학교 시험

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기하와 벡터

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단원 차례

평면곡선

Ⅰ

1. 이차곡선

2. 평면곡선의 접선

평면벡터

Ⅱ

1. 벡터의 연산

2. 평면벡터의 성분과 내적

3. 평면 운동

공간도형과 공간좌표

Ⅲ

1. 공간도형

2. 공간좌표

공간벡터

Ⅳ

1. 공간벡터의 연산과 내적

2. 직선과 평면, 구의 방정식

정답 및 풀이

★★★

Ⅰ

1. 이차곡선

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 포물선의 뜻을 알고, 포물선의 방정식을 구할 수 있다.	상	포물선의 방정식을 구하고, 그 과정을 설명할 수 있다.	4	4
	중	간단한 포물선의 방정식, 초점과 꼭짓점의 좌표, 준선과 축의 방정식을 구할 수 있다.	2, 3, 13	2, 3, 13
	하	포물선의 뜻과 초점, 꼭짓점, 준선, 축의 뜻을 말할 수 있다.	1	1

2 타원의 뜻을 알고, 타원의 방정식을 구할 수 있다.	상	타원의 방정식을 구하고, 그 과정을 설명할 수 있다.	8	8
	중	간단한 타원의 방정식, 초점과 꼭짓점의 좌표, 장축과 단축의 길이를 구할 수 있다.	6, 7	6, 7
	하	타원의 뜻과 초점, 꼭짓점, 장축, 단축의 뜻을 말할 수 있다.	5	5

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

3 쌍곡선의 뜻을 알고, 쌍곡선의 방정식을 구할 수 있다.	상	쌍곡선의 방정식을 구하고, 그 과정을 설명할 수 있다.	12, 14	11, 12, 14
	중	간단한 쌍곡선의 방정식, 초점의 좌표, 주축의 길이, 점근선의 방정식을 구할 수 있다.	10, 11	9, 10
	하	쌍곡선의 뜻과 초점, 주축, 점근선의 뜻을 말할 수 있다.	9

[성취기준1-하]

Ⅰ. 평면곡선

1. 이차곡선 - ①회

중단원 평가 문제

1

두 포물선 [eqn: y ^{2} =4x], [eqn: x ^{2} =-8y]의 초점을 각각 [eqn: rm F], [eqn: rm F prime]이라고 할 때, [eqn: bar{rmFF prime}]의 길이는?

① [eqn: root2]	② [eqn: root3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: root5]	⑤ [eqn: root6]

[성취기준1-중]

2

포물선 [eqn: x ^{2} -2x-2y-3=0]의 초점의 좌표가 [eqn: (a,~b)]이고 준선의 방정식이 [eqn: y=c]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 곱 [eqn: abc]의 값은?

① [eqn: - {3} over {2}]	② [eqn: - {5} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: {15} over {2}]

[성취기준1-중]

3

세 점 [eqn: (1,~-1),~(0,~1),~(-3,~3)]을 지나고, 축이 [eqn: x]축에 평행한 포물선의 준선의 방정식은?

① [eqn: x=1]	② [eqn: x=2]	③ [eqn: x=3]

④ [eqn: x=4]	⑤ [eqn: x=5]

[성취기준1-상]

4

오른쪽 그림과 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]과 포물선

[eqn: y ^{2} =4x]의 한 교점을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 직선 [eqn: x=1]과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라고 하자. 점 [eqn: rmF]의 좌표가 [eqn: (1,~0)]일 때,

[eqn: rmbar{PF}+bar{PQ}]의 값은?

① [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[성취기준2-하]

5

다음 중 타원 [eqn: x^2 over20 + y^2 over5 =1]에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

① 중심의 좌표는 [eqn: (0,~0)]이다.

② 장축의 길이는 [eqn: 4 sqrt {5}]이다.

③ 단축의 길이는 [eqn: 10]이다.

④ 초점의 좌표는 [eqn: (- sqrt {15} ,~0)], [eqn: ( sqrt {15} ,~0)]이다.

⑤ [eqn: y]축과의 교점의 좌표는 [eqn: (0,~- sqrt {5} )], [eqn: (0,~ sqrt {5} )]이다.

[성취기준2-중]

중단원 평가 문제

1. 이차곡선 - ①회

Ⅰ. 평면곡선

6

타원 [eqn: 2x^2 +y^2 -8x=0]은 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4} + {y ^{2}} over {8} =1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동한 것이고, 두 초점 사이의 거리는 [eqn: b]이다. 이때 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[성취기준2-중]

7

두 점 [eqn: \F(0,~1)], [eqn: \F'(4,~1)]로부터의 거리의 합이 [eqn: 6]인 점 [eqn: \P]가 나타내는 도형이 [eqn: y]축과 만나는 두 점 사이의 거리는?

① [eqn: \3]	② [eqn: { 10} over {3 }]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: { 14} over {3 }]	⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-상]

8

오른쪽 그림과 같이 타원과 [eqn: x]축에 평행한 직선과의 교점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmB prime]이라고 하자. 두 점 [eqn: rmB], [eqn: rmB prime]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발이 타원의 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rmF prime]일 때, 사각형 [eqn: rmBFF prime B prime]의 넓이는?

(단, [eqn: rm bar{AF}=6], [eqn: rmbar{A primeF}=12])

① [eqn: 45]	② [eqn: 46]	③ [eqn: 47]

④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 49]

[성취기준3-하]

9

두 점 [eqn: (0,~4)], [eqn: (0,~-4)]에서의 거리의 차가 [eqn: 6]인 쌍곡선의 방정식이 [eqn: 9x^2 -py^2 =q]일 때, 상수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: -56]	② [eqn: -36]	③ [eqn: -16]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 56]

[성취기준3-중]

10

쌍곡선 [eqn: 4x^2 -y^2 =16]에서 두 점근선의 기울기를 각각 [eqn: m_1], [eqn: m_2]라고 할 때, [eqn: |`m_2 -m_1`|]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

[성취기준3-중]

11

쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over 3^2 =1]의 한 초점이 직선
[eqn: y=x-5] 위에 있을 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[성취기준3-상]

12

쌍곡선 [eqn: {x^2 over 9}-{y^2 over7}=1]
의 두 초점을 [eqn: \F], [eqn: \F']이라고 하자. 이 쌍곡선과 두 초점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 교점 중 한 점을 [eqn: \P]라고 할 때, [eqn: triangle \PF'F]의 넓이는?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

서술형 문제

[성취기준1-중]

13

점 [eqn: rm A(0,~-3)]과 직선 [eqn: y=3]으로부터 같은 거리에 있는 점 [eqn: rm P It(x,~y)]가 나타내는 도형이 점 [eqn: (-6,~a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

[성취기준3-상]

14

쌍곡선 [eqn: x^2 over16 - y^2 over9 =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF prime]이라고 하자. 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PFF prime]의 둘레의 길이가 [eqn: 26]일 때, [eqn: left| rm {bar{PF}}^2 -{bar{PF prime}}^2 right|]의 값을 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅰ. 평면곡선

1. 이차곡선 - ②회

중단원 평가 문제

1

초점이 [eqn: rmF(2,~0)]이고, 준선이 [eqn: x=-2]인 포물선이 점 [eqn: (a,~8)]을 지난다. 이때 실수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[성취기준1-중]

2

포물선 [eqn: y ^{2} =12x] 위의 점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b RIGHT )]와 초점 사이의 거리가 [eqn: 15]일 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 10]                  ② [eqn: 12]                ③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]                  ⑤ [eqn: 20]

[성취기준1-중]

3

포물선 [eqn: y^2 =28x] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심이 포물선의 초점 [eqn: rmF]와 일치할 때, [eqn: rm bar{AF}+bar{BF}+bar{CF}]의 값은?

① [eqn: 40]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 42]

④ [eqn: 43]	⑤ [eqn: 44]

[성취기준3-상]

4

오른쪽 그림과 같이 포물선 [eqn: y^2 =x]와 직선 [eqn: y=n][eqn: (n =1,~2,~3 ,~cdots )]의 교점을 [eqn: rm `P _{it n}], 이 포물선의 초점을 [eqn: rmF]라고 할 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{12} rm bar {FP _{it k}}]의 값은?

① [eqn: 587]	② [eqn: 613]	③ [eqn: 622]

④ [eqn: 650]	⑤ [eqn: 653]

[성취기준2-하]

5

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위에 길이가 [eqn: 10]인 실의 양 끝을 거리가 [eqn: 8]인 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']에 고정하고 연필 끝으로 실을 팽팽하게 당기면서 곡선을 그리면 타원이 된다. 이때 타원의 단축의 길이는?

(단, 고정하는 양 끝의 실의 길이는 무시한다.)

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[성취기준2-중]

중단원 평가 문제

1. 이차곡선 - ②회

Ⅰ. 평면곡선

6

타원 [eqn: x^2 over12 + y^2 over 3 =1]과 두 초점을 공유하고, 점

[eqn: (4,~0)]을 지나는 타원의 방정식이 [eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 =1]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: 20]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 24]

[성취기준2-중]

7

타원 [eqn: { x^2} over {25 }+ { y^2} over {9 }=1]의 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rm F prime]과 타원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm{bar PF}^2 + {bar PF'}^2]의 최솟값은?

① [eqn: 50]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 70]

[성취기준2-상]

8

오른쪽 그림과 같이 타원 [eqn: x^2 over100 + y^2 over64 =1]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rmF prime]이라 하고, 타원 위의 한 점 [eqn: rmP]에서 초점 [eqn: rmF prime]에 그은 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라고 하자.

[eqn: rm bar{PQ}=bar{FQ}=bar{F primeQ}]일 때, [eqn: rm 5triangleF primeFP]의 값은?

① [eqn: 191]	② [eqn: 192]	③ [eqn: 193]

④ [eqn: 194]	⑤ [eqn: 195]

[성취기준3-중]

9

초점의 좌표가 [eqn: ( sqrt {5} ,~0)], [eqn: (- sqrt {5} ,~0)]이고 점
[eqn: (-4,~ sqrt {3} )]을 지나는 쌍곡선의 방정식이

[eqn: px ^{2} -qy ^{2} =1]일 때, 양수 [eqn: p,~q]에 대하여 [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: 4]

[성취기준3-중]

10

점 [eqn: (0,~3)]을 한 초점으로 하고 점근선의 방정식이 [eqn: y= +-x]인 쌍곡선의 주축의 길이는?

① [eqn: root3 over2]	② [eqn: root3]	③ [eqn: {3root3} over2]

④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: 3root2]

[성취기준3-상]

11

오른쪽 그림과 같이 쌍곡선

[eqn: {x ^{2}} over {20} - {y ^{2}} over {16} =1]의 두 초점을 각각 [eqn: rmF], [eqn: rm F prime]이라 하고 제[eqn: 1]사분면에 있는 쌍곡선 위의 한 점 [eqn: rmP it(a,~b)]를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 사각형 [eqn: rm F prime QFP]의 넓이가 [eqn: 24]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[성취기준3-상]

12

쌍곡선 [eqn: {x^2 over8}-{y^2 over16}=1]과 이 쌍곡선의 점근선이 직선 [eqn: y=k] [eqn: (k>0)]와 만나는 네 점의 [eqn: x]좌표가 크기순으로 차례로 등차수열을 이룰 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: sqrt2]                 ② [eqn: sqrt3]                ③ [eqn: 2]

④ [eqn: sqrt5]                 ⑤ [eqn: 2sqrt2]

서술형 문제

[성취기준1-중]

13

두 포물선

[eqn: (x-1)^2 =4y], [eqn: (y+2)^2 =-8x]

의 초점을 각각 [eqn: rmF_1], [eqn: rmF_2]라고 할 때, [eqn: rm {bar{F_1 F_2}}^2]의 값을 구하시오.

[성취기준3-상]

14

쌍곡선 [eqn: {(x-2) ^{2}} over {15} - {(y+3) ^{2}} over {5} =-1]의 두 점근선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라고 할 때, [eqn: tan``( alpha - beta )]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: 0°< beta < alpha])

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅰ

2. 평면곡선의 접선

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 음함수를 미분하여 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있다.	상	음함수의 미분법을 이용하여 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식과 관련한 문제를 해결할 수 있다.	7, 13	6, 7, 8, 13
	중	음함수의 미분법을 이용하여 간단한 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있다.	3, 4, 5, 6	3, 4, 5
	하	음함수의 뜻을 알고, 간단한 음함수를 미분할 수 있다.	1, 2	1, 2

2 매개변수로 나타낸 함수를 미분하여 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있다.	상	매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식과 관련한 문제를 해결할 수 있다.	12, 14	12, 14
	중	매개변수로 나타낸 함수의 미분법을 이용하여 간단한 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구할 수 있다.	10, 11	10, 11
	하	매개변수로 나타낸 함수의 뜻을 알고, 매개변수로 나타낸 간단한 함수를 미분할 수 있다.	8, 9	9

[성취기준1-하]

Ⅰ. 평면곡선

2. 평면곡선의 접선 - ①회

중단원 평가 문제

1

음함수 [eqn: 3x^2 -5y^2 =1]에서 [eqn: dy overdx]는?

① [eqn: 2x overy] (단, [eqn: y!=0])	② [eqn: 2y over3x] (단, [eqn: x!=0])

③ [eqn: 5y over 3x] (단, [eqn: x!=0])	④ [eqn: 3x over 4y] (단, [eqn: y!=0])

⑤ [eqn: 3x over 5y] (단, [eqn: y!=0])

[성취기준1-하]

2

음함수 [eqn: x`sin``y-y`cos``x=- {pi } over {4}]에 대하여

[eqn: x=0], [eqn: y= {pi} over {3}]일 때, [eqn: dy overdx]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: {pi} over {3}]

[성취기준1-중]

3

곡선 [eqn: x^3 +y^3 +axy+b=0] 위의 점 [eqn: (1,~2)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1 over10]일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: - 3]	② [eqn: - 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

[성취기준1-중]

4

곡선 [eqn: xy + x+y=0] 위의 점 [eqn: (-2, ````-2)]에서의 접선 및 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 16]

[성취기준1-중]

5

포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 임의의 한 점 [eqn: rmP]와 직선

[eqn: y=x+2] 사이의 거리의 최솟값은?

① [eqn: root3 over3]	② [eqn: root2 over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: root2]	⑤ [eqn: root3]

[성취기준1-중]

중단원 평가 문제

2. 평면곡선의 접선 - ①회

Ⅰ. 평면곡선

6

타원 [eqn: {x ^{2}} over {2} +y ^{2} =1]에 접하고 기울기가 [eqn: 2]인 직선의 방정식은? (정답 [eqn: 2]개)

① [eqn: 2x-y-3=0]	② [eqn: 2x-y+3=0]

③ [eqn: 2x+y-3=0]	④ [eqn: 2x+y+3=0]

⑤ [eqn: 4x+y+3=0]

[성취기준1-상]

7

점 [eqn: rmA(0,~3)]에서 쌍곡선 [eqn: x^2 -y^2 =12]에 그은 접선의 방정식이 [eqn: +-ax+by=12]일 때, [eqn: a^2 +b^2]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: 41]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 43]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 45]

[성취기준2-하]

8

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 다음 함수에서 [eqn: t= 0]일 때, [eqn: dy overdx]의 값은?

[eqn: x=2t ^{2} + {1} over {3} t], [eqn: y=3t ^{2} - {1} over {2} t]

① [eqn: - 3 over2]	② [eqn: - 2over3]	③ [eqn: 2 over3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 9 over4]

[성취기준2-하]

9

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 함수

[eqn: x=sin`t], [eqn: y=cos^2`t]
에 대하여 [eqn: t= pi over6]일 때, [eqn: dy overdx]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over2]	③ [eqn: - 1 over 3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: root3]

[성취기준2-중]

10

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선
[eqn: x=t^3 +1], [eqn: y=t^2 -t+2]
위의 점 [eqn: (2,~2)]에서의 접선의 기울기는?

① [eqn: - 1 over2]	② [eqn: - 1 over3]	③ [eqn: 1 over3]

④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 1]

[성취기준2-중]

11

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선

[eqn: x=t+ {1} over {t}], [eqn: y=t ^{2} + {a} over {t ^{2}}]

에 대하여 [eqn: t=2]일 때의 곡선 위의 점에서의
[eqn: {dy} over {dx} =5]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8~]	⑤ [eqn: 9]

[성취기준2-상]

12

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선

[eqn: x= {1} over {t}], [eqn: y=-2t ^{2} -1]

에 대하여 [eqn: t=1]일 때의 이 곡선 위의 점에서의 접선에 수직이고 그 접점을 지나는 직선의 방정식은?

① [eqn: x+2y+11=0]

② [eqn: x-2y+11=0]

③ [eqn: x-4y+11=0]

④ [eqn: x+4y+11=0]

⑤ [eqn: 2x+4y+11=0]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

포물선 [eqn: y^2 = 4x]와 타원 [eqn: x^2 overa^2 + y^2 over32 =1]이 만나는 점에서 두 곡선에 각각 그은 접선이 서로 수직일 때, 상수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: a^2]의 값을 구하시오.

[성취기준2-상]

14

매개변수 [eqn: t]([eqn: t GEQ 1])로 나타내어진 함수

[eqn: x=2t-1], [eqn: y=t ^{3} +2t ^{2} -3t]

에 대하여 [eqn: y=f(x)]로 나타내었을 때, [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: rmg it(x)]에 대하여 [eqn: {rmg}'(0)]의 값을 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅰ. 평면곡선

2. 평면곡선의 접선 - ②회

중단원 평가 문제

1

음함수 [eqn: y overx + x over y =3]에서 [eqn: dy overdx]는?

① [eqn: {x-2y} over{2x-y] (단, [eqn: 2x!=`y])

② [eqn: {x-3y} over3x-y] (단, [eqn: 3x!=y])

③ [eqn: {2x-3y} over{3x-2y] (단, [eqn: 3x!=2y])

④ [eqn: {x+3y} over{3x+y] (단, [eqn: 3x!=-2y])

⑤ [eqn: {2x+3y} over3x+2y] (단, [eqn: 3x!=-2y])

[성취기준1-하]

2

곡선 [eqn: sqrt {x} + sqrt {y} =3] 위의 점 [eqn: (1,~2)]에서의 접선의 기울기는?

① [eqn: -2]	② [eqn: - sqrt {2}]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준1-중]

3

포물선 [eqn: y^2 = 2x] 위의 점 [eqn: (2,~2)]에서의 접선이

[eqn: x]축과 점 [eqn: (a,~0)]에서 만날 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: - 1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준1-중]

4

곡선 [eqn: ax ^{2} +y ^{2} +xy=b] 위의 점 [eqn: (2,~1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: - 1over2]일 때, 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8~]	⑤ [eqn: 9]

[성취기준1-중]

5

오른쪽 그림과 같이 쌍곡선

[eqn: 4x ^{2} -y ^{2} =15] 위의 점 [eqn: (2,~1)]에서 그은 접선이 점근선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 할 때, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리는?

① [eqn: 7]	② [eqn: 3 sqrt {7}]	③ [eqn: sqrt {65}]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 4 sqrt {5}]

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

2. 평면곡선의 접선 - ②회

Ⅰ. 평면곡선

6

오른쪽 그림과 같이 타원 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4]와 직선 [eqn: y=2x]의 교점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 하자. 타원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이가 최대일 때의 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: y=2x] 사이의 거리는?

① [eqn: sqrt {17}]	② [eqn: {sqrt {34}} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {sqrt {85}} over {5}]	⑤ [eqn: sqrt {85}]

[성취기준1-상]

7

쌍곡선 [eqn: {x ^{`2}} over {12} - {y ^{`2}} over {8} =1`] 위의 점 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )`]에서의 접선이 타원 [eqn: {LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}} over {4} +y ^{`2} =1]의 넓이를 이등분할 때, [eqn: a ^{`2} +b ^{`2}`]의  값은?

① [eqn: 48]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: 60]	⑤ [eqn: 64]

[성취기준1-상]

8

점 [eqn: (0,~1)]에서 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} -y ^{2} =1]에 그은 접선이 [eqn: x]축과 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: sin`` theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

[성취기준2-하]

9

매개변수 [eqn: theta]로 나타내어진 함수

[eqn: x=cos``theta +1], [eqn: y=sin``theta-2]

에 대하여 [eqn: theta= 2 over3 pi]일 때, [eqn: dy overdx]의 값은?

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: root3 over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: root3 over2]	⑤ [eqn: root2 over2]

[성취기준2-중]

10

두 곡선 [eqn: x=2roott +at], [eqn: y=at^2 - 1overt]에 대하여 [eqn: t=1]에 대응하는 점에서의 접선의 기울기가 [eqn: 3]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[성취기준2-중]

11

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: \P(itx,~y)]가 [eqn: t]를 매개변수로 하여

[eqn: x=sqrt3 t^2 +1], [eqn: y=2t^3 +3]

으로 나타내어질 때, 점 [eqn: rmP]가 그리는 곡선에 대하여 접선의 기울기가 [eqn: sqrt3]인 점의 좌표는?

① [eqn: (4root3 +1 ,~-13)]	② [eqn: (root3 +1 ,~1)]

③ [eqn: (1,~3)]	④ [eqn: (root3 +1,~5)]

⑤ [eqn: (4root3 +1 ,~19)]

[성취기준2-상]

12

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 함수

[eqn: x=2t-1], [eqn: y=t^2 +1]

을 만족시키는 함수 [eqn: y=f(x)]에 대하여
[eqn: lim_{h rarrow0}`{f(2+h)-f(2)} overh]의 값은?

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

[eqn: x]축 위의 한 점 [eqn: (n,~0)]에서 포물선 [eqn: y ^{2} =-16x]에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 [eqn: a _{n}]이라고 할 때,

[eqn: LEFT ( 1+ {a _{2}} over {4} RIGHT ) TIMES LEFT ( 1+ {a _{3}} over {4} RIGHT ) TIMES CDOTS TIMES LEFT ( 1+ {a _{10}} over {4} RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

[성취기준2-상]

14

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선

[eqn: x=2`sin``t], [eqn: y=root2`cos``t`] ([eqn: 0<t<2pi])

위의 점 [eqn: rmP it (a,~b)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: - root2 over2]이다. 이 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 구하시오.

(단, [eqn: rmO]는 원점이고, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위에 있다.)

Ⅱ

1. 벡터의 연산

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 벡터의 뜻을 알고, 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다.	상	벡터의 뜻을 알고, 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 하는 과정을 설명할 수 있다.	11, 12, 14	11, 12, 14
	중	벡터의 뜻을 알고, 벡터의 연산에 대한 성질을 이용하여 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다.	5, 6, 7, 8, 9, 10, 13	5, 6, 7, 8, 9, 10, 13
	하	그림으로 주어진 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다.	1, 2, 3, 4	1, 2, 3, 4

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

[성취기준1-하]

1

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형에서
[eqn: LEFT | {vec{rmAC}} RIGHT |]의 값은?

Ⅱ. 평면벡터

1. 벡터의 연산 - ①회

중단원 평가 문제

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: sqrt {3}]

③ [eqn: 2]	④ [eqn: sqrt {5}]

⑤ [eqn: sqrt {6}]

[성취기준1-하]

2

오른쪽 그림의 [eqn: rm triangleABC]는 정삼각형이고, 세 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]는 각 변의 중점이다. 다음 중 서로 같은 벡터끼리 짝지은 것은?

① [eqn: rm {vec{AB}}], [eqn: rm {vec{RQ}}]	② [eqn: rm {vec{AP}}], [eqn: rm {vec{AR}}]

③ [eqn: rm {vec{CQ}}], [eqn: rm {vec{PR}}]	④ [eqn: rm {vec{CR}}], [eqn: rm {vec{QP}}]

⑤ [eqn: rm {vec{PQ}}], [eqn: {vec{rmRQ}}]

[성취기준1-하]

3

오른쪽 그림과 같은 정육각형

[eqn: rm ABCDEF]에서 [eqn: rm vecAB =it veca],

[eqn: rm vecAF =itvecb]라고 할 때, 두 벡터

[eqn: veca +vecb], [eqn: veca -vecb]와 서로 같은 벡터를 순서대로 나열한 것은?

① [eqn: rm vecBC], [eqn: rmvecCE]	② [eqn: rm vecBC], [eqn: rm vecFB]

③ [eqn: rm vecBC], [eqn: rm vecFD]	④ [eqn: rm vecCB], [eqn: rm vecFB]

⑤ [eqn: rm vecCB], [eqn: rm vecFD]

[성취기준1-하]

4

오른쪽 그림과 같은 정육각형 [eqn: \ABCDEF]에서 점 [eqn: \O]는 세 대각선 [eqn: \AD], [eqn: \BE],
[eqn: \CF]의 교점이다.
[eqn: vec \OA = it vec a] , [eqn: vec \OB = it vec b]

라고 할 때, 다음 중 [eqn: vec \CE]를

[eqn: vec a , ```` vec b]로 나타낸 것은?

① [eqn: vec a +vec b]	② [eqn: vec a +2 vec b]	③ [eqn: 2vec a + vec b]

④ [eqn: vec a -2 vec b]	⑤ [eqn: 2vec a - vec b]

[성취기준1-중]

5

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm {bar{AD}} ⫽ {bar{BC}}]인 사다리
꼴에서 [eqn: rm {bar{BC}} =2 {bar{AD}}]
이다. [eqn: rm {vec{AB}} it = {vec{a}}],
[eqn: rm {vec{AD}} =it {vec{b}}]라고 할 때, [eqn: rm {vec{DB}} + {vec{AC}}]를 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]로 나타낸 것은?

① [eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]	② [eqn: {vec{a}} - {vec{b}}]	③ [eqn: 2 {vec{a}} + {vec{b}}]

④ [eqn: 2 {vec{a}} - {vec{b}}]	⑤ [eqn: 2 {vec{a}} +2 {vec{b}}]

[성취기준1-중]

중단원 평가 문제

1. 벡터의 연산 - ①회

Ⅱ. 평면벡터

6

평면 위의 서로 다른 네 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rm C], [eqn: rmD]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: rm vecAB +vecBC +vecCA =vec0] ㄴ. [eqn: rm vecAC + vecBA -vecDC =vecBD] ㄷ. [eqn: rm vecCB +vecAD +vecDC +vecBD =vecAD]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준1-중]

7

서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]에 대하여

[eqn: (x-y+4) {vec{a}} +(2x+y-10) {vec{b}} = {vec{0}}]

가 성립할 때, 실수 [eqn: x,~y]의 합 [eqn: x+y]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 11]

[성취기준1-중]

8

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여

[eqn: vec{x} -3 vec{y} = vec{a} -3 vec{b}], [eqn: 3 vec{x} + vec{y} =-2 vec{a} + vec{b}]

일 때, [eqn: vec{x} + vec{y}]를 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]로 나타낸 것은?

① [eqn: vec a +vec b]	② [eqn: - veca +vec{b}]	③ [eqn: 2vec a + vec b]

④ [eqn: vec 3a -2 vec b]	⑤ [eqn: -3vec a - vec b]

[성취기준1-중]

9

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 서로 평행하지 않고 [eqn: vecc =veca +2vecb]일 때, <보기>에서 [eqn: veca +vecb]와 평행한 벡터만을 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: veca -vecc] ㄴ. [eqn: veca +vecc] ㄷ. [eqn: vecb -vecc] ㄹ. [eqn: vecb +vecc]

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

[성취기준1-중]

10

영벡터가 아닌 세 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb], [eqn: vecc]에 대하여 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]는 서로 평행하고, 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecc]는 서로 평행하지 않을 때,

[eqn: {vec{a}} +k LEFT ( ` {vec{c}} -2 {vec{a}} ` RIGHT ) + {vec{b}} -5 {vec{c}} = {vec{0}}]

를 만족시킨다. [eqn: left|veca right| = 1over3]일 때, 벡터 [eqn: vecb]의 크기는?

① [eqn: 1over9]	② [eqn: 7over3]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 19 over3]	⑤ [eqn: 18]

[성취기준1-상]

11

평면 위의 두 점 A, B에 대하여 [eqn: rm {vec{OA}} it = {vec{a}}], [eqn: rm {vec{OB}} it = {vec{b}}]일 때, 다음을 만족시키는 세 점 [eqn: rmC,~D,~E] 중 항상 직선 [eqn: rmAB] 위의 점인 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, 두 벡터 [eqn: {vec{a}} ,~ {vec{b}}]는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않다.)

[eqn: rm {vec{OC}} it=3 {vec{a}} -2 {vec{b}}], [eqn: rm {vec{OD}} it =-4 {vec{a}} + {vec{b}}], [eqn: rm {vec{OE}} it =-2 {vec{a}} +3 {vec{b}}]

① [eqn: rmC]	② [eqn: rmD]	③ [eqn: rmE]

④ [eqn: rmC,~E]	⑤ [eqn: rmD,~E]

[성취기준1-상]

12

타원 [eqn: x^2 over25 + y^2 over 16 =1] 위의 한 점 [eqn: rmP]와 두 초점 [eqn: rm F], [eqn: rm F']에 대하여 [eqn: rm left |vecOP +vecOF right|=3]일 때, 선분 [eqn: rmPF]의 길이를 구하시오. (단, [eqn: rm O]는 원점이다.)

서술형 문제

[성취기준1-중]

13

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 서로 평행하지 않고

[eqn: vecp =2veca -vecb], [eqn: vecq =veca -3vecb], [eqn: vecr =3veca +k vecb]

일 때, 두 벡터 [eqn: vecp +vecq], [eqn: vecq -vecr]가 서로 평행하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[성취기준1-상]

14

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정삼각형에서
[eqn: rm vec AB =it veca], [eqn: rm vecAC =it vecb]라 할 때,
[eqn: 3left(vecx -veca +vecb right)=vecx -veca -vecb]를 만족시키는 벡터 [eqn: vecx]의 크기를 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅱ. 평면벡터

1. 벡터의 연산 - ②회

중단원 평가 문제

1

오른쪽 그림과 같이 직선 [eqn: l] 위에 서로 다른 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 같은 간격으로 놓여 있다. 다음 <보기>의 벡터 중에서 서로 같은 벡터끼리 짝지은 것은? (정답 [eqn: 2]개)

Ⅱ. 평면벡터

1. 벡터의 연산 - ②회

중단원 평가 문제

	<보기>
ㄱ. [eqn: vec{rmAB}] ㄴ. [eqn: vec{rm BD it}] ㄷ. [eqn: vec{rm AC it}] ㄹ. [eqn: vec{rm CB it}] ㅁ. [eqn: vec{rm DB it}] ㅂ. [eqn: vec{rm DC it}]

① ㄱ, ㄹ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄷ, ㅁ

④ ㄹ, ㅂ	⑤ ㅁ, ㅂ

[성취기준1-하]

2

임의의 네 점 [eqn: rmA,~B,~C,~D]에 대하여 다음 중
[eqn: rm {vec{BC}} + {vec{DB}} + {vec{AD}} + {vec{CD}}]와 같은 벡터는?

① [eqn: rm {vec{AD}}]	② [eqn: rm {vec{BC}}]	③ [eqn: rm {vec{CD}}]

④ [eqn: rm {vec{DB}}]	⑤ [eqn: rm {vec{DC}}]

[성취기준1-하]

3

서로 다른 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에 대하여 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: rm vecAA =vec0]	② [eqn: rm LEFT | {vec{AB}} RIGHT | = LEFT | {vec{BA}} RIGHT |]

③ [eqn: rm vecBC +vecCB =vec0]	④ [eqn: rm vecAB +vecBC =vecAC]

⑤ [eqn: rm vecAB -vecAC =vecBC]

[성취기준1-하]

4

오른쪽 그림과 같이 한 변

의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형에서

[eqn: rm LEFT | {vec{AB}} + {vec{FE}} + {vec{CD}} RIGHT |]

의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]

③ [eqn: root2]	④ [eqn: root3]

⑤ [eqn: 2]

[성취기준1-중]

5

사각형 [eqn: rmABCD]와 임의의 점 [eqn: rmP]에 대하여

[eqn: rm vecPA =vecPB -vecPC +vecPD]

가 성립할 때, [eqn: □ rmABCD]는 어떤 사각형인지 말하시오.

[성취기준1-중]

중단원 평가 문제

1. 벡터의 연산 - ②회

Ⅱ. 평면벡터

6

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: rmO]에 내접하는 정오각형 [eqn: rmABCDE]에서

[eqn: rm vecAB +vecAC +vecAD +vecAE]의 크기는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

[성취기준1-중]

7

삼각형 [eqn: rm ABC]와 임의의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: veca = rmvecAB], [eqn: vecb =rm vecBC]라고 할 때,

[eqn: rm vecPA +vecPB +vecPC =vecAC]

를 만족시킨다. 다음 중 벡터 [eqn: rm vecAP]를 [eqn: veca], [eqn: vecb]로 나타낸 것은?

① [eqn: 1 over3 veca]	② [eqn: 1 over3 vecb]	③ [eqn: 1 over3 veca - 1over3 vecb]

④ [eqn: 1 over3 veca + 1over3 vecb]	⑤ [eqn: 1over3 vecb - 1over3 veca]

[성취기준1-중]

8

영벡터가 아닌 세 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}], [eqn: {vec{c}}]에 대하여

[eqn: veca ``+vecb ``=vecx], [eqn: vecb ``+vecc ``=vecy], [eqn: vecc ``+veca ``=vecz]

일 때, 다음 중 벡터 [eqn: veca] 와 같은 벡터는?
① [eqn: {1} over {2} LEFT ( - {vec{x}} ``+ {vec{y}} ``+ {vec{z}} ` RIGHT )]	② [eqn: {1} over {2} LEFT ( ` {vec{x}} ``- {vec{y}} ``+ {vec{z}} ` RIGHT )]

③ [eqn: {1} over {2} LEFT ( ` {vec{x}} ``+ {vec{y}} ``- {vec{z}} ` RIGHT )]	④ [eqn: {1} over {2} LEFT ( ` {vec{x}} ``- {vec{y}} ``- {vec{z}} ` RIGHT )]

⑤ [eqn: {1} over {2} LEFT ( - {vec{x}} ``+ {vec{y}} ``- {vec{z}} ` RIGHT )]

[성취기준1-중]

9

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 서로 평행하지 않을 때,

[eqn: (2x-y) {vec{a}} +(3x+2y) {vec{b}}]

[eqn: =(x+y) {vec{a}} +(-x-3y+13) {vec{b}}]

를 만족시키는 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: xy]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[성취기준1-중]

10

서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여

[eqn: vec{p} =(2+k) vec{a} -2 vec{b}], [eqn: vec{q}=(1-k)vec{a}-4vec{b}]

일 때, 두 벡터 [eqn: vec{p}+vec{q}], [eqn: vec{p}-vec{q}]가 서로 평행하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[성취기준1-상]

11

오른쪽 그림과 같은 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rm vecBA =it veca],

[eqn: rm vecBC =it vecb], [eqn: rm vecCA =it vecc]라 하자.

[eqn: left| left(veca +vecb right)- left(2vecb -3vecc right) right|=16]일 때, [eqn: rm triangleABC]의 넓이를 구하시오.

[성취기준1-상]

12

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4], 중심각의 크기가 [eqn: 90°]인 부채꼴에서

[eqn: rm vecOA =itveca], [eqn: rm vecOB =it vecb]라 하자. [eqn: rm angleAOC =60°]일 때,

[eqn: rm vec OC = it m veca +n vecb]이다.

