수학Ⅰ	Ⅲ. 도형의 방정식		4. 도형의 이동			반 / 번호
	01 평행이동					이름

01

평행이동 [eqn: (x,~y)~rarrow~(x+a,~y-3)]에 의하여 점 [eqn: (5,~b)]가 점 [eqn: (2,~-1)]로 옮겨질 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

02

직선 [eqn: l:~y=3x +2]를 직선 [eqn: l prime :~ y = 3x]로 옮기는 평행이동에 의하여 원 [eqn: rm C:~it (x-2)^2 + (y-5)^2 =4]를 원 [eqn: rm C prime]으로 옮길 때, 원 [eqn: rmC prime]의 중심 [eqn: rmP]의 자취의 방정식이 [eqn: ax +by +c =0]이다. 이때 서로소인 세 정수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은?

(단, [eqn: a<0])

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

03

원 [eqn: x^2 + y^2 =16]이 평행이동
[eqn: f:~(x,~y)~rarrow~(x+a,~y+b)]에 의하여 원
[eqn: x^2 + y ^2 -8x+2y +c=0]으로 옮겨졌다. 이때 [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c]는 상수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04

평행이동 [eqn: f:~(x,~y)~->~(x+a,~y+b)]에 의하여 원 [eqn: x^2 + y^2 = 1]을 이동하였더니 처음 원과 한 점에서 만났다. 이때 점 [eqn: (a,~b)]의 자취의 길이를 구하여라.

∣서∣술∣형∣

05

좌표평면 위에 점 [eqn: rmP(3,~4)]가 있다. 한 개의 주사위를 던져서 다음과 같은 방법으로 점 [eqn: rmP]를 이동시키려고 한다. 주사위를 [eqn: 7]번 던져서 홀수가 [eqn: 4]번, 짝수가 [eqn: 3]번 나왔을 때의 평행이동된 점을 [eqn: rmQ(ita,~b)]라고 할 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

Ⅰ. 홀수의 눈이 나오면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한다.

Ⅱ. 짝수의 눈이 나오면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한다.

06

점 [eqn: (2,~1)]을 지나는 직선 [eqn: l:~ax+by+2=0`]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동하여 얻은 직선을 [eqn: l prime]이라고 한다. 직선 [eqn: l prime]을 다시 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동하면 직선 [eqn: l]과 일치할 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

07

평행이동 [eqn: (x,~y)``->`` (x+5,~y-2)]에 의하여 점 [eqn: rm P(-1,~3)]이 평행이동한 점 [eqn: rmP prime]의 좌표를 구하여라.

08

직선 [eqn: y=2x+3]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하여라.

09

평행이동 [eqn: f:(x,~y)``->(x+2,~y-1)]에 의하여 다음 점은 어떤 점으로 옮겨지는가?
(1) [eqn: (3,~4)]
(2) [eqn: (-2,~1)]
(3) [eqn: (0,~0)]

10

오른쪽 그림과 같이 테트리스 게임에서 좌표평면 위에  모양의 도형을 [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점으로 평행이동시켜 빈칸에 꼭 끼워 맞추려면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: box{~~~}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: box{~~~}]만큼 평행이동해야 한다. □ 안에 알맞은 수를 써넣어라.

11

(1) 직선 [eqn: 3x-2y +1=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하여라.
(2) 평행이동 [eqn: f:(x,~y)``->``(x-2,~y+1)]에 의하여 직선 [eqn: 2x+ y + 5=0]이 이동한 직선의 방정식을 구하여라.

12

원 [eqn: x^2 + y ^2 - 4x +2y +1=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하여라.

13

다음 점을 어떻게 평행이동하면 점 [eqn: (1,~2)]로 옮겨지는가?
(1) [eqn: (2,~1)]
(2) [eqn: (-1,~-2)]
(3) [eqn: (3,~4)]

14

좌표평면 위의 두 원 [eqn: rmC_1 ,~C_2]에 대하여
[eqn: rmC_1 : it~x^2 + y ^2 = 1]
[eqn: rm C _{2} :~ it& (x-3) ^{2} +(y-2) ^{2} #&=1]
일 때, 원 [eqn: rmC_2]는 원 [eqn: rmC_1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: box{~~~}]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: box{~~~}]만큼 평행이동한 것이다. □ 안에 알맞은 수를 써넣어라.

15

평행이동 [eqn: f:~(x,~y)``->``(x+1,~y-1)]에 의하여 다음 도형이 평행이동한 도형의 방정식을 구하여라.
(1) 직선 [eqn: x-2y+3=0]
(2) 원 [eqn: x^2 + y ^2 = 4]

16

점 [eqn: (1,~`3)]이 점 [eqn: (-1,~1)]로 옮겨지는 평행이동에 의하여 점 [eqn: (1,~1)]은 어떤 점으로 옮겨지는가?

17

평행이동 [eqn: f:~(x,~y)``->``(x+a,~y+b)`]가 점 [eqn: (1,~2)]를 점 [eqn: (-1,~3)]으로 옮길 때, 다음을 구하여라.
(1) 상수 [eqn: a,~b]의 값
(2) 평행이동 [eqn: f]에 의하여 원점으로 옮겨지는 점의 좌표

18

점 [eqn: (-1,~2)]가 평행이동에 의하여 점 [eqn: (2,~1)]로 옮겨질 때, 이 평행이동에 의하여 다음 점은 어떤 점으로 옮겨지는가?
(1) [eqn: (0,~0)]
(2) [eqn: (3,~-2)]
(3) [eqn: (p,~q)]

19

점 [eqn: (1,~3)]을 점 [eqn: (2,~-1)]로 옮기는 평행이동을 [eqn: f]라고 하면 [eqn: f:~(x,~y)``->``(x+a,~y+b)`]이다. 이때 [eqn: a+b]의 값을 구하여라. (단, [eqn: a,~b]는 상수)

20

직선 [eqn: y=ax+b]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하였더니 직선 [eqn: y= 3x-9]와 겹쳐졌다. 이때 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

21

평행이동 [eqn: f:~(x,~y)``->``(x+a,~y+b)`]에 의하여 원 [eqn: x^2 + y ^2 + 2x- 4y +c=0]이 원 [eqn: x^2 + y ^2 = 4]로 옮겨질 때, [eqn: a^2 + b^2 +c^2]의 값을 구하여라.

22

직선 [eqn: 2x+3y+5=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a+1]만큼 평행이동하였더니 직선 [eqn: 2x+ 3x- 8=0]과 겹쳐졌다. 이때 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

23

원 [eqn: (x-1) ^2 +(y-2) ^2 =1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동하였더니 원 [eqn: (x-a) ^2 + ( y-b) ^2 = r^2]과 겹쳐졌다. 이때 상수 [eqn: a,~b,~r]이 값을 구하여라. (단, [eqn: r>0])

24

평행이동 [eqn: f:~(x,~y)``->``(x-2,~y+ 4)]에 의하여 다음 점은 어떤 점으로 옮겨지는가?
(1) [eqn: (0,~0)]
(2) [eqn: (1,~2)]
(3) [eqn: (p,~q)]

25

다음 도형을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동한 도형의 방정식을 구하여라.
(1) [eqn: 3x-y+2=0]
(2) [eqn: (x-3) ^2 +(y+1) ^2 = 4]

26

점 [eqn: (2,~1)]을 점 [eqn: (3,~-1)]로 옮기는 평행이동에 의하여 점 [eqn: (3,~3)]이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

27

직선 [eqn: y=2x -3]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a+1]만큼 평행이동한 직선은 점 [eqn: (2,~0)]을 지난다. 이때 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

28

직선 [eqn: y=3x+2]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: p]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: q]만큼 평행이동하였더니 처음 주어진 직선과 일치하였다. 이때 [eqn: p,~q] 사이의 관계식을 구하여라.

29

원 [eqn: x^2 + y ^2 = 4]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하였더니 처음 주어진 원과 외접하였다. 이때 [eqn: a^2 + b^2]의 값을 구하여라.

30

좌표평면 위에서 점 [eqn: rmP_1 ( -3,~-4)]를 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rmP_2], 점 [eqn: rmP_2]를 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rm P _{3} ,~cdots]이라고 하자. 이와 같이 [eqn: x]축, [eqn: y]축의 방향으로 각각 [eqn: 1]만큼 차례로 점을 평행이동시킬 때, [eqn: bar {rm{ OP_{it{n}}}} le3]을 만족시키는 점 [eqn: rmP _{itn}]의 개수를 구하여라.

