미적분Ⅱ	Ⅱ. 삼각함수		2. 삼각함수의 미분			반 / 번호
	01 삼각함수의 덧셈정리					이름

01 다음 식의 값을 구하시오.

(1) [eqn: sin`95 DEG cos`55 DEG +`cos95 DEG sin55 DEG]

(2) [eqn: sin`110 DEG sin`70 DEG -`cos`110 DEG cos70 DEG]

02 [eqn: sin`x- sqrt {3} `cos``x]의 최댓값과 최솟값을 구하시오.(단, [eqn: 0 <= x <= 2 pi )]

03 [eqn: sin` alpha +cos` beta = {1} over {2} ,~cos` alpha +`cos` beta = {1} over {sqrt {2}}]일 때, [eqn: cos`( alpha - beta )]의 값은?

① [eqn: - {5} over {8}]         ② [eqn: - {3} over {8}]         ③ [eqn: - {1} over {8}]

④ [eqn: {1} over {8}]           ⑤ [eqn: {3} over {8}]

04 [eqn: sin ^{2} alpha +sin ^{2} ` LEFT ( {pi } over {3} +` alpha RIGHT ) +sin ^{2} ` LEFT ( {pi } over {3} -` alpha RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {2}]    ③ [eqn: 1]   ④ [eqn: {3} over {2}]    ⑤ [eqn: 2]

05 [eqn: sin` alpha = {1} over {2} ,`sin` beta = {1} over {sqrt {2}}]일 때, [eqn: cos`( alpha + beta )`]  [eqn: cos`( alpha - beta )`]의 값은?

① [eqn: - {sqrt {2}} over {4}]        ② [eqn: - {1} over {4}]        ③ [eqn: {1} over {4}]
④ [eqn: {sqrt {2}} over {4}]           ⑤ [eqn: - {sqrt {3}} over {4}]

06 함수[eqn: f(x)=tan`x LEFT ( 0 <= x <= {pi } over {2} RIGHT )]에 대하여
[eqn: f ^{-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) +f ^{-1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {pi } over {6}]              ② [eqn: {pi } over {4}]             ③ [eqn: {pi } over {3}]

④ [eqn: {pi } over {2}]              ⑤ [eqn: {2} over {3} pi]

07 삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: tan`A=1,``tan`B=2]일 때,   [eqn: tan`C]의 값은?
① 1         ② 2         ③ 3

④ 4         ⑤ 5

08 [eqn: tan`x+tan`y=25,`cot``x+cot`y=30]일 때,
[eqn: tan`(x+y)]의 값을 구하시오.

09 함수[eqn: f(x)=sin`x+sin LEFT ( {pi } over {3} -x RIGHT )]의 최댓값은?

① [eqn: {sqrt {3}} over {2}]          ② 1          ③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: sqrt {3}]           ⑤ 2

10 함수[eqn: f(x)=4`sin`x+3`cos`x`]가 [eqn: x= theta]에서 최댓값을 가질 때, [eqn: 3`tan` theta]의 값을 구사시오.           (단, [eqn: 0 <= x<2 pi])

11 점 [eqn: rmP( sqrt {5} ,`3 sqrt {5} )]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: tan` theta]의 값은?

① [eqn: {5} over {24}]         ② [eqn: {7} over {24}]         ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {13} over {24}]         ⑤ [eqn: {17} over {24}]

12 두 직선 [eqn: 2x-y+1=0,`x-3y+3=0]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: tan` theta]의 값을 구하시오.

13 다음 그림과 같이 지면  에서 [eqn: 2rmm] 높이에 서로의 길이가 [eqn: rm1m]인 액자가 걸려 있다. 지면 위의 한 지점에서 액자를 바라볼 때, 액자의 위 끝과 아래 끝이 이루는 각의 크기가 최대로 되는 지점 [eqn: rmP]는 벽에서 얼마나 떨어진 곳인가?

① [eqn: sqrt {5} rmm]         ② [eqn: sqrt {6} rmm]         ③ [eqn: sqrt {7} rmm]

④ [eqn: 2 sqrt {2} rmm]        ⑤ [eqn: 3rmm]

14 직선 [eqn: 3x+4y=10] 위의 임의의 한 점 [eqn: rmP]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 그은 두 접선이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라고 하자. 이때,[eqn: 2`sin` {theta } over {2}]의 최댓값을 구하시오.

15 [eqn: cos`110 DEG sin`40 DEG +sin`110 DEG `cos`40 DEG]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]         ② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]         ③ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

④ [eqn: - {1} over {2}]       ⑤ [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]

16 [eqn: sin`alpha= {1} over {3}]일 때, [eqn: cos LEFT ( {pi } over {3} +alpha RIGHT )]의 값은?

[eqn: LEFT ( 단,`0<a< {pi } over {2} RIGHT )]

① [eqn: {sqrt {2} -1} over {3}]	② [eqn: {sqrt {3} - sqrt {2}} over {3}]

③ [eqn: {2 sqrt {2- sqrt {3}}} over {6}]	④ [eqn: {2- sqrt {3}} over {6}]

⑤ [eqn: {sqrt {3-1}} over {6}]

17 함수 [eqn: f(x)= sqrt {3} `sin`x-3`cos`x`]의 주기를 [eqn: a], 최댓값을 [eqn: b], 최솟값을 [eqn: c]라고 할 때, [eqn: abc]값은?

① [eqn: -24 pi]         ② [eqn: -12 pi]         ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 12 pi]           ⑤ [eqn: 24 pi]

18 함수[eqn: f(x)=sin`x+ sqrt {3} cos``x]

[eqn: + sqrt {5} cos LEFT ( x+ {pi } over {3} RIGHT )]의 최댓값을 구하시오,

19 곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y=x+2]의 두 교점을 각각 [eqn: rmA,`B]라 하고, [eqn: ANGLE `rmAOB= theta]라고 할 때, [eqn: tan` theta]의 값을 구하시오.

20 좌표평면 위의 두 점[eqn: (cos` alpha ,`sin` alpha ),`] [eqn: (cos` beta ,`sin` beta )] 사이의 거리가 1일 때,[eqn: LEFT | alpha-beta RIGHT |]의

값은? [eqn: (단,`0<alpha<pi,`0<beta<pi)]

① [eqn: {pi} over {6}]         ② [eqn: {pi} over {4}]         ③ [eqn: {pi} over {3}]

④ [eqn: {pi } over {2}]         ⑤ [eqn: {2} over {3} pi]

21 함수[eqn: f(x)=sin`x+sin(x+ {2} over {3} pi)+sin(x+k)]가 상수함수가 되기 위하 [eqn: k]의 값에 대하여 [eqn: tan`k]의 값은? [eqn: (단,`0 <= k <= 2pi)]

① [eqn: - sqrt {3}]          ② [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]         ③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]           ⑤  [eqn: sqrt {3}]

22 [eqn: alpha+beta= {pi} over {4}]일 때, [eqn: sqrt {2} `sin`alpha+2`cos`beta`]의 최댓값은?

① [eqn: sqrt {6}]       ② [eqn: 2 sqrt {2}]      ③ [eqn: sqrt {10}]

④ [eqn: 2 sqrt {3}]      ⑤ [eqn: 4]

23 다음 그림과 같이 길이가 [eqn: 5]인 [eqn: rmbarAB]를 지름으로 하는 반원 위의 임의의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmbarAP`+rm2barBP]가  최대가 되는 [eqn: ANGLE rm PAB]의 크기를 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {5}]          ② [eqn: {2} over {5}]         ③ [eqn: {sqrt {5}} over {5}]

④ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]      ⑤ [eqn: {3 sqrt {5}} over {5}]

24 다음 그림에서 [eqn: rm {bar{AH}} it BOT rm {bar{BC}} it]이고 [eqn: ANGLE rm BAC=45DEG]이다. [eqn: rm {bar{AH`}} it=20,`rm {bar{HC}} it`=5]일 때, [eqn: rm {bar{BH}} it]의 길이를 구하시오.

25 반지름의 길이가 2인 원 [eqn: rmO] 위의 점 T에서 접선 위에 [eqn: rm {bar{TA`}} it =10,` rm ` {bar{TB}} it ` it =3]인 두 점 [eqn: rmA,`B]를 잡고 선분 [eqn: rmOB]와 원[eqn: rmO]의 교점을 [eqn: rmC]라고 하자.
또 점[eqn: rmC]에서의 원[eqn: rmO]의 접선과 선분[eqn: rmOA]의 교점을 [eqn: rmD]라고 할 때, 선분 [eqn: rmCD]의 길이는?

① [eqn: {12} over {17}]         ② [eqn: {13} over {17}]         ③ [eqn: {14} over {17}]

④ [eqn: {15} over {17}]         ⑤ [eqn: {16} over {17}]

26 제[eqn: rm1]사분면의 한 점 [eqn: rmP]에서 중심이 원점인 원[eqn: rmO]에 그은 두 접선의 기울기가 각각 [eqn: rm2,`3]일 때 직선 [eqn: rmOP]의 기울기는?

① [eqn: 2]          ② [eqn: sqrt {5}]          ③ [eqn: 2 sqrt {2}]

④ [eqn: sqrt {3} +1]    ⑤ [eqn: sqrt {2} +1]

27 지름 [eqn: rmAB]의 길이가 [eqn: rm10]인 원 [eqn: rmO] 위에 점 [eqn: rmC]가 있다.  [eqn: 2 rm {bar{AC}} + rm {bar{BC}}]의 값이 최대일 때, [eqn: TRIANGLE rmABC`it`]의 넓이를 구하시오.

28 반지름의 길이가 [eqn: rm1]인 원 [eqn: rmO]에 내접하는 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: rm {arch{BC}} `it]위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rmanglePAB`it=theta]일 때 , [eqn: rm {bar{PA}} ` it + rm {bar{PB}} ` it rm + {bar{PC}} ` it]의 값을 [eqn: f(theta)]라고 하자. 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은? [eqn: LEFT ( 단,`0<theta< {pi} over {3} RIGHT )]

보기

ㄱ. [eqn: rm {bar{PB}} =2`sin` theta]

ㄴ. [eqn: f(theta)=2`sin`theta+2 sqrt {3} costheta]

ㄷ. [eqn: f(theta)]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( {pi} over {6} RIGHT ) =4]이다.

① ㄱ         ② ㄱ, ㄴ         ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ,ㄷ        ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

29 [eqn: cos`theta= {1} over {3}]일 때, [eqn: sin`2theta,`cos`2`theta]의 값을 각각 구하시오. [eqn: (단,`0<theta< {pi} over {2} )]

30 [eqn: cos` theta = {5} over {3}]일 때, [eqn: sin` {theta} over {2} ,`cos` {theta} over {2} ,`tan {theta} over {2}]의 값을 각각 구하시오. [eqn: (단,`0<theta< {pi} over {2} )]

31 [eqn: sin`15DEG`cos75DEG]의 값을 구하시오.

32 다음 그림과 같이 점 [eqn: rmP LEFT ( 3,`0 RIGHT )]에서 원[eqn: x ^{2} +y ^{2} =4]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmQ,`R]라고 하자.  [eqn: rm ANGLE QPR`it= theta]일 때, [eqn: sin`theta]의 값은?

① [eqn: {5 sqrt {3}} over {6}]         ② [eqn: {5 sqrt {6}} over {6}]         ③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {9}]

④ [eqn: {4 sqrt {5}} over {9}]         ⑤ [eqn: {4 sqrt {6}} over {9}]

33 직선 [eqn: y=2x]에 대하여 [eqn: x]축을 대칭이동한 직선의 방정식을 [eqn: y=mx]라고 할 때, [eqn: -3m]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m]은 상수)

34 오른쪽 그림과 같은 직각삼각형 [eqn: rmABH] 에서 [eqn: rm {bar{AB}} ` it =3,` rm {bar{AH}} `=1,][eqn: ` rm {bar{AC}} ` it = rm {bar{BC}} ``]일때,[eqn: rm {{bar{CH}}} over {{bar{BC}}}]의 값은?

① [eqn: {4} over {9}]         ② [eqn: {5} over {9}]         ③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {7} over {9}]         ⑤ [eqn: {8} over {9}]

35 삼각형[eqn: rmABC]에서
[eqn: sin(A+B)`sin(A-B)=sin ^{2} C]일 때, [eqn: rmangleA]의 크기는?

① [eqn: {pi} over {6}]         ② [eqn: {pi } over {4}]          ③ [eqn: {pi } over {3}]

④ [eqn: {pi } over {2}]         ⑤ [eqn: {3} over {4} pi]

36 [eqn: alpha=10 DEG]일 때, [eqn: 4`sin`alpha(sin`alpha+sin`3alpha+sin`5alpha)]의 값을 구하시오.

37 삼각형 [eqn: rmABC]가 [eqn: sin`A=2`cos`B``sin`C]를 만족할 때, [eqn: rm TRIANGLE ABC]는 어떤 모양의 삼각형인가?

① [eqn: rmangleA=90DEG]인 직각삼각형

② [eqn: rm ANGLE B=90 DEG]인 직각삼각형

③ [eqn: rm ANGLE C=90 DEG]인 직각삼각형

④ [eqn: rm ANGLE A= ANGLE B]인 이등변삼각형

⑤ [eqn: rm ANGLE B= ANGLE C]인 이등변삼각형

38 오른쪽 그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} `=1,` {bar{BC}} =2]인 직사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 이 직사각형에 외접하는 직사각형 [eqn: rmPQRS]의 넓이의 최댓값은?

① [eqn: 4]         ② [eqn: {9} over {2}]         ③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]       ⑤ [eqn: 6]

39 원점[eqn: rmO]를 지나고 기울기가 [eqn: tan`theta]인 직선[eqn: l]이 있다. 두 점 [eqn: rmA(0,2),`B(2 sqrt {3} ,`0)]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A {acute{}} ,`B {acute{}}]이라고 하자. 원점 [eqn: rmO]로부터 점 [eqn: rmA {acute{}}]까지의 거리와 점 [eqn: rmB {acute{}}]까지의 거리의 합[eqn: rm {bar{OA {acute{}}}} + {bar{OB {acute{}}}}]이 최대가 되는 [eqn: theta]의 값은? [eqn: (단,`0<theta< {pi} over {2} )]

① [eqn: {pi} over {12}]         ② [eqn: {pi} over {6}]         ③ [eqn: {pi} over {4}]
④ [eqn: {pi} over {3}]          ⑤ [eqn: {5} over {12} pi]

40 [eqn: 0 <= x <= 2pi]일 때, 함수 [eqn: f(x)=2`sin`x(3`sin`x+4`cos`x)+10]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 하자. 이때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

41 [eqn: {sin`2alpha} over {1+cos`2alpha}]를 간단히 하면? [eqn: (단,`cos`alpha` != 0)]

① [eqn: sin`alpha]        ② [eqn: cos`alpha]        ③ [eqn: tan`alpha]

④ [eqn: cosec`alpha]      ⑤ [eqn: sec`alpha]

42 [eqn: sin` alpha =- {3} over {5}]일 때, [eqn: tan` {alpha} over {2}]의 값은?

[eqn: (단,`alpha는`제`4사분면의`각이다.)]

① [eqn: - {1} over {3}]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: 1]            ⑤ [eqn: sqrt {3}]

43 [eqn: alpha= {pi} over {34}]일 때, [eqn: {cos``alpha`cos`13alpha} over {sin3alpha+sin`5alpha}]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]        ② [eqn: {1} over {2}]        ③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]         ⑤ [eqn: 1]

44 [eqn: 0<=theta<=pi]일 때, 함수 [eqn: f(x)=sin`theta(sin`theta+cos`theta)]의 최솟값은?

① [eqn: {1- sqrt {2}} over {2}]      ② [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]       ③ [eqn: -1]

④ [eqn: - sqrt {2}]         ⑤ [eqn: -2]

45 [eqn: tan`15DEG+ {1} over {tan`15DEG}]의 값을 구하시오.

