학교 시험

출제 대비 문제은행

미적분Ⅱ

(주)미래엔이 학교 시험 출제를 돕겠습니다.

□글 파일도 제공됩니다.

단원 차례

지수함수와 로그함수

Ⅰ

1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

2. 지수함수와 로그함수의 미분

삼각함수

Ⅱ

1. 삼각함수의 뜻과 그래프

2. 삼각함수의 미분

미분법

Ⅲ

1. 여러 가지 미분법

2. 도함수의 활용

적분법

Ⅳ

1. 여러 가지 적분법

2. 정적분의 활용

정답 및 풀이

★★★

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

Ⅰ

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 지수함수의 뜻을 안다.	상	주어진 지수함수에서 정의역, 치역, 함숫값을 구할 수 있다.	1	1, 2
	중	지수함수에서 밑의 조건을 말할 수 있다.
	하	주어진 함수 중에서 지수함수를 찾을 수 있다.

2 로그함수의 뜻을 안다.	상	주어진 로그함수에서 정의역, 치역, 함숫값을 구할 수 있다.	2
	중	로그함수에서 밑의 조건을 말할 수 있다.
	하	주어진 함수 중에서 로그함수를 찾을 수 있다.

3 지수함수의 그래프를 그려보고, 그 성질을 이해한다.	상	지수함수 [eqn: y=a ^{x}]의 그래프를 그리고, 그 성질을 말할 수 있다.	4, 7, 8	5, 6, 7, 13
	중	두 지수함수 [eqn: y=a ^{x}]과 [eqn: y= LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{x}]의 관계를 말할 수 있다.	3
	하	지수함수 [eqn: y=a ^{x}]에서 [eqn: 0<a<1], [eqn: a>1]에 따라 증가함수, 감소함수임을 말할 수 있다.

4 로그함수의 그래프를 그려보고, 그 성질을 이해한다.	상	로그함수 [eqn: y=log` _{a} ``x]의 그래프를 그리고, 그 성질을 말할 수 있다.	6, 13	4, 8
	중	두 로그함수 [eqn: y=log` _{a} ``x]와 [eqn: y=log` _{{1} over {a}}` `x]의 관계를 말할 수 있다.
	하	로그함수 [eqn: y=log` _{a} ``x]에서 [eqn: 0<a<1], [eqn: a>1]에 따라 증가함수, 감소함수임을 말할 수 있다.	5	3

5 지수함수를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.	상	지수함수를 활용하여 실생활에서 나타나는 간단한 방정식과 부등식의 문제를 해결할 수 있다.	10	11
	중	지수함수의 성질을 이용하여 간단한 방정식과 부등식의 문제를 해결할 수 있다.	12
	하	지수의 정의를 이용하여 간단한 방정식과 부등식의 문제를 해결할 수 있다.		9

6 로그함수를 활용하여 문제를 해결할 수 있다.	상	로그함수를 활용하여 실생활에서 나타나는 간단한 방정식과 부등식의 문제를 해결할 수 있다.	14	14
	중	로그함수의 성질을 이용하여 간단한 방정식과 부등식의 문제를 해결할 수 있다.	11	10, 12
	하	로그의 정의를 이용하여 간단한 방정식과 부등식의 문제를 해결할 수 있다.	9

[성취기준1-상]

1

함수 [eqn: f(x)=a^mx-n] ([eqn: a>0], [eqn: a!=1])에 대하여
[eqn: f(0)= 1over2], [eqn: f(2) =8]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이다.)

[성취기준2-상]

2

함수 [eqn: f(x)=log` _{2} `x]에 대하여 [eqn: 3f(2x)-2f(x)]를 간단히 한 것은?

① [eqn: f(3x)]	② [eqn: f(4x)]	③ [eqn: f(8x)]

④ [eqn: 2f(x)]	⑤ [eqn: 3f(x)]

[성취기준3-중]

3

지수함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x}]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1] ㄴ. [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) `f LEFT ( 4 RIGHT )] ㄷ. [eqn: f LEFT ( 16 RIGHT ) = LEFT { f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{8}] ㄹ. [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) = {f LEFT ( 12 RIGHT )} over {f LEFT ( 2 RIGHT )}]

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄹ         ③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄷ, ㄹ

[성취기준3-상]

4

함수 [eqn: y=5^x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동한 후, [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식이 [eqn: y=a`·`5 ^{x} +b`]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프 - ①회

중단원 평가 문제

[성취기준4-하]

5

오른쪽 그림과 같이
함수 [eqn: y=log` _{2} `x]의

그래프에서 [eqn: bar{rmAB}=2]

일 때, [eqn: b overa]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[성취기준4-상]

중단원 평가 문제

1. 지수함수와 로그함수의
뜻과 그래프 - ①회

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

6

세 수
[eqn: A=log _{sqrt {5}} `2], [eqn: B=log _{25} `9], [eqn: C=log _{{1} over {5}} ` {1} over {6}]

을 작은 것부터 차례로 나열한 것은?

① [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]	② [eqn: A], [eqn: C], [eqn: B]

③ [eqn: B], [eqn: A], [eqn: C]	④ [eqn: B], [eqn: C], [eqn: A]

⑤ [eqn: C], [eqn: A], [eqn: B]

[성취기준3-상]

7

함수 [eqn: y=3 ^{x-2} +k]의 그래프가 제[eqn: `2`]사분면을 지나지 않을 때, 상수 [eqn: k]의 최댓값은?

① [eqn: - 1]	② [eqn: - 1 over 3]	③ [eqn: - 1 over 9]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 1 over 9]

[성취기준3-상]

8

정의역이 [eqn: left{ x` | -2 leq x leq 3right}]인 함수
[eqn: y=2 ^{x} `·`3 ^{-x+1}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. 이때 [eqn: Mm]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[성취기준6-하]

9

다음 방정식을 만족시키는 [eqn: x]의 값은?

[eqn: {1} over {log` _{2} `x} + {1} over {log` _{3} `x} + {1} over {log` _{5} `x} =1]

① [eqn: 6]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 60]

[성취기준5-상]

10

어떤 액체는 상온에서 증발하기 시작하여 처음 양의 [eqn: 1over2]로 줄어드는 데 [eqn: 6]시간이 걸린다고 한다. 이 액체가 [eqn: 1``]L 들어 있는 병의 뚜껑을 열어 놓은 후, 일정한 시간이 경과한 다음 남은 액체의 양을 측정하였더니 [eqn: 125``]mL이었다. 이때 경과한 시간은?

① [eqn: 12]시간	② [eqn: 18]시간	③ [eqn: 24]시간

④ [eqn: 30]시간	⑤ [eqn: 36]시간

[성취기준6-중]

11

부등식 [eqn: log` _{{1} over {3}} ` LEFT ( x ^{2} -2x+3 RIGHT ) GEQ -1]을 만족시키는 [eqn: x]의 최댓값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준5-중]

12

방정식 [eqn: 4 ^{x} -6` ·` 2 ^{x} +8=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 할 때, 두 근의 합 [eqn: alpha + beta]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 8]

서술형 문제

[성취기준4-상]

13

함수 [eqn: y= LEFT ( log` _{2} `x RIGHT ) ^{2} +a`log` _{4} `x+2]는 [eqn: x= 1 over4]일 때, 최솟값 [eqn: b]를 갖는다고 한다. 이때 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[성취기준6-상]

14

반감기가 [eqn: T`]년인 방사성 물질의 현재의 질량을 [eqn: a], [eqn: t]년 후의 질량을 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t)=a times left(1over2 right)^{t overT}]

인 관계식이 성립한다. 반감기가 [eqn: 10]년인 어떤 방사성 물질의 질량이 처음 질량의 [eqn: 1 over20] 이하가 되는 것은 몇 년 후부터인지 구하시오. (단, [eqn: log`2=0.3])

[성취기준1-상]

1

함수 [eqn: f(x)=2^x+1]에 대하여 다음 중 [eqn: f(-x)]와 같은 것은?

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프 - ②회

중단원 평가 문제

① [eqn: 1 over 4f(x)]	② [eqn: 1 over 2f(x)]	③ [eqn: 1over f(x)]

④ [eqn: 2over f(x)]	⑤ [eqn: 4over f(x)]

[성취기준1-상]

2

함수 [eqn: f(x)= left( 1over5 right)^x-3 +1]의 역함수 [eqn: rmg(itx)]가

[eqn: rmg(ita)=3], [eqn: rm g(6)=itb]를 만족시킬 때, [eqn: ab]의 값을

구하시오.

[성취기준4-하]

3

오른쪽 그림은 함수
[eqn: y=log` _{a} `x][eqn: `(a!=1,~a>0)]의 그래프이다. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: log` _{a} `3<3] ㄴ. [eqn: log` _{a} `8=6] ㄷ. [eqn: log` _{a} ` sqrt {2} =1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준4-상]

4

로그함수 [eqn: y=log _{3} `(x-2)`+`3]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. 정의역은 [eqn: LEFT { x`□`x>2 RIGHT }]이다. ㄴ. [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값은 감소한다. ㄷ. 그래프를 평행이동하면 함수 [eqn: y=log _{3} `x]의 그래프와 겹쳐진다. ㄹ. 그래프의 점근선의 방정식은 [eqn: x=3]이다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ         ③ ㄴ, ㄷ

④ ㄴ, ㄹ	⑤ ㄷ, ㄹ

[성취기준3-상]

5

지수함수 [eqn: y=3 ^{x}]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y=a LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} +b]의 그래프와 겹쳐진다. 이때 [eqn: 9a+b]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 12]

[성취기준3-상]

중단원 평가 문제

1. 지수함수와 로그함수의
뜻과 그래프 - ②회

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

6

세 수

[eqn: A= 1over sqrt5], [eqn: B= root {3} of {0.04}], [eqn: C= root {10} of {0.2 ^{3}}]

의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: A<B<C]	② [eqn: A<C<B]

③ [eqn: B<A<C]	④ [eqn: B<C<A]

⑤ [eqn: C<A<B]

[성취기준3-상]

7

지수함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x ^{2} -2x-1}]의 최댓값은?

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

[성취기준4-상]

8

다음 중 곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x-1)+2]와 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭인 곡선은?

① [eqn: y=8`·`2^x -1]	② [eqn: y=4`·`2^x -1]

③ [eqn: y=2^x +2]	④ [eqn: y= 1over4 `·`2^x +1]

⑤ [eqn: y= 1over4 `·`2^x -1]

[성취기준5-하]

9

방정식 [eqn: 8^{2x+3}=4 root {3} of2]를 만족시키는 [eqn: x]의 값은?

① [eqn: - 10over9]	② [eqn: - 7 over9]	③ [eqn: 1over9]

④ [eqn: 7 over9]	⑤ [eqn: 10over9]

[성취기준6-중]

10

연립방정식 [eqn: {cases{log` _{2} `x+log` _{3} `y=-1 _{` _{` _{~}}}#log` _{3} `x`·`log` _{2} `y=-6}}]의 해가

[eqn: x=alpha], [eqn: y=beta]일 때, [eqn: beta over alpha]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: alpha < beta])

[성취기준5-상]

11

어떤 박테리아 [eqn: 1` rm `g]이 [eqn: x]시간 후에 [eqn: a ^{x} `` rm g]으로 증식된다고 한다. 처음에 [eqn: 2` rm `g]이었던 박테리아가 [eqn: 2]시간 후에 [eqn: 16`` rm g]이 되었을 때, [eqn: 2`` rm g]이었던 박테리아가

[eqn: 1024` rm `g]이 되는 것은 증식을 시작한 지 몇 시간 후인지 구하시오. (단, [eqn: a>0])

[성취기준6-중]

12

부등식 [eqn: [`log` _{3} `x`] ^{2} -[`log` _{3} `x`]-2 LEQ 0]의 해는?

(단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수이다.)

① [eqn: {1} over {3} LEQ x<1]	② [eqn: {1} over {3} LEQ x<27]

③ [eqn: 1 LEQ x<3]	④ [eqn: 3 LEQ x<9]

⑤ [eqn: 3 LEQ x<27]

서술형 문제

[성취기준3-상]

13

정의역이 [eqn: "{"x ``|``-1 le x le1"}"]일 때, 함수

[eqn: y=2^x `·`5^-x +1]의 치역이 [eqn: "{"y ``|``a le y leb"}"]라고 한다. 이때 [eqn: ab]의 값을 구하시오.

[성취기준6-상]

14

어떤 하수 처리장에서는 매 시간마다 현재 오염도의 [eqn: 20``%]를 줄이는 방법으로 하수를 정화시키고 있다. 현재 오염도가 [eqn: 80]인 폐수가 오염도 [eqn: 10] 이하의 깨끗한 물로 정화될 때까지 최소 [eqn: a]시간이 걸린다고 할 때, 정수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: log`2=0.3010])

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 무리수 [eqn: e]의 뜻을 알고, 지수함수와 로그함수의 극한값을 구할 수 있다.	상	무리수 [eqn: e`]의 뜻을 알고, 지수함수와 로그함수의 극한값을 구할 수 있다.	6, 7, 8, 13	6, 7, 8, 12, 13
	중	무리수 [eqn: e]의 뜻을 알고, [eqn: y=a ^{x}], [eqn: y=log` _{a} `x]의 극한값을 구할 수 있다.	1, 2, 3, 4	1, 2, 3, 4, 5
	하	[eqn: e]가 무리수임을 알고, [eqn: y=e ^{x}], [eqn: y=ln`x]의 극한값을 구할 수 있다.	5

2 지수함수와 로그함수를 미분할 수 있다.	상	함수의 합, 차, 곱, 실수배의 미분법을 이용하여 지수함수와 로그함수를 미분할 수 있다.	11, 12, 14	11, 14
	중	[eqn: y=a ^{x}], [eqn: y=log` _{a} `x]를 미분할 수 있다.		10
	하	[eqn: y=e ^{x}], [eqn: y=`ln`x]를 미분할 수 있다.	9, 10	9

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

Ⅰ

2. 지수함수와 로그함수의 미분

[성취기준1-중]

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

2. 지수함수와 로그함수의 미분 - ①회

중단원 평가 문제

1

[eqn: lim _{x -> INF } {} ` LEFT ( 7 ^{x} -4 ^{x} RIGHT ) ^{{1} over {x}}]의 값을 구하시오.

[성취기준1-중]

2

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {`` LEFT { log _{3} ` LEFT ( 9x ^{3} +2 RIGHT ) `-`3`log _{3} `x RIGHT }}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준1-중]

3

[eqn: lim_{x rarrow0}`(1+4x)^{1over3x}]의 값은?

① [eqn: e^{1over3]	② [eqn: e]	③ [eqn: e^{4over3]

④ [eqn: e^2]	⑤ [eqn: e^4]

[성취기준1-중]

4

극한값이 [eqn: e]인 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: lim_{x rarrow0}`left(3+x over3 right)^{3overx}] ㄴ. [eqn: lim_{x rarrow 1}`x^{2overx-1}] ㄷ. [eqn: lim_{x rarrow inf}`left(x-1 overx right)^-x] ㄹ. [eqn: lim_{x rarrow2}`left(x over 2 right)^{1overx-2}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

[성취기준1-하]

5

[eqn: lim_{x rarrow inf}`"{"log`_2 (ax+3) - log`_2 (x+6)"}"=3]을 만

족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

2. 지수함수와 로그함수의
미분 - ①회

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

6

[eqn: lim_{x rarrow0}`{5^x -1} over {log`_5``(1+x)}]의 값은?

① [eqn: ln`5]	② [eqn: (ln`5)^2]	③ [eqn: 2`ln`5]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 25]

[성취기준1-상]

7

[eqn: lim_x->0 {log_(1+x) left{(1+2x)(1+3x)(1+4x)(1+5x)right} }]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

[성취기준1-상]

8

[eqn: lim _{x` -> `a} {` {b``ln`x} over {`x ^{2} -a ^{2} `} =3}]을 만족시키는 두 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은? (단, [eqn: b != 0])

① [eqn: -5]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - 1over5]

④ [eqn: 1 over5]	⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-하]

9

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`ln`x-3x]에 대하여 [eqn: f prime LEFT ( e RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: e-1]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e+1]

[성취기준2-하]

10

함수 [eqn: f(x)=x`ln`x^2]의 도함수 [eqn: f prime(x)]에 대하여  방정식 [eqn: f prime(a)=8]을 만족시키는 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 3e]

④ [eqn: e^2]	⑤ [eqn: e^3]

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

2. 지수함수와 로그함수의
미분 - ①회

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

11

함수 [eqn: f(x)=ln`2x]에 대하여

[eqn: lim_{h rarrow0}`{f(1+h)-f(1-h)} overh]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-상]

12

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{a-ln`x``&(0<`x` LEQ 1)#```bx+1 ^{` ^{`}}&(x>1) ^{` ^{`}}}}]이 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, 두 상수 [eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

곡선 [eqn: y=e^x -1] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 세 점

[eqn: rmO(0,~0)], [eqn: rmA(0,~ite)],

[eqn: rmB(3,~0)]에 대하여 두 삼각형 [eqn: rmOAP]와 [eqn: rmOBP]의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 하자. 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmO]에 한없이 가까워질 때, [eqn: S_1overS_2]의 극한값을 구하시오.

[성취기준2-상]

14

미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: lim _{x`` -> ``3} {} {2e ^{x} `f LEFT ( x RIGHT ) -5} over {x-3} =4e]

일 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +f` prime LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[성취기준1-중]

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

2. 지수함수와 로그함수의 미분 - ②회

중단원 평가 문제

1

[eqn: lim _{x -> -INF }` {3^x +6x^2 +2}over{4x^2 -1]의 값은?

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 3over2]	③ [eqn: 9over4]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 15over4]

[성취기준1-중]

[eqn: lim_{x rarrow 0}{ln left( 1+ x over3right)}over {ln left( 1 + x over2 right)}]의 값은?

2

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: 1]

[성취기준1-중]

3

[eqn: lim _{x-> INF } {` LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {3x} RIGHT ) ` LEFT ( 1+ {1} over {5x} RIGHT ) RIGHT } ^{15x}}]의 값은?

① [eqn: e^3]	② [eqn: e ^{5]	③ [eqn: e ^{8]

④ [eqn: e ^{12]	⑤ [eqn: e ^{15}]

[성취기준1-중]

4

[eqn: lim _{x`` -> ``0`} {} {e ^{5x} -e ^{3x} -e ^{2x} +1``} over {x ^{2} `} `]의 값은?

① [eqn: 2`]	② [eqn: 3`]	③ [eqn: 4`]

④ [eqn: 6`]	⑤ [eqn: 8`]

[성취기준1-중]

5

다음 중 극한값이 옳지 않은 것은?

① [eqn: lim_{x rarrow0}`(1+x)^{3overx} =e^3]

② [eqn: lim_{x rarrow0}`{e^x -1} overx =1]

③ [eqn: lim_{x rarrowinf}`ln`left(1+ 1overx right)^x =1]

④ [eqn: lim _{x -> 0} {} ` {log` _{2} `(1-x)} over {x} = {1} over {ln`2}]

⑤ [eqn: lim_{x rarrow0}`{3^x -1} overx =ln`3]

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

2. 지수함수와 로그함수의
미분 - ②회

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

6

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim_{x rarrow 0}`xf(x)=2]를 만족시킬 때,

[eqn: lim_{x rarrow 0}`f(x) ln (1+3x)]의 값을 구하시오.

[성취기준1-상]

7

[eqn: lim_{x rarrow inf}`{2^x +3^x+a} over{2^x -3^x} =- 1over3]을 만족시키는 상수 [eqn: a]의

값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준1-상]

8

[eqn: lim _{x``-> ``0} {} {ax+b} over {e ^{x} `ln` LEFT ( 1+x RIGHT )} =3]을 만족시키는 두 상수

[eqn: a,```b]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 9]

[성취기준2-하]

9

함수 [eqn: f(x)=left(x^2 +1)e^x]에 대하여 [eqn: f` prime (1)]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: e]	③ [eqn: 2e]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4e]

[성취기준2-중]

10

다음 중 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: lim_x->0 {` left( {1+x }over {1-x} right)}^{ 1overx}=e] ㄴ. [eqn: lim _{x -> 0} {{6 ^{x} -2 ^{x}} over {x}} =ln`3] ㄷ. [eqn: lim_{x rarrow 0}{{ln(1+x)(1+3x)(1+5x)(1+7x)}over {e^4x -1}}=4]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

[성취기준2-상]

11

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`e ^{x}`ln`x]에 대하여

[eqn: lim _{h` -> `0} {` {f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f LEFT ( 1-3h RIGHT )} over {h}}]

의 값은?

① [eqn: 1 over10e]	② [eqn: 1 over e]	③ [eqn: 10e]

④ [eqn: 12e]	⑤ [eqn: 15e]

[성취기준1-상]

12

오른쪽 그림과 같이 곡선 [eqn: y=ln`x] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP it(t,~ln`t)]와 두 점 [eqn: rmA(1,~0)], [eqn: rmB(3, ~0)]에 대하여

삼각형 [eqn: rmPAB]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때,

[eqn: lim_{t rarrow1+}`{S(t)}overt-1]의 값을 구하시오.

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

함수 [eqn: f(x)=e^3x -1]에 대하여 [eqn: lim_{x rarrow0}`{f^-1 (x)}overx]의 값을 구하시오.

[성취기준2-상]

14

함수 [eqn: f(x)=x^2 `ln`x]에 대하여 [eqn: lim_{x rarrow1}`f(x) over{x-1}]의 값을 구하시오.

Ⅱ

1. 삼각함수의 뜻과 그래프

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 일반각의 뜻을 알고, 주어진 각의 일반각을 구할 수 있다.	상	일반각의 뜻을 알고, 주어진 각의 일반각을 구할 수 있다.	1
	중	주어진 각이 나타내는 동경을 좌표평면에 그릴 수 있다.		1
	하	각의 크기는 회전 방향에 따라 양의 값 또는 음의 값을 가짐을 말할 수 있다.

2 호도법의 뜻을 알고, 각을 호도법과 [eqn: 60]분법으로 나타낼 수 있다.	상	호도법의 뜻을 알고, 각을 호도법과 [eqn: 60]분법으로 나타낼 수 있다.	2, 3	2, 3
	중	특수각을 호도법으로 표현할 수 있다.
	하	라디안의 뜻을 말할 수 있다.

3 삼각함수의 뜻을 알고, 간단한 삼각함수의 값을 구할 수 있다.	상	삼각함수의 뜻을 알고, 간단한 삼각함수의 값을 구할 수 있다.	4, 8, 9	4, 5
	중	동경 위의 한 점의 좌표가 주어졌을 때 삼각함수의 값을 구할 수 있다.	5, 6	6, 13
	하	특수각에 대한 삼각함수의 값을 구할 수 있다.

4 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수의 그래프를 그릴 수 있다.	상	[eqn: y=a`sin(bx+c)+d], [eqn: y=a`cos(bx+c)][eqn: +d], [eqn: y=a`tan(bx+c)+d](단, [eqn: a,``b,``c,``d]는 실수)의 그래프를 그리고, 각 함수의 정의역, 치역, 주기를 구할 수 있다.	7, 10, 13	7, 8, 9
	중	[eqn: y=sin`x`,`y=cos`x,``y=tan`x]의 그래프를 그리고, 각 함수의 정의역, 치역, 주기를 구할 수 있다.
	하	[eqn: y=sin`x], [eqn: y=cos``x], [eqn: y=tan`x]의 그래프를 그릴 수 있다.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

5 삼각함수를 활용하여 간단한 문제를 해결할 수 있다.	상	삼각함수를 활용하여 주어진 구간 안에서 간단한 부등식의 해를 구할 수 있다.	12, 14	11, 12
	중	삼각함수를 활용하여 주어진 구간 안에서 간단한 방정식의 해를 구할 수 있다.	11	10, 14
	하	삼각함수를 활용하여 예각의 범위에서 간단한 방정식의 해를 구할 수 있다.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

[성취기준1-상]

Ⅱ. 삼각함수

1. 삼각함수의 뜻과 그래프 - ①회

중단원 평가 문제

1

좌표평면에 각을 나타내었을 때, 다음 중 동경이 오른쪽 그림과 같지 않은 것은?

① [eqn: 390°]	② [eqn: 750°]

③ [eqn: 1100°]          ④ [eqn: -330°]

⑤ [eqn: -690°]

[성취기준2-상]

2

다음 중 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: 45°= {pi } over {4}] ㄴ. [eqn: 144°= {4} over {5} pi] ㄷ. [eqn: {5} over {3} pi =150°] ㄹ. [eqn: - {7} over {6} pi =-210°]

① ㄱ	② ㄱ, ㄷ              ③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤  ㄴ, ㄷ, ㄹ

[성취기준2-상]

3

중심각의 크기가 [eqn: 120°]이고, 호의 길이가 [eqn: 2 pi `]인 부채꼴의 넓이는?

① [eqn: pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 3pi]

④ [eqn: 4pi]	⑤ [eqn: 5pi]

[성취기준3-상]

4

[eqn: {3} over {2} pi < theta <2 pi]일 때, 다음 식을 간단히 하면?

[eqn: sqrt {sin ^{2} theta } + sqrt {(sin` theta -cos` theta ) ^{2}} + sqrt {cos ^{2} theta }]

① [eqn: -2sin` theta]	② [eqn: -2sin` theta +2cos` theta]

③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2sin` theta]

⑤ [eqn: 2cos` theta]

[성취기준3-중]

5

원점 [eqn: \O]와 점 [eqn: {\P}(-6,~-8)]을 잇는 선분 [eqn: \OP]를 동경으로 하는 각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin`theta+cos`theta]의 값은?

① [eqn: -{ 7} over { 5}]	② [eqn: -{ 5} over { 7}]	③ [eqn: -{ 3} over { 4}]

④ [eqn: { 5} over { 7}]	⑤ [eqn: { 7} over { 5}]

[성취기준3-중]

6

[eqn: theta `]가 제[eqn: `2`]사분면의 각이고, [eqn: sin` theta = {5} over {13}]일 때,

중단원 평가 문제

1. 삼각함수의 뜻과 그래프 - ①회

Ⅱ. 삼각함수

[eqn: 13`cos` theta +12`tan` theta]의 값은?

① [eqn: -17]	② [eqn: -12]           ③ [eqn: -5]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 17]

[성취기준4-상]

7

다음 중 오른쪽 그래프를 나타내는 식은?

① [eqn: y=sin`3x-1]

② [eqn: y=2`sin` { x} over { 3}-1]

③ [eqn: y=2`sin`3x-1]

④ [eqn: y=cos`3x-1]

⑤ [eqn: y=2`cos`3x-1]

[성취기준3-상]

8

[eqn: sin` {5} over {6} pi +cos` LEFT ( - {8} over {3} pi RIGHT ) `+tan` {19} over {3} pi]의 값은?

① [eqn: - sqrt {3}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

[성취기준3-상]

9

[eqn: sin ^{2} `15°+2`sin ^{2} `40°+cos ^{2} `195°+2`cos ^{2} `320°]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[성취기준4-상]

10

다음 중 삼각함수의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?

① [eqn: y=sin`2x]의 주기는 [eqn: 2pi]이다.

② [eqn: y=3`sin`x+1]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

③ [eqn: y=tan`2x]의 주기는 [eqn: pi]이다.

④ [eqn: y=cos`3x]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

⑤ [eqn: y= sqrt { 2}`sin`x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: pi]만큼 평행이동하면 [eqn: y= sqrt { 2}`cos`x]의 그래프와 일치한다.

[성취기준5-중]

11

[eqn: 0 LEQ x＜2 pi]에서 방정식 [eqn: 2`cos` LEFT ( 2x- {pi } over {3} RIGHT ) =1]을

만족시키는 [eqn: x]의 값의 합은?

① [eqn: 0]	② [eqn: pi]	③ [eqn: 4 over 3 pi]

④ [eqn: 2pi]	⑤ [eqn: 8 over3 pi]

[성취기준5-상]

12

[eqn: 0 LEQ x<2 pi]일 때, 부등식 [eqn: {1} over {2} LEQ cos`x]의 해는?

① [eqn: {pi } over {6} LEQ x LEQ {11} over {6} pi]

② [eqn: {pi } over {3} LEQ x LEQ {5} over {3} pi]

③ [eqn: {pi } over {2} LEQ x LEQ {3} over {2} pi]

④ [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {6}] 또는 [eqn: {11} over {6} pi LEQ x LEQ pi]

⑤ [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {3}] 또는 [eqn: {5} over {3} pi LEQ x<2 pi]

서술형 문제

[성취수준4-상]

13

오른쪽 그림과

같이 함수

[eqn: y=sin` { pi} over { 3}x]

의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형에 직사각형 [eqn: \ABCD]가 내접하고 있다. [eqn: bar{\BC}=2]일 때, 이 직사각형의 넓이를 구하시오.

[성취기준5-상]

14

부등식 [eqn: cos^2`theta -3`cos`theta -a+9 ge 0]이 모든 [eqn: theta]에 대하여 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하시오.

[성취기준1-중]

Ⅱ. 삼각함수

1. 삼각함수의 뜻과 그래프 - ②회

중단원 평가 문제

1

각 [eqn: -990°]의 동경이 나타내는 여러 각 중에서 최소의 양의 각의 크기는?

① [eqn: 90°]	② [eqn: 60°]	③ [eqn: 50°]

④ [eqn: 40°]	⑤ [eqn: 30°]

[성취기준2-상]

[eqn: {pi } over {2} < theta < pi]이고, [eqn: 4theta]의 동경과 [eqn: theta]의 동경이 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭일 때, [eqn: theta]의 값은?

2

① [eqn: {7} over {10} pi]	② [eqn: {3} over {4} pi]	③ [eqn: {4} over {5} pi]

④ [eqn: {17} over {20} pi]	⑤ [eqn: {9} over {10} pi]

5

[성취기준2-상]

중심각의 크기가 [eqn: {2} over {3}](라디안)이고, 둘레의 길이가 [eqn: 16]인 부채꼴의 넓이는?

3

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 36]

[성취기준3-상]

4

부등식 [eqn: sin` theta ``cos` theta <0,~sin` theta ``tan` theta >0]을 동시에 만족시키는 각 [eqn: theta]는 제 몇 사분면의 각인가?

① 제[eqn: 1]사분면	② 제[eqn: 2]사분면

③ 제[eqn: 3]사분면	④ 제[eqn: 4]사분면

⑤ 제[eqn: 2], [eqn: 3]사분면

[성취기준3-상]

[eqn: theta]의 동경과 [eqn: 5theta]의 동경이 일치할 때, [eqn: sin LEFT ( theta+ { pi} over { 6} RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: 0<theta<pi])

① [eqn: { 1} over { 2}]	② [eqn: { sqrt { 2} } over 2{ }]	③ [eqn: { sqrt { 3} } over 2{ }]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 0]

[성취기준3-중]

중단원 평가 문제

1. 삼각함수의 뜻과 그래프 - ②회

Ⅱ. 삼각함수

6

직선 [eqn: y=- { 4} over { 3}x] 위의 점 [eqn: {\P}(a,~b)] ([eqn: a<0])에 대하여 선분 [eqn: \OP]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: sin`( pi + theta )+cos`( pi - theta )]의 값은? (단, [eqn: \O]는 원점이다.)

① [eqn: {7} over {5}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: { 1} over { 5}]

④ [eqn: -{ 1} over { 5}]	⑤ [eqn: -{ 3} over { 5}]

[성취기준4-상]

7

함수 [eqn: f(x)=3`cos` LEFT ( 2x- { pi} over { 4} RIGHT )-1]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: -4 le f(x) le 2] ㄴ. 임의의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+2pi)=f(x)]이다. ㄷ. [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x= {pi } over {4}]에 대하여 대칭이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준4-상]

8

다음 함수 중 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)=f(x+ sqrt {2} `)]를 만족하는 것은?

