미적분Ⅰ	Ⅱ. 함수의 극한과 연속		2. 함수의 연속			반 / 번호
	01 함수의 연속					이름

01

[eqn: (x-3)f(x) = x^2 +x-12]를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

02

함수 [eqn: f(x)= LEFT { eqalign{{sqrt {1+x} - sqrt {1-x}} over {x} `(x != 0)## `````````````````````````````a~~~~~````~~(x=0)} RIGHT .]가 [eqn: x=0]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: sqrt { 2}]	⑤ [eqn: sqrt { 3}]

03

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 합성함수 [eqn: y=f(f(x))]의 [eqn: x=3]에서의 연속성에 대한 설명 중 옳은 것은?

① [eqn: f(f(3))= lim _{ x`->`3} { `f(f(x))}]이므로 연속이다.

② [eqn: f(f(3)),~ lim _{x` -> `3} {`f(f(x))}] 모두 존재하지 않으므로 불연속이다.
③ [eqn: f(f(3))]은 존재하지만 [eqn: lim _{x` -> `3} {`f(f(x))}]는 존재하지 않으므로 불연속이다.

④ [eqn: lim _{x` -> `3} {`f(f(x))}]는 존재하지만 [eqn: f(f(3))]은 존재하지 않으므로 불연속이다.

⑤ [eqn: f(f(3))]과 [eqn: lim _{x` -> `3} {`f(f(x))}]가 모두 존재하지만 서로 같지 않으므로 불연속이다. 값은 존재하지 않는다.

04

함수 [eqn: y=f(x)] [eqn: (0<x<4)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. 함수 [eqn: f(x)]의 극한값이 존재하지 않는 점의 개수를 [eqn: a], 불연속인 점의 개수를 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

05

함수 [eqn: f(x) = lim _{ n`->`inf} { { x^2n +ax+b} over {x^2n +1} }]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: 2a+b]의 값은?

(단, [eqn: a,~b]는 상수, [eqn: n]은 자연수)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06

연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: lim _{x -> 1} {{f(x)} over {x-1}} =10]일 때, [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x ^{2} )} over {f(x)}}]의 값을 구하여라.

07

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. 다음 의 함수 중 [eqn: f(x)]와 곱하여 얻어지는 함수가 실수 전체의 집합에서 연속이 되는 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~g(x) = left{``2~(x le 0 ) ##``3~(x>0)]

[eqn: ㄴ.~h(x)=x^2 +2]

[eqn: ㄷ.~ k(x) = left{```0~( x le 1) ##``-x~(x >1)]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ ㄴ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

08

함수 [eqn: f(x)= {cases{`~~~~~2x~~~~~~(0 LEQ x LEQ 1)##``a(x-1) ^{2} +b~~(1 LEQ x LEQ 3)}}]가 [eqn: 0 LEQ x le 3]에서 연속이라고 하자. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+3)]이 성립할 때, [eqn: f(8)]의 값은?

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 over 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over 2]

09

다음 함수의 [eqn: x=0]에서 연속, 불연속을 조사하여라.
(1) [eqn: f(x) = 1 over x]
(2) [eqn: f(x) = cases{`` { x^2 +x} over { x}~~(x!=0)##~~~1~~~````~(x=0)]

10

다음 함수가 연속인 구간을 구하여라.
(1) [eqn: y= sqrt { x}]
(2) [eqn: y= { x} over { x-1}]

11

다음 의 함수 중 [eqn: x=1]에서 연속인 것을 모두 고른 것은?

(단, [eqn: [``x``]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

[eqn: ㄱ.~f(x)= { 1} over { x-1}]

[eqn: ㄴ.~f(x) = cases{`` { x^2 -1} over { x-1}~~~~(x!=1)##~~~2~~~~~~```(x=1)]

[eqn: ㄷ.~f(x)=[``x``]]

① [eqn: ㄴ]	② [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

12

[eqn: f(x)`=x ^{2`} +` {x ^{2}} over {1+x ^{2}} +` {x ^{2}} over {(1+x ^{2} ) ^{2}} +cdots]로 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 불연속인 점의 개수는?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

13

함수 [eqn: f(x)=cases{`` { x^2 +ax+b} over { x-2}~~~(x!=2)##~~~~~3~~~~~~~``(x=2)]이 [eqn: x=2]에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은?

(단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

14

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: (x-1)f(x)=ax ^{2} +bx], [eqn: f(1)=-1]을 만족시키고 [eqn: x=1]에서 연속일 때, [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수)

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

15

함수 [eqn: f(x)= lim _{ n`->`inf} { { x^2n} over { x^2n +1} }]이 불연속인 점의 개수는?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

16

함수 [eqn: f(x)=x-[``x``]]는 [eqn: x= 1 over 2]에서 [eqn: box{~~~~}]이고, [eqn: x=1]에서 [eqn: box{~~~~}]이다. □ 안에 연속 또는 불연속을 알맞게 써넣어라.

(단, [eqn: [`x`]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대 정수이다.)

17

함수 [eqn: f(x)`= cases {`` { x^2 +ax -3 } over {x-1} ~~(x!=1)##~~~~~b~~~~~~~(x=1)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

18

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속인 함수 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: (x-2)f(x)= sqrt { x+7}-3]을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

19

함수 [eqn: f(x)`=` lim _{n` -> ` INF } {{x ^{2n+1} -x ^{2n}} over {x ^{2n} +1}}]이 [eqn: x=a]에서 불연속일 때, 이를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 모두 구하면?

① [eqn: -1]	② [eqn: -1,~0]	③ [eqn: -1,~1]

④ [eqn: 0,~1]	⑤ [eqn: -1,~0,~1]

20

함수 [eqn: f(x)=cases{`` { sqrt { 1+x}- sqrt { 1-x} } over { x}~~(x!=0)##~~~~~~~~a~~~~~~~~~`````(x=0)]가 [eqn: x=0]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

21

함수 [eqn: f(x)= lim _{ n`->`inf} { { x^2n} over { x^2n+1 +1} }]에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: f LEFT ( {1} over {2} RIGHT )=0]
② [eqn: f(2)=2]

③ [eqn: x=-1]일 때 불연속이다.

④ [eqn: x=1]일 때 불연속이다.

⑤ 불연속인 점의 개수는 [eqn: 2]이다.

22

함수 [eqn: f(x)= lim _{n`->`inf} {{x ^{n} +x+a} over {x ^{n} +1}}]가 [eqn: x>0]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

23

[eqn: x=0]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)-xy]를 만족할 때, 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~f(0)=0]

[eqn: ㄴ.~ lim _{ x`->`0} { { f(x)} over { x^2 +2} }=1]

[eqn: ㄷ.] 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

24

함수 [eqn: f ( x )]에 대하여 [eqn: lim _{ x`->`0} { { f(x)} over { x} }]의 값이 존재할 때, 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~ lim _{x`->`0} {f(x)} =0]

[eqn: ㄴ.~f(0)=0]

[eqn: ㄷ.~f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

25

함수 [eqn: f(x)=cases{`` { x^2 -9} over { x-3}~~~(x!=3)##~~~a~``~~~~(x=3)]가 [eqn: x=3]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

26

다음 의 함수 중 [eqn: x=0 `]에서 연속인 함수를 모두 고른 것은?

(단, [eqn: [``x``]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수)

[eqn: ㄱ.~f(x)= cases{`x+2~~~( x ge 0 )##``-x~~~~(x <0)]

[eqn: ㄴ.~f(x)=[`x`]-1]

[eqn: ㄷ.~f(x)=x`□``x``□]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄴ,~ㄷ]

27

함수 [eqn: f(x)=cases{`` { x^2 -ax +b} over { x-1}~~(x!=1)##~~~~~3~~~~~~~(x=1)]이 [eqn: x=1]에서 연속이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: ab]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

28

함수 [eqn: f(x)= lim _{n`->`inf} {{x ^{n+1} +2x} over {x ^{n} -1}}]에 대하여 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~|``x``|>1]일 때, [eqn: f(x)=2x]이다.

[eqn: ㄴ.~|``x``|<1]일 때, [eqn: f(x)=-2x]이다.

