수 리 영 역

cos, sin법칙

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수 리 영 역

cos, sin법칙

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 함수의 극한, 미분 (cos, sin법칙)

성명			수험번호

16

포물선 [eqn: y`=`x`(x`+`1)``]위에 점 [eqn: rm A`(-1,``0)]이 있다. 점 P가 점 A에서 포물선을 따라 원점 O로 한없이 가까이 갈 때, [eqn: rm ANGLE APO]의 크기의 극한값은?

③

점 [eqn: rmO]에서의 접선의 기울기는 [eqn: y' _{x=0} =1]이므로

접선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각은 [eqn: 45 DEG]이다.

그러므로 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmA]에서 [eqn: rmO]로 가까이 갈 때

[eqn: rm ANGLE APO]의 극한값은 [eqn: 135 DEG]이다.

[별해]

점 [eqn: P``]의 좌표를 [eqn: P(a,```a ^{2} +a),``` ANGLE APO= theta]라 하면

[eqn: bar{AP} = sqrt {(a+1) ^{2} +(a ^{2} +a) ^{2}} =(a+1) sqrt {1+a ^{2}}]

[eqn: bar{OP} = sqrt {a ^{2} +(a ^{2} +a) ^{2}} =-a sqrt {2+2a+a ^{2}}]

(단, [eqn: -1<a<0])

[eqn: THEREFORE ```cos theta = {(a+1) ^{2} (1+a ^{2} )+a ^{2} (2+2a+a ^{2} )-1} over {2(a+1) sqrt {1+a ^{2}} (-a) sqrt {2+2a+a ^{2}}}]

[eqn: = {2a(a^3 + 2 a^2 +3a +1) } over{-2a(a+1)root1+a^2 root{2+2a+ a^2}}]

이고 [eqn: P``` -> ```0]일 때 [eqn: a``` -> ```0]

[eqn: lim _{a -> 0} {} `cos theta =- {1} over {sqrt {2}}]에서 [eqn: theta =135 DEG]

[3점][1997년 수능]

①　[eqn: 90 DEG]	②　[eqn: 120 DEG]	③　[eqn: 135 DEG]

④　[eqn: 150 DEG]	⑤　[eqn: 180 DEG]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: bar{rmAB} =1]이고 [eqn: rm ANGLE A=theta,``` ANGLE B=2theta]이다. 변 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmD]를 [eqn: rm ANGLE ACD=2 ANGLE BCD]가 되도록 잡는다. [eqn: lim _{theta -> 0+} {{bar{rm CD it}} over {theta }} =a]일 때, [eqn: 27a ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<theta< {pi} over {4}])

[eqn: 16]

[eqn: ∠ rm BCD = alpha]라 하면 사인법칙에서

[eqn: {rm bar{CD} it} over {sin theta } = {rm bar{AD} it} over {sin2 alpha } ,~ {rm bar{CD} it} over {sin2 theta } = {rm bar{BD} it} over {sin alpha }]

[eqn: rm bar AD = {sin2alpha} over {sin theta} rm barCD ,~bar BD ={sinalpha} over {sin 2theta} rm bar CD]

[eqn: rm bar AD + bar BD =1]이므로 [eqn: rm bar CD = {1} over { {sin 2 alpha} over {sin theta} +{sin alpha} over {sin 2theta} }]

한편, [eqn: 3 theta + 3 alpha =pi]이므로 [eqn: alpha = pi over 3 - theta]

[eqn: THEREFORE ``` lim _{theta ` -> `0+} {{rm bar{CD} it} over {theta }} = lim _{theta ` -> `0+} {{1} over {{sin2 alpha } over {sin theta } CDOT theta + {sin alpha } over {sin2 theta } CDOT theta }}]

[eqn: = lim _{alpha ` -> ` {pi } over {3}} {} {1} over {sin2 alpha + {1} over {2} `sin alpha }][eqn: = {1} over {root3 over 2 + root3 over 4}][eqn: = 4 over {3root3} =a]

[eqn: THEREFORE ```27a ^{2} =27cdot {16} over {27} =16]

[다른 풀이]

[eqn: rm ANGLE BCD= {1} over {3} LEFT ( ANGLE BCA RIGHT ) = {pi-3theta} over {3}]

[eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {1} over {sin LEFT ( pi-3theta RIGHT )} = {bar{rmBC}} over {sintheta}]

[eqn: rm TRIANGLE BCD]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rm BC it}} over {sin LEFT ( {2} over {3} pi - theta RIGHT )} = {bar{rm CD it}} over {sin2 theta }]

[eqn: THEREFORE ```rm bar{CD} = {sin2theta} over {sin LEFT ( {2} over {3} pi-theta RIGHT )} bar{BC}][eqn: = {sin2theta} over {sin LEFT ( {2} over {3} pi-theta RIGHT )} cdot {sintheta} over {sin3theta}]

[eqn: THEREFORE ```a= lim _{theta -> 0+} {{bar{rm CD it}} over {theta }}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {{1} over {sin LEFT ( {2} over {3} pi - theta RIGHT )} CDOT {sin2 theta } over {theta } CDOT {sin theta } over {sin3 theta }}]

[eqn: = {1} over {sin {2} over {3} pi} cdot {2} over {3} = {4} over {3 sqrt {3}}]

[eqn: THEREFORE ```27a ^{2} =27 TIMES {16} over {27} =16]

[4점][2013년 수능]

그림과 같이 제 1사분면에서 중심이 원점이고 반지름이 [eqn: 1]인
원 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm 2 ANGLE PAO = ANGLE POA]가 되도록 [eqn: x]축 위에 점 [eqn: rm A]를 잡는다. 이 때,[eqn: rm lim from {P``->``B} bar OA]의 값은?
(단, [eqn: rm B(1,~0)])

①

[eqn: rm ANGLE PAO = theta]라 하면 사인법칙에 의해

[eqn: bar OA over { sin(pi - 3 theta) } = 1 over {sin theta}]

[eqn: rm lim from P->B bar OA = lim from theta->0 { sin ( pi - 3 theta) }over {sin theta} = lim from theta->0 { sin 3 theta }over {sin theta} = 3]

[4점][2005년 5월]

P

A

B

O

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

그림과 같이 원에 내접하는 정사각형 [eqn: rmABCD] 와 점 [eqn: rmB] 를 포함하지 않는 호 [eqn: rmAD] 위에 동점 [eqn: rmP] 가 있다. 동점 [eqn: rmP] 가 점 [eqn: rmD] 에 한없이 가까워질 때, [eqn: rm{(` bar{AD} ``- bar{AP} `)} over {bar{DP}}] 의 극한값을 [eqn: alpha] 라고 한다. 이 때, [eqn: 100 alpha ^2] 의 값을 구하시오.

50

A

B

C

D

P

[eqn: theta]

[eqn: pi over4 -theta]

[eqn: {rmANGLE DCP}= theta], 외접원의 반지름을 [eqn: R] 이라 하면

[eqn: {rmbarAD} =2R sin piover4]

[eqn: {rmbarAP} = 2R sin LEFT ( piover4 - theta RIGHT )]

[eqn: {rmbarDP} = 2R sintheta]

점[eqn: rmP]가 점[eqn: rmD]에 가까이 갈수록 [eqn: theta ``-> `0] 이므로
[eqn: lim _{theta -> 0} {} LEFT ( ` {rm bar{AD} - bar{AP} it `} over {rm bar{DP} it} RIGHT ) & `= lim _{theta -> 0} {} ` {2R`sin {pi } over {4} -2R`sin LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )} over {2R`sin theta }# & = lim _{theta -> 0} {} {2cos LEFT ( ` {pi } over {4} - {theta } over {2} RIGHT ) ``sin {theta } over {2}} over {sin theta }# & = lim _{theta -> 0} {} `cos LEFT ( {pi } over {4} - {theta } over {2} RIGHT ) ``` TIMES {theta } over {sin theta } TIMES {sin {theta } over {2}} over {{theta } over {2}}# & =cos {pi } over {4} = {1} over {sqrt {2}}]

[eqn: ∴``100 alpha^2 =50]

[4점][2006년 5월]

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 각 [eqn: rm C]의 이등분선이 변 [eqn: rm AB]와 만나는 점을 [eqn: rm `D]라 하자. 삼각형 [eqn: rm ADC]가 이등변삼각형이고  [eqn: rm bar AD =1]일 때, [eqn: lim _{theta -> `0} {} rm bar{AB}]의 값은?