46 함수[eqn: f(x)=2`sin ^{3} x+sin`2x`cos`x+2`cos`x]의 최댓값은?

① [eqn: 0]            ② [eqn: 1]       ③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: 2]            ⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

47 [eqn: sin ^{2} theta +sin ^{2} LEFT ( theta + {pi } over {3} RIGHT ) +sin ^{2} LEFT ( theta + {2} over {3} pi RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]          ② [eqn: {3} over {4}]       ③ [eqn: 1]

④ [eqn: {3} over {2}]           ⑤ [eqn: 2]

48 [eqn: {cos`20DEG+cos`40DEG} over {sin`20DEG+sin`40DEG}]의 값은?

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]           ② [eqn: {1} over {2}]        ③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt {3}]            ⑤ [eqn: 2]

49  지구의 반지름의 길이 [eqn: r]는 [eqn: 6400rmkm]이다. 지상으로부터 고도가 [eqn: {r} over {2} =3200rmkm]인 인공위성 [eqn: rmS]에서 관측 가능한 경계 지역의 두 지점을 [eqn: rm A,`B]라고 하자. [eqn: rmangleASB=theta]라고 할 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {9}]            ② [eqn: {2} over {9}]          ③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {4} over {9}]            ⑤ [eqn: {5} over {9}]

50 폐구간 [eqn: [0,` pi ]]에서 함수[eqn: f(x)=cos`2x+2`sin`x`cos``x]      의 그래프가 직석 [eqn: y=a]와 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 [eqn: a]의 값을 정하시오.

51 반지름의 길이가 1인 원 위에 두 점 [eqn: rmA,`B]가 있다. 호 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점 [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rmangleCAB=theta]라고 하자. [eqn: rmbarCA`·barCB]의 값이 최대일 때, [eqn: cos`theta]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]            ② [eqn: {sqrt {2}} over {3}]          ③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]            ⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

52 다음 그림과 같이 반원에 내접하는 사다리꼴 [eqn: rmABCD]가 있다. 이때, [eqn: cos` {A} over {2} `cos` {B} over {2} +cos` {C} over {2} `cos` {D} over {2}]의 값을 구하시오.

53 [eqn: 0<alpha< {pi} over {2} ,~ {pi} over {2} <beta<pi]이고 [eqn: cos`alpha= {4} over {5}],
[eqn: sin`beta= {12} over {13}]일 때, [eqn: sin` LEFT ( alpha+beta RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {27} over {65}]        ② [eqn: {31} over {65}]      ③ [eqn: {33} over {65}]
④ [eqn: {37} over {65}]        ⑤ [eqn: {39} over {65}]

54 이차방정식 [eqn: 3x ^{2} -4x+1=0]의 두 근이 [eqn: tan`alpha,`tan`beta]일 때, [eqn: tan LEFT ( alpha+beta RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]         ② [eqn: 1]       ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]          ⑤ [eqn: 4]

55 [eqn: tan` LEFT ( alpha + {pi } over {4} RIGHT ) =7]일 때, [eqn: cos`alpha]의 값은?
(단, [eqn: 0<alpha< {pi} over {2}])

① [eqn: - {4} over {5}]      ② [eqn: - {3} over {5}]      ③ [eqn: {1} over {5}]
④ [eqn: {3} over {5}]       ⑤ [eqn: {4} over {5}]

56 두 직선 [eqn: 2x+y-5=0]과 [eqn: 3x-y+4=0]이 이루는 예각의 크기는?

① [eqn: {pi} over {12}]         ② [eqn: {pi } over {6}]        ③ [eqn: {pi } over {4}]
④ [eqn: {5} over {12} pi]        ⑤ [eqn: {pi } over {3}]

57 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {3} sin`x+cos`x]의 최댓값은?

① [eqn: sqrt {2}]         ② [eqn: sqrt {3}]         ③ [eqn: 2]
④ [eqn: sqrt {5}]         ⑤ [eqn: 2 sqrt {3}]

58 [eqn: sin` theta +cos` theta = {2} over {3}]일 때, [eqn: cosec`theta+sec`theta]의 값은?

① [eqn: - {13} over {5}]      ② [eqn: - {12} over {5}]      ③ [eqn: - {13} over {12}]
④ [eqn: - {12} over {13}]      ⑤ [eqn: - {5} over {12}]

59 [eqn: sin LEFT ( alpha+beta RIGHT ) cos`beta-cos` LEFT ( alpha+beta RIGHT ) sin`beta]를 간단히 하면?

① [eqn: sin`alpha]      ② [eqn: sin`beta]      ③ [eqn: cos`alpha]
④ [eqn: cos`beta]      ⑤ [eqn: -cos` alpha]

60 [eqn: {pi} over {2} <alpha<pi,~0<beta`alpha= {2} over {3} ,~cos`beta= {1} over {4}]일 때, [eqn: sin` LEFT ( alpha-beta RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {5- sqrt {3}} over {12}]         ② [eqn: {2-3 sqrt {3}} over {12}]
③ [eqn: {3+3 sqrt {3}} over {12}]        ④ [eqn: {2+5 sqrt {3}} over {12}]
⑤ [eqn: {2+7 sqrt {3}} over {12}]

61 [eqn: 0<x< {pi} over {2}]이고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =tan`x]의 역함수를  [eqn: rm g LEFT ( it`x RIGHT )]라고 할 때, [eqn: rmg LEFT ( 2 RIGHT ) +rmg LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {pi} over {6}]         ② [eqn: {pi } over {4}]         ③ [eqn: {pi } over {3}]
④ [eqn: {pi } over {2}]         ⑤ [eqn: {3} over {4} pi]

62 다음 그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}} =3,~ rm {bar{BC}} = it `a,][eqn: ANGLE rm B=90 DEG]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: rmbarAB]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라고 하자.
[eqn: ANGLE rmDCA= theta]라고 할 때, [eqn: tan`theta= {1} over {3}]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: 2]           ② [eqn: 3]          ③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]           ⑤ [eqn: 6]

63 다음 그림과 같이 지름이 길이가 [eqn: 1]인 반원 위에 [eqn: rmA,~B]가 아닌 한 점 [eqn: rmP]를 잡을 때, [eqn: rm {bar{AP}} +2 {bar{BP}}]의 최댓값은?

① [eqn: 2]          ② [eqn: sqrt {5}]         ③ [eqn: sqrt {6}]

④ [eqn: sqrt {7}]       ⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

64 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin`x+cos`x+2`sin`x`cos`x]의 최댓값은?
① [eqn: - sqrt {2} -1]     ② [eqn: - sqrt {2}]       ③ [eqn: sqrt {2}]
④ [eqn: sqrt {2} +1]       ⑤ [eqn: sqrt {2} +1]

65 두 직선 [eqn: y=x+3]과 [eqn: y=mx-1]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: 60DEG]일 때, 모든 실수 [eqn: m]의 값의 곱을 구하여라.

66 [eqn: 2`cos`theta=3``sin`2theta]일 때, [eqn: cos`2theta]의 값은?
(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}])

① [eqn: {1} over {9}]         ② [eqn: {2} over {9}]       ③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {5} over {9}]         ⑤ [eqn: {7} over {9}]

67 [eqn: {pi} over {2} <alpha<pi]이고 [eqn: sin`alpha= {3} over {5}]일 때, [eqn: tan` {alpha} over {2}]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: {3} over {2}]       ③ [eqn: 2]
④ [eqn: {5} over {2}]         ⑤ [eqn: 3]

68 [eqn: sin ^{2} x+sin ^{2} LEFT ( {2} over {3} pi+x RIGHT ) +sin ^{2} LEFT ( {2} over {3} pi-x RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]         ② [eqn: 1]       ③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]          ⑤ [eqn: {5} over {2}]

69 [eqn: sinC=2`cos`A`sin`B]가 성립하는 [eqn: TRIANGLE rmABC]는 어떤 삼각형인가?

① 정삼각형
② [eqn: rmbarAB]가 빗변인 직각삼각형
③ [eqn: rmbarBC]가 빗변인 직각삼각형
④ [eqn: anglermA=angleB]인 이등변삼각형
⑤ [eqn: ANGLE rm B= ANGLE C]인 이등변삼각형

70 [eqn: 0 LEQ x LEQ pi]에서방정식 [eqn: tan`x`tan3x=1]의 모든 해의 합은?

① [eqn: {pi} over {2}]          ② [eqn: pi]         ③ [eqn: 2pi]
④ [eqn: {5} over {2} pi]        ⑤ [eqn: 3pi]

71 [eqn: 0 LEQ x LEQ {pi} over {2}]일 때, 삼각방정식
[eqn: sin`x+cos`x= {sqrt {6}} over {2}]이 모든 해의 합은?

① [eqn: {pi } over {12}]         ② [eqn: {pi} over {6}]       ③ [eqn: {pi} over {3}]
④ [eqn: {pi} over {2}]          ⑤ [eqn: pi]

72 [eqn: sin`theta+cos`theta= {sqrt {15}} over {3}]일 때, [eqn: cos`2theta]의 값은?
(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {4}])

① [eqn: {sqrt {3}} over {6}]        ② [eqn: {sqrt {5}} over {5}]       ③ [eqn: {sqrt {5}} over {4}]
④ [eqn: {sqrt {5}} over {3}]        ⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

73 [eqn: {pi} over {2} LEQ x LEQ pi]이고 [eqn: sin`alpha= {4} over {5}]일 때, [eqn: sin` {alpha} over {2}]의 값은?

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]      ② [eqn: {sqrt {5}} over {5}]     ③ [eqn: {2 sqrt {2}} over {5}]
④ [eqn: {2 sqrt {3}} over {5}]     ⑤ [eqn: {2 sqrt {5}} over {5}]

74 [eqn: {1} over {3+4`sin` ^{2} theta} + {1} over {3+4`cos ^{2} theta}]의 최솟값은?

① [eqn: {1} over {5}]         ② [eqn: {2} over {5}]        ③ [eqn: {3} over {5}]
④ [eqn: {4} over {5}]         ⑤ [eqn: 1]

75 세 수 [eqn: sin` LEFT ( {pi} over {6} -x RIGHT ) ,`sin`x,`sin` LEFT ( {pi} over {6} +x RIGHT )]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: cos`2x]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]         ② [eqn: {1} over {3}]        ③ [eqn: {1} over {2}]
④ [eqn: {2} over {3}]         ⑤ [eqn: {3} over {4}]

76 [eqn: sin`A+sin`B=cos`A+cos`B]가 성립할 때, [eqn: A+B]의 값은? (단, [eqn: 0<B<A< {pi} over {2}])

① [eqn: {pi} over {2}]         ② [eqn: {pi} over {6}]        ③ [eqn: {pi } over {4}]
④ [eqn: {pi } over {3}]         ⑤ [eqn: {pi } over {2}]

77 [eqn: cos` theta +cos`3 theta +cos`5 theta +cos`7 theta]
[eqn: =k`cos`` theta `cos`2 theta `cos`4 theta]일 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]         ⑤ [eqn: 5]

78 방정식 [eqn: sin` LEFT ( x+ {pi} over {6} RIGHT ) +sin` LEFT ( x- {pi} over {6} RIGHT ) = {sqrt {3}} over {3}][eqn: (0 LEQ x LEQ 2pi)]의 두 실근을 [eqn: alpha,`beta LEFT ( alpha<beta RIGHT )]라고 할 때, [eqn: cos LEFT ( beta-alpha RIGHT )]의 값은?

① [eqn: - {7} over {9}]         ② [eqn: - {5} over {9}]        ③ [eqn: - {4} over {9}]
④ [eqn: - {2} over {9}]         ⑤ [eqn: - {1} over {9}]

79 오른쪽 그림과 같이 선분 [eqn: rmAB]가 지름이고 중심이 [eqn: rmO]인 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: ANGLE rm PAO= alpha ,~][eqn: ANGLE rmPOB= beta]라고 하자.
[eqn: sin`alpha+cos`beta]가 최대가 되도록 하는 [eqn: alpha,~beta]에 대하여 [eqn: sin`alpha`cos`beta]의 값을 구하여라.

80 오른쪽 그림과 같이 사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm {bar{AB}} BOT {bar{AB}} ,~ {bar{AC}} BOT {bar{CD}} ,~ {bar{AB}} =4,~ {bar{BC}} = {bar{CD}} =3]이고, 점 [eqn: rmE]는 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 변 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발이다. [eqn: rm {bar{DE}} = it {b} over {a}]일 때, [eqn: a+b]의 값은?
(단, [eqn: a,~b]는 서로소인 자연수이다.)

81 함수 [eqn: y=3`sin`x-2`cos LEFT ( x- {pi} over {6} RIGHT ) +1]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: Mm]의 값은?

① [eqn: -6]         ② [eqn: -5]        ③ [eqn: -4]
④ [eqn: -3]         ⑤ [eqn: -2]

82 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {3} `sin` {x} over {2} +cos` {x} over {2}]에 대하여 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. 주기는 [eqn: 2pi]이다.
ㄴ. 최댓값은 [eqn: 2], 최솟값은 [eqn: -2]이다.

ㄷ. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x- {pi} over {3} RIGHT )]의 그래프는 원점에
대하여 대칭이다.

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ         ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

83 두 직선 [eqn: ax-y+1=0,~x-3y+2=0]이 이루는 예각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]가 되도록 하는 모든 상수[eqn: a]의 값의 합은?
① [eqn: {1} over {2}]          ② [eqn: 1]        ③ [eqn: {3} over {2}]
④ [eqn: 2]           ⑤ [eqn: {5} over {2}]

84 [eqn: {sin` {pi} over {8}} over {1-cos` {pi} over {8}} =cot`theta]를 만족하는 [eqn: theta]의 값은?

(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}])

① [eqn: {pi} over {16}]          ② [eqn: {pi } over {8}]        ③ [eqn: {pi } over {4}]
④ [eqn: {3} over {8} pi]          ⑤ [eqn: {7} over {16} pi]

85 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} - LEFT ( a ^{2} - {1} over {9} RIGHT ) x+a ^{2} -1=0]의 두근이 [eqn: sin ^{2} ` {theta } over {2}], [eqn: cos ^{2} {theta } over {2}]일 때, [eqn: cos ^{2} theta]의 값은?

(단, [eqn: a]는 상수)

① [eqn: {1} over {9}]          ② [eqn: {2} over {9}]        ③ [eqn: {1} over {3}]
④ [eqn: {4} over {9}]          ⑤ [eqn: {5} over {9}]

86 [eqn: {sin`30 DEG } over {sin`10 DEG } - {cos`30 DEG } over {cos`10 DEG }]의 값은?
① [eqn: -2]        ② [eqn: -1]        ③ [eqn: 0]
④ [eqn: 1]          ⑤ [eqn: 2]

87 [eqn: 0<x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin` LEFT ( x+ {pi } over {12} RIGHT ) +cos` LEFT ( x+ {pi } over {12} RIGHT )][eqn: =1]의 해의 개수는?
① 1          ② [eqn: 2]        ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

미적분Ⅱ	Ⅱ. 삼각함수		2. 삼각함수의 미분			반 / 번호
	02 삼각함수의 극한					이름
		ㅉ 09

01 다음 극한값을 구하시오.

(1)[eqn: lim _{x-> 0} {`x`cos``x}]

(2)[eqn: lim _{x -> {pi} over {2}} {(`x`sinx-cos`x)}]

02 다음 극한값을 구하시오.