① [eqn: f(x)=cos`2x]

② [eqn: f(x)=sin`2 sqrt {2} x]

③ [eqn: f(x)=sin` pi x]

④ [eqn: f(x)=cos` sqrt {2} pi x]

⑤ [eqn: f(x)=sin` {sqrt {2}} over {2} pi x]

[성취기준4-상]

9

함수 [eqn: y=sin`a LEFT ( x+b RIGHT ) +1]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

(단, [eqn: a>0,``0<b< pi])

① [eqn: {pi } over {2}]	② [eqn: {3} over {4} pi]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: {5} over {4} pi]	⑤ [eqn: {3} over {2} pi]

[성취기준5-중]

10

방정식 [eqn: 3`tan` theta =2`cos` theta]의 모든 해의 합을 구하시오. (단, [eqn: 0 le thetale 2pi])

[성취기준5-상]

11

[eqn: 0<x< pi]에서 부등식 [eqn: 4`sin`x GEQ 1]을 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위가 [eqn: alpha LEQ x LEQ beta]일 때,

[eqn: tan` {alpha + beta } over {4}]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - pi over4]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: pi over 4]	⑤ [eqn: 1]

[성취기준5-상]

12

부등식 [eqn: 2`cos^2`x +3`cos`x -2<0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는? (단, [eqn: 0 le x<2pi])

① [eqn: -{ pi} over { 6}<x< { pi} over { 6}]

② [eqn: { pi} over { 6}<x< { 5} over { 6}pi]

③ [eqn: { pi} over { 3}<x< { 5} over { 3}pi]

④ [eqn: 0 le x< { pi} over { 6}] 또는 [eqn: { 5} over { 6}pi <x<2pi]

⑤ [eqn: 0 le x<pi] 또는 [eqn: { 5} over { 3}pi <x<2pi]

서술형 문제

[성취기준3-중]

13

오른쪽 그림과 같이 원점 [eqn: \O]와 점 [eqn: {\A}(4,~3)]을 잇는 선분 [eqn: \OA]를 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: \OABC]가 있다.

동경 [eqn: \OC]가 나타내는 각을 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: { cos`theta} over { sin`theta}]의 값을 구하시오.

[성취기준5-중]

14

[eqn: x]에 대한 이차방정식

[eqn: x ^{2} -2 sqrt {2} x+2`tan` theta =0]

이 중근을 갖도록 하는 [eqn: theta]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: 0 LEQ theta < pi])

Ⅱ

2. 삼각함수의 미분

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수의 뜻을 알고, 삼각함수 사이의 관계를 이해한다.	상	삼각함수 사이의 관계를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있다.	2	2
	중	주어진 각에 대한 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수의 값을 구할 수 있다.	1	1
	하	코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수의 뜻을 말할 수 있다.

2 삼각함수의 덧셈정리를 이해한다.	상	삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 문제를 해결할 수 있다.	4, 5, 6	4, 5, 6, 12
	중	삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있다.	3	3
	하	삼각함수의 덧셈정리를 말할 수 있다.

3 삼각함수의 극한을 구할 수 있다.	상	[eqn: lim _{x` -> `0} {} {sin`x} over {x} =1]을 이용하여 삼각함수의 극한을 구할 수 있다.	8, 9, 10, 12	8, 9, 10, 13
	중	간단한 삼각함수의 극한을 구할 수 있다.	7	7
	하	그래프를 보고 간단한 삼각함수의 극한을 구할 수 있다.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

4 사인함수와 코사인함수를 미분할 수 있다.	상	사인함수와 코사인함수를 미분하고, 그 과정을 설명할 수 있다.	13
	중	함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법을 이용하여 삼각함수를 미분할 수 있다.	11	11
	하	[eqn: y=sin`x]와 [eqn: y=cos`x]를 미분할 수 있다.

[성취기준1-중]

Ⅱ. 삼각함수

2. 삼각함수의 미분 - ①회

중단원 평가 문제

1

[eqn: theta]가 제[eqn: 4]사분면의 각이고 [eqn: cos` theta = {3} over {5}]일 때,

[eqn: 16`csc` theta ``cot` theta]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

[성취기준1-상]

2

[eqn: {1} over {1+cos` theta } + {1} over {1-cos` theta } = {5} over {2}]일 때, [eqn: cot` theta]의 값은?

[eqn: left(pile{`#`}]단, [eqn: LEFT . rm pi < theta < {3} over {2} pi RIGHT )]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

[성취기준2-중]

3

[eqn: 0< theta < {pi } over {2}]에서 [eqn: tan` theta = sqrt {2}]일 때,

[eqn: sin` LEFT ( theta + {pi } over {3} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {sqrt {6} - sqrt {2}} over {6}]	② [eqn: {sqrt {6} + sqrt {2}} over {6}]

③ [eqn: {3- sqrt {6}} over {6}]	④ [eqn: {3+ sqrt {6}} over {6}]

⑤ [eqn: {2 sqrt {3} + sqrt {6}} over {6}]

[성취기준2-상]

4

[eqn: sin`(x+y)= {1} over {a}], [eqn: sin`(x-y)= {3} over {a}]일 때,

[eqn: {tan`x} over {tan`y}]의 값은? (단, [eqn: a != 0])

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {1`} over {2}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준2-상]

5

두 직선 [eqn: 3x`-5y`+20=0,~ax`-y`-6=0]이

이루는 예각의 크기가 [eqn: {pi } over {4}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

(단, [eqn: a>1])

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

2. 삼각함수의 미분 - ①회

Ⅱ. 삼각함수

6

삼각형 [eqn: rm ABC]에서

[eqn: {cos`A-sin`A} over {cos`A+sin`A} =tan`(B-A)]

일 때, [eqn: rm ANGLE B]의 크기는? [eqn: left(pile{`#`}]단, [eqn: rm ANGLE A != pi over2 RIGHT )]

① [eqn: pi over 6]	② [eqn: pi over 4]	③ [eqn: pi over 3]

④ [eqn: 2 over 3 pi]	⑤ [eqn: 3 over 4 pi]

[성취기준3-중]

7

[eqn: lim _{x -> 0} {` {1-cos`x} over {x ^{2}}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준3-상]

8

[eqn: lim _{x -> pi } {`` {sin`x} over {pi -x}}]의 값은?

① [eqn: -pi]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: pi]

[성취기준3-상]

9

두 함수 [eqn: f(x)=x ^{2}], [eqn: {rmg}(x)=sin`3x]에 대하여

[eqn: lim _{x`-> `0} {} {f({rmg}(x))} over {{rmg}(f(x))}]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

[성취기준3-상]

10

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {1-cos`x} over {ax`sin`x+b} = {1} over {2}]이 성립하도록 하는 두 상

수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

[성취기준4-중]

11

곡선 [eqn: f(x)=sin`x+cos`x] 위의 점 [eqn: LEFT ( pi ,````-1 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: pi]

서술형 문제

[성취기준3-상]

12

오른쪽 그림과 같이

[eqn: ANGLE {rmABC}= theta],

[eqn: ANGLE rm ACB it =3 theta]

인 [eqn: TRIANGLE rmABC]가 있다.

점 [eqn: rmA]에서 변 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때,

[eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {{bar{rmBH}}} over {{bar{rmCH}}}]의 값을 구하시오.

[성취기준4-상]

13

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{````````````cos`x````&```` LEFT ( x LEQ 0 RIGHT )#3x ^{2} +ax+b^`^`&```` LEFT ( x>0 RIGHT )^`^`}}]가 [eqn: x=0]

에서 미분가능하도록 하는 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여

[eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[성취기준1-중]

Ⅱ. 삼각함수

2. 삼각함수의 미분 - ②회

중단원 평가 문제

1

[eqn: theta = {pi } over {6}]일 때, [eqn: 2 sqrt {3} `sec` theta `+ sqrt {3} `cot` theta +2`csc` theta]

의 값은?

① [eqn: 3 sqrt {3}]	② [eqn: 5 sqrt {3}]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 7 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 13]

[성취기준1-상]

2

[eqn: sin` theta `+cos` theta = {2} over {3}]일 때, [eqn: sin ^{3} ` theta +cos ^{3} ` theta]의 값은?

① [eqn: {19} over {27}]	② [eqn: {20} over {27}]	③ [eqn: {7} over {9}]

④ [eqn: {22} over {27}]	⑤ [eqn: {23} over {27}]

[성취기준2-중]

3

[eqn: sin` alpha +cos` beta = {1} over {2} ,````cos` alpha +sin` beta = {sqrt {2}} over {2}]일 때, [eqn: sin`( alpha + beta `)]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 5 over 8]	③ [eqn: - 1 over 3]

④ [eqn: 1 over2]	⑤ [eqn: 1]

[성취기준2-상]

4

두 직선 [eqn: y=-2x], [eqn: y=x+2]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan` theta]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

[성취기준2-상]

5

이차방정식 [eqn: x ^{2} +8x`-3=0]의 두 근이 [eqn: tan`` alpha], [eqn: tan`` beta]일 때,

[eqn: 2`cos ^{2} `( alpha + beta )-2`cos`( alpha + beta )``sin`( alpha + beta )]

[eqn: +sin ^{2} `( alpha + beta )]

의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[성취기준2-상]

Ⅱ. 삼각함수

2. 삼각함수의 미분 - ②회

중단원 평가 문제

6

함수 [eqn: f(x)= sqrt {3} `sin` LEFT ( x- {pi } over {3} RIGHT ) +cos`x+1]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

중단원 평가 문제

2. 삼각함수의 미분 - ②회

Ⅱ. 삼각함수

	<보기>
ㄱ. 주기함수이고 주기는 [eqn: 2 pi]이다. ㄴ. 최댓값은 [eqn: 2]이다. ㄷ. [eqn: y=sin`x+1]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi } over {3}]만큼 평행이동시키면 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 일치한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준3-중]

[eqn: lim _{x -> {5} over {4} pi } {{1-cot ^{2} x} over {cos`x-`sin`x} `}]의 값은?

7

① [eqn: {sqrt {2}} over {4}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

[성취기준3-상]

8

[eqn: lim _{x` -> `0} {} ` {ln(1+2x)} over {tan`3x}]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 2 over3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준3-상]

9

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x` -> `0} {} {f(x)} over {x+3`sin`x} =5]일 때,

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {f(x)} over {x-3`sin`x}]의 값은?

① [eqn: -10]	② [eqn: -5]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 10]

[성취기준3-상]

10

[eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2}} {} {ax+b} over {cos`x} =2]가 성립하도록 하는 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: pi -2]	② [eqn: pi -1]	③ [eqn: {pi -1} over {2}]

④ [eqn: pi +1]	⑤ [eqn: pi +2]

[성취기준4-중]

11

함수 [eqn: f(x)=e ^{x} ` LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT )]에 대하여

[eqn: lim _{h -> 0} {` {f LEFT ( pi +2h RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {h}}]

13

의 값은?

① [eqn: -4 e^pi]	② [eqn: -2 e^pi]	③  [eqn: 0]

④ [eqn: e^pi]	⑤ [eqn: 4 e^pi]

서술형 문제

[성취기준2-상]

12

오른쪽 그림과 같이
두 직각삼각형 [eqn: rmABC]와

[eqn: rmADE]를 겹치게 놓았다.

[eqn: {bar{rmAB}} = {bar{rmDE}} =3],

[eqn: {bar{rmAD}} = {bar{rmBC}} =4]

이고 [eqn: ANGLE rmCAE= theta]라 할 때, [eqn: cos` theta]의 값을 구하시오.

[성취기준3-상]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{` {sin`2x} over {e ^{x} -a} ````&LEFT ( x != 0 RIGHT )#```````````b&LEFT ( x=0 RIGHT ) ^{` ^{`}}}}]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여

[eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: b>0])

1. 여러 가지 미분법

Ⅲ

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 함수의 몫을 미분할 수 있다.	상	[eqn: {{rmg}(x)} over {f(x)}] 꼴의 함수를 미분할 수 있다.	2, 4	1, 3, 13
	중	[eqn: {1} over {f(x)}] 꼴의 함수를 미분할 수 있다.	1
	하	[eqn: y=x ^{n}]([eqn: n]은 정수)의 도함수를 구할 수 있다.	3	2

2 합성함수를 미분할 수 있다.	상	합성함수를 미분할 수 있다.	7, 8, 9, 13	6, 7, 8
	중	간단한 합성함수를 미분할 수 있다.	5, 6	4, 5
	하	[eqn: y=x ^{n}]([eqn: n]은 실수)의 도함수는 [eqn: y'=nx ^{n-1}]임을 말할 수 있다.

3 역함수를 미분할 수 있다.	상	역함수를 미분할 수 있다.	10, 14	10, 11
	중	역함수의 미분법을 이용하여 [eqn: x=y ^{n}]([eqn: n]은 자연수)의 [eqn: {dy} over {dx}]를 구할 수 있다.		9
	하	[eqn: x=y ^{n}]([eqn: n]은 자연수)의 [eqn: {dx} over {dy}]를 구할 수 있다.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

4 이계도함수를 구할 수 있다.	상	이계도함수를 구할 수 있다.	12	12, 14
	중	간단한 함수의 이계도함수를 구할 수 있다.	11
	하	다항함수의 이계도함수를 구할 수 있다.

[성취기준1-중]

Ⅲ. 미분법

1. 여러 가지 미분법 - ①회

중단원 평가 문제

1

함수 [eqn: f`(x)= {2} over {x ^{2} -2}]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( -2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준1-상]

2

함수 [eqn: f(x)= {ax+b} over {x ^{2} -x+1}]에 대하여 [eqn: f`'(0)=-2],

[eqn: f` prime (1)=4]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -2]	③  [eqn: 2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 10]

[성취기준1-하]

3

함수 [eqn: f(x)=1+ { 1} over { x}+ { 1} over { x^2}+cdots+ { 1} over { x^10}]에 대하여

[eqn: lim _{ x`->`0} { ` { f(1+x)-f(1-x)} over { x} }]의 값은?

① [eqn: -110]	② [eqn: -55]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 110]

[성취기준1-상]

4

함수 [eqn: f(x)= {1-sec`x} over {tan`x}]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[성취기준2-중]

5

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(2)=3],

[eqn: f`'(2)=1]일 때, 함수 [eqn: left{f(x) right}^3]의 [eqn: x=2]에서의 미분계수는?

① [eqn: 9]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 45]

[성취기준2-중]

6

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(2x+1)=2x^3 -4x]를 만족시킬 때, [eqn: f`'(3)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

중단원 평가 문제

1. 여러 가지 미분법 - ①회

Ⅲ. 미분법

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준2-상]

7

두 함수 [eqn: f(x)= {x-1} over {x ^{2} +1} ,```{rmg} LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -x-5]의 합성함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( f CIRC {rmg} RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: h prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: - {7} over {2}]	② [eqn: - {3} over {2}]               ③ [eqn: 1]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

[성취기준2-상]

8

함수 [eqn: f(x)= LEFT ( {x+1} over {x} RIGHT ) ^{3}]에 대하여

[eqn: lim _{h` -> `0} {` {f(1+2h)-f(1-h)} over {h}}]의 값은?

① [eqn: -36]	② [eqn: -18]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 36]

[성취기준2-상]

9

함수 [eqn: f(x)=4^{x^2 +x-1}]에 대하여 [eqn: f`'(-1)]의 값은?

① [eqn: -ln`2]	② [eqn: -{ 1} over { 2}`ln`2]	③ [eqn: { 1} over { 2}`ln`2]

④ [eqn: ln`2]	⑤ [eqn: 2`ln`2]

[성취기준3-상]

10

함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 +3x+1]의 역함수를

[eqn: {rmg}(x)]라 할 때, [eqn: {rmg}`'(1)]의 값은?

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 4over3]

④ [eqn: 7over3]	⑤ [eqn: 3]

[성취기준4-중]

11

함수 [eqn: f(x)=tan`x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT ) =2]일 때,

[eqn: LEFT { f`'' LEFT ( theta RIGHT ) RIGHT } ^{2}]의  값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 24]

[성취기준4-상]

12

함수 [eqn: f(x)=e ^{2x} `sin`x]에 대하여 [eqn: x= alpha]가 방정식 [eqn: f`''(x)=0]의 해일 때, [eqn: tan` alpha]의 값은?

[eqn: left(pile{`#`}]단, [eqn: LEFT. - {pi } over {2} <x<0 RIGHT )]

① [eqn: -2]	② [eqn: - {5} over {3}]	③ [eqn: - {4} over {3}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {2} over {3}]

서술형 문제

[성취기준2-상]

13

함수

[eqn: f(x)=cases{{`ln`ax}&{(0<x<1)}#{`be^x-1}^`^`&{(x ge 1)^`^`}]

이 모든 양수 [eqn: x]에 대하여 미분가능할 때, [eqn: { a} over { b}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[성취기준3-상]

14

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: {rmg}(x)]가

[eqn: lim _{h` -> `0} {` {{rmg}(1+3h)-{rmg}(1)} over {h}}=15]

를 만족시키고 [eqn: f(2)=1]일 때, [eqn: f`'(2)]의 값을 구하시오.

[성취기준1-상]

1

함수 [eqn: f(x)= {2x} over {x ^{2} +3}]에 대하여 부등식

[eqn: f` prime (x) GEQ 0]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수는?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

Ⅲ. 미분법

1. 여러 가지 미분법 - ②회

중단원 평가 문제

[성취기준1-하]

2

함수 [eqn: f(x)= {x ^{5} -3x ^{2} +2} over {x ^{3}}]에 대하여 [eqn: f` prime (2)]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: {35} over {8}]

[성취기준1-상]

3

함수 [eqn: f(x)=x`cot `x]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[성취기준2-중]

4

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =2,````f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =1]을 만족시키는 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: {rmg} LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {`3-f LEFT ( x ^{2} -3x RIGHT ) `}]일 때, [eqn: {rmg} prime LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

[성취기준2-중]

5

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]와 함수 [eqn: {rmg}(x)=x^3 -1]에 대하여 합성함수 [eqn: (f CIRC{rmg})(x)=x^3 +3x^2]일 때,

[eqn: f`'(7)]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-상]

중단원 평가 문제

1. 여러 가지 미분법 - ②회

Ⅲ. 미분법

6

[eqn: lim _{x`-> `1} {} {f LEFT ( 4 ^{ln`x} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} =ln`4]를 만족시키는 함수

[eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f` prime (1)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준2-상]

7

함수 [eqn: f(x)= {(x+3) ^{2}} over {(x-4)(x-3) ^{3}}]에 대하여

[eqn: f` prime (5)]의 값을 구하시오.

[성취기준2-상]

함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{{3} over {2}}]과 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: rm g( it x)]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]를

8

[eqn: h(x)= LEFT ( rm g CIRC it f RIGHT ) (x)]라 하자. [eqn: h` prime (0)=15]일 때,

[eqn: rm g` prime (1)]의 값은?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[성취기준3-중]

9

함수 [eqn: y= root {3} of {x+6}]에 대하여 [eqn: x=2]에서의 [eqn: { dy} over { dx}]의 값은?

① [eqn: { 1} over { 12}]	② [eqn: { 1} over { 8}]	③[eqn: { 1} over { 6}]

④ [eqn: { 1} over { 4}]	⑤ [eqn: { 1} over { 2}]

[성취기준3-상]

10

미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,```5 RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -2]이다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: {rmg} LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: {rmg} prime LEFT ( 5 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -{ 1} over { 2]	③ [eqn: { 1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준3-상]

11

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 역함수 [eqn: {rmg}(x)]가

[eqn: lim _{x` -> `1} {` {2- rm g( it x)} over {x-1}} = {1} over {3}]

을 만족시킬 때, [eqn: f`'(2)]의 값을 구하시오.

[성취기준4-상]

12

실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖는 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =3], [eqn: f` prime LEFT ( -1 RIGHT ) =2],

[eqn: lim _{x`-> `-1} {` {f` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) +1} over {x+1} =6}]

을 만족시킬 때, [eqn: f` '' LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

함수

[eqn: f(x)= {cases{{ax+b} over {x ^{2} +1 _{` _{` _{~}}}} ``(x<2)#`x ^{2} -3x````(x GEQ 2)}}]

가 [eqn: x=2]에서 미분가능할 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값을 구하시오.

[성취기준4-상]

14

함수 [eqn: y=e ^{ax} sin`x]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식 [eqn: y''-2 y'+2 y=0]을 만족시키도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

중단원별 [성취기준 및 [성취기준 단위의 [성취기준

Ⅲ

2. 도함수의 활용

성취기준	성취수준		문항 번호 중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준
			①회	②회
1 접선의 방정식을 구할 수 있다.	상	주어진 점에서 곡선 [eqn: y=f(x)]에 그은 접선의 방정식을 구할 수 있다.	4, 13	4, 5
	중	곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하고 기울기가 [eqn: m]인 접선의 방정식을 구할 수 있다.	3	2, 3
	하	곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (a,`f(a))]에서의 접선의 방정식을 구할 수 있다.	1, 2	1, 13

2 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.	상	함수의 증가, 감소를 나타내는 표를 만들고, 그 함수의 그래프의 개형을 그릴 수 있다.	8, 9	8, 9, 14
	중	함수의 그래프의 오목, 볼록을 판별할 수 있다.	5, 6, 7	6, 7
	하	함수의 그래프의 증가, 감소를 판별할 수 있다.

3 방정식과 부등식에 활용할 수 있다.	상	도함수를 활용하여 방정식과 부등식에 관한 문제를 해결할 수 있다.	12, 14
	중	도함수를 활용하여 간단한 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있다.	10, 11	10, 11, 12
	하	주어진 그래프를 보고 방정식의 실근의 개수를 구할 수 있다.

[성취기준1-하]

Ⅲ. 미분법

2. 도함수의 활용 - ①회

중단원 평가 문제

1

곡선 [eqn: y=x rm `ln` it x+2x] 위의 점 [eqn: (e,~3e)]에서의 접선의 [eqn: y]절편은?

① [eqn: -e]	② [eqn: - {1} over {e}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {1} over {e}]	⑤ [eqn: e]

[성취기준1-하]

2

곡선 [eqn: y= {4} over {3x+1}] 위의 점 [eqn: (-1,~-2)]에서의 접선 및 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[성취기준1-중]

3

두 곡선 [eqn: y=x^2]과 [eqn: y=a`ln`x]가 서로 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: e]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: e^2]

[성취기준1-상]

4

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: LEFT ( a,```0 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=e ^{-2x ^{2}}]에 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, [eqn: a]의 값의 범위는 [eqn: a< alpha] 또는 [eqn: a> beta]이다. 이때 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5]

[성취기준2-중]

5

함수 [eqn: f(x)=x-2`sin`x] ([eqn: 0<x<2pi])는 [eqn: x=a]에서 극솟값, [eqn: x=b]에서 극댓값을 갖고,

점 [eqn: (c,~f(c))]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이라 할 때, [eqn: a-b+c]의 값은?

① [eqn: -{ 2} over { 3}pi]	② [eqn: -{ pi} over { 3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: { pi} over { 3}]	⑤ [eqn: { 2} over { 3}pi]

[성취기준2-중]

중단원 평가 문제

2. 도함수의 활용 - ①회

Ⅲ. 미분법

6

함수 [eqn: f(x)=sin`x``cos`x``(0 LEQ x LEQ pi )]의 그래프에서 위로 볼록한 부분의 [eqn: x]의 값의 범위는?

① [eqn: 0<x< pi over4]	② [eqn: 0<x< pi over2]

③ [eqn: pi over 6 <x< pi over3]	④ [eqn: pi over 4 <x< pi over2]

⑤ [eqn: pi over 2 < x <pi]

[성취기준2-중]

7

함수 [eqn: f(x)=4`ln`x+ { 1} over { x}-3x] ([eqn: x>0])의 그래프에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: x= { 1} over { 3}]에서 함수 [eqn: f(x)]는 극값을 갖는다. ㄴ. 곡선은 항상 아래로 볼록하다. ㄷ. [eqn: lim _{ x`->`inf} { `f(x)}=-inf]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준2-상]

8

[eqn: -3 LEQ x LEQ 1]에서 함수 [eqn: f(x)= {x+1} over {x ^{2} +x+1}]의

최댓값과 최솟값의 차는?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {5} over {7}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

[성취기준2-상]

9

함수 [eqn: f(x)=x`ln`x-2x+k]의 최솟값이 [eqn: 2]일 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: e-1]	② [eqn: e]	③ [eqn: e+1]

④ [eqn: e+2]	⑤ [eqn: 2e]

[성취기준3-중]

10

방정식 [eqn: {1} over {2} x ^{2} -1=ln`x]의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.

[성취기준3-중]

11

방정식 [eqn: { ln`x} over { x}=ax]가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값의 범위는?

① [eqn: 0<a< { 1} over { e}]	② [eqn: 0<a< { 1} over { 2e}]

③ [eqn: -{ 1} over { e}<a<0]	④ [eqn: -{ 1} over { e}<a< { 1} over { 2e}]

⑤ [eqn: -{ 1} over { 2e}<a<0]

[성취기준3-상]

12

[eqn: x>0]에서 부등식 [eqn: {ln`x} over {2x ^{2}} LEQ k]가 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은?

① [eqn: {1} over {4e}]	② [eqn: { 1} over { e}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

서술형 문제

[성취기준1-상]

13

점 [eqn: (2,~0)]에서 곡선 [eqn: y=xe^2x]에 그은 두 접선의 기울기를 [eqn: m_1], [eqn: m_2]라 할 때, [eqn: m_1 m_2]의 값을 구하시오.

[성취기준3-상]

14

[eqn: x>0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: cos`x>k-x ^{2}]

이 성립할 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅲ. 미분법

2. 도함수의 활용 - ②회

중단원 평가 문제

1

곡선 [eqn: y=e^x-1] 위의 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y=ax+b]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준1-중]

2

곡선 [eqn: y=ln`(x+1)]의 접선 중에서 기울기가 [eqn: 2]인 접선의 방정식을 [eqn: y=2x+k]라 할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 1-ln`2]	③ [eqn: { 1} over { 2}+ln`2]

④ [eqn: 2-ln`3]	⑤ [eqn: 1-ln` { 3} over { 2}]

[성취기준1-중]

3

곡선 [eqn: y=cos`2x] ([eqn: 0 le x le pi])에 접하고 직선

[eqn: y=-2x+5]에 평행한 직선의 방정식이

[eqn: y=ax+b]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -pi]	② [eqn: - pi over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: pi over 2]	⑤ [eqn: pi]

[성취기준1-상]

4

점 [eqn: (0,~2)]에서 곡선 [eqn: y=2`ln`x]에 그은 접선이 점 [eqn: LEFT ( e ^{2} ,~k RIGHT )]를 지날 때, [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[성취기준1-상]

5

점 [eqn: (a,~0)]에서 곡선 [eqn: y= LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x}]에 오직 하나의 접선을 그을 수 있을 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a>0])

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[성취기준2-중]

중단원 평가 문제

2. 도함수의 활용 - ②회

Ⅲ. 미분법

6

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln`x+ax ^{2} +x]의 그래프의 변곡점이 점 [eqn: LEFT ( 1,```1+a RIGHT )]일 때, [eqn: a+][eqn: f `prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]는 상수이다.)

[성취기준2-중]

7

[eqn: 0<x<1]에 속하는 임의의 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 부등식 [eqn: f LEFT ( { a+b} over { 2} RIGHT )< { f(a)+f(b)} over { 2}]를 만족시키는 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

	<보기>
ㄱ. [eqn: f(x)=e^-x] ㄴ. [eqn: f(x)=x-ln`x] ㄷ. [eqn: f(x)=x+cos`x]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[성취기준2-상]

8

함수 [eqn: f(x)=`sin ^{3} `x+3cos ^{2} `x+1]의 최댓값을

[eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

[성취기준2-상]

9

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +4kx+5 RIGHT ) e ^{x}]이 극값을 갖지 않을 때, 실수 [eqn: k]의 값의 범위는?

① [eqn: -1 LEQ k LEQ 0]	② [eqn: -1 LEQ k LEQ 1]

③ [eqn: 0 LEQ k LEQ 1]	④ [eqn: 0 LEQ k LEQ 2]

⑤ [eqn: 1 LEQ k LEQ 2]

[성취기준3-중]

10

방정식 [eqn: x-cos`x=3]의 실근의 개수를 구하시오.

[성취기준3-중]

11

방정식 [eqn: {1- e^-x} over e^x =k]가 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하시오.

[성취기준3-중]

12

[eqn: - {pi } over {2} <x< {pi } over {2}]에서 방정식 [eqn: sin`2x=kx]가 서로

다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는?

① [eqn: -1<k<0]	② [eqn: -1<k<1]

③ [eqn: -1<k<2]	④ [eqn: 0<k<1]

⑤ [eqn: 0<k<2]

서술형 문제

[성취기준1-하]

13

곡선 [eqn: y=sin`x] 위의 점 [eqn: LEFT ( t,~sin`t RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( `f(t),~0 RIGHT )]이라 할 때,

[eqn: lim _{t-> 0} {{f(t)} over {t}}]의 값을 구하시오.

[성취기준2-상]

14

곡선 [eqn: y=ln`x] ([eqn: 0<x<1]) 위의 한 점 [eqn: {\P}(t,~ln`t)]에서의 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]라 하자. 삼각형 [eqn: \OBA]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때, [eqn: S(t)]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: \O]는 원점이다.)

Ⅳ

1. 여러 가지 적분법

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 치환적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.	상	치환적분법을 이용하여 함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.	3, 4	2, 3
	중	치환적분법을 이용하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( ax+b RIGHT ) ^{n}] 꼴의 정적분을 구할 수 있다.	2
	하	치환적분법을 이용하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( ax+b RIGHT ) ^{n}] 꼴의 부정적분을 구할 수 있다.	1	1

2 부분적분법을 이해하고, 이를 활용할 수 있다.	상	부분적분법을 이용하여 간단한 함수의 정적분을 구할 수 있다.	5	5
	중	부분적분법을 이용하여 간단한 함수의 부정적분을 구할 수 있다.	13	4
	하	부분적분법은 곱의 미분법을 이용한 적분법임을 말할 수 있다.

3 함수 [eqn: y=x ^{n}]([eqn: n]은 실수)의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.	상	함수 [eqn: y=x ^{n}]([eqn: n]은 실수)의 부정적분을 이용하여 함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.	7	7
	중	[eqn: y=x ^{n}]([eqn: n]은 실수) 꼴의 함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.	6	6
	하	[eqn: y=x ^{n}]([eqn: n != `-1]인 실수) 꼴의 함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

4 삼각함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.	상	삼각함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.	8, 9, 10	9, 10, 13
	중	[eqn: y=sin`x,~y=cos`x,~y=tan`x]의 정적분을 구할 수 있다.
	하	[eqn: y=sin`x,~y=cos`x,~y=tan`x]의 부정적분을 구할 수 있다.		8

5 지수함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.	상	지수함수의 부정적분과 정적분을 구할 수 있다.	12, 14	12, 14
	중	[eqn: y=e ^{x} ,~y=a ^{x}] 꼴의 함수의 정적분을 구할 수 있다.		11
	하	[eqn: y=e ^{x} ,~y=a ^{x}] 꼴의 함수의 부정적분을 구할 수 있다.	11

[성취기준1-하]

1

등식 [eqn: int _{} ^{} {LEFT ( 3x+1 RIGHT ) ^{5} dx= {1} over {a} LEFT ( 3x+1 RIGHT ) ^{b} +C} `]가 성립할 때, 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

(단, [eqn: C`]는 적분상수이다.)

① [eqn: 12]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -8]

[성취기준1-중]

2

정적분 [eqn: int _{0} ^{1} {} 2x(x ^{2} +1) ^{3} dx]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: 4]

[성취기준1-상]

3

다음 중 옳지 않은 것은? (단, [eqn: C`]는 적분상수이다.)

① [eqn: int _{} ^{} {(2x-1) ^{3} dx`} = {1} over {8} (2x-1) ^{4} +C]

② [eqn: int _{} ^{} {} 2x(x ^{2} +1) ^{3} dx= {1} over {4} LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{4} +C]

③ [eqn: int _{0} ^{3} {x sqrt {4-x} `dx= {94} over {15}}]

④ [eqn: int _{1} ^{e} {{LEFT ( ln`x RIGHT ) ^{2}} over {x} `dx} = {1} over {3}]

⑤ [eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( 1-cos`x RIGHT ) ^{2} `sin`x} `dx= {pi } over {3}]

[성취기준1-상]

4

미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {x+1} over {x ^{2} +2x+2}], [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =3]

일 때, [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {3} `ln`2-3]	② [eqn: {1} over {3} `ln`2]

③ [eqn: {1} over {2} `ln`2-3]	④ [eqn: {1} over {2} `ln`2]

⑤ [eqn: {1} over {2} `ln`2+3`]

[성취기준2-상]

5

함수 [eqn: f(x)=2x`ln`x]일 때, 정적분

[eqn: int_2 ^4 f(x)dx- int_3 ^4 f(x)dx+ int_1 ^2 f(x)dx]

의 값은?

