수 리 영 역

이항분포

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수 리 영 역

이항분포

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 통계 (이항분포)

성명			수험번호

16

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: rm B` LEFT ( 100,``` {1} over {5} RIGHT )]을 따를 때, 확률변수 [eqn: 3X-4`]의 표준편차는?

①

이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 100,``` {1} over {5} RIGHT )]을 따르는 확률변수 [eqn: X]의 표준편차는
[eqn: sigma (X)=][eqn: root{100× 1over5 × 4 over 5} = 20 over 5 = 4]

[eqn: THEREFORE ```sigma (3X-4)=3 sigma (X)=12]

[3점][2006년 수능]

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

한 개의 주사위를 [eqn: 20]번 던질 때 1의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라 하고, 한 개의 동전을 [eqn: n`]번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: Y`]라 하자. [eqn: Y`]의 분산이 [eqn: X`]의 분산보다 크게 되도록 하는 [eqn: n`]의 최소값을 구하시오.

[eqn: 12``]

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 20,``` {1} over {6} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: {\E}(X)=20×{ 1over6} ={10 over 3}]

[eqn: rm V it (X)=20 TIMES {1} over {6} TIMES {5} over {6} = {25} over {9} ``` CDOTS CDOTS ```㉠]

확률변수 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( n,``` {1} over {2} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm E it (Y`)= {n} over {2} ,`` rm V it (Y`)= {n} over {4} ``` CDOTS CDOTS ```㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: {n} over {4} GEQ {25} over {9}]  [eqn: THEREFORE ```n GEQ {100} over {9} =11. CDOTS]

따라서, [eqn: n]의 최소값은 [eqn: 12]이다.

[4점][2008년 수능]

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: {rmB}(200,```p)``]를 따르고 [eqn: X``]의 평균이 [eqn: 40``]일 때, [eqn: X``]의 분산은?

①

확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: rmB (200,``` it p)]를 따르고 [eqn: rm E it (X`)=40]이므로

[eqn: 200 times p =40]

[eqn: p= 1over5]이다.

따라서, [eqn: rm V it(X`)=200 times 1over5 times 4over5 =32]이다.

[2점][2012년 수능]

① [eqn: 32]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 34]	④ [eqn: 35]	⑤ [eqn: 36]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rmB(itn,```p)]를 따른다. 확률변수 [eqn: 2X-5]의 평균과 표준편차가 각각 [eqn: 175]와 [eqn: 12]일 때, [eqn: n]의 값은?

⑤

[eqn: rmB(itn,```p)]에서 [eqn: rmE( it X)=np], [eqn: rmV(itX)=np(1-p)],

[eqn: sigma(X)= sqrt {np(1-p)}]

[eqn: THEREFORE ```rmE(it2X-5)=2rmE(itX)-5][eqn: =2np-5=175]

[eqn: THEREFORE ```np=90``` CDOTS CDOTS ```㉠]

[eqn: sigma(2X-5)=2sigma(X)=2 sqrt {np(1-p)} =12``` CDOTS CDOTS ```㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: p= {3} over {5}]

[eqn: THEREFORE ```n=150]

[다른 풀이]

[eqn: rm E(it 2X-5)=175]에서

[eqn: 2 rm E(it X)-5=175], [eqn: 2 rm E(it X)=180]

[eqn: THEREFORE ``` rm E( it X)=90]

[eqn: rm V(it 2x-5)=12^2]에서 [eqn: 4{rmV}(X)=144]

[eqn: THEREFORE ``` rm V( it X)=36]

이때, 확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rm B(it n,~p)]를 따르므로

[eqn: np=90], [eqn: np(1-p)=36]

위의 두 식을 연립하여 풀면 [eqn: p= {3} over {5} ,```n=150]

[3점][2013년 수능]

① [eqn: 130]	② [eqn: 135]	③ [eqn: 140]

④ [eqn: 145]	⑤ [eqn: 150]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {`\ B} (9,~p)]를 따르고
[eqn: left{ {`\E}(X) right}^2 = {`\V } (X)] 일 때, [eqn: p]의 값은? (단, [eqn: 0<p<1])

