기초 수학	Ⅲ. 피타고라스 정리와 삼각비		1. 피타고라스 정리			반 / 번호
	01 피타고라스 정리					이름

1. 다음 직각삼각형에서 [eqn: x]의 값을 구하여라.

⑴		⑵

2. 고대 이집트에는 오늘날과 같은 직각자(직각을 그릴 수 있는 자)가 존재하지 않았다고 한다. 그래서 이집트의 측량가들은 아래의 그림과 같이 11개의 매듭이 묶여 있는 밧줄로 직각삼각형을 만들어서 건축에 사용했다고 한다. 아래에 11개의 매듭이 묶여 있는 밧줄을 이용해서 어떻게 직각삼각형을 만들 수 있는지 방법을 설명한 것이 있다. 빈칸에 들어갈 알맞은 말로 짝지어진 것을 고르면?

밧줄을 남김없이 모두 이용해서 직각삼각형을 만들어야 한다. 밧줄에 11개의 매듭이 묶여 있기 때문에 밧줄은 12 부분으로 나누어져 있다. 12 부분으로 나누어져 있는 이 밧줄의 길이를 ( ⓐ )라고 하자. 그러면 이 밧줄로 만들 수 있는 삼각형은 세 변의 길이가 2, 5, 5 인 삼각형과 3, 4, 5 인 삼각형 두 가지이다. 그런데[eqn: 5^2 <5^2 +{2}^2],[eqn: 5^2 ={3}^2 +{4}^2]

따라서 세 변의 길이가 3, 4, 5 인 삼각형이 ( ⓑ )이다. 11개의 매듭이 묶여 있는 밧줄로 아래 그림과 같은 ( ⓑ )을 만들 수 있다.

① ⓐ 11, ⓑ 직각삼각형

② ⓐ 12, ⓑ 직각삼각형

③ ⓐ 24, ⓑ 이등변삼각형

④ ⓐ 11, ⓑ 이등변삼각형

⑤ ⓐ 12, ⓑ 이등변삼각형

3. 다음 그림의 직사각형[eqn: rm ABCD``]에서[eqn: rm bar AH``][eqn: rm BOT bar BD ``]일 때, [eqn: rm bar AH + bar BH``]의 길이를 구하여라.

4. 다음 그림과 같이 두 대각선의 길이가 각각 [eqn: 16`]cm, [eqn: 30`]cm인 마름모의 한 변의 길이는?

① [eqn: 15`]cm	② [eqn: 16`]cm

③ [eqn: 17`]cm	④ [eqn: 18`]cm

⑤ [eqn: 19`]cm

5. [eqn: rm angle B `]가 직각인 [eqn: rm △ ABC `]에서 [eqn: rm □ABED `],[eqn: rm □BCGF `], [eqn: rm □ACHI `]가 정사각형일 때, [eqn: rm △AGC `]와 넓이가 같은 삼각형이 아닌 것은?

①[eqn: rm △BCG `]	②[eqn: rm △BNH `]

③[eqn: rm △BCH `]	④[eqn: rm △NMH `]

⑤[eqn: rm △BFG `]

6. 다음 그림의 직각삼각형 [eqn: \ABC]에서 [eqn: rm bar AC]의 길이는?

7. 다음 그림에서 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 구하여라.

8. 다음 그림과 같은 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]의 꼭짓점 [eqn: rm A`]에서 빗변에 내린 수선의 발을[eqn: rm H`]라 하고, [eqn: rm bar AB = 15] cm, [eqn: rm bar BC = 25] cm일 때, [eqn: rm bar AH`]의 길이는?

① [eqn: 12] cm	② [eqn: 13] cm

③ [eqn: 14] cm	④ [eqn: 15] cm

⑤ [eqn: 16] cm

9. 다음 그림의 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 [eqn: rm bar AH BOT bar BC`]이고, [eqn: rm bar AB = 4] cm, [eqn: rm bar BC = 5] cm일 때, [eqn: rm bar CH `]의 길이는?

① [eqn: 9over25`]cm	② [eqn: 12over25`]cm

③ [eqn: 13over25`]cm	④ [eqn: 9over5`]cm

⑤ [eqn: 12over5`]cm

10. 다음 그림을 이용하여 세 변의 길이가 [eqn: 13]cm, [eqn: 14]cm, [eqn: 15]cm인 삼각형 [eqn: rm ABC]의 높이 [eqn: h]를 구하여라.

11. 다음 그림의 직사각형 ABCD에서 [eqn: rm bar AD = bar ED `]가 되는 점 E를 [eqn: rm bar BC `]위에 잡을 때, 사다리꼴 [eqn: \AECD]의 넓이는?

① [eqn: rm 25 over 2 cm²`]	② [eqn: rm 27 over 2 cm² `]

③ [eqn: rm 29 over 2 cm² `]	④  [eqn: 15][eqn: rm cm² `]

⑤  [eqn: 16][eqn: rm cm² `]

12. 다음 그림과 같이 두 대각선의 길이가 각각 [eqn: 16]cm, [eqn: 30]cm인 마름모의 한 변의 길이는?

①[eqn: rm 15 cm]	②[eqn: rm 16 cm]

③[eqn: rm 17 cm]	④[eqn: rm 18 cm]

⑤[eqn: rm 19 cm]

13. 다음 그림은 한 변의 길이가 [eqn: 17]인 정사각형[eqn: rmABCD]의 각 변 위에 [eqn: rm bar AE = bar BF = bar CG = bar DH = 5]가 되도록 점 [eqn: rm E,F,G,H]를 잡은 것이다. 이때 [eqn: □rm EFGH]의 넓이를 구하면?

① [eqn: 25]	② [eqn: 13]

③ [eqn: 169]	④ [eqn: 12]

⑤ [eqn: 144]

14. 정사각형[eqn: rm ABCD]의 내부의 한 점 P를 잡아 A, B, C, D와 연결할 때, [eqn: rm BAR AP =2 `], [eqn: rm BAR CP =4 `]이면, [eqn: rm BAR BP `^2 + BAR DP `^2 `]의 값은?

① 16	② 18

③ 20	④ 24

⑤ 36

15. 다음 직사각형[eqn: rm ABCD]에서[eqn: rm bar AE = barCE `]가 되도록 점[eqn: RM E]를 잡고,[eqn: rm bar AE = bar AF `]가 되도록 점[eqn: RM F]를 잡으면 [eqn: RM□AECF]의 넓이는 몇 cm²인가?

① [eqn: 10sqrt 5 `]	② [eqn: 12 sqrt 3 `]

③ [eqn: 15]	④ [eqn: 20]

⑤ [eqn: 25]

16. 다음 그림과 같은 정사각형 [eqn: \ABCD]는 한 변의 길이가 [eqn: 12]인 정사각형이고 [eqn: \E], [eqn: \F], [eqn: \G], [eqn: \H]는 각 변을 일정한 비율로 나눈 점일 때, 다음을 구하여라.

⑴[eqn: rm△BEF]와[eqn: rm△CFG]의 합동조건

⑵[eqn: rmangle EFG]의 크기

⑶[eqn: rm□EFGH]의 넓이

17. 다음 그림을 보고, 물음에 답하여라.

⑴ [eqn: rm □ ABCD]의 넓이는?

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]

③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]

⑤ [eqn: 14]

⑵[eqn: rm bar AB]의 길이를 구하여라.

18. 다음 그림은 한 변의 길이가[eqn: 7 rm cm``]인 정사각형[eqn: rm ABCD] 의 각 변 위에 [eqn: rm bar AE = bar BF = bar CG = bar DH = 4 rm cm``]가 되도록 점 [eqn: rm E,~F, ~G, ~H``]를 잡은 것이다. 이때 [eqn: rm □EFGH``]의 넓이는?

① [eqn: 3] cm²	② [eqn: 5] cm²

③ [eqn: 5 root 2] cm²	④ [eqn: 4 root 7] cm²

⑤ [eqn: 25] cm²

19. 다음 그림과 같은 정사각형[eqn: rm ABCD]에서[eqn: rm bar AE =12]이고, [eqn: rm □ EFGH]의 넓이가 [eqn: 169]일 때, [eqn: □rm ABCD]의 넓이를 구하여라.

20. 다음 그림에서 [eqn: rm TRIANGLE ABC==rm TRIANGLE CDE]이고 [eqn: rm bar AB =sqrt3 ,]  [eqn: rm bar AC =2]일 때, [eqn: rm □ ABDE]의 넓이는?

① [eqn: sqrt3 over 2]	② [eqn: sqrt3]

③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2+ sqrt3 over 2]

⑤ [eqn: 2+sqrt3]

21. 다음 그림에서 두 직각삼각형[eqn: rm ABC]와[eqn: rm CDE]는 합동이고, 세 점[eqn: rm B,~ C,~ D]가 한 직선 위에 있을 때, [eqn: rm TRIANGLE ACE]의 넓이를 구하여라.

22. 다음 그림과 같은 사다리꼴 [eqn: \ABCD]에서 [eqn: rm bar AB = 8], [eqn: rm bar BC = 10], [eqn: rm bar CD = 3]이고 [eqn: rm bar AE = bar DE]이다. 점 [eqn: rmE]가 선분 [eqn: \BC] 위에 있을 때, [eqn: rm bar CE]의 길이를 구하여라.

23. 다음 그림에서 [eqn: 4]개의 직각삼각형은 모두 합동이고, [eqn: rm bar BE =4,] [eqn: rm barCE =3]일 때, [eqn: rm □ EFGH]의 넓이와 [eqn: rm bar AB]의 길이를 구하여라.

24. 다음 그림에서 [eqn: 4]개의 직각삼각형은 모두 합동이고 [eqn: rm bar AB = 5], [eqn: rm bar BR = 3]일 때, [eqn: rm □PQRS]의 넓이는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]

③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]

⑤ [eqn: 5]

25. 다음 그림에서 [eqn: 4`]개의 직각삼각형은 모두 합동이고 [eqn: rm bar AB = root29`], [eqn: rm bar AE = 5`]일 때, [eqn: □ \EFGH`]의 넓이를 구하면?

① [eqn: 2`]	② [eqn: 5`]

③ [eqn: 6`]	④ [eqn: 8`]

⑤ [eqn: 9`]

26. 다음 그림에서 [eqn: 4`]개의 직각삼각형은 모두 합동이고, [eqn: rm bar AB = 4`],[eqn: rm bar AE = 3`]일 때, 사각형[eqn: \EFGH`]의 넓이는?

① [eqn: 8-3sqrt7`]	② [eqn: 14`]

③ [eqn: 7`]	④ [eqn: sqrt51`]

⑤ [eqn: 16-6sqrt7`]

27. 다음 그림은 [eqn: angle rm A = 90°]인 [eqn: triangle rm ABC]의 각 변을 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것이다. 빗금친 [eqn: triangle rm ABH]의 넓이는? ([eqn: rm bar AC = 3 cm], [eqn: rm bar BC = 5 cm])

① [eqn: 8 rm cm²`]	② [eqn: 9 rm cm²`]

③ [eqn: 10 rm cm²`]	④ [eqn: 12 rm cm²`]

⑤ [eqn: 16 rm cm²`]

28. 다음 그림과 같이 직각삼각형[eqn: \ABC`]의 세 변을 각각 한 변으로 하는 세 정사각형이 있다.[eqn: rm bar AB`],[eqn: rm bar BC`]를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이가 각각 [eqn: 34]cm², [eqn: 9]cm²일 때,[eqn: rm bar AC`]의 길이는?

① [eqn: sqrt2] cm	② [eqn: 5] cm

③ [eqn: 3sqrt7] cm	④ [eqn: 25] cm

⑤ [eqn: 43] cm

29. 다음 그림은 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 각 변 위에 그 변을 한 변으로 하는 정사각형 [eqn: rmADEB], [eqn: rmBFGC], [eqn: rmACHI]를 그린 것이다. 다음 물음에 답하여라.

⑴ [eqn: rm TRIANGLE ABE]와 넓이가 같은 삼각형을 모두 말하여라.

⑵ 정사각형 [eqn: rmADEB]와 넓이가 같은 사각형을 말하여라.

⑶ [eqn: rm bar{AC} =6]cm, [eqn: rm bar{BC} =10]cm일 때, [eqn: rm TRIANGLE ABF]의 넓이를 구하여라.

⑷ 사각형 [eqn: rmBFML]의 넓이를 구하여라.

30. [eqn: rm bar AC = 6cm,] [eqn: rm bar BC = 10cm,] [eqn: rm angle A= 90°]인 직각삼각형[eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm bar AB, ~bar AC, ~bar BC]를 각각 한 변으로 하는 정사각형을 그린 것이다. [eqn: triangle rm ABF]의 넓이는 얼마인가?

①[eqn: rm 16cm^2]	②[eqn: rm 32cm^2]

③[eqn: rm 40cm^2]	④[eqn: rm 64cm^2]

⑤[eqn: rm 100cm^2]

31. 다음 그림은 직각삼각형의 세 변을 지름으로 하는 반원을 그린 것이다. [eqn: rm bar BC = 12,~ barAB = 13] 일 때 색칠한 부분의 넓이는?

① [eqn: 100]	② [eqn: 60]

③ [eqn: 30]	④ [eqn: 25]

⑤ [eqn: 69.5``π]

32. 다음 그림에서 각 반원은 직각삼각형의 각 변을 지름으로 한다. [eqn: rm bar AB = 12 cm], [eqn: rm bar AC = 10 cm]일 때, 색칠한 부분의 넓이를 구하여라.

(     )[eqn: rmcm²]

33. 다음 그림에서 [eqn: RM bar AC = 6cm], [eqn: RM bar AB = 8cm], [eqn: RM ANGLE A= 90°]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC]의 각 변을 지름으로 하는 반원을 그린 것이다. 어두운 부분의 넓이를 구한 것은?

① [eqn: 12 rm cm ^2]	② [eqn: 24 \cm^2]

③ [eqn: 36 rm cm ^2]	④ [eqn: 48 rm cm ^2]

⑤ [eqn: 52 rm cm ^2]

34. 다음 그림과 같이[eqn: rmangle A][eqn: = 90°]인 [eqn: rm triangle ABC]의 세 변을 각각 지름으로 하는 반원의 넓이를 [eqn: rm P,``Q,``R]이라고 하자. [eqn: rm P = 18π], [eqn: rmQ=32π]일 때, [eqn: rmbar BC]의 길이는?

① 5	② 10

③ 13	④ 18

⑤ 20

35. 세 변의 길이가 다음과 같은 삼각형이 직각삼각형이면 ◯표, 아니면 ×표를 하여라.

⑴ [eqn: 4], [eqn: 8], [eqn: 10]	(   )

⑵ [eqn: sqrt7], [eqn: 2sqrt2], [eqn: sqrt15]	(   )

⑶ [eqn: 4], [eqn: 2sqrt5], [eqn: 6]	(   )

⑷ [eqn: sqrt14], [eqn: 6], [eqn: 9]	(   )

36. 세 변의 길이가 각각 다음과 같은 삼각형 중에서 직각삼각형이 아닌 것은?

① [eqn: 5], [eqn: 12], [eqn: 13]	② [eqn: 5], [eqn: 5sqrt3], [eqn: 10]

③ [eqn: 2], [eqn: 5], [eqn: 2sqrt3]	④ [eqn: 3], [eqn: 3sqrt3], [eqn: 6]

⑤ [eqn: 8], [eqn: 15], [eqn: 17]

37. 세 변의 길이가 [eqn: x-2], [eqn: x], [eqn: x+2]인 삼각형이 직각삼각형일 때, [eqn: x]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]

③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]

⑤ [eqn: 15]

38. 세 변의 길이가 [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: a]인 삼각형이 예각삼각형이 되기 위한 [eqn: a]의 값의 범위는? (단, [eqn: a>6])

① [eqn: 2<a<10]	② [eqn: 6<a<10]

③ [eqn: 0<a<2sqrt {13}]	④ [eqn: 6<a<2sqrt {13}]

⑤ [eqn: a>2sqrt {13}]

39. 다음 그림은 직각삼각형 [eqn: \ABC]의 각 변을 지름으로 하는 세 반원을 그리고, 그 넓이를 표시한 것이다. 이때, [eqn: Q]의 값을 구하여라.

40. 삼각형의 세 변이 [eqn: 3]cm, [eqn: 4]cm, [eqn: a]cm 일 때, 둔각삼각형이 되기 위한 [eqn: a] 의 값의 범위를 구하여라.

41. 세 변의 길이가 각각 [eqn: a,~ 2a - 1 ,~ 2a + 1]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 둔각삼각형일 때, [eqn: a`]의 값의 범위를 결정하시오. (단, [eqn: a `＞` 2])

42. 삼각형[eqn: rm ABC]에서[eqn: rm bar AB = 3],[eqn: rm bar BC = 4],[eqn: rm bar CA = it x`]일 때, 다음 중 옳은 것은?

① [eqn: x = 5]이면 [eqn: angle rm C = 90° `]이다.

② [eqn: x = root 7]이면 [eqn: angle rm A = 90° `]이다.

③ [eqn: 1 `＜` x` `＜` 4]이면 [eqn: angle rm A `＞` 90° `]이다.

④ [eqn: root 7 `＜` x` `＜` 4]이면 [eqn: angle rm B `＞` 90° `]이다.

⑤ [eqn: x` `＞` 5]이면 [eqn: angle rm A `＞` 90° `]이다.

43. 삼각형 [eqn: rm ABC``]에서 [eqn: rm bar AB`^2 ``＜``bar BC`^2 + bar CA`^2``]일 때, 다음 중 옳은 것은?

①[eqn: rm angle A ``＞`` 90°]	②[eqn: rm angle B ``＞``90°]

③[eqn: rm angle C ``＜``90°]	④[eqn: rm angle A + angle B ``＜``90°]

⑤[eqn: rm angle A ``=``90°]

44. 다음은 세 변의 길이가 각각 [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: a]인 삼각형이 둔각삼각형이 되도록 하는 [eqn: a]의 값의 범위를 구하는 과정이다. ㈎～㈏에 들어갈 숫자의 곱은?

삼각형의 결정조건에 의하여

[eqn: 8-6＜a＜8+6]

∴ [eqn: 2＜a＜14]⋯㉠

(ⅰ) [eqn: a]가 가장 긴 변일 때

[eqn: a ^2 ＞6 ^2 +8 ^2]

∴ [eqn: a＞]⋯㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: ＜a＜]

㈎

(ⅱ) 8이 가장 긴 변일 때,    [eqn: 8 ^2 ＞6 ^2 +a ^2]

∴ [eqn: 0＜a＜]⋯㉢

㉠, ㉢에 의하여 [eqn: ＜a＜]

㈏

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여[eqn: ＜a＜] 또는 [eqn: ＜a＜]

① [eqn: 4ROOT7]	② [eqn: 20]

③ [eqn: 28]	④ [eqn: 28ROOT7]

⑤ [eqn: 140]

45. 세 변의 길이가 [eqn: 4 rm cm], [eqn: 6 rm cm], [eqn: a``rm cm``]인 삼각형이 둔각삼각형일 때, [eqn: a``]값의 범위를 구하면?

① [eqn: 2``＜``a``＜``10]	② [eqn: a``＜``10]

③ [eqn: 2 sqrt {13} ``＜``a]	④ [eqn: 2 root 13 ``＜``a``＜``10]

⑤ [eqn: a = 2 root 13]

46. 직각삼각형에서 두 변의 길이가 각각 [eqn: 3] cm, [eqn: 4] cm일 때, 나머지 한 변의 길이를 모두 구하면?