(1)[eqn: lim _{x -> 0} {{sin`2x} over {x}}]

(2) [eqn: lim _{x -> 0} {{sin`3x} over {sin`2x}}]

(3)[eqn: lim _{x -> 0} {{x} over {x+sin`x}}]

(4) [eqn: lim _{x -> 0} {{sin`x+tan`x} over {x}}]

03 양의 정수[eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)= lim _{x-> 0} {{x} over {sin`x+sin2x+sin3x+cdots+sin`nx}}]라고 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} f(k)]의 값은?

① [eqn: {1} over {55}]         ② [eqn: {13} over {55}]       ③ [eqn: {10} over {11}]

④ [eqn: {12} over {11}]          ⑤ [eqn: {20} over {11}]

04 [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cos`x} over {x`sin`x}}]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: {1} over {2}]        ③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]          ⑤ [eqn: {1} over {5}]

05 [eqn: lim _{x -> 0} {{sin(3x ^{3} +5x ^{2} +4x)} over {2x ^{3} +2x ^{2} +x}}]의 값을 구하시오.

06 [eqn: lim _{x -> 0} {{ax`sin`x+b} over {cos``x-1} =1}]일 때, [eqn: 2a+b]의 값은? [eqn: (단,`a,`b는`상수)]

① [eqn: -2]          ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]             ⑤ [eqn: 2]

07 [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( {tan`x+a} over {x} +b RIGHT ) =2}]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

[eqn: (단,`a,`b는`상수)]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

08 [eqn: lim _{x -> 0} {{x ^{2} +ax+b} over {sin`x} =2}]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

[eqn: (단,`a,`b는`상수)]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

09 연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x(pi-x)f(x)=sin`x]를 만족할 때, [eqn: f(0)+f(x)]의 값은?

① [eqn: pi]          ② [eqn: {pi} over {2}]         ③ [eqn: {1} over {pi}]

④ [eqn: {2} over {pi}]          ⑤ [eqn: pi+ {1} over {pi}]

10 [eqn: -pi<x<pi]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: (1-cos`x)f(x)=x`sin`x]를 만족할 때, [eqn: f(0)]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]          ② [eqn: {1} over {2}]         ③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]            ⑤ [eqn: 3]

11 [eqn: -pi<x<pi]에서 함수 [eqn: f(x)= {cases{sum _{k=1} ^{INF } {sin ^{2} x} over {(1+sin ^{2} x) ^{k-1}}&`(x != 0)#```````````````````````````````````a`&`(x=0)}}] 가 연속함수일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]          ② [eqn: {1} over {2}]         ③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]            ⑤ [eqn: 3]

12 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원에 내접하는 정[eqn: n]각형의 한 변을 [eqn: rmbarAB], 원의 중심을 [eqn: rmO]라고 할 때, [eqn: TRIANGLE rmABO]의 넓이를 [eqn: f(x)]이라고 하자. 이때, [eqn: lim _{n -> INF } {`n·f(n)}]의 값은?

① [eqn: pir]          ② [eqn: pi r ^{2}]         ③ [eqn: 2pi r ^{2}][eqn: 1]

④ [eqn: 0]             ⑤ [eqn: INF]

13 다음 그림과 같이 길이가 [eqn: 2a]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 점 [eqn: rmA]에서 출발한 광선이 호 [eqn: rmAB] 위의 점[eqn: rmP]가 점 [eqn: rmB]에 한없이 가까워질 때, 선분 [eqn: rmAQ]의  길이의  극한값은?                   (단, 점[eqn: rmO]는 반원의 중심이다.)

① [eqn: {5} over {4} a]          ② [eqn: {4} over {3} a]         ③ [eqn: {3} over {2} a]

④ [eqn: {5} over {3} a]            ⑤ [eqn: 2a]

14 다음 그림과 같이 원[eqn: rmO] 위의 한 점 [eqn: rmA]에서 두 현 [eqn: rm AB,`AC]를 긋고, [eqn: rmangleBAC]의 삼등분선이 원[eqn: rmO]와 만나는 점을 각각[eqn: rm D,`E]라고 하자. [eqn: rm ANGLE BAC=3theta]라고 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0} {rm {{bar{DE}} it rm} over {{bar{BC}} it rm}} it]의 값은?

① [eqn: {1} over {4}]          ② [eqn: {1} over {3}]         ③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]            ⑤ [eqn: 1]

15 [eqn: lim _{x -> 0} {{sin`x DEG } over {x}} it]의 값은?

① [eqn: 1]          ② [eqn: {180} over {pi}]         ③ [eqn: {pi} over {180}]

④ [eqn: 0]            ⑤ [eqn: INF]

16 [eqn: lim _{x -> 0} {{cos``5x-cos``3x} over {x ^{2}}} it]의 값은?

① [eqn: -2]          ② [eqn: -4]         ③ [eqn: -6]

④ [eqn: -8]            ⑤ [eqn: -10]

17 연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {x-sin`x}} it =10]을 만족할 때, [eqn: lim _{x -> 0} {{f(x)} over {x+sin`x}} it] 값은?

① [eqn: 0]            ② [eqn: 1]           ③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]              ⑤ [eqn: 4]

18 [eqn: lim _{x -> 0} {{sin`x} over {sqrt {ax+b} -2}} it =2]일 때, [eqn: a+b] 의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,`b]는 상수)

19 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: a]인 원[eqn: rmO] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rm A it (a,`0)]에 대하여 [eqn: rmanglePOA=theta]라고 할 때,

[eqn: lim _{theta-> +0} {` {(부채꼴`rmPOA`it의`넓이)} over {( TRIANGLE rmPOB`it의`넓이)}}]의 값을 구하시오.

20 [eqn: lim _{theta -> -0} {` {sqrt {1-cos`x}} over {x}}]의 값은?

① [eqn: -1]         ② [eqn: - {sqrt {2}} over {2}]         ③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]        ⑤ [eqn: 1]

21 [eqn: lim _{theta -> 0} {` {sec`2theta-1} over {sec`theta-1}}]의 값은?

① [eqn: 1]         ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]          ⑤ [eqn: 5]

22 연속함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> 0} {` {f(x)} over {1-cos`x} =20}]을 만족할     때, [eqn: lim _{x -> 0} {` {f(x)} over {x ^{2}}}]의 값을 구하시오.

23 [eqn: lim _{x -> pi} {` {1+cos`x} over {(x-pi)sin`x}}]의 값은?

① [eqn: - {1} over {2}]         ② [eqn: -1]         ③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]            ⑤ [eqn: 1]

24 다음 그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]에 내접하는 원을 [eqn: rmC]라고 하자. [eqn: {arch{rmAB}}]의 길이를 [eqn: l], 원[eqn: rmC]의 원주의 길이를[eqn: m]이라고 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0} {` {m} over {l}}]의 값은?

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]           ③ [eqn: pi]

④ [eqn: 2pi]           ⑤ [eqn: 3pi]

25 [eqn: lim _{theta -> INF } {``f(x) LEFT ( {1} over {x} +sin` {2} over {x} RIGHT ) =4}]일 때, [eqn: lim _{x-> INF } {` {f(x)} over {x}}]의 값은?

① [eqn: {2} over {3}]         ② [eqn: 1]         ③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {5} over {3}]          ⑤ [eqn: 2]

26 아래 그림과 같이 [eqn: rm {bar{AB}}=1,`rm ANGLE ABC` it={pi }over{2},` rmANGLEABC it={pi}over{6}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 변 [eqn: rmBC]의 연장선 위에 점 [eqn: rm C _{1,`} `C _{2,`} `C _{3,`} ` CDOTS]과 변의 길이 [eqn: a _{1,`} `a _{2,`} `a _{3,`} cdots]을 다음과 같이 정하자.

[eqn: rm {bar{CC _{1}}} = {bar{AC}} ` it =a _{1} ,` rm {bar{C _{1} C _{2}}} = {bar{AC _{1}}} ` it =a _{2,`}# # rm {bar{C _{2} C _{3}}} = {bar{AC _{2}}} ` it =a _{3,} CDOTS]

이때, [eqn: lim _{n-> INF } {` {pia _{n}} over {2 ^{2}}}]의 값을 구하시오.

27 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원에서 길이가 [eqn: a,` {a} over {2}]인 호에 대한 현의 길이를 각각 [eqn: b,`c]라고 할 때, [eqn: lim _{a-> 0} {` {b+2c} over {a}}]의 값을 구하시오.

28 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rmABCD]에서 변[eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 반원 위에 점 [eqn: rmP]가 있다. [eqn: rmangleOBP]의 넓이를 [eqn: g(theta)]라고 하자, [eqn: lim _{theta -> 0} {` {8-f( theta )} over {g( theta )}} =a]라고 할 때, 10[eqn: alpha]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {2}])

29 보기 중 극한값이 존재하는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: lim _{x -> INF } {`x`sin` {1} over {x}}] ㄴ. [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {x+1} RIGHT ) ^{x}}]

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 2} {` LEFT [ log _{2} x RIGHT ] `}] (단,[eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대정수)

① ㄱ          ② ㄱ, ㄴ         ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ      ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

30 [eqn: - {pi} over {2} <=x<= {pi} over {2}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {cases{{e ^{x} -1} over {sin`x} `&(x != 0)#````````a````````````&(x=0)}}] 가 [eqn: x=0]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

31 등식 [eqn: lim _{x-> 0} {` {ln(x+b)} over {sin`ax}} = {1} over {3}]을 만족하는 상수 [eqn: a,`b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

32 다음 그림과 같이 길이가 [eqn: a]인 선분 [eqn: rmAB]에 대하여[eqn: rm ANGLE CAB=2 theta][eqn: ,` rm ANGLE CBA= theta]가 되도록  점 [eqn: rmC]를 잡을 때, [eqn: lim _{theta-> 0} {rmbarAC}]의 값을 구하시오.

33 다음 그림과 같이 두 반직선 [eqn: rm {vec{OX}} ,` rm {vec{OY}} `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하고, 반직선 [eqn: rm {vec{OX}}]위의 한 점 [eqn: rmA]를 잡자. 점 [eqn: rmA]를 지나고 반직선 [eqn: rm {vec{OX}}]와 이루는 각의 크기가 [eqn: 2theta]인 직선 [eqn: l]이 반직선 [eqn: rm {vec{OY}}]와 만나는 점을 [eqn: rmB]라고 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0} {` {rm {bar{AB}} it} over {rm {bar{OB}} it}}]의 값은?

① [eqn: 0]          ② [eqn: {1} over {4}]         ③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {2}]         ⑤ [eqn: 1]

34 다음 보기 중 극한값이 존재하는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: lim _{x-> {pi} over {2} -0} {`tan`x}]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 1} {` {1} over {x-1}}]

ㄷ. [eqn: lim _{x -> 0} {` {LEFT | x RIGHT | ^{2}} over {x}}]

ㄹ. [eqn: lim _{x -> - INF } {x ^{2}}]

① ㄱ           ② ㄴ        ③ ㄷ
④ ㄴ, ㄹ       ⑤ ㄷ, ㄹ

35 [eqn: lim _{x -> 0} {{sin`3x} over {sin`2x}}]의 값은?

① [eqn: {1} over {3}]       ② [eqn: {1} over {2}]        ③ [eqn: {2} over {3}]
④ [eqn: 1]         ⑤ [eqn: {3} over {2}]

36 [eqn: lim _{x -> 0} {{sin`x DEG } over {x}}]의 값은?

① [eqn: 0]           ② [eqn: 1]        ③ [eqn: {pi} over {180}]
④ [eqn: {180} over {pi}]         ⑤ [eqn: pi]

37 [eqn: lim _{x -> {pi} over {2}} {LEFT ( x- {pi} over {2} RIGHT ) tan`x}]의 값은?
① [eqn: -1]      ② [eqn: - {1} over {2}]     ③ [eqn: - {1} over {3}]
④ [eqn: {1} over {2}]        ⑤ [eqn: 1]

38 일차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{x-> {pi} over {2}} {{cos`x} over {f LEFT ( x RIGHT )}}][eqn: = {1} over {3}]이 성립할 때, [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )]의 값은?
① [eqn: - {3} over {2} pi]      ② [eqn: - { pi } over {2}]      ③ [eqn: 0]
④ [eqn: {pi} over {2}]          ⑤ [eqn: {3} over {2} pi]

39 [eqn: lim _{x -> 0} {{1-cos`ax·cos`bx} over {x ^{2}}}]의 값은?

① [eqn: a-b]      ② [eqn: a+b]      ③ [eqn: {a ^{2} -b ^{2}} over {2}]
④ [eqn: {a ^{2} +b ^{2}} over {2}]   ⑤ [eqn: a ^{2} +b ^{2}]

40 양의 정수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )][eqn: = lim _{n -> 0} {{x} over {tan`x+tan`2x+cdots+tan`nx}}]일 때, [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( k RIGHT )}]이 값을 구하여라.

41 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sin ^{2} x+ {sin ^{2}} over {1+sin ^{2} x} + {sin ^{2} x} over {LEFT ( 1+sin ^{2} x RIGHT ) ^{2}} +cdots][eqn: (x!=npi,~n]은 정수)가 [eqn: x][eqn: = pi]에서 연속일 때, [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 0]           ② [eqn: 1]           ③ [eqn: 2]
④ [eqn: 3]           ⑤ [eqn: 4]

42 다음 보기의 함수 중 [eqn: x][eqn: =0]에서 연속인 함수를 모두 고른 것은?
(단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.

ㄱ.[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: x LEFT | x RIGHT |]

ㄴ. [eqn: rmg LEFT ( itx RIGHT )][eqn: =x LEFT [ x RIGHT ]]

ㄷ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{x`sin` {1} over {x} ~~&LEFT ( x != 0 RIGHT )#~~~0~&~x=0}}]

① ㄱ           ② ㄱ, ㄴ        ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ       ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

43 다음 보기의 방정식 중 주어진 구간에서 실근이 존재하는 것의 개수는?

ㄱ. [eqn: x-cos`x][eqn: =0] [eqn: LEFT ( 0,~ {pi} over {2} RIGHT )]

ㄴ. [eqn: x ^{3} +2x ^{2} -3x-1=0`` LEFT ( -3,~-2 RIGHT )]
ㄷ. [eqn: x`sin`x-cos`x][eqn: =0] [eqn: LEFT ( 0,~ {pi} over {2} RIGHT )]
ㄹ. [eqn: x ^{3} -3x ^{2} +4][eqn: =0] [eqn: LEFT ( 0,~1 RIGHT )]
ㅁ. [eqn: LEFT ( x+a RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -x][eqn: =0] [eqn: LEFT ( 0,~a RIGHT )]

① [eqn: 1]           ② [eqn: 2]         ③ [eqn: 3]
④ [eqn: 4]            ⑤ [eqn: 5]

44 다음 그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 [eqn: rmC,~D]를 [eqn: anglermAOD=2angleBOC]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: rmCD]의 연장선과 선분 [eqn: rmAB]의 연장선의 교점을 [eqn: rmE]라고 하자. 삼각형 [eqn: rmOCE]의 넓이를 [eqn: rmS _{1}], 부채꼴 [eqn: rmOBC]의 넓이를 [eqn: rmS _{2}]라고 할 때, [eqn: lim _{n -> 0} {rm {S _{2}} over {S _{1}}} it]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]        ② [eqn: {1} over {5}]        ③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]        ⑤ [eqn: {1} over {2}]

45 [eqn: - {pi} over {2} <x< {pi} over {2}]에서 정의된 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{eqalign{{e ^{3x} -a} over {sin`2x}# ~~}&LEFT ( x != 0 RIGHT )#~~~b~&` LEFT ( x=0 RIGHT )}}] 가 [eqn: x][eqn: =0]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 3a+2b]의 값은?

① [eqn: 2]          ② [eqn: 3]          ③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]          ⑤ [eqn: 6]

46 다음 중 방정식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} -1][eqn: =0]이 실근을 갖는 구간은?