④

[eqn: X]가 이항분포 [eqn: \B it(9, ``` p)]를 따르므로

[eqn: \ E it(X) = 9 cdot p], [eqn: \ V it(X) =9 cdot p cdot (1-p)]

[eqn: THEREFORE``` LEFT { 9 cdot p RIGHT }^2 = 9 cdot p cdot (1 - p)]에서

[eqn: 9p = 1- p] [eqn: (BECAUSE``` 0<p<1 )]

[eqn: THEREFORE``` p = { 1} over { 10}]

[3점][2014년 수능]

① [eqn: {1} over {13}]	② [eqn: {1} over {12}]	③ [eqn: {1} over {11}]	④ [eqn: {1} over {10}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rm B} LEFT ( n , `` 1 over3 RIGHT )]을 따르고 [eqn: {rmV}(3X)=40]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

20

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: B(`n``, {1} over {3} )]을 따르므로

[eqn: V(X)=n TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} = {2} over {9} n]

[eqn: THEREFORE V(3X)=9V(X)=9 TIMES {2} over {9} n=2n=40]

[eqn: THEREFORE n=20]

[3점][2015년 수능]

다음은 이항분포 [eqn: rm B( it n,```p)]를 이루는 확률변수 [eqn: it X`]에 대하여 [eqn: rm E( it X)= it np`]임을 증명한 것이다.

<증명>

[eqn: rm E( it X)= sum _{r=0} ^{n} ~ BOX{~(가)~} ``․` _{n} rm C it rm _{r} ``p ^{r} q ^{n-r} ``](단, [eqn: q=1-`p`])

[eqn: =1``․` _{n} rm C it rm _{1} `p`q ^{n-1} +`2``․` _{n} rm C it rm _{2} ``p ^{2} q ^{n-2} +` CDOTS]

[eqn: +`r ``․` _{n} {rm C} it _{r} ``p ^{r} q ^{n-r} +` CDOTS `+`n ``․` _{n} {rm C} it _{n} ``p ^{n} ``]에서

[eqn: r``․` _{n} rm C it _{r} =`r``․` {n!} over {(n-r`)!``r!} `=` {n!} over {(n-r`)!`(r-1`)!} `=` BOX{~(나)~}] 이므로

[eqn: n ``․` _{n-1} {rm C} {it _{0} ``pq ^{n-1} }+`n ``․` _{n-1} {rm C} {it _{1} ``p ^{2} q ^{n-2}} +` CDOTS ``]                                  [eqn: +`n ``․` _{n-1} rm C it rm _{r-1} ``p ^{r} q ^{n-r} +` CDOTS `+n ``․` _{n-1} rm C it rm _{n-1} ``p ^{n} ``]

[eqn: =] [eqn: `` BOX{`(다)~} ```` LEFT ( `` _{n-1} rm C it rm _{0} ``q ^{n-1} + _{n-1} rm C it rm _{1} ``pq ^{n-2} +` CDOTS `` RIGHT .]

[eqn: LEFT . + _{n-1} {rm C} it rm _{r-1} p ^{r-1} q ^{n-r} +` CDOTS `+` _{n-1} {rm C} it rm _{n-1} p ^{n-1} `` RIGHT )]

[eqn: =np(`q``+p`) ^{n-1} =np]

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

⑤

[eqn: rm E it (X``)= sum _{r=0} ^{n} `` LEFT ( ```r``` RIGHT ) ~․` _{n} rm `C it _{r} p ^{r} q ^{n-r} ``] --- (가)

[eqn: r```․ {n!} over {(n-r)!r!} = {n!} over {(n-r)!(r-1)!} ``][eqn: =n``․ {(n-1`)!} over {(n-r)!(r-1)!} ``]

[eqn: =``] --- (나)

[eqn: n``․ _{n-1} {\C} _{r-1}]

(다)

[eqn: =np``]

[3점][2005년 3월]

(가)         (나)              (다)

