수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		3. 여러 가지 방정식			반 / 번호
	01 삼차방정식과 사차방정식					이름

01

삼차방정식 [eqn: 2x^ 3 -x^ 2 -ax +2=0]의 한 근이 [eqn: 1]일 때, 다른 두 근 중에서 양수인 것은?

① [eqn: {-1 + sqrt { 17} } over 4]	② [eqn: {1+ sqrt { 17}} over 4]

③ [eqn: -1 + sqrt { 7}]	④ [eqn: 1+ sqrt { 7}]

⑤ [eqn: -1 + 2 sqrt { 7}]

02

사차방정식 [eqn: x^4 - 3x^ 2 +1 =0]의 근이 아닌 것은?

① [eqn: {-1 -sqrt { 5} } over2]	② [eqn: {-1+ sqrt {5}} over 2]

③ [eqn: {1 - sqrt { 5}} over 2]	④ [eqn: {1+ sqrt { 5}} over 2]

⑤ [eqn: {1 -sqrt {5}i} over 2]

03

사차방정식 [eqn: x ^{4} -2x ^{3}-x^2 -2x +1=0]의 한 근을 [eqn: alpha]라고 할 때, [eqn: alpha + 1 over alpha]의 모든 값의 합은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5]

04

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +x ^{2}-x +1=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~ gamma]라고 할 때, [eqn: 1 over alpha + 1 over beta + 1 over gamma]의 값은?

① [eqn: - 3 over 2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3 over 2]

05

삼차방정식 [eqn: 2x ^{3} +4x -4=0]의 세 실근을 [eqn: alpha,~beta,~ gamma]라고 할 때, [eqn: alpha+beta over gamma ,~ beta+gamma over alpha ,~ gamma+alpha over beta]를 세 근으로 하고 [eqn: x^3]의 계수가 [eqn: 1]인 삼차방정식은?

① [eqn: x^3 -3x^2 +3x +1 =0]

② [eqn: x ^{3}+3x ^{2} +3x+1=0]

③ [eqn: x ^{3}+3x ^{2} +3x-1=0]

④ [eqn: x ^{3}+3x ^{2} -3x+1=0]

⑤ [eqn: x ^{3}-3x ^{2}+3x- 1=0]

06

삼차방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, [eqn: 1+ omega + omega^2 + omega ^3 + cdots + omega ^ 2010]의 값은?

① [eqn: -1+ i]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1- i]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

07

삼차방정식 [eqn: x^3 +2ax^2 -bx +1 =0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때, 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: 4a +b]의 값을 구하여라.

08

[eqn: x = {-1- sqrt { 3}i }over 2]일 때, [eqn: x^100 + x^50]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3 over 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

09

삼차방정식 [eqn: x^3 -(a +1)x^2 +2ax -a =0]이 [eqn: x=1]이 아닌 중근을 가질 때, 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a not=0])

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

10

삼차방정식 [eqn: x^3 -x^2 +2x -1 =0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~gamma]라고 할 때, [eqn: alpha -1 ,~ beta -1,~ gamma -1]을 세 근으로 하는 삼차방정식은 [eqn: x^3 +ax^2 +bx +c =0]이다. 이때 [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a,~b,~c]는 실수)

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

11

사차방정식 [eqn: x^4 +2ax^2 +2a -1 =0]이 서로 다른 두 허근을 가지도록 하는 실수 [eqn: a`]의 값의 범위는?

① [eqn: a > - 1 over 2]	② [eqn: a < - 1 over 2]

③ [eqn: a> 1 over 2]	④ [eqn: a < 1 over 2]

⑤ [eqn: a<1]

12

삼차방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n) = omega ^2n over {1+ omega ^4n }]이라고 하자. 이때 [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+cdots + f(2010)]의 값은?

① [eqn: -2010]	② [eqn: -1005]

③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1005]

⑤ [eqn: 2010]

∣서∣술∣형∣

13

[eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 -x^2 +2x -k =0]의 한 근이 [eqn: 1]이고 다른 두 근이 [eqn: alpha,~ beta]일 때, [eqn: alphabeta+k]의 값을 구하는 풀이 과정과 답을 서술하여라.

(단, [eqn: k]는 상수)

14

삼차방정식 [eqn: x^4 -12 x^2 +16 =0]의 두 양의 근 [eqn: alpha,~beta]를 근으로 하고 [eqn: x^2]의 계수가 [eqn: 1]인 이차방정식은?

① [eqn: x^ 2 +2 sqrt { 5 }x + 4 = 0]

② [eqn: x^2 - 2 sqrt { 5 }x + 4 =0]

③ [eqn: x^2 + 4= 0]

④ [eqn: x^2 -2 sqrt { 5}x -4 = 0]

⑤ [eqn: x^2 -2 sqrt { 5}x =0]

15

방정식 [eqn: x^2 -x +1 =0]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, [eqn: (1 - omega ^ 2013 )( -1 - omega ^2014 ) ( 1 - omega ^ 2015 )]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

16

다음 삼차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^3 =1]
(2) [eqn: x^3 - 4x^2 +8=0]

17

다음 사차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^4 - 4x +3=0]
(2) [eqn: x^4 -5x^2 +4=0]

18

인수분해 공식을 이용하여 다음 삼차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^3 +1 =0]
(2) [eqn: x^3 =8]

19

인수정리를 이용하여 다음 삼차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^3 - 5x +2=0]
(2) [eqn: x^3 - 7x^2 + 6=0]

20

다음 사차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{4} -4x+3=0]
(2) [eqn: x^4 + x^3 -7x^2 -x +6=0]

21

다음 사차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{4} -2x^2 -3=0]
(2) [eqn: x^4 -4x^2 +3=0]

22

인수정리를 이용하여 다음 방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^3 + 8=0]
(2) [eqn: x ^4 - 16=0]
(3) [eqn: x^3 + 3x^2 +3x+1=0]
(4) [eqn: x^4 + x^3 -x -1=0]

23

인수정리를 이용하여 다음 방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^3 -5x^2 + 3x + 9=0]
(2) [eqn: x^3 -2x -4=0]
(3) [eqn: x^3 -2x^2 -4x +8=0]
(4) [eqn: x ^{4} -2x ^{3} -x+2=0]

24

다음 사차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{4} +4=0]
(2) [eqn: x ^{4} -5x ^{2} -6=0]

25

삼차방정식 [eqn: x ^{3} =1]의 두 허근을 [eqn: omega _1 ,~omega_2]라고 할 때, 다음을 보여라.
(1) [eqn: omega_1 + omega _2 =-1]
(2) [eqn: omega _1 omega_2 =1]
(3) [eqn: omega _1` ^2 + omega _1 +1=0]
(4) [eqn: omega _1`^2 =omega _2]

26

다음 사차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: (x ^2 - 2x ) ^2 - 5 ( x^2 -2x ) -24=0]
(2) [eqn: x ^{4} +3x ^{2}+4=0]

27

삼차방정식 [eqn: x ^{3} =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: omega + 1 over omega]
(2) [eqn: ( 1+ omega )(1+ omega ^2 )]

28

다음 사차방정식을 풀어라.
(1) [eqn: (x ^2 +2x ) ^2 =x^2 +2x +2]
(2) [eqn: x ^{4} +2x ^{2}+9=0]

29

삼차방정식 [eqn: x ^3 - px +q=0]의 두 근이 [eqn: 1,~2]일 때, [eqn: p,~q]의 값과 나머지 한 근을 구하여라.

30

[eqn: a,~b,~c]는 실수이고, 두 방정식 [eqn: x^2 - x -2=0]과 [eqn: x^3 + ax^2 +bx +c=0]의 해가 서로 같을 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하여라.

31

삼차방정식 [eqn: x ^3 +k x^2 + 8x - 6=0]의 한 근이 [eqn: 3]일 때, [eqn: k]의 값을 구하여라. 또 나머지 두 근을 구하여라.

32

삼차방정식 [eqn: (x+2)(x^2 +ax +a+3)=0]이 중근을 갖도록 실수 [eqn: a]의 값을 정하여라.

33

(1) 방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx -2=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 대, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.
(2) 방정식 [eqn: x^3 + ax^2 +bx -2=0]의 한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 2}]일 때, 유리수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

34

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 2- i]일 대, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

35

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +ax+b=0]의 한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 2}]일 때, 유리수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라. 또 나머지 두 근을 구하여라.

36

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +2x -4=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta ,~gamma]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: (1- alpha )(1-beta )(1-gamma)]
(2) [eqn: (1+ alpha)(1 +beta )(1+ gamma)]

37

삼차방정식 [eqn: 2x^3 - x^2 +4=0]의 세 근이 [eqn: alpha,~beta ,~gamma]일 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: (2- alpha )(2-beta )(2-gamma)]
(2) [eqn: (2+ alpha)(2 +beta )(2+ gamma)]

38

삼차방정식 [eqn: x ^{3}-2x^2 -x-1=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta ,~gamma]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: alpha ^2 + beta^2 + gamma^2]
(2) [eqn: 1 over alpha + 1 over beta + 1 over gamma]
(3) [eqn: (1+ alpha)(1 +beta )(1+ gamma)]
(4) [eqn: (alpha+beta)(beta+gamma)(gamma+alpha)]

39

삼차방정식 [eqn: 2x^3 -4x +1=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta ,~gamma]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: (1- alpha )(1-beta )(1-gamma)]
(2) [eqn: (alpha+beta)(beta+gamma)(gamma+alpha)]
(3) [eqn: alpha^2 + beta^2 + gamma^2]
(4) [eqn: alpha^3 + beta^3 + gamma^3]

40

다음 방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x^3 + 64 =0]
(2) [eqn: x^4 -16=0]
(3) [eqn: x^ 3 - 9x =0]
(4) [eqn: (x^2 + 2) ^2 =(x+2)^2]

41

다음 방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^{3} + x^2 -2=0]
(2) [eqn: x^3 - x^2 +3x +5=0]
(3) [eqn: x ^{4} -4x +3=0]
(4) [eqn: x^4 -2x^3 +x-2=0]

42

다음 방정식을 풀어라.
(1) [eqn: x ^4 -6x^2 +8=0]
(2) [eqn: (x+1)^3 +(x-2) ^3 +(1-2x ) ^3 =0]
(3) [eqn: ( x^2 + 3 x + 4)( x^2 + 3x -3 ) =8]
(4) [eqn: x (x+1)(x+2)(x+3)=120]

43

삼차방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근 [eqn: omega]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: omega ^4 + omega ^2 +1]
(2) [eqn: 1 + omega + omega ^2 + cdots + omega ^99]

44

삼차방정식 [eqn: x^ 3 -3x^2 +ax +b=0]의 한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 2}i]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라. 또 나머지 두 근을 구하여라.

45

삼차방정식 [eqn: 2x^3 -(a+2) x^2 +a =0]이 이중근을 갖도록 하는 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

46

삼차방정식 [eqn: x^3 -4x -3=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~gamma]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: alpha ^2 + beta ^2 + gamma ^2]
(2) [eqn: 1 over alpha + 1 over beta + 1 over gamma]
(3) [eqn: (1-alpha )(1-beta )(1-gamma)]
(4) [eqn: (alpha +beta )(beta +gamma)(gamma+alpha)]

47

다항식 [eqn: f(x)=x^3 + x^2 -8x -12]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0]의 근을 구하여라.

48

삼차방정식 [eqn: x^3 -x^2 +2x +4=0]의 두 허근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ^2]의 값을 구하여라.

49

사차방정식 [eqn: x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} +x+1=0]의 한 근을 [eqn: omega]라고 할 때, 다음 중 [eqn: omega + 1 over omega]을 근으로 갖는 이차방정식은?

① [eqn: x^2 +x +1=0]	② [eqn: x^2 + x -1=0]

③ [eqn: x^2 -x-1=0]	④ [eqn: x^2 -x +2=0]

⑤ [eqn: x^2 +x +2=0]

50

연속하는 세 자연수의 세제곱의 합이 [eqn: 99]일 때, 세 자연수를 구하여라.

51

방정식 [eqn: |`x^2 -4x -4 `| =k]가 서로 다른 두 실근과 하나의 이중근을 갖도록 [eqn: k]의 값을 정하여라.

52

[eqn: p,~q]가 정수일 때, [eqn: x]에 대한 삼차방정식 [eqn: x^3 +px^2 +qx+1=0]이 한 개의 정수근과 두 개의 허근을 갖도록 [eqn: p]의 값을 정하여라.

53

가로, 세로의 길이가 각각 [eqn: 16 rm ``cm,] [eqn: rm14``cm]인 직사각형 모양의 두꺼운 종이가 있다. 오른쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: x rm ``cm]인 정사각형 [eqn: 4]개를 잘라내어 부피가 [eqn: 240``rm cm^3]인 직육면체 모양의 뚜껑이 없는 상자를 만들려고 할 때, [eqn: x]의 값을 구하여라.

54

방정식 [eqn: x^3 = 1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, [eqn: omega^10 + omega ^20 + omega^ 30]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt { -1}])

① [eqn: -i]	② [eqn: 0]

③ [eqn: 1]	④ [eqn: {-1 +sqrt { 3}i} over2]

⑤ [eqn: {-1- sqrt {3} i} over {2}]

55

[eqn: x]에 대한 사차방정식 [eqn: x ^{4}+ ax^2 +b=0]의 한 근이 [eqn: 1+i]일 때, [eqn: b]의 값을 구하여라.

(단, [eqn: a,~b]는 실수이고, [eqn: i= sqrt { -1}])

56

삼차방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +4x + 4b=0]이 이중근 [eqn: x=2]를 가질 때, 상수 [eqn: a,~b]의 합은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

57

다음 중 삼차방정식
[eqn: (x-1)(x ^{2} -2x)+(5-k)(x-1)=0]이 허근을 갖기 위한 [eqn: k]의 값이 아닌 것은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

58

삼차방정식 [eqn: x^3 =1]의 해를 구하여라.

59

사차방정식 [eqn: x^4 -1 =0]의 해를 구하여라.

60

방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, [eqn: 1+ omega + omega ^2 + omega^3 + omega^4 + omega^5]의 값을 구하여라.

61

삼차방정식 [eqn: x^3 +x^2 +2x+3=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~gamma]라고 할 때,
[eqn: alpha +beta+gamma,~alpha beta+beta gamma +gammaalpha,~alphabetagamma]의 값을 차례로 써라.

62

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: x^3 -5x -2=0]
(2) [eqn: (x^3 +4x+1)(x^2 + 4x -2)-10=0]

63

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: x^3 -2x^2 -4x-1=0]
(2) [eqn: x^4 -6x^2 + 5=0]

64

다음 방정식의 해를 구하여라.
(1) [eqn: (x^2 -x+1)(x^2 -x+2)=2]
(2) [eqn: x^4 +x^2 +1=0]

65

[eqn: x^3 -3x^2 +5=0]의 세 근을 [eqn: alpha ,~beta,~gamma]라고 할 때, 다음 식의 값을 구하여라.
(1) [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} +gamma^2]
(2) [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} +gamma^3]

66

방정식 [eqn: x^3 + 2x^2 -x-2=0]의 세 근을 [eqn: alpha ,~beta,~gamma]라고 할 때, [eqn: (alpha -1)(beta-1)(gamma-1)]의 값을 구하여라.

67

삼차방정식 [eqn: x^3 -x-2=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~gamma]라고 할 때, [eqn: alpha+beta,~beta+gamma},~gamma+alpha]를 세 근으로 하고 삼차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차방정식을 구하여라.

68

삼차방정식 [eqn: x^3 +ax^2 +bx -3=0]의 한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 2}i]일 때, 실수 [eqn: a,~b]의 값을 각각 구하여라.

69

[eqn: a,~b]가 유리수이고 삼차방정식 [eqn: x^3 +ax-b=0]의 한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 2}]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

70

실수 [eqn: a,~b,~c,~d]에 대하여 방정식 [eqn: x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+d=0]의 [eqn: 4]개의 근의 합은 [eqn: -a]이고, [eqn: 4]개의 근의 곱은 [eqn: d]이다. 이 [eqn: 4]개의 근 중에서 두 근 [eqn: z]와 [eqn: omega]가 [eqn: z+omega=1+i,~z omega=2i]를 만족시킬 때, [eqn: a+d]의 값을 구하여라.

71

사차방정식 [eqn: (x^2 +3x-3)(x^2 +3x +1)=-4]의 한 근이 [eqn: alpha]일 때, [eqn: alpha ^2 +3alpha]의 값을 구하여라.

72

방정식 [eqn: x^3 =1]의 한 허근을 [eqn: omega]라고 할 때, [eqn: omega^2 over1+omega + omega over 1+omega^2]이 값을 구하여라.

73

삼차방정식 [eqn: x^3 -x^2 +px+q=0]의 한 근이 [eqn: 1-i]일 때, 실수 [eqn: p,~q]의 값을 구하여라.

74

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +x-1=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~gamma]라고 할 때, [eqn: alpha ^{3}+beta^3 +gamma^3]의 값을 구하여라.

75

방정식 [eqn: x(x+2)(x+4)(x+6)+15=0]의 해를 구하여라.

76

방정식 [eqn: x^3 =1]의 두 허근을 [eqn: alpha,~beta]라 하고, [eqn: f(x)=2x^3 +3x^2 +4x+5]에 대하여
[eqn: f(alpha )+f(beta)]의 값을 구하여라.

77

삼차방정식 [eqn: x ^{3} +px ^{2} +qx+2=0]의 한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 2}]일 때, 유리수 [eqn: p,~q]의 값을 구하여라.

78

삼차방정식 [eqn: x^3 -2x^2 -3x+2=0]의 세 근을 [eqn: alpha,~beta,~gamma]라고 할 때, [eqn: (alpha +beta)(beta+gamma)(gamma+alpha)]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		3. 여러 가지 방정식			반 / 번호
	02 연립방정식					이름

01

연립방정식 [eqn: cases {`ax+ 2y = a+2 #`x+(a-1)y =a]의 해가 무수히 많도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

02

연립방정식 [eqn: cases {`x+y-z=-3 #`2x -y +2z =-1#`3x +2y +z =-2]의 해를 [eqn: x=alpha,~ y=beta,~z = gamma]라고 할 때, [eqn: alpha ^2 +beta^2 +gamma^2]의값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 15]

03

연립방정식 [eqn: cases {`x-y=1 #`x^2 +y^2 =k]가 단 한 쌍의 해를 가질 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: - 1 over 2]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3 over2]

04

연립방정식 [eqn: cases {`3x^2 - 5xy+2y^2 =0 #`x^2 -2xy+2y^2 =10]의 해의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는 몇 개인지 구하여라.

05

연립방정식 [eqn: cases {`x+y = 5#`x^2 +y^2 =13]의 해가 [eqn: x= alpha,~y=beta]일 때, [eqn: |`alpha - beta ` |]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

06

두 정수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: xy-3x +y =8]이 성립할 때, [eqn: x+y]의 최솟값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

07

연립방정식 [eqn: cases { ` ax-2y =6#` x+y=3]의 해가 연립방정식 [eqn: cases {` x-y=b#`x^2 +y^2 =5]를 만족시킬 때, [eqn: a-10b]의 값은?

(단, [eqn: b<0,~a,~b]는 상수)

① [eqn: -20]	② [eqn: -10]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 20]

08

연립방정식 [eqn: {cases{`x^2 -3xy +2y^2 = 0#`x^2 +xy-y^2 =4}}]의 해 [eqn: (x,~y)]에 대하여 [eqn: xy]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: Mm]의 값은?

① [eqn: - 32 over 5]	② [eqn: - 16 over5]	③ [eqn: 16 over5]

④ [eqn: 32 over 5]	⑤ [eqn: 48 over 5]

09

연립방정식 [eqn: {cases{`1 over x + 2 over y + 2 over z = 0#`2 over x - 4 over y + 8 over z =5#`4 over x + 1 over y + 2 over z = 2 }}]의 해를
[eqn: x= alpha,~y=beta,~z= gamma]라고 할 때, [eqn: {alpha betagamma} over{ alpha + beta + gamma}]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

10

두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 연산 △를 [eqn: a△b= cases{`a-b~(a GE b) #`b-a~(a<b)]라고 약속하자. 연립방정식 [eqn: cases{`a+b+2 = a △b#`2a-b^2 =a △b]의 해를 [eqn: a= alpha,~b=beta]라고 할 때, [eqn: alpha^2 + beta ^2]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

11

[eqn: x= alpha,~y=beta,~z= gamma]가 연립방정식
[eqn: {cases{`x(y+z)=16#`y(z+x)=21#`z(x+y)=25}}]의 해일 때, [eqn: alpha +beta - gamma]의 값은?

(단, [eqn: alphabeta gamma >0])

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

12

빗변의 길이가 [eqn: sqrt { 61}]인 직각삼각형의 넓이가 [eqn: 15]일 때, 나머지 두 변의 길이 중에서 긴 변의 길이를 구하여라.

13

연립방정식 [eqn: cases{`x-y=3#`xz +yz =17]을 만족시키는 세 자여누 [eqn: x,~y,~z]에 대하여 [eqn: x^2 + y^2 +z^2]의 값은?

① [eqn: 101]	② [eqn: 111]	③ [eqn: 135]

④ [eqn: 147]	⑤ [eqn: 150]

∣서∣술∣형∣

14

[eqn: x]에 대한 두 방정식
[eqn: x^2 -6x +5 =0,~ x^ 3 +(2-k)x^2 +(1-2k)x -k=0]이 공통근을 갖도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 합을 구하여라.