실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m^2 +n^2]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서술형 문제

[성취기준1-중]

13

서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 [eqn: rm vecOA =itveca], [eqn: rm vecOB =itvecb]일 때,

[eqn: rm {vec{OC}} = it k {vec{a}} -2 {vec{b}}], [eqn: 3 rm {vec{AC}} = it m rm {vec{AB}}]

를 만족시키는 실수 [eqn: k], [eqn: m]에 대하여 [eqn: km]의 값을 구하시오.

[성취기준1-상]

14

서로 다른 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rmC]가 한 직선 위에 있고 [eqn: rm vecOA = it veca], [eqn: rm vecOB =itvecb], [eqn: rm vecOC =itm veca +n vecb]일 때, 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: mn]의 최댓값을 구하시오.

(단, [eqn: veca], [eqn: vecb]는 영벡터가 아니고 서로 평행하지 않다.)

Ⅱ

2. 평면벡터의 성분과 내적

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 위치벡터의 뜻을 알고, 평면벡터와 좌표의 대응을 이해한다.	상	위치벡터의 뜻을 이해하고, 평면벡터와 좌표의 대응을 설명할 수 있다.	4	5, 13
	중	위치벡터의 뜻을 이해하고, 평면벡터를 성분으로 나타낼 수 있다.	2, 3	2, 3, 4
	하	위치벡터의 뜻을 말할 수 있고, 간단한 평면벡터를 성분으로 나타낼 수 있다.	1	1

2 두 평면벡터의 내적의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.	상	벡터의 내적의 뜻을 이해하고, 두 평면벡터의 내적을 구할 수 있다.	9, 13
	중	두 평면벡터의 내적의 뜻을 말할 수 있고, 두 평면벡터의 내적을 구할 수 있다.	6, 7, 8	7, 8, 9, 14
	하	간단한 두 평면벡터의 내적을 구할 수 있다.	5	6

3 좌표평면에서 벡터를 이용하여 직선의 방정식을 구할 수 있다.	상	좌표평면에서 벡터를 이용하여 직선의 방정식을 구하고, 그 과정을 설명할 수 있다.	11, 14	11
	중	좌표평면에서 벡터를 이용하여 직선의 방정식을 구할 수 있다.	10	10
	하	방향벡터의 뜻을 알고, 좌표평면에서 간단한 직선의 방정식을 구할 수 있다.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

4 좌표평면에서 벡터를 이용하여 원의 방정식을 구할 수 있다.	상	좌표평면에서 벡터를 이용하여 원의 방정식을 구하고, 그 과정을 설명할 수 있다.	12
	중	좌표평면에서 벡터를 이용하여 원의 방정식을 구할 수 있다.		12
	하	좌표평면에서 간단한 원의 방정식을 구할 수 있다.

[성취기준1-하]

1

세 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rm C]의 위치벡터를 각각 [eqn: veca], [eqn: vecb], [eqn: vecc]라고 할 때, 벡터 [eqn: rm vecAC +2vecBC]를 [eqn: veca], [eqn: vecb], [eqn: vecc]로 나타내면?

① [eqn: -veca +vecb +3vecc]	② [eqn: -veca -vecb +3vecc]

Ⅱ. 평면벡터

2. 평면벡터의 성분과 내적 - ①회

중단원 평가 문제

③ [eqn: -veca +2vecb +3vecc]	④  [eqn: -veca +2vecb -3vecc]

⑤ [eqn: -veca -2vecb +3vecc]

[성취기준1-중]

2

오른쪽 그림과 같은 직사각형 [eqn: rmOABC]에서 변 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmP]라 하자.
[eqn: rm {vec{OP}} it=m rm{vec{OA}}it +n rm {vec{OC}}]를 만족시키는 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여
[eqn: m-n]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: {2} over {5}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

[성취기준1-중]

3

오른쪽 그림은 모눈종이 위에 세 벡터 [eqn: vec { a}], [eqn: vec { b}], [eqn: vec { c}]를 나타낸 것이다.

[eqn: {vec{c}} =p {vec{a}} +q {vec{b}}]가 성립하도록 하는 실수 [eqn: p,~q]에 대하여
[eqn: pq]의 값은?

① [eqn: - {9} over {8}]	② [eqn: - {8} over {9}]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[성취기준1-상]

4

세 벡터 [eqn: veca =(-2,`1)], [eqn: vecb = (0,`-3)], [eqn: vecc = (1,`-2)]에 대하여 벡터 [eqn: veca -2vecb +3 vecc]와 방향이 같고 크기가 [eqn: 4]인 벡터를 [eqn: vecp =(x,~y)]라고 할 때, [eqn: x+y]의 값은?

① [eqn: 2root2]	② [eqn: 2root3]	③ [eqn: 4root2]

④ [eqn: 4root3]	⑤ [eqn: 6root2]

[성취기준2-하]

5

크기가 [eqn: 1]인 두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]에 대하여

[eqn: left|`vec{a}-vec{b}`right|=root{3}]이 성립할 때, [eqn: left|`2vec{a}+vec{b}`right|]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: root3]

④ [eqn: 2root2]	⑤ [eqn: 2root3]

[성취기준2-중]

중단원 평가 문제

2. 평면벡터의 성분과 내적 - ①회

Ⅱ. 평면벡터

6

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: rm ABCDEF]가 있다.
두 벡터 [eqn: rm vec AC], [eqn: rm vecAD]의 내적 [eqn: rm vecAC bullet vecAD]의 값을 구하시오.

[성취기준2-중]

7

등식 [eqn: left(`rm vecCA -vecAB` right)bulletvecBC =0]을 만족시키는 삼각형 [eqn: rm ABC]는 어떤 삼각형인가?

① 정삼각형

② [eqn: rm angleA=90°]인 직각삼각형

③ [eqn: rm angleB=90°]인 직각삼각형

④ [eqn: rm barAB =barAC]인 이등변삼각형

⑤ [eqn: rm barAB =barBC]인 이등변삼각형

[성취기준2-중]

8

세 점 [eqn: rmO,~A,~B]에 대하여 [eqn: rm {vec{OA}} it= {vec{a}}], [eqn: rm {vec{OB}} it= {vec{b}}]이고

[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =5], [eqn: LEFT | {vec{b}} RIGHT | =6], [eqn: {vec{a}} BULLET {vec{b}} =10 sqrt {3}]

일 때, 두 선분 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB]를 두 변으로 하는 평행사변형의 넓이는?
① [eqn: 5 sqrt {6}]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 10 sqrt {6}]

④ [eqn: 20 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 20 sqrt {6}]

[성취기준2-상]

9

두 벡터

[eqn: veca =left(t^2 , ``1-2t right)], [eqn: vecb = left(2t+k, ``t^2 -kt+1 right)]

이 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 서로 수직이 되지 않도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[성취기준3-중]배수

10

두 직선

[eqn: l _{1} : {cases{x=2t+1#y=-3t-1}}], [eqn: l _{2} :` {x+4} over {2} = {y-2} over {3}]

가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos`` theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {13}]	② [eqn: {5} over {13}]	③ [eqn: {12} over {13}]

④ [eqn: {12} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {5}]

[성취기준3-상]

11

두 점 [eqn: (-1,~3)], [eqn: (1,~-1)]을 지나는 직선과 원 [eqn: x^2 +y^2 =1]의 교점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]라고 할 때,

[eqn: vec\AB]의 크기는?

① [eqn: {2root5} over 5]	② [eqn: {4root5} over 5]	③ [eqn: root5]

④ [eqn: {7root5} over 5]	⑤ [eqn: 2root5]

[성취기준4-상]

12

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it (2,~4)], [eqn: rm B it (4,~2)]에 대하여 [eqn: |`` {vec{rm PA}} + {vec{rm PB}} ``|=6]을 만족시키는 점 [eqn: \P]가 그리는 도형의 둘레의 길이는?

① [eqn: 6 pi]	② [eqn: 17 over2 pi]	③ [eqn: 9 pi]
④ [eqn: 19 over2 pi]	⑤ [eqn: 10 pi]

서술형 문제

[성취기준2-상]

13

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: left|veca right|=2 left|vecb right|]이고, 두 벡터 [eqn: veca -vecb], [eqn: 1 over5 veca +vecb]가 서로 수직이다.
두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때,
[eqn: cos`theta]의 값을 구하시오.

[성취기준3-상]

14

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(-1,``3)], [eqn: rm B(3,``2)]에 대하여

[eqn: left|rm vecAP right| = left|vecBP right|]

를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 그리는 도형과 선분 [eqn: rmAB]의 교점의 좌표가 [eqn: (a,``b)]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅱ. 평면벡터

2. 평면벡터의 성분과 내적 - ②회

중단원 평가 문제

1

세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rmC]의 위치벡터를 각각 [eqn: veca], [eqn: vecb], [eqn: vecc]라고 할 때, 다음 중 옳은 것은?

① [eqn: rm vecAC -vecBA =2 it veca -vecb -vecc]

② [eqn: rm 2vecBA -vecAC =3itveca -2vecb +vecc]

③ [eqn: rm vecCB +2vecAC = it -2veca +vecb -vecc]

④ [eqn: rm vecAB +2vecBC =it-veca +vecb +2vecc]

⑤ [eqn: rm 3vecAB -vecCA =-4it veca +3vecb +vecc]

[성취기준1-중]

2

삼각형 [eqn: rmOAB]에서 [eqn: rm {vec{OA}} = it {vec{a}}], [eqn: {vec{rm OB it}} = {vec{b}}]라 하자. 변 [eqn: rmAB]를 [eqn: 4:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmOP]를 [eqn: 1:2]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, [eqn: rm {vec{OQ}}]를 [eqn: vec a], [eqn: vec b]로 나타내면?

① [eqn: - {1} over {5} {vec{a}} - {4} over {5} {vec{b}}]	② [eqn: - {1} over {5} {vec{a}} - {3} over {10} {vec{b}}]

③ [eqn: - {4} over {5} {vec{a}} - {1} over {5} {vec{b}}]	④ [eqn: {1} over {5} {vec{a}} - {4} over {5} {vec{b}}]

⑤ [eqn: {1} over {5} {vec{a}} + {8} over {5} {vec{b}}]

[성취기준1-중]

3

넓이가 [eqn: 60]인 삼각형 [eqn: rm ABC]의 내부의 한 점 [eqn: rm P]에 대하여

[eqn: rm 7 vecPA +5 vecPB +3 vecPC =2 vecCA]

일 때, 삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이는?

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 45]

[성취기준1-중]

4

[eqn: {vec{a}} =(2,~1)], [eqn: {vec{b}} =(-1,~3)]일 때, 벡터

[eqn: 2 LEFT ( ` {vec{a}} + {vec{b}} ` RIGHT ) -3 LEFT ( ` {vec{a}} - {vec{b}} ` RIGHT )]를 성분으로 나타내면?

① [eqn: (-5,~14)]	② [eqn: (-5,~16)]

③ [eqn: (-7,~14)]	④ [eqn: (-4,~16)]

⑤ [eqn: (-9,~14)]

[성취기준1-상]

5

세 점 [eqn: rm A(-3,``5)], [eqn: rm B(-5,``2)], [eqn: rm C(3,``itx)]가 한 직선 위에 있을 때, 실수 [eqn: x]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[성취기준2-하]

중단원 평가 문제

2. 평면벡터의 성분과 내적 - ②회

Ⅱ. 평면벡터

6

두 벡터 [eqn: vec a], [eqn: vec b]가 이루는 각의 크기가 [eqn: {pi } over {6}]이고,
[eqn: LEFT | {vec{a}} RIGHT | =2], [eqn: LEFT | {vec{b}} RIGHT | =4]일 때, [eqn: LEFT ( 2 {vec{a}} - {vec{b}} ` RIGHT ) BULLET LEFT ( ` {vec{a}} + {vec{b}} ` RIGHT )]의
값을 구하시오.

[성취기준2-중]

7

오른쪽 그림과 같이 정삼각형 [eqn: rm ABC]의 세 변 [eqn: rm AB], [eqn: rm BC], [eqn: rm CA]의 중점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q], [eqn: rm R]라 할 때, 다음 중 그 값이 가장 큰 것은?

① [eqn: rm {vec{AB}} BULLET {vec{AC}}]	② [eqn: rm {vec{AC}} BULLET {vec{AC}}]

③ [eqn: rm {vec{AC}} BULLET {vec{AQ}}]	④ [eqn: rm {vec{BC}} BULLET {vec{AC}}]

⑤ [eqn: rm {vec{BR}} BULLET {vec{RA}}]

[성취기준2-중]

8

좌표평면 위의 영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여 [eqn: left|veca right|=left|vecb right|=left|veca -vecb right|]가 성립한다. 이때
[eqn: left|2veca -vecb right|=m left|vecb right|]를 만족시키는 상수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: root3]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: 3root3]

[성취기준2-중]

9

세 벡터 [eqn: veca =(2,``3)], [eqn: vecb =(m,``-4)], [eqn: vecc =(6,``n)]에 대하여 두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecc]는 서로 평행하고, 두 벡터 [eqn: vecb], [eqn: vecc]는 서로 수직이다. 실수 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: m+n]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

[성취기준3-중]

10

두 점 [eqn: rm A(-3,``0)], [eqn: rm B(-1,``1)]을 지나는 직선과 두 점 [eqn: rm C(5,``1)], [eqn: rm D(4,``2)]를 지나는 직선이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: root2 over5]	② [eqn: 3 over10]	③ [eqn: root10 over10]

④ [eqn: root11 over10]	⑤ [eqn: root3 over5]

[성취기준3-상]

11

점 [eqn: \A(3,~ 2)]에서 직선 [eqn: l :` x-3 over 2 = y+1]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라고 할 때, 직선 [eqn: \AH]의 방정식은?

① [eqn: {x-3} = {y-2} over { 2 }]	② [eqn: {x-3} = {y-2} over {- 2 }]

③ [eqn: {x-3} = {y-2} over { 3}]	④ [eqn: {x-3} = {y-2} over {-3 }]

⑤ [eqn: {x-3} over -2 = {y-2}]

[성취기준4-중]

12

세 위치벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: {vec{b}}], [eqn: {vec{p}}]에 대하여 [eqn: {vec{a}} =(-4,~3)],
[eqn: {vec{b}} =(2,~-3)]이고 두 벡터 [eqn: {vec{p}} - {vec{a}}], [eqn: {vec{p}} - {vec{b}}]의 내적

[eqn: ( {vec{p}} - {vec{a}} ) BULLET ( {vec{p}} - {vec{b}} )=0]

이 성립할 때, 벡터 [eqn: {vec{p}}]의 종점 [eqn: rmP]가 그리는 도형의 넓이는?

① [eqn: 16pi]	② [eqn: 18 pi]	③ [eqn: 20pi]

④ [eqn: 22pi]	⑤ [eqn: 24pi]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

좌표평면 위의 세 점 [eqn: \A(4,~1)], [eqn: \B( -1,~0)],

[eqn: \C (0,~-4)]와 점 [eqn: \P]에 대하여 [eqn: vec \PA +vecPB +vecPC]의 크기가 [eqn: 6] 이하이다. 이때 점 [eqn: \P]가 위치할 수 있는 영역의 넓이를 구하시오.

[성취기준2-중]

14

두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 대하여

[eqn: left|veca right|=3], [eqn: left|vecb right|=4], [eqn: left(veca +vecb right) bulletleft(veca -2vecb right)=-27]

일 때, [eqn: left|veca -vecb right|]의 값을 구하시오.

Ⅱ

3. 평면 운동

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 미분법을 이용하여 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.	상	미분법을 이용하여 속도와 가속도에 대한 문제를 해결할 수 있다.		2
	중	미분법을 이용하여 속도와 가속도에 대한 간단한 문제를 해결할 수 있다.	2	5
	하	속도와 가속도의 관계를 말할 수 있다.	1	1

2 정적분을 이용하여 속도와 거리에 대한 문제를 해결할 수 있다.	상	정적분을 이용하여 속도와 거리에 대한 문제를 해결할 수 있다.	5	4
	중	정적분을 이용하여 속도와 거리의 관계를 파악하고 속도와 거리에 대한 간단한 문제를 해결할 수 있다.	3, 4	3
	하	속도를 나타내는 함수와 위치를 나타내는 함수 사이의 관계를 말할 수 있다.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅱ. 평면벡터

3. 평면 운동 - ①회

중단원 평가 문제

[성취기준1-하]

1

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P it (x,``y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가

[eqn: x= 3 over5 t], [eqn: y= ln`(t^2 +1)]

로 나타내어질 때, 시각 [eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rmP]의 속력은?

① [eqn: -e]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: e]

[성취기준1-중]

2

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P it(x,``y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가

[eqn: x=at^2 -a`sin`t], [eqn: y=t-a`cos`t]

로 나타내어진다. 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t=pi]에서의 가속도의 크기가 [eqn: 5]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: root3]	② [eqn: 2root3]	③ [eqn: root5]

④ [eqn: 2root5]	⑤ [eqn: 3root5]

[성취기준2-중]

3

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: \P(it x,~y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가

[eqn: x=t-1], [eqn: y=t^2 -2t]

로 나타내어진다. 점 [eqn: \P]의 속력이 최소일 때, 점 [eqn: \P]의 위치를 구하시오.

[성취기준2-중]

4

곡선 [eqn: f(x)= {1} over {2} (e ^{x} +e ^{-x} )]에 대하여 [eqn: x=0]에서 [eqn: x=1]까지의 곡선의 길이를 구하시오.

서술형 문제

[성취기준2-상]

5

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP it (x,``y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가

[eqn: x= 2t^2], [eqn: y= 1over3 t^3 -4t]

로 나타내어질 때, 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: rm P]의 속력이 [eqn: 13]이 될 때까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리를 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅱ. 평면벡터

3. 평면 운동 - ②회

중단원 평가 문제

1

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P it (x,``y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가

[eqn: x=e^2t], [eqn: y= 1 over2 e^2t -1]

로 나타내어질 때, 시각 [eqn: t=1]에서의 점 [eqn: rmP]의 속력은?

① [eqn: e^2]	② [eqn: root2 e^2]	③ [eqn: root3 e^2]

④ [eqn: 2e^2]	⑤ [eqn: root5 e^2]

[성취기준1-상]

2

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P it(x,``y)]의 시각 [eqn: t]에서의 위치가

[eqn: x=3`cos`t], [eqn: y=2`sin`t]

로 나타내어진다. 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 가속도의 크기의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때,

[eqn: M+m]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[성취기준2-중]

3

곡선 [eqn: y= {2} over {3} (x ^{2} +1) ^{{3} over {2}}]에 대하여  [eqn: x=0]에서

[eqn: x=3]까지의 곡선의 길이는?

① [eqn: {20} over {3}]	② [eqn: 10]	③ [eqn: {44} over {3}]

④ [eqn: {52} over {3}]	⑤ [eqn: 21]

[성취기준2-상]

4

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서 위치
벡터의 성분이 [eqn: (x,``y)]이고,

[eqn: x=e ^{-t} cos`t], [eqn: y=e ^{-t} sin`t]

로 나타내어진다. 시각 [eqn: t=0]에서 시각 [eqn: t=a]
([eqn: a>0])까지 움직인 거리를 [eqn: s(a)]라 할 때,

[eqn: lim _{a-> INF } {``s(a)}]의 값은?

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: sqrt {5}]	⑤ [eqn: sqrt {6}]

서술형 문제

[성취기준1-중]

5

수평면으로부터 [eqn: 45°]의 각을 이루는 방향으로 초속 [eqn: 10`rmm]로 쏘아 올린 공의 [eqn: t]초 후의 수평과 수직 위치를 벡터의 성분 [eqn: (x,``y)]로 나타내면

[eqn: x=5root2 t], [eqn: y=5root2 t -5t^2]

이다. 이 공이 지면에 떨어질 때의 속도를

[eqn: vecv =(a,``b)]라고 할 때, 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값을 구하시오.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅲ

1. 공간도형

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 위치 관계에 대한 간단한 증명을 할 수 있다.	상	공간에서 직선, 평면 사이에 어떤 위치 관계가 가능한지 추측하고, 직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 위치 관계에 대한 간단한 증명을 할 수 있다.	7	5, 6, 7
	중	직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 위치 관계를 이해한다.	4, 5, 6	2, 3, 4
	하	직선과 직선, 직선과 평면, 평면과 평면의 위치 관계를 말할 수 있다.	1, 2, 3	1

2 삼수선의 정리를 이해하고, 이를 활용할 수 있다.	상	삼수선의 정리를 이해하고, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.	9	9, 10
	중	삼수선의 정리를 이해하고, 이를 활용하여 간단한 문제를 해결할 수 있다.	13	8, 13
	하	주어진 그림에서 삼수선의 정리를 말할 수 있다.	8

3 정사영의 뜻을 알고, 정사영의 길이와 넓이를 구할 수 있다.	상	정사영의 뜻을 알고, 정사영의 길이와 넓이를 구할 수 있으며, 이를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.	12, 14	12, 14
	중	간단한 경우의 정사영의 길이와 넓이를 구할 수 있다.	11	11
	하	정사영의 뜻을 말할 수 있다.	10

[성취기준1-하]

1

오른쪽 그림의 삼각기둥에서 직선 [eqn: \AB]와 네 꼭짓점 [eqn: \A], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \F]로 만들 수 있는 서로 다른 평면의 개수는?

Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

1. 공간도형 - ①회

중단원 평가 문제

① [eqn: 4]              ② [eqn: 5]

③ [eqn: 6]              ④ [eqn: 7]

⑤ [eqn: 8]

[성취기준1-하]

2

오른쪽 그림과 같은 정오각기둥에 대하여 <보기>에서 두 직선이 꼬인 위치에 있는 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. 직선 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: rmCD] ㄴ. 직선 [eqn: rmBG]와 직선 [eqn: rmHI] ㄷ. 직선 [eqn: rmCH]와 직선 [eqn: rmFG] ㄹ. 직선 [eqn: rmDI]와 직선 [eqn: rmEJ]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준1-하]

3

공간에서 서로 다른 [eqn: 6]개의 평면으로 만들 수 있는 교선의 최대 개수는?

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[성취기준1-중]

4

서로 다른 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]과 서로 다른 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 다음 <보기> 중 옳은 것만을 있는 대로고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: l bot alpha], [eqn: m bot alpha]이면 [eqn: l⫽m]이다. ㄴ. [eqn: l BOT alpha], [eqn: m⫽ alpha]이면 [eqn: l BOT m]이다. ㄷ. [eqn: l BOT alpha], [eqn: l BOT beta]이면 [eqn: alpha ⫽ beta]이다. ㄹ. [eqn: l⫽ alpha], [eqn: alpha BOT beta]이면 [eqn: l BOT beta]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준1-중]

5

오른쪽 그림과 같은 정육면체에서 선분 [eqn: rmBH]와 선분 [eqn: rmCD]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: alpha], 선분 [eqn: rmDG]와 선분 [eqn: rmAB]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: beta]라 할 때,

[eqn: cos` alpha TIMES cos` beta]의 값은?

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {6}]

[성취기준1-중]

중단원 평가 문제

1. 공간도형 - ①회

Ⅲ. 공간도형과

공간좌표

6

오른쪽 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 같은 정사각뿔에 대하여 두 평면 [eqn: rmABC], [eqn: rm BCDE]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때,

[eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: root3 over3]	② [eqn: {2root3} over3]	③ [eqn: root3]

④ [eqn: 4root3} over3]	⑤ [eqn: {5root3} over3]

[성취기준1-상]

7

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정사면체에서 모서리 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]와 모서리 [eqn: rm CD] 위의 점 [eqn: rmQ]를 연결한 선분 [eqn: rm PQ]의 길이의 최솟값은?

① [eqn: root2]	② [eqn: root3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: root5]	⑤ [eqn: root6]

[성취기준2-하]

8

오른쪽 그림과 같이 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO]라 하고, 점 [eqn: rmO]에서 [eqn: alpha] 위의 직선 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: bar{rmAP}=6], [eqn: bar{rmAH}=2], [eqn: bar{rmOH}=4]일 때, [eqn: bar{rmOP}]의 길이는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 4 sqrt {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 5 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 6]

[성취기준2-상]

9

오른쪽 그림과 같이 책상 위에 놓인 삼각자 [eqn: rmBDC]와 책상 면에 수직인 삼각자 [eqn: rm ABC]가 변 [eqn: rmBC]를 교선으로 하여 만나고 있다. 삼각형 [eqn: rmACD]에서
[eqn: rmangleACD =theta]라고 할 때, [eqn: cos` theta]의 값은?

① [eqn: {root6} over6]	② [eqn: {root3} over4]	③ [eqn: {root6} over4]

④ [eqn: {root6} over3]	⑤ [eqn: {root3} over2]

[성취기준3-하]

10

평면 [eqn: alpha] 위에 세 변의 길이가 [eqn: 5,~12,~13]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60°]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영의 넓이를 구하시오.

[성취기준3-중]

11

오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원기둥을 밑면과 [eqn: 60°]의  각을 이루는 평면으로 자를 때 생기는 단면은 타원이 된다. 이 타원의 두 초점 사이의 거리는?

① [eqn: {8root3} over3]	② [eqn: 4root3]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 6root3]

[성취기준3-상]

12

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 8]인 정육면체에서 모서리 [eqn: \AE], [eqn: \EF], [eqn: \FG], [eqn: \GC], [eqn: \CD], [eqn: \DA]의 중점을 연결한 육각형과 평면 [eqn: \EFGH]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos``theta]의 값은?

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: root2 over3]	③ [eqn: root 3over 3]

④ [eqn: 2 over3]	⑤ [eqn: root 5 over 3]

서술형 문제

[성취기준2-중]

13

오른쪽 그림과 같이

[eqn: bar{rm AB it} =2], [eqn: bar{rm AD it} =3],
[eqn: bar{rm BF it} =1]인 직육면체에서 [eqn: bar{\FG]의 중점을 [eqn: \M], 점 [eqn: \A]에서 [eqn: bar{\MH]에 내린 수선의 발을 [eqn: \P]라고 할 때, 선분 [eqn: {\AP]의 길이를 구하시오.

[성취기준3-상]

14

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정사면체에서 두 점 [eqn: rmM], [eqn: rmN]은 각각 [eqn: rmbar{AD}], [eqn: rmbar{BC}]의 중점이다. [eqn: bar{rmMN]의 밑면 [eqn: rmBCD] 위로의 정사영의 길이를 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

1. 공간도형 - ②회

중단원 평가 문제

1

다음 중 평면의 결정조건이 아닌 것은?

① 평행한 두 직선

② 서로 다른 두 직선

③ 한 점에서 만나는 두 직선

④ 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점

⑤ 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점

[성취기준1-중]

2

오른쪽 그림과 같은 직육면체의 [eqn: 8]개의 꼭짓점 중 서로 다른 두 꼭짓점을 이어 선분을 만들 때, 직육면체의 모서리가 아닌 한 선분과 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[성취기준1-중]

3

오른쪽 그림과 같이

[eqn: rmbar{AB} =bar{ BF} =1],
[eqn: rmbar{AD} =2]인 직육면체에서 대각선 AG가 세 평면 [eqn: rm ABCD], [eqn: rmBFGC], [eqn: rmABFE]와 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha ,~ beta ,~ gamma]라 할 때,
[eqn: cos ^{2} `alpha +cos ^{2} ` beta +cos ^{2} ` gamma]의 값은?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {5} over {3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {7} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[성취기준1-중]

4

오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형을 밑면으로 하고 옆면이 모두 이등변삼각형인 정사각뿔이 있다. 옆면과 밑면이 이루는 각의 크기가 [eqn: pi over3]일 때, 모서리 [eqn: rmAB]의 길이는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 2root5]	③ [eqn: 2root6]

④ [eqn: 2root7]	⑤ [eqn: 4root2]

[성취기준1-상]

5

다음 중 공간에서 직선과 평면의 위치 관계에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

① 평행한 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 직선 [eqn: l]이 평면 [eqn: alpha]에 포함되면 [eqn: l⫽beta]이다.

② 평면 [eqn: alpha]에 포함되지 않는 직선 [eqn: l]이 평면 [eqn: alpha] 위에서 만나는 두 직선 [eqn: m], [eqn: n]과 각각 수직이면

[eqn: l botalpha]이다.

③ 직선 [eqn: l]이 평면 [eqn: alpha]에 수직일 때, 직선 [eqn: l]을 포함하면서 [eqn: alpha]와 평행한 평면 [eqn: beta]가 존재한다.

④ 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 평행할 때, 평면 [eqn: alpha]와 한 점에서 만나는 직선 [eqn: l]은 평면 [eqn: beta]와도 한 점에서 만난다.

⑤ 두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]이 평행할 때, 직선 [eqn: m]을 포함하고 직선 [eqn: l]을 포함하지 않는 평면 [eqn: alpha]는 직선 [eqn: l]과 평행하다.

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

1. 공간도형 - ②회

Ⅲ. 공간도형과

공간좌표

6

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: a]인 정사면체에서 모서리 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라고 하자. 두 직선

[eqn: rmAM], [eqn: rmCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {root3} over6]	② [eqn: {root3} over4]	③ [eqn: {root6} over4]

④ [eqn: {root6} over3]	⑤ [eqn: {root3} over2]

[성취기준1-상]

7

오른쪽 그림과 같은 사면체의 부피는?

① [eqn: {4root3}over3]	② [eqn: {5root3}over3]

③ [eqn: 2root3]	④ [eqn: {7root3}over3]

⑤ [eqn: {8root3 }over3]

[성취기준2-중]

8

평면 [eqn: alpha] 위에 있는 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지나는 직선을 [eqn: l]이라 하고, 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 점 [eqn: rmP]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자. [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{PA}} = {bar{PB}} =12], [eqn: rm {bar{PH}} =8]일 때, 점 [eqn: rmH]와 직선 [eqn: l] 사이의 거리는?

① [eqn: 2 sqrt {11}]	② [eqn: 4 sqrt {3}]	③ [eqn: 2 sqrt {13}]

④ [eqn: 2 sqrt {14}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {15}]

[성취기준2-상]

9

오른쪽 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구가 평면 [eqn: alpha] 위에 놓여 있다. 평면 [eqn: alpha] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 구의 중심 [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rm triangleCAB]는 한 변의 길이가 [eqn: root3]인 정삼각형일 때, 평면 [eqn: rmCAB]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: root3 over3]	② [eqn: root3 over2]	③ [eqn: root5 over3]

④ [eqn: root5 over2]	⑤ [eqn: root7 over3]

[성취기준2-상]

10

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 1`]인 정사면체에서 [eqn: rm bar BC], [eqn: bar \CD]의 중점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: \N]이라고 하자. 두 평면
[eqn: rm AMN`], [eqn: \BCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라고 할 때, [eqn: cos `theta]의 값은?

① [eqn: root 29 over 33]	② [eqn: root31 over 33]	③ [eqn: root33 over33]

④ [eqn: root35 over 33]	⑤ [eqn: root 37 over 33]

[성취기준3-중]

11

오른쪽 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 3]인 정사각뿔에서 삼각형 [eqn: \OAB]의 평면 [eqn: \ABCD] 위로의 정사영의 넓이는?
① [eqn: root2 over2]	② [eqn: root3 over 2]	③ [eqn: 3 over 2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 9 over 4]

[성취기준3-상]

12

오른쪽 그림과 같이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 30°]이고, 평면 [eqn: alpha] 위에 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm AB]가 있다. 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 교선과 선분 [eqn: rm AB]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 60°]일 때, 선분 [eqn: rm AB]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영인 선분 [eqn: rmA'B']의 길이는?

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt { 5}]	③ [eqn: 2sqrt { 3}]

④ [eqn: sqrt { 13}]	⑤ [eqn: 4]

서술형 문제

[성취기준2-중]

13

오른쪽 그림과 같이

[eqn: rm barAB =barBF =1],

[eqn: rm barAD =root2]

인 직육면체에서 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmEG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm K]라고 할 때, 선분 [eqn: rmDK]의 길이를 구하시오.

[성취기준3-상]

14

오른쪽 그림과 같이 구 모양의 풍선이 하늘에 떠 있다. 태양이 지면과 [eqn: 60°]의 각도로 비출 때, 지면 위에 생긴 풍선의 그림자의 넓이는

[eqn: 16 sqrt {3} pi rm ``m ^{2}]이다. 풍선의 반지름의 길이는 몇 [eqn: rmm]인지 구하시오.

Ⅲ

2. 공간좌표

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 좌표공간에서 점의 좌표를 이해하고, 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.	상	좌표공간에서 점의 좌표를 이해하고, 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 설명할 수 있다.	5, 6, 13	5, 6
	중	좌표공간에서 점의 좌표를 이해하고, 두 점 사이의 거리를 구할 수 있다.	3, 4	3, 4
	하	좌표공간에서 점의 좌표를 구할 수 있다.	1, 2	1, 2

2 좌표공간에서 선분의 내분점과 외분점의 좌표를 구할 수 있다.	상	좌표공간에서 내분점, 외분점의 좌표를 구하는 방법을 이해하고 선분의 내분점과 외분점의 좌표를 구할 수 있다.	10	13
	중	좌표공간에서 양 끝점의 좌표가 주어진 선분의 내분점과 외분점의 좌표를 구할 수 있다.	8, 9	8, 9, 10
	하	좌표공간에서 선분의 내분과 외분의 뜻을 말할 수 있다.	7	7

3 구의 방정식을 구할 수 있다.	상	구의 방정식을 구할 수 있다.	14	14
	중	간단한 구의 방정식을 구할 수 있다.	12	11, 12
	하	간단한 구의 방정식에서 중심, 반지름의 길이를 구할 수 있다.	11

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

[성취기준1-하]

1

다음 그림과 같은 직육면체에서 [eqn: rm A(4,~2,~6)], [eqn: rm G(8,~12,~-2)]이다. 점 [eqn: rmC]의 좌표가 [eqn: (a,~b,~c)]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

2. 공간좌표 - ①회

중단원 평가 문제

① [eqn: 22]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 38]

[성취기준1-하]

2

점 [eqn: (1, ``3, ``4)]를 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: \A], 점 [eqn: \A]를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: \B]라고 할 때, 점 [eqn: \B]의 좌표는?

① [eqn: rm B it (1,``3,``-4)]	② [eqn: {\B}(1,`` -3,``4)]

③ [eqn: {\B}(1,``- 3,``-4)]	④ [eqn: {\B}(-1,`` 3,``-4)]

⑤ [eqn: {\B}(-1,`` -3,``4)]

[성취기준1-중]

3

두 점 [eqn: rmA(2,``1,``0)], [eqn: rm B(-2,``-1,``2)]에서 같은 거리에 있는 [eqn: x]축 위의 점을 [eqn: rmP it(a,``0,``0)]이라고 할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: - 1 over2]	② [eqn: - 1 over3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1 over3]	⑤ [eqn: 1 over2]

[성취기준1-중]

4

세 점

[eqn: rm A(0,~2,~4)], [eqn: rmB(-2,~2,~2)], [eqn: rm C it(a,~4,~-2)]

에 대하여 [eqn: rmbar{AC}=bar{BC}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -1]	②  [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④  [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

[성취기준1-상]

5

두 점 [eqn: rm A(3,``4,``1)], [eqn: rm B it (1,``3,``2)]와 [eqn: xy]평면 위의 점 [eqn: rmP], [eqn: yz]평면 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여

[eqn: rm barAP +barPQ +barQB]의 최솟값은?

