( c,~0 RIGHT ) LEFT ( c>0 RIGHT )]이라고 하면 행성이 꼭짓점 [eqn: rmB]에 있을 때 거리가 최대이고, 꼭짓점 [eqn: rmA]에 있을 때 거리가 최소이므로 [eqn: rmM`it=a+c,`m=a-c]
[eqn: THEREFORE M-m=2c`~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠~]
타원의 성질에 의하여 [eqn: c= sqrt {c ^{2} -b ^{2}} ~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 [eqn: M-m=2c=2 sqrt {a ^{2} -b ^{2}}]

해

설

34   [eqn: {x ^{2}} over {LEFT ( 5.8 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} + {y ^{2}} over {LEFT ( 5.7 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} =1]

답

[eqn: M=a+c=7.0times10 ^{7} ,`m=a-c=4.6times10 ^{7}]이므로 두 식을 연립하면 [eqn: a=5.8times10 ^{7} ,`x=1.2times10 ^{7}]
[eqn: thereforeb= sqrt {a ^{2} -c ^{2}} image 5.7times10 ^{7}]
따라서 수성의 궤도를 나타내는 타원의 방정식은
[eqn: {x ^{2}} over {LEFT ( 5.8 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} + {y ^{2}} over {LEFT ( 5.7 TIMES 10 ^{7} RIGHT ) ^{2}} =1]

해

설

35   [eqn: 6 sqrt {3 it} rm m]

답

타원의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {20 ^{2}} + {y ^{2}} over {12 ^{2}} =1]이고, 이 식에[eqn: x=10]을 대입하면 [eqn: {10 ^{2}} over {20 ^{2}} + {y ^{2}} over {12 ^{2}} =1]  [eqn: THEREFORE y=±6 sqrt {3}]
따라서 점 [eqn: rmA]에서의 높이는 [eqn: 6 sqrt {3} rmm]이다.

해

설

36   ④

답

해

설

구하는 타원의 중심을 [eqn: rmO], 밑면과 타원이 만나는 점을 [eqn: rmA,`]장축을 [eqn: rmbarAA'], 단축을 [eqn: rmbarBB']이라 하면 [eqn: rmbarOB``=6]이고, [eqn: rm {bar{OA}} `= {6} over {cos30 DEG } =6÷ {sqrt {3}} over {2} =4 sqrt {3}]
두 초점을 [eqn: rmF,`F']이라 하면
[eqn: rm {bar{FF prime }} =2 sqrt {rm {bar{OA}} ^{2} - {bar{OB}} ^{2}} =2 sqrt {48-36} =4 sqrt {3}]

37   [eqn: 15]

답

[eqn: rm {bar{PF}} + rm {bar{PF'}} =2 sqrt {20} =4 sqrt {5}]이므로 [eqn: rm {bar{FF'}} =6 sqrt {5} -4 sqrt {5} =2 sqrt {5}]
따라서 두 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( ± sqrt {5} ,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: ± sqrt {20-k} =± sqrt {5}]에서 [eqn: k=15]

해

설

38   ⑤

답

타원 [eqn: 16x ^{2} +25y ^{2} -32x-100y-284=0]을 완전제곱꼴로 변형하면 [eqn: {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}} over {5 ^{2}} + {LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2}} over {4 ^{2}} =1 CDOTS ㉠]
타원 [eqn: {x ^{2}} over {5 ^{2}} + {y ^{2}} over {4 ^{2}} =1]의 초점은 [eqn: c ^{2} =5 ^{2} -4 ^{2} =3 ^{2}]에서 [eqn: rm F LEFT ( 3,~0 RIGHT ) ,`F prime LEFT ( -3,~0 RIGHT )] 그런데 [eqn: ㉠]의 초점은 점 [eqn: rmF,`F']을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동시킨 점이므로 [eqn: LEFT ( 4,~2 RIGHT ) LEFT ( -2,~2 RIGHT )]

해

설

39   [eqn: 10]

답

점[eqn: LEFT ( 1,~-2 RIGHT )]가 타원 위의 점이므로 [eqn: {1} over {a ^{2}} + {4} over {b ^{2}} =1cdotscdots㉠],
접선의 방정식[eqn: y= {b ^{2}} over {2a ^{2}} x- {b ^{2}} over {2}]에서
[eqn: b ^{2} =4a ^{2} ~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 [eqn: a ^{2} =2,`b ^{2} =8~~~thereforea ^{2} +b ^{2} =10]

해

설

40  ①

답

타원의 성질에 의하여 [eqn: rm {bar{PF}} - {bar{PF _{1} `}} =16]
[eqn: rm` {bar{PF}} - {bar{PF _{2} `}} =24]이므로 [eqn: LEFT | rm {bar{PF _{1}}} - {bar{PF _{2}}} RIGHT | =8]
마찬가지로 하면, [eqn: LEFT | rm {bar{QF _{1}}} - {bar{QF _{2}}} RIGHT | =8] 이므로
[eqn: LEFT | rm {bar{PF _{1}}} - {bar{PF _{2}}} RIGHT | + LEFT | rm {bar{QF _{1}}} - {bar{QF _{2}}} RIGHT | =16]

해

설

41   [eqn: 16]

답

포물선 [eqn: y ^{2} =16x=4·4x]의 초점은 [eqn: rmF LEFT ( 4,~0 RIGHT )]이므로 타원[eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 두 초점은 [eqn: rmF]와 [eqn: rmF' LEFT ( -4,~0 RIGHT )]이다.
타원이 점[eqn: rmA LEFT ( -4,~6 RIGHT )]을 지나므로 타원의 정의에서
[eqn: rm {bar{PF}} + {bar{PF prime }} = rm {bar{AF}} + {bar{AF'}} = sqrt {LEFT ( 4+4 RIGHT ) ^{2} +6 ^{2}} +6=16]

해

설

42   ④

답

해

설

위의 그림과 같이 두 타원의 초점을 각각 [eqn: rmP,`Q]라 하고, [eqn: rmbarAF]의 중점을 [eqn: rmO]라 하면
[eqn: TRIANGLE rm AQP= {sqrt {3}} over {4} TIMES rm {bar{AP}} ^{2} = sqrt {3} ~~ THEREFORE rm {bar{AP}} =2,`` {bar{OP}} =3]
[eqn: rm {bar{OP}} ^{2} = rm ` rm {bar{AO}} ^{2} - it b ^{2}]에서 [eqn: 9=25-b ^{2} ~~thereforeb=4]
따라서 단축의 길이는 [eqn: 8]이다.

43   ⑤

답

ㄱ. [eqn: a=1]이면 [eqn: x=2]인 점에서 접하므로 두 곡선은     서로 다른 세 점에서 만난다. (참)
ㄴ. [eqn: `0<a<1`]이면 두 곡선은 서로 다른 네 점에서     만나고   [eqn: 4 LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -x ^{2} =0,`]
[eqn: LEFT ( x-2a RIGHT ) LEFT ( 3a-2a RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=2a] 또는            [eqn: x= {2} over {3} a] (참)
ㄷ. 타원의 외부에 있는 부분의 호의 길이가 [eqn: pi]가        되려면 [eqn: a ^{2} + LEFT ( {a} over {3} RIGHT ) ^{2} =1~~~thereforea= {3} over {sqrt {10}}] (참)

해

설

44   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: LEFT ( ± sqrt {7,~0} RIGHT )]  [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: LEFT ( ±4,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,~±3 RIGHT )]
[eqn: (3)][eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]       [eqn: (4)][eqn: 8]           [eqn: (5)][eqn: 6]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {9} =1]에서 [eqn: a ^{2} >b ^{2}]이므로    초점이 [eqn: x]축     위에 있고,                                       [eqn: c ^{2} =a ^{2} -b ^{2} =16-9=7]이므로 초점의 좌표는     [eqn: LEFT ( ± sqrt {7} ,~0 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]꼭짓점의 좌표는  [eqn: LEFT ( ±4,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,~±3 RIGHT )]
[eqn: (3)]중심의 좌표는  [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]
[eqn: (4)]장축의 길이  [eqn: 2a=2·4=8]
[eqn: (5)]단축의 길이  [eqn: 2b=2·3=6]

해

설

45   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: LEFT ( 0,~±3~ RIGHT )]  [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: LEFT ( ±4,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,~±5 RIGHT )]
[eqn: (3)][eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]       [eqn: (4)][eqn: 10]           [eqn: (5)][eqn: 8]

답

[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {25} =1]에서 [eqn: a ^{2} >b ^{2}]이므로    초점이 [eqn: y]축 위에 있고, [eqn: c ^{2} =25-16=9]이므로 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~±3~ RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]꼭짓점의 좌표는  [eqn: LEFT ( ±4,~0 RIGHT ) ,` LEFT ( 0,~±5 RIGHT )]
[eqn: (3)]중심의 좌표는  [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]
[eqn: (4)]장축의 길이  [eqn: 2b=2·5=10]
[eqn: (5)]단축의 길이  [eqn: 2a=2·4=8]

해

설

46   [eqn: ③]

답

두 정점[eqn: rm F` it LEFT ( c,~0 RIGHT ) ,` rm F prime it LEFT ( -c,~0 RIGHT )]에서의 거리의 합이 [eqn: 2a]인 점의 자취는 타원이고, 그 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
[eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1 LEFT ( a>b>0,~c ^{2} =a ^{2} -b ^{2} RIGHT )]
즉, 두 정점에서의 거리의 합이 [eqn: 10]이므로
[eqn: 2a=10]     [eqn: thereforea=5]
또, [eqn: c=4]이므로 [eqn: b ^{2} =a ^{2} -c ^{2} =5 ^{2} =4 ^{2} =9]
따라서 구하는 점 [eqn: rmP]의 자취의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {9} =1]이다.