③

[eqn: bar{rm CD it} =1,`` ANGLE rm CDB=2 theta ,`` ANGLE rm CBD= pi -3 theta]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {1} over {sin( pi -3 theta )} = {bar{rmDB}} over {sin theta }]이므로

[eqn: {bar{rmDB}={sin theta } over {sin( pi -3 theta )}={sin theta } over {sin 3 theta}]이다.

[eqn: lim _{theta -> 0} {bar{rmDB} = lim _{theta -> 0} {{sin theta } over {sin3 theta } = {1} over {3}}}]이다.

따라서 [eqn: lim _{theta -> 0} {bar{rm AB it} = lim _{theta -> 0} {(1+ bar{rm DB it} )=}} {4} over {3}]

[3점][2007년 5월]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: 1]

[eqn: theta]

[eqn: theta]

[eqn: theta]

①  [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: {4} over {3}]	④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {6} over {5}]

그림과 같이 정육각형 [eqn: {rmH}_1``]의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 [eqn: {rmH}_1``]의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{1`}], 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: {rmH}_2``]라 하자.

정육각형 [eqn: {rmH}_2``]의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 [eqn: {rmH}_2``]의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{2`}], 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: {rmH}_3``]이라 하자.

이와 같은 방법으로 정육각형 [eqn: {rmH}_n``]의 각 변을 지름으로 하는 반원을 정육각형 [eqn: {rmH}_n``]의 내부에 그리고, 반원이 겹쳐지는 어두운 부분의 넓이의 합을 [eqn: S _{n`}`], 각 반원의 호의 길이를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 [eqn: {rmH}_n+1``]이라 하자.

이때, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} ``]의 값을 [eqn: S_1``]을 이용하여 나타낸 것은?

①

정육각형 [eqn: {\H}_{n}``]의 한 변의 길이를 [eqn: a_{n}``]이라 하면

[eqn: a_{n+1`}`^{2}`=`{a_{n}`^{2}}over{2}``+`{a_{n}`^{2}}over{2}``-`2`left({root{2}}over{2}`a_{n}right)left({root{2}}over{2}`a_{n}right)cos`30°`]

[eqn: a_{n+1}`^{2}`=`left(1`-`{root{3}}over{2}`right)a_{n}`^{2}``] ∴ [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ``S _{n} `=`` {2 sqrt {3}} over {3} `S _{1} ``]

[4점][2009년 10월]

① [eqn: {2root3} over 3 `S_1``]	② [eqn: {3-root3} over 3 `S_1``]	③ [eqn: {4root3} over 3 `S_1``]

④ [eqn: {3+root3} over 3 `S_1``]	⑤ [eqn: {2root3} `S_1``]

그림과 같이 점 [eqn: rmA(-2,``0)]과 원 [eqn: x^2 + y^2 = 4] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 직선 [eqn: rmAP]가 원 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = 1]과 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 [eqn: rmP]에 가까운 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: rmANGLE OAP= theta]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {rm {bar{PQ}} over {theta ^{2}}} it]의 값은?

④

A

2

P

Q

[eqn: theta]

B

O

[eqn: x]

[eqn: y]

그림에서 [eqn: B(2, 0)]라 하면

[eqn: BARAP = 4 cos theta], [eqn: barBP = 4 sin theta]

이고 [eqn: barOQ = a], [eqn: barBQ = b], [eqn: barPQ = x]라 하면

[eqn: a^2 + b^2 = 4]…㉠

[eqn: b^2 = x^2 + (4 sin theta )^2 = x^2 + 16 sin ^2 theta]

[eqn: a^2 = 2^2 + (4costheta - x )^2 -2 times 2 times (4 costheta - x ) cos theta]

[eqn: = 4+ ( 16 cos^2 theta - 8 cos theta x + x^2 ) - 16 cos^2 theta][eqn: +4 cos theta x]

[eqn: = x^2 -4 costheta x + 4]

따라서, ㉠에 대입하면

[eqn: (x^2 -4 cos theta x+ 4 ) +(x^2 + 16 sin^2 theta ) = 4]

[eqn: x^2 - 2 cos theta x + 8 sin ^2 theta =0]