① [eqn: sqrt5] cm 또는 [eqn: sqrt7] cm

② [eqn: sqrt5] cm 또는 [eqn: 7] cm

③ [eqn: 5] cm 또는 [eqn: sqrt7] cm

④ [eqn: 5] cm 또는 [eqn: 7] cm

⑤ [eqn: 5] cm 또는 [eqn: 9] cm

47. 다음 그림과 같은 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 점 [eqn: \B]와 점 [eqn: \A]가 겹치도록 접었을 때, [eqn: rmbar CE]의 길이를 구하여라.

48. 다음 그림의[eqn: rm □ABCD``]는[eqn: rm bar BC = 5],[eqn: rmbar CD = 4]인 직사각형이다. 점[eqn: rm A]가 [eqn: rm barBC] 위의 점[eqn: rm Q]에 오도록 접었을 때, [eqn: rmbar PQ``]의 길이는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 1.5]

③ [eqn: 2]	④ [eqn: 2.5]

⑤ [eqn: 3]

49. 다음 그림은 직사각형 [eqn: rmABCD]를 [eqn: rm bar{EF}]를 접는 선으로 하여 접은 것이다. [eqn: rm bar{AB} =4], [eqn: rm bar{ED} =6], [eqn: rm bar{CF} =3]일 때, [eqn: rm bar{EG}]의 길이를 구하여라.

50. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 18]cm인 정사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm bar{AE} =8]cm이고 꼭짓점 [eqn: rmB]가 [eqn: rm bar{AD}] 위에 오도록 접었을 때, [eqn: rm bar{B'G}]의 길이를 구하여라.

기초 수학	Ⅲ. 피타고라스 정리와 삼각비		1. 피타고라스 정리			반 / 번호
	02 평면도형에의 활용					이름

1. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: \A(1,~ -1)], [eqn: \B (x,~ 5)] 사이의 거리가 [eqn: 10]일 때, [eqn: x]의 값을 모두 구한 것은?

① [eqn: 9], [eqn: -7]	② [eqn: 9], [eqn: 7]

③ [eqn: -9], [eqn: 7]	④ [eqn: 9]

⑤ [eqn: -7]

2. 포물선 [eqn: y = x ^2]과 직선 [eqn: y = x + 2]가 만나는 두 점을 [eqn: rm A ,~ B]라 할 때, [eqn: rm bar AB]의 길이는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 3 root 2]

③ [eqn: 2 root 5]	④ [eqn: 5]

⑤ [eqn: 2 root 7]

3. 다음 그림과 같이 포물선 [eqn: y = 1 over 2 x^2`]과 직선 [eqn: y = x + 4]가 두 점[eqn: rm A ,~ B]에서 만날 때, [eqn: rm A ,~ B] 사이의 거리는?

O

[eqn: x`]

[eqn: y`]

A

B

[eqn: y = 1 over 2 x^2`]

[eqn: y = x + 4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 4 root 2]

③ [eqn: 6]	④ [eqn: 6 root 2]

⑤ [eqn: 8]

4. 다음 그림과 같이 [eqn: rm bar OA =3], [eqn: rm bar AB =4], [eqn: rm bar OB =5]인 삼각형 [eqn: rm AOB]가 좌표평면 위에 있을 때, 제 [eqn: 1] 사분면 위의 점 [eqn: rm A]의 좌표는?

① [eqn: ( 1, ~ 2 )]	② [eqn: ( 2, ~ 1 )]

③ [eqn: LEFT ( 5 OVER 6 , ~ 7 OVER 6 RIGHT )]	④ [eqn: left ( 4 over 3 , ~ 5 over 3 right )]

⑤ [eqn: left ( 9 over 5 , ~ 12 over 5 right )]

5. 세 점 [eqn: \A(3,~ 3)], [eqn: \B(-4,~ 0)], [eqn: \C(6,``` -4)]를 꼭짓점으로 하는 [eqn: rm △ABC]는 어떤 삼각형인가?

① 정삼각형	② 이등변삼각형

③ 직각삼각형	④ 둔각삼각형

⑤ 직각이등변삼각형

6. 좌표평면 위의 세 점 [eqn: rmA(-2,~-3)], [eqn: rm B(1,~0)], [eqn: rm C(3,~-1)]을 꼭짓점으로 하는 [eqn: rm TRIANGLE ABC]는 어떤 삼각형인지 말하여라.

7. 세 점[eqn: rm O` ( 0,~ 0)],[eqn: rm A ( 5 ,~ 5 )],[eqn: rm B ( -10,~ 15)]을 꼭짓점으로 하는 [eqn: triangle rm OAB]는 어떤 삼각형인가?

① [eqn: rm bar OB = bar AB]인 이등변삼각형

② [eqn: rm bar OB = bar AB]인 직각삼각형

③ [eqn: rm bar OB = bar AB]인 정삼각형

④ [eqn: rm bar OB = bar AB]인 예각삼각형

⑤ [eqn: rm bar OB = bar AB]인 직각삼각형

8. 세 점 [eqn: rm A ( root 2 , ~ - root 2 )], [eqn: rm B ( 4 root 2 , ~ 2 root 2 )], [eqn: rm C ( - 3 root 2, ~ 3 root 2 )]를 이어서 만든 삼각형은 어떤 삼각형인가?

9. 다음 그림을 보고 다음을 구하여라.

⑴ 점 [eqn: \R]의 좌표

⑵ [eqn: rm bar PR], [eqn: rm bar QR]의 길이

⑶ [eqn: rm bar PQ]의 길이

10. 세 점 [eqn: rmA(-2,~4)], [eqn: rmB(1,~2)], [eqn: rmC(3,~5)]을 오른쪽 좌표평면 위에 나타내고, 다음을 구하여라.

⑴ [eqn: rmbar AB], [eqn: rmbar BC], [eqn: rmbar AC]의 길이

⑵ 삼각형 [eqn: rm ABC]의 종류

11. 다음 좌표평면에서 원점과 직선 [eqn: y=- {4 } over {3 }x + 4] 사이의 거리 [eqn: rm bar OP]의 길이를 구하면?

① [eqn: 11 over 4]	② [eqn: 13 over 4]

③ [eqn: 16 over 4]	④ [eqn: 12 over 5]

⑤ [eqn: 14 over 5]

12. 이차함수 [eqn: y=x^2 -4x+3]의 그래프와 일차함수 [eqn: y=2x-2]의 그래프와의 교점 사이의 거리를 구하면?

① [eqn: 3 root 7]	② [eqn: 4 root 5]

③ [eqn: 4root 7]	④ [eqn: 4 root 9]

⑤ [eqn: 5 root 3]

13. 다음은 점[eqn: rm P]가 [eqn: rm bar AB] 위를 움직일 때, [eqn: rm bar CP +bar PD]의 최솟값을 구하는 과정이다. □ 안에 알맞은 식을 써 넣어라.

[eqn: rm bar AB]를 기준선으로 점[eqn: rm D]를 선대칭이동한다.

이때 [eqn: rm triangle PBD ==]이므로

⑴

[eqn: rm bar PD =]

⑵

서로 다른 두 점에 이르는 최단거리는 두 점을 이은 선분의 길이이므로 [eqn: rm bar CP + bar PD]의 최솟값은 [eqn: rm bar CD']의 길이이다.

직각삼각형[eqn: rmCED']에서 피타고라스의 정리에 의하여

⑷

⑶

[eqn: rm overline CD' = sqrt {~~~~~~~~~ }^`=]

14. 다음 그림과 같이 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmBD] 위를 움직일 때, [eqn: rm bar{AP} + bar{PC}]의 길이의 최솟값을 구하여라.

15. 다음 그림과 같이 [eqn: rm ANGLE XOY=45ﾟ]인 [eqn: rm ANGLE XOY] 안에 꼭짓점 [eqn: rmO]에서 거리가 [eqn: 6]인 점 [eqn: rmA]가 있다. 점 [eqn: rmA]에서 출발하여 [eqn: rm vec{OY}] 위의 한 점 [eqn: rmP], [eqn: rm vec{OX}] 위의 한 점 [eqn: rmQ]를 차례로 지나 다시 점 [eqn: rmA]로 돌아오는 최단 거리를 구하여라.

16. 다음 그림에서 [eqn: rm bar CA `bot` bar AB], [eqn: rm bar DB `bot` bar AB]이고, 점[eqn: rm P]는 [eqn: rm bar AB] 위를 움직인다. [eqn: rm bar CA = 3 rm cm], [eqn: rm bar DB = 5 cm], [eqn: rm bar AB = 12 cm]일 때, [eqn: rm bar CP + bar PD]의 최솟값을 구하시오.

(     )[eqn: rm cm]

17. 다음 그림의 직각삼각형 ABC에서 [eqn: rm OVERLINE AD =17cm], [eqn: rm OVERLINE BD =8cm], [eqn: rm OVERLINE DC =12cm]일 때, [eqn: rm OVERLINE AC]의 길이를 구하면?

① 25cm	② 24cm

③ 22cm	④ 21cm

⑤ 20cm

18. 다음 그림에서

[eqn: rm bar AB = bar BC = bar CD = bar DE = bar EF = 3],

[eqn: rm ∠ABC = ∠ACD = ∠ADE = ∠AEF = 90°]일 때, [eqn: rm bar AF]의 길이는?

① [eqn: 3sqrt2]	② [eqn: 3sqrt3]

③ [eqn: 6]	④ [eqn: 3sqrt5]

⑤ [eqn: 3sqrt6]

19. 다음 그림에서

[eqn: rm bar OA = bar AB = bar BC = bar CD = bar DE = bar EF = bar FG \ = 1]

일 때, [eqn: rm bar OG]의 길이는?

① [eqn: sqrt3]	② [eqn: 2]

③ [eqn: sqrt5]	④ [eqn: sqrt6]

⑤ [eqn: sqrt7]

20. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 8]cm인 정사각형 [eqn: rmABCD]에 정삼각형 [eqn: rmAEF]가 내접할 때, [eqn: rm bar{BE}]의 길이를 구하여라.

21. 다음 그림과 같이 사각형 [eqn: \ABCD]의 두 대각선이 직교할 때, [eqn: rm bar AD]의 길이를 구하여라.

22. 다음 그림과 같이 [eqn: rm □ABCD]의 두 대각선이 점 [eqn: rmO]에서 서로 수직으로 만나고, [eqn: rm bar AB = sqrt2], [eqn: rm bar BC = 4], [eqn: rm bar CD = 3sqrt5]일 때, [eqn: rm bar AD]의 길이는?

① [eqn: sqrt26]	② [eqn: sqrt31]

③ [eqn: 4sqrt2]	④ [eqn: 3sqrt5]

⑤ [eqn: 5sqrt3]

23. 다음 그림과 같이 두 대각선이 직교하는 사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: x]의 값을 구하여라.

24. [eqn: rm bar AB = 9]cm, [eqn: rm bar AD = 15]cm인 사각형 [eqn: \ABCD]에서 꼭짓점 [eqn: \A]를 지나는 직선 [eqn: \AQ]를 접어 꼭짓점 [eqn: \D]를 [eqn: rm bar BC] 위의 점 [eqn: \P]에 겹치게 할 때, [eqn: rm bar PQ]의 길이를 구하여라.

25. 다음 그림에서 [eqn: rm bar AB = 8]cm, [eqn: rm bar AD = 10]cm, [eqn: rm bar PC = 4]cm이고 [eqn: rm angle APQ = 90°], [eqn: rm angle PAQ = angle DAQ]일 때, [eqn: rm bar PQ]의 길이는?

① [eqn: 3]cm	② [eqn: 3sqrt2]cm

③ [eqn: 5]cm	④ [eqn: 4sqrt2]cm

⑤ [eqn: 5sqrt2]cm

26. 다음 그림과 같은 직사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm bar{OA} =7]cm, [eqn: rm bar{OB} =5]cm, [eqn: rm bar{OD} =6]cm일 때, [eqn: rm bar{OC}]길이를 구하여라.

27. 직사각형 모양의 종이를 접어 다음 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmC]가 변 [eqn: rmAD]와 만나는 점을 [eqn: rmC']이라고 하자. 이때 선분 [eqn: RM BC]의 길이는?

① 5 cm	② 10 cm

③ 15 cm	④ 20 cm

⑤ 25 cm

28. 다음 그림과 같은 직사각형 [eqn: rmABCD]의 꼭짓점 [eqn: rmD]에서 대각선 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE]라고 하자. [eqn: rm bar{AB} =4]cm, [eqn: rm bar{BC} =4sqrt3]cm일 때, [eqn: rm bar{BE}]의 길이를 구하여라.

29. 세 변의 길이가 각각 [eqn: n-1], [eqn: 2n], [eqn: 2n+1]인 삼각형에서 가장 긴 변의 길이는?

30. 다음 그림은 직각삼각형 [eqn: \ABC]의 각 변을 지름으로 하는 세 반원을 그리고, 그 넓이를 표시한 것이다. 이때, [eqn: P]의 값을 구하여라.

31. 다음 그림의 [eqn: rm TRIANGLE ABC]는 [eqn: rm ANGLE B=90ﾟ], [eqn: rm bar{BC} =20]인 직각삼각형이다. [eqn: rm bar{BC}]의 중점을 [eqn: rmM], [eqn: rm bar{BM}]의 중점을 [eqn: rmN]이라고 하자.

[eqn: rm ANGLE NAM= ANGLE MAC]일 때, [eqn: rm bar{AB}]의 길이를 구하여라.

32. 다음 그림의 [eqn: rm TRIANGLE ABC]는 [eqn: rm ANGLE A=90ﾟ]인 직각이등변삼각형이다. 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 변 [eqn: rmBC]와 만나도록 직선 [eqn: l]을 긋고, 두 꼭짓점 [eqn: rmB], [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmD], [eqn: rmE]라고 하자. [eqn: rm bar{BD} =2], [eqn: rm bar{CE} =1]일 때, [eqn: rm bar{BE}]의 길이를 구하여라.

33. 다음 그림에서 [eqn: x]의 값을 구하여라.

⑴

⑵

34. 대각선의 길이가 [eqn: 8]cm인 정사각형의 넓이는?

① [eqn: 2sqrt2]cm²	② [eqn: 4sqrt2]cm²

③ [eqn: 8sqrt2]cm²	④ [eqn: 32]cm²

⑤ [eqn: 64]cm²

35. 다음 그림과 같이 [eqn: rm bar AD]□[eqn: rmbar BC]인 등변사다리꼴 [eqn: \ABCD]에서 대각선 [eqn: \BD]의 길이는?

① [eqn: 2sqrt7]	② [eqn: 2sqrt10]

③ [eqn: 2sqrt13]	④ [eqn: 2sqrt19]

⑤ [eqn: 2 sqrt26]

36. 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원에 내접하는 정사각형의 한 변의 길이는 ?

① [eqn: 2sqrt5]	② [eqn: 3sqrt5]

③ [eqn: 4sqrt2]	④ [eqn: 5sqrt2]

⑤ [eqn: 5sqrt5]

37. 다음 정삼각형의 높이와 넓이를 각각 구하여라.

⑴

⑵

38. 넓이가 [eqn: 16sqrt3]cm²인 정삼각형의 한 변의 길이는?

① [eqn: 4]cm	② [eqn: 6]cm

③ [eqn: 8]cm	④ [eqn: 12]cm

⑤ [eqn: 16]cm

39. 넓이가 [eqn: rm 9 root 3 cm^3``]인 정삼각형의 높이는?

① [eqn: rm 2 root 3 cm]	② [eqn: rm 3 root 3 cm]

③ [eqn: rm 4 root 3 cm]	④ [eqn: rm 5 root 3 cm]

⑤ [eqn: rm 3 cm]

40. 다음 그림과 같이 정삼각형[eqn: rm ABC]의 높이[eqn: rm AD]를 한 변으로 하는 정삼각형[eqn: rm ADE]의 넓이가 [eqn: 9 root3 rm cm ^2]일 때,[eqn: rm triangle ABC]의 넓이는?

A

B

C

D

E

① [eqn: 10 root 3 rm cm ^2]	② [eqn: 10 root 2 rm cm ^2]

③ [eqn: 11 root 3 rm cm ^2]	④ [eqn: 11 root 2 rm cm ^2]

⑤ [eqn: 12 root 3 rm cm ^2]

41. 다음 그림과 같은 이등변삼각형 [eqn: \ABC]의 넓이를 구하여라.

42. 두 변의 길이가 13cm이고, 밑변의 길이가 10cm인 이등변삼각형의 넓이는?

① 40cm²	② 50cm²

③ 60cm²	④ 70cm²

⑤ 80cm²

43. 다음 그림과 같이 [eqn: rm bar BC =10]cm, [eqn: rm bar AB = bar AC]인 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이가 [eqn: 60]cm²일 때, [eqn: rm bar AB]의 길이는?

① [eqn: 15]cm	② [eqn: 14]cm

③ [eqn: 13]cm	④ [eqn: 12]cm

⑤ [eqn: 11]cm

44. 다음 그림과 같이 정사각형의 네 귀를 잘라내어 한 변의 길이가 [eqn: 2]cm인 정팔각형을 만들었다. 처음 정사각형의 넓이를 구하여라.

45. 다음 그림과 같이 세 변의 길이가 [eqn: 3]cm, [eqn: 5]cm, [eqn: 6]cm인 삼각형의 넓이를 구하여라.

46. 세 변의 길이가 각각 [eqn: sqrt3]cm, [eqn: 3]cm, [eqn: 2sqrt3]cm인 삼각형의 넓이는?

① [eqn: { 3 sqrt3} over { 2}]cm²	② [eqn: 3]cm²

③ [eqn: 3sqrt3]cm²	④ [eqn: 6]cm²

⑤ [eqn: 6sqrt3]cm²

47. 다음 그림의 [eqn: rm triangle ABC``]는 정삼각형이고, 점 [eqn: rm G]는 무게중심이다.[eqn: rm bar GD = 1cm``]일 때,[eqn: rm triangle ABC``]의 넓이는?

① [eqn: 3 root 3 \cm^2]	② [eqn: 3 root 5 \cm^2]

③ [eqn: 4 root 3 \cm^2]	④ [eqn: 5 root 3 \cm^2]

⑤ [eqn: 5 root 5 \cm^2]

48. 그림과 같은 삼각형 ABC에서 꼭짓점 A에서 밑변 BC에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 삼각형 ABC의 넓이를 구하면? (단,[eqn: rm bar AB = 13`]cm,[eqn: rm bar BC =14 `]cm,[eqn: rm bar CA = 15`]cm)

① 30cm²	② 35cm²

③ 60cm²	④ 70cm²

⑤ 84cm²

49. 다음 그림과 같은 직각삼각형 [eqn: \ABC]에서 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하여라.

⑴

⑵

50. 다음 중 삼각형의 모양이 나머지 넷과 다른 하나는? (단위 cm)

① 12, 15, 20	② 6, 7, 9

③ 7, 8, 14	④ 3, 4, 6

⑤ 5, 6, 8

51. 다음 그림의[eqn: rm TRIANGLE OPQ]는[eqn: rm bar PQ = bar OQ]인 직각이등변삼각형이다.[eqn: rm bar PQ = 16 sqrt 2]일 때,[eqn: rm TRIANGLE OP _1 Q _1]의 넓이를 구하여라.

