수 리 영 역

중복조합

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수 리 영 역

중복조합

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 확률 (중복조합)

성명			수험번호

16

네 종류의 사탕 중에서 [eqn: 15`]개를 선택하려고 한다. 초콜릿사탕은 [eqn: 4`]개 이하, 박하사탕은 [eqn: 3`]개 이상, 딸기사탕은 [eqn: 2`]개 이상, 버터사탕은 [eqn: 1`]개 이상을 선택하는 경우의 수를 구하시오.

[eqn: 185`]

i) 초콜릿사탕 [eqn: 4`]개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 [eqn: 3`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 1`]개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 [eqn: 5`]개의 사탕을 추가로 택하면 된다.

이 때, 이 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 3`]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 5`]개를 뽑는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_3+5-1 C_5 = _7 C_2 = 21]

ii) 초콜릿사탕 [eqn: 3`]개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 [eqn: 3`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 1`]개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 [eqn: 6`]개의 사탕을 추가로 택하면 되므로 이 경우의 수는

[eqn: `_3+6-1 C_6 = _8 C_2 = 28]

iii) 초콜릿사탕 [eqn: 2`]개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 [eqn: 3`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 1`]개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 [eqn: 7`]개의 사탕을 추가로 택하면 되므로 이 경우의 수는 [eqn: `_3+7-1 C_7 = _9 C_2 = 36]

iv) 초콜릿사탕 [eqn: 1`]개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 [eqn: 3`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 1`]개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 [eqn: 8`]개의 사탕을 추가로 택하면 되므로 이 경우의 수는 [eqn: `_3+8-1 C_8 = _10 C_2 = 45]

v) 초콜릿사탕 0개를 택할 때,

박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕을 각각 [eqn: 3`]개, [eqn: 2`]개, [eqn: 1`]개씩 택한 후, 박하사탕, 딸기사탕, 버터사탕 중에서 중복을 허락하여 나머지 [eqn: 9`]개의 사탕을 추가로 택하면 되므로 이 경우의 수는 [eqn: `_3+9-1 C_9 = _11 C_2 = 55]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 21+28+36+45+55=185]

(단, 각 종류의 사탕은 [eqn: 15`]개 이상씩 있다.)

[4점][2006년 수능]

자연수 [eqn: r``]에 대하여 [eqn: `_3 {rmH}_r = _7 {rmC}_2``]일 때, [eqn: `_5 {rmH}_r``]의 값을 구하시오.

[eqn: 126]

[eqn: `_3 {rmH}_r =_r+2 {rmC}_r =_r+2{rmC}_2 =_7{rmC}_2]

[eqn: therefore```r=5]

[eqn: `_3{rmH}_r =_5 {rmH}_5 =_9{rmC}_5 =_9{rmC}_4 = {9cdot8cdot7cdot6}over{4cdot3cdot2cdot1}=126]

[3점][2012년 수능]

같은 종류의 주스 [eqn: 4]병, 같은 종류의 생수 [eqn: 2]병, 우유 [eqn: 1]병을 [eqn: 3]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, [eqn: 1]병도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.)

⑤

(ⅰ) 주스 [eqn: 4]병을 [eqn: 3]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는

[eqn: `_3+4-1 rm C_4 =_6 C_4 =_6 C_2][eqn: = 6×5 over 2 =15]

(ⅱ) 생수 [eqn: 2]병을 [eqn: 3]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는

[eqn: `_2+3-1 rm C_2 =_4 C_2 = 4×3 over 2 =6]

(ⅲ) 우유 [eqn: 1]병을 [eqn: 3]명에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3]이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 15×6×3=270]

[3점][2013년 수능]

① [eqn: 330]	② [eqn: 315]	③ [eqn: 300]

④ [eqn: 285]	⑤ [eqn: 270]

숫자 [eqn: 1,`2,`3,`4]에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택할 때, 숫자 [eqn: 4]가 한 개 이하가 되는 경우의 수는?

④

숫자 □ □ □ □ □의 개수를 각각 □□ □ □ □라 하자.

(ⅰ) 숫자 □가 택해지지 않은 경우

구하는 경우의 수는 □□ □ □ □ □ □를 만족

시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍

□□□ □ □ □□의 개수이므로

□H□ □ □C□ □ □C□ □ □□

(ⅱ) 숫자 □가 한 개 택해지는 경우

구하는 경우의 수는 □□ □ □ □ □ □를 만족

시키는 음이 아닌 정수의 순서쌍

□□□ □ □ □□의 개수이므로

□H□ □ □C□ □ □C□ □ □□

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

□□ □ □□ □ □□

[3점][2014년 수능]

① [eqn: 45]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 39]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 33]

흰색 탁구공 [eqn: 8]개와 주황색 탁구공 [eqn: 7]개를 [eqn: 3]명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 각 학생이 흰색 탁구공과 주황색 탁구공을 각각 한 개 이상 갖도록 나누어 주는 경우의 수는?

⑤

3명의 학생이 흰색 탁구공을 각각 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]개씩 받는다면

[eqn: x + y + z = 8(x ge 1, ```y ge 1 , ``` z ge 1]인 자연수)

[eqn: therefore ``` _3+5-1 \C_5 = _7 C_5 = 21]   …… ㉠

주황색 탁구공을 각각 [eqn: x prime], [eqn: y prime], [eqn: z prime]개씩 받는다면

[eqn: x prime + y prime + z prime = 7( x prime ge 1 , ``` y prime ge 1, ``` z prime ge 1]인 자연수)

[eqn: therefore ``` _3+4-1 \C_4 = _6 C_4 = 15]   …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 21 times 15 = 315]

[4점][2014년 수능]

① [eqn: 295]	② [eqn: 300]	③ [eqn: 305]	④ [eqn: 310]	⑤ [eqn: 315]

연립방정식
[eqn: cases{x+y+z +3w=14 _`#x+y+z+w =10 ^`]
을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w]의 모든 순서쌍 [eqn: (x, ``y, ``z, ``w)]의 개수는?