① [eqn: 9`ln`3]	② [eqn: 9`ln`3-4]	③ [eqn: 5`ln`3]

Ⅳ. 적분법

1. 여러 가지 적분법 - ①회

중단원 평가 문제

④ [eqn: 5`ln`3-4]	⑤ [eqn: 3`ln`3]

[성취기준3-중]

중단원 평가 문제

1. 여러 가지 적분법 - ①회

Ⅳ. 적분법

6

함수  [eqn: f(x)= int _{} ^{} {{LEFT ( sqrt {x} -1 RIGHT ) ^{2}} over {x} dx}]에 대하여

[eqn: f(1)=-3]일 때, [eqn: f(4)]의 값은?

① [eqn: ln`2-4]               ② [eqn: ln`2+2]          ③ [eqn: 2`ln`2-7]

④ [eqn: 2`ln`2-4]       ⑤ [eqn: 2`ln`2+2]

[성취기준3-상]

7

[eqn: x>0]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]에 대하여

[eqn: F(x)=xf(x)-ln`x]

가 성립한다. [eqn: f(1)=2]일 때, [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[성취기준4-상]

8

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {tan ^{2} `x`dx}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) =0]일 때, [eqn: f LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {pi } over {2}]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {3} over {2} pi]

④ [eqn: {pi } over {2} -2]	⑤ [eqn: {5} over {2} pi +1]

[성취기준4-상]

9

미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[eqn: LEFT { ln`f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } prime = {x`cos`x`} over {f LEFT ( x RIGHT )}]

가 성립하고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -pi]	② [eqn: - pi over 2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: pi over 2]	⑤ [eqn: pi]

[성취기준4-상]

10

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6`cos`x+2 int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) `sin`t`dt}]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( {pi } over {3} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 3 sqrt {3} -6]	② [eqn: 3 sqrt {2} -6]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -9]

[성취기준5-하]

11

등식

[eqn: int _{} ^{} {{27 ^{x} -1} over {3 ^{x} -1} dx=a`·`9 ^{x} +b`·`3 ^{x} +x+C}]

가 성립할 때, 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: {a} over {b}]의 값은?

(단, [eqn: C`]는 적분상수이다.)

① [eqn: -2]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[성취기준5-상]

12

함수 [eqn: f`(x)= int _{} ^{} {e ^{cos`x} `sin`x`dx}]에 대하여

[eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {e}]	③ [eqn: 1- {1} over {e}]

④ [eqn: 1+ {1} over {e}]	⑤ [eqn: 2- {1} over {e}]

서술형 문제

[성취기준2-중]

13

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f` prime (x)=2x`ln`x]이고 [eqn: f(x)]

의 극솟값이 [eqn: - {1} over {2}]일 때, [eqn: f(e)]의 값을 구하시오.

[성취기준5-상]

14

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[eqn: a _{n} =ln`3 int _{0} ^{n} {3 ^{x} `dx`` LEFT ( n=0,~1,~2,~ CDOTS RIGHT )}]

일 때, 급수 [eqn: sum _{n=0} ^{INF } {1} over {1+a _{n}}]의 값을 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅳ. 적분법

1. 여러 가지 적분법 - ②회

중단원 평가 문제

1

부정적분 [eqn: int (3x-1)^4 dx]를 구하면?

(단, [eqn: C`]는 적분상수이다.)

① [eqn: {1} over {5} LEFT ( 3x-1 RIGHT ) ^{5} +C]

② [eqn: {2} over {5} LEFT ( 3x-1 RIGHT ) ^{5} +C]

③ [eqn: {3} over {5} LEFT ( 3x-1 RIGHT ) ^{5} +C]

④ [eqn: {1} over {15} LEFT ( 3x-1 RIGHT ) ^{5} +C]

⑤ [eqn: {4} over {15} LEFT ( 3x-1 RIGHT ) ^{5} +C]

[성취기준1-상]

2

정적분 [eqn: int _{-1} ^{0} {{x} over {sqrt {x ^{2} +1}} dx}]의 값은?

① [eqn: - sqrt {2}]	② [eqn: 1][eqn: - sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {2} -1]

④ [eqn: 2- sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt {2}]

[성취기준1-상]

3

함수 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {LEFT ( 1-sin`x RIGHT ) ^{2} `cos`x`dx}]에 대하여 [eqn: f(0)= {2} over {3}]일 때, [eqn: f(- pi )]의 값은?

① [eqn: - {2} over {3}]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

[성취기준2-중]

4

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 2x+1 RIGHT ) e ^{x}} dx]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-1]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: e]	② [eqn: 2e]                  ③ [eqn: 2e ^{2}]

④ [eqn: 3e ^{2}]               ⑤ [eqn: 4e ^{2}]

[성취기준2-상]

5

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수가 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =cos`2x`+sin`x]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은 [eqn: M], 극솟값은 [eqn: m]이다. 이때 [eqn: M-m]의 값은?

① [eqn: 3 over2]	② [eqn: {3 sqrt {3}} over {2}]	③ [eqn: 2root3]

④ [eqn: 2root5]	⑤ [eqn: {5root5} over 2]

[성취기준3-중]

중단원 평가 문제

1. 여러 가지 적분법 - ②회

Ⅳ. 적분법

6

부정적분 [eqn: int x-7 over {x^2 -2x-3} dx]를 구하면?

(단, [eqn: C`]는 적분상수이다.)

① [eqn: {1} over {2} `ln` LEFT | {x+1} over {x-3} RIGHT | +C]

② [eqn: ln` LEFT | {x+1} over {x-3} RIGHT | +C]

③ [eqn: ln` LEFT | LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) RIGHT | +C]

④ [eqn: {1} over {2} `ln` LEFT | x+1 RIGHT | -ln LEFT | x-3 RIGHT | +C]

⑤  [eqn: 2`ln` LEFT | x+1 RIGHT | -ln LEFT | x-3 RIGHT | +C]

[성취기준3-상]

7

정적분 [eqn: int _{0} ^{2} {{x ^{2}} over {sqrt {x ^{3} +1}} dx}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {5} over {3}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {7} over {3}]

[성취기준4-하]

8

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {{sin ^{2} `x} over {1-cos`x}} dx]에 대하여

[eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: f( pi )]의 값은?

① [eqn: pi -2]	② [eqn: pi -1]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: pi +1]	⑤ [eqn: pi +2]

[성취기준4-상]

9

정적분

[eqn: int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {} (sec`x+csc`x) ^{2} `dx]

[eqn: - int _{{pi } over {3}} ^{{pi } over {6}} {} (sec`y-csc`y) ^{2} `dy]

의 값은?

① [eqn: root3 over 3]	② [eqn: {2root3} over 3]	③ [eqn: root3]

④ [eqn: 2root3]	⑤ [eqn: {8 root3} over 3]

[성취기준4-상]

10

모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(x)=sin`x+3 int _{0} ^{{pi } over {2}} {} f(t)`cos`t`dt]

가 성립할 때, [eqn: f left( pi over 2 right)]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

[성취기준5-중]

11

곡선 [eqn: y=3 ^{x}] 위의 한 점

[eqn: rmP LEFT (it x,```y RIGHT )]에서의 접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 [eqn: theta LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 정적분

[eqn: int _{0} ^{1} {tan` theta LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]

③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]

⑤ [eqn: 4]

[성취기준5-상]

12

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``````````x&`` LEFT ( -1 LEQ x LEQ 1 RIGHT )#2x+1^`^`^`&``` LEFT ( 1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )^`^`^`}}]

일 때, 정적분 [eqn: int _{-1} ^{2} {e ^{x} `f LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

① [eqn: e ^{2}-2]	② [eqn: 3e^2]	③ [eqn: 3e^2 -e]

④ [eqn: e^2 + 2 over e]	⑤ [eqn: 3e ^{2} -e+ {2} over {e}]

서술형 문제

[성취기준4-상]

13

함수 [eqn: f(x)= int _{} ^{} {x`sin`x`dx}]에 대하여 [eqn: f(0)=0]일 때, 정적분 [eqn: int _{{pi } over {2}} ^{{3} over {2} pi } {e ^{f(x)} x`sin`x`dx}]의 값을 구하시오.

[성취기준5-상]

14

함수 [eqn: f(t)= int _{0} ^{1} {} (e ^{x} -tx) ^{2} dx]가 [eqn: t=a]에서 최솟값을 가질 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

중단원별 성취기준 및 성취기준 단위의 성취수준

2. 정적분의 활용

Ⅳ

성취기준	성취수준		문항 번호
			①회	②회
1 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.	상	정적분을 이용하여 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.	7, 8	6, 7, 8, 12
	중	정적분을 이용하여 곡선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.	5, 12	4, 5
	하	정적분을 이용하여 간단한 곡선과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구할 수 있다.	1, 2, 3, 4, 6	1, 2, 3

2 입체도형의 부피를 구할 수 있다.	상	정적분을 이용하여 입체도형의 부피를 구할 수 있다.	11	13
	중	단면의 넓이가 주어진 입체도형의 부피를 정적분을 이용하여 구할 수 있다.	9, 10, 13	10, 11
	하	단면의 넓이가 주어진 입체도형의 부피를 정적분을 이용하여 표현할 수 있다.		9

[성취기준1-하]

1

곡선 [eqn: y=e ^{x}]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=-1], [eqn: x=2]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: e ^{2}]	② [eqn: e ^{2} +e]	③ [eqn: e ^{2} + {1} over {e}]

④ [eqn: e ^{2} -e]	⑤ [eqn: e ^{2} - {1} over {e}]

[성취기준1-하]

2

곡선 [eqn: y=sin`x+cos`x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [eqn: left(pile{`#`}]단, [eqn: LEFT. - {pi } over {4} LEQ x LEQ {3} over {4} pi RIGHT )]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 4 sqrt {2}]

Ⅳ. 적분법

2. 정적분의 활용 - ①회

중단원 평가 문제

[성취기준1-하]

3

곡선 [eqn: y=2`cos`x`` LEFT ( 0 LEQ x LEQ {pi } over {2} RIGHT )]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: a], 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=4]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+3b]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

Ⅳ. 적분법

2. 정적분의 활용 - ①회

중단원 평가 문제

[성취기준1-하]

4

곡선 [eqn: y= sqrt {x}]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=a]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: {16} over {3}]이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

[성취기준1-중]

5

다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y= {2x} over {x ^{2} +1}]와 직선

[eqn: y=x]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 1]	② [eqn: ln`2]	③ [eqn: 2`ln`2]

④ [eqn: 2`ln`2-1]	⑤ [eqn: 2`ln`2+1]

[성취기준1-하]

중단원 평가 문제

2. 정적분의 활용 - ①회

Ⅳ. 적분법

6

두 곡선 [eqn: y= sqrt {x+1}], [eqn: y= sqrt {-x+1}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

[성취기준1-상]

7

[eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {2}]에서 두 곡선 [eqn: y=sin`x],

[eqn: y=a`cos`x]와 직선 [eqn: x= {pi } over {2}]로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: {1} over {2}]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

[성취기준1-상]

8

두 곡선 [eqn: y=e ^{2x}], [eqn: y=3e ^{x} -2]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 4`ln`2- {5} over {2}]	② [eqn: 4`ln`2- {3} over {2}]	③ [eqn: 2`ln`2]

④ [eqn: {3} over {2} -2`ln`2]	⑤ [eqn: {7} over {2} -2`ln`2]

[성취기준2-중]

9

어떤 그릇에 물을 채우는데, 수면의 높이가 [eqn: x]일 때의 수면의 넓이 [eqn: S(x)]는 [eqn: S(x)= 3over5 x^2 +2x]가 된다고 한다. 수면의 높이가 [eqn: 5]일 때, 그릇에 채워진 물의 부피는?

① [eqn: 50]	② [eqn: 60]	③ [eqn: 70]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 90]

[성취기준2-중]

10

어떤 그릇에 담긴 물의 깊이가 [eqn: x``rmcm]일 때, 물의 부피 [eqn: V]는

[eqn: V= {1} over {2} e ^{2x} -e ^{x} + {1} over {2} `` LEFT ( rm cm ^{3} RIGHT )]

이다. 수면의 넓이가 [eqn: 20`` rm cm ^{2}]일 때의 물의 깊이를 구하시오.

[성취기준2-상]

11

곡선 [eqn: y= sqrt {1-x ^{2}}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

① [eqn: 1} over {3]	② [eqn: {sqrt {2}} over 3]	③ [eqn: {sqrt {3}} over 3]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3root3}over 2]

서술형 문제

[성취기준1-중]

12

곡선 [eqn: y=ln`x]와 이 곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( e,~1 RIGHT )]에서의 접선 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[성취기준2-중]

13

어떤 입체도형을 밑면으로부터의 높이가 [eqn: x] [eqn: LEFT ( 0<x LEQ 3 RIGHT )]인 지점에서 밑면에 평행한 평면으로 자른 단면은 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {16-x ^{2}}]인 원이다. 이 입체도형의 부피가 [eqn: k pi]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[성취기준1-하]

Ⅳ. 적분법

2. 정적분의 활용 - ②회

중단원 평가 문제

1

곡선 [eqn: y=ln LEFT ( x-1 RIGHT )]과 [eqn: y]축 및 두 직선 [eqn: y=-2],

[eqn: y=1]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: e- {1} over {e}]	② [eqn: e- {1} over {e ^{2}}]          ③ [eqn: e- {1} over {e ^{2}} +1]

④ [eqn: e- {1} over {e ^{2}} +2]	⑤ [eqn: e- {1} over {e ^{2}} +3]

[성취기준1-하]

2

곡선 [eqn: y= sqrt {2} `sin`x- sqrt {2} `cos`x]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x= pi]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 2 pi]

[성취기준1-하]

3

곡선 [eqn: y= {1-x} over {x+a}]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이가 [eqn: 2`ln`2-1]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[성취기준1-중]

4

오른쪽 그림과 같이 곡선 [eqn: y= root {3} of {x-1}]과 직선 [eqn: y=x-1]로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

[성취기준1-중]

5

곡선 [eqn: y=e ^{-x}]과 원점에서 이 곡선에 그은 접선 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

① [eqn: e]	② [eqn: e-1]	③ [eqn: {e} over {2}]

④ [eqn: {e} over {2} -1]	⑤ [eqn: {e} over {2} +1]

[성취기준1-상]

중단원 평가 문제

2. 정적분의 활용 - ②회

Ⅳ. 적분법

6

두 곡선 [eqn: y=e^x], [eqn: y=e^2x]과 두 직선 [eqn: x=-ln`2],

[eqn: x=ln`2]로 둘러싸인 도형의  넓이는?

① [eqn: 1 over 8]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 5 over 8]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 7 over 8]

[성취기준1-상]

7

곡선 [eqn: y=k`cos`x]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 곡선 [eqn: y=sin`x]가 이등분하도록 하는 양수 [eqn: k]의 값은? [eqn: left(pile{`#`}]단, [eqn: LEFT . 0 LEQ x LEQ {pi } over {2} RIGHT )]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

[성취기준1-상]

8

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln`x]의 역함수를 [eqn: {rmg} LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,

[eqn: int _{1} ^{e} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{0} ^{1} {{rmg} LEFT ( x RIGHT ) dx}}]

의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {e} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 2e]

[성취기준2-하]

9

높이가 [eqn: 8]인 그릇이 있다. 그릇에 담긴 물의 깊이가 [eqn: x]일 때, 수면은 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {2x ^{2} +3}]인 정사각형이다. 이 그릇의 부피를 나타내는 식으로 옳은 것은?

① [eqn: int _{0} ^{8} {sqrt {2x ^{2} +3} dx}]

② [eqn: int _{0} ^{8} {LEFT ( 2x ^{2} +3 RIGHT ) dx}]

③ [eqn: {1} over {2} int _{0} ^{8} {sqrt {2x ^{2} +3} dx}]

④ [eqn: {1} over {2} int _{0} ^{8} {LEFT ( 2x ^{2} +3 RIGHT ) dx}]

⑤ [eqn: int _{0} ^{8} {LEFT ( 2x ^{2} +3 RIGHT ) ^{2} dx}]

[성취기준2-중]

10

높이가 [eqn: 10` rm `cm]인 그릇을 높이가 [eqn: x``rmcm]인 지점에서 밑면에 평행하게 자른 단면은 한 변의 길이가

[eqn: sqrt {x+2} `e ^{{x} over {2}} `` rm cm]인 정사각형이다. 이 그릇의 부피는?

① [eqn: LEFT ( 10e ^{10} -1 RIGHT )][eqn: `` rm cm ^{3}]	② [eqn: 10e ^{10}][eqn: `` rm cm ^{3}]

③ [eqn: LEFT ( 11e ^{10} -2 RIGHT )][eqn: `` rm cm ^{3}]        ④ [eqn: LEFT ( 11e ^{10} -1 RIGHT )][eqn: `` rm cm ^{3}]

⑤ [eqn: 11e ^{10}][eqn: `` rm cm ^{3}]

[성취기준2-중]

11

오른쪽 그림과 같이 높이가 [eqn: 4]인 입체도형이 있다. 높이가 [eqn: h] ([eqn: 0<h<4])인 지점에서 윗면에 평행하게 자른 단면의 넓이가 [eqn: sin` {pi h} over {8}]라 한다. 높이가 [eqn: a]인 지점에서 윗면에 평행

하게 이 입체도형을 자를 때 생기는 아래쪽의 입체도형과 위쪽의 입체도형의 부피를 각각 [eqn: V _{1}], [eqn: V _{2}]라 하자. [eqn: V _{2} -V _{1} = {8} over {pi } LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<a<4])

서술형 문제

[성취기준1-상]

12

다음 그림과 같이 곡선 [eqn: y=log _{a} `x]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=p], [eqn: x=q]로 둘러싸인 도형을 곡선

[eqn: y=log _{b} `x]가 두 부분 [eqn: \A], [eqn: \B]로 나눌 때, [eqn: \A], [eqn: \B]의 넓이를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. 이때 [eqn: beta over alpha]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 1<a<b], [eqn: 1<p<q])

[성취기준2-상]

13

오른쪽 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 3], 높이가 [eqn: 6]인 원기둥이 있다. 밑면의 중심을 지나고, 밑면과 [eqn: 60°]의 각을 이루는 평면으로 이 원기둥을 자를 때 생기는 두 입체도형 중에서 작은 것의 부피

를 구하시오.

정답 및 풀이

미적분Ⅱ

앞서 제시한 문제의 정답과 풀이를 수록하였습니다.

학교 시험 출제에 문제를 이용할 때 참조하십시오.

바른답 ․ 알찬풀이

I. 지수함수와 로그함수

1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프 - ①회
중단원 평가 문제
1.	[eqn: 2]	2.	③	3.	⑤
4.	[eqn: 100]	5.	①	6.	③
7.	③	8.	①	9.	④
10.	②	11.	⑤	12.	④
13.	[eqn: 6]	14.	[eqn: 44]년 후

1

[eqn: f(0)= a^-n = 1over2], [eqn: f(2) =a^2m-n =8]에서

[eqn: a ^{2m} `·` {1} over {2} =8], [eqn: a^2m =16]    [eqn: therefore` a^m =4]

[eqn: THEREFORE `f(1)=a ^{m-n} =a ^{m} `·`a ^{-n} =4`·` {1} over {2} =2]

2

[eqn: 3f(2x)-2f(x)][eqn: =3`log` _{2} `2x-2`log` _{2} `x]
[eqn: =3(1+log` _{2} `x)-2`log` _{2}`x]
[eqn: =3+log`_2`x=log`_2`8x]
[eqn: =f(8x)]

3

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2 ^{2} =4]

ㄴ. [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =2 ^{8} ,````f LEFT ( 2 RIGHT ) `f LEFT ( 4 RIGHT ) =2 ^{2}` ·` 2 ^{4} =2 ^{6}]이므로

[eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) != f LEFT ( 2 RIGHT ) `f LEFT ( 4 RIGHT )]

ㄷ. [eqn: f LEFT ( 16 RIGHT ) =2 ^{16} = LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{8} = LEFT { f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT } ^{8}]

ㄹ. [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) =2 ^{10} ,```` {f LEFT ( 12 RIGHT )} over {f LEFT ( 2 RIGHT )} = {2 ^{12}} over {2 ^{2}} =2 ^{10}]이므로

[eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) = {f LEFT ( 12 RIGHT )} over {f LEFT ( 2 RIGHT )}]

따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

4

함수 [eqn: y= 5^x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동한 그래프의 식은
[eqn: y-4 = 5^x+2]    [eqn: THEREFORE `y=25`·`5 ^{x} +4]

함수 [eqn: y=25`·`5 ^{x} +4]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은

[eqn: -y=25`·`5 ^{x} +4]    [eqn: THEREFORE `y=-25`·`5 ^{x} -4]

따라서 [eqn: a=-25], [eqn: b=-4]이므로

[eqn: ab=100]

5

[eqn: bar{rmAB}=2]이므로

[eqn: log`_2`b-log`_2 `a=log`_2 `b over a =2]

[eqn: THEREFORE `][eqn: b over a =4]

6

[eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 밑을 모두 [eqn: 5]로 바꾸면

[eqn: A=][eqn: log_root5 `2 = log_{5^{1over2}}`2 = 2` log_5`2 = log_5`4]

[eqn: B=][eqn: log_25`9 = log_{5^2}`3^2 = log_5`3]

[eqn: C=][eqn: log_{1over5} `1over6 = log_{5^-1} `6^-1 = log_5`6]

로그함수 [eqn: y=log`_5``x]는 밑이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값도 증가한다.

따라서 세 수를 작은 것부터 차례로 나열하면

[eqn: B], [eqn: A], [eqn: C]

7

함수 [eqn: y=3 ^{x-2} +k]의 그래프가 제[eqn: `2`]사분면을 지나지 않으려면 오른쪽 그림과 같이 [eqn: y]축과 원점에서 만나거나 그 아래에서 만나야 한다.

즉, [eqn: y]절편이 [eqn: 0]보다 작거나 같아야 하므로

[eqn: 3 ^{0-2} +k LEQ 0]

따라서 [eqn: k LEQ - {1} over {9}]이므로 구하는 최댓값은 [eqn: - {1} over {9}]이다.

8

[eqn: y=2 ^{x} `·`3 ^{-x+1} =2 ^{x} `·`3 ^{-x} `·`3 ^{1} =3`·` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x}]

[eqn: x=-2]일 때, [eqn: M=3`·` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{-2} = {27} over {4}]

[eqn: x=3]일 때, [eqn: m=3`·` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} = {8} over {9}]

[eqn: THEREFORE `Mm= {27} over {4} `·` {8} over {9} =6]

9

[eqn: 1 over {log`_2`x} + 1 over {log`_3`x}+ 1 over {log`_5`x}]

[eqn: =log`_x`2 + log`_x`3 +log`_x`5]

[eqn: =log`_x`(2`·`3`·`5)]

[eqn: =log`_x`30 =1]

[eqn: therefore`x=30]

10

처음 양의 [eqn: 1over2]로 줄어드는 데 [eqn: 6]시간이 걸리므로 [eqn: 6x]시간 후의 액체의 양은 처음 양의 [eqn: left( 1over2 right) ^x]으로 줄어든다.

이때 [eqn: 125 over 1000 = 1over8]이므로

[eqn: left( 1over2 right) ^x = 1over8 = left( 1over2 right)^3]

[eqn: therefore`x=3]

따라서 경과한 시간은 [eqn: 6`·`3=18], 즉 [eqn: 18]시간이다.

11

진수의 조건에서

[eqn: x^2 -2x+3=(x-1)^2 +2>0]

이므로 [eqn: x]는 모든 실수이다.

[eqn: log`_{1over3}`left(x^2 -2x+3 right )geq -1]에서

[eqn: log`_{1over3}`left(x^2 -2x+3 right )geq log`_{1over3}`left(1 over3 right)^-1]

[eqn: x^2 -2x+3le3]

[eqn: x^2 -2x le0]

[eqn: therefore`0le x le2]

따라서 [eqn: x]의 최댓값은 [eqn: 2]이다.

12

[eqn: 4 ^{x} -6`·`2 ^{x} +8=0]에서

[eqn: LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{2} -6`·`2 ^{x} +8=0]

[eqn: 2^x =t] ([eqn: t>0])로 놓으면

[eqn: t^2 -6t +8=0], [eqn: (t-2)(t-4)=0]

[eqn: LEFT ( 2 ^{x} -2 RIGHT ) LEFT ( 2 ^{x} -4 RIGHT ) =0]

[eqn: 2 ^{x} =2] 또는 [eqn: 2 ^{x} =4]

∴ [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

∴ [eqn: alpha + beta =1+2=3]

13

[eqn: log`_2`x=t]라 하면 주어진 함수는

[eqn: y=t^2 + a over 2 t+2]

이 함수가 [eqn: x= 1 over 4], 즉 [eqn: t=log`_2`1over4 =-2]일 때,
최솟값 [eqn: b]를 가지므로

[eqn: b][eqn: =(-2)^2 + a over 2 (-2)+2]
[eqn: =4-a+2=6-a]

[eqn: therefore`a+b=6]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: log`_2`x=t]로 놓고 함수 구하기	30 %
	[eqn: y]가 최소가 되는 [eqn: t]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: a+b]의 값 구하기	30 %

14

처음의 질량을 [eqn: a], [eqn: n]년 후 질량이 처음 질량의 [eqn: 1over20] 이하가 된다고 하면  [eqn: a left(1 over2 right)^{n over10}le 1over20 a], [eqn: left(1 over2 right)^{n over10}le 1over20]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: n over10`log`1over2 le log`1over20], [eqn: - n over10`log`2 le -log`20]

[eqn: n over10`log`2 ge log`2+1]    [eqn: therefore`n ge{0.3+1}over0.3 times10=43.33cdots]

따라서 [eqn: 44]년 후에 처음 질량의 [eqn: 1 over20] 이하가 된다.

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	부등식 세우기	40 %
	부등식 풀기	40 %
답 구하기	처음 질량의 [eqn: 1 over20] 이하가 되는 것은 몇 년 후인지 구하기	20 %

1. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프 - ②회
중단원 평가 문제
1.	⑤	2.	[eqn: 4]	3.	④
4.	②	5.	②	6.	③
7.	⑤	8.	④	9.	①
10.	[eqn: 72]	11.	[eqn: 6]시간 후
12.	②	13.	[eqn: 49 over10]	14.	[eqn: 10]

1

[eqn: f(x)=2^x+1]에서

[eqn: f(-x)][eqn: =2 ^{-x+1} =2 ^{-(x+1)+2} =2 ^{-(x+1)} `·`2 ^{2}]
[eqn: = 4over 2^x+1 = 4overf(x)]

2

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: rmg(itx)]이므로

[eqn: rmg(ita)=3]에서 [eqn: f(3)=a]

[eqn: therefore` a= left( 1over5 right)^3-3 +1 =2]

[eqn: rmg(6)=itb]에서 [eqn: f(b)=6]

[eqn: left( 1over5 right) ^b-3 +1 =6], [eqn: 5^-b+3 = 5^1]    [eqn: therefore`b=2]

[eqn: THEREFORE `ab=2`·`2=4]

3

ㄱ. [eqn: x=3]일 때 [eqn: log` _{a} `x>x]이므로 [eqn: log` _{a} `3>3]

ㄴ. [eqn: log`_a`8][eqn: =log` _{a} `(2`·`4)=log` _{a} `2+log` _{a} `4]

[eqn: =2+4=6]

ㄷ. 함수 [eqn: y=log` _{a} `x]의 그래프가 점 [eqn: (2,~2)]를 지나므로 [eqn: 2=log` _{a} `2]
[eqn: THEREFORE `log` _{a} ` sqrt {2} = {1} over {2} `log` _{a} `2=1]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

4

ㄴ. [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값도 증가한다.

ㄷ. 주어진 함수의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동하면 함수
[eqn: y=log _{3} `x]의 그래프와 겹쳐진다.

ㄹ. 그래프의 점근선의 방정식은 [eqn: x=2]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

5

[eqn: y=3 ^{x}]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: y=3 ^{-x}]

이 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동하면

[eqn: y-3=3 ^{-(x+2)}]    [eqn: THEREFORE `][eqn: y= {1} over {9} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} +3]

따라서 [eqn: a= {1} over {9} ,```b=3]이므로

[eqn: 9a+b= 9`· `{1} over {9} +3= 4]

6

[eqn: A= 1over root5 =5^{- 1over2}]

[eqn: B= root {3} of {0.04} = root 3 of {1over5^2} = 5^{- 2over3}]

[eqn: C=root{10} of{0.2^3}=root 10 of {1over 5^3}= 5^{- 3over10}]

이때 [eqn: - 2over3 < - 1over2 < - 3over 10]이고 밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: 5^{- 2over3} < 5^{ - 1 over2} < 5^ {- 3over10}]

[eqn: therefore``B<A<C]

7

주어진 지수함수는 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값은 감소하므로 [eqn: x ^{2} -2x-1]의 값이 최소일 때 [eqn: y]의 값이 최대가 된다.

이때 [eqn: x ^{2} -2x-1=(x-1) ^{2} -2]에서 [eqn: x ^{2} -2x-1]의 최솟값은 [eqn: -2]이므로 구하는 최댓값은

[eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{-2} =9]

8

곡선 [eqn: y=log` _{2} `(x-1)+2]와 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭인 곡선은 역함수 관계에 있으므로

[eqn: y=log` _{2} `(x-1)+2]에서

[eqn: log` _{2} `(x-1)=y-2], [eqn: x-1 = 2^{y-2]   [eqn: therefore`x= 2^{y-2}+1]

이때 [eqn: x]와 [eqn: y]를 바꾸면 [eqn: y=2^{x-2}+1={1over4}`·`2^x +1]

9

[eqn: 8^{2x+3}= 4root {3}of2]에서 [eqn: 2^{3(2x+3)}= left(2^7 right)^{1over3]

[eqn: 6x+9= 7over3]    [eqn: therefore`x=- 10over9]

10

[eqn: log` _{3} `x`·`log` _{2} `y][eqn: = {log`x} over {log`3} `·` {log`y} over {log`2} = {log`x} over {log`2} `·` {log`y} over {log`3}]

[eqn: =log` _{2} `x`·`log` _{3} `y]

[eqn: log`_2`x = X], [eqn: log`_3`y=Y]로 놓으면

[eqn: {cases{log` _{2} `x+log` _{3} `y=-1#log` _{3} `x`·`log` _{2} `y=-6}}]에서 [eqn: cases{ X+Y=-1 # XY=-6 }]

이 연립방정식을 풀면

[eqn: X=-3], [eqn: Y=2] 또는 [eqn: X=2], [eqn: Y=-3]

즉, [eqn: x=2^-3 = 1over8], [eqn: y=9] 또는 [eqn: x=4], [eqn: y=3^-3 = 1over 27]

이때 [eqn: alpha < beta]이므로 [eqn: alpha= 1over8], [eqn: beta=9]    [eqn: therefore` betaoveralpha = 9 over{1over8}=72]

11

[eqn: 2`·`a^2 =16]이므로 [eqn: a=2root2`(because`a>0)]

[eqn: n]시간 후에 박테리아가 [eqn: 1024`` rm g]이 된다고 하면

[eqn: 2`·`(2root2 )^n =1024], [eqn: 2^{3over2 n}=2^9]

[eqn: 3 over 2 n =9]    [eqn: therefore`n=6]

따라서 [eqn: 6]시간 후이다.

12

[eqn: [`log` _{3} `x`] ^{2} -[`log` _{3} `x`]-2 LEQ 0]에서

[eqn: LEFT ( [`log` _{3} `x`]+1 RIGHT ) LEFT ( [`log` _{3} `x`]-2 RIGHT ) LEQ 0]

∴ [eqn: -1 LEQ [`log` _{3} `x`] LEQ 2]

[eqn: [`log` _{3} `x`]]는 정수이므로 [eqn: [`log` _{3} `x`]=-1,```0,```1,```2]

(ⅰ) [eqn: [`log` _{3} `x`]=-1]일 때,

[eqn: -1 LEQ `log _{3} `x`<0]    [eqn: THEREFORE `][eqn: {1} over {3} LEQ x<1]

(ⅱ)  [eqn: [`log` _{3} `x`]=0]일 때,

[eqn: 0 LEQ `log _{3} `x`<1]    [eqn: THEREFORE `][eqn: 1 LEQ x<3]

(ⅲ)  [eqn: [`log` _{3} `x`]=1]일 때,

[eqn: 1 LEQ `log _{3} `x`<2]    [eqn: THEREFORE `][eqn: 3 LEQ x<9]

(ⅳ)  [eqn: [`log` _{3} `x`]=2]일 때,

[eqn: 2 LEQ `log _{3} `x`<3]    [eqn: THEREFORE `][eqn: 9 LEQ x<27]

(ⅰ)~(ⅳ)에서 구하는 해는 [eqn: {1} over {3} LEQ x<27]

13

[eqn: y=2^x `·`5^-x +1=2^x `·`left(1 over5 right)^x +1=left(2 over5 right)^x +1]에서

[eqn: 2 over5 <1]이므로 [eqn: y=left(2 over5 right)^x]은 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값은 감소한다.