[eqn: ㄷ.~]불연속인 점은 [eqn: 1]개다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄷ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄴ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

29

함수 [eqn: f(x)= cases{```ax+2~~~(x le -2,~x ge 2)##``x^2 + x+b ~(-2<x<2)]가 구간 [eqn: ( -inf,~ inf)]에서 연속이 되도록 하는 두 상수 [eqn: a,~ b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

30

함수
[eqn: f(x)= & x ^{2} + {x ^{2}} over {1+x ^{2}} + {x ^{2}} over {(1+x ^{2} ) ^{2}}# & + CDOTS + {x ^{2}} over {(1+x ^{2} ) ^{n}} + CDOTS]
에 대하여 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~f(0)=0]

[eqn: ㄴ.~ lim _{x`->`0} {f(x)} =0]

[eqn: ㄷ.~f(0)= lim _{x`->`0} {f(x)}]

[eqn: ㄹ.~x=0]에서 연속이다.

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄹ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄹ]	⑤ [eqn: ㄷ,~ㄹ]

31

다음 함수에 대하여 [eqn: x=0]에서의 연속성을 조사하시오.

(단, [[eqn: x]]는 [eqn: x]를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

(1) [eqn: f(x)= {1} over {x}]
(2) [eqn: f LEFT ( x )=[x]]
(3) [eqn: f(x)=x ^{ 2}+1]

32

함수 [eqn: f(x)`= {cases{`` {x ^{2} +x-2} over {x-1} ~~(x != 1)##~~~~~a~~~~~~~(x=1)}}]가 연속함수일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

33

함수 [eqn: f(x)`= {cases{`` {x ^{2} +ax-3} over {x-1} ~~(x != 1)##~~~~~b~~~~~~~(x=1)}}]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a^{ 2}+b ^{ 2}]의 값은?

① [eqn: 15]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 29]

34

함수 [eqn: f(x)`= {cases{`` {x-2} over {sqrt {x+2} -2} ~~(x != 2)##~~~~~a~~~~~~~(x=2)}}]가 [eqn: x=2]에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt { 3}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2sqrt { 3}]	⑤ [eqn: 4]

35

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이고
[eqn: xf(x)= |x+2 |-2]일 때, [eqn: f(0)]의 값을 구하시오.

36

함수 [eqn: y= {x-1} over {x ^{2} +ax+b}]이 모든 실수에서 연속이기 위한 조건은?

① [eqn: 1+a+b=0]	② [eqn: 1+a+b != 0]

③ [eqn: a ^{2} -4b>0]	④ [eqn: a ^{2} -4b=0]

⑤ [eqn: a ^{2} -4b<0]

37

함수 [eqn: f(x)`= {cases{`` {x ^{2} +ax-6} over {x-2} ~~(x != 2)##~~~~~b~~~~~~~(x=2)}}]가 [eqn: x=2]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

38

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: (x-1)f(x)=x ^{2} +ax+b]를 만족시킬 때,
[eqn: f(1)-f(0)]의 값을 구하시오.

39

함수 [eqn: f(x)= {cases{`x(x-1)~`~```````````(`□`x`□>1)##`-x ^{2} +ax+b~`(`□`x`□ LEQ 1)}}]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 [eqn: b-a]의 값을 구하여라.

40

두 함수 [eqn: f(x),~g(x)]에 대하여 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: lim _{x-> 0} {f(x)}]와 [eqn: lim _{x -> 0} {g(x)}]가 모두 존재하지 않으면  [eqn: lim _{x -> 0} {LEFT { f(x)+g(x) RIGHT }}]도 존재하지 않는다.

ㄴ. [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이면
[eqn: y=□`f(x)`□]도 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄷ. [eqn: y=□`f(x)`□]가 [eqn: x=0]에서 연속이면
[eqn: y=f(x)]도 [eqn: x=0]에서 연속이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

41

모든 실수에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음의 두 조건 [eqn: LEFT . f(1)=1,~`f` LEFT ( {x} over {2} RIGHT ) =f(x)+x RIGHT .]를 만족시킨다. 이때, [eqn: f(0)]의 값을 구하시오.

42

함수 [eqn: f(x)=x ^{2} + {x ^{2}} over {1+x ^{2}} + {x ^{2}} over {(1+x ^{2} ) ^{2}} + CDOTS]에 대하여 다음  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f(0)=0]

ㄴ. [eqn: lim _{x -> 0} {f(x)=0}]

ㄷ. [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

43

함수 [eqn: f(x) = lim _{ n`->`inf} { { x^2n+1 -x} over { x^2n +1} }]가 불연속인 점의 개수는?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

미적분Ⅰ	Ⅱ. 함수의 극한과 연속		2. 함수의 연속			반 / 번호
	02 연속함수의 성질					이름

01

구간 [eqn: [1,~4]]에서 함수 [eqn: f(x)=x ^2 - 4x + 5]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M-m]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

02

다음 중 방정식 [eqn: x^3 + x^2 -1=0]이 실근을 갖는 구간은?

① [eqn: left( -1,~- 1 over 2 right)]	② [eqn: LEFT ( - {1} over {2} ,~0 RIGHT )]

③ [eqn: LEFT ( 0,~ {1} over {2} RIGHT )]	④ [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,~1 RIGHT )]

⑤ [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]

03

연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여
[eqn: lim _{ x`->`1} { { f(x)} over { x-1} }=1 -{ 1} over { sqrt { 2010} }], [eqn: lim _{x` -> `-1} {{f(x)} over {x+1}} =1+ {1} over {sqrt {2010}}]
이 성립할 때, [eqn: -1le x le 1]에서 방정식 [eqn: f(x)=0]은 적어도 몇 개의 실근을 갖는가?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04

초속 [eqn: 30``rmm]로 출발한 사이클 선수가 운동장 트랙을 정지하지 않고 한 바퀴 돌아 출발선에 돌아왔을 때의 속력을 재어 보았더니 역시 초속 [eqn: 30`rmm]이었다. 다음 중 항상 옳은 것은?

① 모든 순간의 속력은 같다.

② 매 순간의 속력은 모두 다르다.

③ 적어도 어느 두 순간의 속력은 같다.

④ 속력이 같은 순간은 두 번뿐이다.

⑤ [eqn: 30`rmm/초]로 달린 순간이 적어도 세 번 존재한다.

05

정의역이 [eqn: -3`le x le 1]인 함수 [eqn: f(x) = { 3} over {x-2 }]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: Mm]의 값을 구하여라.

06

[eqn: f(0)=1,~f(1)=0]을 만족하는 모든 연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 다음 의 방정식 중 열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 항상 실근을 갖는 것을 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~f(x)-x=0]

[eqn: ㄴ.~f(f(x))+x=0]

[eqn: ㄷ.~f(x)-f(1-x)=0]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄱ,~ ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ㄷ]

④ [eqn: ㄴ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

07

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같다. 다음 의 함수 중에서 [eqn: f(x)]와 곱하여 얻어지는 함수가 실수 전체의 집합에서 연속이 되는 함수를 모두 고른 것은?

[eqn: ㄱ.~g(x)=cases{``2~~~(x le 0)##``3~~~(x >0)]

[eqn: ㄴ.~h(x)=x ^{2} +2]

[eqn: ㄷ.~I``(x)=cases{``0~~~~(x le 1)##``-x~~(x>1)]

① [eqn: ㄱ]	② [eqn: ㄴ]	③ [eqn: ㄱ,~ ㄴ]

④ [eqn: ㄱ,~ㄷ]	⑤ [eqn: ㄱ,~ㄴ,~ㄷ]

08

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: 0`le x le3]에서 연속이고 [eqn: f(x)=` {cases{``2x~~~~~``~~~~(0 LEQ x LEQ 1)##``a(x-1) ^{2} +b~(1 LEQ x LEQ 3)}}]라 하자. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)=f(x+3)]을 만족시킬 때, [eqn: f(8)]의 값은?

① [eqn: 3 over 2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 over 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over2]

09

폐구간 [eqn: [`1,~3`]]에서 함수 [eqn: y=` {1} over {x}]의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

10

다음 □ 안에 알맞은 말을 차례로 써넣어라.

함수 [eqn: f(x)=-x^2 +2x+1]은 폐구간 [eqn: [`0,~3`]]에서 [eqn: box{~~~~}]이고, [eqn: f(0)=1>0], [eqn: f(3)=-2<0]이므로 [eqn: box{~~~~}]에 의하여 [eqn: f(x)=0]은 [eqn: 0]과 [eqn: 3] 사이에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

11

폐구간 [eqn: [`-1,~3`]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가 오른쪽 그림과 같을 때, 폐구간 [eqn: [`-1,~3`]]에서 함수 [eqn: xf(x)]가 불연속인 점의 개수는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ 무수히 많다.