① [eqn: 3root2]	② [eqn: root19]	③ [eqn: 2root5]

④ [eqn: root21]	⑤ [eqn: root26]

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

2. 공간좌표 - ①회

Ⅲ. 공간도형과

공간좌표

6

두 점 [eqn: rmA(3,``-1,``5)], [eqn: rmB it (-1,``a,``2)]를 지나는 직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: zx]평면이 이루는 각의 크기가 [eqn: 45°]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[성취기준2-하]

7

두 점 [eqn: rmA(2,``2,``10)], [eqn: rmB(-3,``2,``5)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점을 [eqn: rmP it (a,``b,``c)]라고 할 때, [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[성취기준2-중]

8

세 점 [eqn: \A(3,`` 0,`` 0)], [eqn: \B(3,`` 3,`` 0)], [eqn: \C(0,`` 3,`` 4)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \ABC]에서 [eqn: rmangleB]의 이등분선이 변 [eqn: \AC]와 만나는 점 [eqn: \P]의 좌표는?

① [eqn: \P left( 9over8 ,`` 3over8 ,`` 3over4 right)]	② [eqn: \P left( 3over2 ,`` 9over8 ,`` 1over2 right)]

③ [eqn: \P left( 15over8 ,`` 9over8 ,`` 3over2 right)]	④ [eqn: \P left( 15over8 ,`` 1over4 ,`` 3over2 right)]

⑤ [eqn: \P left( 2 ,`` 5over4 ,`` 3over4 right)]

[성취기준2-중]

9

세 점 [eqn: rmA,~B,~C]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmA(4,~2,~-2)], [eqn: rmB(-3,~2,~5)]이고, 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심이 [eqn: rmG(1,~3,~-2)]일 때, 점 [eqn: rmC]의 좌표는?

① [eqn: rm C(-2,~-5,~9)]	②  [eqn: rmC(-1,~4,~-9)]

③ [eqn: rmC(0,~3,~2)]	④  [eqn: rmC(1,~5,~-6)]

⑤ [eqn: rmC(2,~5,~-9)]

[성취기준2-상]

10

평행사변형 [eqn: rmABCD]의 두 꼭짓점 [eqn: rmA,~C]의 좌표가 각각 [eqn: rmA(-4,~4,~3)], [eqn: rmC(2,~-6,~1)]이고 네 변 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCD], [eqn: rm DA]의 중점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 할 때, 사각형 [eqn: rmPQRS]의 두 대각선의 교점의 좌표가 [eqn: (a,~b,~c)]이다. 이때 [eqn: abc]의 값은?

① [eqn: -2]	②  [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④  [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[성취기준3-하]

11

두 점 [eqn: rmA(1,``3,``1)], [eqn: rmB(1,``1,``-1)]을 지름의 양 끝 점으로 하는 구의 반지름의 길이는?

① [eqn: root2]	② [eqn: root3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: root5]	⑤ [eqn: root6]

[성취기준3-중]

12

구 [eqn: (x-1) ^{2} +(y+2) ^{2} +(z-3) ^{2} =16]과 [eqn: xy]평면이 만나서 생기는 도형의 둘레의 길이는?

① [eqn: sqrt {7} pi]	② [eqn: 3 pi]	③ [eqn: 4 pi]

④  [eqn: 2 sqrt {7} pi]	⑤ [eqn: 5 pi]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

점 [eqn: rmP(0,``4,``2)]에서 [eqn: xy]평면 위의 직선 [eqn: y=root3 x]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 할 때, 선분 [eqn: rmPH]의 길이를 구하시오.

[성취기준3-상]

14

두 점 [eqn: rmA(-2,``0,``5)], [eqn: rmC(4,``3,``-1)]에 대하여

[eqn: rm angleABC=90°]가 되도록 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 점 [eqn: rmB]가 나타내는 도형의 부피를 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅲ. 공간도형과 공간좌표

2. 공간좌표 - ②회

중단원 평가 문제

1

오른쪽 그림과 같은 직육면체의 꼭짓점 [eqn: rmA]를 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmP], 점 [eqn: rmP]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때,

[eqn: rmQ][eqn: (a,``2,``b)]이다. [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준1-하]

2

네 점 [eqn: rmO(0,``0,``0)], [eqn: rmA(-1,``2,``4)], [eqn: rm B(1,`-2,``3)], [eqn: rmC(4,``1,`-3)]에 대하여 다음 중 길이가 가장 짧은 선분은?

① [eqn: rm {bar{OA}}]	② [eqn: rm {bar{OB}}]	③ [eqn: rm {bar{AB}}]

④ [eqn: rm {bar{AC}}]	⑤ [eqn: rm {bar{BC}}]

[성취기준1-중]

3

점 [eqn: rmP(2,~-3,~3)]을 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: z]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라 할 때, 두 점 [eqn: rmA,~B] 사이의 거리는?

① [eqn: rm sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {7}]	③ [eqn: rm sqrt {13}]

④ [eqn: sqrt {15}]	⑤ [eqn: 4]

[성취기준1-중]

4

두 점 [eqn: \A(3,`` 1,`` 2)], [eqn: \B(2,`` 4,`` 3)]과 [eqn: zx]평면 위의 임의의 점 [eqn: \P]에 대하여 [eqn: bar{\AP} + bar{\BP}]의 최솟값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 3 sqrt {3}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[성취기준1-상]

5

두 점 [eqn: rmA(2, ``it a-1, ``0)], [eqn: rm B(1, ``it b-2,`` a+b+1)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 길이가 최소일 때, 선분 [eqn: rm OB]의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: root3]	② [eqn: 2]	③ [eqn: root5]

④ [eqn: root6]	⑤ [eqn: root7]

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

2. 공간좌표 - ②회

Ⅲ. 공간도형과

공간좌표

6

두 점 [eqn: rm A it (1`,`` sqrt {2} `,``a)], [eqn: rm B it (4`,``0`,``2)]에 대하여 직선 [eqn: \AB]와 [eqn: yz]평면이 이루는 각의 크기가 [eqn: 30°]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[성취기준2-하]

7

두 점 [eqn: rm A(1,~-3,~3)], [eqn: rm B (4,~3,~-3)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmAB]를  [eqn: 2:1]로 외분하는 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표는?

① [eqn: rmM(4,~3,~-3)]	② [eqn: rmM(4,~4,~-4)]

③ [eqn: rmM LEFT ( {9} over {2} ,~3,~-3 RIGHT )]	④ [eqn: rmM LEFT ( {9} over {2} ,~4,~-4 RIGHT )]

⑤ [eqn: rmM (5,~4,~-4)]

[성취기준2-중]

8

두 점 [eqn: rmA(2,~3,~5)], [eqn: rmB(-3,~6,~4)]를 이은 선분 [eqn: rmAB]가 [eqn: yz]평면에 의하여 [eqn: m:n]으로 내분될 때, [eqn: {n} over {m}]의 값은? (단, [eqn: m>0], [eqn: n>0])

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[성취기준2-중]

9

네 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 꼭짓점으로 하는 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rmA(-1,``-3,``-5)], [eqn: rm B(2,``4,``5)],

[eqn: rmC(-2,``1,``4)]일 때, 선분 [eqn: rm BD]의 길이는?

① [eqn: root30]	② [eqn: 2root30]	③ [eqn: 3root30]

④ [eqn: 4root30]	⑤ [eqn: 5root30]

[성취기준2-중]

10

삼각형 [eqn: rmABC]에서 세 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC], [eqn: rmCA]의 중점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라고 하면 그 좌표는 각각

[eqn: rmP(2,``-3,``1)], [eqn: rmQ(3,``5,``2)], [eqn: rm R(1,``-8,``0)]

이다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심을 [eqn: rmG]라고 할 때, 선분 [eqn: rmOG]의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: root6]	② [eqn: root7]	③ [eqn: 2root2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: root10]

[성취기준3-중]

11

두 점 [eqn: rmA(2,``1,``5)], [eqn: rmB(-1,``4,``-4)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점과 [eqn: 1:2]로 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 구의 방정식은?

① [eqn: (x-3)^2 +y^2 +(z+8)^2 =18]

② [eqn: (x-3)^2 +y^2 +(z-8)^2 =18]

③ [eqn: (x+3)^2 +y^2 +(z-8)^2 =44]

④ [eqn: (x-3)^2 +y^2 +(z+8)^2 =44]

⑤ [eqn: (x-3)^2 +y^2 +(z-8)^2 =44]

[성취기준3-중]

12

구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +8x+4y-4z-21=0]이 [eqn: y]축과 서로 다른 두 점 [eqn: rmA,~B]에서 만날 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

서술형 문제

[성취기준2-상]

13

세 점 [eqn: rmA(6,``1,``-4)], [eqn: rmB(4,``-5,``2)], [eqn: rmC(9,``0,``7)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmBC]를

[eqn: 2:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 3:2]로 외분하는 점을 [eqn: rmR]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmPQR]의 무게중심의 좌표를 구하시오.

[성취기준3-상]

14

원점 [eqn: rmO]와 두 점 [eqn: rm A it(a,``b,``0)], [eqn: rmB it(a-2, ``b+3, ``0)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심을 [eqn: rmG]라고 하자. 중심이 [eqn: rm C(4,``5,``2)]인 구가 평면 [eqn: rmOAB]와 점 [eqn: rm G]에서 접할 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]의 값을 구하시오.

Ⅳ

1. 공간벡터의 연산과 내적

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 공간벡터의 뜻을 알고, 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다.	상	공간벡터의 뜻을 알고, 여러 가지 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다.	6	5, 11
	중	공간벡터의 뜻을 알고, 벡터의 연산에 대한 성질을 이용하여 간단한 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다.	1, 2, 3, 4, 5, 11	2, 3, 4
	하	공간벡터의 뜻을 말할 수 있고, 그림으로 주어진 공간벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배를 할 수 있다.		1

2 두 공간벡터의 내적의 뜻을 알고, 이를 구할 수 있다.	상	두 공간벡터의 내적을 이용하여 다양한 문제를 해결할 수 있다.	10	12
	중	두 공간벡터의 내적의 뜻을 이해하고 두 공간벡터의 내적을 구할 수 있다.	7, 8, 9, 12	7, 8, 9, 10
	하	간단한 경우의 두 공간벡터의 내적을 구할 수 있다.		6

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

[성취기준1-중]

1

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 1]인 정육면체에서 [eqn: rm {vec{AB}} it= {vec{a}}], [eqn: rm {vec{AD}} it = {vec{b}}],
[eqn: rm {vec{AE}} it = {vec{c}}]라 할 때,

Ⅳ. 공간벡터

1. 공간벡터의 연산과 내적 - ①회

중단원 평가 문제

[eqn: 2( {vec{a}} -2 {vec{b}} +3 {vec{c}} )]

[eqn: -( {vec{a}} -6 {vec{b}} +5 {vec{c}} )]

의 크기는?

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt { 5}]	③ [eqn: sqrt {6}]

④ [eqn: sqrt {7}]	⑤ [eqn: 3]

[성취기준1-중]

2

오른쪽 그림과 같은 직육면체에서 [eqn: rm vecFE =it veca],
[eqn: rm vecFG =it vecb], [eqn: rm vecFB =it vec c]라 할 때, 다음 중 옳은 것은?

① [eqn: rm vecHF =it veca +vecb]

② [eqn: rm vecHC = it veca -vecc]

③ [eqn: rm vecEC =it veca +vecb +vecc]

④ [eqn: rm vecBH =it veca +vecb -vecc]

⑤ [eqn: rm vecDF =it veca -vecb -vecc]

[성취기준1-중]

3

두 공간벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]가

[eqn: {vec{a}} =(4,~2,~-4)], [eqn: {vec{b}} =(-6,~8,~2)]

일 때, [eqn: {vec{x}} + {vec{y}} = {vec{a}}], [eqn: - {vec{x}} +3 {vec{y}} = {vec{b}}]를 만족시키는 두 벡터 [eqn: {vec{x}}], [eqn: {vec{y}}]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{x}} - {vec{y}} RIGHT |]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: sqrt {43}]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: sqrt {55}]	⑤ [eqn: 8]

[성취기준1-중]

4

두 공간벡터

[eqn: veca =(2l-3,``m+3,``n-5)],

[eqn: vecb =(l+3,``l,``2m)]

에 대하여 [eqn: veca =vecb]일 때, [eqn: l+m+n]의 값은?

(단, [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]은 실수이다.)

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[성취기준1-중]

중단원 평가 문제

1. 공간벡터의 연산과 내적 - ①회

Ⅳ. 공간벡터

5

네 점 [eqn: rmA(0,``1,``3)], [eqn: rm B(2,``1,``0)], [eqn: rmC(0,``2,``1)],
[eqn: rmD it (a,``b,``c)]에 대하여 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmBC]를 이웃하는 두 변으로 하는 평행사변형 [eqn: rmABCD]를 만들 때, 벡터 [eqn: rm vecOD]의 크기는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: 2root6]	② [eqn: 5]	③ [eqn: root26]

④ [eqn: 3root3]	⑤ [eqn: 2root7]

[성취기준1-상]

6

좌표공간에서 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]의 위치벡터가 각각

[eqn: veca =(1,``-2,``3)], [eqn: vecb =(-1,``2,``3)],
[eqn: vecc =(3,``2,``-3)]

일 때, 선분 [eqn: rmBC]의 중점 [eqn: rmM]에 대하여 선분 [eqn: rmAM]을 [eqn: 1:2]로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 위치벡터 [eqn: vecp]는?

① [eqn: left(-1, ``- 2over3 ,``2 right)]	② [eqn: left(1, ``- 2over3 , ``1 right)]

③ [eqn: left(1, ``- 2over3 , ``2 right)]	④ [eqn: left(1, ``2 over3 , ``-2right)]

⑤ [eqn: left(1, ``2over3 , ``1 right)]

[성취기준2-중]

7

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정육면체에서

[eqn: rm {vec{AF}} BULLET {vec{FC}} it =a],

[eqn: rm {vec{CG}} BULLET {vec{CE}} it =b]

일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

[성취기준2-중]

8

점 [eqn: rmA(1`,``0`,``2)]를 점 [eqn: (-1`,``2`,``1)]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm A prime], 점 [eqn: rmB (-2`, ``1`, ``3)]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: \B prime]이라 할 때, [eqn: vec{\OA prime} bulletvec{\OB prime}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: -2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

[성취기준2-중]

9

두 공간벡터 [eqn: {vec{a}} =(2,~1,~-3)], [eqn: {vec{b}} =(1,~-3,~4)]에 대하여 두 벡터 [eqn: {vec{a}} +t {vec{b}}]와 [eqn: {vec{a}} -2 {vec{b}}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 90°]가 되도록 하는 실수 [eqn: t]의 값이 [eqn: {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값은?

(단, [eqn: p,~q]는 서로소인 자연수이다.)

① [eqn: 9]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 25]

[성취기준2-상]

10

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정육면체에서 [eqn: rmbarBC], [eqn: rm barBF]의 중점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: rmN]이라 하자.
두 벡터 [eqn: rm vecDM], [eqn: rm vecEN]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin`theta]의 값은?

① [eqn: 1 over5]	② [eqn: 9 over25]	③ [eqn: 3 over5]

④ [eqn: 16 over25]	⑤ [eqn: 4 over5]

서술형 문제

[성취기준1-중]

11

좌표공간의 네 점 [eqn: rmA(3,``5,``-2)], [eqn: rmB(-2,``1,``3)], [eqn: rmC(3,``1,``2)], [eqn: rmD(itx,``y,``z)]에 대하여

[eqn: rm vecAD =vecBD +vecCD]

를 만족시킬 때, [eqn: x+y+z]의 값을 구하시오.

[성취기준2-중]

12

두 벡터

[eqn: veca =(2k+1,``4,``3-k)],

[eqn: vecb =(-1,``k+2, ``-4)]

에 대하여 [eqn: left|veca right| =5root2]일 때, [eqn: veca bullet vecb]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k<0])

[성취기준1-하]

Ⅳ. 공간벡터

1. 공간벡터의 연산과 내적 - ②회

중단원 평가 문제

1

오른쪽 그림과 같은 사면체에서 두 모서리 [eqn: rmOA], [eqn: rmBC]의 중점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: RMN]이라 하고, [eqn: rm {vec{OA}} = it {vec{a}}],
[eqn: rm {vec{OB}} = it {vec{b}}], [eqn: rm {vec{OC}} = it {vec{c}}]라 할 때, [eqn: rm 2 {vec{MN}}]을 [eqn: veca], [eqn: vecb], [eqn: vecc]로 나타내면?

① [eqn: {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}}]	② [eqn: {vec{a}} - {vec{b}} + {vec{c}}]

③ [eqn: {vec{a}} - {vec{b}} - {vec{c}}]	④ [eqn: - {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}}]

⑤ [eqn: - {vec{a}} + {vec{b}} - {vec{c}}]

[성취기준1-중]

2

오른쪽 그림과 같은

직육면체에서 [eqn: rm vecAB = it veca],

[eqn: rm vecAD = it vecb], [eqn: rm vec AE = it vecc]라 할
때, 다음 중

[eqn: 3 LEFT ( ` {vec{a}} - {vec{b}} -3 {vec{c}} ` RIGHT )]

[eqn: -2 LEFT ( ` {vec{a}} - {vec{b}} -5 {vec{c}} ` RIGHT )]

와 같은 벡터는?

① [eqn: rm vecAG]	② [eqn: rm vecAF]	③ [eqn: rm vecBH]

④ [eqn: rm vecCE]	⑤ [eqn: rm vec DF]

[성취기준1-중]

3

두 벡터
[eqn: vec{a} =(-2`,``1`,``3)], [eqn: vec{b} =(0`,``3`,``-2)]
에 대하여 등식 [eqn: 5veca -4 vecx = 2vecb -3vecx]를 만족시키는 벡터 [eqn: vecx]의 크기는?

① [eqn: 3 root22]	② [eqn: 7 root6]	③ [eqn: 2 root105]

④ [eqn: root462]	⑤ [eqn: 11root6]

[성취기준1-중]

4

세 벡터
[eqn: vec{a} =(3`,``-4`,``2)], [eqn: vec{b} =(2`,``1`,``1)],
[eqn: vec{c} =(x-1`,``2`,``y-1)]
에 대하여 두 벡터 [eqn: veca + vecc]와 [eqn: vecb -vecc]가 평행할 때,

[eqn: x+y]의 값은? (단, [eqn: x], [eqn: y]는 실수이다.)

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 5 over 3]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 7 over 3]	⑤ [eqn: 3]

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

1. 공간벡터의 연산과 내적 - ②회

Ⅳ. 공간벡터

5

세 점 [eqn: rm A(1,``-1,``2)], [eqn: rm B(3,``2,``-2)],

[eqn: rm C(2,``-4, ``3)]과 [eqn: xy]평면 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여

[eqn: left| rm vecPA +vecPB +vecPC right|]의 값이 최소가 되는 점 [eqn: rmP]의

좌표가 [eqn: rmP it (a,``b,``0)]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[성취기준2-하]

6

오른쪽 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 2]인 정육면체에서

[eqn: {vec{rm AB it}} BULLET {vec{rm AF it}}]

의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-중]

7

오른쪽 그림과 같은 정사면체에서

[eqn: rm vecAO bulletvecAB =7]

일 때, 정사면체의 겉넓이는?

① [eqn: 14root3]

② [eqn: 16root3]

③ [eqn: 18root3]

④ [eqn: 20root3]

⑤ [eqn: 22root3]

[성취기준2-중]

8

두 공간벡터

[eqn: {vec{a}} =(8,``2,``x-3)], [eqn: {vec{b}} =(1,``6,``4-x)]

에 대하여 [eqn: {vec{a}} BULLET {vec{b}} <0]을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 최솟값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[성취기준2-중]

9

세 공간벡터

[eqn: veca =(1,``1,``0)], [eqn: vecb =(1,``0,``1)], [eqn: vecc =(0,``1,``1)]

에 대하여 두 벡터 [eqn: 2veca -vecb]와 [eqn: vecc]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 6`cos`theta]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: root3]

④ [eqn: 2root2]	⑤ [eqn: 2root3]

[성취기준2-중]

10

두 벡터 [eqn: veca =(-1,``2,``4)], [eqn: vecb =(k,`-1,`-2)]에 대하여 [eqn: veca bot vecb]가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: alpha], [eqn: veca ⫽ vecb]가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: beta]라 할 때, [eqn: alphabeta]의 값은?

① [eqn: - 5]	② [eqn: - 4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

서술형 문제

[성취기준1-상]

11

공간벡터 [eqn: {vec{rmOP}} =(1,~-1,~1)]의 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면 위로의 정사영을 각각 세 벡터 [eqn: rm {vec{OA}}], [eqn: rm {vec{OB}}], [eqn: rm {vec{OC}}]라 하자.

[eqn: {vec{rmOP}} =a {vec{rmOA}} +b {vec{rmOB}} +c {vec{rmOC}}]

일 때, 세 실수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[성취기준2-상]

12

좌표공간의 세 점 [eqn: rmA(3,``0,``0)], [eqn: rmB(0,``6,``0)],

[eqn: rmC(0,``0,``3)]에 대하여 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rmE]라고 하자. 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmDE] 위를 움직일 때, [eqn: rm vecOP bullet vecAP]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

Ⅳ

2. 직선과 평면, 구의 방정식

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 좌표공간에서 벡터를 이용하여 직선의 방정식을 구할 수 있다.	상	좌표공간에서 벡터를 이용하여 직선의 방정식을 구하고, 이를 활용하여 다양한 문제를 해결하며, 그 과정을 설명할 수 있다.	5, 11	5, 11
	중	좌표공간에서 벡터를 이용하여 직선의 방정식을 구할 수 있다.	2, 3, 4	2, 3, 4
	하	방향벡터의 뜻을 알고, 좌표공간에서 간단한 직선의 방정식을 구할 수 있다.	1	1

2 좌표공간에서 벡터를 이용하여 평면의 방정식과 구의 방정식을 구할 수 있다.	상	좌표공간에서 벡터를 이용하여 평면과 구의 방정식을 구하고, 이를 활용하여 문제를 해결하며, 그 과정을 설명할 수 있다.		9, 10, 12
	중	좌표공간에서 벡터를 이용하여 평면과 구의 방정식을 구할 수 있다.	7, 8, 10, 12	7, 8
	하	법선벡터의 뜻을 알고 간단한 평면과 구의 방정식을 구할 수 있다.	6, 9	6

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

[성취기준1-하]

Ⅳ. 공간벡터

2. 직선과 평면, 구의 방정식 - ①회

중단원 평가 문제

1

점 [eqn: rmA(-2,~3,~1)]을 지나고 벡터

[eqn: {vec{u}} =(1,~3,~4)]에 평행한 직선의 방정식은?

① [eqn: {x-1} over {-2} = {y-3} over {3} =z-4]

② [eqn: {x+1} over {2} = {y+3} over {3} =z-4]

③ [eqn: x-2= {y-3} over {3} = {z-1} over {4}]

④ [eqn: x+2=y-1= {z-1} over {4}]

⑤ [eqn: x+2= {y-3} over {3} = {z-1} over {4}]

[성취기준1-중]

2

두 직선

[eqn: l_1 :` x-3 = 3-y over 7 = z+1 over 10],

[eqn: l_2 :` x+1 over3 = y-1 over4 = 5-z over5]

가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos` theta]의 값은?

① [eqn: 1 over3]	② [eqn: root2 over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: root2 over2]	⑤ [eqn: root3 over2]

[성취기준1-중]

3

세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]이

[eqn: l:` {x-1}over{-2} ={y-3}over3 ={z+1}over-2],

[eqn: m:`x+1 ={y-1}over2 = z overr],

[eqn: n:` x overp = {y+3}overq ={z-4}over4]

이고 [eqn: l ⫽n], [eqn: m bot n]일 때, 세 실수 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]에 대하여 [eqn: p+q+r]의 값은? (단, [eqn: pqr!=0])

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[성취기준1-중]

4

점 [eqn: rm A(3,~-2,~5)]에서 직선

[eqn: l: `{x-1} over {3} =2-y= {z-3} over {2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 할 때, 선분 [eqn: rm AH]의 길이는?

① [eqn: 2root2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: root10]

④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: root14]

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

2. 직선과 평면, 구의 방정식 - ①회

Ⅳ. 공간벡터

5

직선 [eqn: l:` {x-3}over2 ={y-1}over2 =z-2] 위의 점을 [eqn: rmP], 직선 [eqn: m:` {4-x}over2 = y+4 ={z-1}over2] 위의 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이의 최솟값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 2root2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: 4]

[성취기준2-하]

6

다음 중 평면 [eqn: x-y+2z=1]과 수직인 직선은?

① [eqn: x=y], [eqn: z=2]

② [eqn: x=1], [eqn: y = z over 2]

③ [eqn: x=y-1 = z over2]

④ [eqn: {1-x}over2 = {y+3}over2 =- z over4]

⑤ [eqn: {x-2}over2 = {y+1}over2 = {z-2}over3]

[성취기준2-중]

7

두 평면 [eqn: x+2y+3z=6], [eqn: 3x+2y+z=10]의 교선을 포함하고 점 [eqn: (1,~-1,~1)]을 지나는 평면의 방정식이 [eqn: ax+by-5z+c=0]일 때, 세 상수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[성취기준2-중]

8

직선 [eqn: x+1= {2-y} = {z+3} over {2}]과 평면
[eqn: 2x+y+z=2]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin`theta]의 값은?

① [eqn: root2 over4]	② [eqn: root3 over4]	③ [eqn: 1 over2]

④ [eqn: root2 over2]	⑤ [eqn: root3 over2]

[성취기준2-하]

9

점 [eqn: rm A(-10,``1,``7)]에 대하여 [eqn: rm LEFT | {vec{AP}} RIGHT | =5]를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형이 점 [eqn: (-7,``a,``3)]을 지날 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준2-중]

10

구 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 +6x-2y -4z +k=0]과 평면 [eqn: alpha:` 2x-2y+z=0]이 접할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

서술형 문제

[성취기준1-상]

11

두 직선

[eqn: {x-5} over2 = {y-2}over2 =-3-z],

[eqn: {x+3}over4 = {y+7}over5 = {z+4}over3]

의 교점의 좌표를 구하시오.

[성취기준2-중]

12

두 점 [eqn: rmP(3,``2,``5)], [eqn: rmQ(0,``-1,``-1)]에 대하여 선분 [eqn: rmPQ]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmR]라 할 때, 점 [eqn: rmR]를 지나고 직선 [eqn: rmPQ]에 수직인 평면의 방정식을 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅳ. 공간벡터

2. 직선과 평면, 구의 방정식 - ②회

중단원 평가 문제

1

점 [eqn: \A(-1,`` 2,`` 3)]을 지나고 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향과 각각 [eqn: 60 °], [eqn: 45 °], [eqn: 60 °]의 각을 이루는 직선의 방정식은?

① [eqn: x+1 = y-2 over root2 = z-3 over 2]

② [eqn: x+1 = y-2 = z-3]

③ [eqn: x+1 = y-2 over root2 = z-3]

④ [eqn: x+1 over 2 = y-2 over root2 = z-3over2]

⑤ [eqn: x+1 over root2 = y-2 over root2 = z-3]

[성취기준1-중]

2

두 직선

[eqn: {x-1} over {2} =y+3= {1-z} over {2}],

[eqn: {x+3}over2 ={y+1}over-3 =z-2]

의 교점의 좌표를 [eqn: (`p,``q,``r)]라 할 때, [eqn: pqr]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

[성취기준1-중]

3

두 직선

[eqn: l: `x=t], [eqn: y=2t+1], [eqn: z=t-3],

[eqn: m: `x=2-2s], [eqn: y=-s], [eqn: z=s+1]

이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은? (단, [eqn: t], [eqn: s]는 실수이다.)

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {root2} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {root2} over {2}]	⑤ [eqn: {root3} over {2}]

[성취기준1-중]

4

점 [eqn: rmA(5,``1,``5)]와 직선

[eqn: l: `{5-x}over2 =y-3 ={1-z}over3] 사이의 거리는?

① [eqn: root2 over2]	② [eqn: root6 over2]	③ [eqn: root2]

④ [eqn: root3]	⑤ [eqn: root6]

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

2. 직선과 평면, 구의 방정식 - ②회

Ⅳ. 공간벡터

5

두 직선

[eqn: l:` {x+3}over3 =y+1 ={z+1}overb],

[eqn: m :` x-1 = {y-2}over2 = {z-3}overa]

이 한 점에서 수직으로 만날 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+2b]의 값은? (단, [eqn: a>b], [eqn: ab!=0])

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[성취기준2-하]

6

두 점 [eqn: rmA(0,~2,~4)], [eqn: rmB(2,~5,~1)]을 지나는 직선에 수직이고, 점 [eqn: rmB]를 지나는 평면의 방정식은
[eqn: ax+by+cz-16=0]이다. 세 상수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: abc]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -12]	③ [eqn: -18]

④ [eqn: -24]	⑤ [eqn: -30]

[성취기준2-중]

7

두 평면

[eqn: alpha :`-2x+my+2z-7=0],

[eqn: beta :`nx-2y-z-3=0]

이 평행할 때, 두 상수 [eqn: m,~n]에 대하여 [eqn: mn]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[성취기준2-중]

8

좌표공간의 두 점 [eqn: rmA(1,``3,``-2)], [eqn: rmB(-3,``1,``4)]에 대하여 [eqn: rm vecAP bullet vecBP =0]을 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 입체도형의 부피는?

① [eqn: 52 over3 root14 pi]	② [eqn: 56 over3 root14 pi]

③ [eqn: 20root14 pi]	④ [eqn: 64 over3 root14 pi]

⑤ [eqn: 68 over3 root14 pi]

[성취기준2-상]

9

직선 [eqn: 1-x=y-3= {2-z} over {2}]를 두 평면

[eqn: alpha :`2x-y+3z-5=0],

[eqn: beta :`x+2y+3z+2=0]

으로 자를 때 생기는 선분의 길이는?

① [eqn: root6]	② [eqn: 3root2]	③ [eqn: 2 root5]

④ [eqn: 2root6]	⑤ [eqn: 3 root6]

[성취기준2-상]

10

구 [eqn: (x-1) ^{2} +(y+1) ^{2} +(z-1) ^{2} =25]를 평면
[eqn: x+2y+2z+8=0]으로 자를 때 생기는 단면의 둘레의 길이는?

① [eqn: 5pi]	② [eqn: 6 pi]	③ [eqn: 7 pi]

④ [eqn: 8pi]	⑤ [eqn: 9pi]

서술형 문제

[성취기준1-상]

11

직선 [eqn: l: `x over2 =1-y = z over3] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 점 [eqn: rmC(7,``4,``1)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 구하시오.

[성취기준2-상]

12

두 평면

[eqn: 3x+2y-4z-1=0],

[eqn: x+y-z-5=0]

의 교선 [eqn: l]과 평면 [eqn: x+2y-z+3=0]의 교점의 좌표를 구하시오.

정답 및 풀이

기하와 벡터

앞서 제시한 문제의 정답과 풀이를 수록하였습니다.

학교 시험 출제에 문제를 이용할 때 참조하십시오.

바른답 ․ 알찬풀이

Ⅰ. 평면곡선

1. 이차곡선 - ①회

중단원 평가 문제

1. ④	2. ④	3. ②

4. ③	5. ③	6. ③

7. ②	8. ④	9. ①

10. ③	11. ④	12. ③

13. [eqn: -3]	14. [eqn: 128]

1

[eqn: y^2 = 4`·`1`·` x]에서 포물선의 초점은 [eqn: rmF(1,~0)]
[eqn: x^2 =4 `·` (-2) `·` y]에서 포물선의 초점은 [eqn: rm F prime(0,~-2)]
[eqn: therefore`rm bar{FF prime}=root{(-1)^2 +(-2)^2 }=root5]

2

주어진 포물선의 방정식을 변형하면
[eqn: x ^{2} -2x+1=2y+4]
[eqn: THEREFORE `(x-1) ^{2} =2(y+2)]
따라서 주어진 포물선은 포물선 [eqn: x ^{2} =2y]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 것이므로 초점의 좌표는
[eqn: LEFT ( 0+1,~ {1} over {2} -2 RIGHT )], 즉 [eqn: LEFT ( 1,~- {3} over {2} RIGHT )]
∴[eqn: a=1], [eqn: b=- {3} over {2}]
준선의 방정식은 [eqn: y=- {1} over {2} -2][eqn: =- {5} over {2}]이므로 [eqn: c=- {5} over {2}]
[eqn: THEREFORE abc][eqn: =1`·` LEFT ( - {3} over {2} RIGHT ) `·` LEFT ( - {5} over {2} RIGHT ) = {15} over {4}]

3

축이 [eqn: x]축에 평행하므로 포물선의 방정식을
[eqn: (y-a) ^{2`} =c(x-b)]라고 하면
세 점 [eqn: (1,~-1)], [eqn: (0,~1)], [eqn: (-3,~3)]을 지나므로
[eqn: (-1-a) ^{2`} =c(1-b)]
[eqn: (1-a) ^{2`} =-bc]
[eqn: (3-a) ^{2`} =c(-3-b)]
위의 세 식을 연립하여 풀면 [eqn: a=-1`,~b=1,~c=-4]
따라서 구하는 포물선의 방정식은
[eqn: (y+1) ^{2} =-4(x-1)]
따라서 구하는 준선의 방정식은 [eqn: x=2]

4

포물선 [eqn: y ^{2} =4x]의 초점은 [eqn: rmF(1,~0)]
점 [eqn: rmP]에서 준선 [eqn: x=-1]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 포물선의 정의에 의하여
[eqn: rm {bar{PF}} = {bar{PH}}]
∴[eqn: rmbar{PF}+bar{PQ}][eqn: = rm {bar{PH}} + {bar{PQ}}][eqn: =rmbar{HQ}][eqn: =2]

5

③ 단축의 길이는 [eqn: 2 sqrt {5}]이다.