즉, 함수 [eqn: y= left (2over5 right)^x +1]은 [eqn: x=-1]일 때 최댓값을,

[eqn: x=1]일 때 최솟값을 갖는다.

1

[eqn: a=left(2 over5right)^1 +1= 2over5 +1= 7 over5]

[eqn: b=left(2 over5right)^-1 +1= 5over2 +1= 7 over2]

[eqn: therefore`ab= 7 over5 `·` 7over2 = 49 over10]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	함수를 간단히 나타내기	40 %
	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	50 %
답 구하기	[eqn: ab]의 값 구하기	10 %

14

현재 오염도가 [eqn: 80]인 폐수의 [eqn: n]시간 후의 오염도는

3

[eqn: 80 times left(8over10 right)^n]으로 줄어든다.

오염도를 [eqn: 10] 이하로 줄여야 하므로

[eqn: 80 times left(8 over10 right)^n le10], [eqn: 8 times left(8 over10 right)^n le1]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: 3`log`2+n(3`log`2-1) LEQ 0]

[eqn: n ge {3`log`2} over{1-3`log`2}= 0.903 over0.097 =9.30cdots]

따라서 오염도 [eqn: 10] 이하의 깨끗한 물로 정화될 때까지 최소 [eqn: 10]시간이 걸린다.

[eqn: THEREFORE `a=10]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: n]시간 후의 오염도 구하기	30 %
	오염도를 [eqn: 10] 이하로 줄일 때 부등식 구하기	30 %
	양변에 상용로그를 취해 [eqn: n]의 값 구하기	30 %
답 구하기	정수 [eqn: a]의 값 구하기	10 %

2. 지수함수와 로그함수의 미분 - ①회
중단원 평가 문제
1.	[eqn: 7]	2.	⑤	3.	③
4.	③	5.	[eqn: 8]	6.	②
7.	④	8.	①	9.	②
10.	⑤	11.	②	12.	①
13.	[eqn: e over3]	14.	[eqn: 2 over e^2]

[eqn: lim _{x -> INF } {(7 ^{x} -4 ^{x} ) ^{{1} over {x}}}][eqn: = lim _{x -> INF } {LEFT { 7 ^{x} LEFT ( 1- {4 ^{x}} over {7 ^{x}} RIGHT ) RIGHT }} ^{{1} over {x}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {(7 ^{x} ) ^{{1} over {x}} `·` LEFT { 1- LEFT ( {4} over {7} RIGHT ) ^{x} RIGHT } ^{{1} over {x}}}]
[eqn: =7`·`1=7]

2

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {`` LEFT { log _{3} ` LEFT ( 9x ^{3} +2 RIGHT ) `-`3`log _{3} `x RIGHT }}][eqn: =` lim _{x` -> ` INF } {```log _{`3} ` {9x ^{3} +2} over {x ^{3}}}]

[eqn: =` lim _{x` -> ` INF } {```log _{`3} ` LEFT ( 9+ {2} over {x ^{3}} RIGHT )}]

[eqn: =log _{3} `9][eqn: =2]

[eqn: lim_{x rarrow 0}`(1+4x)^{1over3x}=lim_{x rarrow0}`left{{(1+4x)^{1 over4x} right}^{4over3 } = e^{4over3}]

4

ㄱ. [eqn: lim_{x rarrow0}`left(3+x over3 right)^{3overx}][eqn: =lim_{x rarrow0}`left(1 + x over3 right)^{3overx}=e]

ㄴ. [eqn: x-1=t]로 치환하면

[eqn: lim_{x rarrow 1}`x^{2overx-1}][eqn: =lim_{t rarrow 0}`(1+t)^{2over t}][eqn: =lim_{t rarrow 0}`left{(1+t)^{1 over t} right}^2]

[eqn: =e^2]

ㄷ. [eqn: lim_{x rarrow inf}`left(x-1 overx right)^-x][eqn: =lim_{x rarrow inf}`left(1 - 1 overx right)^-x =e]

ㄹ. [eqn: x-2=t]로 치환하면

[eqn: lim _{x -> 2} {} ` LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {x-2}}][eqn: = lim _{t -> 0} {} ` LEFT ( {2+t} over {2} RIGHT ) ^{{1} over {t}}]
[eqn: =lim_{t rarrow0}` left{ left(1+ t over 2 right)^{2overt} right} ^{1over2}]
[eqn: =e^{1over2}=roote]

따라서 극한값이 [eqn: e]인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

5

[eqn: lim _{x -> INF } {LEFT { log` _{2} `(ax+3)-log` _{2} `(x+6) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {log` _{2} ` {ax+3} over {x+6}}][eqn: = lim _{x -> INF } {log` _{2} ` {a+ {3} over {x}} over {1+ {6} over {x}}}][eqn: =log` _{2} `a]

따라서 [eqn: log` _{2} `a=3]이므로 [eqn: a=8]

6

[eqn: lim _{x -> 0} {} ` {5 ^{x} -1} over {log` _{5} `(1+x)}][eqn: = lim _{x -> 0} {` LEFT { {5 ^{x} -1} over {x} `·` {x} over {log` _{5} `(1+x)} RIGHT }}]

[eqn: =ln`5`·` lim _{x -> 0} {} ` {1} over {log` _{5} `(1+x) ^{{1} over {x}}}]

[eqn: =ln`5`·` {1} over {log` _{5} `e} =(ln`5) ^{2}]

7

[eqn: lim_x->0 {`log`_(1+x)left{(1+2x)(1+3x)(1+4x)(1+5x)right}}]

[eqn: =lim_x->0 {{ln(1+2x)(1+3x)(1+4x)(1+5x)}over ln(1+x)}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {LEFT { {ln(1+2x)} over {2x} `·`2+ {ln(1+3x)} over {3x} `·`3 RIGHT .}]

[eqn: LEFT . + {ln(1+4x)} over {4x} `·`4+ {ln(1+5x)} over {5x} `·`5 RIGHT } `·` {x} over {ln(1+x)}]

[eqn: =(1`·`2+1`·`3+1`·`4+1`·`5)`·`1=14]

8

[eqn: lim _{x` -> `a} {` {b`ln`x} over {x ^{2} -a ^{2}} =3}]에서 [eqn: x` -> `a]일 때, (분모) → [eqn: `0]이고 [eqn: 0]이 아닌 극한값이 존재하므로 (분자) → [eqn: `0]이어야 한다.

즉 [eqn: lim _{x -> a} {`b`ln`x=0}]이므로 [eqn: b`ln`a=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a=1```` LEFT ( BECAUSE ```b != 0 RIGHT )]

따라서 [eqn: lim _{x` -> `a} {` {b`ln`x} over {x ^{2} -a ^{2}} =3}]의 좌변을 정리하면

[eqn: lim _{x` -> `a} {` {b`ln`x} over {x ^{2} -a ^{2}} = lim _{x` -> `1} {` {b`ln`x} over {x ^{2} -1} = lim _{x` -> `1} {` {b`ln`x} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )}}}}]

[eqn: = lim _{x`-> `1} {` {b`ln`x} over {x-1}` · ` {1} over {x+1}}]

[eqn: lim _{x` -> `1} {` {b`ln`x} over {x-1}}]에서 [eqn: x-1=t]로 놓으면 [eqn: x=1+t]

[eqn: x` -> `1]일 때 [eqn: t` -> `0]이므로

[eqn: lim _{x` -> `1} {` {b`ln`x} over {x-1}} = lim _{t` -> `0} {` {b`ln` LEFT ( 1+t RIGHT )} over {t} =b` lim _{t` -> `0} {`ln` LEFT ( 1+t RIGHT ) ^{{1} over {t}}}}]

[eqn: =b`ln`e=b]

[eqn: lim _{x` -> `a} {` {b`ln`x} over {x ^{2} -a ^{2}}}][eqn: = lim _{x` -> `1} {` {b`ln`x} over {x-1}` · `{1} over {x+1}} =3]에서

[eqn: {b} over {2} =3]    [eqn: THEREFORE `][eqn: b=6]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a-b=1-6=-5]

9

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) =ln`x+x· {1} over {x} -3=ln`x-2]이므로

[eqn: f `prime LEFT ( e RIGHT ) =ln`e-2][eqn: =1-2=-1`]

10

[eqn: f` prime(x)][eqn: =1 `·`ln`x^2 +x `·` 2x overx^2][eqn: =ln`x^2 +2]

[eqn: f` prime(a)=ln`a^2 +2=8]에서 [eqn: ln`a^2 =6], [eqn: a^2 =e^6]

[eqn: therefore`a=e^3`(because`a>0)]

11

[eqn: lim_{h rarrow0}`{f(1+h)-f(1-h)}overh]

[eqn: =lim_{h rarrow0}`{f(1+h)-f(1)-f(1-h)+f(1)}overh]

[eqn: =lim_{h rarrow0}`left{{f(1+h)-f(1)} over h + {f(1-h)-f(1)}over -h right}]

[eqn: =2f `prime(1)]

이때 [eqn: f `prime(x)= 1 over x]이므로

[eqn: 2f `prime(1)=2`·`1=2]

12

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

즉 [eqn: lim _{x` -> `1`-} {` LEFT ( a-`ln`x RIGHT ) `= lim _{x` -> `1+} {LEFT ( bx+1 RIGHT ) =f(1)}}]이므로

[eqn: a=b+1]    …… ㉠

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {cases{- {1} over {x}&```(0<x<1)#````````b^`^`&```(x>1)^`^`}}]이고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x` -> `1`-} {` LEFT ( - {1} over {x} RIGHT ) `= lim _{x` -> `1+} {b=f` prime (1)}}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: b=`-1]

이것을 ㉠에 대입하면 [eqn: a=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a+b=`-1]

13

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: (t,~e^t -1)]이라 하면

[eqn: S_1 = e over2 t], [eqn: S_2 = 3over2 (e^t -1)]

이때 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmO]에 한없이 가까워지면 [eqn: t `->`0]이므로

[eqn: lim_{t rarrow0}`S_1overS_2][eqn: =lim_{t rarrow0}`et over{3(e^t -1)][eqn: = e over3 `lim_{t rarrow0}`1 over {{e^t -1} overt}= e over3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	두 삼각형의 넓이 [eqn: S_1], [eqn: S_2]를 각각 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: S_1 overS_2]의 극한값 구하기	60 %

14

[eqn: lim _{x`` -> ``3} {} {2e ^{x} `f LEFT ( x RIGHT ) -5} over {x-3} =4e]에서 [eqn: x`` -> ``3]일 때 (분모) [eqn: -> ``0]이고 [eqn: 0]이 아닌 극한값이 존재하므로 (분자) [eqn: -> ``0]이어야 한다.

2

즉 [eqn: lim _{x`` -> ``3} {} LEFT { 2e ^{x} `f LEFT ( x RIGHT ) -5 RIGHT } =0]이므로

[eqn: 2e ^{3} `f LEFT ( 3 RIGHT ) -5=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: 2e ^{3} `f LEFT ( 3 RIGHT ) =5]

따라서 [eqn: lim _{x`` -> ``3} {} {2e ^{x} `f LEFT ( x RIGHT ) -5} over {x-3} =4e]에서
[eqn: {rmg}(x)=2`e ^{x} `f` LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: lim _{x`` -> ``3} {} {2e ^{x} `f LEFT ( x RIGHT ) -5} over {x-3} = lim _{x`` -> ``3} {} {{rmg} LEFT ( x RIGHT ) -{rmg} LEFT ( 3 RIGHT )} over {x-3} ={rmg}` prime LEFT ( 3 RIGHT )]

이므로 [eqn: {rmg}` prime LEFT ( 3 RIGHT ) =4e]

이때 [eqn: {rmg}` prime (x)=2`e ^{x} `f` LEFT ( x RIGHT ) +2e ^{x} `f`` prime LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: {rmg}` prime (3)=2`e ^{3} `f` LEFT ( 3 RIGHT ) +2e ^{3} `f`` prime LEFT ( 3 RIGHT ) =4e]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f `LEFT ( 3 RIGHT ) +f` prime LEFT ( 3 RIGHT ) = {2} over {e ^{2}}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: 2e^3 f(3)]의 값 구하기	40 %
	[eqn: {rmg}(x)=2`e ^{x} `f` LEFT ( x RIGHT )]로 놓고 주어진 극한을 미분계수를 이용하여 나타내기	40 %
답 구하기	[eqn: `f LEFT ( 3 RIGHT ) +f` prime LEFT ( 3 RIGHT )]의 값 구하기	20 %

2. 지수함수와 로그함수의 미분 - ②회
중단원 평가 문제
1.	②	2.	④	3.	③
4.	④	5.	④	6.	[eqn: 6]
7.	②	8.	⑤	9.	⑤
10.	⑤	11.	③	12.	[eqn: 1]
13.	[eqn: 1 over3]	14.	[eqn: 1]

1

[eqn: -x=t]로 놓으면 [eqn: x` -> `- INF]일 때 [eqn: t` -> ` INF]이므로

[eqn: lim_x->-inf { {3^x + 6x^2 +2}over {4x^2 -1}}][eqn: =lim_t->inf {{3^-t +6t^2 +2}over{4t^2 -1}}]
[eqn: =lim_t->inf {left( 3^-t over{4t^2 -1}+{6t^2 +2}over{4t^2 -1}right)}]

[eqn: = 3over2]

[eqn: lim _{x -> 0} {{ln LEFT ( 1+ {x} over {3} RIGHT )} over {ln LEFT ( 1+ {x} over {2} RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{x -> 0} {{ln LEFT ( 1+ {x} over {3} RIGHT )} over {{x} over {3}} `·` {{x} over {2}} over {ln LEFT ( 1+ {x} over {2} RIGHT )} `·` {2} over {3}}]

[eqn: = 2over3]

3

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {3x} RIGHT ) ` LEFT ( 1+ {1} over {5x} RIGHT ) RIGHT } ^{15x}}]

[eqn: = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT ( 1+ {1} over {3x} RIGHT ) ^{15x} ` LEFT ( 1+ {1} over {5x} RIGHT ) ^{15x}}]

[eqn: = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {3x} RIGHT ) ^{3x} RIGHT } ^{5} ` LEFT { LEFT ( 1+ {1} over {5x} RIGHT ) ^{5x} RIGHT } ^{3}}]

[eqn: =e ^{5}` ·` e ^{3} =e ^{8}]

4

[eqn: lim _{x`-> `0} {` {e ^{5x} -e ^{3x} -e ^{2x} +1} over {x ^{2}}}]

[eqn: = lim _{x`-> `0} {` {LEFT ( e ^{2x} -1 RIGHT ) ` LEFT ( e ^{3x} -1 RIGHT )} over {x ^{2}}}]

[eqn: = lim _{x` -> `0} {` {e ^{2x} -1} over {x} `·` lim _{x`-> `0} {} {e ^{3x} -1} over {x}}]

[eqn: =`2`` lim _{x` -> `0} {` {e ^{2x} -1} over {2`x} ` ·`3`` lim _{x` -> `0} {} {e ^{3x} -1} over {3`x}]

[eqn: =2` · `3=6]

5

④ [eqn: lim _{x -> 0} {} ` {log` _{2} `(1-x)} over {x}]
[eqn: = lim _{x -> 0} {} `log` _{2} `(1-x) ^{{1} over {x}}]
[eqn: = lim _{x -> 0} {} ` LEFT { -log` _{2} `(1-x) ^{- {1} over {x}} RIGHT }]
[eqn: =-log` _{2} `e]

[eqn: = - 1 over{ ln`2}]

6

[eqn: lim _{x` -> `0} {``f(x)ln(1+3x)}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {`f(x)`·` {ln(1+3x)} over {3x} `·`3x}]
[eqn: =3` lim _{x -> 0} {xf(x)} `·` lim _{x -> 0} {{ln(1+3x)} over {3x}}]
[eqn: =3`·`2`·`1]

[eqn: =6]

7

[eqn: lim_{x rarrow inf}`{2^x +3^x+a} over{2^x -3^x}][eqn: =lim_{x rarrow inf}`{2^x +3^a `·`3^x} over{2^x -3^x}]

[eqn: =lim_{x rarrow inf}`{left(2over3 right)^x +3^a}over {left( 2 over 3right)^x -1}][eqn: =-3^a]

따라서 [eqn: -3^a = - 1over3]이므로 [eqn: 3^a =3^-1]

[eqn: therefore`a=-1]

8

[eqn: lim _{x`` -> ``0} {} {ax+b} over {e ^{x} `ln` LEFT ( 1+x RIGHT )} =3]에서 [eqn: x`` -> ``0]일 때 (분모) → [eqn: 0]이

고 극한값이 존재하므로 (분자) → [eqn: 0]이어야 한다.

즉 [eqn: lim _{x``-> ``0} {LEFT ( ax+b RIGHT ) =0}]이므로 [eqn: b=0]

따라서 [eqn: lim _{x`` -> ``0} {} {ax} over {e ^{x} `ln` LEFT ( 1+x RIGHT )} =3]이고

[eqn: lim _{x`` -> ``0} {} {ax} over {e ^{x} `ln` LEFT ( 1+x RIGHT )}] [eqn: = lim _{x`` -> ``0} {} {a} over {e ^{x} `} `·` lim _{x`` -> ``0} {} {1} over {{ln` LEFT ( 1+x RIGHT )} over {x}}]

[eqn: = {a} over {1} `·` {1} over {1} =a]

이므로 [eqn: a=3]

∴ [eqn: a ^{2} +b ^{2} =9+0=9]

9

[eqn: f `prime(x)][eqn: =2xe^x + left (x^2 +1right )e^x]
[eqn: = left(x^2 +2x +1 right)e^x]
[eqn: =(x+1)^2 e^x]

[eqn: therefore`f `prime(1)=4e]

10

ㄱ. [eqn: lim_x->0 {left( {1+x}over{1-x}right)}^ {1overx}][eqn: =lim_x->0 {{(1+x)^{1overx}}over{(1-x)^{1overx}}}][eqn: = e over e^-1 = e^2]

ㄴ. [eqn: lim_x->0 {{6^x -2 ^x}over{x}}][eqn: =lim_x->0 {{6^x -1 - (2^x -1)}over{x}}]
[eqn: =lim_x->0 {left({6^x -1} over x - {2^x -1}over{x} right)}]
[eqn: =ln`6-ln`2][eqn: =ln`3]

ㄷ. [eqn: lim_x->0 {{ln(1+x)(1+3x)(1+5x)(1+7x)}over{e^4x -1}}]
[eqn: = lim _{x -> 0} {LEFT { {ln(1+x)} over {x} `·` {1} over {4} + {ln(1+3x)} over {3x} `·` {3} over {4} RIGHT .}]
[eqn: LEFT . + {ln(1+5x)} over {5x} `·` {5} over {4} + {ln(1+7x)} over {7x} `·` {7} over {4} RIGHT } `·` {4x} over {e ^{4x} -1}]
[eqn: = LEFT ( 1`·` {1} over {4} +1`·` {3} over {4} +1`·` {5} over {4} +1`·` {7} over {4} RIGHT ) `·`1=4]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

11

[eqn: lim _{h` -> `0} {` {f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f LEFT ( 1-3h RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {` {f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f(1)+f(1)-f(1-3h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h` -> `0} {` LEFT { {f LEFT ( 1+2h RIGHT ) -f(1)} over {2h} `·` 2+ {f LEFT ( 1-3h RIGHT ) -f(1)} over {-3h} `·` 3 RIGHT }}]

[eqn: =2f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) +3f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =5f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2e ^{x} `ln`x+2e ^{x} `·` {1} over {x}]이므로

[eqn: 5`f `prime LEFT ( 1 RIGHT ) =5 LEFT ( 2e`ln`1+2e RIGHT ) =10e]

12

[eqn: S(t)= 1over2 `·`(3-1) `·`ln`t= ln`t]

[eqn: t-1=x]로 놓으면 [eqn: t` -> `1+]일 때 [eqn: x` -> `0+]이므로

[eqn: lim_{t rarrow1+}`{ln`t} overt-1][eqn: =lim_{x rarrow0+}`{ln`(1+x)} overx][eqn: =lim_{x rarrow0+}`ln`(1+x)^{1overx}]
[eqn: =ln`e=1]

13

[eqn: y=e^3x -1]에서 [eqn: e^3x =y+1]

[eqn: 3x=ln`(y+1)], [eqn: x= 1 over 3`{ln`(y+1)}]

[eqn: therefore`f`^-1 (x)= ` 1over 3`{ln`(x+1)}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: lim_{x rarrow0}`{f`^-1 (x)}overx][eqn: =lim_{x rarrow0}`{ln`(x+1)}over3x]

[eqn: = 1over3 lim_{x rarrow0}`{ln`(1+x)^{1 over x}]

[eqn: = 1 over3 `·`1 = 1 over3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: f(x)]의 역함수 구하기	40 %
답 구하기	극한값 구하기	60 %

14

[eqn: f(1)=0]이므로

[eqn: lim_{x rarrow1}`f(x) overx-1 =lim_{ x rarrow1}`{f(x)-f(1)} overx-1 =f `prime(1)]

이때 [eqn: f `prime(x)=2x`ln`x+x]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {} ` {f(x)} over {x-1} =f` prime (1)=1]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: lim_{x rarrow1}`{f(x) overx-1 =f `prime(1)]임을 보이기	40 %
	[eqn: f `prime(x)] 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: lim_{x rarrow1}`f(x) overx-1]의 값 구하기	20 %

II. 삼각함수

1. 삼각함수의 뜻과 그래프 - ①회
중단원 평가 문제
1.	③	2.	④	3.	③
4.	②	5.	①	6.	①
7.	③	8.	⑤	9.	⑤
10.	④	11.	⑤	12.	⑤
13.	[eqn: 1]	14.	[eqn: a le 7]

1

동경 [eqn: 30°]를 나타내는 [eqn: theta]를 일반각으로 나타내면

[eqn: theta=360° ×n +30°] (단, [eqn: n]은 정수)

① [eqn: 390° =360° ×1+30°]

② [eqn: 750° =360° ×2+30°]

③ [eqn: 1100° =360° ×3+20°]

④ [eqn: -330° =360° ×(-1)+30°]

⑤ [eqn: -690° =360° ×(-2)+30°]

따라서 동경이 주어진 각과 같지 않은 것은 ③이다.

2

ㄱ. [eqn: 45°=45 TIMES {pi } over {180} = {pi } over {4}]

ㄴ. [eqn: 144°=144 TIMES {pi } over {180} = {4} over {5} pi]

ㄷ. [eqn: {5} over {3} pi = {5} over {3} pi TIMES {180°} over {pi } =300°]

ㄹ. [eqn: - {7} over {6} pi =- {7} over {6} pi TIMES {180°} over {pi } =-210°]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

3

[eqn: 120 ° =120 TIMES {pi } over {180} = {2} over {3} pi]

주어진 부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 호의 길이가 [eqn: 2 pi]이므로 [eqn: r `·` {2} over {3} pi =2 pi]

[eqn: THEREFORE `][eqn: r=3]

따라서 구하는 넓이는 [eqn: {1} over {2}` ·` 3`·` 2 pi =3 pi]

4

[eqn: {3} over {2} pi < theta <2 pi]이므로

[eqn: sin` theta <0], [eqn: cos` theta >0], [eqn: sin` theta -cos` theta <0]

[eqn: THEREFORE][eqn: sqrt {sin ^{2} theta } + sqrt {(sin` theta -cos` theta ) ^{2}} + sqrt {cos ^{2} theta }]

[eqn: = LEFT | sin` theta RIGHT | + LEFT | sin` theta -cos` theta RIGHT | + LEFT | cos` theta RIGHT |]

[eqn: =-sin` theta - LEFT ( sin` theta -cos` theta RIGHT ) +cos` theta]

[eqn: =-2`sin` theta +2`cos` theta]

5

다음 그림과 같이 원점과 점 [eqn: {\P}(-6,~-8)]을 잇는 선분 [eqn: \OP]를 동경으로 하는 각 [eqn: theta]에 대하여

[eqn: sin`theta=- { 8} over { 10}]

[eqn: cos`theta=- { 6} over { 10}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: sin`theta+cos`theta]

[eqn: =- { 8} over { 10}- { 6} over { 10}][eqn: =- { 7} over { 5}]

6

[eqn: theta]가 제[eqn: `2`]사분면의 각이므로

[eqn: cos` theta =- sqrt {1-sin ^{2} ` theta }]

[eqn: =- sqrt {1- LEFT ( {5} over {13} RIGHT ) ^{2}} =- {12} over {13}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: tan` theta =- {5} over {12}]

∴[eqn: 13`cos` theta +12`tan` theta =13 LEFT ( - {12} over {13} RIGHT ) +12 LEFT ( - {5} over {12} RIGHT ) =-17]

7

[eqn: a>0], [eqn: b>0]일 때, 구하는 식은

[eqn: y=a`sin`bx+c]    [eqn: cdotscdots] ㉠

(주기)[eqn: ={ 2pi} over { b}= { 2} over { 3}pi]에서 [eqn: b=3]

[eqn: -1 le sin`x le 1]이므로 ㉠에서

(최댓값)[eqn: =a+c=1]

(최솟값)[eqn: =-a+c=-3]

두 식을 연립하여 풀면

[eqn: a=2], [eqn: c=-1]

따라서 주어진 그래프의 식은

[eqn: y=2`sin`3x-1]

8

[eqn: sin` {5} over {6} pi +cos LEFT ( - {8} over {3} pi RIGHT ) +`tan` {19} over {3} pi]

[eqn: =sin` LEFT ( pi - {pi } over {6} RIGHT ) +cos LEFT ( 3 pi - {pi } over {3} RIGHT ) +`tan` LEFT ( 6 pi + {pi } over {3} RIGHT )]

[eqn: =sin` {pi } over {6} -cos` {pi } over {3} +tan` {pi } over {3}]

[eqn: = {1} over {2} - {1} over {2} + sqrt {3} `][eqn: = sqrt {3}]

9

[eqn: cos ^{2} ``195° =cos ^{2} `` LEFT ( 180° +15° RIGHT ) =cos ^{2} ``15°]

[eqn: cos ^{2} ``320 ° =cos ^{2} `` LEFT ( 360° -40° RIGHT ) =cos ^{2} ```40 °]

[eqn: THEREFORE `][eqn: sin ^{2} ``15° +2`sin ^{2} ``40° +cos ^{2} ``195° +2`cos ^{2} ``320°]

[eqn: =sin ^{2} ``15 ° +2`sin ^{2} ``40 ° +cos ^{2} ``15 ° +2`cos ^{2} ``40 °]

[eqn: =sin ^{2} ``15° +cos ^{2} ``15 ° +2 LEFT ( sin ^{2} ``40° +cos ^{2} ``40° RIGHT )]

[eqn: =1+2`·`1=3]

10

① [eqn: y=sin`2x]의 주기는 [eqn: { 2pi} over { 2}=pi]이다.

② [eqn: -1 le sin`x le 1], [eqn: -3 LEQ 3`sin`x LEQ 3]

[eqn: -3+1 le 3`sin`x+1 le 3+1]에서

[eqn: -2 le 3`sin`x +1 le 4]

즉, [eqn: y=3`sin`x+1]의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

③ [eqn: y=tan`2x]의 주기는 [eqn: { pi} over { 2}]이다.

④ [eqn: cos`(-3x)=cos`3x]이므로 [eqn: y=cos`3x]의 그래프는

[eqn: y]축에 대하여 대칭이다.

⑤ [eqn: y= sqrt { 2}`sin`x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: pi]만큼

평행이동하면

[eqn: y][eqn: = sqrt { 2}`sin`(x-pi)][eqn: =- sqrt { 2}`sin`(pi-x)]

[eqn: =- sqrt { 2}`sin`x]

이므로 [eqn: y=- sqrt { 2}`sin`x]의 그래프와 일치한다.

따라서 옳은 것은 ④이다.

11

[eqn: 2`cos` LEFT ( 2x- {pi } over {3} RIGHT ) =1]에서

[eqn: cos` LEFT ( 2x- {pi } over {3} RIGHT ) = {1} over {2}]

이때 [eqn: 0 LEQ x<2 pi]이므로

[eqn: 0 LEQ 2x<4 pi]    [eqn: THEREFORE `][eqn: - {pi } over {3} LEQ 2x- {pi } over {3} < {11} over {3} pi]

따라서

[eqn: 2x- {pi } over {3} =- {pi } over {3}] 또는 [eqn: 2x- {pi } over {3} = {pi } over {3}] 또는

[eqn: 2x- {pi } over {3} = {5} over {3} pi] 또는 [eqn: 2x- {pi } over {3} = {7} over {3} pi]

이므로

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x= {pi } over {3}] 또는 [eqn: x= pi] 또는 [eqn: x= {4} over {3} pi]

따라서 구하는 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: 0+ {pi } over {3} + pi + {4} over {3} pi = {8} over {3} pi]

12

[eqn: {1} over {2} LEQ cos`x]이므로 [eqn: y=cos`x]의 그래프와  직선

[eqn: y= { 1} over { 2}]은 다음 그림과 같다.

즉, 구하는 해는 [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi } over {3}] 또는 [eqn: {5} over {3} pi LEQ x<2 pi]

13

[eqn: y=sin` { pi} over { 3}x]의 주기는 [eqn: { 2pi} over { { pi} over { 3} }=6]이다.

이때 점 [eqn: \B]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x= { 3} over { 2}-1= { 1} over { 2}]

점 [eqn: \A]의 [eqn: y]좌표는

[eqn: y=sin` { pi} over { 6}= { 1} over { 2}]

따라서 구하는 직사각형의 넓이는

[eqn: bar{\AB} `·` bar{\BC}][eqn: ={ 1} over { 2}`·`2][eqn: =1]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: y=sin` { pi} over { 3}x]의 주기 구하기	30 %
	점 [eqn: \B]의 [eqn: x]좌표와 점 [eqn: \A]의 [eqn: y]좌표 구하기	50 %
답 구하기	직사각형의 넓이 구하기	20 %

14

[eqn: cos`theta=t] ([eqn: -1 le t le 1])라 하면

[eqn: f(t)][eqn: =t^2 -3t-a+9]
[eqn: =LEFT ( t- { 3} over { 2} RIGHT )^2 + { 27} over { 4}-a]    [eqn: cdotscdots] ㉠

이때 주어진 부등식이 모든 [eqn: theta]에 대하여 성립하려면

[eqn: -1 le t le1]에서

[eqn: f(t) ge 0]이어야 한다.

오른쪽 그림과 같이 대칭축이 [eqn: t= { 3} over { 2}>1]이므로

[eqn: f(1) ge 0]에서 [eqn: 7-a ge 0]

[eqn: ∴~a le 7]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: cos`theta=t]로 놓고 주어진 부등식을 [eqn: t]에 대하여 나타내기	30 %
	주어진 부등식이 모든 [eqn: theta]에 대하여 성립할 조건 알기	30 %
답 구하기	이차함수의 그래프의 대칭축을 이용하여 [eqn: a]의 값의 범위 구하기	40 %

1. 삼각함수의 뜻과 그래프 - ②회
중단원 평가 문제
1.	①	2.	⑤	3.	②
4.	④	5.	③	6.	④
7.	③	8.	④	9.	⑤
10.	[eqn: pi]	11.	⑤	12.	③
13.	[eqn: -{ 3} over { 4}]	14.	[eqn: {pi } over {4}]

1

[eqn: -990° =360 ° TIMES (-3)+90°]이므로 [eqn: -990°]의 동경이 나타내는 최소의 양의 각의 크기는 [eqn: 90°]이다.