15

어느 인터넷 쇼핑몰에서 [eqn: rm A,~B,~C] 세 종류의 선물세트를 주문 받아 판매하려고 한다. [eqn: rmA] 세트는 비누 [eqn: 3]장과 치약 [eqn: 2]개, [eqn: rmB] 세트는 치약 [eqn: 2]개와 샴푸 [eqn: 1]개, [eqn: rmC] 세트는 샴푸 [eqn: 1]개와 비누 [eqn: 3]장이 들어 있다. 주문 받은 세 종류의 선물세트를 만들기 위하여 비누는 [eqn: 690]장, 치약은 [eqn: 346]개, 샴푸는 [eqn: 225]개가 필요하였다. 이때 주문 받은 [eqn: rmB] 세트의 개수는?

① [eqn: 64]	② [eqn: 72]	③ [eqn: 78]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 89]

16

어떤 피자 가게에서 만드는 피자 한 판의 원가는 피자의 반지름의 길이에 따라 결정된다고 한다. 피자 한 판의 원가를 [eqn: C]원, 반지름의 길이를 [eqn: R`rmcm]라고 할 때, [eqn: C= k R^2 +f ~(k,~f]는 상수)가 성립한다. 반지름의 길이가 [eqn: 10`rmcm]인 피자 한 판의 원가는 [eqn: 2250]원이고, 반지름의 길이가 [eqn: 12`rmcm]인 피자 한 판의 원가는 [eqn: 2360]원일 때, 한 판의 원가가 [eqn: 3000]원인 피자를 만들려면 피자의 반지름의 길이를 몇 [eqn: rmcm]로 해야 하는가?

① [eqn: 16`rmcm]	② [eqn: 18`rmcm]	③ [eqn: 20`rmcm]

④ [eqn: 22`rmcm]	⑤ [eqn: 24` rmcm]

17

[eqn: 0]이 아닌 세 상수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 [eqn: ab over a+b = 1 over 4 ,~ bc over b+c = 1 over 8 ,~ ca over c+a = 1 over 6]일 때,
[eqn: 1 over a + 1 over b + 1 over c]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

∣서∣술∣형∣

18

[eqn: x]에 대한 이차방정식
[eqn: x^2 +2x +a =0,~x^2 +ax +2 =0]이 공통근을 갖도록 [eqn: a]의 값을 정할 때, 가능한 공통근의 개수를 구하는 풀이 과정과 답을 서술하여라.

19

다음 연립방정식을 풀어라.
[eqn: cases {`2x +y-2z =-3~~cdotscdots ㉠ #`3x -y+z =6~~~~``cdotscdots ㉡#`2x- 2y +3z =10~``cdotscdots ㉢]

20

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: cases {`x+y=3~~cdotscdots ㉠ #`y+z=4~~cdotscdots ㉡#`z+x=5~~cdotscdots ㉢}]
(2) [eqn: x+y+z over 5 = x+2y over 2 = y+2z over3 =1]

21

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x+y+z=6~~~ CDOTS CDOTS ㉠#`x+2y-z=2~~ CDOTS CDOTS ㉡#`2x-y+z=3~~ CDOTS CDOTS ㉢}}]
(2) [eqn: {cases{`x-3y+2z=8~~` CDOTS CDOTS ㉠#`x-2y+z=4~~~` CDOTS CDOTS ㉡#`2x+y+3z=6````````` CDOTS CDOTS ㉢}}]

22

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x+y=7~~ CDOTS CDOTS ㉠#`y+z=8~~ CDOTS CDOTS ㉡#`z+x=9~~ CDOTS CDOTS ㉢}}]
(2) [eqn: {cases{`2x+y+z=0~~` CDOTS CDOTS ㉠#`x+2y+z=2~~` CDOTS CDOTS ㉡#`x+y+2z=5~~` CDOTS CDOTS ㉢}}]

23

다음 연립방정식을 풀어라.

[eqn: x+2y over 2 = y+2z over 3 = z+2x over 4 = 3]

24

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x+y+z=4~~~~` CDOTS CDOTS ㉠#`x-y-2z=3~~~` CDOTS CDOTS ㉡#`x+2y-3z=-1~` CDOTS CDOTS ㉢}}]
(2) [eqn: {cases{`x+y-z=2~~~~` CDOTS CDOTS ㉠#`x-y+z=4~~~~` CDOTS CDOTS ㉡#`-x+y+z=6````````` CDOTS CDOTS ㉢}}]
(3) [eqn: {x+y} over {2} = {y-z} over {3} = {z+2x} over {4} =2]

25

[eqn: x]에 대한 이차식 [eqn: f(x)=ax^2 +bx +c]에서 [eqn: f(1)=0,~f(2)=3,~f(3)=-2]일 때, 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 구하여라.

26

세 정수 [eqn: x,~y,~z]의 평균이 [eqn: 8]이고 [eqn: (x+y):(y+z):(z+x)=5:9:10]일 때, [eqn: x,~y,~z]의 값을 구하여라.

27

[eqn: f(x,~y) =x^2 + y ^2 +ax +by +c]에서

[eqn: f(1,~5)=0,~f(3,~1`)=0,~f(-6,~-2)=0]

일 때, 상수 [eqn: a,~b,~c]의 값을 구하여라.

28

세 자연수 [eqn: x,~y,~z]가 [eqn: x+y over3 = y+z over 6 = z+x over 5]를 만족시킬 때, [eqn: x:y:z]를 구하여라.

29

다음 연립방정식을 풀어라.
[eqn: cases {`x+y+z=3~~~~cdotscdots㉠ #`2x-y+2z=3~~cdotscdots㉡]

30

다음 연립방정식의 해가 존재하지 않도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하여라.
[eqn: {cases{`x+y+z=3~~~` CDOTS CDOTS ㉠#`2x-y+2z=3~` CDOTS CDOTS ㉡#`ax+y-z=3~~` CDOTS CDOTS ㉢}}]

31

다음 연립방정식을 풀어라. (단,[eqn: x,~ y,~z]는 실수)
(1) [eqn: {cases{`x+2y+z=1~`#`x+y+2z=2}}]
(2) [eqn: {cases{`x+y+z=2#`x-2y-z=-1#`x+4y+3z=5}}]

32

다음 연립방정식의 해가 존재하지 않도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하여라.

[eqn: {cases{`x+2y+z=1~~``` CDOTS CDOTS ㉠#`x+y+2z=2~~``` CDOTS CDOTS ㉡#`2x+y+az=3~``` CDOTS CDOTS ㉢}}]

33

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x+y=3~~~~ CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2`} +y ^{2} =5~~ CDOTS CDOTS ㉡}}]
(2) [eqn: {cases{`(x+y)(x-2y)=0~``` CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2} -xy+y ^{2} =6~~~~`` CDOTS CDOTS ㉡]

34

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x+y=4~#`xy=3~~~~}}]
(2) [eqn: {cases{`x+y=3#`xy=-10~}}]

35

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`y=x+2~~ CDOTS CDOTS㉠ # `y=x^2 ~~`~~cdotscdots㉡]
(2) [eqn: {cases{`x+2y=5~~~~ CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2} +y ^{2} =10~~` CDOTS CDOTS ㉡}}]

36

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x ^{2} -xy-2y ^{2} =0~~ CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2`} +xy+y ^{2} =7```~~ CDOTS CDOTS ㉡}}]
(2) [eqn: {cases{`xy-x-y+1=0~~` CDOTS CDOTS ㉠#`xy+x+4=0~~~~~` CDOTS CDOTS ㉡}}]

37

다음 연립방정식을 풀어라.

[eqn: cases {`x+y=2~~~~~~~``````~cdotscdots㉠# ` x^2 -xy + y ^2 = 49~~cdotscdots㉡]

38

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x-y=1~~~~&cdotscdots㉠#`x ^{2} +y ^{2} =25&cdotscdots㉡ }}]
(2) [eqn: cases {y=2x-1~~~~&cdotscdots㉠#`x^2 - y ^2 =-5&cdotscdots㉡]

39

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: cases {`x^2 + xy -2y^2 =0~~~&cdotscdots㉠#`x^2 + y ^2 =20&cdotscdots㉡]
(2) [eqn: {cases{`y=x ^{2} -2x-2~~&CDOTS CDOTS ㉠#`y=-x ^{2} +x&cdotscdots㉡}}]

40

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: cases {`x^2 + y^2 =24~~~&cdotscdots㉠#`x y=6&cdotscdots㉡]
(2) [eqn: cases {` x+y=2~~~~~~~&cdotscdots㉠ #`x^2 + xy +y^2 = 7&cdotscdots㉡]

41

연립방정식 [eqn: cases { `x+y=1#`x^2 + y ^2 =a]가 실근을 갖도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

42

두 함수 [eqn: y=x^2 + x ,~y=2x^2 -x -8]의 그래프의 교점의 좌표를 구하여라.

43

연립방정식 [eqn: {cases{`y=x+k#`x ^{2} +2y ^{2} =4}}]가 오직 한 쌍의 해를 갖도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

44

두 함수 [eqn: y=x ^{2} +1,~y=-x ^{2} +x+4]의 그래프의 교점의 좌표를 구하여라.

45

두 이차방정식 [eqn: x^2 +px +3=0,~x^2 +3x +p=0]이 오직 한 개의 공통근을 가질 때, 실수 [eqn: p]의 값과 공통근을 구하여라.

46

두 이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax+b=0,~x ^{2} +bx+a=0]이 오직 한 개의 공통근을 가질 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 공통근을 구하여라.
(2) 두 실수 [eqn: a,~b]의 관계식을 구하여라.

47

지름의 길이가 [eqn: 10`` rm cm]인 원에 둘레의 길이가 [eqn: 28``rmcm]인 직사각형을 내접시키려고 한다. 이때 직사각형의 넓이를 구하여라.

48

대각선의 길이가 [eqn: 20``rmm]인 직사각형 모양의 땅이 있다. 가로, 세로의 길이를 모두 [eqn: 4``rmm]만큼 길게 하면 넓이가 [eqn: 128``rmm^2]만큼 늘어난다고 할 때, 이웃하는 두 변의 길이를 구하여라.

49

오른쪽 그림과 같이 빗변의 길이가 [eqn: 5``rmm]이고, 내접원의 반지름의 길이가 [eqn: 1``rm cm]인 직각삼각형이 있다. 이때 직각을 낀 두 변의 길이를 구하여라.

50

[eqn: 120``rmkm] 떨어진 두 지점 사이를 왕복하는데 돌아올 때는 갈 때보다 속력을 매시 [eqn: 20``rm km] 더 내어서 달렸더니 가는 데 걸린 시간보다 [eqn: 30]분 적게 걸렸다. 왕복하는 데 걸린 시간을 구하여라.

51

전체 길이가 [eqn: 50``rm km]인 구간을 서로 다른 [eqn: 5]개의 구간으로 나누어 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 두 사람이 교대로 달린다. [eqn: 5]개의 구간 중 두 구간을 [eqn: rmA]가 시속 [eqn: 12``rmkm]로 달리고, 나머지 세 구간을 [eqn: rmB]가 시속 [eqn: 16``rmkm]로 달렸더니 총 [eqn: 3]시간 [eqn: 45]분이 걸렸다. 이때 [eqn: rmA]가 달린 거리와 [eqn: rmB]가 달린 거리의 차를 구하여라.

52

[eqn: rmA]씨는 첫째 날은 평균 [eqn: 63``rmkm/h]로 달렸더니 예정된 시각보다 [eqn: 1]분 빨리 회사에 도착하였다. 둘째 날은 평균 [eqn: 56``rmkm/h]로 달렸더니 예정된 시각보다 [eqn: 1]분 늦게 도착하였다. 예정된 시각보다 [eqn: 5]분 빨리 도착하려면 평균 속력을 얼마로 유지해야 하는가?

53

세 사람 [eqn: rmA,~B,~C]가 어떤 일을 끝마치는데 [eqn: rmA]와[eqn: rmB], [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 함께 하면 각각 [eqn: 20]분이 걸리고, [eqn: rmC]와 [eqn: rmA]가 함께 하면 [eqn: 30]분이 걸린다. 이 일을 [eqn: rmA,~B,~C]가 함께할 때 걸리는 시간을 구하여라.

54

어떤 일을 모두 마치는 데 갑과 병 두 사람이 함께 하면 [eqn: 20]시간, 을과 병 두 사람이 함께 하면 [eqn: 12]시간이 걸리고, 병이 혼자서 하면 갑, 을 두 사람이 함께 할 때의 [eqn: 2]배의 시간이 걸린다. 이 일을 병이 혼자서 할 때 걸리는 시간을 구하여라.

55

다음 방정식을 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]의 값을 구하여라.

[eqn: x^2 +2y^2 +2xy +4y +4=0]

56

다음 방정식을 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: x^2 + y ^2 -4x +6y +13=0]
(2) [eqn: 4x^2 +2y^2 -4xy -2y +1=0]

57

다음 방정식을 만족시키는 정수 [eqn: x,~y]의 값을 구하여라.

[eqn: xy -2x -3y +4=0]

58

다음 방정식을 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: xy -3x +y-7=0]
(2) [eqn: x^2 -xy +2x -2y +5=0]

59

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x+y+z=6~~~~~&cdotscdots㉠#`x-y+2z=8&cdotscdots㉡#`x+3y-z=-2&cdotscdots㉢ }}]
(2) [eqn: {cases{`x(y+z)=18~~~&cdotscdots㉠#`y(z+x)=28&cdotscdots㉡#z(x+y)=30&cdotscdots㉢}}]

60

다음 연립방정식을 풀어라.
(1) [eqn: {cases{`x-y=4~~~~~&cdotscdots㉠#`x ^{2} -y ^{2} =12&cdotscdots㉡}}]
(2) [eqn: {cases{x+y=2~~~~~~~~~~~&cdotscdots㉠#`(x+2)(y+2)=5&cdotscdots㉡}}]
(3) [eqn: {cases{`x ^{2} -5xy+6y ^{2} =0~~~&cdotscdots㉠#`x ^{2} +xy-3y ^{2} =12&cdotscdots㉡}}]
(4) [eqn: cases {x^2 + y ^2 = 8~~~~~~&cdotscdots㉠#`xy+x+y=0&cdotscdots㉡]

61

[eqn: x,~y,~z]에 대한 연립방정식
[eqn: bx +ay=cy+bz =az+cx =3]의 해가
[eqn: x=1,~y=1},~z=1]일 때, [eqn: a,~b,~c]의 값을 구하여라.

62

삼각형 [eqn: rmABC]의 세 각을 [eqn: A,~B,~C]라고 할 때, [eqn: A+2B=165 DEG ,~B+2C=225DEG]이다. [eqn: A,~B,] [eqn: C]의 크기를 각각 구하여라.

63

[eqn: x+y over 3 = y+z over5 = z+x over 4]일 때, [eqn: x: y:z]를 구하여라. (단, [eqn: xyz not= 0])

64

두 이차방정식 [eqn: x^2 -x -a =0,~x^2 -5x +a=0]이 공통근을 갖도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하고, 이때의 공통근을 구하여라.

65

연립방정식 [eqn: cases { `kx + y =0#`ky+z=0#`x+y-z=0]의 해가 무수히 많을 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

66

[eqn: x,~y]에 대한 연립방정식 [eqn: cases {`x+y =2a # `xy =a+2]가 오직 한 쌍의 실근을 갖기 위한 실수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

67

두 실수 [eqn: x,~y]가 두 방정식 [eqn: x ^{2} +xy+y ^{2} =1,] [eqn: x ^{2} -xy+y ^{2} =2]를 만족시킬 때, [eqn: (x+y ) ^4]의 값은?

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

68

오른쪽 그림의
[eqn: a,~b,~c,~d,~e,~f]에 [eqn: 2,~4,~5,~6,~8,~9]를 채워서 가로 방향의 [eqn: 4]개의 숫자들의 합과 세로 방향의 [eqn: 3]개의 숫자들의 합이 같게 되도록 할 때, 그 합은?

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

69

연립방정식 [eqn: cases{`x+y=6#`y+z=3#`z+x=7] 의 해를 구하여라.

70

연립방정식 [eqn: {cases{`x+y=5#`x ^{2} +y ^{2} =13}}] 의 해를 구하여라.

71

실수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: (a-2) ^2 +(b+3) ^2 =0]일 때, [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

72

자연수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: ab=6]일 때, 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수를 구하여라.

73

연립방정식 [eqn: {cases{`x+y+z=4~~~~~& CDOTS CDOTS ㉠#`2x+3y-z=14&cdotscdots㉡#`3x-2y+z=-1&cdotscdots㉢}}] 의 해를 구하여라.

74

연립방정식 [eqn: {cases{`x+y=4~~~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`y+z=3&CDOTS CDOTS ㉡#`z+x=-5&CDOTS CDOTS ㉢}}] 의 해를 구하여라.

75

연립방정식 [eqn: {cases{x(y+z)=8~~~~`&CDOTS CDOTS ㉠#`y(z+x)=18&CDOTS CDOTS ㉡#`z(x+y)=20&CDOTS CDOTS ㉢}}] 의 해를 구하여라.

76

연립방정식 [eqn: {cases{`x ^{2} -xy-2y ^{2} =0~~~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2} -2xy+3y ^{2} =6&CDOTS CDOTS ㉡] 의 해를 구하여라.

77

연립방정식 [eqn: {cases{`2x+y=3~~~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2} +xy+y ^{2} =3&CDOTS CDOTS ㉡}}] 의 해를 구하여라.

78

연립방정식 [eqn: {cases{`xy+x+y=-5~~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2} +xy+y ^{2} =7&CDOTS CDOTS ㉡}}] 의 해를 구하여라.

79

[eqn: x,~y]가 정수일 때, 방정식 [eqn: xy=2x-3y+5]의 해의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]를 모두 구하여라.

80

방정식 을 만족시키는 양의 정수[eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값을 구하여라.

81

방정식 [eqn: x^2 - 4xy + 5 y ^2 +2x-8y+5=0]을 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값을 구하여라.

82

연립방정식 [eqn: {cases{x+y+z=0~~~`&CDOTS CDOTS ㉠#`3x+2y+z=2&CDOTS CDOTS ㉡#`7x+4y+z=k&CDOTS CDOTS ㉢}}] 의 해가 무수히 많을 때, 실수 [eqn: k]의 값을 구하여라.

83

두 연립방정식 [eqn: cases{`ax-y=1#`x+y=7], [eqn: cases{`x-y=a#`x^2 + y ^2 =25]가 같은 해를 가질 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

84

[eqn: 5x+3y=37]을 만족시키는 자연수 [eqn: x,~y]이 순서쌍 [eqn: (x,~y)]의 개수를 구하여라.

85

방정식 [eqn: 5x ^{2} +y ^{2} -2x-4xy+1=0]을 만족시키는 두 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값을 구하여라.

86

연립방정식 [eqn: {cases{x-2y+3z=-4~~``&CDOTS CDOTS ㉠#`-2x+3y-4z=a&CDOTS CDOTS ㉡#`3x-4y+bz=0&CDOTS CDOTS ㉢}}] 의 해가 무수히 많을 때, 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

87

[eqn: x,~y]에 대한 두 연립방정식 [eqn: {cases{`ax ^{2} +y ^{2} =5#`x+y=3}}], [eqn: {cases{`x+y=b#`x ^{2} -y ^{2} =-21}}]의 해가 일치할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

88

방정식 [eqn: 1 over x + 1 over y = 1 over3]을 만족시키는 양의 정수 [eqn: x,~y]의 값을 구하여라.

89

방정식 [eqn: x ^{2} -2xy+2y ^{2} -2x+6y+5=0]을 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		3. 여러 가지 방정식			정답
	01 삼차방정식과 사차방정식

01

①

답

해

설

삼차방정식 [eqn: 2x^3 - x^2 -ax +2=0]의 한 근이 [eqn: 1]이므로 [eqn: x=1]을 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: 2-1-a+2=0,~a=3]

[eqn: f(x)=2x^3 -x^2 -3x +2]로 놓자.

