수 리 영 역

배각공식

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수 리 영 역

배각공식

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수능(94~16학년도), 모의고사(05~15년)

단원 : 함수의 극한, 미분 (배각공식)

성명			수험번호

16

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: \O] 위에 점 [eqn: \A]가 있다. 그림과 같이 양수 [eqn: theta`]에 대하여 원 [eqn: \O] 위의 두 점 [eqn: \B], [eqn: \C]를 [eqn: ∠ \BAC=theta`]이고	[eqn: rm barAB =barAC`]가 되도록 잡는다. 삼각형 [eqn: \ABC]의 내접원의 반지름의 길이를 [eqn: r`(theta)]라 할때,[eqn: lim _{theta ` -> pi -} {} {r`( theta ) _{`}} over {( pi - theta ) ^{2}} = {q _{`}} over {p}]이다. [eqn: p^2 +q^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[eqn: 17]

[eqn: rm bar{BM} ``= bar{CM} ``= bar{OC} ```sin( pi - theta )=sin theta]
[eqn: rm bar{AB} = bar{AC} ```= {bar{CM}} over {sin {theta } over {2}} = {sin theta } over {sin {theta } over {2}} = {2sin {theta } over {2} `cos {theta } over {2}} over {sin {theta } over {2}} =2cos {theta } over {2}]
[eqn: r( theta )= {rmTRIANGLE ABC`의``넓이} over {rmTRIANGLE ABC`의``둘레의``절반} =][eqn: {{1} over {2} CDOT left(2`cos { theta} over { 2} right)^2 cdot sin theta } over {sin theta + 2`cos { theta} over { 2} }]
[eqn: = {4`cos` ^{3} {theta } over {2} `sin {theta } over {2}} over {2`cos {theta } over {2} LEFT ( sin {theta } over {2} +1 RIGHT )}][eqn: ={2`cos` ^{2} {theta } over {2} `sin {theta } over {2}} over { sin {theta } over {2} +1 }]
[eqn: THEREFORE `` lim _{theta -> pi -} {{r( theta )} over {( pi - theta ) ^{2}}} = lim _{theta -> pi -} {} {{2`cos` ^{2} {theta } over {2} `sin {theta } over {2}} over {sin {theta } over {2} +1}} over {( pi - theta ) ^{2}}]
[eqn: = lim _{theta -> pi -} {} {2`cos` ^{2} {theta } over {2} `} over {( pi - theta ) ^{2}} CDOT {sin {theta } over {2}} over {sin {theta } over {2} +1}]

[eqn: = lim _{alpha -> 0+} {} {2`cos` ^{2} LEFT ( {pi } over {2} - {alpha } over {2} RIGHT ) `} over {alpha ^{2}} CDOT {sin LEFT ( {pi } over {2} - {alpha } over {2} RIGHT )} over {sin LEFT ( {pi } over {2} - {alpha } over {2} RIGHT ) +1}]
[eqn: = lim _{alpha -> 0+} {} {2`sin` ^{2} {alpha } over {2} `} over {alpha ^{2}} CDOT {cos {alpha } over {2}} over {cos {alpha } over {2} +1}]

[eqn: = lim _{alpha -> 0+} {{1} over {2}} LEFT ( {`sin` {alpha } over {2} `} over {{alpha } over {2}} RIGHT ) ^{2} `` LEFT ( {cos {alpha } over {2}} over {cos {alpha } over {2} +1} RIGHT ) = {1} over {4}]

[eqn: THEREFORE ``p ^{2} +q ^{2} =1 ^{2``} +4^2 = 17]

[4점][2009년 수능]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하고 중심이 점 [eqn: rm O]인 원 [eqn: C _{1} `]이 있다. 원 [eqn: C _{1} `] 위의 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: ANGLE rm PAB`=` theta `]라 하고, 선분 [eqn: rm OP]에 접하고 중심이 점 [eqn: rm B`]인 원 [eqn: C _{2} `]를 그린다. 원 [eqn: C _{2} `]와 선분 [eqn: rm BP]의 교점을 점 [eqn: rm Q]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> 0+} {} {`` rm bar{PQ} it ``} over {theta ^{3} `}]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{` #` }]단, [eqn: 0< theta< pi over4][eqn: pile{ `#` }} right )]

