수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		2. 이차방정식과 이차함수			반 / 번호
	01 이차함수와 이차방정식의 관계					이름

01

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 방정식 [eqn: f(x-3)=0]의 두 근의 합은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

02

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2kx`+2`-k=0]의 두 근이 모두 [eqn: 1]보다 작을 때, 실수 [eqn: k]값의 범위는?

① [eqn: k le -2]	② [eqn: k ge -2]	③ [eqn: k le -1]

④ [eqn: k ge -1]	⑤ [eqn: k le 1]

03

이차함수
[eqn: y= ax^2 +bx +c]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~a<0]

[eqn: ㄴ.~c>0]

[eqn: ㄷ.~b^2 -4ac <0]

[eqn: ㄹ.~a+b+c=0]

① [eqn: ㄱ,~ㄷ]	② [eqn: ㄴ,~ㄷ]	③ [eqn: ㄷ,~ㄹ]

④ [eqn: ㄱ,~ ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄹ]

04

이차함수 [eqn: y= x^2 -2(k+a) x +k^2 -6k+b]의 그래프가 실수 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: x]축에 접할 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: -6]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 6]

05

이차방정식 [eqn: x^2 -ax +a^2 -7 =0]의 한 근은 [eqn: -2]와 [eqn: 1] 사이에, 다른 한 근은 [eqn: 1]과 [eqn: 4] 사이에 있을 때, 실수 [eqn: a]값의 범위는?

① [eqn: 1<a<3]	② [eqn: 1<a<5]

③ [eqn: 2<a<4]	④ [eqn: 2<a<5]

⑤ [eqn: 3<a<5]

∣서∣술∣형∣

06

이차함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 방정식 [eqn: f( |`f(x)` |)=0]의 실근의 개수를 구하여라.

07

다음 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하여라.
(1) [eqn: y=(x+3)(x-2)]
(2) [eqn: y=x ^2 -3x-10]

08

다음 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 개수 하여라.
(1) [eqn: y=x ^{2} -3x+1]
(2) [eqn: y=x ^{2} -2x+1]
(3) [eqn: y=`x ^{2``} -x+1]

09

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 다음과 같을 때, 이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근을 구하여 □ 안에 알맞은 수를 써넣어라.
(1)  [eqn: x= BOX{~~~} ,~x= BOX{~~~}]
(2) [eqn: x= BOX{~~~} ,~x= BOX{~~~}]
(3)  [eqn: x= BOX{~~~}]

10

다음 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 개수 하여라.
(1) [eqn: y=2x ^{2} -x+2]
(2) [eqn: y=-x ^{2} +4x-4]

11

다음 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 [eqn: x]좌표를 구하여라.
(1) [eqn: y=x ^{2} +2x-8]
(2) [eqn: y=-2x ^{2} +3x+2]

12

이차함수 [eqn: y=`x ^{2} -4x`+k]가 다음 조건을 만족시키도록 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.
(1) [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
(2) [eqn: x]축에 접한다.
(3) [eqn: x]축과 만나지 않는다.

13

이차함수 [eqn: y=-2x ^{2} -6x+3]의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 좌표를 각각 [eqn: (`a,~0),~(b,~0)]이라고 할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

14

이차함수 [eqn: y=`x ^{2`}-2kx +k+2]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.
(1) [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.
(2) [eqn: x]축과 만나지 않는다.

15

이차방정식 [eqn: ax^2 - bx+c=0]의 두 근이 [eqn: -1,~2]일 때, 이차함수 [eqn: y=-ax^2 +bx -c]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha,~beta]라고 한다. 이때 [eqn: alpha +beta]의 값을 구하여라.

16

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 이차방정식 [eqn: f(x-3)=0]의 두 실근의 곱을 구하여라.

17

방정식 [eqn: |`x^2 -2` |=k]가 서로 다른 [eqn: 4]개의 실근을 갖도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

18

함수 [eqn: f(x)=ax^2 +bx +c]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 실근이 [eqn: 1,~2]일 때, 방정식 [eqn: f(2-x)=0]의 두 실근을 구하여라.

19

방정식 [eqn: |`x -1` |=m(x+1)-1]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 정하여라.

20

이차방정식 [eqn: x^2 -2ax +4=0]의 두 근이 모두 [eqn: 1]보다 크도록 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

21

이차방정식 [eqn: x^2 -2ax +4=0]의 두 근이 모두 [eqn: 1]보다 작도록 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

22

이차방정식 [eqn: x^2 -2ax +4=0]의 두 근이 모두 [eqn: -4]와 [eqn: 4]사이에 있도록 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

23

이차방정식 [eqn: x^2 -2ax +4=0]의 두 근 사이에 [eqn: 2]가 있도록 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

24

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2ax+3a=0]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: a`]의 값의 범위를 정하여라.
(1) 두 근이 모두 [eqn: 2]보다 크다.
(2) 두 근이 모두 [eqn: 2]보다 작다.
(3) 두 근이 모두 [eqn: -1]과 [eqn: 1] 사이에 있다.
(4) 두 근 사이에 [eqn: 2]가 있다.

25

다음 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 구하여라.
(1) [eqn: y=x^2 -x-12]
(2) [eqn: y=-x^2 -2x+15]

26

다음 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 개수를 구하여라.
(1) [eqn: y=x^2 +x+4]
(2) [eqn: y=2x^2 -3x +2]
(3) [eqn: y=4x ^2 -4x +1]
(4) [eqn: y=x^2 -2x -1]

27

이차함수 [eqn: y= x^2 +2(a-1) x+a+5]의 그래프가 [eqn: x]축에 접할 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하고, 그 접점의 좌표를 구하여라.

28

이차함수 [eqn: y=x ^2 -3x +a]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나고 그 두 점 사이의 거리가 [eqn: 5]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

29

이차함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 이차방정식 [eqn: f(-x)-2=0]의 두 근의 합을 구하여라.

30

방정식 [eqn: |`x-2`|+3-k=0]이 서로 다른 두 실근을 갖도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

31

이차방정식 [eqn: x^2 +ax +4a =0]의 한 근은 [eqn: 1]과 [eqn: 2] 사이에, 다른 한 근은 [eqn: -1]과 [eqn: -2] 사이에 있기 위한 상수 [eqn: a]의 값의 범위를 구하여라.

32

이차방정식 [eqn: x^2 - mx +2m=0]이 다음 조건을 만족시키도록 실수 [eqn: m]의 값의 범위를 정하여라.
(1) 한 근은 [eqn: 0]보다 작고 다른 한 근은 [eqn: 1]보다 크다.
(2) 두 근 사이에 [eqn: -1]이 있다.

33

이차방정식 [eqn: x^2 +kx +2k-4=0]의 오직 한 근이 [eqn: 1]과 [eqn: 2] 사이에 있도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하면?

① [eqn: -2 <k< -1]	② [eqn: -2 <k<1]

③ [eqn: 0<k<1]	④ [eqn: 0<k<2]

⑤ [eqn: 1<k<2]

34

이차함수 [eqn: y=x^2 +k]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

35

이차함수 [eqn: y=x ^{2`}`-4x +k]의 그래프가 [eqn: x]축에 접하기 위한 [eqn: k]의 값을 구하여라.

36

이차함수 [eqn: y=kx^2 +8x +k]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 구하여라.

37

이차함수 [eqn: y=x^2 -x +2+k(x+1)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나지 않기 위한 정수 [eqn: k]의 개수를 구하여라

38

이차함수 [eqn: y=x^2 +(a-3)x +b]의 그래프가 점 [eqn: (2,~1)]을 지나고 [eqn: x]축에 접할 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

39

다음 중 이차함수 [eqn: y=x^2 +ax +b]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나기 위한 [eqn: a,~b]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]가 될 수 없는 것은?

① [eqn: (1,~1)]	② [eqn: (-2,~1)]	③ [eqn: (3,~2)]

④ [eqn: (-4,~2)]	⑤ [eqn: (5,~3)]

40

세 실수 [eqn: a,~b,~c]에 대하여 이차함수
[eqn: y=3x^2 -2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)]의 그래프는 적어도 한 점에서 [eqn: x]축고 만난다는 것을 보여라.

41

이차함수 [eqn: y=x^2 -2ax -b^2 +4b]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나지 않기 위한 점 [eqn: (a,~b)]가 그리는 자취의 넓이를 구하여라.

42

이차함수 [eqn: f(x)=ax^2 +2bx -a+4]의 그래프가 [eqn: x]축과 한 점에서 만나기 위한 정수 [eqn: a,~b]의 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수를 구하여라.

43

이차함수 [eqn: y=x^2 - 4x +3]의 그래프와 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1,~3]일 때, 이차방정식 [eqn: x^2 -4x+3=0]의 근을 구하여라.

44

이차방정식 [eqn: x^2 +kx +k-3=0]의 두 근 사이에 [eqn: 0]이 존재하기 위한 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

45

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 방정식 [eqn: f(x-4)-3=0]의 두 근의 합을 구하여라.

46

[eqn: x]축과 두 점에서 만나는 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 축의 방정식은 [eqn: x=3]이다. 이때 방정식 [eqn: f(x-8)=0]의 두 근의 합을 구하여라.

47

이차함수 [eqn: f(x)= x^2 - 8x +k]의 그래프가 [eqn: x]축과 두 점에서 만날 때, 방정식 [eqn: f(2x-8)=6]의 두 근의 합을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		2. 이차방정식과 이차함수			반 / 번호
	02 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계					이름

01

직선 [eqn: y= x-k]가 이차항수 [eqn: y= x^2 - 6x +1]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만난다. 이 두 점 사이의 거리가 [eqn: 7 sqrt { 2}]일 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

02

직선 [eqn: y= ax]가 이차항수 [eqn: y= x^2 +x +1]의 그래프와 서로 다른 두 점에서 만나고, 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -x+1]의 그래프와 만나지 않도록 실수 [eqn: a]값의 범위를 정하면 [eqn: m<a<n]이다. 이때 [eqn: m+n]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 0]

∣서∣술∣형∣

03

직선 [eqn: y= x+1]은 이차함수 [eqn: y= x^2 -mx +2]의 그래프와 서로 다른 두 점 [eqn: rm A,~B]에서 만난다. 이때 점 [eqn: (1,~2)]가 선분 [eqn: rm AB] 위에 존재하도록 실수 [eqn: m]값의 범위를 정하여라.

04

이차함수 [eqn: y=x ^2 - 3x +1]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-2]의 교점의 좌표를 구하여라.

05

이차함수 [eqn: y=x ^2 +6x]의 그래프와 직선
[eqn: y=3x+2]의 교점의 개수를 구하여라.

06

이차함수 [eqn: y=x ^2 +3x-4]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x +2]와의 교점의 좌표를 구하여라.