①	[eqn: r]	[eqn: n ``․` _{n-1} {rm C} it _{r} ``]	[eqn: npq]

②	[eqn: r^2]	[eqn: n ``․` _{n} {rm C} it rm _{r-1} ``]	[eqn: np]

③	[eqn: r]	[eqn: (`n-1) ``․` _{n-1} {rm C} it _{r-1} ``]	[eqn: np]

④	[eqn: r^2]	[eqn: n ``․` _{n-1} {rm C} it _{r-1} ``]	[eqn: npq]

⑤	[eqn: r]	[eqn: n ``․` _{n-1} {rm C} it _{r-1} ``]	[eqn: np]

어떤 책을 임의로 펼쳤을 때, 그림이 나올 확률이 [eqn: {1} over {3}]이라고 한다. 이 책을 임의로 [eqn: 180]번 펼쳐 그림이 나오는 횟수를 [eqn: X] 라고 할 때, [eqn: X] 의 분산을 구하시오.

40

[eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 180, ``1 over 3 RIGHT )]를 따른다.

[eqn: rm V( it X)= 180 times {1} over {3} TIMES {2} over {3} =40]

[3점][2006년 4월]

9

16

이산확률변수 [eqn: X`]가 값 [eqn: x`]를 가질 확률이
[eqn: P it (X=x)`=` _{n} C _{} ```p ^{x} (1-p) ^{n-x}]
(단, [eqn: x=0,~1,~2,~ cdots ,~n `]이고 [eqn: 0`＜`p`＜`1`])
이다. [eqn: {rm E}(X) =1 , ``{rm V}(X) = 9 over 10 `]일 때, [eqn: {rm P}(X`＜2 )`]의 값은?

①

주어진 확률분포로부터 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: B``(n`,`p`)]를 따르므로  [eqn: E(X)=1`,``V(X)= {9} over {10}]에서

[eqn: np=1]    --------㉠

[eqn: np(1-p)= {9} over {10}]  -----㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 1-p= {9} over {10}]      [eqn: THEREFORE ``p= {1} over {10}]

이 값을 ㉠에 대입하면 [eqn: n=10]

따라서 구하는 확률은

[eqn: P`(X<2)`=`P(X=0)`+`P(X=1)]

[eqn: = _{10} C _{0} ` LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{10} + _{10} C _{1} LEFT ( {1} over {10} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{9}]

[eqn: = LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{9} LEFT ( {9} over {10} +10 BULLET {1} over {10} RIGHT )] [eqn: = {19} over {10} LEFT ( {9} over {10} RIGHT ) ^{9}]

[4점][2006년 9월]

① [eqn: {19} over {10} left( {9} over {10} right) ^9]	② [eqn: {17} over {9} `left( {8} over {9} right) ^8]     ③ [eqn: {15} over {8} left( {7} over {8}right) ^7]

④ [eqn: {13} over {7} left( {6} over {7} right) ^6]	⑤ [eqn: {11} over {6} left( {5} over {6} right) ^5]

정육면체 모양의 주사위를 [eqn: 90`]번 던져 [eqn: 3`]의 배수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라고 할 때, 확률변수 [eqn: X ^{2} `]의 평균 [eqn: rm E( it X ^{2} `)`]의 값을 구하시오.

920

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 90,`` {1} over {3} RIGHT )]을 따르므로

확률변수 [eqn: X]의 평균은 [eqn: rm E( itX`)`=90 TIMES {1} over {3} =30`]이고

분산은 [eqn: rm V( itX)=90 TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} =20`]이다.

[eqn: rm V( itX)= rm E( itX ^{2} )- LEFT { rm E( itX) RIGHT } ^{2} `]에서 [eqn: rm E( itX ^{2} `)`=920`]이다.

[3점][2006년 10월]

동전 [eqn: 2`]개를 [eqn: 100`]번 던질 때, 모두 앞면이 나올 횟수를 [eqn: X`]라 하자. [eqn: Y=2X+3`]일 때, [eqn: E(Y``)`]의 값을 구하시오.