31

직선 [eqn: x-4y+3=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하였더니 처음 직선과 일치하였다. 이때 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

32

평행이동 [eqn: (x,~y)``->``(x+a,~y+b)]에 의하여 점 [eqn: (-1,~4)]가 점 [eqn: (2,~2)]로 옮겨질 때, 이 평행이동에 의하여 원점으로 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

33

원 [eqn: x^2 + y ^2 = 4]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a`]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2a]만큼 평행이동하였더니 직선 [eqn: 4x- 3y+2=0]에 접하였다. 이때 양수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

34

좌표평면 위의 점 [eqn: (a,~b)]가 다음과 같은 규칙으로 움직인다.

(i) [eqn: ab>0]이면 [eqn: (a-2,~b+1)]로 이동한다.

(ii) [eqn: ab<0]이면 [eqn: (a-2,~b-1)]로 이동한다.

(iii) [eqn: ab=0]이면 이동을 멈춘다.

점 [eqn: (5,~1)]이 위의 규칙대로 이동하여 점 [eqn: rmP]에서 멈출 때, 점 [eqn: rmP]의 좌표는?

① [eqn: (-9,~0)]	② [eqn: (-8,~0)]	③ [eqn: (-7,~0)]

④ [eqn: (-6,~0)]	⑤ [eqn: (-5,~0)]

36

평행이동 [eqn: f:(x,~y) ->(x+2,~y-1)]에 의하여 점 [eqn: (1,~-2)]가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.

37

직선 [eqn: y=3x-2]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동한 직선의 방정식을 구하여라.

38

평행이동 [eqn: f:(x,~y) -> (x+m,~y+n)]에 의하여 원점은 점 [eqn: (2,~-3)]으로 옮겨진다. 이때 평행이동 [eqn: f]에 의하여 직선 [eqn: 2x+y-1=0]이 옮겨지는 직선의 방정식을 구하여라.

39

평행이동 [eqn: f:(x,~y) -> (x+2,~y-3 )]에 의하여 직선 [eqn: y=ax+b]를 평행이동하면 점 [eqn: (0,~4)]를 지난다. 이때 [eqn: 2a-b]의 값을 구하여라.

40

평행이동 [eqn: f:(x,~y) -> (x+2,~y-1)]에 의하여 직선 [eqn: y=ax+b]를 평행이동하면 직선 [eqn: y=-2x+1]과 [eqn: y]축 위에서 직교한다. 이때 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

41

직선 [eqn: y= 2x+1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y `]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동시켰더니 처음 직선과 일치하였다. 이때 상수 [eqn: m]의 값을 구하여라.

42

직선 [eqn: y= ax+b]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동했더니 직선 [eqn: y=3x-4]와 [eqn: y]축 위에서 수직으로 만났다.
이때 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

43

직선 [eqn: ax+ y+b=0]이 평행이동
[eqn: f:(x,~y)~->~(x+ 3,~y+2)]
에 의해 직선 [eqn: 2x- y+1=0]으로 옮겨지도록 하는 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

44

이차함수 [eqn: y= x^2 +4x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동시켜 직선 [eqn: y=2x]와 서로 다른 두 점 [eqn: rmP,~Q]에서 만나도록 할 때, 두 점 [eqn: rmP,~Q]는 원점에 대하여 대칭이 되었다. 이때 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅲ. 도형의 방정식		4. 도형의 이동			반 / 번호
	02 대칭이동					이름

01

점 [eqn: rm A( -2,~3)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm P], 원점에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라고 할 때, 직선 [eqn: rmPQ]의 방정식은?

① [eqn: y= x+1]	② [eqn: y= x+2]

③ [eqn: y= x+3]	④ [eqn: y=x-4]

⑤ [eqn: y= x-5]

02

직선 [eqn: 2x- 3y -5 = 0]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 다음 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 동형은, 직선 [eqn: 2x - 3y -4 =0]을 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이동한 다음 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 도형과 일치한다. 이때 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 3 over2]	⑤ [eqn: 2]

03

원 [eqn: x^2 +(y- 2)^2 =4]를 점 [eqn: rmP(2,~3)]에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은?

① [eqn: (x-4)^2 +(y-2)^2 =4]

② [eqn: (x+4) ^{2} +(y-2) ^{2} =4]

③ [eqn: (x-4)^2 +(y+2)^2 =4]

④ [eqn: (x-4)^2 +(y+4)^2 =4]

⑤ [eqn: (x-4)^2 +(y-4)^2 =4]

04

두 원 [eqn: x^2 + y^2 =4,~ (x+2)^2 +(y-a)^2 =b]가 직선 [eqn: y=x+c]에 대하여 대칭일 때, 상수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: a+b+c]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

05

좌표평면 위의 점 [eqn: rmP(ita,~b)]를 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이동한 후, 다시 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동하였다. 그 후 다시 원점에 대하여 대칭이동하였더니 점 [eqn: rmP prime (-5,~-2)]가 되었다. 이때 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

06

다음 그림과 같이 [eqn: rm bar AB = 6]이고 [eqn: rm bar AD = 8]인 직사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. [eqn: rm bar BP = 2,~bar CR = 4]일 때, 점 [eqn: rmP]를 출발하여 변 [eqn: rm BC] 위의 동점 [eqn: rmQ]를 거쳐 점 [eqn: rmR]까지 가는 최단 경로의 길이는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

07

오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rm P(4,~3)]과 직선 [eqn: y=x] 위의 한 점 [eqn: rmQ], [eqn: x]축 위의 한 점 [eqn: rm R]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPQR]의 둘레의 길이의 최솟값은?

① [eqn: 3 sqrt { 2}]	② [eqn: 2 sqrt { 5}]	③ [eqn: 4sqrt { 3}]

④ [eqn: 5 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 6 sqrt { 3}]

08

원 [eqn: x^2 + y^2 + 4x - 6y =12]를 원점에 대하여 대칭이동한 다음, 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면 중심이 [eqn: y=ax+4] 위에 있게 된다. 이때 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: - 2 over 3]	② [eqn: - 1 over 3]	③ [eqn: 1 over 3]

④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: 2 over 3]

09

두 도형 [eqn: f(x,~y)=0]과 [eqn: g(x,~y)=0]이 다음 그림과 같을 때, 다음 중 도형 [eqn: g(x,~y)=0]과 같은 것은?

① [eqn: f(-x,~-y-1)=0]

② [eqn: f(-x,~-y+1)=0]

③ [eqn: f(-x-1,~-y)=0]

④ [eqn: f(y,~x-1)=0]

⑤ [eqn: f(y+1,~x)=0]

10

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A(1,~2),~B(5,~3)]과 [eqn: x]축 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm bar AP +bar BP]의 최솟값은?

① [eqn: 2sqrt { 3}]	② [eqn: 2sqrt { 5}]	③ [eqn: 3sqrt { 3}]

④ [eqn: 4sqrt {2}]	⑤ [eqn: sqrt { 41}]

11

점 [eqn: rmP(2,~-5)]를 다음에 대하여 각각 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.
(1) 원점
(2) [eqn: x]축
(3) [eqn: y]축

12

직선 [eqn: 3x+2y =1]을 다음에 대하여 각각 대칭이동한 직선의 방정식을 구하여라.
(1) 원점
(2) [eqn: x]축
(3) [eqn: y]축

13

다음 점과 직선을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표와 직선의 방정식을 구하여라.
(1) 점 [eqn: (2,~-3)]
(2) 직선 [eqn: 3x+2y=1]

14

점 [eqn: (3,~-2)]를 원점, [eqn: x]축, [eqn: y]축, 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rmP,~Q,~R,~S]라고 할 때, 네 점 [eqn: rmP,~Q,~R,~S]의 좌표를 각각 구하여라.

15

다음 □ 안에 알맞은 것을 써넣어라.
(1) 원 [eqn: (x-4) ^2 + ( y+2 ) ^2 =1]을 원점에 대하여 대칭이동하면
[eqn: (`box{~~~~}`-4) ^2 + (` box{~~~~}`+2 ) ^2 =1]
(2) 직선 [eqn: x+y+3=0]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면
[eqn: x+` box{~~~~}`+3=0]
(3) 직선 [eqn: x+y+3=0]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하면
[eqn: ` box{~~~~}`+y+3=0]
(4) 원 [eqn: (x-4) ^2 + ( y+2 ) ^2 =1]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면
[eqn: (` box{~~~~}`-4) ^2 + ( ` box{~~~~}`+2 ) ^2 =1]

16

원 [eqn: (x-1) ^2 +(y-2) ^2 = 1]을 다음에 대하여 각각 대칭이동한 원의 방정식을 구하여라.
(1) 원점
(2) [eqn: x]축
(3) [eqn: y]축
(4) 직선 [eqn: y=x]

17

점 [eqn: (-4,~3)]을 다음에 대하여 각각 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.
(1) 원점
(2) [eqn: x]축
(3) [eqn: y]축
(4) 직선 [eqn: y=x]

18

직선 [eqn: y=2x-3]을 [eqn: x]축, [eqn: y]축, 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 각각 구하여라.