[eqn: f(1)=0]이므로 조립제법을 이용하면

[eqn: f(x)= (x-1)(2x^2 +x-2)]이므로

[eqn: (x-1)(2x ^{2} +x-2)=0]에서

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x={-1 +- sqrt { 17}} over 4]

따라서 양수인 근은  [eqn: {-1+ sqrt { 17 }} over 4]

02

⑤

답

해

설

[eqn: x^ 4 -3 x^2 +1 = 0,~ x^ 4 -2 x^2 +1 -x^2 =0]

[eqn: (x^2 -1)^2 -x^2 =0,~(x^2 +x -1 )(x^2 -x-1) =0]

[eqn: x^2 +x -1=0]일 때,  [eqn: x = {-1 +- sqrt { 5 } }over 2]

[eqn: x^2 -x -1 =0]일 때,  [eqn: x= {1+- sqrt { 5}} over 2]

따라서 사차방정식 [eqn: x^4 -3x^2 +1 =0]의 근은 [eqn: x= {-1 +-sqrt { 5}} over 2] 또는 [eqn: x= { 1 +- sqrt { 5}} over 2]

03

④

답

해

설

[eqn: x^ 4 -2 x^3 -x^2 -2x +1=0]의 양변을 [eqn: x^2]으로 나누면

[eqn: x^2 + 1 over x^ 2 - 2 left ( x + 1 over x right) -1 = 0][eqn: left( x+ 1 over x right) ^2 -2 left( x + 1 over x right) -3 =0]

[eqn: x + 1 over x = t]로 놓으면

[eqn: t^2 -2t -3 =0,~ (t+1)(t-3)=0]

[eqn: t=-1] 또는 [eqn: t=3]

즉, [eqn: alpha + 1 over alpha =-1] 또는 [eqn: alpha + 1 over alpha =3]

따라서 [eqn: alpha + 1 over alpha]의 모든 값의 합은  [eqn: -1 +3=2]

04

④

답

해

설

삼차방정식 [eqn: x^3 +x^2 -x +1 =0]에서 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta +gamma =-1 ,~ alpha beta+beta gamma +gamma alpha =-1,~alpha beta gamma=-1`]이므로  [eqn: 1 over alpha + 1 over beta + 1 over gamma = { alpha beta +beta gamma +gamma alpha } over alphabetagamma = -1 over -1 =1]

05

②

답

해

설

삼차방정식 [eqn: 2x^3 +4x -4=0]에서 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta+gamma =0,~alphabeta +beta gamma +gamma alpha = 2,~alpha beta gamma=2]

[eqn: alpha +beta +gamma =0]에서

[eqn: alpha +beta =- gamma,~beta +gamma =- alpha ,~ gamma + alpha =- beta]이므로

[eqn: {alpha + beta } over {gamma } + {beta + gamma } over {alpha } + {gamma + alpha } over {beta }# = {alpha beta ( alpha + beta )+ beta gamma ( beta + gamma )+ gamma alpha ( gamma + alpha )} over {alphabeta gamma} #={ alpha beta(-gamma)+beta gamma(- alpha)+gamma alpha(-beta)} over alphabetagamma = -3]

[eqn: {alpha + beta } over {gamma } times {beta + gamma } over {alpha } + {beta + gamma } over {alpha } times {gamma + alpha } over {beta } + {gamma + alpha } over {beta } times alpha+beta over gamma #= -gamma over gamma times -alpha over alpha + -alpha over alpha times -beta over beta + -beta over beta times -gamma over gamma #=3]

[eqn: alpha+beta over gamma times beta+gamma over alpha times gamma+alpha over beta #= -gamma over gamma times -alpha over alpha times -beta over beta =-1]

따라서 [eqn: x^3]의 계수가 [eqn: 1]인 삼차방정식은
[eqn: x^3 +3x^2 +3x+1=0]

06

⑤

답

해

설

[eqn: x^3 =1]에서  [eqn: x^3 -1= 0]

[eqn: (x-1)(x^2 +x+1)=0]

이고 [eqn: omega]는 이 삼차방정식의 허근이므로

[eqn: omega ^3 =1,~omega^2 + omega +1=0]

따라서

[eqn: 1+ omega + omega ^{2} + omega ^{3} + CDOTS + omega ^{2010}# =(1+ omega + omega ^{2} )+ omega ^{3} (1+ omega + omega ^{2} )+ CDOTS # ~~+ omega ^{2007} (1+ omega + omega ^{2} )+ omega ^{2010}# =0+0+ CDOTS +0+ omega ^{2010}# =( omega ^{3} ) ^{670} =1]

07

[eqn: -4]

답

해

설

한 근이 [eqn: 1+ i]이므로 [eqn: x^3 +2ax^2 -bx +1=0]에 [eqn: x= 1+i]를 대입하면

[eqn: (1+i)^3 +2 a(1+i)^2 -b(1+i)+1 =0]

[eqn: 1+3i -3 -i +4ai -b -bi +1 =0]

[eqn: (-b-1)+(4a-b+2)i =0]에서

[eqn: -b-1=0,~4a -b +2 =0]

[eqn: a= - 3 over 4 ,~ b= -1]이므로

[eqn: 4a +b = 4 cdotleft( - 3 over 4 right) +(-1) =-4]

08

①

답

해

설

[eqn: x= { -1 - sqrt { 3 }i } over 2]의 양변에 [eqn: 2]를 곱하면

[eqn: 2x = -1 - sqrt { 3 }i,~2x +1 = - sqrt { 3 }i]

양변을 제곱하여 정리하면  [eqn: x^2 +x+1=0]

양변에 [eqn: x-1]을 곱하면

[eqn: (x-1)(x^2 +x+1)=0]

[eqn: x^3 -1= 0,~x^3 =1]이므로

[eqn: x ^{100} +x ^{50} & =(x ^{3} ) ^{33} TIMES x+(x ^{3} ) ^{16} TIMES x ^{2}# & =x+x ^{2}# & =-1]

09

③

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 -(a+1) x^2 +2ax -a]로 놓자.

[eqn: f(1) =0]이므로 조립제법을 이용하면

[eqn: f(x)= (x-1)(x^2 -ax +a)]이므로

[eqn: (x-1)(x^2 -ax +a)=0]

삼차방정식 [eqn: x^3 -(a+1)x^2 +2ax -a=0]이 [eqn: x=1]이 아닌 중근을 가지므로 [eqn: x^2 -ax +a=0]이 중근을 가져야 한다.

[eqn: D= a^2 -4a =0,~a(a-4)=0]

[eqn: a=0] 또는 [eqn: a=4]

[eqn: a not = 0]이므로  [eqn: a=4]

10

③

답

해

설

삼차방정식 [eqn: x^3 -x^2 +2x-1 =0]의 세 근이 [eqn: alpha,~beta ,~gamma]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta +gamma =1,~alphabeta +beta gamma +gamma alpha =2,~alphabetagamma=1]

[eqn: ( alpha -1)+( beta -1)+( gamma -1) & = alpha + beta + gamma -3# & =-2]

[eqn: (alpha -1)(beta -1) +(beta -1)(gamma -1) +(gamma -1)(alpha -1) #=alphabeta +beta gamma +gamma alpha -2 (alpha +beta +gamma )+3 #= 3]

[eqn: (alpha -1)(beta -1)(gamma -1) #=alphabeta gamma -(alpha beta +beta gamma +gamma alpha )+(alpha +beta +gamma) -1 #=-1]

구하는 삼차방정식은  [eqn: x^3 +2x^2 +3x +1=0]

따라서 [eqn: a=2,~b=3,```c=1]이므로

[eqn: a+b+c=2+3+1=6]

11

④

답

해

설

[eqn: x ^{4} +2ax ^{2} +2a-1=0]에서 [eqn: x^2 =t]로 놓으면

[eqn: t^2 +2at +2a -1=0]	㉠

이때 이차방정식 ㉠이 서로 다른 부호의 두 실근을 가지면 주어진 사차방정식은 서로 다른 두 실근과 두 허근을 가진다.

따라서 ㉠의 두 근을 [eqn: alpha,~ beta]라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: alpha beta =2 a-1<0]이므로

[eqn: a< 1 over 2]

12

②

답

해

설

[eqn: x^3 =1]의 한 허근이 [eqn: omega]이므로 [eqn: omega ^ 3 =1,~ omega ^2 +omega +1 =0]이다.

[eqn: n=1,~2,~3,~cdots]을 대입하여 [eqn: f(n)]을 구하면

[eqn: f(1)= omega ^2 over {1 + omega ^4} = omega ^2 over 1+omega = -1]

[eqn: f(2) = omega ^ 4 over{ 1+ omega^8} = omega over{ 1 + omega ^2}=-1]

[eqn: f(3) = omega ^ 6 over {1 + omega ^12 } = 1 over 1+1 = 1 over 2]

[eqn: f(4) = omega ^8 over { 1 + omega ^16 } = omega ^ 2 over{ 1+ omega} =-1]

[eqn: f(5) = omega ^10 over {1+ omega ^ 20 } = omega over{1 + omega ^2 } =-1]

⋮

이므로

[eqn: f(n)= cases{`-1~(n=3k-2)#`-1~(n=3k-1)~(단,~k=1,~2,~3,~ cdots) #` 1 over {2}``~(n=3k)]

따라서  [eqn: f(1) +f(2) +f(3) + cdots + f(2010) #= 670 times left{(-1)+(-1)+ 1 over 2 right} #= -1005]

13

[eqn: 4]

답

해

설

한 근이 [eqn: 1]이므로 주어진 방정식에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1-1+2-k=0]에서  [eqn: k=2]	(가)

[eqn: f(x) =x^3 -x^2 +2x -2]로 놓자.

[eqn: f(1)=0]이므로 조립제법을 이용하면

[eqn: (x-1)(x^2 +2) =0]이므로 다른 두 근은 [eqn: x^2 +2=0]의 근이다.

[eqn: alpha beta=2]	(나)

따라서 [eqn: alphabeta +k = 2+2=4]	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) [eqn: k]의 값을 구한다.	30 %
(나) [eqn: alphabeta]의 값을 구한다.	50 %
(다) [eqn: alpha beta +k]의 값을 구한다.	20 %

14

③

답

해

설

방정식 [eqn: x^4 -12 x^2 +16 =0]에서

[eqn: (x^4 - 8 x^2 +16 ) -4x ^2 =0]

[eqn: (x^2 -4) ^2 - (2x )^2 =0,~(x^2 +2x -4)(x^2 -2x -4) =0]

[eqn: (i)~x^2 +2x -4 =0]에서  [eqn: x= -1 +- sqrt { 5}]

[eqn: (ii)~ x^2 -2x -4 =0]에서  [eqn: x= 1+- sqrt { 5}]

[eqn: (i),~(ii)]에서 주어진 방정식의 양의 근은

[eqn: -1 + sqrt { 5},~ 1+ sqrt { 5}]이므로

[eqn: alpha +beta = (-1 + sqrt { 5 })+(1+ sqrt { 5 }) =2 sqrt { 5}]

[eqn: alpha beta = (-1 + sqrt { 5 })(1+ sqrt { 5 }) =4]

따라서 구하는 이차방정식은  [eqn: x^2 -2 sqrt { 5 }x +4 =0]

15

①

답

해

설

[eqn: x^2 -x +1 =0]의 양변에 [eqn: x+1]을 곱하면
[eqn: (x+1)(x^2 -x +1)=0,~x^3 =-1]

따라서 [eqn: omega]는 [eqn: x^2 -x +1 =0]과 [eqn: x^3 =-1]의 근이므로 [eqn: omega ^2 - omega +1 =0,~w ^3 =-1]

(주어진 식)

[eqn: =left{1-(omega ^3 ) ^ 671 right } left{ -1 - ( omega ^3 ) ^671 cdot omega right} left{1- (omega ^3 ) ^671 cdot omega ^2 right} #=left{1-(-1) right} left{ -1-(-omega) right} left{ 1- (- omega ^2 ) right } #= 2(-1+omega)(1+ omega ^2 ) #=2 cdot omega ^2 cdot omega =2 omega ^3 =-2]

16

(1) [eqn: x=1] 또는 [eqn: x= {-1+- sqrt { 3} i } over 2]
(2) [eqn: x=2] 또는 [eqn: x= {-1 +- sqrt { 5}]

답

해

설

(1) [eqn: x^3 -1=0]에서 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-1) (x^2 +x+1)=0]

[eqn: x-1=0] 또는 [eqn: x^2 +x +1=0]

[eqn: thereforex=1] 또는 [eqn: x= {-1+- sqrt { 3} i } over 2]

(2) [eqn: f(x)=x^3 -4x^2 +8]로 놓으면 [eqn: f(2)=0]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-2]를 인수로 갖는다.

조립제법을 이용하면

[eqn: f(x)# =(x-2)(x ^{2} -2x-4)]

이므로
[eqn: (x-2)(x^2 -2x-4)=0]

[eqn: x-2=0] 또는 [eqn: x^2 -2x -4=0]

[eqn: therefore x=2] 또는 [eqn: x=1+- sqrt { 5}]

17

(1) [eqn: x=1] 또는 [eqn: x= {-1± sqrt {2} i}]
(2) [eqn: x=+-1] 또는 [eqn: x= +- 2]

답

해

설

(1) [eqn: f(x)=x^4 - 4x +3]으로 놓으면 [eqn: f(1)=0]이므로

[eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]을 인수로 갖는다.

조립제법을 이용하면

[eqn: f(x)# =(x-1)(x-1)(x ^{2} +2x+3)# =(x-1) ^{2} (x ^{2} +2x+3)]

따라서 주어진 방정식은

[eqn: (x-1) ^2 (x^2 +2x +3)=0]

[eqn: (x-1) ^2 =0] 또는 [eqn: x^2 +2x +3=0]

[eqn: therefore x=1] 또는 [eqn: x= {-1± sqrt {2} i}]

(2) [eqn: x^2 =t]로 놓으면  [eqn: t^2 -5t+4=0]

[eqn: (t-1)(t-4)=0~~therefore t=1] 또는 [eqn: t=4]

[eqn: t=1]일 때, [eqn: x^2 =1]이므로  [eqn: x=+-1]

[eqn: t=4]일 때, [eqn: x^2 =4]이므로  [eqn: x=+-2]

따라서 구하는 해는  [eqn: x=+-1] 또는 [eqn: x= +- 2]

18

(1) [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x= {1± sqrt {3} i} over {2}]
(2) [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-1± sqrt {3}i]

답

19

(1) [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-1± sqrt {2}]
(2) [eqn: x=1] 또는 [eqn: x= {3 +- sqrt { 15}]

답

해

설

(1) [eqn: f(x)=x ^3 - 5x +2]로
놓으면  [eqn: f(2)=0]

조립제법을 이용하면

[eqn: f(x)= (x-2) (x^2 +2x-1)=0]

[eqn: thereforex=2] 또는 [eqn: x=-1± sqrt {2}]

(2) [eqn: f(x)= x^3 - 7x ^2 + 6]으로 놓으면  [eqn: f(1)=0]

조립제법을 이용하면

[eqn: f(x)=(x-1)(x^2 - 6x -6)]

[eqn: thereforex=1] 또는 [eqn: x= 3+- sqrt { 15}]

20

(1) [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=-1 +- sqrt { 2}i]
(2) [eqn: x=+-1] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-3]

답

해

설

(1) [eqn: f(x)=x^4 -4x +3]으로 놓으면  [eqn: f(1)=0]

[eqn: f(x)#=(x-1) ^2 (x^2 +2x+3)#=0]

[eqn: thereforex=1] 또는 [eqn: x=-1 +- sqrt { 2}i]

(2) [eqn: f(x)=x^4 +x^3 -7x^2 -x+6]

[eqn: f(1)=0,~f(-1)=0]

[eqn: therefore f(x)&=(x-1)(x+1)(x^2 +x-6) #&=(x-1)(x+1)(x-2)(x+3) #&=0]

[eqn: thereforex=+-1] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=-3]

21

(1) [eqn: x=+- sqrt { 3}] 또는 [eqn: x=+-i]
(2) [eqn: x=+- 1] 또는 [eqn: x=+- sqrt { 3}]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 = t]로 놓으면 주어진 방정식은
[eqn: t^2 -2t-3=0]

[eqn: (t-3)(t+1)=0~~thereforet=3] 또는 [eqn: t=-1]

[eqn: x^2 =3]에서  [eqn: x= +- sqrt { 3}]

[eqn: x^2 =-1]에서  [eqn: x=+-i]

따라서 구하는 해는  [eqn: x=+- sqrt { 3}] 또는 [eqn: x=+-i]

(2) [eqn: x^2 =t]로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: t^2 -4t+3=0]

[eqn: (t-1)(t-3)=0~~therefore t=1] 또는 [eqn: t=3]

[eqn: x^2 =1]에서  [eqn: x=+-1]

[eqn: x^2 =3]에서  [eqn: x= +- sqrt { 3}]

따라서 구하는 해는  [eqn: x=+- 1] 또는 [eqn: x=+- sqrt { 3}]

22

(1) [eqn: x=-2,~1+- sqrt { 3}i]
(2) [eqn: x=+-2i,~+-2]
(3) [eqn: x=-1]
(4) [eqn: x=+-1,~{-1+- sqrt { 3}i } over 2]

답

해

설

(1) [eqn: x^3 + 8=0]에서

[eqn: (x+2)(x^2 -2x+4)=0]

[eqn: thereforex=-2] 또는 [eqn: x=1+- sqrt { 3} i]
(2) [eqn: x ^4 - 16=0]에서

[eqn: (x^2 +4)(x^2 -4)=0]

[eqn: (x^2 +4)(x+2)(x-2)=0]

[eqn: thereforex=+-2i] 또는 [eqn: x=+-2]
(3) [eqn: x^3 + 3x^2 +3x+1=0]에서

[eqn: (x+1) ^3 =0]

[eqn: thereforex=-1]
(4) [eqn: x^4 + x^3 -x -1=0]에서

[eqn: x^3 (x+1)-(x+1)=0]

[eqn: (x+1)(x^3 -1)=0]

[eqn: (x+1)(x-1)(x^2 +x+1)=0]

[eqn: thereforex=+-1] 또는 [eqn: x={-1 +- sqrt { 3} i}over2]

23

(1) [eqn: x=-1,~3]
(2) [eqn: x=2,~-1+-i]
(3) [eqn: x=2,~-2]
(4) [eqn: x=1,~2,~{-1+- sqrt { 3}i } over2]

답

해

설

(1) [eqn: x^3 -5x^2 + 3x + 9=0]p서

[eqn: (x+1)(x^2 -6x+9)=0]

[eqn: (x+1)(x-3) ^2 =0]

[eqn: thereforex=-1] 또는 [eqn: x=3]
(2) [eqn: x^3 -2x -4=0]

[eqn: (x-2)(x^2 +2x+2)=0]

[eqn: therefore x=2] 또는 [eqn: x=-1+-i]
(3) [eqn: x^3 -2x^2 -4x +8=0]

[eqn: (x-2)(x^2 -4)=0,~(x-2) ^2 (x+2)=0]

[eqn: thereforex=2] 또는 [eqn: x=-2]
(4) [eqn: x ^{4} -2x ^{3} -x+2=0]

[eqn: (x-1)(x-2)(x^2 +x+1)=0]

[eqn: THEREFORE x=1] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x={-1 +- sqrt { 3}i } over2]

24

(1) [eqn: x=-1+-i,~1+-i]
(2) [eqn: x=+- sqrt { 6},~+-i]

답

해

설

(1) [eqn: x ^{4} +4=0]에서

[eqn: x^4 +4x^2 +4-4x^2 =0]

[eqn: (x^2 +2) ^2 - (2x)^2 =0]

[eqn: (x^2 +2+2x)(x^2 +2-2x)=0]

[eqn: (x^2 +2x+2)(x^2 -2x+2)=0]

[eqn: thereforex=-1+- i] 또는 [eqn: x=1+-i]
(2) [eqn: x ^{4} -5x ^{2} -6=0]에서 [eqn: x^2 =t]로 놓으면

[eqn: t^2 - 5t -6=0]

[eqn: (t-6)(t+1)=0]

[eqn: thereforet=6] 또는 [eqn: t=-1]

[eqn: x^2 =6]에서  [eqn: x=+- sqrt { 6}]

[eqn: x^2 =-1]에서  [eqn: x=+-i]

따라서 구하는 해는

[eqn: x=+- sqrt { 6}] 또는 [eqn: x=+-i]

25

해설 참조

답

해

설

[eqn: x^3 -1=0]에서 [eqn: (x-1)(x^2 +x+1)=0]이고, [eqn: omega_1]과 [eqn: omega_2]는 [eqn: x^2 +x+1=0]의 두 근이므로

[eqn: omega_1 ` ^2 + omega_1 +1=0,~omega_2`^2 + omega_2 +1=0]	(3)

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: omega_1 + omega_2 =-1,~omega_1 omega_2 =1]	(1), (2)

한편 [eqn: omega_1 `^2 + omega_1 +1=0]에서 [eqn: omega _{1} ` ^{2} =- omega _{1} -1,]
[eqn: omega _{1} + omega _{2} =-1]에서 [eqn: omega_2 =-omega_1 -1]이므로

[eqn: omega_1 `^2 = omega_2]	(4)

26

(1) [eqn: x=4] 또는 [eqn: x=-2]
또는 [eqn: x=1+- sqrt { 2}i]
(2) [eqn: x= {-1+- sqrt { 7}i } over2] 또는
[eqn: x={1+- sqrt { 7} i} over2]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 -2x=t]로 치환하면  [eqn: t^2 -5t-24=0]

[eqn: (t-8)(t+3)=0~~ THEREFORE t=8] 또는 [eqn: t=-3]

(i) [eqn: x ^{2}-2x=8]에서  [eqn: x^2 -2x -8=0,]

[eqn: (x-4)(x+2)=0~~thereforex=4] 또는 [eqn: x=-2]

(ii) [eqn: x^2 -2x=-3]에서  [eqn: x^2 -2x+3=0]

[eqn: thereforex=1+- sqrt { 2}i]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: x=4] 또는 [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1+- sqrt { 2}i]

(2) [eqn: x ^{4} +3x ^{2}+4=0]에서  [eqn: x^4 +4x ^2 +4-x^2 =0]

[eqn: (x^2 +2) ^2 -x^2 =0,~(x^2 +x+2)(x^2 -x+2)=0]

[eqn: x= {-1+- sqrt { 7}i } over2] 또는 [eqn: x={1+- sqrt { 7} i} over2]

27

(1) [eqn: -1]	(2) [eqn: 1]

답

해

설

[eqn: omega]는 [eqn: x^3 =1]의 근이므로  [eqn: omega^3 =1]

[eqn: x^3 =1]에서  [eqn: (x-1)(x^2 +x+1)=0]

허근 [eqn: omega]는 [eqn: x^2 +x+1=0]의 근이므로

[eqn: omega^2 +omega +1=0]

(1) [eqn: omega+ 1 over omega = { omega^2 + 1 } over omega = -omega over omega =-1]

(2) [eqn: (1+ omega)(1+omega^2 ) &=omega^3 +omega^2 + omega+1 #&=1+(omega^2 +omega+1)=1]

28

(1) [eqn: x=-1+- sqrt { 3} ,~-1]
(2) [eqn: x=-1+- sqrt { 2} i,~1+- sqrt { 2}i]

답

해

설

(1) [eqn: (x ^2 +2x ) ^2 =x^2 +2x +2]에서

[eqn: x^2 +2x=t]로 놓으면  [eqn: t^2 =t+2]

[eqn: t^2 -t-2=0,~(t-2)(t+1)=0]

[eqn: therefore t=2] 또는 [eqn: t=-1]

(i) [eqn: x^2 +2x =2]에서  [eqn: x^2 +2x-2=0]

[eqn: therefore x= -1 +- sqrt { 3}]

(ii) [eqn: x^2 +2x =-1]에서  [eqn: x^2 +2x+1=0]

[eqn: (x+1) ^2 =0~~therefore x=-1]

(i), (ii) 에 의하여 구하는 해는

[eqn: x=-1+- sqrt { 3}] 또는 [eqn: x=-1]
(2) [eqn: x ^{4} +2x ^{2}+9=0]에서

[eqn: (x^4 + 6x ^2 + 9)- 4x^2 =0]

[eqn: (x^2 +3) ^2 -(2x) ^2 =0]

[eqn: (x^2 +2x+3)(x^2 -2x+3)=0]

[eqn: thereforex=-1+- sqrt { 2}i] 또는 [eqn: x=1+- sqrt { 2}i]

29

[eqn: p=7,~q=6},~나머지~한~근:~-3]

답

해

설

[eqn: x^3 - px +q]는 [eqn: (x-1)(x-2)]를 인수로 가지므로 나머지 한 근을 [eqn: r`]라고 하면

[eqn: x^3 - px +q&=(x-1)(x-2)(x-r) #&=(x^2 -3x +2)(x-r) #&=x^3 -(3+r)x^2 +(2+3r)x -2r]

[eqn: therefore3+r=0,~2+3r=-p,~-2r=q`]

[eqn: therefore r=-3,~p=7,~q=6]

따라서 [eqn: p=7,~q=6]이고, 나머지 한 근은 [eqn: -3]이다.