07

이차함수 [eqn: y=x^2 -4x +2]의 그래프와 다음 직선과의 교점의 개수를 구하여라.
(1) [eqn: y=2x-1]
(2) [eqn: y=2x-7]
(3) [eqn: y=2x-9]

08

이차함수 [eqn: y=x ^2 - 4x -3]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+1]과의 교점을 [eqn: rmP,~Q]라고 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이를 구하여라.

09

이차함수 [eqn: y= x^2 +2x +2]의 그래프와 다음 직선과의 교점의 개수를 구하여라.
(1) [eqn: y=x+3]
(2) [eqn: y=-x-2]

10

오른쪽 그림과 같이 곡선
[eqn: y = x^2 -4x +5]와 직선 [eqn: y=x+k]가 두 점 [eqn: rmP,~Q]에서 만난다고 한다. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]일 때, 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표를 구하여라.

11

이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 원점 [eqn: rmO]를 지나는 직선이 [eqn: y=f(x)]와 만나는 두 점을 [eqn: rmP,~Q]라고 하자. [eqn: rmP,~Q]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alphabeta]의 값을 구하여라.

12

이차함수 [eqn: y=x ^2 -ax +3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x -4]가 두 점에서 만나고 그 중 한 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -1]일 때, 다른 교점의 좌표를 구하여라.

13

이차함수 [eqn: y= 2x^2 -3x]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx +n]의 두 교점의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: -1,~3]일 때, [eqn: m,~n]의 값을 구하여라.

14

이차함수 [eqn: y=x^2 -2x +a]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x-3]이 서로 다른 두 점에서 만나도록 실수[eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

15

이차함수 [eqn: y=x^2 +kx +3]의 그래프와 직선 [eqn: y=3x+2]가 서로 만나지 않도록 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

16

이차함수 [eqn: y=x^2 +1]의 그래프와 직선 [eqn: y=kx]가 서로 다른 두 점에서 만나도록 상수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

17

이차함수 [eqn: y=x ^2 -3x]의 그래프와 직선 [eqn: y=x-k]가 만나지 않도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정하여라.

18

직선 [eqn: y=2x+1]에 평행하고 포물선 [eqn: y=x^2 -1]에 접하는 접선의 방정식을 구하고, 그때의 접점의 w좌표를 구하여라.

19

직선 [eqn: y= ax+b (a>0)]가 두 포물선 [eqn: y=x^2 -4x +4]와 [eqn: y=-x^2 +2x - 5 over2]에 동시에 접할 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

20

두 함수 [eqn: y=x^2 - 2x +2]와 [eqn: y=mx-2]의 그래프가 서로 접하도록 하는 모든 상수 [eqn: m]의 값과 그때의 접점의 좌표를 구하여라.

21

이차함수 [eqn: y=x^2 -2ax-2a+3]의 그래프가 [eqn: x]축에 접하도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

22

오른쪽 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y= 1 over 2 x +1]이 서로 다른 두 점에서 만나고, 교점의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: 2,~5]라고 한다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y= 1 over 2 x +k]와의 두 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha +beta]의 값을 구하여라.

23

이차함수 [eqn: y=x^2 -ax +b]의 그래프와 직선 [eqn: y= {{2} x+1]의 두 교점의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: -1,~4]라고 한다. 곡선 [eqn: y=x^2 -ax +b]와 직선 [eqn: y= 2x+3]와의 두 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha +beta]의 값을 구하여라.

24

이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4x+a]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx-1]의 두 교점의 [eqn: x]좌표가 각각 [eqn: 2,~9]라고 한다. 곡선 [eqn: y=x ^{2} -4x+a]와 직선 [eqn: y=mx-1]와의 두 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha beta]의 값을 구하여라.

25

다음 포물선과 직선의 교점의 좌표를 구하여라.
(1) [eqn: y=x^2 -x-5,~y=2x-1]
(2) [eqn: y=x^2 -2x -6,~y=x-2]

26

이차함수 [eqn: y=x^2 -x+2]의 그래프와 다음 직선과의 교점의 개수를 구하여라.
(1) [eqn: y=x+4]
(2) [eqn: y=x+1]
(3) [eqn: y=x-1]

27

이차함수 [eqn: y=x^2 +ax+a]의 그래프가 다음 조건을 만족시키도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.
(1) 직선 [eqn: y=x+1]과 서로 다른 두 점에서 만난다.
(2) 직선 [eqn: y=x+1]과 만나지 않는다.

28

직선 [eqn: y=ax]가 포물선 [eqn: y=x^2 +x+1]과는 서로 다른 두 점에서 만나고, 포물선 [eqn: y=x ^2 -x +1]과는 만나지 않도록 실수 [eqn: a]의 값의 범위를 정하여라.

29

이차함수 [eqn: y=x^2 - 7x +10]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x +a]가 두 점 [eqn: rmP,~Q]에서 만난다고 한다. [eqn: rm barPQ = 5]가 되도록 상수 [eqn: a]의 값을 정하여라.

30

직선 [eqn: y= - 1 over 2 x +2]에 수직이고 포물선 [eqn: y=x ^2 +1]에 접하는 접선의 방정식을 구하여라.

31

오른쪽 그림과 같이 이차함수 [eqn: y=x^2 +ax +b]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+2]가 두 점에서 만나고 한 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1+ sqrt { 2}]일 때, 두 유리수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

32

이차함수 [eqn: y=x^2 -2x -3]의 그래프와 직선 [eqn: y=m(x-k)]가 기울기 [eqn: m]의 값에 관계없이 항상 만나도록 실수 [eqn: k]의 값의 범위를 정할 때, 이를 만족시키는 정수 [eqn: k]의 개수는?

① [eqn: 1]개	② [eqn: 2]개	③ [eqn: 3]개

④ [eqn: 4]개	⑤ [eqn: 5]개

33

이차함수 [eqn: y=2x^2]의 그래프와 직선 [eqn: y=-4x +k]가 서로 만나지 않기 위한 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여라.

34

기울기가 [eqn: 2]이고 이차함수 [eqn: y=x^2]의 그래프에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.

35

이차함수 [eqn: y=x^2 -2x+2]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx]의 그래프가 접할 때, 모든 [eqn: m]의 값의 합을 구하여라.

36

이차함수 [eqn: y=x^2 -2x +6]의 그래프와 직선 [eqn: y=mx+2]의 그래프가 만나지 않을 때, [eqn: m]의 값의 범위를 구하여라.

37

점 [eqn: (2,~6)]을 지나는 직선이 이차함수 [eqn: y=-x^2 +2x +3]의 그래프와 접할 때, 직선의 기울기의 곱을 구하여라.

38

이차함수 [eqn: y=x^2 +kx +3]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x-1]이 서로 만나지 않기 위한 정수 [eqn: k]의 개수를 구하여라.

39

이차함수 [eqn: y=2x^2 -1]의 그래프에 접하고 직선 [eqn: y=4x+1]에 평행한 직선의 방정식을 구하여라.

40

이차함수 [eqn: y= x^2 - 4kx +4k^2 -12k]의 그래프가 [eqn: k]의 값에 관계없이 직선 [eqn: y=2ax-a^2]에 접할 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

41

이차함수 [eqn: y=x^2 +1]이 그래프 위의 점 [eqn: (2,~5)]에서 이 그래프에 접하는 직선과 수직인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.

42

이차함수 [eqn: y=x^2 -x -5]의 그래프와 직선 [eqn: y=-2x+k]가 만나는 두 교점 사이의 거리가 [eqn: 5sqrt { 5}]일 때, [eqn: k]의 값을 구하여라.

43

두 이차함수 [eqn: y=x^2 - 2x +a]와
[eqn: y=-x^2 +bx -2]의 그래프의 교점의 좌표를 지나는 직선의 방정식이 [eqn: y=2x+1]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		2. 이차방정식과 이차함수			반 / 번호
	03 이차함수의 최대, 최소					이름

01

[eqn: -2 le x le 2]에서 이차함수 [eqn: f(x) =x^2 -2x+k]의 최댓값이 [eqn: 12]일 때, 최솟값을 [eqn: m]이라고 하자. 이때 [eqn: k^2 + m^2]의 값은?

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 29]

02

이차함수 [eqn: y=ax^2 -2x +a-1]은 [eqn: x=1]일 때, 최솟값 [eqn: b]를 가진다. 이때 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

03

오른쪽 그림과 같이 밑변의 길이가 [eqn: 10`], 높이가 [eqn: 8]인 이등변삼각형 모양의 땅에 직사각형 모양의 공원을 조성하려고 한다. 이 공원의 넓이의 최댓값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 30]

04

[eqn: 0 le x le 3]일 때, 함수
[eqn: f(x)= (x^2 -2x +2)^2 -2 (x^2 -2x +2) +2]는 [eqn: x=a]에서 최댓값 [eqn: M]을, [eqn: x=b]에서 최솟값 [eqn: m]을 가진다. 이때 [eqn: M+m +a+b]의 값은?

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

05

다음 이차함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하고, 그때의 [eqn: x]의 값을 구하여라.
(1) [eqn: y=-x ^{2 }+ 2x+3]
(2) [eqn: y=x^2 -4x +3]

06

[eqn: -1 le x le 2]에서 [eqn: f(x)=-x^2 +2x]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

07

다음 이차함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하여라.
(1) [eqn: y=2x ^{2} -8x+5]
(2) [eqn: y=-x ^{2} +4x+5]

08

[eqn: -1le x le 4]에서 [eqn: y=x^2 -4x +2]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: Mm]의 값을 구하여라.

09

다음 이차함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하여라.
(1) [eqn: y=2x ^{2} -3x+1]
(2) [eqn: y=4x-2x ^{2`}]

10

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2]일 때, 다음 이차함수의 최댓값 또는 최솟값을 구하여라.
(1) [eqn: y=x^2 +2x]
(2) [eqn: y=x^2 -6x +5]

11

이차함수 [eqn: y=ax ^{2} +bx+5]는 [eqn: x=2]일 때 최솟값 [eqn: 1]을 갖는다. 이때 두 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

12

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2]에서 이차함수 [eqn: y=-2x ^{2}+3x +a]의 최댓값이 [eqn: 2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

13

이차함수 [eqn: y=x^2 - 4ax+2b]는 [eqn: x=4]일 때, 최솟값 [eqn: 10]을 갖는다. 이때 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

14

[eqn: 0le x le3]에서 이차함수
[eqn: y=ax^2 -2ax +b (a>0)]의 최댓값이 [eqn: 3], 최솟값이 [eqn: -5]일 때, 상수 [eqn: a,~b]의 값을 구하여라.