19

포물선 [eqn: y= x^2 +1]을 원점, 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이동한 그래프의 식을 각각 구하여라.

20

직선 [eqn: y= 3x -2]와 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 직선에 평행하면서 점 [eqn: (2,~1)]을 지나는 직선의 방정식을 구하여라.

21

원 [eqn: (x-2) ^2 + (y-a) ^2 =4]를 원점에 대하여 대칭이동한 후 다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하였더니 직선 [eqn: y=2x+4]에 의하여 넓이가 이등분되었다. 이때 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

22

직선 [eqn: y= 1 over 3 x+2]와 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 직선에 수직이고, 점 [eqn: (1,~3)]을 지나는 직선이 방정식을 구하여라.

23

원 [eqn: x^2 + (y-3) ^2 = 1]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후 다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하여라.

24

점 [eqn: rmA(3,~1)]과 직선 [eqn: x-2y+1=0]에 대하여 대칭인 점 [eqn: rmA prime]의 좌표를 구하여라.

25

점 [eqn: rmA(4,~3)]을 직선 [eqn: y=x+1]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmA prime(ita,~b)]라고 할 때, [eqn: a+2b]의 값을 구하여라.

26

두 점 [eqn: rm A(4,~2)]와 [eqn: rmB(2,~6)]이 직선 [eqn: y= ax+b]에 대하여 대칭이 되도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

27

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 당구대에서 [eqn: rmA(2,~1)]의 위치에 있는 흰 공이 벽 [eqn: rmP] 지점을 맞고, [eqn: rmB(7,~3)]의 위치에 있는 붉은 공을 맞추었다. 이때 [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점까지 흰 공이 움직인 거리를 구하여라. (단, 입사각과 반사각의 크기는 같다.)

28

오른쪽 그림과 같이 좌표평면 위의 당구대에서 [eqn: rmA] 지점에 있는 흰 공을 쳐서 벽 [eqn: rmP] 지점에 맞힌 후 [eqn: rmB] 지점에 있는 붉은 공을 맞추었다. [eqn: rmA(2,~3),~B(6,~1)]일 때, 다음을 구하여라. (단, 입사각과 반사각의 크기는 같다.)
(1) [eqn: rmP]의 좌표
(2) [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점까지 흰 공이 움직인 거리

29

점 [eqn: (5,~-4)]를 다음에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.
(1) 원점
(2) [eqn: x]축
(3) [eqn: y]축
(4) 직선 [eqn: y=x]
(5) 직선 [eqn: y=-x]
(6) 점 [eqn: (1,~3)]

30

포물선 [eqn: y= -x ^2 + x]를 다음에 대하여 각각 대칭이동한 포물선의 방정식을 구하여라.
(1) 원점
(2) [eqn: x]축
(3) [eqn: y]축
(4) 직선 [eqn: y=x]

31

포물선 [eqn: y=`x ^{2`}]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후 다시 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동하였더니 직선 [eqn: y=x+1]에 접하였다. 이때 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

32

원 [eqn: x ^{2}+ y ^2 -4x +2ay -1=0]이 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

33

직선 [eqn: y=x-1]에 대하여 원
[eqn: (x-2) ^2 +(y-3) ^2 =1]과 대칭한 원의 방정식을 구하여라.

34

두 포물선 [eqn: y= x^2 -4x + 6]과 [eqn: y= -x ^2 + 6x -10]이 점 [eqn: rmP]에 대하여 대칭일 때, 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

35

포물선 [eqn: y=x^2]을 점 [eqn: (1,~2)]에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식을 구하여라.

36

원 [eqn: x ^2 +( y-2) ^2 =4]를 직선 [eqn: y=1]에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하고, 두 원이 겹쳐지는 부분의 넓이를 구하여라.

37

좌표평면 위의 임의의 점 [eqn: (x,~y)]에 대하여 [eqn: rm box {``A``}`,~box {``B``},~box {``C``}]를
[eqn: (x,~y)` REL -> {BOX{`` rm A`` it}} {} `(x,~-y)# (x,~y)` REL -> {BOX{`` rm B`` it}} {} `(-x,~y)# (x,~y)` REL -> {BOX{`` rm C`` it}} {} `(-x,~-y)]
라고 하자.
[eqn: (x,~y)`` REL -> {BOX{`` rm B`` it}} {} `` BOX{~~~~~~} ``` REL -> {(가)} {} `` BOX{~~~~~~} ``` REL -> {BOX{`` rm C`` it}} {} `` BOX{~~~~~~} ``# ` REL -> {(나)} {} `` BOX{~~~~~~} ```` REL -> {BOX{`` rm A`` it}} {} ``(x,~y)]
일 때, 다음 중 (가), (나)에 알맞은 것을 차례로 나열한 것은?

① [eqn: BOX{`` rm A`` },~BOX{`` rm B`` }]	② [eqn: BOX{`` rm A`` it} ,~ BOX{`` rm C``it}]

③ [eqn: BOX{`` rm B`` it} ,~ BOX{`` rm C` it}]	④ [eqn: BOX{`` rm C` it} ,~ BOX{`` rm B`` it}]

⑤ [eqn: BOX{`` rm B`` it},~BOX{`` rm B`` it}]

38

포물선 [eqn: y= x^2 - 2x +3]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 후 다시 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하였을 때, 포물선의 꼭짓점의 좌표는?

① [eqn: (-3,~-2)]	② [eqn: (-3,~2)]

③ [eqn: (3,~-2)]	④ [eqn: (2,~-3)]

⑤ [eqn: (-2,~3)]

39

직선 [eqn: y=2x-4]를 원점에 대하여 대칭이동한 직선을 [eqn: l_1], [eqn: x]축과 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 직선을 각각 [eqn: l_2 ,~l_3]이라고 하자. [eqn: l_1]과 [eqn: l_2], [eqn: l_1]과 [eqn: l_3]의 교점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라고 할 때, [eqn: rm{ barPQ} ^2]의 값을 구하여라.

40

원 [eqn: (x-3) ^2 +(y+2) ^2 =1]을 점 [eqn: (2,~1)]에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을 구하여라.

41

점 [eqn: (1,~2)]를 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 차례로 구하여라.

42

직선 [eqn: y=2x+1]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구하여라.

43

점 [eqn: rmA(4,~-3)]을 지나는 직선 [eqn: l]을 점 [eqn: (2,~1)]에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x]축에 대칭이동하였더니 다시 점 [eqn: rmA]를 지나는 직선이 되었다. 이때 직선 [eqn: l]의 기울기를 구하여라.

44

점 [eqn: rmP]를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하고, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동한 후, 다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하였더니 점 [eqn: rmP]에 겹쳐졌다. [eqn: rmP(ita,~b)]일 때, [eqn: ab]의 값을 구하여라.

45

점 [eqn: (2,~1)]에 대하여 점 [eqn: (a,~b)]와 대칭인 점을 [eqn: (alpha,~beta)]라고 한다. 점 [eqn: (a,~b)]가 직선 [eqn: y=2x-1] 위를 움직일 때, 점 [eqn: (alpha,~beta )]가 움직이는 직선의 방정식을 구하여라.

46

원 [eqn: (x-2) ^2 + ( y+1) ^2 =9]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 원의 중심이 직선 [eqn: y=2x+k] 위에 있을 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

47

원 [eqn: (x-1) ^{2} `+(y-a)` ^{2} =2]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시켰더니 직선 [eqn: y=2x-3]에 의해 이등분되었다. 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

48

원 [eqn: x^2 + y^ 2 -4x+ay-3=0]이 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭일 때, 이 원의 넓이를 구하여라.

49

직선 [eqn: 2x+ 3y =4]를 원점에 대하여 대칭이동하고, 다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식이 [eqn: ax+by=4]일 때, [eqn: a-b]의 값을 구하여라.