②

[eqn: x+y+z+3w=14``` CDOTS ``(ㄱ)]

[eqn: x+y+z+w=10````` CDOTS ``(ㄴ)]

(ㄱ)에서 (ㄴ)을 변끼리 빼면

[eqn: 2w=4````````````````` THEREFORE w=2]

(ㄴ)에서 [eqn: w=2]를 대입하여 정리하면 [eqn: x+y+z=8]

따라서, [eqn: x+y+z=8`]을 만족하는 음이 아닌 정수 [eqn: x`,``y`,``z``]의 순서쌍 [eqn: (`x`,``y`,``z``)]의 개수는 서로 다른 3개에서 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {} _{3+8-1} C _{8} ``=` _{10} `C _{2} `= {10 TIMES 9} over {2 TIMES 1} =45]

이때, [eqn: w`]는 항상 2이므로 순서쌍 [eqn: (`x`,``y`,``z`,``w`)]의 개수도 45이다

[4점][2015년 수능]

① [eqn: 40]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 50]	④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 60]

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, ``b, ``c)]의 개수를 구하시오.

220

[eqn: a TIMES b TIMES c``]가 홀수이므로, [eqn: a`,``b`,``c``]는 모두 홀수이다

이때, [eqn: a LEQ b LEQ c LEQ 20`]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`,``c``)]는

[eqn: 1`,``3`,``5`,`` CDOTS `,`19``]에서 중복을 허용하여 3개를 택하는 경우의 수와 같으므로

[eqn: {} _{10} H _{3} = _{12} C _{3} `= {12 TIMES 11 TIMES 10} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =220]

[4점][2015년 수능]

(가) [eqn: a times b times c]는 홀수이다.

(나) [eqn: a leb lec le20]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`], [eqn: e`]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d,```e)]의 개수는?

④

[출제의도]  중복조합을 이용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가?

[eqn: 0]인 것 [eqn: 2]개를 정하는 경우의 수는

[eqn: {} _{5} rmC _{2} = {5 TIMES 4} over {2 TIMES 1} =10]	[eqn: ······] ㉠

[eqn: a=b=0]일 때 [eqn: c+d+e=10]을 만족시키는 자연수 [eqn: c,~d,~e]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( c,~d,~e RIGHT )]의 개수는

[eqn: c=c'+1], [eqn: d=d'+1], [eqn: e=e'+1](단, [eqn: c',~d',~e']는 음이 아닌 정수)

라 하면

[eqn: LEFT ( c'+1 RIGHT ) + LEFT ( d'+1 RIGHT ) + LEFT ( e'+1 RIGHT ) =10]

[eqn: c'+d'+e'=7]

을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( c',~d',~e' RIGHT )]의 개수와 같으므로

[eqn: {} _{3+7-1} rmC _{7}][eqn: = _{9} rmC _{7} = _{9} C _{2}]
[eqn: = {9 TIMES 8} over {2 TIMES 1} =36]	[eqn: ······] ㉡

㉠, ㉡에서 구하고자 하는 순서쌍의 개수는

[eqn: 10 TIMES 36=360]

[4점][2016년 수능]

(가) [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`], [eqn: e`] 중에서 [eqn: 0`]의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(나) [eqn: a+b+c+d+e=10]

① [eqn: 240]	② [eqn: 280]	③ [eqn: 320]
④ [eqn: 360]	⑤ [eqn: 400]

세 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여
[eqn: 1 le |`a`| le|`b`| le|`c`| le 5]
를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c)]의 개수는?

③

[출제의도] 중복조합을 이용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가?

주어진 조건을 만족시키는 세 자연수 [eqn: LEFT | a RIGHT | ,~ LEFT | b RIGHT | ,~ LEFT | c RIGHT |]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( LEFT | a RIGHT | ,~ LEFT | b RIGHT | ,~ LEFT | c RIGHT | RIGHT )]의 개수는 [eqn: 5] 이하의 자연수 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

이때 [eqn: a,~b,~c`]는 각각 음의 정수와 양의 정수의 값을 가질 수 있으므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]의 개수는 [eqn: LEFT ( LEFT | a RIGHT | ,~ LEFT | b RIGHT | ,~ LEFT | c RIGHT | RIGHT )]의 개수의 [eqn: 2 ^{3}]배와 같다.

따라서 구하는 순서쌍의 개수는

[eqn: {} _{5} rmH _{3} TIMES 2 ^{3}][eqn: = _{5+3-1} rmC _{3} TIMES 8]
[eqn: = _{7} rmC _{3} TIMES 8]
[eqn: = {7 TIMES 6 TIMES 5} over {3 TIMES 2 TIMES 1} TIMES 8]
[eqn: =280]

[4점][2016년 수능]

① [eqn: 360]	② [eqn: 320]	③ [eqn: 280]	④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 200]

[eqn: 7001]의 각 자리의 숫자의 합은 [eqn: 8`]이 된다. 이때, 각 자리를 상자로 생각하면 [eqn: 7001]은 네 개의 상자에 그림과 같이 [eqn: 8`]개의 공을 넣는 것으로 생각할 수 있다.

이를 이용하여 [eqn: 0`]부터 [eqn: 9999`]까지의 정수 중에서 각 자리의 숫자의 합이 [eqn: 8]이 되는 정수의 개수를 구하면?