6

[eqn: 2x^2 +y^2 -8x=0]에서 [eqn: (x-2)^2 over4 + y^2 over8 =1]
이 타원은 타원 [eqn: x^2 over4 + y^2 over8 =1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이므로
[eqn: a=2]
타원 [eqn: x^2 over4 + y^2 over8 =1]의 두 초점의 좌표는 [eqn: (0,~2)], [eqn: (0,~-2)]이므로 두 초점 사이의 거리는 [eqn: 4]이고, 타원 [eqn: 2x^2 +y^2 -8x=0]의 두 초점 사이의 거리와 같으므로
[eqn: b=4]
∴[eqn: a+b=6]

7

점 [eqn: \P]의 좌표를 [eqn: \P(it x,~y)]라고 하면
[eqn: root {x^2 + (y-1)^2 } + root { (x-4)^2 + (y-1)^2 } = 6]
[eqn: root{x^2 +(y-1)^2 }= 6 - root{(x-4)^2 +(y-1)^2]
위의 식의 양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: 2x-13 =-3 root{(x-4)^2 +(y-1)^2]
위의 식의 양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: 5x^2 -20x+9y^2 -18y-16=0]
[eqn: 5(x-2)^2 +9(y-1)^2 =45]
[eqn: therefore][eqn: (x-2)^2 over 9 + (y-1)^2 over 5 = 1]
이 식에 [eqn: x = 0]을 대입하면
[eqn: (0-2)^2 over 9 + (y-1)^2 over 5 = 1], [eqn: (y-1)^2 = 25 over 9]
[eqn: therefore][eqn: y=- 2 over 3] 또는 [eqn: y = 8 over 3]
따라서 이 도형이 [eqn: y]축과 만나는 두 점은 [eqn: left( 0,~ - 2 over 3 right)], [eqn: left( 0,~ 8 over 3 right)]이므로 구하는 두 점 사이의 거리는
[eqn: 8 over 3 - left( - 2 over 3 right) = 10 over 3]

8

[eqn: rm barAF}=6], [eqn: rm bar{A primeF}=12]이므로
[eqn: rm bar{AF}+bar{A primeF}=6+12=18]
[eqn: rm bar{BF}=ita], [eqn: rm bar{BF prime}=it b]라고 하면 타원의 정의에 의하여
[eqn: rm bar{BF}+bar{BF prime}=ita+b=18]    [eqn: cdotscdots]㉠
또, [eqn: bar{\FF'}=][eqn: rm bar{A primeF}-bar{A'F'}=bar{A'F }-bar{AF}=12-6=6]
삼각형 [eqn: rmBFF prime]이 직각삼각형이므로
[eqn: rm {bar{BF prime}}^2 ={bar{FF prime}}^2 +{bar{BF}}^2]
[eqn: therefore`b^2 =6^2 +a^2]       　　    [eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=8], [eqn: b=10]
[eqn: therefore` □ rmBFF prime B prime=bar{FF prime}`·` bar{BF}=6`·`8=48]

9

쌍곡선의 방정식을 [eqn: x^2 overa^2 - y^2 overb^2 =-1]로 놓으면
[eqn: 2b=6]에서 [eqn: b=3]
초점의 좌표가 [eqn: (0,~4)], [eqn: (0,~-4)]이므로
[eqn: a^2 =4^2 -3^2 =7]
따라서 쌍곡선의 방정식은
[eqn: x^2 over7 - y^2 over9 =-1]
[eqn: therefore`9x^2 -7y^2 =-63]
[eqn: therefore`p+q=7+(-63)=-56]

10

쌍곡선 [eqn: 4x^2 -y^2 =16]에서 [eqn: x^2 over2^2 - y^2 over4^2 =1]
이때 점근선의 방정식은
[eqn: y=+- 4over2 x]    [eqn: therefore`y=+-2x]
따라서 두 점근선의 기울기가 각각 [eqn: 2], [eqn: -2]이므로
[eqn: |`m_2 -m_1`| =|`(-2)-2`|=4]

11

주어진 쌍곡선의 초점의 좌표는
[eqn: left(-root{a^2 +9}, ~0 right)], [eqn: left(root{a^2 +9}, ~0 right)]
주어진 쌍곡선의 초점은 [eqn: x]축 위에 있으므로 직선 [eqn: y=x-5]와 [eqn: x]축의 교점이 주어진 쌍곡선의 한 초점이다.
즉, [eqn: x-5=0]에서 [eqn: x=5]이므로
[eqn: root{a^2 +9}=5], [eqn: a^2 +9=25]
[eqn: a^2 =16]    [eqn: therefore`a = 4`(because ` a>0)]

12

쌍곡선 [eqn: x^2 over 9 - y^2 over 7 =1]의 두 초점의 좌표는
[eqn: \F'(-4,~0)], [eqn: \F(4,~0)]
[eqn: bar \PF = it m, ```` bar{ \PF'} = n]이라고 하면 쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점에 이르는 거리의 차는 주축의 길이와 같으므로
[eqn: |`m-n `| = 6]    …… ㉠
[eqn: triangle \PF'F]에서 점 [eqn: \P]는 [eqn: bar { \FF'}]을 지름으로 하는 원 위의 점이므로 [eqn: triangle \PF'F]는 [eqn: angle \F'PF=90 °]인 직각삼각형이다.
[eqn: therefore][eqn: m^2 + n^2 = { bar { \FF'}}^2 = 64]
㉠의 양변을 제곱하면
[eqn: m^2 -2mn +n^2 =36], [eqn: 64-2mn =36]
[eqn: therefore][eqn: mn = 14]
따라서 [eqn: triangle \PF'F]의 넓이는
[eqn: 1 over 2 mn = 7]

13

점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: y=3]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면
[eqn: rm {bar{PA}} = {bar{PH}}]이므로
[eqn: sqrt {x ^{2} +(y+3) ^{2}} = LEFT | y-3 RIGHT |]
[eqn: x ^{2} +y ^{2} +6x+9=y ^{2} -6x+9]
∴[eqn: x ^{2} =-12y]
이 도형이 점 [eqn: (-6,~a)]를 지나므로
[eqn: 36=-12a]    ∴[eqn: a=-3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: rm {bar{PA}} = {bar{PH}}]임을 알기	40 %
	도형의 방정식 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a]의 값 구하기	20 %

14

쌍곡선 [eqn: x^2 over16 - y^2 over9 =1]의 두 초점의 좌표는
[eqn: (5,~0)], [eqn: (-5,~0)]
쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: left| rm {bar{PF}} -{bar{PF prime}} right|=8]
삼각형 [eqn: rmPFF prime]의 둘레의 길이가 [eqn: 26]이므로
[eqn: rm bar{PF prime}+bar{FF prime} +bar{PF}=26]
[eqn: rm bar{FF prime}=10]이므로 [eqn: left| rm {bar{PF}} +{bar{PF prime}} right|=16]
[eqn: therefore`left| rm {bar{PF}}^2 -{bar{PF prime}}^2 right|][eqn: rm =left|left(bar{PF}+bar{PF prime}right) left(bar{PF}-bar{PF prime}right)right|]
[eqn: rm=left|bar{PF}+bar{PF prime}right|`left|bar{PF}-bar{PF prime}right|]
[eqn: =16 times8=128]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: left| rm {bar{PF}} -{bar{PF prime}} right|]의 값 구하기	40 %
	[eqn: left| rm {bar{PF}} +{bar{PF prime}} right|]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: left| rm {bar{PF}}^2 -{bar{PF prime}}^2 right|]의 값 구하기	20 %

1. 이차곡선 - ②회

중단원 평가 문제

1. ④	2. ②	3. ③

4. ⑤	5. ⑤	6. ④

7. ①	8. ②	9. ④

10. ⑤	11. ②	12. ①

13. [eqn: 18]	14. [eqn: - sqrt {3}]

1

포물선의 방정식은  [eqn: y^2 =4`·`2x=8x]
이 포물선이 점 [eqn: (a,~8)]을 지나므로
[eqn: 64=8a]    [eqn: therefore`a=8]

2

포물선 [eqn: y^2 =12x]의 초점을 [eqn: rmF]라고 하면 [eqn: rmF(3,~0)]이고 점 [eqn: rmA]에서 준선 [eqn: x=-3]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면
[eqn: rmbar{AF}=bar{AH}]
[eqn: rmbar{AF}=15]이므로 [eqn: 15= LEFT | a-(-3) RIGHT |], [eqn: a+3=+-15]
∴[eqn: a=-18] 또는 [eqn: a=12]
이때 [eqn: a GEQ 0]이므로 [eqn: a=12]

3

세 점의 좌표를 [eqn: rmA it(x_1 ,~y_1 )], [eqn: rmB it(x_2 ,~y_2 )], [eqn: rmC it(x_3 ,~y_3 )]이라고 하면 [eqn: rmF(7,~0)]이므로
[eqn: {x_1 +x_2 +x_3} over3 =7], [eqn: x_1 +x_2 +x_3 =21]
포물선의 정의에 의하여
[eqn: rm bar{AF}=it x_1 +7], [eqn: rm bar{BF}= it x_2 +7], [eqn: bar{rm CF}=x_3 +7]이므로
[eqn: rm bar{AF} +bar{BF} +bar{CF}= it x_1 +x_2 +x_3 +21][eqn: =42]

4

주어진 포물선의 초점의 좌표는 [eqn: rmF left( 1over4 ,~0 right)], 준선의 방정식은 [eqn: x=- 1over4]이다.
점 [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2], [eqn: rmP_3], [eqn: cdots]은 포물선 [eqn: y^2 =x] 위의 점이므로
[eqn: rm P _{1} (1 ^{2`} ,~1)], [eqn: rm P _{2} (2 ^{2`} ,~2)], [eqn: rm P _{3} (3 ^{2} ,~3)], [eqn: cdots]
다음 그림과 같이 점 [eqn: rmP_1], [eqn: \P_2], [eqn: \P_3], [eqn: cdots]에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH_1], [eqn: \H_2], [eqn: \H_3], [eqn: cdots]이라고 하자.

포물선의 정의에 의하여
[eqn: rm bar{FP _{1}} = bar{H _{1} P _{1}} =1 ^{2`} + {1} over {4}], [eqn: rm bar{FP _{2}} = bar{H _{2} P _{2}} =2 ^{2} + {1} over {4}], [eqn: cdots],
[eqn: rm bar{FP _{it n rm}} = bar{ H _{it n rm} P _{it n rm}} = it n^2 + 1over4]
[eqn: therefore][eqn: sum _{k=1} ^{12} rm bar{FP _{it k rm}} = it sum_k=1^12 left( k^2 + 1 over 4 right)][eqn: = {12 TIMES 13 TIMES 25} over {6} + {1} over {4} TIMES 12]
[eqn: =650+3][eqn: =653]

5

타원의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] [eqn: (a>b>0)]으로 놓으면 두 점 [eqn: rmF], [eqn: rmF']으로부터 타원 위의 임의의 점까지의 거리의 합은 장축의 길이와 같으므로
[eqn: 2a=10]    ∴[eqn: a=5]
[eqn: rmbar{FF'}][eqn: =8]이므로 [eqn: rm {bar{OF}} =4]
[eqn: a ^{2} -b ^{2} =4 ^{2}]이므로 [eqn: b ^{2} =5 ^{2} -4 ^{2} =9]
∴[eqn: b=3] (∵[eqn: b>0])
따라서 구하는 단축의 길이는 [eqn: 2b=2`·`3=6]

6

타원 [eqn: x^2 overa^2 + y^2 overb^2 =1]이 점 [eqn: (4,~0)]을 지나므로
[eqn: 4^2 overa^2 =1]    [eqn: therefore`a^2 =16]
타원 [eqn: {x ^{2}} over {12} + {y ^{2}} over {3} =1]의 초점의 좌표는
[eqn: (-3,~0)], [eqn: (3,~0)]이므로
[eqn: b^2 =a^2 -3^2 =16-9=7]
[eqn: therefore`a^2 +b^2 =16+7 =23]

7

타원의 정의에 의하여 [eqn: rm barPF +bar{PF prime}=10]이므로
[eqn: rm{bar PF}^2 + {bar PF'}^2][eqn: =left(rm barPF + barPF' right) ^2 - 2rm barPF times barPF']
[eqn: =100- 2rm barPF times barPF']
[eqn: rm barPF >0], [eqn: rm bar{PF prime}>0]이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여
[eqn: rm bar{PF}+bar{PF prime} ge 2root{{bar{PF}} times {bar{PF prime}}^`}], [eqn: 10GEQ 2 sqrt {{rm bar{PF}} TIMES {bar{\PF prime }}^`]
[eqn: therefore][eqn: {rm barPF times barPF' } le 25]
(단, 등호는 [eqn: rm ` bar{PF} `=` bar{PF prime } =5]일 때 성립)
따라서 [eqn: {rm barPF times barPF' }= 25]일 때, [eqn: rm{bar PF}^2 + {bar PF'}^2]의 값은 최소가 되므로 그 최솟값은
[eqn: rm{bar PF}^2 + {bar PF'}^2 =100-2 times 25][eqn: =50]

8

[eqn: rm bar{PQ}=bar{FQ}=bar{F primeQ}]이므로 점 [eqn: rmP], [eqn: rm F prime], [eqn: rmF]는 점 [eqn: rmQ]를 중심으로 하는 원 위의 점들이다.
[eqn: rm bar {PF prime}]은 이 원의 지름이므로 [eqn: rm anglePFF prime=90°]
따라서 삼각형 [eqn: rm F prime FP]는 [eqn: rm bar{PF prime}]을 빗변으로 하는 직각삼각형이다.
또, 타원 [eqn: x^2 over10^2 + y^2 over8^2 =1]에서 초점의 좌표는
[eqn: rmF it (6,~0)], [eqn: rm F prime it(-6,~0)]
이므로 [eqn: rm bar{F primeF}=12]
[eqn: rmF it (6,~0)]이므로 점 [eqn: rmP]의 [eqn: y]좌표를 구하면
[eqn: 36 over100 + y^2 over64 =1]    [eqn: therefore` y= 32 over5]    [eqn: therefore` rm bar{PF}= 32 over5]
[eqn: therefore`5triangle rm F primeFP =5 `·` 1over2 `·`12 `·` 32over5 =192]

9

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1][eqn: (a>0,~b>0)]으로 놓으면 초점의 좌표가 [eqn: ( sqrt {5} ,~0)], [eqn: (- sqrt {5} ,~0)]이므로
[eqn: a ^{2} +b ^{2} =5]    ∴[eqn: b ^{2} =5-a ^{2}]    [eqn: cdotscdots]㉠
이때 [eqn: a ^{2} >0], [eqn: b ^{2} >0]이므로 [eqn: 0<a ^{2} <5]
이 쌍곡선이 점 [eqn: (-4,~ sqrt {3} )]을 지나므로
[eqn: {16} over {a ^{2}} - {3} over {b ^{2}} =1]                         [eqn: cdotscdots]㉡
㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면 [eqn: a ^{4} -24a ^{2} +80=0]
[eqn: (a ^{2} -4)(a ^{2} -20)=0]    ∴[eqn: a ^{2} =4] (∵[eqn: 0<a ^{2} <5])
[eqn: a ^{2} =4]를 ㉠에 대입하면 [eqn: b ^{2} =5-4=1]
즉, 구하는 쌍곡선의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {4} -y ^{2} =1]
따라서 [eqn: p= {1} over {4}], [eqn: q=1]이므로 [eqn: p+q= {5} over {4}]

10

[eqn: x^2 overa^2 - y^2 overb^2 =-1][eqn: `(a>0,~b>0)]에서 점 [eqn: (0,~3)]이 초점이므로 [eqn: root{a^2 +b^2}=3]	[eqn: cdotscdots]㉠
점근선의 방정식이 [eqn: y=+-x]이므로
[eqn: b overa =1]	[eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a= {3root2} over2], [eqn: b= {3root2} over2]
[eqn: therefore`](주축의 길이)[eqn: =2b=3root2]

11

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {20} - {y ^{2}} over {16} =1]에서 [eqn: sqrt {20+16} =6]이므로
[eqn: rmF(6,~0)], [eqn: rmF'(-6,~0)]    ∴[eqn: rmbar{FF'}=12]
사각형 [eqn: rm F prime QFP]의 넓이가 [eqn: 24]이므로
[eqn: 2`·` LEFT ( {1} over {2} `·`bar{rmFF'}`·`b RIGHT ) =24]    ∴[eqn: b=2]
또, 점 [eqn: rmP]는 쌍곡선 위의 점이므로
[eqn: {a ^{2}} over {20} - {4} over {16} =1], [eqn: a ^{2} =25]    ∴[eqn: a=5](∵[eqn: a>0])
∴[eqn: a+b=7]

12

쌍곡선 [eqn: {x^2 over8}-{y^2 over16}=1] 및 그 점근선이 직선 [eqn: y = k] [eqn: (k>0)]와 만나는 네 점의 [eqn: x]좌표를 크기순으로
[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] ([eqn: a<b<c<d])라 하자.
점근선의 방정식은
[eqn: y = +- 4 over {2root2} x]    [eqn: therefore][eqn: y = +- root 2 x]
이때 [eqn: k = +- root 2 x]에서 [eqn: b = - root2 over 2 k], [eqn: c = root2 over 2 k]
즉 등차수열을 이루는 네 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 의 공차는
[eqn: c-b = root 2 k] 이므로
[eqn: d= c+ root 2 k = {3root2} over 2 k]
이때 점 [eqn: (d, ````k)]는 쌍곡선 위의 점이므로
[eqn: {{left({3root2} over 2 k right) ^2} over8}-{k^2 over16}=1], [eqn: 8 k^2 = 16]
[eqn: k^2 = 2]    [eqn: therefore][eqn: k = root 2] [eqn: (becausek>0)]

13

포물선 [eqn: x^2 =4y]의 초점의 좌표는 [eqn: (0,~1)]이므로 포물선 [eqn: (x-1)^2 =4y]의 초점 [eqn: rm F_1]의 좌표는
[eqn: rm F_1 (0+1,~1)], 즉 [eqn: rmF_1 (1,~1)]
또, 포물선 [eqn: y^2 =-8x=4 `·`(-2)`·`x]의 초점의 좌표는 [eqn: (-2,~0)]이므로 포물선 [eqn: (y+2)^2 =-8x]의 초점의 좌표는
[eqn: rm F_2 (-2,~0-2)], 즉 [eqn: rm F_2 (-2,~-2)]
[eqn: therefore` rm {bar{F_1 F_2}}^2 =(-2-1)^2 +(-2-1)^2 =18]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: rmF_1]의 좌표 구하기	40 %
	[eqn: rmF_2]의 좌표 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: rm {bar{F_1 F_2}}^2]의 값 구하기	20 %

14

주어진 쌍곡선은 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {15} - {y ^{2}} over {5} =-1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동한 것이므로 주어진 쌍곡선의 두 점근선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {15} - {y ^{2}} over {5} =-1]의 두 점근선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기와 같다.
이때 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {15} - {y ^{2}} over {5} =-1]의 점근선의 방정식은
[eqn: y=+- {sqrt {5}} over {sqrt {15}} x]    ∴[eqn: y=+- {sqrt {3}} over {3} x]
[eqn: tan``30°= {sqrt {3}} over {3}]이므로 두 점근선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각 [eqn: 30°], [eqn: 150°]이다.
그런데 [eqn: beta < alpha]이므로 [eqn: alpha =150°], [eqn: beta =30°]
∴[eqn: tan``( alpha - beta )][eqn: =tan``120°][eqn: =-tan``60°][eqn: =- sqrt {3}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {15} - {y ^{2}} over {5} =-1]의 점근선의 방정식 구하기	40 %
	[eqn: alpha ,~ beta]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: tan``( alpha - beta )]의 값 구하기	20 %

2. 평면곡선의 접선 - ①회

중단원 평가 문제

1. ⑤	2. ④	3. ④

4. ③	5. ②	6. ①, ②

7. ④	8. ①	9. ①

10. ③	11. ①	12. ④

13. [eqn: 16]	14. [eqn: {1} over {2}]

1

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: 6x -10 y `dy over dx =0]    [eqn: THEREFORE {dy} over {dx} = {3x} over {5y}] (단, [eqn: y!=0])

2

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: sin``y+x`cos``y {dy} over {dx} - LEFT ( {dy} over {dx} ` rm cos`` it x-y`sin``x RIGHT ) =0]
[eqn: therefore][eqn: {dy} over {dx} = {sin``y+y`sin``x} over {cos``x-x`cos``y}]
[eqn: x=0], [eqn: y= {pi } over {3}]를 대입하면
[eqn: {dy} over {dx} = {sin`` {pi} over {3} + {pi} over {3} `sin``0} over {cos``0-0`·`cos`` {pi} over {3}}][eqn: =sin`` {pi} over {3} = {sqrt {3}} over {2}]

3

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: 3x^2 +3y^2 dy overdx +ay +ax dy overdx =0]
[eqn: therefore` dy overdx = -{ay+3x^2} over{ax+3y^2}`] (단, [eqn: ax+3y^2 !=0])
점 [eqn: (1,~2)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 1 over10]이므로
[eqn: -{2a+3} overa+12 = 1 over10], [eqn: a+12 =-20a-30]    [eqn: therefore`a=-2]
점 [eqn: (1,~2)]는 곡선 [eqn: x^3 +y^3 +axy +b =0] 위의 점이므로
[eqn: 1^3 +2^3 +(-2)`·`1`·`2+b=0]    [eqn: therefore`b=-5]
[eqn: therefore`a-b=-2-(-5)=3]

4

[eqn: xy + x+y=0]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: y + x dy over dx + 1 + dy over dx = 0], [eqn: (x+1) dy over dx = -(y+1)]
[eqn: therefore][eqn: dy over dx = - y+1 over x+1] (단, [eqn: x!=-1])	…… ㉠
[eqn: x = -2], [eqn: y = -2]를 ㉠에 대입하면
[eqn: - -2+1 over -2+1 = -1]이므로 접선의 기울기는 [eqn: -1]이다.
따라서 점 [eqn: (-2, ````-2)]에서의 접선의 방정식은
[eqn: y+2 = -( x+2)]    [eqn: therefore][eqn: y = -x -4]
이 직선의 [eqn: x]절편은 [eqn: -4], [eqn: y]절편은 [eqn: -4]이므로
접선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
[eqn: 1 over 2 times4 times 4=8]

5

포물선 [eqn: y^2 =4x]에 접하고 기울기가 [eqn: 1]인  접선의 방정식은 [eqn: y=x+ 1 over1 =x+1]
이때 구하는 거리의 최솟값은 두 직선 [eqn: y=x+1]과
[eqn: y=x+2] 사이의 거리이다.
따라서 직선 [eqn: y=x+1] 위의 점 [eqn: (0,~1)]과 직선 [eqn: x-y+2=0] 사이의 거리를 구하면
[eqn: {|``0-1+2``|} over{root {1^2 +(-1)^2}}= 1 over root2 =root2 over2]

6

[eqn: {x ^{2}} over {2} +y ^{2} =1]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: x+2y {dy} over {dx} =0]    ∴[eqn: {dy} over {dx} =- {x} over {2y}] (단, [eqn: y!=0])
이때 접점의 좌표를 [eqn: (x _{1} ,~y _{1} )]이라고 하면 접점에서의 기울기가 [eqn: 2]이므로
[eqn: - {x _{1}} over {2y _{1}} =2]    ∴[eqn: x _{1} =-4y _{1}]                         [eqn: cdotscdots]㉠
점 [eqn: (x _{1} ,~y _{1} )]이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {2} +y ^{2} =1] 위의 점이므로
[eqn: {x _{1} ^{2}} over {2} +y _{1} ^{2} =1]                                             [eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
[eqn: x _{1} = {4} over {3}], [eqn: y _{1} =- {1} over {3}] 또는 [eqn: x _{1} =- {4} over {3}], [eqn: y _{1} = {1} over {3}]
따라서 구하는 직선의 방정식은
[eqn: {{4} over {3} x} over {2} - {1} over {3} y=1], [eqn: {- {4} over {3} x} over {2} + {1} over {3} y=1]
∴[eqn: 2x-y-3=0], [eqn: 2x-y+3=0]

7

쌍곡선 [eqn: x^2 -y^2 =12]에 접하는 접선의 접점을 [eqn: (x_1 ,~y_1 )]이라 하면 접선의 방정식은 [eqn: x_1 x-y_1 y=12]
이 직선이 점 [eqn: rmA(0,~3)]을 지나므로
[eqn: -3y_1 =12]    [eqn: therefore`y_1 =-4]
또, 점 [eqn: (x_1 ,~y_1 )]은 쌍곡선 위의 점이므로
[eqn: x_{1}^{2} -y_1^{2} =12], [eqn: x_1 ^2 -16=12], [eqn: x_1 ^2 =28]
[eqn: therefore x=-2root7] 또는 [eqn: x= 2root7]
따라서 접선의 방정식은 [eqn: +-2root7 x+4y=12]이므로
[eqn: a=2root7], [eqn: b=4]    [eqn: therefore`a^2 +b^2 =28 +16=44]

8

[eqn: {dx} over {dt} =4t+ {1} over {3} t], [eqn: {dy} over {dt} =6t- {1} over {2}]이므로
[eqn: {dy} over {dx} = {6t- {1} over {2}} over {4t+ {1} over {3}} = {36t-3} over {24t+2}] [eqn: LEFT ( 단,~t != - {1} over {12} RIGHT )]
[eqn: t=0]을 대입하면 [eqn: dy overdx = - 3 over 2]

9

[eqn: {dx} over {dt} =cos`t], [eqn: {dy} over {dt} =-2cos`t`sin`t]이므로
[eqn: {dy} over {dx} = {-2cos`t`sin`t} over {cost} =-2sin`t] (단, [eqn: cos``t != 0])
[eqn: t= pi over6]를 대입하면
[eqn: dy overdx = -2`·` 1over2 = - 1]

10

[eqn: x=t^3 +1=2]에서 [eqn: t^3 =1]    [eqn: therefore][eqn: t=1]
[eqn: t=1]일 때, [eqn: y=2]이므로 점 [eqn: (2,~2)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: t=1]일 때 [eqn: dy overdx]의 값과 같다.
[eqn: dx overdt =3t^2], [eqn: dy overdt =2t-1]이므로
[eqn: dy overdx ={2t-1} over3t^2] (단, [eqn: t!=0])
[eqn: t=1]을 대입하면 [eqn: dy overdx = 1 over3]

11

[eqn: {dx} over {dt} =1- {1} over {t ^{2}}], [eqn: {dy} over {dt} =2t- {2a} over {t ^{3}}]이므로
[eqn: {dy} over {dx} = {2t- {2a} over {t ^{3}}} over {1- {1} over {t ^{2}}}][eqn: = {2t ^{4} -2a} over {t ^{3} -t}](단, [eqn: t!=0], [eqn: t!=±1])
[eqn: t=2]일 때 [eqn: {dy} over {dx} =5]이므로
[eqn: {32-2a} over {6} =5], [eqn: 32-2a=30]
∴[eqn: a=1]

12

[eqn: {dx} over {dt} =- {1} over {t ^{2}}], [eqn: {dy} over {dt} =-4t]이므로 [eqn: {dy} over {dx} =4t ^{3}] (단, [eqn: t != 0])
[eqn: t=1]일 때의 접선의 기울기는 [eqn: 4]이므로 접선에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - {1} over {4}]이다.
또, [eqn: t=1]일 때의 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,````-3 RIGHT )]이므로
구하는 직선의 방정식은
[eqn: y+3=- {1} over {4} LEFT ( x-1 RIGHT )]
[eqn: therefore][eqn: x+4y+11=0]

13

[eqn: y^2 =4x]에서 [eqn: dy overdx = 2 overy`] (단, [eqn: y!=0])
[eqn: x^2 overa^2 + y^2 over32 =1]에서 [eqn: dy overdx =- 32x over{a^2 y}`] (단, [eqn: y!=0])
포물선과 타원의 교점의 좌표를 [eqn: (x_1 ,~y_1 )]이라고 하면 교점에서의 두 접선이 서로 수직이므로
[eqn: 2 over y_1 times left( - 32x_1 over{a^2 y_1} right)=-1], [eqn: a^2 = 64x_1 over{y_1}^2]
이때 점 [eqn: (x_1 ,~y_1 )]은 포물선 [eqn: y^2 =4x] 위의 점이므로
[eqn: y_{1} ^2 =4x_1]
[eqn: therefore` a^2 ={64x_1} over 4x_1 =16]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	포물선과 타원의 방정식에서 [eqn: dy overdx]를 각각 구하기	30 %
	두 접선이 수직임을 이용하여 관계식 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a^2]의 값 구하기	30 %

14

[eqn: {dx} over {dt} =2], [eqn: {dy} over {dt} =3t ^{2} +4t-3]이므로
[eqn: f` prime (x)][eqn: = {dy} over {dx} = {3t ^{2} +4t-3} over {2} `]
[eqn: t=1]일 때, [eqn: x=1], [eqn: y=0]이므로 [eqn: f(1)=0]

함수 [eqn: {rmg}(x)]는 [eqn: f(x)]의 역함수이므로 [eqn: {rmg}(0)=1]

∴[eqn: {rmg} prime (0)= {1} over {f` prime ({rmg}(0))} = {1} over {f` prime (1)}]

이때 [eqn: f` prime (1)]은 [eqn: x=1], 즉 [eqn: t=1]일 때 [eqn: f` prime (x)]의 값이므로

[eqn: f` prime (1)= {3+4-3} over {2} =2]
∴[eqn: {rmg} prime (0)= {1} over {f` prime (1)} = {1} over {2}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: f` prime (x)] 구하기	30 %
	[eqn: {rmg}(0)]의 값 구하기	30 %
답 구하기	[eqn: {rmg}'(0)]의 값 구하기	40 %

2. 평면곡선의 접선 - ②회

중단원 평가 문제

1. ③	2. ②	3. ①

4. ①	5. ③	6. ④

7. ②	8. ④	9. ②

10. ②	11. ④	12. ③

13. [eqn: {1} over {10}]	14. [eqn: 2 sqrt {2}]

1

[eqn: y overx + x overy =3]의 양변에 [eqn: xy]를 곱하면 [eqn: x^2 + y^2 =3xy]
양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: 2x+2y dy over dx =3y + 3x dy overdx]
[eqn: therefore`dy overdx ={2x-3y} over3x-2y] (단, [eqn: 3x!=2y])

2

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: {1} over {2} x ^{- {1} over {2}} + {1} over {2} y ^{- {1} over {2}} {dy} over {dx} =0]
∴[eqn: {dy} over {dx} =- sqrt {{y} over {x}}](단, [eqn: xy!=0])
[eqn: x=1], [eqn: y=2]를 대입하면 [eqn: {dy} over {dx} =- sqrt {{2} over {1}} =- sqrt {2}]

3

점 [eqn: (2,~2)]에서의 포물선 [eqn: y^2 =2x]의 접선의 방정식은
[eqn: 2y = 2 `·`1over2 (x+2)]    [eqn: therefore`y= 1 over2 x+1]
이 직선이 [eqn: x]축과 점 [eqn: (a,~0)]에서 만나므로
[eqn: 1 over2 a+1 =0]    [eqn: therefore`a=-2]

4

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: 2ax +2y` dy over dx +y +x` dy over dx =0]
[eqn: therefore][eqn: dy over dx = -{2ax+y}over{x+2y}] (단, [eqn: x!=-2y])
점 [eqn: (2, ``1)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: - 1 over2]이므로
[eqn: - 4a+1 over2+2 = - 1over2]    [eqn: therefore][eqn: a= 1over4]
점 [eqn: rm(2,~1)]은 곡선 [eqn: ax ^{2} +y ^{2} +xy=b] 위의 점이므로
[eqn: 4`·`1 over 4 +1+2=b]    [eqn: therefore][eqn: b=4]    [eqn: therefore][eqn: ab=1]

5

곡선 위의 점 [eqn: (2,~1)]에서의 접선의 방정식은
[eqn: {2x} over {{15} over {4}} - {y} over {15} =1]    ∴[eqn: y=8x-15]                   [eqn: cdotscdots]㉠
쌍곡선의 점근선의 방정식은
[eqn: y=+- {sqrt {15}} over {{sqrt {15}} over {2}} x]    ∴[eqn: y=+-2x]                      [eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
[eqn: x= {5} over {2}], [eqn: y=5] 또는 [eqn: x= {3} over {2}], [eqn: y=-3]
[eqn: THEREFORE rmA LEFT ( {3} over {2} ,~-3 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( {5} over {2} ,~5 RIGHT )]
∴[eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {LEFT ( {5} over {2} - {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT { 5-(-3) RIGHT } ^{2}} = sqrt {65}]

6

타원의 접선 중에서 직선 [eqn: y=2x]와 평행한 접선 위에 점 [eqn: rmP]가 있을 때 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이는 최대가 된다.
점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x _{1`} ,~y _{1} )]이라고 하면 타원 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4], 즉 [eqn: {x ^{2}} over {4} +y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은
[eqn: {x _{1} x} over {4} +y _{1} y=1]    ∴[eqn: y=- {x _{1}} over {4y _{1}} x+ {1} over {y _{1}}]
이 접선의 기울기가 [eqn: 2]이므로
[eqn: - {x _{1}} over {4y _{1}} =2]    ∴[eqn: x _{1} =-8y _{1}]                        [eqn: cdotscdots]㉠
또, 점 [eqn: rmP]는 타원 [eqn: x ^{2} +4y ^{2} =4] 위의 점이므로
[eqn: x _{1} ^{2} +4y _{1} ^{2} =4]                                            [eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
[eqn: x _{1} = {8 sqrt {17}} over {17}], [eqn: y _{1} =- {sqrt {17}} over {17}] 또는 [eqn: x _{1} =- {8 sqrt {17}} over {17} ,~y _{1} = {sqrt {17}} over {17}]

즉, 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {8 sqrt {17}} over {17} ,~- {sqrt {17}} over {17} RIGHT )], [eqn: LEFT ( - {8 sqrt {17}} over {17} ,~ {sqrt {17}} over {17} RIGHT )]이므로 접선의 방정식은
[eqn: y=2x- sqrt {17}], [eqn: y=2x+ sqrt {17}]
따라서 두 직선 [eqn: y=2x- sqrt {17}], [eqn: y=2x] 사이의 거리는 직선 [eqn: y=2x] 위의 한 점 [eqn: (0,~0)]과 직선 [eqn: 2x-y- sqrt {17} =0]  사이의 거리와 같으므로
[eqn: {LEFT | - sqrt {17} RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +(-1) ^{2}}} = {sqrt {85}} over {5}]
같은 방법으로 두 직선 [eqn: y=2x+ sqrt {17}], [eqn: y=2x] 사이의 거리도 [eqn: {sqrt {85}} over {5}]이므로
[eqn: d= {sqrt {85}} over {5}]

7

점 [eqn: (a,``b)]는 쌍곡선 [eqn: x^2 over 12 - y^2 over 8 = 1] 위의 점이므로
[eqn: {a ^{2}} over {12} - {b ^{2}} over {8} =1]      [eqn: therefore][eqn: 2a ^{2}-3b^2 = 24]           [eqn: cdotscdots]㉠
이때 쌍곡선 위의 점 [eqn: (a,~b)]에서의 접선의 방정식은
[eqn: ax over 12 - by over 8 =1]
이 접선이 타원 [eqn: {(x-2)^2} over 4 + y^2 = 1]의 넓이를 이등분하므로 타원의 중심 [eqn: (2,~0)]을 지난다. 즉,
[eqn: 2a over 12 =1]    [eqn: therefore a=6]
이를 ㉠에 대입하면 [eqn: 72-3b^2 =24]    [eqn: therefore][eqn: b^2 = 16`]
[eqn: therefore][eqn: a^2 + b^2 = 36 + 16 = 52`]

8

접점의 좌표를 [eqn: (x _{1} ,~y _{1} )]이라고 하면 접점에서의 접선의 방정식은 [eqn: {x _{1} x} over {4} -y _{1} y=1]
이 접선이 점 [eqn: (0,~1)]을 지나므로

[eqn: -y _{1} =1]    ∴[eqn: y _{1} =-1]
점 [eqn: (x _{1} ,~y _{1} )]은 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} -y ^{2} =1] 위의 점이므로
[eqn: {x _{1} ^{2}} over {4} -y _{1} ^{2} =1]                                            [eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: y _{1} =-1]을 ㉠에 대입하면 [eqn: x _{1} ^{2} =8]    ∴[eqn: x _{1} =+-2 sqrt {2}]
즉, 접점의 좌표는 [eqn: (2 sqrt {2} ,~-1)], [eqn: (-2 sqrt {2} ,~-1)]이므로 접선의 방정식은
[eqn: y=- {sqrt {2}} over {2} x+1], [eqn: y= {sqrt {2}} over {2} x+1]
따라서 접선의 기울기가 [eqn: +- {sqrt {2}} over {2}]이므로
[eqn: tan`` theta = {sqrt {2}} over {2}] (∵[eqn: 0°< theta <90°])
위의 식의 양변을 제곱하면
[eqn: tan ^{2} theta= {sin ^{2} theta} over {cos ^{2} theta} = {1} over {2}], [eqn: {sin ^{2} theta} over {1-sin ^{2} theta} = {1} over {2}]
[eqn: 3sin ^{2} theta=1], [eqn: sin ^{2} theta = {1} over {3}]
∴[eqn: sin`` theta = {sqrt {3}} over {3}] (∵[eqn: 0°< theta <90°])

9

[eqn: dx over {d theta}=-sin``theta], [eqn: dy over{d theta} ={cos``theta}]이므로
[eqn: dy overdx ={{cos``theta} over {-sin``theta} =- cot``theta`] (단, [eqn: sin``theta !=0])
[eqn: theta= 2 over 3 pi]를 대입하면 [eqn: dy overdx][eqn: =-cot`` {2} over {3} pi `][eqn: =root3 over3]

10

[eqn: dx overdt = 1 overroott +a], [eqn: dy overdt =2at+ 1overt^2]이므로
[eqn: dy overdx ={2at+ 1overt^2} over {1over roott +a] [eqn: left(pile{`#`}]단, [eqn: 1 over roott +a !=0][eqn: pile{`#`}right)]
[eqn: t=1]을 대입하면 [eqn: {dy} over {dx} = {2a+1} over {1+a} =3]이므로
[eqn: 2a+1=3(a+1)]    [eqn: therefore`a=-2]

11

[eqn: dx overdt = 2sqrt3 t], [eqn: {dy} over {dt} = 6t^2]이므로 [eqn: {dy} over {dx} = {6t ^{2}} over {2 sqrt {3} `t} =sqrt3 t]
접선의 기울기가 [eqn: sqrt3]이므로 [eqn: sqrt3 t = sqrt3]    [eqn: therefore][eqn: t=1]
따라서 접점의 좌표는 [eqn: left(sqrt3 +1 ,~5right)]이다.