해

설

47   [eqn: ①]

답

구하는 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{1}} over {b ^{2}} =1]이라고 하면
[eqn: 2b=6~~~thereforeb=3]
[eqn: 2 ^{2} =b ^{2} -a ^{2} =9-a ^{2}]    [eqn: thereforea ^{2} =5]
[eqn: {x ^{2}} over {5} + {y ^{2}} over {9} =1]

해

설

48   [eqn: ⑤]

답

주어진 방정식을 변형하면
[eqn: {x ^{2}} over {3 ^{2}} + {LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2}} over {2 ^{2}} =1]
즉, 타원 [eqn: {x ^{2}} over {3 ^{2}} + {y ^{2}} over {2 ^{2}} =1]을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이다.
이때, 타원 [eqn: {x ^{2}} over {3 ^{2}} + {y ^{2}} over {2 ^{2}} =1]의 장축의 길이는 [eqn: 2·3=6,] 단축의 길이는 [eqn: 2·2=4,`] 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( ± sqrt {3 ^{2} -2 ^{2}} ,~0 RIGHT ) = LEFT ( ± sqrt {5} ,~0 RIGHT )]이므로
[eqn: m-6,`n=4,`p= sqrt {5} ,`q=1]
[eqn: THEREFORE m+n+p+q=6+4+ sqrt {5} +1=11+ sqrt {5}]

해

설

49   [eqn: ②]

답

[eqn: x ^{2} + {y ^{2}} over {9} =1]의 장축의 길이가 [eqn: 2·3=6], 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~± sqrt {9-1} RIGHT ) = LEFT ( 0,~±2 sqrt {2} RIGHT )]
[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} + {y ^{2}} over {9} =1]의 장축의 길이는 [eqn: 6,] 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,~±2 sqrt {2} RIGHT )]이다.
[eqn: THEREFORE m=6,`~p=-1,~`q=2 sqrt {2} ``]
[eqn: THEREFORE mp`q=-12 sqrt {2} `]

해

설

50   [eqn: ②]

답

해

설

[eqn: {x ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {5} =1]의 장축의 길이는 [eqn: 2·3=6], 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( ± sqrt {9-5} ,~0 RIGHT )], 즉[eqn: LEFT ( ±2,~0 RIGHT )]이다.
오른쪽 그림에서 두점 [eqn: rmC,`D]는 타원의 초점이므로 타원의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{CA}} + {bar{DA}} = {bar{CB}} + {bar{DB}} =6]
따라서[eqn: TRIANGLE rmABC]의 둘레의 길이는
[eqn: LEFT ( rm {bar{CA}} + {bar{DA}} RIGHT ) + LEFT ( rm {bar{CB}} + {bar{DB}} RIGHT ) =6+6=12]

51   [eqn: ①]

답

초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( ± sqrt {4-1} ,~0 RIGHT ) = LEFT ( ± sqrt {3} ,~0 RIGHT )]이때, [eqn: rm {bar{PF prime }} it =m,` rm {bar{PF}} it =n]이라고 하면 타원의 정의에 의하여 [eqn: m+n=4~~~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
[eqn: anglermFPF'=90DEG]이므로 [eqn: m ^{2} +n ^{2} =12`cdots CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 [eqn: mn=2~~~ THEREFORE TRIANGLE rmFPF prime it= {1} over {2} mn=1]

해

설

52   [eqn: ③]

답

점 [eqn: rm P`it LEFT ( a,~b RIGHT )]라고 하면 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =4~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
이때, [eqn: rm P prime `it LEFT ( a,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: rmbarPP']의 중점의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,~ {b} over {2} RIGHT )]
이때, [eqn: rm Q prime ` it LEFT ( x,~y RIGHT )]라고 하면 [eqn: x=a,`y= {b} over {2} ~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉡]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4]

해

설

53   [eqn: ②]

답

표준형으로 고치면 [eqn: {LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}} over {18} + {LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2}} over {2} =1]
따라서 장축은 [eqn: x]축과 평행하다.

해

설

54   [eqn: 12]

답

오른쪽 초점 [eqn: rmF]에서 [eqn: 6]개의 교점에 이르는 거리를 반시계 방향으로 [eqn: d _{1,`} d _{2} ,`cdots,`d _{6}]이라고 하면
[eqn: d _{1} +d _{4} =d _{2} +d _{5} =d _{3} +d _{6} =4~~~ THEREFORE sum _{i=1} ^{6} d _{i} =12]

해

설

55   [eqn: ④]

답

초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( ± sqrt {8-4} ,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: rm {bar{FF prime }} =4]
타원의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{PF prime }} + rm {bar{PF}} =2·2 sqrt {2} =4 sqrt {2}]
따라서 [eqn: TRIANGLE rmPFF']의 둘레의 길이는 [eqn: 4+4 sqrt {2} =4 LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )]

해

설

56   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: - sqrt {3} <k< sqrt {3}] [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: k=± sqrt {3}]
[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: k<`- sqrt {3}] 또는 [eqn: k> sqrt {3}]

답

[eqn: x ^{2} +2y ^{2} =2]와 [eqn: y=x+k]를 연립하여 정리하면
[eqn: 3x ^{2} +4kx+2k ^{2} -2=0]
[eqn: {D} over {4} = LEFT ( 2k RIGHT ) ^{2} -3 LEFT ( 2k ^{2} -2 RIGHT ) =-2 LEFT ( k ^{2} -3 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {D} over {4} =-2 LEFT ( k ^{2} -3 RIGHT ) >0~~~k ^{2} -3<0]
[eqn: therefore- sqrt {3} <k< sqrt {3}]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: {D} over {4} =-2 LEFT ( k ^{2} -3 RIGHT ) =0~~~ THEREFORE k± sqrt {3}]
[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: {D} over {4} =-2 LEFT ( k ^{2} -3 RIGHT ) <0~~~k ^{2} -3>0]
[eqn: thereforek<`- sqrt {3}] 또는 [eqn: k> sqrt {3}]

해

설

57   [eqn: therefore`y=x±5]

답

[eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} +b ^{2}}]에서
[eqn: y=1·x± sqrt {16·1 ^{2} +9} ~~~thereforey=±5]

해

설

58  [eqn: y=-x+3]

답

[eqn: {x _{1} x} over {6} + {y _{1} y} over {3} =1]  [eqn: {2·x} over {6} + {1·y} over {3} =1]
[eqn: therefore`y=-x+3]

해

설

59   [eqn: ②]

답

해

설

타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {5} =1]에서 [eqn: a ^{2} =4,`b ^{2} =5]
또, 직선 [eqn: y=x+5]와 평행한 접선의 기울기는 [eqn: 1]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y=1·x± sqrt {4·1 ^{2} +5} =x+3]
따라서 구하는 최솟값은 직선 [eqn: y=x+5]와 직선 [eqn: y=x+3] 사이의 거리이다.
이때, 직선 [eqn: y=x+5] 위의 한 점 [eqn: LEFT ( 0,~5 RIGHT )]에서 직선 [eqn: x-y+3=0]에 이르는 거리는 [eqn: {LEFT | 0-5+3 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}} = sqrt {2}]
따라서 구하는 최솟값은 [eqn: sqrt {2}]이다.