천의 자리

십의 자리

일의 자리

백의 자리

②

[eqn: 0]부터 [eqn: 9999]까지의 정수 중에서 각 자리의 숫자의 합이 [eqn: 8]이 되는 정수의 개수는 [eqn: 8]개의 공을 서로 다른 [eqn: 4]개의 상자에 넣는 방법의 수와 같다.

따라서 [eqn: 4]개의 서로 다른 것에서 중복을 허락하여 [eqn: 8]개를 택하는 조합의 수이므로

[eqn: ` _{4+8-1} rm C _{8} =` _{11} C _{8} =165]이다.

[4점][2005년 7월]

① [eqn: 162]	② [eqn: 165]	③ [eqn: 168]	④ [eqn: 171]	⑤ [eqn: 174]

평면 위에 평행한 두 직선 [eqn: l``], [eqn: m``]과 직선 [eqn: l``]위의 서로 다른 세 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`], [eqn: rm R``]가 있다. 직선 [eqn: l``]위의 세 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`], [eqn: rm R``]에서 각각 하나의 선분으로 직선 [eqn: m``]위의 점을 연결할 때, 세 선분이 교차하지 않는 경우의 수를 구하려고 한다.
예를 들어, 그림과 같이 직선 [eqn: m``] 위에 두 점이 있을 때, 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 4``](가지)이다.

직선 [eqn: m``]위에 [eqn: 10``]개의 점이 있을 때, 위와 같이 세 선분이 교차하지 않는 모든 경우의 수를 구하시오.

220

[eqn: 10``]개에서 [eqn: 3``]개를 중복해서 택하는 조합의 수와 같으므로 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: ` _{10+3-1} rm C it rm _{3} = _{12} rm C it rm _{3} =220``]

[4점][2005년 10월]

그림과 같이 서로 다른 [eqn: 3`]개의 상자에 같은 종류의 초콜릿 [eqn: 10`]개를 넣으려고 한다. 모든 상자에는 한 개 이상의 초콜릿을 넣는 방법의 수를 구하시오.

36

서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 7개를 뽑는 경우의 수와 같다.

∴ [eqn: {}_3+7-1 C_7 =_9 C_7 = _9 C_2 = 36]

[[eqn: 4`]점][2007년 7월]

[eqn: 1`]부터 [eqn: 10`]까지의 숫자가 각각 하나씩 적힌 [eqn: 10]개의 상자가 있다. 똑같은 구슬 [eqn: 3]개를 상자에 넣는 방법의 수를 구하시오. (단, 각 상자에 들어가는 구슬의 개수에는 제한이 없다.)

220

[eqn: rm `_10+3-1 C_3 =_12 C_3 =220``](가지)

[3점][2007년 10월]

사과 주스, 포도 주스, 감귤 주스 중에서 [eqn: 8]병을 선택하려고 한다. 사과 주스, 포도 주스, 감귤 주스를 각각 적어도 [eqn: 1]병 이상씩 선택하는 경우의 수는? (단, 각 종류의 주스는 [eqn: 8]병 이상씩 있다.)

③

선택하는 사과주스 , 포도주스, 감귤주스 병의 개수를 각각 [eqn: x,``y,``z]라 하면 각 종류의 주스는 적어도 한 병 이상씩 선택해야 하므로 [eqn: x`+`y`+`z =5]를 만족하는 정수

[eqn: x,``y,``z]를 구한다. 따라서 구하는 경우의 수는 3개에서 중복을 허락하여 5개를 뽑는 방법의 수이므로

[eqn: `_{3+5 -1} C_5 = `_7 C_5 = `_7 C_2 = { 7×6} over {2 } =21]

[3점][2008년 9월]

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]	④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

크기와 모양이 같은 검은 구슬 [eqn: 5`]개와 흰 구슬 [eqn: 2`]개를 서로 다른 세 상자에 모두 넣는 방법의 가짓수는? (단, 비어 있는 상자가 있을 수 있다.)

②

[eqn: {} _{3} RMH _{5} `TIMES`` _{3} RMH _{2} `=` _{7} RMC _{5} TIMES` _{4} RMC _{2} =126]

[[eqn: 3`]점][2010년 7월]

① [eqn: 125]	② [eqn: 126]	③ [eqn: 127]	④ [eqn: 128]	⑤ [eqn: 129]

방정식 [eqn: x+y+z`=`17``]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x`,`y`,`z``]에 대하여 순서쌍 [eqn: (x`,`y`,`z)``]의 개수를 구하시오.

171

서로 다른 세문자 [eqn: x,``y,``z]에서 중복을 허락하여 17개를 뽑는 조합의 수이므로

[eqn: {} _{3} H _{17} = _{19} C _{17} = _{19} C _{2} =171]

[3점][2011년 6월]

집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT } ``]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { 4,~5,~6,~7 RIGHT } ``]로의 함수 [eqn: f`]중 다음 조건을 만족하는 함수의 개수를 구하시오.

[eqn: 12]

가능한 [eqn: f` LEFT ( 1 RIGHT )]의 경우의 수는 [eqn: 2]가지이고,

공역 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]중에서 중복을 허용하여 [eqn: 2]개를 택한 다음 작거나 같은 것부터 차례로 [eqn: 3], [eqn: 4]에 대응시키는 경우의 수는 [eqn: ` _{3} {rm H} _{2} =6]

따라서 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 12]

[3점][2011년 7월]

	(가) [eqn: f(2)= 5] (나) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: i], [eqn: j]에 대하여 [eqn: i<j] 이면 [eqn: f(i) LEQ f(j)`]

[eqn: 4`]명의 학생에게 [eqn: 8`]자루의 연필 모두를 나누어 주는 방법 중에서 연필을 한 자루도 받지 못하는 학생이 생기는 경우의 수를 구하시오.(단, 연필은 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 130]

[eqn: rm {} _{4} H _{8} - _{4} H _{4}][eqn: = _{11} rm C _{3} - _{7} rm C _{3}][eqn: =165-35][eqn: =130]

[3점][2011년 10월]

축구공, 농구공, 배구공 중에서 [eqn: 4`]개의 공을 선택하는 방법의 수를 구하시오.(단, 각 종류의 공은 [eqn: 4`]개 이상씩 있고, 같은 종류의 공은 서로 구별하지 않는다.)