52. 아래 그림에서 [eqn: □ rm OPQ'rmP']는 한 변의 길이가 [eqn: rm1cm]인 정사각형이고, [eqn: rm ANGLE Q = angle R=angle S=90°,] [eqn: rm bar OQ' = rm bar OQ ,][eqn: rm bar OR' = rm bar OR ,][eqn: rm bar OS' = rm bar OS]이다. 다음 중 옳지 않은 것은?

①[eqn: rm ANGLE OS' rmS＜90°]	②[eqn: rm bar OR = sqrt3 cm]

③[eqn: rm ANGLE OR ' rm R＞90°]	④[eqn: rm barPQ =(sqrt2 -1)cm]

⑤[eqn: rm ANGLE OQ' rmQ＜90°]

53. 다음 그림에서 [eqn: x``]의 값은?

① [eqn: root 3]	② [eqn: 2 root 3]

③ [eqn: {3 root 6} over 2]	④ [eqn: 3 root 2]

⑤ [eqn: 3 root 6]

54. 다음 그림에서 [eqn: x + y``]의 값은?

① [eqn: 5 root 3]	② [eqn: 6 root 3]

③ [eqn: 7 root 3]	④ [eqn: 2 + 2 root 3]

⑤ [eqn: 2 + 4 root 3]

55. 다음 그림과 같은 [eqn: rm triangle ABC``]에서 [eqn: rm bar AD `bot` bar BC``]이고, [eqn: rm angle C = 60˚,] [eqn: rm bar AC = 3cm,] [eqn: rm bar BC = 5cm``]일 때, [eqn: rm bar AB``]의 길이는?

① [eqn: RM 2 root 5 cm]	② [eqn: RM 3 root 3 cm]

③ [eqn: RM 4 root 3 cm]	④ [eqn: RM root 19 cm]

⑤ [eqn: RM root 21 cm]

56. 그림에서 [eqn: rm bar CH `]의 길이는?

① [eqn: 5]	② [eqn: 5 root 2]

③ [eqn: 5 root 3]	④ [eqn: 10 root 2]

⑤ [eqn: 10 root 3]

57. 다음 그림과 같은 직각삼각형 [eqn: \ABC]에서 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하여라.

⑴

⑵

58. 다음 그림과 같은 직각삼각형 [eqn: \ABC]에서 [eqn: x], [eqn: y]의 값을 각각 구하여라.

⑴

⑵

59. 다음 그림에서[eqn: rm bar AC = 3 cm``]일 때, [eqn: rm bar BD``]의 길이는?

① [eqn: 3 root 2 rmcm]	② [eqn: 3 root 3 rmcm]

③ [eqn: 6 rmcm]	④ [eqn: 3 root 6 rmcm]

⑤ [eqn: 6 root 2 rmcm]

60. 다음 그림에서 [eqn: rm OVERLINE AD BOT OVERLINE BC], [eqn: rm ANGLE A=90 °], [eqn: rm OVERLINE BD = 4cm], [eqn: rm OVERLINE DC = 2cm] 일 때, [eqn: rm OVERLINE AB]의 길이는?

① [eqn: rmROOT 2 cm]	② [eqn: 2 SQRT { 3}]cm

③ [eqn: 2 SQRT { 6}]cm	④ [eqn: 3 SQRT { 2}]cm

⑤ [eqn: 3 SQRT { 3}]cm

기초 수학	Ⅲ. 피타고라스 정리와 삼각비		1. 피타고라스 정리			반 / 번호
	03 입체도형에의 활용					이름

1. 다음 □ 안에 알맞은 수를 써넣어라.

⑴		[eqn: x = sqrt { 4^2 + □^2} = □] [eqn: l = sqrt { □^2 + 5^2}] [eqn: = □]

⑵		[eqn: x = sqrt { 3^2 + □^2} = □] [eqn: l = sqrt { (□)^2 + 3^2}] [eqn: = □]

2. 다음 그림과 같은 직육면체에서 [eqn: x]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]

③ [eqn: 8]	④ [eqn: 6sqrt2]

⑤ [eqn: 7sqrt3]

3. 다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 6]cm인 정육면체에서 [eqn: rm triangle AFG]의 둘레의 길이를 구하여라.

4. 한 모서리의 길이가 6cm인  정육면체에서 꼭짓점 H에서 대각선 DF에 내린 수선 [eqn: rm bar HM `]의 길이는?

5. 다음 그림은 한 변의 길이가 [eqn: 3 rm cm]인 정육면체이다. 다음 물음에 답하시오.

[eqn: triangle rm ACF]의 넓이는?

① [eqn: { 9 root 2 } over 2 rm cm^2`]	② [eqn: { 9 root 3 } over 2 rm cm^2`]

③ [eqn: 9 root 2 rm cm^2`]	④ [eqn: 9 root 3 rm cm^2`]

⑤ [eqn: 9 root 6 rm cm^2`]

6. 다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 6 rm cm]인 정육면체의 꼭짓점 [eqn: rm H]에서 [eqn: rm bar DF]에 내린 수선 [eqn: rm HM]의 길이는?

① [eqn: 2 rm cm]	② [eqn: 2 root 2 rm cm]

③ [eqn: 2 root 3 rm cm]	④ [eqn: 4 rm cm]

⑤ [eqn: 2 root 6 rm cm]

7. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2 root 3 rm cm]인 정육면체 [eqn: rm ABCD-EFGH]가 있다. 점 [eqn: rm D]에서 대각선 [eqn: rm AG]에 내린 수선의 길이는?

A

B

C

D

E

F

G

H

I

[eqn: 2 root 3]cm

① [eqn: 2 root 2 rm cm]	② [eqn: 3 rm cm]

③ [eqn: 2 root 3 rm cm]	④ [eqn: 4 rm cm]

⑤ [eqn: 2 root 5 rm cm]

8. 다음 그림과 같이 한 변의 길이가 8cm인 정사면체 V-ABC가 있다.  점 G는 [eqn: rm triangleABC]의 무게중심이다. [eqn: RM bar CG``]의 길이는?

① [eqn: 2 over 3 root 3]cm	② [eqn: 4 over 3 root 3]cm

③ [eqn: 8 over 3 root 3]cm	④ [eqn: 2 root 3]cm

⑤ [eqn: 3 root 3]cm

9. 다음 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 12]인 정사각뿔에서 [eqn: rmbar OC], [eqn: rmbar OD]의 중점을 각각 [eqn: \M], [eqn: \N]이라 할 때, 다음을 구하여라.

⑴[eqn: rmbar MN]의 길이

⑵[eqn: rm bar AN]과 [eqn: rm bar BM]의 길이

⑶ 사다리꼴 [eqn: \ABMN]의 높이 [eqn: h]

⑷ 사다리꼴 [eqn: \ABMN]의 넓이

10. 다음 그림과 같은 정사각뿔에서 옆면의 모서리의 길이는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 4sqrt3]

③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]

⑤ [eqn: 6sqrt2]

11. 한 변의 길이가 [eqn: 8]cm인 정육면체를 그림과 같이 잘랐을 때, [eqn: rm △ DEB]의 넓이는?

① [eqn: 18 sqrt {2} rmcm ^2 `]	② [eqn: 18 sqrt {3} rmcm ^2 `]

③ [eqn: 24 sqrt {2} rmcm ^2 `]	④ [eqn: 24 sqrt {3} rmcm ^2 `]

⑤ [eqn: 32 sqrt {3} rmcm ^2 `]

12. 다음 그림에서 원뿔의 밑면의 반지름의 길이가[eqn: rm 6]cm, 높이가[eqn: rm 8]cm일 때 옆면의 넓이는?

① [eqn: rm25`` pi``]cm²	② [eqn: rm 30 ``pi``]cm²

③ [eqn: rm 50 ``pi`]cm²	④ [eqn: rm 60``pi``]cm²

⑤ [eqn: rm 75``pi``]cm²

13. 한 모서리의 길이가 [eqn: 6 rm cm]인 정사면체 [eqn: rm V - ABC]에서 [eqn: rm V]에서 밑면[eqn: rm ABC]에 내린 수선의 발을[eqn: rm H]라 할 때 [eqn: rm triangle VHC]의 넓이를 구하시오.

14. 세 모서리의 길이의 비가 [eqn: 1：2：3]인 직육면체의 대각선의 길이가 [eqn: 2sqrt14]cm일 때, 이 직육면체의 겉넓이는?

① [eqn: 48]cm²	② [eqn: 52]cm²

③ [eqn: 64]cm²	④ [eqn: 72]cm²

⑤ [eqn: 88]cm²

15. 다음 그림과 같은 정사면체에서 다음을 구하여라.

⑴ [eqn: rm bar DM]의 길이

⑵ [eqn: rm bar DH]의 길이

⑶ 정사면체의 높이 [eqn: h`]

⑷ 정사면체의 부피 [eqn: V]

16. “정사면체의 꼭짓점에서 밑면에 수선을 그으면 밑면의 □을 지난다.”의 □ 안에 들어갈 알맞은 말은?

17. 한 모서리의 길이가 [eqn: a]인 정사면체의 높이와 부피를 각각 구하여라.

18. 다음 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 6]cm인 정팔면체의 부피를 구하여라.

19. 다음 그림과 같은 전개도를 가지는 삼각뿔의 부피는?

A

B

C

D

E

F

5

4

5

5

5

4

3

3

3

① [eqn: 3 root 3]	② [eqn: 4]

③ [eqn: 4 root 3]	④ [eqn: 6]

⑤ [eqn: 5 root 2]

20. 다음 그림과 같은 정사면체 [eqn: rm A- BCD]에서 [eqn: rm bar AH = 2 root 6 cm]일 때, 이 정사면체의 겉넓이는?

A

B

C

D

E

[eqn: 2 root 6]cm

H

① [eqn: 9 root 3 rm cm ^2]	② [eqn: 18 root 2 rm cm ^2]

③ [eqn: 12 root 6 rm cm ^2]	④ [eqn: 36 rm cm ^2]

⑤ [eqn: 36 root 3 rm cm ^2]

21. 다음 그림은 한 모서리의 길이가 [eqn: 12]인 정사면체이다. [eqn: rm bar AB]의 중점을 [eqn: \M], 꼭짓점 [eqn: rmO]에서 밑면인 [eqn: rm △ABC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 할 때, [eqn: rm triangle OMH]의 넓이를 구하여라.

22. 다음 그림과 같이 밑면은 한 변의 길이가 [eqn: 6]cm인 정사각형이고, 옆면의 모서리의 길이가 모두 [eqn: 9]cm인 정사각뿔의 부피를 구하여라.

23. 다음 그림과 같이 모든 모서리의 길이가 [eqn: 12]cm인 정사각뿔의 부피를 구하여라.

24. 밑면[eqn: rm ABCD``]는 직사각형이고 옆모서리가 모두 [eqn: 10rmcm``]인 사각뿔 [eqn: rm O-ABCD``]의 부피를 구하시오.

① [eqn: 28 root 2 rmcm^3]	② [eqn: 34 rmcm^3]

③ [eqn: 80 root 3 rmcm^3]	④ [eqn: 144 rmcm^3]

⑤ [eqn: 96 rmcm^3]

25. 다음 그림과 같은 정사각뿔[eqn: rm V-ABCD]의 부피를 구하여라.

(     )[eqn: rm cm^3 `]

26. 다음 그림과 같이 밑면은 한 변의 길이가 [eqn: 6`\cm`]인 정사각형이고, 옆모서리의 길이가 각각 [eqn: 6`\cm`]인 정사각뿔의 부피를 구하여라.

27. 다음 그림과 같이 밑면은 한 변의 길이가 [eqn: 12`\cm`]인 정사각형이고 옆 모서리의 길이가 모두 [eqn: 12`\cm`]인 사각뿔의 높이는?

① [eqn: 6root2`\cm`]	② [eqn: 6`\cm`]

③ [eqn: 7root2`\cm`]	④ [eqn: 7`\cm`]

⑤ [eqn: 8root2`\cm`]

28. 정사각뿔[eqn: rm O―ABCD`]의 꼭짓점[eqn: \O`]에서 밑면에 내린 수선의 발을[eqn: \H`]라 할 때, 높이[eqn: rm bar OH`]의 길이는?

① [eqn: 3SQRT6]cm	② [eqn: 4SQRT2]cm

③ [eqn: 13]cm	④ [eqn: 3SQRT2]cm

⑤ [eqn: 4SQRT7]cm

29. 다음 그림과 같은 원뿔에서 다음을 구하여라.

⑴ 원뿔의 높이 [eqn: h`]

⑵ 원뿔의 높이 [eqn: V]

30. 다음은 원뿔의 높이 [eqn: h`]와 부피 [eqn: V]를 구하는 과정이다. □ 안에 알맞은 것을 써넣어라.

꼭짓점 [eqn: \A]에서 밑면에 수선을 내리면 원의 중심을 지나므로

[eqn: rm △ABO]에서 피타고라스의 정리를 이용하면

[eqn: h = sqrt { l`^2 - □^2}]

[eqn: V= 1over3 ×](밑넓이)[eqn: ×](높이)[eqn: = 1over3 × □× h]

31. 밑면의 반지름이 8cm이고 모선이 10cm인 원뿔이 있다. 원뿔의 높이와 부피를 구하면?

① 높이：[eqn: 6]cm, 부피：[eqn: 128pi]cm³

② 높이：[eqn: 4]cm, 부피：[eqn: 64]cm³

③ 높이：[eqn: 6]cm, 부피：[eqn: 64pi]cm³

④ 높이：[eqn: 3]cm, 부피：[eqn: 96pi]cm³

⑤ 높이：[eqn: 4]cm, 부피：[eqn: 128pi]cm³

32. 다음 그림과 같은 원뿔의 부피는?

① [eqn: 50π `]cm³	② [eqn: 100π `]cm³

③ [eqn: 150π `]cm³	④ [eqn: 200π `]cm³

⑤ [eqn: 300π `]cm³

33. 반지름의 길이가 [eqn: rm 8 cm``]이고 중심각의 크기가 [eqn: 180]도인 부채꼴 모양의 종이로 원뿔을 만들 때, 이 원뿔의 부피를 구하여라.

34. 반지름의 길이가 [eqn: 5rm cm,]모선의 길이가 [eqn: 7rm cm]인 원뿔의 부피는?

① [eqn: 15root6 pi] cm³	② [eqn: {50root6}over3 pi] cm³

③ [eqn: {25root6} pi] cm³	④ [eqn: {100root6}over3 pi] cm³

⑤ [eqn: 50root6 pi] cm³

35. 다음 그림은 부채꼴의 반지름의 길이가 [eqn: 13`\cm`]이며 밑면의 반지름의 길이는 [eqn: 5`\cm`]인 원뿔의 전개도이다. 원뿔의 부피를 구하면?

① [eqn: 100`pi`]cm³	② [eqn: 95`pi`]cm³

③ [eqn: 85`pi`]cm³	④ [eqn: 75`pi`]cm³

⑤ [eqn: 65`pi`]cm³

36. 그림은 원뿔을 밑변에 평행인 평면으로 잘라서 생긴 원뿔대이다. 이 입체도형의 옆넓이를 구하시오. ([eqn: rm bar AD = 8`], [eqn: rm bar CD =3 `], [eqn: rm bar BC =12 `])

① [eqn: 100pi]	② [eqn: 120pi]

③ [eqn: 140pi]	④ [eqn: 160pi]

⑤ [eqn: 180pi]

37. 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면의 무엇과 같은가?

38. 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면의 무엇과 같은가?

39. 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 12 cm``]이고 중심각의 크기가[eqn: 210°]인 부채꼴로 원뿔을 만들 때, 이 원뿔의 높이를 구하여라.

40. 다음 원뿔의 전개도로 만들어지는 원뿔의 높이를 구하여라.

41. 다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 2]cm인 원뿔의 전개도에서 [eqn: ANGLE rm AOB=120]ﾟ일 때, 이 원뿔의 부피는?

① [eqn: 48pi]cm³	② [eqn: 16sqrt {2}pi]cm³

③ [eqn: 16pi]cm³	④ [eqn: {16sqrt {2}} over 3 pi]cm³

⑤ [eqn: {14sqrt {2}} over 3 pi]cm³

42. 다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 2]cm, 높이가 [eqn: 4sqrt {2}]cm인 원뿔을 전개했을 때 생기는 부채꼴의 중심각의 크기는?

① [eqn: 90]ﾟ	② [eqn: 110]ﾟ

③ [eqn: 120]ﾟ	④ [eqn: 130]ﾟ

⑤ [eqn: 150]ﾟ

43. 다음 그림은 원뿔의 전개도이다. 이 원뿔의 겉넓이와 부피를 순서대로 적은 것은?

① [eqn: 36pi]cm², [eqn: 24sqrt {7}pi]cm³

② [eqn: 48pi]cm², [eqn: 12sqrt {7}pi]cm³

③ [eqn: 48pi]cm², [eqn: 24sqrt {7}pi]cm³

④ [eqn: 84pi]cm², [eqn: 12sqrt {7}pi]cm³

⑤ [eqn: 84pi]cm², [eqn: 24sqrt {7}pi]cm³

44. 다음 그림과 같은 직육면체의 점 [eqn: \A]에서 [eqn: rm bar BC]를 지나 점 [eqn: \G]에 이르는 최단 거리는?

① [eqn: 3sqrt6]cm	② [eqn: sqrt62]cm

③ [eqn: sqrt74]cm	④ [eqn: 3sqrt10]cm

⑤ [eqn: 2sqrt26]cm

45. 다음 그림의 직육면체에서 다음과 같은 경우에 점 [eqn: \B]에서 점 [eqn: \H]에 이르는 가장 짧은 길이를 구하여라.

⑴ 모서리 [eqn: \CG]를 지날 때

⑵ 모서리 [eqn: \CD]를 지날 때

46. 다음 그림과 같은 직육면체에서 점 [eqn: \A]에서 [eqn: rm bar BC]를 지나 점 [eqn: \G]까지 가는 최단 거리를 구하여라.

47. 다음 그림과 같은 직육면체 모양의 상자에서 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 모서리 [eqn: rmBC]를 지나 꼭짓점 [eqn: rmG]까지 잇는 선 중에서 최단거리는?

① [eqn: 11`]cm	② [eqn: 12`]cm

③ [eqn: 13`]cm	④ [eqn: 14`]cm

⑤ [eqn: 15`]cm

48. 다음 그림과 같은 직육면체의 점[eqn: rmH]에서 모서리[eqn: rmAE]를 거쳐 점[eqn: rmB]에 이르는 최단거리는?

① [eqn: 11`]cm	② [eqn: 12`]cm

③ [eqn: 13`]cm	④ [eqn: 15`]cm

⑤ [eqn: 17`]cm

49. 다음 그림과 같은 직육면체에서 점[eqn: rmA]에서 모서리[eqn: rmEF], [eqn: rmHG]를 지나 점[eqn: rmC]에 이르는 최단거리는?

① [eqn: 5SQRT {5}]cm	② [eqn: sqrt {86}]cm

③ [eqn: 12]cm	④ [eqn: sqrt {146}]cm

⑤ [eqn: 13]cm

50. 다음 그림의[eqn: rm bar AB = bar AD =4cm,][eqn: rm bar BF =5cm]인 직육면체[eqn: rm ABCD-EFGH]의 한 점[eqn: rm A]에서 겉면을 따라 점[eqn: rm G]에 이르는 최단거리를 구하여라.