50

이차함수 [eqn: y=x^2]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후, 다시 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동했더니 직선 [eqn: y=x+1]과 접하였다. 이때 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

51

점 [eqn: (-2,~2)]를 지나는 직선을 [eqn: y]축의 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 후, 다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 직선이 점 [eqn: (2,~-4)]를 지날 때, 처음 직선의 방정식을 구하여라.

52

두 점 [eqn: rmA(-5,~1)},~B(4,~5)]에서 같은 거리에 있는 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmP]의 좌표를 구하여라.

53

원 [eqn: (x+1 ) ^2 +(y+2) ^2 =1]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 원의 방정식을 구하여라.

∣서∣술∣형∣

54

점 [eqn: rmA(1,~1)]을 직선 [eqn: y=2x]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.

∣서∣술∣형∣

55

[eqn: x]축, [eqn: y]축 위의 두 점 [eqn: rm A( it a,~0),~ rm B(0,~itb)]와 점 [eqn: rmC(3,~4)]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이의 최솟값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅲ. 도형의 방정식		4. 도형의 이동			정답
	01 평행이동

01

①

답

해

설

점 [eqn: (5,~b)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동한 점 [eqn: (5+a,~b-3)]이 점 [eqn: (2,~-1)]과 일치하므로  [eqn: 5+a =2,~b-3 =-1]

[eqn: a=-3,~b=2]이므로  [eqn: a+b=-1]

02

①

답

해

설

직선 [eqn: l:~y=3x +2]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 직선 [eqn: l prime]의 방정식은

[eqn: y-n = 3(x-m) +2]

[eqn: y= 3x -3m +n +2]

그런데 직선 [eqn: l prime :~y=3x]이므로

[eqn: -3m +n +2=0]	㉠

또 원 [eqn: rm C:~(it x-2)^2 +(y-5)^2 =4]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y `]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 원 [eqn: rmC prime]의 중심의 좌표를 [eqn: rmP(itx,~y)]라고 하면 [eqn: rmP(2+it m ,~5+n)]이므로  [eqn: 2+m= x,~5+n = y]

[eqn: m=x-2,~n= y-5]	㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: -3(x-2) + (y-5)+2=0]

[eqn: -3x+y +3 =0]

[eqn: ax+by+c=0]에서  [eqn: a=-3,~b=1,~c=3]

[eqn: a+b+c=1]

03

④

답

해

설

원 [eqn: x^2 + y ^2 = 16]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 원의 방정식은

[eqn: (x-a)^2 +(y-b)^2 = 16]

[eqn: x^2 + y^2 -2ax -2by +a^2 +b^2 -16 =0]

[eqn: x^2 + y^2 -8x +2y +c=0]에서

[eqn: -2a=-8,~-2b=2,~c=a^2 +b^2 -16]

이므로  [eqn: a=4,~b=-1,~c=1]

[eqn: a+b+c=4]

04

[eqn: 4pi]

답

해

설

원 [eqn: x^2 + y^2 =1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하더라도 반지름의 길이는 변함이 없고, 처음 원과 한 점에서 만나려면 접해야 하므로 오른쪽 그림과 같다.

점 [eqn: (a,~b)]는 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 위를 움직인다.

따라서 점 [eqn: (a,~b)]의 자취의 길이는 [eqn: 2pi cdot 2=4 pi]이다.

05

[eqn: 17]

답

해

설

점 [eqn: rmP(it x,~y)]를 평행이동한 점의 좌표는 다음과 같다.

홍수가 나오는 경우: [eqn: (x,~y)~->~ (x+2,~y-1)]

짝수가 나오는 경우: [eqn: (x,~y)~->~ (x-1,~y+3)]

(가)

주사위를 던져서 홀수가 [eqn: 4]번, 짝수가 [eqn: 3]번 나왔으므로 점 [eqn: rmP]는 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2 cdot 4 +(-1) cdot 3 = 5]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: (-1) cdot 4 +3 cdot 3 =5]만큼 평행이동하게 된다. 즉,

[eqn: rm Q(3+5,~4+5),~Q(8,~9)]	(나)

따라서  [eqn: a+b =8+9=17]	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 홀수, 짝수가 나오는 경우의 [eqn: rmP(itx,~y)]를 평행이동한 점의 좌표를 구한다.	40 %
(나) 홀수가 [eqn: 4]번, 짝수가 [eqn: 3]번 나왔을 때의 평행이동한 점의 좌표 [eqn: rmQ(it a,~b)]를 구한다.	40 %
(다) [eqn: a+b]의 값을 구한다.	20 %

06

④

답

해

설

직선 [eqn: l:~ax+by+2=0]이 점 [eqn: (2,~1)]을 지나므로

[eqn: 2a +b+2=0]	㉠

직선 [eqn: l prime]은 직선 [eqn: l]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동하여 얻은 직선이므로 직선 [eqn: l prime]의 방정식은  [eqn: a(x-3)+b(y-5) +2=0]

직선 [eqn: l prime]을 다시 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동하면

[eqn: a(x-1-3)+b(y+2 - 5 )+2 =0]

[eqn: ax+by -4a -3b +2 =0]	㉡

직선 ㉡이 직선 [eqn: l:~ax+by +2=0]과 일치하므로

[eqn: -4a -3b +2=2,~4a +3b =0]	㉢

㉠, ㉢을 연립하여 풀면  [eqn: a=-3,~b=4]

[eqn: a+b = (-3)+4 =1]

07

[eqn: rmP prime(4,~1)]

답

08

[eqn: y=2x-5]

답

09

(1) [eqn: (5,~3)]
(2) [eqn: (0,~0)]
(3) [eqn: (2,~-1)]

답

10

[eqn: -2,~-3]

답

11

(1) [eqn: 3x-2y-4=0]  (2) [eqn: 2x+ y +8=0]

답

12

[eqn: x^2 + y ^2 = 4]

답

13

해설 참조

답

해

설

(1) [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동하면 된다.

(2) [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동하면 된다.

(3) [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 평행이동하면 된다.

14

[eqn: 3,~2]

답

15

(1) [eqn: x-2y=0]
(2) [eqn: (x-1) ^2 +( y+1) ^2 = 4]

답

16

[eqn: (-1,~-1)]

답

17

(1) [eqn: a=-2,~b=1]   (2) [eqn: (2,~-1)]

답

18

(1) [eqn: (3,~-1)]
(2) [eqn: (6,~-3)]
(3) [eqn: (p+3,~q-1)]

답

19

[eqn: -3]

답

20

[eqn: a=3,~b=-2]

답

21

④

답

해

설

[eqn: x^2 + y ^2 + 2x -4y+c=0]에서

[eqn: (x+1) ^2 + (y-2) ^2 = 5-c]	㉠

원의 중심 [eqn: (-1,~2)]가 점 [eqn: (0,~0)]으로 옮겨지므로

[eqn: f:~(-1,~2)``->``(-1+a,~2+ b)]

[eqn: -1+a=0,~2+b=0]

[eqn: a=1,~b=-2]

㉠과 원 [eqn: x^2 + y ^2 =4]의 반지름의 길이가 같으므로

[eqn: 5-c=4,~c=1]

[eqn: a^2 + b^2 + c^2 = 1^2 +(-2) ^2 + 1^2 =6]

22

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: x] 대신에 [eqn: x-a], [eqn: y] 대신에 [eqn: y-(a+1)]을

[eqn: 2x+ 3y + 5=0]에 대입하면

[eqn: 2(x-a) +3(y-a-1)+5=0]

[eqn: 2x+ 3y - 5a +2=0]

이 식은 [eqn: 2x + 3y -8=0]과 일치하므로

[eqn: -5a+2=-8},~ a=2]

23

[eqn: a=3,~b=5},~r=1]

답

해

설

원 [eqn: (x-1) ^{2} +(y-2) ^{2} =1]의 중심은

[eqn: (1,~2)]

이 원을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동하면 중심은

[eqn: (1+2,~2+3)=(3,~5)]

가 되고 반지름의 길이는 변하지 않으므로 [eqn: 1]이다.