2

[eqn: 4theta]의 동경과 [eqn: theta]의 동경이 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로

[eqn: 4theta + theta =2n pi + {pi } over {2}] (단, [eqn: n]은 정수)

[eqn: 5 theta =2n pi + {pi } over {2}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: theta = {2n} over {5} pi + {pi } over {10}]

[eqn: {pi } over {2} < theta < pi]에서 [eqn: {pi } over {2} < {2n} over {5} pi + {pi } over {10} < pi]이므로

[eqn: {2} over {5} pi < {2n} over {5} pi < {9} over {10} pi]

[eqn: THEREFORE 1<n< {9} over {4}]

이때 [eqn: n]은 정수이므로

[eqn: n=2]

[eqn: THEREFORE][eqn: theta =][eqn: {4} over {5} pi + {pi } over {10} = {9} over {10} pi]

3

부채꼴의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면 호의 길이는 [eqn: {2} over {3} r]이므로 둘레의 길이는

[eqn: r+r+ {2} over {3} r=16]

[eqn: {8} over {3} r=16]

[eqn: THEREFORE r=6]

따라서 부채꼴의 넓이는

[eqn: {1} over {2} `·`6 ^{2} `·` {2} over {3} =12]

4

[eqn: sin` theta ``cos` theta <0]을 만족시키는 각 [eqn: theta]는 제[eqn: 2]사분면 또는 제[eqn: 4]사분면의 각이다.

[eqn: sin` theta ``tan` theta >0]을 만족시키는 각 [eqn: theta]는 제[eqn: 1]사분면 또는 제[eqn: 4]사분면의 각이다.

따라서 두 식을 동시에 만족시키는 각 [eqn: theta]는 제[eqn: 4]사분면의 각이다.

5

[eqn: theta]와 [eqn: 5theta]의 동경이 일치하므로

[eqn: 5theta-theta=2n pi], [eqn: 4theta=2n pi]

[eqn: THEREFORE `][eqn: theta= { n} over { 2}pi] (단, [eqn: n]은 정수)    [eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에 [eqn: n=0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots]을 대입하면

[eqn: theta=0], [eqn: { pi} over { 2}], [eqn: pi], [eqn: {3} over {2} pi], [eqn: cdots]

이때 [eqn: 0<theta<pi]이므로

[eqn: theta= { pi} over { 2}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: sin` LEFT ( theta+ { pi} over { 6} RIGHT )][eqn: =sin` LEFT ( { pi} over { 2}+ { pi} over { 6} RIGHT )]

[eqn: =cos` { pi} over { 6}]

[eqn: ={ sqrt { 3} } over 2{ }]

6

[eqn: a<0], [eqn: b>0]이면 직선

[eqn: y=- { 4} over { 3}x] 위의 점 [eqn: {\P}(a,~b)]는 제[eqn: 2]사분면에 존재하므로

[eqn: sin`theta>0], [eqn: cos`theta<0]

또, 직선의 기울기는 [eqn: tan`theta]

이므로 [eqn: tan`theta=- { 4} over { 3}]에서

[eqn: sin`theta= { 4} over { 5}], [eqn: cos`theta=- { 3} over { 5}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: sin`( pi + theta )+cos`( pi - theta )]

[eqn: =-sin` theta -cos` theta]

[eqn: =- {4} over {5} - LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )]

[eqn: =- {1} over {5}]

7

ㄱ. [eqn: f(x)=3`cos` LEFT ( 2x- { pi} over { 4} RIGHT )-1]에서

(최댓값)[eqn: =3-1=2]

(최솟값)[eqn: =-3-1=-4]

[eqn: THEREFORE `][eqn: -4 le f(x) le 2]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: { 2pi} over { 2}=pi]이므로 모든 실수에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+pi)]    [eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에서 [eqn: x]대신 [eqn: x+pi]를 대입하면

[eqn: f(x+pi)=f(x+2pi)]    [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: f(x+2pi)=f(x)]

ㄷ. [eqn: y=3`cos`2x]의 그래프는 직선 [eqn: x=0]에 대하여 대칭이고 [eqn: f(x)=3`cos` LEFT ( 2x- { pi} over { 4} RIGHT )-1]의 그래프는

[eqn: y=3`cos`2x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: { pi} over { 8}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 그래프이므로

[eqn: f(x)=3`cos` LEFT ( 2x- { pi} over { 4} RIGHT )-1]의 그래프는 직선

[eqn: x= { pi} over { 8}]에 대하여 대칭이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

8

① [eqn: f(x)=cos`2x=cos`(2x+2pi)=cos`2(x+pi)]

[eqn: = f(x+pi)]

② [eqn: f(x)= sin`2 sqrt {2} x=sin`(2 sqrt {2} x+2 pi )]

[eqn: =sin`2 sqrt {2} LEFT ( x+ {sqrt {2}} over {2} pi RIGHT )]

[eqn: =f` left( x+ root2 over 2 pi right)]

③ [eqn: f(x)=sin` pi x=sin`( pi x+2 pi )][eqn: =sin` pi (x+2)]

[eqn: =f(x+2)]

④ [eqn: f(x)=cos` sqrt {2} pi x=cos`( sqrt {2} pi x+2 pi )]

[eqn: =cos` sqrt {2} pi (x+ sqrt {2} )]

[eqn: = f(x+root2 )]

⑤ [eqn: f(x)=sin` {sqrt {2}} over {2} pi x=sin` LEFT ( {sqrt {2}} over {2} pi x+2 pi RIGHT )]

[eqn: =sin` {sqrt {2}} over {2} pi (x+2 sqrt {2} )]

[eqn: = f(x+ 2 root2 )]

따라서 [eqn: f(x)=f(x+ root2 )]를 만족하는 것은 ④이다.

9

주기가 [eqn: {pi } over {2} - LEFT ( - {pi } over {2} RIGHT ) = pi]이고 [eqn: a>0]이므로

[eqn: {2 pi } over {a} = pi]    [eqn: THEREFORE a=2]

또, [eqn: y=sin`2 LEFT ( x+b RIGHT ) +1]의 그래프가 점 [eqn: (0,~0)]을 지나므로

[eqn: sin`2b+1=0], [eqn: sin`2b=-1]

이때 [eqn: 0<b< pi]에서 [eqn: 0<2b<2 pi]이므로

[eqn: 2b= {3} over {2} pi]    [eqn: THEREFORE b= {3} over {4} pi]

[eqn: THEREFORE ab= {3} over {2} pi]

10

[eqn: 3`tan` theta =`2`cos` theta]에서

[eqn: 3`·` {sin` theta } over {cos` theta } =2`cos` theta]

[eqn: 3`sin` theta =2`cos ^{2} ` theta]

[eqn: 3`sin` theta =2`(1-sin ^{2} ` theta )]

[eqn: 2`sin ^{2} ` theta `+3`sin` theta `-2=0]

[eqn: LEFT ( 2`sin` theta -1 RIGHT ) LEFT ( sin` theta +2 RIGHT ) =0]

[eqn: sin `theta +2>0]이므로 [eqn: sin` theta = {1} over {2}]

[eqn: 0 LEQ theta LEQ 2 pi]에서

[eqn: theta = {pi } over {6}] 또는 [eqn: theta = {5} over {6} pi]

따라서 주어진 등식을 만족하는 모든 해의 합은

[eqn: {pi } over {6} + {5} over {6} pi = pi]

11

[eqn: 4`sin`x GEQ 1]에서

[eqn: `sin`x GEQ {1} over {4}]

이때 [eqn: 0<x< pi]에서 [eqn: y=sin`x]의 그래프는 다음 그림과 같다.

부등식 [eqn: 4`sin`x GEQ 1]의 해는 [eqn: y=sin`x` LEFT ( 0<x< pi RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {4}]이 만나는 부분 또는 직선보다 위쪽에 있는 부분의 [eqn: x]의 값의 범위이다.

위의 그림에서 [eqn: alpha ,``` beta]는 [eqn: x= {pi } over {2}]에 대하여 대칭이므로

[eqn: {alpha + beta } over {2} = {pi } over {2}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: alpha + beta = pi]

[eqn: THEREFORE `][eqn: tan` {alpha + beta } over {4} =tan` {pi } over {4} =1]

12

[eqn: 2`cos^2`x +3`cos`x -2<0]에서

[eqn: (2`cos`x -1)(cos`x +2)<0]

[eqn: cos`x+2>0]이므로

[eqn: 2`cos`x-1<0]    [eqn: THEREFORE `][eqn: cos`x< { 1} over { 2}]

따라서 구하는 해는

[eqn: { pi} over { 3}<x< { 5} over { 3}pi]

13

오른쪽 그림과 같이 두 점 [eqn: \A], [eqn: \C]에서 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: \H], [eqn: \I]라 하면 [eqn: bar{\OA}=bar{\OC}]이고,

[eqn: angle{\COH}][eqn: =angle{\AOH}+ { pi} over { 2}]

[eqn: = { pi} over { 2}+angle{\COI}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: angle{\AOH}=angle{\COI}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: △{\AOH}==△{\COI}] ([eqn: \RHA] 합동)

따라서 점 [eqn: \C]의 좌표는 [eqn: (-3,~4)]이고 [eqn: bar{\OC}=5]이므로

[eqn: sin`theta= { 4} over { 5}], [eqn: cos`theta=- { 3} over { 5}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: { cos`theta} over { sin`theta}= { - { 3} over { 5} } over { { 4} over { 5} }=- { 3} over { 4}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: △{\AOH}==△{\COI}]임을 알기	40 %
	[eqn: sin`theta], [eqn: cos`theta]의 값 구하기	40 %
답 구하기	[eqn: {cos` theta } over {sin` theta }]의 값 구하기	20 %

14

[eqn: x ^{2} -2 sqrt {2} x+2`tan` theta =0]이

중근을 가지므로 이 이차방정

식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: { D} over { 4}][eqn: = LEFT ( - sqrt {2} RIGHT ) ^{2} -2`tan` theta][eqn: =0]

[eqn: 2-2`tan` theta =0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: tan` theta =1]

이때 [eqn: 0 LEQ theta < pi]이므로

[eqn: theta = {pi } over {4}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	주어진 이차방정식이 중근을 가질 조건을 만족시키는 식 세우기	40 %
	[eqn: tan` theta]의 값 구하기	30 %
답 구하기	[eqn: theta]의 값 구하기	30 %

2. 삼각함수의 미분 - ①회
중단원 평가 문제
1.	④	2.	①	3.	④
4.	①	5.	③	6.	②
7.	③	8.	④	9.	④
10.	③	11.	②	12.	[eqn: 3]
13.	[eqn: 1]

1

[eqn: sin ^{2} theta +cos ^{2} theta =1]에서

[eqn: sin ^{2} theta =1-cos ^{2} theta][eqn: =1- LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2} = {16} over {25}]

이때 [eqn: theta]가 제[eqn: 4]사분면의 각이므로

[eqn: sin` theta][eqn: =- {4} over {5}], [eqn: cot` theta = {cos` theta } over {sin` theta } =- {3} over {4}]

[eqn: THEREFORE 16csc` theta ``cot` theta =16`·` {1} over {sin` theta } `·`cot` theta]

[eqn: =16`·` LEFT ( - {5} over {4} RIGHT ) `·` LEFT ( - {3} over {4} RIGHT ) =15]

2

[eqn: {1} over {1+cos` theta } + {1} over {1-cos` theta } =][eqn: {LEFT ( 1-cos` theta RIGHT ) + LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )} over {LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) LEFT ( 1-cos` theta RIGHT )}]

[eqn: = {2} over {1-cos ^{2} ` theta } = {2} over {sin ^{2} ` theta }]

[eqn: =2csc ^{2} ` theta]

즉, [eqn: 2csc ^{2} ` theta = {5} over {2}]이므로 [eqn: csc ^{2} theta = {5} over {4}]

[eqn: csc ^{2} ` theta =1+cot ^{2} ` theta]에서 [eqn: {5} over {4} =1+cot ^{2} ` theta]

[eqn: THEREFORE `cot ^{2} ` theta = {1} over {4}]

이때 [eqn: pi < theta < {3} over {2} pi]이므로 [eqn: cot` theta >0]

[eqn: THEREFORE `cot` theta = sqrt {{1} over {4}} = {1} over {2}]

3

[eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이므로 [eqn: sin` theta >0], [eqn: cos` theta >0]

[eqn: 1+tan ^{2`} theta =sec ^{2} ` theta = {1} over {cos ^{2} ` theta }]이므로

[eqn: 1+ LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} =3= {1} over {cos ^{2} ` theta }]

[eqn: cos ^{2} ` theta = {1} over {3}]    [eqn: THEREFORE `cos` theta = {sqrt {3}} over {3}]

이때 [eqn: sin ^{2} ` theta =1-cos ^{2} ` theta = {2} over {3}]이므로 [eqn: sin` theta = {sqrt {6}} over {3}]

[eqn: THEREFORE `sin` LEFT ( theta + {pi } over {3} RIGHT )][eqn: =sin` theta `cos` {pi } over {3} +cos` theta `sin` {pi } over {3}]
[eqn: = {sqrt {6}} over {3} `·` {1} over {2} + {sqrt {3}} over {3} `·` {sqrt {3}} over {2}]
[eqn: = {3+ sqrt {6}} over {6}]

4

[eqn: sin` LEFT ( x+y RIGHT ) =sin`x`cos`y+cos`x`sin`y= {1} over {a}]    [eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

[eqn: sin` LEFT ( x-y RIGHT ) =sin`x`cos`y-cos`x`sin`y= {3} over {a}]    [eqn: CDOTSCDOTS] ㉡

㉠[eqn: +]㉡을 하면 [eqn: sin`x`cos`y= {2} over {a}]

㉠[eqn: -]㉡을 하면 [eqn: cos`x`sin`y=- {1} over {a}]

[eqn: THEREFORE ` {tan`x} over {tan`y} = {{sin`x} over {cos`x}} over {{sin`y} over {cos`y}} = {sin`x`cos`y} over {cos`x`sin`y} =-2]

5

두 직선 [eqn: 3x-5y+20=0], [eqn: ax-y-6=0]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면

[eqn: tan` alpha = {3} over {5}], [eqn: tan` beta =a]

[eqn: a>1]이고, 두 직선이 이루는 예각의 크기가 [eqn: {pi } over {4}]이므로

[eqn: beta - alpha = {pi } over {4}]

[eqn: tan`( beta - alpha )=tan` {pi } over {4}]에서

[eqn: {tan` beta -tan` alpha } over {1+tan` beta ``tan` alpha } =1], [eqn: {a- {3} over {5}} over {1+ {3} over {5} a} =1]

[eqn: a- {3} over {5} =1+ {3} over {5} a]

[eqn: THEREFORE `a=4]

[eqn: {cos`A-sin`A} over {cos`A+sin`A}][eqn: = {1- {sin`A} over {cos`A}} over {1+ {sin`A} over {cos`A}}][eqn: = {1-tan`A} over {1+tan`A}]

6

[eqn: = {tan` {pi } over {4} -tan`A} over {1+tan` {pi } over {4} ``tan`A}]

[eqn: =tan` LEFT ( {pi } over {4} -A RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `tan` LEFT ( {pi } over {4} -A RIGHT ) =tan`(B-A)]

이때 [eqn: 0<A< pi], [eqn: 0<B< pi]이므로

[eqn: {pi } over {4} -A=B-A]

[eqn: THEREFORE `B= {pi } over {4}]

따라서 [eqn: angle \B]의 크기는 [eqn: pi over4]이다.

7

[eqn: lim _{x -> 0} {` {1-cos`x} over {x ^{2}}}][eqn: = lim _{x -> 0} {` {1-cos ^{2} `x} over {x ^{2} LEFT ( 1+cos`x RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {` {sin ^{2} `x} over {x ^{2} LEFT ( 1+cos`x RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {} LEFT { LEFT ( {sin`x} over {x} RIGHT ) ^{2} `·` {1} over {1+cos`x} RIGHT }]

[eqn: =1 ^{2} `·` {1} over {2} = {1} over {2}]

8

[eqn: pi -x=t]로 놓으면 [eqn: x` -> ` pi]일 때 [eqn: t` -> `0]이므로

[eqn: lim _{x -> pi } {`` {sin`x} over {pi -x}}][eqn: = lim _{t -> 0} {`` {sin`( pi -t)} over {t}}]

[eqn: = lim _{t -> 0} {`` {sin`t} over {t} =1}]

9

[eqn: f LEFT ( {rmg} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =sin ^{2} `3x], [eqn: {rmg} LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =sin`3x ^{2}]이므로

[eqn: lim _{x -> 0} {` {f LEFT ( {rmg} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {{rmg} LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )}}][eqn: = lim _{x -> 0} {` {sin ^{2`} `3x} over {sin`3x ^{2}}}]
[eqn: = lim _{x -> 0} {` LEFT { {sin ^{2} `3x} over {LEFT ( 3x RIGHT ) ^{2}} `·` {3x ^{2}} over {sin`3x ^{2}} `·` {LEFT ( 3x RIGHT ) ^{2}} over {3x ^{2}} RIGHT }}]
[eqn: =1^2 `·` 1 `·` 3][eqn: =3]

10

[eqn: lim _{x -> 0} {` {1-cos`x} over {ax`sin`x+b} = {1} over {2}}]에서 [eqn: x` -> `0]일 때, (분자)[eqn: `-> `0]이고 [eqn: 0]이 아닌 극한값이 존재하므로 (분모)[eqn: `-> `0]이다.

즉, [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( ax`sin`x+b RIGHT ) =0}]    [eqn: THEREFORE `b=0]

[eqn: b=0]을 주어진 식에 대입하면

[eqn: lim _{x -> 0} {` {1-cos`x} over {ax`sin`x}}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {`} {LEFT ( 1-cos`x RIGHT ) LEFT ( 1+cos`x RIGHT )} over {ax`sin`x LEFT ( 1+cos`x RIGHT )}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {` {sin` ^{2} x`} over {ax`sin`x LEFT ( 1+cos`x RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {` LEFT { {sin`x} over {x} `·` {1} over {a} `·` {1} over {1+cos`x} RIGHT }}]

[eqn: = {1} over {2}]

[eqn: {1} over {2a} = {1} over {2}]에서 [eqn: a=1]

[eqn: THEREFORE `a+b][eqn: =1]

11

[eqn: f` prime (x)=cos`x-sin`x]이므로 점 [eqn: LEFT ( pi ,````-1 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는

[eqn: f` prime ` LEFT ( pi RIGHT ) =-1-0=-1]

12

[eqn: {bar{rmBH}} = {{bar{rmAH}}} over {tan` theta }], [eqn: {bar{rm CH it}} = {{bar{rm AH it}}} over {tan`3 theta }]이므로

[eqn: {{bar{rm BH it}}} over {{bar{rm CH it}}} = {{{bar{rm AH it}}} over {tan` theta }} over {{{bar{rm AH it}}} over {tan`3 theta }}]

[eqn: = {tan`3 theta } over {tan` theta }]

[eqn: THEREFORE ` lim _{theta ` -> `0} {} {{bar{rm BH it}}} over {{bar{rm CH it}}}][eqn: = lim _{theta `-> `0} {} {tan`3 theta } over {tan` theta }]

[eqn: = lim _{theta -> 0} {` LEFT ( {tan`3 theta } over {3 theta } `·` {theta } over {tan` theta } `·`3 RIGHT )}]

[eqn: = 1`·`1`·`3]

[eqn: =3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: {bar{rmBH}}], [eqn: {bar{rm CH it}}]를 각각 [eqn: theta]와 [eqn: {bar{rm AH it}}]로 나타내기	30 %
	[eqn: {{bar{rm BH it}}} over {{bar{rm CH it}}}]를 [eqn: theta]로 나타내기	20 %
답 구하기	[eqn: lim _{theta ` -> `0} {} {{bar{rm BH it}}} over {{bar{rm CH it}}}]의 값 구하기	50 %

13

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하면 [eqn: x=0]에서 연속이다.

즉, [eqn: lim _{x -> 0-} {`cos`x= lim _{x -> 0+} {` LEFT ( 3x ^{2} +ax+b RIGHT )}} =f LEFT ( 0 RIGHT )]이므로

[eqn: b=1]

또, [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-sin`x&``` LEFT ( x<0 RIGHT )#``6x+a ^{` ^{`}}&``` LEFT ( x>0 RIGHT ) ^{` ^{`}}}}]에서

[eqn: lim _{x -> 0-} {` LEFT ( -sin`x RIGHT )} = lim _{x -> 0+} {` LEFT ( 6x+a RIGHT )}]

[eqn: THEREFORE `a=0]

[eqn: THEREFORE `a+b][eqn: =0+1][eqn: =1]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: b]의 값 구하기	40 %
	[eqn: a]의 값 구하기	50 %
답 구하기	[eqn: a+b]의 값 구하기	10 %

2. 삼각함수의 미분 - ②회
중단원 평가 문제
1.	③	2.	⑤	3.	②
4.	④	5.	④	6.	③
7.	⑤	8.	③	9.	①
10.	①	11.	①	12.	[eqn: {24} over {25}]
13.	[eqn: 3]

1

[eqn: sec` {pi } over {6} = {1} over {cos` {pi } over {6}} = {1} over {{sqrt {3}} over {2}} = {2 sqrt {3}} over {3}][eqn: cot` {pi } over {6} = {1} over {tan` {pi } over {6}} = {1} over {{1} over {sqrt {3}}} = sqrt {3}][eqn: csc` {pi } over {6} = {1} over {sin` {pi } over {6}} = {1} over {{1} over {2}} =2]

[eqn: THEREFORE `2 sqrt {3} `sec` {pi } over {6} `+ sqrt {3} `cot` {pi } over {6} +2`csc` {pi } over {6} `][eqn: =2 sqrt {3} `·` {2 sqrt {3}} over {3} + sqrt {3} `·` sqrt {3} `+2`·`2`]

[eqn: =11]

2

[eqn: sin` theta +cos` theta = {2} over {3}]의 양변을 제곱하면

[eqn: sin ^{2} theta +2sin` theta cos` theta +cos ^{2} theta = {4} over {9}]

[eqn: 1+2sin` theta cos` theta = {4} over {9}], [eqn: sin` theta cos` theta =- {5} over {18}]

[eqn: THEREFORE `sin ^{3} theta +cos ^{3} theta = LEFT ( sin` theta +cos` theta RIGHT ) ^{3}]

[eqn: -3sin` theta cos` theta LEFT ( sin` theta +cos` theta RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} -3`·` LEFT ( - {5} over {18} RIGHT ) `·` {2} over {3}]

[eqn: = {23} over {27}]

3

[eqn: sin` alpha +cos` beta = {1} over {2}]의 양변을 제곱하면

[eqn: sin ^{2} ` alpha +2`sin` alpha ``cos` beta +cos ^{2} ` beta = {1} over {4}]    [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠
[eqn: cos` alpha +sin` beta = {sqrt {2}} over {2}]의 양변을 제곱하면

[eqn: cos ^{2} ` alpha +2`cos` alpha ``sin` beta +sin ^{2} ` beta = {1} over {2}]     [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠[eqn: +]㉡을 하면

[eqn: 1+2(sin` alpha ``cos` beta +cos` alpha ``sin` beta )+1= {3} over {4}]

[eqn: sin` alpha ``cos` beta +cos` alpha ``sin` beta =- {5} over {8}]

[eqn: THEREFORE `sin`( alpha + beta `)][eqn: =sin` alpha ``cos` beta `+cos` alpha ``sin` beta]

[eqn: = - 5 over8]

4

두 직선 [eqn: y=-2x],

[eqn: y=x+2]가 [eqn: x]축의 양의 방

향과 이루는 각의 크기를 각

각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면

[eqn: tan` alpha =-2], [eqn: tan` beta =1]

이때 두 직선이 이루는 예각의 크기 [eqn: theta]는 [eqn: alpha - beta]이므로

[eqn: tan` theta][eqn: =|`tan`( alpha - beta )`|]

[eqn: = LEFT|`{tan` alpha -tan` beta } over {1+tan alpha `tan beta } `RIGHT |]
[eqn: = LEFT | ` {-2-1} over {1+ LEFT ( -2 RIGHT ) `·`1} ` RIGHT |]

[eqn: =3]

5

이차방정식 [eqn: x ^{2} +8x`-3=0]의 두 근이 [eqn: tan` alpha], [eqn: tan` beta]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: tan` alpha +tan` beta =-8], [eqn: tan` alpha ``tan` beta =-3`]

[eqn: THEREFORE `tan`( alpha + beta )= {tan` alpha +tan` beta } over {1-tan` alpha ``tan` beta }]

[eqn: = {-8} over {1-(-3)}][eqn: = -2]

[eqn: alpha + beta = theta]로 놓으면 [eqn: tan` theta =-2]이므로 주어진 식은

[eqn: 2``cos ^{2} ` theta -2``cos` theta ``sin` theta +sin ^{2} ` theta]

[eqn: =cos ^{2} ` theta LEFT ( 2-2`·` {sin` theta } over {cos` theta } + {sin ^{2} ` theta } over {cos ^{2} ` theta } RIGHT )]

[eqn: = {1} over {sec ^{2} ` theta } (2-2`tan` theta +tan ^{2} ` theta )]

[eqn: = {1} over {1+tan ^{2} ` theta } (2-2`tan` theta +tan ^{2} ` theta )]

[eqn: = 1over{1+(-2)^2 }left{ 2-2 `·`(-2)+(-2)^2 right}]

[eqn: = 1over5 `·` 10 = 2]

6

[eqn: f(x)][eqn: = sqrt {3} `sin` LEFT ( x- {pi } over {3} RIGHT ) +cos`x+1]
[eqn: = sqrt {3} ` LEFT ( sin`x`cos` {pi } over {3} -cos`x`sin` {pi } over {3} RIGHT ) +cos`x+1]
[eqn: = sqrt {3} ` LEFT ( {1} over {2} `sin`x- {sqrt {3}} over {2} `cos`x RIGHT ) +cos`x+1]
[eqn: = {sqrt {3}} over {2} `sin`x- {1} over {2} `cos`x+1]
[eqn: =sin` LEFT ( x- {pi } over {6} RIGHT ) +1]

ㄱ. 함수 [eqn: y=f(x)]의 주기는 [eqn: 2 pi]이다.

ㄴ. [eqn: -1 LEQ sin` LEFT ( x- {pi } over {6} RIGHT ) LEQ 1]에서 [eqn: 0 LEQ f(x) LEQ 2]이므

로 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 2]이다.

ㄷ. [eqn: f(x)=sin` LEFT ( x- {pi } over {6} RIGHT ) +1]이므로 [eqn: y=sin`x+1]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi } over {6}]만큼 평행이동하면

[eqn: y=f(x)]의 그래프와 일치한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

7

[eqn: lim _{x -> {5} over {4} pi } {{1-cot ^{2} `x} over {cos`x-sin`x} `}]

[eqn: = lim _{x -> {5} over {4} pi } {{1-cot ^{2} `x} over {sin`x LEFT ( {cos`x} over {sin`x} -1 RIGHT )} `}]

[eqn: = lim _{x -> {5} over {4} pi } {{LEFT ( 1+cot`x RIGHT ) LEFT ( 1-cot`x RIGHT )} over {sin`x LEFT ( cot`x-1 RIGHT )} `}]

[eqn: =- lim _{x -> {5} over {4} pi } {{1+cot`x} over {sin`x} `}]

[eqn: =- {1+1} over {- {sqrt {2}} over {2}} =2 sqrt {2}]

8

[eqn: lim _{x`-> `0} {`` {ln` LEFT ( 1+2x RIGHT )} over {tan`3x}}]

[eqn: = lim _{x` -> `0} {} {ln`(1+2x)} over {2x} `·` {3x} over {tan`3x} `·` {2} over {3}]

[eqn: =1 `·` 1 `·` {2} over {3} = {2} over {3}]

9

[eqn: lim _{x` -> `0} {} {f(x)} over {x-3`sin`x}]
[eqn: = lim _{x` -> `0} {} {f(x)} over {x+3`sin`x} `·` {x+3`sin`x} over {x-3`sin`x}]
[eqn: = lim _{x` -> `0} {} {f(x)} over {x+3`sin`x} `·` lim _{x` -> `0} {} {1+3`·` {sin`x} over {x}} over {1-3`·` {sin`x} over {x}}]
[eqn: =5`·` {1+3`·`1} over {1`-3`·`1} =-10]

10

[eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2}} {} {ax+b} over {cos`x} =2]에서 [eqn: x` -> ` {pi } over {2}]일 때, (분모)[eqn: `-> `0]이고
극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `-> `0]이다.