30

[eqn: -5,~1]

답

해

설

[eqn: x^2 -x -2=0,~(x+1)(x-2)=0]

(i) [eqn: x ^{3} +ax ^{2} +bx+c & =(x+1) ^{2} (x-2) #& =x^3 -3x -2]

[eqn: THEREFORE a=0,~b=-3,~c=-2~~therefore a+b+c=-5]

(ii) [eqn: x^3 +ax^2 +bx +c &=(x+1)(x-2) ^2 #& = x^3 -3x^2 +4]

[eqn: thereforea=-3,~b=0,~c=4~~thereforea+b+c=1]

31

[eqn: k=-5,~나머지~두~근:~1+-i]

답

해

설

[eqn: x=3]을 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: 27+9k +24-6=0~~thereforek=-5]

즉, 주어진 방정식은 [eqn: x^3 -5x^2 +8x -6=0]이므로

[eqn: (x-3)(x^2 -2x+2)=0]

[eqn: therefore x=3] 또는 [eqn: x=1+- i]

따라서 나머지 두 근은 [eqn: 1+-i]이다.

32

[eqn: a=7,~6,~-2]

답

해

설

[eqn: (x+2)(x^2 +ax +a+3)=0]에서

(i) [eqn: x=-2]가 중근이 되려면

[eqn: x^2 +ax +a+3=0]

의 한 근은 [eqn: x=-2]이어야 하므로

[eqn: 4-2a+a+3=0~~thereforea=7]

(ii) [eqn: x^2 +ax +a+3 =0]이 중근을 가지려면

[eqn: D= a^2 -4(a+3)=0]

[eqn: a^2 -4a-12=0,~(a-6)(a+2)=0]

[eqn: therefore a=6] 또는 [eqn: a=-2]

(i), (ii)에 의하여 구하는 [eqn: a]의 값은

[eqn: a=7] 또는 [eqn: a=6] 또는 [eqn: a=-2]

33

(1) [eqn: a=-3,~b=4]
(2) [eqn: a=0,~b=-5]

답

해

설

(1) [eqn: x=1+i]를 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: (1+i) ^3 +a(1+i) ^2 +b(1+i)-2=0]

[eqn: (b-4)+(2a+b+2)i=0]

[eqn: a,~b]는 실수이므로  [eqn: b-4=0,~2a+b+2=0]

[eqn: therefore a=-3,~b=4]

(2) [eqn: x=1+ sqrt { 2}]를 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: (1+ sqrt { 2}) ^3 +a(1+ sqrt { 2})^2 +b(1+ sqrt { 2})-2=0]

[eqn: (5+3a+b)+(5+2a+b) sqrt { 2}=0]

[eqn: a,~b]는 유리수이므로
[eqn: 5+3a+b=0},~5 +2a+b=0]

[eqn: therefore a=0,~b=-5]

34

[eqn: a=-11,~b=20#나머지~두~근:-4,~2+i]

답

해

설

[eqn: x=2-i]를 [eqn: x^3 +ax +b=0]에 대입하면

[eqn: (2-i) ^3 +a(2-i)+b=0]

[eqn: 8-12i +6i^2 -i^3 +2a-ai+b=0]

[eqn: (2+2a+b)+(-11-a)i=0]

[eqn: a,~b]는 실수이므로

[eqn: 2+2a+b=0,~-11-a=0]

[eqn: therefore a=-11,~b=20]

[eqn: x^3 -11x +20=0]에서

[eqn: (x+4)(x^2 - 4x +5)=0]

[eqn: therefore x=-4] 또는 [eqn: x=2+- i]

따라서 나머지 두 근은 [eqn: x=-4,~2+i]

35

[eqn: a=-5,~b=-2#나머지~두~근:~-2,~1- sqrt { 2}]

답

해

설

[eqn: x=1+ sqrt { 2}]를 [eqn: x^3 +ax+b=0]에 대입하면

[eqn: (1+ sqrt { 2 } )^3 +a(1+ sqrt { 2}) +b=0]

[eqn: 1+3 sqrt { 2} +6 +2 sqrt { 2} +a+a sqrt { 2} +b=0]

[eqn: (7+a+b)+(5+a) sqrt { 2}= 0]

[eqn: a,~b]는 유리수이므로

[eqn: 7+a+b=0,~5+a=0]

[eqn: therefore a=-5,~b=-2]

[eqn: x^3 -5x -2=0]에서

[eqn: (x+2)(x^2 -2x -1)=0]

[eqn: thereforex=-2] 또는 [eqn: x=1+- sqrt { 2}]

따라서 나머지 두 근은 [eqn: x=-2,~1- sqrt { 2}]이다.

36

(1) [eqn: -1]	(2) [eqn: 7]

답

해

설

[eqn: x ^{3} +2x -4=0]의 세 근이 [eqn: alpha,~beta,~gamma]이므로

[eqn: x^3 +2x -4=(x-alpha )(x-beta)(x-gamma)]

이 식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

(1) [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 1+2-4=(1-alpha )(1-beta )(1-gamma)]

[eqn: therefore (1-alpha )(1-beta)(1-gamma)=-1]

(2) [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: -1-2-4=(-1-alpha)(-1-beta)(-1-gamma)]

[eqn: therefore (1+alpha )(1+beta)(1+gamma)=7]

37

(1) [eqn: 8]	(2) [eqn: 8]

답

해

설

[eqn: 2x^3 - x^2 +4=0]의 세 근이 [eqn: alpha,~beta,~gamma]이므로

[eqn: 2x^3 -x^2 + 4 =2(x-alpha )(x-beta)(x-gamma)]

이것은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로

(1) [eqn: x=2]를 대입하면

[eqn: 16-4+4=2(2- alpha )(2-beta )(2-gamma)][eqn: therefore(2- alpha )(2-beta )(2-gamma)=8]
(2) [eqn: x=-2]를 대입하면

[eqn: -16-4+4=2(-2-alpha)(-2-beta)(-2-gamma)][eqn: therefore(2+ alpha)(2 +beta )(2+ gamma)=8]

38

(1) [eqn: 6]	(2) [eqn: -1]
(3) [eqn: 3]	(4) [eqn: -3]

답

해

설

[eqn: alpha+beta+gamma=2,~alpha beta+betagamma+gammaalpha =-1,~alpha betagamma=1]이므로

(1) [eqn: alpha ^2 +beta^2 +gamma^2 &=(alpha +beta+gamma) ^2 -2(alpha beta+betagamma+gammaalpha) #&=2^2 -2 cdot (-1)=6]

(2) [eqn: 1 over alpha + 1 over beta + 1 over gamma = {betagamma+gammaalpha +alpha beta} over alphabetagamma = -1over1 =-1]

(3) [eqn: (1+alpha)(1+beta)(1+gamma) #=1+(alpha +beta+gamma)+(alphabeta+betagamma+gammaalpha )+alphabetagamma #=1+2-1+1=3]

(4) [eqn: alpha +beta+gamma=2]이므로

[eqn: (alpha +beta )(beta+gamma)(gamma+alpha ) #=(2-gamma)(2-alpha )(2-beta) #=8-4(alpha +beta+gamma)+2(alphabeta+betagamma+gamma alpha) -alphabetagamma #= 8- 4 cdot 2 +2 cdot(-1)-1=-3]

39

(1) [eqn: - 1over 2]	(2) [eqn: 1 over2]
(3) [eqn: 4]	(4) [eqn: - 3 OVER2]

답

해

설

[eqn: alpha +beta+gamma=0,~alphabeta+betagamma+gammaalpha=-2,~ alphabetagamma=- 1 over 2]이므로

(1) [eqn: (1- alpha )(1- beta )(1- gamma )# =1-( alpha + beta + gamma )+( alpha beta + beta gamma + gamma alpha )- alpha beta gamma # =1-2 + 1 over2 = - 1 over2]

(2) [eqn: alpha +beta+gamma =0]이므로

[eqn: alpha +beta=-gamma,~beta +gamma=-alpha ,~gamma+alpha=-beta]

[eqn: THEREFORE ( alpha + beta )( beta + gamma )( gamma + alpha ) & =(- gamma )(- alpha )(- beta )# & =- alpha beta gamma = {1} over {2}]

(3) [eqn: alpha ^{2 } +beta^2 +gamma^2 &=(alpha +beta+gamma) ^2 -2(alphabeta+betagamma+gammaalpha) #&=0-2cdot(-2)=4]

(4) [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3}# =( alpha + beta + gamma )( alpha ^{2} + beta ^{2} + gamma ^{2} - alpha beta - beta gamma - gamma alpha )# ~~+3 alpha beta gamma # =3 alpha beta gamma ~( BECAUSE alpha + beta + gamma =0)# =- {3} over {2}]

40

(1) [eqn: x=-4,~2+-2 sqrt { 3} i]
(2) [eqn: x=+- 2i ,~+-2]
(3) [eqn: x=0,~+-3]
(4) [eqn: x=0,~1,~{-1+- sqrt { 15}i} over2]

답

해

설

(1) [eqn: x^3 +64=0]에서  [eqn: x^3 +4^3 =0]

[eqn: (x+4)(x^2 -4x+16)=0]

[eqn: thereforex=-4] 또는 [eqn: x=2+-2 sqrt { 3}i]

(2) [eqn: x^4 -16=0]에서  [eqn: (x^2 +4)(x^2 -4)=0]

[eqn: (x^2 + 4)(x+2)(x-2)=0]

[eqn: thereforex=+-2i] 또는 [eqn: x=+-2]

(3) [eqn: x^3 -9x=0]에서  [eqn: x(x^2 -9)=0]

[eqn: x(x+3)(x-3)=0]

[eqn: therefore x=0] 또는 [eqn: x=+-3]

(4) [eqn: (x^2 + 2 ) ^2 =(x+2) ^2]에서

[eqn: (x^2 + 2) ^2 -(x+2) ^2 =0]

[eqn: left{ (x^2 +2) -(x+2) right}left{ (x^2 +2)+(x+2) right}=0]

[eqn: x(x-1)(x^2 +x+4) =0]

[eqn: therefore x=0] 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x = {-1 +- sqrt { 15}i } over 2]

41

(1) [eqn: x=1,~-1+-i]
(2) [eqn: x=-1,~1+-2i]
(3) [eqn: x=1,~-1+- sqrt { 2}i]
(4) [eqn: x=-1,~2,~{ 1+- sqrt { 3} i } over 2]

답

해

설

(1) [eqn: x^3 +x^2 -2=0]에서

[eqn: (x-1)(x^2 +2x +2) =0]

[eqn: thereforex=1] 또는 [eqn: x=-1+-i]

(2) [eqn: x^3 - x^2 +3x +5=0]에서

[eqn: (x+1)(x^2 -2x +5)=0]

[eqn: thereforex=-1] 또는 [eqn: x=1+-2i]

(3) [eqn: x ^{4} -4x +3=0]에서

[eqn: (x-1) ^2 (x^2 +2x+3)=0]

[eqn: therefore x=1] 또는 [eqn: x=-1+- sqrt { 2}i]

(4) [eqn: x^4 -2x^3 +x-2=0]에서

[eqn: (x+1)(x-2)(x^2 -x+1 )=0]

[eqn: thereforex=-1] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x={1+- sqrt { 3}i } over 2]

42

(1) [eqn: x=+- sqrt { 2 },~+-2]
(2) [eqn: x=-1,~2,~ 1over2]
(3) [eqn: x=-4,~1,~{-3+- sqrt { 11}i} over2]
(4) [eqn: x=-5,~2,~{-3+- sqrt {39} i} over2]

답

해

설

(1) [eqn: x ^4 -6x^2 +8=0]에서 [eqn: x^2 =t]로 놓으면

[eqn: t^2 -6t+8=0,~(t-2)(t-4)=0]

[eqn: thereforet=2] 또는 [eqn: t=4]

[eqn: x^2 =2]에서  [eqn: x=+- sqrt { 2}]

[eqn: x^2 =4]에서  [eqn: x=+-2]

따라서 구하는 해는

[eqn: x=+- sqrt { 2}] 또는 [eqn: x=+-2]
(2) [eqn: (x+1)^3 +(x-2) ^3 +(1-2x ) ^3 =0]에서

[eqn: (x^3 +3x^2 +3x +1)+(x^3 -6x^2 +12x -8)#+(-8x^3 +12x^2 - 6x +1)=0]

[eqn: -6x^3 +9x^2 +9x -6=0]

[eqn: 2x^3 -3x^2 -3x +2=0]

이때 조립제법을 이용하면

[eqn: (x+1)(2x^2 -5x +2)=0]

[eqn: (x+1)(x-2)(2x-1)=0]

[eqn: therefore x=-1] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x= 1 over2]
(3) [eqn: ( x^2 + 3 x + 4)( x^2 + 3x -3 ) =8]에서

[eqn: x^2 +3x =t]로 놓으면

[eqn: (t+4)(t-3)=8,~t^2 +t-20=0]

[eqn: (t-4)(t+5)=0]

[eqn: therefore t=4] 또는 [eqn: t=-5]

(i) [eqn: x^2 +3x =4]에서

[eqn: x^2 +3x -4=0,~(x+4)(x-1)=0]

[eqn: thereforex=-4] 또는 [eqn: x=1]

(ii) [eqn: x^2 +3x =-5]에서

[eqn: x^2 +3x +5=0]

[eqn: thereforex ={-3+- sqrt { 11}i} over2]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: x=-4] 또는 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x={-3+- sqrt { 11}i} over2]

(4) [eqn: x (x+1)(x+2)(x+3)=120]에서

[eqn: x(x+3)(x+1)(x+2)=120]

[eqn: (x ^{2} +3x)(x ^{2} +3x+2)=120]

[eqn: x^2 + 3x=t]로 놓으면

[eqn: t(t+2)=120,~ t^2 +2t-120=0]

[eqn: (t-10)(t+12)=0]

[eqn: thereforet=10] 또는 [eqn: t=-12]

(i) [eqn: x^2 + 3x =10]에서  [eqn: x^2 +3x-10=0]

[eqn: (x+5)(x-2)=0]

[eqn: therefore x=-5] 또는 [eqn: x=2]

(ii) [eqn: x^2 + 3x =-12]에서  [eqn: x^2 +3x +12=0]

[eqn: (x+5)(x-2)=0]

[eqn: thereforex = { -3+- sqrt { 39} i } over2]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: x=-5] 또는 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x={-3+- sqrt { 39}i } over 2]

43

(1) [eqn: 0]	(2) [eqn: 1]

답

해

설

[eqn: omega]는 [eqn: x^3 =1]의 근이므로  [eqn: omega^3 =1]

[eqn: x^3 =1]에서  [eqn: (x-1)(x^2 +x+1)=0]

허근 [eqn: omega]는 [eqn: x^2 + x+1=0]의 근이므로

[eqn: omega^2 +omega +1=0]

(1) [eqn: omega^4 +omega^2 +1 = omega cdot omega^3 +omega^2 +1=omega+ omega^2 +1=0]

(2) [eqn: 1+ omega + omega ^{2} + CDOTS + omega ^{98}# =(1+ omega + omega ^{2} )+ omega ^{3} (1+ omega + omega ^{2} )+ CDOTS # ~~+ omega ^{96} (1+ omega + omega ^{2} )+ omega ^{99}# = omega ^{99} =( omega ^{3} ) ^{33} =1]

44

[eqn: a=5,~b=-3#나머지~두~근:~1,~1- sqrt { 2}i]

답

해

설

[eqn: x=1+ sqrt {2} i]를 주어진 방정식에 대입하면

[eqn: (1+ sqrt {2} i)` ^{3}-3(1+ sqrt { 2}i) ^2 +a(1+ sqrt { 2}i) +b=0]

[eqn: 1+3 sqrt {2} i+6i ^{2} +2 sqrt {2} i ^{3} -3-6 sqrt {2} i-6i ^{2} +a# +a sqrt {2} i+b=0]

[eqn: (-2+a+b)+(-5+a) sqrt {2} i=0]

[eqn: a,~b]는 실수이므로

[eqn: -2+a+b=0,~-5+a=0]

[eqn: THEREFORE a=5,~b=-3]

따라서 주어진 방정식은  [eqn: x^3 -3x^2 + 5x -3=0]

이때 조립제법을 이용하면

[eqn: (x-1)(x^2 -2x +3)=0]

[eqn: therefore x=1] 또는 [eqn: x=1+- sqrt { 2}i]

따라서 나머지 두 근은

[eqn: x=1,~1- sqrt { 2}i]

45

[eqn: a=1,~0,~-8]

답

해

설

[eqn: 2x^3 -(a+2) x^2 +a =0]에서

[eqn: f(x)=2x^3 -(a+2)x^2 +a]로 놓으면 [eqn: f(1)=0]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]을 인수로 갖는다.

이때 조립제법을 이용하면

[eqn: (x-1)(2x^2 -ax -a)=0]

(i) [eqn: x=1]이 중근이 되려면 [eqn: 2x^2 -ax -a=0]의 한 근은 [eqn: x=1]이어야 하므로

[eqn: 2-a-a=0~~thereforea=1]

(ii) [eqn: 2x^2 -ax -a=0]이 중근을 가지려면

[eqn: D=(-a)^2 - 4 cdot 2 cdot(-a)=0]

[eqn: a^2 + 8a =0,~a(a+8) =0`]

[eqn: therefore a=0] 또는 [eqn: a=-8]

(i), (ii)에 의하여 구하는 [eqn: a]의 값은

[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=0] 또는 [eqn: a=-8]

46

(1) [eqn: 8]	(2) [eqn: - 4 over 3]
(3) [eqn: -6]	(4) [eqn: -3]

답

해

설

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta+gamma=0,~alpha beta +betagamma+gammaalpha =-4,~alpha betagamma=3]

(1) [eqn: alpha ^2 + beta^2 +gamma^2 &=(alpha +beta+ gamma) ^2 -2(alpha beta+ betagamma+gammaalpha )#&= 0-2cdot(-4)=8]

(2) [eqn: {1} over {alpha } + {1} over {beta } + {1} over {gamma } = {beta gamma + gamma alpha + alpha beta } over {alpha beta gamma } = {-4} over {3}= - 4 over3]
(3) [eqn: (1-alpha )(1-beta) (1-gamma) #=1-(alpha + beta+gamma)+(alpha beta+ betagamma+gammaalpha)-alpha betagamma #=1-0-4-3=-6]

(4) [eqn: alpha +beta +gamma=0]이므로

[eqn: alpha +beta =-gamma ,~beta +gamma =- alpha ,~gamma+ alpha =-beta]

[eqn: THEREFORE ( alpha + beta )( beta + gamma )( gamma + alpha ) & =(- gamma )(- alpha )(- beta )# & =- alpha beta gamma =-3]

47

[eqn: x=-2,~3]

답

해

설

[eqn: x ^{3} +x ^{2} -8x-12=0]에서

[eqn: (x+2)(x^2 -x-6)=0]

[eqn: (x+2)^2 (x-3)=0]

[eqn: thereforex=-2] 또는 [eqn: x=3]

48

[eqn: -4]

답

해

설

[eqn: x^3 -x^2 +2x +4=0]에서

[eqn: (x+1)(x^2 -2x +4)=0]

따라서 [eqn: alpha ,~beta]는 허근이므로  [eqn: x^2 -2x +4=0]의 두 근이다. 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta =2,~alpha beta =4]

[eqn: therefore alpha ^2 +beta^2 =(alpha +beta) ^2 - 2alpha beta = 4-8=-4]

49

②

답

해

설

[eqn: omega]는 주어진 방정식의 근이므로

[eqn: omega^4 + omega^3 + omega^2 +omega+1=0]

[eqn: omega not= 0]이므로 양변을 [eqn: omega^2]으로 나누면

[eqn: omega^2 + omega+1 + 1 over omega + 1 over omega^2 =0]

[eqn: left( omega^2 + 1 over omega^2 right) +left( omega + 1 over omega right) +1=0]

[eqn: left( omega + 1 over omega right) ^2 - 2 + left( omega + 1over omega right) +1=0]

[eqn: LEFT ( omega + {1} over {omega } RIGHT ) ^{2} + LEFT ( omega + {1} over {omega } RIGHT ) -1=0]

따라서 [eqn: omega + {1} over {omega }]는 [eqn: x^2 +x-1=0]의 근이다.