[eqn: therefore] [eqn: x = barPQ = cos theta - root{cos^2 theta -8 sin^2 theta}]

([eqn: BECAUSE] [eqn: 0 < cos theta < 1])

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ theta->+0} barPQ OVER theta^2]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} {cos theta - sqrt {cos ^{2} theta -8sin ^{2} theta }} over {theta ^{2}}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} {8sin ^{2} theta } over {theta ^{2} (cos theta + sqrt {cos ^{2} theta -8sin ^{2} theta } )}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} 8( {sin theta } over {theta } ) ^{2} TIMES {1} over {cos theta + sqrt {cos ^{2} theta -8sin ^{2} theta }}]

[eqn: = 8 times 1^2 times 1 over 2 = 4]

[4점][2012년 9월]

① [eqn: { 5} over { 2}]	② [eqn: 3]	③ [eqn: {7} over { 2}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: { 9} over {2 }]

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1``]인 두 원 [eqn: O], [eqn: O`'``]이 외접하고 있다. 원 [eqn: O``]위의 점 [eqn: A``]에서 원 [eqn: O`'``]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: P], [eqn: Q``]라 하자. [eqn: angle AOO`'``=theta``]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {bar{PQ``}} over {theta } ``]의 값은? (단, [eqn: 0<theta< pi over 2])

③

[eqn: rm barOA =1], [eqn: rm barOO' =2]이므로 [eqn: rm triangleAOO']에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: rm barAO'`^2 = 1+2^2 - 2 cdot1 cdot 2costheta = 5 - 4 cos theta]

[eqn: rm barAO' = root{ 5- 4 cos theta]

직각삼각형 [eqn: rm APO']에서 [eqn: rm barAP`^2 = rm barAO' `^2 -1= 4 - 4cos theta]

∴ [eqn: rm barAP = 2 root{ 1- cos theta]

[eqn: rm barPQ]와 [eqn: rm barAO']의 교점을 [eqn: rmR]이라 두면

[eqn: rm barPQ = 2 rmbarPR]이고 [eqn: rm barPR bot barAO']이므로

[eqn: rm barAP times barAO' = rm barAO' times barPR]

[eqn: rm barPR = { rm barAP } over{ barAO'} = 2 root {{ 1-cos theta} over{ 5 - 4 cos theta}]

∴ [eqn: rm barPQ = 2 barPR = 4 root{ { 1-cos theta} over{ 5- 4 cos theta}]

[eqn: lim _{theta -> 0+} {} {rm bar{PQ} it} over {theta } = lim _{theta -> 0+} {} 4 sqrt {{1-cos theta } over {theta ^{2}} TIMES {1} over {5-4cos theta }}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {} 4 sqrt {{sin ^{2} theta } over {theta ^{2}} TIMES {1} over {5-4cos theta } TIMES {1} over {1+cos theta }}]

[eqn: = 2root2]

[4점][2013년 6월]

① [eqn: 2]	② [eqn: root6]	③ [eqn: 2root2]	④ [eqn: root10]	⑤ [eqn: 2root3]

그림과 같이 길이가 [eqn: 1``]인 선분 [eqn: AB``]를 빗변으로 하고 [eqn: angle BAC=theta`````left(0<theta< pi over 6 right)``]인 직각삼각형 [eqn: ABC``]에 대하여 점 [eqn: D``]를 [eqn: angle ACD= 2 over 3 pi], [eqn: angleCAD= 2 theta``]가 되도록 잡는다.
삼각형 [eqn: BCD``]의 넓이를 [eqn: S(theta)``]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} =p``]이다.
[eqn: 300`p^2``]의 값을 구하시오. (단, 네 점 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C], [eqn: D``]는 한 평면 위에 있다.)