53

동전 [eqn: 2`]개 모두 앞면이 나올 확률이 [eqn: 1 over 4`]이므로 확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: B`` left(100, ```1 over 4 right)]을 따른다. [eqn: E(X) = 100 TIMES 1 over 4 = 25`]

[eqn: E(Y) = E( 2X + 3 ) = 2 E(X) + 3 = 53]

[[eqn: 3`]점][2007년 7월]

확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rm B` it LEFT (` n,`` {1} over {2} RIGHT )``]을 따른다.
[eqn: rm P it (X=2)= 10`rm P it (X=1)``]이 성립할 때, [eqn: n``]의 값을 구하시오.

21

[eqn: `_n {rmC }_2 LEFT ( 1over2 RIGHT )^10 =10 `_n{rmC}_1 LEFT ( 1over2 RIGHT )^10], [eqn: {n(n-1)}over2 =10n] 이므로 [eqn: n=21]

[3점][2007년 10월]

이항분포 [eqn: {rm B`} left(`n`, ``~{1} over {3} right)`]을 따르는 확률변수 [eqn: X`]의 분산이 [eqn: 20`]일 때, 자연수 [eqn: n``]의 값은?

③

[eqn: V(X)=n TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} =20]

∴ [eqn: n=90]

[2점][2008년 3월]

① [eqn: 30]	② [eqn: 60`]	③ [eqn: 90]	④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 150]

한 개의 주사위를 [eqn: 10`]번 던질 때, 홀수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. 확률변수 [eqn: Y``]를 [eqn: Y=10-X``]라 할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: {rm P}(Y=k)= {rm P}(X=10-k)]이므로
[eqn: {rm P}(5<=Y<=7)= {rm P}(3<=X<=5)] (참)

ㄴ. 확률변수 [eqn: X`]는 이항분포 [eqn: \ B left( 10,`` 1over2 right) `]을 따르므로
[eqn: {rmE}(X)= 1over 2 cdot 10 = 5]
[eqn: Y= 10-X`]에서
[eqn: {rmE}(Y)= {rmE}(10-X) = 10 -{rm E}(X) = 5`]
∴ [eqn: {rmE}(Y)={rmE}(X)] (참)

ㄷ. [eqn: Y= 10-X`]에서
[eqn: {rmV}(Y)= {rmV}(10-X) = {rmV}(X)`]
∴ [eqn: {rmV}(Y)= {rmV}(X)`] (거짓)

[4점][2008년 3월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: rm P` it (`5 <= Y <= `7)= rm P` it (`3 <= X <= `5)] ㄴ. [eqn: Y``]의 평균은 [eqn: X``]의 평균과 같다. ㄷ. [eqn: Y``]의 분산은 [eqn: X``]의 분산보다 크다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수 [eqn: a`]에 대하여 직선 [eqn: y=ax`]와 곡선 [eqn: y=x^2 - 2x +4]가 서로 다른 두 점에서 만나는 사건을 [eqn: A`]라 하자. 한 개의 주사위를 [eqn: 300]회 던지는 독립시행에서 사건 [eqn: A`]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X`]라 할 때, [eqn: X`]의 평균 [eqn: \E(X`)]는?

④

직선 [eqn: y=ax]와 곡선 [eqn: y=x^2 -2x+4]가 서로 다른 두 점에서 만나려면 이차방정식 [eqn: x^2 -2x+4=ax] 즉, [eqn: x^2 -(a+2)x+4=0] 의 판별식 [eqn: D]가 0보다 커야 한다.

[eqn: D=(a+2)^2 -16=a^2 +4a-12]

[eqn: =(a+6)(a-2)>0]

∴ [eqn: a>2] (∵ [eqn: a+6>0])

∴ [eqn: a=3,4,5,6]

따라서 사건 [eqn: A]가 일어날 확률은[eqn: 4over6 = 2over3]

이므로 확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: \B left( 300,~ 2over 3 right)]을 따른다.