① [eqn: LEFT ( -1,~- {1} over {2} RIGHT )]      ② [eqn: LEFT ( - {1} over {2} .~0 RIGHT )]
③ [eqn: LEFT ( 0,~ {1} over {2} RIGHT )]           ④ [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,~1 RIGHT )]
⑤ [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]

47 [eqn: - {pi} over {2} <x< {pi} over {2}]에서 정의된 함수
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{eqalign{{e ^{3x} -a} over {sin`2x}# ~~}&LEFT ( x != 0 RIGHT )#~~~b~&` LEFT ( x=0 RIGHT )}}] 가 [eqn: x][eqn: =0]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 3a+2b]의 값은?

① [eqn: 2]          ② [eqn: 3]          ③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]          ⑤ [eqn: 6]

미적분Ⅱ	Ⅱ. 삼각함수		2. 삼각함수의 미분			반 / 번호
	03 사인함수와 코사인함수의 미분					이름
		ㅉ

01 다음 함수를 미분하여라.

(1) [eqn: y=sinx]

(2) [eqn: y=cos`x]

02 다음 함수를 미분하여라.

(1) [eqn: y=sinx CDOT cos x]

(2) [eqn: y=x cos`x]

미적분Ⅱ	Ⅱ. 삼각함수		2. 삼각함수의 미분			정답
	01 삼각함수의 덧셈정리

01  (1)[eqn: {1} over {2}]   (2) [eqn: 1]

답

02  최댓값 :[eqn: 2] 최솟값:[eqn: -2]

답

03    ①

답

해

설

[eqn: {cases{sin` alpha +sin` beta = {1} over {2}&```````````` CDOTS CDOTS ㉠#eqalign{# cos` alpha +cos`` beta = {1} over {sqrt {2}}}&```````````` CDOTS CDOTS ㉡}}]

㉠, ㉡을 제곱하여 변끼리 더하면
[eqn: sin ^{2} ` alpha +cos ^{2} ` alpha +sin ^{2} ` beta +cos ^{2} ` beta ## +2(sin` alpha `sin` beta +cos` alpha `cos`` beta )= {1} over {4} + {1} over {2} ` ^{}]
[eqn: 2+2sin` alpha `sin` beta +2`cos` alpha `cos`` beta =- {3} over {4}][eqn: THEREFORE `sin` alpha `sin` beta +cos` alpha `cos`` beta =- {8} over {5}][eqn: THEREFORE `cos( alpha `-` beta )=- {8} over {5}]

04  ④

답

[eqn: sin LEFT ( {pi } over {3} + alpha RIGHT ) = {sqrt {3}} over {2} `cos`` alpha + {1} over {2} `sin` alpha],
[eqn: sin` LEFT ( {pi} over {3} -alpha RIGHT ) = {sqrt {3}} over {2} `cos`alpha- {1} over {2} `sin`alpha]
[eqn: THEREFORE (준식)=sin ^{2} ` alpha +2· LEFT ( {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ^{2} `cos ^{2} ` alpha # ```````````````````````````````````````+2· LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2`} `sin ^{2`} ` alpha + {3} over {2} cos ^{2} ` alpha = {3} over {2}]

해

설

05  ③

답

[eqn: cos( alpha + beta )`cos( alpha - beta )# # =(cos` alpha `cos` beta -sin` alpha `sin` beta )(cos`` alpha `cos`` beta +sin` alpha `sin` beta )``# # =cos ^{2} ` alpha `cos ^{2`} ` beta -sin ^{2} ` alpha `sin ^{2`} ` beta `# # =(1-sin ^{2} ` alpha )(1-sin ^{2} ` beta )-sin ^{2`} ` alpha `sin ^{2} ` beta # # =1-sin ^{2} ` alpha -sin ^{2} ` beta =1- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} = {1} over {4}]

해

설

06  ②

답

해

설

[eqn: f ^{-1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =a,`f ^{-1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) =b``]로 놓으면

[eqn: f(a)= {1} over {2} ,`f(b)= {1} over {3}]이므로

[eqn: tan`a= {1} over {2} ,`tan`b= {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE `tan(a+b)= {tan`a+tan`b} over {1-tan`a`tan`b} = {{1} over {2} + {1} over {3}} over {1- {1} over {2} + {1} over {3}} =1]

[eqn: 0 <= a< {pi } over {2} ,`0 <= b< {pi } over {2} ``]이므로 [eqn: 0 <= a+b< pi `]

[eqn: THEREFORE `a+b= {pi } over {4}]

07  ③

답

[eqn: tan`C=tan` LEFT { 180 DEG -(A+B) RIGHT } =-tan`(A+B)]       [eqn: =- {tan`A+tan`B} over {1-tan`A`tan`B} =- {1+2} over {1-1·2} =3]

해

설

08   [eqn: 150]

답

[eqn: cot``x+cot`y=30`#]의 양변에 [eqn: `tan`x`tan`y`#]를 곱하면
[eqn: tan`y+tan`x=30`tan`x`tan`y]
[eqn: THEREFORE tan`x`tan`y= {tan`x+tan`y} over {30} = {5} over {6}]
[eqn: THEREFORE `tan(x+y)= {tan`x+tan`y} over {1-tan`x`tan`y} =150]

해

설

09  ②

답

[eqn: f(x)=sin`x+sin {pi } over {3} ``cos`x-cos {pi } over {3} `sin`x]
[eqn: =sin`x+ {sqrt {3}} over {2} `cos`x- {1} over {2} `sin`x]
[eqn: = {1} over {2} `sin`x+ {sqrt {3}} over {2} `cos`x]                        [eqn: =sin`x`cos {pi } over {3} +cos`x`sin {pi } over {3}]
[eqn: =sin(x+ {pi } over {3} )]
따라서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 1이다.

해

설

10  [eqn: 4]

답

해

설

[eqn: f(x)=5`sin(x+a)` LEFT ( 단,`cos`a= {4} over {5} ,`sin`a= {3} over {5} RIGHT )]
이므로[eqn: `x+a= {pi } over {2} ,`]즉[eqn: x= {pi } over {2} -a]일 때 최대이다
[eqn: THEREFORE 3`tan` theta =3`tan LEFT ( {pi } over {2} -a RIGHT ) =3`cot``a]                            [eqn: =3· {cos`a} over {sin`a} =3· {3} over {4} =4]

11  ④

답

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에 접하고, 기울기가 [eqn: m]인 접선의
방정식은 [eqn: y=mx± sqrt {m ^{2} +1}]
이접선이 점 [eqn: rm P( sqrt {5} ,`3 sqrt {5} )]를 지나므로
[eqn: 3 sqrt {5} = sqrt {5} m± sqrt {m ^{2} +1}# sqrt {5} (3-m)± sqrt {m ^{2} +1}]

해

설

양변에 제곱하여 정리하면

[eqn: 2m ^{2} -15m+22=0# (m-2)(2m-11)=0]

[eqn: THEREFORE m=2]또는 [eqn: m= {11} over {2}]

이때, 위쪽 그림에서 [eqn: tan`alpha= {11} over {2} ,`tan`beta=2]

[eqn: THEREFORE `tan` theta =tan( alpha - beta )= {tan` alpha -tan` beta } over {1+tan` alpha `tan` beta }][eqn: = {{11} over {2} -2} over {1+ {11} over {2} ·2} = {7} over {24}]

12  1

답

해

설

두 직선이[eqn: x]축의 양이 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha,`beta]라고 하면 [eqn: tan`alpha=2,`tan`beta= {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE `tan` theta =tan`(alpha-beta)= LEFT | {tan`alpha-tan`beta} over {1+tan`alpha`tan`beta} RIGHT | =1]

13   ②

답

해

설

위의 그림에서 [eqn: ANGLE rm APO`it= alpha ,` ANGLE rm BPO`it= beta]로 놓으면

[eqn: tan`alpha= {3} over {x} ,~tan`beta= {2} over {x}]

[eqn: ANGLE rm APB=theta]로 놓으면

[eqn: tan` theta =tan( alpha - beta )]

[eqn: = {tan` alpha -tan` beta } over {1+tan` alpha `tan` beta } = {{3} over {x} - {2} over {x}} over {1+ {3} over {x} · {2} over {x}}]

[eqn: = {1} over {x+ {6} over {x}} <= {1} over {2 sqrt {6}} LEFT ( THEREFORE x+ {6} over {x} >= 2 sqrt {x· {6} over {x}} =2 sqrt {6} RIGHT )]

여기서 등호는 [eqn: x= {6} over {x} `]일 때, 즉 [eqn: x= sqrt {6}]일 때 성립한다. 따라서  [eqn: x= sqrt {6} (rmm)]일 때[eqn: tan` theta]의 값이 최대로 되며, [eqn: theta `]도 최대가 된다.

14  1

답

해

설

[eqn: rm {bar{OP}} it=d]라고하면  [eqn: sin {theta } over {2} = {1} over {d}]

[eqn: THEREFORE (d의`최소값)= {LEFT | -10 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} =2## THEREFORE LEFT ( 2`sin {theta } over {2} 의`최대값 RIGHT ) =1~~]

15  ①

답

해

설

[eqn: cos`110 DEG sin`40 DEG +sin`110 DEG `cos`40 DEG ## =sin(110 DEG +40 DEG )=sin`150 DEG =sin`30 DEG = {1} over {2}]

16  ③

답

해

설

[eqn: sin`alpha= {1} over {3}]이므로                                   [eqn: cos` alpha = sqrt {1- LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2}} = {2 sqrt {2}} over {3} ` LEFT ( THEREFORE 0< alpha < {pi } over {2} RIGHT )# # THEREFORE `cos LEFT ( {pi } over {3} + alpha RIGHT ) =cos` {pi } over {3} `cos` alpha -sin {pi } over {3} `sin` alpha]        [eqn: = {2 sqrt {2} - sqrt {3}} over {6}]

17  ①

답

해

설

[eqn: f(x)= sqrt {3} `sin`x-3`cos`x=2 sqrt {3} `sin(x- {pi } over {3} )## THEREFORE a=2 pi ,`b=2 sqrt {3} ,`c=-2 sqrt {3}## THEREFORE abc=2 pi TIMES 2 sqrt {3} TIMES (-2 sqrt {3} )=-24 pi]

18  [eqn: M=3]

답

해

설

[eqn: f(x)=sin`x+ sqrt {3} cos`x+ {sqrt {5}} over {2} `cos`x- {sqrt {15}} over {2} `sin`x## = LEFT ( 1- {sqrt {15}} over {2} RIGHT ) sin`x+ LEFT ( sqrt {3} + {sqrt {5}} over {2} RIGHT ) cos`x]

[eqn: f(x)]의 최댓값을 [eqn: M]이라고 하면

[eqn: M ^{2} = LEFT ( 1- {sqrt {15}} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {3} + {sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{2} =9## # THEREFORE M=3``( THEREFORE `M>0)]

19  3

답

해

설

[eqn: x ^{2} =x+2]에서[eqn: x=2,`-1]이므로 교점의 좌표를 [eqn: rmA LEFT ( 2,`4 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( -1,`1 RIGHT )]이라 하고, 선분 [eqn: rmAO,`BO]가 [eqn: x]축과 이루는 예각의 크기를 [eqn: alpha,`beta]라고 하면

[eqn: tan` alpha =2,`tan` beta =1## THEREFORE `tan` theta =tan` LEFT { pi -( alpha + beta ) RIGHT }## =-tan`( alpha + beta )=- {tan` alpha +tan` beta } over {1-tan` alpha `tan` beta } =3]

20  ③

답

해

설

[eqn: (cos`alpha-cos`beta) ^{2} +(sin`alpha-sin`beta) ^{2} =1]에서 [eqn: cos`alpha`cos`beta+sin``alpha`sin`beta= {1} over {2}]

[eqn: THEREFORE `cos( alpha - beta )= {1} over {2}## THEREFORE LEFT | alpha-beta RIGHT | = {pi} over {3}]

21  ⑤

답

해

설

[eqn: f(x)= LEFT ( {1} over {2} +cos`k RIGHT ) sin`x+ LEFT ( {sqrt {3}} over {2} +sin`k RIGHT ) cos`x# THEREFORE {1} over {2} +cos`k=0,` {sqrt {3}} over {2} +sin`k=0# THEREFORE `cos`k=- {1} over {2} ,`sin`k=- {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: k= {4} over {3} pi]이므로 [eqn: tan`k=tan` {4} over {3} pi = sqrt {3}]

22  ③

답

해

설

[eqn: sqrt {2} `sin` alpha +2`cos` beta = sqrt {2} `sin` alpha `+2`cos` LEFT ( {pi } over {4} - alpha RIGHT )# `# = sqrt {2} `sin` alpha + sqrt {2} `cos` alpha `+ sqrt {2} `sin` alpha # # = sqrt {2} (2`sin` alpha +cos` alpha )# # = sqrt {10} `sin`( alpha + beta )# # LEFT ( 단,`sin` theta =` {1} over {sqrt {5}} ,`cos` theta = {2} over {sqrt {5}} RIGHT )]

23  ③

답

해

설

[eqn: anglermAPB=90DEG]이므로[eqn: rm {bar{AP}} + rm 2 {bar{BP}} ~]                   [eqn: =5cos` theta +10sin` theta =5 sqrt {5} `sin`( theta + alpha )# # (단,`sin` alpha = {1`} over {sqrt {5}} ,`cos` alpha = {1} over {sqrt {5}} )]

[eqn: sin(theta+alpha)=1], 즉[eqn: theta+alpha= {pi} over {2}]일 때 최대이므로 [eqn: cos` theta = LEFT ( {pi } over {2} - alpha RIGHT ) =sin`alpha= {sqrt {5}} over {5}]

24  [eqn: x=12]

답

해

설

[eqn: rm {bar{BH}} `it=x]로 놓으면

[eqn: tan`( ANGLE rm BAC` it )=tan`( ANGLE rm BAH+ ANGLE CAH` it ` it )# # = {{x} over {20} + {5} over {20}} over {1- {x} over {20} · {5} over {20}} =tan`45 DEG =1# # THEREFORE {x} over {20} + {5} over {20} =1- {x} over {20} · {5} over {20}# # THEREFORE x=12]

25   ③

답

해

설

[eqn: ANGLE rm COT` it = alpha ,` ANGLE rm COD` it = beta]라고하면                [eqn: ANGLE rm OTB= ANGLE rm OCD`` it =90 DEG]이므로 [eqn: tan` alpha = {3} over {2} ,`tan`( alpha + beta )=5# # THEREFORE `tan` beta =tan`( alpha + beta )- alpha = {7} over {17}# # THEREFORE ` rm bar{CD} =2`tan` beta = {14} over {17}]

26  ⑤

답

해

설

오른쪽 그림에서 [eqn: alpha+2x= gamma `,`beta-x=gamma]이므로 [eqn: beta= {alpha+gamma} over {2}]이고, [eqn: tan`alpha=2,`tan`gamma=3]이다.

[eqn: THEREFORE `tan`( alpha + gamma )=-1# # THEREFORE `tan`2 beta `= {tan` beta +tan` beta } over {1-tan` beta `tan` beta } =-1# # THEREFORE `tan` beta = sqrt {2} +1]

따라서 직선 [eqn: rmOP]의 기울기는 [eqn: sqrt {2} +1]이다.