15

[eqn: x+y=3,~x ge 0,~y ge 0]일 때, [eqn: 2x^2 + y^2]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

16

[eqn: 0 le x le 2]일 때,
[eqn: y=(x^2 -2x +3) ^2 -2(x^2 -2x+3)+2]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

17

[eqn: x+y=1,~x ge0,~y ge0]일 때, [eqn: x^ 2 +2y^2]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

18

길이가 [eqn: 12rm`m]인 철망을 이용하여 벽을 한 면으로 하는 직사각형 모양의 가축 우리를 만들려고 한다. 가축 우리의 넓이가 최대가 되도록 만들 때, 그 넓이를 구하여라.

19

길이가 [eqn: 10rm`m]인 철사를 두 조각으로 나누어 두 개의 원을 만들려고 한다. 두 원의 넓이가 최소가 되도록 만들 때, 그 넓이를 구하여라.

20

세율이 정가의 [eqn: 10``%]인 어떤 컴퓨터의 가격을 [eqn: x``%] 올리면 그 판매 대수는 [eqn: 1 over 2 x ``%] 감소한다고 한다. 이때 세금을 제외한 이 컴퓨터의 매출 금액이 최대가 되도록 하는 [eqn: x]의 값을 구하여라.

21

[eqn: -1 le x le 2]일 때, 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) [eqn: f(x)= x^2 -2x +3]
(2) [eqn: f(x)=-x^2 -4x^2 -1]

22

이차함수 [eqn: y=ax^2 - bx +3]이 [eqn: x=1]일 때, 최솟값 [eqn: 2]를 갖도록 상수 [eqn: a,~b]의 값을 정하여라.

23

[eqn: x-1= y-2 over 2 = z+1 over 2]일 때, [eqn: xy+yz+zx]의 최솟값을 구하고, 그때의 [eqn: x,~y,~z]의 값을 구하여라.

24

이차함수 [eqn: f(x)=x^2 +2x +4-a^2 +2a (x le1)]의 최솟값을 [eqn: g(a)]라고 하면 [eqn: g(a)]는 [eqn: a=box{~~~}]일 때 최댓값 [eqn: box{~~~~}]을 갖는다. □ 안에 알맞은 값을 구하여라.

25

이차방정식 [eqn: 4x^2 + 4px+ p+2=0]([eqn: p]는 상수)의 두 실근을 [eqn: alpha ,~beta]라고 할 때, [eqn: alpha ^2 + beta^2]의 최솟값을 구하여라.

26

오른쪽 그림과 같이 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 곡선 [eqn: y=(x-2) ^2]으로 둘러싸인 도형에 내접하는 직사각형 [eqn: rmOABC]가 있다. 이 직사각형의 둘레의 길이의 최솟값을 구하여라

27

[eqn: -2 le x le a]에서 함수 [eqn: y=x ^2 +2x +2]의 최댓값이 [eqn: 10]이고, 최솟값이 [eqn: b]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하여라.

28

[eqn: -2 le x le3]일 때 이차함수 [eqn: y=x^2]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

29

길이가 [eqn: 6]인 선분 [eqn: rmAB] 위에 한 점 [eqn: rmC]를 잡아 선분 [eqn: rmAC]와 선분 [eqn: rmBC]를 각각 한 변으로 하는 정사각형을 만들 때, 두 정사각형의 넓이의 합의 최솟값을 구하여라.

30

[eqn: -2 le x le 2]에서 이차함수 [eqn: y=-2x^2 +4x +a]의 최솟값이 [eqn: -10]일 때, 최댓값을 구하여라.

31

[eqn: -1 le x le 2]에서 이차함수 [eqn: f(x)=2x^2 -4x +1]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하여라.

32

[eqn: 1 le x le 2]일 때, 함수
[eqn: y=(x^2 +2x -4 ) ^2 -4(x^2 +2x -4)+2]의 최댓값과 최솟값을 각각 구하여라.

33

[eqn: x^2 + y^2 =9]를 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: 2x + y^2]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M,~m]이라고 할 때, [eqn: M-m]의 값을 구하여라.

34

[eqn: x^2 +(y-1) ^2 =4]를 만족시키는 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 [eqn: x^2 -y ^2 -2x +2y]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M,~m]이라고 할 때, [eqn: Mm]의 값을 구하여라.

35

[eqn: 0 le x le 2]에서 이차함수 [eqn: f(x)=x^2 -2ax +b]의 최솟값과 최댓값이 각각 [eqn: 3,~11]일 때, 다음 중 [eqn: a^2 +b ^2]의 값이 될 수 있는 것은?

(단, [eqn: a,~b]는 유리수)

① [eqn: 2]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 13]

36

오른쪽 그림과 같이 [eqn: rmangle B=90 DEG,] [eqn: rm~barAB = 4 ,~barBC = 8]인 직각삼각형
[eqn: rmABC]가 있다. 빗변 [eqn: rmAC] 위의 임의의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: rmbarBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라고 할 때, 삼각형 [eqn: rmBQP]의 넓이의 최댓값을 구하여라.

37

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 이차함수 [eqn: f(x)=ax^2 +bx +c]는 [eqn: x=2]일 때, 최댓값 [eqn: 5]를 가지고 [eqn: f(1)=3]일 때, [eqn: f(-1)]의 값을 구하여라.

수Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		2. 이차방정식과 이차함수			정답
	01 이차함수와 이차방정식의 관계

01

②

답

해

설

[eqn: y= f(x-3)]의 대칭축의 방정식은

[eqn: x-3=1], 즉 [eqn: x=4]

방정식 [eqn: f(x-3)=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 할 때

[eqn: alpha+beta over 2 =4,~alpha + beta =8]

02

①

답

해

설

[eqn: f(x)= x^2 -2kx +2 -k]로 놓으면 이차방정식 [eqn: f(x)=0]의 두 근이 모두 [eqn: 1]보다 작으므로

[eqn: (i)~ D over 4 = (-k)^2 -1 cdot (2-k) ge 0]에서
[eqn: k^2 + k -2 ge 0,~(k+2)(k-1) ge 0]
[eqn: k le -2] 또는 [eqn: k ge 1]

[eqn: (ii)~ f(1)=1-2k+2-k >0]에서  [eqn: -3k+3>0]
[eqn: k<1]

[eqn: (iii)] 이차함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프의 대칭축이 [eqn: x=k]이므로  [eqn: k<1]

[eqn: (i),~(ii),~(iii)]에서 구하는 실수 [eqn: k]값의 범위는

[eqn: k le -2]

03

⑤

답

해

설

ㄱ. 이차함수의 그래프가 위로 볼록하므로  [eqn: a<0]

ㄴ. [eqn: c]는 [eqn: y]절편이므로  [eqn: c>0]

ㄷ. 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만나므로
[eqn: ax^2 +bx +c=0]의 판별식 [eqn: D]는 [eqn: D=b^2 -4ac > 0]

ㄹ. [eqn: ax^2 +bx +c =0]의 해가 [eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=1]이므로 [eqn: ax^2 +bx +c =a (x-1)(x+2)]	㉠
㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면  [eqn: a+b+c=0]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

04

⑤

답

해

설

이차방정식 [eqn: x^2 -2 (k+a) x +k^2 -6k +b =0]의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: {D} over {4} =(k+a) ^{2} -(k ^{2} -6k+b)=0]

[eqn: 2(a+3)k +a^2 -b=0]	㉠

㉠이 [eqn: k]에 대한 항등식이므로

[eqn: 2(a+3)=0,```a^2 -b =0]

[eqn: a=-3 ,~b=9]이므로  [eqn: a+b =-3+9=6]

05

①

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2 -ax +a^2 -7]이라고 하면 이 이차함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같아야 하므로

[eqn: (i)~f(-2)=a^2 +2a -3 >0]
[eqn: a< -3] 또는 [eqn: a>1]

[eqn: (ii)~f(1)=a ^{2} -a-6<0,~-2`<a<3]

[eqn: (iii)~f(4) =a^2 -4a +9 =(a-2)^2 +5 >0]

[eqn: (i),~(ii),~(iii)]에서  [eqn: 1<a<3]

06

[eqn: 4]

답

해

설

주어진 그래프에서

[eqn: f(x)=0]의 해는  [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=3]	㉠

한편 [eqn: f(□`f(x)`□)=0]에서 [eqn: □`f(x)`□=X]라고 하면

[eqn: f(X)=0] (단, [eqn: X ge 0])에서

[eqn: X=3]	(가)

따라서 [eqn: □`f(x)`□=3]이므로

[eqn: f(□`f(x)`□)=0]의 해는 [eqn: f(x )=+- 3]의 해와 같다.	(나)

[eqn: f(x)]의 최솟값이 [eqn: -4]이므로 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=+-3]은 각각 [eqn: 2]개의 점에서 만나고, 따라서 모두 [eqn: 4]개의 점에서 만난다.

그러므로 실근의 개수는 [eqn: 4]이다.	(다)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) [eqn: □`f(x)`□=X]로 놓고 [eqn: X]의 값을 구한다.	40 %
(나) 주어진 방정식에서 [eqn: f(x)=+-3]임을 구한다.	20 %
(다) 실근의 개수를 구한다.	40 %

07

(1) [eqn: x=-3,~2]	(2) [eqn: x=-2,~5]

답

08

(1) [eqn: 2]개    (2) [eqn: 1]개    (3) [eqn: 0]개

답

09

(1) [eqn: 2,~4]   (2) [eqn: -1,~3]   (3) [eqn: 2]

답

10

(1) [eqn: 0]개	(2) [eqn: 1]개

답

11

(1) [eqn: x=-4,~2]	(2) [eqn: x=-`1 over 2 ,~2]

답

12

(1) [eqn: k<4]
(2) [eqn: k=4]
(3) [eqn: k>4]

답

13

[eqn: -3]

답

14

(1) [eqn: k<`-1] 또는 [eqn: k>2]
(2) [eqn: -1<k<2]

답

15

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: y=-ax ^{2}+ bx-c]의 그래프가 [eqn: x]축[eqn: (y=0)]과 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 구한다.

[eqn: -ax^2 +bx -c =0], 즉 [eqn: ax^2 - bx+c=0]

[eqn: therefore alpha =-1,~beta=2] 또는 [eqn: alpha =2,~beta=-1]

[eqn: therefore alpha + beta=1]

16

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: y=f(x-3)]의 그래프는 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 3]만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

이때 방정식 [eqn: f(x-3)=0]의 실근은 [eqn: y=f(x-3)]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표이므로

[eqn: x=1,~x=4]

[eqn: therefore(두~실근의~곱)=1 times 4 = 4]

17

[eqn: 0<k<2]

답

해

설

방정식 [eqn: |`x^2 -2` |=k]의 실근은 두 함수 [eqn: y=|`x^2 -2` |]와 [eqn: y=k]의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

따라서 오른쪽 그림에서 교점이 [eqn: 4]개일 때의 [eqn: k]값의 범위를 구하면

[eqn: 0<k<2]

18

[eqn: x=0,~1]

답

해

설

(i) [eqn: y=f(x)]의 그래프는 두 점 [eqn: (1,~0),~(2,~0)]을 지난다.
(ii) [eqn: y=f(-x)]의 그래프는 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 것이다.