60   [eqn: ⑤]

답

[eqn: y=x]에 수직인 접선은 기울기가 [eqn: -1]이므로 [eqn: y=-x± sqrt {4· LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +1} =-x± sqrt {5}]
따라서 타원의 중심 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]에서 접선 [eqn: x+y± sqrt {5} =0]에 이르는 거리는
[eqn: {LEFT | ± sqrt {5} RIGHT |} over {sqrt {2}} = {sqrt {10}} over {2}]

해

설

61   [eqn: ④]

답

해

설

타원 [eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {2} =1]위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {2·x} over {8} + {1·y} over {2} =1,`]즉 [eqn: {x} over {4} + {y} over {2} =1]
따라서 접선의 [eqn: x]절편은 [eqn: 4], [eqn: y]절편은 [eqn: 2]이므로 구하는 삼각형의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times4times2=4]

62

[eqn: ②]

답

점 [eqn: rmA LEFT ( 3,~2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {x} over {4} + {y} over {8} =1]이고, 점 [eqn: rmB]에서의 점선은 점 [eqn: rmA]에서의 접선과 [eqn: y]축 대칭이므로 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~8 RIGHT )]이다.
따라서 [eqn: TRIANGLE rmABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times6times LEFT ( 8-2 RIGHT ) =18]

해

설

63   [eqn: ①]

답

구하는 접선의 기울기 [eqn: m]이라고 하면 타원의 방정식 [eqn: {x ^{2}} over {{1} over {2}} + {y ^{2}} over {{9} over {2}} =1]에서 [eqn: a ^{2} = {1} over {2}], [eqn: b ^{2} = {9} over {2}]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y=mx± sqrt {{1} over {2} ·m ^{2} + {9} over {2}}]
이때, 이 접선은 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]를 지나므로
[eqn: 2=m± sqrt {{1} over {2} ·m ^{2} + {9} over {2}}]
[eqn: 2-m=± sqrt {{1} over {2} ·m ^{2} + {9} over {2}}]
양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: m ^{2} -8m-1=0]
따라서 구하는 두 접선의 기울기의 곱은 이차방정식의 근과 계수에 의하여 [eqn: -1]이다.

해

설

64  [eqn: ①]

답

접점을 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]이라 하면 접선의 방정식은 [eqn: 2x _{1} x+3y _{1} y=6]이고, 점 [eqn: LEFT ( -2,~0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: x _{1} =- {3} over {2}] [eqn: 2x _{1} ^{2} +3y _{1} ^{2} =6]에서 [eqn: y _{1} =± {sqrt {2}} over {2}]
따라서 두 접점 사이의 거리는 [eqn: 2· {sqrt {2}} over {2} = sqrt {2}]

해

설

65   [eqn: ②]

답

[eqn: rmF LEFT ( sqrt {8-4} ,~0 RIGHT ) ,~A LEFT ( 0,~2 RIGHT )]이므로 [eqn: {dyad{rmAF}}]의 기울기는 [eqn: -1]이다.
[eqn: therefore-x± sqrt {8· LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +4}]      [eqn: thereforey=-x±2 sqrt {3}]

해

설

66   [eqn: 6]

답

점 [eqn: rm P LEFT ( ita,~b RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: ax+2by=6]이므로 [eqn: rmQ LEFT ( {6} over {a} ,~0 RIGHT )]이고 [eqn: rm H LEFT ( ita,~0 RIGHT )]이다.
[eqn: rm therefore {bar{OH}} · {bar{OQ}} =ita· {6} over {a}]

해

설

67   [eqn: ①]

답

접선의 방정식은 [eqn: {x _{1} x} over {2} +y _{1} y=1], 이때, [eqn: x] 절편이 [eqn: {2} over {x _{1}}], [eqn: y]절편이 [eqn: {1} over {y _{1}}]이므로 [eqn: rm TRIANGLE OAB=it {1} over {x _{1} y _{1}}]
한편, [eqn: {x _{1} ^{2}} over {2} +y _{1} ^{2} =1]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 [eqn: 1= {x _{1} ^{2}} over {2} +y _{1} ^{2} >= 2 sqrt {{x _{1} ^{2} y _{1} ^{2}} over {2}} = sqrt {2} x _{1} y _{1}]
[eqn: thereforex _{1} y _{1} <= {1} over {sqrt {2}}]    [eqn: thereforeS= {1} over {x _{1} y _{1}} >= sqrt {2}]

해

설

68   [eqn: ⑤]

답

접선의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면 [eqn: y=mx± sqrt {4m ^{2} +1}]
이 접선이 점 [eqn: rm rmP LEFT ( 1,~2 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 2-m=± sqrt {4m ^{2} +1}]
양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 3m ^{2} +4m-3=0]
이때, (두 근의 곱)[eqn: =-1]이므로 두 접선은 서로 직교한다. 따라서 구하는 각의 크기는 [eqn: 90DEG]이다.

해

설

69  [eqn: ④]

답

[eqn: 9 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} =36],
즉[eqn: {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}} over {4} + {LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}} over {9} =1]로 타원
[eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {9} =1]을 평행이동한 것이므로 타원이다.

해

설

70  [eqn: 48]

답

장축의 길이:[eqn: p=2·2 sqrt {2} =4 sqrt {2}]
단축의 길이:[eqn: q=2 sqrt {2}]
초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~± sqrt {8-2} RIGHT )], 즉 [eqn: LEFT ( 0,~± sqrt {6} RIGHT )]이므로 두 초점 사이의 거리는 [eqn: r=2 sqrt {6}]
[eqn: thereforep ^{2} -q ^{2} +r ^{2} =32-8+24=48]

해

설

71  [eqn: 36]

답

두 점 [eqn: LEFT ( ±2,~0 RIGHT )]을 타원의 방정식에 대입하면 [eqn: a ^{2} =4]
기울기가 [eqn: 2]인 접선의 방정식은 [eqn: y=2x± sqrt {4·2 ^{2} +b ^{2}}]에서 [eqn: sqrt {4·2 ^{2} +b ^{2}} =5~~~thereforeb ^{2} =9]
[eqn: thereforea ^{2} b ^{2} =4·9=36]

해

설

72  [eqn: ③]

답

[eqn: m+n=8]이므로 [eqn: m ^{2} +n ^{2} =2 LEFT ( m-4 RIGHT ) ^{2} +32]
따라서 [eqn: m ^{2} +n ^{2}]의 최솟값은 [eqn: m=4,`n=4]일 때 [eqn: 32]이다.

해

설

73   [eqn: ⑤]

답

[eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1]의 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( ± sqrt {9+16} ,~0 RIGHT )], 즉 [eqn: LEFT ( ±5,`0 RIGHT )]이므로 [eqn: TRIANGLE rmAFF']의 넓이는
[eqn: {1} over {2} times10times2=10]

해

설

74  [eqn: ④]

답

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =±1]이라고 하면
점근선의 방정식에서 [eqn: {b} over {a} =2]
[eqn: THEREFORE b=2a`~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
또한, 점 [eqn: LEFT ( 1,~-1 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: {1} over {a ^{2}} - {1} over {b ^{2}} =±1`cdotscdots㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 [eqn: a ^{2} = {3} over {4} ,`b ^{2} =3]이고 [eqn: ㉡]에서 [eqn: {1} over {a ^{2}} - {1} over {b ^{2}} =1]만 성립한다.
따라서 두 초점이 좌표는 [eqn: LEFT ( ± {3} over {4} +3,~0 RIGHT )]이고, 두 초점 사이의 거리는 [eqn: sqrt {15}]이다.

해

설

75  [eqn: ②]

답

[eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {3} =1]에서 기울기가 [eqn: 1]인 접선의 방정식은 [eqn: y=x± sqrt {4-3} =x±1]
따라서 두 삼각형의 넓이는 [eqn: 2· LEFT ( {1} over {2} ·1·1 RIGHT ) =1]

해

설

76   [eqn: ①]

답

타원의 중심이 원점, 장축이 [eqn: x]축 위에 있도록 좌표축을 설정하고, 제[eqn: 1]사분면의 직사각형의 꼭짓점을 [eqn: LEFT ( a,`~b RIGHT )]라고 하면 직사각형의 넓이 [eqn: S]는
[eqn: S` it =4ab]
점 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]는 타원 위에 있으므로 [eqn: 4a ^{2} +25b ^{2} =100]
산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
[eqn: {100} over {2} = {4a ^{2} +25b ^{2}} over {2} >= sqrt {100a ^{2} b ^{2}} =10ab]
[eqn: THEREFORE S=4ab <= 20]

해

설

77   [eqn: ②]

답

타원의 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~±3 RIGHT )]이므로
쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =-1]이라고 하면
[eqn: a ^{2} +b ^{2} =9,~2b=2]
[eqn: THEREFORE a ^{2} =8,`b ^{2} =1~~therefore {x ^{2}} over {8} -y ^{2} =-1]

해

설

78   [eqn: ①]

답

접점을 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]이라 하면, 접선의 방정식은 [eqn: x _{1} x+4y _{1} y=20]이고, 점[eqn: LEFT ( 3,~2 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 3x _{1} +8y _{1} =20~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
점 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]은 타원 위의 점이므로 [eqn: x _{1} ^{2} +4y _{1} ^{2} =20`~~~~~~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 접점 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]은 [eqn: LEFT ( 4,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( {4} over {5} ,~ {11} over {5} RIGHT )]
[eqn: thereforey-1= {1- {11} over {5}} over {4- {4} over {5}} LEFT ( x-4 RIGHT ) ~~~therefore3x+8y=20]

해

설

79   [eqn: ⑤]

답

[eqn: rmF LEFT ( 2,~0 RIGHT ) ,`A LEFT ( 0,~-1 RIGHT )]이므로 타원의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 이라고 하면 [eqn: b ^{2} =1,`2 ^{2} =a ^{2} -b ^{2}]에서
[eqn: a ^{2} =5] 따라서 장축의 길이는 [eqn: 2 sqrt {5}]이다.