[eqn: 100]

[eqn: {bar{BC}} =sin theta], [eqn: {bar{AC}} =cos theta]

사인법칙에 따라, [eqn: {{bar{CD}}} over {sin2 theta } = {cos theta } over {sin( {pi } over {3} -2 theta )}]

[eqn: TRIANGLE BCD`=` {{1} over {2} TIMES sin theta TIMES sin2 theta cos theta } over {sin( {pi } over {3} -2 theta )} TIMES sin {5} over {6} pi `=`S( theta )]

[eqn: lim _{theta -> 0} {{S( theta )} over {theta ^{2}} `=` sqrt {{1} over {3}}} =p]   ∴[eqn: 300p ^{2} `=`100]

[4점][2013년 9월]

그림과 같이 중심이 [eqn: rm O]이고 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여
[eqn: ANGLE rm AOP= theta] [eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]일 때, 세 점 [eqn: rm A],[eqn: rmO],[eqn: rmP]를 지나는 원의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 세 점 [eqn: rm B], [eqn: rmO], [eqn: rmP]를 지나는 원의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자.
[eqn: lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -} {` {g LEFT ( theta RIGHT ) -f LEFT ( theta RIGHT )} over {{pi } over {2} - theta } `}]의 값은?

①

[출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rmTRIANGLE ABP]에서 [eqn: angle`rmABP= {theta} over {2}]이고 [eqn: rm bar{rmAB}=2]이므로
[eqn: bar{rmAP} =2sin {theta } over {2}], [eqn: bar{rmBP}=2cos {theta} over {2}]

[eqn: TRIANGLE rmAOP]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R _{1}],
[eqn: TRIANGLE rmBOP]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R _{2}]라 하면
사인법칙에 의하여

[eqn: R _{1} = {1} over {2cos {theta} over {2}}]이고 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = pi ` {1} over {4cos ^{2} {theta } over {2}}]

[eqn: R _{2} = {1} over {2sin {theta} over {2}}]이고 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) = pi {1} over {4sin ^{2} {theta } over {2}}]

[eqn: lim _{theta `` -> ` {pi } over {2} -} {` {g LEFT ( theta RIGHT ) -f LEFT ( theta RIGHT )} over {{pi } over {2} - theta } ``} `]
[eqn: = lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -} {} {{pi } over {4sin ^{2} {theta } over {2}} - {pi } over {4cos ^{2} {theta } over {2}}} over {{pi } over {2} - theta }]
[eqn: = lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -} {` {pi LEFT ( cos ^{2} {theta } over {2} -sin ^{2} {theta } over {2} RIGHT )} over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) 4sin ^{2} {theta } over {2} `cos ^{2} {theta } over {2}}} ```]
[eqn: = lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -} {} {pi `cos theta } over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) sin ^{2} theta `}]
[eqn: {pi} over {2} -theta=t]라 하면 [eqn: theta`->` {pi} over {2} -0]일 때 [eqn: t`->`+0]

따라서 [eqn: lim _{theta ` -> ` {pi } over {2} -} {} {pi `cos theta } over {LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT ) sin ^{2} theta `} = lim _{t` -> `0+} {{pi `sint} over {t`cos ^{2} t}} = pi]

[4점][2014년 4월]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmP]

[eqn: 2]

[eqn: theta]

① [eqn: pi]	② [eqn: {2 pi } over {3}]	③ [eqn: {pi } over {2}]

④ [eqn: {pi } over {3}]	⑤ [eqn: {pi } over {4}]

그림과 같이 서로 평행한 두 직선 [eqn: l _{1} `]과 [eqn: l _{2} `] 사이의 거리가 1이다. 직선 [eqn: l _{1} `]위의 점 [eqn: A`]에 대하여 직선 [eqn: l _{2} `]위에 점 [eqn: B`]를 선분 [eqn: AB`]와 직선 [eqn: l _{1} `]이 이루는 각의 크기가 [eqn: theta `]가 되도록 잡고, 직선 [eqn: l _{1} `]위에 점 [eqn: C`]를 [eqn: ANGLE ABC``=4 theta `]가 되도록 잡는다. 직선 [eqn: l _{2} `]위에 점 [eqn: D`]를 [eqn: ANGLE BCD`=2 theta `]이고 선분 [eqn: CD`]가 선분 [eqn: AB`]와 만나지 않도록 잡는다.
삼각형 [eqn: ABC`]의 넓이를 [eqn: T _{1} ``], 삼각형 [eqn: BCD`]의 넓이를 [eqn: T _{2} `]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` -> ``0+} {{T _{1}} over {T _{2}}}] 의 값을 구하시오. (단. [eqn: 0< theta < { pi } over {10} ``])

６

[eqn: triangle{rmABC}]의 넓이는 [eqn: {1}over{2} cdot1 cdot bar{rmAC}={rmT_{1}]