[eqn: 15]

[eqn: `_3+4-1 {rmC}_4 = ``_6 {rmC}_4 = `_6 {rmC}_2 = {6 times5} over 2 = 15`]

[3점][2011년 10월]

방정식 [eqn: x+y+z+w=4``]를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z,```w)``]의 개수를 구하시오.

[eqn: 35]

순서쌍 [eqn: (x,```y,```z,```w)``]의 개수는 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z], [eqn: w``]의 [eqn: 4``]개 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4``]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
[eqn: therefore```][eqn: `_4 H_4][eqn: =_4+4-1 C_4][eqn: =_7 C_4 = _7 C _3][eqn: = { 7 cdot6 cdot5} over { 3 cdot 2 cdot1}][eqn: = 35``](개)

[3점][2012년 6월]

방정식 [eqn: x`+`y`+`z`=`20`]을 만족시키는 양의 정수 중 짝수인 [eqn: x`,~y`,~z`]에 대하여 순서쌍 [eqn: LEFT ( x`,```y`,``z RIGHT )]의 개수를 구하시오.

36

[eqn: x`=`2l`,~y`=`2m`,~z`=`2n`] (단, [eqn: l`,`m`,`n`]은 자연수)라 하면, [eqn: l`+`m`+`n`=`10`]이 된다.

[eqn: {}_{3+7-1}rmC_7`= {}_9 C_7``=``36`]

[[eqn: 3]점][2012년 7월]

크기가 같은 정육면체 모양의 블록 [eqn: 12`]개를　모두 사용하여 쌓은 입체도형을 만들려고 한다. 이 도형을 위에서 내려다 본 모양이 <그림[eqn: `][eqn: 1`]>, 정면을 기준으로 오른쪽 옆에서　본 모양이 <그림[eqn: 2`]>와 같이 되도록 만들 수 있는 방법의 수를 구하시오. (단, 블록은 서로 구별하지 않는다.)

60

[eqn: 1]층에 [eqn: 6]개를 모두 쌓은 후 남은 [eqn: 6]개를 쌓는 방법은 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: 2]층 앞줄에 모두 [eqn: 1]개씩 쌓는 경우

[eqn: rm`_4 C_1 times _3 C_1 = 12]

ⅱ) [eqn: 2]층 앞줄 두 곳 중 한 곳에만 [eqn: 1]개를 쌓는 경우

뒷줄 네 곳 중 한 곳에 [eqn: 3]개를 쌓고 나머지 세 곳에 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 쌓으면 되므로

[eqn: rm` _{2} C _{1} TIMES _{4} C _{1} TIMES _{3} rm H _{2} =48]

따라서 [eqn: 12 + 48 =60]

[4점][2012년 10월]

<그림[eqn: 1`]>                   <그림[eqn: 2`]>

반지름의 길이가 서로 다른 여섯 종류의 원판이 각각 [eqn: 3]개씩 [eqn: 18`]개가 있다. 원판을 다음과 같은 규칙으로 쌓으려고 한다.

56

쌓는 순서가 정해져 있으므로 세 개의 원판을 택하면 쌓는 방법은 한가지로 정해진다. 그러므로 구하는 방법의 수는 서로 다른 [eqn: 6`]개에서 [eqn: 3`]개를 택하는 중복조합의 수이므로 [eqn: rm{}_6+3-1 C_3 ={}_8 C_3 `][eqn: =56`]

(가) 원판 [eqn: 3`]개를 택하여 원판의 중심이 일치하도록 쌓는다.

(나) 반지름의 길이가 작은 원판은 반지름의 길이가 큰 원판 위에 쌓는다.

(다) 반지름의 길이가 같은 원판은 구별하지 않으면서 쌓는다.

그림은 반지름의 길이가 같은 두 개의 원판과 반지름의 길이가 작은 한 개의 원판을 규칙에 따라 쌓은 예이다.

이와 같이 쌓는 방법의 수를 구하시오.

[4점][2012년 10월]

고구마피자, 새우피자, 불고기피자 중에서 [eqn: m``]개를 주문하는 경우의 수가 [eqn: 36``]일 때, 고구마피자, 새우피자, 불고기피자를 적어도 하나씩 포함하여 [eqn: m``]개를 주문하는 경우의 수는?

②

서로 다른 3종류에서 중복을 허락하여 [eqn: m]가지를 선택하는 경우의 수가 36가지 이므로

[eqn: {} _{3} H _{m} = _{m+2} C _{m} = _{m+2} C _{2} ={(m+2) (m+1)} over 2 =36] [eqn: therefore ~m=7]

고구마 피자, 새우피자, 불고기 피자를 적어도 하나씩 포함하여 7개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: x+y+z=7`(x`,``y`,``z`는~자연수)] 의 해의 순서쌍과 같으므로

[eqn: {}_3 H_4 = {}_6 C_4 =15]

[3점][2013년 6월]

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

어느 지역의 [eqn: 5`]개 야구팀 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D], [eqn: E``]는 매년 각 팀이 서로 다른 팀들과 각각 [eqn: 9]번씩 경기를 하여 승리한 경기 수가 많은 순서로 순위를 결정하는 대회를 한다.
어느 야구전문가는 각 팀의 전력을 분석하여 내년 대회의 최종결과 중 우선 [eqn: A], [eqn: B] 두 팀이 승리할 것으로 예상되는 경기 수를 발표하였다. 그 발표를 바탕으로 나머지 세 팀의 결과를 예상하여 최종결과를 다음과 같이 표로 완성할 때, 만들 수 있는 서로 다른 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,~y,~z RIGHT )]의 개수는? (단, [eqn: x`,``y``,``z``]는 모두 [eqn: 5`]이상의 자연수이고, 모든 경기에서 무승부는 없다고 한다.)