해

설

기하와 벡터	Ⅰ. 평면 곡선		1. 이차곡선			정답
	03 쌍곡선

01   ③

답

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이라고 하면 [eqn: LEFT | rm {bar{PA}} - {bar{PB}} RIGHT | = it 2a=8]  [eqn: thereforea=4]
초점이 [eqn: LEFT ( +-5,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: b ^{2} =5 ^{2} -4 ^{2} =9]
[eqn: THEREFORE b=3]    [eqn: THEREFORE a ^{2} -b ^{2} =16-9=7]

해

설

02   ③

답

포물선의 초점은 [eqn: y ^{2} =12x=4·3·x]에서 [eqn: LEFT ( 3,~0 RIGHT )]이므로
[eqn: 3 sqrt {a ^{2} +b ^{2}}]    [eqn: thereforea ^{2} +b ^{2} =9]

해

설

03   ①

답

[eqn: rmF LEFT ( -4,~0 RIGHT ) ,~C LEFT ( 4,~0 RIGHT )]은 쌍곡선의 두 초점이고, 주축의 길이가 [eqn: 6]이므로 [eqn: rm {bar{AC}} - {bar{AF}} =6]     ……㉠
[eqn: rm {bar{BC}} - {bar{BF}} =6]                          ……㉡
㉠[eqn: +]㉡에서 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AC}} + {bar{BC}} -12]        ……㉢
㉢을 [eqn: rm {bar{AC}} += {bar{BC}} + {bar{AB}} =18]에 대임하면
[eqn: rm {bar{AC}} + {bar{BC}} =15~]    [eqn: rmTHEREFORE {bar{AB}} =3]

해

설

04   ⑤

답

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이라고 하면
[eqn: {1} over {a ^{2}} - {4} over {b ^{2}} =1,~ {b} over {a} =±3~~ THEREFORE a ^{2} = {5} over {9} ,~b ^{2} =5]
따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 [eqn: 9x ^{2} -y ^{2} =5]
[eqn: THEREFORE m+n=9+ LEFT ( -1 RIGHT ) =8]

해

설

05   ①

답

해

설

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {2} =-1]위의 점 [eqn: LEFT ( -2,~-2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: x-2y=2]

[eqn: therefore {1} over {2} times2times1=1]

06   ②

답

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} -u ^{2} =1]에 접하고 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은 [eqn: y=mx± sqrt {4m ^{2} -1}]
이 접선이 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: 0=m± sqrt {4m ^{2} -1}]  [eqn: thereforem=± {1} over {sqrt {3}}]
[eqn: THEREFORE m _{1} m _{2} = LEFT ( - {1} over {sqrt {3}} RIGHT ) · LEFT ( {1} over {sqrt {3}} RIGHT ) =- {1} over {3}]

해

설

07  ②

답

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{PF prime }} - {bar{PF}} = {bar{P'F}} - {bar{P'F'}}]
[eqn: therefore rm {bar{PF}} - {bar{P'F}} = {bar{PF'}} + {bar{P prime F prime }} = {16} over {2} =8]

해

설

08   ③

답

[eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {3} =1]에서 두 초점의 좌표는 각각 [eqn: rm F LEFT ( 2,~0 RIGHT ) ,~F prime LEFT ( -2,~0 RIGHT )]이다.
[eqn: TRIANGLE rmPF'F]에서
[eqn: rm {bar{PF prime }} + rm {bar{PF}} + rm {bar{FF prime }} =12][eqn: THEREFORE rm {bar{PF prime }} + rm {bar{PF}} =8~ LEFT ( BECAUSE {bar{FPF prime }} =4 RIGHT )]
쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: LEFT | rm {bar{PF'}} - {bar{PF}} RIGHT | =2]
[eqn: LEFT | rm {bar{PF}} ^{2} - {bar{PF}} ^{2} RIGHT | = LEFT | {bar{PF}} + {bar{PF'}} RIGHT | LEFT | {bar{PF}} - {bar{PF'}} RIGHT | =16]

해

설

09   ③

답

[eqn: {x ^{2}} over {LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2}} - {y ^{2}} over {3 ^{2}} =1]이므로 쌍고건 위의 점 [eqn: rmP]에서 두 초점까지의 거리의 차는 [eqn: 3]이다.
[eqn: rm {bar{PF}} = it x]라고 하면 [eqn: rm {bar{PF prime }} - rm {bar{PF}} =3]에서 [eqn: rm {bar{PF prime }} =itx+3]이고, [eqn: TRIANGLE rmPF'F]는 직각삼각형이므로
[eqn: rm {bar{F prime F}} ^{2} = rm {bar{PF prime }} ^{2} + {bar{PF}} ^{2} ,` LEFT ( 3 sqrt {5} RIGHT ) = LEFT ( it x+3 RIGHT ) ^{2} +x ^{2}]에서
[eqn: x ^{2} +3x-18=0,~ LEFT ( x+6 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE x=3` LEFT ( BECAUSE x>0 RIGHT )]

해

설

10  ③

답

주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식은 [eqn: y=± {2} over {5} x]
직선 [eqn: y=mx+n]이 [eqn: n]의 값에 관계없이 항상 주어진 쌍곡선과의 교점을 가지려면 [eqn: m]의 값의 범위가 [eqn: - {2} over {5} <m< {2} over {5}]이어야 한다.
따라서 보기 중에서 [eqn: m]의 값이 될 수 있는 것은[eqn: {1} over {3}]이다.

해

설

11   ⑤

답

타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} - {y ^{2}} over {9} =1]의 초점의 좌표는 [eqn: rm F LEFT ( 4,~0,~ RIGHT ) ,`F prime LEFT ( -4,~0 RIGHT )]이므로 두 초점은 원의 지름의 양 끝 점이다.
[eqn: rm {bar{PF prime }} = it a,~ rm {bar{PF}} =itb]라고 하면 [eqn: a+b=10]이고, [eqn: anglermF'PF=90DEG]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =8 ^{2}]
[eqn: THEREFORE ab=18]
[eqn: THEREFORE LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2ab=64-36=28]
[eqn: thereforea-b=2 sqrt {7}]
따라서 구하는 주축의 길이는 [eqn: 2 sqrt {7}]이다.

해

설

12   ④

답

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a} - {y ^{2}} over {2} =1]에 접하고 기울기가 [eqn: 3]인 직선의 방정식은
[eqn: y=3x± sqrt {a·3 ^{2} -2} =3x± sqrt {9a-2}]
이때, [eqn: sqrt {9a-2} =5]이어야 하므로 [eqn: 9a-2=25]
[eqn: thereforea=3]
따라서 쌍곡선의 두 초점이 좌표는 [eqn: LEFT ( sqrt {5} ,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( - sqrt {5} ,~0 RIGHT )]이므로 구하는 두 초점 사이의 거리는 [eqn: 2 sqrt {5}]이다.

해

설

13   ①

답

[eqn: 2x ^{2} -3y ^{2} =6]에서 [eqn: {x ^{2}} over {3} - {y ^{2}} over {2} =1]이므로 기기울기가 [eqn: m]인 접선의 방정식은
[eqn: y=ma± sqrt {3m ^{2} -2}]      ……㉠
이때, 접선 [eqn: ㉠]이점 [eqn: rmP LEFT ( 2,~1 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: 1=2m± sqrt {3m ^{2} -2}]
[eqn: thereforem=1]또는 [eqn: m=3]
[eqn: thereforetanalpha+tan`beta=1+3=4]

해

설

14   [eqn: 120]

답

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1]의 초점의 좌표는 [eqn: rmF LEFT ( 5,~0 RIGHT ) ,~F' LEFT ( -5,~0 RIGHT )]이고 주축의 길이가 [eqn: 6]이므로 [eqn: c-a=6,~b= rm {bar{FF prime }} =10]
이때, [eqn: a,~b,~c]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: a+c=2b]
[eqn: THEREFORE c ^{2} -a ^{2} = LEFT ( c-a RIGHT ) LEFT ( c+a RIGHT ) =6times2b=6times20=120]

해

설

15  ⑤

답

[eqn: rm {bar{AP}} = it a,~ rm {bar{PQ}} = it x,~ rm {bar{AQ}} = it y]라고 하면 직각삼각형 [eqn: rmAPQ]에서 [eqn: rm {bar{PQ}} ^{2} = {bar{AP}} ^{2} + rm {bar{AQ}} ^{2} ,~ it x ^{2} =a ^{2} +y ^{2}]
[eqn: THEREFORE x ^{2} -y ^{2} =a ^{2}]
따라서 점 [eqn: rmR]는 쌍곡선 위를 움직인다.