50

[eqn: 2,~3,~4]

답

해

설

연속하는 세 자연수를 [eqn: n-1,~n,~n+1]로 놓으면 세제곱의 합이 [eqn: 99]이므로

[eqn: (n-1) ^3 +n^3 +(n+1) ^3 =99]

[eqn: (n^3 -3n^2 +3n -1)+n^3 + (n^3 +3n^2 +3n +1)=99]

[eqn: 3n^3 +6n -99=0]

[eqn: n^3 +2n -33=0]

이때 조립제법을 이용하면

[eqn: (n-3)(n^2 +3n+11)=0]

[eqn: n]은 자연수이므로  [eqn: n=3]

따라서 연속하는 세 자연수는  [eqn: 2,~3,~4]

51

[eqn: k=8]

답

해

설

[eqn: |`x^2 -4x -4 `| =k]	㉠

이므로

[eqn: x^2 -4x -4=k] ……㉡ 또는 [eqn: x^2 -4x -4=-k]……㉢

㉠이 서로 다른 두 실근과 하나의 이중근을 가지려면 ㉡은 서로 다른 두 실근을, ㉢은 중근을 가져야 한다.

(i) ㉡이 서로 다른 두 실근을 가지려면

[eqn: x^2 -4x -4-k=0]에서

[eqn: D over 4 = 4 -(-4-k) >0,~4+4+k>0]

[eqn: therefore k >-8]

[eqn: k ge0]이므로 ㉡은 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다.

(ii) ㉢이 중근을 가지려면 [eqn: x^2 -4x -4+k=0]에서

[eqn: {D} over {4} =4-(-4+k)=0,~ 8-k=0]

[eqn: THEREFORE k=8]

(i), (ii)에 의하여 구하는 [eqn: k]의 값은  [eqn: k=8]

52

[eqn: p=0,~1,~2]

답

해

설

삼차방정식 [eqn: x^3 +px^2 +qx+1=0]이 정수근을 가질 경우 그 정수근은 상수항의 약수이어야 하므로 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=-1]이다.

(i) [eqn: x=1]이 근일 때,  [eqn: 1+p+q+1=0]

[eqn: p+q=-2~~therefore q=-p-2]

[eqn: x^3 +px^2 -(p+2)x +1=0]

이때 조립제법을 이용하면

[eqn: (x-1) left{ x^2 +(p+1)x -1 right} =0]

[eqn: therefore x-1=0] 또는 [eqn: x^2 +(p+1)x -1=0]

그런데 이차방저식 [eqn: x^2 +(p+1)x -1=0]의 판별식 [eqn: D_1]은 [eqn: D_1 =(p+1 ) ^2 + 4 >0]이므로 [eqn: p]의 값에 관계없이 서로 다른 두 실근을 갖는다.

따라서 주어진 조건은 적합하지 않다.

(ii) [eqn: x=-1]이 근일 때,  [eqn: -1+p+q=0]

[eqn: thereforeq=p]

[eqn: x^3 +px^2 +px +1=0]

이때 조립제법을 이용하면

[eqn: (x+1) left{ x^2 +(p-1)x +1 right} =0]

[eqn: therefore x+1=0] 또는 [eqn: x^2 + (p-1)x +1=0]

[eqn: x^2 +(p-1)x+1=0]이 두 허근을 가지려면 이 이차방정식의 판별식 [eqn: D_2]는

[eqn: D_2 =(p-1) ^2 - 4 <0]

[eqn: (p-1) ^2 < 4,~-2 <p-1< 2]

[eqn: therefore-1 <p< 3]

[eqn: p]는 정수이므로  [eqn: p=0,~1,~2]

(i), (ii)에 의하여 구하는 [eqn: p]의 값은  [eqn: 0,~1,~2]

53

[eqn: x=2,~3]

답

해

설

[eqn: (가로의~길이)=16-2x ,~(세로의~길이)=14-2x]

[eqn: (높이)=x]이므로

[eqn: x(16-2x )(14-2x )=240]

[eqn: x(8-x)(7-x)=60]

[eqn: x(x-8)(x-7)=60]

[eqn: x^3 -15x^2 + 56x -60=0]

이때 조립제법을 이용하면

[eqn: (x-2)(x^2 -13x +30)=0]

[eqn: (x-2)(x-3)(x-10)=0]

[eqn: therefore x=2] 또는 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=10]

[eqn: 0<x<7]이므로  [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3]

54

②

답

해

설

[eqn: x ^{3} -1=0,~(x-1)(x^2 +x+1)=0]

[eqn: omega not= 1]이므로 [eqn: omega]는 방정식 [eqn: x^2 +x+1=0]의 근이다.

따라서 [eqn: omega^3 =1,~omega^2 +omega +1=0]이므로

[eqn: omega ^{10} + omega ^{20} + omega ^{30} & =( omega ^{3} ) ^{3} omega +( omega ^{3} ) ^{6} omega ^{2} +( omega ^{3} ) ^{10}# & =omega+ omega^2 +1 =0]

55

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: (1+i )^2 =2i]이므로 [eqn: x^2 =2i]를 주어진 방정식에 대입하면  [eqn: (2i) ^2 +a cdot 2i +b=0]

[eqn: -4 +2ai +b=0,~(-4+b)+2ai=0]

[eqn: therefore a=0,~b=4(because a,~b는~실수)]

56

④

답

해

설

[eqn: x^3 +ax^2 +4x + 4b&=(x-2) ^2 (x+b) #&=(x^2 -4x+4)(x+b) #&=x^3 +(b-4) x^2 +(4-4b) x+4b]

양변의 계수를 비교하면

[eqn: a=b-4,~4=4-4b]

[eqn: therefore a=-4~b=0]

[eqn: therefore a+b=-4]

57

⑤

답

해

설

주어진 방정식의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-1)(x^2 -2x +5-k)=0]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+5-k=0]이 허근을 가져야 하므로  [eqn: D over 4 = 1-5+k <0 ~~therefore k<4]

58

[eqn: x=1,~{-1± sqrt {3} i }over2]

답

59

[eqn: x=+-1,~+-i]

답

60

[eqn: 0]

답

61

[eqn: -1,~2,~-3]

답

62

(1) [eqn: x=-2,~1+- sqrt { 2}]
(2) [eqn: x=-1,~-3},~-2+-2 sqrt { 2}]

답

해

설

(1) [eqn: f(x)=x^3 -5x -2]로 놓으면 [eqn: f(-2)=0]이므로

오른쪽 조립제법에서

[eqn: f(x)=(x+2)(x^2 -2x-1)=0]

[eqn: therefore x+2=0] 또는 [eqn: x^2 -2x -1=0]

[eqn: therefore][eqn: x=-2,~1+- sqrt { 2}]

(2) [eqn: x^2 +4x=X]로 놓으면 주어진 방정식은

[eqn: (X+1)(X-2)-10=0,~X^2 -X-12=0]

[eqn: (X+3)(X-4)=0~~~thereforeX=-3,~4]

(i) [eqn: X=-3]일 때, [eqn: x^2 +4x =-3,~x^2 +4x+3=0]

[eqn: (x+1)(x+3)=0~~~therefore x=-1,~-3]

(ii) [eqn: X=4]일 때, [eqn: x^2 + 4x=4,~x^2 +4x-4=0]

[eqn: therefore x=-2+- sqrt { 8}=-2+- 2sqrt { 2} }]

(i), (ii)에서  [eqn: x=-1,~-3},~-2+-2 sqrt { 2}]

63

(1) [eqn: x=-1,~{3+- sqrt { 13} over2}]
(2) [eqn: x=+-1,~+- sqrt { 5}]

답

해

설

(1) [eqn: x^3 -2x^2 -4x-1=(x+1)(x^2 -3x-1)]

[eqn: therefore x=-1,~{3+- sqrt { 13} over2}]

(2) [eqn: x^2 =t]로 치환하면

[eqn: t^2 -6t+5=(t-1)(t-5)=0~~~thereforex=+-1,~+- sqrt { 5}]

64

(1) [eqn: x=0,~1,~ {1± sqrt {11} i} over {2}]
(2) [eqn: x={-1± sqrt { 3}i }over2 ,~{1+- sqrt { 3}i} over 2]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 -x=t]로 치환하면 [eqn: (t+1)(t+2)=2]에서

[eqn: t(t+3)=0~~~ THEREFORE x=0,~1,~{1+- sqrt { 11}i} over2]

(2) [eqn: x ^{4} +x ^{2} +1 & =(x ^{4} +2x ^{2} +1)-x ^{2}# & =(x ^{3} +x+1)(x ^{2} -x+1)]

[eqn: therefore][eqn: x={-1± sqrt { 3}i }over2 ,~{1+- sqrt { 3}i} over 2]

65

(1) [eqn: 9]	(2) [eqn: 12]

답

해

설

삼차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta+gamma =3,~alpha beta+betagamma+gammaalpha =0,~alpha betagamma=-5]

(1) [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} + gamma ^{2} & =( alpha + beta + gamma ) ^{2} -2( alpha beta + beta gamma + gamma alpha )# & =3 ^{2} `-`2` times 0=9]

(2) [eqn: alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3}# =( alpha + beta + gamma )( alpha ^{2} + beta ^{2} + gamma ^{2} - alpha beta - beta gamma - gamma alpha )# ~~+3 alpha beta gamma # =3 TIMES (9-0)+3 TIMES (-5)=12]

66

[eqn: 0]

답

해

설

[eqn: ( alpha -1)( beta -1)( gamma -1)# = alpha beta gamma -( alpha beta + beta gamma + gamma alpha )+( alpha + beta + gamma )-1# =2-(-1)+(-2)-1=0]

67

[eqn: x^2 -x+2=0]

답

해

설

[eqn: alpha +beta+gamma=0]이므로

[eqn: alpha+beta=-gamma,~beta+gamma=-alpha,~gamma+alpha=-beta]

[eqn: (- alpha )+(- beta )+(- gamma )=0# (- alpha )(- beta )+(- beta )(- gamma )+(- gamma )(- alpha )=-1# (- alpha )(- beta )(- gamma )=-2]

[eqn: therefore][eqn: x^2 -x+2=0]

68

[eqn: a=-3,~b=5]

답

해

설

[eqn: a,~b]가 실수이므로 [eqn: 1+ sqrt { 2}i]가 한 근이면 [eqn: 1- sqrt { 2}i]도근이다.

나머지 한 근을 [eqn: alpha]라고 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: (1+ sqrt { 2 }i)+(1- sqrt { 2}i)+alpha=-1~~~thereforea=-alpha-2]	㉠

[eqn: (1+ sqrt { 2}i)(1- sqrt { 2}i)+(1+ sqrt { 2}i)alpha +alpha(1- sqrt { 2}i)=b]

[eqn: thereforeb=2alpha +3]	㉡

[eqn: (1+ sqrt { 2}i)(1- sqrt { 2}i)alpha =3~~~therefore alpha =1]	㉢

㉢을 ㉠, ㉡에 대입하면  [eqn: a=-3,~b=5]

69

[eqn: -3]

답

해

설

세 근을 [eqn: 1+ sqrt { 2 },~1- sqrt { 2},~alpha]라고 하면

[eqn: (1+ sqrt { 2})+(1- sqrt { 2})+alpha =0]에서  [eqn: alpha=-2]

[eqn: (1+ sqrt {2} )(1- sqrt {2} )-2(1+ sqrt {2} )-2(1- sqrt {2} )=a=-5]

[eqn: (1+ sqrt {2} )(1- sqrt {2} )(-2)=b=2]

[eqn: therefore a+b=-3]

70

[eqn: 2]

답

해

설

네 근은 [eqn: z,~omega,~barz ,~baromega]이므로

[eqn: z+omega+barz +baromega =-a,~ z omega barz baromega =4=d]

[eqn: therefore a+d=2]

71

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: x^2 +3x =t]로 놓으면 주어진 방정식은 [eqn: (t-3)(t+1)=-4]

[eqn: t^2 -2t+1=0~~~therefore t=1]

즉, [eqn: x^2 + 3x =1]이므로  [eqn: alpha ^2 +3alpha =1]

72

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: omega]는 [eqn: x^2 +x+1=0]의 근이므로  [eqn: omega^2 +omega+1=0]

[eqn: THEREFORE `1+omega=- omega^2 ,~1+omega^2 =- omega]

[eqn: therefore omega^2 over 1+omega + omega over {1+ omega^2} = omega^2 over -omega^2 + omega over-omega =-1-1=-2]

73

[eqn: p=0,~q=2]

답

해

설

[eqn: 1+i]도 근이므로 나머지 한 근을 [eqn: alpha]로 놓으면

[eqn: (1-i)+(1+i)+alpha =1]에서  [eqn: alpha =-1]

[eqn: (1-i)(1+i)+(1+i)alpha +(1-i) alpha =p]에서  [eqn: p=0]

[eqn: (1-i)(1+i) alpha =-q]에서  [eqn: q=2]

74

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: alpha ^3 +alpha -1=0]에서 [eqn: alpha ^3 =1 -alpha]이고, 마찬가지로 [eqn: beta^3 =1-beta,~gamma^3 =1-gamma]

[eqn: THEREFORE alpha ^{3} + beta ^{3} + gamma ^{3} & =(1- alpha )+(1- beta )+(1- gamma )# & =3-( alpha + beta + gamma )=3]

75

[eqn: x=-3+- sqrt { 6} ,~-1,~-5]

답

해

설

[eqn: (x^2 + 6x )(x^2 + 6x +8)+15=0]

[eqn: x^2 + 6x=t]로 치환하면  [eqn: t=-3,~-5]

(i) [eqn: x^2 + 6x =-3]에서  [eqn: x=-3+- sqrt { 6}]

(ii) [eqn: x^2 + 6x =-5]에서  [eqn: x=-1,~-5]

[eqn: x=-3+- sqrt { 6} ,~-1,~-5]

76

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: alpha^3 =beta^3 =1,~alpha +beta=-1,~alphabeta=1]이므로

[eqn: f(alpha )=alpha +4,~f(beta)=beta +4]

[eqn: therefore f(alpha)+f(beta) =(alpha +beta)+8=7]

77

[eqn: p=-4,~q=3]

답

해

설

[eqn: 1- sqrt { 2}]도 근이므로 나머지 한 근을 [eqn: alpha]로 놓으면

[eqn: (1-i)(1+i) alpha =-2]에서  [eqn: alpha=2]

[eqn: (1+ sqrt { 2}) +(1- sqrt { 2}) +alpha = -p]에서  [eqn: alpha =-1]

[eqn: (1+ sqrt { 2} )(1- sqrt { 2} )+(1- sqrt { 2} )alpha +(1+ sqrt { 2} ) alpha =q]

[eqn: therefore][eqn: p=-4,~q=3]

78

[eqn: -4]

답

해

설

[eqn: alpha+beta+gamma=2,~alphabeta+betagamma+gammaalpha=-3,~alphabetagamma=-2]

[eqn: ( alpha + beta )( beta + gamma )( gamma + alpha ) & =(2- gamma )(2- alpha )(2- beta )# & =8-8-6+2=-4]

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		3. 여러 가지 방정식			정답
	02 연립방정식

01

②

답

해

설

[eqn: {cases{`ax+2y=a+2##`x+(a-1)y=a`}}]	㉠

㉡

[eqn: ㉡times a - ㉠]을 하면

[eqn: (a^2 -a -2)y = a^2 -a -2]

[eqn: (a+1)(a-2)y = (a+1)(a-2)]

이때 [eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=2]이면 [eqn: 0 cdot y=0]의 꼴이 되어 주어진 연립방정식의 해가 무수히 많게 된다.

따라서 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은  [eqn: -1 +2 =1]

02

③

답

해

설

[eqn: cases {`x+y-z =-3##`2x -y +2z =-1##` 3x +2y +z =-2]	㉠

㉡

㉢

[eqn: ㉠+㉡]을 하면  [eqn: 3x +z =-4]	㉣

[eqn: ㉢-㉠times 2]하면  [eqn: x +3z =4]	㉤

[eqn: 3 TIMES ㉣-`㉤]을 하면 [eqn: 8x`=-16]에서  [eqn: x=-2]

[eqn: x=-2]를 ㉣에 대입하면  [eqn: z=2]

[eqn: x=-2,~z=2]를 ㉠에 대입하면  [eqn: y=1]

따라서 [eqn: alpha = -2,~beta=1,~gamma = 2]이므로

[eqn: alpha ^2 + beta ^2 + gamma ^2 = (-2)^2 +1^2 + 2^2 =9]

03

③

답

해

설

[eqn: x-y=1]에서 [eqn: y=x-1]이고 이것을 [eqn: x^2 +y^2 =k]에 대입하면  [eqn: x^2 +(x-1)^2 =k]

[eqn: 2x^2 -2x +1-k=0]	㉠

㉠이 한 쌍의 해를 갖기 위해서는 중근을 가져야 하므로

[eqn: D over 4 = 1 - 2 (1-k) =0]에서  [eqn: k= 1 over 2]

04

[eqn: 4]개

답

해

설

[eqn: cases {`3x^2 -5xy+2y^2 =0##`x^2 -2xy +2y^2 =10]	㉠

㉡

㉠은 [eqn: (3x-2y)(x-y`)=0]으로 인수분해되므로

[eqn: y= 3 over 2 x `] 또는 [eqn: y=x]

[eqn: (i)~ y= 3 over 2 x]를 ㉡에 대입하면
[eqn: x^2 - 2x cdot 3 over 2 x + 2 cdot left ( 3 over 2 x right) ^2 =10]
[eqn: x^2 =4,~x=+-2]
따라서  [eqn: x=2,~y=3] 또는 [eqn: x=-2,~y=-3]

[eqn: (ii)~y=x]를 ㉡에 대입하면
[eqn: x^2 -2x cdot x +2 cdot x^2 =10]
[eqn: x^2 =10,~x= +- sqrt { 10}]
따라서 [eqn: x= sqrt { 10},~y= sqrt { 10}] 또는
[eqn: x=- sqrt { 10},~y=- sqrt { 10}]

[eqn: (i),~(ii)]에서 구하는 해의 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는

[eqn: (2,~3),~(-2,~-3),~( sqrt { 10},~ sqrt { 10}),~(- sqrt { 10},~- sqrt { 10 })]이므로 [eqn: 4]개이다.

05

②

답

해

설

[eqn: cases {` x+y =5 ##`x^2 +y^2 = 13]	㉠

㉡

㉡에서  [eqn: (x+y)^2 -2xy =13]	㉢

㉠을 ㉢에 대입하면

[eqn: 5^2 -2xy =13,~xy = 6]	㉣

㉠, ㉣에서 [eqn: x,~y]는 이차방정식 [eqn: t^2 -5t +6 =0]의 두 근이다.

즉, 이차방정식 [eqn: (t-2)(t-3)=0]의 두 근이므로

[eqn: x=2,~y=3] 또는 [eqn: x=3,~y=2]이다.

따라서  [eqn: |`alpha - beta ` |=1]

06

②

답

해

설

[eqn: xy-3x+y =8,~ (x+1)(y-3) =5]

[eqn: x,~y]는 정수이고 곱이 [eqn: 5]인 정수의 쌍은

[eqn: (1,~5),~(5,~1),~(-1,~-5),~(-5,~-1)]이므로

[eqn: x+1=1,~y-3=5]에서  [eqn: x=0,~y=8]

[eqn: x+1=5,~y-3=1]에서  [eqn: x=4,~y=4]

[eqn: x+1=-1,~y-3 =-5]에서  [eqn: x= -2,~y=-2]

[eqn: x+1=-5,~y-3=-1]에서  [eqn: x=-6,~y=2]

따라서 [eqn: x+y]의 최솟값은 [eqn: -4]이다.

07

⑤

답

해

설

[eqn: cases { `x + y=3 ##`x^2 + y^2 =5]	㉠

㉡

㉠에서 [eqn: y= 3-x]를 ㉡에 대입하면

[eqn: x^2 +(3-x)^2 =5 ,~x^2 -3x +2 =0,~(x-1)(x-2)=0]

따라서  [eqn: cases{` x=1 ##`y=2] 또는 [eqn: cases {` x=2 ##` y=`1]

[eqn: x-y=b<0]이므로  [eqn: x=1,~y=2,~``b=-1]

[eqn: x=1,~y=2]를 [eqn: ax-2y=6]에 대입하면  [eqn: a=10]

따라서  [eqn: a-10b =20]

08

④

답

[eqn: cases { `x^2 -3xy +2y^2 =0 ##`x^2 +xy -y^2 =4]

해

설

㉠

㉡

㉠은 [eqn: (x-y)(x-2y)]으로 인수분해되므로

[eqn: x=y] 또는 [eqn: x= 2y]

[eqn: (i)~x=y]를 ㉡에 대입하면
[eqn: y^2 + y cdot y - y^ 2 = 4 ,~ y^2 =4]
[eqn: y= +- 2]
따라서 [eqn: x=2,~y=2] 또는 [eqn: x=-2 ,~ y=-2]

[eqn: (ii)~x=2y]를 ㉡에 대입하면
[eqn: (2y)^2 + 2y cdot y - y^ 2 = 4 ,~ 5y^2 =4]
[eqn: y= +- {2 sqrt { 5 } }over 5]
따라서 [eqn: x= {4sqrt { 5 }} over 5 ,~y= {2 sqrt { 5 } } over 5] 또는 [eqn: x=- { 4 sqrt { 5}} over 5 ,~ y=- { 2 sqrt { 5}} over 5]

[eqn: (i),~(ii)]에서 [eqn: xy]의 최댓값 [eqn: M=4], 최솟값 [eqn: m= 8 over 5]

따라서  [eqn: Mm= 32 over 5]

09

①

답

해

설

[eqn: 1over x = X,~ 1 over y = Y,~ 1 over z = Z]라고 하면

[eqn: cases{` X+2Y+2Z =0##`2X -4Y +8Z =5##`4X +Y +2Z =2]	㉠

㉡

㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면

[eqn: X= 1 over 2 ,~ Y= - 1 over 2 ,~ Z = 1 over 4]에서

[eqn: alpha =2,~ beta =-2,~ gamma =4]이므로

[eqn: alphabetagamma over alpha+beta+gamma = { 2 times (-2) times 4} over {2-2+4} =-4]

10

⑤

답

해

설

[eqn: a GE b]일 때, [eqn: cases{`a+b+2=a-b##`2a -b^2 = a-b]이므로 [eqn: a=2,~b=-1]이고 [eqn: a GE b]를 만족시킨다.