③

[출제의도] 삼각함수의 극한을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

원 [eqn: C _{2}]와 선분 [eqn: {rm OP it}]의 접점을 점 [eqn: rm R]라 하자.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm R]

[eqn: rm Q]

[eqn: theta]

[eqn: rm bar{BP} `=`2 it `sin theta],

[eqn: angle rm ROB `=` 2 theta `]이므로, [eqn: rm bar{BR} `=` sin`2 theta `=` rm bar{BQ} `]

[eqn: rm bar{PQ} `=` bar{PB} `-` bar{BQ} `=` it 2`sin theta -`sin2 theta]

[eqn: =2`sin theta -2`sin theta `cos theta ``=`2sin theta `(1-cos theta )`]

[eqn: lim _{theta ` -> 0+} {` {rm bar{PQ} it} over {````` theta ^{3} it}} & = lim _{theta ` -> 0+} {& {2`sin theta (1-cos theta )} over {theta ^{3}}}# & =` lim _{theta ` -> 0+} {2 {sin theta } over {theta } CDOT {1-cos theta } over {theta ^{2}} CDOT {1+cos theta } over {1+cos theta }}# ` & =`2 CDOT 1 CDOT {1} over {2} `=`1]

[[eqn: 4]점][2013년 7월]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm theta]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm O]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]
④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

그림과 같이 [eqn: rm bar OP =1`]인 제[eqn: 1`]사분면 위의 점 [eqn: rm P`]를 중심으로 하고 원점을 지나는 원 [eqn: C_1``]이 [eqn: x `]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rm Q`]라 하자. [eqn: bar\OR =2`]이고 [eqn: ANGLE rm ROQ= {1} over {2} ANGLE POQ`]인 제[eqn: 4`]사분면 위의 점 [eqn: \R`]를 중심으로 하고 원점을 지나는 원 [eqn: C_2`]가 [eqn: x `]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rm S`]라 하자.
[eqn: ANGLErmPOQ=it theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm OQP`]와 삼각형 [eqn: rm ORS`]의 넓이의 합이 [eqn: `]최대가 되도록 하는 [eqn: theta `]에 대하여 [eqn: cos`` theta `]의 값은?
(단, [eqn: rm O`]는 원점이고, [eqn: LEFT . 0<` theta `<` {pi } over {2} ` RIGHT .]이다.)

⑤

[출제의도] 미분법을 이용하여 삼각형의 넓이의 최댓값 구하는 문제를 해결한다.

점 P의 좌표는 [eqn: (cos theta`,`` sin theta)`]이므로 삼각형 [eqn: rm OQP`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 2cos theta TIMES sin theta =sin theta cos theta] [eqn: = {1} over {2} `sin2 theta `]

점 [eqn: rm R`]의 좌표는 [eqn: left (2cos {1} over {2} theta`,``-2sin {1} over {2} theta right)`]이므로 삼각형 [eqn: rm ORS`]의 넓이는

[eqn: 1 over2 times 4 cos 1 over2 theta times2 sin 1 over2 theta][eqn: = 4sin 1 over2 theta cos 1 over2 theta] [eqn: = 2 sin theta`]

따라서 삼각형 [eqn: rm OQP`]와 삼각형 [eqn: \ORS`]의 넓이의 합을 [eqn: f(theta)`]라 하면

[eqn: f( theta) = 1 over2 ` sin 2theta `+ 2 sin theta`]

[eqn: f`'(theta ) = cos 2 theta + 2cos theta] [eqn: = 2 cos^2 theta + 2 cos theta -1`] 이므로

[eqn: f`'(theta) =0`]에서 [eqn: cos theta = {-1+- sqrt{3}}over2]

[eqn: 0 < theta < pi over2`]에서 [eqn: cos theta >0`]이므로

[eqn: cos theta = {-1 + sqrt3} over2]