따라서 평행이동한 원의 방정식은

[eqn: (x-3)` ^{2}+ (y-5) ^2 =1]

[eqn: a=3,~b=5},~r=1]

24

(1) [eqn: (-2,~4)]
(2) [eqn: (-1,~6)]
(3) [eqn: (p-2,~q+4)]

답

25

(1) [eqn: 3x-`y-4=0]
(2) [eqn: (x-4) ^{2} +(y+4) ^2 = 4]

답

26

[eqn: (4,~1)]

답

27

[eqn: 2]

답

28

[eqn: 3p-q=0]

답

29

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: x] 대신에 [eqn: x-a], [eqn: y] 대신에 [eqn: y-b]를 대입하면

[eqn: (x-a) ^2 + (y-b) ^2 = 4]

이때 두 원이 외접하고, 반지름의 길이가 모두 [eqn: 2]이므로 두 원의 중심거리는 [eqn: 4]이다. 즉,

[eqn: sqrt {a ^{2} +b ^{2}} =4], [eqn: a^2 +b ^2 = 16]

30

[eqn: 4]개

답

해

설

점 [eqn: rmP_{itn}]은 직선 [eqn: y=x-1] 위의 점이므로 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 것이다.	㉠

그림과 같이 직선 [eqn: y=x-1]의 점 중에서 ㉠을 만족시키고, 원점 [eqn: rmO]와의 거리가 [eqn: 3] 또는 그 이내인 점은 [eqn: rmP_3 ,~P_4 ,~P_ 5 ,~P _ 6]이다.

따라서 조건을 모두 만족시키는 점 [eqn: rmP _ {itn}]은 모두 [eqn: 4]개다.

31

[eqn: 4]

답

32

[eqn: (-3,~2)]

답

33

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: x] 대신에 [eqn: x-a], [eqn: y] 대신에 [eqn: y-2a]를 대입하면

[eqn: (x-a) ^2 +(y-2a) ^2 = 4]

이 원이 직선 [eqn: 4x-3y +2=0]에 접하므로 다음 그림과 같이 원의 중심 [eqn: (a,~2a)]에서 직선까지의 거리는 원의 반지름의 길이 [eqn: 2]와 같다.

즉, [eqn: {|`4a - 6a +2` |} over sqrt { 4^2 + (-3) ^2 } =2]에서  [eqn: 1-a= +- 5]

[eqn: a>0]이므로  [eqn: a=6]

34

[eqn: (-9,~0)]

답

해

설

점 [eqn: (a,~b)]가 제[eqn: 1]사분면이나 제[eqn: 3]사분면에 있으면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한다.

또 점 [eqn: (a,~b)]가 제[eqn: 2]사분면이나 제[eqn: 4]사분면에 있으면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한다.

그리고 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축 위에 있으면 멈추게 된다.

점 [eqn: (5,~1)]을 옮기면 다음 그림과 같이 점 [eqn: (-9,~0)]에서 멈추는 것을 알 수 있다.

36

[eqn: (3,~-3)]

답

37

[eqn: y=3x-11]

답

38

[eqn: 2x+y-2=0]

답

해

설

점 [eqn: (0,~0)]이 평행이동 [eqn: f]에 의하여 옮겨지는 점의 좌표는  [eqn: (m,~n)]

이것이 점 [eqn: (2,~-3)]과 일치하므로  [eqn: m=2,~n=-3]

즉, [eqn: f]는 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동함을 의미하므로 주어진 평행이동은

[eqn: f:(x,~y) ->(x+2,~y-3)]

따라서 평행이동 [eqn: f]에 의하여 직선 [eqn: 2x+y-1=0]이 옮겨지는 직선의 방정식은

[eqn: 2(x-2)+(y+3)-1=0~~~therefore 2x+y-2=0]

39

[eqn: -7]

답

해

설

직선 [eqn: y=ax+b]를 [eqn: f]에 의하여 평행이동하면

[eqn: y+3=a(x-2)+b]

이것이 점 [eqn: (0,~4)]를 지나므로  [eqn: 4+3 =a(0-2)+b~~~therefore 2a-b=-7]

40

[eqn: 7 over2]

답

해

설

[eqn: y=ax+b~ ->~ y+1 =a(x-2)+b]

[eqn: therefore y=ax-2a+b-1]

[eqn: y=-2x+1]과 [eqn: y]축 위에서 직교하는 직선은

[eqn: y= {1} over {2} x+1~~~ THEREFORE a= {1} over {2} ,~b=3~~~ THEREFORE a+b= {7} over {2}]

41

[eqn: -2]

답

해

설

직선 [eqn: y= 2x+1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y `]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동시키면

[eqn: y-m=2(x+1)+1]에서  [eqn: y=2x+3+m]

[eqn: 3+m=1]에서  [eqn: m=-2]

42

[eqn: -2]

답

해

설

평행이동한 직선의 방정식은

[eqn: y+3 =a(x-2)+b~~~therefore y=ax-2a+b-3]

직선 [eqn: y=3x-4]와 [eqn: y]축 위에서 수직으로 만나므로

[eqn: a= - 1 over 3 ,~ b= - 5 over 3 ~~~therefore a+b = - 1 over 3 - 5 over 3 =-2]

43

[eqn: -7]

답

해

설

직선 [eqn: ax+ y+b=0]을 평행이동시키면

[eqn: a(x-3)+(y-2)+b=0]	㉠

㉠이 직선 [eqn: 2x-y+1=0]과 일치해야 하므로

[eqn: a=-2,~b=-5~~~ THEREFORE a+b=-7]

44

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: (x-a) ^2 + 4(x-a) =2x]

[eqn: x^2 -(2a-2) x+a^2 -4a =0]	㉠

㉠의 두 근의 합이 [eqn: 0]이므로 [eqn: 2a-2=0]에서  [eqn: a=1]

수학Ⅰ	Ⅲ. 도형의 방정식		4. 도형의 이동			정답
	02 대칭이동

01

⑤

답

해

설

점 [eqn: rmA(-2,~3)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: x] 대신에 [eqn: y], [eqn: y] 대신에 [eqn: x]를 대입하면 되므로  [eqn: rmP(3,~-2)]

점 [eqn: rm A(-2,~3)]을 원점에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: x] 대신에 [eqn: -x], [eqn: y] 대신에 [eqn: -y]를 대입하면 되므로  [eqn: rmQ(2,~-3)]

따라서 두 점 [eqn: rmP(3,~-2),```Q(2,~-3)]을 지나서 직선 [eqn: rmPQ]의 방정식은  [eqn: y-(-2)= -3-(-2) over 2-3 (x-3)]

[eqn: y=x-5]

02

④

답

해

설

직선 [eqn: 2x - 3y - 5 = 0]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면  [eqn: 2y -3x -5 =0], 즉 [eqn: 3x -2y + 5=0]

다시 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하면

[eqn: 3(x-2)-2y + 5 =0,~3x -2y -1=0]	㉠

또 직선 [eqn: 2x- 3y -4 =0]을 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: -2y +3x -4=0], 즉 [eqn: 3x -2y -4=0]

다시 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동하면

[eqn: 3x -2(y-k) -4 =0]

[eqn: 3x -2y +2k -4=0]	㉡

㉠, ㉡이 일치하므로  [eqn: 2k -4=-1]

[eqn: k= 3 over2]

03

⑤

답

해

설

원 [eqn: x^2 +( y-2) ^2 = 4]의 중심의 좌표는 [eqn: (0,~2)]이고, 이 점을 점 [eqn: rmP(2,~3)]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: (a,~b)]라고 하면

[eqn: 0+a over 2 = 2,~ 2+b over 2 = 3]

[eqn: a=4,~b=4]

이때 원의 반지름의 길이는 평행이동하여도 변하지 않으므로 구하는 도형의 방정식은 중심의 좌표가 [eqn: (4,~4)]이고, 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원을 나타낸다.

[eqn: (x-4)^2 +(y-4)^2 =4]

04

③

답

해

설

두 원이 한 직선에 대하여 대칭이므로 두 원의 반지름의 길이는 같다. 즉, [eqn: b=4]	㉠

두 원의 중심 [eqn: (0,~0),~(-2,~a)]를 이은 선분의 중점 [eqn: left( -1,~ a over 2 right)]는 직선 [eqn: y= x+c] 위에 있으므로

[eqn: a over 2 =-1 +c ,~a-2c+2=0]	㉡

또 두 원의 중심 [eqn: (0,~0),~(-2,~a)]를 지나는 직선은 직선 [eqn: y=x+c]와 수직이므로  [eqn: a-0 over -2-0 = -1]

[eqn: a=2]	㉢

㉠, ㉡, ㉢에서  [eqn: a=2,~b=4,```c=2]

[eqn: a+b+c=8]

05

①

답

해

설

점 [eqn: rmP(it a,~b)]를 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이동하면 [eqn: (-b,~-a)], 점 [eqn: (-b,~-a)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 5]만큼 평행이동하면 [eqn: (-b+5,~-a)]이고, 점 [eqn: (-b+5,~-a)]를 원점에 대하여 대칭이동하면 [eqn: (b-5,~a)]이다.