[eqn: a<b]일 때, [eqn: cases {` a+b+2=b-a ##`2a -b^2 =b-a]이므로 [eqn: a=-1,~b]는 허근이다.

따라서 [eqn: a=2,~b=-1]이므로  [eqn: alpha =2,~beta =-1]

[eqn: alpha ^2 + beta ^2 = 2 ^2 +(-1)^2 =5]

11

④

답

해

설

[eqn: cases {` xy + zx =16 ##`yz +xy =21##zx +yz =25]	㉠

㉡

㉢

[eqn: ㉠+㉡+ ㉢]을 하면

[eqn: xy+yz+zx=31]	㉣

㉠, ㉡, ㉢을 ㉣에 각각 대입하면

[eqn: xy=6,~yz=15,~zx=10]	㉤

㉤을 변끼리 곱하면  [eqn: (xyz)^ 2 = 30 ^2]

[eqn: xyz >0]이므로  [eqn: xyz =30]	㉥

㉤을 ㉥에 대입하면  [eqn: x=2,~y=3,~ z=5]

따라서  [eqn: alpha +beta - gamma =2+3-5 =0]

12

[eqn: 6]

답

해

설

직각삼각형의 나머지 두 변의 길이를 각각 [eqn: x,~y]라고 하면 [eqn: x^2 +y^2 = ( sqrt { 61 })^2 =61]이고, 삼각형의 넓이가 [eqn: 15]이므로

[eqn: 1 over 2 xy =15]에서  [eqn: xy= 30]	㉠

따라서 [eqn: x^2 + y^ 2 = (x+y)^2 -2xy =61]에서

[eqn: (x+y)^2 =61 +60 =121]이므로  [eqn: x+y =11]	㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: x,~y]는 [eqn: t]에 관한 이차방정식

[eqn: t^2 -11 t +30 =0]의 두 근이다. 즉, [eqn: (t-5)(t-6) =0]에서  [eqn: t=5] 또는 [eqn: t=6]

따라서 긴 변의 길이는 [eqn: 6]이다.

13

⑥

답

해

설

[eqn: cases {`x-y = 3## ` xz +yz =17]	㉠

㉡

㉡에서  [eqn: (x+y ) z = 17 = 17 times 1]	㉢

[eqn: x,~y,~z]는 자연수이므로 [eqn: x+y>1]이고 [eqn: 17]은 소수이므로 ㉢에서  [eqn: x+y =17,~z=1]

[eqn: x-y =3,~x+y =17]을 연립하면  [eqn: x=10,~y= 7]

따라서 [eqn: x^2 +y^2 +z^2 =10^2 +7^ 2 +1 ^2 =150]

14

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: x^2 -6x + 5 = 0]에서  [eqn: (x-1)(x-5)=0]

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=5]	(가)

[eqn: f(x)=x^3 +(2-k) x^ 2 +(1-2k )x -k]라고 하면

[eqn: (x+1)left{x^2 +(1-k) x -k right} =0,~(x+1)^2 (x-k) =0]

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=k]

두 방정식이 공통근을 가지려면

[eqn: k=1] 또는 [eqn: k=5]	(다)

따라서 모든 [eqn: k]의 값의 합은  [eqn: 1+5 =6]	(라)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) [eqn: x^2 - 6x +5 =0]의 근을 구한다.	30 %
(나) [eqn: x^3 +(2-k) x^2 +(1-2k)x -k =0]의 근을 구한다.	40 %
(다) [eqn: k]의 값을 구한다.	20 %
(라) 모든 [eqn: k]의 값의 합을 구한다.	10 %

15

④

답

해

설

주문 받은 [eqn: rmA] 세트를 [eqn: x]개, [eqn: rm B] 세트를 [eqn: y]개, [eqn: rmC] 세트를 [eqn: z]개라고 하면

비누의 개수는  [eqn: 3x +3z = 690]

[eqn: x+z =230]	㉠

치약의 개수는  [eqn: 2x + 2y =346]

[eqn: x+y =173]	㉡

샴푸의 개수는  [eqn: y +z = 225]	㉢

[eqn: ㉠+㉡+㉢]에서 [eqn: 2(x+y+z)=628]

[eqn: x+y +z = 314]	㉣

[eqn: ㉣-㉠]에서  [eqn: y= 84]

따라서 [eqn: rmB] 세트는 [eqn: 84]개가 주문되었다.

16

③

답

해

설

주어진 조건에 알맞은 연립방정식을 세우면

[eqn: cases {` 2250 =100k +f##`2360 =144k +f]	㉠

㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: k= 5 over 2 ,~ f=2000]

[eqn: 3000= 5 over 2 R^2 +2000]에서  [eqn: R^2 =400,~R=20]

따라서 반지름의 길이를 [eqn: 20`rmcm]로 해야 한다.

17

②

답

해

설

[eqn: ab over a+b = 1 over 4]에서  [eqn: a+b over ab = 1 over a + 1 over b =4]	㉠

[eqn: bc over b+c = 1 over 8]에서  [eqn: b+c over bc = 1 over b + 1 over c = 8]	㉡

[eqn: ca over c+a = 1 over 6]에서  [eqn: c+a over ca = 1 over a + 1 over c = 6]	㉢

[eqn: ㉠+㉡+㉢]을 하면  [eqn: 2 left( 1 over a + 1 over b + 1 over c right) =18]

[eqn: 1 over a + 1 over b + 1 over c = 9]

18

[eqn: 3]개

답

해

설

주어진 두 이차방정식의 공통근을 [eqn: alpha]라고 하면

[eqn: alpha ^2 +2 alpha + a =0] … ㉠, [eqn: alpha ^2 +a alpha +2= 0] … ㉡	(가)

[eqn: ㉠-㉡]을 하면

[eqn: (2-a)alpha +(a-2)=0,~(a-2)(alpha -1)=0]

[eqn: a=2] 또는 [eqn: alpha =1]

[eqn: (i)~a=2]일 때, 두 식이 모두 [eqn: x^2 +2x +2 =0]이 되어 공통근은 [eqn: alpha = -1 +- i]로 [eqn: 2]개다.

[eqn: (ii)~alpha =1]일 때, ㉠에서  [eqn: 1+2+a=0]
[eqn: a=-3]
[eqn: a=-3]을 주어진 이차방정식에 각각 대입하면
[eqn: x^2 +2 x-3 =0]에서  [eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=1]
[eqn: x^2 -3x +2 =0]에서  [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]
따라서 공통근은 [eqn: 1]개다.	(다)

그러므로 [eqn: a=2]일 때 공통근은 [eqn: 2]개, [eqn: a=-3]일 때 공통근은 [eqn: 1]개로 모두 [eqn: 3]개의 공통근을 갖는다.	(라)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 공통근을 이용한 식을 구한다.	30 %
(나) 조건을 만족시키는 [eqn: a]와 [eqn: alpha]의 값을 구한다.	40 %
(다) (나)에서 구한 [eqn: a]와 [eqn: alpha]의 값에 대하여 각각 공통근을 구한다.	30 %
(라) 공통근의 개수를 구한다.	20 %

19

[eqn: x=1,~y=-1,~z=2]

답

해

설

[eqn: y]를 소거하여 [eqn: x,~z]에 대한 연립방정식을 만들면

[eqn: ㉠+㉡]에서  [eqn: 5x-z=3]	㉣

[eqn: 2 TIMES ㉠+㉢]에서 [eqn: 6x-z=4]	㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면  [eqn: x=1,~z=2]

[eqn: x=1,~z=2]를 ㉡에 대입하여 [eqn: y]의 값을 구하면

[eqn: y=-1]

따라서 연립방정식의 해는  [eqn: x=1,~y=-1,~z=2]

20

(1) [eqn: x=2,~y=1,~z=3]
(2) [eqn: x=4,~y=-1,~z=2]

답

해

설

(1) [eqn: ㉠+㉡+㉢]을 하면

[eqn: 2(x+y+z)=12~~thereforex+y+z=6]	㉣

[eqn: ㉣-㉠]에서  [eqn: z=3], [eqn: ㉣-㉡]에서  [eqn: x=2],

[eqn: ㉣-㉢]에서  [eqn: y=1]

따라서 연립방정식의 해는  [eqn: x=2,~y=1,~z=3]

(2) [eqn: {cases{`x+y+z=5~~&CDOTS CDOTS ㉠#`x+2y=2&cdotscdots㉡#`y+2z=3&cdotscdots ㉢]

[eqn: ㉠-㉡]에서  [eqn: -y+z=3]	㉢

㉢, ㉣을 연립하여 풀면  [eqn: y=-1,~z=2]

[eqn: y=-1]을 ㉡에 대입하면  [eqn: x=4]

따라서 연립방정식의 해는  [eqn: x=4,~y=-1,~z=2]

21

(1) [eqn: x=1,~y=2,~z=3]
(2) [eqn: x=-1,~y=-1,~z=3]

답

해

설

(1) [eqn: ㉠+㉡]에서  [eqn: 2x+3y=`8]	㉣

[eqn: ㉡+㉢]에서  [eqn: 3x+y=5]	㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면  [eqn: x=1,~y=2]

이것을 ㉠에 대입하면  [eqn: 1+2+z=6~~ THEREFORE z=3]

따라서 연립방정식의 해는  [eqn: x=1,~y=2,~z=3]

(2) [eqn: ㉠-㉡]에서  [eqn: -y+z=4]	㉣

[eqn: 2 TIMES ㉡-㉢]에서  [eqn: -5y -z=2]	㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면  [eqn: x=1,~y=2]

이것을 ㉠에 대입하면  [eqn: 1+2+z=6~~thereforez=3]

따라서 연립방정식의 해는
[eqn: x=-1,~y=-1,~z=3]

22

(1) [eqn: x=4,~y=3},~z=5]
(2) [eqn: x=-2,~y=1,~z=3]

답

해

설

(1) 세 식을 변끼리 더하면  [eqn: 2(x+y+z)=24]

[eqn: thereforex+y+z=12]	㉣

[eqn: ㉣-㉠]을 하면  [eqn: z=5]

[eqn: ㉣-㉡]을 하면  [eqn: x=4]

[eqn: ㉣-㉢]을 하면  [eqn: y=3]

따라서 연립방정식의 해는  [eqn: x=4,~y=3},~z=5]
(2) 세 식을 변끼리 더하면  [eqn: 4(x+y+z)=8]

[eqn: therefore x+y+z =2]	㉣

[eqn: ㉠-㉣]을 하면  [eqn: x=-2]

[eqn: ㉡-㉣]을 하면  [eqn: y=1]

[eqn: ㉢-㉣]을 하면  [eqn: z=3]

따라서 연립방정식의 해는  [eqn: x=-2,~y=1,~z=3]

23

[eqn: x=4,~y=1},~z=4]

답

해

설

주어진 연립방정식은 다음과 같은 꼴로 바꿀 수 있다.

[eqn: {cases{`x+2y=6~~ CDOTS CDOTS ㉠#`y+2z=9~~ CDOTS CDOTS ㉡#`z+2x=12~cdotscdots㉢]

[eqn: ㉠-㉡times2]를 하면  [eqn: x- 4z=-12]	㉣

[eqn: ㉢-㉣ times 2]를 하면  [eqn: 9z =36~~therefore z=4]

[eqn: z=4]를 ㉡, ㉢에 대입하면  [eqn: y=1,~x=4]

따라서 연립방정식의 해는  [eqn: x=4,~y=1,~z= 4]

24

(1) [eqn: x=4,~y=-1,~z=1]
(2) [eqn: x= 3,~y=4,~z=5]
(3) [eqn: x=10,~y=-6,~z=-12]

답

해

설

(1) [eqn: ㉠-㉡]을 하면  [eqn: 2y+3z=1]	㉣

[eqn: ㉡-㉢]을 하면  [eqn: -3y +z=4]	㉤

[eqn: ㉣-㉤times3]을 하면  [eqn: 11y=-11~~thereforey=-1]

㉤에서  [eqn: 3+z=5~~thereforez=1]

㉠에서  [eqn: x-1+1=4~~thereforex=4]

[eqn: thereforex=4,~y=-1,~z=1]
(2) [eqn: ㉠+㉡+㉢]을 하면  [eqn: x+y+z=12]	㉣

[eqn: ㉣-㉠]을 하면  [eqn: 2z=10~~thereforez=5]

[eqn: ㉣-㉡]을 하면  [eqn: 2y=8~~ THEREFORE y=4]

[eqn: ㉣-㉢]을 하면  [eqn: 2x=6~~thereforex=3]

[eqn: thereforex= 3,~y=4,~z=5]

(3) [eqn: {cases{`x+y=4~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`y-z=6&CDOTS CDOTS ㉡#`z+2x=8&cdotscdots㉢]

[eqn: ㉠-㉡]을 하면  [eqn: x+z=-2]	㉣

㉢, ㉣을 연립하여 풀면  [eqn: x=10,~z=-12]

㉠에서  [eqn: 10+y=4~~ THEREFORE y=-6]

[eqn: therefore x=10,~y=-6,~z=-12]

25

[eqn: a=-4,~b=15,~c=-11]

답

해

설

[eqn: f(1)=a+b+c=0]	㉠

[eqn: f(2)=4a+2b+c=3]	㉡

[eqn: f(3) =9a +3b+c=-2]	㉢

[eqn: ㉡-㉠]을 하면  [eqn: 3a+b=3]	㉣

[eqn: ㉢-㉡]을 하면  [eqn: 5a+b=-5]	㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면  [eqn: a=-4,~b=15]

이것을 ㉠에 대입하면  [eqn: c=-11]

[eqn: thereforea=-4,~b=15,~c=-11]

26

[eqn: x=6,~y=4},~z=14]

답

해

설

[eqn: x,~y,~z]의 평균이 [eqn: 8]이므로  [eqn: {x+y+z} over {3} =8]

[eqn: THEREFORE x+y+z=24]	㉠

[eqn: (x+y):(y+z):(z+z)=5:9:10]이므로

[eqn: x+y= 5k,~y+z= 9k,~z+x =10k]	㉡

세 식을 변끼리 더하면  [eqn: 2(x+y+z) =24k]

[eqn: therefore x+y+z=12k]	㉢

㉡, ㉢에서  [eqn: z=7k,~x=3k,~y=2k]

이것을 ㉠에 대입하면  [eqn: 12k=24~~thereforek=2]

[eqn: thereforex=6,~y=4},~z=14]

27

[eqn: a=4,~b=-2,~c=-20]

답

해

설

[eqn: f(1,~5)=1+25+a+5b+c=0]에서

[eqn: a+5b+c=-26]	㉠

[eqn: f(3,~1)=9+1+3a+b+c=0]에서

[eqn: 3a+b+c =-10]	㉡

[eqn: f(-6,~-2)=36+4-6a-2b+c=0]에서

[eqn: -6a-2b+c=-40]	㉢

[eqn: ㉡-㉠]을 하면  [eqn: 2a-4b=16]

[eqn: thereforea-2b =8]	㉣

[eqn: ㉡-㉢]을 하면  [eqn: 9a+3b=30]

[eqn: THEREFORE 3a +b=10]	㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면  [eqn: a=4,~b=-2]

이것을 ㉠에 대입하면  [eqn: 4-10+c=-26]

[eqn: thereforec=-20]

[eqn: therefore a=4,~b=-2,~c=-20]

28

[eqn: 1:2:4]

답

해

설

(1) [eqn: x+y over3 = y+z over 6 = z+x over 5 =k]로 놓으면

[eqn: {cases{`x+y=3k~~&CDOTS CDOTS ㉠#`y+z=6&cdotscdots㉡#`z+x= 5k&cdotscdots㉢]

[eqn: ㉠+㉡+㉢]을 하면  [eqn: 2(x+y+z)=14k]

[eqn: THEREFORE `x+y+z= 7k]	㉣

[eqn: ㉣-㉠]을 하면  [eqn: z=4k]

[eqn: ㉣-㉡]을 하면  [eqn: x=k]

[eqn: ㉣-㉢]을 하면  [eqn: y=2k]

[eqn: therefore x:y:z=1:2:4]

29

[eqn: x=2-k,~y=1,~z=k]
(단, [eqn: k]는 임의의 실수)

답

해

설

[eqn: z=k]로 놓으면  [eqn: {cases{`x+y=3-k~~~~~&CDOTS CDOTS ㉢#`2x-y =3-2k&cdotscdots㉣]

㉢, ㉣을 연립하여 풀면  [eqn: x=2-k,~y=1]

따라서 주어진 연립방정식의 해는

[eqn: x=2-k,~y=1,~z=k] (단, [eqn: k]는 임의의 실수)

30

[eqn: -1]

답

해

설

[eqn: z=k]로 놓고 ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: x=2-k,~y=1,~z=k] ([eqn: k]는 임의의 실수)

이것을 ㉢에 대입하여 정리하면

[eqn: a(2-k)+1-k=3]

[eqn: k(a+1)=2(a-1)]	㉣

주어진 연립방정식의 해가 존재하지 않으려면 ㉣을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값이 존재하지 않아야 하므로

[eqn: a=-1]

31

(1) [eqn: x=3-3k,~y=k-1,~z=k]
(단, [eqn: k]는 임의의 실수)
(2) [eqn: x=1-k,~y=1-2k,~z=3k]
(단, [eqn: k]는 임의의 실수)

답

해

설

(1) [eqn: z=k]로 놓으면

[eqn: x+2y=1-k]	㉠

[eqn: x+y=2-2k]	㉡

[eqn: ㉠-㉡]을 하면  [eqn: y=k-1]

이것을 ㉡에 대입하면  [eqn: x+(k-1)=2-2k]

[eqn: x=3-3k]

따라서 주어진 연립방정식의 해는

[eqn: x=3-3k,~y=k-1,~z=k] (단, [eqn: k]는 임의의 실수)

을 만족시키는 모든 [eqn: x,~y,~z]이다.

(2) [eqn: {cases{`x+y+z=2~~~~~&cdotscdots㉠#`x-2y-z=-1&cdotscdots㉡#`x+4y+3z=5&cdotscdots㉢}}]

[eqn: ㉠-㉡]을 하면  [eqn: 3y+2z=3]	㉣

[eqn: ㉡-㉢]을 하면  [eqn: -6y`-`4z`=-6]

[eqn: THEREFORE 3y+2z=3]	㉤

㉣과 ㉤은 일치하므로 ㉣, ㉤을 만족시키는 해는 무수히 많다. 이때 [eqn: z=3k]로 놓으면

[eqn: 3y+6k=3~~thereforey=1-2k]

[eqn: y=1-2k,~z=3k]를 ㉠에 대입하면

[eqn: x+(1-2k)+3k=2]

[eqn: thereforex=1-k]

따라서 주어진 연립방정식의 해는

[eqn: x=1-k,~y=1-2k,~z=3k] (단, [eqn: k]는 임의의 실수)

를 만족시키는 모든 [eqn: x,~y,~z]이다.