27  [eqn: rm20]

답

해

설

[eqn: 2 rm bar{AC} ` it + rm bar{BC} ` it =20`cos`` theta +10`sin` theta # # =10 sqrt {5} `sin`( theta + alpha )# # LEFT ( 단,`sin` alpha = {2} over {sqrt {5}} ,`cos` alpha `= {1} over {sqrt {5}} RIGHT )]

[eqn: theta+alpha= {pi} over {2}]일 때 최대이므로 [eqn: rmTRIANGLE AB`C`it`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} ·10`sin`` theta ·10`cos` theta =50`cos` alpha `sin` alpha =20]

28  ⑤

답

[eqn: ㄱ,`ㄴ.` {rm {bar{PB}} it} over {sin` theta } =2R]에서 [eqn: R=1]이므로 [eqn: ` rm bar{PB} ` it =2`sin` theta ,` rm bar{PC} =2`sin LEFT ( {pi } over {3} - theta RIGHT )# # = sqrt {3} `cos` theta -sin` theta ,` rm bar{PA} =2`sin` LEFT ( {2} over {3} pi - theta RIGHT )# `# = sqrt {3} `cos` theta +sin` theta # # THEREFORE f( theta )= rm bar{PA} ` it + rm bar{PB} it rm + bar{eqalign{PC# }}# = LEFT ( sqrt {3} `cos` theta +sin` theta RIGHT ) +2`sin` theta +( sqrt {3} `cos` theta -sin` theta )# # it# =2`sin` theta +2 sqrt {3} `cos theta ```````````````````````````` THEREFORE 참# # `ㄷ.```f( theta )=2`sin` theta +2 sqrt {3} `cos` theta =4`sin LEFT ( theta + {pi } over {3} RIGHT )]
에서 [eqn: theta+ {pi} over {3} = {pi} over {2}]일 때 최댓값 [eqn: rm4]를 가지므로 [eqn: f(theta)]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( {pi} over {6} RIGHT ) =4]이다.      ∴참

해

설

29  [eqn: sin`2 theta = {4 sqrt {2}} over {9} ,`cos`2theta- {7} over {9}]

답

30  [eqn: sin` {theta} over {2} = {sqrt {5}} over {5} ,`cos` {theta} over {2} = {2 sqrt {5}} over {5} ,`tan` {theta} over {2} = {1} over {2}]

답

31  [eqn: {2- sqrt {3}} over {4}]

답

32  ④

답

해

설

[eqn: rm ANGLE OPQ= rm ANGLE OPR][eqn: rm = {theta } over {2}]이므로

[eqn: sin` {theta } over {2} = {rm {bar{OQ}} it} over {rm {bar{OP}} it}][eqn: = {2} over {3} ,][eqn: `cos` {theta } over {2}= {rm bar{PQ} it} over {rm bar{OP} it} = {sqrt {3 ^{2} -2 ^{2}}} over {3} = {sqrt {5}} over {3}][eqn: THEREFORE `sin` theta =sin` LEFT ( {theta } over {2} + {theta } over {2} RIGHT ) =2`sin` {theta } over {2} `cos {theta } over {2}]

[eqn: =2· {2} over {3} · {sqrt {5}} over {3} = {4 sqrt {5}} over {9}]

33  4

답

해

설

[eqn: tan` theta =2,`tan`2` theta =m# # THEREFORE m= {2`tan` theta } over {1-tan ^{2} theta } = {4} over {3}# # THEREFORE `-3m=4]

34  ④

답

해

설

[eqn: rmangleABC=theta]라고하면                           [eqn: rm ANGLE ACH=2 theta ,sin theta = {1} over {3}# THEREFORE rm {{bar{CH}}} over {{bar{BC}}} = {{bar{CH}}} over {{bar{AC}}} =cos`2 theta =1-2`sin ^{2} theta # =1-2· {1} over {9} = {7} over {9}]

35  ④

답

해

설

[eqn: ```````sin(A+B)`sin(A-B)# =- {1} over {2} LEFT ( cos`2A-cos`2B RIGHT )# =- {1} over {2} LEFT ( 1-2`sin ^{2} A-1+2`cos ^{2} B RIGHT )# =sin ^{2} A-sin ^{2} B=sin ^{2} C]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라고

하면

[eqn: sin`A= rm {it a rm} over {2R} ,`sin`B {it b rm} over {rm 2R} ,`sinC= {it c rm} over {rm 2R}]이므로

[eqn: LEFT ( {a} over {rm 2R it} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {b} over {rm 2R it} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {c} over {rm 2R it} RIGHT ) ^{2} ````````` THEREFORE a ^{2} =b ^{2} +c ^{2}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: rmangle`A= {pi} over {2}]인 직삼각형이다.

36  1

답

해

설

[eqn: ````````2(2`sin` alpha `sin` alpha +2`sin` alpha `sin`3 alpha +2`sin` alpha `sin`5 alpha )# # =2 LEFT { LEFT ( cos`0 DEG -cos`2 alpha RIGHT ) + LEFT ( cos`2 alpha -cos`4 alpha RIGHT ) + LEFT ( cos`4 alpha -cos`6 alpha RIGHT ) RIGHT }# # =2 LEFT ( cos`0 DEG -cos`6 alpha RIGHT ) =2 LEFT ( 1-cos`60 DEG RIGHT ) =1]

37  ⑤

답

해

설

[eqn: ````````sin`A=2`cos`B``sin`C=sin`(B+C)-sin`(B-C)# # =sin`( pi -A)-sin`(B-C)=sin`A-sin`(B-C)# # THEREFORE `sin(B-C)=0``````````````]

[eqn: THEREFORE ` rm angleB= ANGLE C]인 이등변삼각형

38  ②

답

[eqn: rm ANGLE PAB= ANGLE QBC= ANGLE SDA=theta]라고하면 [eqn: rmbarPQ`it=sin`theta+2`cos`theta,`rmbarPS`it=cos`theta+2`sin`theta]
∴(직사각형[eqn: rmPQRS]의 넓이)

해

설

[eqn: =(sin` theta +2`cos` theta )(cos` theta +2`sin` theta )# # =2(sin ^{2} theta+cos ^{2} theta)+5`sintheta`cos`theta# # = {5} over {2} `sin`2theta+2]
[eqn: 0<theta< {pi} over {2}]이므로 [eqn: theta= {pi} over {4}]일 때 최댓값[eqn: {9} over {2}]를 갖는다.

39   ②

답

해

설

[eqn: rm {bar{OA prime }} = {bar{OA`}} `cos` LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )# ~~~~=2`sin` theta ,][eqn: rm {bar{OB prime }} = {bar{OB`}} `cos`` theta # ~~~=2 sqrt {3} `cos` theta ,`][eqn: rm {bar{OA'}} + {bar{OB'}} =2`sin` theta +2 sqrt {3`} cos` theta =4`sin` LEFT ( theta + {pi } over {3} RIGHT ) `]

[eqn: theta+ {pi} over {3} = {pi} over {2}]일 때 최댓값 4를 가지므로 [eqn: rm {bar{OA {acute{}}}} + {bar{OB {acute{}}}}]이 최대가 되는 [eqn: theta] 의 값은 [eqn: {pi} over {6}]이다.

40  [eqn: rm26]

답

[eqn: f(x)=6· {1-cos`2x} over {2} +8· {sin`2x} over {2} +10# =4`sin`2x-3`cos`2x`+13# # =5`sin`(2x+ alpha )+13`````````` LEFT ( 단,`sin` alpha =- {3} over {5} ,`cos` alpha = {4} over {5} RIGHT )# # THEREFORE M=5+13=18,`m=-5+13=8# # THEREFORE M+m=26]

해

설

41  ③

답

해

설

[eqn: (준식)= {2`sin`alpha`cos`alpha} over {1+(2`cos ^{2} `alpha-1)} = {sin`alpha} over {cos`alpha} =tan`alpha]

42  ①

답

해

설

[eqn: cos`alpha= sqrt {1-sin ^{2} alpha} = {4} over {5}]이므로

[eqn: tan ^{2} {alpha} over {2} = {1-cos`alpha} over {1+cos`alpha} = {1- {4} over {5}} over {1+ {4} over {5}} = {1} over {9}]

[eqn: tan` {alpha } over {2} =- {1} over {3}# # LEFT ( BECAUSE {alpha } over {2} 는`제2사분면`또는`제`4사분면의`각 RIGHT )]

43  ②

답

해

설

[eqn: alpha= {pi} over {34}]이므로 [eqn: 17alpha= {pi} over {2}]

[eqn: {cos` alpha `cos13 alpha } over {sin`3 alpha +sin`5 alpha } = {cos` alpha `cos`13 alpha } over {2`sin`4 alpha `cos(- alpha )}# # = {cos LEFT ( {pi} over {2} -4alpha RIGHT )} over {2`sin`4`alpha} = {sin`4alpha} over {2`sin`4`alpha} = {1} over {2}]

44  ①

답

해

설

[eqn: f( theta )=sin ^{2} theta +sin` theta `cos` theta # # = {1} over {2} (sin`2 theta -cos`2 theta )+ {1} over {2}# = {sqrt {2}} over {2} `sin LEFT ( 2 theta - {pi } over {4} RIGHT ) + {1} over {2}]

따라서 [eqn: f( theta )]의 최솟값은[eqn: {1- sqrt {2}} over {2}]이다.

45  [eqn: rm4]

답

해

설

[eqn: tan`15 DEG + {1} over {tan`15 DEG } = {sec ^{2} `15 DEG } over {tan`15 DEG }# = {1} over {cos`15 DEG `sin`15 DEG } = {2} over {sin`30 DEG } =4]

46  ⑤

답

해

설

[eqn: f(x)=2`sin ^{2} x+2`sin`x`cos ^{2} x+2`cos`x# # =2`sin ^{3} x+2`sin`x(1-sin ^{2} x)+2`cos`x# # =2`sin`x+2`cos`x=2 sqrt {2`} `sin LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT )]

따라서 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 2 sqrt {2}]이다.

47  ④

답

해

설

[eqn: (준식)= LEFT ( {1} over {2} - {1} over {2} `cos`2 theta RIGHT ) + LEFT { {1} over {2} - {1} over {2} `cos LEFT ( 2 theta + {2} over {3} pi RIGHT ) RIGHT }# # ``````````````````````````````+ LEFT { {1} over {2} - {1} over {2} `cos LEFT ( 2 theta + {4} over {3} pi RIGHT ) RIGHT }# # `````````````````````= {3} over {2} - {1} over {2} LEFT { cos`2 theta +2`cos`(2 theta + pi )`cos` {pi } over {3} RIGHT } = {3} over {2}]

48  ④

답

해

설

[eqn: ````````sin`20 DEG +sin`40 DEG =2`sin`30 DEG ``cos(-10 DEG )# # =cos`10 DEG ,`cos`20 DEG +cos`40 DEG =2`cos``30 DEG `cos(-10DEG)# # = sqrt {3} `cos`10 DEG # # THEREFORE {cos`20 DEG +cos`40 DEG } over {sin`20 DEG +sin`40 DEG } = {sqrt {3} `cos`10 DEG } over {cos`10 DEG } = sqrt {3}]

49  ①

답

해

설

[eqn: rm TRIANGLE OAS == TRIANGLE OBS][eqn: ( BECAUSE rm {bar{OS}} 는`공통,` {bar{OA}} = {bar{OB,}} ` ANGLE OAS= ANGLE OBS=90 DEG )]

이므로 [eqn: sin` {theta } over {2} = {rm {bar{OA}} it} over {rm {bar{OS}} it} = {r} over {r+ {r} over {2}} = {2} over {3} ````][eqn: THEREFORE `cos` theta =1-2sin ^{2} {theta } over {2} = {1} over {9}]

50  [eqn: a=1]

답

해

설

[eqn: f(x)=cos`2x+sin`2x= sqrt {2} `sin LEFT ( 2x+ {pi } over {4} RIGHT )# ```````````````= sqrt {2} `sin` LEFT { 2 LEFT ( x+ {pi } over {8} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=a]와 서로 다른 세 점에서 만나려면 오른쪽 그림과 같이 직선 [eqn: y=a]가 점[eqn: (0,`1)]을 지나야 한다.

[eqn: thereforea=1]

51  ③

답

해

설

원주각의 크기는 호의 길이에 비례하므로 [eqn: rmANGLE CAB`it= theta]이면[eqn: rm ANGLE CBA` it =2 theta] 이다.

[eqn: {rm {bar{CA}} it} over {sin`2 theta } = {rm {bar{CB}} it} over {sin` theta } =2]에서 [eqn: rm {bar{CA}} =2`sin`2 theta ,` rm {bar{CB}} =2`sin theta ````]

[eqn: THEREFORE rm {bar{CA}} `· rm {bar{CB}} `=4`sin`2 theta `sin` theta # # =8sin ^{2} theta `cos` theta =8 LEFT ( 1-cos ^{2} theta RIGHT ) cos` theta]

[eqn: cos`theta=x]로 놓으면 [eqn: f(x)=8(1-x ^{2} )x,`f {acute{}} (x)=8(1-3x ^{2} )=0]에서

[eqn: x=± {sqrt {3}} over {3}]이므로[eqn: x= {sqrt {3}} over {3} ,] 즉 [eqn: cos`theta= {sqrt {3}} over {3}]일 때, [eqn: rm {bar{CA}} · rm {bar{CB}}]는 최대다.

52  [eqn: 1]

답

해

설

사다리꼴 [eqn: rmABCD]가 [eqn: rm {bar{AB}} `⫽ rm {bar{DC}}]이고 한 원에 내접하므로 [eqn: rm ANGLE A= ANGLE B,` ANGLE C= ANGLE D], 즉[eqn: rmangleA+angleC=angleB+angleD=180DEG]이다.

[eqn: (준식)=cos ^{2} {A} over {2} +cos ^{2} {C} over {2} = {1} over {2} LEFT ( cos`A+cos`C RIGHT ) +1# ```````````````````````=cos {A+C} over {2} `cos {A-C} over {2} +1=0+1=1]

53  ③

답

[eqn: sin` alpha = sqrt {1-cos ^{2} alpha} = {3} over {5}]
[eqn: cos` beta =- sqrt {1-sin ^{2} beta } =- {5} over {13}]
[eqn: thereforesin LEFT ( alpha+beta RIGHT ) =sinalpha`cos`beta+cos`alpha`sin`beta]
[eqn: = {3} over {5} · LEFT ( - {5} over {13} RIGHT ) + {4} over {5} · {12} over {13} = {33} over {65}]

해

설

54   ③

답

해

설

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: tan`alpha+tan`beta= {4} over {3} ,`tan`alpha`tan`beta= {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE `tan` LEFT ( alpha + beta RIGHT ) = {tan` alpha +tan` beta } over {1-tan` alpha `tan`beta} =2]

55  ⑤

답

해

설

[eqn: tan LEFT ( alpha + {pi } over {4} RIGHT ) = {tan` alpha +tan` {pi } over {4}} over {1-tan` alpha `tan` {pi } over {4}} = {1+tan`alpha} over {1-tan`alpha} =7]

[eqn: 7-7tan`alpha=1+tan`alpha]   [eqn: therefore`tan`alpha= {3} over {4} `]

이때, [eqn: 0<alpha< {pi} over {7}]이므로 [eqn: cos`alpha= {4} over {5}]

56  ③

답

해

설

두 직선 [eqn: y=-2x+5]와 [eqn: y=3x+4]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 [eqn: alpha ,`~ beta]라고 하면[eqn: tan`alpha=-2,~tan`beta=3]이다. 이때, 두 직선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라고 하면

[eqn: tan` theta = LEFT | tan` LEFT ( alpha - beta RIGHT ) RIGHT | = LEFT | {tan` alpha -tan` beta } over {1+tan` alpha `tan` beta } RIGHT | =1]

[eqn: thereforetheta= {pi} over {4}]

57  ③

답

해

설

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( {sqrt {3}} over {2} `sin`x+ {1} over {2} `cos`x RIGHT ) =2`sin` LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT )]

이때, [eqn: -2 LEQ 2sin` LEFT ( x+ {pi } over {6} RIGHT ) LEQ 2] [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 2이다.