51. 다음 그림과 같은[eqn: rm bar DC =7 ,][eqn: rm bar AD =4,][eqn: rm bar AE =5]인 직육면체의 표면을 따라 점[eqn: rm A]에서 점[eqn: rm G]에 이르는 거리가 가장 짧은 것부터 써라.

㉠ [eqn: rm A ~→ ~P ~→~ G]

㉡ [eqn: rm A ~→ ~Q ~→ ~G]

㉢ [eqn: rm A ~→~ R~ → ~G]

52. 다음 그림은 세 모서리의 길이가 각각 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]인 직육면체이다. 꼭짓점[eqn: rm A]에서[eqn: rm G]까지 면을 따라 움직일 때, 가장 짧은 거리를 구하시오.

53. 다음 그림과 같은 원뿔에서 모선의 한 끝점 [eqn: \A]에서 출발하여 옆면을 지나 다시 점 [eqn: \A]에 이르는 최단 거리는?

① [eqn: 6]cm	② [eqn: 6sqrt2]cm

③ [eqn: 6sqrt3]cm	④ [eqn: 6sqrt5]cm

⑤ [eqn: 12sqrt2]cm

54. 다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 3]이고 높이가 [eqn: 8 pi]인 원기둥이 있다. 점 [eqn: \A]에서 옆면을 따라 점 [eqn: \B]에 이르는 최단거리를 구하여라.

55. 다음 그림과 같은 입체도형에서 점[eqn: rm A]로부터 그 겉면을 따라 점[eqn: rm B]에 이르는 최단거리를 구하여라.

56. 다음 그림과 같은 원기둥에서 점[eqn: rm P]에서 옆면을 따라 점[eqn: rm Q]에 이르는 최단 거리가 [eqn: 2sqrt5 pi rm cm]일 때, 밑면의 반지름의 길이를 구하여라.

57. 다음 그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 3`]cm인 원뿔의 밑면의 한 점[eqn: rmA]에서 옆면을 지나 다시 점[eqn: rmA]로 되돌아오는 가장 짧은 선의 길이는?

① [eqn: 10`]cm	② [eqn: 12`]cm

③ [eqn: 8sqrt { 2}`]cm	④ [eqn: 8sqrt { 3}`]cm

⑤ [eqn: 12sqrt { 2}`]cm

58. 다음 그림과 같이 모선의 길이가 [eqn: 15rmcm,] 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 5rm cm]인 원뿔에서 점[eqn: rm B]를 출발하여 옆면을 따라 점[eqn: rm D]까지 가는 최단거리를 구하여라. (단, [eqn: rm bar AD ```:`` bar DB = 1```:``2])

59. 다음 그림과 같이 모선의 길이가 [eqn: 12]이고, 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원뿔에서 점[eqn: RM M]은 모선의 중점이다. 이때 점[eqn: rm B]에서 옆면을 따라 점[eqn: RM M]에 이르는 최단거리는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 6 sqrt 2]

③ [eqn: 6 sqrt 3]	④ [eqn: 9]

⑤ [eqn: 9 sqrt 3]

60. 다음 그림과 같이 밑면인 원의 반지름의 길이가 [eqn: 4 rm cm]이고 높이가 [eqn: 3 π rm cm]인 원기둥에서 밑면의 지름 [eqn: rm AB]와 수직인 [eqn: rm bar CD]에 대하여 점 [eqn: rm C]에서 점 [eqn: rm E]까지 원기둥의 옆면을 따라가는 최단거리를 구하시오.

(     )[eqn: π rm cm]

기초 수학	Ⅲ. 피타고라스 정리와 삼각비		1. 피타고라스 정리			정답
	01 피타고라스 정리

1. (답) ⑴ [eqn: 13]  ⑵ [eqn: 8]

(해설)

⑴ [eqn: x^2 =5^2 +12^2]

[eqn: x^2 =169]   ∴ [eqn: x=13](∵ [eqn: x＞0])

⑵ [eqn: 10^2 =x^2 +6^2]

[eqn: x^2 =64]   ∴ [eqn: x=8](∵ [eqn: x＞0])

2. (답) ②

3. (답) [eqn: 8.4]

(해설)

[eqn: rm bar BD = SQRT { 6^2 + 8^2 } = 10]

[eqn: { 1} over {2 } TIMES 6 TIMES 8 = { 1} over {2 } TIMES rm bar AH TIMES 10] [eqn: THEREFORE ~rm bar AH = 4.8]

[eqn: rm bar AB `^2 = bar BH TIMES bar BD]에서 [eqn: 6^2 = rm bar BH TIMES 10]

[eqn: THEREFORE ~rm bar BH = 3.6]

따라서, [eqn: rm bar AH + bar BH = 4.8 + 3.6 = 8.4]

4. (답) ③

(해설)

마름모의 두 대각선은 서로를 수직이등분하므로

[eqn: rmbarAD = SQRT {15^2 +8^2 } = 17rm(cm)]

5. (답) ②

6. (답) [eqn: 5]

(해설)

[eqn: RMTRIANGLEABC]이 직각삼각형이므로 피타고라스정리에 의하여

[eqn: rm barAC ` ^2 = barAB ` ^2 + barBC ` ^2]

[eqn: rm barAC `^2 = 3^2 +4^2], [eqn: rm barAC `^2 =25], [eqn: rm barAC =5][eqn: rm (because~barAC > 0 )]

7. (답) [eqn: x=3], [eqn: y=4sqrt5]

(해설)

직각삼각형 [eqn: \ACD]에서 [eqn: x^2 +16=25]

[eqn: x^2 =9]   ∴ [eqn: x=3](∵ [eqn: x＞0])

직각삼각형 [eqn: \ABD]에서 [eqn: y^2 =16+64]

[eqn: y^2 =80]   ∴ [eqn: y=4sqrt5](∵ [eqn: y＞0])

8. (답) ①

(해설)

[eqn: rm triangle ABC`]에서 [eqn: rm bar AC `^2 = 25^2 - 15^2` = 400`]

∴ [eqn: rm bar AC = 20 rm (cm)`][eqn: rm left( ∵~ bar AC ``＞`0` right) `]

[eqn: rm triangle ABC`]의 넓이는

[eqn: RM 1 over 2 times bar AB times BAR AC] 또는 [eqn: RM 1 over 2 times bar BC times BAR AH]

이므로 [eqn: RM 1 over 2 times 15 times 20 = 1 over 2 times 25 times BAR AH`]

[eqn: RM 150 = 25 over 2 bar AH `]   ∴ [eqn: RM bar AH = 12 ( cm)`]

9. (답) ④

(해설)

[eqn: rm bar AB = 4` \cm`], [eqn: rm bar BC = 5` \cm`]이므로

[eqn: rm bar AC = sqrt { 5^2 - 4^2 } = 3 rm (cm)`]

[eqn: rm bar CH = it x \cm`]라 하면 [eqn: rm bar BH = it (5-x) \cm`]

따라서,[eqn: rm barAB `^2 - bar BH `^2 = bar AC `^2 - bar CH `^2]이므로

[eqn: 4^2 - (5-x)^2 = 3^2 - x^2 `], [eqn: 10x = 18`]

∴ [eqn: x = 9over5 rm ( cm`)`]

10. (답) [eqn: 12]cm

(해설)

다음 그림에서 [eqn: rm bar BH][eqn: =x](cm)라 하면

[eqn: rm bar CH][eqn: =]([eqn: 14][eqn: -x])(cm)이므로

[eqn: TRIANGLE rm ABH]에서 [eqn: h ^2][eqn: =13^2][eqn: -x ^2] … ㉠

[eqn: TRIANGLE rm ACH]에서 [eqn: h ^2][eqn: =15^2][eqn: -(14-x)^2] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 13^2][eqn: -x ^2][eqn: =15^2][eqn: -(14-x)^2]

[eqn: THEREFORE~][eqn: x][eqn: =5](cm), [eqn: h][eqn: =12](cm)

11. (답) ②

(해설)

[eqn: △ \CDE]에서 [eqn: rm bar DE = 5]cm이므로 [eqn: rm bar EC = SQRT{25-9} = 4](cm)

따라서 사다리꼴 [eqn: \AECD]의 넓이 [eqn: S = {1}over{2} left{ (5+4)times 3 right }= {27}over{2}](cm²)

12. (답) ③

(해설)

마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로

[eqn: rm bar OA =8cm,~ bar OB =15cm,~ ANGLE AOB=90 °]

직각삼각형 [eqn: rm ABO]에서

[eqn: rm bar AB = root { 8^2 + 15 ^2 } = 17 ( cm )]

13. (답) ③

(해설)

[eqn: RM TRIANGLE AEH`` ≡ TRIANGLE BFE`` ≡ TRIANGLE CGF`` ≡ TRIANGLE DHG]

[eqn: RM □EFGH = □ABCD - 4 TRIANGLE CGF]

[eqn: = 17^2 - 4 TIMES 1OVER 2 TIMES12 TIMES 5]

[eqn: =169]

14. (답) ③

(해설)

[eqn: rm bar BP `^2 + bar DP `^2 = bar AP `^2 + bar PC `^2 = 4 + 16 =20]이다.

15. (답) ④

(해설)

[eqn: bar \AE = x rm cm]라 하자. [eqn: bar \BE = 8 -x]이므로

[eqn: △ \ABE]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: x ^2 =4 ^2 +(8-x) ^2]

[eqn: x = 5]이므로 [eqn: bar \BE = 3rm cm]이고

([eqn: □ \AECF]의 넓이)[eqn: = 32 - 2({1}over{2} times 4 times 3 ) = 20](cm²)

16. (답) ⑴ [eqn: \SAS] 합동 ⑵ [eqn: 90°] ⑶ [eqn: 80]

(해설)

⑴ [eqn: rmangle B=angle C=90°], [eqn: rm bar BF = bar CG], [eqn: rm bar BE = bar CF]

∴ [eqn: \SAS] 합동

⑵ [eqn: rm△BEF== △ CFG]이므로 [eqn: rmangle BEF=angle CFG]

∴ [eqn: rmangle EFG=180° -(angle BFE+angle CFG)]

[eqn: =180° -90° =90°]

⑶ [eqn: rm12^2 =□EFGH+4× left( 1over2 ×4×8 right)]

∴ [eqn: rm□EFGH=80]

17. (답) ⑴ ④ ⑵ [eqn: sqrt 13]

(해설)

⑴ [eqn: 4]개의 직각삼각형은 모두 합동이므로

([eqn: rm □ ABCD]의 넓이)

[eqn: =(큰~정사각형의~넓이)]

[eqn: －4×(직각삼각형의~넓이)]

[eqn: =5^2 -4×left({1} over {2}×3×2 right)=25-12=13]

⑵[eqn: rm □ ABCD]가 정사각형이므로

[eqn: rm bar AB `^2 =13,~ bar AB =sqrt13]

18. (답) ⑤

(해설)

[eqn: □RMEFGH = □ABCD-4TIMES triangle AEH]

[eqn: = 7^2 -4 times 1over2 times 4 times3]

[eqn: = 49-24 = 25(rm cm² )]

19. (답) [eqn: 289]

(해설)

[eqn: rm barEH =][eqn: x]라 하면

[eqn: rm □EFGH][eqn: =x^2 =169]  ∴[eqn: x=13]

[eqn: rm bar AH = sqrt{ bar EH `^2 - bar AE `^2 } = sqrt{13^2 - 12^2 }=5]

([eqn: rm □ ABCD]의 한 변의 길이)[eqn: =12+5=17]

∴ ([eqn: rm □ ABCD]의 넓이)[eqn: = 17 times 17 = 289]

20. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm barBC =sqrt { bar AC `^2 - bar AB `^2 }=sqrt{2^2 -(sqrt3 )^2} =1]

[eqn: rm □ ABDE={1}over{2}(sqrt3 +1)(sqrt3 +1)=2+sqrt3]

21. (답) [eqn: 18]

(해설)

[eqn: rm ANGLE ACB=][eqn: x]라 하면 [eqn: rm ANGLE ECD=][eqn: 90°-x]

∴ [eqn: rm ANGLE ACE=90°]

따라서, [eqn: rm TRIANGLE ACE]는 직각이등변삼각형이다.

[eqn: rm bar AC = sqrt { barAB `^2 + barBC `^2 } = sqrt {4 ^2 +(2 sqrt {5} ) ^2 }]

[eqn: = sqrt { 36} =6]

∴ [eqn: rm TRIANGLE ACE= 1 over 2 ×6×6=18]

22. (답) [eqn: 31 over4]

(해설)

[eqn: rm bar CE = it x]라고 하면 [eqn: rm bar BE = it 10-x]이다.

[eqn: rm △ABE]는 직각삼각형이므로

피타고라스의 정리에 의해 [eqn: (10-x)^2 +8^2 = rm {bar AE}^2]

[eqn: rm △CDE]는 직각삼각형이므로

피타고라스의 정리에 의해 [eqn: x^2 +3^2 = rm {bar DE}^2]

[eqn: (10-x)^2 +8^2 =x^2 +3^2]   ∴ [eqn: x= 31over 4]

23. (답) [eqn: □rm EFGH =1,] [eqn: rm bar AB =5]

(해설)

[eqn: rmbarHE =4-3=1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: □rmEFGH=1^2 =1]

[eqn: rm bar AB =sqrt{3^2 +4^2} =sqrt{9 +16}=sqrt25 =5]

24. (답) ①

(해설)

[eqn: rm triangle ABR]에서 [eqn: rm bar AR = sqrt{5 ^2 -3^2 } =4]이므로

[eqn: rm bar QR = bar AR - barAQ = 4-3=1]

따라서 정사각형 [eqn: \PQRS]의 넓이는 [eqn: 1 × 1=1]

[다른 풀이]

[eqn: rm triangle ABR == triangle BCS == triangle CDP == triangle DAQ]이므로 [eqn: rm □ABCD]는 정사각형이다.

∴ [eqn: rm □ABCD = 5 × 5 =25]

[eqn: rm triangle ABR]에서 [eqn: rm bar AR = sqrt{5 ^2 -3^2 } =4]이므로

[eqn: rm triangle ABR = 1over2 × 3×4=6]

∴ [eqn: rm □PQRS = □ ABCD - 4 triangle ABR]

[eqn: = 25-4×6=1]

25. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm triangle ABE`]에서

[eqn: RM BAR BE = SQRT { bar AB ` ^2 - bar AE `^2 } = SQRT { 29 -25 } = 2]

[eqn: RM triangle ABE == triangle DAH] 이므로

[eqn: RM BAR AH = BAR BE = 2`]

∴[eqn: RM BAR EH = BAR AE - BAR AH = 5-2 = 3`]

[eqn: 4`]개의 직각삼각형이 합동이므로

[eqn: RM BAR EH = BAR EF = BAR FG = BAR GH `]

따라서, [eqn: □ RM EFGH`]는 정사각형이 된다.

∴ [eqn: □ RM EFGH = bar EH `^2 = 9`]

26. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm bar BE = bar AH = bar CF = bar DG = sqrt{4^2 - 3^2 } = sqrt7`]

따라서, [eqn: □ \EFGH`]는 한 변의 길이가 [eqn: 3- sqrt7`]인 정사각형이므로 넓이는

[eqn: (3-sqrt7 )^2 = 9 - 6sqrt7 + 7 = 16 -6sqrt7`]

27. (답) ①

(해설)

[eqn: rm bar AB = root { 5^2 - 3^2 } = 4],

[eqn: triangle rm ABH = triangle BLH]

[eqn: = 1 over 2 times □ rm BHML]

[eqn: = 1 over 2 times □ rm ABDE]

[eqn: = 1 over 2 times rm bar AB`^2`]

[eqn: = 1 over 2 times 4^2 = 8 rm (cm²` )]

28. (답) ②

(해설)

[eqn: rm bar AB ` ^2 = bar AC ` ^2 + bar CB ` ^2]이므로

[eqn: rm □ AFGB = □ EACD + □ CBHI`]

[eqn: 34 = □ \EACD + 9`]

따라서, [eqn: rm □ EACD = 25 = bar AC `^2]이므로

[eqn: rm bar AC = 5 \( cm )`]

29. (답) ⑴ [eqn: rm TRIANGLE BCE], [eqn: rm TRIANGLE BFA], [eqn: rm TRIANGLE BFL], [eqn: rm TRIANGLE ADE], [eqn: rm TRIANGLE LMF]  ⑵ [eqn: rm□BFML]  ⑶ [eqn: 32]cm²  ⑷ [eqn: 64]cm²

(해설)

⑴ [eqn: rm TRIANGLE ABE]와 [eqn: rm TRIANGLE BCE]는 밑변이 [eqn: rm bar{BE}]로 공통이고 높이가 [eqn: rm bar{AB}]로 같으므로

[eqn: rm TRIANGLE ABE= TRIANGLE BCE]

[eqn: rm TRIANGLE BCE]와 [eqn: rm TRIANGLE BFA]에서

[eqn: rm bar{BC} =barBF], [eqn: rm ANGLE EBC= ANGLE ABF], [eqn: rm bar{EB} = bar{AB}]이므로

[eqn: rm TRIANGLE BCE== TRIANGLE BFA] ([eqn: rmSAS] 합동)

∴ [eqn: rm TRIANGLE BCE== TRIANGLE BFA]

[eqn: rm TRIANGLE BFA]와 [eqn: rm TRIANGLE BFL]은 밑변이 [eqn: rm bar{BF}]로 공통이고 높이가 [eqn: rm bar{BL}]로 같으므로

[eqn: rm TRIANGLE BFA= TRIANGLE BFL]

∴ [eqn: rm TRIANGLE ABE= TRIANGLE BCE= TRIANGLE BFA= TRIANGLE BFL]

한편 [eqn: rm bar{EA}]와 [eqn: rm bar{LF}]는 각각 정사각형 [eqn: rmEBAD]와 직사각형 [eqn: rm BFML]의 대각선이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABE= TRIANGLE ADE], [eqn: rm TRIANGLE BFL= TRIANGLE LMF]

따라서 [eqn: rm TRIANGLE ABE]와 넓이가 같은 삼각형은

[eqn: rm TRIANGLE BCE], [eqn: rm TRIANGLE BFA], [eqn: rm TRIANGLE BFL], [eqn: rm TRIANGLE ADE],

[eqn: rm TRIANGLE LMF]

⑵ [eqn: rm □ADEB=2 TRIANGLE AEB=2 TRIANGLE EBC]

[eqn: rm=2 TRIANGLE ABF=2 TRIANGLE LBF]

[eqn: rm =□BFML]

∴ [eqn: rm □ADEB=□BFML]

⑶ [eqn: rm bar{AB ^2} = bar{BC ^2} - bar{AC ^2} =10 ^2 -6 ^2 =64]

∴ [eqn: rm bar{AB} =8](cm)

[eqn: rm TRIANGLE ABF= TRIANGLE AEB= {1} over {2} □ADEB]이므로

[eqn: rm TRIANGLE ABF= {1} over {2} TIMES 8 TIMES 8=32](cm²)

⑷ ⑵에 의하여 [eqn: rm □ADEB=□BFML]이므로 구하는 넓이는 [eqn: 64]cm²

30. (답) ②

(해설)

[eqn: rm { bar AB }^2 =10^2 -6^2 =64]

[eqn: rm THEREFORE `` TRIANGLE ABF = { 1} over { 2}□ABED= { 1} over {2 } bar AB `^2 =32]

31. (답) ③

(해설)

[eqn: rm bar AC = SQRT { 13^2 - 12^2 } = 5]

[eqn: LEFT ( 빗금~친~부분의~넓이 RIGHT )][eqn: = LEFT ( TRIANGLE rm ABC의~넓이 RIGHT )]

[eqn: = { 1} over {2 } TIMES 5 TIMES 12][eqn: = 30]

32. (답) 60

(해설)

[eqn: 1over2 times 12times 10 = 60](cm²)

33. (답) ②

(해설)

(넓이)[eqn: = 1over2 times 8 times 6 = 24](cm²)

34. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm P = 18π]이므로 반원[eqn: rm P]의 반지름의 길이를[eqn: a]라 하면

[eqn: rm P][eqn: = 1over2 π a^2 = 18π ```````` -> ``````` therefore ``a=6 ``````` ->````````rm bar AB = 12]

[eqn: rm Q][eqn: =32π]이므로 반원[eqn: rm Q]의 반지름의 길이를 [eqn: b]라 하면

[eqn: rm Q][eqn: = 1over2 π b^2 = 32π ```````` -> ``````` therefore ``b=8 ``````` ->````````rm bar AC = 16]

[eqn: rmbar BC]는 직각삼각형[eqn: rm ABC]의 빗변이므로[eqn: rm bar BC = 20]

35. (답) ⑴ ×  ⑵ ◯  ⑶ ◯  ⑷ ×

(해설)

⑴ [eqn: 4^2 +8^2 != 10^2]

⑵ [eqn: (sqrt7 )^2 +(2sqrt2 )^2 = (sqrt15 )^2]

⑶ [eqn: 4^2 +(2sqrt5 )^2 =6^2]

⑷ [eqn: (sqrt14 )^2 +6^2 != 9^2]

36. (답) ③

(해설)

① [eqn: 5^2 +12^2 =13^2]	② [eqn: 5^2 +(5sqrt3 )^2 =10^2]

③ [eqn: 2^2 +(2sqrt3 )^2 != 5^2]	④ [eqn: 3^2 +(3sqrt3 )=6^2]

⑤ [eqn: 8^2 +15^2 =17^2]

따라서 직각삼각형이 아닌 것은 ③이다.