32

[eqn: 5]

답

해

설

[eqn: z=k]로 놓고 ㉠과 ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: x=3-3k,~y=k-1,~z=k] ([eqn: k]는 임의의 실수)

이것을 ㉢에 대입하여 정리하면

[eqn: 2(3-3k)+(k-1)+ak=3]

[eqn: k(a-5)=-2]	㉣

㉣을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값이 존재하지 않으려면

[eqn: a=5]

33

(1) [eqn: cases{`x=1#`y=2] 또는 [eqn: cases {`x=2#`y=1]
(2) [eqn: cases{`x=+- sqrt { 2}#`y=-+ sqrt { 2}] 또는 [eqn: cases {` x=+- 2 sqrt { 2}#`y= +- sqrt { 2}]
(복부호동순)

답

해

설

(1) ㉠을 [eqn: y]에 관하여 풀면  [eqn: y=3-x]	㉢

이것을 ㉡에 대입하여 정리하면  [eqn: x^2 +(3-x) ^2 =5]

[eqn: (x-1)(x-2)=0~~thereforex=1] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: x=1]을 ㉢에 대입하면  [eqn: y=2]

[eqn: x=2]을 ㉢에 대입하면  [eqn: y=1]

따라서 구하는 해는  [eqn: cases{`x=1#`y=2] 또는 [eqn: cases {`x=2#`y=1]

(2) ㉠에서  [eqn: x=-y] 또는 [eqn: x=2y]

(i) [eqn: x=-y]를 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: 3y^2 =6~~thereforey=+- sqrt { 2}]

[eqn: therefore cases { `x= sqrt { 2} #`y=- sqrt { 2}] 또는 [eqn: {cases{`x=- sqrt {2}#`y= sqrt {2}}}]

(ii) [eqn: x=2y]를 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: 3y^2 =6~~thereforey=+- sqrt { 2}]

[eqn: THEREFORE {cases{`x=2 sqrt {2}#`y= sqrt {2}}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-2 sqrt {2}#`y= sqrt {2}}}]

따라서 구하는 해는

[eqn: cases{`x=+- sqrt { 2}#`y=-+ sqrt { 2}] 또는 [eqn: cases {` x=+- 2 sqrt { 2}#`y= +- sqrt { 2}] (복부호동순)

34

(1) [eqn: {cases{`x=1#`y=3}}] 또는 [eqn: {cases{`x=3#`y=1}}]
(2) [eqn: {cases{`x=5#`y=-2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-2#`y=5}}]

답

해

설

(1) [eqn: x,~y]는 [eqn: `t ^{2}-4 t+3=0]의 두 근이므로

[eqn: (t-1)(t-3)=0~~thereforet=1] 또는 [eqn: t=3]

따라서 구하는 해는  [eqn: {cases{`x=1#`y=3}}] 또는 [eqn: {cases{`x=3#`y=1}}]

(2) [eqn: x,~y]는 [eqn: `t ^{2} -3t-10=0]의 두 근이므로

[eqn: (t-5)(t+2)=0~~thereforet=5] 또는 [eqn: t=-2]

따라서 구하는 해는  [eqn: {cases{`x=5#`y=-2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-2#`y=5}}]

35

(1) [eqn: {cases{`x=-1#`y=1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=2#`y=4}}]
(2) [eqn: {cases{`x=3#`y=1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-1#`y=3}}]

답

해

설

(1) ㉡을 ㉠에 대입하면  [eqn: x ^{2}=x+2]

[eqn: x^2 -x-2=0,~(x+1)(x-2)=0]

[eqn: therefore x=-1] 또는 [eqn: x=2]

이것을 ㉠에 대입하면 [eqn: x=-1]일 때  [eqn: y=1],

[eqn: x=2]일 때  [eqn: y=4]

따라서 구하는 하는  [eqn: {cases{`x=-1#`y=1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=2#`y=4}}]

(2) ㉠을 [eqn: x]에 관하여 풀면  [eqn: x=5-2y]	㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: (5-2y) ^2 +y ^2 =10,~(y-1)(y-3)=0]

[eqn: thereforey=1] 또는 [eqn: y=3]

이것을 ㉢에 대입하면 [eqn: y=1]일 때  [eqn: x=3],

[eqn: y=3]일 때  [eqn: x=-1]

따라서 구하는 해는   [eqn: {cases{`x=3#`y=1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-1#`y=3}}]

36

(1) [eqn: {cases{`x=±2#`y=±1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=+- sqrt {7}#`y=-+ sqrt {7}}}]
(복부호동순)
(2) [eqn: {cases{`x=1#`y=-5}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-2#`y=1}}]

답

해

설

(1) ㉠의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-2y)(x+y)=0~~ THEREFORE x=2y] 또는 [eqn: x=-y]

(i) [eqn: x=2y]를 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: y^2 = 1~~thereforey=+-1]

[eqn: y=1]일 때  [eqn: x=2], [eqn: y=-1]일 때  [eqn: x=-2]

(ii) [eqn: x=-y]를 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: y ^{2} `=`7~~ THEREFORE y=+- sqrt { 7}]

[eqn: y= sqrt { 7}]일 때  [eqn: x=- sqrt { 7}],

[eqn: y=- sqrt { 7}]일 때  [eqn: x= sqrt { 7}]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: {cases{`x=±2#`y=±1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=+- sqrt {7}#`y=-+ sqrt {7}}}] (복부호동순)

(2) ㉠의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-1)(y-1)=0~~thereforex=1] 또는 [eqn: y=1]

[eqn: x=1]을 ㉡에 대입하면  [eqn: y+5=0~~thereforey=-5]

[eqn: y=1]을 ㉡에 대입하면  [eqn: 2x+4=0~~thereforex=-2]

따라서 구하는 해는  [eqn: {cases{`x=1#`y=-5}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-2#`y=1}}]

37

[eqn: {cases{`x=5#`y=-3}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-3#`y=5}}]

답

해

설

㉡을 변형하면  [eqn: (x+y ) ^2 -3xy=49]

[eqn: x+y=2]이므로  [eqn: 4-3xy=49]

[eqn: thereforexy=-15]	㉢

㉠, ㉢에 의하여 [eqn: x,~y]는 [eqn: t^2 - 2t -15=0]의 두 근이므로

[eqn: (t-5)(t+3)=0~~thereforet=5] 또는 [eqn: t=-3]

따라서 구하는 해는 [eqn: {cases{`x=5#`y=-3}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-3#`y=5}}]

38

(1)[eqn: {cases{`x=4#`y=3}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-3#`y=-4}}]
(2) [eqn: {cases{`x=2#`y=3}}] 또는 [eqn: {cases{`x=- 2 over {3}#`y=-`7 over 3}}]

답

해

설

(1) ㉠에서  [eqn: x=1+y]	㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: (1+y) ^2 + y ^2 = 25 ,~2y^2 +2y -24=0]

[eqn: y^2 +y -12=0,~(y-3)(y+4)=0]

[eqn: thereforey=3] 또는 [eqn: y=-4]

[eqn: y=3]일 때  [eqn: x=4]

[eqn: y=-4]일 때  [eqn: x=-3]

따라서 구하는 해는  [eqn: {cases{`x=4#`y=3}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-3#`y=-4}}]

(2) ㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: x^2 -(2x-1) ^2 =-5 ,~-3x^2 +4x+4=0]

[eqn: 3x^2 -4x -4=0,~(x-2)(3x+2)=0]

[eqn: thereforex=2] 또는 [eqn: x= - 2 over 3]

[eqn: x=2]일 때  [eqn: y=3], [eqn: x= - 2 over3]일 때  [eqn: y = - 7 over3]

따라서 구하는 해는  [eqn: {cases{`x=2#`y=3}}] 또는 [eqn: {cases{`x=- 2 over {3}#`y=-`7 over 3}}]

39

(1)[eqn: {cases{`x=+-4#`y=-+2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=+- sqrt {10}#`y=+- sqrt {10}}}]
(복부호동순)
(2) [eqn: {cases{`x=2#`y=-2}] 또는 [eqn: {cases{`x=- 1 over 2#`y= - 3 over 4}}]

답

해

설

(1) ㉠의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x+2y)(x-y)=0`]

[eqn: therefore x=-2y] 또는 [eqn: x=y]

(i) [eqn: x=-2y]를 ㉡에 대입하면

[eqn: (-2y) ^2 +y^2 =20,~5y^2 =20]

[eqn: y^2 =4~~thereforey=+-2]

[eqn: y=2]일 때  [eqn: x=-4], [eqn: y=-2]일 때  [eqn: x=4]

[eqn: THEREFORE cases {`x=-4 #`y=2] 또는 [eqn: cases {`x=4#`y=-2]

(ii) [eqn: x=y]를 ㉡에 대입하면

[eqn: y ^{2} +y ^{2} =20,~2y ^{2} =20]

[eqn: y ^{2}=10~~thereforey=+- sqrt { 10}]

[eqn: y= sqrt { 10}]일 때  [eqn: x= sqrt { 10}], [eqn: y=- sqrt { 10}]일 때

[eqn: x=- sqrt { 10}]

[eqn: thereforecases{`x= sqrt { 10 }# `y= sqrt { 10}] 또는 [eqn: THEREFORE {cases{`x=- sqrt {10}#`y=- sqrt {10}}}]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: {cases{`x=+-4#`y=-+2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=+- sqrt {10}#`y=+- sqrt {10}}}] (복부호동순)

(2) ㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: x ^{2}-2x -2=-x^2 +x]

[eqn: 2x^2 -3x -2=0]

[eqn: (x-2)(2x+1)=0]

[eqn: thereforex=2] 또는  [eqn: x= - 1over2]

[eqn: x=2]를 ㉡에 대입하면  [eqn: y=-2]

[eqn: x= - 1over2]을 ㉡에 대입하면  [eqn: y= - 3 over 4]

따라서 구하는 해는  [eqn: {cases{`x=2#`y=-2}] 또는 [eqn: {cases{`x=- 1 over 2#`y= - 3 over 4}}]

40

(1) [eqn: {cases{`x=3+- sqrt {3}#`y=3-+ sqrt {3}}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-3+- sqrt {3}#`y=-3-+ sqrt {3}}}]
(복부호동순)
(2) [eqn: {cases{`x=3#`y=-1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-1#`y=3}}]

답

해

설

(1) ㉠을 변형하면

[eqn: (x+y) ^2 -2xy =24]

[eqn: (x+y) ^2 = 36~~therefore x+y=+-6]

(i) [eqn: cases {`x+y =6#`xy=6]에서  [eqn: x,~y]는 [eqn: t^2 -6t+6=0]의 두 근이므로  [eqn: t=3+- sqrt { 3}]

[eqn: thereforecases{`x=3+ sqrt { 3}#`y= 3- sqrt { 3}] 또는 [eqn: {cases{`x=3- sqrt {3}#`y=3+ sqrt {3}}}]

(ii) [eqn: {cases{`x+y=-6#`xy=6}}]에서  [eqn: x,~y]는 [eqn: t ^{2} +6t+6=0]의 두 근이므로  [eqn: t=-3± sqrt {3}]

[eqn: THEREFORE {cases{`x=-3+ sqrt {3}#`y=-3- sqrt {3}}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-3- sqrt {3}#`y=-3+ sqrt {3}}} `]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: {cases{`x=3+- sqrt {3}#`y=3-+ sqrt {3}}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-3+- sqrt {3}#`y=-3-+ sqrt {3}}}](복부호동순)

(2) ㉡을 변형하면  [eqn: (x+y)` ^{2`} -xy=`7]

[eqn: 4-xy=7~~therefore xy=-3]	㉢

㉠, ㉢에서 [eqn: x,~y]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: t^2 -2t-3=0,~(t-3)(t+1)=0]

[eqn: therefore t=3] 또는 [eqn: t=-1]

따라서 구하는 해는  [eqn: {cases{`x=3#`y=-1}}] 또는 [eqn: {cases{`x=-1#`y=3}}]

41

[eqn: a ge 1 over2]

답

해

설

[eqn: y=1-x]를 [eqn: x ^{2} +y ^{2}=1]에 대입하면

[eqn: x^2 + (1-x) ^2 = a,~2x^2 -2x+1-a=0]

실근을 가지므로

[eqn: D over 4 =1 - 2( 1-a) ge 0,~-1+2a ge 0]

[eqn: therefore a ge 1 over2]

42

[eqn: (4,~20),~(-2,~2)]

답

해

설

[eqn: {cases{`y=x ^{2} +x~~~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`y= 2x^2 -x-8&cdotscdots㉡]

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: x^2 +x =2x^2 -x -8,~(x-4)(x+2)=0]

[eqn: therefore x=4] 또는 [eqn: x=-2]

[eqn: x=4]일 때  [eqn: y=16+4=20]

[eqn: x=-2]일 때  [eqn: y=4-2=2]

따라서 구하는 교점의 좌표는   [eqn: (4,~20),~(-2,~2)]

43

[eqn: ± sqrt {6}]

답

해

설

[eqn: {cases{`y=x+k~~~~~&cdotscdots㉠#`x ^{2} +2y ^{2} =4&cdotscdots㉡ }}]

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: x^2 +2(x+k) ^2 = 4]

[eqn: 3x^2 +4kx+2k^2 -4=0]	㉢

주어진 연립방정식이 한 쌍의 해를 가지려면 ㉢이 중근을 가져야 하므로

[eqn: D over 4 = (2k) ^2 -3(2k^2 -4 )=0,~k=+- sqrt { 6}]

44

[eqn: LEFT ( 3 over 2 ,~ 13 over 4 right) ,~(-1,~2)]

답

해

설

[eqn: {cases{`y=x ^{2} +1~~~~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`y=-x ^{2} +x+4}&cdotscdots㉡}]

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: x^2 +1=-x^2 +x+4 ,~2x^2 -x-3=0]

[eqn: (2x-3)(x+1)=0~~thereforex= 3 over 2] 또는 [eqn: x=-1]

[eqn: x= 3 over 2]일 때  [eqn: y= 13 over 4], [eqn: x=-1]일 때  [eqn: y=2]

따라서 구하는 교점의 좌표는

[eqn: LEFT ( 3 over 2 ,~ 13 over 4 right) ,~(-1,~2)]

45

[eqn: p=-4,~공통근:~x=1]

답

해

설

공통근을 [eqn: alpha]라고 하면

[eqn: {cases{` alpha ^{2} +p alpha +3=0~~~&CDOTS CDOTS ㉠#`alpha ^2 +3alpha +p=0&cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠-㉡]을 하여 [eqn: alpha` ^{2}]을 소거하면

[eqn: (p-3) alpha `+(3-p )=0,~(p-3)(alpha-1)=0]

[eqn: therefore p=3] 또는 [eqn: alpha =1]

[eqn: p=3]이면 주어진 두 이차방정식이 서로 같게 되어 공통근이 [eqn: 2]개가 되므로 모순이다.

[eqn: alpha =1]이면 ㉠에서 [eqn: p=-4]이고, 이는 문제의 뜻에 적합하다.

따라서 [eqn: p=-4]이고 공통근은 [eqn: x=1]이다.

46

(1) [eqn: x=1]
(2) [eqn: -1]

답

해

설

(1) 공통근을 [eqn: alpha]라고 하면

[eqn: cases {`alpha ^2 + a alpha +b =0~~~&cdotscdots ㉠#`alpha ^2 + b alpha + a=0&cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠-㉡]을 하여 [eqn: alpha` ^{2}]을 소거하면

[eqn: (a-b) alpha +(b-a)=0},~(a-b)(alpha -1)=0]

[eqn: therefore a=b] 또는 [eqn: alpha =1]

[eqn: a=b]이면 주어진 두 이차방정식은 서로 같게 되어 공통근이 [eqn: 2]개가 되므로 모순이다.

따라서 공통근은 [eqn: x=1]이다.

(2) (1)의 ㉠에 [eqn: alpha =1]을 대입하면

[eqn: 1+a+b=0~~therefore a+b=-1]

47

[eqn: 48``rmcm^2]

답

해

설

직사각형의 가로의 길이를 [eqn: x ``rmcm], 세로의 길이를 [eqn: y``rmcm]라고 하면

[eqn: cases {`2x+2y =28~~~&cdotscdots㉠#`x^2 + y ^2 =100&cdotscdots㉡]

㉠에서  [eqn: x+y=14]	㉢

㉡에서  [eqn: (x+y) ^2 -2xy =100]	㉣

㉢을 ㉣에 대입하면  [eqn: 196- 2xy =100]

[eqn: thereforexy=48]

따라서 직사각형의 넓이는 [eqn: 48``rmcm^2]이다.

48

[eqn: 12``rmm,~16``m]

답

해

설

직사각형 모양의 땅의 가로의 길이를 [eqn: x``rmm,] 세로의 길이를 [eqn: y``rmm]라고 하면 대각선의 길이는 [eqn: sqrt { x^2 +y^2 }`rmm]이므로

[eqn: {cases{`x ^{2} +y ^{2} =20 ^{2}~~~~~~~~~~~~~&cdotscdots㉠#`(x+4)(y+4)=xy+128&cdotscdots㉡}}]

㉡에서  [eqn: 4(x+y) +16= 128]	㉢

[eqn: therefore x+y =28]

㉠에서 [eqn: (x+y)^2 -2xy =400]이므로

㉢에 대입하면  [eqn: 28^2 -2xy=400]

[eqn: therefore xy=192]	㉣

㉢, ㉣에 의하여 [eqn: x,~y]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: t^2 -28t+192 =0,~(t-12)(t-16)=0]

[eqn: thereforet=12] 또는 [eqn: t=16]

따라서 [eqn: cases{`x=12#`y=16] 또는 [eqn: {cases{`x=16#`y=12}}]이므로 이웃하는 두 변의 길이는 [eqn: 12` rm m,~16`rmm]이다.

49

[eqn: 3``rmcm,~4``cm]

답

해

설

오른쪽 그림과 같이 직각을 낀 두 변의 길이를 [eqn: x`rmcm,~ity`rmcm]라고 하면

[eqn: x^2 + y ^2 = 5^2]	㉠

내접원의 반지름의 길이는 [eqn: 1``rmcm]이고 삼각형의 넓이는 [eqn: 1 over 2 xy rm``cm^2]이므로

[eqn: 1 over 2 x + 1 over 2 y + 5 over 2 = 1 over 2 xy]

[eqn: x+y+5=xy]	㉡

[eqn: x+y=a,~xy=b]로 놓으면

㉠에서  [eqn: a^2 -2b= 25]	㉢

㉡에서  [eqn: a+5=b]	㉣

㉣을 ㉢에 대입하면

[eqn: a^2 -2(a+5)= 25 ,~a^2 -2a -35 =0]

[eqn: (a+5)(a-7)=0]

[eqn: therefore a=-5] 또는 [eqn: a=7]

[eqn: a>0]이므로  [eqn: a=7]

[eqn: a=7]을 ㉣에 대입하면  [eqn: b=12]

따라서 [eqn: x+y=7,~xy=12]이므로

[eqn: x,~y]는 [eqn: t^2 -7t +12=0]의 두 근이다. 즉,

[eqn: (t-3)(t-4)=0~~therefore t=3] 또는 [eqn: t=4]

[eqn: therefore cases { ` x=3 # `y=4] 또는 [eqn: cases{`x=4#`y=3]

따라서 직각을 낀 두 변의 길이는 [eqn: 3``rmcm,~4``rmcm]이다.

50

[eqn: 3]시간 [eqn: 30]분

답

해

설

갈 때의 속력을 [eqn: v``rmkm/h], 걸린 시간을 [eqn: t]시간이라고 하면 돌아올 때의 속력은 [eqn: (v+20)`rmkm/h], 걸린 시간은 [eqn: left( t- 1 over 2right)]시간이므로

[eqn: vt=120]	㉠

[eqn: (v+20) left( t - 1 over 2 right) =120]	㉡

㉡의 좌변을 전개하면  [eqn: vt- 1 over 2 v +20t -10=120]

[eqn: therefore vt - 1 over 2 v +20t -130=0`]	㉢

㉠을 ㉢에 대입하여 정리하면  [eqn: 20t - 1 over 2 v -10=0]

[eqn: thereforev= 40t-20]	㉣

㉣을 ㉠에 대입하여 정리하면  [eqn: 2t^2 -t-6=0]

[eqn: (2t+3)(t-2)=0~~therefore t=- 3 over 2] 또는 [eqn: t=2]

이때 [eqn: t>0]이므로  [eqn: t=2](시간)

[eqn: therefore t + left( t- 1 over2 right) =3.5]

따라서 왕복하는 데 걸린 시간은 [eqn: 3]시간 [eqn: 30]분이다.

51

[eqn: 10``rmkm]

답

해

설

[eqn: rmA]가 달린 두 구간의 거리를 [eqn: a rm``km], [eqn: rmB]가 달린 세 구간의 거리를 [eqn: b``rmkm]라고 하면

[eqn: a+b=50]	㉠

또 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 달리는 데 걸린 총 시간은

[eqn: a over 12 + b over 16 = 15 over 4]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=30,~b=20]

[eqn: therefore a-b=10(rmkm)]

52

[eqn: 84``rmkm/h`]

답

해

설

회사까지의 거리를 [eqn: rmd rm``km], 예정된 시각까지 걸리는 시간을 [eqn: t]분이라고 하면

[eqn: d= 63 cdot { t-1 } over 60 ,~d= 56 cdot t+1 over60]

[eqn: 63(t-1)=56(t+1)~~therefore t=17]

[eqn: therefored= 63 cdot 16 over 60]

구하는 평균 속력을 [eqn: v ``rmkm/h]라고 하면

[eqn: d= v cdot t-5 over 60]에서  [eqn: 63 cdot 16 over 60 = v cdot 17-5 over 60]

[eqn: therefore v= 84(rmkm/h)]

53

[eqn: 15]분

답

해

설

[eqn: rmA,~B,~C]가 혼자 일을 끝마치는 데 각각 [eqn: a]분, [eqn: b]분, [eqn: c]분이 걸린다고 하자. 이때 [eqn: rmA,~B,~C]가 [eqn: 1]분 동안에 할 수 있는 일의 양은 각각 전체의 [eqn: 1 over a ,~ 1 over b ,~ 1 over c]이므로 전체의 일의 양을 [eqn: 1]이라고 하면

[eqn: 20 left( 1 over a + 1 over b right) =1~~therefore 1 over a + 1 over b = 1 over 20]	㉠

[eqn: 20 LEFT ( {1} over {b} + {1} over {c} RIGHT ) =1~~ THEREFORE {1} over {b} + {1} over {c} = {1} over {20}]	㉡

[eqn: 30 LEFT ( {1} over {c} + {1} over {a} RIGHT ) =1~~ THEREFORE {1} over {c} + {1} over {a} = {1} over {30}]	㉢

㉠, ㉡, ㉢을 변끼리 서로 더하면

[eqn: 2 left( 1 over a + 1 over b + 1 over c right) = 2 over 15 ~~therefore 1 overa + 1 over b + 1 over c = 1 over 15]

[eqn: therefore 15 left( 1 over a + 1 over b + 1 over c right) =1]

따라서 세 사람이 함께 하면 일을 끝마치는 데 [eqn: 15]분이 걸린다.