58  ②

답

해

설

[eqn: sin`theta+cos``theta= {2} over {3}]의 양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 2`sin`theta`cos`theta=- {5} over {9}]  [eqn: therefore`sin`theta`cos`theta=- {5} over {18}]

[eqn: therefore`cosec`theta+sec`theta= {1} over {sin`theta} + {1} over {cos``theta}]

[eqn: {sin` theta +cos` theta } over {sin` theta `cos` theta } = {{2} over {3}} over {- {5} over {18}} =- {12} over {5}]

59   ①

답

삼각함수의 덧셈정리를 이용하면

해

설

[eqn: sin` LEFT ( alpha + beta RIGHT ) `cos` beta -cos` LEFT ( alpha+ beta RIGHT ) sin` beta]

[eqn: =sin` LEFT { LEFT ( alpha + beta RIGHT ) - beta RIGHT } =sin`` alpha]

60  ④

답

[eqn: cos`alpha<0,~sin`beta>0]

해

설

[eqn: cos` alpha =- sqrt {1-sin` ^{2} alpha } =- sqrt {1- LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2}} =- {sqrt {5}} over {3} ,]

[eqn: sin`beta sqrt {1-cos ^{2} beta} = sqrt {1- LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2}} = sqrt {{15} over {4}}]

[eqn: THEREFORE `sin` LEFT ( alpha - beta RIGHT ) =sin` alpha `cos` beta -cos`alpha`sin`beta]

[eqn: = {2} over {3} · {1} over {4} - LEFT ( - {sqrt {5}} over {3} RIGHT ) · {sqrt {15}} over {4}]

[eqn: = {2+5 sqrt {3}} over {12}]

61   ⑤

답

해

설

함수 [eqn: f LEFT ( x` RIGHT )]의 역함수가 [eqn: rm g LEFT ( it x RIGHT )]이므로  [eqn: rm g LEFT ( it 2 RIGHT ) =alpha,~rmg LEFT ( 3 RIGHT ) =beta]로 놓으면  [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =2,~f LEFT ( beta RIGHT ) =3]

즉, [eqn: tan`alpha=2,`tan`beta=3]에서

[eqn: tan` LEFT ( alpha+beta RIGHT ) = {tan`alpha+tan`beta} over {1-tan`alpha`tan`beta} = {2+3} over {1-2·3} =-1]

[eqn: 0<alpha< {pi} over {2} ,~0<beta< {pi} over {2}]에서 [eqn: 0<alpha+beta<pi]이므로

[eqn: alpha + beta = rm g(2)+g LEFT ( 3 RIGHT ) = {3} over {4} pi]

62  ⑤

답

해

설

[eqn: tan` theta =tan` LEFT ( alpha - beta RIGHT )][eqn: = {tan` alpha -tan` beta } over {1+tan` alpha `tan` beta }]

[eqn: = {a- {a} over {3}} over {1+a· {a} over {3}}][eqn: = {2a} over {a ^{2} +3} = {1} over {3}]

[eqn: {2a} over {a ^{2} +3} = {1} over {3} ,] [eqn: a ^{2} +3=6a]

[eqn: thereforea ^{2} -6a+3=0]

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 주어진 조건을 만족하는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 6]이다.

63  ②

답

해

설

[eqn: ANGLE rm `APB=90 DEG]이므로 [eqn: ANGLE rm `PAB=theta LEFT ( 0DEG<theta<90DEG RIGHT )]로 놓으면

[eqn: rm bar{AP}} =cos` theta ,~ rm{bar{BP}} =sin` theta ~]

[eqn: THEREFORE rm {bar{AP}} +2 rm {bar{BP}} =cos` theta +2`sin` theta]

[eqn: = sqrt {5} LEFT ( {1} over {sqrt {5}} `cos` theta + {2} over {sqrt {5}} `sin` theta RIGHT )]

[eqn: = sqrt {5} `cos` LEFT ( theta-alpha RIGHT )] (단, [eqn: tan`alpha=2])

따라서 [eqn: rm {bar{AP}} +2 rm {bar{BP}}]의 최댓값은 [eqn: sqrt {5}]이다.

64   ④

답

[eqn: sin`x+cos`x=t]로 놓으면

해

설

[eqn: t=z sqrt {2} LEFT ( {1} over {sqrt {2}} `sin`x+ {1} over {sqrt {2}} cos`x RIGHT )]              [eqn: = sqrt {2} `sin` LEFT ( x+ {pi } over {4} RIGHT )]

[eqn: LEFT ( sin`x+cos`x RIGHT ) ^{2} =t ^{2}]에서

[eqn: sin` ^{2} x+2`sin`x`cos`x+cos ^{2} x=t ^{2}]

[eqn: 1+2`sin`x`cos`x=t ^{2}]   [eqn: therefore2`sin`x`cos`x=t ^{2} -1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =rmg LEFT ( it`t RIGHT )]로 놓으면 [eqn: rmg LEFT ( it`t RIGHT ) t ^{2} +t-1= LEFT ( t+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} - {5} over {4}]

(단, [eqn: - sqrt {2} LEQ t LEQ sqrt {2}])

따라서 구하는 최댓값은 [eqn: rmg LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) = sqrt {2} +1]

65   [eqn: 1]

답

두 직선 [eqn: y=x+3]과 [eqn: y=mx-1]의 기울기가 각각 [eqn: 1], [eqn: m]이므로

해

설

[eqn: tan`60DEG= sqrt {3} = LEFT | {1-m} over {1+m} RIGHT | ,` sqrt {3} LEFT | 1+m RIGHT | = LEFT | 1,~m RIGHT |]

양변을 제곱하여 정리하면   [eqn: 2m ^{2} +8m+2=0]

[eqn: thereforem ^{2} +4m+1=0]

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 [eqn: m]의 값의 곱은 1이다.

66  ⑤

답

해

설

[eqn: 2`cos`theta=3·2`sin`theta`cos`theta]에서

[eqn: 2`cos` theta ` LEFT ( 3`sin` theta `-1 RIGHT ) =0]

[eqn: thereforesin`theta {1} over {3}][eqn: LEFT ( BECAUSE cos`theta!=0 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE `cos`2` theta =1-2`sin ^{2} theta =1-2· LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = {7} over {9}]

67  ⑤

답

해

설

[eqn: cos` alpha =- sqrt {1-sin` ^{2} alpha }]

[eqn: =- sqrt {1- LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{2}} =- {4} over {5}] [eqn: LEFT ( BECAUSE `cos`alpha<0 RIGHT )]

[eqn: {pi} over {2} <alpha<pi]에서  [eqn: {pi} over {4} < {alpha} over {2} < {pi} over {2}]이므로  [eqn: tan {alpha} over {2} >0]

[eqn: therefore`tan {alpha} over {2} = sqrt {{1-cos`alpha} over {1+cos`alpha}} = sqrt {{1- LEFT ( - {4} over {5} RIGHT )} over {1+ LEFT ( - {4} over {5} RIGHT )}} =3]

68   ③

답

해

설

덧셈정리를 이용하여 주어진 식을 정리하면

[eqn: {3} over {2} - {1} over {2} LEFT { cos2x+cos LEFT ( {4} over {3} pi +2x RIGHT ) +cos LEFT ( {4} over {3} pi -2x RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {3} over {2} - {1} over {2} LEFT ( cos`2x+2cos` {4} over {3} pi`cos`2x RIGHT )]

[eqn: = {3} over {2} - {1} over {2} LEFT ( cos`2x-`cos`2x RIGHT ) = {3} over {2}]

69   ④

답

[eqn: sinC=sin` LEFT ( rm A+B RIGHT ) -sin` LEFT (rm A-B RIGHT )]                    [eqn: =sin` LEFT ( pi - rm C RIGHT ) -sin` LEFT ( rm A-B RIGHT )]                     [eqn: =sin`C-sin`` LEFT ( rm A-B RIGHT )]
에서 [eqn: sin` LEFT ( A-B RIGHT ) =0]   [eqn: thereforeA=B]
따라서 [eqn: TRIANGLE rmABC]는 [eqn: ANGLE rmA= ANGLE B]

해

설

70  ③

답

해

설

[eqn: tan`3x= {1} over {tan`x} =tan LEFT ( {pi} over {2} -x RIGHT )]

이므로 [eqn: 3x=npi+ LEFT ( {pi} over {2} -x RIGHT )] (단, [eqn: n]은 정수)

[eqn: thereforex= {n} over {4} pi+ {pi} over {8}]

따라서 구하는 모든 근의 합은

[eqn: {pi} over {8} + {3} over {8} pi+ {5} over {8} pi+ {7} over {8} pi=2pi]

71  ④

답

[eqn: sin`x`+cos`x= sqrt {2} `sin` LEFT ( x+ {pi} over {4} RIGHT ) = {sqrt {6}} over {2}]

해

설

에서  [eqn: sin` LEFT ( x+ {pi} over {4} RIGHT ) = {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: thereforex+ {pi} over {4} = {pi} over {3}]또는 [eqn: x+ {pi} over {4} = {2} over {3} pi]

따라서 모든 해의 합은  [eqn: {pi} over {12} + {5} over {12} pi= {pi} over {2}]

72  ④

답

[eqn: sin`theta+cos`theta= {sqrt {5}} over {3}]에서 양변을 제곱하여 정리하면 [eqn: 2`sin`theta`cos`theta= {2} over {3}]   [eqn: therefore2theta= {2} over {3}]
한편 [eqn: 0<theta< {pi} over {4}]에서 [eqn: 0<2 theta < {pi } over {4}]이므로
[eqn: cos`2theta>0]
[eqn: THEREFORE `cos`2 theta = sqrt {1-sin ^{2} 2theta} = sqrt {1- {4} over {9}} = {sqrt {5}} over {3}]

해

설

73   ③

답

[eqn: {pi} over {2} <alpha<pi]에서 [eqn: cos`alpha<0]이므로

해

설

[eqn: cos` alpha =- sqrt {1-sin ^{2} alpha } =- sqrt {1- LEFT ( {4} over {5} RIGHT ) ^{2}} =- {3} over {5}]

[eqn: {pi} over {2} <alpha<pi]에서  [eqn: {pi} over {4} < {alpha} over {2} < {pi} over {2}]이므로

[eqn: sin` {alpha } over {2} >0]
[eqn: THEREFORE `sin` {alpha } over {2} = sqrt {{1-cos` alpha } over {2}} = sqrt {{1} over {2} LEFT ( 1+ {3} over {5} RIGHT )}]

[eqn: = {2 sqrt {5}} over {5}]

74  ②

답

해

설

(주어진 식)
[eqn: = {1} over {3+ {4 LEFT ( 1-cos`2 theta RIGHT )} over {2}} + {1} over {3+ {4 LEFT ( 1+cos`2 theta RIGHT )} over {2}}][eqn: = {1} over {5-2`cos`2 theta } + {1} over {5+2`cos`2 theta }][eqn: = {10} over {25-4`cos ^{2} `2 theta } + {10} over {25-4` LEFT ( 1-sin ^{2} `2 theta ` RIGHT )}][eqn: = {10} over {21+4`sin ^{2} `2 theta }]
그런데 분모의 값이 클수록 주어진 식의 값은 작아지므로 [eqn: sin` ^{2} 2theta]의 값이 최대일 때, 주어진 시의 값은 최소가 된다.

따라서 [eqn: sin` ^{2} 2 theta =1]일 때, 구하는 최솟값은

[eqn: {10} over {21+4} = {2} over {5}]

75  ⑤

답

[eqn: sin`x ^{2} x=sin` LEFT ( {pi } over {6} -x RIGHT ) `sin` LEFT ( {pi } over {6} +x RIGHT )]                      [eqn: =- {1} over {2} LEFT ( cos` {pi } over {3} -cos`2x RIGHT )]이므로
[eqn: {1-cos`2x} over {2} =- {1} over {2} LEFT ( {1} over {2} -cos`2x RIGHT ) ,][eqn: 2-2`cos`2x=-1+2`cos`2x]
[eqn: therefore`cos`2x= {3} over {4}]

해

설

76   ①

답

[eqn: sin`A+sin`B=cos`A+cos`B]에서
[eqn: 2sin` {A+B} over {2} `cos {A-B} over {2}][eqn: =2`cos` {A+B} over {2} `cos {A-B} over {2}]
그런데 [eqn: - {pi} over {4} < {A-B} over {2} < {pi} over {4}]이므로
[eqn: cos` {A-B} over {2} !=0] [eqn: therefore`sin` {A+B} over {2} =cos {A-B} over {2}]
[eqn: thereforetan` {A+B} over {2} =1]
[eqn: 0< {A+B} over {2} < {pi} over {2}]이므로 [eqn: {A+B} over {2} = {pi} over {4}]
[eqn: thereforeA+B= {pi} over {2}]

해

설

77  ④

답

[eqn: cos` theta +cos`7 theta =2`cos`4 theta `cos`3 theta `]이고
[eqn: cos`3theta+cos`5theta=2`cos`4theta`costheta]이므로
[eqn: cos` theta +cos`3 theta +cos`5 theta +cos`7 theta][eqn: =2`cos`4 theta `cos`3 theta +2`cos`4 theta `cos` theta][eqn: =2`cos`4 theta LEFT ( cos`3 theta +cos` theta RIGHT )][eqn: =2`cos`4 theta ·2`cos``2 theta `cos` theta]
[eqn: =4`cos`` theta `cos`2 theta cos``4 theta]
[eqn: thereforek=4]

해

설

78  ①

답

해

설

[eqn: sin` LEFT ( x+ {pi} over {6} RIGHT ) +sin` LEFT ( x- {pi} over {6} RIGHT ) =2`sin`x`cos` {pi} over {6}]에서
[eqn: 2`sin`x`cos` {pi} over {6} = sqrt {3} sin`x= {sqrt {3}} over {3}]
[eqn: thereforesin`x= {1} over {3}] ……㉠
㉠의 두 실근이 [eqn: alpha,~beta LEFT ( alpha<beta RIGHT )]이므로

[eqn: sin`alpha=sin` LEFT ( pi-alpha RIGHT ) = {1} over {3} LEFT ( 0<alpha< {pi} over {2} RIGHT )]에서

[eqn: beta=pi-alpha]

[eqn: THEREFORE `cos` LEFT ( beta - alpha RIGHT ) =cos` LEFT ( pi -2 alpha RIGHT ) =-cos`2 alpha]

[eqn: =- LEFT ( 1-2`sin` ^{2`} alpha RIGHT )]

[eqn: =-1+2· {1} over {9} =- {7} over {9}]

79  [eqn: {7} over {32}]

답

[eqn: beta=2alpha]이므로
[eqn: sin` alpha +cos` beta =sin` alpha +cos`2 alpha]                              [eqn: =sin` alpha + LEFT ( 1-2`sin ^{2} alpha RIGHT )]
[eqn: =-2 LEFT ( sin` alpha - {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + {9} over {8}]
즉, [eqn: sin`alpha+cos`beta]는 [eqn: sin`alpha= {1} over {4}]일 때 최대가 되므로
[eqn: sin` alpha `cos` beta =sin` alpha `cos`2 alpha =sin` alpha LEFT ( 1-2`sin ^{2} alpha RIGHT )]              [eqn: = {1} over {4} LEFT ( 1-2· {1} over {16} RIGHT ) = {7} over {32}]

해

설

80   ③

답

[eqn: rm {bar{AC}} =5,~ rm {bar{AD}} = sqrt {34}]이므로 [eqn: sin` alpha = {3} over {5} ,~cos` alpha = {4} over {5} ,~sin` beta = {3} over {sqrt {34}} ,][eqn: cos` beta = {5} over {sqrt {34}}]
[eqn: THEREFORE rm {bar{DE}} = {bar{AD}} `sin` LEFT ( alpha + beta RIGHT )]                             [eqn: = sqrt {34} LEFT ( sin` alpha `cos` beta +cos` alpha `sin` beta RIGHT ) = {27} over {5}]
[eqn: thereforea+b=5+27=32]