37. (답) ②

(해설)

[eqn: (x+2)]가 가장 긴 변이므로

[eqn: (x+2)^2 =(x-2)^2 +x ^2]

[eqn: x ^2 -8x=0], [eqn: x(x-8)=0]   [eqn: THEREFORE~x=8][eqn: (BECAUSE~x>2)]

38. (답) ④

(해설)

삼각형의 결정조건에 의해 [eqn: 2<a<10]

[eqn: a>6]이므로 [eqn: 6<a<10] … ㉠

예각삼각형이 되려면 [eqn: a^2 <4^2 +6^2]

[eqn: THEREFORE~a<2sqrt {13}] … ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 6<a<2sqrt {13}]

39. (답) [eqn: 30]

(해설)

[eqn: 20+Q=50]   ∴ [eqn: Q=30]

40. (답) [eqn: 1<a<root7],  [eqn: 5<a<7]

(해설)

(i) [eqn: a `rm cm]가 가장 긴 변의 길이일 때 [eqn: a^2 >3^2 +4^2]에서 [eqn: a>5…㉠]

삼각형이 되기 위한 조건에서 [eqn: a<7…㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: 5<a<7]

(ii)[eqn: 4rmcm]가 가장 긴 변의 길이일 때

[eqn: 4^2 > 3^2 +a^2]에서 [eqn: a<root7 …㉢]

삼각형이 되기 위한 조건에서 [eqn: 4<a+3]

∴ [eqn: a>1…㉣]

㉢, ㉣에서 [eqn: 1<a<root7]

41. (답) [eqn: 2 `＜` a `＜` 8]

(해설)

[eqn: x^2 `＞` y^2 + z^2]이 성립하면 둔각삼각형이다.

[eqn: a `＞` 2]이면 [eqn: 2a + 1]이 가장 긴 변이다.

[eqn: ( 2a + 1 )^2 `＞` a^2 + ( 2a - 1 )^2]

정리하면 [eqn: a^2 - 8a `＜` 0], [eqn: a ( a - 8 ) `＜` 0]

[eqn: 0`<`a`<`8]

[eqn: a `＞` 2]이므로 [eqn: 2 `＜` a `＜` 8]

42. (답) ②

(해설)

①[eqn: rm bar CA = 5]이면 [eqn: rm bar CA`^2 = bar AB`^2 + bar BC`^2]이 성립하므로 [eqn: rm bar CA]의 대각인 [eqn: angle rm B]가 직각인 직각삼각형이다.

②[eqn: rm bar CA = root 7]이면 [eqn: rm bar BC`^2 = bar AB`^2 + bar CA`^2]이 성립하므로 [eqn: rm bar BC]의 대각인 [eqn: angle rm A]가 직각인 직각삼각형이다.

③, ④ [eqn: x` `<` 4]이면 [eqn: rm bar BC]가 가장 긴 변이므로 [eqn: angle rm A]가 가장 큰 각이 된다.

⑤ [eqn: x` `＞` 5]이면 [eqn: rm bar CA]가 가장 긴 변이므로 [eqn: angle rm B]가 가장 큰 각이 된다.

43. (답) ③

(해설)

③[eqn: rmbarAB `]의 대각[eqn: rm angleC`]가 예각이다.

44. (답) ②

(해설)

삼각형의 결정조건에 의하여 [eqn: 8-6＜a＜8+6]

∴ [eqn: 2＜a＜14] …㉠

(ⅰ) [eqn: a]가 가장 긴 변일 때,

[eqn: a ^2 ＞6 ^2 +8 ^2]

∴ [eqn: a＞10] (∵ [eqn: a＞8]) …㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 10＜a＜14]

(ⅱ) 8이 가장 긴 변일 때,

[eqn: 8 ^2 ＞6 ^2 +a ^2]

∴ [eqn: 0＜a＜2 sqrt {7}] (∵ [eqn: 0＜a LEQ 8]) …㉢

㉠, ㉢에서 [eqn: 2＜a＜2 sqrt {7}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여[eqn: 10＜a＜14] 또는 [eqn: 2＜a＜2 sqrt {7}]

∴ ㈎×㈏[eqn: =10 TIMES 2=20]

45. (답) ④

(해설)

변의 성질에 의하여 [eqn: 2 ＜ a ＜ 10]

[eqn: a`` ≥``6]일 때, [eqn: 4^2 + 6^2 ＜ ``a^2 ,~~~~ a``＞2root13]

[eqn: a ＜``6]일 때  [eqn: 4^2 + a^2 ＜ ``6^2 ,~~~~ a ＜``2root5]

따라서, [eqn: 2root13 ＜ a ＜ 10]  또는 [eqn: 2 ＜ a ＜ 2root5]

46. (답) ③

(해설)

나머지 한 변의 길이를 [eqn: a] cm라 하면

(ⅰ) [eqn: a]가 빗변일 때, [eqn: a ^2 =3 ^2 +4 ^2]

∴ [eqn: a=5](cm)

(ⅱ) [eqn: 4]가 빗변일 때, [eqn: 4 ^2 =3 ^2 +a ^2]

∴ [eqn: a= sqrt {7}](cm)

따라서 나머지 한 변의 길이는 [eqn: 5] cm 또는 [eqn: sqrt { 7}] cm이다.

47. (답) [eqn: 7over4]cm

(해설)

[eqn: rmbar CE = itx](cm)라 하면 [eqn: rm barBE = barAE = it(8-x)](cm)

[eqn: rm△ACE]에서 [eqn: (8-x )^2 =x^2 +6^2]

[eqn: 16x=28]   ∴ [eqn: x= 7over4](cm)

48. (답) ④

(해설)

[eqn: rm triangleQCD]에서 [eqn: rm bar QC = SQRT { 5^2 - 4^2 } = 3]

[eqn: rm bar PQ = it x]라 놓으면 [eqn: rm triangle BPQ]에서

[eqn: x^2 = LEFT ( 4-x RIGHT )^2 + 2^2],  [eqn: 8x = 20]

[eqn: THEREFORE ~x = 2.5]

49. (답) [eqn: 25over6]

(해설)

점 [eqn: rmE]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면

[eqn: rm bar{EH} = bar{AB} =4]

[eqn: rm bar{HF} = bar{ED prime } - bar{FC prime } =6-3=3]

[eqn: rm bar{EF} ^2 = bar{EH} ^2 + bar{HF} ^2]

[eqn: =4 ^2 +3 ^2 =25]

∴ [eqn: rm bar{EF} =5]

[eqn: rm ANGLE GFE= ANGLE FED= ANGLE G`EF]

따라서 [eqn: rm TRIANGLE GFE]는 이등변삼각형이다.

∴ [eqn: rm bar{G`E} = bar{GF}]

또 [eqn: rm TRIANGLE EGH]는 직각삼각형이므로

[eqn: rm bar{EG ^2} = bar{GH ^2} + bar{EH ^2}]

[eqn: rm bar{EG} =itx]라고 하면 [eqn: rm bar{GH} = it x-3]이므로

[eqn: x ^2 =(x-3) ^2 +4 ^2]     ∴ [eqn: x= {25} over {6}]

50. (답) [eqn: 15]cm

(해설)

[eqn: rm bar{EB'} = bar{EB} =18-8=10](cm)

[eqn: rm TRIANGLE AEB']에서

[eqn: rm bar{AB'} = sqrt {10 ^2 -8 ^2} =6](cm)

[eqn: rm bar{B prime D} = bar{AD} - bar{AB'} =18-6=12](cm)

[eqn: rm TRIANGLE AEB']∽[eqn: rm TRIANGLE DB prime G] ([eqn: rmAA] 닮음)이므로

[eqn: rm bar{AE} = bar{DB prime } = bar{EB} '= bar{B prime G}]

[eqn: rm 8```:``12=10```:`` bar{B prime G}]     ∴ [eqn: rm bar{B prime G} =15](cm)

기초 수학	Ⅲ. 피타고라스 정리와 삼각비		1. 피타고라스 정리			정답
	02 평면도형에의 활용

1. (답) ①

(해설)

[eqn: rm bar AB = it sqrt{( x-1)^2 + left{5- (-1) right}^2 }=10]이므로

[eqn: (x-1)^2 +36=100]

[eqn: (x-1)^2 =64]

[eqn: x-1=8] 또는 [eqn: x-1=-8]

∴ [eqn: x=9] 또는 [eqn: x=-7]

2. (답) ②

(해설)

[eqn: y = x ^2]과 [eqn: y = x + 2]를 연립하여 풀면

[eqn: x ^2 = x+ 2, ~ x ^2 - x - 2 = 0]

[eqn: ( x - 2 ) ( x + 1 ) = 0]

[eqn: therefore ~ x = 2] 또는 [eqn: x = - 1]

[eqn: x = 2]일 때 [eqn: y = x ^2 = 2^2 = 4]

[eqn: x = - 1]일 때, [eqn: y = x ^2 = ( - 1 ) ^2 = 1]

따라서 교점은 [eqn: rm A ( 2, ~ 4 ) , ~ rm B ( - 1 , ~ 1 )]이므로 [eqn: rm bar AB = root { left { 2 - ( - 1 ) right } ^2 + ( 4 -1 ) ^2 }]

[eqn: = root { 3^2 + 3^2 } = 3 root 2]

3. (답) ④

(해설)

두 점[eqn: rm A,~ B]는 포물선과 직선의 교점의 좌표이므로,

[eqn: 1 over 2 x^2 = x + 4]에서, [eqn: x^2 - 2x - 8 = 0]

[eqn: ( x - 4 ) ( x + 2 ) = 0],

[eqn: x = 4]일 때, [eqn: y = 8 ~->~ rm B (4,~ 8 )]

[eqn: x = -2]일 때, [eqn: y = 2 ~->~ rm A ( -2 ,~ 2 )]

[eqn: rm bar AB = root { ( 4 - (-2))^2 + ( 8 - 2 )^2 }]

[eqn: = root { 36 + 36 } = root 72 = 6 root 2]

4. (답) ⑤

(해설)

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (x, ~ y )]라 하면

[eqn: rm bar OA = it root { ( x - 0 ) ^2 + ( y - 0 ) ^2 }]

[eqn: = root { x ^2 + y^2 } = 3]

[eqn: therefore ~ x ^2 + y ^2 = 9][eqn: ~~ cdots cdots `]㉠

[eqn: rm bar OB = 5]이므로 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: ( 5, ~ 0 )]

[eqn: rm bar AB = root { it ( x - 5 ) ^2 + ( y - 0 ) ^2 }]

[eqn: = root { (x - 5)^2 + y^2 } = 4]

[eqn: ( x - 5 ) ^2 + y^2 = 16]

[eqn: x^2 - 10 x + 25 + y^2 = 16]

[eqn: therefore ~ x ^2 + y^2 = 10 x - 9 ~~ cdots cdots ` ㉡]

[eqn: ㉠ = ㉡]에서

[eqn: 9 = 10 x - 9 , ~ 10 x = 18]  [eqn: therefore ~ x = 9 over 5]

[eqn: x = 9 over 5]를 ㉠에 대입하면

[eqn: left ( 9 over 5 right ) ^2 + y^2 = 9 , ~ y ^2 = 144 over 25]

[eqn: therefore ~ y= 12 over 5]  [eqn: ( BECAUSE `y`＞`0)]

따라서 구하는 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: left ( 9 over 5 , ~ 12 over 5 right )]

5. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm bar AB = sqrt{ (-4-3 )^2 + (0-3 )^2 }]

[eqn: = sqrt{ (-7 )^2 + (-3 )^2} = sqrt58],

[eqn: rm bar BC = sqrt{ {6-(-4)}^2 + (-4-0 )^2 }]

[eqn: = sqrt{ 10^2 + (-4 )^2} = sqrt116],

[eqn: rm bar AC = sqrt{ (6-3 )^2 + (-4-3 )^2 }= sqrt{ 3^2 + (-7 )^2}]

[eqn: = sqrt58]

[eqn: rm bar AB = bar AC]이고 [eqn: rm {bar BC}^2 = {bar AB}^2 + {bar AC}^2]이므로

[eqn: rm △ABC]는 직각이등변삼각형이다.

6. (답) [eqn: rm ANGLE B＞90ﾟ]인 둔각삼각형

(해설)

[eqn: rm bar{AB ^2} = LEFT { 1-(-2) RIGHT } ^2 + LEFT { 0-(-3) RIGHT } ^2]

[eqn: =3 ^2 +3 ^2 =18]

[eqn: rm bar{BC ^2} =(3-1) ^2 +(-1-0) ^2 =2 ^2 +1 ^2 =5]

[eqn: rm bar{CA ^2} =(-2-3) ^2 + LEFT { -3-(-1) RIGHT } ^2]

[eqn: =5 ^2 +2 ^2 =29]

[eqn: rm bar{CA ^2} =29＞18+5= bar{AB ^2} + bar{BC ^2}]

따라서 [eqn: rm TRIANGLE ABC]는 [eqn: rm ANGLE B＞90ﾟ]인 둔각삼각형이다.

7. (답) ①

(해설)

[eqn: rm bar OA = root{ 5^2 + 5^2 }= root 50 = 5root2],

[eqn: rm bar OB = root{ 10^2 + 15^2 }= root 325 =5root13],

[eqn: rm bar AB = root {15^2 + 10^2} = root 325 =5root13]이므로,

[eqn: rm bar OB = bar AB]인 이등변삼각형이다.

8. (답) 직각삼각형

(해설)

[eqn: rm bar AB `^2 = ( 4 root 2 - root 2 ) ^2 + left { 2 root 2 - ( - root 2 ) right } ^2]

[eqn: = ( 3 root 2 ) ^2 + ( 3 root 2 ) ^2]

[eqn: = 36]

[eqn: rm bar BC `^2 = ( - 3 root 2 - 4 root 2 ) ^2 + ( 3 root 2 - 2 root 2 )^2]

[eqn: = ( - 7 root 2 ) ^2 + ( root 2 ) ^2]

[eqn: = 100]

[eqn: rm bar AC `^2][eqn: = ( - 3 root 2 - root 2 ) ^2 + left { 3 root 2 - ( - root 2 ) right } ^2]

[eqn: = ( - 4 root 2 ) ^2 + ( 4 root 2 ) ^2][eqn: = 64]

[eqn: rm bar AB `^2 +bar AC `^2 =bar BC `^2]이므로[eqn: rm triangle A B C]는[eqn: rm bar BC]를 빗변으로 하는 직각삼각형이다.

9. (답) ⑴ [eqn: (5,~ 3)]  ⑵ [eqn: rm bar PR = 3], [eqn: rm bar QR = 4]  ⑶ [eqn: 5]

(해설)

⑶ [eqn: rm bar PQ = sqrt{3^2 +4^2} =5]

10. (답) ⑴[eqn: rmbar AB = bar BC = sqrt 13],[eqn: rmbar AC = sqrt26] ⑵[eqn: rmANGLEB=90°]인 직각이등변삼각형

(해설)

⑴ [eqn: rmbar AB = sqrt {(1+2) ^2 +(2-4) ^2 } = sqrt {13}]

[eqn: rmbar BC = sqrt {(3-1) ^2 +(5-2) ^2 } = sqrt {13}]

[eqn: rmbar AC = sqrt {(3+2) ^2 +(5-4) ^2 } = sqrt {26}]

⑵ [eqn: rmbar AB = bar BC]이고 [eqn: rm bar AB `^2 + bar BC `^2 = bar AC `^2]이므로 [eqn: rmANGLE B=90°]인 직각이등변삼각형

11. (답) ④

(해설)

[eqn: y=- { 4} over {3 }x +4]에서 [eqn: x]절편은 [eqn: 3], [eqn: y]절편은 [eqn: 4]이므로 [eqn: rm triangle OAB]에서 [eqn: rm bar OA = 3], [eqn: rm bar OB = 4] 피타고라스의 정리에 의하여 [eqn: rm bar AB =5]

[eqn: rm bar OA timesbar OB = bar OP times bar AB]이므로

[eqn: rm 3times 4 = bar OP times 5]

∴ [eqn: rm bar OP = 12over5]

12. (답) ②

(해설)

이차함수와 일차함수의 교점의 좌표를 대입법으로 풀면

[eqn: x^2 -4x+3=2x-2]

[eqn: x^2 -6x+5=0]

[eqn: (x-1)(x-5)=0]

∴ [eqn: x=1~,~x=5]― ①

①을 일차함수에 대입하면 [eqn: y=0~,~y=8]

∴ 교점의 좌표는 (1, 0), (5, 8) 이다.

두 점 사이의 거리는

[eqn: SQRT { (5-1)^2 + (8-0)^2 ~ }=~ 4SQRT {5~ }]

13. (답) ⑴[eqn: rm triangle PBD']  ⑵[eqn: rm bar PD']  ⑶ [eqn: (5+3)^2 +10^2]  ⑷ [eqn: 2 sqrt 41]

(해설)

선대칭이동한 도형은 선대칭하기 전의 도형과 합동이다. 또, 서로 다른 두 점에 이르는 최단 거리는 두 점을 이은 선분의 길이이다.