[eqn: f`'(theta) =0`]인 [eqn: theta`]의 값을 [eqn: theta_1` LEFT ( 0< theta_1 < pi over2 RIGHT )]라 할 때,
[eqn: f(theta)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: theta]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots`]	[eqn: theta_1`]	[eqn: cdots`]	[eqn: LEFT ( pi over2 RIGHT )]
[eqn: f`'(theta)`]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(theta)`]		↗	[eqn: f( theta_1 `)]	↘

그러므로 [eqn: f(theta)`]는 [eqn: theta = theta_1`]에서 극대이면서 최대이다.따라서 [eqn: f(theta)`]가 [eqn: `]최대가 되도록 하는 [eqn: theta`]에 대하여[eqn: cos theta]의 값은 [eqn: cos theta =][eqn: {-1 + sqrt3} over2`]이다.

[4점][2015년 3월]

① [eqn: {-3+2 sqrt {3}} over {4} `]	② [eqn: {2- sqrt {3}} over {2} `]	③ [eqn: {-1+ sqrt {3}} over {4} `]

④ [eqn: {-3+2 sqrt {3}} over {2} `]	⑤ [eqn: {-1 + sqrt3}over2`]

그림과 같이 중심이 [eqn: rmA(3,~0)`]이고 점 [eqn: rm B(6,~0)`]을 지나는 원이 있다. 이 원 위의 점 [eqn: rmP`]를 지나는 두 직선 [eqn: rm AP], [eqn: rmBP`]가 [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm Q], [eqn: rmR`]라 하자. [eqn: rm ANGLE PBA= theta `]라 하고,
삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: S( theta )`]라 할 때, [eqn: lim _{theta `` -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{`5}}} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}])

18

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 삼각함수의 극한 문제를 해결한다.

[eqn: rm ANGLE PBO=][eqn: theta]이므로 [eqn: ANGLE rmPAO=2theta]이다.

점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: {bar{rmAP}} =3], [eqn: {bar{rm AH it}} =][eqn: 3cos`2 theta], [eqn: {bar{rm HO}} =3-3cos2 theta]이다.

[eqn: {bar{rmOA}} =3], [eqn: ANGLE rm PAO=2 theta]이므로

[eqn: {bar{rm OQ` it}} =3tan2 theta]

[eqn: {bar{rmOB}} =6][eqn: ,] [eqn: ANGLE rm PBO= theta]이므로

[eqn: {bar{rm OR` it}} =6tan theta]

[eqn: {bar{rm RQ it}} = {bar{rm OQ it}} - {bar{rm OR it}}]

[eqn: =3tan2 theta -6tan theta `]

[eqn: {bar{rmHO}} =3-3cos`2 theta]이므로

[eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES {bar{rmRQ}} ` TIMES {bar{rmHO}}]

[eqn: = {1} over {2} (3tan2 theta -6tan theta )(3-3cos2 theta )]

[eqn: = {9} over {2} (tan`2 theta -2tan` theta )(1-cos`2 theta )]

[eqn: =9 LEFT ( {2tan theta } over {1-tan ^{2} theta } -2tan` theta RIGHT ) sin ^{2} theta]

[eqn: = {18tan ^{3} theta `sin ^{2} theta } over {1-tan ^{2} theta }]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{5}}}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {{18tan ^{3} theta `sin ^{2} theta } over {theta ^{5} (1-tan ^{2} theta )}}]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {LEFT ( {18} over {1-tan ^{2} theta } ` TIMES {tan ^{3} theta } over {theta ^{3}} TIMES {sin ^{2} theta } over {theta ^{2}} RIGHT )}]

[eqn: =18times1times1=18]

[다른 풀이]

[eqn: TRIANGLE rm PAH]□[eqn: triangle rm QAO]이므로

[eqn: {bar{rm AP` it}} : {bar{rm PQ it}} = {bar{rm AH` it}} : {bar{rm HO` it}}]

[eqn: 3: {bar{rm PQ it}} =][eqn: 3cos`2 theta :3-3cos`2 theta]이므로

[eqn: {bar{rm PQ it}} = {3(3-3cos`2 theta )} over {3cos`2 theta }]

또, [eqn: TRIANGLE rm PBH]□[eqn: TRIANGLE rm RBO]이므로

[eqn: {bar{rm BP` it}} : {bar{rm PR it}} = {bar{rm BH` it}} : {bar{rm HO` it}}]