해

설

81  [eqn: -6]

답

해

설

[eqn: y= sqrt {7} `sin` LEFT ( x+alpha RIGHT ) +1`]

(단, [eqn: cos`alpha= {2} over {sqrt {7}} ,~sin`alpha=- {sqrt {3}} over {7}])

[eqn: - sqrt {7} LEQ sqrt {7`} `sin` LEFT ( x+alpha RIGHT ) LEQ sqrt {7} `]이므로

[eqn: M= sqrt {7} +1,~m=- sqrt {7} +1]

[eqn: thereforeMm=-6]

82  ④

답

해

설

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`sin` {1} over {2} LEFT ( x- {pi} over {3} RIGHT )]이므로
ㄱ. 주기:[eqn: {2pi} over {LEFT | {1} over {2} RIGHT |} =4pi] (거짓)
ㄴ. 최댓값: [eqn: 2], 최솟값:-2 (참)
ㄷ. [eqn: f LEFT ( x- {pi} over {3} RIGHT ) =2`sin` {1} over {2} LEFT ( x- {pi} over {3} + {pi} over {3} RIGHT ) =2`sin` {1} over {2} x]      이므로 함수 [eqn: y=f LEFT ( x- {pi} over {3} RIGHT )]는 원점에 대하여      대칭이다. (참)

83  ③

답

[eqn: y=ax+1,~y= {1} over {3} x+ {2} over {3}]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 [eqn: alpha,~beta]라고 하면 [eqn: tan`alpha=a,~tan`beta= {1} over {3}]

해

설

[eqn: LEFT | tan` LEFT ( alpha-beta RIGHT ) RIGHT | =tan {pi} over {4}]에서

[eqn: LEFT | {tan` alpha -tan`bwta} over {1+tan` alpha `tan` beta } RIGHT | =1], [eqn: {a- {1} over {3}} over {1+a· {1} over {3}} =±1]

[eqn: thereforea=2]또는 [eqn: a=- {1} over {2}]

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 2+ LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) = {3} over {2}]

84  ①

답

[eqn: {sin` {pi } over {8}} over {1-cos` {pi } over {8}}][eqn: = {2`sin` {pi} over {16} `cos` {pi} over {16}} over {1- LEFT ( 1-2`sin ^{2} {pi} over {16} RIGHT )}]                         [eqn: = {2`sin` {pi } over {16} `cos` {pi } over {16}} over {2`sin ^{2} {pi } over {16}}]
[eqn: = {cos` {pi } over {16}} over {sin {pi } over {16}}][eqn: =cot {pi } over {16}][eqn: =cot`theta]

해

설

85   ⑤

답

[eqn: sin ^{2} {theta } over {2} +cos ^{2} {theta } over {2}][eqn: =a ^{2} - {1} over {9}]    ……㉠,
[eqn: sin ^{2} {theta } over {2} +cos ^{2} {theta } over {2}][eqn: =a ^{2} -1]     ……㉡
㉠에서 [eqn: a ^{2}][eqn: = {10} over {9}]
[eqn: {1-cos` theta } over {2} · {1+cos` theta } over {2}][eqn: = {1} over {9}], [eqn: 1-cos ^{2} theta][eqn: = {4} over {9}]
[eqn: THEREFORE `cos ^{2} theta][eqn: = {5} over {9}]

해

설

86  ⑤

답

(주어진 식)=[eqn: {sin`30 DEG `cos`10 DEG -cos`30 DEG `sin`10 DEG } over {sin`10 DEG `cos`10 DEG }]
[eqn: = {sin` LEFT ( 30DEG-10DEG RIGHT )} over {{1} over {2} `sin`20DEG}][eqn: = {sin`20DEG} over {{1} over {2} `sin`20DEG}]             [eqn: =2]

해

설

87  ②

답

[eqn: sin` LEFT ( x+ {pi } over {12} RIGHT ) +cos` LEFT ( x+ {pi } over {12} RIGHT )][eqn: =1]에서
[eqn: sqrt {2} `sin` LEFT ( x+ {pi } over {12} + {pi } over {4} RIGHT ) =1], [eqn: sqrt {2} `sin LEFT ( x+ {pi} over {3} RIGHT )][eqn: =1]
[eqn: therefore`sin` LEFT ( x+ {pi} over {3} RIGHT )][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]
즉, [eqn: x+ {pi} over {3}][eqn: =npi+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} {pi} over {4}]([eqn: n]은 정수)이므로
[eqn: x=npi+ LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} {pi} over {4} - {pi} over {3}]
[eqn: 0<x<2pi]에서 구하는 해는 [eqn: x= {5} over {12} pi]또는
[eqn: x= {23} over {12} pi]이므로 [eqn: 2]개다.

해

설

미적분Ⅱ	Ⅱ. 삼각함수		2. 삼각함수의 미분			정답
	02 삼각함수의 극한
		ㅉ

01  (1) [eqn: 0]    (2) [eqn: {pi} over {2}]

답

02  (1) [eqn: 2]   (2) [eqn: {3} over {2}]   (3)[eqn: {1} over {2}]   (4) [eqn: 2]

답

03   ⑤

답

해

설

[eqn: f(n)= lim _{x -> 0} {{1} over {{sin`x+sin`2x+sin`3x+ CDOTS +sin`nx} over {x}}}]

[eqn: f(n)= lim _{x -> 0} {{1} over {{sin`x} over {x} + {sin`2x} over {x} + {sin`3x} over {x} + CDOTS + {sin`nx} over {x}}}][eqn: f(n)= lim _{x -> 0} {{1} over {{sin`x} over {x} + {sin`2x} over {2x} ·2+ {sin`3x} over {3x} ·3+ CDOTS }}]                 [eqn: {1} over {CDOTS + {sin`nx} over {nx} ·n}]

[eqn: = {1} over {1+2+3+cdots+n} = {2} over {n(n+1)}]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{10} ` {2} over {k(k+1)} =2 sum _{k=1} ^{10} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT )# # ```````=2· LEFT ( 1- {1} over {11} RIGHT ) = {20} over {11}]

04  ②

답

해

설

[eqn: (준식)= lim _{x -> 0} {{sin ^{2} `x} over {x`sin`x(1+cos`x)}}]                           [eqn: = lim _{x -> 0} {{sin`x} over {x`(1+cos`x)}}]

[eqn: = lim _{x -> 0} {{sin`x} over {x} ·} lim _{x -> 0} {{1} over {1+cos`x} = {1} over {2}}]

05  [eqn: 4]

답

해

설

[eqn: (준식)= lim _{x -> 0} {{sin(3x ^{3} +5x ^{2} +4x)} over {3x ^{3} +5x ^{2} +4x} · lim _{x -> 0} {{3x ^{3} +5x ^{2} +4x} over {2x ^{3} +2x ^{2} +x}}}]         [eqn: = lim _{x -> 0} {{x(3x ^{2} +5x+4)} over {x(2x ^{2} +2x+1)} =4}]

06  ②

답

해

설

[eqn: x -> 0]일 때 (분모)[eqn: -> 0]이므로 (분자)[eqn: -> 0]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE lim _{x-> 0} {(ax`sin`x+b)} =b=0]          [eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {{ax`sin`x+b} over {cos`x-1}} = lim _{x -> 0} {{ax`sin`x} over {cos`x-1}}]                 [eqn: = lim _{x -> 0} {{ax`sin`x(cos`x+1)} over {cos` ^{2} x-1}}]                        [eqn: = lim _{x -> 0} {{ax`(cos`x+1)} over {-sin`x}}]                             [eqn: =-a` lim _{x -> 0} {{x} over {sin`x} ·(cos`x+1)}]                      [eqn: =-2a=1]                                       [eqn: THEREFORE a=- {1} over {2} `````````` THEREFORE 2a+b=-1`````````]

07  ①

답

해

설

[eqn: x -> 0]일 때 (분모)[eqn: -> 0]이므로 (분자)[eqn: -> 0]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE a=0]                    [eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {LEFT ( {tan`x} over {x} +b RIGHT )} =1+b=2# # THEREFORE b=1``````````````````````THEREFORE a+b=1]

08  ②

답

해

설

[eqn: x -> 0]일 때 (분모)[eqn: -> 0]이므로 (분자)[eqn: -> 0]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE b=0]               [eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {{x ^{2} +ax} over {sin`x}} = lim _{x -> 0} {{x} over {sin`x}} ·(x+a)=1·a=2# # THEREFORE a+b=2]

09  ④

답

해

설

[eqn: x=0]에서 함수 [eqn: f(x)]가 연속이므로                    [eqn: f(0)= lim _{x -> 0} {`f(x)=} lim _{x -> 0} {` {sin`x} over {x( pi -x)}}# # ```````````````= lim _{x -> 0} {` {sin`x} over {x} · {1} over {pi -x} = {1} over {pi }}]

[eqn: x=pi]에서 함수 [eqn: f(x)]가 연속이므로

[eqn: f( pi )= lim _{x -> pi } {`f(x)=} lim _{x -> pi } {` {sin`x} over {x( pi -x)}}]               이때. [eqn: pi-x=t]로 놓으면                          [eqn: lim _{x -> pi } {`f(x)=} lim _{t -> 0} {` {sin`( pi -t)} over {( pi -t)t}}# # = lim _{t -> 0} {` {sin`t} over {t} · {1} over {pi -t} = {1} over {pi }}# # THEREFORE f(0)+f( pi )= {2} over {pi }]

10  ④

답

해

설

[eqn: x=0]에서 함수 [eqn: f(x)]가 연속이므로                  [eqn: f(0)= lim _{x -> 0} {`f(x)=} lim _{x -> 0} {{x`sin`x} over {1-cos`x}} `# # ``````````````= lim _{x -> 0} {{x`sin`x(1+cos`x)} over {1-cos` ^{2} x}}# # ``````````````= lim _{x -> 0} {{x} over {sin`x} ·(1+cos`x)=2} ``]

10  ④

답

해

설

[eqn: x != 0]일 때, [eqn: 0< {1} over {1+sin ^{2} x} <1]이므로               [eqn: f(x)= {sin ^{2} x} over {1- {1} over {1+sin ^{2} x}} =1+sin ^{2} x#]

[eqn: x=0#]에서 연속이므로

[eqn: a= lim _{x-> 0} {`f(x)=} lim _{x-> 0} {`(1+sin ^{2} x)=1}]

11  ②

답

해

설

[eqn: lim _{n -> INF } {`n·f(n)=} lim _{n -> INF } {`n· {1} over {2} r ^{2} `sin {2 pi } over {n}}]                              [eqn: = {1} over {2} r ^{2} lim _{n -> INF } {` {sin` {2 pi } over {n}} over {{2 pi } over {n}}} ·2 pi]
[eqn: = {1} over {2} r ^{2} ·2 pi = pi r ^{2}]

12  ②

답

해

설

[eqn: rmanglePAO=theta]라고 하면 [eqn: rm {bar{AP}} = {bar{AB}} `itxos` theta =2a`cos` theta]    [eqn: TRIANGLE rmAPQ]에서 사인법칙을 적용하면                    [eqn: {rmbarAQ} over {sin`2theta} = {rmbarAP} over {sin(pi-3theta)}]       [eqn: THEREFORE {bar{rmAQ}} it = {rm {bar{AP}} sin`2 theta it} over {sin( pi -3 theta )}] [eqn: = {2a`cos theta `sin`2 theta it} over {sin`3 theta }#]             [eqn: THEREFORE lim _{rm P -> rm B it} {rm {bar{AQ}}} it# = lim _{theta -> 0} {`2a`cos theta · {{sin`2 theta } over {2 theta } ·2} over {{sin`3 theta } over {3 theta } ·3} =2a·= {2} over {3} = {4} over {3} a}]

13   ②

답

해

설

원[eqn: rmO]의 반지름의 길이를 [eqn: rmR]이라고 하면               [eqn: rmbarBC`it=2R`sin`3theta,`rmbarDE`it=2R`sin`theta]                     [eqn: therefore lim _{theta-> 0} {`rm {barDE} over {barBC}} ` lim _{theta-> 0} {` {sin`theta} over {sin`3theta}} = {1} over {3}]

14  ③

답

해

설

[eqn: x` DEG = {pi } over {180} x]이므로   [eqn: (준식)= lim _{x -> 0} {eqalign{` {sin` {pi } over {180} x} over {x}# }}# =` lim _{x -> 0} {` {sin` {pi } over {180} x} over {{pi } over {180} x}} · {pi } over {180} = {pi } over {180}]

15  ④

답

해

설

[eqn: (준식)= lim _{x -> 0} {` {-2sin`4x`sin`x} over {x ^{2}}}# # ~~~~~~=`-2 lim _{x -> 0} {` {sin`4x} over {4x}} ·4· {sin`x} over {x} =-8]

16  ①

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 0} {` {f(x)} over {x+sin`x}} it `= lim _{x -> 0} {` {f(x)} over {x-sin`x}} it · {x-sin`x} over {x+sin`x}# # =10· lim _{x -> 0} {{1- {sin`x} over {x}} over {1+ {sin`x} over {x}}} it =10` TIMES `0=0]

17  [eqn: 6]

답

해

설

[eqn: x -> 0]일 때 (분자)[eqn: -> 0]이므로 (분모)[eqn: -> 0]이어야 한다.

[eqn: THEREFORE b=4]                                          [eqn: lim _{x -> 0} {` {sin`x} over {sqrt {ax+4} -2}} = lim _{x -> 0} {` {sin`x( sqrt {ax+4} +2)} over {ax}} `# # = lim _{x -> 0} {` {sin`x} over {x} · {sqrt {ax+4} +2} over {a}} = {4} over {a} =2# # THEREFORE a=2````````````````````` THEREFORE a+b=6]

18  1

답

[eqn: (준식)= lim _{theta-> +0} {` {{1} over {2} a ^{2}} over {{1} over {2} a ^{2} `sin`theta`cos`theta}}# # ```````````````````````= lim _{theta-> +0} {` {theta} over {sin`theta} · {1} over {cos`theta} =1} `]

해

설

19  ②

답

[eqn: (준식)= lim _{x -> -0} {` {sqrt {1-cos ^{2} x}} over {x sqrt {1+cos`x}}}# # ``````````````````````= lim _{x -> -0} {` {-sin`x} over {x sqrt {1+cos`x}}} =- {sqrt {2}} over {2}]

해

설

20  ④

답

[eqn: lim _{theta -> 0} {` {sec`2 theta -1} over {sec`` theta -1}} `= lim _{theta -> 0} {` {sec ^{2} `2 theta -1} over {sec` ^{2} ` theta -1}} · {sec` theta +1} over {sec``2 theta +1} `# ## = lim _{theta -> 0} {` {tan ^{2`} 2 theta } over {tan ^{2} ` theta }} · {sec` theta +1} over {sec`2 theta +1}## ## = lim _{theta -> 0} {` LEFT ( {tan`2 theta } over {2 theta } · {theta } over {tan` theta } ·2 RIGHT ) ^{2} · {sec` theta +1} over {sec`2 theta +1} =2 ^{2} · {2} over {2} =4}]

해

설

21  [eqn: 10]

답

[eqn: lim _{x -> o} {` {f(x)} over {x}} = lim _{x -> 0} {` {f(x)} over {1-cos`x} `· {1-cos`x} over {x ^{2}}}# # 20 lim _{x -> 0} {` {sin ^{2} x} over {x ^{2} (1+cos`x)} =20 TIMES ` {1} over {2} =10}]

해

설

22  ①

답

해

설

[eqn: x-pi=t]로 놓으면
[eqn: (준식)= lim _{t -> o} {` {1+cos(pi+t)} over {t`sin`( pi +t)}} = lim _{t -> 0} {` {1-cos`t} over {-t`sin`t} `}# # lim _{t -> 0} {` {sin ^{2} t} over {-t`sin`t(1+cos`t)} =-1 TIMES ` {1} over {2} =- {1} over {2}}]