(iii) [eqn: y=f(2-x)]의 그래프는 [eqn: y=f(-x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이다.

따라서 [eqn: y=f(2-x)]는 두 점 [eqn: (0,~0),~(1,~0)]을 지난다. 즉, 방정식 [eqn: f(2-x)=0]의 두 실근은

[eqn: x=0,~1]

19

[eqn: 1 over 2 < m <1]

답

해

설

[eqn: y=m(x+1)-1]은 점 [eqn: (-1,~-1)]을 지나고 기울기가 [eqn: m]인 직선이다.

위의 그림에서 [eqn: y=|`x-1`|]과 [eqn: y=m(x+1)-1]의 교점이 두 개일 때의 [eqn: m]의 값의 범위를 구하면

[eqn: 1 over 2 < m <1]

20

[eqn: 2 le a < 5 over 2]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2 -2ax +4]로 놓으면

(i) [eqn: D over 4 = a^2 -4 ge 0]에서  [eqn: a le -2] 또는 [eqn: a ge 2]	㉠

(ii) [eqn: f(1)=1-2a+4 >0]에서  [eqn: a < 5 over 2]	㉡

(iii) 대칭축: [eqn: a>1]	㉢

㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면

[eqn: 2 le a < 5 over 2]

21

[eqn: a le -2]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2 -2ax +4]로 놓으면

(i) [eqn: D over 4 = a^2 -4 ge 0]에서  [eqn: a le -2] 또는 [eqn: a ge 2]	㉠

(ii) [eqn: f(1)=1-2a+4>0]에서  [eqn: a < 5 over 2]	㉡

(iii) 대칭축: [eqn: a<1]	㉢

㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면

[eqn: a le -2]

22

[eqn: - 5 over 2 < a le -2,~2 le a < 5 over 2]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2 -2ax +4]로 놓으면

(i) [eqn: D over 4 = a^2 -4 ge 0]에서  [eqn: a le -2] 또는 [eqn: a ge 2]	㉠

(ii) [eqn: f(4)=16-8a+4>0,]

[eqn: f(-4)=16+8a+4>0]에서  [eqn: - 5 over 2 <a < 5 over 2]	㉡

(iii) 대칭축: [eqn: -4 <a<4]	㉢

㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면

[eqn: - 5 over 2 < a le -2,~2 le a < 5 over 2]

23

[eqn: a>2]

답

해

설

[eqn: f(x)= x^2 -2ax +4]로 놓으면

[eqn: f(2)=4-4a+4<0~~therefore a>2]

24

(1) [eqn: 3 le a < 4]
(2) [eqn: a le 0]
(3) [eqn: - 1 over 5 < a le 0]
(4) [eqn: a>4]

답

해

설

[eqn: f(x)= x^2 -2ax +3a]로 놓으면

(1) (i) [eqn: D over 4 = a^2 - 3a ge 0]에서  [eqn: a(a-3) ge0]

[eqn: therefore a le 0] 또는 [eqn: a ge 3]	㉠

(ii) [eqn: f(2) = 4-a >0]에서  [eqn: a< 4]	㉡

(iii) 대칭축: [eqn: a>2]	㉢

㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면

[eqn: 3 le a < 4]

(2) (i) [eqn: D over 4 = a^2 - 3a ge 0]에서

[eqn: therefore a le 0] 또는 [eqn: a ge 3]	㉠

(ii) [eqn: f(2) = 4-a >0]에서  [eqn: a< 4]	㉡

(iii) 대칭축: [eqn: a<2]	㉢

㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면  [eqn: a le 0]

(3) (i) [eqn: D over 4 = a^2 - 3a ge 0]에서

[eqn: therefore a le 0] 또는 [eqn: a ge 3]	㉠

(ii) [eqn: f(-1)=1+5a>0]에서  [eqn: a> - 1 over5]	㉡
[eqn: f(1)=1+a >0]에서  [eqn: a>-1]	㉢

(iii) 대칭축: [eqn: -1<a<1]	㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면

[eqn: - 1 over 5 < a le 0]

(4) [eqn: f(2)= 4-a< 0]에서  [eqn: a>4]

25

(1) [eqn: x=-3,~4`]	(2) [eqn: x=-5,~3]

답

26

(1) [eqn: 0]개	(2) [eqn: 0]개
(3) [eqn: 1]개	(4) [eqn: 2]개

답

27

[eqn: a=4], 접점의 좌표: [eqn: (-3,~0)]

답

해

설

[eqn: x^2 +2(a-1) x+a+5=0]	㉠

이차방정식 ㉠에서  [eqn: D over 4 = (a-1) ^2 -(a+5) =0]

[eqn: (a+1)(a-4)=0~~therefore a=4(because a>0)]

[eqn: a=4]를 ㉠에 대입하면  [eqn: x^2 +6x +9=0]

[eqn: therefore x=-3~~therefore접점의~좌표:~(-3,~0)]

28

[eqn: -4]

답

해

설

[eqn: y=x ^2 -3x +a]의 그래프가 [eqn: x]측과 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 이차방정식 [eqn: x^2 -3x +a=0]의 두 근이다.

따라서 두 근을 [eqn: alpha ,~alpha +5]로 놓으면 근과 계수의 관계에 의하여  [eqn: alpha+(alpha +5)=3,~alpha (alpha +5)=a]

[eqn: thereforealpha=-1,~a=-4]

29

[eqn: -4]

답

해

설

[eqn: y=f(-x)]의 그래프는 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다. 또한 대칭축의 방정식은 [eqn: x=-2]이다.

이때 [eqn: f(-x)-2=0]의 두 근은 [eqn: y=f(-x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=2]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같고, 두 근을 [eqn: alpha ,~beta]로 놓으면  [eqn: alpha+beta over 2 =-2~~therefore alpha +beta=-4]

30

[eqn: k>3]

답

해

설

[eqn: |`x-2`|+3-k=0]의 실근은 두 함수 [eqn: y=|`x-2`|+3]과 [eqn: y=k]의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

따라서 오른쪽 그림에서 교점이 두 개일 때의 [eqn: k]의 값의 범위를 구하면  [eqn: k>3]

31

[eqn: - 2 over 3 < a < - 1 over 3]

답

해

설

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax+4a]로 놓으면

(i) [eqn: f(-2)=4-2a+4a>0]에서

[eqn: a>-2]	㉠

(ii) [eqn: f(-1)=1-a+4a<0]에서  [eqn: a < - 1 over 3]	㉡

(iii) [eqn: f(1)=1+a+4a<0]에서

[eqn: a < - 1 over 5]	㉢

(iv) [eqn: f(2)=4+2a+4a>0]에서

[eqn: a > - 2 over 3]	㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면

[eqn: - 2 over 3 < a < - 1 over 3]

32

(1) [eqn: m < -1]	(2) [eqn: m < - 1 over 3]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^2 - mx +2m]으로 놓으면

(1) [eqn: f(0)=2m<0]에서

[eqn: m<0]

[eqn: f(1) =1-m+2m<0]에서

[eqn: m< -1]

따라서 공통 범위를 구하면

[eqn: m < -1]

(2) [eqn: f(-1)=1+m+2m<0]에서

[eqn: m < - 1 over 3]

33

③

답

해

설

[eqn: f(x)=x ^{2} +kx+2k-4]로 놓으면 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 다음 그림과 같을 때, [eqn: 1]과 [eqn: 2] 사이에 오직 하나의 실근을 갖는다.

[eqn: thereforef(1)f(2) =(3k-3)4k <0]

[eqn: therefore0<k<1]

34

[eqn: k<0]

답

35

[eqn: 4]

답

36

[eqn: 6]개

답

해

설

[eqn: kx^2 +8x +k=0]에서

[eqn: D over 4 =4^2 -k^2 >0]에서  [eqn: k^2 -4^2 <0,~-4<k<4]

따라서 정수 [eqn: k]는 [eqn: -3,~-2,~-1,~1,~2,~3]의 모두 [eqn: 6]개다.

37

[eqn: 7]개

답

해

설

[eqn: x^2 -x +2+k(x+1)=0]에서

[eqn: D= (k-1) ^2 -4(k+2) <0,~(k+1)(k-7) <0]

[eqn: therefore -1 <k< 7]

따라서 정수 [eqn: k]는 [eqn: 0,~1,~2,~cdots ,~6]의  [eqn: 7]개다.

38

[eqn: 2]

답

해

설

점 [eqn: (2,~1)]을 지나므로  [eqn: b=-2a+3]	㉠

[eqn: x]축과 접하므로  [eqn: D=(a-3) ^2 -4b=0]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=1,~b=1 (because a>0)]

[eqn: thereforea+b=2]

39

①

답

해

설

① [eqn: a^2 -4b=1-4<0]이므로 [eqn: x]축과 만나지 않는다.

40

해설 참조

답

해

설

[eqn: {D} over {4} & =(a+b+c) ^{2} -3(ab+bc+ca)# & =a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} -ab-bc-ca# & = 1 over 2 left{(a-b) ^2 +(b-c) ^2 +(c-a) ^2 right} ge0]

따라서 적어도 한 점에서 [eqn: x]축과 만난다.

41

[eqn: 4pi]

답

해

설

[eqn: D over 4 = a^2 +b^2 - 4 b<0]

[eqn: a^2 +(b-2) ^2 <2^2], 즉 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원의 내부이므로 그 넓이는 [eqn: 4pi]이다.

42

[eqn: 3]개

답

해

설

[eqn: D over 4 =b^2 +a^2 -4a =0]

즉, [eqn: (a-2) ^2 +b^2 =4]에서 정수인 순서쌍은 [eqn: (2,~2),~(2,~-2),~(4,~0)]이므로 모두 [eqn: 3]개다.