즉, [eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2}} {LEFT ( ax+b RIGHT ) =0}]이므로

[eqn: {pi } over {2} a+b=0]

[eqn: THEREFORE `b=- {pi } over {2} a]    [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: x- {pi } over {2} =t]로 치환하면 [eqn: x={pi } over {2}+t]이고 [eqn: x` -> ` {pi } over {2}]일 때,

[eqn: t` -> `0]이므로

[eqn: lim _{x` -> ` {pi } over {2}} {} {ax+b} over {cos`x}][eqn: = lim _{x` -> ` {pi } over {2}} {} {a LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT )} over {cos`x}]

[eqn: = lim _{t` -> `0} {} {at} over {cos` LEFT ( {pi } over {2}+t RIGHT )}]

[eqn: = lim _{t` -> `0} {} {at} over {-sin`t}]

[eqn: =-a]

[eqn: -a=2]에서 [eqn: a=-2]

[eqn: a=-2]를 ㉠에 대입하면

[eqn: b= pi]

[eqn: THEREFORE `a+b= pi -2]

11

[eqn: lim _{h -> 0} {` {f LEFT ( pi +2h RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {` {f LEFT ( pi +2h RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {2h} `·`2}]

[eqn: =2f` prime LEFT ( pi RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} (sin`x+cos`x)+e ^{x} (cos`x-sin`x)]

[eqn: =2`e ^{x} `cos`x]

이므로

[eqn: f` prime LEFT ( pi RIGHT ) =2`e ^{pi } `cos` pi]

[eqn: =-2`e ^{pi }]

[eqn: THEREFORE `][eqn: lim _{h -> 0} {` {f LEFT ( pi +2h RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {h}}][eqn: =2f` prime LEFT ( pi RIGHT )]

[eqn: = -4 e^pi]

12

[eqn: ANGLE rmCAB= alpha]라 하면

[eqn: sin` alpha = {4} over {5} ,~cos` alpha = {3} over {5}]

[eqn: ANGLE rmEAD= beta]라 하면

[eqn: sin` beta = {3} over {5} ,~cos` beta = {4} over {5}]

이때 [eqn: theta = alpha - beta]이므로

[eqn: cos` theta][eqn: =cos` LEFT ( alpha - beta RIGHT )]
[eqn: =cos` alpha `cos` beta +sin` alpha `sin` beta]
[eqn: = {3} over {5} `·` {4} over {5} + {4} over {5} `·` {3} over {5}]

[eqn: = {24} over {25}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: ANGLE rmCAB= alpha]로 놓고, [eqn: sin` alpha ,~cos `alpha]의 값 구하기	30 %
	[eqn: ANGLE rmEAD= beta]로 놓고, [eqn: sin` beta ,~cos` beta]의 값 구하기	30 %
답 구하기	[eqn: cos` theta]의 값 구하기	40 %

13

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{x -> 0} {``f(x)} = lim _{x -> 0} {{sin`2x} over {e ^{x} -a}} =b]    [eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에서 [eqn: x` -> `0]일 때, [eqn: (]분자[eqn: )` -> `0]이고 [eqn: 0]이 아닌 극한값이 존재하므로 [eqn: (]분모[eqn: )` -> `0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x -> 0} {` LEFT ( e ^{x} -a RIGHT )} =0]에서

[eqn: 1-a=0]

[eqn: THEREFORE a=1]

[eqn: a=1]을 ㉠에 대입하면

[eqn: lim _{x -> 0} {{sin`2x} over {e ^{x} -1}} = lim _{x -> 0} {{x} over {e ^{x} -1}} `·` {sin`2x} over {2x} `·`2]

[eqn: =1`·`1`·`2]

[eqn: =2]

[eqn: =b]

[eqn: THEREFORE a+b=1+2=3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연 속임을 이용하여 식 세우기	40 %
	극한값이 존재하는 조건을 이용하여 [eqn: a]의 값 구하기	30 %
	[eqn: b]의 값 구하기	20 %
답 구하기	[eqn: a+b]의 값 구하기	10 %

III. 미분법

1. 여러 가지 미분법 - ①회
중단원 평가 문제
1.	⑤	2.	④	3.	①
4.	[eqn: -2+ sqrt {2}]			5.	③
6.	④	7.	⑤	8.	①
9.	②	10.	①	11.	③
12.	③	13.	[eqn: e]	14.	[eqn: { 1} over { 5}]

1

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =- {2`·`2x} over {(x ^{2} -2) ^{2}} =- {4x} over {(x ^{2} -2) ^{2}}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f` prime LEFT ( -2 RIGHT ) =- {-8} over {LEFT { (-2) ^{2} -2 RIGHT } ^{2}} =2]

2

[eqn: f`'(x)][eqn: = {a(x ^{2} -x+1)-(ax+b)(2x-1)} over {(x ^{2} -x+1) ^{2}}]

[eqn: = {-ax ^{2} -2bx+a+b} over {(x ^{2} -x+1) ^{2}}]

[eqn: f` prime (0)=-2]이므로 [eqn: a+b=-2]    [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f` prime (1)=4]이므로

[eqn: -b=4]    [eqn: THEREFORE `][eqn: b=-4]

[eqn: b=-4]를 ㉠에 대입하면 [eqn: a=2]

[eqn: THEREFORE a-b=6]

3

[eqn: lim _{ x`->`0} { ` { f(1+x)-f(1-x)} over { x} }]

[eqn: =lim _{ x`->`0} {` { f(1+x)-f(1)+f(1)-f(1-x)} over { x} }]

[eqn: =lim _{ x`->`0} { ` { f(1+x)-f(1)} over { x} }+ lim _{ x`->`0} { ` { f(1-x)-f(1)} over { -x} }]

[eqn: =f`'(1)+f`'(1)][eqn: =2f`'(1)]

이때

[eqn: f(x)][eqn: =1+ { 1} over { x}+ { 1} over { x^2}+cdots+ { 1} over { x^10}]

[eqn: =1+x^-1 +x^-2 +cdots+x^-10]

이므로

[eqn: f`'(x)][eqn: =-x^-2 -2x^-3 -3x^-4 -cdots-10x^-11]

[eqn: =-(x^-2 +2x^-3 +3x^-4 +cdots+10x^-11 )]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f`'(1)][eqn: =-(1+2+3+cdots+10)]
[eqn: =- { 10×11} over { 2}][eqn: =-55]

[eqn: THEREFORE `][eqn: 2f`'(1)][eqn: =2×(-55)][eqn: =-110]

4

[eqn: f(x)= {1-sec`x} over {tan`x} = {1} over {tan`x} - {sec`x} over {tan`x}] [eqn: =cot`x-csc`x]

[eqn: f`'(x)][eqn: =-csc ^{2} `x+csc`x``cot`x]

[eqn: =csc`x(cot`x-csc`x)]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f` prime LEFT ( {pi } over {4} RIGHT )][eqn: =csc` {pi } over {4} LEFT ( cot` {pi } over {4} -csc` {pi } over {4} RIGHT )]

[eqn: =-2+ sqrt {2}]

5

[eqn: y=left{f(x) right}^3]이라 하면

[eqn: y`'=3 left{f(x) right}^2`f`'(x)]

따라서 [eqn: x=2]에서의 미분계수는

[eqn: 3 LEFT { f(2) RIGHT } ^{2} `f` prime (2)][eqn: =3 TIMES 3 ^{2} TIMES 1=27]

6

[eqn: f(2x+1)=2x ^{3} -4x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'(2x+1)×2=6x^2 -4]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f`'(2x+1)=3x^2 -2]

이때 [eqn: 2x+1=3]에서 [eqn: x=1]이므로

[eqn: f`'(3)][eqn: =3×1^2 -2][eqn: =1]

7

합성함수 [eqn: h(x)=(f CIRC {rmg})(x)][eqn: =f({rmg}(x))]의 양변을
[eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) =f `prime LEFT ( {rmg} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) {rmg}` prime LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `][eqn: h prime LEFT ( 2 RIGHT ) =f` prime LEFT ( {rmg} LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) {rmg}` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) {rmg}` prime LEFT ( 2 RIGHT )]

한편

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {x ^{2} +1-(x-1) `·` 2x} over {(x ^{2} +1) ^{2}} = {-x ^{2} +2x+1} over {(x ^{2} +1) ^{2}}]

[eqn: {rmg}` prime LEFT ( x RIGHT ) =4x-1]

이므로

[eqn: h prime LEFT ( 2 RIGHT ) =f `prime LEFT ( 1 RIGHT ) {rmg}` prime LEFT ( 2 RIGHT ) = {-1+2+1} over {4} `·` 7= {7} over {2}]

8

[eqn: lim _{h` -> `0} {` { f(1+2h)-f(1-h)} over { h} }]

[eqn: =lim _{ h`->`0} { ` { left{f(1+2h)-f(1) right}-left{f(1-h)-f(1)right}} over { h} }]

[eqn: =lim _{ h`->`0} { ` { f(1+2h)-f(1)} over { 2h} }×2]

[eqn: +lim _{ h`->`0} { ` { f(1-h)-f(1)} over { -h} }]

[eqn: =2f`'(1)+f`'(1)][eqn: =3f`'(1)]

이때 [eqn: f(x)= LEFT ( {x+1} over {x} RIGHT ) ^{3}]에서

[eqn: f` prime (x)=3 LEFT ( {x+1} over {x} RIGHT ) ^{2} `·` LEFT ( {x+1} over {x} RIGHT ) ^{prime }]

[eqn: =3 LEFT ( {x+1} over {x} RIGHT ) ^{2} `·` LEFT ( 1+ {1} over {x} RIGHT ) ^{prime }]

[eqn: =3 LEFT ( {x+1} over {x} RIGHT ) ^{2} `·` LEFT ( - {1} over {x ^{2}} RIGHT )]

[eqn: = {-3 LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}} over {x ^{4}}]

[eqn: THEREFORE][eqn: 3f` prime (1)=3 TIMES (-12)=-36]

9

[eqn: f`'(x)][eqn: =4^{x^2 +x-1}×(x^2 +x-1)'×ln`4]

[eqn: =4 ^{x ^{2} +x-1} TIMES (2x+1) TIMES ln`4]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f` prime (-1)][eqn: =4^-1 ×(-1)×ln`4]

[eqn: =-{ 1} over { 4}`ln`4]

[eqn: =- { 1} over { 2}`ln`2]

10

[eqn: {rmg} LEFT ( 1 RIGHT ) =a]라 하면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =1]

즉, [eqn: f(a)=a ^{3} -3a ^{2} +3a+1=1]이므로

[eqn: a ^{3} -3a ^{2} +3a=0], [eqn: a(a ^{2} -3a+3)=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a=0] [eqn: LEFT ( BECAUSE ```a ^{2} -3a+3>0 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f(0)=1,```{rmg} LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x+3]이므로

[eqn: rm g it ` prime LEFT ( 1 RIGHT ) = {1} over {f`' LEFT ( rmg(1) RIGHT )} = {1} over {f` prime LEFT ( 0 RIGHT )} = {1} over {3}]

11

[eqn: f(x)=tan`x]에서

[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) =sec ^{2} `x]

[eqn: f` '' LEFT ( x RIGHT ) =2`sec`x`·`sec`x``tan`x=2`sec ^{2} `x``tan`x]           [eqn: f `prime LEFT ( theta RIGHT ) =2]이므로 [eqn: sec ^{2} ` theta =2]

[eqn: THEREFORE `][eqn: LEFT { f` '' LEFT ( theta RIGHT ) RIGHT } ^{2} =4`sec ^{4} ` theta ``tan ^{2} ` theta]

[eqn: =4`sec ^{4} ` theta `(sec ^{2} ` theta -1)]

[eqn: =4` ·`2 ^{2} `(2-1)=16]

12

[eqn: f`'(x)][eqn: =2e ^{2x} sin`x+e ^{2x} `cosx]
[eqn: =e ^{2x} (2sin`x+cos`x)]

[eqn: f` '' (x)][eqn: =2e ^{2x} `(2sin`x+cos`x)][eqn: +e ^{2x} (2cos`x-sin`x)]

[eqn: =e ^{2x} `(3sin`x+4cos`x)]

[eqn: x= alpha]가 방정식 [eqn: f`''(x)=0]의 해이므로

[eqn: e ^{2 alpha } `(3sin` alpha +4cos` alpha )=0]

이때 [eqn: e ^{2 alpha } >0]이므로

[eqn: 3sin` alpha +4cos` alpha =0]   [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: - {pi } over {2} <x<0]에서 [eqn: cos` alpha != 0]이므로 ㉠의 양변을 [eqn: cos` alpha]로 나누면 [eqn: 3`tan` alpha +4=0]

[eqn: THEREFORE `tan` alpha =- {4} over {3}]

13

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로
[eqn: x=1]에서 연속이다.

즉, [eqn: lim _{x` -> `1-} {`ln`ax} = lim _{ x`->`1+} {`be^x-1 }=f(1)]이므로

[eqn: ln`a=b]    [eqn: cdotscdots] ㉠

또, [eqn: f` prime (x)= {cases{`````` {1} over {x}&&(0<x<1)#`be ^{x-1 ^{` ^{`}}}&&(x>1) ^{` ^{`}}}}]에서
[eqn: f`'(1)]의 값이 존재해야 하므로

[eqn: lim _{ x`->`1-} { `{1 } over x{ } }= lim _{ x`->`1+} { `be^x-1}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: b=1]

[eqn: b=1]을 ㉠에 대입하면

[eqn: ln`a=1]

[eqn: THEREFORE `a=e]

[eqn: THEREFORE `][eqn: { a} over { b}= e]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속임을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b] 사이의 관계식 구하기	40 %
	[eqn: f`'(1)]의 값이 존재해야 함을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	50 %
답 구하기	[eqn: { a} over { b}]의 값 구하기	10 %

14

[eqn: lim _{ h`->`0} { ` {{rm g}(1+3h)-{rmg}(1)} over { h} }]

[eqn: =lim _{ h`->`0} { ` { {rmg}(1+3h)-{rmg}(1)} over { 3h}×3 }]

[eqn: =3{rmg}`'(1)]

[eqn: =15]

[eqn: THEREFORE `{rmg}` prime (1)=5]

즉, [eqn: f(2)=1], [eqn: {rmg}`'(1)=5]이므로

[eqn: f`'(2)][eqn: = { 1} over { {rmg}'(f`(2))}]

[eqn: ={ 1} over { {rmg}`'(1)}]

[eqn: ={ 1} over { 5}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: {rmg}`'(1)]의 값 구하기	60 %
답 구하기	역함수의 미분법을 이용하여 [eqn: f`'(2)]의 값 구하기	40 %

1. 여러 가지 미분법 - ②회
중단원 평가 문제
1.	④	2.	⑤	3.	[eqn: 1- pi over 2]
4.	⑤	5.	②	6.	④
7.	[eqn: -18]	8.	④	9.	①
10.	②	11.	[eqn: -3]	12.	③
13.	[eqn: 12]	14.	[eqn: 1]

1

[eqn: f` prime (x)][eqn: = {2(x ^{2} +3)-2x`·`2x} over {(x ^{2} +3) ^{2}}]

[eqn: = {-2x ^{2} +6} over {(x ^{2} +3) ^{2}}][eqn: ge0]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} +3>0]이므로

[eqn: -2x ^{2} +6 GEQ 0], [eqn: x ^{2} -3 LEQ 0]

[eqn: (x+ sqrt {3} )(x- sqrt {3} ) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: - sqrt {3} LEQ x LEQ sqrt {3}]

따라서 구하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]의 [eqn: 3]개이다.

2

[eqn: f(x)][eqn: = {x ^{5} -3x ^{2} +2} over {x ^{3}}][eqn: =x ^{2} -3x ^{-1} +2x ^{-3}]

이므로

[eqn: f`'(x)][eqn: =2x+3x ^{-2} -6x ^{-4}]
[eqn: =2x+ {3} over {x ^{2}} - {6} over {x ^{4}}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f` prime (2)][eqn: =4+ {3} over {4} - {3} over {8} = {35} over {8}]

3

[eqn: f`'(x)][eqn: =cot`x-x`csc^2`x]이므로

[eqn: f`' LEFT ( { pi} over { 4} RIGHT )][eqn: =cot` { pi} over { 4}- { pi} over { 4}`csc^2` { pi} over { 4}]
[eqn: =1- { pi} over { 4}× LEFT ( { 2} over { sqrt { 2} } RIGHT )^2]
[eqn: =1- { pi} over { 2}]

4

[eqn: {rmg} prime (x)= {f` prime LEFT ( x ^{2} -3x RIGHT ) LEFT ( 2x-3 RIGHT )} over {LEFT { 3-f LEFT ( x ^{2} -3x RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]이므로

[eqn: rm g it prime (-1)= {f` prime LEFT ( 4 RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( -5 RIGHT )} over {LEFT { 3-f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]

[eqn: = {1` TIMES ` LEFT ( -5 RIGHT )} over {LEFT ( 3-2 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: =-5]

5

[eqn: f({rmg}(x))=x^3 +3x^2]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`'({rmg}(x)){rmg}`'(x)=3x^2 +6x]                  [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: {rmg}(x)=x^3 -1][eqn: =7]에서 [eqn: x^3 =8]    [eqn: THEREFORE `x=2]

즉, [eqn: {rmg}(2)=7]

[eqn: x=2]를 ㉠에 대입하면

[eqn: f`'({rmg}(2)){rmg}`'(2)=3×2^2 +6×2=24]    [eqn: cdotscdots] ㉡

이때 [eqn: {rmg}(x)=x^3 -1]에서 [eqn: {rmg}`'(x)=3x^2]이므로

[eqn: {rmg}`'(2)=3×2^2 =12]

따라서 [eqn: {rmg}(2)=7], [eqn: {rmg}` prime (2)=12]를 ㉡에 대입하면

[eqn: f`'(7)×12=24]    [eqn: THEREFORE `][eqn: f`'(7)=2]

6

[eqn: {rmg} LEFT ( x RIGHT ) =f `LEFT ( 4 ^{ln`x} RIGHT )]라 하면

[eqn: {rmg} LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 4 ^{ln`1} RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )]

이므로 [eqn: lim _{x` -> `1} {} {f LEFT ( 4 ^{ln`x} RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} =ln`4]에서

[eqn: lim _{x` -> `1} {} {{rmg} LEFT ( x RIGHT ) -{rmg} LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} =ln`4]    [eqn: THEREFORE `][eqn: {rmg}` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =ln`4]

[eqn: {rmg} prime LEFT ( x RIGHT ) = f`` prime LEFT ( 4 ^{ln`x} RIGHT ) `·` 4 ^{ln`x}`· `ln`4 `·` {1} over {x}]이므로

[eqn: {rmg}`'(1)=f`` prime LEFT ( 4 ^{ln1} RIGHT ) `·` 4 ^{ln`1}`· `ln`4 `·` 1=`ln`4]

[eqn: ln`4`f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =`ln`4]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

7

[eqn: f(x)= {(x+3) ^{2}} over {(x-4)(x-3) ^{3}}]에서

[eqn: |`f(x)|= {|`x+3`| ^{`2}} over {|`x-4`|`|`x-3`| ^{`3}}]

이므로 양변에 자연로그를 취하면

[eqn: ln`|`f(x)`|=2`ln`|`x+3`|-ln`|`x-4`|-3`ln`|`x-3`|]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: {f` prime (x)} over {f(x)} = {2} over {x+3} - {1} over {x-4}- { 3} over { x-3}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f`'(x) = left({2} over {x+3} - {1} over {x-4}- { 3} over { x-3}right)f(x)]

이때 [eqn: f(5)= {8 ^{2}} over {1 TIMES 2 ^{3}} =8]이므로

[eqn: f` prime (5)][eqn: = LEFT ( {1} over {4} -1- {3} over {2} RIGHT ) TIMES 8]

[eqn: =LEFT ( - { 9} over { 4} RIGHT )×8][eqn: =-18]

8

[eqn: h(x)= LEFT ( rm g CIRC it f RIGHT ) (x)= rm g LEFT ( it f(x) RIGHT )]에서

[eqn: h` prime (x)= rm g` prime LEFT ( it f(x) RIGHT ) f` prime (x)]이므로

[eqn: h` prime (0)= rm g` prime LEFT ( it f(0) RIGHT ) f` prime (0)][eqn: = rm g` prime (1) it f` prime (0)] ([eqn: BECAUSE f(0)=1])

[eqn: cdotscdots] ㉠

이때 [eqn: f(x)= LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{{3} over {2}}]에서 [eqn: f` prime (x)= {3} over {2} (x+1) ^{{1} over {2}}]

[eqn: THEREFORE f` prime (0)= {3} over {2}]

따라서 [eqn: h` prime (0)=][eqn: 15], [eqn: f` prime (0)= {3} over {2}]을  ㉠에 대입하면

[eqn: 15= rm g` prime (1)`·` {3} over {2}]    [eqn: THEREFORE rmg`'(1)=10]

9

[eqn: y= root {3} of {x+6}]에서 [eqn: y ^{3} =x+6]

[eqn: THEREFORE `][eqn: x=y ^{3} -6]

위의 식의 양변을 [eqn: y]에 대하여 미분하면

[eqn: {dx} over {dy}][eqn: =3y ^{2}]

역함수의 미분법에 의하여

[eqn: {dy} over {dx}][eqn: = {1} over {{dx} over {dy}}][eqn: = {1} over {3y ^{2}}]

한편, [eqn: x=2]일 때, [eqn: y= root {3} of {2+6} =2]이므로

[eqn: x=2]에서의 [eqn: {dy} over {dx}]의 값은

[eqn: {1} over {3 TIMES 2 ^{2}} = {1} over {12}]

10

점 [eqn: LEFT ( 2,```5 RIGHT )]가 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =5]

함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 [eqn: {rmg}(x)]이므로 [eqn: {rmg} LEFT ( 5 RIGHT ) =2]

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 2,```5 RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: -2]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) =-2]

[eqn: THEREFORE `][eqn: rm g it prime LEFT ( 5 RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( rmg(5) RIGHT )} = {1} over {f` prime LEFT ( 2 RIGHT )} =- {1} over {2}]

11

[eqn: lim _{x` -> `1} {` {2- rm g(itx it )} over {x-1}} = {1} over {3}]에서 [eqn: x`->`1]일 때, (분모)[eqn: `->`0]이고
극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: `->`0]이다.

즉, [eqn: lim _{x` -> `1} {` LEFT { 2- rm g( it x) RIGHT }} =0]이므로

[eqn: rm g(1)=2,~itf(2)=1]

[eqn: THEREFORE `][eqn: lim _{x` -> `1} {` {2- rm g( it x)} over {x-1}}][eqn: =- lim _{x` -> `1} {` {rm g( it x)- rm g(1) it} over {x-1}}]

[eqn: =- rm g` prime (1)= {1} over {3}]

따라서 [eqn: rm g prime (1)=- {1} over {3}]이므로

[eqn: f it ` prime (2)][eqn: = {1} over {rmg` prime (itf it (2))}]
[eqn: = {1} over {rmg` prime (1)}][eqn: =-3]

12

[eqn: lim _{x` -> `-1} {` {f` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) +1} over {x+1} =6}]에서 [eqn: x` -> `-1]일 때,

(분모) → [eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자) → [eqn: 0]이어야 한다.

즉,[eqn: lim _{x` -> `-1} {` LEFT { f` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) +1 RIGHT } =0}]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT ) +1=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f` prime LEFT ( f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT ) =-1]

[eqn: THEREFORE `][eqn: lim _{x` -> `-1} {` {f` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) +1} over {x+1}}]

[eqn: = lim _{x` -> `-1} {` {f` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) -(-1)} over {x-(-1)}}]

[eqn: = lim _{x` -> `-1} {` {f` prime LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) -f`'(f(-1))} over {f LEFT ( x RIGHT ) -f(-1)} `· ` {f LEFT ( x RIGHT ) -f(-1)} over {x-(-1)}}]

[eqn: =f` '' LEFT ( f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )`· `f` prime LEFT ( -1 RIGHT )]

[eqn: =2f`'' LEFT ( 3 RIGHT )]

따라서 [eqn: 2f` '' LEFT ( 3 RIGHT ) =6]이므로 [eqn: f` '' LEFT ( 3 RIGHT ) =3]

13

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 미분가능하므로 [eqn: x=2]에서 연속이다.

즉, [eqn: lim _{x` -> `2-} {` {ax+b} over {x ^{2} +1}} = lim _{x` -> `2+} {` LEFT ( x ^{2} -3x RIGHT )} =f(2)]이므로

[eqn: {2a+b} over {5} =-2]

[eqn: THEREFORE `][eqn: 2a+b=-10]       [eqn: cdotscdots] ㉠

또, [eqn: f` prime (x)= {cases{` {-ax ^{2} -2bx+a} over {(x ^{2} +1) ^{2}}&&(x<2)#``````````````````2x-3 ^{` ^{`}}&&(x>2) ^{` ^{`}}}}]에서
[eqn: f` prime (2)]의 값이 존재해야 하므로

[eqn: lim _{x` -> `2-} {` {-ax ^{2} -2bx+a} over {(x ^{2} +1) ^{2}}} = lim _{x` -> 2+} {` LEFT ( 2x-3 RIGHT )}]에서

[eqn: {-3a-4b} over {25} =1]

[eqn: THEREFORE `-3a-4b=25]    [eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=-3], [eqn: b=-4]

[eqn: THEREFORE `][eqn: ab][eqn: =12]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속임을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b] 사이의 관계식 세우기	30 %
	[eqn: f` prime (2)]의 값이 존재함을 이용하여 [eqn: a], [eqn: b] 사이의 관계식 세우기	40 %
	[eqn: a], [eqn: b]의 값 구하기	20 %
답 구하기	[eqn: ab]의 값 구하기	10 %

14

[eqn: y=e^ax`sin`x]에서

[eqn: y`'][eqn: =ae^ax `sin`x+e^ax`cos`x]
[eqn: =e ^{ax} (a`sin`x+cos`x)]

[eqn: y`''][eqn: =ae ^{ax} (a`sin`x+cos`x)][eqn: +e ^{ax} (a`cos`x-sin`x)]
[eqn: =e ^{ax} LEFT { (a ^{2} -1)sin`x+2a`cos`x RIGHT }]

등식 [eqn: y``''-2y`'+2y=0]에 [eqn: y], [eqn: y`'], [eqn: y`'']을 대입하면

[eqn: e ^{ax} LEFT { (a ^{2} -1)sin`x+2a`cos`x RIGHT }]

[eqn: -2e ^{ax} (a`sin`x+cos`x)+2e ^{ax} sin`x][eqn: =0]

[eqn: e ^{ax} left{(a-1)^2`sin`x+2(a-1)`cos`x right}=0]

이때 [eqn: e^ax >0]이므로 위의 식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하려면

[eqn: (a-1)^2`sin`x+2(a-1)`cos`x=0]

[eqn: (a-1)left{(a-1)`sin`x+2`cos`x right}=0]

[eqn: a-1=0]    [eqn: ∴a=1]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: y`'], [eqn: y`''] 구하기	40 %
	주어진 등식에 [eqn: y], [eqn: y`'], [eqn: y`'']을 대입하여 정리하기	30 %
답 구하기	[eqn: a]의 값 구하기	30 %

2. 도함수의 활용 - ①회
중단원 평가 문제
1.	①	2.	[eqn: {25} over {6}]	3.	④
4.	②	5.	②	6.	②
7.	④	8.	⑤	9.	④
10.	[eqn: 2]	11.	②	12.	①
13.	[eqn: e^4]	14.	[eqn: k LEQ 1]

1

[eqn: f(x)=x`ln`x+2x]라 하면

[eqn: f` prime (x)=ln`x+x`·` {1} over {x} +2][eqn: =ln`x+3]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (e,~3e)]에서의 접선의 기울기는 [eqn: f` prime (e)=ln`e+3=4]

이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-3e=4(x-e)]    [eqn: THEREFORE `][eqn: y=4x-e]

따라서 구하는 접선의 [eqn: y]절편은 [eqn: -e]이다.

2

[eqn: f(x)= {4} over {3x+1}]라 하면

[eqn: f`'(x)][eqn: =- {4`·`(3x+1) prime } over {(3x+1) ^{2}}][eqn: =- {12} over {LEFT ( 3x+1 RIGHT ) ^{2}}]

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (-1,~-2)]에서의 접선

의 기울기는

[eqn: f` prime (-1)=- {12} over {LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2}} =-3]

이므로 접선의 방정식은

[eqn: y+2=-3(x+1)]

[eqn: THEREFORE `][eqn: y=-3x-5]

따라서 오른쪽 그림에서 구하는

도형의 넓이는

[eqn: {1} over {2} `·` {5} over {3} `·`5= {25} over {6}]

3

[eqn: f(x)=x^2], [eqn: {rmg}(x)=a`ln`x]라 하면

[eqn: f`'(x)=2x], [eqn: {rmg}`'(x)= { a} over { x}]

두 곡선의 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면

[eqn: f(t)={rmg}(t)]에서

[eqn: t^2 =a`ln`t]    [eqn: cdotscdots] ㉠

또, [eqn: f`'(t)={rmg}`'(t)]에서

[eqn: 2t= { a} over { t}]        [eqn: cdotscdots] ㉡

㉡에서 [eqn: a=2t^2]이므로 이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: t^2 =2t^2`ln`t], [eqn: ln`t= { 1} over { 2}]    [eqn: THEREFORE `][eqn: t= sqrt { e}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a=2e]

4

[eqn: f(x)=e ^{-2x ^{2}}]이라 하면

[eqn: f `prime (x)=e ^{-2x ^{2}} `·` LEFT ( -4x RIGHT ) =-4x`e ^{-2x ^{2}}]

접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,```e ^{-2t ^{2}} RIGHT )]이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는 [eqn: f` prime (t)=-4t`e ^{-2t ^{2}}]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-e ^{-2t ^{2}} =-4t`e ^{-2t ^{2}} ` LEFT ( x-t RIGHT )]

이 직선이 점 [eqn: LEFT ( a,```0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: -e ^{-2t ^{2}} =-4t`e ^{-2t ^{2}} ` LEFT ( a-t RIGHT )]

[eqn: -e ^{-2t ^{2}} != 0]이므로 양변을 [eqn: -e ^{-2t ^{2}}]으로 나누어 정리하면

[eqn: 4t ^{2} -4at+1=0]

이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4} =4a ^{2} -4>0], [eqn: 4 LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a-1 RIGHT ) >0]

[eqn: ∴][eqn: a< -1] 또는 [eqn: a>1]

따라서 [eqn: alpha =-1,``` beta =1]이므로  [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} =2]

5

[eqn: f(x)=x-2`sin`x]이므로

[eqn: f`'(x)=1-2`cos`x=0]에서

[eqn: cos`x= { 1} over { 2}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: x= { pi} over { 3}] 또는 [eqn: x= { 5} over { 3}pi]

[eqn: f`''(x)=2`sin`x=0]에서 [eqn: x=pi]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: { pi} over { 3}]	[eqn: cdots]	[eqn: pi]	[eqn: cdots]	[eqn: { 5} over { 3}pi]	[eqn: cdots]	[eqn: 2pi]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f`''(x)]		[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]		[eqn: □]	극소	[eqn: □]		[eqn: □]	극대	[eqn: □]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= { pi} over { 3}]에서 극솟값, [eqn: x= { 5} over { 3}pi]에서 극댓값을 갖고, 점 [eqn: (pi,~f(pi))]가 변곡점이므로

[eqn: a = pi over 3], [eqn: b= 5 over 3 pi], [eqn: c=pi]

[eqn: therefore][eqn: a-b+c][eqn: = { pi} over { 3}- { 5} over { 3}pi+pi][eqn: =- { pi} over { 3}]

6

[eqn: f` prime (x)=cos ^{2} `x-sin ^{2} `x=2`cos ^{2} `x-1]이므로

[eqn: f` '' (x)=4`cos`x`·`(-sin`x)]

[eqn: =-4``sin`x``cos`x]

곡선이 위로 볼록하면 [eqn: f`''(x)<0]이므로

[eqn: -4``sin`x``cos`x<0], [eqn: sin`x``cos`x>0]

[eqn: THEREFORE `sin`x>0], [eqn: cos`x>0] 또는 [eqn: sin`x<0], [eqn: cos`x<0]

[eqn: therefore0<x< pi over2]

7

[eqn: f`'(x)][eqn: = { 4} over { x}- { 1} over { x^2}-3]

[eqn: =- { 3x^2 -4x+1} over { x^2}]

[eqn: =- { (3x-1)(x-1)} over { x^2}]

[eqn: f`'(x)=0]에서

[eqn: x= {1} over {3}] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: f`''(x)][eqn: ={ -(6x-4)x^2 +(3x^2 -4x+1)`·`2x} over { x^4}]

[eqn: =- { 2(2x-1)} over { x^3}]

[eqn: f`''(x)=0]에서

[eqn: x= { 1} over { 2}]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: { 1} over { 3}]	[eqn: cdots]	[eqn: { 1} over { 2}]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f`''(x)]		[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]		[eqn: □]	극소	[eqn: □]		[eqn: □]	극대	[eqn: □]

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= { 1} over { 3}]에서 극솟값을 갖고, [eqn: x=1]에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. [eqn: x= { 1} over { 2}]의 좌우에서 [eqn: f`''(x)]의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 아래로 볼록에서 위로 볼록으로 바뀐다.

ㄷ. [eqn: x=1]에서 극대이고, [eqn: x= { 1} over { 2}]의 오른쪽 구간에서 위로 볼록한 모양이므로 [eqn: x` ->`inf]일 때, 한없이 아래로 내려가는 그래프이다.
[eqn: ∴][eqn: lim _{ x`->`inf`} { `f(x)}=-inf]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

8

[eqn: f(x)= {x+1} over {x ^{2} +x+1}]에서

[eqn: f`'(x)][eqn: = {x ^{2} +x+1-(x+1) LEFT ( 2x+1 RIGHT )} over {(x ^{2} +x+1) ^{2}}]

[eqn: = {-x ^{2} -2x} over {(x ^{2} +x+1) ^{2}}][eqn: =][eqn: {-x LEFT ( x+2 RIGHT )} over {(x ^{2} +x+1) ^{2}}]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=0]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: -3]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: - {2} over {7}]	[eqn: ↘]	[eqn: - {1} over {3}]	[eqn: ↗]	[eqn: 1]	[eqn: ↘]	[eqn: {2} over {3}]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-2]일 때 최솟값 [eqn: - {1} over {3}], [eqn: x=0]일 때 최댓값 [eqn: 1]을 가지므로 최댓값과 최솟값의 차는

[eqn: 1- LEFT ( - {1} over {3} RIGHT ) = {4} over {3}]

9

[eqn: f(x)=x`ln`x-2x+k]에서

[eqn: f`'(x)= ln `x +x`·` 1 over x -2=ln`x-1]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=e]

[eqn: f`''(x)= { 1} over { x}]에서 [eqn: f`''(e)= { 1} over { e}>0]이므로 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=e]에서 극소이면서 최소이다.

[eqn: THEREFORE `][eqn: f(e)][eqn: =e-2e+k=2]    [eqn: THEREFORE `][eqn: k=e+2]

10

방정식 [eqn: {1} over {2} x ^{2} -1=ln`x]의 서로 다른 실근의 개수는 함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} -1-ln`x]의 그래프와 [eqn: x]축의 교점의 개수와 같다.

[eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} -1-ln`x]라 하면

[eqn: f`'(x)= x - 1overx]이므로 [eqn: f`'(x)=0]에서

[eqn: x=1]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		[eqn: ↘]	[eqn: - 1 over 2]	[eqn: ↗]

이때 [eqn: lim _{ x`->`0} { `f(x)}=inf],

[eqn: lim _{ x`->`inf} { `f(x)}=inf]이므로 함

수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 따라서 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

11

진수의 조건에서 [eqn: x>0]이므로 방정식 [eqn: { ln`x} over { x}=ax]의 실근의 개수는 방정식 [eqn: ln`x=ax^2]의 실근의 개수와 같다.

[eqn: ln`x=ax^2]이 서로 다른 두 실근을 가지려면 두 곡선

[eqn: f(x)=ln`x], [eqn: {rmg}(x)=ax^2]이 서로 다른 두 점에서 만나면 된다.

[eqn: a<0] 또는 [eqn: a=0]이면 교점이 [eqn: 1]개이므로 [eqn: a>0]이어야 하고 두 곡선이 접할 때의 [eqn: a]의 값보다 작아야 두 점에서 만난다.