12

[eqn: dx overdt =2], [eqn: dy overdt =2t]이므로 [eqn: dy overdx ={2t} over 2 =t]
따라서 [eqn: f` prime(x)=t = 1over2 (x+1)]이므로
[eqn: lim_{h rarrow0}` {f(2+h)-f(2)} overh =f` prime(2)= 3 over2]

13

접점의 좌표를 [eqn: (x _{1} ,~y _{1} )]이라고 하면 접점에서의 접선의 방정식은 [eqn: y _{1} y=-8(x+x _{1} )]
이 접선이 점 [eqn: (n,~0)]을 지나므로
[eqn: 0=-8(n+x _{1} )]    ∴[eqn: x _{1} =-n]
점 [eqn: (x _{1} ,~y _{1} )]은 포물선 [eqn: y ^{2} =-16x] 위의 점이므로
[eqn: y _{1} ^{2} =-16x _{1}]                                              [eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: x _{1} =-n]을 ㉠에 대입하면
[eqn: y _{1} ^{2} =16n]    ∴[eqn: y _{1} =+-4 sqrt {n}]
즉, 접점의 좌표는 [eqn: (-n,~-4 sqrt {n} )], [eqn: (-n,~4 sqrt {n} )]이므로 접선의 방정식은
[eqn: y= {2 sqrt {n}} over {n} x-2 sqrt {n}], [eqn: y=- {2 sqrt {n}} over {n} x+2 sqrt {n}]
∴[eqn: a _{n} = {2 sqrt {n}} over {n} `·` LEFT ( - {2 sqrt {n}} over {n} RIGHT ) =- {4} over {n}]
∴[eqn: LEFT ( 1+ {a _{2}} over {4} RIGHT ) TIMES LEFT ( 1+ {a _{3}} over {4} RIGHT ) TIMES CDOTS TIMES LEFT ( 1+ {a _{10}} over {4} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) TIMES LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) TIMES CDOTS TIMES LEFT ( 1- {1} over {10} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {2} over {3} TIMES CDOTS TIMES {9} over {10} = {1} over {10}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	접선의 방정식 구하기	50 %
	[eqn: a _{n}] 구하기	20 %
답 구하기	식의 값 구하기	30 %

14

[eqn: dx overdt =2`cos``t], [eqn: dy overdt =-root2`sin``t]이므로
[eqn: dy overdx ={-root2`sin``t} over {2`cos``t}= - root2 over2 `tan``t] (단, [eqn: cos``t != 0])
이때 [eqn: dy overdx =- root2 over2]이므로 [eqn: tan``t=1]
[eqn: therefore`t= pi over4] 또는 [eqn: t= 5over4 pi]
점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면 위에 있으므로 [eqn: t= piover4]
[eqn: therefore a=2`sin``pi over4 =root2], [eqn: b=root2` cos``pi over4 =1]
점 [eqn: rmP left(root2 ,~1 right)]에서의 접선의 방정식은
[eqn: y-1 =- root2 over2 left(x-root2 right)]    [eqn: therefore][eqn: y=- root2 over2 x+2]

따라서 [eqn: rmA left(2root2 ,~0 right)], [eqn: rmB(0,~2)]이므로 구하는 [eqn: triangle rmOAB]의 넓이는
[eqn: triangle rmOAB=][eqn: 1 over2 `·`2root2 `·`2 =2root2]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: dy overdx]의 값 구하기	30 %
	점 [eqn: rmP]의 좌표 구하기	30 %
	점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식 구하기	30 %
답 구하기	[eqn: triangle rmOAB]의 넓이 구하기	10 %

Ⅱ. 평면벡터

1. 벡터의 연산 - ①회

중단원 평가 문제

1. ②	2. ④	3. ②

4. ④	5. ③	6. ⑤

7. ④	8. ②	9. ②

10. ③	11. ④	12. [eqn: 7]

13. [eqn: - 17 over3]	14. [eqn: 2root3]

1

오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: bar{rmAC}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: rm△ABH]에서
[eqn: cos``30°= {rmbarAH} over {1}]
[eqn: rmbar{AH}= {sqrt {3}} over {2}]
∴[eqn: LEFT | {vec{rm AC it}} RIGHT |][eqn: = rm {bar{AC}}][eqn: =2rmbarAH][eqn: =2`·` {sqrt {3}} over {2} = sqrt {3}]

2

크기와 방향이 각각 같은 벡터를 찾으면 되므로 서로 같은 벡터는 ④ [eqn: rm {vec{CR}}], [eqn: rm {vec{QP}}]이다.

3

주어진 정육각형의 세 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라 하면
[eqn: veca +vecb = rm vecAB +vecAF =vecAB +vecBO][eqn: rm =vecAO =vecBC]
[eqn: veca -vecb rm=vecAB -vecAF =vecFB]

4

[eqn: vec \OE = vec BO = - vec OB = it - vec b]
[eqn: vec \CO = vec BA = vec OA - vec OB = it vec a - vec b]
[eqn: therefore][eqn: vec \CE= vec CO + vec OE][eqn: = it left( vec a - vec b `right ) + left( - vec b `right ) = vec a - 2 vec b]

5

[eqn: rm {bar{AD}} ⫽ {bar{BC}}]이고 [eqn: rm {bar{BC}} =2 {bar{AD}}]이므로
[eqn: rm {vec{BC}} =2 {vec{AD}} =2 it {vec{b}}]
∴[eqn: rm {vec{DB}} + {vec{AC}}][eqn: = LEFT ( rm {vec{AB}} - {vec{AD}} RIGHT ) + LEFT ( rm {vec{BC}} - {vec{BA}} RIGHT )]
[eqn: = rm {vec{AB}} - {vec{AD}} + rm {vec{BC}} + {vec{AB}}]
[eqn: =2 rm {vec{AB}} - {vec{AD}} + rm {vec{BC}}]
[eqn: =2 {vec{a}} - {vec{b}} + 2 {vec{b}}][eqn: =2 {vec{a}} + {vec{b}}]

6

ㄱ. [eqn: rm {vec{AB}} + {vec{BC}} + {vec{CA}} = {vec{AC}} + {vec{CA}} = {vec{0}}] (참)
ㄴ. [eqn: rm vecAC +vecBA -vecDC = left(vecBA +vecAC right)+vecCD]
[eqn: rm =vecBC +vecCD =vecBD] (참)
ㄷ. [eqn: rm vecCB +vecAD +vecDC +vecBD]
[eqn: rm = left(vecCB +vecBD right)+ left(vecAD +vecDC right)][eqn: =rm vecCD +vecAC]
[eqn: =rm vecAC +vecCD =vecAD] (참)
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

7

[eqn: x-y+4=0], [eqn: 2x+y-10=0]이므로
[eqn: x=2], [eqn: y=6]    ∴[eqn: x+y=2+6=8]

8

[eqn: vec{x} -3 vec{y} = vec{a} -3 vec{b}]              [eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: 3 vec{x} + vec{y} =-2 vec{a} + vec{b}]	[eqn: cdotscdots]㉡
[eqn: 3times]㉠[eqn: -]㉡을 하면
[eqn: -10 vec{y} =5 vec{a} -10 vec{b}]    [eqn: therefore][eqn: vec{y}=- {1} over {2} vec{a}+vec{b}]
이것을 ㉡에 대입하여 풀면  [eqn: vec{x}=- {1} over {2} vec{a}]
[eqn: therefore][eqn: vec{x} + vec{y} =- {1} over {2} vec{a} + LEFT ( - {1} over {2} vec{a} + vec{b} RIGHT )][eqn: =- veca +vec{b}]

9

ㄱ. [eqn: veca -vecc =veca - left(`veca +2vecb `right)=-2vecb]
ㄴ. [eqn: veca +vecc =veca +left(`veca +2vecb `right)=2left(`veca +vecb` right)]
ㄷ. [eqn: vecb -vecc =vecb - left(`veca + 2vecb` right)=-left(`veca +vecb` right)]
ㄹ. [eqn: vecb +vecc =vecb +left(`veca +2vecb` right)=veca +3vecb]
따라서 [eqn: veca +vecb]와 평행한 벡터는 ㄴ, ㄷ이다.

10

[eqn: veca +k left(`vecc -2veca` right) +vecb -5vecc =vec0]에서
[eqn: left(1-2k right)veca +vecb +(k-5)vecc =vec0]	[eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: veca ⫽ vecb]이므로 [eqn: vecb =t veca] (단, [eqn: t!=0])
[eqn: vecb =t veca]를 ㉠에 대입하면
[eqn: (1-2k)veca +t veca +(k-5)vecc =vec0]
[eqn: (1-2k+t)veca +(k-5)vecc =vec0]
두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecc]는 서로 평행하지 않으므로
[eqn: 1-2k+t=0], [eqn: k-5=0]
[eqn: therefore][eqn: k=5], [eqn: t=9]
따라서 [eqn: vecb =9veca]이고 [eqn: left |veca right|= 1over3]이므로
[eqn: left|vecb right|=9 left|veca right|=9`·`1 over 3 =3]

11

[eqn: rm {vec{AB}} = {vec{OB}} - {vec{OA}} it = {vec{b}} - {vec{a}}]이고
[eqn: rm {vec{AC}} = {vec{OC}} - {vec{OA}} it = LEFT ( 3 {vec{a}} -2 {vec{b}} ` RIGHT ) - {vec{a}}]
[eqn: =2 {vec{a}} -2 {vec{b}} =-2 LEFT ( ` {vec{b}} - {vec{a}} ` RIGHT )]
[eqn: rm {vec{AD}} = {vec{OD}} - {vec{OA}} it = LEFT ( -4 {vec{a}} + {vec{b}} ` RIGHT ) - {vec{a}}][eqn: =-5 {vec{a}} + {vec{b}}]
[eqn: rm {vec{AE}} = {vec{OE}} - {vec{OA}} it = LEFT ( -2 {vec{a}} +3 {vec{b}} ` RIGHT ) - {vec{a}}]
[eqn: =-3 {vec{a}} +3 {vec{b}} =3 LEFT ( ` {vec{b}} - {vec{a}} ` RIGHT )]
따라서 직선 [eqn: rmAB] 위의 점인 것은 점 [eqn: rmC]와 점 [eqn: rmE]이다.

12

[eqn: rm vecOF =vecF'O]이므로
[eqn: rm left | vecOP +vecOF right| =left|vecOP +vecF'O right|][eqn: = left|rm vecF'O +vecOP right|= left|vecF'P right|]
[eqn: therefore left|rm vecF'P right|=3]
타원의 정의에 의하여 [eqn: rm barPF +barPF' =2`·`5 =10]이므로
[eqn: rm left |vecPF right|+left|vecPF' right|=10]
[eqn: therefore left|rm vecPF right|=10-left|vecPF' right|=10 -left|vecF'P right|][eqn: =10-3=7]
따라서 선분 [eqn: rmPF]의 길이는 [eqn: 7]이다.

13

[eqn: vecp +vecq = left(2veca -vecb `right)+ left(`veca -3vecb` right)=3veca -4vecb]
[eqn: vecq -vecr = left(`veca -3vecb` right)- left(3veca +k vecb` right)=-2veca +(-3-k)vecb]
두 벡터 [eqn: vecp +vecq], [eqn: vecq -vecr]가 서로 평행하려면 [eqn: vecq -vecr =t left(`vecp +vecq` right)]를 만족시키는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: t]가 존재해야 하므로
[eqn: -2veca +(-3-k)vecb =t left(3veca - 4 vecb` right)]
[eqn: (3t+2)veca =(4t-3-k)vecb]
두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]는 서로 평행하지 않으므로
[eqn: 3t+2 =0], [eqn: 4t-3-k=0]
[eqn: therefore][eqn: t= - 2over3], [eqn: k=- 17over3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: vecp +vecq]를 [eqn: veca], [eqn: vecb]로 나타내기	30 %
	[eqn: vecq -vecr]를 [eqn: veca], [eqn: vecb]로 나타내기	30 %
답 구하기	[eqn: k]의 값 구하기	40 %

14

[eqn: 3 left(`vecx -veca +vecb` right)=vecx -veca -vecb]에서
[eqn: 3vecx -3veca + 3vecb =vecx -veca -vecb]
[eqn: 2vecx =2veca -4vecb]	[eqn: thereforevecx =veca -2vecb]
오른쪽 그림과 같이 변 [eqn: rm AC]의 연장선을 그어 [eqn: rm barAD =2barAC]인 점 [eqn: rmD]를 잡으면
[eqn: vecx =veca -2vecb =rm vecAB -vecAD =vecDB]
이때 [eqn: triangle rmABD]는 [eqn: anglermABD =90°]인 직각삼각형이므로
[eqn: left|vecx right|= left|rmvecDB right|][eqn: rm=root{{barAD}^2 -{barAB}^2}]
[eqn: =root{4^2 -2^2 }=2root3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: vecx]를 [eqn: veca], [eqn: vecb]로 나타내기	40 %
	[eqn: rm bar AD =2barAC]인 [eqn: triangle rm ABD]에서 [eqn: vecx] 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: vecx]의 크기 구하기	20 %

1. 벡터의 연산 - ②회

중단원 평가 문제

1. ②, ④	2. ①	3. ⑤

4. ⑤	5. 평행사변형	6. ⑤

7. ①	8. ②	9. ②

10. ②	11. [eqn: 4root3]	12. ①

13. [eqn: -18]	14. [eqn: 1over4]

2

[eqn: rm {vec{BC}} + {vec{DB}} + {vec{AD}} + {vec{CD}}][eqn: = LEFT ( rm {vec{BC}} + {vec{CD}} RIGHT ) + {vec{DB}} + {vec{AD}}]
[eqn: =rm {vec{BD}} + {vec{DB}} + {vec{AD}}]
[eqn: = rm {vec{BD}} - {vec{BD}} + {vec{AD}}]
[eqn: = rm {vec{0}} + {vec{AD}}][eqn: = rm {vec{AD}}]

3

⑤ [eqn: rm vecAB -vecAC =vecCB]

4

오른쪽 그림과 같이 정육각형의 세 대각선 [eqn: rmAD], [eqn: rmBE], [eqn: rmCF]의 교점을 [eqn: rmO]라 하면 두 사각형 [eqn: rmABOF]와 [eqn: rmAOEF]는 마름모이다.
[eqn: rm LEFT | {vec{AB}} + {vec{FE}} + {vec{CD}} RIGHT |][eqn: = LEFT | LEFT ( rm {vec{AB}} + {vec{CD}} RIGHT ) + {vec{FE}} RIGHT |]
[eqn: = LEFT | LEFT ( rm {vec{AB}} + {vec{AF}} RIGHT ) + {vec{FE}} RIGHT |]
[eqn: = rm LEFT | {vec{AO}} + {vec{FE}} RIGHT |]
[eqn: = rm LEFT | {vec{FE}} + {vec{FE}} RIGHT |][eqn: = rm 2 LEFT | {vec{FE}} RIGHT |][eqn: =2]

5

[eqn: rm vecPA =vecPB -vecPC +vecPD]에서
[eqn: rm vecPA -vecPB =vecPD -vecPC]
[eqn: therefore rm vecBA =vecCD]
따라서 [eqn: rm barBA =barCD], [eqn: rm barBA ⫽ barCD]이므로 [eqn: □rmABCD]는 평행사변형이다.

6

[eqn: rm vecAB +vecAC +vecAD +vecAE]
[eqn: =left(rm vec OB -vecOA` right)+left(vecOC -vecOA` right)]
[eqn: rm+(vecOD -vecOA` right)+left(vecOE -vecOA` right)]
[eqn: =rm left(vecOB +vecOC +vecOD +vecOE` right)-4vecOA]
[eqn: =left( rm vecOA +vecOB +vecOC +vecOD +vecOE` right)-5vecOA]
이때 [eqn: rm vecOA +vecOB +vecOC +vecOD +vecOE =vec0]이므로
[eqn: rm vecAB +vecAC +vecAD +vecAE =-5 vecOA]
따라서 [eqn: left| rmvec OA right| =1]이므로
[eqn: rm left| vecAB +vecAC +vecAD +vecAE right| =left|-5vecOA right| =5 left|vecOA right|=5]

7

[eqn: rm vecAC =vecAB +vecBC =it veca +vecb]
[eqn: rm vecPA =-vecAP]
[eqn: rm vecPB =vecAB -vecAP =itveca -rm vecAP]
[eqn: rm vecPC =vecAC -vecAP = it veca +vecb -rm vecAP]
[eqn: rm vecPA +vecPB +vecPC =vecAC]에 각각 대입하면
[eqn: rm -vecAP +left(` it veca - rmvecAP` right)+ left(it` veca +vecb - rm vecAP` right) =it veca +vecb]
[eqn: 3 rm vecAP = it veca]    [eqn: therefore rm vecAP = 1over3 it veca]

8

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} = {vec{x}}]	…… ㉠
[eqn: {vec{b}} + {vec{c}} = {vec{y}}]	…… ㉡
[eqn: {vec{c}} + {vec{a}} = {vec{z}}]	…… ㉢
㉠[eqn: +]㉡[eqn: +]㉢을 하면
[eqn: 2 LEFT ( ` {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} `` RIGHT ) = {vec{x}} + {vec{y}} + {vec{z}}]
[eqn: THEREFORE ~ {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}} = {1} over {2} LEFT ( ` {vec{x}} + {vec{y}} + {vec{z}} ` RIGHT )]     …… ㉣
[eqn: ㉣ - ㉡]을 하면
[eqn: {vec{a}} = {1} over {2} LEFT ( ` {vec{x}} + {vec{y}} + {vec{z}} ` RIGHT ) - {vec{y}} = {1} over {2} LEFT ( ` {vec{x}} - {vec{y}} + {vec{z}} ` RIGHT )]

9

[eqn: 2x-y=x+y], [eqn: 3x+2y=-x-3y+13]에서
[eqn: x=2], [eqn: y=1]    ∴[eqn: xy=2]

10

[eqn: vec{p} + vec{q}][eqn: =(2+k) vec a -2 vecb +(1-k) vec a -4 vecb][eqn: =3vec{a}-6vec{b}]
[eqn: vec{p} - vec{q} `][eqn: =(2+k)vec a - 2 vecb -(1-k)vec a +4 vecb]
[eqn: =(1+2k)vec{a}+2vec{b}]
두 벡터 [eqn: vecp +vecq]와 [eqn: vecp -vecq]가 서로 평행하려면
[eqn: vec{p}-vec{q}=t left(`vec{p}+vec{q}`right)]를 만족시키는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: t]가 존재해야 하므로
[eqn: (1+2k) vec{a} +2 vec{b} =t left(3 vec{a} -6 vec{b}`right )]
[eqn: (1+2k-3t) vec{a} =(-2-6t) vec{b}]
두 벡터 [eqn: vec{a}], [eqn: vec{b}]는 서로 평행하지 않으므로
[eqn: 1+2k-3t=0], [eqn: -2-6t=0]
[eqn: therefore][eqn: t=- {1} over {3}], [eqn: k=-1]

11

[eqn: left(`veca +vecb `right)-left(2vecb -3vecc` right) = veca +vecb -2vecb +3vecc =veca -vecb +3vecc]
[eqn: =vecc +3vecc =4vecc]
[eqn: left|left(`veca +vecb` right)-left(2vecb -3vecc` right) right|=16]에서
[eqn: left|4vecc right| =4left|vecc right|=16]    [eqn: thereforeleft|vecc right|=4]
따라서 정삼각형 [eqn: rm ABC]의 한 변의 길이는 [eqn: 4]이므로
[eqn: rm triangleABC = root3 over4 `·`4^2 =4root3]

12

오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rmC]에서 [eqn: rm barOA]와 [eqn: rm barOB]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하면
[eqn: rm vecOC =vecOP +vecOQ]
직각삼각형 [eqn: rm COP]에서
[eqn: rm barOP =barOC`cos`60° =4 `·`1over2 =2][eqn: rm barCP =barOC`sin`60° =4 `·`root3 over2 =2root3]
[eqn: therefore rm barOQ =barCP =2root3]
세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmP], [eqn: rmA]가 한 직선 위에 있고
[eqn: rm barOP =2], [eqn: rm barOA =4]이므로
[eqn: rm vecOP = 1over2 vecOA = 1 over2 itveca]
또, 세 점 [eqn: rm O], [eqn: rm Q], [eqn: rmB]가 한 직선 위에 있고
[eqn: rm barOQ =2root3], [eqn: rm barOB =4]이므로
[eqn: rm vecOQ = root3 over2 vecOB = root3 over2 it vecb]
[eqn: therefore rm vecOC =vecOP +vecOQ = it 1over2 veca + root3 over2 vecb]
따라서 [eqn: m= 1over2], [eqn: n= root3 over2]이므로 [eqn: m^2 +n^2 =1]

13

[eqn: rm vecAB =vecOB -vecOA][eqn: = it vecb -veca]	[eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: rm vecAC =vecOC -vecOA]
[eqn: = LEFT ( k {vec{a}} -2 {vec{b}} ` RIGHT ) - {vec{a}} =(k-1) {vec{a}} -2 {vec{b}}]	[eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡을 [eqn: 3 rm {vec{AC}} = it m rm {vec{AB}}]에 대입하면
[eqn: 3(k-1) {vec{a}} -6 {vec{b}} =m` {vec{b}} -m {vec{a}} `][eqn: (3k-3) {vec{a}} -6 {vec{b}} =-m {vec{a}} +m {vec{b}}]
따라서 [eqn: 3k-3=-m], [eqn: -6=m]이므로
[eqn: m=-6], [eqn: k=3]
[eqn: THEREFORE km=(-6)`·`3=-18]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: rm vecAB], [eqn: rm vecAC]를 [eqn: veca], [eqn: vecb]로 나타내기	40 %
	[eqn: k], [eqn: m]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: km]의 값 구하기	20 %

14

[eqn: rm vec AB =vecOB - vecOA][eqn: =vecb - vec a]
[eqn: rm vecAC =vecOC -vecOA][eqn: =m veca +n vec b -vec a =(m-1)vec a +n vecb]
세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]가 한 직선 위에 있으려면 [eqn: rm vecAC ={itk}vecAB]를 만족시키는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: k]가 존재해야 하므로
[eqn: (m-1)veca +n vecb =k left(vecb - veca right)]
[eqn: (m-1+k) vec a = (k-n) vec b]
두 벡터 [eqn: veca], [eqn: vecb]가 서로 평행하지 않으므로
[eqn: m-1+k=0], [eqn: k-n=0]
[eqn: therefore m=1-k], [eqn: n=k]
[eqn: thereforemn =(1-k)k =-k^2 +k][eqn: =- left(k- 1over2 right)^2 + 1over4]
따라서 [eqn: mn]의 최댓값은 [eqn: 1 over4]이다.

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	세 점이 한 직선 위에 있을 조건을 이용하여 식 세우기	20 %
	[eqn: m], [eqn: n]을 [eqn: k]로 나타내기	40 %
답 구하기	[eqn: mn]의 최댓값 구하기	40 %

2. 평면벡터의 성분과 내적 - ①회

중단원 평가 문제

1. ⑤	2. ③	3. ①

4. ③	5. ③	6. [eqn: 3]

7. ④	8. ③	9. ④

10. ②	11. ②	12. ①

13. [eqn: 1 over8]	14. [eqn: 7 over2]

1

[eqn: rm vecAC +2vecBC =vecOC - vecOA +2left(`vecOC -vecOB` right)]
[eqn: =rm -vecOA -2 vecOB +3vecOC]
[eqn: =-veca -2vecb +3vecc]

2

[eqn: rmvec{OB} = vec{OA} + vec{OC}]이므로
[eqn: rm {vec{OP}} = {3 {vec{OB}} +2 {vec{OA}}} over {3+2}][eqn: = rm {3 LEFT ( {vec{OA}} + {vec{OC}} RIGHT ) +2 {vec{OA}}} over {5}]
[eqn: rm = {vec{OA}} + {3} over {5} {vec{OC}}]
따라서 [eqn: m=1], [eqn: n= {3} over {5}]이므로 [eqn: m-n= {2} over {5}]

3

모눈종이의 가로, 세로의 한 칸의 크기를 각각 [eqn: 1]이라 하고 세 벡터 [eqn: vec { a}], [eqn: vec { b}], [eqn: vec { c}]의 시점을 좌표평면 위의 원점으로 놓아 각각 성분을 이용하여 나타내면
[eqn: vec { a}][eqn: =(-2,~-2)], [eqn: vec { b}][eqn: =(-3,~1)], [eqn: vec { c}][eqn: =(3,~5)]
[eqn: {vec{c}} =p {vec{a}} +q {vec{b}}]에서
[eqn: (3,~5)][eqn: =p(-2,~-2)][eqn: +q(-3,~1)]
[eqn: =(-2p-3q,~-2p+q)]
∴[eqn: -2p-3q=3,~-2p+q=5]
두 식을 연립하여 풀면
[eqn: p=- {9} over {4}], [eqn: q= {1} over {2}]    ∴[eqn: pq=- {9} over {8}]

4

[eqn: {vec{a}} -2 {vec{b}}+3vecc =(-2,~1)-2(0,~-3)+3(1,~-2)]
[eqn: =(1,~1)]
[eqn: therefore left|veca -2vecb +3vecc right| =root{1^2 +1^2}=root2]
따라서 벡터 [eqn: veca -2vecb +3vecc]와 방향이 같고 크기가 [eqn: 4]인 벡터는
[eqn: 4 times {veca -2vecb +3vecc }over{left|veca -2vecb +3vecc right|^` }= left(2root2 , ~2root2 right)]
따라서 [eqn: x=2root2], [eqn: y=2root2]이므로 [eqn: x+y= 4root2]

5

[eqn: left| vec{a} - vec{b} right| ^{2} = left| vec{a} right| ^{2} -2 vec{a} BULLETvec{b} + left| vec{b} right| ^{2} =3]에서
[eqn: 1-2vec{a}BULLETvec{b}+1 =3]    [eqn: therefore][eqn: vec{a}BULLETvec{b}=- {1 } over { 2}]
[eqn: left|2vec{a}+vec{b} right|^2 =4`left|vec{a} right|^2 +4`vec{a}BULLETvec{b}+left |vec{b} right|^2]에서
[eqn: left|2 vec{a} + vec{b} right| ^{2}][eqn: =4-2+1][eqn: =3]    [eqn: therefore][eqn: left|2vec{a}+vec{b} right|=root{3}]

6

[eqn: rm left| vecAC right| =root3], [eqn: rm left|vecAD right| =2 left|vecFE right| =2cdot1=2]이므로
[eqn: rm left|vecAC -vecAD right|^2 = left|vecDC right|^2 =1]에서
[eqn: rm left|vecAC right|^2 -2 vecAC bulletvecAD +left|vecAD right|^2 =1]
[eqn: left(root3 right)^2 -2rm vecAC bulletvecAD +2^2 =1]
[eqn: 2 rm vecAC bulletvecAD =6]
[eqn: therefore rm vecAC bulletvecAD =3]

7

[eqn: left( rm vecCA -vecAB right) bullet vecBC =0]에서
[eqn: left(rm vecCA -vecAB right) bullet left(vecBA +vecAC right)=0]
[eqn: left(rm vecCA -vecAB right) bullet left(-vecCA -vecAB right)=0]
[eqn: left|rm vecAB right|^2 - left|vecCA right|^2 =0], [eqn: left| rm vecAB right|^2 =left| vecAC right|^2]
[eqn: therefore][eqn: rm left|vecAB right| = left|vecAC right|]
따라서 [eqn: rm triangleABC]는 [eqn: rm barAB =barAC]인 이등변삼각형이다.

8

[eqn: rm {vec{OA}} ,~{vec{OB}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta][eqn: LEFT ( 0< theta < pi RIGHT )]라 하면

[eqn: {vec{a}} BULLET {vec{b}} = LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT | cos`` theta]이므로 [eqn: 10 sqrt {3} =5`·`6`·`cos` theta]
∴[eqn: cos`` theta = {sqrt {3}} over {3}]
∴[eqn: sin`` theta = sqrt {1-cos ^{2} `` theta } = {sqrt {6}} over {3}]
따라서 구하는 평행사변형의 넓이는
[eqn: 5`·`6`·`sin`` theta][eqn: =30`·` {sqrt {6}} over {3} =10 sqrt {6}]

9

[eqn: veca bullet vecb =left(t^2 ,``1-2t right) bullet left(2t+k, ``t^2 -kt+1right)]
[eqn: =t^2 (2t+k) +(1-2t)(t^2 -kt+1)]
[eqn: =(3k+1)t^2 -(k+2)t +1]
이때 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: veca bulletvecb !=0]이려면 [eqn: t]에 대한 이차방정식 [eqn: (3k+1)t^2 -(k+2)t +1=0]이 실근을 갖지 않아야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: D=(k+2)^2 -4(3k+1)<0]
[eqn: k^2 -8k<0], [eqn: k(k-8)<0]     [eqn: therefore0<k<8]
따라서 이를 만족시키는 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 7]이다.