해

설

16   ④

답

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {16} - {y ^{2}} over {9} =1]의 초점의 좌표는 [eqn: rm F LEFT ( 5,~0 RIGHT ) ,~F prime LEFT ( -5,~0 RIGHT ) ~ {bar{PF}} = it a,~~ {bar{rm PF prime it}} it =b]라고 하면 [eqn: TRIANGLE rmPF'F]에서 [eqn: 10 ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -2ab`cos`60DEG]
[eqn: therefore10 ^{2} =a ^{2} +b ^{2} -ab]
쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: LEFT | a-b RIGHT | =8]이므로
[eqn: a ^{2} -2ab+b ^{2} =64]        [eqn: THEREFORE ab=36]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm PF prime F= {1} over {2} it ab`sin`60 DEG]
[eqn: = {1} over {2} ·36· {sqrt {3}} over {2} =9 sqrt {3}]

해

설

17   ⑤

답

접선의 방정식은 [eqn: {8x} over {8} - {6y} over {4} =-1]  [eqn: THEREFORE y= {2} over {3} x+ {2} over {3}]
[eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( -1,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( 0,~ {2} over {3} RIGHT )]이므로
(구하는 넓이)[eqn: = {1} over {2} times1times {2} over {3} = {1} over {3}]

해

설

18  ①

답

두 초점의 좌표는 [eqn: rmF LEFT ( 3,~0 RIGHT ) ,~F' LEFT ( -3,~0 RIGHT )]
[eqn: □rmF prime QEP=2times TRIANGLE FPF prime =24]에서 [eqn: LEFT | b RIGHT | =4]
점 [eqn: rm P it LEFT ( a,~b RIGHT )]는 쌍곡선 위의 점이므로 [eqn: {a ^{2}} over {5} - {b ^{2}} over {4} =1]에서 [eqn: LEFT | a RIGHT | =5]   [eqn: THEREFORE LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT | =9]

해

설

19   ①

답

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} -y ^{2} =-1]에 접하고 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정식은 [eqn: y=mx± sqrt {1-9m ^{2}}]
이 접선이 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: 0=2m± sqrt {1-9m ^{2}}]
[eqn: thereforem=± {1} over {sqrt {13}}]   [eqn: thereforem _{1} m _{2} =- {1} over {13}]

해

설

20   [eqn: 3]

답

접선의 방정식 [eqn: 2x-y=3]과 쌍곡선의 두 점근선 [eqn: y=±x]의 교점은 [eqn: rmP LEFT ( 1,~-1 RIGHT ) ,~Q LEFT ( 3,~3 RIGHT )]또한 [eqn: TRIANGLE rmOPQ]에서 [eqn: ANGLE rm O=90 DEG ,~ {bar{OP}} = sqrt {2} ,~ {bar{OQ}} =3 sqrt {2}]이므로
([eqn: TRIANGLE rmOPQ]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {2} TIMES 3 sqrt {2} =3]

해

설

21  [eqn: {x ^{2}} over {5} - {y ^{2}} over {4} =1]

답

22  [eqn: 2x ^{2} -2y ^{2} =1]

답

23   [eqn: 3x-2y=1]

답

24   [eqn: 4x ^{2} -y ^{2} =±16]

답

두 동점 [eqn: rmP,`Q]의 좌표를 각각 [eqn: rmP`it LEFT ( t,~2t RIGHT ) ,`rmQ`it LEFT ( s,~-2s RIGHT )]라 하면 [eqn: TRIANGLE rm OPQ` it = {1} over {2} LEFT | t· LEFT ( -2s RIGHT ) -2t·s RIGHT | =2 LEFT | st RIGHT | =8]
에서 [eqn: LEFT | st RIGHT | =4]
이때, [eqn: rmbarPQ]의 중점은 [eqn: LEFT ( {t+s} over {2} ,t-s RIGHT )]이므로
[eqn: {cases{x= {t+s} over {2}&#y=t-s&}} `,~` {cases{t= {1} over {2} LEFT ( 2x+y RIGHT )&#s= {1} over {2} LEFT ( 2x-y RIGHT )&}} `~~][eqn: THEREFORE LEFT | {LEFT ( 2x+y RIGHT )} over {2} · {LEFT ( 2x-y RIGHT )} over {2} RIGHT | =4]
따라서 구하는 자취의 방정식은 [eqn: 4x ^{2} -y ^{2} =±16]

해

설

25   [eqn: 4]

답

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: LEFT ( 0,~y RIGHT )]라고 하면, 점[eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선 위의 점이므로 [eqn: rm Q`it LEFT ( x,~y RIGHT )]로 놓을 수 있다. [eqn: rm {bar{PA}} =barPQ```]에서 [eqn: sqrt {2 ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2}} = LEFT | x RIGHT | ,`4+ LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =x,`# x ^{2} - LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =4`~~~ THEREFORE {x ^{2}} over {4} - {LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2}} over {4} =1]
따라서 점 [eqn: rmQ]의 자취는 쌍곡선이고, 주축의 길이는 4이다.

해

설

26   ④

답

원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 [eqn: rm {bar{PX}} = {bar{FX}}]이므로
[eqn: rm {bar{XF}} = {bar{XO}} = {bar{XP}} - {bar{XP}} =itr] (일정)
따라서 두 정점 [eqn: rm O,`F]에서 동점 [eqn: rmX]까지의 거리의 차 [eqn: rm {bar{XF}} - rm {bar{XO}}]가 일정하므로 점 [eqn: rmX]의 자취는 두 정점 [eqn: rmO,`F]를 초점으로 하는 쌍곡선의 일부이다.

해

설

27   ⑤

답

쌍곡선의 방정식 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {3} =1]의 양변에 [eqn: 12]를 곱하면 [eqn: 3x ^{2} -4y ^{2} =12]이므로 기울기가 [eqn: sqrt {3}]인 접선을 [eqn: y= sqrt {3} x+k]로 놓고 [eqn: 3x ^{2} -4y ^{2} =12]에 대입하여 정리하면 [eqn: 3x ^{2} -4 LEFT ( sqrt {3} x+k RIGHT ) ^{2} =12]
[eqn: therefore9x ^{2} +8 sqrt {3} kx+ LEFT ( 4k ^{2} +12 RIGHT ) =0]
이것이 중근을 가져야 하므로 [eqn: {D} over {4} =48k ^{2} -9 LEFT ( 4k ^{2} +12 RIGHT ) =0]에서 [eqn: k ^{2} =9] [eqn: thereforek=±3]
즉, 기울기가 [eqn: sqrt {3}]인 접선은 [eqn: y= sqrt {3} x+3]과 [eqn: y= sqrt {3} x-3]이므로 직선[eqn: y= sqrt {3} x+3] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~3 RIGHT )]에서 직선 [eqn: sqrt {3} x-y-3=0]에 이르는 거리는 [eqn: {LEFT | 0-3-3 RIGHT |} over {sqrt {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}} = {6} over {2} =3]

해

설

28   ⑤

답

접선의 방정식은 [eqn: 3x-2y=5], 점근선의 방정식은 [eqn: y=±x]이므로 교점의 좌표는 [eqn: rmP LEFT ( 5,~5 RIGHT ) ,`Q LEFT ( 1,~-1 RIGHT )]이다. 따라서 구하는 [eqn: TRIANGLE rmOPQ]의 넓이는 [eqn: 5]이다.

해

설

29   ①

답

점 [eqn: rmP`it LEFT ( p,~q RIGHT )]를 지나는 접선은 [eqn: y=m LEFT ( x-p RIGHT ) +p]이므로 쌍곡선의 식에 대입하고 정리하면 [eqn: LEFT ( 3-4m ^{2} RIGHT ) x ^{2} +2·4m LEFT ( pm-q RIGHT ) x-4 LEFT { LEFT ( pm-q RIGHT ) ^{2} +3 RIGHT } =0]
이고, 판별식 [eqn: {D} over {4} =0]에서 [eqn: LEFT ( pm-q RIGHT ) ^{2} +3-4m ^{2} =0]
이 식을 [eqn: m]에 대하여 정리하면 [eqn: LEFT ( p ^{2} -4 RIGHT ) m ^{2} -2pqm+q ^{2} +3=0]이고, 두 접선은 직교하므로 근과 계수의 관계에서 [eqn: {q ^{2} +3} over {p ^{2} -4} =-1~~thereforep ^{2} +q ^{2} =1]
따라서 점[eqn: rmP]는 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]위를 움직인다.