12

함수 [eqn: f(x)= {cases{eqalign{`` {□``x``□} over {x} ``````(x != 0)# # ~~0~~~(x=0)}}}]에 대하여
[eqn: y=xf(x)]가 불연속인 점의 개수는?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

13

주어진 구간에서 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구하여라.
(1) [eqn: y=`x ^{2} -`4x`+2~(0,~3)]
(2) [eqn: y= {3} over {x+1} ~[`0,~1`]]

14

다음과 같이 주어진 구간에서 정의된 세 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)], [eqn: h(x)] 중 최댓값과 최솟값이 모두 존재하는 것을 모두 골라라.

[eqn: {f(x)=-x ^{2} +x+5}~~(-1,`1)]

[eqn: {g(x) = 1 over x} ~~[`-1,~1`]]

[eqn: h(x)= {x over x+1}~~[`1,~2`]]

15

다음 중 삼차방정식 [eqn: x^3 + 2x^2 -3x -1=0]의 실근이 존재하는 구간은?

① [eqn: (-2,~-1)]	② [eqn: (0,~1)]	③ [eqn: (1,~2)]

④ [eqn: (2,~3)]	⑤ [eqn: (3,~4)]

16

다음 중 방정식 [eqn: 2^x -3x=0]의 실근이 존재하는 구간은?

① [eqn: (-2,~-1)]	② [eqn: (-1,~0)]	③ [eqn: (2,~3)]

④ [eqn: (3,~4)]	⑤ [eqn: (4,~5)]

17

다음 중 폐구간 [eqn: [`n,~n+1`]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)`=-x ^{2`} +mx+1]의 최댓값과 최솟값에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, [eqn: n]은 정수, [eqn: m]은 실수)

① 최댓값과 최솟값이 존재하지 않는다.

② 최댓값만 존재한다.

③ 최솟값만 존재한다.

④ [eqn: m>n]일 때만 최댓값과 최솟값이 존재한다.

⑤ 항상 최댓값과 최솟값이 존재한다.

18

이차방정식
[eqn: (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)# +(x-c)(x-a)=0]
의 두 실근이 [eqn: alpha,~beta]일 때, 다음 중 대소 관계가 옳은 것은? (단, [eqn: a<b<c,~alpha<beta])

① [eqn: a<alpha <beta <b<c]

② [eqn: a<alpha <b<beta <c]

③ [eqn: a<b<alpha<beta<c]

④ [eqn: a<b<alpha<c<beta]

⑤ [eqn: a< alpha <b<c< beta]

19

두 함수 [eqn: f(x)=-x ^{2} +ax],
[eqn: g(x)= {cases{~~~x-2~(x le1)##~-2x+1~`(x>1)}}]일 때, 합성함수 [eqn: y=g(f(x))]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하여라.

20

함수 [eqn: f(x)=` |``x-1`` |]의 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 함수 [eqn: f(x)=` |``x-1`` |]이 [eqn: x=a]에서 연속이지만 미분가능하지 않을 때, [eqn: a]의 값을 구하여라.

21

두 함수 [eqn: f(x)=3x,~g(x)=x^2 + 2ax +a+12]에 대하여 함수 [eqn: y= { f(x)} over { g(x)}]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속일 때, 정수 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

22

정의역이 [eqn: -1 le x le 3]인 함수 [eqn: f(x)= { 4} over { x-4}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M-m]의 값은?

① [eqn: 8 over 5]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 12 over 5]

④ [eqn: 14 over 5]	⑤ [eqn: 16 over 5]

23

방정식 [eqn: x^3 + 3x+2=0]이 오직 하나의 실근을 가질 때, 다음 중 이 방정식의 실근이 존재하는 구간은?

① [eqn: (-4,~-3)]	② [eqn: (-3,~-2)]	③ [eqn: (-2,~-1)]

④ [eqn: (-1,~0)]	⑤ [eqn: (0,~1)]

24

두 함수 [eqn: f(x)= { x+2} over { x-3}], [eqn: g(x)=x+1]에 대하여 합성함수 [eqn: (f CIRCg)(x)]가 [eqn: x=a]에서 불연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

25

연속함수 [eqn: f ( x )]에 대하여 [eqn: f(0)=a], [eqn: f(1)=a-4]일 때 방정식 [eqn: f(x)=3]의 실근이 구간 [eqn: ( 0 ,~ 1)]에 적어도 하나 존재하도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하여라.

26

함수 [eqn: f(x)=cases{``x over {|``x``|}~~(x!=0)##~~0~~~~(x=0)]과 함수 [eqn: g(x)=x^2 -x]에 대하여 합성함수 [eqn: (f CIRCg)(x)]의 불연속인 점의 개수는?

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

27

두 함수
[eqn: f(x)= {cases{5+x~(x GEQ 1)##`5-x~`(x<1)}}], [eqn: g(x)=ax+3]
에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

28

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때 함수
[eqn: y=f(x)f(x-1)]이 불연속인 [eqn: x]좌표들의 집합은?

① [eqn: LEFT { -1,~2 RIGHT }]	② [eqn: LEFT { -1,~1,~2 RIGHT }]

③ [eqn: LEFT { -1,~0,~1,``~2 RIGHT }]	④ [eqn: LEFT { 0,~1 RIGHT }]

⑤ [eqn: LEFT { 0,~1,~2RIGHT }]

29

두 함수
[eqn: f(x)= {cases{x ^{2} -x+1~(x GEQ 1)##`x ^{2} +x+1~`(x<1)}} ,~g(x)=□x-a□]
에 대하여 합성함수 [eqn: (g CIRC f)(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

30

함수 [eqn: f(x)=|x|+1,~g(x)=|x|-1]에 대하여 다음 중 실수 전체의 집합에서 연속 함수가 아닌 것은?

① [eqn: y=f(x)+g(x)]

② [eqn: y=f(x)g(x)]
③ [eqn: y=g(f(x))]

④ [eqn: y= {g(x)} over {f(x)}]

⑤ [eqn: y= {f(x)} over {g(x)}]

32

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 다음 중 [eqn: x=0]에서 연속인 함수는?

① [eqn: y=x+f(x)]

② [eqn: y=x-f(x)]

③ [eqn: y=xf(x)]

④ [eqn: y=f(2x)]

⑤ [eqn: y= {f(x)} over {x}]

33

폐구간 [eqn: [`0,~1`]]에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(0)=1], [eqn: f(1)=0]을 만족시킨다. 의 방정식 중에서 개구간 [eqn: (0,~1)]에서 반드시 실근을 갖는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: x+f(x)=0]

ㄴ. [eqn: x-f(x)=0]

ㄷ. [eqn: x+f(1-x)=0]

ㄹ. [eqn: x-f(1-x)=0]

① ㄴ	② ㄹ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄷ, ㄹ

34

방정식 [eqn: x ^{3} +3x-5=0]은 한 개의 실근을 갖는다. 다음 중 이 방정식의 실근이 존재하는 구간은?

① [eqn: (0,~1)]	② [eqn: (1,~2)]	③ [eqn: (2,~3)]

④ [eqn: (3,~4)]	⑤ [eqn: (4,~5)]

35

[eqn: f(0)=1,~f(1)=0]을 만족시키는 모든 연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 의 방정식 중 개구간 [eqn: (0,~1)]에서 항상 실근을 가지는 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. [eqn: f(x)-x=0]

ㄴ. [eqn: f(f(x))+x=0]

ㄷ. [eqn: f(x)-f(1-x)=0]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

36

오른쪽 그림과 같은 호수에서 [eqn: rmA] 지점을 출발하여 호수를 한 바퀴 돌면서 수온을 측정하였더니 수온이 가장 낮은 지점은 [eqn: RMP] 지점으로 [eqn: 4 DEG RMC]였고, 가장 높은 지점은 [eqn: RMQ] 지점으로 [eqn: 12 DEG RMC]였다. [eqn: RMA] 지점의 수온이 [eqn: 8 DEG RMC]일 때,  중 옳은 것을 모두 고른 것은?

ㄱ. 수온이 [eqn: 10 DEG rm C]인 지점은 적어도 두 군데 있다.

ㄴ. 수온이 [eqn: 8 DEG rm C]인 지점은 [eqn: RMA] 지점뿐이다.