10

직선 [eqn: l _{1}]에서 [eqn: {x-1} over {2} = {y+1} over {-3} =t]
직선 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2}]의 방향벡터를 각각  [eqn: vecu], [eqn: vecv]라 하면
[eqn: {vec{u}} =(2,``-3)], [eqn: {vec{v}} =(2,``3)]이므로
[eqn: cos``` theta = {LEFT | {vec{u}} BULLET {vec{v}} RIGHT |} over {LEFT | {vec{u}} RIGHT | LEFT | {vec{v}} RIGHT | ^{`}}]
[eqn: = {|2`·`2+(-3)`·3|} over {sqrt {2 ^{2} +(-3) ^{2}} sqrt {2 ^{2} +3 ^{2}}} = {5} over {13}]

11

두 점 [eqn: (-1,~3)], [eqn: (1,~-1)]을 지나는 직선의 방정식은
[eqn: x-1 over 1+1 = y+1 over -1-3]    [eqn: therefore x-1 = y+1 over -2]
위의 방정식을 [eqn: x-1 = y+1 over -2 =t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x= t+1], [eqn: y= -2t -1]
교점 [eqn: \A], [eqn: \B]는 직선 위의 점이므로 점 [eqn: \A], [eqn: \B]의 좌표를
[eqn: (t+1,~-2t-1)]이라 하면 이 점이 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위에 있으므로
[eqn: (t+1)^2 +(-2t-1)^2 =1]
[eqn: 5t^2 +6t +1 =0], [eqn: (t+1 )(5t+1)=0]
[eqn: therefore t= -1] 또는 [eqn: t= - 1 over 5]
즉, 교점의 좌표는 [eqn: (0,~1)], [eqn: left( 4 over 5 ,~- 3 over 5 right)]
따라서 [eqn: vec \AB =left( 4 over 5 ,~ - 8 over5 right)] 또는 [eqn: vec \AB =left( - 4 over 5 ,~ 8 over 5 right)]이므로 구하는 [eqn: vec \AB]의 크기는
[eqn: left|`vec \AB` right| = root{ 16 over25 + 64 over 25 } ={4root5} over 5]

12

점 [eqn: \P]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라 하면
[eqn: {vec{rm PA it}} + {vec{rm PB it}} it =(2-x,~4-y)+(4-x,~2-y)]
[eqn: =(6-2x,~6-2y)]
[eqn: |`` {vec{rm PA}} + {vec{rm PB}} ``|=6]에서 [eqn: (6-2x) ^{2} +(6-2y) ^{2} =36]
[eqn: THEREFORE ~(x-3) ^{2} +(y-3) ^{2} =9]
따라서 점 [eqn: \P]의 자취는 중심의 좌표가 [eqn: (3,~3)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원이므로 구하는 둘레의 길이는
[eqn: 2 pi `·`3=6 pi]

13

두 벡터 [eqn: veca -vecb], [eqn: 1over5 veca +vecb]가 서로 수직이므로
[eqn: left(veca -vecb right) bulletleft(1 over5 veca +vecb right)=0]
[eqn: 1 over5 left|veca right|^2 + 4 over5 veca bulletvecb -left|vecb right|^2 =0]
[eqn: left|veca right|^2 +4 left|veca right|left|vecb right|cos`theta -5left|vecb right|^2 =0]
위의 식에 [eqn: left|veca right|=2left|vecb right|]를 대입하면
[eqn: 4 left|vecb right|^2 +8left|vecb right|^2 cos`theta -5left|vecb right|^2 =0]
[eqn: 8left|vecb right|^2 cos`theta -left|vecb right|^2 =0]
[eqn: left|vecb right|^2 (8`cos`theta -1)=0]
[eqn: therefore left|vecb right|=0] 또는 [eqn: cos`theta = 1over8]
그런데 [eqn: vecb != vec0]이므로 [eqn: cos `theta = 1over8]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	수직 조건을 이용하여 [eqn: veca], [eqn: vecb]에 관한 식 세우기	60 %
답 구하기	[eqn: cos`theta]의 값 구하기	40 %

14

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: rm P][eqn: (x,``y)]라 하면
[eqn: rm vecAP = vecOP -vecOA =it (x,``y)-(-1,``3)][eqn: =(x+1,``y-3)]
[eqn: rm vecBP =vecOP -vecOB =it(x,``y)-(3,``2)][eqn: =(x-3,``y-2)]
[eqn: rm left|vecAP right| =left| vecBP right|]에서 [eqn: rm left|vecAP right|^2 =left| vecBP right|^2]이므로
[eqn: (x+1)^2 +(y-3)^2 =(x-3)^2 +(y-2)^2]
[eqn: therefore8x-2y =3]	[eqn: cdotscdots]㉠
즉, 점 [eqn: rm P]가 그리는 도형은 직선 [eqn: 8x-2y=3]이다.
또, 두 점 [eqn: rm A(-1,~3)], [eqn: rmB(3,~2)]를 지나는 직선의 방정식은
[eqn: {x+1} over3+1 ={y-3}over2-3]    [eqn: therefore {x+1}over4 =3-y]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: x=1], [eqn: y= 5over2]
따라서 점 [eqn: rm P]가 그리는 도형과 선분 [eqn: rmAB]의 교점의 좌표는 [eqn: left(1,`` 5over2 right)]이므로
[eqn: a=1], [eqn: b= 5over2]    [eqn: therefore a+b = 1 + 5over2 = 7over2]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	점 [eqn: rmP]가 그리는 도형의 방정식 구하기	30 %
	두 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB]를 지나는 직선의 방정식 구하기	30 %
	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	30 %
답 구하기	[eqn: a+b]의 값 구하기	10 %

2. 평면벡터의 성분과 내적 - ②회

중단원 평가 문제

1. ⑤	2. ①	3. ②

4. ③	5. ⑤	6. [eqn: -4]

7. ②	8. ②	9. ⑤

10. ③	11. ②	12. ②

13. [eqn: 4pi]	14. [eqn: root17]

1

⑤ [eqn: 3 rm vecAB -vecCA =3 left(`vecOB -vecOA` right)-left(`vecOA -vecOC` right)]
[eqn: =-4 rm vecOA +3vecOB +vecOC][eqn: =-4veca +3vecb +vecc]

2

[eqn: {vec{rm OP it}} = {4 {vec{b}} + {vec{a}}} over {4+1} = {1} over {5} {vec{a}} + {4} over {5} {vec{b}}]
점 [eqn: rmQ]는 [eqn: {bar{rmOP}}]를 [eqn: 1:2]로 외분하는 점이므로
[eqn: rm {bar{OQ}} : {bar{OP}} =1:2]
[eqn: THEREFORE {vec{rm OQ it}} =- {vec{rm OP it}} =- LEFT ( {1} over {5} {vec{a}} + {4} over {5} {vec{b}} RIGHT )][eqn: =- {1} over {5} {vec{a}} - {4} over {5} {vec{b}}]

3

[eqn: rm 7vecPA +5 vecPB +3 vecPC =2 vecCA]에서
[eqn: rm 7vecPA +5 vecPB +3 vecPC = 2left(`vecPA - vecPC` right)]
[eqn: rm 5 vecPA +5 vecPB +5 vecPC = vec0]    [eqn: therefore rm vecPA +vecPB +vecPC =vec0]
따라서 점 [eqn: rm P]는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심이므로
[eqn: rm trianglePAB = 1 over3 triangleABC = 1 over3 times60 =20]

4

[eqn: 2 LEFT ( ` {vec{a}} + {vec{b}} ` RIGHT ) -3 LEFT ( ` {vec{a}} - {vec{b}} ` RIGHT )][eqn: =- {vec{a}} +5 {vec{b}}]
[eqn: =-(2,~1)+5(-1,~3)]
[eqn: =(-7,~14)]

5

세 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB], [eqn: rm C]가 한 직선 위에 있으므로
[eqn: rm vecAC ={itk}vecAB] ([eqn: k!=0])
[eqn: rm vecOC -vecOA ={itk} left(vecOB -vecOA right)]
[eqn: (3,``x)-(-3,``5)=k left{(-5,``2)-(-3,``5) right}]
[eqn: (6,``x-5)=k(-2,``-3)]
[eqn: therefore6=-2k], [eqn: x-5=-3k]
위의 두 식을 연립하여 풀면 [eqn: k=-3], [eqn: x=14]

6

[eqn: {vec{a}} BULLET {vec{b}} = LEFT | {vec{a}} RIGHT | LEFT | {vec{b}} RIGHT | `cos` {pi } over {6} =2`·`4`·` {1} over {2} =4]
[eqn: LEFT ( 2 {vec{a}} - {vec{b}} ` RIGHT ) BULLET LEFT ( ` {vec{a}} + {vec{b}} ` RIGHT )][eqn: =2 LEFT | {vec{a}} RIGHT | ^{2} +` {vec{a}} BULLET {vec{b}} ``- LEFT | {vec{b}} RIGHT | ^{2}]
[eqn: =2·`2 ^{2} +4-4 ^{2}][eqn: =-4]

7

정삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하면
① [eqn: {vec{rm AB it}} BULLET {vec{rm AC it}} =a`·`a`·`cos`60°= {a ^{2}} over {2}]
② [eqn: {vec{rm AC it}} BULLET {vec{rm AC it}} =a`·`a`·`cos`0=a ^{2}]
③ [eqn: {vec{rm AC it}} BULLET {vec{rm AQ it}} =a`·` {sqrt {3}} over {2} a`·`cos`30°= {3} over {4} a ^{2}]
④ [eqn: {vec{rm BC it}} BULLET {vec{rm AC it}} =a`·`a`·`cos`60°= {a ^{2}} over {2}]
⑤ [eqn: {vec{rm BR it}} BULLET {vec{rm RA it}} ``= {sqrt {3}} over {2} a`·` {1} over {2} a`·`cos`90°=0]
따라서 값이 가장 큰 것은 ②이다.

8

[eqn: left|veca -vecb right|^2 =left|veca right|^2 -2veca bulletvecb +left|vecb right|^2 =left|veca right|^2]이므로
[eqn: veca bullet vecb = 1over2 left|vecb right|^2]
따라서
[eqn: left|2veca -vecb right|^2 =4left|veca right|^2 -4veca bulletvecb +left|vecb right|^2]
[eqn: =4 left|vecb right|^2 - 2 left|vec b right|^2 +left|vecb right|^2][eqn: =3left|vecb right|^2]
이므로 [eqn: left|2veca -vecb right|= +- root3 left|vecb right|]
이때 [eqn: m>0]이므로 [eqn: m=root3]

9

[eqn: veca ⫽vecc]이므로 [eqn: vecc =k veca] (단, [eqn: k!=0])
[eqn: (6,``n)=k(2,``3)]
두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여 [eqn: 6=2k], [eqn: n=3k]
두 식을 풀면 [eqn: k=3], [eqn: n=9]
[eqn: therefore][eqn: {vec{c}} =(6,``9)]
또, [eqn: vecb bot vecc]이므로 [eqn: vecb bullet vecc =0]
[eqn: (m,``-4)bullet(6,``9)=0], [eqn: 6m-36=0]
[eqn: thereforem=6]
[eqn: therefore][eqn: m+n=6+9 =15]

10

두 점 [eqn: rm A(-3,``0)], [eqn: rm B(-1,``1)]을 지나는 직선의 방향벡터를 [eqn: vecu_1], 두 점 [eqn: rm C(5,``1)], [eqn: rm D(4,``2)]를 지나는 직선의 방향벡터를 [eqn: vecu_2]라 하면
[eqn: vecu_1 = rm vecAB =(2,``1)], [eqn: vecu_2 =rmvecCD =(-1,``1)]
[eqn: therefore cos`theta ={left|`2times(-1)+1times1` right|}over{root{2^2 +1^2}root{(-1)^2 +1^2}} = root10 over10]

11

[eqn: x-3 over 2 = y+1 = t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x= 2t+3], [eqn: y= t-1]
점 [eqn: \H]는 직선 [eqn: l `:` x-3 over 2 = y+1] 위의 점이므로
[eqn: \H it(2t+3 ,~ t-1)]
로 놓으면 [eqn: vec \AH = it ( 2t ,~t-3)]이고 직선 [eqn: l]의 방향벡터
[eqn: vec u = (2, ````1)]과 [eqn: vec \AH]는 서로 수직이므로
[eqn: it ( 2t , ```` t-3) ∙ ( 2, ````1) = 0], [eqn: 4t + t-3 = 0]
[eqn: therefore][eqn: t = 3 over 5]    [eqn: therefore][eqn: vec \AH = it left ( 6 over 5 , ```` - 12 over 5 right)]
따라서 구하는 직선은 [eqn: {vec{rm AH}}]에 평행하고 점 [eqn: rm A(3,~2)]를 지나는 직선이므로
[eqn: {x-3} over {{6} over {5}} = {y-2} over {- {12} over {5}}]    [eqn: THEREFORE][eqn: x-3= {y-2} over {-2}]

12

벡터 [eqn: {vec{p}}]의 종점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라 하면
[eqn: LEFT ( ` {vec{p}} - {vec{a}} ` RIGHT ) BULLET LEFT ( ` {vec{p}} - {vec{b}} ` RIGHT ) =0]에서
[eqn: (x+4,~y-3)+(x-2,~y+3)=0]
[eqn: (x+4)(x-2)+(y-3)(y+3)=0]
[eqn: THEREFORE `(x+1) ^{2} +y ^{2} =18]
따라서 점 [eqn: rmP]가 그리는 도형은 중심이 [eqn: (-1,~0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 3 sqrt {2}]인 원이므로 구하는 도형의 넓이는
[eqn: pi`·`(3 sqrt {2} ) ^{2} =18pi]

13

점 [eqn: \P]의 좌표를 [eqn: \P (it x,~y)]로 놓으면
[eqn: vec\PA = (4,~1)-it(x,~y) =(4-x,~1-y)]
[eqn: vec\PB = (-1,~0)-it(x,~y) =(-1-x,~-y)]
[eqn: vec\PC = (0,~-4)-it(x,~y) =(-x,~-4-y)]
[eqn: therefore vec \PA +vec PB +vec PC = (3-3itx,~-3-3y)]
이때 [eqn: vec \PA +vec PB +vec PC]의 크기가 [eqn: 6] 이하이므로
[eqn: left|`vec \PA +vec PB +vecPC `right| le 6]
[eqn: root {(3-3x)^2 + (-3-3y)^2 } le 6]
양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: (3-3x)^2 +(-3-3y)^2 le 36]
[eqn: therefore (x-1)^2 +(y+1)^2 le4]
따라서 위의 식을 만족시키는 점 [eqn: \P]의 영역은 중심이
[eqn: (1,~-1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원의 둘레와 내부이므로 구하는 영역의 넓이는
[eqn: pi times 2^2 = 4pi]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: vec \PA +vec PB +vec PC]를 성분으로 나타내기	40 %
	점 [eqn: \P]가 나타내는 도형 구하기	40 %
답 구하기	점 [eqn: \P]가 나타내는 영역의 넓 이 구하기	20 %

14

[eqn: left(veca +vecb right) bullet left(veca -2vecb right)=-27]에서
[eqn: left|veca right|^2 -veca bulletvecb -2 left|vecb right|^2 =-27]
[eqn: 3^2 -veca bulletvecb -2times4^2 =-27]
[eqn: thereforeveca bulletvecb =4]
[eqn: left|veca -vecb right|^2 =left|veca right|^2 -2veca bulletvecb +left|vecb right|^2]
[eqn: = 3^2 -2times4 +4^2 =17]
[eqn: therefore left|veca -vecb right|= root17]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: veca bullet vecb]의 값 구하기	60 %
답 구하기	[eqn: left|veca -vecb right|]의 값 구하기	40 %

3. 평면 운동 - ①회

중단원 평가 문제

1. ④	2. ③        3. [eqn: \P(0,~-1)]

4. [eqn: {1} over {2} LEFT ( e- {1} over {e} RIGHT )]	5. [eqn: 21]

1

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: vecv]라 하면
[eqn: dx overdt = 3 over5], [eqn: dy overdt = 2t over{t^2 +1}]이므로 [eqn: vecv =left( 3over5 , ``2t over{t^2 +1} right)]
이때 시각 [eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rm P]의 속도는 [eqn: vecv = left( 3 over 5 ,``4 over5 right)]
따라서 시각 [eqn: t=2]에서의 점 [eqn: rm P]의 속력은
[eqn: left|vecv right| = root{left(3over5 right)^2 +left(4over5 right)^2 }=1]

2

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 가속도를 [eqn: veca]라 하면
[eqn: dx overdt = 2at-a`cos`t], [eqn: dy overdt = 1+a`sin`t]
[eqn: {d^2 x} over {dt^2} =2a +a`sin`t], [eqn: {d^2 y}over{dt^2} =a`cos`t]
이므로 [eqn: veca =(2a+a`sin`t,~a`cos`t)]
따라서 [eqn: t=pi]에서의 가속도는 [eqn: (2a,``-a)]이므로
가속도의 크기는 [eqn: root{4a^2 +a^2}=root5 a] ([eqn: because a>0])
이때 가속도의 크기가 [eqn: 5]이므로
[eqn: root5 a=5]    [eqn: thereforea=root5]

3

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: vecv]라 하면
[eqn: dx over dt =1], [eqn: dy over dt =2t-2]이므로 [eqn: vecv =(1,~2t-2)]
이때 속력 [eqn: left|`vec v `right|]는
[eqn: left|`vec v`right| = root{1^2 +(2t-2)^2 }= root{4(t-1)^2 +1]
이므로 [eqn: t=1]일 때, 점 [eqn: \P]의 속력 [eqn: left|`vecv`right|]는 최소이다.
따라서 [eqn: t=1]일 때
[eqn: x=1-1=0], [eqn: y= 1^2 -2times1 =-1]
이므로 구하는 점 [eqn: \P]의 위치는 [eqn: \P(0,~-1)]

4

곡선의 길이를 [eqn: l]이라 하면 [eqn: f` prime (x)= {1} over {2} (e ^{x} -e ^{-x} )]이므로
[eqn: l=][eqn: int _{0} ^{1} {} sqrt {1+ LEFT { {1} over {2} (e ^{x} -e ^{-x} ) RIGHT } ^{2}} `dx]
[eqn: = int _{0} ^{1} {} sqrt {1+ {1} over {4} (e ^{2x} -2+e ^{-2x} )} `dx]
[eqn: = int _{0} ^{1} {} sqrt {{1} over {4} (e ^{x} +e ^{-x} ) ^{2}} `dx][eqn: = int _{0} ^{1} {} {1} over {2} (e ^{x} +e ^{-x} )`dx]
[eqn: = {1} over {2} LEFT [ e ^{x} -e ^{-x} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {1} over {2} LEFT ( e- {1} over {e} RIGHT )]

5

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: vecv]라 하면
[eqn: dx overdt =4t], [eqn: dy overdt =t^2 -4]이므로
[eqn: vecv =(4t,~t^2 -4)]
따라서 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속력은
[eqn: left|vecv right| =root{(4t)^2 +(t^2 -4)^2][eqn: =root{(t^2 +4)^2]
[eqn: =t^2 +4]
점 [eqn: \P]의 속력이 [eqn: 13]일 때의 시각 [eqn: t]의 값은
[eqn: t^2 +4 =13], [eqn: t^2 =9]    [eqn: thereforet=3] ([eqn: becauset>0])
따라서 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: \P]의 속력이 [eqn: 13]이 될 때까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면
[eqn: s= int_{0}^{3}{left|vecv right|`dt][eqn: =int_{0} ^{3}{(t^2 +4)`dt]  [eqn: =left[1over3 t^3 +4t right]_{0}^{3} =21]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	점 [eqn: rmP]의 속력을 [eqn: t]에 관한 식으로 나타내기	30 %
	점 [eqn: rmP]의 속력이 [eqn: 13]이 되는 시각 구하기	30 %
답 구하기	점 [eqn: rmP]가 움직인 거리 구하기	40 %

3. 평면 운동 - ②회

중단원 평가 문제

1. ⑤	2. ①	3. ⑤

4. ①	5. [eqn: 10root2]

1

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: vecv]라 하면
[eqn: dx overdt = 2e^2t], [eqn: dy overdt = e^2t]이므로 [eqn: vecv =left( 2e^2t , ``e^2t right)]
이때 시각 [eqn: t=1]에서의 점 [eqn: rm P]의 속도는 [eqn: vecv = left( 2e^2 ,``e^2 right)]
따라서 시각 [eqn: t=1]에서의 점 [eqn: rm P]의 속력은
[eqn: left|vecv right| = root{(2e^2 )^2 + (e^2 )^2 }=root5 e^2]

2

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: veca]라 하면
[eqn: dx overdt =-3`sin`t], [eqn: dy overdt =2`cos`t]
[eqn: {d^2 x} overdt^2 = -3`cos`t], [eqn: {d^2 y}overdt^2 =-2`sin`t]
이므로 [eqn: veca =(-3`cos``t,``-2`sin`t)]
[eqn: therefore left|veca right|=root{(-3`cos`t)^2 +(-2`sin`t)^2}]
[eqn: =root{9`cos^2 `t +4`sin^2 `t}]
[eqn: =root{5`cos^2 `t +4}]
이때 [eqn: 0le cos^2 `t le1]이므로
[eqn: cos^2 `t =1]일 때 [eqn: left|veca right|]의 최댓값은 [eqn: M=3],
[eqn: cos^2 `t=0]일 때 [eqn: left|veca right|]의 최솟값은 [eqn: m=2]이다.
[eqn: thereforeM+m=5]

3

곡선의 길이를 [eqn: l]이라 하면
[eqn: {dy} over {dx} =(x ^{2} +1) ^{{1} over {2}} `·`2x=2x sqrt {x ^{2} +1}]
이므로
[eqn: l=][eqn: int _{0} ^{3} {} sqrt {1+ LEFT ( 2x sqrt {x ^{2} +1} RIGHT ) ^{2}} `dx]
[eqn: = int _{0} ^{3} {} sqrt {4x ^{4} +4x ^{2} +1} `dx][eqn: = int _{0} ^{3} {} sqrt {(2x ^{2} +1) ^{2}} `dx]
[eqn: = int _{0} ^{3} {(2x ^{2} +1)} `dx][eqn: = LEFT [ {2} over {3} x ^{3} +x RIGHT ] _{0} ^{3}][eqn: =21]

4

[eqn: {dx} over {dt} =-e ^{-t} cos`t-e ^{-t} sin`t=-e ^{-t} (cos`t+sin`t)]
[eqn: {dy} over {dt} =-e ^{-t} sin`t`+e ^{-t} cos`t=e ^{-t} (cos`t-sin`t)]
이므로 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=0]에서 시각 [eqn: t=a]까지 움직인 거리 [eqn: s(a)]는
[eqn: s(a)]
[eqn: = int _{0} ^{a} {sqrt {LEFT { -e ^{-t} (cos`t+sin`t) RIGHT } ^{2} + LEFT { e ^{-t} (cos`t-sin`t) RIGHT } ^{2}}} dt]
[eqn: = int _{0} ^{a} {sqrt {2e ^{-2t}}} dt][eqn: = int _{0} ^{a} {sqrt {2} e ^{-t}} dt]
[eqn: = sqrt {2} LEFT [ -e ^{-t} RIGHT ] _{0} ^{a} = sqrt {2} (1-e ^{-a} )]
[eqn: THEREFORE ` lim _{a -> INF } {s(a)}][eqn: =` lim _{a -> INF } {LEFT { sqrt {2} (1-e ^{-a} ) RIGHT }}][eqn: = sqrt {2}]

5

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: vecv]라 하면
[eqn: dx overdt =5root2], [eqn: dy overdt =5root2 -10t]
이므로 [eqn: vecv =(5root2 ,~5root2 -10t)]
공이 지면에 떨어질 때의 높이는 [eqn: y=0]이므로
[eqn: 5root2 t -5t^2 =0], [eqn: 5t(root2 -t)=0]
[eqn: thereforet=0] 또는 [eqn: t=root2]
즉, 공이 지면에 떨어질 때의 시각 [eqn: t]는 [eqn: t=root2]
시각 [eqn: t=root2]에서의 공의 속도는
[eqn: vecv =(5root2 ,``-5root2 )]
따라서 [eqn: a=5root2], [eqn: b=-5root2]이므로
[eqn: a-b =10root2]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: t]에 관한 식으로 나타내기	40 %
	공이 지면에 떨어질 때의 시각 [eqn: t]에서의 공의 속도 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a-b]의 값 구하기	20 %

III. 공간도형과 공간좌표

1. 공간도형 - ①회

중단원 평가 문제

1. ①	2. ③	3. ③

4. ⑤	5. ⑤	6. ①

7. ①	8. ①	9. ③

10. [eqn: 15]	11. ②	12. ③

13. [eqn: {13} over {5}]	14. [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]

1

네 점 [eqn: \A], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \F]는 한 평면 위에 있으므로 네 점으로 만들 수 있는 평면의 개수는 [eqn: 1]
직선 [eqn: \AB]와 세 점 [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \F]로 만들 수 있는 평면의 개수는  [eqn: 3]
따라서 구하는 평면의 개수는 [eqn: 1+3=4]

2

ㄱ. 직선 [eqn: rmAB]와 직선 [eqn: rmCD]는 한 평면 위에 있고 한 점에
서 만난다.
ㄹ. 직선 [eqn: rmDI]와 직선 [eqn: rmEJ]는 한 평면 위에 있고 평행하다.

3

평행하지 않은 두 평면이 만날 때 교선이 생기고 이들 교선 중에서 서로 일치하는 것이 없을 때 교선의 개수는 최대이므로 구하는 교선의 최대 개수는 [eqn: `_6 {rm C} _2 =15]

4

ㄹ. [반례] 오른쪽 그림과 같은 정육면
체에서
[eqn: l⫽alpha], [eqn: alpha bot beta]이지만 [eqn: l ⫽ beta]이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

5

[eqn: rm {dyad{CD}} ⫽ {dyad{AB}}]이므로 두 선분 [eqn: rmBH], [eqn: rmCD]가 이루는 예각의 크기는 두 선분  [eqn: rmBH], [eqn: rm AB]가 이루는 예각의 크기와 같다. [eqn: rm△ABH]에서 [eqn: rm bar{AB}= it a]라 하면
[eqn: rmbar{AH} it= sqrt { 2}a], [eqn: bar{rmBH}= sqrt { 3}a]  [eqn: THEREFORE `cos` alpha = {a } over {sqrt {3} a } = {sqrt {3}} over {3}]
또, 두 선분 [eqn: rmDG], [eqn: rmAB]가 이루는 예각의 크기는 두 선분  [eqn: rmDG], [eqn: rmCD]가 이루는 예각의 크기와 같으므로 [eqn: beta = {pi} over {4}]
[eqn: THEREFORE `cos` beta = {sqrt {2}} over {2}]
[eqn: THEREFORE `cos` alpha TIMES cos` beta = {sqrt {6}} over {6}]

6

점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: rmBCDE]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하고, 선분 [eqn: rm BC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자.
점 [eqn: rmH]는 사각형 [eqn: rm BCDE]의 두 대각선 [eqn: rm BD], [eqn: rmEC]의 교점이므로
[eqn: rm barBC bot barAM], [eqn: rm barBC bot barMH]
즉, 두 평면 [eqn: rmABC], [eqn: rm BCDE]가 이루는 각의 크기는 두 직선 [eqn: rm AM], [eqn: rm MH]가 이루는 각의 크기와 같다.
정사각뿔의 한 모서리의 길이를 [eqn: a]라 하면
[eqn: rm barAM = root3 over2 ita], [eqn: rm barMH = 1over2 ita]
따라서 직각삼각형 [eqn: rm AMH]에서
[eqn: cos`theta =rm {barMH}over{barAM} = root3 over3]

7

오른쪽 그림에서 모서리 [eqn: rm AB], [eqn: rm CD]의 중점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: rmN]이라 하면
[eqn: rm barCD bot barBN], [eqn: rm barCD bot rm barAN]
[eqn: therefore rm barCD bot](평면 [eqn: rmABN])
[eqn: rm barMN]은 평면 [eqn: rm ABN]에 포함되므로 [eqn: rm barCD bot barMN]
같은 방법으로 [eqn: rm barAB bot](평면 [eqn: rm MCD])이므로 [eqn: rm barAB bot barMN]
따라서 선분 [eqn: rmMN]은 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmCD]의 공통인 수선이므로 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]가 각각 [eqn: rm M], [eqn: rmN]일 때, 선분 [eqn: rm PQ]의 길이는 최소가 된다.
[eqn: rm barAN = root3 over2 times2 =root3], [eqn: rm barAM = 1over2 times2 =1]이므로
직각삼각형 [eqn: rm AMN]에서
[eqn: rm barMN =root{{barAN}^2 -{barAM}^2} =root2]

8

[eqn: {bar{rm PO it}} BOT alpha], [eqn: {bar{rm OH it}} BOT {bar{rm AB it}}]이므로 삼수선의 정리에 의하여 [eqn: {bar{rm PH it}} BOT {bar{rm AB it}}]
따라서 [eqn: rm△PAH]는 직각삼각형이므로
[eqn: {bar{rm PH it}} = sqrt {{bar{rm AP it}} ^{2} - {bar{rm AH it}} ^{2}}][eqn: = sqrt {6 ^{2} -2 ^{2}} =4 sqrt {2}]
또, [eqn: rm△PHO]도 직각삼각형이므로
[eqn: bar{rmOP}= sqrt {bar{rmPH}` ^{2} -bar{rmHO}` ^{2}}][eqn: = sqrt {(4 sqrt {2} ) ^{2} -4 ^{2}} =4]

9

책상 면을 평면 [eqn: alpha]라 하면 선분
[eqn: rm DC]는 평면 [eqn: alpha] 위에 있고
[eqn: rm barAB bot alpha], [eqn: rm barBD bot barDC]
이므로 삼수선의 정리에 의하여
[eqn: rm barAD bot barDC]
[eqn: rm barBC = it a]라 하면
[eqn: rm triangleBCD]와 [eqn: rm triangleABC]에서
[eqn: rm barDC = it a`cos`45 ° = root2 over2 a]
[eqn: rm barAC = it a `·` 1over{cos`30°} = {2root3} over3 a]
[eqn: therefore cos`theta = rm {barDC}over{barAC} =it {root2 over2 a}over{{2root3} over3 a} = root6 over4]

10

[eqn: rm△ABC]는 빗변의 길이가 [eqn: 13]인 직각삼각형이므로 [eqn: rm△ABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면
[eqn: S= {1} over {2} `·`5`·`12=30]
정사영의 넓이를 [eqn: S` prime]이라 하면
[eqn: S` prime =30`·`cos`60°]
[eqn: =30`·` {1} over {2} =15]

11

타원의 장축의 길이를 [eqn: 2a]라 하면 장축의 원기둥의 밑면 위로의 정사영은 밑면의 지름이므로
[eqn: 4=2a`cos`60°]    [eqn: therefore a = 4 over{2`cos`60°} =4]
또, 타원의 단축의 길이를 [eqn: 2b]라 하면
[eqn: 2b=4]    [eqn: thereforeb=2]
따라서 두 초점 사이의 거리는
[eqn: 2root{4^2 -2^2}=4root3]

12

모서리 [eqn: \AE], [eqn: \EF], [eqn: \FG], [eqn: \GC], [eqn: \CD],  [eqn: \DA]의 중점을 연결한 육각형은 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4root2]인 정육각형이므로 이 정육각형의 넓이를 [eqn: S]라 하면
[eqn: S=6times{root3 over4}times(4root2 )^2 =48root3]
한편 이 정육각형의 평면
[eqn: \EFGH] 위로의 정사영은 오른쪽 그림과 같이 육각형 [eqn: \EPQGRS]가 되므로 정사영의 넓이를 [eqn: S``']이라 하면
[eqn: S``'=8times8 -2times{1over2}times4times4=48]
따라서 [eqn: S`` prime =S``cos`` theta]에서
[eqn: 48=48root3 ``cos``theta]
[eqn: ∴cos``theta= root3 over3]

13

[eqn: bar{\AE} bot](평면 [eqn: `\EFGH]), [eqn: bar{\AP }bot bar{\MH]이므로
삼수선의 정리에 의하여
[eqn: bar{\EP}bot{bar {\MH}]
직각삼각형 [eqn: \MGH]에서
[eqn: bar{rm MH it} = sqrt {{ bar{rm MG it} } ^{2} +{ bar{rm GH it} } ^{2}}][eqn: = {5} over {2}]
[eqn: △ rm EMH it = {1} over {2} TIMES bar{rm MH it} TIMES bar{rm EP it} = {1} over {2} TIMES bar{rm EH it} TIMES bar{rm GH it}]이므로
[eqn: {1} over {2} TIMES {5} over {2} times bar{rm EP it} = {1} over {2} TIMES 3 TIMES 2]
[eqn: therefore][eqn: bar{rm EP it} = {12} over {5}]
따라서 직각삼각형 [eqn: \AEP]에서
[eqn: bar{rm AP it} = sqrt {{ bar{rm AE it} } ^{2} +{ bar{rm EP it} } ^{2}}][eqn: = {13} over {5}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: bar{\EP}bot{bar {\MH}]임을 말하기	20 %
	[eqn: {bar{rm EP it}}]의 길이 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: {bar{rm AP it}}]의 길이 구하기	40 %

14

오른쪽 그림에서 [eqn: rm△AND]는 [eqn: rmbar{AN}=bar{ND]인 이등변삼각형이므로
[eqn: rm {bar{NM}} BOT {bar{AD}}]
[eqn: rmbar{ND}= {sqrt {3}} over {2} `·`4=2 sqrt {3}], [eqn: rm {bar{MD}} =2]이므로 직각삼각형 [eqn: rmMND]에서
[eqn: bar{rmMN}= sqrt {(2 sqrt {3} ) ^{2} -2 ^{2}} =2 sqrt {2}]
선분 [eqn: rmMN]과 밑면 [eqn: rmBCD]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: theta = ANGLE rmMND]이므로
[eqn: cos` theta = {2 sqrt {2}} over {2 sqrt {3}} = {sqrt {6}} over {3}]
따라서 선분 [eqn: rmMN]의 밑면 [eqn: rmBCD] 위로의 정사영의 길이는
[eqn: {bar{rm MN it}} rmcos` theta =2 sqrt {2} `·` {sqrt {6}} over {3}]
[eqn: = {4 sqrt {3}} over {3}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: rm {bar{ND}} ,~ {bar{NM}}]의 길이 구하기	30 %
	선분 [eqn: rmMN]과 밑면 [eqn: rmBCD]가 이루는 각의 [eqn: cos] 값 구하기	30 %
답 구하기	정사영의 길이 구하기	40 %

1. 공간도형 - ②회

중단원 평가 문제

1. ②	2. ⑤	3. ③

4. ②	5. ③	6. ①

7. ⑤	8. ①	9. ③

10. ③	11. ⑤	12.  ④

13. [eqn: root15 over3]	14. [eqn: 2 sqrt {6} ` rm m]

2

(ⅰ) 두 점을 이은 선분이 직육면체의 대각선인 경우
대각선 [eqn: rmDF]와 꼬인 위치에 있는 모서리는
[eqn: rm bar{AB},~bar{BC},~bar{AE},~bar{CG},~bar{EH},~bar{HG}]의 [eqn: 6]개이다.
또한, 대칭성에 의해 직육면체의 다른 대각선인 경
우도 꼬인 위치에 있는 모서리는 [eqn: 6]개이다.
(ⅱ) 두 점을 이은 선분이 직육면체의 각 면의 대각선인
경우
대각선 [eqn: rmAC]와 꼬인 위치에 있는 모서리는
[eqn: rmbar{DH},~bar{BF},~bar{EH},~bar{HG},~bar{GF},~bar{EF}]의 [eqn: 6]개이다.
또한, 대칭성에 의해 직육면체의 각 면의 다른 대각
선인 경우도 꼬인 위치에 있는 모서리는 [eqn: 6]개이다.
(ⅰ), (ⅱ)에서 직육면체의 모서리가 아닌 한 선분과 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는 [eqn: 6]이다.

3

오른쪽 그림에서
[eqn: rmbar{AF}= sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {2}]
[eqn: rm {bar{BG}} = sqrt {1 ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {5}]
[eqn: rm {bar{AC}} = sqrt {1 ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {5}]
[eqn: rm {bar{AG}} = sqrt {1 ^{2} +1 ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {6}]
[eqn: cos` alpha = {rmbarAC} over {rmbarAG} = {sqrt {5}} over {sqrt {6}}], [eqn: cos` beta = {rm {bar{BG}} it} over {rm {bar{AG}} it} = {sqrt {5}} over {sqrt {6}}],
[eqn: cos` gamma = {rm {bar{AF}} it} over {rm {bar{AG}} it} = {sqrt {2}} over {sqrt {6}}]
[eqn: THEREFORE `cos ^{2} ` alpha +cos ^{2} ` beta +cos ^{2} ` gamma][eqn: = {5} over {6} + {5} over {6} + {2} over {6} =2]

4

옆면이 모두 이등변삼각형이므로 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: rmBCDE]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmG]라 하면 점 [eqn: rmG]는 정사각형 [eqn: rmBCDE]의 두 대각선 [eqn: rmBD], [eqn: rm EC]의 교점이다.
이때 점 [eqn: rmG]에서 직선 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 점 [eqn: rmH]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점이므로 [eqn: rm barBC bot barAH], [eqn: rm barBC bot barGH]
즉, 옆면 [eqn: rm ABC]와 밑면 [eqn: rm BCDE]가 이루는 각의 크기는 두 직선 [eqn: rm AH], [eqn: rm GH]가 이루는 각의 크기와 같으므로
[eqn: rm angleAHG = pi over3]
[eqn: rm barGH = 1 over2 barBE =2]이므로 직각삼각형 [eqn: rm AHG]에서
[eqn: rm barAH = {rm barGH} over{cos`pi over3 } =4]
따라서 [eqn: rm barBH =2]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ABH]에서
[eqn: rm barAB =root{{barBH}^2 +{barAH}^2 }=2root5]

5

① 오른쪽 그림과 같이 [eqn: alpha⫽ beta]이
고 직선 [eqn: l]이 [eqn: alpha]에 포함되면  [eqn: l⫽beta]이다.

② 오른쪽 그림과 같이 [eqn: alpha] 위에서 만나는 두 직선 [eqn: m], [eqn: n]에 대하여 [eqn: l bot m], [eqn: l bot n]이면
[eqn: l bot alpha]이다.

③ 오른쪽 그림과 같이 [eqn: l bot alpha]이면 직선 [eqn: l]을 포함하는 평면은 [eqn: alpha]와 수직이므로 [eqn: l]을 포함하면서 [eqn: alpha]와 평행인 [eqn: beta]가 존재할 수 없다.