43

[eqn: x=1,~x=3]

답

44

[eqn: k<3]

답

45

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: f(x-4)-3=0]에서 [eqn: x-4 = t]로 치환하면 방정식은 [eqn: f(t)=3]

[eqn: f(t)=3]의 방정식의 두 근을 각각 [eqn: alpha,~beta]라고 하면 [eqn: y=f(x)]의 대칭축의 방정식이 [eqn: x=2]이므로

[eqn: {(alpha -4)+(beta-4) } over2 =2~~~therefore alpha +beta=12]

46

[eqn: 22]

답

해

설

[eqn: f(x-8)=0]의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면

[eqn: (alpha -8)+(beta -8)=6~~thereforealpha +beta =22]

47

[eqn: 12]

답

해

설

[eqn: f(x)= x^2 - 8x +k =(x-4) ^2 -16+k]에서 축의 방정식은 [eqn: x=4]

[eqn: f(2x-8)=6]에서 [eqn: 2x-8=t]로 치환하면 방정식 [eqn: f(t)=6]

이 방정식의 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면

[eqn: (2alpha -8)+(2beta -8) =8~~~therefore alpha +beta =12]

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		2. 이차방정식과 이차함수			정답
	02 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

01

④

답

해

설

이차방정식 [eqn: x^2 -6x +1 =x-k], 즉
[eqn: x^2 -7x +1 +k =0]의 서로 다른 두 근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha +beta=7,~alphabeta = 1+k]	㉠

이때 주어진 직선과 이차함수의 그래프의 교점의 좌표는 [eqn: (alpha,~alpha -k),~(beta,~beta-k)]이므로

[eqn: sqrt { (alpha -beta)^2 +(alpha -k -beta +k)^2}=7 sqrt { 2}]

양변을 제곱하여 정리하면  [eqn: (alpha -beta )^2 =49]

[eqn: (alpha -beta )^ 2 = (alpha +beta)^2 -4 alpha beta =49]

이 식에 ㉠을 대입하면  [eqn: 49 -4(1+k) =49]

[eqn: k=-1]

02

①

답

해

설

이차방정식 [eqn: ax=x^2 +x+1], 즉
[eqn: x^2 +(1-a)x+1=0]의 판별식을 [eqn: D_1]이라고 하면

[eqn: D_1 =(1-a)^2 -4 >0 ,~(a+1)(a-3)>0]

[eqn: a < -1] 또는 [eqn: a>3]	㉠

또 이차방정식 [eqn: ax=x^2 -x+1], 즉
[eqn: x^2 -(a+1)x +1=0]의 판별식을 [eqn: D_2]라고 하면

[eqn: D_2 = (a+1) ^2 -4 < 0,~(a+3)(a-1)<0]

[eqn: -3<a< 1]	㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면  [eqn: -3<a< -1]

[eqn: m<a<n]에서  [eqn: m=-3,~n=-1]

[eqn: m+n =-3 +(-1)=-4]

03

[eqn: m>1]

답

해

설

직선 [eqn: y= x+1]과 곡선 [eqn: y= x^2 -mx +2]의 두 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha,~beta ~(alpha< beta)]라고 하면 [eqn: alpha ,~beta]는 이차방정식 [eqn: x+1 = x^2 -mx +2], 즉

[eqn: x^2 -(m+1)x +1=0]의 서로 다른 두 근이다.	(가)

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라고 하면 [eqn: D>0]이어야 하므로  [eqn: D= (m+1)^2 -4 >0]

[eqn: m^2 +2m-3 >0,~(m+3)(m-1)>0]

[eqn: m< -3] 또는 [eqn: m>1]	㉠

(나)

이때 [eqn: alpha <1<beta]이어야 하므로

[eqn: f(x)=x^2 -(m+1)x +1]

이라고 하면 [eqn: m>1]이므로 오른쪽 그림에서

[eqn: f(1)=1-(m+1)+1<0]	㉡

(다)

㉠, ㉡에서 구하는 실수 [eqn: m]값의 범위는  [eqn: m>1]	(라)

채/점/기/준/표
채점 기준	배점
(가) 주어진 곡선과 직선의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha,~beta]로 놓는다.	20 %
(나) 직선과 곡선의 식을 연립한 방정식의 판별식 [eqn: D>0]임을 안다.	20 %
(다) 연립한 방정식의 두 근 [eqn: alpha ,~beta]에 대하여 [eqn: alpha<1<beta]이 성립함을 안다.	40 %
(라) 실수 [eqn: m]값의 범위를 구한다.	20 %

04

[eqn: (1,~-1),~(3,~1)]

답

해

설

[eqn: x^2 -3x +1=x-2]에서

[eqn: x^2 -4x +3=0,~(x-1)(x-3)=0]

[eqn: therefore x=1] 또는 [eqn: x=3]

[eqn: thereforecases{`x=1 #`y=-1] 또는 [eqn: cases{`x=3#`y=1]

따라서 교점의 좌표는 [eqn: (1,~-1),~(3,~1)]이다.

05

[eqn: 2]개

답

해

설

[eqn: x^2 + 6x = 3x+2]에서  [eqn: x^2 +3x-2=0]

[eqn: therefore D= 3^2 -4 cdot 1 cdot(-2)=9+8=17>0]

따라서 서로 다른 두 점에서 만나므로 교점의 개수는 [eqn: 2]개다.

06

[eqn: (-3,~-4)},~(2,~6)]

답

해

설

[eqn: x^2 + 3x- 4=2x+2]에서  [eqn: x^2 +x -6=0]

[eqn: (x+3)(x-2)=0~~thereforex=-3] 또는 [eqn: x=2]

[eqn: therefore cases{`x=-3#`y=-4] 또는 [eqn: cases{`x=2#`y=6]

따라서 교점의 좌표는 [eqn: (-3,~-4)},~(2,~6)]이다.

07

(1) [eqn: 2]개     (2) [eqn: 1]개    (3) [eqn: 0]개

답

해

설

(1) [eqn: x^2 - 4x +2=2x-1]에서  [eqn: x^2 - 6x +3=0]

[eqn: therefore D over 4 =(-3) ^2 -1 cdot 3 = 6 >0]

따라서 서로 다른 두 점에서 만나므로 교점의 개수는 [eqn: 2]개다.

(2) [eqn: x^2 -4x +2 =2x-7]에서  [eqn: x^2 -6x +9=0]

[eqn: therefore D over 4 =(-3) ^2 -1 cdot 9 =0]

따라서 접하므로 교점의 개수는 [eqn: 1]개다.

(3) [eqn: x^2 - 4x +2=2x -9]에서  [eqn: x^2 - 6x +11=0]

[eqn: therefore D over 4 =(-3) ^2 -1 cdot 11 =-2 <0]

따라서 만나지 않으므로 교점의 개수는 [eqn: 0]개다.

08

[eqn: 5sqrt { 2}]

답

해

설

[eqn: x^2 - 4x -3=-x+1]에서  [eqn: x^2 -3x -4=0]

[eqn: (x+1)(x-4)=0~~thereforex=-1] 또는 [eqn: x=4]

[eqn: therefore cases{` x=-1 #`y=2] 또는 [eqn: cases {`x=4#`y=-3]

따라서 두 교점 [eqn: rmP,~Q]의 좌표는 [eqn: (-1,~2),~(4,~-3)]이므로  [eqn: rmbarPQ = sqrt { (4+1) ^2 +(-3-2) ^2 } =5 sqrt { 2}]

09

(1) [eqn: 2]개	(2) [eqn: 0]개

답

해

설

(1) [eqn: x^2 +2x +2 =x+3]에서

[eqn: x^2 +x -1 =0]

[eqn: therefore D =1^2 - 4 cdot 1 cdot(-1)=5 >0]

따라서 서로 다른 두 점에서 만나므로 교점의 개수는 [eqn: 2]개다.

(2) [eqn: x^2 +2x+2=-x-2]에서

[eqn: x^2 +3x+4=0]

[eqn: therefore D=3^2 -4 cdot1 cdot 4 = -7<0]

따라서 만나지 않으므로 교점의 개수는 [eqn: 0]개다.

10

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: x^2 - 4x +5= x+k]에서  [eqn: x^2 - 5x +5-k=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 한 근이 [eqn: 1]이므로

[eqn: 1-5+5-k=0~~thereforek=1]

[eqn: k=1]을 ㉠에 대입하면  [eqn: x^2 -5x +4=0]

[eqn: (x-1)(x-4)=0~~therefore x=1] 또는 [eqn: x=4]

따라서 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 4]이다.

11

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: f(x)= a(x-2)(x-5)~(a>0)], 직선 [eqn: rmPQ]의 방정식을 [eqn: y=mx]로 놓으면 [eqn: a(x-2)(x-5)=mx]에서

[eqn: ax^2 - (7a+m)x +10a=0]	㉠

[eqn: alpha,~beta]는 이차방정식 ㉠의 두 근이므로

[eqn: alpha beta = 10a over a =10]

12

[eqn: (-7,~-18)]

답

해

설

[eqn: x^2 -ax +3=2x-4]에서

[eqn: x^2 -(a+2) x+7=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 한 근이 [eqn: -1]이므로

[eqn: 1+a+2+7=0~~thereforea=-10]

[eqn: a=-10]을 ㉠에 대입하면

[eqn: x^2 + 8x +7=0,~(x+1)(x+7)=0]

[eqn: thereforex=-1] 또는 [eqn: x=-7]

따라서 다른 교점의 좌표는 [eqn: (-7,~-18)]이다.

13

[eqn: m=1,~n=6]

답

해

설

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} -3x = mx+n]의 두 근이 [eqn: -1,~3]이므로 [eqn: 2x^2 -(m+3)x -n=0]에서

(i) [eqn: (두~근의~합)= {m+3} over {2} =-1+3~~therefore m=1]

(ii) [eqn: (두~근의~곱)= -n over2 =(-`1) times3 ~~thereforen=6]

14

[eqn: a<1]

답

해

설

[eqn: x ^{2} -2x+a= 2x-3]에서  [eqn: x^2 - 4x +a+3=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D over 4 = 4- a-3 >0]이어야 하므로

[eqn: a<1]

15

[eqn: 1 <k< 5]

답

해

설

[eqn: x ^{2} +kx+3= 3x+2]에서  [eqn: x^2 +(k-3) x+1=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D=(k-3) ^2 -4 <0]이어야 하므로

[eqn: k^2 -6k +5 <0,~(k-1)(k-5)<0]

[eqn: therefore1 <k< 5]

16

[eqn: k < -2] 또는 [eqn: k>2]

답

해

설

[eqn: x^2 +1=kx]에서  [eqn: x^2 -kx +1=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D=k^2 -4 >0]이어야 하므로  [eqn: k < -2] 또는 [eqn: k>2]

17

[eqn: k>4]

답

해

설

[eqn: x^2 -3x =x-k]에서  [eqn: x^2 -4x +k=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D over 4 = 4 -k <0]이어야 하므로

[eqn: k>4]

18

[eqn: y=2x-2,~(1,~0)]

답

해

설

[eqn: y=2x+1]이 평행한 직선의 기울기는 [eqn: 2]이므로 구하는 접선의 방정식을 [eqn: y=2x+b]로 놓으면

[eqn: x^2 -1 =2x +b]에서  [eqn: x^2 -2x -1-b=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D over 4 =1+1+b=0~~therefore b=-2]

따라서 접선의 방정식은 [eqn: y=2x-2]이다.