[eqn: 6`cos` theta :` {bar{rm PR it}}][eqn: =3+3cos`2 theta :3-3cos`2 theta]이므로

[eqn: {bar{rm PR` it}} = {6cos` theta (3-3cos`2 theta )} over {3+3cos`2 theta }]

[eqn: rm ANGLE QPR= ANGLE APB= ANGLE PBA=][eqn: theta]이므로

[eqn: S`( theta )= {1} over {2} TIMES {bar{rm PR` it}} TIMES {bar{rm PQ` it}}][eqn: TIMES `sin` theta][eqn: = {1} over {2} TIMES {6cos` theta (3-3cos`2 theta )} over {(3+3cos`2 theta )} TIMES {3(3-3cos2 theta )} over {3cos2 theta } TIMES sin` theta]

[eqn: = {9`cos theta (1-cos`2 theta ) ^{2} sin theta } over {(1+cos2 theta )`cos2 theta }]

[eqn: = {9`cos` theta `(2sin ^{2} theta )^2` sin` theta } over {(1+cos`2 theta ) cos 2theta }]

[eqn: = {36`cos` theta` sin ^{5} theta } over {(1+cos`2 theta ) cos 2theta }]

따라서

[eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{5}}}][eqn: = lim _{theta -> 0+} {} {36`cos` theta `sin ^{5} theta } over {theta ^{5} `(1+cos`2 theta )cos2 theta }]

[eqn: = lim _{theta -> 0+} {LEFT { {36cos theta } over {(1+cos2 theta ) ^{} `cos2 theta } TIMES {sin ^{5} ` theta } over {theta ^{5}} RIGHT }}]

[eqn: = {36} over {2times1} TIMES 1]

[eqn: =18]

[4점][2015년 3월]

그림과 같이 길이가 [eqn: 12]인 선분 [eqn: \AB]를 지름으로 하는 반원의호 [eqn: \AB] 위에 [eqn: Angle \PAB=theta][eqn: left(0< theta < {pi } over {6} `right)]인 점 [eqn: \P]가 있다.
[eqn: Angle \APQ=3theta]가 되도록 선분 [eqn: \AB] 위의 점 [eqn: \Q]를 잡을 때, 두 선분 [eqn: \PQ], [eqn: \QB]와 호 [eqn: \BP]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자.
[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {`` {S( theta )} over {theta }}]의 값을 구하시오.

18

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

반원의 중심을 [eqn: rmO]라 하자.

[eqn: rm {bar{OP}} =6], [eqn: rm ANGLE OAP= ANGLE OPA= theta]

[eqn: ANGLE rm POQ= ANGLE rmOPQ=2 theta], [eqn: ANGLE rm OQP= pi -4 theta]

삼각형 [eqn: rm OQP]에서 [eqn: {rm {bar{PQ}} it} over {sin2 theta } = {6} over {sin( pi -4 theta )}]

[eqn: rm {bar{PQ}} `= it {6sin2 theta } over {sin4 theta } = {6sin2 theta } over {2sin2 theta cos2 theta } = {3} over {cos2 theta }]

삼각형 [eqn: rm OQP]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 6 TIMES {3} over {cos2 theta } TIMES sin2 theta = {9sin2 theta } over {cos`2 theta }]

[eqn: S(theta)=](부채꼴 [eqn: rmOBP]의 넓이)

[eqn: -](삼각형 [eqn: rm OQP]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} TIMES 6 ^{2} TIMES 2 theta][eqn: -][eqn: {9sin2 theta } over {cos`2 theta }]

[eqn: =36 theta - {9sin2 theta } over {cos`2 theta }]

따라서 [eqn: lim _{theta ` -> 0+} {{S( theta )} over {theta } =} lim _{theta ` -> 0+} {{36 theta - {9sin2 theta } over {cos`2 theta }} over {theta }} =18]

[4점][2015년 7월]

[eqn: \A]

[eqn: \B]

[eqn: \P]

[eqn: \Q]

[eqn: rm theta]

[eqn: rm 3theta]

[해설] 미적분2-(4)함수의극한,미분-(d)배각공식