23  ③

답

[eqn: sin {theta } over {2} = rm {{bar{CE}}} over {{bar{OC}}} it = {x} over {r-x}]에서[eqn: x= {r`sin` {theta} over {2}} over {1+sin` {theta} over {2}}]이므로   [eqn: m=2 pi · {r`sin` {theta } over {2}} over {1+sin` {theta } over {2}} ,`l=r`theta]
[eqn: THEREFORE ` lim _{theta -> 0} {` {m} over {l} = lim _{theta -> 0} {` {2 pi `sin` {theta } over {2}} over {theta LEFT ( 1+sin` {theta } over {2} RIGHT )} =x}}]

해

설

24  ③

[eqn: lim _{x -> INF } {` {f(x)} over {x}} LEFT ( 1+x`sin` {2} over {x} RIGHT )# # =4,` LEFT ( lim _{x -> INF } {` {f(x)} over {x}} RIGHT ) · LEFT ( 1+ lim _{x -> INF } {`x`sin` {2} over {x}} RIGHT ) =4]          [eqn: lim _{x -> INF } {`x`sin` {2} over {x} =} 2]이므로[eqn: lim _{x-> INF } {` {f(x)} over {x}} = {4} over {3}]

답

해

설

25  [eqn: 3]

[eqn: a _{n} = rm {bar{AC _{it n-1 rm}}} = {1} over {eqalign{sin LEFT { {pi } over {6} · LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{m-1} RIGHT }# }}# = {1} over {sin` LEFT { {pi } over {3} · LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} `````(단,`rmC _{0=} C)# # THEREFORE lim _{n -> INF } {` {pi a _{n}} over {2 ^{n}}} = lim _{n -> INF } {` {{pi } over {3} · LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n}} over {sin` LEFT { {pi } over {3} · LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} ·3=3}]

답

해

설

26   [eqn: 2]

답

해

설

길이가 [eqn: {a} over {2}]인 호에 대한 중심각의 크기를 [eqn: 2theta]라고 하면, [eqn: a=4r` theta ,`b=2r`sin`2 theta][eqn: c=2r`sin` theta]
[eqn: lim _{a -> 0} {` {b+2c} over {a}} = lim _{theta -> 0} {` {2r`sin`2 theta +4r`sin` theta } over {4rtheta}}# # = lim _{theta -> 0} {` LEFT ( {sin`2 theta } over {2 theta } + {sin` theta } over {theta } RIGHT ) =2}]

27  [eqn: 20]

[eqn: TRIANGLE rmAPB]에서 [eqn: rm ANGLE APB=90 DEG]이므로[eqn: rm {bar{AP}} = {bar{AB}} `cos theta =4`cos` theta]이다.

답

해

설

[eqn: f( theta )= {1} over {2} · rm {bar{AC}} · {bar{AP}} ` it ·sin( rm ANGLE rm C`A`P)`# # =8 sqrt {2} `cos` theta `sin LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )# # =8 sqrt {2} `cos` theta ` LEFT ( {sqrt {2}} over {2} `cos` theta - {sqrt {2}} over {2} `sin` theta RIGHT )# # =8`cos ^{2} theta -8cos` theta `sin` theta #]

한편, [eqn: rmangleBOP`it=2theta]이므로

[eqn: g( theta )= {1} over {2} ·2 ^{2} ·2 theta =4 theta # # THEREFORE lim _{theta -> 0} {` {8-f( theta )} over {g( theta )} =} lim _{theta -> 0} {` {8`sin ^{2} theta +8`sin theta `cos` theta } over {4 theta }}# # =2 lim _{theta -> 0} {` {sin` theta } over {theta } =} (sin` theta +cos theta )=2# # THEREFORE 10 alpha =20]

28  ②

ㄱ. [eqn: lim _{x -> INF } {`x`sin` {1} over {x}} =` lim _{x -> INF } {` {sin`t} over {t}} =1]
ㄴ. [eqn: lim _{x -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {x+1} RIGHT ) ^{x}} =` lim _{x -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {x+1} RIGHT ) ^{x+1}}# # `· LEFT ( 1+ {1} over {x-1} RIGHT ) ^{-1} =e]
ㄷ. [eqn: lim _{x -> 2+0} {` LEFT [ log _{2} x RIGHT ] `} =1], [eqn: lim _{x -> 2-0} {` LEFT [ log _{2} x RIGHT ] `} =0]이므로 극한값은 존재하지 않는다.
따라서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ이다.

답

해

설

29  [eqn: 1]

[eqn: a=f(0)`= lim _{x -> 0} {`f(x)`} = lim _{x -> 0} {` {e ^{x} -1} over {sin`x}}# = lim _{x -> 0} {` {e ^{x} -1} over {x}} · {x} over {sin`x} =1·1=1]

답

해

설

30  [eqn: 4]

[eqn: x -> 0]일 때 (분모)[eqn: -> 0]이므로 (분자)[eqn: -> 0]이어야 한다.

답

해

설

[eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {`ln(x+b)=ln`b=0`````````` THEREFORE b=1}][eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {{ln`(x+1)} over {sin`ax} =} lim _{x -> 0} {{ax} over {sin`ax} · {ln`(x+1)} over {x} · {1} over {a} `}]                     [eqn: = {1} over {a} = {1} over {3}]
[eqn: THEREFORE a=3``````````` THEREFORE a+b=4]

31  [eqn: {a} over {3}]

답

해

설

[eqn: TRIANGLE rmABC]에서 사인법칙을 적용하면 [eqn: {rmbarAC} over {sin`B} = {rmbarAB} over {sin`C}]    [eqn: THEREFORE {rm {bar{AC}} it} over {sin` theta } = {a} over {sin`( pi -3 theta )} ``````` THEREFORE rm {bar{AC}} = {a`sin` theta } over {sin`( pi -3 theta )}# # THEREFORE rm lim _{theta -> 0} {rm {bar{AC}}} = lim _{theta -> 0} {` {a`sin` theta } over {sin`( pi -3 theta )}} `= lim _{theta -> 0} {` {a`sin` theta } over {sin`3 theta }}# # ````````= {a} over {3} lim _{theta -> 0} {` {3 theta } over {sin`3` theta } · {sin` theta } over {theta } = {a} over {3}} ``````]

32  ④

답

해

설

[eqn: TRIANGLE rmOAB]에서 [eqn: {rm {bar{AB}} it} over {sin` theta } = {rm {bar{OB}} it rm } over {sin2` theta }]이므로 [eqn: lim _{theta -> 0} {` {rm {bar{AB}} it} over {rm {bar{OB}} it} =} lim _{theta-> 0} {` {sin`theta} over {sin`2theta}} = {1} over {2}]

33  ③

답

ㄷ. [eqn: lim _{x -> +0} {` {LEFT | x RIGHT | ^{2}} over {x}}][eqn: = lim _{x -> -0} {` {LEFT | x RIGHT | ^{2}} over {x}}][eqn: =0]
이므로 [eqn: lim _{x -> 0} {` {LEFT | x RIGHT | ^{2}} over {x}}]의 극한값이 존재한다

해

설

34  ⑤

답

[eqn: lim _{x -> 0} {{sin`3x} over {sin`2x}}][eqn: = {3} over {2} · lim _{x-> 0} {{sin`3x} over {3x} · lim _{x-> 0} {{2x} over {sin`2x}}}][eqn: = {3} over {2} times1times {1} over {1}][eqn: = {3} over {2}]

해

설

35   ③

답

[eqn: lim _{x -> 0} {{sin`x DEG } over {x}}][eqn: = lim _{x -> 0} {{sin {1} over {180} `x} over {x}}][eqn: = lim _{x -> 0} {{sin {pi} over {180} `x} over {{pi} over {180} x} · {pi} over {180}}][eqn: = {pi} over {180}]

해

설

36  ①

답

[eqn: x- {pi} over {2}][eqn: =theta]로 놓으면 [eqn: x` -> ` {pi} over {2}]일 때, [eqn: theta` -> `0]이므로
[eqn: lim _{x -> {pi } over {2}} {LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT ) tan`x}][eqn: = lim _{theta -> 0} {theta `} `tan LEFT ( theta + {pi } over {2} RIGHT )]                           [eqn: =- lim _{theta -> 0} {{theta } over {tan` theta }} `][eqn: =-1]

해

설

37  ①

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax+b LEFT ( a!=0 RIGHT )]로 놓으면
[eqn: lim _{x -> {pi} over {2}} {{cos`x} over {f LEFT ( x RIGHT )}}][eqn: = lim _{x -> {pi } over {2}} {{cos`x} over {ax- {pi} over {2} a}}][eqn: = lim _{x -> {pi } over {2}} {{cos`x} over {a LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT )}}]
[eqn: x- {pi} over {2}][eqn: =t]로 놓으면
[eqn: lim _{x -> {pi } over {2}} {{cos`x} over {a LEFT ( x- {pi } over {2} RIGHT )}}][eqn: = lim _{t -> 0} {{cos LEFT ( t+ {pi } over {2} RIGHT )} over {at}}]                             [eqn: = lim _{t -> 0} {{-sin`t} over {at}}][eqn: =- {1} over {a}][eqn: = {1} over {3}]에서
[eqn: a][eqn: =-3]
[eqn: thereforef LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-3x+ {3} over {2} pi]  [eqn: thereforef LEFT ( pi RIGHT ) =-3pi+ {3} over {2} pi=- {3} over {2} pi]

해

설

38  ④

답

(주어진 식)
[eqn: = lim _{x -> 0} {{1- {1} over {2} LEFT { cos` LEFT ( a+b RIGHT ) x+cos LEFT ( a-b RIGHT ) x RIGHT }} over {x ^{2}}}][eqn: = lim _{x -> 0} {{1-cos LEFT ( a+b RIGHT ) x+1-cos LEFT ( a-b RIGHT ) x} over {2x ^{2}}}][eqn: = lim _{x -> 0} {{sin ^{2} LEFT ( a-b RIGHT ) x} over {2x ^{2} LEFT { 1+cos LEFT ( a-b RIGHT ) x RIGHT }}}]
[eqn: = {LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2}} over {4} + {LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2}} over {4}][eqn: = {a ^{2} +b ^{2}} over {2}]

해

설

39  [eqn: 2]

답

[eqn: = lim _{n -> 0} {{1} over {{tan`x+tan`2x+cdots+tan`nx} over {x}}}]
[eqn: = {1} over {1+2+3+cdots+n}][eqn: = {2} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )}]
[eqn: therefore lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( k RIGHT )}][eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {2} over {k LEFT ( k+1 RIGHT )}}]                           [eqn: = lim _{n -> INF } {2 sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT )}]                       [eqn: = lim _{n -> INF } {2 LEFT ( 1- {1} over {n+1} RIGHT )}][eqn: =2]

해

설

40   ②

답

[eqn: f LEFT ( pi RIGHT )][eqn: = lim _{x -> pi } {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x -> pi } {{sin ^{2} x} over {1- {1} over {1+sin ^{2} x}}}]
[eqn: = lim _{x -> pi } {LEFT ( 1+sin ^{2} x RIGHT )}][eqn: =1]

해

설

41   ⑤

답

ㄱ.[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0][eqn: = lim _{x-> 0} {f LEFT ( x RIGHT )}]  ㄴ.[eqn: rmg LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0][eqn: = lim _{x -> 0} {rm g LEFT ( itx RIGHT )} it]
ㄷ.[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0][eqn: = lim _{x -> 0} {h LEFT ( it x RIGHT )} it]
따라서 [eqn: x][eqn: =0]에서 연속인 함수는 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

해

설

42  ④

답

보기의 방정식에서 좌변을 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]라고 하면
ㄱ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) ·f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =- {pi} over {2} <0]
ㄴ. [eqn: f LEFT ( -3 RIGHT ) ·f LEFT ( -2 RIGHT )][eqn: =-5<0]
ㄷ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) ·f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =- {pi} over {2<0}]
ㄹ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) ·f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =8>0]
ㅁ. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) ·f LEFT ( a RIGHT ) =-a ^{5} <0` LEFT ( BECAUSE a>0 RIGHT )]
따라서 주어진 구간에서 실근이 존재하는 것은
ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ의 [eqn: 4]개다.

해

설

43   ④

답

[eqn: ANGLE rm OEC][eqn: = {1} over {2} theta]이므로 삼각형 [eqn: rmODE]에서
[eqn: {{bar{rmOE}}} over {sin` {3} over {2} theta }][eqn: = {{bar{rm OD it}}} over {sin` {theta } over {2}}]  [eqn: thereforermbarOE][eqn: = {2`sin` {3} over {2} theta} over {sin {theta} over {2}}]
[eqn: thereforermS _{1}][eqn: = {1} over {2} rm {bar{OC}} · {bar{OE}} `sin` theta][eqn: = {2`sin` {3} over {2} theta} over {sin {theta} over {2}}]·[eqn: sin`theta],
[eqn: rm S _{2} = {1} over {2} rm {bar{OB}} ^{2} theta][eqn: =2theta]
[eqn: THEREFORE lim _{n -> 0} {rm {S _{2}} over {S _{1}}} it][eqn: = lim _{n -> 0} {rm {theta`sin` {theta} over {2}} over {sin` {3} over {2} theta`sin`theta}} it]
[eqn: = lim _{theta-> 0} {LEFT ( {{3} over {2} theta} over {sin` {3} over {2} theta} · {sin` {1} over {2} theta} over {{1} over {2} theta} · {theta} over {sin`theta} · {{1} over {2} theta} over {{3} over {2} theta} RIGHT ) = {1} over {3}}]

해

설

44  ⑤

답

[eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{3x} -a} over {sin`2x}}][eqn: =b]에서 [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( e ^{3x} -a RIGHT )}][eqn: =0]이므로
[eqn: 1-a=0]   [eqn: thereforea][eqn: =1]
[eqn: thereforeb][eqn: = lim _{x -> 0} {{e ^{3x} -1} over {sin`2x}}][eqn: = lim _{x -> 0} {LEFT ( {e ^{3x} -1} over {3x} · {2x} over {sin`2x} · {3x} over {2x} RIGHT )}]
[eqn: =1·1· {3} over {2}][eqn: = {3} over {2}]
[eqn: therefore3a+2b][eqn: =3+2· {3} over {2} =6]

해

설

45   ④

답

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +x ^{2} -1]이라고 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이고.
[eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT )][eqn: =- {5} over {8} <0], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1>0]
이므로 방정식은 구간 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,~1 RIGHT )]에서 실근을 갖는다.

해

설

46   ⑤

답

[eqn: lim _{x -> 0} {{e ^{3x} -a} over {sin`2x}}][eqn: =b]에서 [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT ( e ^{3x} -a RIGHT )}][eqn: =0]이므로
[eqn: 1-a=0]   [eqn: thereforea][eqn: =1]
[eqn: thereforeb][eqn: = lim _{x -> 0} {{e ^{3x} -1} over {sin`2x}}][eqn: = lim _{x -> 0} {LEFT ( {e ^{3x} -1} over {3x} · {2x} over {sin`2x} · {3x} over {2x} RIGHT )}]
[eqn: =1·1· {3} over {2}][eqn: = {3} over {2}]
[eqn: therefore3a+2b][eqn: =3+2· {3} over {2} =6]

해

설

미적분Ⅱ	Ⅱ. 삼각함수		2. 삼각함수의 미분			반 / 번호
	03 사인함수와 코사인함수의 미분					이름
		ㅉ

01  (1) [eqn: y' = cos x]

답

(2) [eqn: y'=-sin`x]

02  (1) [eqn: y' = cos^2 x -sin ^2 x]

답

(2) [eqn: y'=cosx -x sinx]