14. (답) [eqn: 17]cm

(해설)

다음 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmB]가 원점이 되도록 좌표축을 잡고, 점 [eqn: rmC]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동시킨 점을 [eqn: rmC']이라고 하자.

[eqn: rm bar{AP} + bar{PC} = bar{AP} + bar{PC prime } GEQ bar{AC'}]이므로

[eqn: rm bar{AP} + bar{PC}]의 길이가 최소일 때는

점 [eqn: rmP]가 [eqn: rm bar{AC'}]과 [eqn: rm bar{BD}]의 교점일 때이다.

[eqn: rm bar{AC'} = sqrt {15 ^2 +(-3-5) ^2}]

[eqn: =17](cm)

15. (답) [eqn: 6sqrt2]

(해설)

점 [eqn: rmA]의 [eqn: rm vec{OX}], [eqn: rm vec{OY}]에 대한 대칭점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라고 하면 [eqn: rm bar{BC}]의 길이가 [eqn: rm bar{AP} + bar{PQ} + bar{QA}]의 최솟값이다.

그런데 [eqn: rm TRIANGLE OBC]에서 [eqn: rm bar{OA} = bar{OC}], [eqn: rm bar{OA} = bar{OB}],

[eqn: rm ANGLE BOC=90ﾟ](∵ [eqn: rm ANGLE XOY=45ﾟ])이므로

[eqn: rm TRIANGLE OBC]는 직각이등변삼각형이다.

∴ [eqn: rm bar{BC} = sqrt {6 ^2 +6 ^2} =6 sqrt {2}]

16. (답) [eqn: 4 root 13]

(해설)

점[eqn: rm C]의 [eqn: rm bar AB]에 대한 대칭점을 [eqn: rm C'`]이라 하면 [eqn: rm bar {C prime D } = bar { C prime P prime } + bar { P prime D }] [eqn: <` rm bar { C prime P } + bar PD] ([eqn: = rm bar CP + bar DP])이므로[eqn: rm P = P'`]일 때[eqn: rm bar CP + bar PD]의 값은 최소가 된다.

[eqn: therefore~ ( rm bar CP + bar PD]의 최솟값)

[eqn: = rm bar { C prime D } = root { 8^2 + 12^2 } = 4 root 13 (cm)]

17. (답) ①

(해설)

직각삼각형 ABD에서

[eqn: rm OVERLINEAB = SQRT {17^2 -8^2 } =15(cm)]

직각삼각형 ABC에서

[eqn: rm OVERLINEAC = SQRT {(8+12)^2 + 15^2 } = SQRT {625} =25](cm)

18. (답) ④

(해설)

[eqn: rm {bar AC}^2 = {bar AB}^2 + {bar BC}^2 =9+9=18]

[eqn: rm {bar AD}^2 = { bar AC}^2 + {bar CD}^2 =18+9=27]

[eqn: rm {bar AE}^2 = {bar AD}^2 + {bar DE}^2 =27+9=36]

[eqn: rm {bar AF}^2 = {bar AE}^2 + {bar EF}^2 =36+9=45]

∴ [eqn: rm bar AF = 3sqrt5]

19. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm { bar OB}^2 = {bar OA}^2 + {bar AB }^2 =1+1=2]

[eqn: rm { bar OC}^2 = {bar OB}^2 + {bar BC }^2 = 2+1=3]

[eqn: rm {bar OD}^2 = { bar OC}^2 + {bar CD}^2 =3+1=4]

[eqn: rm {bar OE}^2 ={ bar OD}^2 + { bar DE}^2 = 4+1=5]

[eqn: rm {bar OF}^2 = { bar OE}^2 +{ bar EF}^2 = 5+1=6]

[eqn: rm { bar OG}^2 = { bar OF }^2 + { bar FG}^2 = 6+1=7]

∴ [eqn: rm bar OG = sqrt7]

20. (답) [eqn: (16-8 sqrt {3} )]cm

(해설)

[eqn: rm bar{BE} =itx]cm라고 하면 [eqn: rm TRIANGLE ABE]와 [eqn: rm TRIANGLE ADF]에서

[eqn: rm bar{AB} =barAD], [eqn: rm bar{AE} = bar{AF}], [eqn: rm ANGLE B= ANGLE D=90ﾟ]

[eqn: rm TRIANGLE ABE == TRIANGLE ADF] ([eqn: rmRHS] 합동)

∴ [eqn: rm bar{CD} = bar{CF} =8-itx](cm)

[eqn: rm bar{AE ^2} = bar{AB ^2} + bar{BE ^2}], [eqn: rm bar{EF ^2} = bar{EC ^2} + bar{CF ^2}]이고

[eqn: rm bar{AE} = bar{EF}]이므로

[eqn: rm bar{AB ^2} + bar{BE ^2} = bar{EC ^2} + bar{CF ^2}]

[eqn: 8 ^2 +x ^2 =(8-x) ^2 +(8-x) ^2]

[eqn: x ^2 -32x+64=0]

근의 공식을 이용하면

[eqn: x=16± sqrt {16 ^2 -64} =16±8 sqrt {3}]

[eqn: 0＜x＜8]이므로　[eqn: x=16-8 sqrt {3}]

∴ [eqn: rm bar{BE} =(16-8 sqrt {3} )]cm

21. (답) [eqn: sqrt37]

(해설)

[eqn: x^2 +6^2 =8^2 +3^2]   [eqn: x^2 =37]

∴ [eqn: x=sqrt37](∵ [eqn: x＞0])

22. (답) ②

(해설)

[eqn: rm {bar AD}^2 +4^2 =(sqrt2 )^2 +(3sqrt5 )^2]이므로

[eqn: rm {bar AD}^2 = 31]   ∴ [eqn: rm bar AD = sqrt31]

23. (답) [eqn: 3 sqrt {2}]

(해설)

두 대각선이 직교하는 사각형에서

[eqn: rm bar{AB ^2} + bar{CD ^2} = bar{BC} ^2 + bar{AD} ^2]이므로

[eqn: 3 ^2 +5 ^2 =4 ^2 +x ^2]

∴ [eqn: x ^2 =18]

그런데 [eqn: x＞0]이므로　[eqn: x=3 sqrt {2}]

24. (답) [eqn: 5]cm

(해설)

[eqn: rm bar AD = bar AP = 15](cm)

이므로 [eqn: rm △ABP]에서

[eqn: rm bar BP = sqrt{ 15^2 -9^2 }= sqrt144 = 12](cm)

∴ [eqn: rm bar PC = 3](cm)

[eqn: rm bar PQ = it x](cm)로 놓으면

[eqn: rm bar DQ = it x](cm), [eqn: rm bar QC = it 9-x](cm)

[eqn: rm △PQC]에서 피타고라스의 정리를 이용하면

[eqn: x^2 = 3^2 + (9-x )^2], [eqn: x^2 = 90-18x + x^2]

∴ [eqn: x = 5]

∴ [eqn: rm bar PQ = 5](cm)

25. (답) ③

(해설)

[eqn: rm bar PQ = it x]cm라고 하면

[eqn: rm triangle APQ == rm triangle ADQ]([eqn: \RHA]합동)이므로

[eqn: rm bar DQ = it x]cm, [eqn: rm bar QC = it (8-x)]cm

[eqn: rm triangle PCQ]는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: 4^2 +(8-x)^2 =x^2]

[eqn: 16+64-16x+x^2 =x^2]

[eqn: 16x=80]   ∴ [eqn: x=5](cm)

26. (답) [eqn: 2 sqrt {3}]cm

(해설)

위의 그림과 같이 [eqn: rm TRIANGLE ABO]를 [eqn: rm TRIANGLE DCO']으로 이동시키면[eqn: rm□DOCO']은 대각선이 서로 수직인 사각형이 되므로

[eqn: a ^2 +d ^2 =b ^2 +c ^2]이 성립한다.

[eqn: 7 ^2 +rm bar{OC} ^2 =5 ^2 +6 ^2]

[eqn: rm bar{OC ^2} =12]

∴ [eqn: rm bar{OC} =2 sqrt {3}](cm) (∵ [eqn: rm bar{OC} ＞0])

27. (답) ②

(해설)

[eqn: 8^2 + (x-4) ^ 2 = x^2 , ~~-8x = -80]

[eqn: therefore x= 10(rmcm)]

28. (답) [eqn: 2 sqrt {7}]cm

(해설)

[eqn: rm TRIANGLE ABC]에서

[eqn: rm bar{AC} = sqrt {4 ^2 +(4 sqrt {3} ) ^2} =8](cm)

[eqn: rm TRIANGLE ADC]에서 [eqn: rm bar{DC ^2} = bar{CE} CDOT bar{AC}]이므로

[eqn: 4 ^2 =rm bar{CE} TIMES 8]     ∴ [eqn: rm bar{CE} =2](cm)

∴ [eqn: rm bar{AE} =8-2=6](cm)

[eqn: rm TRIANGLE CDE]에서

[eqn: rm bar{DE} = sqrt {4 ^2 -2 ^2} =2 sqrt {3}](cm)

이때, 점 [eqn: rmE]가 직사각형 내부의 점이므로

[eqn: rm bar{AE ^2} + bar{EC ^2} = bar{BE ^2} + bar{DE ^2}]

[eqn: 36+4=rm bar{BE ^2} +12]

∴ [eqn: rm bar{BE} =2 sqrt {7}](cm)

29. (답) [eqn: 2n+1]

(해설)

가장 긴 변: [eqn: rm2n+1]

30. (답) [eqn: 75pi]

(해설)

[eqn: P+25pi =100pi]

∴ [eqn: P=75pi]

31. (답) [eqn: 10]

(해설)

[eqn: rm bar{BN} = {1} over {2} bar{BM} = {1} over {4} bar{BC}]

[eqn: = {1} over {4} TIMES 20=5]

[eqn: rm bar{AB} = it x]라고 하면

[eqn: rm bar{AN} = sqrt {bar{AB ^2} + bar{BN} ^2}]

[eqn: = sqrt {x ^2 +25}]

[eqn: rm bar{AC} = sqrt {bar{AB ^2} + bar{BC ^2}}]

[eqn: = sqrt {x ^2 +400}]

또 [eqn: rm bar{AM}]이 [eqn: rm ANGLE NAC]의 이등분선이므로

[eqn: rm bar{AN} ```:`` bar{AC} = bar{NM} ```:`` bar{MC} =1```:``2]

[eqn: sqrt {x ^2 +25} ```:`` sqrt {x ^2 +400} =1```:``2]

[eqn: 2 sqrt {x ^2 +25} = sqrt {x ^2 +400}]

[eqn: 4(x ^2 +25)=x ^2 +400]

[eqn: x ^2 =100]     ∴ [eqn: x=10]

∴ [eqn: rm bar{AB} =10]

32. (답) [eqn: sqrt5]

(해설)

[eqn: rm TRIANGLE ABD]와 [eqn: rm TRIANGLE CAE]에서

[eqn: rm ANGLE CAE+ ANGLE BAD=90ﾟ]

[eqn: rm ANGLE ABD+ ANGLE BAD=90ﾟ]

이므로　[eqn: rm ANGLE CAE= ANGLE ABD]

또 [eqn: rm bar{AB} = bar{AC}], [eqn: rm ANGLE ADB= ANGLE AEC=90ﾟ]

[eqn: rm TRIANGLE ABD == TRIANGLE CAE] ([eqn: rmRHA] 합동)

[eqn: rm bar{AD} =1], [eqn: rm bar{AE} =2]이므로

[eqn: rm bar{DE} = bar{AE} - bar{AD} =2-1=1]

[eqn: rm TRIANGLE BED]는 직각삼각형이므로

∴ [eqn: rm bar{BE} = sqrt {2 ^2 +1 ^2} = sqrt {5}]

33. (답) ⑴ [eqn: 10]  ⑵ [eqn: 4sqrt2]

(해설)

⑴ [eqn: x= sqrt{ 8^2 +6^2 } =10]

⑵ [eqn: x= sqrt{ 4^2 +4^2} =4sqrt2]

34. (답) ④

(해설)

정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x]cm라고 하면

(대각선의 길이)[eqn: =x sqrt2]이므로

[eqn: 8=sqrt2 x]   ∴ [eqn: x=4sqrt2](cm)

∴ (정사각형의 넓이)[eqn: =(4sqrt2 )^2 =32](cm²)

35. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm bar EF = bar AD = 5], [eqn: rmbar BE = bar CF = 3]

[eqn: rm triangle CDF]는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여 [eqn: rm { bar DF}^2 +3^2 =7^2], [eqn: rm {bar DF}^2 = 40]

∴ [eqn: rm bar DF = 2sqrt10](∵ [eqn: rm bar DF ＞0])

[eqn: rm triangle BDF]는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의하여 [eqn: rm {bar BD}^2 = 8^2 +(2sqrt10 )^2 =104]

∴ [eqn: rm bar BD = 2 sqrt26](∵ [eqn: rm bar BD ＞0])

36. (답) ④

(해설)

내접하는 정사각형의 대각선과 원의 지름의 길이는 같다.

정사각형의 한 변의 길이를 [eqn: x]라 하면

[eqn: root2 x =10] → [eqn: x=5root2]

37. (답) ⑴ 높이 : [eqn: {3sqrt3} over2], 넓이 : [eqn: { 9sqrt3} over { 4}]  ⑵ 높이 : [eqn: 4sqrt3], 넓이 : [eqn: 16sqrt3]

(해설)

⑴ (높이)[eqn: = sqrt3 over2 × 3= { 3 sqrt3} over { 2}]

(넓이)[eqn: = sqrt3 over4 × 3^2 = { 9 sqrt3} over { 4}]

⑵ (높이)[eqn: = sqrt3 over2 × 8=4sqrt3]

(넓이)[eqn: = sqrt3 over4 × 8^2 =16sqrt3]

38. (답) ③

(해설)

정삼각형의 한 변의 길이를 [eqn: x]cm라고 하면

(넓이)[eqn: = sqrt3 over 4 x^2]이므로 [eqn: 16sqrt3 = sqrt3 over4 x^2]

[eqn: x^2 =64]   ∴ [eqn: x=8](∵ [eqn: x＞0])

따라서 정삼각형의 한 변의 길이는 [eqn: 8]cm이다.

39. (답) ②

(해설)

(정삼각형의 넓이)[eqn: =root3 over 4 a^2 = 9root3]

[eqn: therefore~a=6]

(정삼각형의 높이)[eqn: = root3 over 2 a = sqrt3 over 2 times 6 = 3root3](cm)

40. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm TRIANGLE ADE= {sqrt 3} over {4} bar AD ` ^2 =9 sqrt {3}](cm²)에서

[eqn: rm barAD ` ^2 =36,` rm bar AD =6](cm)

[eqn: rm triangle ABC]의 한 변의 길이를 [eqn: a`]라 하면

[eqn: root 3 over 2 a = 6]  [eqn: THEREFORE `a=4 sqrt {3}](cm)

[eqn: THEREFORE ` rm (TRIANGLE ABC)=][eqn: root 3 over 4 a^2 = root 3 over 4 times ( 4 root 3 ) ^2]

[eqn: = 12 root 3](cm²)

41. (답) [eqn: 7sqrt51]cm²

(해설)

[eqn: rm bar AH ⊥ bar BC]라고 하면

[eqn: rm bar BH = 7](cm)이므로 [eqn: rm △ABH]에서

[eqn: rm bar AH = sqrt{ 10^2 -7^2 }= sqrt51](cm)

∴ [eqn: rm △ABC = 1 over 2 × bar BC × bar AH]

[eqn: = 1 over 2 × 14 × sqrt51 = 7sqrt51](cm²)

42. (답) ③

(해설)

(높이)[eqn: =sqrt{13^2 -5^2 }=12](cm)

(넓이)[eqn: = 1over2 times 10times 12 = 60](cm²)

43. (답) ③

(해설)

꼭짓점 [eqn: rm A]에서 [eqn: rm bar BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

[eqn: rm barBH =5](cm)이고 [eqn: 1 over 2 ×10×rm bar AH =60]에서

[eqn: rm bar AH =12](cm)

직각삼각형 [eqn: rm ABH]에서 [eqn: rm bar AB =sqrt {5^2 +12^2 }=13](cm)

44. (답) [eqn: (12+ 8 sqrt2 )]cm²

(해설)

위의 그림에서 [eqn: rmbar AC = itx](cm)라 하면

[eqn: 2x^2 = 4], [eqn: x = sqrt2](cm)(∵ [eqn: x＞0])

즉, 처음 정사각형의 한 변의 길이는

[eqn: 2x+2 = 2 sqrt2 +2 = 2 ( sqrt2 +1 )](cm)

따라서, 처음 정사각형의 넓이는

[eqn: left{ 2( sqrt2 +1) right }^2 = (12+8 sqrt2 )](cm²)

45. (답) [eqn: 2sqrt14]cm²

(해설)

[eqn: rm bar AH ⊥ bar BC]이고

[eqn: rm bar BH = it x](cm)라고 하면,

[eqn: rm bar CH = it 6-x](cm)

[eqn: rm △ABH]에서 [eqn: rm {bar AH}^2 = it3^2 -x^2]

[eqn: rm △ACH]에서 [eqn: rm {bar AH}^2 = it5^2 -(6-x )^2]에서

[eqn: 3^2 -x^2 = 5^2 -(6-x )^2]

[eqn: 9-x^2 = 25-36 + 12x-x^2]

[eqn: 12x = 20]  ∴ [eqn: x = 5over3]

그런데 [eqn: rm {bar AH}^2 =it 3^2 -x^2 = 9- left(5over3 right)^2]이므로

[eqn: rm bar AH = sqrt{ 9 - 25 over 9 } = sqrt { 56 over 9} = { 2 sqrt14} over { 3}](cm)

∴ [eqn: rm △ABC = 1 over 2 × bar BC × bar AH]

[eqn: = 1 over 2 × 6 × { 2 sqrt14} over { 3} = 2sqrt14](cm²)

46. (답) ①

(해설)

[eqn: (sqrt3 )^2 +3^2 =(2sqrt3 )^2]이므로

[eqn: sqrt3]cm, [eqn: 3]cm, [eqn: 2sqrt3]cm를 세 변의 길이로 하는 삼각형은 빗변의 길이가 [eqn: 2sqrt3]cm인 직각삼각형이다.