③

총 경기 수는 [eqn: {} _{5} rm C it rm _{2} TIMES 9=90],

주어진 두 팀([eqn: A]와 [eqn: B])가 승리할 것으로 예상되는 경기 수의 합은 [eqn: 60]이고 나머지 [eqn: 3`]개의 팀의 승리할 것으로 예상되는 경기 수의 합은 [eqn: 30]이므로 [eqn: x+y+z=30``]

[eqn: x,``y,``z]가 모두 [eqn: 5]이상 이므로

[eqn: x=x prime +5], [eqn: y=y prime +5], [eqn: z=z prime +5]라 하면

[eqn: x` prime +y` prime +z` prime =15][eqn: (x` prime GEQ 0,`y` prime GEQ 0,`z` prime GEQ 0)]

[eqn: therefore`][eqn: {} _{3+15-1} rm C _{15} = _{17} C _{15} = _{17} rm C _{2} =136]

[[eqn: 4]점][2013년 7월]

팀 명	[eqn: A]	[eqn: B]	[eqn: C]	[eqn: D]	[eqn: E]
승리할 것으로 예상되는 경기 수	[eqn: 27]	[eqn: 33]	[eqn: x]	[eqn: y]	[eqn: z]

① [eqn: 124`]	② [eqn: 130`]	③ [eqn: 136`]	④ [eqn: 142`]	⑤ [eqn: 148`]

[eqn: 3<=a<=b<=c<=d<=10``]을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d``]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,```b,```c,```d)``]의 개수는?

④

[eqn: 3]부터 [eqn: 10]까지의 [eqn: 8]개의 수중에서 [eqn: 4]개의 수를 중복하여 뽑는 것이므로 [eqn: {} _{8} H _{4} `=` _{11} C _{4} `=`330]

∴ [eqn: 330]

[3점][2013년 9월]

① [eqn: 240]	② [eqn: 270]	③ [eqn: 300]	④ [eqn: 330]	⑤ [eqn: 360]

방정식 [eqn: x+y+z=4``]를 만족시키는 [eqn: -1``]이상의 정수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z``]의 모든 순서쌍 [eqn: (x,```y,```z)``]의 개수는?

③

[eqn: x {prime } =x+1,`y {prime } =y+1,`z {prime } =z+1]일 때, [eqn: x {prime} +y {prime} +z {prime} =7`(x',`y {prime} ,`z {prime} GEQ 0)]

∴[eqn: {} _{3} H _{7} = _{3+7-1} C _{7-1} = {9 TIMES 8} over {2 TIMES 1} =36]

[3점][2013년 9월]

① [eqn: 21]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 56]

같은 종류의 선물 [eqn: 4`]개를 [eqn: 4`]명의 학생에게 남김없이 나누어 줄 때, [eqn: 2`]명의 학생만 선물을 받는 경우의 수는? (단, 선물끼리는 서로 구별하지 않는다.)

①

(ⅰ) [eqn: 4`]명의 학생 중에서 선물을 받을 [eqn: 2`]명을 택하는 경우의 수는 [eqn: ` _{4} rm C _{2} `=6`]이다.

(ⅱ) (ⅰ)에서 택한 [eqn: 2`]명에게 [eqn: 4`]개의 선물을 적어도 하나씩 나누어 주는 방법의 수는 각각 하나씩 나누어 주고 남은 [eqn: 2`]개에서 [eqn: 2`]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 [eqn: ` rm _{2+2-1} rm C _{`2} =3]이다.

∴ [eqn: ` _{4} rm C _{2}][eqn: TIMES 3=18`]

[3점][2013년 10월]

① [eqn: 18]	② [eqn: 21`]	③ [eqn: 24`]	④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 36]

같은 종류의 구슬 다섯 개를 서로 다른 세 개의 주머니에 나누어 넣으려고 한다. 각 주머니 안의 구슬이 세 개 이하가 되도록 넣는 방법의 수는? (단, 구슬끼리는 서로 구별하지 않고 빈 주머니가 있을 수도 있다.)

③

세 개의 주머니 [eqn: \A], [eqn: \B], [eqn: \C`]에 넣은 공의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]라 하면 [eqn: a+b+c=5] 이므로 가능한 모든 경우의 수는

[eqn: ` _{3} rm H it rm _{5} = _{3+5-1} rm C it rm _{5} = _{7} rm C it rm _{5} =21]

(ⅰ) [eqn: 2]개의 주머니에 다섯 개의 공을 [eqn: 1`]개와 [eqn: 4`]개로 나누어 넣는 경우의 수 [eqn: `_3 {\P}_2 = 6]

(ⅱ) 한 개의 주머니에 다섯 개의 공을 모두 넣는 경  우의 수 [eqn: `_3{\C}_1 =3]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 21-(6+3) =12]이다.