∴ [eqn: E(X)=300times 2over 3 = 200]

[4점][2008년 9월]

① [eqn: 100]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 180]	④ [eqn: 200]	⑤ [eqn: 240]

한 번의 시행에서 일어날 확률이 [eqn: {1} over {4}]인 사건 [eqn: rm A]가 있다. [eqn: 80]번의 독립시행에서 사건 [eqn: rm A]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X] 라 할 때, [eqn: X ^{2}]의 평균 [eqn: rm E LEFT ( it X^2 RIGHT )]을 구하시오.

415

확률변수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 80,` {1} over {4} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm E( it X)=80 TIMES {1} over {4} =20], [eqn: rm V( it X)=80 TIMES {1} over {4} TIMES {3} over {4} =15]

[eqn: rm E( it X ^{2} )=][eqn: rm V( it X)+ LEFT {rm{E}(it X) RIGHT }^2 = 15+400=415]

[3점][2008년 4월]

확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: {rmB}`(`3`,``p`)`]를 따르고 확률변수 [eqn: Y``]는 이항분포 [eqn: rmB(`4`,``2it p`)`]를 따른다고 한다.
이때, [eqn: 10`rmP(itX=3)=rmP(it Y >= 3)`]을 만족시키는 양수 [eqn: p`]의 값은 [eqn: {n} over {m}`]이다. [eqn: m+n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m`], [eqn: n`]은 서로소인 자연수이다.)

35

[eqn: 10 rm P it(X=3)=10p ^{3} ``], [eqn: rmP it(Y >= 3)][eqn: =16p ^{3} (2-3p)]이므로

[eqn: 10p ^{3} =16p ^{3} (2-3p)] 즉, [eqn: 10=16(2-3p)]이다.

따라서 [eqn: p= {11} over {24} ``]이므로  [eqn: m+n=35``]이다.

[3점][2008년 10월]

어느 창고에 부품 [eqn: S]가 [eqn: 3]개, 부품 [eqn: T]가 [eqn: 2]개 있는 상태에서 부품 [eqn: 2]개를 추가로 들여왔다. 추가된 부품은 [eqn: S] 또는 [eqn: T]이고, 추가된 부품 중 [eqn: S]의 개수는 이항분포 [eqn: B left ( 2,~`1over2`right )]을 따른다. 이 [eqn: 7]개의 부품 중 임의로 [eqn: 1]개를 선택한 것이 [eqn: T]일 때, 추가된 부품이 모두 [eqn: S]였을 확률은?

①

추가된 부품 중 [eqn: S]의 개수를 [eqn: x]라고 하면 [eqn: B` LEFT ( 2,~ {1} over {2} RIGHT )]을 따르므로
[eqn: P `{LEFT ( x=0 RIGHT )} = _{2} C _{0} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} =` {1} over {4}]
[eqn: P `{LEFT ( x=1 RIGHT )} = _{2} C _{1} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1}] [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {1} over {2}]
[eqn: P `{LEFT ( x=2 RIGHT )} = _{2} C _{2} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {1} over {4}]
[eqn: 7]개의 부품 중 임의로 [eqn: 1]개를 선택한 것이 [eqn: T``]인 사건을 [eqn: A]라 하고 추가된 부품이 모두 [eqn: S``]인 사건을 [eqn: B]라고 하면 구하고자 하는 확률을 [eqn: P` LEFT ( B`|A RIGHT ) = {P` LEFT ( A`cap`B RIGHT )} over {P LEFT ( A RIGHT )} = {{1} over {4} ` TIMES {2} over {7}} over {{1} over {4} ` TIMES {4} over {7} + {1} over {2} ` TIMES {3} over {7} + {1} over {4} TIMES {2} over {7}} `= {1} over {6}]

[4점][2009년 6월]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 1over3]	④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 3over4]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: B(10, ``p)]를 따르고,
[eqn: P(X=4 ) = 1over 3 P(X=5)]
일 때, [eqn: E(7X)]의 값을 구하시오.(단, [eqn: 0<p<1])

[eqn: 50``]

[eqn: P(X=r)= _n C_ r p^r q^n-r (단, q= 1-p)]이므로

[eqn: P(X=4)= 1over3 P(X=5)]