ㄷ. [eqn: RMA] 지점과 [eqn: RMP] 지점 사이에 수온이 [eqn: 10 DEG rm C]가 되는 지점이 반드시 있다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

37

원형으로 구부러진 철사를 [eqn: RMP,~Q] 두 지점에서 [eqn: 100 DEG rm C]로 가열한 후 철사의 각 지점의 온도를 측정하였다. [eqn: RMA,~B] 두 지점의 온도가 [eqn: 80 DEG RMC]일 때 온도가 [eqn: 90 DEG RMC]인 지점은 적어도 □군데 있다. □ 안에 알맞은 최댓값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

38

함수 [eqn: f(x)`= {cases{`` {1} over {x-1} ~~(x != 1)##~~~`0~```````````(x=1)}}]에 대하여 개구간 [eqn: (`-2` pi ,~2` pi `)]에서 정의된 합성함수 [eqn: f(rmsin`itx)]의 불연속점의 개수는?

① [eqn: 1]개	② [eqn: 2]개	③ [eqn: 3]개

④ [eqn: 4]개	⑤ [eqn: 5]개

39

다음 구간 중 방정식 [eqn: rm log _{2} itx+2itx-3=0]이 실근을 갖는 구간은?

① [eqn: (0,~1)]	② [eqn: (1,~2)]	③ [eqn: (2,~3)]

④ [eqn: (3,~4)]	⑤ [eqn: (4,~5)]

미적분Ⅰ	Ⅱ. 함수의 극한과 연속		2. 함수의 연속			정답
	01 함수의 연속

01

④

답

해

설

[eqn: f(3)= lim _{x` -> `3} {`f(x)} & = lim _{x` -> `3} {{x ^{2} +x-12} over {x-3}}# & = lim _{x`->`3} {(x+4)`=`7}]

02

③

답

해

설

[eqn: f(0)=a & = lim _{x` -> `0} {eqalign{f(x)}}# &= lim _{ x`->`0} { { sqrt { 1+x}- sqrt { 1-x} } over {x } } #&= lim _{ x`->`0} { { 2} over { sqrt { 1+x} + sqrt { 1-x} } }=1]

03

③

답

해

설

[eqn: f(f(3))=f(1)=2]로 존재한다.

반면 [eqn: lim _{x`->`3} {f(f(x))= lim _{f(x)`->`1} {f(f(x))= lim _{t`->`1} {f(t)}}}]이고

[eqn: lim _{t` -> `1+0} {f(t)} != lim _{ t`->`1-0} {f(t) }]이므로 [eqn: lim _{ t`->`1} {f(t) }]의 값은 존재하지 않는다. 따라서 ③이 옳다.

04

③

답

해

설

[eqn: lim _{ x`->`1+0} {f(x) }=1 != lim _{ x`->`1-0} {f(x) = 4 }]

[eqn: lim _{x` -> `2} {f(x)} =3 != f(2)=5]

[eqn: THEREFORE `a=1] ([eqn: x=1]인 경우), [eqn: b=2] ([eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]인 경우)

[eqn: thereforea+b=3]

05

①

답

해

설

[eqn: f(x)= LEFT { eqalign{ax+b~(`|`x`|<1`)# # 1~~~~````(`|`x`|>1`)# # {a+b+1} over {2} `(`x=1`)# # {-a+b+1} over {2}}~(x=-1) RIGHT .]

[eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: { a+b+1} over {2 } =a+b=1]

[eqn: x=-1]에서 연속이므로

[eqn: { -a+b+1} over {2 } = -a+b=1]

[eqn: therefore a=0,~b=1~~~therefore 2a+b=1]

06

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: x -> 1]일 때 [eqn: x ^{2} -> 1]이므로

[eqn: lim _{x -> 1} {{f(x ^{2} )} over {f(x)}} & = lim _{x -> 1} {{f(x ^{2} )} over {x ^{2} -1}} CDOT {x-1} over {f(x)} CDOT {x ^{2} -1} over {x-1}# & =10 TIMES {1} over {10} TIMES 2=2]

07

③

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{ x->1+0} { f(x)g(x) }= lim _{ x->1-0} { f(x)g(x) }=0]이므로 [eqn: f(x)g(x)]는 연속이다.

ㄴ. [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 각각 연속이므로 [eqn: f(x)h(x)]도 연속이다.

ㄷ. [eqn: lim _{ x->1+0} {f(x)k(x)}=-1!=0= lim _x->1-0 {f(x)k(x) }}]이므로 [eqn: f(x)k(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이 아니다.

08

①

답

해

설

[eqn: f(1)=2=b},~f(0)=0=4a+b=f(3)]

[eqn: ∴ a=- 1 over 2 ,~ b=2]

[eqn: ∴ f(8)=f(5)=f(2)=a+b= 3 over 2]

09

(1) 불연속   (2) 연속

답

10

(1) [eqn: (0,~inf)]   (2) [eqn: (-inf,~1),~(1,~inf)]

답

11

①

답

해

설

ㄱ. [eqn: x=1]에서 함수가 정의되지 않으므로 [eqn: x=1]에서 불연속이다.

ㄴ. [eqn: f(1)=2]이고, [eqn: lim _{ x`->`1} { { x^2 -1} over { x-1} }= lim _{ x`->`1 } { (x+1)}=2]이므로 [eqn: f(1)= lim _{ x`->`1} {f(x) }]가 성립한다.
따라서 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ㄷ. [eqn: lim _{ x`->`1-0} { f(x)}= lim _{ x`->`1-0 }{[``x``]=0]
[eqn: lim _{x` -> `1+0} {f(x)} = lim _{x` -> `1+0} {[``x``]=1}]
이므로 [eqn: lim _{x`->`1} {f(x)}]가 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: x=1]에서 연속인 함수는 ㄴ뿐이다.

12

②

답

해

설

[eqn: x=0]이면  [eqn: f(x)=0]

[eqn: x!=0]이면  [eqn: f(x)= x ^{2} over{1- 1 over 1+x^2} = 1 +x^2]

이때 [eqn: lim _{ x`->`0} { f(x)}= lim _{ x`->`0} {(1+x^2 ) }=1]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {f(x)} !=f(0)]

즉, [eqn: x=0]에서 불연속이므로 불연속인 점은 [eqn: 1]개다.

13

①

답

해

설

[eqn: x=2]에서 연속이므로 [eqn: lim _{ x`->`2} {f(x) }]가 존재하고 [eqn: x`->`2]일 때 [eqn: (분모)`->`0]이므로 [eqn: (분자)`->`0]이어야 한다.

즉,  [eqn: lim _{ x` ->`2} {(x^2 +ax+b) }=4+2a+b=0]

[eqn: therefore b=-2a-4]	㉠

[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `2} {f(x)} & = lim _{x` -> `2} {{x ^{2} +ax+b} over {x-2}} = lim _{x` -> `2} {{x ^{2} +ax-2a-4} over {x-2}}# & = lim _{x`->`2} {{(x-2)(x+2+a)} over {x-2}} =4+a]

이때 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x`->`2} {f(x)} =f(2)=3]

[eqn: THEREFORE 4+a=3~~~therefore a=-1]

㉠에서  [eqn: b=-2]

[eqn: therefore a+b= -1+(-2)=-3]

14

③

답

해

설

[eqn: x!=1]이면 [eqn: f(x)= { ax^2 +bx } over { x-1}]이고 [eqn: f(1)= lim _{ x`->`1} { f(x)}]이어야 하므로  [eqn: -1 = lim _{ x`->`1} { { ax^2 +bx} over { x-1} }]

이때 [eqn: (분모)`->`0]이므로

[eqn: lim _{ x`->`1} { (ax^2 +bx )}=a+b=0]

[eqn: therefore b=-a]

[eqn: -1 = lim _{ x`->`1} { { ax^2 -ax } over { x-1`} }= lim _{ x`->`1} {``ax }=a]

[eqn: therefore a=-1,~b=1]

[eqn: therefore ab=-1]

15

③

답

해

설

(i) [eqn: |``x`` |<1]이면 [eqn: lim _{ n`->`inf} { x^2n}=0]이므로
[eqn: f(x)= lim _{ n`->`inf} { { x^2n } over { x^2n +1} }=0]

(ii) [eqn: |``x``|>1]이면 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {x ^{2n}} =0}]이므로
[eqn: f(x) = lim _{ n`->`inf} { { x^2n } over { x^2n +1} }= lim _{ n`->`inf} { { 1} over {1+ { 1} over { x^2n} } }=1]

(iii) [eqn: x=+-1]이면 [eqn: lim _{ n`->`inf} { x^2n}=1]이므로
[eqn: f(x) =lim _{ n`->`inf} { { x^2n} over { x^2n +1} }= 1 over 1+1 = 1 over 2]

따라서 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 위 그림과 같고 불연속인 점은 [eqn: x=+-1]의 [eqn: 2]개다.