[eqn: triangle{rmBCD}]의 넓이는 [eqn: {1}over{2} cdot1 cdot bar{rmBD}={rmT_{2}}]

[eqn: therefore``{rmT_{1}}over{rmT_{2}}={bar{rmAC}}over{bar{rmBD}}]

[eqn: {bar{rmAC}}over{sin4theta}={bar{rmBC}}over{sintheta}], [eqn: {bar{rmBC}}over{sin3theta}={bar{rmBD}}over{sin2theta}]

[eqn: {bar{rmAC}}={{bar{rmBC}}{`sin4theta}}over{sintheta}]

[eqn: {bar{rmBD}}={{bar{rmBC}}{`sin2theta}}over{sin3theta}]

[eqn: THEREFORE `` lim _{theta -> 0+} {{rm T _{1} it} over {rm T _{2} it}} = lim _{theta -> 0+} {{sin4 theta } over {sin theta } TIMES {sin3 theta } over {sin2 theta } =6}]

[4점][2014년 9월]

그림과 같이 원에 내접하고 한 변의 길이가 [eqn: 2sqrt { 3}``]인 정삼각형 [eqn: rm ABC``]가 있다. 점 [eqn: rmB``]를 포함하지 않는 호 [eqn: rmAC``]위의 점 [eqn: rm P``]에 대하여 [eqn: angle``rmPBC`=`theta``]라 하고, 선분 [eqn: rmPC``]를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 넓이를 [eqn: S(theta)``]라 하자.
[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} `=`a pi ``]일 때, [eqn: 60a``]의 값을 구하시오.

80

삼각형 [eqn: rmABC``]의 외접원의 중심을 [eqn: rmO``], 선분 [eqn: rmPC``]을 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rmO'``], [eqn: rm O'``]에서 선분 [eqn: rmPC``]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH``]이라 하자.

사인법칙에 의하여

[eqn: barPC `=`2R sin theta``](단, [eqn: R]은 삼각형 [eqn: ABC]의 외접원의 반지름길이)

[eqn: `=`4`sin theta]

선분 [eqn: rmPC``]를 한 변으로 하는 정삼각형에 내접하는 원의 반지름 길이는

[eqn: rm barO'H ``][eqn: =`rmbarPC times {1}over{2root3} `=` 2over3 root3 sin theta]이므로

[eqn: S(theta)`=` 4over3 pi `sin^2 theta]이다.

[eqn: THEREFORE `` lim _{theta -> 0+} {} {S( theta )} over {theta ^{2}} `=` lim _{theta -> 0+} {} {4} over {3} pi TIMES {sin ^{2} theta } over {theta ^{2}} `=` {4} over {3} pi]

따라서 [eqn: a`=`4over3]이고, [eqn: 60a`=`80``]이다.

[4점][2015년 9월]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2`]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE PAB= theta `]라 하자. 선분 [eqn: rm OB`] 위의 점 [eqn: rm C`]가 [eqn: rm ANGLE APO= ANGLE OPC`]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{theta ` -> 0+} {rm bar{OC} `} it]의 값은?
(단, [eqn: 0< theta < {` pi `} over {`4`} `]이고, 점 [eqn: rm O`]는 선분 [eqn: rm AB`]의 중점이다.)

④

[출제의도] 사인법칙을 이용하여 삼각함수의 극한값을 구하는 문제를 해결한다.

삼각형 [eqn: rmPOC]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: rm {bar{OC}} = {sin` theta } over {LEFT . sin` LEFT ( pi -3 theta RIGHT ) RIGHT .}][eqn: rm = {sin` theta } over {LEFT . sin`3 theta RIGHT .}`]이므로

[eqn: lim _{theta -> 0+} {rm bar{OC} `} it][eqn: rm = lim _{theta ` -> `0+} {} {sin` theta } over {LEFT . sin`3 theta RIGHT .}]

[eqn: rm = lim _{theta ` -> 0`+} {} LEFT ( {sin` theta } over {LEFT . theta RIGHT .} TIMES {3 theta } over {sin`3 theta } TIMES {1} over {3} RIGHT )] [eqn: = {1} over {3}]

[3점][2015년 10월]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[해설] 미적분2-(4)함수의 극한, 미분
-(e)cos, sin법칙