[eqn: therefore _10 C_4 p^4 q^6 = {1over3} times _10 C_5 p^5 q^5]을 정리하면 [eqn: p= 5 over7]

[eqn: therefore B(10 , 5over7 )]에서 [eqn: E(7X)=7E(X)=7 times 50over7 = 50]

[3점][2009년 9월]

여섯 면에 [eqn: 1`]부터 [eqn: 6`]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 주사위가 있다. 이 주사위를 [eqn: 100`]번 반복하여 던질 때, [eqn: 3`]의 배수가 [eqn: k`]번 나올 확률을 [eqn: {\P`}(`k)`]라 하자.
[eqn: sum _{k``=1} ^{50} LEFT { rm P` it (`2`k-1)- rm P` it (`2`k) RIGHT } `]의 값은?

②

[eqn: rmP(itk) = `_100` rmC_{`itk} it LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^{`k} LEFT ( 2over 3 RIGHT ) ^{`100-k}][eqn: (k`=`0,`1,`2,`cdots,`100)]

[eqn: sum _{k=1} ^{50} LEFT { {\P}(2`k-1)-{\P}(2`k) RIGHT }]

[eqn: = rm LEFT { P(1)-P(2) RIGHT }+LEFT { P(3) -P(4)RIGHT } + `` CDOTS ``+LEFT { P(99) -P(100)RIGHT }]

[eqn: =` _{100} ` rm C _{` it 1 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{99} -` _{100} ` rm C _{` it 2 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{98} +` _{100} ` rm C _{` it 3 rm} it LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{97}]

[eqn: -`cdots`+ `_100 `rmC_{`it99}` it LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^99 LEFT ( 2over 3 RIGHT ) ``- `_100` rmC_{`100} it ``LEFT ( 1over3 RIGHT ) ^100]

[eqn: =`- LEFT ( 1over 3 - 2 over 3 RIGHT )^100 + LEFT ( 2 over3 RIGHT ) ^100 = LEFT ( 2over 3 RIGHT )^100 -LEFT ( 1over 3 RIGHT )^100]

[4점][2010년 3월]

① [eqn: left( 1over3 right)^100]	② [eqn: left( 2over3 right)^100 -`left( 1over3 right)^100]	③ [eqn: left( 1over3 right)^100 -`left( 2over3 right)^100]

④ [eqn: left( 2over3 right)^50 -left( 1over3 right)^50]	⑤ [eqn: left( 1over3 right)^50 -`left( 2over3 right)^50]

확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: {rmB}`(`25`,```p`)]를 따르고
[eqn: rm P it (X=2)`=`48{rmP}(X=1)]이다. 확률변수 [eqn: X `]에 대하여 [eqn: X^2 `]의 평균을 구하시오. (단, [eqn: p!=0])

[eqn: 404]

이항분포를 따르는 확률변수[eqn: X```]의 확률질량함수는

[eqn: rm P it (X``=x)=` _{n} ` rm C` it ` _{x} ```p ^{`x} ``(1-p) ^{n-x} ``]

[eqn: rm P it (X=2) it `=48`TIMES rm `P it (X=1)]

[eqn: {} _{25} rm C it rm _{2} ``p ^{2} `(1-p) ^{23} ```=`48` TIMES _{25} rm C it rm _{1} ``p``(1-p) ^{24} `]

[eqn: p``=`` {4} over {5} ``]

[eqn: rm E` it (X)={np}=20``], [eqn: rm V it (X`)={np(1-p)}=4``]이므로

[eqn: rm V` it (X`)= rm E it (X` ^{2} )- LEFT { rm E` it (X) RIGHT } ^{2}]

[eqn: therefore`````][eqn: rm E` it (X ^{`2} `)=404]

[[eqn: 4`]점][2010년 7월]

두 사람 [eqn: A]와 [eqn: B]가 각각 주사위를 한 개씩 동시에 던지는 시행을 한다. 이 시행에서 나온 두 주사위의 눈의 수의 차가 [eqn: 3]보다 작으면 [eqn: A]가 [eqn: 1]점을 얻고, 그렇지 않으면 [eqn: B]가 [eqn: 1]점을 얻는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 15]회 반복할 때, [eqn: A]가 얻는 점수의 합의 기댓값과 [eqn: B]가 얻는 점수의 합의 기댓값의 차는?