16

연속, 불연속

답

해

설

[eqn: f LEFT ( { 1} over { 2} RIGHT )= 1 over 2 ,~ lim _{ x`-> ` 1 over 2} {(x-[``x``])= 1 over 2 }]이므로 [eqn: x= 1 over 2]에서 연속이다.

[eqn: f(1)=0]이지만 [eqn: lim _{x` -> `1+0} {(x-[``x``])=1-1=0}]이고

[eqn: lim _{x` -> `1-0} {eqalign{(x-[``x``])=1-0=1# }}]이므로 [eqn: x=1]에서 불연속이다.

17

③

답

해

설

[eqn: x=1]에서 연속이므로 [eqn: f(1)= lim _{ x`->`1} {f(x) }], 즉

[eqn: b= lim _{ x`->`1} { { x^2 +ax-3} over { x-1} }]

[eqn: lim _{ x`->`1} {(x^2 +ax -3) }=0]에서

[eqn: a=2,~b= lim _{ x`->`1} { { x^2 +2x -3} over { x-1} }= lim _{ x`->`1} { (x+3)}=4]

[eqn: therefore a+b=6]

18

①

답

해

설

[eqn: f(x) = { sqrt { x+7}-3 } over { x-2} ~(x!=2)]에서

[eqn: f(2)= lim _{x` -> `2} {{sqrt {x+7} -3} over {x-2}} = lim _{x`->`2} {{1} over {sqrt {x+7} +3} = {1} over {6}}]

19

①

답

해

설

(i) [eqn: |``x`` |<1]이면  [eqn: f(x)=0]

(ii) [eqn: |``x``|>1]이면  [eqn: f(x)= lim _{n` -> ` INF } {{x-1} over {1+ {1} over {x ^{2n}}}} =x-1]

(iii) [eqn: x=1]이면  [eqn: f(1)=0],
[eqn: x=-1]이면  [eqn: f(-1)=-1]

따라서 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 위 그림과 같고 [eqn: x=-1]인 점에서만 불연속이다.

20

①

답

해

설

[eqn: a & = lim _{x` -> `0} {{sqrt {1+x} - sqrt {1-x}} over {x}}# & = lim _{x` -> `0} {{2x} over {x( sqrt {1+x} + sqrt {1-x} )}}# & = lim _{x`->`0} {{2} over {sqrt {1+x} + sqrt {1-x}}} =1]

21

②

답

해

설

[eqn: □``x``□<1]이면  [eqn: f(x)=0]

[eqn: □``x``□>1]이면  [eqn: f(x)`= {1} over {x}]

[eqn: x=1]이면  [eqn: f(1)= {1} over {2}]

[eqn: x=-1]이면 [eqn: f(-1)]은 존재하지 않는다.

이때 [eqn: f(2)`= {1} over {2}]이다.

22

①

답

해

설

(i) [eqn: 0<x<1]일 때,  [eqn: f(x)=x+a]

(ii) [eqn: x=1]일 때,  [eqn: f(1)=1+ {a} over {2}]

(iii) [eqn: x>1]일 때,  [eqn: f(x)=1]

따라서 [eqn: x>0]에서 연속이려면 [eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로

[eqn: 1+ {a} over {2} =1+a=1]

[eqn: therefore`a=0]

23

③

답

해

설

ㄱ. 주어진 등식에 [eqn: x=y=0]을 대입하면
[eqn: f(0)=0]

ㄴ. [eqn: x=0]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x`->`0} {f(x)=0}]
[eqn: THEREFORE lim _{ x`->`0} { { f(x)} over { x^2 +2} }=0]

ㄷ. [eqn: lim _{h` -> `0} {f(1+h)} & = lim _{h` -> `0} {LEFT { f(1)+f(h)-h RIGHT }}# & =f(1)+ lim _{h` -> `0} {f(h)-0} =f(1)]
이므로 [eqn: x=1]에서 연속이다.

24

①

답

해

설

ㄱ. [eqn: lim _{ x`->`0} { { f(x)} over { x} } =alpha]라고 하면
[eqn: lim _{x` -> `0} {f(x)} & = lim _{x` -> `0} {LEFT ( {f(x)} over {x} CDOT x RIGHT )} = lim _{x` -> `0} {{f(x)} over {x}} CDOT lim _{x` -> `0} {``x}# & = alpha ` CDOT `0`=`0~(참)]

25

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{ x`->`3} {f(x) }=f(3)]을 만족시켜야 하므로

[eqn: lim _{ x`->`3} {f(x) }= lim _{ x`->`3} { { x^2 -9} over { x-3} }= lim _{ x`->`3} { (x+3)}= 6]

[eqn: thereforef(3) = 6~~~~therefore a=6]

26

①

답

해

설

ㄷ. [eqn: f(0)=0]이고, [eqn: lim _{x` -> `0} {f(x)}= lim _{ x`->`0} {`x` |``x`` | }=0]
[eqn: therefore f(0)= lim _{ x`->`0} {f(x) }]
따라서 [eqn: x=0]에서 연속이다. (참)

27

①

답

해

설

[eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{ x`->`1} {`f(x) }=f(1)]이 성립해야 한다.

l[eqn: lim _{x` -> `1} {`f(x)} = lim _{x` -> `1} {` {x ^{2} -ax+b} over {x-1}}]에서 [eqn: x`->`1]일 때 [eqn: (분모)` -> `0]이므로 [eqn: (분자)`->`0]이어야 한다.

[eqn: 1-a+b=0]에서　 [eqn: b=a-1]

[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `1} {{x ^{2} -ax+b} over {x-1}} & = lim _{x` -> `1} {{x ^{2} -ax+a-1} over {x-1}}# & = lim _{x` -> `1} {{(x-1)(x+1-a)} over {x-1}}# & = lim _{x` -> `1} {(x+1-a)} =2-a=3]

[eqn: ∴ a=-1,~ b=-2]

[eqn: ∴ ab=2]

28

②

답

해

설

ㄴ. [eqn: |``x``|<1]일 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} {x^n }=0]이므로
[eqn: f(x)= lim _{n`->`inf} { { x^n+1 +2x} over { x^n -1} }= { 2x} over { -1}=-2x] (참)

29

⑤

답

해

설

[eqn: lim _{ x`->`2} {(x^2 + x+b) }=f(2)]이므로

[eqn: b=2a-4]	㉠

[eqn: lim _{ x`->`-2} {(x^2 +x+b) }=f(-2)]이므로

[eqn: b=-2a]	㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

[eqn: a=1,~b=-2]

[eqn: therefore a-b=1-(-2)=3]

30

①

답

해

설

ㄱ. [eqn: x=0]일 때, [eqn: f(0)=0+0+0+ cdots +0+ cdots =0](참)

ㄴ. [eqn: x!=0]일 때, [eqn: f(x)= {x ^{2}} over {1- {1} over {1+x ^{2}}} =1+x ^{2}]
[eqn: THEREFORE lim _{x` -> `0} {f(x)} = lim _{x` -> `0} {(1+x ^{2} )} =1+0=1] (거짓)

ㄷ. ㄱ, ㄴ에 의하여　[eqn: f(0) != lim _{x` -> `0} {f(x)}] (거짓)

ㄹ. ㄷ에 의하여 함수 [eqn: f ( x )]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다. (거짓)

31

(1) 불연속  (2) 불연속  (3) 연속

답

32

[eqn: 3]

답

33

②

답

해

설

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이 되려면
[eqn: f(1)= lim _{ x`->`1} {f(x) }]이어야 한다.

[eqn: lim _{x -> 1} {f(x)} = lim _{x` -> `1} {{x ^{2} +ax-3} over {x-1}}]에서 [eqn: x -> 1]일 때

[eqn: (분모) `->` 0]이므로 [eqn: (분자) ` ->` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x-> 1} {(x ^{2} +ax-3)=a-2=0}]에서  [eqn: a=2]

[eqn: THEREFORE ` lim _{x -> 1} {f(x)} & = lim _{x` -> `1} {{x ^{2} +2x-3} over {x-1}}# & = lim _{x -> 1} {{(x+3)(x-1)} over {x-1}}# & = lim _{x -> 1} {(x+3)=4}]

[eqn: THEREFORE b=f(1)= lim _{x-> 1} {f(x)=4}]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =20]이다.