④ 오른쪽 그림과 같이 [eqn: alpha ⫽ beta]이면 [eqn: alpha]와 한 점에서 만나는 직선 [eqn: l]은 [eqn: beta]와도 한 점에서 만난다.

⑤ 오른쪽 그림과 같이 [eqn: l⫽m]이면 직선 [eqn: m]을 포함하고 직선 [eqn: l]을 포함하지 않는 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: l⫽alpha]이다.

따라서 옳지 않은 것은 ③이다.

6

선분 [eqn: rm BD]의 중점을 [eqn: rmN]이라 하면 [eqn: rm barCD ⫽ barMN]이므로 두 직선 [eqn: rm AM], [eqn: rm CD]가 이루는 각의 크기는 두 직선 [eqn: rmAM], [eqn: rm MN]이 이루는 각의 크기와 같다.
[eqn: rm barMN = 1over2 barCD = 1over2 ita], [eqn: rmbarAM =barAN = root3 over2 ita]
삼각형 [eqn: rm AMN]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmMN]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: rm barMH = 1over2 barMN = 1over4 ita]
따라서 직각삼각형 [eqn: rmAMH]에서
[eqn: cos`theta = rm {barMH} over{barAM} = root3 over6]

7

오른쪽 그림과 같이 선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면
[eqn: rm barBC bot barAM], [eqn: rm barBC bot barMD]
[eqn: therefore rm barBC bot](평면 [eqn: rmAMD])
즉, 사면체 [eqn: rmABCD]는 사면체
[eqn: rm BAMD]와 사면체 [eqn: rmCAMD]로 나눌 수 있다.
점 [eqn: rm M]에서 선분 [eqn: rmAD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmN]이라 하면
[eqn: rm barAN =root2], [eqn: rm barAM =root{{barAB}^2 -{barBM}^2 } =root14]
이므로 직각삼각형 [eqn: rmAMN]에서
[eqn: rm barMN =root{{barAM}^2 -{barAN}^2}=2root3]
[eqn: therefore rm triangle AMD = 1 over2 times barAD timesbarMN =2root6]
따라서 구하는 사면체의 부피는
[eqn: 2timesleft( 1over3 times rm triangleAMD timesbarBM right)={8root3}over3]

8

선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rm△PAB]는 정삼각형이므로 [eqn: rmbar{PM} BOT bar{AB}]이고
[eqn: rm {bar{PM}} = {sqrt {3}} over {2} `·`12=6 sqrt {3}]
이때 [eqn: rmbar{PH} BOT alpha], [eqn: rmbar{PM} BOT bar{AB}]이므로 삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm {bar{HM}} BOT {bar{AB}}]
따라서 [eqn: rm △PHM]은 직각삼각형이므로
[eqn: rm {bar{HM}} = sqrt {{bar{PM}} ^{`2} - {bar{PH}} ^{`2}}][eqn: = sqrt {(6 sqrt {3} ) ^{2} -8 ^{2}} =2 sqrt {11}]

9

구의 중심 [eqn: rmC]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: rm barCH bot alpha]
또, [eqn: rm barAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면 [eqn: rm triangleCAB]는 정삼각형이므로 [eqn: rm barCM bot barAB]
[eqn: rm barCH botalpha], [eqn: rm barCM bot barAB]이므로 삼수선의 정리에 의하여
[eqn: rm barAB bot barHM]
따라서 두 평면 [eqn: rm CAB]와 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기 [eqn: theta]는
[eqn: rm angleCMH]이다.
이때 [eqn: bar \CM = bar AC ` sin ` 60°][eqn: = 3 over2]이고,
[eqn: bar \MH = root{{bar {CM}}^2 -{bar{CH}}^2} =root{left( 3 over 2 right)^2 -1}= root5 over 2]이므로
[eqn: cos`theta][eqn: rm={barMH} over{barCM}][eqn: = root5 over3]

10

오른쪽 그림과 같이  [eqn: rm bar BD]의 중점을 [eqn: rm L], 꼭짓점 [eqn: rm A]에서 평면 [eqn: \BCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H], 두 선분 [eqn: \CL], [eqn: \MN]의 교점을 [eqn: rm I`]라 하자.
[eqn: bar{\AH} bot](평면 [eqn: \BCD]), [eqn: bar \HI bot bar MN`]이므로 삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm bar AI bot bar MN]
즉, 두 평면 [eqn: \AMN], [eqn: \BCD]가 이루는 각의 크기는 두 직선 [eqn: \AI], [eqn: \HI]가 이루는 각의 크기와 같다.
[eqn: rm bar AM = root3 over 2], [eqn: bar{\MI}{= 1 over2 bar \MN = 1 over 4]이므로 직각삼각형 [eqn: \AMI]에서 [eqn: rm bar AI = root{{bar{\AM}}^2 - {bar{\MI}}^2 }=root11 over4]
[eqn: rm bar LI = 1 over2 bar LC = root3 over 4 it]이고, 점 [eqn: rmH]는 삼각형 [eqn: rmLMN]의 무게중심이므로 [eqn: rm bar HI = 1 over 3 bar LI = root3 over 12]
따라서 직각삼각형 [eqn: \AHI]에서 [eqn: rm cos `theta = {bar HI} over barAI = root33 over33]

11

점 [eqn: \O]에서 평면 [eqn: \ABCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: \O']이라고 하면 삼각형
[eqn: \OAB]의 평면  [eqn: \ABCD]
위로의 정사영은 삼각형
[eqn: \O'AB]이다.
따라서 점 [eqn: rmO`prime]은 정사각형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선의 교점이므로 [eqn: △{\O'AB}= 1over4 □{\ABCD}= 9 over4]

12

점 [eqn: rmB]에서 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: alpha ,~ beta]의 교선과 평행한 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmC]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영을 [eqn: rmC']이라 하면 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 평면 [eqn: beta] 위로의 정사영은 직각삼각형 [eqn: rmA'B'C']이므로
[eqn: rm {bar{A prime C prime }} = {bar{AC}} = {bar{AB}} `cos`60°=4`·` {1} over {2} =2]
[eqn: rm {bar{B prime C prime }} = {bar{BC}} `cos`30°=(4sin`60°)`·`cos`30°]
[eqn: =2 sqrt {3} `·` {sqrt {3}} over {2} =3]
따라서 직각삼각형 [eqn: rmA'B'C']에서
[eqn: rm {bar{A prime B prime }} = sqrt {{bar{A prime C prime }} ^{`2} + {bar{B prime C prime }} ^{`2}}]
[eqn: = sqrt {2 ^{2} +3 ^{2}} = sqrt {13}]

13

[eqn: rm barDH bot](평면 [eqn: rmEFGH]), [eqn: rm barDK bot barEG]이므로
삼수선의 정리에 의하여
[eqn: rm barHK bot barEG]
[eqn: rm angleGHE =90°]이므로 [eqn: rm triangleHEG]의 넓이에서
[eqn: 1 over2 times rm barEH timesbarHG = 1 over2 times barEG times barHK]
[eqn: 1over2 times root2 times1 = 1 over2 times root3 times rm barHK]
[eqn: therefore rm barHK = root6 over3]
[eqn: rm triangleDHK]는 직각삼각형이므로
[eqn: rm barDK =root{{barDH}^2 +{barHK}^2 }]
[eqn: =root{1^2 +left(root6 over3 right)^2} =root15 over3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	삼수선의 정리를 이용하여 [eqn: rm barHK bot barEG]임을 알기	30 %
	[eqn: rmbarHK]의 길이 구하기	30 %
답 구하기	[eqn: rm barDK]의 길이 구하기	40 %

14

풍선의 반지름의 길이를 [eqn: r], 그림자의 넓이를 [eqn: S]라 하고 풍선을 지면과 접하도록 이동하면 태양 빛과 수직으로 만나는 풍선의 지름이 지면과 이루는 각의 크기는 [eqn: 30°]이다.
[eqn: S`cos`30°=pir^2]에서
[eqn: 16 sqrt {3} pi `·` {sqrt {3}} over {2} = pi r ^{2}], [eqn: r ^{2} =24]
∴ [eqn: r=2 sqrt {6} `( rm m)]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	풍선의 지름이 지면과 이루는 각의 크기 구하기	40 %
답 구하기	풍선의 반지름의 길이 구하기	60 %

2. 공간좌표 - ①회

중단원 평가 문제

1. ②	2. ⑤	3. ①

4. ④	5. ⑤	6. ③

7. ④	8. ③	9. ⑤

10. ④	11. ①	12.  ④

13. [eqn: 2root2]	14. [eqn: 243 over2 pi]

1

점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표는 각각 점 [eqn: rmG]의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표와 같으므로
[eqn: a=8], [eqn: b=12]
점 [eqn: rmC]의 [eqn: z]좌표는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: z]좌표와 같으므로
[eqn: c=6]
[eqn: THEREFORE a+b+c=8+12+6=26]

2

점 [eqn: (1, ``3, ``4)]를 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 [eqn: z]좌표의 부호가 바뀌므로 [eqn: {\A} (1, ``3, ``-4)]
점 [eqn: \A]를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표, [eqn: z]좌표의 부호가 모두 바뀌므로
[eqn: {\B}(-1, ``-3, ``4)]

3

[eqn: rm{barAP}^2 =it (a-2)^2 +(0-1)^2 +(0-0)^2]
[eqn: =a^2 -4a +5]
[eqn: rm {barBP}^2 =it (a+2)^2 +(0+1)^2 +(0-2)^2]
[eqn: =a^2 +4a+9]
[eqn: rm barAP =barBP]에서 [eqn: rm {barAP}^2 ={barBP}^2]이므로
[eqn: a^2 -4a+5 =a^2 +4a+9]    [eqn: thereforea= - 1over2]

4

[eqn: rm {bar{AC}} it = sqrt {(a-0) ^{2} +(4-2) ^{2} +(-2-4) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {a ^{2} +40}]
[eqn: rm {bar{BC}} it = sqrt {LEFT { a-(-2) RIGHT } ^{2} +(4-2) ^{2} +(-2-2) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {a ^{2} +4a+24}]
[eqn: sqrt {a ^{2} +40}][eqn: = sqrt {a ^{2} +4a+24}]이므로
[eqn: a ^{2} +40=a ^{2} +4a+24], [eqn: 4a=16]    [eqn: THEREFORE a=4]

5

두 점 [eqn: rm A it (3,``4,``1)], [eqn: rm B it (1,``3,``2)]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: z]좌표의 부호가 각각 같으므로 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 좌표공간에서 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면을 기준으로 같은 쪽에 있다.
점 [eqn: rmA]와 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭인 점을 [eqn: rmA']이라 하고, 점 [eqn: rmB]와 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭인 점을 [eqn: rmB']이라 하면
[eqn: rm A it prime (3,``4,``-1)], [eqn: rm B prime it (-1,``3,``2)]
이때 [eqn: rm barAP =barA'P], [eqn: rm barQB =barQB']이므로
[eqn: rm barAP +barPQ +barQB =barA'P +barPQ +barQB' ge barA'B']
따라서 [eqn: rm barAP +barPQ +barQB]의 최솟값은 [eqn: bar {rmA'B']의 길이와 같으므로
[eqn: bar{rm A prime B prime it} = sqrt {(-4) ^{2} +(-1) ^{2} +3 ^{2}}][eqn: =root 26]

6

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 [eqn: zx]평면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA'], [eqn: rmB']이라 하면
[eqn: rmA'(3,``0,``5)], [eqn: rmB' (-1,``0,``2)]
[eqn: therefore rm barA'B' =root{(-1-3)^2 +(2-5)^2}=5]
[eqn: rm barAB `cos`45 ° = rm bar {A' B']이므로
[eqn: rm barAB = { rmbarA'B'} over{cos`45°} = 5 over{ root2 over2 } =5root2]
즉,
[eqn: rm barAB = root{(-1-3)^2 +"{" it a-(-1)"}"^2 +(2-5)^2}]
[eqn: =5root2]
이므로
[eqn: 16+(a+1)^2 +9=50]
[eqn: a^2 +2a-24=0], [eqn: (a+6)(a-4)=0]
[eqn: thereforea=4] ([eqn: becausea>0])

7

[eqn: a={3 `·`(-3) +2`·`2} over3+2 =-1]
[eqn: b={3`·`2 +2`·`2 } over3+2 =2]
[eqn: c={3`·`5 +2`·`10} over3+2 =7]
[eqn: thereforea+b+c =-1+2+7 =8]

8

[eqn: rmtriangleABC]에서 [eqn: rmbarAB ,~barBC]의 길이를 각각 구하면
[eqn: rmbarAB =root(3-0)^2 =3]
[eqn: rmbarBC =root{(0-3)^2 +(4-0)^2}=5]
또 [eqn: rmbarBP]는 [eqn: rmangleB]의 이등분선이므로
[eqn: rmbarAP `:`barPC =barAB `:`barBC =3`:`5]
즉 ,점 [eqn: \P]는 [eqn: rmbarAC]를 [eqn: 3 `:` 5]로 내분하는 점이다.
따라서 점 [eqn: \P]의 좌표는
[eqn: rmP left( {3 `·`0+5`·`3}over3+5 ,``{3`·`3+5`·`0}over3+5 ,``{3`·`4+5`·`0}over3+5 right)]
[eqn: therefore][eqn: rmP left( 15over8 ,`` 9over8 ,`` 3over2 right)]

9

점 [eqn: rmC]의 좌표를 [eqn: (x,~y,~z)]라 하면 [eqn: rm△ABC]의 무게중심의 좌표는
[eqn: LEFT ( {4+(-3)+x} over {3} ,~ {2+2+y} over {3} ,~ {-2+5+z} over {3} RIGHT )]
이 점이 점 [eqn: rmG(1,~3,~-2)]와 일치해야 하므로
[eqn: {1+x} over {3} =1], [eqn: {4+y} over {3} =3], [eqn: {3+z} over {3} =-2]
[eqn: THEREFORE x=2], [eqn: y=5], [eqn: z=-9]
따라서 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: rmC(2,~5,~-9)]

10

평행사변형 [eqn: rmABCD]의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형 [eqn: rmPQRS]도 평행사변형이고, 평행사변형 [eqn: rmPQRS]의 두 대각선의 교점은 평행사변형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선의 교점과 일치한다.
구하는 좌표는 대각선 [eqn: rmAC]의 중점의 좌표와 같으므로
[eqn: LEFT ( {-4+2} over {2} ,~ {4+(-6)} over {2} ,~ {3+1} over {2} RIGHT )], 즉 [eqn: LEFT ( -1,~-1,~2 RIGHT )]
따라서 [eqn: a=-1], [eqn: b=-1], [eqn: c=2]이므로
[eqn: abc=2]

11

구의 반지름의 길이는
[eqn: rm 1 over2 barAB = 1over2 root{(1-1)^2 +(1-3)^2 +(-1-1)^2}]
[eqn: =root2]

12

구 [eqn: (x-1) ^{2} +(y+2) ^{2} +(z-3) ^{2} =16]에 [eqn: z=0]을 대입하면
[eqn: (x-1) ^{2} +(y+2) ^{2} =7]
이므로 주어진 구와 [eqn: xy]평면의 교선은 중심이
[eqn: (1,~-2,~0)]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {7}]인 원이다.
따라서 구하는 도형의 둘레의 길이는
[eqn: 2pi`·` sqrt {7}][eqn: =2 sqrt {7} pi]

13

오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하면
[eqn: rm barPQ bot]([eqn: xy]평면), [eqn: rm barPH bot barOH]
이므로 삼수선의 정리에 의하여
[eqn: rm barQH bot barOH]
직선 [eqn: rmOH]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: pi over3]이므로 [eqn: rm angleQOH = pi over2 - pi over3 = pi over6]
[eqn: RM BAROQ =4]이므로 직각삼각형 [eqn: rmQOH]에서
[eqn: rm barQH = barOQ `sin`pi over6 =2]
따라서 [eqn: rm barPQ =2]이므로 직각삼각형 [eqn: rmPHQ]에서
[eqn: rm barPH = root{{barPQ}^2 +{barQH}^2 }=2root2]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: rm barQH bot barOH]임을 보이기	40 %
	[eqn: rm angleQOH]의 크기 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: rm barPH]의 길이 구하기	20 %

14

원에서 지름에 대한 원주각의 크기는 [eqn: 90°]이므로 [eqn: rm angleABC=90°]를 만족시키는 점 [eqn: rmB]는 선분 [eqn: rmAC]를 지름으로 하는 구 위에 있다.
[eqn: rm barAC =root{"{"4-(-2)"}"^2 +3^2 +(-1-5)^2 }=9]
이므로 구의 반지름의 길이는 [eqn: 9 over2]이다.
따라서 점 [eqn: rmB]가 나타내는 도형은 반지름의 길이가 [eqn: 9 over2]인  구이므로 그 부피는
[eqn: 4 over3 pi `·`left(9 over2 right)^3 = 243over2 pi]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	점 [eqn: rmB]가 나타내는 도형이 구임을 알기	40 %
	구의 반지름의 길이 구하기	30 %
답 구하기	구의 부피 구하기	30 %

2. 공간좌표 - ②회

중단원 평가 문제

1. ①	2. ②	3. ③

4. ②	5. ③	6. ③

7. ④	8. ⑤	9. ③

10. ④	11. ⑤	12.  ⑤

13. [eqn: left(26over3 ,``- 7over3 ,``32 over3 right)]	14. [eqn: a=7], [eqn: b=6]

1

점 [eqn: rmA]의 좌표는
[eqn: rmA(-1,``2,``3)]
점 [eqn: rmA]를 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동하면 [eqn: z]좌표의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는
[eqn: rmP(-1,``2,``-3)]
점 [eqn: rmP]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동하면 [eqn: x]좌표의 부호가 바뀌므로 점 [eqn: rmQ]의 좌표는
[eqn: rmQ(1,``2,``-3)]
따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=-3]이므로
[eqn: a+b=-2]

2

[eqn: rm {bar{OA}} = sqrt {(-1) ^{2} +2 ^{2} +4 ^{2}}]
[eqn: = sqrt {21}]
[eqn: {bar{rmOB}} = sqrt {1 ^{2} +(-2) ^{2} +3 ^{2}}]
[eqn: = sqrt {14}]
[eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {LEFT { 1-(-1) RIGHT } ^{2} +(-2-2) ^{2} +(3-4) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {21}]
[eqn: rm {bar{AC}} = sqrt {LEFT { 4-(-1) RIGHT } ^{2} +(1-2) ^{2} +(-3-4) ^{2}}]
[eqn: rm = sqrt {75} =5 sqrt {3}]
[eqn: {bar{rm BC it}} = sqrt {(4-1) ^{2} + LEFT { 1-(-2) RIGHT } ^{2} +(-3-3) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {54} =3 sqrt {6}]
따라서 길이가 가장 짧은 선분은 [eqn: {bar{rmOB}}]이다.

3

[eqn: rmA(-2,~-3,~3)], [eqn: rmB(0,~0,~3)]이므로
[eqn: rm {bar{AB}} = sqrt {LEFT { 0-(-2) RIGHT } ^{2} + LEFT { 0-(-3) RIGHT } ^{2} +(3-3) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {13}]

4

점 [eqn: \A(3,~ 1,~ 2)]를 [eqn: zx]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: \A']이라 하면
[eqn: \A' (3,`` -1,`` 2)]
[eqn: bar{\AP} + bar{\BP} = bar{\A'P} + bar{\BP}]
[eqn: ge bar {\A'B}]
[eqn: = root 1+25+1 = 3 root 3]

5

[eqn: rm barAB =root{(1-2)^2 +it(b-a-1)^2 +(a+b+1)^2]
[eqn: =root{2a^2 +2b^2 +4a+3]
[eqn: =root{2(a+1)^2 +2b^2 +1]
따라서 [eqn: a=-1], [eqn: b=0]일 때, [eqn: rmbarAB]의 길이가 최소가 된다.
이때 점 [eqn: \B]의 좌표는 [eqn: rmB(1,``-2,``0)]이므로
[eqn: rm barOB =root{1^2 +(-2)^2}]
[eqn: =root5]

6

두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]의 [eqn: yz]평면 위로의 정사영을 각각 [eqn: \A'], [eqn: \B']이라 하면
[eqn: { \A'}(0, ``root2 , ``a)], [eqn: {\B'}(0, ``0, ``2)]이므로 [eqn: bar{\A'B'}= root{(a-2)^2 +2],
[eqn: bar{\AB}= root{(a-2)^2 +11]
에서 [eqn: bar{\A'B'}=bar{\AB} `cos``30DEG]
[eqn: sqrt {(a-2) ^{2} +2}][eqn: = {root{3}} over {2} sqrt {(a-2) ^{2} +11}]
따라서 양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: (a-2) ^{2} +2} = {3} over {4} LEFT { (a-2) ^{2} +11 RIGHT }]
[eqn: a^2 -4a-21=0],
[eqn: (a+3)(a-7)=0]
[eqn: therefore][eqn: a=7] ([eqn: because a>0])

7

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 좌표는
[eqn: rmP LEFT ( {1`·`4+2`·`1} over {1+2} ,~ {1`·`3+2`·`(-3)} over {1+2} ,~ {1`·`(-3)+2`·`3} over {1+2} RIGHT )]
즉, [eqn: rmP(2,~-1,~1)]
선분 [eqn: rmAB] 를 [eqn: 2:1]로  외분하는 점 [eqn: rmQ]의 좌표는
[eqn: rmQ LEFT ( {2`·`4-1`·`1} over {2-1} ,~ {2`·`3-1`·`(-3)} over {2-1} ,~ {2`·`(-3)-1`·`3} over {2-1} RIGHT )]
즉, [eqn: rmQ(7,~9,~-9)]
따라서 선분 [eqn: rmPQ]의 중점 [eqn: rmM]의 좌표는
[eqn: rmM LEFT ( {9} over {2} ,~4,~-4 RIGHT )]

8

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: m:n]으로 내분하는 점이 [eqn: yz]평면 위에 있으므로 내분점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]이다.
즉, [eqn: {m`·`(-3)+n`·`2} over {m+n} =0]에서
[eqn: -3m+2n=0]
[eqn: 3m=2n]
[eqn: THEREFORE {n} over {m} = {3} over {2}]

9

선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면
[eqn: rmM left({-1-2}over2 , ``{-3+1}over2 , ``{-5+4}over2 right)]
즉, [eqn: rmM left( - 3over2 , ``-1, ``- 1over2 right)]
점 [eqn: rmD]의 좌표를 [eqn: (x,``y,``z)]라 하면 선분 [eqn: rmBD]의 중점의 좌표는
[eqn: left( {x+2}over2 ,``{y+4}over2 , ``{z+5}over2 right)]
평행사변형의 두 대각선의 중점은 일치하므로
[eqn: {x+2}over2 = - 3over2], [eqn: {y+4}over2 =-1], [eqn: {z+5}over2 = - 1over2]
따라서 [eqn: x=-5], [eqn: y=-6], [eqn: z=-6]이므로
[eqn: rm barBD =root{(-5-2)^2 +(-6-4)^2 +(-6-5)^2]
[eqn: =3 root30]

10

삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심은 삼각형 [eqn: rmPQR]의 무게중심과 일치한다.
따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표는
[eqn: rmG left({2+3+1}over3 ,``{-3+5-8}over3 ,``{1+2+0}over3 right)]
즉, [eqn: rm G(2,``-2,``1)]
[eqn: therefore rm barOG =root{2^2 +(-2)^2 +1^2}=3]

11

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점의 좌표는
[eqn: left( {1`·`(-1)+2`·`2}over1+2 ,``{1`·`4+2`·`1}over1+2 ,``{1`·`(-4)+2`·`5}over1+2 right)]
즉, [eqn: (1,``2,``2)]
선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 외분하는 점의 좌표는
[eqn: LEFT ( {1 `·` (-1)-2 `·` 2} over {1-2} ,`` {1 `·` 4-2`·` 1} over {1-2} ,`` {1 `·` (-4)-2 `·` 5} over {1-2} RIGHT )]
즉, [eqn: (5,``-2,``14)]
따라서 구하는 구의 중심의 좌표는
[eqn: LEFT ( {1+5}over2 , ``{2-2}over2 , ``{2+14}over2 right)], 즉 [eqn: (3,``0,``8)]
이고, 구의 반지름의 길이는
[eqn: root{(3-1)^2 +(-2)^2 +(8-2)^2}=root44]
따라서 구하는 구의 방정식은
[eqn: (x-3)^2 +y^2 +(z-8)^2 =44]

12

[eqn: x=0,~z=0]을 주어진 구의 방정식에 대입하면
[eqn: y ^{2} +4y-21=0], [eqn: (y+7)(y-3)=0]
[eqn: THEREFORE y=-7] 또는 [eqn: y=3]
따라서 주어진 구와 [eqn: y]축의 교점 [eqn: rmA,~B]의 좌표는
[eqn: (0,~-7,~0)], [eqn: (0,~3,~0)]
이므로 선분 [eqn: rmAB]의 길이는
[eqn: |`3-(-7)`|=10]

13

점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]의 중점이므로
[eqn: \P][eqn: left({6+4}over2 , ``{1+(-5)over2 ,``{-4+2}over2 right)]
즉, [eqn: rmP(5,``-2,``-1)]
점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmBC]를 [eqn: 2:3]으로 내분하는 점이므로
[eqn: \Q][eqn: left({2`·`9+3`·`4}over2+3 ,``{2`·`0+3`·`(-5)}over2+3 ,``{2`·`7+3`·`2}over2+3 right)]
즉, [eqn: rmQ(6,``-3,``4)]
점 [eqn: rmR]는 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 3:2]로 외분하는 점이므로
[eqn: \R][eqn: left({3`·`9-2`·`6}over3-2 ,``{3`·`0 -2`·`1}over3-2 ,``{3`·`7-2`·`(-4)}over3-2 right)]
즉, [eqn: rmR(15,``-2,``29)]
따라서 [eqn: rmtrianglePQR]의 무게중심의 좌표는
[eqn: left({5+6+15}over3 , ``{-2+(-3)+(-2)}over3 , ``{-1+4+29}over3 right)]
즉, [eqn: left( 26over3 ,``- 7over3 ,``32 over3 right)]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	점 [eqn: rmP]의 좌표 구하기	25 %
	점 [eqn: rmQ]의 좌표 구하기	25 %
	점 [eqn: rmR]의 좌표 구하기	25 %
답 구하기	[eqn: rm trianglePQR]의 무게중심의 좌표 구하기	25 %

14

삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심 [eqn: rmG]의 좌표는
[eqn: rmG it left({0+a+(a-2)}over3 ,``{0+b+(b+3)}over3 ,``{0+0+0}over3 right)]
즉, [eqn: rmG it left({2a-2}over3 ,``{2b+3}over3 ,``0 right)]
세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 모두 [eqn: xy]평면 위의 점이므로 평면
[eqn: rmOAB]는 [eqn: xy]평면이다.
즉, 주어진 구가 [eqn: xy]평면에 접하므로 접점 [eqn: rmG]는 구의 중심 [eqn: rmC]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영이다.
즉, 접점 [eqn: rmG]의 좌표는
[eqn: rm G(4,``5,``0)]
따라서 [eqn: {2a-2}over3 =4], [eqn: {2b+3}over3 =5]이므로
[eqn: a=7], [eqn: b=6]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	무게중심 [eqn: rmG]의 좌표를 [eqn: a], [eqn: b]로 나타내기	40 %
	접점 [eqn: rmG]의 좌표를 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	20 %

IV. 공간벡터

1. 공간벡터의 연산과 내적 - ①회

중단원 평가 문제

1. ③	2. ④	3. ②

4. ⑤	5. ①	6. ③

7. ⑤	8. ①	9. ④

10. ③	11. [eqn: 2]	12. [eqn: -17]

1

오른쪽 그림과 같이 합동인 정육면체를 붙여 놓으면
[eqn: 2( {vec{a}} -2 {vec{b}} +3 {vec{c}} )-( {vec{a}} -6 {vec{b}} +5 {vec{c}} )]
[eqn: =2 {vec{a}} -4 {vec{b}} +6 {vec{c}} - {vec{a}} +6 {vec{b}} -5 {vec{c}}]
[eqn: = {vec{a}} +2 {vec{b}} + {vec{c}}]
[eqn: =rm {vec{AB}} +2 {vec{AD}} + {vec{AE}}]
[eqn: = rm {vec{AB}} + {vec{BC'}} + {vec{C'G'}}][eqn: = rm {vec{AG prime }}]
[eqn: THEREFORE LEFT | {vec{rmAG prime }} RIGHT | = sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} +1 ^{2}} = sqrt {6}]

2

① [eqn: rm vecHF =vecHG +vecGF =- vecFE -vecFG]
[eqn: =-veca -vecb]
② [eqn: rm vecHC =vecHG +vecGC =-vecFE +vecFB]
[eqn: =-veca +vecc]
③ [eqn: rm vecEC =vecEF +vecFG +vecGC =-vecFE +vecFG +vecFB]
[eqn: =-veca +vecb +vecc]
④ [eqn: rm vecBH =vecBF +vecFE +vecEH =-vecFB +vecFE +vecFG]
[eqn: =-vecc +veca +vecb =veca +vecb -vecc]
⑤ [eqn: rm vecDF =vecDH +vecHE +vecEF =-vecFB -vecFG -vecFE]
[eqn: =-vecc -vecb -veca =-veca -vecb -vecc]
따라서 옳은 것은 ④이다.

3

[eqn: {vec{x}} + {vec{y}} = {vec{a}}]         [eqn: CDOTS CDOTS]㉠
[eqn: - {vec{x}} +3 {vec{y}} = {vec{b}}]    [eqn: CDOTS CDOTS]㉡
㉠[eqn: +]㉡을 하면
[eqn: 4 {vec{y}} = {vec{a}} + {vec{b}}]    [eqn: THEREFORE {vec{y}} = {1} over {4} {vec{a}} + {1} over {4} {vec{b}}]
㉠[eqn: TIMES 3-]㉡을 하면
[eqn: 4 {vec{x}} =3 {vec{a}} - {vec{b}}]    [eqn: THEREFORE {vec{x}} = {3} over {4} {vec{a}} - {1} over {4} {vec{b}}]
[eqn: THEREFORE {vec{x}} - {vec{y}}][eqn: = LEFT ( {3} over {4} {vec{a}} - {1} over {4} {vec{b}} RIGHT ) - LEFT ( {1} over {4} {vec{a}} + {1} over {4} {vec{b}} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} {vec{a}} - {1} over {2} {vec{b}}]
[eqn: = {1} over {2} (4,~2,~-4)- {1} over {2} (-6,~8,~2)]
[eqn: =(2,~1,~-2)+(3,~-4,~-1)]
[eqn: =(5,~-3,~-3)]
[eqn: THEREFORE LEFT | {vec{x}} - {vec{y}} RIGHT | = sqrt {5 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2} +(-3) ^{2}} = sqrt {43}]

4

[eqn: veca =vecb]이므로
[eqn: 2l-3 =l+3], [eqn: m+3 =l], [eqn: n-5 =2m]
위의 세 식을 연립하여 풀면
[eqn: l=6], [eqn: m=3], [eqn: n=11]
[eqn: THEREFORE l+m+n=20]

5

평행사변형 [eqn: rm ABCD]에서 [eqn: rm vecAD =vecBC]이고, 이때
[eqn: rm vecAD it =(a-0,``b-1,``c-3)]
[eqn: =(a,``b-1,``c-3)]
[eqn: rm vecBC it=(0-2,``2-1,``1-0)]
[eqn: =(-2,``1,``1)]
이므로
[eqn: (a,``b-1,``c-3)=(-2,``1,``1)]
[eqn: a=-2], [eqn: b-1=1], [eqn: c-3=1]
[eqn: therefore a=-2], [eqn: b=2], [eqn: c=4]
따라서 점 [eqn: rmD]의 좌표는 [eqn: rmD(-2,``2,``4)]이므로
[eqn: rm left|vecOD right|=root{(-2)^2 +2^2 +4^2}]
[eqn: =2root6]

6

선분 [eqn: rmBC]의 중점 [eqn: rmM]의 위치벡터를 [eqn: vecm]이라 하면
[eqn: vecm =left({-1+3}over2 , ``{2+2}over2 , ``{{3-3}over2 right)][eqn: =(1,``2,``0)]
따라서 선분 [eqn: rm AM]을 [eqn: 1:2]로 내분하는 점 [eqn: rmP]의 위치벡터 [eqn: vecp]는
[eqn: vecp =left({1`·`1+2`·`1}over{1+2},``{1`·`2+2`·`(-2)}over{1+2},``{1`·`0+2`·`3}over1+2 right)]
[eqn: =left(1, ``- 2over3 , ``2 right)]

7

[eqn: LEFT | {vec{rmAF}} RIGHT | =4 sqrt {2}], [eqn: LEFT | rm {vec{FC}} RIGHT | =4 sqrt {2}]이고 [eqn: rm ANGLE AFC=it theta]라 하면 [eqn: rm △AFC]는 정삼각형이므로 [eqn: theta = {pi} over {3}]
[eqn: THEREFORE a= rm {vec{AF}} BULLET {vec{FC}} it][eqn: = LEFT | {vec{rm AF it}} RIGHT | LEFT | {vec{rm FC it}} RIGHT | `cos` {pi } over {3}]
[eqn: =4 sqrt {2} `·`4 sqrt {2} `·` {1} over {2} =16]
또, [eqn: LEFT | {vec{rmCG}} RIGHT | =4]이고 [eqn: rm ANGLE ECG= theta ']이라 하면 직각삼각형 [eqn: rmEGC]에서
[eqn: LEFT | {vec{rm CG it}} RIGHT | = LEFT | {vec{rm CE it}} RIGHT | cos` theta `']
[eqn: THEREFORE b= rm {vec{CG}} BULLET {vec{CE}} it]                                                              [eqn: = LEFT | {vec{rm CG it}} RIGHT | LEFT | {vec{rm CE it}} RIGHT | cos` theta `']
[eqn: = LEFT | {vec{rmCG}} RIGHT | ^{2} =4 ^{2} =16]                          [eqn: THEREFORE a+b=32]

8

점 [eqn: \A']의 좌표를 [eqn: (a, ``b, ``c)]라 하면 [eqn: bar{\AA']의 중점의 좌표는 점 [eqn: (-1, ``2, ``1)]과 같으므로
[eqn: {1+a} over {2} =-1], [eqn: {0+b} over {2} =2], [eqn: {2+c} over {2} =1]
[eqn: therefore][eqn: a=-3], [eqn: b=4], [eqn: c=0]                                            [eqn: therefore][eqn: {\A'}(-3, ``4, ``0)]
점 [eqn: \B]의 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 점 [eqn: \B']의 좌표는
[eqn: {\B'}(2, ``1, ``-3)]
[eqn: therefore][eqn: vec{\OA'} bullet vec{\OB'}][eqn: =(-3,``4,``0) bullet(2,``1,``-3)]
[eqn: =-6+4+0]                                                               [eqn: =-2]