따라서 [eqn: b-5=-5,~a=-2]에서

[eqn: a=-2,~b=0]

[eqn: a+b=-2]

06

⑤

답

해

설

오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rmR]를 [eqn: rm bar BC]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm R prime], 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: rm bar CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP prime]이라고 하자.

[eqn: triangle rm QRC == triangle QR prime C]에서 [eqn: rm bar QR = bar{ QR prime}]이므로 [eqn: rm bar{PQ} + bar{QR} & = bar{PQ} + bar{QR prime }# & GEQ rm bar{PR prime }]

따라서 구하는 최단 경로의 길이는 [eqn: rm bar{ P R prime}]이 된다.

삼각형 [eqn: rm P P prime R prime]이 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여  [eqn: rm{ bar{ PR prime} }^2 = { bar{P P prime}}^2 +{bar{ P prime R prime}}^2 = 8^2 +6^2 =100]

[eqn: rm bar { P R prime }=10]

따라서 점 [eqn: rmP]를 출발하여 변 [eqn: rmBC] 위의 동점 [eqn: rm Q]를 거쳐 점 [eqn: rmR]까지 가는 최단 경로의 길이는 [eqn: 10]이다.

07

④

답

해

설

오른쪽 그림에서 점 [eqn: rm P(4,~3)]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rm P prime]의 좌표는 [eqn: rm P prime (3,~4)]이고, [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rm P prime prime]의 좌표는 [eqn: rm P prime prime (4,~-3)]이다.

삼각형 [eqn: rmPQR]의 둘레의 길이는 [eqn: rm bar {PQ } +bar QR + bar RP #=bar {rm P prime Q} + bar QR + bar { R P primeprime } ge bar { P prime P primeprime]

따라서 삼각형 [eqn: {rm PQR]의 둘레의 길이의 최솟값은 [eqn: rm bar{ P prime P prime prime]이다.

[eqn: rm bar{ P prime P prime prime }= sqrt { (4-3)^ 2 +(-3-4)^2 } = sqrt { 50} = 5 sqrt { 2}]

08

⑤

답

해

설

[eqn: x^2 + y ^2 +4x -6y=12]에서
[eqn: (x+2)^2 +(y-3)^2 =25]

[eqn: (x+2)^2 +(y-3)^2 =25]를 원점에 대하여 대칭이동하면 [eqn: (-x+2)^2 +(-y -3)^2 =25], 즉
[eqn: (x-2)^2 +(y+3)^2 =25]

이 원을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: (x+3)^2 +(y-2)^2 =25]

따라서 원의 중심 [eqn: (-3,~2)]가 직선 [eqn: y=ax+4] 위에 있으므로  [eqn: 2 =-3a+4,~a= 2 over 3]

09

③

답

해

설

도형 [eqn: f(x,~y)=0]을 원점에 대하여 대칭이동한 다음, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동하면 도형 [eqn: g(x,~y)=0]과 일치한다.

도형 [eqn: f(x,~y)=0]을 원점에 대하여 대칭이동하면

[eqn: f(-x,~-y)=0]

또 이 도형을 다시 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동하면 [eqn: f( -(x+1),~-y)=0], 즉 [eqn: f(-x-1,~-y)=0]

이것을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

따라서 [eqn: g(x,~y)=0]과 같은 것은  [eqn: f(-x-1,~-y)=0]

10

⑤

답

오른쪽 그림과 같이 점 [eqn: rmA(1,~2)]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmA prime]이라고 하면 [eqn: rmA prime (1,~-2)]이고 [eqn: rm bar AP = bar {A prime P}]이므로 [eqn: rm bar{AP} + bar{BP}# = bar{A prime P} + bar{BP}# GEQ bar{A prime B}# = sqrt {(5-1) ^{2} +(3+2) ^{2}}# = sqrt {41}]

11

(1) [eqn: (-2,~5)]
(2) [eqn: (2,~5)]
(3) [eqn: (-2,~-5)]

답

12

(1) [eqn: 3x+2y=-1]
(2) [eqn: 3x-2y=1]
(3) [eqn: 3x-2y=-1]

답

13

(1) [eqn: (-3,~2)]
(2) [eqn: 2x+ 3y=1]

답

14

[eqn: rm P(-3,~2),```Q(3,~2),~R(-3,~-2),#rm S(-2,````3)]

답

15

(1) [eqn: -x,~-y]
(2) [eqn: -y]
(3) [eqn: -x]
(4) [eqn: y,~x]

답

16

(1) [eqn: (x+1) ^2 +(y+2) ^2 = 1]
(2) [eqn: (x-1) ^2 + ( y+2) ^2 = 1]
(3) [eqn: (x+1 ) ^2 +(y-2) ^2 =1]
(4) [eqn: (x-2) ^2 +(y-1) ^2 =1]

답

17

(1) [eqn: (4,~-3)]
(2) [eqn: (-4,~-3)]
(3) [eqn: (4,~3)]
(4) [eqn: (3,~-4)]

답

18

[eqn: x]축: [eqn: y=-2x+3]
[eqn: y]축: [eqn: y=-2x-3]
직선 [eqn: y=x]: [eqn: y= 1 over 2 x + 3 over2]

답

19

원점; [eqn: y=-x^2 -1]
직선 [eqn: y=-x]: [eqn: x=-y^2 -1]

답

20

[eqn: y=-3x+ 7]

답

해

설

직선 [eqn: y=3x-2]와 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 직선의 방정식은  [eqn: y= 3 cdot (-x) -2=-3x-2]

따라서 이 직선에 평행한 직선의 기울기는 [eqn: -3]이다.

또한 점 [eqn: (2,~1)]을 지나므로  [eqn: y-1=-3(x-2)]

[eqn: y=-3x+ 7]

21

[eqn: 3]

답

해

설

원 [eqn: (x-2) ^2 + ( y-a) ^2 = 4]를 원점에 대하여 대칭이동하면

[eqn: (x+2) ^{2} +(y+a) ^{2} =4]

다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: (x+a) ^2 + (y+2) ^2 = 4]

이때 직선 [eqn: y=2x+4]에 의하여 넓이가 이등분되려면 직선 [eqn: y=2x+4]가 원의 중심 [eqn: (-a,~-2)]를 지나야 하므로  [eqn: -2=-2a+4},~a=3]

22

[eqn: y=3x]

답

해

설

직선 [eqn: y= 1 over 3 x +2]와 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 직선의 방정식은  [eqn: y= - 1 over 3 x+ 2]

따라서 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: 3]이다.

또한 점 [eqn: (1,~3)]을 지나므로

[eqn: y=3x]

23

[eqn: (x+3) ^2 + y ^2 =1]

답

해

설

원 [eqn: x^2 + (y-3) ^2 = 1]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 원이 방정식은  [eqn: x^2 + (y+3) ^2 =1]

다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 원의 방정식은

[eqn: (x+3) ^2 + y ^2 =1]

24

[eqn: rmA prime left( 11 over 5 ,~ 13 over 5 right)]

답

해

설

대칭점을 [eqn: rmA prime (ita,~b)]로 놓으면

(i) [eqn: rm bar {AA prime}]의 중점 [eqn: left( 3+a over2 ,~ 1+b over 2 right)]는 직선 [eqn: x-2y+1=0] 위에 있으므로

[eqn: 3+a over 2 -2 cdot 1+b over 2 +1 =0]

[eqn: a-2b=-3]	㉠

(ii) [eqn: rm bar {AA prime}]은 직선 [eqn: x-2y+1=0]과 수직이므로

[eqn: b-1 over a-3 cdot 1 over 2 =-1]

[eqn: 2a+b=7]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a= 11 over 5 ,~b= 13 over 5]

[eqn: rmA prime left( 11 over 5 ,~ 13 over 5 right)]

25

[eqn: 12]

답

해

설

(i) [eqn: rm bar {AA prime}]의 중점 [eqn: left( 4+a over 2 ,~ 3+b over2 right)]는 직선 [eqn: y=x+1] 위에 있으므로

[eqn: 3+b over 2 = 4+b over 2 +1]

[eqn: a-b=-3]	㉠

(ii) [eqn: rm bar {AA prime}]은 직선 [eqn: y=x+1]과 수직이므로

[eqn: 3-b over 4-a cdot 1 =-1]

[eqn: a+b= 7]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=2,~b=5]

[eqn: a+ 2b=12]

26

[eqn: 3]

답

해

설

(i) [eqn: rm barAB]의 중점 [eqn: left( 4+2 over 2 ,~ 2+6 over2 right)]은 직선 [eqn: y= ax+b] 위에 있으므로

[eqn: 4= 3a +b]	㉠

(ii) [eqn: rm barAB]는 직선 [eqn: y=ax+b]와 수직이므로

[eqn: 2-6 over 4-2 cdot a =-1]

[eqn: a= 1 over 2]	㉡

㉡을 ㉠에 대입하면  [eqn: b= 5 over 2]

[eqn: a+ b = 1 over 2 + 5 over 2 = 3]

27

[eqn: sqrt { 41}]

답

해

설

점 [eqn: rmB]를 직선 [eqn: y=4]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB prime]이라고 하면

[eqn: rmB prime (7,~5)]

[eqn: rm triangle PHB == triangle PHB prime]

한편 세 점 [eqn: rmA,~P,~B prime]이 일직선 위에 있을 때, 흰 공이 붉은 공에 맞게 된다.