따라서 삼각형의 넓이는 [eqn: 1over2 × sqrt3 × 3= { 3 sqrt3} over { 2 }](cm²)

47. (답) ①

(해설)

[eqn: rm bar AD = bar GD times 3=3](cm)

[eqn: rm bar AD]는 삼각형 ABC의 높이이므로

(삼각형의 높이)[eqn: = root3 over 2 a = 3] → [eqn: a=2root3](cm)

따라서, 넓이는

[eqn: root3 over 4 a^2 = root3 over 4 ․(2root3 )^2 =3 root3](cm²)

48. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm bar BH it= a] cm라 하면 [eqn: rm bar CH it = (14-a)]cm

[eqn: rm bar AH `^2 it= 13^2 -a^2 =15-(14-a)^2]

[eqn: therefore~a=5]

[eqn: rm bar AH = sqrt{13^2 -5^2 }=12](cm)

[eqn: therefore rm triangle ABC = 1over2 times 14 times 12 = 84](cm²)

49. (답) ⑴ [eqn: x = 5 sqrt2], [eqn: y =5]  ⑵ [eqn: x =3], [eqn: y = 3 sqrt3]

(해설)

⑴ [eqn: x：5=sqrt2 ：1]   ∴ [eqn: x=5sqrt2]

[eqn: y：5=1：1]   ∴ [eqn: y=5]

⑵ [eqn: x：6=1：2]   ∴ [eqn: x=3]

[eqn: y：6=sqrt3 ：2]   ∴ [eqn: y=3sqrt3]

50. (답) ②

(해설)

①, ③, ④, ⑤ 둔각삼각형  ② 예각삼각형

51. (답) [eqn: 8]

(해설)

[eqn: rm bar OP_1 = it x`]로 놓으면

[eqn: rm bar {P_2 Q_1 } = it sqrt 2 x,][eqn: rm bar {P_3 Q_2 } = it 2 sqrt 2 x,][eqn: rm bar {P_3 Q } = it 4 x,]

[eqn: rm bar PQ = it 4 sqrt 2 x] 이므로 [eqn: 4 sqrt 2 x =16 sqrt 2]

[eqn: therefore~ x=4]

[eqn: therefore~ rm TRIANGLE OP_1 Q_1 = 1 over 2 times 4 times 4 =8]

52. (답) ③

(해설)

①, ③, ⑤[eqn: rm TRIANGLE OQ'rm Q],[eqn: rm TRIANGLE OR' rm R],[eqn: rm TRIANGLE OS' rm S]는 모두 이등변삼각형이다.

②[eqn: rm bar OQ = bar OQ' = sqrt2 (cm)]

[eqn: rm bar OR = bar OR' = sqrt3 (cm)]

④[eqn: rm bar OP =1(cm)]

[eqn: rm bar OQ = sqrt 2 (cm)]

[eqn: rm bar PQ =(sqrt2 -1)(cm)]

따라서, ③에서 [eqn: rm ANGLE OR' rm R= angle ORR']이므로 [eqn: rm ANGLE OR' rm R ＞90°]이거나 [eqn: rm ANGLE OR' rm R = 90°]이면 삼각형의 내각의 크기의 합이 [eqn: 180°]보다 커진다.

[eqn: therefore~ rm ANGLE OR' rm R＜90°]

53. (답) ③

(해설)

[eqn: rm bar BD = ` 3 SQRT {2 }]

[eqn: TRIANGLE rm BCD]에서 [eqn: rm bar BD ~:~ bar CD = 2~:~ SQRT { 3}]

[eqn: `3 SQRT {2 } ~:~ x = 2~:~ SQRT { 3}], [eqn: 2x = ` 3 SQRT {6 }]

[eqn: THEREFORE ~x= { `3 SQRT {6 } } over {2 }]

54. (답) ②

(해설)

변의 비에 의해 [eqn: y=2root3], [eqn: x=4root3]

∴ [eqn: x+y= 6root3]

55. (답) ④

(해설)

변의 비에 의해

[eqn: rm bar AC ``:``bar CD = 2``:``1] → [eqn: rm 3``:`` bar CD = 2``:``1]

→ [eqn: rm bar CD = 3over 2], [eqn: rm bar BD = 7 over 2],

[eqn: rmbar AD = {3sqrt3} over2]

→ [eqn: x=root{({3root3}over 2 )^2 + ( 7 over 2 ) ^2}=root19]

56. (답) ③

(해설)

[eqn: rm angle AHB = 30°]이므로

[eqn: rm bar BH]는 [eqn: rm angle H]의 이등분선이므로

[eqn: 2``:``1=10``: rm bar BC]  [eqn: therefore rm bar BC = 5]

[eqn: 5``: rm bar CH = 1``:`sqrt{3}]  [eqn: therefore rm bar CH = 5sqrt{3}]

57. (답) ⑴ [eqn: x \= 3 sqrt2], [eqn: y = 3]  ⑵ [eqn: x =5], [eqn: y = 5 sqrt3]

(해설)

⑴ [eqn: 90 DEG], [eqn: 45 DEG], [eqn: 45 DEG]에 대변에 대한 길이의 비는 [eqn: sqrt {2} :1:1]이므로 [eqn: sqrt {2} :1:1=x:y:3]

따라서 [eqn: x=3 sqrt {2}], [eqn: y=3]

⑵ [eqn: 90 DEG], [eqn: 60 DEG], [eqn: 30 DEG]에 대변에 대한 길이의 비는 [eqn: 2: sqrt {3} :1]이므로 [eqn: 2: sqrt {3} :1=10:y:x]

따라서 [eqn: x=5], [eqn: y=5 sqrt {3}]

58. (답) ⑴ [eqn: x=3], [eqn: y=3]  ⑵ [eqn: x=10], [eqn: y=5sqrt3]

(해설)

⑴ [eqn: x：3sqrt2 =1：sqrt2]   ∴ [eqn: x=3]

[eqn: y：3sqrt2 =1：sqrt2]   ∴ [eqn: y=3]

⑵ [eqn: x：5=2：1]   ∴ [eqn: x=10]

[eqn: y：5=sqrt3 ：1]   ∴ [eqn: y=5sqrt3]

59. (답) ④

(해설)

변의 비([eqn: 1``:``2``:``root3])에 의해 [eqn: rm bar BC =3root3]

[eqn: rm bar BC ``:``bar CD ``:`` bar BD = 1``:``1``:``root2]이므로[eqn: rm bar BD =3 root6]

60. (답) ③

(해설)

[eqn: rm TRIANGLE ABC] □[eqn: rmTRIANGLE DBA]이므로

[eqn: rm bar BC ：bar AB = bar AB ：barBD]

[eqn: THEREFORE rm bar AB`^2 = bar BD TIMES bar BC = 4 TIMES 6=24]

[eqn: THEREFORE rm bar AB = SQRT { 24}=2 SQRT { 6}](cm)

기초 수학	Ⅲ. 피타고라스 정리와 삼각비		1. 피타고라스 정리			정답
	03 입체도형에의 활용

1. (답) ⑴ [eqn: 3,``5,``5,``5sqrt2]  ⑵ [eqn: 3,``3sqrt2 ,``3sqrt2 ,``3sqrt3]

(해설)

⑴ 직각삼각형 [eqn: \EFG]에서 [eqn: x= sqrt{ 4^2 +3^2 }=5]

직각삼각형 [eqn: \AEG]에서 [eqn: l= sqrt{5^2 +5^2 }=5sqrt2]

⑵ 직각삼각형 [eqn: \EFG]에서 [eqn: x= sqrt{3^2 +3^2} =3sqrt2]

직각삼각형 [eqn: \AEG]에서

[eqn: l= sqrt{ (3sqrt2 )^2 +3^2 =}3sqrt3]

2. (답) ③

(해설)

[eqn: 4sqrt6 = sqrt{4 ^2 +4^2 +x^2 }]

양변을 제곱하면

[eqn: 96=16+16+x^2]

[eqn: x^2 =64]

∴ [eqn: x=8](∵ [eqn: x＞0])

3. (답) [eqn: (6sqrt2 +6sqrt3 +6 )]cm

(해설)

[eqn: rm bar AF]는 한 변의 길이가 [eqn: 6]cm인 정사각형의 대각선이므로

[eqn: rm bar AF = sqrt{6 ^2 +6^2 }=6sqrt2](cm)

[eqn: rm bar AG]는 한 모서리의 길이가 [eqn: 6]cm인 정육면체의 대각선이므로

[eqn: rm bar AG = sqrt{ 6^2 +6^2 +6^2 }=6sqrt3](cm)

따라서 [eqn: rm triangle AFG]의 둘레의 길이는

[eqn: rm bar AF + bar AG + bar FG = 6sqrt2 +6sqrt3 +6](cm)

4. (답) [eqn: 2 sqrt 6 `]cm

(해설)

[eqn: rm bar HF = 6sqrt2](cm)

[eqn: rm bar DF = 6sqrt3](cm)

[eqn: rm triangle DHF = 1over2 ㆍ bar DH ㆍbar HF][eqn: rm = 1over2 ㆍbar DF ㆍbar HM]

[eqn: rm bar DH ㆍ bar HF = bar DF ㆍ bar HM]

[eqn: rm 6ㆍ6sqrt2 = 6sqrt3 ㆍbar HM]

[eqn: rm bar HM = 2sqrt6](cm)

5. (답) ②

(해설)

정다면체는 모든 면이 합동인 정다각형이므로 대각선의 길이도 모두 같다. 따라서

[eqn: rm bar AC = bar CF = bar FA = root { 3^2 + 3^2 } = 3 root 2 (cm)]

[eqn: therefore~ triangle rm ACF = root 3 over 4 times ( 3 root 2 )^2]

[eqn: = { 9 root 3 } over 2 rm (cm^2`)]

6. (답) ⑤

(해설)

한 변의 길이가 [eqn: 6 rm cm]인 정육면체의 대각선의 길이는

[eqn: rm bar DF = root { 6^2 + 6^2 + 6^2 } = 6 root 3 (cm)]

[eqn: therefore~ rm triangle DHF= 1 over 2 bar DH cdot bar FH][eqn: = rm1 over 2 bar DF cdot bar HM]

즉, [eqn: rm bar DH cdot BAR FH = bar DF cdot bar HM], [eqn: 6 times 6 root 2 = 6 root 3 times rm bar HM]

[eqn: therefore~ rm bar HM = 2 root 6 (cm)]

7. (답) ①

(해설)

한 모서리의 길이가 [eqn: a`]인 정육면체의 대각선의 길이는 [eqn: root 3 a `]이므로

[eqn: rm bar AG = root 3 times 2 root 3 = 6]

[eqn: rm triangle DGH]에서

[eqn: rmbar DG ` ^2 = ( 2 sqrt 3 ) ^2 +(2 sqrt 3 ) ^2 =24]

[eqn: therefore ~ rm bar DG = 2 root 6]  [eqn: ( BECAUSE ` rm bar DG `＞`0)]

여기서 [eqn: rm triangle ADG]는 직각삼각형이고 그 넓이는 다음 두 가지 방법으로 구할 수 있다.

(i) [eqn: 1 over 2 times rm bar AD times bar DG = 1 over 2 times 2 root 3 times 2 root 6 = 6 root 2]

(ii) [eqn: 1 over 2 times rm bar AG times rm bar DI = 1 over 2 times 6 times rm bar DI = 3 rm bar DI]

따라서 (i), (ii)에서 [eqn: 3 rm bar DI = 6 root 2]

[eqn: therefore ~ rm bar DI = 2 root 2 rm (cm )]

8. (답) ③

(해설)

점[eqn: rm C]에서[eqn: rm bar AB]에 내린 수선의 발을[eqn: rm D]라 하면 점[eqn: rm G]는 [eqn: RM BAR CD]를 [eqn: 2~:~ 1]로 내분한다.

[eqn: THEREFORE rm bar CG = { 2} over {3 } bar CD = { 2} over {3 } CDOT { SQRT { 3} } over { 2} TIMES 8]

[eqn: = `{ { 8} over {3 } } SQRT {3 } LEFT ( rm cm RIGHT )]

9. (답) ⑴ [eqn: 6] ⑵ [eqn: 6 sqrt3] ⑶ [eqn: 3 sqrt11] ⑷ [eqn: 27 sqrt11]

(해설)

⑴ 삼각형의 중점연결 정리에 의해

[eqn: rm bar MN = 1over2 barDC = 6]

⑵ [eqn: rmbar AN = bar BM = sqrt{12^2 - 6^2} = 6 sqrt3]

⑶ [eqn: h = sqrt{ (6 sqrt3 )^2 -3^2} = 3 sqrt11]

⑷ (넓이)[eqn: = 1over2 ×(6+12)×3 sqrt11 = 27 sqrt11]

10. (답) ④

(해설)

[eqn: rm bar BH = 1over2 bar BD = 1over2 × 6sqrt2 =3sqrt2]

[eqn: rm △OBH]에서

[eqn: x= sqrt{ (3sqrt2 )^2 +(3sqrt2 )^2 }= sqrt18+18 = sqrt36 =6]

11. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm bar DE = bar EB = bar BD = 8sqrt2](cm)이므로

[eqn: rm triangle DEB = sqrt3over4 ㆍ(8 sqrt2 )^2 = 32sqrt3](cm²)

12. (답) ④

(해설)

[eqn: rm bar AO = SQRT { 6^2 + 8^2 } = 10]

부채꼴의 중심각을 [eqn: x]라 하면

[eqn: 2 TIMES 10 TIMES pi TIMES { x} over {360° } = 2 TIMES 6 TIMES pi]

[eqn: THEREFORE ~ x = 216°]

[eqn: LEFT ( 부채꼴의~넓이 RIGHT ) = 10^2 pi TIMES { 216° } over {360° }]

[eqn: = 60 pi LEFT ( rm cm² RIGHT )]

13. (답) [eqn: 6 SQRT { 2} rm cm²]

(해설)

점[eqn: rm C]에서[eqn: rm bar AB]에 내린 수선의 발을[eqn: rm D]라 하면

[eqn: rm bar CD = { SQRT { 3} } over {2 } TIMES 6 = 3 SQRT { 3}]

[eqn: rm bar CH = { 2} over {3 } rm bar CD = { 2} over {3 } TIMES 3 SQRT { 3} = 2 SQRT { 3}]

[eqn: rm triangle VHC]에서 [eqn: h = SQRT { 6^2 - LEFT ( 2 SQRT { 3} )^2 } = 2 SQRT { 6}]

[eqn: { THEREFORE~ ( rm triangle VHC의~넓이) = { 1} over { 2} TIMES rm bar CH TIMES} h]

[eqn: = { 1} over { 2} TIMES 2 SQRT { 3} TIMES 2 SQRT { 6}]

[eqn: = 6 SQRT { 2} LEFT ( rm cm² )]

14. (답) ⑤

(해설)

세 모서리의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: 2a], [eqn: 3a]([eqn: a`＞0])라고 하면

(대각선의 길이)[eqn: =2sqrt14 = sqrt{a^2 +4a^2 +9a^2 }]

양변을 제곱하면 [eqn: 14a^2 =56]

[eqn: a^2 =4]   ∴ [eqn: a=2](∵ [eqn: a`＞0])

따라서 세 모서리의 길이는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6]이므로

(겉넓이)[eqn: =2 × (2 × 4+4 × 6+2 × 6)]

[eqn: =2 × 44=88](cm²)

15. (답) ⑴ [eqn: 3sqrt3]  ⑵ [eqn: 2sqrt3]  ⑶ [eqn: 2sqrt6]  ⑷ [eqn: 18sqrt2]

(해설)

⑴ [eqn: rm bar DM = sqrt3 over2 × 6=3sqrt3]

⑵ 점 [eqn: rmH]가 [eqn: rm △BCD]의 무게중심이므로

[eqn: rm bar DH = 2over3 × 3sqrt3 =2sqrt3]

⑶ [eqn: rm △ADH]가 직각삼각형이므로

[eqn: h= sqrt{ 6^2 -(2sqrt3 )^2 } =sqrt24 =2sqrt6]

⑷ [eqn: V= 1over3 ×](밑면의 넓이)×(높이)

[eqn: = 1over3 × LEFT ( sqrt3 over4 × 6^2 RIGHT ) × 2sqrt6 =18sqrt2]

16. (답) 무게중심

(해설)

정사면체의 꼭짓점에서 밑면에 수선을 그으면 밑면의 무게중심을 지난다.

17. (답) 높이 : [eqn: {sqrt {6}} over {3} a], 부피 : [eqn: {sqrt {2}} over {12} a ^3]

(해설)

다음 그림과 같이 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 밑면 [eqn: rmBCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면

[eqn: rm bar{DE} =it {sqrt {3}} over {2} a]

점 [eqn: rmH]는 [eqn: rm TRIANGLE BCD]의 무게중심이므로

[eqn: rm bar{DE} = {2} over {3} bar{DE}]

[eqn: = {2} over {3} TIMES {sqrt {3}} over {2} a= {sqrt {3}} over {3} a]

[eqn: rm TRIANGLE AHD]에서

[eqn: rm bar{AH} =it sqrt {a ^2 - LEFT ( {sqrt {3}} over {2} a RIGHT ) ^2} = {sqrt {6}} over {3} a]

한편 정사면체의 부피는

[eqn: {1} over {3} TIMES {sqrt {3}} over {4} a ^2 TIMES {sqrt {6}} over {3} a= {sqrt {2}} over {12} a ^3]

따라서 정사면체의 높이는 [eqn: {sqrt {6}} over {3} a],

부피는 [eqn: {sqrt {2}} over {12} a ^3]이다.

18. (답) [eqn: 72 sqrt {2}]cm³

(해설)

다음 그림과 같이 정사각뿔 [eqn: rmA-BCDE]에서 생각하여 보자.

꼭짓점 [eqn: rmA]에서 밑면에 내린 수선의 발 [eqn: rmH]는 정사각형 [eqn: rmBCDE]의 대각선의 교점이므로

[eqn: rm bar{BH} = {1} over {2} bar{BD}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES 6 sqrt {2} =3 sqrt {2}](cm)

직각삼각형 [eqn: rmABH]에서

[eqn: rm bar{AH} = sqrt {6 ^2 -(3 sqrt {2} ) ^2} =3 sqrt {2}](cm)

∴ (정사각뿔의 부피)[eqn: = {1} over {3} TIMES (6 TIMES 6) TIMES 3 sqrt {2}]

[eqn: =36 sqrt {2}](cm³)

정팔면체는 정사각뿔 두 개를 붙인 것이므로

(정팔면체의 부피)[eqn: =2 TIMES 36 sqrt {2}]

[eqn: =72 sqrt {2}](cm³)

19. (답) ①

(해설)

[eqn: 3^2 + 4^2 = 5^2]이므로 [eqn: rm triangle ABD]와 [eqn: rm triangle BE]는 [eqn: rm angle ABD = angle CBE = 90 °]인 직각삼각형이다. 이 전개도를 가지고 삼각뿔을 만들면 [eqn: rm bar DB bot rm triangle A B C]인 직각삼각뿔이 되어 높이가 [eqn: rm bar DB = 4]임을 알 수 있다.