9

[eqn: {vec{a}} +t {vec{b}}][eqn: =(2,~1,~-3)+t(1,~-3,~4)]
[eqn: =(2+t,~1-3t,~-3+4t)]
[eqn: {vec{a}} -2 {vec{b}}][eqn: =(2,~1,~-3)-2(1,~-3,~4)]
[eqn: =(0,~7,~-11)]
두 벡터 [eqn: {vec{a}} +t {vec{b}}]와 [eqn: {vec{a}} -2 {vec{b}}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: 90°]이므로
[eqn: ( {vec{a}} +t {vec{b}} ) BULLET ( {vec{a}} -2 {vec{b}} )=0]
[eqn: (2+t,~1-3t,~-3+4t) BULLET (0,~7,~-11)=0]
[eqn: 7-21t+33-44t=0]
[eqn: 65t=40]                                                     [eqn: THEREFORE t= {8} over {13}]
따라서 [eqn: p=13,~q=8]이므로                          [eqn: p+q=21]

10

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmH]를 원점, 세 모서리 [eqn: rmHE], [eqn: rm HG], [eqn: rmHD]가 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향과 일치하도록 좌표공간에 놓으면
[eqn: rmD(0,``0,``2)], [eqn: rmM(1,``2,``2)],
[eqn: rmE(2,``0,``0)], [eqn: rmN(2,``2,``1)]
이므로
[eqn: {vec{rmDM}} =(1,``2,``2)-(0,``0,``2)=(1,``2,``0)][eqn: rm vecEN =(2,``2,``1)-(2,``0,``0)=(0,``2,``1)]
[eqn: therefore cos`theta ={rm vecDM bullet vecEN}over{rm left|vecDM right|left|vecEN right|^`}]
[eqn: ={1times0 +2times2+0times1} over{root{1^2 +2^2 +0^2}root{0^2 +2^2 +1^2}}]
[eqn: = 4 over{root5 root5} = 4 over 5]
[eqn: THEREFORE `sin` theta = sqrt {1-cos ^{2} ` theta }]                                                           [eqn: = sqrt {1- LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2}} = {3} over {5}]

11

[eqn: rmVECAD = it (x, ``y,``z) -(3,``5,``-2)]
[eqn: =(x-3,``y-5,``z+2)]
[eqn: rm vecBD = it (x,``y,``z)-(-2,``1,``3)]
[eqn: =(x+2,``y-1,``z-3)]
[eqn: rm vecCD = it (x,``y,``z)-(3,``1,``2)]
[eqn: =(x-3,``y-1,``z-2)]
[eqn: rm vecAD = vecBD +vecCD]이므로
[eqn: (x-3,``y-5,``z+2)=(2x-1,``2y-2,``2z-5)]
즉, [eqn: x-3 =2x-1], [eqn: y-5 =2y-2], [eqn: z+2 =2z-5]이므로
[eqn: x=-2], [eqn: y=-3], [eqn: z=7]
[eqn: THEREFORE x+y+z=2]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: rm vecAD], [eqn: rm vecBD], [eqn: rm vecCD]를 성분으로 나타내기	40 %
	[eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: x+y+z]의 값 구하기	20 %

12

[eqn: left|veca right|^2 =50]이므로
[eqn: (2k+1)^2 +4^2 +(3-k)^2 =50]
[eqn: 5k^2 -2k-24=0], [eqn: (k+2)(5k-12)=0]
[eqn: therefore k=-2] ([eqn: becausek<0])
따라서 [eqn: veca =(-3,``4,``5)], [eqn: vecb =(-1,``0,``-4)]이므로
[eqn: veca bullet vecb =(-3,``4,``5) bullet(-1,``0,``-4)]
[eqn: =3+0-20]                                                               [eqn: =-17]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: k]의 값 구하기	40 %
	[eqn: veca], [eqn: vecb] 구하기	20 %
답 구하기	[eqn: vec a bullet vecb]의 값 구하기	40 %

1. 공간벡터의 연산과 내적 - ②회

중단원 평가 문제

1. ④	2. ⑤	3. ④

4. ④	5. ②	6. ④

7. ①	8. ②	9. ③

10. ①	11. [eqn: {3} over {2}]	12. [eqn: - 6 over5]

1

[eqn: {vec{rmMN}}][eqn: = {vec{rmON}} - {vec{rmOM}}][eqn: rm= {{vec{OB}} + {vec{OC}}} over {2} - {{vec{OA}}} over {2}]
[eqn: = {{vec{b}} + {vec{c}}} over {2} - {{vec{a}}} over {2} = {- {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}}} over {2}]
[eqn: THEREFORE 2 {vec{rm MN it}}][eqn: =- {vec{a}} + {vec{b}} + {vec{c}}]

2

[eqn: 3 left(`veca -vecb -3vecc `right) -2 left(`veca -vecb -5vecc `right)]
[eqn: =3 veca -3vecb -9vecc -2veca +2vecb +10vecc]
[eqn: =veca -vecb +vecc]
[eqn: rm =vecAB - vecAD +vecAE = vecDB +vecAE]
[eqn: = rm vecDB +vecBF = vecDF]

3

[eqn: 5veca -4 vecx = 2vecb -3vecx]에서
[eqn: vecx =5 veca -2 vecb][eqn: =(-10`,``5`,``15)+(0`,``-6`,``4)]
[eqn: =(-10`,``-1`,``19)]
[eqn: therefore left|vec x right|][eqn: = root{100+1+361}= root462]

4

[eqn: vec{a} + vec{c} =(x+2`,``-2`,``y+1)]
[eqn: vec{b} - vec{c} =(3-x`,``-1`,``2-y)]
두 벡터 [eqn: veca +vecc], [eqn: vecb - vecc]가 평행하면 [eqn: veca +vecc =t left(`vecb - vecc` right)]를
만족시키는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: t]가 존재해야 하므로
[eqn: (x+2`,``-2`,``y+1)=t(3-x`,``-1`,``2-y)]
[eqn: x+2=t(3-x)], [eqn: -2=-t],[eqn: `][eqn: y+1=t(2-y)]
[eqn: therefore][eqn: t=2], [eqn: x= 4 over3], [eqn: y= 1]
[eqn: therefore][eqn: x+y= 7 over3]

5

[eqn: rm vecPA = it(1-a,``-1-b,``2)]
[eqn: rm vecPB = it (3-a,``2-b,``-2)]
[eqn: rm vecPC = it (2-a, ``-4-b, ``3)]
[eqn: therefore rm vecPA +vecPB +vecPC = it (6-3a,``-3-3b,``3)]
[eqn: therefore left| rm vecPA +vecPB +vecPC right|= it root{(6-3a)^2 +(-3-3b)^2 +3^2]
[eqn: = 3 root{(a-2)^2 +(b+1)^2 +1]
즉, [eqn: left| rm vecPA +vecPB +vecPC right|]는 [eqn: a=2], [eqn: b=-1]일 때, 최소이고 최솟값은 [eqn: 3]이다.
따라서 점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: rm P(2,``-1,``0)]이고
[eqn: a+b=1]

6

[eqn: LEFT |vec{rm AB it} RIGHT | =2], [eqn: LEFT | {vec{rm AF it}} RIGHT | = sqrt {2 ^{2} +2 ^{2}} =2 sqrt {2}]이고
[eqn: rm ANGLE BAF= theta]라 하면 [eqn: theta = {pi} over {4}]
[eqn: THEREFORE {vec{rm AB it}} BULLET {vec{rm AF it}} = LEFT | {vec{rm AB it}} RIGHT | LEFT | {vec{rm AF it}} RIGHT | cos` {pi } over {4}]
[eqn: =2`·`2 sqrt {2} `·` {sqrt {2}} over {2} =4]

7

[eqn: rm triangleOAB]는 정삼각형이므로 [eqn: rm angleOAB = pi over3]
정사면체의 한 모서리의 길이를 [eqn: a]라 하면
[eqn: rm vecAO bullet vecAB = left|vecAO right|left|vecAB right|`cos`pi over3]에서
[eqn: 7= 1over2 a^2]    [eqn: therefore][eqn: a^2 =14]
따라서 구하는 정사면체의 겉넓이는
[eqn: 4times root3 over4 a^2 =14root3]

8

[eqn: {vec{a}} BULLET {vec{b}}][eqn: =(8,``2,``x-3) BULLET (1,``6,``4-x)]
[eqn: =8+12+(x-3)(4-x)]
[eqn: =-x ^{2} +7x+8]
[eqn: {vec{a}} BULLET {vec{b}} <0]에서 [eqn: -x ^{2} +7x+8<0]
[eqn: x ^{2} -7x-8>0], [eqn: (x+1)(x-8)>0]
[eqn: THEREFORE x<`-1] 또는 [eqn: x>8]
따라서 [eqn: {vec{a}} BULLET {vec{b}} <0]을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 최솟값은 [eqn: 9]이다.

9

[eqn: 2veca -vecb =2(1,``1,``0)-(1,``0,``1)=(1,``2,``-1)]
[eqn: cos`theta ={left(2veca -vecb right) bulletvecc}over{left|2veca -vecb right| left|vecc right|}^`]
[eqn: = {1times0 +2times1 +(-1)times1}over{root{1^2 +2^2 +(-1)^2}root{0^2 +1^2 +1^2}]
[eqn: = 1 over{root6 root2} = root3 over6]
[eqn: therefore 6`cos`theta =6 times root3 over6 =root3]

10

[eqn: veca bot vecb]가 되려면 [eqn: veca bullet vecb =0]이어야 하므로
[eqn: (-1,``2,``4)bullet(k,``-1,``-2)=0]
[eqn: -k-2-8=0]    [eqn: thereforek=-10]
또, [eqn: veca ⫽ vecb]가 되려면 [eqn: vecb =t veca]를 만족시키는 [eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: t]가 존재해야 하므로
[eqn: (k,``-1,``-2)=t(-1,``2,``4)]
[eqn: k=-t], [eqn: -1 =2t], [eqn: -2 =4t]
[eqn: therefore t= - 1over 2], [eqn: k= 1 over 2]                                                   따라서 [eqn: alpha =-10], [eqn: beta = 1 over2]이므로 [eqn: alphabeta =-5]

11

[eqn: rm {vec{OA}}], [eqn: rm {vec{OB}}], [eqn: rm {vec{OC}}]를 각각 성분으로 나타내면
[eqn: {vec{rm OA it}} =(1,~-1,~0)], [eqn: {vec{rm OB it}} =(0,~-1,~1)]
[eqn: {vec{rm OC it}} =(1,~0,~1)]
[eqn: {vec{rmOP}} =a {vec{rmOA}} +b {vec{rmOB}} +c {vec{rmOC}}]에서
[eqn: (1,~-1,~1)]
[eqn: =a(1,~-1,~0)+b(0,~-1,~1)+c(1,~0,~1)]
[eqn: =(a+c,~-a-b,~b+c)]
[eqn: THEREFORE a+c=1], [eqn: -a-b=-1], [eqn: b+c=1]
위의 식을 연립하여 풀면
[eqn: a= {1} over {2}], [eqn: b= {1} over {2}], [eqn: c= {1} over {2}]
[eqn: THEREFORE a+b+c= {1} over {2} + {1} over {2} + {1} over {2} = {3} over {2}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: rm {vec{OA}}], [eqn: rm {vec{OB}}], [eqn: rm {vec{OC}}]를 성분으로 나타내기	40 %
	[eqn: a,~b,~c] 사이의 관계식 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a+b+c]의 값 구하기	20 %

12

점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점이므로 점 [eqn: rmD]의 좌표는
[eqn: \D][eqn: left({1`·`0 +2`·`3}over1+2 ,``{1`·`6+2`·`0}over1+2 , ``{1`·`0 +2`·`0}over1+2 right)]
[eqn: therefore][eqn: rmD(2,``2,``0)]
또, 점 [eqn: rmE]는 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점이므로 점 [eqn: rmE]의 좌표는
[eqn: \E][eqn: left({1`·`0 +2`·`3}over1+2 , ``{1`·`0+2`·`0}over1+2 ,``{1`·`3+2`·`0}over1+2 right)]
[eqn: therefore][eqn: rmE(2,``0,``1)]
이때 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmDE] 위를 움직이므로 [eqn: rm vecDP ={it t } vecDE]를 만족시키는 [eqn: 0 le t le1]인 실수 [eqn: t]가 존재한다.
즉, [eqn: rm vecOP - vecOD ={it t} left(vecOE -vecOD right)]이므로
[eqn: rm vecOP = vecOD +{itt} left(`vecOE -vecOD `right)]
[eqn: =(2,``2,``0)+{itt}(0,``-2,``1)]
[eqn: =(2,``2-2t,``t)]
[eqn: rm vecAP =vecOP - vecOA]
[eqn: = it(2,``2-2t,``t)-(3,``0,``0)]
[eqn: =(-1,``2-2t,``t)]
[eqn: therefore rm vecOP bulletvecAP =it(2,``2-2t,``t)bullet(-1,``2-2t,``t)]
[eqn: =-2+(2-2t)^2 +t^2]
[eqn: =5t^2 -8t+2]
[eqn: =5left(t- 4over5 right)^2 - 6over5]
따라서 [eqn: rm vecOP bulletvecAP]는 [eqn: t= 4over5]일 때, 최소이고 최솟값은 [eqn: - 6 over5]이다.

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]의 좌표 구하기	20 %
	[eqn: rm vecOP], [eqn: rm vecAP]를 성분으로 나타 내기	40 %
답 구하기	[eqn: rm vecOP bullet vecAP]의 최솟값 구하기	40 %

2. 직선과 평면, 구의 방정식 - ①회

중단원 평가 문제

1. ⑤         2. ⑤                           3. ②

4. ③         5. ③                           6. ④

7. ③         8. ③         9. ④

10. ⑤        11. [eqn: (1,``-2,``-1)]

12. [eqn: x+y+2z-3=0]

1

점 [eqn: rmA LEFT ( -2,``3,``1 RIGHT )]을 지나고 벡터 [eqn: {vec{u}} = LEFT ( 1,``3,``4 RIGHT )]에 평행한 직선의 방정식은

[eqn: {x- LEFT ( -2 RIGHT )} over {1} = {y-3} over {3} = {z-1} over {4}]                         [eqn: THEREFORE x+2= {y-3} over {3} = {z-1} over {4}]

2

두 직선 [eqn: l_1], [eqn: l_2]의 방향벡터를 각각 [eqn: vecu_1], [eqn: vecu_2]라 하면
[eqn: vec{u _{1}} =(1`,``-7`,``10)], [eqn: vec{u _{2}} =(3`,``4`,``-5)]
[eqn: {vec{u _{1}}} BULLET {vec{u _{2}}} = LEFT ( 1,``-7,``10 RIGHT ) bullet LEFT ( 3,``4,``-5 RIGHT )]                                      [eqn: =3-28-50]                                                             [eqn: =-75]
[eqn: vecu_1 =root{1^2 +(-7)^2 +10^2 }= 5root6]
[eqn: vecu_2 =root{3^2 +4^2 +(-5)^2 }=5root2]
[eqn: therefore][eqn: cos` theta = {left| vec{u _{1}} BULLET vec{u _{2}} right|} over {left| vec{u _{1}} right|`left| vec{u _{2}} right|^`^`^`}= 75 over{5root6 times 5root2 }= {sqrt {3}} over {2}]

3

세 직선 [eqn: l], [eqn: m], [eqn: n]의 방향벡터를 각각 [eqn: vecu_1], [eqn: vecu_2], [eqn: vecu_3]이라 하면
[eqn: vecu_1 =(-2,``3,``-2)], [eqn: vecu_2 =(1, ``2,``r)], [eqn: vecu_3 =(p,``q,``4)]
[eqn: l ⫽n]이므로 [eqn: vecu_3 =k vecu_1] (단, [eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 실수)
[eqn: (p,``q,``4)= k(-2,``3,``-2)]
[eqn: p=-2k], [eqn: q=3k], [eqn: 4=-2k]
[eqn: THEREFORE][eqn: k=-2], [eqn: p=4], [eqn: q=-6]
[eqn: therefore][eqn: vecu_3 =(4, ``-6, ``4)]
[eqn: m botn]이므로 [eqn: vecu_2 bullet vecu_3 =0]
[eqn: (1,``2,``r)bullet(4,``-6,``4) =0]
[eqn: 4-12+4r =0]    [eqn: thereforer=2]
[eqn: thereforep+q+r=4-6+2 =0]

4

[eqn: {x-1}over3 =2-y ={z-3}over2 =t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=3t+1], [eqn: y=-t+2], [eqn: z=2t+3]
점 [eqn: rmH]는 직선 [eqn: l] 위에 있으므로 [eqn: rm H it (3t+1,``-t+2,``2t+3)]으로 놓으면
[eqn: rm vecAH = it (3t-2, ``-t+4,``2t-2)]
직선 [eqn: l]의 방향벡터를 [eqn: vecu]라 하면 [eqn: vecu =(3,``-1,``2)]이고 [eqn: rm vecAH bot it vecu]이므로 [eqn: rm vecAH bullet it vecu =0]
[eqn: 3(3t-2)-(-t+4)+2(2t-2)=0]
[eqn: 14t-14=0]    [eqn: thereforet=1]
따라서 [eqn: rm vecAH =(1,``3,``0)]이므로
[eqn: rm left|vecAH right|=root{1^2 +3^2}=root10]

5

[eqn: rm barPQ bot itl], [eqn: rm barPQ bot itm]일 때 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는 최소가 된다. 직선 [eqn: l] 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표를
[eqn: rmP it(2t+3,``2t+1,``t+2)] ([eqn: t]는 실수)
로 놓고, 직선 [eqn: m] 위의 점 [eqn: rmQ]의 좌표를
[eqn: rm Q it(-2s+4,``s-4,``2s+1)] ([eqn: s]는 실수)로 놓으면
[eqn: rm vecPQ = it(-2s-2t+1,``s-2t-5,``2s-t-1)]
두 직선 [eqn: l], [eqn: m]의 방향벡터를 각각 [eqn: vecu_1], [eqn: vecu_2]라 하면
[eqn: vecu_1 =(2,``2,``1)], [eqn: vecu_2 =(-2,``1,``2)]
[eqn: rm barPQ bot itl]이므로 [eqn: rm vecPQ bullet it vecu_1 =0]
[eqn: (-2s-2t+1,``s-2t-5,``2s-t-1)bullet(2,``2,``1)=0]
[eqn: 2(-2s-2t+1)+2(s-2t-5)+(2s-t-1)=0]
[eqn: -9t-9=0]    [eqn: thereforet=-1]
[eqn: rm barPQ bot itm]이므로 [eqn: rm vecPQ bullet it vecu_2 =0]
[eqn: (-2s-2t+1,``s-2t-5,``2s-t-1)]
[eqn: bullet(-2,``1,``2)=0]
[eqn: -2(-2s-2t+1)+(s-2t-5)+2(2s-t-1)=0]
[eqn: 9s-9=0]    [eqn: therefores=1]
따라서 [eqn: rm vecPQ =(1,``-2,``2)]이므로
[eqn: rm barPQ = left|vecPQ right|=root{1^2 +(-2)^2 +2^2}=3]

6

평면 [eqn: x-y+2z=1]의 법선벡터는 [eqn: (1,``-1,``2)]이고
각 직선의 방향벡터는
① [eqn: (1,``1,``0)]           ② [eqn: (0,``1,``2)]       ③ [eqn: (1,``1,``2)]
④ [eqn: (-2,``2,``-4)]    ⑤ [eqn: (2,``2,``3)]
이때 [eqn: (-2,``2,``-4)=-2(1,``-1,``2)]이므로 주어진 평면과 수직인 직선은 ④이다.

7

주어진 두 평면의 교선을 포함하는 평면의 방정식은
[eqn: x+2y+3z-6+k(3x+2y+z-10)=0] ([eqn: k]는 실수)
이 평면이 점 [eqn: (1,~-1,~1)]을 지나므로
[eqn: -4-8k=0]    [eqn: THEREFORE k=- {1} over {2}]
[eqn: k=- {1} over {2}]을 대입하여 정리하면 평면의 방정식은
[eqn: x-2y-5z+2=0]
따라서 [eqn: a=1,~b=-2,~c=2]이므로
[eqn: a+b+c=1]

8

직선 [eqn: x+1= 2-y = {z+3} over {2}]의 방향벡터 [eqn: vec u]는
[eqn: vec u = (1, `` -1, ``2)]
평면 [eqn: 2x+y+z=2]의 법선벡터 [eqn: vec n]은 [eqn: vec n = it ( 2, ``1, ``1)]
직선과 평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 두 벡터 [eqn: vec u]와 [eqn: vec n]이 이루는 예각의 크기는 [eqn: pi over 2 - theta]이다.
[eqn: {vec{u}} BULLET {vec{n}} = LEFT ( 1,``-1,``2 RIGHT ) bullet LEFT ( 2,``1,``1 RIGHT ) =2-1+2=3] [eqn: left| vec u right| = left| vec n right| = root 6]이므로 [eqn: root 6 times root 6 times cos left( pi over 2 - theta right) = 3]
[eqn: 6sin` theta = 3]    [eqn: therefore] [eqn: sin `theta = 1 over 2]

9

점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형은 점 [eqn: rm A(-10,``1,``7)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm LEFT | {vec{AP}} RIGHT | =5]인 구이므로 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 방정식은
[eqn: (x+10) ^{2} +(y-1) ^{2} +(z-7) ^{2} =25]
이 도형이 점 [eqn: (-7,``a,``3)]을 지나므로
[eqn: 3 ^{2} +(a-1) ^{2} +(-4) ^{2} =25]
[eqn: (a-1)^2 =0]    [eqn: thereforea=1]

10

주어진 구의 방정식을 변형하면
[eqn: (x+3)^2 +(y-1)^2 +(z-2)^2 =14-k]
이 구와 평면 [eqn: alpha]가 접하므로 구의 중심 [eqn: (-3,``1,``2)]와 평면
[eqn: alpha:` 2x-2y +z =0] 사이의 거리는 구의 반지름의 길이와 같다.
[eqn: {left|-6-2+2 right|}over{root{2^2 +(-2)^2 +1^2 }} =root{14-k}], [eqn: 2=root{14-k]
양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: 4=14-k]    [eqn: thereforek=10]

11

[eqn: {x-5}over2 ={y-2}over2 =-3-z =t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=2t+5], [eqn: y=2t+2], [eqn: z=-t-3]     [eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: {x+3}over4 = {y+7}over5 = {z+4}over3 =s] ([eqn: s]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=4s-3], [eqn: y=5s-7], [eqn: z=3s-4]    [eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
[eqn: t=-2], [eqn: s=1]
따라서 두 직선의 교점의 좌표는
[eqn: (1,``-2,``-1)]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	매개변수를 이용하여 직선의 방정식 나타내기	40 %
	두 직선이 만날 때 매개변수 의 값 구하기	40 %
답 구하기	교점의 좌표 구하기	20 %

12

점 [eqn: rmR]는 선분 [eqn: rmPQ]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로
[eqn: \R][eqn: LEFT ( {2 `·` 0+1 `·` 3} over {2+1} ,`` {2 `·` (-1)+1 `·` 2} over {2+1} ,`` {2 `·` (-1)+1 `·`5} over {2+1} RIGHT )]
[eqn: therefore][eqn: rm R(1,``0,``1)]
이때
[eqn: rmvecPQ =(0,``-1,``-1)-(3,``2,``5)][eqn: =(-3,``-3,``-6)]
이므로 점 [eqn: rmR(1,``0,``1)]을 지나고 법선벡터가
[eqn: (-3,``-3,``-6)]인 평면의 방정식은
[eqn: -3(x-1) -3y-6(z-1)=0]
[eqn: thereforex+y+2z-3=0]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	점 [eqn: rmR]의 좌표 구하기	30 %
	[eqn: vec \PQ] 구하기	30 %
답 구하기	평면의 방정식 구하기	40 %

2. 직선과 평면, 구의 방정식 - ②회

중단원 평가 문제

1. ③         2. ④         3. ③

4. ⑤         5. ①         6. ③

7. ②         8. ②         9. ⑤

10. ④             11. [eqn: 15root3]

12. [eqn: (35,``-8,``22)]

1

[eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각[eqn: 60 °], [eqn: 45 °], [eqn: 60 °]인 단위벡터 [eqn: vec e]는
[eqn: vec e = left( 1 over 2 , ```` root 2 over 2 , ```` 1 over 2 right)]
따라서 점 [eqn: \A(-1,`` 2,`` 3)]을 지나고 방향벡터가 [eqn: vec e]인 직선의 방정식은
[eqn: {x- LEFT ( -1 RIGHT )} over {{1} over {2}} = {y-2} over {{sqrt {2}} over {2}} = {z-3} over {{1} over {2}}]                                  [eqn: therefore][eqn: x+1 = y-2 over root2 = z-3]

2

[eqn: {x-1}over2 =y+3 ={1-z}over2 =t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=2t+1], [eqn: y=t-3], [eqn: z=-2t+1]	[eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: {x+3}over2 = {y+1}over-3 =z-2 =s] ([eqn: s]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=2s-3], [eqn: y=-3s-1], [eqn: z=s+2]    [eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: t=-1], [eqn: s=1]
따라서 두 직선의 교점의 좌표는 [eqn: (-1,``-4,``3)]이므로
[eqn: p=-1], [eqn: q=-4], [eqn: r=3]
[eqn: thereforepqr=12]

3

[eqn: l: x ={y-1}over2 =z+3], [eqn: m: {x-2}over-2 = y over -1 = {z-1]
에서 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]의 방향벡터를 각각 [eqn: vec{u_1], [eqn: vec{u_2]라 하면
[eqn: {vec{u _{1}}} =(1,``2,``1)], [eqn: vec{u_2} =(-2,``-1,``1)]
[eqn: therefore cos`theta ={|`1times(-2) +2 times(-1) +1times1`|} over{root{1^2 +2^2 +1^2}root{(-2)^2 +(-1)^2 +1^2}]
[eqn: = 3 over{root6 root6}]                                                               [eqn: = 1over2]

4

[eqn: {5-x}over2 =y-3 ={1-z}over3 =t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=-2t+5], [eqn: y=t+3], [eqn: z=-3t+1]
점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 점 [eqn: rmH]는 직선 [eqn: l] 위에 있으므로
[eqn: rm H it(-2t+5,``t+3,``-3t+1)]로 놓으면
[eqn: rm vecAH = it (-2t,``t+2,``-3t-4)]
직선 [eqn: l]의 방향벡터를 [eqn: vecu]라 하면 [eqn: vecu =(-2,``1,``-3)]이고 [eqn: rm vecAH bot it vecu]이므로 [eqn: rm vecAH bullet itvecu =0]
[eqn: LEFT ( -2t,``t+2,``-3t-4 RIGHT ) bullet LEFT ( -2,``1,``-3 RIGHT ) =0][eqn: -2(-2t)+(t+2)-3(-3t-4)=0]
[eqn: 14t+14=0]                                                 [eqn: therefore t=-1]
따라서 [eqn: rm vecAH =(2,``1,``-1)]이므로 구하는 거리는
[eqn: rm left|vecAH right|= root{2^2 +1^2 +(-1)^2}][eqn: =root6]

5

[eqn: {x+3}over3 =y+1 ={z+1}overb =t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=3t-3], [eqn: y=t-1], [eqn: z=bt-1]       [eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: x-1 = {y-2}over2 = {z-3}overa =s] ([eqn: s]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=s+1], [eqn: y=2s+2], [eqn: z=as+3]    [eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
[eqn: s=-1], [eqn: t=1]
[eqn: therefore][eqn: a+b=4]                                     [eqn: cdotscdots]㉢
두 직선 [eqn: l], [eqn: m]의 방향벡터를 각각 [eqn: vecu_1], [eqn: vecu_2]라 하면
[eqn: vecu_1 =(3,``1,``b)], [eqn: vecu_2 =(1,``2,``a)]
두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 서로 수직이므로 [eqn: vecu_1 bullet vecu_2 =0]
[eqn: (3,``1,``b) bullet (1,``2,``a)=0]
[eqn: 3+2+ab =0]                                                [eqn: thereforeab=-5]                                       [eqn: cdotscdots]㉣
㉢, ㉣을 연립하여 풀면
[eqn: a=-1], [eqn: b=5] 또는 [eqn: a=5], [eqn: b=-1]
그런데 [eqn: a>b]이므로
[eqn: a=5], [eqn: b=-1]
[eqn: therefore a+2b=3]

6

두 점 [eqn: rmA(0,~2,~4)], [eqn: rmB(2,~5,~1)]을 지나는 직선의 방향벡터는
[eqn: rm {vec{AB}} =(2,~5,~1)-(0,~2,~4)][eqn: =(2,~3,~-3)]
따라서 점 [eqn: rmB(2,~5,~1)]을 지나고 법선벡터가 [eqn: (2,~3,~-3)]인 평면의 방정식은
[eqn: 2(x-2)+3(y-5)-3(z-1)=0]
[eqn: THEREFORE 2x+3y-3z-16=0]
따라서 [eqn: a=2,~b=3,~c=-3]이므로              [eqn: abc=-18]

7

두 평면 [eqn: alpha ,`` beta]의 법선벡터를 각각 [eqn: {vec{n _{1}}} ,~ {vec{n _{2}}}]라 하면
[eqn: {vec{n _{1}}} =(-2,~m,~2)], [eqn: {vec{n _{2}}} =(n,~-2,~-1)]
두 평면이 서로 평행하므로 [eqn: {vec{n _{1}}} =k {vec{n _{2}}}] ([eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 실수)
[eqn: (-2,~m,~2)][eqn: =k(n,~-2,~-1)]
[eqn: -2=kn], [eqn: m=-2k], [eqn: 2=-k]
[eqn: THEREFORE k=-2], [eqn: m=4], [eqn: n=1]
[eqn: THEREFORE mn=4]

8

[eqn: rm vecAP bullet vecBP =0]에서
[eqn: rm vecAP bot rm vecBP]                                                                 따라서 [eqn: rm angleAPB = pi over2]이므로 점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 구 위의 점이다.
구의 반지름의 길이는
[eqn: 1 over 2rm barAB = 1over 2 root{(-3-1)^2 +(1-3)^2 +(4+2)^2]
[eqn: =root14]
따라서 점 [eqn: rmP]가 나타내는 입체도형의 부피는
[eqn: 4 over3 pi times(root14 )^3 = 56 over3 root14 pi]

9

[eqn: 1-x = y-3 = 2-z over2 =t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=-t+1], [eqn: y=t+3], [eqn: z=-2t +2]
이 직선이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]와 만나는 점의 좌표를
[eqn: (-t+1`,``t+3`,``-2t+2)]로 놓으면
이 점이 평면 [eqn: alpha :``2x-y+3z-5=0] 위의 점이므로
[eqn: 2(-t+1)-(t+3)+3(-2t+2)-5=0]
[eqn: -9t =0]
[eqn: therefore][eqn: t= 0]

즉, 평면 [eqn: alpha] 위의 점의 좌표는
[eqn: (1`,``3`,``2)]
또, 점 [eqn: (-t+1`,``t+3`,``-2t+2)]는 평면 [eqn: beta :``x+2y+3z+2=0] 위의 점이므로
[eqn: -t+1+2(t+3)+3(-2t+2)+2=0]
[eqn: -5t +15 =0]
[eqn: therefore][eqn: t=3]                                                                  즉, 평면 [eqn: beta] 위의 점의 좌표는
[eqn: (-2`,``6`,``-4)]
따라서 구하는 선분의 길이는 두 점 [eqn: (1`,``3`,``2)],
[eqn: (-2`,``6`,``-4)] 사이의 거리이므로 [eqn: sqrt {LEFT ( -2-1 RIGHT ) ^{2} +(6-3) ^{2} + LEFT ( -4-2 RIGHT ) ^{2}}][eqn: =3 sqrt {6}]

10

구의 반지름의 길이는 [eqn: 5]이고 구의 중심 [eqn: (1,~-1,~1)]과 평면 [eqn: x+2y+2z+8=0] 사이의 거리는
[eqn: {LEFT | 1-2+2+8 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +2 ^{2} +2 ^{2}}} =3]
오른쪽 그림에서 구와 평면이 만나서 생기는 단면은 원이고 이 원의 반지름의 길이는
[eqn: sqrt {5 ^{2} -3 ^{2}} =4]
따라서 구하는 단면의 둘레의 길이는
[eqn: 2pi`·`4=8pi]

11

[eqn: x over 2 = 1-y = z over 3 =t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=2t], [eqn: y=-t+1], [eqn: z=3t]
점 [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 점 [eqn: rmH]는 직선 [eqn: l] 위의 점이므로 점 [eqn: rmH]의 좌표를 [eqn: rm H it (2t,``-t+1,``3t)]로 놓으면
[eqn: rm vec CH =it (2t-7,``-t-3,``3t-1)]
직선 [eqn: l]의 방향벡터를 [eqn: vecu]라 하면
[eqn: vecu =(2,``-1,``3)]
[eqn: rm vecCH bot it vecu]이므로                                         [eqn: rm vecCH bullet it vecu =0]
[eqn: (2t-7, ``-t-3, ``3t-1)bullet(2,``-1,``3)=0]
[eqn: 2(2t-7)-(-t-3)+3(3t-1)=0]
[eqn: 14t -14=0]                                                   [eqn: thereforet=1]
즉, [eqn: rm vecCH =(-5,``-4,``2)]이므로 삼각형 [eqn: rmABC]의 높이는
[eqn: rm barCH = left|vecCH right| =root{(-5)^2 +(-4)^2 +2^2 }=3root5]

삼각형 [eqn: rmABC]는 정삼각형이므로 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하면
[eqn: root3 over2 timesa =3root5]                                     [eqn: thereforea=2root15]                                                          따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는
[eqn: root3 over4 times(2root15 )^2 =15root3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	삼각형 [eqn: rmABC]의 높이 구하기	50 %
	삼각형 [eqn: rmABC]의 한 변의 길이 구하기	30 %
답 구하기	삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이 구하기	20 %

12

[eqn: 3x+2y-4z-1=0]    [eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: x+y-z-5=0]          [eqn: cdotscdots]㉡
㉠[eqn: -]㉡[eqn: times2]를 하면
[eqn: x-2z+9=0]
[eqn: thereforez= {x+9}over2]                [eqn: cdotscdots]㉢                                ㉠[eqn: -]㉡[eqn: times3]을 하면
[eqn: -y-z+14=0]                                          [eqn: thereforez=-y+14]             [eqn: cdotscdots]㉣
㉢, ㉣에서 교선 [eqn: l]의 방정식은
[eqn: {x+9}over2 =-y+14 =z]
[eqn: {x+9}over2 =-y+14 =z=t] ([eqn: t]는 실수)로 놓으면
[eqn: x=2t-9], [eqn: y=-t+14], [eqn: z=t]
이므로 교선 [eqn: l]과 평면의 교점의 좌표를 [eqn: (2t-9,``-t+14,``t)]로 놓을 수 있다.
이 교점이 평면 [eqn: x+2y-z+3=0] 위의 점이므로
[eqn: 2t-9+2(-t+14)-t+3=0]
[eqn: -t+22 =0]                                                 [eqn: thereforet=22]
따라서 구하는 교점의 좌표는                   [eqn: (35,``-8,``22)]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	교선의 방정식 구하기	40 %
	매개변수를 이용하여 교점의 좌표 나타내기	30 %
답 구하기	교점의 좌표 구하기	30 %