[eqn: rm bar AP + barPB& = barAP + bar{PB prime } = bar{AB prime} #&= sqrt { ( 7-2) ^2 + (5-1) ^2} = sqrt { 41}]

28

(1) [eqn: rmP( 5,~0)]         (2) [eqn: 4sqrt { 2}]

답

해

설

(1)

점 [eqn: rmB]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB prime]이라고 하면  [eqn: rmB prime (6,~-1)]

두 점 [eqn: rmA,~B prime]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y=-x+5]

이때 이 직선과 [eqn: x`]축과의 교점이 점 [eqn: rmP]이다.

[eqn: rmP( 5,~0)]

(2) [eqn: rmA] 지점에서 [eqn: rmB] 지점까지 흰 공이 움직인 거리는

[eqn: rm barAP + bar PB]이다.

[eqn: rm bar AP + bar PB = bar AP + bar{ PB prime} = bar{ A B prime} = 4 sqrt { 2}]

29

(1) [eqn: (-5,~4)]
(2) [eqn: (5,~4)]
(3) [eqn: (-5,~-4)]
(4) [eqn: (-4,~5)]
(5) [eqn: (4,~-5)]
(6) [eqn: (-3,~10)]

답

해

설

(6) 대칭점을 [eqn: (a,~b)]라고 하면

[eqn: 5+a over 2 = 1,~ -4+b over 2 = 3]

[eqn: a= -3,~b=10]

[eqn: (-3,~10)]

30

(1) [eqn: y =x ^2 + x]
(2) [eqn: y= x^2 -x]
(3) [eqn: y=-x^2 -x]
(4) [eqn: x=-y^2 +y]

답

31

[eqn: - 3 over 4]

답

해

설

[eqn: y=x ^2]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: -y=x^2 ,~y= -x ^2]

다시 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동하면

[eqn: y=-(x-k) ^2]	㉠

이때 포물선 ㉠이 직선 [eqn: y=x+1]에 접하므로 이차방정식 [eqn: x+1 = -(x-k) ^2]의 판별식 [eqn: D=0]이어야 한다.

즉, [eqn: x ^2 +(1-2k) x +1+k^2 =0]에서

[eqn: D= (1-2k)^2 -4( 1+k^2 ) =0]

[eqn: -4k -3=0,~k= - 3 over 4]

32

[eqn: 2]

답

해

설

원 [eqn: x^2 + y ^ 2 -4x +2ay -1=0]을 표준형으로 바꾸면

[eqn: (x-2) ^2 +(y+a) ^2 = a^2 +5]

직선 [eqn: y=-x]가 주어진 원의 중심 [eqn: (2,~-a)]를 지날 때, 원이 직선 [eqn: y=-x]에 대하여 대칭이므로

[eqn: a=2]

33

[eqn: (x-4) ^2 +( y-1) ^2 = 1]

답

해

설

원의 중심 [eqn: rmC(2,~3)]을 직선 [eqn: y=x-1]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmC prime (ita,~b)]라고 하면

(i) [eqn: rm bar{ C C prime }]의 중점 [eqn: left( 2+a over 2 ,~ 3+b over2 right)]는 직선 [eqn: y=x-1] 위에 있으므로  [eqn: 3+b over 2 = 2+a over 2 -1]

[eqn: a-b=3]	㉠

(ii) [eqn: rm bar{ C C prime }]은 직선 [eqn: y=x-1]과 수직이므로

[eqn: b-3 over a-2 cdot 1 =-1]

[eqn: a+b=5]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=4,~b=1]

한편 대칭이동한 원의 반지름의 길이는 처음 원의 반지름의 길이 [eqn: 1]과 같다.

따라서 구하는 원의 방정식은

[eqn: (x-4) ^2 +( y-1) ^2 = 1]

34

[eqn: rm P left( 5 over 2 ,~ 1 over 2 right)]

답

해

설

두 포물선의 꼭짓점은 점 [eqn: rmP]에 대하여 대칭이다. 즉, 두 꼭짓점의 중점은 [eqn: rm P]이다.

[eqn: y= x^2 - 4x + 6 = (x-2) ^2 +2]이므로 꼭짓점의 좌표는  [eqn: (2,~2)]

[eqn: y=-x^2 + 6x -10=-(x-3) ^2 -1]이므로 꼭짓점의 좌표는  [eqn: (3,~-1)]

따라서 점 [eqn: rmP]의 좌표는

[eqn: rm P left( 2+3 over 2 ,~ 2-1 over2 right) ,~P left( 5 over 2 ,~ 1 over 2 right)]

35

[eqn: y=-(x-2) ^2 + 4]

답

36

[eqn: x^2 + y ^2 = 4,~ 8 over 3 pi - 2 sqrt { 3}]

답

해

설

[그림[eqn: 1]]                    [그림[eqn: 2]]

[eqn: y] 대신에 [eqn: 2- y]를 대입하면

[eqn: x ^{2} +(2-y-2) ^{2} =4,~x^2 + y ^2 = 4]

위의 [그림[eqn: 1]]에서 두 원이 겹쳐진 부분의 넓이는 [eqn: S_1]과 [eqn: S_2]의 합이다. [그림[eqn: 2]]에서 [eqn: S_1]의 넓이는

의 넓이에서 의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: S_1 = 1 over 2 times 2 ^2 times 2 over 3 pi - 1 over 2 times 2 times 2 sin 2 over3 pi = 4 over 3 pi - sqrt { 3}]

따라서 구하는 넓이는 [eqn: S_1 + S_2], 즉 [eqn: 2S_1]이므로

[eqn: 2S_1 = 2 left( 4 over 3 pi - sqrt { 3} right) = 8 over 3 pi - 2 sqrt { 3}]

37

⑤

답

해

설

[eqn: (x,~y)` REL -> {BOX{`` rm B`` it}} {} ``(-x,~y)` REL -> {BOX{`` rm C`` it}} {} `(x,~-y)` REL -> {BOX{`` rm A`` it}} {} ``(x,~y)]

와 같이 [eqn: rm box {``A``}`,~box {``B``},~box {``C``}]의 순서에 관계없이 세 가지를 한 번씩 이용하면 점 [eqn: (x,~y)]는 점 [eqn: (x,~y)]가 된다.

그런데 이미 [eqn: rm box {``A``}`,~box {``B``},~box {``C``}]를 한 번씩 이용하였으므로 (가), (나)에 알맞은 것은 (가), (나)에 의하여 점 [eqn: (x,~y)]가 점 [eqn: (x,~y)]가 되도록 하는 것이다.

이때 (가), (나)에 알맞은 것은 다음 세 가지뿐이다.

(가)가 [eqn: rm BOX{``A``} `]이면 (나)는 [eqn: rm BOX{``A``} `]

(가)가 [eqn: rm BOX{``B``} `]이면 (나)는 [eqn: rm BOX{``B``} `]

(가)가 [eqn: rm BOX{``C``} `]이면 (나)는 [eqn: rm BOX{``C``} `]

따라서 알맞은 것은 ⑤이다.

38

③

답

해

설

[eqn: y=x ^{2} -2x+3=(x-1) ^{2} +2]

이 식을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하면

[eqn: y=(x-2-1) ^2 + 2= (x-3) ^2 +2]

다시 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: -y= (x-3) ^2 +2,~y=-(x-3) ^2 -2]

따라서 구하는 포물선의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (3,~-2)]이다.