[다른 풀이]

한 주머니에 네 개 이상의 공을 넣을 수 없으므로 세 개의 주머니에 넣는 공의 수에 따라 경우를 나누면

(ⅰ) 한 개의 주머니에 공을 세 개 넣고 다른 주머니에 공을 두 개 넣는 경우는 [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 0]을 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 [eqn: 3!`=`6]

(ⅱ) 한 개의 주머니에 공을 세 개 넣고 나머지 두 개의 주머니에 공을 한 개씩 넣는 경우는 [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 1]을 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 [eqn: 3!over2!``=`3]

(ⅲ) 한 개의 주머니에 공을 한 개 넣고 나머지 두 개의 주머니에 공을 두 개씩 넣는 경우는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2]를 일렬로 나열하는 경우와 같으므로 [eqn: {3!} over {2!} ``=`3]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6+3+3=`12]이다.

[3점][2013년 10월]

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a,~b,~ c ``]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,~ b,~ c) ``]의 개수는?

⑤

[eqn: a+b+c=6]을 만족하는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)]의 개수는 [eqn: rm{} _{3} H _{6} = _{8} C _{6} =28]개 이다.

(나) 조건에서 [eqn: (1,~a),~(2,~b),~(3,~c)]는 한 직선 위에 있지 않으므로

[eqn: b-a != c-b]

즉, [eqn: 2b != a+c]이다

[eqn: 2b=a+c]를 만족하는 다음 5가지를 제외한다.

따라서 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)`]를 구하면

[eqn: (1,~2,~3),~(3,~2,~1),~(0,~2~,4),~(4,~2,~0),~(2,~2,~2)] 이다.

따라서 만족하는 개수는 [eqn: 28-5=23](개)

[4점][2014년 6월]

㈎ [eqn: a+b+c = 6]

㈏ 좌표평면에서 세 점 [eqn: (1,~ a) ,~ (2,~ b),~(3,~ c) ``]가 직선 위에 있지 않다.

① [eqn: 19]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 21]
④ [eqn: 22]	⑤ [eqn: 23]

한 개의 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: x`,~y`,~z`]라 하자. 방정식 [eqn: x+y+z=6`]을 만족시키는 해의 순서쌍 [eqn: LEFT ( `x`,~y`,~z` RIGHT ) `]의 개수는?

②

[eqn: x GEQ 1`,~y GEQ 1`,~z GEQ 1]이고 [eqn: x+y+z=6`]이므로

[eqn: x-1=X`], [eqn: y-1=Y`], [eqn: z-1=Z`]로 치환하면[eqn: X+Y+Z=3`]인 음이 아닌 정수해 [eqn: LEFT ( `X`,~Y`,~Z` RIGHT ) `]의 개수와 일치하므로 [eqn: {} _{3} rm H it rm _{3} = _{5} rm C it rm _{3} =10`]

[3점][2014년 7월]

① [eqn: 7]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 19]

네 개의 자연수 [eqn: 1,~2,~4,~8] 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택할 때, 세 수의 곱이 [eqn: 100] 이하가 되도록 선택하는 경우의 수는?

③

네 개의 자연수 중에서 중복을 허락하여 세 수를 선택하는 경우의 수는

[eqn: {} _{4+3-1} C _{3} = _{6} C _{3}][eqn: = {6 TIMES 5 TIMES 4} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =20]	… ㉠

이때, 네 개의 자연수 [eqn: 1,~2,~4,~8]은 각각 [eqn: 2 ^{0,} ~2 ^{1} ,~2 ^{2} ,~2 ^{3}]으로 나타낼 수 있고, [eqn: 2 ^{6} =64,~2 ^{7} =128]이므로 ㉠ 중에서

[eqn: (2 ^{3} ,~2 ^{3} ,~2 ^{3} ),~(2 ^{3} ,~2 ^{3} ,~2 ^{2} ),~(2 ^{3} ,~2 ^{3} ,~2),~(2 ^{3} ,~2 ^{2} ,~2 ^{2} )]인 경우는 제외해야 하므로 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: 20-4=16]

[4점][2014년 9월]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: abc=2 ^{n} ``]을 만족시키는 1보다 큰 자연수 [eqn: a`,``b`,``c``]의 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`,``c``)`]의 개수가 28일 때, [eqn: n``]의 값을 구하시오.

９

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: abc`=`2^n``]을 만족시키는

[eqn: 1`]보다 큰 자연수 [eqn: a`,``b`,``c``]는 [eqn: 2^p](단, [eqn: p]는 자연수)꼴이므로

[eqn: a`=`2^x`,~b`=`2^y`,~c`=`2^z]이라 하면 [eqn: 2^x+y+z`=`2^n] 이고

[eqn: x+y+z`=`n] 을 만족시키는 자연수 [eqn: x`,~y`,~z]의 순서쌍 [eqn: (x,~y`,~z)] 개수가 [eqn: 28]일 때이다.

즉, [eqn: `_3 H _n-3 `=`_n-1 C_n-3 `=`_n-1 C_2 `=` {(n-1)(n-2)} over2 `=`28]

을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 9]이다.

[4점][2014년 9월]

빨간 공, 파란 공, 노란 공이 각각 [eqn: 5`]개씩 있다. 이 [eqn: 15`]개의 공만을 사용하여 빨간 상자, 파란 상자, 노란 상자에 상자의 색과 다른 색의 공을 [eqn: 5`]개씩 담으려고 한다. 공을 담는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.)

①

한 상자에 공을 담는 경우가 결정되면 다른 상자에 공을 담는 경우도 한 가지로 결정된다.

예를 들어 각 상자에는 상자의 색과 다른 색의 공을 담아야 하므로 빨간 상자에 파란 공 [eqn: 1]개와 노란 공 [eqn: 4`]개를 담으면 노란 상자에는 파란 공 [eqn: 4`]개와 빨간 공 [eqn: 1`]개를, 파란 상자에는 노란 공 [eqn: 1]개와 빨간 공 [eqn: 4`]개를 담아야 한다.

즉, 빨간 상자에 공을 담는 경우가 결정되면 다른 상자에 공을 담는 경우도 한 가지로 결정된다.