한편 [eqn: b=-2]를 ㉠에 대입하면

[eqn: x^2 -2x +1=0]에서  [eqn: (x-1) ^2 =0~~thereforex=1]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: (1,~0)]이다.

19

[eqn: a=1,~b=- 9 over 4]

답

해

설

(i) [eqn: x^2 - 4x +4=ax+b]에서

[eqn: x^2 -(4+a)x +4-b=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D_1]이라고 하면

[eqn: D_1 =(4+a) ^2 -4(4-b)=0]이어야 하므로

[eqn: a^2 +8a+4b=0]	㉡

(ii) [eqn: -x^2 +2x - 5 over 2 = ax +b]에서

[eqn: x^2 +(a-2) x+b+ 5 over 2 =0]	㉢

이차방정식 ㉢의 판별식을 [eqn: D_2]라고 하면

[eqn: D_2 =(a-2) ^2 -4 left( b + 5 over 2 right) =0]

이어야 하므로  [eqn: a^2 -4a -4b -6=0]	㉣

㉡, ㉣을 연립하여 풀면  [eqn: a=1,~b=- 9 over 4 ~(because a>0)]

20

[eqn: m=-6]일 때 접점의 좌표: [eqn: (-2,~10)]
[eqn: m=2]일 때 접점의 좌표: [eqn: (2,~2)]

답

해

설

[eqn: x^2 -2 x +2=mx-2]에서

[eqn: x^2 -(m+2) x+4=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D]라고 하면

[eqn: D=(m+2) ^2 - 16=0]이어야 하므로

[eqn: (m+6)(m-2)=0~~thereforem=-6] 또는 [eqn: m=2]

(i) [eqn: m=-6]일 때  [eqn: x^2 + 4x +4=0,~(x+2) ^2 =0]

[eqn: therefore x=-2]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: (-2,~10)]이다.

(ii) [eqn: m=2]일 때,  [eqn: x^2 - 4x +4=0,~(x-2) ^2 =0]

[eqn: thereforex=2]

따라서 접점의 좌표는 [eqn: (2,~2)]이다.

21

[eqn: -3,~1]

답

해

설

주어진 이차함수의 그래프가 [eqn: x]축, 즉 [eqn: y=0]에 접하려면 이차방정식 [eqn: x^2 -2ax -2a+3=0]의 판별식을 [eqn: D]라고 할 때, [eqn: D over 4 = a^2 +2a -3=0]이어야 하므로

[eqn: (a+3)(a-1)=0~~thereforea=-3] 또는 [eqn: a=1]

22

[eqn: -3,~1]

답

해

설

[eqn: f(x) =ax^2 +bx +c~(a>0)]로 놓으면

[eqn: ax^2 +bx +c = 1 over 2 x +1]의 두 근이 [eqn: 2,~5]이므로

[eqn: 2ax^2 +(2b-1)x +2c-2=0]에서

[eqn: 2+ 5 = - 2b-1 over 2a]	㉠

[eqn: ax^2 +bx +c= 1 over 2 x +k]의 두 근이 [eqn: alpha,~beta]이므로

[eqn: 2ax ^{2} +(2b-1)x+2c-2k=0]에서

[eqn: alpha +beta = - 2b-1 over 2a = 2+5=7]

23

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: x ^{2} -ax+b=2x+1]의 두 근이 [eqn: -1,~4]이므로

[eqn: x^2 -(a+2)x +b-1=0]에서  [eqn: -1 +4= a+2]

[eqn: thereforea=1]

[eqn: x ^{2} -ax+b=2x+3]의 두 근이 [eqn: alpha ,~beta]이므로

[eqn: x^2 -(a+2) x+b-3=0]에서

[eqn: alpha +beta =a+2=3]

24

[eqn: 18]

답

해

설

[eqn: x ^{2} -4x+a=mx-1]의 두 근이 [eqn: 2,~9]이므로

[eqn: x^2 -(m+4) x+a+1=0]에서

[eqn: 2 times 9= a+1~~therefore a=17]

[eqn: x ^{2} -4x+a=nx-1]의 두 근이 [eqn: alpha ,~beta]이므로

이 식에 [eqn: a=17]을 대입하면

[eqn: x ^{2}-(n+4)x+18=0]

[eqn: therefore alpha beta =18]

25

(1) [eqn: (-1,~-3)},~(4,~7)]
(2) [eqn: (-1,~-3)},~(4,~2)]

답

해

설

(1) [eqn: x^2 -x -5=2x-1]에서  [eqn: x^2 -3x-4=0]

[eqn: (x+1)(x-4)=0~~thereforex=-1] 또는 [eqn: x=4]

[eqn: therefore cases{`x=-1#`y=-3] 또는 [eqn: cases {`x=4#`y=7]

따라서 교점의 좌표는 [eqn: (-1,~-3)},~(4,~7)]이다.
(2) [eqn: x^2 -2x -6=x-2]에서  [eqn: x^2 -3x -4=0]

[eqn: (x+1)(x-4)=0~~thereforex=-1] 또는 [eqn: x=4]

[eqn: therefore cases{`x=-1#`y=-3] 또는 [eqn: cases {`x=4#`y=2]

따라서 교점의 좌표는 [eqn: (-1,~-3)},~(4,~2)]이다.

26

(1) [eqn: 2]개
(2) [eqn: 1]개
(3) [eqn: 0]개

답

해

설

(1) [eqn: x^2 -x +2 =x+4]에서  [eqn: x^2 -2x-2=0]

[eqn: therefore D over 4 =1- 1 cdot(-2)=3 >0]

따라서 서로 다른 두 점에서 만나므로 교점의 개수는 [eqn: 2]개다.

(2) [eqn: x^2 -x +2=x+1]에서  [eqn: x^ 2 -2x +1=0]

[eqn: THEREFORE {D} over {4} =1-1=0]

따라서 한 점에서 만나므로 교점의 개수는 [eqn: 1]개다.

(3) [eqn: x^2 -x+2 =x-1]에서  [eqn: x^2 -2x +3=0]

[eqn: THEREFORE {D} over {4} =1-3=-2`<0]

따라서 만나지 않으므로 교점의 개수는 [eqn: 0]개다.

27

(1) [eqn: a<1] 또는 [eqn: a>5]
(2) [eqn: 1<a<5]

답

해

설

[eqn: x^2 +ax +a=x+1]에서

[eqn: x^2 +(a-1) x+a-1=0]

[eqn: thereforeD=(a-1) ^2 -4(a-1)=(a-1)(a-5)]

(1) [eqn: D=(a-1)(a-5)>0]이어야 하므로

[eqn: a<1] 또는 [eqn: a>5]

(2) [eqn: D=(a-1)(a-5) <0]이어야 하므로

[eqn: 1<a<5]

28

[eqn: -3 <a< -1]

답

해

설

(i) [eqn: ax=x^2 +x+1]에서

[eqn: x^2 +(1-a)x+1=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D_1]이라고 하면

[eqn: D _{1} =(1-a) ^{2} -4>0]이어야 하므로

[eqn: a ^{2} -2a-3>0,~(a+1)(a-3)>0]

[eqn: THEREFORE `a< -1`] 또는 [eqn: a>3]	㉡

(ii) [eqn: ax=x ^{`2}-x+1]에서

[eqn: x ^{2} -(1+a)x+1=0]	㉢

이차방정식 ㉢의 판별식을 [eqn: D_2]라고 하면

[eqn: D _{2} =(1+a) ^{2} -4<0]이어야 하므로

[eqn: a ^{2} +2a-3<0,~(a+3)(a-1)<0]

[eqn: THEREFORE `-3 <a<1]	㉣

㉡, ㉣의 공통 범위를 구하면

[eqn: -3 <a< -1]

29

[eqn: -9]

답

해

설

[eqn: x^2 - 7x +10=2x+a]에서 [eqn: x^2 - 9x +10-a=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha,~beta]라고 하면

[eqn: alpha +beta =9,~alpha beta=10-a]	㉠

한편 두 교점의 좌표는

[eqn: rmP(alpha,~2alpha+ita),~rmQ(beta,~2beta+a)]

이고, [eqn: rm barPQ =5]이므로

[eqn: rm{ bar{PQ }}^{2} & =( alpha - beta ) ^{2} +(2 alpha + it a-2 beta -a) ^{2}# & =5( alpha - beta ) ^{2}# & =5 LEFT { ( alpha + beta ) ^{2} -4 alpha beta RIGHT }# & =5(4a+41) #&= 5^2]

[eqn: 4a+41=5~~thereforea=-9]

30

[eqn: y= 2x]

답

해

설

[eqn: y=- 1 over 2 x+2]에 수직인 직선의 방정식을 [eqn: y=2x+k]로 놓으면 [eqn: y=2x+k]와 [eqn: y=x^2 +1]의 그래프가 접하므로 [eqn: 2x+k=x^2 +1]에서

[eqn: x^2 -2x +1-k=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D]이라고 하면

[eqn: D over 4 =1-(1-k)=0~~thereforek=0]

[eqn: thereforey=2x]

31

[eqn: a=-1,~b=1]

답

해

설

[eqn: x^2 +ax+b=x+2]에서

[eqn: x^2 +(a-1) x+b-2=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 한 근이 [eqn: 1+ sqrt { 2}]이므로 [eqn: 1- sqrt { 2}]도 근이 된다. ([eqn: BECAUSE a,~b]가 유리수)

따라서 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: (1+ sqrt { 2})+(1- sqrt { 2})=-a+1]

[eqn: (1+ sqrt { 2 })(1- sqrt { 2})=b-2]

[eqn: thereforea=-1,~b=1]

32

⑤

답

해

설

[eqn: x^2 -2x -3=m(x-k)]에서

[eqn: x^2 -(m+2)x +mk-3=0]	㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D_1]이라고 하면

[eqn: D_1 =(m+2) ^2 -4(mk-3) ge0]이어야 하므로

[eqn: m^2 +4(1-k) m+16 ge]	㉡

이때 이차부등식 ㉡이 [eqn: m]의 값에 관계없이 항상 성립하려면 이차방정식 [eqn: m^2 +4(1-k)m+16=0]의 판별식을 [eqn: D_2]라고 할 때,

[eqn: D _{2} over4 =left{2(1-k) right} ^2 - 16 le 0]이어야 하므로

[eqn: (k+1)(k-3) le 0~~therefore-1 le k le 3]

따라서 이를 만족시키는 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: -1,~0,~1},~2,~3]이 [eqn: 5]개다.