[eqn: f`'(x)= 1 over x], [eqn: {rmg}`'(x)=2ax]이고 [eqn: x=alpha]에서 두 곡선이 접한다고 하면

[eqn: f(alpha)={rmg}(alpha)]에서

[eqn: ln`alpha =a alpha^2]                         [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f`'(alpha)={rmg}`'(alpha)]에서

[eqn: { 1} over { alpha}=2a alpha]    [eqn: THEREFORE `][eqn: a alpha ^{2} = {1} over {2}]    [eqn: cdotscdots] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: ln`alpha= { 1} over { 2}]    [eqn: THEREFORE ` alpha = sqrt {e}]    [eqn: THEREFORE `][eqn: a= { 1} over { 2e}]

따라서 구하는 [eqn: a]의 값의 범위는

[eqn: 0<a< { 1} over { 2e}]

12

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {ln`x} over {2x ^{2}}]라 하면

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {{1} over {x} `·` 2x ^{2} -ln`x `·` 4x} over {4x ^{4}} = {1-2`ln`x} over {2`x ^{3}}]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]인 [eqn: x]의 값은 [eqn: 1-2`ln`x=0] (∵ [eqn: x>0])

에서 [eqn: ln`x= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: x= sqrt {e}]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: roote]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]		[eqn: ↗]	[eqn: 1 over 4e]	[eqn: ↘]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= sqrt {e}]에서 극대이면서 최대이므로

[eqn: {ln`x} over {2x ^{2}} LEQ {1} over {4e}]

따라서 [eqn: k GEQ {1} over {4e}]이므로 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: {1} over {4e}]이다.

13

[eqn: f(x) =x e^2x], 접점의 좌표를 [eqn: (t,~te^2t )]이라 하면

[eqn: f`'(x)=e^2x +2xe^2x]

이므로 접선의 기울기는

[eqn: f`'(t)=e^2t +2te^2t][eqn: =e^2t (1+2t)]

따라서 접선의 방정식은

[eqn: y-te^2t =e^2t (1+2t)(x-t)]

이 접선이 점 [eqn: (2,~0)]을 지나므로

[eqn: -te ^{2t} =e^2t (1+2t)(2-t)]

[eqn: 2(t^2 -2t-1)e^2t =0]

이때 [eqn: e^2t >0]이므로 이차방정식 [eqn: t^2 -2t-1=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha+beta=2], [eqn: alpha beta=-1]

또, 접선의 기울기는 [eqn: e^2alpha (1+2alpha)], [eqn: e^2beta (1+2beta)]이므로

[eqn: m_1 m_2][eqn: =e^2alpha (1+2alpha) e^2beta (1+2beta)]

[eqn: =e^2(alpha+beta) left{1+2(alpha+beta)+4alpha beta right}]

[eqn: =e^4 (1+4-4)][eqn: =e^4]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	접점의 좌표를 [eqn: (t,~te^2t )]이라 하고, 접선의 방정식 구하기	40 %
	접선이 지나는 점 [eqn: (2,~0)]을 이용하여 [eqn: t]에 대한 이차방정식 세우기	30 %
답 구하기	이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 [eqn: m_1 m_2]의 값 구하기	30 %

14

[eqn: cos`x>k-x ^{2}]에서 [eqn: cos`x-k+x ^{2} >0]

[eqn: f(x)=cos`x-k+x ^{2}]이라 하면

[eqn: f` prime (x)=-sin`x+2x]

[eqn: f` '' (x)=-cos`x+2]

이때 [eqn: x>0]에서 [eqn: -1 LEQ cos`x LEQ 1]이므로

[eqn: 1 LEQ -cos`x+2 LEQ 3]

즉, [eqn: x>0]에서 [eqn: f` '' (x)>0]이므로 [eqn: f` prime (x)]는 증가하고

[eqn: f` prime (0)=0]이므로

[eqn: f` prime (x)>0]

따라서 [eqn: x>0]에서 [eqn: f(x)]는 증가하므로 [eqn: x>0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)>0]이 항상 성립하려면

[eqn: f(0) GEQ 0]이어야 한다. 즉,

[eqn: f(0)=1-k GEQ 0]

[eqn: THEREFORE k LEQ 1]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	이계도함수를 이용하여 주어진 범위에서 [eqn: f` prime (x)]가 증가함을 보이기	20 %
	주어진 범위에서 [eqn: f(x)]가 증가함을 이용하여 부등식 세우기	40 %
답 구하기	(최솟값)[eqn: ge0]임을 이용하여 [eqn: k]의 값의 범위 구하기	40 %

2. 도함수의 활용 - ②회
중단원 평가 문제
1.	④	2.	②	3.	①
4.	②	5.	①	6.	[eqn: 4]
7.	③	8.	③	9.	②
10.	[eqn: 1]	11.	[eqn: 0<k< { 1} over { 4}]
12.	⑤	13.	[eqn: 0]	14.	[eqn: { 2} over { e}]

1

[eqn: f(x)=e^x-1]이라 하면

[eqn: f`'(x)=e^x-1]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: f`'(1)=e^1-1 =e^0 =1]

이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-1=1`·`(x-1)]

[eqn: THEREFORE `][eqn: y=x]

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=0]이므로

[eqn: a+b=1+0=1]

2

[eqn: f(x)=ln`(x+1)]이라 하면

[eqn: f`'(x)= { 1} over { x+1}]

접점의 좌표를 [eqn: (t,~ln`(t+1))]이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]이므로

[eqn: f`'(t)= { 1} over { t+1}=2]

[eqn: t+1= { 1} over { 2}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: t=- { 1} over { 2}]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( - { 1} over { 2},~-ln`2 RIGHT )]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y+ln`2 =2 LEFT ( x+ { 1} over { 2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `][eqn: y=2x+1-ln`2]

[eqn: THEREFORE `][eqn: k=1-ln`2]

3

직선 [eqn: y=-2x+5]에 평행한 직선의 기울기는 [eqn: -2]이고, [eqn: y=cos`2x]에서 [eqn: y prime =-2`sin`2x]이므로 접점의 좌표를

[eqn: (t,~cos`2t)]라 하면

[eqn: -2`sin`2t=-2]

[eqn: sin`2t=1]

[eqn: 0 le 2t le 2pi]이므로

[eqn: 2t= pi over2]

[eqn: THEREFORE t= {pi } over {4} `]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {pi} over {4} ,````0 RIGHT )]이므로 구하는 접선의 방정식은

[eqn: y=-2 LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `][eqn: y=-2x+ {pi} over {2}]

따라서 [eqn: a=-2], [eqn: b= pi over 2]이므로

[eqn: ab=-pi]

4

[eqn: f(x)=2`ln`x]라 하면

[eqn: f`'(x)= {2} over {x}]

접점의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,~2`ln`t RIGHT )]라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는

[eqn: f` prime (t)= {2} over {t}]

이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-2`ln`t= {2} over {t} (x-t)]

[eqn: THEREFORE][eqn: y= {2} over {t} x-2+2`ln`t]    [eqn: cdotscdots] ㉠

이때 이 직선이 점 [eqn: LEFT ( 0,~2 RIGHT )]를 지나므로

[eqn: 2=-2+2`ln`t]

[eqn: ln`t=2]

[eqn: THEREFORE `][eqn: t=e ^{2}]

이것을 ㉠에 대입하면

[eqn: y= {2} over {e ^{2}} x+2]

이 직선이 점  [eqn: LEFT ( e ^{2} ,~k RIGHT )]를 지나므로

[eqn: k=2+2=4]

5

[eqn: f(x)= LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{x}]이라 하면

[eqn: f` prime (x)][eqn: =e ^{x} +(x-1)e ^{x}][eqn: =xe ^{x}]

접점의 좌표를 [eqn: (t,~ LEFT ( t-1 RIGHT ) e ^{t} )]이라 하면 이 점에서의 접선의 기울기는

[eqn: f` prime (t)=te ^{t}]

이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-(t-1)e ^{t} =te ^{t} (x-t)]

[eqn: THEREFORE y=te ^{t} x-e ^{t} (t ^{2} -t+1)]

이 직선이 점 [eqn: (a,~0)]을 지나므로

[eqn: 0=te ^{t} a-e ^{t} (t ^{2} -t+1)]

[eqn: e ^{t} LEFT { t ^{2} -(1+a)t+1 RIGHT } =0]

[eqn: e ^{t} >0]이므로 양변을 [eqn: e ^{t}]으로 나누어 정리하면

[eqn: `t ^{2} -(1+a)t+1=0]

이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로 이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=(1+a) ^{2} -4=0]

[eqn: a ^{2} +2a-3=0], [eqn: LEFT ( a+3 RIGHT ) LEFT ( a-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a=-3] 또는 [eqn: a=1]

이때 [eqn: a>0]이므로 구하는 값은

[eqn: a=][eqn: 1]

6

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x} +2ax+1]

[eqn: f` '' LEFT ( x RIGHT ) =- {1} over {x ^{2}} +2a]

변곡점이 점 [eqn: LEFT ( 1,```1+a RIGHT )]이므로

[eqn: f` '' LEFT ( 1 RIGHT ) =-1+2a=0]    [eqn: THEREFORE][eqn: a= {1} over {2}]

따라서 [eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {x} +x+1]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) = {1} over {2} +2+1= {7} over {2}]

[eqn: THEREFORE `a+f` prime (2)= {1} over {2} + {7} over {2} =4]

7

부등식 [eqn: f LEFT ( {a+b} over {2} RIGHT )< { f(a)+f(b)} over { 2}]를 만족시키는 함수

[eqn: f(x)]의 그래프는 아래로 볼록하므로 [eqn: f`''(x)>0]이다. 이때 주어진 함수는 모두 미분가능하므로 [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: f`''(x)]의 부호를 조사하면 다음과 같다.

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)=e^-x]에 대하여
[eqn: f`'(x)=-e^-x], [eqn: f`''(x)=e^-x][eqn: >0]
이므로 아래로 볼록하다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)=x-ln`x]에 대하여
[eqn: f`'(x)=1- { 1} over { x}], [eqn: f`''(x)= { 1} over { x^2}][eqn: >0]
이므로 아래로 볼록하다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)=x+cos`x]에 대하여
[eqn: f`'(x)=1-sin`x], [eqn: f`''(x)=-cos`x][eqn: <0]이므로
위로 볼록하다.

따라서 주어진 부등식을 만족시키는 것은 ㄱ, ㄴ이다.

8

[eqn: f(x)=sin ^{3} `x+3cos ^{2} `x+1]

[eqn: =sin ^{3} `x+3 LEFT ( 1-sin ^{2} `x RIGHT ) +1]

[eqn: =sin ^{3} `x-3sin ^{2} `x+4]

이때 [eqn: sin`x=t][eqn: (-1 LEQ t LEQ 1)]로 놓고, 함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: t]에 대한 함수 [eqn: rmg(itt)]로 나타내면

[eqn: rmg(itt)=t ^{3} -3t ^{2} +4]

[eqn: rm g`'( it t)=3t ^{2} -6t=3t(t-2)]

[eqn: rmg` prime (itt)=0]에서 [eqn: t=0] [eqn: ( BECAUSE -1 LEQ t LEQ 1)]

[eqn: -1 LEQ t LEQ 1]에서 함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]
[eqn: rm g` prime ( it t)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: rmg(itt)]	[eqn: 0]	[eqn: ↗]	[eqn: 4]	[eqn: ↘]	[eqn: 2]

따라서 함수 [eqn: rmg(itt)]는 [eqn: t=0]일 때 최댓값 [eqn: 4], [eqn: t=-1]일 때 최솟값 [eqn: 0]을 가지므로

[eqn: M=4], [eqn: m=0]    [eqn: THEREFORE M+m=4]

9

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 2x+4k RIGHT ) e ^{x} + LEFT ( x ^{2} +4kx+5 RIGHT ) e ^{x}]

[eqn: = LEFT { x ^{2} +2(2k+1)x+4k+5 RIGHT } e ^{x}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극값을 갖지 않으므로 이차방정식

[eqn: x ^{2} +2(2k+1)x+4k+5=0]

은 중근 또는 허근을 가져야 한다.

따라서 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2(2k+1)x+4k+5=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: {D} over {4} = LEFT ( 2k+1 RIGHT ) ^{2} -(4k+5) LEQ 0]

[eqn: 4k ^{2} -4 LEQ 0]

[eqn: 4 LEFT ( k+1 RIGHT ) LEFT ( k-1 RIGHT ) LEQ 0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: -1 LEQ k LEQ 1]

10

[eqn: f(x)=x-cos`x]라 하면

[eqn: f`'(x)=1+sin`x][eqn: ge0] ([eqn: ∵][eqn: -1 le sin`x le 1])

즉, 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 실수 전체의 구간에서 증가한다.

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=3]은 오직 한 점에서 만나므로 주어진 방정식의 실근의 개수는 [eqn: 1]이다.

11

[eqn: f(x)= { 1-e^-x} over { e^x}]이라 하면

[eqn: f`'(x)][eqn: ={ e^-x `·` e^x -(1-e^-x )e^x} over { e^2x}]

[eqn: = {2-e^x} over { e^2x}]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: 2-e^x =0]

[eqn: e^x =2]    [eqn: THEREFORE `][eqn: x=ln`2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: ln`2]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]

이때 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=ln`2]에서 극대이면서 최대이고, 최댓값은

[eqn: f(ln`2)][eqn: ={ 1-e^{-ln`2}} over { e^{ln`2}}][eqn: ={ 1- { 1} over { 2} } over { 2}][eqn: ={ 1} over { 4}]

또, [eqn: lim _{ x`->`inf} { `f(x)}=0]이므로 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 방정식 [eqn: { 1-e^-x} over { e^x}=k]가 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=k]가 서로 다른 두 점에서 만나야 하므로 실수 [eqn: k]의 값의 범위는

[eqn: 0<k< { 1} over { 4}]

12

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`2x]라 하면 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx]는 다음 그림과 같다.

또, [eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT ) =2`cos`2x]에서 [eqn: f `prime LEFT ( 0 RIGHT ) =2`]이므로 곡선

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`2x] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,```0 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2]이다.

따라서 방정식 [eqn: sin`2x=kx]가 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는

[eqn: 0<k<2]

13

[eqn: rm g( it x)=sin`x]라 하면

[eqn: rm g` prime ( it x)=cos`x]

점 [eqn: (t,~sin`t)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: rm g` prime ( it t)=cos`t]

이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-sin`t=cos`t`·`(x-t)]

[eqn: THEREFORE y=cos`t`·`x-t`cos`t+sin`t]

이 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( f(t),~0 RIGHT )]이므로

[eqn: 0=cos`t`·`f(t)-t`cos`t+sin`t]

[eqn: f(t)=t- {sin`t} over {cos`t}]

[eqn: THEREFORE f(t)=t-tan`t]

[eqn: THEREFORE lim _{t-> 0} {{f(t)} over {t}}][eqn: = lim _{t -> 0} {{t-tan`t} over {t}}][eqn: = lim _{t -> 0} {LEFT ( 1- {tan`t} over {t} RIGHT )}]

[eqn: =1-1=0]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( t,~sin`t RIGHT )]에서의 접선의 기울기 구하기	10 %
	곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( t,~sin`t RIGHT )]에서의 접선의 방정식 구하기	40 %
	함수 [eqn: f(t)] 구하기	20 %
답 구하기	[eqn: lim _{t-> 0} {{f(t)} over {t}}]의 값 구하기	30 %

14

[eqn: y=ln`x]에서 [eqn: y`'= { 1} over { x}]

점 [eqn: {\P}(t,~ln `t)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-ln`t= { 1} over { t}(x-t)]

[eqn: THEREFORE `][eqn: y= { 1} over { t}x+ln`t -1]

접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점이 각각 [eqn: \A], [eqn: \B]이므로

[eqn: {\A}(t-t`ln`t,~0)], [eqn: {\B}(0,~ln`t-1)]

삼각형 [eqn: \OBA]의 넓이 [eqn: S(t)]는

[eqn: S(t)][eqn: ={ 1} over { 2}(t-t`ln`t)`|`ln`t-1`|]
[eqn: ={ 1} over { 2}(t-t`ln`t)(1-ln`t)] ([eqn: ∵][eqn: 0<t<1])
[eqn: ={ 1} over { 2}t(1-ln`t)^2]

[eqn: S``'(t)][eqn: ={ 1} over { 2}(1-ln`t)^2 + { 1} over { 2}`·`t `·`2(1-ln`t) `·` LEFT ( - { 1} over { t} RIGHT )]
[eqn: =- { 1} over { 2}(1-ln`t)(1+ln`t)]

[eqn: S``'(t)=0]에서 [eqn: 1-ln`t=0] 또는 [eqn: 1+ln`t=0]

[eqn: THEREFORE `t=e] 또는 [eqn: t= 1over e]

이때 [eqn: 0<t<1]이므로 [eqn: t= { 1} over { e}]

함수 [eqn: S(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: { 1} over { e}]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]
[eqn: S`'(t)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: S(t)]		[eqn: ↗]	극대	[eqn: ↘]

따라서 함수 [eqn: S(t)]는 [eqn: t= { 1} over { e}]에서 극대이면서 최대이므로 [eqn: S(t)]의 최댓값은

[eqn: S` LEFT ( { 1} over { e} RIGHT )][eqn: ={ 1} over { 2}`·`{ 1} over { e}`·`LEFT ( 1-ln` { 1} over { e} RIGHT )^2]

[eqn: ={ 2} over { e}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	두 점 [eqn: \A], [eqn: \B]의 좌표 구하기	30 %
	함수 [eqn: S(t)]를 구하고, [eqn: S(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내기	40 %
답 구하기	[eqn: S(t)]의 최댓값 구하기	30 %

IV. 적분법

1. 여러 가지 적분법 - ①회
중단원 평가 문제
1.	①	2.	④	3.	⑤
4.	⑤	5.	②	6.	④
7.	[eqn: 1]	8.	④	9.	④
10.	③	11.	③	12.	⑤
13.	[eqn: {1} over {2} e ^{2}]	14.	[eqn: {3} over {2}]

1

[eqn: 3x+1=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =3]이므로

[eqn: int _{} ^{} {LEFT ( 3x+1 RIGHT ) ^{5} `dx}][eqn: = int _{} ^{} {t ^{5} `·` {1} over {3} `dt}]

[eqn: = {1} over {3} int _{} ^{} {t ^{5} `dt}]

[eqn: = {1} over {3} `·` {1} over {6} t ^{6} +C]

[eqn: = {1} over {18} LEFT ( 3x+1 RIGHT ) ^{6} +C]

따라서 [eqn: a=18,~b=6]이므로 [eqn: a-b=12]

2

[eqn: x ^{2} +1=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =2x]이고,

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=2]이므로

[eqn: int _{0} ^{1} {2x LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{3} dx}][eqn: = int _{1} ^{2} {t ^{3} `dt}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} t ^{4} RIGHT ] _{1} ^{2}][eqn: = {15} over {4}]

3

① [eqn: 2x-1=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =2]이므로

[eqn: int _{} ^{} {LEFT ( 2x-1 RIGHT ) ^{3} `dx}][eqn: = int _{} ^{} {t ^{3} `·` {1} over {2} `dt}][eqn: = {1} over {2} int _{} ^{} {t ^{3} `dt}]

[eqn: = {1} over {8} t ^{4} +C]

[eqn: = {1} over {8} LEFT ( 2x-1 RIGHT ) ^{4} +C]

② [eqn: x ^{2} +1=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =2x]이므로

[eqn: int _{} ^{} {2x LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{3} `dx}][eqn: = int _{} ^{} {t ^{3} `dt}][eqn: = {1} over {4} t ^{4} +C]

[eqn: = {1} over {4} LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{4} +C]

③ [eqn: sqrt {4-x} =t]로 놓으면 [eqn: x=4-t ^{2}], [eqn: -2t {dt} over {dx} =1]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=2], [eqn: x=3]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{0} ^{3} {x sqrt {4-x} `dx}][eqn: = int _{2} ^{1} {LEFT ( 4-t ^{2} RIGHT ) `· `t` · LEFT ( -2t RIGHT ) dt}]

[eqn: =2 int _{1} ^{2} {LEFT ( 4t ^{2} -t ^{4} RIGHT ) dt}]

[eqn: =2 LEFT [ {4} over {3} t ^{3} - {1} over {5} t ^{5} RIGHT ] _{1} ^{2} = {94} over {15}]

④ [eqn: ln`x=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} = {1} over {x}]

[eqn: x=1]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x=e]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{1} ^{e} {{LEFT ( ln`x RIGHT ) ^{2}} over {x} dx= int _{0} ^{1} {t ^{2} `dt}}][eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} = {1} over {3}]

⑤ [eqn: 1-cos`x=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =sin`x]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x= {pi } over {2}]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( 1-cos`x RIGHT ) ^{2} `sin`x`dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {t ^{2} dt}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}][eqn: = {1} over {3}]

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

4

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {f` prime LEFT ( x RIGHT ) dx=} int _{} ^{} {{x+1} over {x ^{2} +2x+2} dx}]

[eqn: = {1} over {2} int _{} ^{} {{LEFT ( x ^{2} +2x+2 RIGHT ) prime } over {x ^{2} +2x+2} dx}]

[eqn: = {1} over {2} `ln` LEFT ( `x ^{2} +2x+2 RIGHT ) +C] ([eqn: because][eqn: x ^{2} +2x+2>0])

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = {1} over {2} `ln` LEFT ( `1-2+2 RIGHT ) +C=3]이므로 [eqn: C=3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} `ln` LEFT ( `x ^{2} +2x+2 RIGHT ) +3]이므로

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) = {1} over {2} `ln` LEFT ( `4-4+2 RIGHT ) +3= {1} over {2} `ln`2+3]

5

[eqn: int _{2} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} - int _{3} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}]

[eqn: = int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{2} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{4} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}}]

[eqn: = int _{1} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{1} ^{3} {2x`ln`x`dx}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`}x ^{2} `ln`x RIGHT ] _{1} ^{3} - int _{1} ^{3} {LEFT ( {1} over {x} `·`x ^{2} RIGHT ) dx}]

[eqn: =9`ln`3- LEFT [ {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{1} ^{3}][eqn: =9`ln`3-4]

6

[eqn: f(x)][eqn: =][eqn: int _{} ^{} {{LEFT ( sqrt {x} -1 RIGHT ) ^{2}} over {x}} dx]

[eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( 1-2x ^{- {1} over {2}} + {1} over {x} RIGHT ) `dx}]

[eqn: =x-4 sqrt {x} +ln LEFT | x RIGHT | +C]

[eqn: f(1)=-3]이므로 [eqn: 1-4+C=-3]    [eqn: THEREFORE C=0]

따라서 [eqn: f(x)=x-4 sqrt {x} +ln LEFT | x RIGHT |]이므로

[eqn: f(4)=4-8+ln`4=2`ln`2-4]

7

[eqn: F(x)=xf(x)-ln`x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=f(x)+xf`'(x)- {1} over {x}]

[eqn: THEREFORE][eqn: xf`'(x)= {1} over {x}]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: f`'(x)= {1} over {x ^{2}}]

[eqn: THEREFORE `f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {f` prime LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{} ^{} {{1} over {x ^{2}} dx}]

[eqn: = int _{} ^{} {x ^{-2}} dx][eqn: =- {1} over {x} +C]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이므로 [eqn: -1+C=2]    [eqn: THEREFORE `C=3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =- {1} over {x} +3]이므로

[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =-2+3=1]

8

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {tan ^{2} `x`dx}]

[eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( sec ^{2} `x-1 RIGHT ) `dx}]
[eqn: =tan`x-x+C]

[eqn: f LEFT ( {pi } over {4} RIGHT ) =0]이므로

[eqn: 1- {pi } over {4} +C=0]    [eqn: THEREFORE `C= {pi } over {4} -1]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =tan`x-x+ {pi } over {4} -1]이므로

[eqn: f LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT ) = -1 + pi over 4 + pi over 4 -1= {pi } over {2} -2]

9

[eqn: LEFT { ln`f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } prime = {x`cos`x`} over {f LEFT ( x RIGHT )}]에서

[eqn: {f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} = {x`cos`x} over {f LEFT ( x RIGHT )}]    [eqn: THEREFORE `][eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =x`cos`x]

[eqn: THEREFORE `][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {x`cos`x`dx}]

[eqn: =x`sin`x- int _{} ^{} {sin`x`dx}]

[eqn: =x`sin`x+cos`x`+C]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: 1+C=1]    [eqn: THEREFORE `][eqn: C=0]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x`sin`x+cos`x]이므로

[eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) = pi over 2 `·`1 + 0 = {pi } over {2}]

10

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) `sin`t`dt=a}] ([eqn: a]는 상수)로 놓으면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6`cos`x+2a]

이를 위의 식에 대입하면

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {` LEFT ( 6`cos`t+2a RIGHT ) `sin`t`dt}=a]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {` LEFT ( 6`cos`t``sin`t+2a`sin`t RIGHT ) `dt} =a]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} LEFT ( 3`sin`2t`+2a`sin`t RIGHT ) `dt=a]

[eqn: LEFT [ - {3} over {2} `cos`2t-2a`cos`t RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}=a]

[eqn: {3} over {2} - LEFT ( - {3} over {2} -2a RIGHT )=a]

[eqn: 3+2a=a]    [eqn: THEREFORE `][eqn: a=-3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6`cos`x-6]이므로

[eqn: f LEFT ( {pi } over {3} RIGHT ) =6`·` {1} over {2} -6=-3]

11

[eqn: int _{} ^{} {{27 ^{x} -1} over {3 ^{x} -1} dx}][eqn: = int _{} ^{} {{LEFT ( 3 ^{x} -1 RIGHT ) LEFT ( 3 ^{2x} +3 ^{x} +1 RIGHT )} over {3 ^{x} -1}} dx]

[eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( 9 ^{x} +3 ^{x} +1 RIGHT ) dx}]

[eqn: = {9 ^{x}} over {ln`9} + {3 ^{x}} over {ln`3} +x+C]

따라서 [eqn: a= {1} over {ln`9} ,~b= {1} over {ln`3}]이므로

[eqn: {a} over {b} = {{1} over {ln`9}} over {{1} over {ln`3}} = {ln`3} over {2`ln`3} = {1} over {2}]

12

[eqn: cos`x=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =-sin`x]이므로

[eqn: f`(x)= int _{} ^{} {eqalign{e ^{cos`x} `sin`x`dx }}][eqn: =- int _{} ^{} {e ^{t} `dt`}]

[eqn: =-e ^{t} +C]

[eqn: =-e ^{cos`x} +C]

[eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =1]이므로

[eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =-e ^{cos` {pi } over {2}} +C=1]    [eqn: THEREFORE `][eqn: C=2]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-e ^{cos`x} +2]이므로

[eqn: f LEFT ( pi RIGHT ) =-e ^{cos` pi } +2=2- {1} over {e}]

13

[eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT ) =ln`x], [eqn: h`'(x)=2x]로 놓으면

[eqn: rmg`'(itx)= {1} over {x}], [eqn: h(x)=x ^{2}]

[eqn: THEREFORE f(x)= int _{} ^{} {f`'(x)dx}][eqn: = int _{} ^{} {2x`ln`x`dx}]

[eqn: =x ^{2} `ln`x- int _{} ^{} {xdx}][eqn: =x ^{2} `ln`x- {1} over {2} x ^{2} +C]

한편, [eqn: f` prime (x)=2x`ln`x=0]에서 [eqn: x>0]이므로

[eqn: ln`x=0]    [eqn: THEREFORE x=1]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: f`'(x)]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]		[eqn: ↘]	극소	[eqn: ↗]

즉, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극소이고 극솟값 [eqn: - {1} over {2}]을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =- {1} over {2} +C=- {1} over {2}]    [eqn: THEREFORE C=0]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{2`} ln`x- {1} over {2} x ^{2}]이므로

[eqn: f(e)=e ^{2} - {1} over {2} e ^{2} = {1} over {2} e ^{2}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 적분상수 [eqn: C`]를 이용하여 나타내기	50 %
	적분상수 [eqn: C`]의 값 구하기	30 %
답 구하기	[eqn: f LEFT ( e RIGHT )]의 값 구하기	20 %

14

[eqn: a _{n} =ln`3` int _{0} ^{n} {3 ^{x} `dx}]

[eqn: =ln`3` LEFT [ {3 ^{x}} over {ln`3} RIGHT ] _{0} ^{n}][eqn: =3 ^{n} -1]

[eqn: THEREFORE ` sum _{n=0} ^{INF } {1} over {1+a _{n}} = sum _{n=0} ^{INF } {1} over {3 ^{n}}][eqn: = {1} over {1- {1} over {3}} = {3} over {2}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: a _{n}] 구하기	50 %
답 구하기	[eqn: sum _{n=0} ^{INF } {1} over {1+a _{n}}]의 값 구하기	50 %

1. 여러 가지 적분법 - ②회
중단원 평가 문제
1.	④	2.	②	3.	⑤
4.	④	5.	②	6.	⑤
7.	②	8.	④	9.	⑤
10.	①	11.	③	12.	⑤
13.	[eqn: {1} over {e} -e]	14.	[eqn: 3]

1

[eqn: 3x-1=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =3]이므로

[eqn: int _{} ^{} {LEFT ( 3x-1 RIGHT ) ^{4} dx}][eqn: = int _{} ^{} {t ^{4} `·`{1} over {3} `dt}][eqn: = {1} over {3} int _{} ^{} {t ^{4} `dt}]

[eqn: = {1} over {15} t ^{5} +C][eqn: = {1} over {15} LEFT ( 3x-1 RIGHT ) ^{5} +C]

2

[eqn: x ^{2} +1=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =2x]이고,

[eqn: x=-1]일 때 [eqn: t=2], [eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1]이므로

[eqn: int _{-1} ^{0} {{x} over {sqrt {x ^{2} +1}} dx}][eqn: = int _{2} ^{1} {{1} over {sqrt {t}} `·` {1} over {2} `dt}][eqn: =- {1} over {2} int _{1} ^{2} {t ^{- {1} over {2}} dt}]

[eqn: =- {1} over {2} LEFT [ ` pile{`#`} 2t ^{{1} over {2}} ` RIGHT ] _{1} ^{2}][eqn: =- {1} over {2} LEFT ( 2 sqrt {2} -2 RIGHT )]

[eqn: =1- sqrt {2}]

3

[eqn: 1-sin`x=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =-`cos`x]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {LEFT ( 1-`sin`x RIGHT ) ^{2} `cos`x`dx}]

[eqn: = int _{} ^{} {(-t ^{2})} dt=- {1} over {3} t ^{3} +C]

[eqn: =- {1} over {3} LEFT ( 1-`sin`x RIGHT ) ^{3} +C]

[eqn: f(0)= {2} over {3}]이므로 [eqn: - {1} over {3} +C= {2} over {3}]    [eqn: THEREFORE `][eqn: C=1]

따라서 [eqn: f(x)=- {1} over {3} LEFT ( 1-sin`x RIGHT ) ^{3} `+1`]이므로

[eqn: THEREFORE `][eqn: f(- pi )=- {1} over {3} ( 1-0) ^{3} `+1`= {2} over {3}]

4

[eqn: rm g LEFT ( it x RIGHT ) =2x+1], [eqn: h` prime (x)=e ^{x}]으로 놓으면

[eqn: rmg`'(itx)=2], [eqn: h(x)=e ^{x}]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {(2x+1)e ^{x} dx}][eqn: =(2x+1)e ^{x} - int _{} ^{} {2e ^{x} dx}]

[eqn: = LEFT ( 2x+1 RIGHT ) e ^{x} -2e ^{x} +C][eqn: = LEFT ( 2x-1 RIGHT ) e ^{x} +C]

[eqn: f(0)=-1]이므로

[eqn: -1+C=-1]    [eqn: THEREFORE C=0]

따라서 [eqn: f(x)= LEFT ( 2x-1 RIGHT ) e ^{x}]이므로

[eqn: f(2)=3e ^{2}]

5

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =cos`2x`+sin`x][eqn: =1-2`sin ^{2} `x`+sin`x]

[eqn: =- LEFT ( 2`sin`x+1 RIGHT ) LEFT ( sin`x-1 RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: sin`x=- {1} over {2}] 또는 [eqn: sin`x=1]

[eqn: THEREFORE `][eqn: x= {pi } over {2}] 또는  [eqn: x= {7} over {6} pi] 또는  [eqn: x= {11} over {6} pi]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: {pi } over {2}]	[eqn: cdots]	[eqn: {7} over {6} pi]	[eqn: cdots]	[eqn: {11} over {6} pi]	[eqn: cdots]	[eqn: 2 pi]
[eqn: f `prime LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= {7} over {6} pi]에서 극댓값 [eqn: M]을,

[eqn: x= {11} over {6} pi]에서 극솟값 [eqn: m]을 갖는다.