34

⑤

답

해

설

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: f(2)= lim _{x` -> `2} {f(x)} & = lim _{x -> 2} {{x-2} over {sqrt {x+2} -2}}# & = lim _{x` -> `2} {{(x-2) sqrt {x+2} +2} over {x-2} =4}]

35

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: x != 0]일 때 [eqn: f(x)= {□x+2□-2} over {x}]이므로

[eqn: f(0)= lim _{x -> 0} {{□x+2□-2} over {x}} = lim _{x -> 0} {{x+2-2} over {x}}=1]

36

⑤

답

해

설

분모를 [eqn: 0]이 되게 하는 실수 [eqn: x]가 존재하지 않으면 된다.

즉, 이차방정식 [eqn: x^{ 2}+ax+b=0]이 허근을 가져야 하므로 [eqn: D<0]에서  [eqn: D=a ^{ 2}-4b<0]

37

[eqn: 6]

답

해

설

[eqn: lim _{x-> 2} {{x ^{2} +ax-6} over {x-2}}]이 존재하면
[eqn: 4+2a-6=0``````````` THEREFORE a=1]

[eqn: lim _{x-> 2} {f(x)=f(2)}]이어야 하므로
[eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{2} +x-6} over {x-2}} = lim _{x -> 2} {{(x+3)(x-2)} over {x-2}} =5=b]

[eqn: THEREFORE a+b=1+5=6]

38

[eqn: 1]

답

해

설

[eqn: lim _{x -> 1} {f(x)= lim _{x -> 1} {{x ^{2} +ax+b} over {x-1}}} & = lim _{x -> 1} {{(x-1)(x+1+a)} over {x-1}}# &=2+a=f(1)]

이고, [eqn: f(0)=-b=a+1]

[eqn: THEREFORE f(1)-f(0)=(2+a)-(a+1)=1]

39

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: x=±1]에서 연속이면 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이므로 [eqn: f(1)=0=-1+a+b,~f(-1)=2=-1-a+b]

[eqn: a=-1,~b=2]이므로

[eqn: b-a=2-(-1)=3]

40

①

답

해

설

ㄱ. (반례) [eqn: f(x)= {1} over {x ^{2}} ,~g(x)=- {1} over {x ^{2}}]이면
[eqn: LEFT . lim _{x -> 0} {LEFT . LEFT ( {1} over {x ^{2}} RIGHT . - {1} over {x ^{2}} RIGHT ) = lim _{x -> 0} {0=0}} RIGHT .]

ㄷ. (반례) [eqn: f(x)= {cases{```````1~(x GEQ 0)##`-1~`(x<0)}}]이면 [eqn: y=|`f(x)`|]는 [eqn: x=0]에서 연속이지만 [eqn: y=f(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다.

41

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: LEFT . f` LEFT ( {1} over {2 ^{n}} RIGHT ) RIGHT . =2+ {1} over {2} + {1} over {2 ^{2}} +cdots`+ {1} over {2 ^{n-1}}]

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이므로
[eqn: LEFT . f(0)= lim _{x -> 0} {f(x)=} lim _{n -> INF } {LEFT. f` LEFT ( {1} over {2 ^{n}} RIGHT . RIGHT ) =3} RIGHT .]

42

①

답

해

설

ㄱ. [eqn: x=0]이면  [eqn: f(0)=0+0+0+cdots=0] (참)

ㄴ. [eqn: x!=0]이면 공비가 [eqn: 0< {1} over {1+x ^{2}} <1]인 등비급수이므로
[eqn: f(x) & =x ^{2} + {x ^{2}} over {1+x ^{2}} + {x ^{2}} over {(1+x ^{2} ) ^{2}} + CDOTS # & = {x ^{2}} over {1- {1} over {1+x ^{2}}} =1+x ^{2}]
[eqn: THEREFORE lim _{x -> 0} {f(x)= lim _{x -> 0} {(1+x ^{2}}} )=1] (거짓)

ㄷ. [eqn: lim _{x-> 0} {f(x) != f(0)}]이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다. (거짓)

43

③

답

해

설

(i) [eqn: |``x`` |<1]이면  [eqn: f(x)=-x]

(ii) [eqn: |``x``|>1]이면  [eqn: f(x)=x]

(iii) [eqn: x=1]이면  [eqn: f(1)=0]

(iv) [eqn: x=-1]이면  [eqn: f(-1)=0]

따라서 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 위 그림과 같고 불연속인 점은 [eqn: x=±1]의 [eqn: 2]개다.

미적분Ⅰ	Ⅱ. 함수의 극한과 연속		2. 함수의 연속			정답
	02 연속함수의 성질

01

④

답

해

설

함수 [eqn: f(x) = (x-2) ^2 +1]은 닫힌 구간 [eqn: [1,~4]]에서 연속이고, 치역은 [eqn: [1,~5]]이므로 최댓값은 [eqn: x=4]일 때 [eqn: M=5]이고 최솟값은 [eqn: x=2]일 때 [eqn: m=1]이다.

[eqn: therefore M-m = 4]

02

④

답

해

설

[eqn: f(x)=x ^{3} +x ^{2} -1]이라고 하면 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이고,

[eqn: f left( 1 over 2 right) = - 5over 8 <0 ,~f(1) =1>0]

이므로 방정식은 구간 [eqn: LEFT ( {1} over {2} ,~1 RIGHT )]에서 실근을 갖는다.

03

③

답

해

설

주어진 등식에서 [eqn: x=1,~x=-1]일 때, 극한값이 존재하고 [eqn: (분모)`->`0]이므로  [eqn: (분자)`->`0]

[eqn: THEREFORE f(1)=0,~f(-1)=0]

[eqn: f(x)`=(x-1)(x+1)g(x)]로 놓으면 [eqn: g(x)]는 연속이고 [eqn: g(1)` CDOT g(-1) <0]이므로 [eqn: f(x)=0]은 [eqn: (-1,~1)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다. 따라서 [eqn: -1le x le 1]에서 방정식 [eqn: f(x)=0]은 적어도 [eqn: 3]개의 실근을 갖는다.

04

③

답

해

설

좌표평면에서 [eqn: x]축을 시간, [eqn: y]축을 속력으로 생각하자. 이때, 속력은 시간에 대한 연속함수이고, 출발할 때와 도착할 때의 속력이 같았으므로 그 사이의 적당한 속력에 대하여 같은 속력이 되는 순간이 적어도 두 번 존재한다. 따라서 적어도 어느 두 순간의 속력은 같다.

05

[eqn: 9 over 5]

답

해

설

[eqn: -3`le x le 1]에서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-3]일 때 최댓값을, [eqn: x=1]일 때 최솟값을 갖는다.

[eqn: therefore M = f(-3) =- 3 over 5], [eqn: m=f(1) =-3]

[eqn: therefore Mm= left( - 3 over 5 right) cdot (-3) = 9 over 5]

06

③

답

해

설

[eqn: ㄱ.~F(x) =f(x)-x]로 놓으면 [eqn: F(x)]는 연속함수이고, [eqn: F(0)=1,~F(1)=-1]이므로 사이값 정리에 의하여 [eqn: F(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 구간 [eqn: (0,~1)]에서 적어도 하나 존재한다.

[eqn: ㄷ.~H(x)=f(x)-f(1-x)]로 놓으면 [eqn: H(x)]는 연속함수이고 [eqn: H(0)=1,~H(1)=-1]이므로 사이값 정리에 의하여 [eqn: H(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 구간 [eqn: (0,~1)]에서 적어도 하나 존재한다.

따라서 열린 구간 [eqn: (0,~1)]에서 항상 실근을 갖는 것은 [eqn: ㄱ,~ㄷ]이다.

07

③

답

해

설

[eqn: ㄷ.~ lim _{x` -> `1+0} {f(x) CDOT I``(x)} =-1 != 0= lim _{x` -> `1-0} {f(x) CDOT I``(x)}]

08

①

답

해

설

[eqn: f(1)=2=b], [eqn: f(0)=0=4a+b=f(3)]

[eqn: therefore a=- 1 over 2 ,~b=2]

[eqn: therefore f(8)=f(5)=f(2)=a+b= 3 over 2]

09

최댓값: [eqn: 1], 최솟값: [eqn: 1 over 3]

답

10

연속, 사이값 정리

답

11

①

답

해

설

연속인 두 함수의 곱은 연속이다. 폐구간 [eqn: [`-1,~3`]]에서 [eqn: y=x]는 연속이므로 [eqn: y=f(x)]가 불연속인 점 [eqn: x=0,~1]에서만 [eqn: y=xf(x)]의 연속성을 조사하면 된다.