33

[eqn: k< -2]

답

34

[eqn: y=2x-1]

답

35

[eqn: -4]

답

해

설

[eqn: x^2 -2x+2=mx], 즉 [eqn: x^2 -(m+2)x +2=0]이 중근을 가져야 하므로

[eqn: D=(m+2) ^2 -8~~~therefore m^2 +4m-4=0]

따라서 모든 [eqn: m]의 값의 합은 [eqn: -4]이다.

36

[eqn: -6 <m < 2]

답

해

설

[eqn: x^2 -2x +6=mx+2], 즉 [eqn: D=(m+2) ^2 -16 <0]

[eqn: therefore -6 <m < 2]

37

[eqn: -8]

답

해

설

[eqn: -x^2 +2x +3=m(x-2)+6]

[eqn: x^2 + (m-2)x-2m+3=0]

[eqn: D=(m-2) ^2 -4(-2m+3)=0~~~therefore m=-2 +- 2 sqrt { 3}]

따라서 기울기의 곱은 [eqn: -8]이다.

38

[eqn: 7]개

답

해

설

[eqn: x^2 +(k-2)x +4=0]에서
[eqn: D=(k-2) ^2 -16 <0~~~therefore -2 <k< 6]

따라서 구하는 정수 [eqn: k]는 [eqn: -1,~0,~1},~cdots,~5]의 [eqn: 7]개다.

39

[eqn: y=4x-3]

답

해

설

구하는 직선을 [eqn: y=4x +k]로 놓으면 이차함수 [eqn: y=2x^2 -1]의 그래프와 접하므로

[eqn: 2x^2 - 1=4x +k]에서
[eqn: D over 4 =4-2(-1-k)=0~~~therefore k=-3]

[eqn: therefore y=4x-3]

40

[eqn: -3]

답

해

설

두 식을 연립하여 판별식을 적용하면

[eqn: D over 4 =(2k+a) ^2 -4k^2 +12k -a^2 =0]에서

[eqn: a=-3]

41

[eqn: 121 over 2]

답

해

설

접선이 기울기를 [eqn: m]이라고 할 때,

[eqn: x^2 +1 =mx-2m+5]에서 [eqn: D=0]이므로  [eqn: m=4]

따라서 구하는 직선은  [eqn: y=- 1 over 4 x + 11 over2]

그러므로 구하는 넓이는  [eqn: 121 over 2]이다.

42

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: alpha ,~beta]는 이차방정식 [eqn: x^2 -x-5=-2x+k]

즉, [eqn: x^2 +x-5-k=0]의 근이므로

[eqn: alpha+beta =-1,~alphabeta =-5-k]

[eqn: rmbarPQ = sqrt { it (beta-alpha )^2 +(beta-alpha ) ^2 }= 5 sqrt { 5}]에서

[eqn: (beta-alpha ) ^2 =25,~(alpha +beta) ^2 -4alpha beta=25]

[eqn: (-1)^2 + 4(k+5)=25~~~thereforek=1]

43

[eqn: 10]

답

해

설

[eqn: x^2 -2x +a =2x+1 =-x^2 +bx -2]에서

[eqn: a=4,~b=6~~~therefore a+b=10]

수학Ⅰ	Ⅱ. 방정식과 부등식		2. 이차방정식과 이차함수			정답
	03 이차함수의 최대, 최소

01

④

답

해

설

[eqn: f(x )= x^2 -2x +k = (x-1)^2 +k-1]

[eqn: x=1]이 [eqn: x]값의 범위에 포함되므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 최솟값 [eqn: k-1]을 가지고, [eqn: x=-2]에서 최댓값 [eqn: 12]를 가진다.

[eqn: f(-2)=4+4+k=8+k=12]에서  [eqn: k=4]

따라서 최솟값은 [eqn: m=3]이므로

[eqn: k^2 + m^2 =16 +9=25]

02

②

답

해

설

[eqn: y=f(x) & =ax ^{2} -2x+a-1 #&=a left( x^2 - 2 over a x + 1 over a^2 - 1 over a^2 right) +a-1 #&=a left( x- 1 over a right) ^2 - 1 over a + a-1]

[eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 최솟값을 가지므로  [eqn: a>0,~ 1 over a =1]

[eqn: a=1]

따라서 [eqn: f(x)]의 최솟값 [eqn: b]는

[eqn: b= - 1 over a +a -1 =-1 +1-1=-1]

[eqn: ab =1 cdot (-1) =-1]

03

③

답

해

설

오른쪽 그림과 같이 직사각형의 가로와 세로의 길이를 각각 [eqn: a,~b]라고 하면 [eqn: 0<a<10,~0<b<8]

또 [eqn: TRIANGLE rm ADE]□[eqn: TRIANGLE rm ABC]이므로

[eqn: a:10=(8-b): 8,~b= - 4 over 5 a + 8]

직사각형의 넓이를 [eqn: S]라고 하면

[eqn: S=ab &=a left( - 4 over 5 a + 8 right ) #&= - 4 over 5 a^2 +8a = - 4 over 5 (a^2 -10a +25-25) #&= - 4 over 5 ( a-5 ) ^2 +20~(0<a<10)]

이므로 구하는 넓이의 최댓값은 [eqn: a=5]일 때 [eqn: 20]이다.

04

⑤

답

해

설

[eqn: g(x)= x^2 - 2x +2]라고 하면

[eqn: g(x)=(x-1)^2 +1 ge 1]

[eqn: f(x)&= left{ g(x) right}^2 -2g(x)+2 #&=left{g(x)-1right} ^2 +1]

[eqn: y=g(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같으므로 [eqn: 0le x le 3]에서 [eqn: 1 le g(x) le 5]이다.

따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: g(x)=5]에서 최댓값 [eqn: 17]을 갖고, 이때 [eqn: x=3]이다.

[eqn: M=17,~a=3]

또 [eqn: f(x)]는 [eqn: g(x)=1]에서 최솟값 [eqn: 1]을 갖고, 이때 [eqn: x=1]이다.

[eqn: m=1,~b=1]

[eqn: M+m+a+b=17 +1+3+1=22]

05

(1) 최댓값: [eqn: x=1]일 때  [eqn: 4], 최솟값은 없다.
(2) 최솟값: [eqn: x=2]일 때  [eqn: -1], 최댓값은 없다.

답

06

최댓값: [eqn: 1], 최솟값: [eqn: -3]

답

해

설

[eqn: f(x)=-x ^{2} +2x =-(x-1) ^2 +1]에서 꼭짓점이 [eqn: -1 le x le 2]에 포함되어 있다.

[eqn: {f(-1)=-3},~{f(1)=1},~f(2)=0]

따라서 [eqn: x=1]일 때 최댓값 [eqn: 1], [eqn: x=-1]일 때 최솟값 [eqn: -3]을 갖는다.

07

(1) 최댓값: 없다. 최솟값: [eqn: -3]
(2) 최댓값: [eqn: 9], 최솟값: 없다.

답

08

[eqn: -14]

답

해

설

[eqn: y=x ^{2} -4x+2=(x-2) ^2 -2]에서 꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: 2]가 [eqn: -1le x le 4]에 포함되므로

[eqn: x=-1]일 때,  [eqn: M=7]

[eqn: x=2]일 때,  [eqn: m=-2]

[eqn: therefore Mm=-14]

09

(1) 최솟값: [eqn: - 1 over8], 최댓값은 없다.
(2) 최댓값: [eqn: 2], 최솟값은 없다.

답

10

(1) 최댓값: [eqn: 8], 최솟값: [eqn: 0]
(2) 최댓값: [eqn: 5], 최솟값: [eqn: -3]

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 +3x^2 +x-2]로 놓으면

[eqn: f(-2)=-8+12-2-2=0]

조립제법을 이용하면

이므로  [eqn: f(x)=(x+2)(x^2 +x-1)]

따라서 [eqn: x^3 +3x^2 +x-2]의 인수인 것은 ① [eqn: x^2 +x-1]이다.

11

[eqn: a=1,~b=-4]

답

해

설

[eqn: y=ax ^{2} +bx+5]가 [eqn: x=2]일 때 최솟값 [eqn: 1]을 가지므로

[eqn: y=a(x-2) ^2 +1(a>0)]

따라서 [eqn: y=ax^2 -4ax+4a+1=ax^2 +bx+5]이므로

[eqn: -4a=b,~4a+1=5]

[eqn: thereforea=1,~b=-4]

12

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: y=-2x ^{2}+3x +a=-2 left( x- 3 over 4 right) ^2 + a + 9 over 8]

이므로 꼭짓점의 좌표는 [eqn: left( 3 over 4 ,~a+ 9 over 8 right)]

이때 꼭짓점의 [eqn: x]좌표가 정의역에 포함되지 않으므로 [eqn: x=1]에서 최댓값을 갖는다.

[eqn: therefore(최댓값) =-2+3+a=2]

[eqn: thereforea=1]

13

[eqn: a=2,~b=13]

답

해

설

[eqn: y=x^2 - 4ax+2b]가 [eqn: x=4]일 때, 최솟값 [eqn: 10]을 가지므로  [eqn: y=(x-4) ^2 +10=x^2 -8x+26]

따라서 [eqn: y=x ^2 -4ax+2b]와 계수를 비교하면

[eqn: -4a=-8,~2b=26]

[eqn: thereforea=2,~b=13]

14

[eqn: a=2,~b=-3]

답

해

설

[eqn: y & =ax ^{2} -2ax+b(a>0)# &=a(x^2 - 2x+1-1) +b#&=a(x-1) ^2 -a+b]

꼭짓점이 [eqn: x]좌표 [eqn: 1]이 [eqn: 0le x le3]에 포함되므로 [eqn: x=1]일 때 최솟값, [eqn: x=3]일 때 최댓값을 갖는다.

[eqn: therefore(최솟값):-a+b=-5]	㉠

[eqn: (최댓값)=3a+b=3]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면  [eqn: a=2,~b=-3]

15

최댓값: [eqn: 18], 최솟값: [eqn: 6]

답

해

설

[eqn: y=3-x ge0]에서 [eqn: x le3]이므로

[eqn: 0 le x le 3]

이때 [eqn: t=2x^2 +y^2]이라고 하면

[eqn: t=2x ^{2} +y ^{2} =2x ^{2} +(3-x) ^{2} =3(x-1) ^{2} +6]

따라서 [eqn: x=1]일 때 최솟값 [eqn: 6], [eqn: x=3]일 때 최댓값 [eqn: 18]을 갖는다.