그러므로 노란 공 [eqn: 5`]개와 파란 공 [eqn: 5`]개 중에서 빨간 상자에 담을 [eqn: 5`]개의 공을 선택하는 방법의 수가 구하는 경우의 수이다.

따라서 노란 공과 파란 공 [eqn: 2`]종류의 공에서 중복을 허락하여 [eqn: 5`]개의 공을 빨간 상자에 담는 방법의 수는 [eqn: ` _{2+5-1} C _{5} `=`6`]이다.

[4점][2014년 10월]

① [eqn: 6]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 30]

주머니 안에 [eqn: 0`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 5`]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 4`]개의 공이 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 넣는 시행을 [eqn: 3`]회 반복한다. 꺼낸 [eqn: 3`]개의 공에 적힌 수를 모두 곱한 값으로 가능한 서로 다른 정수의 개수는?

②

꺼낸 [eqn: 3`]개의 공에 적힌 수 중 네 수 [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하자.

세 수의 곱은 [eqn: 0] 또는 [eqn: 2 ^{`b} `3 ^{`c} `5 ^{`d}]이고

[eqn: a+b+c+d=3] ([eqn: a`ge0], [eqn: b` GEQ 0], [eqn: c` GEQ 0], [eqn: d` GEQ 0]) 이다.

ⅰ) [eqn: a != 0]일 때

세 수의 곱은 항상 [eqn: 0]이므로 구하는 정수는 [eqn: 1]개이다.

ⅱ) [eqn: a=0]일 때

순서쌍 [eqn: LEFT ( `b`,```c`,```d` RIGHT )]가 다르면 [eqn: 2 ^{`b} `3 ^{`c} `5 ^{`d}]의 값도 다르므로 구하는 정수의 개수는 [eqn: b+c+d=3]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `b`,```c`,```d` RIGHT )]의 개수와 같다. 즉, [eqn: {} _{3} {\H} _{3} = _{5} {\C} _{3} =10]이다.

위의 ⅰ), ⅱ)에서 구하는 정수의 개수는 [eqn: 11]이다.

[4점][2014년 10월]

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: x`,~y`,~z`,~u``]의 모든 순서쌍 [eqn: (`x`,~y`,~z`,~u`)``]의 개수를 구하시오.

68

[eqn: x`+`y`+`z`+u`=`6]인 경우의 수에서 [eqn: x`=`u]인 경우의 수를 빼면 된다.

[eqn: x`+`y`+`z`+u`=`6] 을 만족하는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: `_4 H` _6 `=`` _4+6-1 C `_6 `=``_9 C_6 `=`84]이고

① [eqn: x`=`u`=`0``]일 때

[eqn: y+z`=`6]을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: `_2 `H`_6 `=``_7 C_6 `=`7``]가지

② [eqn: x`=`u`=`1``]

[eqn: y+z`=`4]을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: `_2 `H`_4 `=``_5 C_4 `=`5``]가지

③ [eqn: x`=`u`=`2``]

[eqn: y+z`=`2]을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: `_2 `H`_2 `=``_3 C_2 `=`3``]가지

④ [eqn: x`=`u`=`3``]

[eqn: y+z`=`0]을 만족시키는 음이 아닌 정수해 개수는

[eqn: y`=`0`,~z`=`0``]인 [eqn: 1``]가지

따라서 구하는 순서쌍 ([eqn: x`,~y`,~z`,~u]) 의 개수는

[eqn: 84-(7+5+3+1)`=`68``]가지이다.

[4점][2015년 6월]

(가) [eqn: x`+`y`+`z`+u`=`6]

(나) [eqn: x` !=`u``]

검은 바둑돌 과 흰 바둑돌 을 일렬로 나열하였을 때, 이웃한 두 개의 바둑돌의 색이 나타날 수 있는 유형은

45

[출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기

<[eqn: rmB]형>과 <[eqn: rmC]형>이 각각 [eqn: 2]번 나타나도록 [eqn: 5]개의 바둑돌을 나열한 경우는

●○●○● 또는 ○●○●○

(ⅰ) ●○●○●인 경우
[eqn: 1]번의 <[eqn: rmD]형>을 만들기 위해서는 새로운 [eqn: 1]개의 ○을 나열되어 있는 ○에 이웃하도록 나열하고, [eqn: 4]번의 <[eqn: rmA]형>을 만들기 위해서는 새로운 [eqn: 4]개의 ●을 나열되어 있는 ●에 이웃하도록 나열하면 되므로
[eqn: ` _{2} rm C _{1}TIMES _{3+4-1} rm C _{4} =` _{2} rm C _{1} ` TIMES _{6} rm C _{4} =`30]

(ⅱ) ○●○●○인 경우
같은 방법으로
[eqn: ` _{3} rm C _{1}times _{2+4-1} rm C _{4} ` = _{3} rm C _{1}` TIMES ` _{5} rm C _{4} ` =`15]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 경우의 수는 [eqn: 45]

	[eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >]	[eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >]

으로 [eqn: 4]가지이다.
예를 들어, [eqn: 6]개의 바둑돌을 [eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >] [eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >] [eqn: 1]번,
[eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >] [eqn: 1]번, [eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >] [eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수는 아래와 같이 [eqn: 5]이다.

[eqn: 10]개의 바둑돌을 [eqn: <][eqn: \A]형[eqn: >] [eqn: 4]번, [eqn: <][eqn: \B]형[eqn: >] [eqn: 2]번, [eqn: <][eqn: \C]형[eqn: >] [eqn: 2]번,
[eqn: <][eqn: \D]형[eqn: >] [eqn: 1]번 나타나도록 일렬로 나열하는 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 검은 바둑돌과 흰 바둑돌은 각각 [eqn: 10]개 이상씩 있다.)