한편 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =cos`2x`+sin`x]에서

[eqn: f` LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {} LEFT ( cos`2x`+sin`x RIGHT ) `dx]

[eqn: = {1} over {2} `sin`2x-cos`x+C]

이므로

[eqn: M= {sqrt {3}} over {4} + {sqrt {3}} over {2} +C= {3 sqrt {3}} over {4} +C]

[eqn: m=- {sqrt {3}} over {4} - {sqrt {3}} over {2} +C=- {3 sqrt {3}} over {4} +C]

[eqn: THEREFORE `][eqn: M-m=][eqn: {3 sqrt {3}} over {4} +C- LEFT ( - {3 sqrt {3}} over {4} +C RIGHT )]

[eqn: = {6 sqrt {3}} over {4} = {3 sqrt {3}} over {2}]

6

[eqn: {x-7} over {x ^{2} -2x-3} = {x-7} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}][eqn: = {A} over {x+1} + {B} over {x-3}]

로 놓으면

[eqn: {x-7} over {x ^{2} -2x-3}][eqn: = {A LEFT ( x-3 RIGHT ) +B LEFT ( x+1 RIGHT )} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}]
[eqn: = {LEFT ( A+B RIGHT ) x+ LEFT ( -3A+B RIGHT )} over {LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}]

위의 등식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

[eqn: A+B=1], [eqn: -3A+B=-7]

위의 식을 연립하여 풀면

[eqn: A=2], [eqn: B=-1]

[eqn: THEREFORE ` int _{} ^{} {{x-7} over {x ^{2} -2x-3} dx}][eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( {2} over {x+1} - {1} over {x-3} RIGHT ) dx}]
[eqn: =2`ln` LEFT | x+1 RIGHT | -ln` LEFT | x-3 RIGHT | +C]

7

[eqn: x ^{3} +1=t]로 놓으면 [eqn: {dt} over {dx} =3x ^{2}]이고,

[eqn: x=0]일 때 [eqn: t=1], [eqn: x=2]일 때 [eqn: t=9]이므로

[eqn: int _{0} ^{2} {{x ^{2}} over {sqrt {x ^{3} +1}}} dx][eqn: = int _{1} ^{9} {{1} over {sqrt {t}} `·` {1} over {3} dt}]
[eqn: = {1} over {3} int _{1} ^{9} {t ^{- {1} over {2}}} dt][eqn: = {`1} over {3} left[ 2t ^{{1} over {2}} pile{`#`} right] _{1} ^{9}]
[eqn: = {1} over {3} LEFT ( 6-2 RIGHT )][eqn: = {4} over {3}]

8

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {{sin ^{2} `x} over {1-cos`x} dx}][eqn: = int _{} ^{} {{1-cos ^{2} `x} over {1-cos`x} dx}]

[eqn: = int _{} ^{} {{LEFT ( 1-cos`x RIGHT ) LEFT ( 1+cos`x RIGHT )} over {1-cos`x} dx}]

[eqn: = int _{} ^{} {LEFT ( 1+cos`x RIGHT ) dx}]

[eqn: =x+sin`x+C]

[eqn: f(0)=1]이므로 [eqn: C=1]

따라서 [eqn: f(x)=x+sin`x+1]이므로

[eqn: `f LEFT ( pi RIGHT ) = pi +1]

9

[eqn: int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {} (sec`x+csc`x) ^{2} `dx][eqn: - int _{{pi } over {3}} ^{{pi } over {6}} {} (sec`y-csc`y) ^{2} `dy]

[eqn: = int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {} (sec`x+csc`x) ^{2} `dx][eqn: + int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {} (sec`x-csc`x) ^{2} `dx]

[eqn: = int _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} {} 2(sec ^{2} `x+csc ^{2} `x)`dx]

[eqn: =2 LEFT [ pile{`#`} `tan`x-cot`x RIGHT ] _{{pi } over {6}} ^{{pi } over {3}} =2 LEFT ( {2 sqrt {3}} over {3} + {2 sqrt {3}} over {3} RIGHT ) = {8 sqrt {3}} over {3}]

10

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {f LEFT ( t RIGHT ) `cos`t`dt} =a] ([eqn: a]는 상수)로 놓으면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`x+3a]

이를 위의 식에 대입하면

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( sin`t+3a RIGHT ) `cos`t`dt=a}]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( sin`t``cos`t+3a`cos`t RIGHT ) dt=a}]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( {1} over {2} `sin`2t+3a`cos`t RIGHT ) dt=a}]

[eqn: LEFT [ - {1} over {4} `cos`2t+3a`sin`t RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}} =a]

[eqn: 3a+ {1} over {2} =a]    [eqn: THEREFORE `a=- {1} over {4}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`x- {3} over {4}]이므로

[eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =1- {3} over {4} = {1} over {4}]

11

[eqn: tan` theta LEFT ( x RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=3 ^{x}] 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it x,```y RIGHT )]에서의 접선의 기울기이므로

[eqn: tan` theta LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 3 ^{x} RIGHT ) prime =3 ^{x} `ln`3]

[eqn: THEREFORE `][eqn: int _{0} ^{1} {tan` theta LEFT ( x RIGHT ) dx} = int _{0} ^{1} {` LEFT ( 3 ^{x} `ln`3 RIGHT ) dx}]

[eqn: =ln`3 int _{0} ^{1} {`3 ^{x} `dx}]

[eqn: =ln`3 LEFT [ {3 ^{x}} over {ln`3} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: =2]

12

[eqn: int _{-1} ^{2} {e ^{x} `f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = int _{-1} ^{1} {xe ^{x} dx+ int _{1} ^{2} {LEFT ( 2x+1 RIGHT ) e ^{x} dx}}]

[eqn: = LEFT [pile{`#`} xe ^{x} RIGHT ] _{-1} ^{1} - int _{-1} ^{1} {e ^{x} dx} + LEFT [ pile{`#`}LEFT ( 2x+1 RIGHT ) e ^{x} RIGHT ] _{1} ^{2}][eqn: -2 int _{1} ^{2} {e ^{x} dx}]

[eqn: =e+ {1} over {e} - LEFT [ pile{`#`}e ^{x} RIGHT ] _{-1} ^{1} +5e ^{2} -3e-2 LEFT [ pile{`#`}e ^{x} RIGHT ] _{1} ^{2}]

[eqn: =e+ {1} over {e} - LEFT ( e- {1} over {e} RIGHT ) +5e ^{2} -3e-2 LEFT ( e ^{2} -e RIGHT )]

[eqn: =3e ^{2} -e+ {2} over {e}]

13

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {x`sin`x`dx}]에서 [eqn: rm g LEFT ( it x RIGHT ) =x], [eqn: h` prime (x)=sin`x]

로 놓으면 [eqn: rm g` prime ( it x)=1], [eqn: h(x)=-cos`x]이므로

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {x`sin`x`dx}]

[eqn: =-x`cos`x- int _{} ^{} {LEFT ( -cos`x RIGHT ) dx}]

[eqn: =-x`cos`x+sin`x+C]

[eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: C=0]

[eqn: THEREFORE f(x)=-x`cos`x+sin`x]

[eqn: int _{{pi } over {2}} ^{{3} over {2} pi } {e ^{f(x)} x`sin`x`dx}]에서 [eqn: f(x)=t]로 놓으면

[eqn: {dt} over {dx} =f` prime (x)][eqn: = {d} over {dx} LEFT { int _{} ^{} {x`sin`x`dx} RIGHT }][eqn: =x`sin`x]

이고,

[eqn: x= {pi } over {2}]일 때 [eqn: t=f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =1],

[eqn: x= {3} over {2} pi]일 때  [eqn: t=f LEFT ( {3} over {2} pi RIGHT ) =-1]이므로

[eqn: int _{{pi } over {2}} ^{{3} over {2} pi } {e ^{f(x)} x`sin`x`dx} = int _{1} ^{-1} {e ^{t} dt}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} e ^{t} RIGHT ] _{1} ^{-1}]

[eqn: = {1} over {e} -e]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: f LEFT ( x RIGHT )] 구하기	40 %
	[eqn: f(x)=t]로 놓고, [eqn: {dt} over {dx}]와 적분 구간 구하기	30 %
답 구하기	정적분의 값 구하기	30 %

14

[eqn: f(t)][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{x} -tx RIGHT ) ^{2} dx}]
[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( e ^{2x} -2txe ^{x} +t ^{2} x ^{2} RIGHT )} dx]
[eqn: = int _{0} ^{1} {e ^{2x} dx-2t int _{0} ^{1} {xe ^{x} dx+t ^{2} int _{0} ^{1} {x ^{2} dx}}}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {2} e ^{2x} RIGHT ] _{0} ^{1} -2t LEFT ( LEFT [ xe ^{x} pile{`#`}RIGHT ] _{0} ^{1} - int _{0} ^{1} {e ^{x} dx} RIGHT ) +t ^{2} LEFT [ {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( e ^{2} -1 RIGHT ) -2t+ {1} over {3} t ^{2}]
[eqn: = {1} over {3} LEFT ( t-3 RIGHT ) ^{2} + {1} over {2} LEFT ( e ^{2} -7 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=3]에서 최소이므로

[eqn: a=3]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: f LEFT ( t RIGHT )] 정리하기	70 %
	[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]가 최소가 되는 [eqn: t]의 값 구하기	20 %
답 구하기	[eqn: a]의 값 구하기	10 %

2. 정적분의 활용 - ①회
중단원 평가 문제
1.	⑤	2.	④	3.	④
4.	②	5.	④	6.	④
7.	②	8.	④	9.	①
10.	[eqn: ln`5`` rm cm]	11.	③	12.	[eqn: {1} over {2} e-1]
13.	[eqn: 39]

1

오른쪽 그림에서 구하는

넓이는

[eqn: int _{-1} ^{2} {e ^{x} dx}][eqn: = LEFT [ pile{`#`}e ^{x} RIGHT ] _{-1} ^{2}]
[eqn: =e ^{2} - {1} over {e}]

2

[eqn: y=sin`x+cos`x]

[eqn: = sqrt {2} `sin LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT )]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{- {pi } over {4}} ^{{3} over {4} pi } {sqrt {2} `sin LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT ) dx}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`} `- sqrt {2} `cos LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT ) ` RIGHT ] _{- {pi } over {4}} ^{{3} over {4} pi }]

[eqn: =2 sqrt {2}]

3

오른쪽 그림에서 [eqn: a]의 값은

[eqn: a= int _{0} ^{{pi } over {2}} {`2`cos`x} `dx]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`}2`sin`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}]
[eqn: =2]

또, 오른쪽 그림에서
[eqn: b]의 값은

[eqn: b= int _{0} ^{4} {sqrt {x}} dx]
[eqn: = LEFT [ {2} over {3} x ^{{3} over {2}} RIGHT ] _{0} ^{4}]
[eqn: = {16} over {3}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: a+3b=2+16=18]

4

구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{a} {sqrt {x}} dx][eqn: = LEFT [ {2} over {3} x ^{{3} over {2}} RIGHT ] _{0} ^{a}]

[eqn: = {2} over {3} a sqrt {a}]

즉, [eqn: {2} over {3} a sqrt {a} = {16} over {3}]이어야 하므로 [eqn: a sqrt {a} =8]

양변을 제곱하면 [eqn: a ^{3} =64]

[eqn: THEREFORE a=4] ([eqn: BECAUSE][eqn: a>0])

5

곡선 [eqn: y= {2x} over {x ^{2} +1}]와 직선 [eqn: y=x]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: {2x} over {x ^{2} +1} =x]에서

[eqn: x ^{3} -x=0,~x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `x=-1] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]

이때 곡선 [eqn: y= {2x} over {x ^{2} +1}]와 직선 [eqn: y=x]는 모두 점 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]에 대하여 대칭이므로 구하는 넓이는

[eqn: 2 int _{0} ^{1} {LEFT ( {2x} over {x ^{2} +1} -x RIGHT ) dx}][eqn: =2 LEFT [ ln` LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) - {1} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: =2`ln`2-1]

6

두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: root-x+1 = rootx+1]에서

[eqn: -x+1 =x+1]

[eqn: THEREFORE `][eqn: x=0]

즉,  구하는 도형의 넓이는

[eqn: int _{-1} ^{0} {sqrt {x+1}} ``dx][eqn: + int _{0} ^{1} {sqrt {-x+1} ``dx}]

[eqn: = LEFT [ {2} over {3} (x+1) ^{{3} over {2}} RIGHT ] _{-1} ^{0} + LEFT [ - {2} over {3} (-x+1) ^{{3} over {2}} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = {2} over {3} + {2} over {3} = {4} over {3}]

7

두 곡선 [eqn: y=sin`x], [eqn: y=a`cos`x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: sin` alpha =a`cos` alpha]

[eqn: THEREFORE `tan` alpha =a]

[eqn: THEREFORE `sin` alpha = {a} over {sqrt {a ^{2} +1}} ,~cos` alpha = {1} over {sqrt {a ^{2} +1}}]

두 곡선과 직선 [eqn: x= {pi } over {2}]

로 둘러싸인 도형의 넓이

가 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: int _{alpha } ^{{pi } over {2}} {LEFT ( sin`x-a`cos`x RIGHT )} dx][eqn: = LEFT [ pile{`#`}-cos`x-a`sin`x RIGHT ] _{alpha } ^{{pi } over {2}}]
[eqn: =-a+cos` alpha +a`sin` alpha]
[eqn: =-a+ sqrt {a ^{2} +1}][eqn: = {1} over {2}]

즉, [eqn: sqrt {a ^{2} +1} =a+ {1} over {2}]에서

[eqn: a ^{2} +1=a ^{2} +a+ {1} over {4}]    [eqn: THEREFORE `a= {3} over {4}]

8

두 곡선 [eqn: y=e ^{2x}]과

[eqn: y=3e ^{x} -2]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: e ^{2x} =3e ^{x} -2]에서

[eqn: LEFT ( e ^{x} RIGHT ) ^{2} -3e ^{x} +2=0]

[eqn: LEFT ( e ^{x} -1 RIGHT ) LEFT ( e ^{x} -2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `e ^{x} =1] 또는 [eqn: e ^{x} =2]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{ln`2} {LEFT { LEFT ( 3e ^{x} -2 RIGHT ) -e ^{2x} RIGHT }} dx][eqn: = int _{0} ^{ln`2} {LEFT ( 3e ^{x} -e ^{2x} -2 RIGHT )} dx]

[eqn: = LEFT [ 3e ^{x} - {1} over {2} e ^{2x} -2x RIGHT ] _{0} ^{ln`2}]

[eqn: = LEFT ( 4-2`ln`2 RIGHT ) - {5} over {2}]

[eqn: = {3} over {2} -2`ln`2]

9

구하는 물의 부피는

[eqn: int_0^5 S(x)``dx = int_0^5 LEFT ( 3over5 x^2 +2x RIGHT )``dx]

[eqn: = left[ 1over5 x^3 +x^2 right]_0^5][eqn: = 50]

10

물의 깊이가 [eqn: t`` rm cm]일 때의 수면의 넓이를 [eqn: S LEFT ( t RIGHT )]라 하면 깊이가 [eqn: x``rmcm]일 때의 물의 부피 [eqn: V]는

[eqn: V= int _{0} ^{x} {S LEFT ( t RIGHT ) `dt}]

즉, [eqn: int _{0} ^{x} {S LEFT ( t RIGHT ) `dt= {1} over {2} e ^{2x} -e ^{x} + {1} over {2}}]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: S LEFT ( x RIGHT ) =e ^{2x} -e ^{x}]

수면의 넓이가 [eqn: 20`` rm cm ^{2}]일 때의 물의 깊이는

[eqn: S LEFT ( x RIGHT ) =20]에서 [eqn: e ^{2x} -e ^{x} =20]

[eqn: LEFT ( e ^{x} RIGHT ) ^{2} -e ^{x} -20=0], [eqn: LEFT ( e ^{x} -5 RIGHT ) LEFT ( e ^{x} +4 RIGHT ) =0]

[eqn: e ^{x} =5] ([eqn: BECAUSE e ^{x} >0])    [eqn: THEREFORE `x=ln`5]

따라서 구하는 물의 깊이는 [eqn: ln`5`` rm cm]이다.

11

오른쪽 그림과 같이 주어진 입체도형을 [eqn: x]좌표가

[eqn: x``` LEFT ( -1 LEQ x LEQ 1 RIGHT )]인 점을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {1-x ^{2}}]인 정삼각형이다.

정삼각형의 넓이를 [eqn: S` LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: S` LEFT ( x RIGHT ) = {sqrt {3}} over {4} LEFT ( sqrt {1-x ^{2}} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {sqrt {3}} over {4} LEFT ( 1-x ^{2} RIGHT )]

따라서 구하는 입체도형의 부피는

[eqn: int _{-1} ^{1} {} {sqrt {3}} over {4} LEFT ( 1-x ^{2} RIGHT ) dx][eqn: = {sqrt {3}} over {2} int _{0} ^{1} {} LEFT ( 1-x ^{2} RIGHT ) dx]

[eqn: = {sqrt {3}} over {2} LEFT [ x- {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = {sqrt {3}} over {2} `·` {2} over {3} = {sqrt {3}} over {3}]

12

[eqn: y=ln`x]에서 [eqn: y prime = {1} over {x}]이므로
곡선 위의 점 [eqn: LEFT ( e,~1 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {1} over {e}]이고,

접선의 방정식은

[eqn: y-1= {1} over {e} LEFT ( x-e RIGHT )]    [eqn: THEREFORE `y= {1} over {e} x]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: {1} over {2} e- int _{1} ^{e} {ln`x`dx}][eqn: = {1} over {2} e- LEFT { LEFT [ pile{`#`}x`ln`x RIGHT ] _{1} ^{e} - int _{1} ^{e} {x`·` {1} over {x} dx} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} e- LEFT { e- LEFT [` pile{`#`}x `RIGHT ] _{1} ^{e} RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} e-1]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	접선의 방정식 구하기	40 %
	넓이 구하는 식 세우기	30 %
답 구하기	넓이 구하기	30 %

13

밑면으로부터의 높이가 [eqn: x]인 단면이 반지름의 길이가

[eqn: sqrt {16-x ^{2}}]인 원이므로 단면의 넓이를 [eqn: S LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: S LEFT ( x RIGHT ) = pi LEFT ( 16-x ^{2} RIGHT )]

따라서 높이가 [eqn: 3]인 입체도형의 부피는

[eqn: int _{0} ^{3} {S LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: = int _{0} ^{3} {pi LEFT ( 16-x ^{2} RIGHT ) dx}]
[eqn: = pi LEFT [ 16x- {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{3}][eqn: =39 pi]

[eqn: THEREFORE `k=39]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	단면의 넓이 구하기	40 %
	입체도형의 부피 구하기	50 %
답 구하기	[eqn: k]의 값 구하기	10 %

2. 정적분의 활용 - ②회
중단원 평가 문제
1.	⑤	2.	④	3.	②
4.	[eqn: {1} over {2}]	5.	④	6.	③
7.	④	8.	④	9.	②
10.	④	11.	[eqn: 2]
12.	[eqn: log _{a} `b-1]	13.	[eqn: 18 sqrt {3}]

1

[eqn: y=ln LEFT ( x-1 RIGHT )]에서

[eqn: x-1=e ^{y}]

[eqn: THEREFORE x=e ^{y} +1]

오른쪽 그림에서 구하는 넓이는

[eqn: int _{-2} ^{1} {LEFT ( e ^{y} +1 RIGHT ) dy}]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} e ^{y} +y RIGHT ] _{-2} ^{1}][eqn: =e- {1} over {e ^{2}} +3]

2

[eqn: y][eqn: = sqrt {2} `sin`x][eqn: - sqrt {2} `cos`x][eqn: =2`sin` LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT )]

이므로 곡선

[eqn: y= sqrt {2} `sin`x][eqn: - sqrt {2} `cos`x]

와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x= pi]로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{pi } {LEFT | sqrt {2} `sin`x- sqrt {2} `cos`x RIGHT | dx}]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {4}} {LEFT { -2`sin` LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT } dx+ int _{{pi } over {4}} ^{pi } {2`sin` LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT )} dx}]

[eqn: = LEFT [ 2`cos` LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}} + LEFT [ -2`cos` LEFT ( x- {pi } over {4} RIGHT ) RIGHT ] _{{pi } over {4}} ^{pi }]

[eqn: = LEFT ( 2- sqrt {2} RIGHT ) + LEFT ( sqrt {2} +2 RIGHT )][eqn: =4]

3

[eqn: y= {1-x} over {x+a}]

[eqn: = {a+1} over {x+a} -1]

이므로 이 곡선과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S= int _{0} ^{1} {{1-x} over {x+a} ``dx}]

[eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( {a+1} over {x+a} -1 RIGHT ) ``dx}]

[eqn: = LEFT [ pile{`#`}(a+1)``ln``|`x+a`|-x RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: =(a+1)``ln``left( 1+ 1overa right)-1]

이때 [eqn: S=2`ln`2-1]이므로

[eqn: (a+1)``ln` LEFT ( `1+ {1} over {a} ` RIGHT ) -1=2`ln`2-1]

[eqn: THEREFORE `a=1]

4

[eqn: y= root {3} of {x-1}]에서 [eqn: y ^{3} =x-1]
[eqn: THEREFORE x=y ^{3} +1]

곡선 [eqn: x=y ^{3} +1]과 직선 [eqn: x=y+1]의 교점의 [eqn: y]좌표는

[eqn: y ^{3} +1=y+1]에서

[eqn: y ^{3} -y=0], [eqn: y LEFT ( y+1 RIGHT ) LEFT ( y-1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `y=-1] 또는 [eqn: y=0] 또는 [eqn: y=1]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{-1} ^{0} {LEFT { LEFT ( y ^{3} +1 RIGHT ) - LEFT ( y+1 RIGHT ) RIGHT } dy+} int _{0} ^{1} {LEFT { LEFT ( y+1 RIGHT ) - LEFT ( y ^{3} +1 RIGHT ) RIGHT } dy}]

[eqn: = int _{-1} ^{0} {LEFT ( y ^{3} -y RIGHT ) `dy+ int _{0} ^{1} {LEFT ( y-y ^{3} RIGHT ) dy}}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} y ^{4} - {1} over {2} y ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{0} + LEFT [ {1} over {2} y ^{2} - {1} over {4} y ^{4} RIGHT ] _{0} ^{1}]

[eqn: = {1} over {4} + {1} over {4}]

[eqn: = {1} over {2}]

5

곡선 [eqn: y=e ^{-x}]에서 [eqn: y prime =-e ^{-x}]이므로 곡선 위의 점

[eqn: LEFT ( t,~e ^{-t} RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: -e ^{-t}]이고, 접선의 방정식은

[eqn: y-e ^{-t} =-e ^{-t} LEFT ( x-t RIGHT )]

이 직선이 원점을 지나므로

[eqn: -e ^{-t} =te ^{-t}], [eqn: e ^{-t} LEFT ( t+1 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `t=-1] [eqn: LEFT ( BECAUSE ``e ^{-t} >0 RIGHT )]

즉, 곡선 [eqn: y=e ^{-x}] 위의 점 [eqn: LEFT ( -1,~e RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-e=-e LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `y=-ex]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{-1} ^{0} {LEFT { e ^{-x} - LEFT ( -ex RIGHT ) RIGHT } dx}]

[eqn: = int _{-1} ^{0} {LEFT ( e ^{-x} +ex RIGHT ) dx}]

[eqn: = LEFT [ -e ^{-x} + {e} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{-1} ^{0}]

[eqn: =-1- LEFT ( -e+ {e} over {2} RIGHT )]

[eqn: = {e} over {2} -1]

6

두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: e^x = e^2x]에서

[eqn: e^x (e^x -1) =0]    [eqn: THEREFORE `][eqn: x=0]

구간 [eqn: [`-ln`2,~0`]]에서 [eqn: e^x ge e^2x]이고,

구간 [eqn: [`0,~ln`2`]]에서 [eqn: e^x le e^2x]이므로
구하는 도형의 넓이는

[eqn: int _{-ln`2} ^{ln`2} {} |`e ^{x} -e ^{2x} `|``dx]

[eqn: = int _{-ln`2} ^{0} {} (e ^{x} -e ^{2x} )``dx+ int _{0} ^{ln`2} {} (e ^{2x} -e ^{x} )``dx]

[eqn: = LEFT [ e ^{x} - {1} over {2} e ^{2x} RIGHT ] _{-ln`2} ^{0} + LEFT [ {1} over {2} e ^{2x} -e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{ln`2}]

[eqn: = {1} over {8} + {1} over {2}]

[eqn: = {5} over {8}]

7

두 곡선 [eqn: y=k`cos`x], [eqn: y=sin`x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha][eqn: LEFT ( 0< alpha < {pi } over {2} RIGHT )]라 하면

[eqn: k`cos` alpha =sin` alpha]

[eqn: THEREFORE `tan` alpha =k] (단, [eqn: k>0])

곡선 [eqn: y=k`cos`x]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{1}]이라 하면

[eqn: S _{1}][eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {k`cos`x`dx}]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} k`sin`x RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}]

[eqn: =k]

두 곡선 [eqn: y=k`cos`x], [eqn: y=sin`x]로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{2}]라 하면

[eqn: S _{2}][eqn: = int _{0} ^{alpha } {LEFT ( k`cos`x-sin`x RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} k`sin`x+cos`x RIGHT ] _{0} ^{alpha }]
[eqn: =k`sin` alpha +`cos` alpha -1]

[eqn: =k`·` {k} over {sqrt {k ^{2} +1}} + {1} over {sqrt {k ^{2} +1}} -1]

[eqn: = sqrt {k ^{2} +1} -1]

이때 [eqn: S _{1} =2S _{2}]이므로

[eqn: k`=2 LEFT ( sqrt {k ^{2} +1} -1 RIGHT )], [eqn: k+2=2 sqrt {k ^{2} +1}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 3k ^{2} -4k=0], [eqn: k LEFT ( 3k-4 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `k= {4} over {3}] [eqn: LEFT ( BECAUSE ``k>0 RIGHT )]

8

두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와

[eqn: y={rmg} LEFT ( x RIGHT )]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이므로 오른쪽 그림과 같이[eqn: int _{1} ^{e} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 값은 곡선 [eqn: y={rmg} LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y]축 및 직선 [eqn: y=e]로 둘러싸인 도형의 넓이, 즉 [eqn: A]와 같다.

[eqn: THEREFORE ` int _{1} ^{e} {f LEFT ( x RIGHT ) dx+ int _{0} ^{1} {{rmg} LEFT ( x RIGHT ) dx}}][eqn: =A+B][eqn: =e]

9

물의 깊이가 [eqn: x]일 때, 수면은 한 변의 길이가
[eqn: sqrt {2x ^{2} +3}]인 정사각형이므로 수면의 넓이는

[eqn: LEFT ( sqrt {2x ^{2} +3} RIGHT ) ^{2} =2x ^{2} +3]

따라서 구하는 그릇의 부피는 [eqn: int _{0} ^{8} {LEFT ( 2x ^{2} +3 RIGHT ) dx}]

10

구하는 그릇의 부피는

[eqn: int _{0} ^{10} {} LEFT ( sqrt {x+2} `e ^{{x} over {2}} RIGHT ) ^{2} `dx][eqn: = int _{0} ^{10} {} LEFT ( x+2 RIGHT ) e ^{x} `dx]
[eqn: = LEFT [pile{`#`} LEFT ( x+2 RIGHT ) `e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{10} - int _{0} ^{10} {e ^{x} dx}]
[eqn: =12e ^{10} -2- LEFT [pile{`#`}`e ^{x} RIGHT ] _{0} ^{10}]
[eqn: =12e ^{10} -2- LEFT ( e ^{10} -1 RIGHT )]
[eqn: =11e ^{10} -1]

따라서 구하는 그릇의 부피는 [eqn: LEFT ( 11e ^{10} -1 RIGHT ) ``rmcm ^{3}]이다.

11

[eqn: V _{1} +V _{2}]는 입체도형의 부피와 같으므로

[eqn: V _{1} +V _{2} = int _{0} ^{4} {sin` {pi h} over {8}} dh]

[eqn: = LEFT [ - {8} over {pi } `cos` {pi h} over {8} RIGHT ] _{0} ^{4}]

[eqn: = {8} over {pi }]

이고

[eqn: V _{1} = int _{0} ^{a} {sin` {pi h} over {8}} dh]

[eqn: = LEFT [ - {8} over {pi } `cos` {pi h} over {8} RIGHT ] _{0} ^{a}]

[eqn: =- {8} over {pi } `cos` {pi a} over {8} + {8} over {pi }]

이므로

[eqn: V _{2} = {8} over {pi } -V _{1}]

[eqn: = {8} over {pi } - LEFT ( - {8} over {pi } `cos` {pi a} over {8} + {8} over {pi } RIGHT )]

[eqn: = {8} over {pi } `cos` {pi a} over {8}]

이때 [eqn: V _{2} -V _{1} = {8} over {pi } LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]이므로

[eqn: {8} over {pi } `cos` {pi a} over {8}][eqn: - LEFT ( - {8} over {pi } `cos` {pi a} over {8} + {8} over {pi } RIGHT )][eqn: = {8} over {pi } ` LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]

[eqn: {8} over {pi } LEFT ( 2`cos` {pi a} over {8} -1 RIGHT ) = {8} over {pi } LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )]

[eqn: 2`cos` {pi a} over {8} -1= sqrt {2} -1]

[eqn: cos` {pi a} over {8} = {sqrt {2}} over {2}]

이때 [eqn: 0<a<4]에서 [eqn: 0< {pi a} over {8} < {pi } over {2}]이므로

[eqn: {pi a} over {8} = {pi } over {4}]

[eqn: THEREFORE a=2]

12

[eqn: alpha = int _{p} ^{q} {} log _{b} `x`dx][eqn: = {1} over {ln`b} int _{p} ^{q} {} ln`x`dx]

[eqn: beta = int _{p} ^{q} {} (log _{a} `x-log _{b} `x)`dx]

[eqn: = LEFT ( {1} over {ln`a} - {1} over {ln`b} RIGHT ) int _{p} ^{q} {} ln`x`dx]     [eqn: THEREFORE ` {beta } over {alpha } = {LEFT ( {1} over {ln`a} - {1} over {ln`b} RIGHT ) int _{p} ^{q} {} ln`x`dx} over {{1} over {ln`b} int _{p} ^{q} {} ln`x`dx}]

[eqn: = {ln`b} over {ln`a} -1]

[eqn: =log _{a} `b-1]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	[eqn: alpha]를 적분을 이용하여 나타내기	40 %
	[eqn: beta]를 적분을 이용하여 나타내기	40 %
답 구하기	[eqn: beta over alpha]의 값 구하기	20 %

13

오른쪽 그림과 같이 원기둥을 자를 때 생기는 입체도형의 밑면의 지름의 양 끝점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고 밑면의 중심을 원점, 선분 [eqn: rmAB]의 연장선을 [eqn: x]축, 밑면의 중심을 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 수직인 직선을 [eqn: y]축이라 하자.

선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( x,~0 RIGHT )]을 지나고 선분 [eqn: rm AB]에 수직인 직선이 원과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하면 [eqn: TRIANGLE rmOPQ]에서

[eqn: {bar{rmOP}} = LEFT | x RIGHT |], [eqn: {bar{rmOQ}} =3]이므로

[eqn: {bar{rmPQ}} = sqrt {{bar{rmOQ}} ^{2} - {bar{rmOP}} ^{2}}][eqn: = sqrt {9-x ^{2}}]

[eqn: {bar{rm RQ it}} = {bar{rm PQ it}} `tan`60°= sqrt {9-x ^{2}} `·` sqrt {3}]

이때 [eqn: TRIANGLE rmPQR]의 넓이 [eqn: S LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: S(x)][eqn: = {1} over {2} `·` {bar{rm PQ it}} `·` {bar{rm RQ it}}]
[eqn: = {1} over {2} `·` sqrt {9-x ^{2}} `·` sqrt {9-x ^{2}} `· sqrt {3} `]
[eqn: = {sqrt {3}} over {2} LEFT ( 9-x ^{2} RIGHT )]

따라서 구하는 부피는

[eqn: int _{-3} ^{3} {S LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = int _{-3} ^{3} {{sqrt {3}} over {2} LEFT ( 9-x ^{2} RIGHT ) dx}]
[eqn: = {sqrt {3}} over {2} LEFT [ 9x- {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{-3} ^{3}]
[eqn: =18 sqrt {3}]

평가 내용	채점 기준	배점
해결 과정	원기둥을 자를 때 생기는 단면을 좌표평면 위에 나타내기	30 %
	[eqn: TRIANGLE rmPQR]의 넓이 구하기	50 %
답 구하기	입체도형의 부피 구하기	20 %