[eqn: therefore ~](삼각뿔의 부피)[eqn: = 1 over 3 times rm triangle A B C times bar DB]

[eqn: = 1 over 3 times root 3 over 4 times 3^2 times 4 = 3 root 3]

20. (답) ⑤

(해설)

정사면체의 한 변의 길이를 [eqn: x rm cm]라 하면

점 [eqn: rm H]는 [eqn: rm triangle BCD]의 무게중심이므로

[eqn: rm bar DH = root3 over 2 it x times 2 over 3 = root3 over 3 x `]  [eqn: left ( because ~ rm bar DE = root3 over 2 it x right )]

[eqn: rm triangle ADH]에서 [eqn: rm bar AH ` ^2 = bar AD ` ^2 - barDH ` ^2]이므로

[eqn: ( 2 root 6 ) ^2 = x ^2 - left ( root3 over 3 x right ) ^2]

[eqn: 24 = 2 over 3 x ^2 , ~ x ^2 = 36],

[eqn: therefore ~ x = 6 rm ( cm )]  ([eqn: BECAUSE `x`＞`0])

[eqn: therefore ~](정사면체의 겉넓이)[eqn: = 4 rm triangle A B C]

[eqn: = 4 times root3 over 4 times 6^2]

[eqn: = 36 root 3 rm ( cm ^2 )]

21. (답) [eqn: 12 sqrt2]

(해설)

[eqn: rm bar CM]은 정삼각형 [eqn: \ABC]의 높이이므로

[eqn: rm bar CM = sqrt3 over2 × 12=6sqrt3]

점 [eqn: rmH]는 [eqn: rm △ABC]의 무게중심이므로

[eqn: rm bar MH = 1over3 × 6sqrt3 =2sqrt3]

[eqn: rm bar OH]는 정사면체의 높이이므로

[eqn: rm bar OH = sqrt6 over3 × 12=4sqrt6]

∴ [eqn: rm △OMH = 1over2 × bar MH × bar OH]

[eqn: = 1over2 × 2sqrt3 × 4sqrt6 =12sqrt2]

22. (답) [eqn: 36sqrt7]cm³

(해설)

⑴ 꼭짓점 [eqn: \V]에서 밑면에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라고 하면

[eqn: rm bar AC = sqrt{ 6^2 + 6^2} = 6sqrt2](cm)

이므로

[eqn: rm bar AH = 1 over 2 bar AC = 3sqrt2]

[eqn: rm △VAH]에서

[eqn: rm bar VH = sqrt{ 9^2 -(3sqrt2 )^2} = sqrt81-18]

[eqn: = sqrt63 = 3sqrt7](cm)

∴ (부피)[eqn: = 1over3 × 36 × 3sqrt7 = 36sqrt7](cm³)

23. (답) [eqn: 288sqrt2]cm³

(해설)

[eqn: rm bar AC = 12sqrt2]이므로

[eqn: rm bar AH = 6sqrt2](cm)

[eqn: rm △VAH]에서

[eqn: rm bar VH = sqrt{ 12^2 -(6sqrt2 )^2 } = 6 sqrt2](cm)

∴ (부피)[eqn: = 1over3 × 12^2 × 6sqrt2 = 288sqrt2](cm³)

24. (답) ③

(해설)

[eqn: rm bar AC = sqrt{8^2 + 6^2 } = 10](cm)이므로 [eqn: rm bar AH = 5](cm)

[eqn: rm bar OH = sqrt{10^2 -5^2 }=5sqrt3](cm)

(부피)[eqn: = 1over3 times 8 times 6 times 5 sqrt3 = 80sqrt3] (cm³)

25. (답) [eqn: 32 over 3 sqrt 7]

(해설)

[eqn: h= sqrt{6^2 - left ({4sqrt 2} over 2right)^2 } = sqrt { 36 - 8} = 2sqrt7](cm)

[eqn: \V = 1over3 times 4 ^2 times 2 sqrt7 = 32over3 sqrt7](cm³)

26. (답) [eqn: 36 SQRT { 2} \cm³ `]

(해설)

밑면의 대각선의 길이는

[eqn: SQRT { 6^2 + 6^2} = 6 SQRT { 2}( \cm)`]

∴ [eqn: RM BAR BH = 3 SQRT { 2}( \cm)`]

[eqn: RM triangle ABH`]에서

[eqn: RM BAR AH = SQRT { bar AB `^2 - bar BH `^2}]

[eqn: = SQRT { 6^2 - (3 SQRT { 2})^2 } = 3 SQRT { 2}( \cm)`]

따라서, 정사각뿔의 부피는

[eqn: rm 1 OVER 3 TIMES □ BCDE TIMES BAR AH`]

[eqn: = 1 OVER 3 TIMES 6^2 TIMES 3 SQRT { 2} = 36 SQRT { 2} ( \cm³ )`]

27. (답) ①

(해설)

점 [eqn: \A`]에서 밑면에 내린 수선의 발을 [eqn: RM H`]라 하면

[eqn: RM BAR BH = 1 OVER 2 BAR BD = 1 OVER 2 SQRT { 12^2 + 12^2} = 6 SQRT { 2}(cm)`]

[eqn: triangle \ABH`]에서

[eqn: RM BAR AH = SQRT { bar AB`^2 - BAR BH`^2 } = SQRT { 12^2 - (6 SQRT { 2})^2 }]

[eqn: = SQRT { 144-72} `]

[eqn: = 6 SQRT { 2} ( \cm)`]

28. (답) ⑤

(해설)

[eqn: rm bar AC = 8SQRT2 \cm`]이므로

[eqn: rm bar AH = BAR CH = 4SQRT2 \cm`]

[eqn: triangle \OAH`]에서

[eqn: rm bar OH = SQRT{12^2 - (4SQRT2 )^2 }`][eqn: = SQRT 112 = 4SQRT7 ( \cm )`]

29. (답) 답｜⑴ [eqn: 3]  ⑵ [eqn: 16pi]

(해설)

⑴ [eqn: rm △ABO]에서 [eqn: h= sqrt{5^2 -4^2} =sqrt9 =3]

⑵ [eqn: V = 1over3 × pi × 4^2 × 3=16pi]

30. (답) [eqn: r], [eqn: pi r^2]

(해설)

[eqn: h= sqrt {l ^{2} -r ^{2}}]

[eqn: V= {1} over {3} TIMES LEFT ( 밑넓이 RIGHT ) TIMES LEFT ( 높이 RIGHT ) = {1} over {3} TIMES pi r ^{2} TIMES h]

31. (답) ①

(해설)

[eqn: (높이)= sqrt {10 ^2 -8 ^2 } =6(rmcm)]

[eqn: (부피)= { 1} over { 3} ×(밑넓이) ×(높이)]

[eqn: = { 1} over {3 } ×(π×8×8)×6 = 128π](cm³)

32. (답) ②

(해설)

(높이)[eqn: =sqrt{13^2 - 5^2 }=12](cm)

(부피)[eqn: = 1over3 times pi times 5^2 times 12 = 100 pi](cm³)

33. (답) [eqn: { `64 SQRT { 3} } over {3 } pi rm cm³]

(해설)

원뿔의 밑면의 반지름을 [eqn: r]이라 놓으면

[eqn: 2 TIMES 8 TIMES pi TIMES { 180° } over { 360° } = 2 TIMES r TIMES pi]

[eqn: THEREFORE ~ r = 4 LEFT ( rm cm RIGHT )]

[eqn: LEFT ( 원뿔의~높이 RIGHT ) = SQRT { 8^2 - 4^2 } = `4 SQRT {3 }]

[eqn: THEREFORE ~ LEFT ( 원뿔의~부피 RIGHT ) = { 1} over { 3} TIMES 4^2 TIMES pi TIMES `4 SQRT {3 }]

[eqn: = { `64 SQRT {3 } } over {3 } pi LEFT ( rm cm³ RIGHT )]

34. (답) ②

(해설)

(높이)[eqn: = SQRT { 7^2 -5^2} = 2 SQRT { 6}]

[eqn: THEREFORE `](원뿔의 부피)[eqn: = 1over3 times5^2 `times`pitimes`2 SQRT { 6}]

[eqn: = {50 SQRT { 6}}over3 pi`` (rm cm³ )]

35. (답) ①

(해설)

원뿔의 높이를 [eqn: h` \cm`]라 하면

[eqn: h = SQRT { 13^2 - 5^2} = SQRT { 169-25 } = 12( \cm)`]

따라서, 원뿔의 부피 [eqn: V`]는

[eqn: V = 1 over 3 times 5^2 pi times 12 = 100 pi` ( \cm³ )`]

36. (답) ①

(해설)

옆넓이[eqn: = 1over2 times 15 times 24 pi - 1over2 times 10 times 16 pi]

[eqn: = 180 pi - 80 pi = 100 pi]

37. (답) 밑면인 원의 둘레의 길이

(해설)

원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같다.

38. (답) 밑면인 원의 둘레의 길이

(해설)

원뿔의 전개도에서 부채꼴의 호의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같다.

39. (답) [eqn: SQRT { 95} rm cm]

(해설)

밑면의 반지름의 길이를 [eqn: r] 이라 놓으면

[eqn: 2 TIMES 12 TIMES pi TIMES { 210° } over {360° } = 2 TIMES r TIMES pi]

[eqn: THEREFORE~ r = 7]

[eqn: THEREFORE LEFT ( 원뿔의~높이) = SQRT { 12^2 - 7^2 } = SQRT { 95} LEFT (rm cm )]

40. (답) [eqn: 3 SQRT { 5}rm cm]

(해설)

밑면의 반지름의 길이를 [eqn: r`]이라 하면

[eqn: 2times9timespitimes 240° over360° = 2timesr timespi]

[eqn: r = 6(rm cm)]

[eqn: THEREFORE ~](높이)[eqn: = SQRT { 9^2 -6^2} = 3 SQRT { 5}(rm cm)]

41. (답) ④

(해설)

[eqn: rm bar OA it=a](cm)라 하면 [eqn: 2pi a × 120ﾟ over 360ﾟ =2pi ×2]

[eqn: THEREFORE~a=6](cm)

(원뿔의 높이)[eqn: =sqrt {6^2 -2^2 }=4sqrt {2}](cm)

[eqn: THEREFORE~](원뿔의 부피)[eqn: = {1} over {3} TIMES pi TIMES 2 ^2 TIMES 4 sqrt {2}]

[eqn: = {16 sqrt {2}} over {3} pi](cm³)

42. (답) ③

(해설)

[eqn: rm bar OB it = sqrt {(4 sqrt {2} ) ^2 +2 ^2 } =6](cm)

부채꼴의 중심각의 크기를 [eqn: a]라 하면

[eqn: 2pi×6× a over 360ﾟ = 2pi×2]   [eqn: THEREFORE~a=120]ﾟ

43. (답) ⑤

(해설)

원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 [eqn: r]cm라 하면

[eqn: 2pi×8× 270ﾟ over 360ﾟ =2pir]   [eqn: THEREFORE~r=6](cm)

(원뿔의 겉넓이)[eqn: =pi×8^2 × 270ﾟ over 360ﾟ +pi×6^2]

[eqn: =48pi+36pi=84pi](cm²)

(원뿔의 높이)[eqn: =sqrt {8^2 -6^2 }=2sqrt {7}](cm)

(원뿔의 부피)[eqn: = 1 over 3 ×pi×6^2 ×2sqrt {7}=24sqrt {7}pi](cm³)

44. (답) ③

(해설)

다음 그림과 같은 전개도에서 선분 [eqn: \AG]의 길이가 최단 거리이므로

[eqn: sqrt{ 5^2 + 7^2} = sqrt74](cm)

45. (답) ⑴ [eqn: sqrt106]cm ⑵ [eqn: sqrt130]cm

(해설)

⑴ 모서리 [eqn: \CG]를 지날 때의 최단 거리는 다음 그림과 같고, 전개도에서 [eqn: rm bar BH]의 길이와 같다.

∴ [eqn: rm bar BH = sqrt{ 9^2 + 5^2 }]

[eqn: = sqrt81+25 = sqrt106](cm)

⑵ 모서리 [eqn: \CD]를 지날 때의 최단 거리는 다음 그림과 같고, 전개도에서 [eqn: rm bar BH]의 길이와 같다.

∴ [eqn: rm bar BH = sqrt{ 11^2 + 3^2 }= sqrt121+9]

[eqn: = sqrt130](cm)

46. (답) [eqn: 3 sqrt2]cm

(해설)

점 [eqn: \A]에서 점 [eqn: \G]까지의 최단 거리는 다음 전개도에서 [eqn: rm bar AG]의 길이와 같고, [eqn: rm bar AF = 2 + 1 = 3](cm)

이므로 [eqn: rm △AFG]에서

[eqn: rm bar AG = sqrt{ 3^2 + 3^2} = 3sqrt2](cm)

47. (답) ③

(해설)

꼭짓점[eqn: rmA]에서 모서리[eqn: rmBC]를 지나 꼭짓점[eqn: rmG]까지 잇는 최단거리는 다음 그림에서[eqn: rmbar AG]의 길이와 같다.

[eqn: THEREFORE~][eqn: rmbar AG = SQRT { bar AF `^2 +bar FG `^2 }]

[eqn: rm = SQRT {12^2 +5^2 }]

[eqn: = SQRT {169}][eqn: rm = 13(cm)]

48. (답) ③

(해설)

위의 그림과 같이 두 점 [eqn: rmH]와 [eqn: rmB]를 연결한 선분 [eqn: rmHB]의 길이가 최단거리이다.

[eqn: THEREFORE~][eqn: rmbar HB = SQRT {5^2 +12^2 } = 13(cm)]

49. (답) ①

(해설)

주어진 조건을 만족하며 점[eqn: rmA]에서[eqn: rmC]에 이르는 최단거리는 다음과 같다.

[eqn: rmbar AC = SQRT {5^2 +(3+4+3)^2` }]

[eqn: = root125 = 5SQRT {5}rm(cm)]

50. (답) [eqn: sqrt 89 `]cm

(해설)

구하는 최단거리는 다음 세 가지의 경우 중 한 가지이다.

ⅰ)

∴ [eqn: rm bar AG = sqrt {(4+5)^2 +4^2 }= sqrt {9^2 +4^2 }]

[eqn: =sqrt 97 rm(cm)]

ⅱ)

∴ [eqn: rm bar AG = sqrt {(4+5)^2 +4^2 }= sqrt{ 9^2 +4^2}]

[eqn: =sqrt 97 rm(cm)]

ⅲ)

∴ [eqn: rm bar AG = sqrt {(4+4)^2 +5^2 }= sqrt {8^2 +5^2 }]

[eqn: =sqrt 89 rm(cm)]

따라서, 최단거리는 [eqn: sqrt89 rm cm]이다.

51. (답) ㉢, ㉡, ㉠

(해설)

㉠ [eqn: sqrt {4^2 + (7+5)^2 } = sqrt {160} = 4sqrt {10}]

㉡ [eqn: sqrt {5^2 + (7+4)^2 } = sqrt {146}]

㉢ [eqn: sqrt {7^2 + (5+4)^2 } = sqrt {130}]

52. (답) [eqn: root 41]

(해설)

(i) 변[eqn: rm BC]를 지날 때, [eqn: triangle rm AGF]는 직각삼각형이므로 [eqn: rm bar AG`^2 = bar AF`^2 + bar FG`^2]

[eqn: rm bar AG = root { ( 2 + 3 )^2 + 4^2 } = root 41]

A

B

C

D

4

F

G

3

2

(ii) 변[eqn: rm BF]를 지날 때, [eqn: triangle rm ACG]는 직각삼각형이므로 [eqn: rm bar AG`^2 = bar AC`^2 + bar CG`^2]

[eqn: rm bar AG = root { ( 2 + 4 )^2 + 3^2 } = root 45 = 3 root 5]

A

B

C

E

4

F

G

3

2

(iii) 변[eqn: rm CD]를 지날 때 [eqn: triangle rm AHG]는 직각삼각형이므로 [eqn: rm bar AG`^2 = bar AH`^2 + bar GH`^2]

[eqn: rm bar AG = root { ( 3 + 4 )^2 + 2^2 } = root 53]

A

D

C

B

4

H

G

3

2

따라서 최솟값은 [eqn: root 41]이다.

53. (답) ①

(해설)

부채꼴의 호의 길이가 [eqn: 2 × pi × 1 = 2pi](cm)

이므로 부채꼴의 중심각의 크기는

[eqn: 360ﾟ × 2pi over 12pi = 60ﾟ]

이므로 다음 전개도에서 선분 [eqn: \AA']의 길이가 최단 거리이므로 [eqn: 6]cm이다.

54. (답) [eqn: 10pi]

(해설)

[eqn: rm barAA' = 2 pi ×3 = 6 pi]

[eqn: rmbar AB' = sqrt{( 6 pi )^2 +(8 pi )^2 }= 10 pi]

55. (답) [eqn: 6 sqrt 3]

(해설)

모선의 길이를 [eqn: l], 밑면의 반지름을 [eqn: r]이라고 할 때,

[eqn: r=l×{x} over {360°}]이므로 전개도에서 옆면을 이루는 호의 중심각의 크기는 [eqn: 120°]이다.

삼각형 [eqn: rm OAB]는 [eqn: rm barOA =rm barOB =6]이고,

[eqn: rm angle AOB=120°]인 이등변삼각형이므로 점[eqn: rmO]에서

[eqn: rm bar AB]에 수선을 그어 교점을 [eqn: rm H]라 하면 [eqn: rm triangle OAH]가

직각삼각형이고, [eqn: rm angle OAH=30°]이므로

[eqn: rm barOH =6×{1} over {2}=3]

[eqn: rm barAH =6×{sqrt3 } over {2}=3sqrt3]

[eqn: ∴~rm barAB =2×rm barAH =6sqrt3]

56. (답) [eqn: 2 rm cm]

(해설)

원기둥의 옆면의 전개도는 직사각형으로 나타나고, 이 직사각형의 가로 길이는 밑면의 원둘레와 같으므로 [eqn: 2pix], 세로 길이는 [eqn: pix]이다.

[eqn: 2sqrt5 pi=sqrt{(2pix)^2 +(pix)^2 } =sqrt5 pix]

∴ [eqn: x=2rm(cm)]

57. (답) ⑤

(해설)

위의 그림과 같이 옆면의 전개도에서 [eqn: rmbar AA']의 길이가 가장 짧은 선의 길이가 된다.

밑면인 원의 둘레의 길이가 [eqn: 2pi TIMES 3 = 6pi][eqn: rm(cm)]이므로 옆면인 부채꼴의 중심각의 크기를 [eqn: x°]라 하면 부채꼴의 호의 길이는

[eqn: 2pi TIMES 12 TIMES {x} over {360} = 6pi]   [eqn: therefore~][eqn: anglex = 90°]

따라서 [eqn: rm triangle OAA prime]은 직각이등변삼각형이다.

즉, [eqn: rmbar OA ： bar AA' = 1 ： SQRT {2}]이므로

[eqn: rm12 ： bar AA prime = 1 ： SQRT {2}]

∴[eqn: rmbar AA prime = 12SQRT {2}][eqn: rm(cm)]

58. (답) [eqn: 5 sqrt 13]cm

(해설)

옆면의 부채꼴의 중심각의 크기를 [eqn: x`]라 하면

[eqn: 2pi times5=2pi times15times x over 360°]   [eqn: therefore~ x=120°]

전개도의 점[eqn: rm D]에서 [eqn: rm bar AB]의 연장선 위에 내린 수선의 발을[eqn: rm H]라고 하면

[eqn: rm triangle ADH]에서[eqn: rm angle DAH=60°],[eqn: rm bar AD =5(cm)]이므로

[eqn: rm bar AH = 1 over 2 times bar AD = 5 over 2 (cm)]

[eqn: rm bar DH = sqrt3 over 2 times bar AD = {5sqrt3 }over 2 (cm)]

[eqn: rm triangle BDH]에서 구하는 최단거리는

[eqn: rm bar BD = sqrt {left( 15+ 5over 2 right)^2 +left( {5sqrt3} over 2 right)^2} =5sqrt13 (cm)]

59. (답) ③

(해설)

∴ [eqn: rmbar BM = 6sqrt {3}]

60. (답) [eqn: 3 root 5]

(해설)

A

B

C

D

E'(E)

F

A'(A)

E

[eqn: 3 pi`]cm

[eqn: rm bar {A prime C} = 3 over 4 times](밑면인 원의 둘레)

[eqn: = 3 over 4 times 2 times pi times 4`][eqn: = 6 π `](cm)

[eqn: therefore ~][eqn: rm bar CE'](의 최단거리)[eqn: = root { ( 3 π ) ^2 + ( 6 π ) ^2 }]

[eqn: = root {45 π ^2}][eqn: = 3 root 5 π rm ( cm )]