39

[eqn: 20]

답

해

설

[eqn: l_1 :~y=2x+4]

[eqn: l_2 :~y=-2x+4]

[eqn: l_3 :~ y=-2x -4]

따라서 [eqn: l_1]과 [eqn: l_2]의 교점 [eqn: rmP]의 좌표는  [eqn: rmP(0,~4)]

[eqn: l_1]과 [eqn: l_3]의 교점 [eqn: rmQ]의 좌표는  [eqn: rmQ(-2,~0)]

[eqn: rm { barPQ} ^2 = (-2) ^2 + 4^2 = 20]

40

[eqn: (x-1) ^2 +(y-4) ^2 =1]

답

해

설

원의 중심 [eqn: rmC(3,~-2)]를 점 [eqn: (2,~1)]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmC prime (ita,~b)]라고 하면 [eqn: rm bar { C C prime }]의 중점

[eqn: left( 3+a over 2 ,~ -2+b over 2 right)]는 [eqn: (2,~1)]과 일치하므로

[eqn: 3+a over 2 =2,~ -2+b over 2 =1]

[eqn: a=1,~b=4]

한편 대칭이동한 원의 반지름의 길이는 처음 원의 반지름의 길이 [eqn: 1]과 같다.

따라서 구하는 원의 방정식은

[eqn: (x-1) ^2 +(y-4) ^2 =1]

41

[eqn: (1,~-2),~(-1,~2)]

답

42

[eqn: y=-2x-1]

답

43

[eqn: 1 over2]

답

해

설

직선 [eqn: l]의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면 이 직선이 점 [eqn: rmA(4,~-3)]을 지나므로

[eqn: y+3=m(x-4)]	㉠

직선 ㉠을 점 [eqn: (2,~1)]에 대하여 대칭이동하면

[eqn: (2-y)-3=m left{(4-x)-4 right}~~~therefore y=mx+5]	㉡

직선 ㉡을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: y=-mx-5]	㉢

직선 ㉢이 점 [eqn: rmA(4,~-3)]을 지나므로

[eqn: -3=-4m-5~~~therefore m=- 1 over2]

44

[eqn: -3]

답

해

설

[eqn: rmP(ita,~b)]를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동하면  [eqn: (-a,~b)]

[eqn: (-a,~b)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동하면  [eqn: (-a-2,~b+4)]

[eqn: (-a-2,~b+4)]를 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면  [eqn: (b+4,~-a-2)=(a,~b)]

[eqn: therefore a=1,~b=-3~~~therefore ab=-3]

45

[eqn: y=2x-5]

답

해

설

[eqn: {alpha +a } over 2 =2,~{beta +b } over 2 =1]에서  [eqn: a=4-alpha,~b=2-beta]

[eqn: b=2a -1]이므로

[eqn: 2- beta =2 (4-alpha )-1~~~therefore beta = 2alpha -5~~~therefore y=2x-5]

46

[eqn: 4]

답

해

설

원 [eqn: (x-2) ^2 + ( y+1) ^2 =9]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면  [eqn: (y-2) ^2 + (x+1) ^ 2 = 9]

[eqn: therefore (x+1) ^2 + ( y -2) ^ 2 =9]

원의 중심은 [eqn: (-1,~2)]이고, 이 점이 직선 [eqn: y=2x+k] 위에 있으므로  [eqn: 2=-2+k~~~therefore k=4]

47

[eqn: 2]

답

해

설

원을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시키면

[eqn: (y-1) ^{2}+ (x-a) ^2 =2~~~therefore (x-a) ^2 +(y-1) ^2 =2]

원의 중심 [eqn: (a,~1)]이 직선 [eqn: y=2x-3]을 지나므로

[eqn: 1=2a-3]에서  [eqn: a=2]

48

[eqn: 11 pi]

답

해

설

원 [eqn: (x-2) ^2 + left( y+ a over 2 right) ^2 = 7 + a^2 over4]의 중심 [eqn: left( 2,~- a over2 right)]가 직선 [eqn: y=-x] 위에 있으므로

[eqn: - a over 2 =-2~~~therefore a=4]

[eqn: a=4]를 대입하면  [eqn: (x-2) ^2 + (y+2) ^2 =11]

따라서 원의 넓이는 [eqn: 11 pi]이다.

49

[eqn: -1]

답

해

설

직선 [eqn: 2x+ 3y =4]를 원점에 대하여 대칭이동하면

[eqn: -2x -3y =4]

직선 [eqn: -2x-3y =4]를 다시 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동하면  [eqn: -3x-2y=4]

[eqn: therefore a-b=(-3)-(-2)=-1]

50

[eqn: 3 over 4]

답

해

설

[eqn: y=x^2]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: -y=x^2 ~~~therefore y=-x^2]

[eqn: y=-x^2]을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동하면

[eqn: y=-x^2 +a]

[eqn: -x^2 +a =x+1]에서  [eqn: x^2 +x -a+1=0]

[eqn: D= 1 - 4(-a+1) =0]에서  [eqn: a= 3 over 4]

51

[eqn: x- 2y +6=0]

답

해

설

[eqn: y-2 =m(x+2)]로 놓으면  [eqn: y-3=m(x+2)]

직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 [eqn: x-3=m(y+2)]가 점 [eqn: (2,~-4)]를 지나므로  [eqn: m= 1 over 2]

[eqn: therefore x- 2y +6=0]

52

[eqn: rmP left( 0,~ 15 over 8 right)]

답

해

설

[eqn: rmbarAP = bar BP]에서

[eqn: sqrt { (0+5) ^2 + (a-1) ^2 }= sqrt { (0-4) ^2 + (a-5) ^2 }]

[eqn: a^2 -2a + 25 +1 = a^2 -10a +16+25,~a= 15 over 8]

[eqn: therefore][eqn: rmP left( 0,~ 15 over 8 right)]

53

[eqn: (x-1) ^{2} +(y-2) ^{2} =1]

답

해

설

[eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: (x+1) ^2 +(-y+2) ^2 =1]

[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동하면

[eqn: left{ (x-2) +1 right } ^2 + (-y+2) ^2 =1]

[eqn: therefore (x-1) ^2 +(y-2) ^2 =1]

54

[eqn: left( 1 over 5 ,~ 7 over 5 right)]

답

해

설

점 [eqn: rmA(1,~1)]을 직선 [eqn: y=2x]에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 [eqn: rmP(ita,~b)]라고 하자.

선분 [eqn: rmAP]의 중점 [eqn: left( a+1 over2 ,~ b+1 over 2 right)]은 직선 [eqn: y=2x] 위에 있으므로

(가)

[eqn: b+1 over 2 = 2 cdot a+1 over 2]

[eqn: therefore b=2a+1]	㉠

선분 [eqn: rmAP]는 직선 [eqn: y=2x]에 수직이므로	(나)

[eqn: b-1 over a-1 = - 1 over 2 ~~~therefore 2b=-a+3]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a= 1 over 5 ,~b= 7 over 5]

따라서 구하는 점의 좌표는  [eqn: left( 1 over 5 ,~ 7 over 5 right)]	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 점 [eqn: rmA]를 직선 [eqn: l]에 대하여 대칭이동한 점이 [eqn: rm P]일 때, 두 점 [eqn: rm A,~P]의 중점은 직선 [eqn: l] 위에 있음을 이해한다.	30 %
(나) 선분 [eqn: rmAP]는 직선 [eqn: l]과 수직임을 이해한다.	30 %
(다) 대칭이동한 점의 좌표를 구한다.	40 %

55

[eqn: 10]

답

해

설

점 [eqn: rmC(3,~-4)]를 [eqn: x`]축, [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점을 각각 [eqn: rm C prime (3,~-4),][eqn: rmC prime prime (-3,~4)]라고 하면

[eqn: rmbarAC =bar{AC prime} ,~barBC = bar{BC primeprime}]이므로

[eqn: rmbarAB +barAC +barBC =barAB +bar{AC prime }+ bar{BC primeprime } ge bar{C prime C prime prime }]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이의 최솟값은

[eqn: rm bar{ C prime C primeprime} = sqrt { (3+3)^2 +(-4-4) ^2 }=10]

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 점 [eqn: rmC(3,~-4)]를 [eqn: x`]축, [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구한다.	30 %
(나) [eqn: rm bar{ C prime C primeprime}]의 길이가 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이의 최솟값이 됨을 이해한다.	50 %
(다) 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이의 최솟값을 구한다.	20 %