해

설

30  ④

답

해

설

쌍곡선 [eqn: 3x ^{2} -y ^{2} +6y=0]을 표준형으로 고치면
[eqn: 3x ^{2} - LEFT ( y ^{2} -3 RIGHT ) =-9,`# {x ^{2}} over {3} - {LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2}} over {9} =-1]
이때, 쌍곡선의 점근선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {3} - {LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2}} over {9} =0]에서 [eqn: y=± sqrt {3x} +3]
즉, 점[eqn: LEFT ( 0,~3 RIGHT )]을 지나고, 기울기가 [eqn: m]인 직선이 쌍곡선 [eqn: 3x ^{2} -y ^{2} +6y=0]과 만나지 않기 위해서는 오른쪽 그림과 같이 [eqn: - sqrt {3} <= `m<=3]

31   ④

답

방정식 [eqn: 4x ^{2} -9y ^{2} -8x-36y-68=0]을 변형하면
[eqn: {LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}} over {9} - {LEFT ( y+2 RIGHT ) ^{2}} over {4} =1]
쌍곡선[eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {4} =1]의 점근선의 방정식이 [eqn: y=± {2} over {3} x]이므로 구하는 점근선의 방정식은 [eqn: y+2=± {2} over {3} LEFT ( x-1 RIGHT )]
따라서 [eqn: y= {2} over {3} x- {8} over {3} ,`y=- {2} over {3} x- {4} over {3}]

해

설

32   ④

답

[eqn: {x ^{2}} over {16} - {y ^{2}} over {9} =1]에서  [eqn: c ^{2} =16+9=25]이므로
[eqn: rm F prime LEFT ( -5,~0 RIGHT ) , rm `F LEFT ( 5,~0 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE lim _{m -> INF } {`tan` theta } `= lim _{m-> INF } {` {n} over {m+rmbarOF'}} = {3} over {4}]

해

설

33  [eqn: 6 rm sqrt {3}]

답

해

설

[eqn: {dyad{rmAB}}]를 [eqn: x]축， [eqn: rmbarAB]의 중점을 원점으로 하는 좌표평면을 생각하면[eqn: rmA LEFT ( -10,~0 RIGHT ) ,`rmB LEFT ( 10,~0 RIGHT )]으로 놓을 수 있다. [eqn: 3]시 정각과 [eqn: 3]시 [eqn: 32]분의 배의 위치를 각각 [eqn: rmP,`Q]라 하면 [eqn: LEFT | rm {bar{PA}} - {bar{PB}} RIGHT | = LEFT | rm {bar{QA}} - {bar{QB}} RIGHT | =16]이므로 [eqn: rmP,`Q]는 [eqn: rmA,`B]가 초점인 쌍곡선 위에 있다.[eqn: 2a=16]에서 [eqn: a=8]이고， [eqn: b= sqrt {10 ^{2} -8 ^{2}} =6]이다
따라서 쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {64} - {y ^{2}} over {36} =1`cdotscdots㉠]
한편, 배의 속력이 [eqn: 1rmkm/]분이므로 [eqn: 32]분간 움직인 거리는 [eqn: rm {bar{PQ}} =32]이고 [eqn: rmP,`Q]는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 16]이다
[eqn: ㉠]에 [eqn: x=16]을 대입하면 [eqn: y=6 sqrt {3} LEFT ( BECAUSE y>0 RIGHT )]
따라서 배에서 직선 [eqn: rmAB]사이의 거리는 [eqn: 6 rm sqrt {3} km]이다.

34  [eqn: {x ^{2}} over {10000} - {y ^{2}} over {30000} =1]

답

[eqn: rmP]는 [eqn: rmA,`B]를 초점으로 하고 주축의 길이 [eqn: 2a= LEFT | rm {bar{PA}} - {bar{PB}} RIGHT | =200]인 쌍곡선 위에 있다.
[eqn: c=200]이고 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =200 ^{2}]에서 [eqn: b ^{2} =40000-10000=30000]
따라서 쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {10000} - {y ^{2}} over {20000} =1]

해

설

35  [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +d ^{2} =36]

답

쌍곡선[eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {4} =1]에서 [eqn: c ^{2} =1+4=5]이므로 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( sqrt {5,~0} RIGHT ) ,` LEFT ( - sqrt {5,~0} RIGHT )]이다.
한편, 주어진 쌍곡선의 방정식은 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} - {LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2}} over {4} =1]이므로 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {4} =1]
을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이다. 따라서 초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 3+ sqrt {5} ,`2 RIGHT ) ,` LEFT ( 3- sqrt {5} ,`2 RIGHT )]이므로
[eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +d ^{2} =36]

해

설

36  [eqn: 48]

답

쌍곡선[eqn: {x ^{2}} over {8} -y ^{2} =-1]에서 초점은 [eqn: LEFT ( 0,~± sqrt {8+1} RIGHT ) = LEFT ( 0,~±3 RIGHT )]이므로

해

설

[eqn: rmF LEFT ( 0,~3 RIGHT ) ,`F' LEFT ( 0,~-3 RIGHT )]

또, [eqn: y=-3]일 때, [eqn: {x ^{2}} over {8} -y ^{2} =-1]에서 [eqn: x=±8]
[eqn: THEREFORE rm A LEFT ( -8,~-3 RIGHT ) ,`B LEFT ( 8,~-3 RIGHT )]
[eqn: therefore TRIANGLE rmFAB= {1} over {2} rmbarAB`·barFF'`= {1} over {2} ·16·6=48]

37  [eqn: {1} over {sqrt {2}}]에 가까워진다.

답

[eqn: a]의 값이 한없이 커지면 직선 [eqn: rmAP]는 점근선 [eqn: y= {1} over {sqrt {2}} x]에 평행하게 되므로 기울기는 [eqn: {1} over {sqrt {2}}]에 가까워진다.

해

설

38  [eqn: 4]

답

쌍곡선[eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {3} =1]의 두 초점을 각각 [eqn: rmC,`D]라 면 두 초점의 좌표는[eqn: rm C LEFT ( -2,~0 RIGHT ) ,D LEFT ( 2,~0 RIGHT )]이다.
[eqn: rm {bar{AC}} - {bar{AD}} =2.` rm {bar{BC}} - {bar{BD}} =2]이고, [eqn: TRIANGLE rmABC]의 둘레의 길이가 [eqn: 12]이므로 [eqn: rm {bar{AC}} + {bar{AD}} +` rm {bar{BC}} + {bar{BD}} =12,` rm][eqn: rm {bar{AC}} - {bar{AD}} +` rm {bar{BC}} - {bar{BD}} =4`]에서 [eqn: 2 rm {bar{AD}} +2 {bar{BD}} =8]
[eqn: THEREFORE rm {bar{AB}} = {bar{AD}} + {bar{BD}} =4]

해

설

39  [eqn: TRIANGLE rm FPF prime it = {1} over {2} xy=24]

답

[eqn: c= sqrt {25+24} =7]이므로 [eqn: rmF LEFT ( 7,~0 RIGHT ) ,`F' LEFT ( -7,~0 RIGHT )]이고, [eqn: rm {bar{PF prime }} it =x,` {bar{rm PF prime it}} it =y LEFT ( x>y RIGHT )]로 놓으면

해

설

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =14 ^{2} =196]
한편, [eqn: rm {bar{PF prime }} - {bar{PF}} = it x-y=10](주축의 길이)에서
[eqn: x ^{2} +y ^{2} -2xy=100]
위의 식에서 [eqn: 2xy=96~~~ THEREFORE xy=48~]

40  [eqn: {15} over {16}]

답

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2 ^{2}} - {y ^{2}} over {1 ^{2}} =1]에서 초점의 좌표는 [eqn: rm F LEFT ( sqrt {5} ,~0 RIGHT ) ,`F LEFT ( - sqrt {5} ,~0 RIGHT )]
[eqn: rm {bar{AF}} : {bar{AF prime it}} it =1:2]에서 [eqn: rm {bar{AF` rm}} it =k,` rm {bar{AF prime rm}} it =2k`]라 하면 쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{AF}} - {bar{AF prime it rm}} it =k=4]
[eqn: TRIANGLE rm FPF prime]에서 [eqn: cos` theta = {k ^{2} + LEFT ( 2k RIGHT ) ^{2} - rm {bar{FF prime }} ` ^{2} it} over {2·k·2k}]
[eqn: = {16+64-20} over {64} = {15} over {16}]

해

설

41  ⑤

답

두 원의 중심 [eqn: rmA LEFT ( 4,~0 RIGHT ) ,`B LEFT ( -4,~0 RIGHT )]에 대하여 점 [eqn: rmP]에서 두 원까지의 최단거리는 [eqn: rm {bar{PA}} `-2,` rm {bar{PB}} `-1`]
최단거리가 같으므로 [eqn: rm {bar{PA}} - rm {bar{PB}} =1``]
따라서 점[eqn: rmP]의 자취는 쌍곡선의 일부분이다.

해

설

42  [eqn: 26]

답

임의의 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: A SUBSET B]가 성립하려면 원의 반지름의 길이가 원점에서 기울기가 [eqn: 1]인 쌍곡선의 접선까지의 거리보다 작거나 같아야 한다. 이때，
기울기가 [eqn: 1]인 쌍곡선의 접선의 방정식은
[eqn: y=x± sqrt {a ^{2} -10}] 원점에서 이 직선까지의 거리는
[eqn: {sqrt {a ^{2} -10}} over {sqrt {2}}]이므로 [eqn: {sqrt {a ^{2} -10}} over {sqrt {2}} >= 2 sqrt {2}] [eqn: THEREFORE a ^{2} >= 26]
따라서 [eqn: a ^{2}]의 최솟값은 [eqn: 26]이다.