[eqn: g(x)=xf(x)]라고 하면

(i) [eqn: x=0]일 때  [eqn: g(0)`=0 CDOT f(0)=0cdot1=0`]
[eqn: lim _{x` -> `0} {`g(x)} = lim _{x` -> `0} {`xf(x)} =0 CDOT 2=0]
따라서 [eqn: g(0)= lim _{x`->`0} {g(x)}]이므로 [eqn: x=0]에서 연속이다.

(ii) [eqn: x=1]일 때  [eqn: g(1)=1` CDOT `f(1) = 1 cdot 2 = 2]
[eqn: lim _{ x`->`1+0} {g(x)= lim _{ x`->`1+0} { xf(x)=1cdot1 =1} }]
[eqn: lim _{x` -> `1-0} {g(x)= lim _{x` -> `1-0} {xf(x)=1 CDOT 2=2}}]
따라서 [eqn: lim _{x`->`1+0} {g(x)} != lim _{x`->`1-0} {g(x)}]로 [eqn: lim _{x`->`1} {g(x)}]가 존재하지 않으므로 [eqn: x=1]에서 불연속이다.

그러므로 폐구간 [eqn: [`-1,~3`]]에서 함수 [eqn: xf(x)]가 불연속인 점은 [eqn: x=1]의 [eqn: 1]개다.

12

①

답

해

설

[eqn: g(x)=xf(x)]라고 하면

[eqn: g(0)=0 CDOT f(0)=0cdot0=0]

[eqn: lim _{x` -> `0} {g(x)} = lim _{x` -> `0} {xf(x)= lim _{x` -> `0} {x CDOT {|``x``|} over {x}}} = lim _{x` -> `0} {``|``x``|`=0}]

이므로  [eqn: g(0)= lim _{x`->`0} {g(x)}]

즉, [eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: x!=0]에서 [eqn: y=x,~y=f(x)]는 연속이므로
[eqn: g(x)=xf(x)]는 연속이다.

13

(1) 최댓값: 없다, 최솟값: [eqn: -2]
(2) 최댓값: [eqn: 3], 최솟값: [eqn: 3over2]

답

해

설

(1) 함수 [eqn: y=(x-2) ^2 -2]의 그래프가 다음 그림과 같으므로 구간 [eqn: (0,~3)]에서 최댓값은 없고, 최솟값은 [eqn: -2]이다.

(2) 함수 [eqn: y= 3 over x+1]의 그래프는 [eqn: y= 3 over x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 것이므로 다음 그림과 같다.
따라서 구간 [eqn: [`0,~1`]]에서의 최댓값은 [eqn: 3]이고, 최솟값은 [eqn: 3 over2]이다.

14

[eqn: h(x)]

답

해

설

[eqn: f(x) =- LEFT ( x- { 1} over { 2} RIGHT )^2 + { 21} over { 4}]은 구간 [eqn: (-1,~1)]에서 최댓값은 [eqn: 21 over 4], 최솟값은 존재하지 않는다.

[eqn: g(x) = 1 over x]은 구간 [eqn: [`-1,~1`]]에서 최댓값과 최솟값은 존재하지 않는다.

[eqn: h(x)= x over x+1]는 구간 [eqn: [`1,~2`]]에서 최댓값은 [eqn: 2 over 3], 최솟값은 [eqn: 1 over 2]이다.

15

③

답

해

설

[eqn: f(x)=x ^{3} +2x ^{2} -3x-1]이라고 하면 함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이다. 이때

[eqn: f(-2)=(-2) ^{3} +2cdot(-2)^2 -3 cdot(-2) -1 =5 >0]

[eqn: f(-1)=(-1) ^3 +2 cdot (-1) ^2 -3 cdot(-1) -1=3>0]

[eqn: f(0)=-1<0]

[eqn: f(1)=1+2-3-1=-1<0]

[eqn: f(2) = 2^3 +2cdot 2^2 -3 cdot 2 -1=9 >0]

[eqn: f(3) =3^3 +2cdot 3^2 -3 cdot 3 -1=35 >0]

[eqn: f(4)=4^3 +2cdot 4^2 -3cdot 4 -1=83 >0]

따라서 [eqn: f(1)f(2)<0]이므로 보기에서 실근이 존재하는 구간은 [eqn: (1,~2)]이다.

16

④

답

해

설

[eqn: f(x) =2 ^{x} -3x]라고 하면 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이다. 이때

[eqn: f(-2)>0,~f(-1)>0,~f(0)>0,# f(2)<0,~f(3)<0,~f(4)>0,~f(5)>0]

이므로  [eqn: f(3)f(4)<0]

따라서 사이값 정리에 의하여 보기에서 실근이 존재하는 구간은 [eqn: (3,~4)]이다.

17

⑤

답

해

설

이차함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: (-inf,~inf)]에서 연속이므로 폐구간 [eqn: [`n,~n+1`]]에서도 연속이다.

따라서 최대․최소의 정리에 의하여 [eqn: m], [eqn: n]의 값에 관계없이 항상 최댓값과 최솟값이 존재한다.

18

②

답

해

설

[eqn: f(x)=&(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)# &+(x-c)(x-a)]

라고 하면

[eqn: f(a)=(a-b)(a-c) >0,~f(b)=(b-c)(b-a)<0],

[eqn: f(c)=(c-a)(c-b)>0]

따라서 두 실근 [eqn: alpha,~beta ~(alpha < beta)]는 개구간 [eqn: (a,~b)]와 개구간 [eqn: (b,~c)]에서 각각 존재하므로

[eqn: a<alpha <b<beta <c]

19

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: g(f(x))= {cases{~-x ^{2} +ax-2~(x LEQ 1)##`2x ^{2} -2ax+1~`(x>1)}}]이 [eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로

[eqn: g(f(1))= lim _{x`->`1-0} {g(f(x))= lim _{x`->`1+0} {g(f(x))}}]

[eqn: -1+a-2=2-2a+1~~~~ THEREFORE a=2]

20

[eqn: y'=6x^2 - 8x]

답

21

③

답

해

설

방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+a+12=0]의 판별식을 [eqn: D``]라고 하면  [eqn: D over 4 = a^2 -(a+12) <0,~a^2 - a-12<0]

[eqn: (a+3)(a-4)<0]

[eqn: therefore -3<a<4]

따라서 정수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 3]이다.

22

⑤

답

해

설

주어진 범위에서 [eqn: f ( x )]는 [eqn: x=-1]일 때 최댓값, [eqn: x=3]일 때 최솟값을 가지므로

[eqn: M=f(-`1)=- { 4} over { 5},~m=f(3) =-4]

[eqn: therefore M-m=- { 4} over { 5}-(-4)= 16 over 5]

23

④

답

해

설

[eqn: f(x)=x^3 +3x+2]로 놓으면 [eqn: f ( x )]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 연속이고, [eqn: f(-4)<0], [eqn: f(-3)<0],
[eqn: f(-2)<0], [eqn: f(-1)<0], [eqn: f(0)>0], [eqn: f(1)>0]이다.

따라서 [eqn: f(-1)f(0)<0]이므로 사이값 정리에 의하여 열린 구간 [eqn: (-1,~ 0)]에서 방정식 [eqn: x^3 +3x+2=0]은 적어도 하나의 실근을 갖는다.

24

②

답

해

설

[eqn: (f CIRC g)(x) & =f(g(x))=f(x+1)# & = {(x+1)+2} over {(x+1)-3} = {x+3} over {x-2}]

따라서 [eqn: x=2]에서 불연속이므로

[eqn: a=2]

25

[eqn: 3]

답

해

설

[eqn: g(x)=f(x)-3]으로 놓으면 [eqn: f ( x )]가 연속함수이므로 [eqn: g( x )]도 연속함수이다.

사이값 정리에 의하여 방정식 [eqn: g(x)=0]이 구간 [eqn: ( 0 ,~ 1 )]에서 적어도 하나의 실근을 가지려면 [eqn: g( 0 )g(1)<0]이어야 한다.

[eqn: g(0)=f(0)-3=a-3], [eqn: g(1)=f(1)-3=(a-4)-3=a-7]이므로

[eqn: g( 0 )g(1)=(a-3)(a-7)<0]

[eqn: ∴ 3<a<7]

따라서 정수 [eqn: a]는 [eqn: 4,~ 5,~ 6]의 [eqn: 3]개다.