[4점][2015년 7월]

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d ``]의 모든 순서쌍 [eqn: (a, ```b, ```c , ``` d `) `]의 개수는?

①

1) [eqn: d = 0]일 때,

(가)조건으로부터 [eqn: a+b+c `=` 10]

(나)조건의 [eqn: a+b+c Le 5 `]에 모순

2) [eqn: d=1 `]일 때,

(가)조건으로부터 [eqn: a+b+c `=` 7]

(나)조건의 [eqn: a+b+c Le 5 `]에 모순

3) [eqn: d = 2 `]일 때,

(가)조건으로부터 [eqn: a+b+c `=` 4]   ∴ [eqn: `_3 `{\H}_4 `=` 15]

4) [eqn: d = 3 `]일 때,

(가)조건으로부터 [eqn: a+b+c `=` 1]   ∴ [eqn: `_3 `{\H}_1 `=` 3]

1), 2), 3), 4)로부터 구하고자 하는 순서쌍 [eqn: (a, ```b, ```c, ```d )`]의 개수는 [eqn: 15+3 `=`18]

[4점][2015년 9월]

(가) [eqn: a+b+c+ 3d `=` 10]

(나) [eqn: a+b+c Le 5]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 2``]이상의 자연수 [eqn: a`,~b`,~c`,~d``]의 모든 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수를 구하시오.

32

① [eqn: {d`=`2``} ``]일 때,

[eqn: a`=`2p`,~b`=`2q`,~c`=`2r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면

[eqn: 2p`+`2q`+`2r`=`18``]

[eqn: RARROW `` p+q+r`=`9`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)를 만족시키는

순서쌍 [eqn: (`p`,~q`,~r`)``]의 개수가 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수와

같으므로 [eqn: {`_3 H _9-3 `=``_8 C_6 `=``_8 C_2 `=`28``}]가지이다.

② [eqn: d`=`3``]일 때,

[eqn: a`=`3p`,~b`=`3q`,~c`=`3r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면

[eqn: 3p`+`3q`+`3r`=`17``]을 만족시키는 자연수 [eqn: p`,~q`,~r``]은 존재하지

않는다.

③ [eqn: {d`=`4``}``]일 때,

[eqn: a`=`4p`,~b`=`4q`,~c`=`4r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면

[eqn: 4p`+`4q`+`4r`=`16``]

[eqn: RARROW `` p+q+r`=`4`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)를 만족시키는

순서쌍 [eqn: (`p`,~q`,~r`)``]의 개수가 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수와

같으므로 [eqn: {`_3 H _4-3 `=``_3 C_1 `=`3``}]가지이다.

④ [eqn: {d`=`5``}``]일 때,

[eqn: a`=`5p`,~b`=`5q`,~c`=`5r`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)로 놓으면

[eqn: 5p`+`5q`+`5r`=`15``]

[eqn: RARROW `` p+q+r`=`3`(``]단, [eqn: p`,~q`,~r``]은 자연수)를 만족시키는

순서쌍 [eqn: (`p`,~q`,~r`)``]은 [eqn: (1`,~1`,~1)``]밖에 없으므로

순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수는 1가지이다.

⑤ [eqn: d ge6``]이면 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]은 존재하지

않는다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (`a`,~b`,~c`,~d`)``]의 개수는  [eqn: 28`+`3`+`1 `=`32``]가지이다.

[4점][2015년 9월]

(가) [eqn: a`+`b`+`c`+d`=`20]

(나) [eqn: a`,~b`,~c``]는 모두 [eqn: d```]의 배수이다.

서로 구별되지 않는 공 [eqn: 10`]개를 [eqn: rm`A,~B,~C`] [eqn: 3`]명에게 남김없이 나누어 주려고 한다. [eqn: rm`A`]가 공을 [eqn: 3`]개만 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, [eqn: 1`]개의 공도 받지 못하는 사람이 있을 수 있다.)

[eqn: 8]

[출제의도] 조합을 이해하여 경우의 수를 구한다.

[eqn: rmA`]가 세 개의 공을 받으므로 남는 공의 수는 [eqn: 7`]이다. [eqn: 7`]개의 공을 두 사람에게 나누어 주는 경우의 수이므로 [eqn: `_2+7-1 `rm C _{`7}][eqn: = `_8` rm C_{`7}][eqn: =8`]

[3점][2015년 10월]

다음 조건을 만족시키는 네 자리 자연수의 개수는?

②

[출제의도] 중복조합의 성질을 이해하여 경우의 수를 구한다.

네 자리 자연수의 각 자리의 수를 각각 [eqn: x,~y,~z,~w]

라 하면 [eqn: x+y+z+w=14]

[eqn: x,~y,~z,~w`]가 모두 홀수이므로

[eqn: x=2a+1], [eqn: y=2b+1], [eqn: z=2c+1], [eqn: w=2d+1]

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]는 [eqn: 0`]이상 [eqn: 4`]이하의 정수)

[eqn: (2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)=14]

[eqn: a+b+c+d=5]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 5`]개를 택한다. 이때 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]는 [eqn: 4`]이하의 정수이므로 한 가지만 [eqn: 5`]번 택하는 [eqn: 4`]가지 경우는 제외한다.

[eqn: rm _{4} rm H _{5} -4= _{4+5-1} C _{5} -4=` _{8} C _{5} -4= {8!} over {5!`3!} -4=52]

[4점][2015년 10월]

(가) 각 자리의 수의 합은 [eqn: 14`]이다.

(나) 각 자리의 수는 모두 홀수이다.

① [eqn: 51]	② [eqn: 52]	③ [eqn: 53]	④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 55]

[해설] 확통-(1)확률-(c)중복조합