해

설

43  [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: LEFT ( ±5,~0 RIGHT )]  [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: LEFT ( ±3,~0 RIGHT )]  [eqn: (3)][eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]
[eqn: (4)][eqn: 6]         [eqn: (5)][eqn: ± {4} over {3} x]

답

[eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1]에서 [eqn: a ^{2} =9,~b ^{2} =16]
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]초점의 좌표를 [eqn: LEFT ( ±c,~0 RIGHT )]이라고 하면
[eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2} =9+16=25]이므로 초점의 좌표는
[eqn: LEFT ( ±5,~0 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]꼭짓점의 좌표  [eqn: LEFT ( ±3,~0 RIGHT )]
[eqn: (3)]중심의 좌표  [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]
[eqn: (4)]장축의 길이  [eqn: 2a=2·3=6]
[eqn: (5)]단축의 길이  [eqn: y=± {b} over {a} x~~therefore± {4} over {3} x]

해

설

44   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: LEFT ( 0,~±5 RIGHT )]  [eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: LEFT ( 0,~±3 RIGHT )]  [eqn: (3)][eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]
[eqn: (4)][eqn: 6]         [eqn: (5)][eqn: ± {3} over {4} x]

답

[eqn: {x ^{2}} over {16} - {y ^{2}} over {9} =-1]에서 [eqn: a ^{2} =16,~b ^{2} =9]
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )]초점의 좌표를 [eqn: LEFT ( ±c,~0 RIGHT )]이라고 하면
[eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2} =16+9=25]이므로 초점의 좌표는
[eqn: LEFT ( 0,~±5 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )]꼭짓점의 좌표  [eqn: LEFT ( 0,~±3 RIGHT )]
[eqn: (3)]중심의 좌표  [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]
[eqn: (4)]장축의 길이  [eqn: 2b=2·3=6]
[eqn: (5)]단축의 길이  [eqn: y=± {b} over {a} x~~ THEREFORE ± {3} over {4} x]

해

설

45   [eqn: ⑤]

답

두 정점에서의 거리의 차가 [eqn: 4]이므로 구하는 자취는 쌍곡선이고, 그 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이라고 하면
(주축의 길이)[eqn: =2a=4~~~thereforea=2]
또, 두 점[eqn: rmF,`F']은 초점이므로 [eqn: c=3]
[eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]에서 [eqn: 3 ^{2} =2 ^{2} +b ^{2} ~~~thereforeb ^{2} =5]
따라서 구하는 쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {5} =1]
[eqn: therefore5x ^{2} -4y ^{2} =20]

해

설

46   [eqn: ③]

답

구하는 쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =-1]이라고 하면 [eqn: 2b=6~~~ THEREFORE b=3~~~c=4]
이므로 [eqn: 4 ^{2} =a ^{2} +b ^{2} =a ^{2} +3 ^{2} ~~~~ THEREFORE a ^{2} =7]
[eqn: therefore {x ^{2}} over {7} - {y ^{2}} over {9} =-1~~~therefore9x ^{2} -7y ^{2} =-63]

해

설

47   [eqn: ②]

답

초점이 [eqn: y]축 위에 있으므로 구하는 쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =-1]이라고 하면
주축의 길이가 [eqn: 4]이므로 [eqn: 2b=4~~~thereforeb=2]
또, [eqn: x= sqrt {5}]이므로  [eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]에서
[eqn: a ^{2} = LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2} -2 ^{2} =1]
이때, 쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {1} - {y ^{2}} over {4} =-1]
따라서 구하는 점근선의 방정식은 [eqn: y=± {b} over {a} x=± {2} over {1} x~~~y=±2x]
즉, 보기에서 쌍곡선의 점근선이 지나는 점은 [eqn: LEFT ( 2,~-1 RIGHT )]이다.

해

설

48   [eqn: ⑤]

답

구하는 쌍곡선의 방정식을[eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]
[eqn: LEFT ( a>0,~b>0 RIGHT )]이라고 하면 초점이 [eqn: LEFT ( ±6,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: 6 ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]
꼭짓점이 [eqn: LEFT ( ±4,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: {16} over {a ^{2}} =1~~~a ^{2} =16,`b ^{2} =20~~~ THEREFORE a=4,`b=2 sqrt {5}]
따라서 구하는 점근선의 방정식은 [eqn: y=± {2 sqrt {5}} over {4} x~~~ THEREFORE y=± {sqrt {5}} over {2} x]

해

설

49   [eqn: ④]

답

초점을 [eqn: LEFT ( ±c,~0 RIGHT )]이라고 하면 [eqn: c ^{2} =a ^{2} +b ^{2}]에서 [eqn: c ^{2} =9+4=13]
[eqn: THEREFORE rm F LEFT ( sqrt {13} ,~0 RIGHT ) ,`F' LEFT ( - sqrt {13} ,~0 RIGHT )]
한편, [eqn: rm {bar{PF prime }} it =x,` rm {bar{PF}} it =y LEFT ( x>y>0 RIGHT )]라고 하면
[eqn: x ^{2} +y ^{2} = rm {bar{FF}} ^{2} = LEFT ( 2 sqrt {13} RIGHT ) ^{2} =52~cdotscdots㉠]
또한, [eqn: rm {bar{PF prime }} it -` rm {bar{PF}} it =x-y=6](주축의 길이)
양변을 제곱하면 [eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) ^{2} =x ^{2} +y ^{2} -2xy=36~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠,-㉡]에서 [eqn: 2xy=16~~~thereforexy=8]
[eqn: THEREFORE TRIANGLE rm FPF prime = {1} over {2} itxy= {1} over {2} ·8=4]

해

설

50

[eqn: ⑤]

답

초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( ± sqrt {16+9} ,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: rm {bar{FF prime }} it =10]
쌍곡선의 정의에 의하여  [eqn: LEFT | rm {bar{PF prime }} it -` rm {bar{PF}} RIGHT | it =8]
주어진 조건에서 [eqn: rm {bar{PF prime }} =2 {bar{PF prime }}]이므로 [eqn: rm {bar{FF prime }} =2,` {bar{FF prime }} =16]
따라서 [eqn: TRIANGLE rmPFF']의 둘레의 길이는
[eqn: rm {bar{FF prime }} +` {bar{PF}} +` {bar{PF prime }} =10+8+16=34]

해

설

51  [eqn: 3x ^{2} -y ^{2} =12]

답

점 [eqn: rm P`it LEFT ( x,~y RIGHT )]에서 직선 [eqn: x=1]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면 [eqn: rm {bar{PF}} : {bar{PH}} =2:1]
즉, [eqn: rm 4 {bar{PF}} ^{2} : {bar{PF}} ^{2}]에서 [eqn: 4 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} = LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} ~~~therefore3x ^{2} -y ^{2} =12]

해

설

52  [eqn: ②]

답

초점이 [eqn: rm LEFT ( 0,~±4 RIGHT )]이므로 [eqn: 4 ^{2} =a ^{2} +b ^{2} cdotscdots㉠]
점근선이[eqn: y=± {b} over {a} x=± {1} over {sqrt {3}}]이므로 [eqn: a=b sqrt {3} cdotscdots㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 [eqn: b=2,`a=2 sqrt {3}]
따라서 보기에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {12} - {y ^{2}} over {4} =-1]
위의 점은 [eqn: LEFT ( 0,~-2 RIGHT )]이다.

해

설

53  [eqn: ⑤]

답

두 점 [eqn: rmC,`D]가 쌍곡선의 초점이므로 쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{AC}} rm - {bar{AD}} =2 sqrt {3} ,` {bar{BC}} - {bar{BD}} =2 sqrt {3} ,` {bar{AD}} + {bar{BD}} =2]
이므로 세 식을 변끼리 더하면 [eqn: rm {bar{AC}} rm + {bar{BC}} =4 sqrt {3} +2]
[eqn: therefore]([eqn: TRIANGLE rmABC]의 둘레의 길이)
[eqn: rm = {bar{AB}} rm + {bar{AC}} + {bar{BC}} =2+ LEFT ( 4 sqrt {3} +2 RIGHT ) =4 LEFT ( 1+ sqrt {3} RIGHT )]

해

설

54   [eqn: ①]

답

초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( ± sqrt {4+5} ,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: rm {bar{FF prime }} =6]
[eqn: rm {bar{PF prime }} : {bar{PF}} =3:1,` rm {bar{PF prime }} - {bar{PF}} =4`]이므로
[eqn: rm {bar{PF}} =2,` rm {bar{PF'}} =6]
[eqn: TRIANGLE rmPF'F]에서 코사인법칙을 적용하면 [eqn: cos` theta `= {2 ^{2} +6 ^{2} -6 ^{2}} over {2·2·6} = {1} over {6}]

해

설

55   [eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: k<`- sqrt {2}]또는 [eqn: k> sqrt {2}]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: k± sqrt {2}]   [eqn: LEFT ( 3 RIGHT )] [eqn: - sqrt {2} <k< sqrt {2}]