26

③

답

해

설

[eqn: f ( x )]는 [eqn: x=0]에서 불연속이고 [eqn: g(x)=x ^2{-x=0}]에서 불연속이다

이때, [eqn: x^2 -x=x(x-1)=0]이므로 [eqn: (f CIRCg)(x)]는 [eqn: x=0], [eqn: x=1]에서 불연속이다.

따라서 불연속인 점의 개수는 [eqn: 2]개다.

27

②

답

해

설

함수 [eqn: y=f(x)g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이 되려면

[eqn: lim _{x-> 1-0} {f(x)g(x)=f(1)f(1)= lim _{x-> 1+0} {f(x)g(x)}}]

가 성립해야 한다.

(i) 좌극한
[eqn: lim _{x -> 1-0} {f(x)g(x)} & = lim _{x -> 1-0} {(5-x)(ax+3)}# & =4(a+3)]

(ii) 함숫값
[eqn: f(1)g(1)=(5+1)(a+3)=6(a+3)]

(iii) 우극한
[eqn: lim _{x -> 1+0} {f(x)g(x)} & = lim _{x -> 1+0} {(5+x)(ax+3)}# & =6(a+3)]
[eqn: 4(a+3)=6(a+3)]에서
[eqn: a=-3]

28

①

답

[eqn: f(x-1)=g(x)]로 놓으면

(i) [eqn: x=-1]에서 [eqn: f(x)]는 불연속이고
[eqn: g(-1) != 0]이므로 [eqn: x=-1]에서 [eqn: f(x)g(x)]는 불연속이다.

(ii) [eqn: lim _{x-> -0} {f(x)g(x)=f(0)g(0)= lim _{x-> +0} {f(x)g(x)=0}}]이므로 [eqn: x=0]에서 [eqn: f(x)g(x)]는 연속이다.

(iii) [eqn: lim _{x -> 1-0} {f(x)g(x)} & =f(1)g(1)# & = lim _{x -> 1+0} {f(x)g(x)=0}]
이므로 [eqn: x=1]에서 [eqn: f(x)g(x)]는 연속이다.

(iv) [eqn: x=2]에서 [eqn: g(x)]는 불연속이고 [eqn: f(2) != 0]이므로 [eqn: x=2]에서 [eqn: f(x)g(x)]는 불연속이다.

29

[eqn: 2]

답

해

설

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서만 불연속이고 [eqn: g(x)]는 모든 구간에서 연속이므로 [eqn: (g CIRC f)(x)]가 모든 실수에서 연속이 되려면 [eqn: x=1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x -> 1+0} {(g CIRC f)(x)} & = lim _{x -> 1+0} {g(x ^{2} -x+1)}# & =g(1)=□1-a□]

[eqn: lim _{x -> 1-0} {(g CIRC f)(x)}&= lim _{x -> 1-0} {g(x ^{2} +x+1)}#&=g(3)=□3-a□]

[eqn: □1-a□=□3-a |]에서  [eqn: a=2]

30

⑤

답

해

설

두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 모두 연속함수이다.

연속함수의 성질에 의하여 ①, ②, ③은 모두 연속함수이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) != 0]이므로 [eqn: y= {g(x)} over {f(x)}]도 연속함수이다.

그러나 [eqn: x=±1]일 때 [eqn: g(x)=0]이므로 [eqn: y= {f(x)} over {g(x)}]는 [eqn: x=±1]에서 불연속이다.

32

③

답

해

설

③ [eqn: H(x)=xf(x)]로 놓으면
[eqn: lim _{x-> +0} {H(x)=0,~ lim _{x-> -0} {H(x)=0,~H(0)=0}}]
[eqn: lim _{x-> 0} {H(x)=H(0)}]이므로 [eqn: y=xf(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

33

①

답

해

설

ㄱ. [eqn: F(x)=x+f(x)]로 놓으면 구간 [eqn: [`0,~1`]]에서 [eqn: F(x)]는 연속이다.
[eqn: F(0)=0+f(0)=1,~F(1)=1+f(1)=1]
이므로 구간 ([eqn: 0,~1])에서 [eqn: F(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 반드시 존재한다고 할 수 없다.

ㄴ. [eqn: G(x)=x-f(x)]로 놓으면 개구간 [eqn: [`0,~1`]]에서 [eqn: G(x)]는 연속이다.
[eqn: G(0)=0-f(0)=-1,~G(1)=1-f(1)=1]
이므로 사이값 정리에 의하여 [eqn: G(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 개구간 [eqn: (0,~1)]에 적어도 하나 존재한다.

ㄷ. [eqn: H(x)=x+f(1-x)]로 놓으면 구간 [eqn: [`0,~1`]]에서 [eqn: H(x)]는 연속이다.
[eqn: H(0)=0+f(1)=0,~H(1)=1+f(0)=2]
이므로 개구간 [eqn: (0,~1)]에서 [eqn: H(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 반드시 존재한다고 할 수 없다.

ㄹ. [eqn: K(x)=x-f(1-x)]로 놓으면 구간 [eqn: [`0,~1`]]에서 [eqn: K(x)]는 연속이다.
[eqn: K(0)=0-f(1)=0,~K(1)=1-f(0)=0]
이므로 개구간 [eqn: (0,~1)]에서 [eqn: K(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 반드시 존재한다고 할 수 없다.

34

②

답

35

③

답

해

설

ㄱ. [eqn: F(x)=f(x)-x]로 놓으면 [eqn: F(x)]는 연속함수이고 [eqn: F(0)=1,~F(1)=-1]이므로 사이값 정리에 의하여 [eqn: F(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 개구간 [eqn: (0,~1)] 사이에 적어도 하나 존재한다.

ㄷ. [eqn: H(x)=f(x)-f(1-x) _{}]로 놓으면 [eqn: H(x)]는 연속함수이고 [eqn: H(0)=1,~G(1)=-1]이므로 사이값 정리에 의하여 [eqn: H(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]가 개구간 [eqn: (0,~1)] 사이에 적어도 하나 존재한다.

36

①

답

해

설

[eqn: rmA] 지점에서 [eqn: x]만큼 이동한 지점의 수온을 [eqn: f(x)]로 놓으면
[eqn: 4 LEQ f(x) LEQ 12]이고,
[eqn: f(x)]는 연속함수이다.

[eqn: rmA] 지점부터 [eqn: RMP,~Q] 지점까지의 거리를 각각 [eqn: a,~b]라고 하면 [eqn: f(a)=4`], [eqn: f(b)=12]이므로

ㄱ. [eqn: RMP,~Q] 사이와 [eqn: rm Q,~A] 사이에 각각 [eqn: 10 DEG rm C]인 지점이 적어도 한 군데씩 있다.

ㄴ. [eqn: RMP,~Q] 사이에 [eqn: 8 DEG rm C]인 지점이 적어도 한 군데 있다.

ㄷ. 주어진 그래프와 같이 [eqn: rmA], [eqn: rm P] 사이에 [eqn: 10 DEG rm C]인 지점이 존재하지 않을 수도 있다.

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

37

④

답

해

설

철사의 각 지점의 온도는 연속적으로 변하고 있다.

[eqn: RMP,~Q] 두 지점의 온도가 [eqn: 100 DEG rm C], [eqn: RMA], [eqn: rmB] 두 지점의 온도가 [eqn: 80 DEG RMC]이므로 [eqn: RMP]와 [eqn: rm A,~P]와 [eqn: rm B,~Q]와 [eqn: rm A,~Q]와 [eqn: RMB] 사이에 [eqn: 90 DEG rm C]가 되는 지점이 적어도 한 군데씩 존재한다.

따라서 온도가 [eqn: 90 DEG rm C]인 지점은 적어도 [eqn: 4]군데 있다.

38

②

답

해

설

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이므로 [eqn: f(rmsin itx)]는
[eqn: rm sin it x=1]인 점에서 불연속이다.

따라서 [eqn: x=- {3 pi } over {2} ,~ {pi} over {2}]에서 불연속이므로 불연속점의 개수는 [eqn: 2]개다.

39

②

답

해

설

[eqn: f(x)= rm log _{2} it`x+2it`x-3]이라고 하면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x>0]에서 연속이고 증가함수이다.

[eqn: f(1)<0,~f(2)>0]이므로 사이값 정리에 의하여
[eqn: f(x)=0]은 개구간 [eqn: (1,~2)]에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.