16

최댓값: [eqn: 5], 최솟값: [eqn: 2]

답

해

설

[eqn: x ^{2} -2x+3=t]로 놓으면

[eqn: t=(x-1) ^2 +2]

[eqn: 0 le x le 2]에서 [eqn: t]는 [eqn: x=1]일 때 최솟값 [eqn: 2], [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]일 때 최댓값 [eqn: 3]을 가지므로

[eqn: 2 le t le 3]

이때 주어진 식은 [eqn: y=t^2 -2t+2=(t-1) ^2 +1]이므로

[eqn: t=2]일 때 최솟값 [eqn: 2], [eqn: t=3]일 때 최댓값 [eqn: 5]를 갖는다.

17

최댓값: [eqn: 2], 최솟값: [eqn: 2 over 3]

답

해

설

[eqn: y=1-x ge 0]에서 [eqn: x le1]이므로  [eqn: 0 le x le 1]

[eqn: t=x^2 + 2y ^2]이라고 하면

[eqn: t= x^2 + 2y ^2 = x^2 + 2(1-x^2 ) =3 left( x- 2 over 3 right) ^2 + 2 over 3]

따라서 [eqn: x= 2 over 3]일 때 최솟값 [eqn: 2 over3], [eqn: x=0]일 때 최댓값 [eqn: 2]를 갖는다.

18

[eqn: 18``rmm^2]

답

해

설

가축 우리의 세로의 길이를 [eqn: x rm`m]라고 하면 가로의 길이는 [eqn: (12-2x)rm`m]이므로 가축 우리의 넓이를 [eqn: y`rmm^2]라고 하면

[eqn: y=x(12-2x)=-2x^2 +12x =-2(x-3) ^2 +18]

한편 [eqn: x>0]이고 [eqn: 12-2x>0]이므로  [eqn: 0<x<6]

따라서 [eqn: x=3]일 때 가축 우리의 최대 넓이는  [eqn: 18``rmm^2]

19

[eqn: 25 over2pi``rmm^2]

답

해

설

두 조각으로 나눈 철사의 길이를 [eqn: x`rmm,~(10-itx)rmm]라 하고 만들어진 두 원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r_1`rmm,~itr_2`rmm]라고 하면

[eqn: r_1 = x over 2pi ,~r_2 = 10-x over 2pi]

[eqn: THEREFORE (두~원의~넓이의`합) & = pi CDOT {x ^{2}} over {4 pi ^{2}} + pi CDOT {(10-x) ^{2}} over {4 pi ^{2}}# & = 1 over 2pi left{ (x-5) ^2 +25 right}]

한편 [eqn: x>0]이고 [eqn: 10-x>0]이므로  [eqn: 0<x<10]

따라서 [eqn: x=5]일 때 두 원의 넓이의 합은 [eqn: 25 over 2pi `rmm^2]로 최소가 된다.

20

[eqn: 50]

답

해

설

컴퓨터의 원래 가격을 [eqn: a]원이라고 하자.

가격이 [eqn: a]원일 때 컴퓨터가 [eqn: b]대 팔린다고 하면 가격을 [eqn: x`%] 올렸을 때 세금을 제외한 매출 금액 [eqn: y]는

[eqn: y & =a LEFT ( 1+ {x} over {100} RIGHT ) TIMES b LEFT ( 1- {x} over {100} RIGHT ) TIMES LEFT ( 1- {1} over {10} RIGHT )# & = {9ab} over {200000} (100+x)(200-x)# & = {9ab} over {200000}left{ -(x-50 ) ^2 +22500 right}]

따라서 [eqn: x=50]일 때 매출 금액이 최대이다.

21

(1) 최댓값: [eqn: 6], 최솟값: [eqn: 2]
(2) 최댓값: [eqn: 2], 최솟값: [eqn: -13]

답

22

[eqn: a=1,~b=2]

답

해

설

이차함수 [eqn: y=ax^2 - bx +3]이 [eqn: x=1]일 때 최솟값 [eqn: 2]를 가지므로 [eqn: y=a(x-1) ^2 +2 ``(a>0)]

[eqn: thereforey=ax^2 -2ax +a+2]

따라서 [eqn: y=ax^2 - bx +3]과 계수를 비교하면

[eqn: -2a=-b,~a+2=3]

[eqn: thereforea=1,~b=2]

23

최솟값: [eqn: - 81 over 32 ,~x= 9 over 16 ,~ y= 9 over 8 ,~ z= - 15 over 8]

답

해

설

[eqn: x-1= y-2 over 2 = z+1 over 2 =t`]로 놓으면

[eqn: x=t+1,~y=2t+2,~z=2t-1]

[eqn: xy+yz+zx & =(t+1)(2t+2)+(2t+2)(2t-1)# &~~+(2t-1)(t+1)#&=8t^2 +7t -1 =8 left( t+ 7 over 16 right) ^2 - 81 over 32]

따라서 [eqn: t=- 7 over 16]일 때 최솟값 [eqn: - 81 over 32]을 갖는다.

이때

[eqn: x=t+1= {9} over {16},~y=2t+2= 9 over 8 ,~z= 2t-1 = - 15 over 8]

24

[eqn: 1,~4]

답

해

설

[eqn: f(x)=(x+1) ^2 -a^2 +2a+3~(x le 1)]

따라서 [eqn: x=-1]일 때 최솟값 [eqn: -a^2 +2a+3]을 갖는다.

[eqn: thereforeg(a)=-a^2 +2a+3 =-(a-1) ^2 + 4]

따라서 [eqn: g(a)]는 [eqn: a=1]일 때 최댓값 [eqn: 4]를 갖는다.

25

[eqn: 1 over 2]

답

해

설

주어진 이차방정식이 실근을 가지므로

[eqn: D over 4 = 4p ^2 -4p -8 ge 0,~(p+1)(p-2) ge 0]

[eqn: therefore p le -1] 또는 [eqn: p ge 2]

한편 이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha +beta =-p,~alpha beta= p+2 over 4]

[eqn: THEREFORE alpha ^{2} + beta ^{2} =( alpha + beta ) ^{2} -2 alpha beta & =p ^{2} - {p+2} over {2}#&= left( p- 1 over 4 right) ^2 - 17 over 16]

이때 [eqn: f(p)= left( p- 1 over 4 right) ^2 - 17 over 16] ([eqn: p le -1] 또는 [eqn: p ge 2])

이라고 하면

그림에서 [eqn: f(-1)= 1 over2 ,~f(2)=2]

따라서 [eqn: p=-1]일 때 최솟값 [eqn: 1 over 2], 즉 [eqn: alpha ^2 +beta^2]의 최솟값은 [eqn: 1 over 2]이다.

26

[eqn: 7 over 2]

답

해

설

[eqn: rm barOA = itx ~(0<x<2)]라고 하면  [eqn: rm barAB = (itx-2) ^2]

따라서 사각형 [eqn: rmOABC]의 둘레의 길이를 [eqn: l]이라고 하면

[eqn: l=2x+2(x-2) ^2 =2 left( x- 3 over 2 right) ^2 + 7 over 2]

따라서 [eqn: rm barOA = 3 over 2]일 때 둘레의 길이 [eqn: l]의 최솟값은 [eqn: 7 over 2]이다.

27

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: y=x ^{2} +2x+2=(x+1) ^2 +1]

[eqn: x=-2]일 때 [eqn: y=2]이므로

[eqn: x=a]일 때 최댓값 [eqn: 10]을 갖는다. 즉,

[eqn: a^2 +2a +2=10,~a^2 +2a-8=0]

[eqn: (a+4)(a-2)=0~~thereforea=2(becausea> -2)]

또 꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: -1]이 [eqn: -2 le x le 2]의 범위 안에 포함되므로 꼭짓점의 [eqn: y]좌표 [eqn: 1]이 최솟값이 된다.

[eqn: therefore b=1~~thereforea+b=2+1=3]

28

최댓값: [eqn: 9], 최솟값: [eqn: 0]

답

29

[eqn: 18]

답

30

[eqn: 8]

답

해

설

[eqn: f(x)=-2(x^2 -2x +1 )+a+2=-2(x-1) ^2 +a+2]

꼭짓점의 [eqn: x]좌표 [eqn: 1]이 구간 [eqn: -2 le x le 2]에 포함되고 [eqn: x ^{2`}]의 계수가 [eqn: -2]이므로 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(1)=a+2], 최솟값은 [eqn: f(-2)=-10]이다.

[eqn: f(-2)=-2` CDOT `(-3) ^2 +a+2 =a-16=-10]

[eqn: thereforea=6]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은  [eqn: f(1)=6+2 =8]

31

[eqn: 8]

답

해

설

[eqn: f(x)=2(x-1) ^2 -1]에서

최솟값: [eqn: f(1)=-1]

최댓값: [eqn: f(-1)=7]

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 8]이다.

32

최댓값: [eqn: 7], 최솟값: [eqn: -2]

답

해

설

[eqn: t=x^2 +2x-4]로 놓으면 [eqn: -1 le t le 4]이고

[eqn: y=t^2 - 4t +2 =(t-2) ^2 -2]이므로

최댓값: [eqn: 7], 최솟값: [eqn: -2]

33

[eqn: 16]

답

해

설

[eqn: x^2 +y^2 =9]에서 [eqn: y^2 =9-x^2 ge 0]이므로

[eqn: -3 le x le 3]

이때 [eqn: 2x +y^2 =2x +(9-x^2 ) =-(x-1) ^2 +10]

따라서 [eqn: x=1]일 때 최댓값 [eqn: 10], [eqn: x=-3]일 때 최솟값 [eqn: -6]을 갖는다.

[eqn: THEREFORE `M-m=10-(-6)=16]

34

[eqn: - {63} over {2}]

답

해

설

[eqn: (y-1)` ^{2`} =4-x ^{2}ge 0]에서 [eqn: -2 le x le 2]이므로

[eqn: x^2 -y^2 -2x +2y =2 left( x - 1over2 right) ^2 - 7 over 2]

[eqn: therefore Mm=9cdot left( - 7 over 2 right) = - 63 over 2]

35

④

답

해

설

[eqn: a>2]일 때, [eqn: f(0)=11,~f(2)=3]에서

[eqn: a=3,~b=11~~~ thereforea^2 +b^2 =130]

[eqn: a<0]일 때, [eqn: f(0)=3,~f(2)=11]에서

[eqn: a=-1,~b=3~~~thereforea^2 +b^2 =10]

36

[eqn: 4]

답

해

설

[eqn: rm bar BQ = itx]로 놓으면 [eqn: rm bar PQ = 4 - 1 over2 itx]에서

[eqn: rm triangle BQP= - 1 over 4 itx^2 +2x = - 1 over4 (x-4) ^2 + 4]

따라서 [eqn: x=4]일 때 최대 넓이는 [eqn: 4]이다.

37

[eqn: -13]

답

해

설

[eqn: f(x) =a(x-2) ^2 +5,~f(1)=3]에서  [eqn: a=-2]

[eqn: therefore f(-1)=-13]