54

[eqn: 30]시간

답

해

설

갑, 을, 병이 혼자 일을 끝마치는 데 걸리는 시간을 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]시간이라고 하면 갑, 을, 병이 [eqn: 1]시간 동안에 할 수 있는 일의 양은 각각 전체의 [eqn: 1 over a ,~ 1 over b ,~ 1 over c]이므로

[eqn: {1} over {a} + {1} over {b} = {1} over {20}]	㉠

[eqn: {1} over {b} + {1} over {c} = {1} over {12}]	㉡

[eqn: 2cdot {1} over {c}= {1} over {a}+ 1 over b]	㉢

[eqn: ㉠+㉡+㉢]을 하면  [eqn: 4 over z = 2 over 15 ~~therefore z=30](시간)

55

[eqn: x=2,~y=-2]

답

해

설

[eqn: x ^{2} +2y ^{2} +2xy+4y+4 & =x ^{2} +2xy+y ^{2} +y ^{2} +4y+4# & =(x+y)` ^{2``}+(y +2) ^2 =0]

[eqn: x,~y]는 실수이므로  [eqn: x+y=0,~y+2=0]

[eqn: therefore x=2,~y=-2]

56

(1) [eqn: x=2,~y=-3]
(2) [eqn: x= 1 over 2 ,~y=1]

답

해

설

(1) [eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+6y+13# =(x ^{2} -4x+4)+(y ^{2} +6y+9)# =(x-2) ^{2} +(y+3) ^{2} =0]

[eqn: x,~y]는 실수이므로  [eqn: x-2=0,~y+3=0]

[eqn: therefore x=2,~y=-3]

(2) [eqn: 4x^2 +2y^2 -4xy -2y +1#=(4x^2 -4xy +y^2 ) +(y^2 -2y +1)#=( 2x-y) ^2 + ( y-1) ^2 =0]

[eqn: x,~y]는 실수이므로  [eqn: 2x-y=0,~y-1=0]

[eqn: therefore x= {1} over {2} ,~y=1`]

57

[eqn: {cases{`x=1#`y=1}} ,~ {cases{`x=2#`y=0}} ,~ {cases{`x=4#`y=4}} ,~ {cases{`x=5#`y=3}}]

답

해

설

[eqn: xy -2x -3y +4=0]에서

[eqn: xy-2x-3y+6=2~~ THEREFORE (x-3)(y-2)=2]

[eqn: x,~y]가 정수이므로

[eqn: x-3]	[eqn: -2]	[eqn: -1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: y-2]	[eqn: -1]	[eqn: -2]	[eqn: 2]	[eqn: 1]

[eqn: therefore{cases{`x=1#`y=1}} ,~ {cases{`x=2#`y=0}} ,~ {cases{`x=4#`y=4}} ,~ {cases{`x=5#`y=3}}]

58

(1) [eqn: {cases{`x=1#`y=5}}] 또는 [eqn: {cases{`x=3#`y=4}}]

답

해

설

(1) [eqn: xy -3x +y-7=0]에서

[eqn: xy-3x+y-3=4~~ THEREFORE (x+1)(y-3)=4]

[eqn: x,~y]가 자연수이므로

[eqn: x+1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]
[eqn: y-3]	[eqn: 2]	[eqn: 1]

[eqn: therefore{cases{`x=1#`y=5}}] 또는 [eqn: {cases{`x=3#`y=4}}]

(2) [eqn: x^2 -xy +2x -2y +5=0]에서

[eqn: x^2 - xy +2x -2y =5,~x(x-y)+2(x-y)=5]

[eqn: THEREFORE (x+2)(x-y)=5]

[eqn: x,~y]가 자연수이므로

[eqn: x+2]	[eqn: 5]
[eqn: x-y]	[eqn: 1]

[eqn: THEREFORE x=3,~y=2]

59

(1) [eqn: x=-2,~y=2,~z=6]
(2) [eqn: cases {`x=2#`y=4#`z=5] 또는 [eqn: {cases{`x=-2#`y=-4#`z=-5}}]

답

해

설

(1) [eqn: ㉠-㉡]으르 하면  [eqn: 2y-z= -2]	㉣

[eqn: ㉠-㉢]을 하면  [eqn: -2y+2z=8]	㉤

[eqn: ㉣+㉤]을 하면  [eqn: z=6]

㉣에서  [eqn: 2y-6=-2~~thereforey=2]

㉠에서  [eqn: x+2+6=6~~therefore x=-2]

[eqn: thereforex=-2,~y=2,~z=6]

(2) [eqn: ㉠+㉡+㉢]을 하면  [eqn: 2(xy+`yz+zx)=76]

[eqn: xy+`yz+zx=38]	㉣

[eqn: ㉣-㉠]을 하면  [eqn: yz=20]	㉤

[eqn: ㉣-㉡]을 하면  [eqn: zx=10]	㉥

[eqn: ㉣-㉢]을 하면  [eqn: xy=8]	㉦

[eqn: ㉤times㉥times ㉦]을 하면  [eqn: (xyz) ^2 =1600~~therefore xyz=+-40]

(i) [eqn: xyz=40]일 때  [eqn: x=2,~y=4,~z=5]

(ii) [eqn: xyz=-40]일 때  [eqn: x=-2,~y=-4,~z=-5]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: cases {`x=2#`y=4#`z=5] 또는 [eqn: {cases{`x=-2#`y=-4#`z=-5}}]

60

(1) [eqn: x= 7 over 2 ,~ y=- 1 over 2]
(2) [eqn: cases {`x=3#`y=-1] 또는 [eqn: cases {`x=-1 #`y=3]
(3) [eqn: cases { `x=+-4# `y=+-2] 또는 [eqn: cases {`x = +- 2 sqrt { 3} #`y=+- {2 sqrt { 3}} over3]
(복부호동순)
(4) [eqn: {cases{`x=-2#`y=-2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=1± sqrt {3}#`y=1-+ sqrt {3}}}]
(복부호동순)

답

해

설

(1) ㉡에서  [eqn: (x+y)(x-y)=12,~(x+y)4=12]

[eqn: therefore x+y=3]	㉢

㉠, ㉢을 연립하여 풀면  [eqn: x= 7 over 2 ,~ y=- 1 over 2]

(2) ㉡에서  [eqn: xy+2(x+y)+4=5,~xy+4+4=5]

[eqn: therefore xy=-3]	㉢

㉠, ㉢에 의하여 [eqn: x,~y]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: t^2 - 2t -3=0,~(t-3)(t+1)=0]

[eqn: thereforet=3] 또는 [eqn: t=-1]

[eqn: therefore cases {`x=3#`y=-1] 또는 [eqn: cases {`x=-1 #`y=3]

(3) ㉠의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-2y)(x-3y)=0~~therefore x=2y] 또는 [eqn: x=3y]

(i) [eqn: x=2y]를 ㉡에 대입하면

[eqn: 4y^2 +2y^2 -3y^2 =12,~3y^2 =12~~thereforey=+-2]

[eqn: THEREFORE cases{`x=4#`y=2] 또는 [eqn: cases { ` x=-4#` y=-2]

(ii) [eqn: x=3y]를 ㉡에 대입하면

[eqn: 9y ^{2} +3y ^{2} -3y ^{2} =12,~y^2 = 4 over 3 ~~therefore y = +- {2 sqrt { 3}} over 3]

[eqn: THEREFORE {cases{`x=2 sqrt { 3} #`y={2 sqrt { 3}} over3 }}] 또는 [eqn: {cases{`x=-2 sqrt { 3} #`y=-{2 sqrt { 3}} over3 }}]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: cases { `x=+-4# `y=+-2] 또는 [eqn: cases {`x = +- 2 sqrt { 3} #`y=+- {2 sqrt { 3}} over3] (복부호동순)

(4) [eqn: x+y=a,~xy=b]로 놓으면

㉠에서  [eqn: x^2 +y^2 =(x+y) ^2 -2xy=8]

이므로  [eqn: a^2 -2b=8]	㉢

㉡에서  [eqn: a+b=0]	㉣

㉣에서 [eqn: b=-a]이므로 ㉢에 대입하면

[eqn: a^2 + 2a -8=0,~(a+4)(a-2)=0]

[eqn: thereforea=-4] 또는 [eqn: a=2]

[eqn: therefore cases { ` a=-4#`b=4] 또는 [eqn: cases { `a=2#`b=-2]

(i) [eqn: a=-4,~b=4]일 때

[eqn: cases { `x+y=-4# `xy=4]

[eqn: x,~y]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: t^2 + 4t+4=0,~(t+2) ^2 =0]

[eqn: therefore t=-2~~therefore x=-2,~y=-2]

(ii) [eqn: a=2,~b=-2]일 때

[eqn: cases {`x+y=2#``xy=-2]

[eqn: x,~y]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: t^2 - 2t-2=0~~thereforet=1+- sqrt { 3}]

[eqn: thereforecases { ` x= 1+ sqrt { 3} # ` y=1- sqrt { 3}] 또는 [eqn: cases { `x=1- sqrt { 3}#`y=`1+ sqrt { 3}]

(i), (ii)에 의하여 구하는 해는

[eqn: {cases{`x=-2#`y=-2}}] 또는 [eqn: {cases{`x=1± sqrt {3}#`y=1-+ sqrt {3}}}] (복부호동순)

61

[eqn: a=b=c= 3 over2]

답

해

설

[eqn: x=1,~y=1,~z=1]을 주어진 연립방정식에 대입하면

[eqn: b+a=c+b=a+c=3]

[eqn: therefore cases{`b+a=3~~~&cdotscdots㉠#`c+b=3&cdotscdots㉡#`a+c=3&cdotscdots㉢]

[eqn: ㉠+㉡+㉢]을 하면  [eqn: 2(a+b+c)=9]

[eqn: THEREFORE a+b+c = 9 over 2]	㉣

㉣에서 ㉠, ㉡, ㉢을 각각 변끼리 빼면

[eqn: c= 3 over 2 ,~a= 3 over 2 ,~b= 3 over 2]

[eqn: thereforea=b=c= {3} over {2}]

62

[eqn: A= 35 DEG ,~B= 65 DEG,~ C= 80 DEG]

답

해

설

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 [eqn: 180 DEG]이므로

[eqn: A+ B+C=180 DEG]	㉠

주어진 조건에서

[eqn: A+2B=165 DEG]	㉡

[eqn: B+2C=225]	㉢

[eqn: ㉠-㉡]을 하면  [eqn: -B+C=15 DEG]	㉣

[eqn: ㉢+㉣]을 하면  [eqn: 3C=240 DEG ~~thereforeC=80DEG]

㉣에서  [eqn: -B+80DEG =115DEG~~thereforeB= 65DEG]

㉠에서  [eqn: A+65 DEG + 80 DEG =180 DEG~~thereforeA= 35DEG]

[eqn: therefore A= 35 DEG ,~B= 65 DEG,~ C= 80 DEG]

63

[eqn: x:y:z=1:2:3]

답

해

설

[eqn: x+y over 3 = y+z over5 = z+x over 4 =k``(k not= 0 )]로 놓으면

[eqn: cases {` x+y=3k~~~&cdotscdots㉠#`y+z= 5k&cdotscdots㉡#`z+x= 4k&cdotscdots㉢]

[eqn: ㉠+㉡+㉢]을 하면  [eqn: 2(x+y +z) = 12k]

[eqn: therefore x+y+z=6k]	㉣

[eqn: ㉣-㉠]을 하면  [eqn: z=3k]

[eqn: ㉣-㉡]을 하면  [eqn: x=k]

[eqn: ㉣-㉢]을 하면  [eqn: y=2k]

[eqn: thereforex:y:z=1:2:3]

64

[eqn: a=0]일 때  [eqn: x=0],  [eqn: a=6]일 때  [eqn: x=3]

답

해

설

공통근을 [eqn: alpha]라고 하면

[eqn: cases {`alpha ^2 - alpha -a =0#`alpha ^2 -5alpha +a=0]

두 식을 변끼리 더하여 [eqn: a]를 소거하면

[eqn: 2alpha ^2 - 6 alpha =0,~alpha ^2 - 3alpha =0,~alpha(alpha-3)=0]

[eqn: therefore alpha=0] 또는 [eqn: alpha =3]

(i) [eqn: alpha =0]일 때  [eqn: a=0]

(ii) [eqn: alpha =3]일 때  [eqn: a=6]

(i), (ii)에 의하여

[eqn: a=0]일 때  [eqn: x=0],  [eqn: a=6]일 때  [eqn: x=3]

65

[eqn: {-1 +- sqrt { 5}} over 2]

답

해

설

[eqn: cases { `kx + y =0~~~~&cdotscdots ㉠#`ky+z=0&cdotscdots ㉡#`x+y-z=0&cdotscdots ㉢]

[eqn: ㉡+㉢]을 하면  [eqn: ky+x+y=0]

[eqn: x+(k+1)`y=0]	㉣

[eqn: ㉠ TIMES (k+1) - ㉣]을 하면  [eqn: (k^2 +k-1) x=0]	㉤

주어진 연립방정식이 무수히 많은 해를 가지려면

[eqn: k^2 +k-1=0~~therefore k ={-1+- sqrt { 5}} over2]

66

[eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=2]

답

해

설

[eqn: {cases{`x+y=2a~~~&cdotscdots㉠#`xy=a+2&cdotscdots㉡}}]

[eqn: x,~y]를 두 근으로 하는 이차방정식은

[eqn: t^2 -2at+(a+2)=0]	㉢

㉠, ㉡을 만족시키는 실근이 오직 한 쌍 존재하려면 ㉢이 중근을 가져야 하므로

[eqn: D over 4 = a ^2 -(a+2)=0},~(a+1)(a-2)=0]

[eqn: thereforea=-1] 또는 [eqn: a=2]

67

①

답

해

설

[eqn: {cases{`x ^{2} +xy+y ^{2} =1~~ &CDOTS CDOTS ㉠#`x ^{2} -xy+y ^{2} =2&CDOTS CDOTS ㉡}}]

[eqn: ㉠+㉡]을 하면  [eqn: 2x ^{2} + 2y ^2 = 3,~x^2 + y^2 = 3 over2]

[eqn: ㉠-㉡]을 하면  [eqn: 2xy=-1,~xy=- {1} over {2}]

[eqn: therefore(x+y) ^2 = 3 over 2 +2 left( - 1 over 2 right) = 1 over2]

[eqn: therefore (x+y) ^4 = left( 1 over 2 right) ^2 = 1 over4]

68

②

답

해

설

[eqn: cases {` 7+a+b+1=A#`3+e+f+10=A#`7+c+3=A#`1+d+10=A]

네 식을 변끼리 더하면

[eqn: (a+b+c+d+e+f+g+1+3+7+10)#+(1+3+7+10)=4A]

[eqn: (1+2+3+cdots +10)+(1+3+7+10)=4A]

[eqn: 55+21=4A~~thereforeA=19]

69

[eqn: x=5,~y=1},~z=2]

답

70

[eqn: x=2,~y=3] 또는 [eqn: x=3,~y=2]

답

71

[eqn: a=2,~b=-3]

답

72

[eqn: 4]개

답

73

[eqn: x=2,~y=3,~z=-1]

답

해

설

[eqn: ㉠+㉡]을 하면  [eqn: 3x+4y=18]	㉣

[eqn: ㉡+㉢]을 하면  [eqn: 5x+y=13]	㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면  [eqn: x=2,~y=3]

이것을 ㉠에 대입하면  [eqn: z=-1]

따라서 연립방정식의 해는  [eqn: x=2,~y=3,~z=-1]

74

[eqn: x=-2,~y=6,~z=-3]

답

해

설

각 변끼리 더한 후 [eqn: 2]로 나누면  [eqn: x+y+z=1]

[eqn: therefore][eqn: x=-2,~y=6,~z=-3]

75

[eqn: 35]

답

해

설

각 변끼리 더하면  [eqn: xy+yz+zx=23]

[eqn: xy=3,~yz=15,~zx=5]

각 변끼리 곱하면  [eqn: (xyz)^2 =15^2 ~~~thereforexyz=+-15]

[eqn: thereforex=1,~y=3,~z=5] 또는
[eqn: x=-1,~y=-3,~z=-5]

[eqn: thereforealpha ^2 +beta^2 +gamma^2 =35]

76

[eqn: cases{`x=+-1#`y=-+1], [eqn: cases {`x=+-2 sqrt { 2}#`y=+- sqrt { 2} }] (복부호동순)

답

해

설

㉠의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x+y)(x-2y)=0~~~thereforex=-y] 또는 [eqn: x=2y]

(i) [eqn: x=-y]를 ㉡에 대입하면

[eqn: y^2 +2y^2 +3y^2 =6,~6y^2 =6~~~thereforey=+-1]

[eqn: y=1]일 때  [eqn: x=-1], [eqn: y=-1]일 때  [eqn: x=1]

(i), (ii)에서 구하는 해는

[eqn: cases{`x=+-1#`y=-+1], [eqn: cases {`x=+-2 sqrt { 2}#`y=+- sqrt { 2} }] (복부호동순)

77

[eqn: {cases{`x=1#`y=1}}], [eqn: {cases{`x=2#`y=-1}}]

답

해

설

[eqn: y=-2x+3]을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: x ^{2`}-3x+2=0,~(x-1)(x-2)=0]

[eqn: thereforex=1] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: {cases{`x=1#`y=1}}], [eqn: {cases{`x=2#`y=-1}}]

78

[eqn: x=-3,~y=1] 또는 [eqn: x=1,~y=-3]

답

해

설

[eqn: x+y=u,~xy=v]로 놓으면

[eqn: u+v=-5,~u ^{2}-v=7]

[eqn: therefore u=1,~v=-6] 또는 [eqn: u=-2,~v=-3]

(i) [eqn: u=1,~v=-6]일 때, [eqn: t^2 -t-6=0]에서

[eqn: x=-2,~y=3] 또는 [eqn: x=3,~y=-2]

(ii) [eqn: u=-2,~v=-3]일 때, [eqn: t^2 +2t-3=0]에서

[eqn: x=-3,~y=1] 또는 [eqn: x=1,~y=-3]

79

[eqn: (-2,~1)], [eqn: (-4,~3)]

답

해

설

[eqn: xy=2x-3y+5,~xy-2x+3y-5=0]

[eqn: (x+3)(y-2)=-1]

[eqn: therefore x+3=1,~y-2=-1] 또는 [eqn: x=-4] 또는 [eqn: y=3]

따라서 구하는 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는 [eqn: (-2,~1)] 또는 [eqn: (-4,~3)]

80

[eqn: 8,~10]

답

해

설

[eqn: xy+x-4y=10,~(x-4)(y+1)=6]

[eqn: x-4]	[eqn: 1]	[eqn: 6]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
[eqn: y+1]	[eqn: 6]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 2]

[eqn: therefore x+y=8] 또는 [eqn: x+y=10]

81

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: x ^{2} -2(2y-1)x+5y ^{2} -8y+5=0]에서

[eqn: D over 4 =-y^2 +4y-4 ge0]이므로  [eqn: y=2]

[eqn: x^2 - 6x +9=0~~~thereforex=3]

[eqn: therefore x+y=2]

82

[eqn: k=6]일 때, 해는 무수히 많다.

답

해

설

[eqn: ㉡-㉠]을 하면  [eqn: 2x +y=2]	㉣

[eqn: ㉢-㉠]을 하면  [eqn: 6x +3y=k]	㉤

[eqn: ㉣ TIMES 3]을 하면 [eqn: 6x+3y=6]이므로

㉤에서  [eqn: k=6]일 때, 해는 무수히 많다.

83

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: cases{`ax-y=1#`x+y=7]에서

[eqn: x^2 + (7-x) ^2 =25,~x^2 - 7x +12=0]

[eqn: thereforex=3] 또는 [eqn: x=4]

[eqn: x=3]일 때  [eqn: y=4], [eqn: x=4]일 때  [eqn: y=3]

[eqn: ax-y=1,~x-y=a]를 동시에 만족시킼는 것은 [eqn: x=4,~y=3]일 때이므로  [eqn: a=4-3=1]

84

[eqn: 2]개

답

해

설

[eqn: x = 37-3y over5]가 자연수이므로 [eqn: 37-3y]는 [eqn: 5]이 배수 중 [eqn: 10,~25]이다.

[eqn: y=9]일 때  [eqn: x=2], [eqn: y=4]일 때  [eqn: x=5]

따라서 순서쌍 [eqn: (x,~y)]는 [eqn: (2,~9),~(5,~4)]이므로 [eqn: 2]개다.

85

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: 5x ^{2} +y ^{2} -2x-4xy+1# =(x ^{2} -2x+1)+(4x ^{2} -4xy+y ^{2} )# =(x-1) ^{2} +(2x-y) ^{2} =0]

[eqn: x,~y]가 실수이므로  [eqn: x=1,~y=2~~~thereforex+y=3]

86

[eqn: 7]

답

해

설

[eqn: ㉡+㉠times2]를 하면  [eqn: -y+2z=-8+a]

[eqn: ㉢-㉠times3]을 하면  [eqn: 2y+(b-9)z=12]

[eqn: thereforeb-9=-4,~16-2a=12]

[eqn: thereforea+b=2+5=7]

87

[eqn: -2]

답

해

설

[eqn: y=3-x]를 [eqn: x^2 -y ^2 =-21]에 대입하여 풀면

[eqn: x=-2,~y=5]	㉠

㉠을 [eqn: ax^2 +y^2 = 5]에 대입하면  [eqn: a=-5]

㉠을 [eqn: x+y=b]에 대입하면  [eqn: b=3]

[eqn: thereforea+b=-2]

88

[eqn: x=4,~y=12] 또는 [eqn: x=6,~y=6] 또는

답

[eqn: x=12,~y=4]

해

설

[eqn: xy= 3(x+y),~(x-3)(y-3)=9]

[eqn: thereforex=4,~y=12] 또는 [eqn: x=6,~y=6] 또는

[eqn: x=12,~y=4]

89

[eqn: x=-1,~y=-2]

답

해

설

[eqn: x ^{2} -2xy+2y ^{2} -2x+6y+5#=x^2 -2(y+1) x +(2y^2 +6y+5)#=0]

[eqn: D over 4 = (y+1) ^2 -(2y^2 +6y + 5) ge 0~~thereforey=-2]

[eqn: y=-2]를 대입하면  [eqn: x=-1]