③

두 주사위의 눈의 수의 차가 3보다 크거나 같은 경우는 모두 12가지이므로 1번의 시행에서  A가 점수를 얻을 확률은 [eqn: { 24} over { 36} = { 2} over { 3}] 이고 B가 점수를 얻을 확률은 [eqn: { 1} over { 3}] 이다.

따라서  15회 시행에서 A가 얻는 점수의 합을 확률변수 [eqn: X]라고 하면 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT ( ` 15, ` { 2} over {3 } RIGHT )]를 따른다.

[eqn: THEREFORE```E(X)=15 TIMES { 2} over {3 } =10]

한편 15회 시행에서 B가 얻는 점수의 합을

확률변수 [eqn: Y]라고 하면 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: B ``LEFT ( ` 15, ` {1} over {3 } RIGHT )]를 따르므로

[eqn: `E(Y)=15 TIMES { 1} over {3 } =5]

따라서 두 기댓값의 차는 5이다.

[4점][2010년 9월]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[eqn: 10``]이하의 음이 아닌 정수 [eqn: r``]에 대하여 함수 [eqn: f``]를

[eqn: f``(`r`)`=`` _{10} rm C _{it r rm} it ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10}]

이라 할 때, [eqn: 2 sum _{r=0} ^{10} ``r` ^{2} ``f``(`r`)`]의 값을 구하시오.

55

[eqn: 10``]이하의 음이 아닌 정수를 확률변수 [eqn: X``]라 하면

[eqn: f(`r`)=`` _{10} rm C _{it r rm} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{10} `=` rm P it `(X`=`r`)]이므로

확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: {\B}` LEFT ( 10`,``{1}over{2}` RIGHT )``]을 따른다.

[eqn: rm E it `(X``)`=`10` TIMES ` {1} over {2} `=`5``], [eqn: rm V it `(X``)`=`10` TIMES ` {1} over {2} ` TIMES ` {1} over {2} ``= {5} over {2}]

∴[eqn: 2 sum _{r=0} ^{10} `r ^{2} ``f``(r)` & =2 rm `E` LEFT ( it `X ^{`2} ` RIGHT ) `=2 LEFT [ rm `V it (X``)+ LEFT { rm E it (X``) RIGHT } ^{2} RIGHT ] `=55]

[4점][2010년 10월]

[eqn: 1`]부터 [eqn: 5`]까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 공 [eqn: 5`]개가 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 하나 꺼내어 적혀 있는 수를 확인하고 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 150`]번 반복할 때, 짝수가 적혀 있는 공이 나오는 횟수를 [eqn: X``]라 하자. 확률변수 [eqn: X``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

③

확률변수 [eqn: X``]는 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( 150,`` {2} over {5} RIGHT )]를 따른다.

ㄱ. [eqn: rm V it``(X``)=150 TIMES {2} over {5} TIMES LEFT ( 1- {2} over {5} RIGHT ) =36] (참)

ㄴ. [eqn: ` _{150} rm C it rm _{0} LEFT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{150}][eqn: >` _{150} rm C it rm _{150} LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{150}] (거짓)

ㄷ. 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 60,`` 6^2 RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm P it `(X` <= `51)`= rm P LEFT ( it Z <= -1.5 RIGHT )], [eqn: rm P it `(X` >= `72`)= rm P it LEFT ( Z >= 2 RIGHT )]

∴[eqn: rm P it `(X` <= `51)``>`][eqn: rm P it `(X` >= `72`)] (참)

[4점][2010년 10월]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: X``]의 분산은 [eqn: 36`]이다. ㄴ. [eqn: rm P it `(X`=`0)`<` rm P it `(X`=`150`)``] ㄷ. [eqn: rm P it `(X` <= `51)`>` rm P it `(X` >= `72`)``]

①　ㄱ	②　ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: {rmB}`LEFT ( 6,~ {2} over {3} RIGHT )]를 따를 때, [eqn: {rmV}`(-3X+2)]의 값은?