답

[eqn: 5x ^{2} -y ^{2} =-10]과 [eqn: y=2x+k]를 연립하면
[eqn: 5x ^{2} - LEFT ( 2x+k RIGHT ) ^{2} =-10]에서
[eqn: x ^{2} -4kx- LEFT ( k ^{2} -10 RIGHT ) =0]
[eqn: therefore {D} over {4} =4k ^{2} +k ^{2} -10=5 LEFT ( k ^{2} -2 RIGHT )]
[eqn: LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: {D} over {4} =5 LEFT ( k ^{2} -2 RIGHT ) >0]
[eqn: thereforek<`- sqrt {2}]또는 [eqn: k> sqrt {2}]
[eqn: LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: {D} over {4} =5 LEFT ( k ^{2} -2 RIGHT ) =0]
[eqn: thereforek± sqrt {2}]
[eqn: LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: {D} over {4} =5 LEFT ( k ^{2} -2 RIGHT ) <0]
[eqn: therefore- sqrt {2} <k< sqrt {2}]

해

설

56  [eqn: y=2x± sqrt {5}]

답

[eqn: y=mx± sqrt {a ^{2} m ^{2} -b ^{2}}]에서
[eqn: y=2x± sqrt {2·2 ^{2} -3}]
[eqn: thereforey=2x± sqrt {5}]

해

설

57   [eqn: y=x-1]

답

[eqn: {x _{1} x} over {4} - {y _{1} y} over {3} =1]에서 [eqn: {4x} over {4} - {3y} over {3} =1]
[eqn: thereforey=x-1]

해

설

58  [eqn: ③]

답

쌍곡선 [eqn: 4x ^{2} -y ^{2} =16]은 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {16} =1]이므로 기울기가 [eqn: 3]인 접선의 방정식은
[eqn: y=3x± sqrt {4·3 ^{2} -16}]   [eqn: =3x±2 sqrt {5}]
이때, 접선 [eqn: y=3x+2 sqrt {5}]위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~2 sqrt {5} RIGHT )]에서 접선 [eqn: 3x-y-2 sqrt {5} =0]에 이르는 거리는
[eqn: {LEFT | 3·0+ LEFT ( -1 RIGHT ) ·2 sqrt {5} -2 sqrt {5} RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}} = {4 sqrt {5}} over {sqrt {10}} =2 sqrt {2}]
따라서 두 접선의 거리는 [eqn: 2 sqrt {2}]

해

설

59   [eqn: ④]

답

[eqn: tan`60 DEG = sqrt {3}]이므로 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2} - {y ^{2}} over {2} =1]에서 기울기가 [eqn: sqrt {3}]인 접선의 방정식은 [eqn: y= sqrt {3} x± sqrt {2 LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -2} = sqrt {3} x±2]
따라서 접선의 [eqn: y]절편은 [eqn: ±2]

해

설

60   [eqn: ⑤]

답

쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =3] 위의 점[eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: 2x-1·y=3], 즉 [eqn: 2x-y=3]
한편, 점근선의 방정식은 [eqn: y=±x]
따라서 접선이 두 점근선과 만나는 점은
[eqn: rmP LEFT ( 3,~3 RIGHT ) ,`Q LEFT ( 1,~-1 RIGHT )]
[eqn: THEREFORE rm {bar{PQ}} = sqrt {LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3+1 RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {5}]

해

설

61   [eqn: ②]

답

점 [eqn: LEFT ( 2,~2 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: 2·2x-2y=4~~~therefore2x-y=2]
이때, 이 접선의 [eqn: x]절편은 [eqn: 1,`y]절편은 [eqn: -2]이므로 구하는 삼각형의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 1 it times2 TIMES =1]

해

설

62   [eqn: ③]

답

해

설

접점을 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]이라고 하면 쌍곡선의 접선의 방정식은
[eqn: x _{1} x-4y _{1} y=4]
이때, 이 접선은 점 [eqn: rm P LEFT ( 1,~0 RIGHT )]을 지나므로
[eqn: x _{1} =4~~~~~~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
또한, 접점은 쌍곡선 위에 있으므로
[eqn: x _{1} ^{2} -4y _{1} ^{2} =4~~~ CDOTS CDOTS ㉡]
[eqn: ㉠]을[eqn: ㉡]에 대입하면 [eqn: y _{1} =± sqrt {3}]
[eqn: thereforermA LEFT ( 4,~ sqrt {3} RIGHT ) ,`B LEFT ( 4,~- sqrt {3} RIGHT )]
따라서 구하는 [eqn: rm TRIANGLE rmAPB]의 넓이는
[eqn: {1} over {2} times2 sqrt {3} times LEFT ( 4-1 RIGHT ) =3 sqrt {3}]

63  [eqn: ③]

답

점 [eqn: LEFT ( 0,~a RIGHT )]에서[eqn: {x ^{2}} over {4} -y ^{2} =1]에 그은 접선의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면 [eqn: y=mx± sqrt {4m ^{2} -1}]
이때, 이 접선은 점 [eqn: LEFT ( 0,~a RIGHT )]를 지나므로 [eqn: a=± sqrt {4m ^{2} -1}]
양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 4m ^{2} -a ^{2} -1=0]
이때, 두 접선이 직교하므로 [eqn: {-a ^{2} -1} over {4} =-1] [eqn: thereforea ^{2} =3]

해

설

64  [eqn: 1]

답

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {5} - {y ^{2}} over {4} =1]에서 기울기가 [eqn: 1]인 접선의 방정식은 [eqn: y=x±1]이므로 [eqn: y=x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: ±1] 만큼 평행이동하면 접선이 된다.
[eqn: thereforek ^{2} =1]

해

설

65   [eqn: ①]

답

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =3], [eqn: x ^{2} -y ^{2} =1]을 변끼리 더하면 [eqn: x=± sqrt {2} `,`y=±1]
제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점 [eqn: LEFT ( sqrt {2} ,~1 RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: sqrt {2} x-1·y=1]이므로 구하는 넓이는
[eqn: {1} over {2} · {1} over {sqrt {2}} ·1= {sqrt {2}} over {4}]

해

설

66   [eqn: ②]

답

[eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]이라고 하면 [eqn: y=± {b} over {a} x=± {sqrt {2}} over {2} x]에서 [eqn: a= sqrt {2} b`~~~~ CDOTS CDOTS ㉠]
또한, 점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: {4} over {a ^{2}} - {1} over {b ^{2}} =1cdotscdots㉡]
[eqn: ㉠,`㉡]에서 [eqn: b ^{2} =1,`a ^{2} =2]
즉, 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2} -y ^{2} =1]위의 점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: x-y=1]이므로 구하는 [eqn: y]절편은 [eqn: -1]이다.

해

설

67   [eqn: ⑤]

답

접선의 방정식 [eqn: ax-3by=6]에서 점 [eqn: LEFT ( 2,~0 RIGHT )]을 대입하면 [eqn: a=3]    [eqn: a ^{2} -3b ^{2} =6]에서 [eqn: b ^{2} =1]
[eqn: thereforea ^{2} +b ^{2} =10]

해

설

68  [eqn: 5]

답

초점의 좌표는 [eqn: LEFT ( ± sqrt {10} ,~0 RIGHT )], 접선의 방정식은 [eqn: 3x-2y-5=0]이므로
[eqn: {LEFT | 3 sqrt {10} -5 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} · {LEFT | -3 sqrt {10} -5 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} + LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}}} = {90-25} over {13} =5]

해

설

69   [eqn: ⑤]

답

[eqn: LEFT ( rmi RIGHT )]원 [eqn: C _{1}]에 외접하고 원 [eqn: C _{2}]에 내접하면
[eqn: rm {bar{PA}} =3+ it r,` rm {bar{PB}} =itr-1~~~ THEREFORE rm {bar{PA}} - {bar{PB}} =4]
[eqn: LEFT ( rm ii RIGHT )]원 [eqn: C _{1}]에 내접하고 원 [eqn: C _{2}]에 외접하면
[eqn: rm {bar{PA}} =itr-3,` rm {bar{PB}} =itr+1~~~ THEREFORE rm {bar{PB}} - {bar{PA}} =4]
[eqn: LEFT ( rm i RIGHT ) ,~ LEFT ( ii RIGHT )]에서 [eqn: LEFT | rm {bar{PA}} - {bar{PB}} RIGHT | =4]

해

설

70  [eqn: ①]

답

주축이 [eqn: x]축에 평행이면 [eqn: {LEFT ( x-m RIGHT ) ^{2}} over {a ^{2}} - {LEFT ( y-n RIGHT ) ^{2}} over {b} =1]꼴,
즉 [eqn: b ^{2} LEFT ( x-m RIGHT ) ^{2} -a ^{2} LEFT ( y-n RIGHT ) ^{2} =a ^{2} b ^{2} >0]이므로
[eqn: x ^{2} - LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =-a-1>0~~~ THEREFORE a<`-1]

해

설

71   [eqn: ①]

답

타원에서 [eqn: 2a=4+12=16~~~thereforea=8]
쌍곡선에서 [eqn: 2b=12-4=8~~~thereforeb=4]
초점이 일치하므로 [eqn: sqrt {8 ^{2} -c ^{2}} = sqrt {4 ^{2} +c ^{2}}]
[eqn: thereforec ^{2} =24]

해

설