⑤

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rm B left( 6,`` 2over3 right)]를 따르므로

분산 [eqn: rm V(it X)]를 구하면

[eqn: rm V(it X)= 6 times 2over3 times left( 1- 2over3 right) = 4over3]

∴ [eqn: rm V(it -3X+2)= (-3)^2 rm V(it X)][eqn: = 9 times 4over3][eqn: =12]

[3점][2012년 9월]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: B`left(n,```1 over3 right)``]을 따르고 [eqn: E`(2X+5)=13``]일 때, [eqn: n``]의 값은?

③

문제에서 확률변수 X가 이항분포 [eqn: B LEFT ( n, {1} over {3} RIGHT )]을 따르므로

교과서에 있는 평균의 공식을 사용하여

[eqn: E(X)=np= {n} over {3}]...①

[eqn: V(X)=npq = {n}over{9}]...②  [이것은 사용되지 않았음]

문제에서 [eqn: E(2X+5)=13]을 주었으며

교과서에 있는 통계의 성질 [eqn: cases{E(aX+b)=aE(X)+b#V(aX+b)=a^{2}V(X)#sigma(aX+b)=|a|`sigma(X)}]에서

[eqn: E(2X+5)=13`⇔`2E(X)+5=13`⇔`E(X)=4]

①의 결과를 이용하면 [eqn: {n}over{3}=4]이므로

∴ [eqn: n=12]

[3점][2013년 9월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: {\B}left(n, ``1over7 right)]을 따르고, [eqn: X`]의 평균이 [eqn: 3`]일 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오.

[eqn: 21]

확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( n,~ {1} over {7} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: {\E}(X)= {n} over {7} =3]

∴ [eqn: n=21]

[3점][2013년 10월]

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같고, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =0] 이다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수 [eqn: m]에 대하여 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )]이 [eqn: 0]보다 큰 사건을 [eqn: A]라 하자. 한 개의 주사위를 [eqn: 15]회 던지는 독립시행에서 사건 [eqn: A]가 일어나는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 할 때, [eqn: E LEFT ( X RIGHT )]의 값은?

⑤

[eqn: A]사건이 일어나려면 [eqn: m]은 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이여야 하므로 [eqn: P LEFT ( A RIGHT ) = {2} over {6} = {1} over {3}]이다.

따라서 [eqn: X` SIM B LEFT ( 15,~ {1} over {3} RIGHT )]이므로 [eqn: E LEFT ( X RIGHT ) =15times {1} over {3} =5]

[3점][2014년 9월]

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

확률변수 [eqn: X`]가 이항분포 [eqn: rm B( it n,~ p)`]를 따르고 [eqn: rm E( it 3X`)=18`], [eqn: rm E( it 3X^{`2`})=120`]일 때, [eqn: n`]의 값을 구하시오.

[eqn: 18]

[출제의도] 이항분포를 이해하여 [eqn: n`]을 구한다.

[eqn: rm E( it3X` )][eqn: = 3 rm E( itX` )][eqn: = 18`]에서 [eqn: rm E( it X`)][eqn: = n`p][eqn: = 6`] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: rm E( it3X^{`2} ` )][eqn: = 3 rm E( itX^{`2} ` )][eqn: = 120 `]이므로 [eqn: rm E( itX^{`2} ` )][eqn: = 40 `]

[eqn: rm V( it X `)][eqn: = n`p`(1-p)][eqn: = rm E( it X^{`2} `) - left{ rm E( it X ) right}^{`2} `]에서

[eqn: 6 (1-p)][eqn: = 40- 6^{`2}][eqn: = 4`]이므로 [eqn: p`][eqn: = 1 over 3 `]

따라서 ㉠에 대입하면 [eqn: n][eqn: =18`]

[4점][2015년 10월]

[해설] 확통-(2)통계-(b)이항분포